一、选 择 题 (本大题分5小题, 每小题4分, 共20分) (1)设A 、B 互不相容,且P(A)>0,P(B)>0,则必有( )
(A)0)(>A B P (B))()(A P B A P = (C)0)(=B A P (D))()()(B P A P AB P = (2)将3粒黄豆随机地放入4个杯子,则杯子中盛黄豆最多为一粒的概率为( ) 3311()
()
()
()32
8
16
8
A B C D
(3)),4,(~2μN X ),5,(~2μN Y }5{},4{21+≥=-≤=μμY P p X P p ,则( )
(A)对任意实数21,p p =μ (B )对任意实数21,p p <μ (C)只对μ的个别值,才有21p p = (D )对任意实数μ,都有21p p >
(4)设随机变量X 的密度函数为)(x f ,且),()(x f x f =-)(x F 是X 的分布函数,则对任意 实数a 成立的是( ) (A )?
-
=-a
dx x f a F 0
)(1)( (B )?-=
-a
dx x f a F 0
)(21)( (C ))()(a F a F =- (D )1)(2)(-=-a F a F
(5)已知1250,,,X X X L 为来自总体()2,4X N :的样本,记50
11,50i i X X ==∑ 则 50
21
1()4i i X X =-∑服从分布为( ) (A )4(2,
)50N (B) 2
(,4)50
N (C )()250χ (D) ()249χ 二、填 空 题 (本大题5小题, 每小题4分, 共20分)
(1) 4.0)(=A P ,3.0)(=B P ,4.0)(=?B A P ,则___________)(=B A P
(2) 设随机变量X 有密度???<<=其它0
1
0,4)(3x x x f , 则使)()(a X P a X P <=>
的常数a =
(3) 设随机变量),2(~2
σN X ,若3.0}40{=< (4)设( )2 21 x x f x -+-=, 则EX = , DX = (5)设总体~(,9)X N μ,已知样本容量为25,样本均值x m =;记 0.1u a =,0.05u b =;()0.124t c =,()0.125t d =;()0.0524t l =,()0.0525t k =, 则μ的置信度为0.9的置信区间为 三、解答题 (共60分) 1、(10分)某工厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品,每个车间的产量分别占全厂的25%,35%,40%,各车间产品的次品率分别为5%,4%,2%, 求:(1)全厂产品的次品率 (2) 若任取一件产品发现是次品,此次品是甲车间生产的概率是多少? 2、(10分)设X 与Y 两个相互独立的随机变量,其概率密度分别为 ???≤≤=., 0; 10,1)(其它x x f X ???≤>=-.0,0;0,)(y y e y f y Y 求:随机变量Y X Z +=的概率密度函数. 3、(10分)设随机变量X 服从参数2λ=的指数分布,证明:21X Y e -=-服从()0,1上的 均匀分布。 4、(8分)设某次考试考生成绩服从正态分布,从中随机抽取36位考生的成绩,算得 66.5,X =样本标准差为15,问在0.05α=时,是否可以认为这次考试全体考生的平均成 绩为70分? 5、(10分)在抽样检查某种产品的质量时,如果发现次品多于10个,则拒绝接受这批产品。设产品的次品率为10﹪,问至少应抽查多少个产品进行检查,才能保证拒绝这批产品的概率达到0.9?(()..12909Φ=) 6、(12分)设(X , Y ) 服从二维正态分布,X~N (1 , 9),Y~N (0 , 16),1 2 XY ρ=- ,设32 X Y Z = +,求(1)EZ , DZ (2)XZ ρ (3)X 与Z 是否相关? 标准答案 二、填 空 题(5×4分) 1、 0.1 2、 4 2 1 3、 0.35 4、11,2 EX DX == 5、33(,)55m b m b - +或0.050.0533 (,)55 m u m u -+ 三、 解答题(60分) 1、解:A=“生产的产品是次品”,B 1=“产品是甲厂生产的”,B 2=“产品是乙厂生产的”,B 3=“产品是丙厂生产的”,易见的一个划分是Ω321,,B B B (1) 由全概率公式,得 .0345.0%2%40%4%35%5%25)()()()(3 1 31 =?+?+?=== ∑∑==i i i i i B A P B P AB P A P (2) 由Bayes 公式有:111()() 25%5%25 ()() 0.034569 P A B P B P B A P A ?= = = 2、因为X 与Y 相互独立,所以? +∞ ∞ --=dx x z f x f z f Y X Z )()()( 当0≤z 时,;0)()()(=-= ? +∞ ∞ -dx x z f x f z f Y X Z 当10< )(z z x z Y X Z e dx e dx x z f x f z f ---+∞ ∞ --==-=?? 当1≥z 时,);1()()()(1 )(-==-= ---+∞ ∞ -?? e e dx e dx x z f x f z f z x z Y X Z 所以 ;1)1(10100)()()(?? ? ?? ≥-<<-≤=-= --∞ +∞ -? z e e z e z dx x z f x f z f z z Y X Z 3、{}{ }2ln(1)()12X Y y F y P Y y P e y P X --? ?=≤=-≤=≤-??? ? ln(1) 220,0, 2(01),1, 1.y x y e dx y y y ----∞ ?? ==≤? ≥?? ? 1,(01)()()0,,其他。Y Y y f y F y <'∴==?? 4、H 0: μ = μ 0 =70 ①由于σ 2 未知,则令~(1)t t n = - ②由()2||1,P t t n αα???? >-=??????查表得t 的临界值()()==0.0252 135 2.0301,t n t α- 则拒绝域为{} 2.0301c I t t =≥, 由条件计算出0 1.4t = = =-, 由于0 1.4 2.0301,t =<所以接受0t ,即可以认为考生平均成绩为70分。 5、设应抽查n 件产品,其中次品数为Y ,则Y ~B (n ,0.1), 其中.,().011009EY np n DY np p n ===-=,由二项分布的中心极限定理,得 {} 10P Y n P ≤≤=≤≤=Φ-Φ 1 ≈-Φ,要使10.9-Φ≥,即0.9Φ≥,查表得 . 129≥,解得147n ≥,即至少要抽查147件产品才能保证拒绝这批产品的概率 达到0.9。 6、(1)( )32X Y EZ E =+1132EX EY =+111032=?+?13 = ( )32X Y DZ D =+()()2cov(,)3232X Y X Y D D =++119162cov(,)9432X Y =?+?+ 52cov( ,)32 X Y =+, 而()1cov( ,)cov ,326X Y X Y =16XY ρ=11 ()3462 =?-??1=- 52(1)3DZ ∴=+?-= cov ,(2) XZ X Z ρ= ,而()c o v ,c o v (,)32X Y X Z X =+11 cov(,)co (,32 v )X X X Y =+ 1132DX = +?()6-1 9303 =?-=,0XZ ρ∴= (3)0XZ ρ=Q ,所以X 与Z 不相关。