湖北省荆州中学基础题题库六
立体几何
501. 在长方体ABCD －1111D C B A 中，AB ＝2，11==B B BC ，M 、N 分别是AD 、DC 的中点．
（1）证明AM ∥11C A ；
（2）求异面直线MN 与1BC 所成角的余弦值．
解析：（1）∵ 1AA ∥1BB ∥1CC ，1AA ＝1BB ＝1CC ，∴ C C AA 11是平行四边形，∴AC ∥11C A ，又MN ∥AC ，因此，MN ∥11C A ．
（2）由（1），11A BC ∠是异面直线MN 与1BC 所成角．在△11C BA 中，21=BC ，
5111==C A BA ．于是有10
10
cos 11=∠A
BC ． 502. 在空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，得到四边形EFGH ．
（1）四边形EFGH 是______________；
（2）当对角线AC ＝BD 时，四边形EFGH 是______________； （3）当对角线满足条件______________时，四边形EFGH 是矩形； （4）当对角线AC 、BD 满足条件_______时，四边形EFGH 是正方形． 解析：（1）由三角形中位线定理可知EF 21
AC ，HG 2
1
AC ，于是EF HG ，故四边
形EFGH 为平行四边形； （2）当AC ＝BD 时，由EF ＝
21AC ，EH ＝2
1
BD ，得EF ＝EH ，即平行四边形EFGH 的邻边相等，故平行四边形EFGH 为菱形；
（3）要使平行四边形EFGH 为矩形，需且只须一个角是直角．如需EF ⊥FG ，则AC ⊥BD ；
（4）要使平行四边形EFGH 为正方形，需且只须AC ⊥ BD ，且AC ＝BD ； 503. 借助两支铅笔，试研究以下问题：
（1）在平面内，过直线外一点有多少条直线与已知直线平行?在空间呢?
图9－17
（2）在一个平面内，过一点有多少条直线与已知直线垂直?在空间呢?
（3）在一个平面内，与该平面内的已知直线所成角为60°的直线有多少条?这些直线与已知直线的位置关系如何?在空间，与一条直线所成角为60°的直线有多少条?这些直线与已知直线的位置关系如何? 解析：（1）在一个平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；在空间也如此． （2）在一个平面内，过一点（该点可在直线上，也可在直线外）有且只有一条直线与已知直线垂线；在空间过直线上或直线外一点都有无数条直线和已知直线垂直，这无数条直线在过已知点的一个平面上（以后可知该平面与直线垂直）．
（3）在一个平面内，与已知直线成60°角的直线有无数条，这无数条直线平行，且都与已知直线相交；在空间也是有无数条直线与已知直线成60°角，它们与已知直线位置关系是相交或异面．
504. 如图9－18，已知P 为△ABC 所在平面外一点，PC ⊥AB ，PC ＝AB ＝2，E 、F 分别为P A 和BC 的中点．
（1）求证：EF 与PC 是异面直线； （2）EF 与PC 所成的角； （3）线段EF 的长．
解析：（1）用反证法．假设EF 与PC 共面于α，则直线PE 、CF 共面α，则A ∈α，B ∈α，于是P 与A 、B 、C 共面于α，这与已知“P 是平面ABC 外一点”矛盾．故EF 与PC 是异面直线．
（2）取PB 中点G ，连结EG 、FG ，由E 、F 分别是线段P A 、BC 中点，有EG 2
1
AB ，GF
2
1
PC ∴ ∠GFE 为异面直线EF 与PC 所成的角，∠EGF 是异面直线PC 与AB 所成的角，∵ PC ⊥AB ，∴ EG ⊥GF ，即∠EGF ＝90°．∵ PC ＝AB ＝2，∴ EG ＝1，GF ＝1，故△EFG 是等腰直角三角形，∴ ∠GFE ＝45°，即EF 与PC 所成的角是45°． （3）由（2）知R t △EGF 中EG ＝1，GF ＝1，∠EGF ＝90°，∴ EF ＝2
505. 如图9－19，在棱长为a 的正方体ABCD —111D C B A １中，O 是AC 、BD 的交点，E 、F 分别是AB 与AD 的中点．
图9－19
（1）求异面直线1OD 与11C A 所成角的大小； （2）求异面直线EF 与11C A 所成角的大小； （3）求异面直线EF 与1OD 所成角的正切值； （4）求异面直线EF 与1OD 的距离．
解析：（1）∵ 11C A ∥AC ，∴ 1OD 与AC 所成的锐角或直角就是1OD 与11C A 所成的角，连结1AD 、1CD ，在△11D AA 和△11D CC ，∵ 1AA ＝1CC ，1111D C D A
=，11D AA ∠11D CC ∠= 90=，∴△11D AA ≌△11D CC ，∴11CD AD =．∴△C AD 1是等腰
三角形．∵ O 是底边AC 的中点，∴ AC OD ⊥1，故1OD 与11C A 所成的角是90°． （2）∵ E 、F 分别是AB 、AD 中点，∴ EF ∥BD ，又∵ 11C A ∥AC ，∴ AC 与BD 所成的锐角或直角就是EF 与11C A 所成的角．∵ 四边形ABCD 是正方形，∴ AC ⊥BD ，∴ EF 与11C A 所成的角为90°
（3）∵ EF ∥BD ，∴
901=∠OD D 为异面直线EF 与1OD 所成的角．∵ 四边形
D D BB 11是正方形，∴ 901=∠DO D ，∴ 在Rt △OD D 1中，a DD =1，DO ＝BD
2
1＝
2221AD AB +a a a 2
22122=+=，∴ 22
2t a n 11==∠a a
OD D D OD D ，即EF
与1OD 所成角的正切值为2．
（4）∵ EF ∥BD ，BD ⊥AC ，∴ EF ⊥AC ，设交点为G ．∵ 1OD ⊥AC （由（1） 知）于O ，则AC 是异面直线EF 与1OD 的公垂线，OG 的长即为EF 与1OD 间的距离，由于G 是OA 中点，O 是AC 中点，且a a a BC AB AC 22222=+=+=
，∴
a AC OA OG 42412===
，即EF 与1OD 间的距离为a 4
2
． 506. 在空间中，
①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线． ②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线． 以上两个命题中，逆命题为真命题的是__________． （把符合要求的命题序号都填上）
解析：②．①的逆命题为：空间四点中若任何三点都不共线，则这四点不共面．此命题是假命题．平行四边形的四个顶点是其反例．
②的逆命题为：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点，可知此命题为真命题．
507. 下列命题中是真命题的是( ) A.底面是正方形的棱锥是正四棱锥 B.各条侧棱都相等的棱锥是正棱锥
C.由一个面是多边形，其余各个面是三角形所围成的几何体是棱锥
D.正四面体是正三棱锥
解析： 解此题时概念要明确，正棱锥不仅要求底面是正多边形，而且还要求其顶点在底面的射影是底面的中心，所以A 、B 不正确，C 中的各三角形没有指明共顶点，C 也不正确，D 是真命题，所以选D. 508. 三棱锥A —BCD 中，AC=BD,AD=BC,AB=CD ，三个侧面与底面所成的二面角分别为α、β、γ，则cos α+cos β+cos γ= .
解析：如图所示，设AC=BD=a,AD=BC=b,AB=CD=c
由已知所有侧面三角形和底面三角形都是全等的三角形. 记为S ，侧面在底面的射影分别为S 1、S 2、S 3 则
S
S 1=cos α, S S
2=cos β, S S 3=cos γ
cos α+cos β+cos γ=
S S S S 321++=S
S
=1
509. 已知三棱锥S —ABC 的底面面积是a ，三棱锥的高是h ，M 、N 、P 、Q 分别是SB 、SC 、AC 、
AB 的中点，求五面体MN —PQBC 的体积
解析： 如图，过M 作MD ∥BA 交SA 于D ，则D 是SA 的中点，连结ND ，则ND ∥AC 所求五面体MN —PQBC 的体积等于原三棱锥的体积与五面体SA —MQPN 的体积之差
而V S —ABC =
31
ah ， V S —DMN =31·41a ·2h =24
1ah ，
V 三棱主柱DMN —APQ =S △AQP ·21h=8
1
ah ，
∴V MN —PQBC =V S —ABC -V SA —MQPN
=
31ah-(241ah+81ah) =6
1ah 510. 棱锥被平行于底的平面分成体积相等的三部分.求这棱锥的高被分成三部分的比. 解析：设棱锥的高为h ，它被截成的三部分自上而下设为h 1，h 2，h 3，则有 (
h h 1)3=31,(1
23h h h +)3
=2,(h h h 3-)3=32.
所以h 1=393
h,h 2=(3
2-1)h 1=3
93
(32-1)h ，
h 3=3
18
33-h.
所以h 1∶h 2∶h 3=1∶(32-1)∶(33-32).
说明 求体积之比或面积之比常用相似比.
511. 已知四棱锥S —ABCD 的底面是边长为6的正方形，SA ⊥底面ABCD ，且SA=8，M 是SA 的中点，过M 和BC 作截面交SD 于N.
(1)求证：截面MBCN 是梯形，并求截面的面积； (2)求截面MBCN 与底面ABCD 的夹角α.
解析：(1)先证MN ∥BC 且MN ≠BC.因为BC ∥AD ，所以AD ∥截面MBCN ，从而 AD ∥MN ，BC ∥MN.
又MN=
21AD=2
1
BC ，所以MN ≠BC.于是MN 和BC 平行但不相等，故MBCN 是梯形.
再求截面的面积：SA ⊥平面ABCD.易证MN 和BC 都垂直于平面ABS.所以MB ⊥MN ，MB ⊥BC ，故 S 截=2
1
(MN+BC)·MB =
2
1
(3+6)1636 =913. (2)首先要找到二面角的平面角.根据上面的证明，知∠MBA 的是截面与底面所成二面角的平面角，即∠MBA=α.于是
tan α=
AB MA =64=3
2
∴α=arctan 3
2
512. 以四面体各面的重心为顶点构成一个新的四面体.求这两个四面体的表面积的比.
解析：因相似多面体全面积的比等于对应边的平方的比，故只须求出对应边的比.
∵B 1D 1＝
32EF ＝31
BD ， ∴BD D B 11＝3
1.
同理，AB B A 11＝AC C A 11＝AD D A 11＝BC C B 11＝CD D C 11＝3
1
，
故ABCD 和A ′B ′C ′D ′是相似多面体，其表面积的比为1∶9.
513. 如图，四棱锥的高为h ，底面为菱形，侧面VDA 和侧面VDC 所成的二面角为120°，且都垂直于底面，另两个侧面与底面所成的角都是45°，求此棱锥的全面积.
解析：由面面垂直的性质可证得VD ⊥底面，因为S ΔVDA ＝S ΔVDC ，∠ADC ＝120°，DB 是其平分线，而S ΔVBC ＝S ΔVAB ，所以全面积不难求得.
解 由已知条件可得VD ⊥底面ABCD ，VD ⊥DA ，VD ⊥DC ，
∴∠ADC ＝120°. ∵ABCD 为菱形，
∴BD 是∠ADC 的平分线.
ΔADB 和ΔDBC 是全等的等边三角形，取BC 的中点E ， 连DE ，BC ⊥DE ，BC ⊥VE ，∴∠VED ＝45°. 在直角ΔDEC 中，EC ＝DE ·ctg60°＝
33h,BC ＝3
32h,VE ＝2h. ∴S 底＝BC ·DE ＝
332h ·h ＝3
32h 2
, S ΔVBC ＝S ΔVAB ＝
21·332h ·2h ＝36h 2, S ΔVAD ＝S ΔVDC ＝
21h ·332h ＝3
3h 2
. ∴S 全＝
332h 2+362h 2+3
32h 2 ＝
3
2(23+6)h 2 评析：本题的关键是侧面VDA 和侧面VDC 都垂直于底面，则它们的交线VD ⊥底面ABCD ，从而∠ADC ＝120°.
514. 已知三棱锥各侧面与底面成60°角.底面三角形的各角成等差数列，且最大边与最小
边是方程3x 2
-21x+13＝0的两根.求此三棱锥的侧面积和体积.
解析： 如图，设底面三角形的边长为a 、b 、c.则由条件知∠B ＝60°，a+c ＝7,ac ＝
3
13，
得b 2＝a 2+c 2-2accosB ＝(a+c)2-2ac(1+cosB)＝72
-2·
313(1+2
1
)＝36?b ＝6,由三角形面积公式，得
21acsinB ＝pr(其中p 为半周长，r 为内切圆半径)，求得r ＝6
3
. 由于各侧面与底面成的角相等，∴顶点在底面上的射影是三角形的内心，且各侧面上的高相等，∴h ＝rtg60°＝
63·3＝21，h 侧＝?60cos r ＝33.故S 侧＝21(7+6)×3
3＝
613
3
(平方单位)，V ＝
31·21acsinBh ＝61×313×2
3×21＝7213
3 (立方单位).
515. 正三棱锥A-BCD ，底面边长为a ，侧棱为2a ，过点B 作与侧棱AC 、AD 相交的截面，
在这样的截面三角形中，求(1)周长的最小值；(2)周长为最小时截面积的值，(3)用这周长最小时的截面截得的小三棱锥的体积与三棱锥体积之比.
解析：(1)沿侧棱AB 把正三棱锥的侧面剪开展成平面图.如图1，当周长最小时，EF 在直线BB ′上，∵ΔABE ≌ΔB ′AF ，∴AE ＝AF ，AC ＝AD ，∴B ′B ∥CD ，∴∠1＝∠2＝∠3，∴BE ＝
BC ＝a ，同理B ′F ＝B ′D ＝a.∵ΔFDB ′∽ΔADB ′，∴
B D DF '＝B A B D '
'，a DF
＝a a 2＝21,∴DF
＝21a,AF ＝23a.又∵ΔAEF ∽ΔACD ，∴BB ′＝a+43a+a ＝4
11
a,∴截面三角形的周长的最小
值为4
11a.
(2)如图2，∵ΔBEF 等腰，取EF 中点G ，连BG ，则BG ⊥EF.∴BG ＝22EG BE -＝
22)8
3(a a -＝
855a ∴S ΔBEF ＝21·EF ·BG ＝21·43a ·855a ＝64553a 2
.
(3)∵V A-BCD ＝V B-ACD ，而三棱锥B —AEF ，三棱锥B —ACD 的两个高相同，所以它们体积之比于它们的两底面积之比，即
CAD
B AEF B V V --＝ACD AEF S S △△＝2
2CD EF ＝169 评析 把曲面上的最短路线问题利用展开图转化为平面上两点间距离的问题，从而使问题得
到解决，这是求曲面上最短路线的一种常用方法.本题中的四面体，其中任何一个面都可以做为底面，因而它可有四个底面和与之对应的四条高，在解决有关三棱锥体积题时，需要灵活运用这个性质.
516. 在三棱锥A —BCD 中，ΔABC 和ΔBCD 都是边长为a 的正三角形，二面角A —BC —D ＝φ，问φ为何值时，三棱锥的全面积最大。 解析：S ΔBAC ＝S ΔBCD ＝
4
3a 2
为常量，所以三棱锥全面积的大小取决于S ΔABD 与S ΔACD 的大小，由于ΔABD ≌ΔACD ，所以只求S ΔACD 何时面积取最大值即可。∵S ΔACD ＝2
1
asin ∠ACD ，所以当∠ACD ＝90°时面积最大，问题得解。
解 如图，取BC 中点M ，连AM 、DM ，∴ΔABC 和ΔBCD 都是正三角形，∴∠AMD 是二面角A-BC-D 的平面角，∠AMD ＝φ，又∵ΔABD ≌ΔACD ，且当∠ACD ＝90°时，ΔACD 和ΔABD 面积最大，此时AD ＝2a ，在ΔAMD 中，由余弦定理cos ∠AMD ＝-3
1， ∴当φ＝π-arccos
3
1
时，三棱锥A-BCD 的全面积最大。 点评 本题将求棱锥全面积的最大值，转化为求ΔACD 面积的最大值，间接求得φ角。 517. 如图三棱锥P-ABC 中，PA ＝a,AB ＝AC ＝2a,∠PAB ＝∠PAC ＝∠BAC ＝60°，求三棱锥P-ABC 的体积.
解法一：过点P 作PO ⊥平面ABC 于点O ，∵∠PAB ＝∠PAC ＝∠BAC ＝60° ∴AO 平分∠BAC
∴cos ∠PAO ＝
??30cos 60cos ＝33，∴sin ∠PAO ＝3
11-＝36
∴PO ＝asin ∠PAO ＝
3
6
a ∴V 棱锥＝
31×21×2a ×2asin60°×36a ＝3
2a 3
点评 这种方法叫直接法，就是利用锥体的体积公式直接计算，这是一种常规方法，必须掌
握.
解法二：取AB 、AC 中点M 、N 的连结PM 、PN
∵PA ＝a,AB ＝AC ＝2a,∠PAB ＝∠PAC ＝∠BAC ＝60° ∴三棱锥P-AMN 为棱长为a 的正四面体，且S ΔAMN ＝
4
1
S ΔABC ∴V P-AMN ＝
41V P-ABC ，而V P-AMN ＝12
2a 3
∴V P-ABC ＝4V P-AMN ＝
3
2a 3
点评 此法是根据棱长与含有60°角的三角形的关系，把锥体截成棱长相等的三棱锥，然后根据小锥体的体积与原棱锥的体积关系，求原棱锥的体积. 解法三 在ΔPAB 中，PA ＝a,AB ＝2a 又∠PAB ＝60°，∴∠APB ＝90° 同理∠APC ＝90°∴AP ⊥平面PBC 又S ΔPBC ＝2a
2
∴V P-ABC ＝V A-PBC ＝
31·2a 2
·a ＝3
2a 3. 518.将正方体截去一个角，求证：截面是锐角三角形.
已知：正方体中截去以P 为顶点的一角得截面ABC. 求证：ΔABC 是锐角三角形.
证明：如图，P —ABC 是一个四面体.
∵ΔPAB 、ΔPBC 、ΔPCA 都是直角三角形.
∴??
???=+=+=+2
22222222b x z a z y c y x 则 z 2
＝21(a 2+b 2-c 2)
∵z ≠0，∴a 2
+b 2
-c 2
＞0
即 c 2＜a 2+b 2,∴b 2＜a 2+c 2
. ∴∠BAC 、∠ABC 都小于90°. ∴ΔABC 为锐角三角形.
519.三棱锥的三个侧面互相垂直，它们的面积分别为6m 2,4m 2和3m 2
，求它的体积. 解析：设三棱锥S —ABC 的三条侧棱长分别为xm,ym,zm.则三个侧面积分别为
2xy 、2yz 、2
zx
.
依题意：??
?
??===6812
zx yz xy 则 xyz ＝24
而 V S —ABC ＝V A —SBC ＝
31·21yz ·x ＝6
1×24＝4(m 3
) ∴它的体积为4m 3
.
520. 如图，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中E ∈BB 1，截面A 1EC ⊥侧面AC 1 (1)求证：BE ＝EB 1
(2)若AA 1＝A 1B 1，求平面A 1EC 与平面A 1B 1C 1所成二面角(锐角)的度数
解析： 欲证BE ＝EB 1，可证A 1E ＝EC ，由截面A 1EC ⊥侧面AC 1，考虑到作EG ⊥A 1C 于G ，关键在于证出G 是A 1C 的中点，为了利用正棱柱的性质，可取AC 中点F ，证FG ∥AA 1即可.
证明： (1)在截面A 1EC 中，作EG ⊥A 1C 于G ，∵面A 1EC ⊥面A 1C ，∴EG ⊥面A 1C ，取AC 中点F ，连BF 、FG ，易证EBFG 为平行四边形，∴BE ＝FG ，又证得FG ＝
21AA 1，∴BE ＝21AA 1＝2
1
BB 1，即BE ＝EB 1.
(2)分别延长CE 、C 1B 1交于点D ，连A 1D ，利用E 是BB 1的中点，可证得A 1C 1⊥A 1D ，由三垂线定理，可证出A 1C ⊥A 1D ，
∴∠CA 1C 1为所求二面角的平面角，由A 1A ＝A 1C ，得∠CA 1C 1＝45°. 评析 本题解题思路：由证E 是BB 1的中点?证G 是A 1C 的中点?GF ∥AA 1，要完成此过程，除具有扎实的立几基本功外，尚需很好的平几修养，确实是一个考查基础知识很全面的好题. 521. 已知边长为10的正ΔABC 的顶点A 在平面α内，顶点B 、C 在平面α同侧，BD 为AC 边上的中线，B 、C 到平面α的距离分别是BB 1＝2，CC 1＝4 (1)求证：BB 1∥平面ACC 1 (2)求证：BD ⊥平面ACC 1
(3)求四棱锥A —BCC 1B 1的体积
解析： 本小题考查空间图形线、面的平行、垂直关系，考查逻辑思维能力和运算能力. 解 (1)∵BB 1⊥α，CC 1⊥α，∴BB 1∥CC 1 ∵BB 1?平面ACC 1，CC 1?平面ACC 1， ∴BB 1∥平面ACC 1. (2)∵
?
???⊥111ACC CC CC 平面α
?
?
??
=?⊥111AC ACC ACC αα平面平面平面?过D 点作AC 1的垂线DD 1，则DD 1⊥α.
∵?
??的中点是∥∥AC D CC BB DD 111?DD 1＝21CC 1＝21×4＝2＝BB 1，
∴四边形B 1BDD 1是矩形
∴B 1D 1∥BD
∵??
??⊥αα111D B CC ???
?
??
=?⊥?⊥?⊥C CC AC AC BD ABC CC BD D B CC 11111是正△△?BD ⊥平面ACC 1 (3)在Rt ΔABD 中，BD ＝22AD AB -＝75＝B 1D 1
在Rt ΔACC 1中，AC 1＝
212CC AC -＝84，连结BC 1，
则1
1B BCC A V -四棱锥＝1
1C AB B V -三棱锥+1
ACC B V -三棱锥＝
31×21×AC 1×B 1D 1×BB 1+31×2
1
×AC 1×CC 1×BD.
∴1
1B BCC A V -四棱锥＝
31×21×84×75×2+31×2
1
×84×75×4＝307. 522. 已知正四棱锥的各条棱都是a.
(1)求底面一边到相对侧面的距离；
(2)求证：相邻两侧面所成二面角等于侧面和底面所成二面角的2倍； (3)求相对两侧面所成二面角的余弦值.
（1）解： 作PO ⊥底面ABCD ，垂足是O ，取BC 、AD 、PB 的中点F 、E 、M ，连结PE 、PF 、EF 、OM 、MC 、MA.
∵AD ∥BC ，∴AD ∥平面PBC ，AD 到平面PBC 的距离就是E 点到平面PBC 的距离，∵BC ⊥平面PEF ，∴平面PEF ⊥平面PBC.∴E 点到交线PF 的距离就是E 点到平面PBC 的距离d. ∴d ·PF ＝PO ·EF,d ·
23a ＝a ·224
143a a -,∴d ＝36
a. (2)在ΔACM 中，∵AM ＝MC ＝
2
3
a,AD ＝OC,∴OM 是∠AMC 的平分线，又AM ⊥PB ，CM ⊥PB ，∴∠AMC 是二面角A —PB —C 的平面角，∠OFP 是二面角P —BC —AD 的平面角. 又∵AO ＝PO ＝
22a,AM ＝PF ＝2
3a,∴Rt ΔPOF ≌Rt ΔAMO. ∴∠AMC ＝2∠PFO ，∴命题成立.
(3)设相对两侧面PBC 、PAD 的交线是l ，∵AD ∥BC ，∴AD ∥平面PBC ，∴AD ∥l ，∵BC ⊥平面PEF ，∴l ⊥平面PEF ，∴∠EPF 就是所求二面角的平面角.
∴cos ∠EPF ＝PF
PE EF PF PE ?-+2222＝31
.
523. 直线a 、b 是异面直线，a ⊥平面α，b ⊥平面β，a ⊥b ，求证：α⊥β.
证明 过b 上任意一点作直线a ′，使a ∥a ′.∵a ⊥b,∴a ′⊥b.
设相交直线a ′、b 确定一个平面γ,γ∩β＝c.∵b ⊥β,c ?β,∴b ⊥c.
在平面γ内，b ⊥c,b ⊥a ′,∴a ′∥c.∴a ∥a ′∥c.又∵a ⊥α,∴c ⊥α,c ?β，∴β⊥α
524. 在三棱锥S —ABC 中，∠ASB ＝∠BSC ＝60°，∠ASC ＝90°，且SA ＝SB ＝SC ，求证：平面ASC ⊥平面ABC.
证明 取AC 的中点O ，连SO 、BO ，由已知，得ΔSAB 、ΔSBC 都是正三角形.∴BC ＝AB ＝a,SA ＝SC ＝a,又SO ⊥AC ，BO ⊥AC ，∴∠SOB 就是二面角S —AC —B 的平面角.又∵SA ＝AB ＝a,SC ＝BC ＝a,AC ＝AC,∴ΔACS ≌ΔACB. ∴SO ＝BO ＝
2
2a.
在ΔSOB 中，∵SB ＝a,∴∠SOB ＝90°. 即平面SAC ⊥平面ABC. 另证：过S 作SO ⊥平面ABC ，垂足是O.∵SA ＝SB ＝SC ，∴S 在平面内的射影是ΔABC 的外心，同前面的证明，可知ΔABC 是直角三角形，∴O 在斜边AC 上. 又∵平面SAC 经过SO ，∴平面SAC ⊥平面ABC
说明 证明“面面垂直”的常用方法是根据定义证明平面角是90°，或利用判定定理证明一个平面经过另一个平面的垂线.
525. 如图，四面体ABCD 的棱BD 长为2，其余各棱的长均是2，求：二面角A —BD —C 、A —BC —D 、B —AC —D 的大小.
解析：(1)取BD 的中点O ，连AO 、OC. 在ΔABD 中，∵AB ＝AD ＝2，BD ＝2，
∴ΔABD 是等腰直角三角形，AO ⊥BD ，同理OC ⊥BD. ∴∠AOC 是二面角A —BD —C 的平面角 又AO ＝OC ＝1，AC ＝2，
∴∠AOC ＝90°.
即二面角A —BD —C 为直二面角.
(2)∵二面角A —BD —C 是直二面角，AO ⊥BD ，∴AO ⊥平面BCD.
∴ΔABC 在平面BCD 内的射影是ΔBOC. ∵S ΔOCB ＝
21,S ΔABC ＝23,∴cos θ＝3
3. 即二面角A —BC —D 的大小是arccos
3
3
. (3)取AC 的中点E ，连BE 、DE. ∵AB ＝BC ，AD ＝DC ，
∴BD ⊥AC ，DE ⊥AC ，∴∠BED 就是二面角的平面角. 在ΔBDE 中，BE ＝DE ＝
2
6
，由余弦定理，得cos α＝-31
∴二面角B —AC —D 的大小是π-arccos
3
1
. 评析 本例提供了求二面角大小的方法：先作出二面角的平面角，再利用其所在的三角形算出角的三角函数值，或利用面积的射影公式S ′＝S ·cos θ求得.
526. 如图所示，在三棱锥S —ABC 中，SA ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，DE 垂直平分SC ，且分别交AC 、SC 于D 、E.又SA ＝AB ，SB ＝SC.求以BD 为棱，以BDE 与BDC 为面的二面角的度数.
解法一：由于SB ＝BC ，且E 是SC 中点，因此BE 是等腰三角形SBC 的底边SC 的中线，所以SC ⊥BE.又已知SC ⊥DE ，BE ∩DE ＝E ， ∴SC ⊥平面BDE ， ∴SC ⊥BD ，
又∵SA ⊥底面ABC ，BD 在底面ABC 上， ∴SA ⊥BD.
而SA ∩SC ＝S ， 所以BD ⊥平面SAC.
∵DE ＝平面SAC ∩平面BDE ，DC ＝平面SAC ∩平面BDC ， ∴BD ⊥DE ，BD ⊥DC.
∴∠EDC 是所求二面角的平面角. ∵SA ⊥底面ABC ， ∴SA ⊥AB ，SA ⊥AC.
设SA ＝a,则AB ＝a,BC ＝SB ＝2a. 又AB ⊥BC ，所以AC ＝3a.在Rt ΔSAC 中
tg ∠ACS ＝
AC SA ＝3
1
，所以∠ACS ＝30°. 又已知DE ⊥SC ，所以∠EDC ＝60°，即所求的二面角等于60°.
解法二：由于SB ＝BC ，且E 是SC 的中点，因此BE 是等腰ΔSBC 的底边SC 的中线，所以SC ⊥BE.又已知SC ⊥DE ，BE ∩DE ＝E. ∴SC ⊥平面BDE ，SC ⊥BD.
由于SA ⊥底面ABC ，且A 是垂足，所以，AC 是SC 在平面ABC 上的射影，由三垂线定理的逆定理得BD ⊥AC ；又E ∈SC ，AC 是SC 在平面内的射影，所以E 在平面ABC 内的射影在AC 上，由于D ∈AC ，所以DE 在平面ABC 内的射影在AC 上，根据三垂线定理得BD ⊥DE. ∵DE ?平面BDE ，DC ?平面BDC. ∴∠EDC 是所求二面角的平面角. 以下解法同解法一.
527. 在直三棱柱ABC —A ′B ′C ′中，∠BAC ＝90°，AB ＝BB ′＝1，直线B ′C 与平面ABC 成30°的角.(如图所示)
(1)求点C ′到平面AB ′C 的距离； (2)求二面角B －B ′C —A 的余弦值.
解析：(1)∵ABC —A ′B ′C ′是直三棱柱，∴A ′C ′∥AC ，AC ?平面AB ′C ，∴A ′C ′∥平面AB ′C ，于是C ′到平面AB ′C 的距离等于点A ′到平面AB ′C 的距离，作A ′M ⊥AB ′于M.由AC ⊥平面AB ′A ′得平面AB ′C ⊥平面AB ′A ′，∴A ′M ⊥平面AB ′C ，A ′M 的长是A ′到平面AB ′C 的距离.
∵AB ＝B ′B ＝1，⊥B ′CB ＝30°，∴B ′C ＝2，BC ＝3，AB ′＝2，A ′M ＝
A
A A
A B A ''?''＝
2
2. 即C ′到平面AB ′C 的距离为
2
2； (2)作AN ⊥BC 于N ，则AN ⊥平面B ′BCC ′，作NQ ⊥B ′C 于Q ，则AQ ⊥B ′C ，∴∠AQN 是所求二面角的平面角，AN ＝
BC AC AB ?＝3
6
，AQ ＝C B B A AC ''?＝1.∴sin ∠AQN ＝AQ AN ＝
36,cos ∠AQN ＝3
3
. 说明 利用异面直线上两点间的距离公式，也可以求二面角的大小，如图，AB ＝BB ′＝1，
∴AB ′＝2，又∠B ′CB ＝30°，
∴BC ＝3,B ′C ＝2,AC ＝2.作AM ⊥B ′C 于M ，BN ⊥B ′C 于N ，则AM ＝1，BN ＝
2
3，
CN ＝
23，CM ＝1，∴MN ＝2
1
.∵BN ⊥B ′C,AM ⊥B ′C ，∴BN 与AM 所成的角等于二面角B —B ′C —A 的平面角.设为θ.由AB 2
＝AM 2
+BN 2
+MN 2
-2AM ×BN ×cos θ得cos θ＝
3
1＝33
.
528. 如图所示，四棱锥P —ABCD 的底面是边长为a 的菱形，∠A ＝60°，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝a,E 是PA 的中点.
(1)求证平面BDE ⊥平面ABCD. (2)求点E 到平面PBC 的距离.
(3)求二面角A —EB —D 的平面角大小.
解析：(1)设O 是AC ，BD 的交点，连结EO. ∵ABCD 是菱形，∴O 是AC 、BD 的中点，
∵E 是PA 的中点，∴EO ∥PC ，又PC ⊥平面ABCD ，
∴EO ⊥平面ABCD ，EO ?平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面ABCD. (2)EO ∥PC ，PC ?平面PBC ，
∴EO ∥平面PBC ，于是点O 到平面PBC 的距离等于E 到平面PBC 的距离.作OF ⊥BC 于F ， ∵EO ⊥平面ABCD ，EO ∥PC ，PC ?平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面ABCD ，于是OF ⊥平面PBC ，OF 的长等于O 到平面PBC 的距离. 由条件可知，OB ＝
2a ,OF ＝2a ×23＝43a ，则点E 到平面PBC 的距离为4
3a. (3)过O 作OG ⊥EB 于G ，连接AG
∵OE ⊥AC ，BD ⊥AC ∴AC ⊥平面BDE
∴AG ⊥EB(三垂线定理)
∴∠AGO 是二面角A —EB —D 的平面角 ∵OE ＝
21PC ＝21a,OB ＝2
3a ∴EB ＝a.
∴OG ＝
EB OB OE ?＝4
3
a 又AO ＝21a. ∴tan ∠AGO ＝
OG AO ＝3
3
2 ∴∠AGO ＝arctan
3
3
2. 评析 本题考查了面面垂直判定与性质，以及利用其性质求点到面距离，及二面角的求法，三垂线定理及逆定理的应用.
说明 处理翻折问题，只要过不在棱上的点作棱的垂直相交的线段，就可以化成基本题 529. 已知a 、b 是异面直线，a ?α,a ∥β,b ?β,b ∥α,求证α∥β. 解析： 证明两个平面平行通常利用判定定理来证.
证明 如图，过a 作任一平面γ和平面β交于a ′,
∵a ∥β ∴a ∥a ′. 又a ′?β,a ′?α
∴a ′∥α且a ′与b 相交， ∵b ?β，b ∥α. ∴α∥β.
另证设c 是异面直线a 、b 的公垂线，则过a 、c 可以确定一个平面γ，设γ∩β＝a ′∵a ∥β，∴a ′∥a,
∵c ⊥a,∴c ⊥a ′又∵c ⊥b,a ′,b 相交，∴c ⊥β 同理可证：c ⊥α，∴α∥β
530. 已知：平面α∥平面β，且a ?α，b ?平面β，a,b 为两条异面直线. 求证：异面直线a 、b 间的距离等于平面α，β之间的距离.
证：设AB是异面直线a、b的公垂线段，如图过点B，作直线a′，使a′∥a.
∵α∥β，a?β,
∴a∥β,∴a′?β.
∵AB⊥a,∴AB⊥a′
又AB⊥b，且a′∩b＝B.
∴AB⊥β
∵α∥β，∴AB⊥α
∴AB的长是平行平面α，β间的距离.
说明求两异面直线间的距离有时可能转化为求两平行平面间的距离.
531.如果一条直线和两个平面中的一个相交，那么它和另一个平面也相交.
已知：α∥β,l∩α＝A.
求证：l与β相交.
证明：∵α∥β,l∩α＝A
∴Aβ.
假设l与β不相交，则l∥β
在平面β内任取一点D，则D l.
∴点D、l确定平面PBD，如图
∵α与平面PBD相交于过A的一条直线AC，
β与平面PBD相交于过点D的一条直线BD.
又α∥β∴AC与BD无公共点.
∵AC和BD都在平面PBD内，
∴AC∥BD.
由l∥β可知l∥BD.
∴AC∥l且l与AC相交于A.
∴AC与l重合，又AC在平面α内.
∴l在α内与l∩α＝A矛盾.
∴假设不成立，
∴l与β必相交.
532.如图，正四棱锥S—ABCD的底面边长为a，侧棱长为2a，点P、Q分别在BD和SC上，并且BP∶PD＝1∶2，PQ∥平面SAD，求线段PQ的长.
解析：要求出PQ的长，一般设法构造三角形，使PQ为其一边，然后通过解三角形的办法去处理.
作PM ∥AD 交CD 于M 连QM ，∵PM ∥平面SAD ，PQ ∥平面SAD.
∴平面PQM ∥平面SAD ，而平面SCD 分别与此两平行平面相交于QM ，SD. ∴QM ∥SD.
∵BC ＝a,SD ＝2a.
∴
PD BP ＝2
1
. ∴BC
MP
＝BD PD ＝32,MP ＝32a,
SD MQ ＝CD
MC
＝BD BP ＝31.
∴MQ ＝3
1SD ＝32
a,又∠PMQ ＝∠ADS.
∴cos ∠PMQ ＝cos ∠ADS ＝a a
221＝4
1
.
在ΔPMQ 中由余弦定理得 PQ 2
＝(
32a)2+(32a)2-2·32a ·32a ·41＝9
6a 2
. ∴PQ ＝
3
6
a. 评析：本题的关键是运用面面平行的判定和性质，结合平行线截比例线段定理，最后由余弦定理求得结果，综合性较强.
533. 已知：如图，α∥β，异面直线AB 、CD 和平面α、β分别交于A 、B 、C 、D 四点，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：(1)E 、F 、G 、H 共面；(2)面EFGH ∥平面α
.
证明 (1)∵E 、H 分别是AB 、DA 的中点，∴EH ∥21BD.同理FG ∥2
1
BD.∴FG ∥EH.∴四边形EFGH 是平行四边形，即E 、F 、H 、G 共面.
第一章立体几何初步测试题选择题答题表 一、选择题(每小题5分，共60分．) 1．下列说法准确的是( ) A．三点确定一个平面 B．四边形一定是平面图形 C．梯形一定是平面图形 D．平面α与平面β有不同在一条直线上的三个交点 2．两条异面直线不可能( ) A．同垂直于一条直线B．同平行于一条直线 C．同平行于一个平面D．与一条直线成等角 3．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是( ) A．b⊥αB．b∥α C．b⊥α或b∥αD．b与α相交或b⊥α或b∥α 4．设长方体的长、宽、高分别为2a, a, a,其顶点都在一个球面上，该球的表面积为( ) A．3π2a B．2 6aπ C．2 2a πD．2 24aπ 5．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的主视图与左视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( ) 6．用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题： ①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b. 其中真命题的序号是( ) A．①②B．②③ C．①④D．③④ 7．在空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，则有( ) A．面ABC⊥面DBC B．面ABC⊥面ADC C．面ABC⊥面ADB D．面ADC⊥面DBC 8．在正四面体P-ABC中，D,E,F分别是AB，BC，CA的中点，则下列结论中不成立的是( ) A．BC//平面PDF B．DF⊥平面PAE C．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
一、习题精选。 1、一堆小麦堆成圆锥形，底面周长是18. 84米，高1.8米，这堆小麦的体积是（）。 2、用边长为1分米的小正方体，拼成一个较大的正方体，至少需要（）个这样的小正方体，把这些小正方体排成一行，它的长度是（）分米。 3、一个圆柱体比和它等底等高的圆锥体体积大18立方厘米，那么圆柱体和圆锥体体积的和是（）。 4、一根长3米，底面半径5厘米的圆柱形木料锯成两段，表面积增加（）平方厘米或（）平方厘米。 5、一个长方形长15厘米，宽10厘米，以长边为轴旋转一周，会得到一个圆柱形，它的表面积是（）平方厘米，体积是（）立方厘米。 6、一个用立方块搭成的立体图形，淘气从前面看到的图形是，从上面看是，那么搭成这样一个立体图形最少要（）个小立方块。 7、一个半圆的周长是12.56厘米，将这个半圆扩大2倍，它的面积是（）平方厘米。 8、把一个棱长是0.5米的正方体钢坯，锻成横截面面积是10平方分米的长方体钢材。锻成的钢材长度为（）。 9、把一个高为18厘米的圆锥形容器盛满水，将这些水全部倒入和这个圆锥形容器等底的圆柱形容器里，水的高度是（）厘米。 二、判断题 1、圆柱的体积相当于圆锥体积的3倍。（） 2、一个圆柱体木料，把它加工成最大的圆锥体，削去的部分的体积和圆锥的体积比2：1. （） 3、一个圆柱和圆锥等底等高，体积相差21立方厘米，圆锥的体积是7立方厘米（） 4、正方体的棱长缩小一半后,体积比原来少一半。（） 5、一个长方体和一个圆柱，它们的体积和高都相等，那么，它们的底面积也相等。（） 三、选择题。 1、甲圆柱形容器底面半径是乙圆柱形容器底面半径的2倍(容器直立放置)。现以相同的流量同时向这两个容器内注入水，经过一定的时间，甲、乙两个容器内水面的高度的比是？(容器内的水都未加满) （） A.1∶2 B.2∶1 C.4∶1 D.1∶4 2、.如果一个长方体的长、宽、高都扩大3倍，则它的体积扩大( )倍。 A.3 B.9 C.27 3、一个长方体油箱，里面长60厘米，宽50厘米，高40厘米，这个油箱可以装油（） A.120升 B. 12升 C. 1.2升
一、选择题 (―)A1型题 1.下列属于人的生理环境范畴的是 A.大气污染 B.居室装修 C.人的呼吸功能 D.人的教育程度 E.宗教信仰 2.下列属于人的心理环境范畴的是 A.精神紧张程度 B.人的教育程度 C.大气污染程度 D.医院标识的情况 E.人的循环系统功能情况 3. 成年人肺泡总面积约为 A . 30m2 B. 50m2 C. 80m2 D. 100m2 E. 120m2 4.为了保证病人有适当的空间，医院病床之间的距离不少于 A.0.5m B.lm C.1.5m D. 2m E. 3m 5.病室最适宜的温度和相对湿度是 A.14-16℃,30%-40% B.16～ 18℃,40%～50% C.16～ 18℃,50%～60% D.18 ～ 22℃，50% ～ 60% E.22 - 24℃,60%-70% 6.病室的湿度过低病人会出现 A. 口渴咽痛 B.烦躁不安 C.肌肉紧张 D.头晕头痛 E.胸闷咳嗽 7.为了达到置换室内空气的目的,通风的时间一般应为 A.10分钟 B.15分钟 C.20分钟 D.25分钟 E.30分钟 8.下列病室通风的目的中不合适的是 A.保持室内空气的新鲜 B.调节室内的温度及湿度 C降低室内空气中的微生物的密度 D.减少热量散失 E增加病人舒适感 9.下列不属于医院社会环境调控范畴的是 A.人际关系 B.工作态度 C.病友关系 D医院规则 E.病室装饰 10.护士的基本任务 A.抢救生命 B.促进健康 C.预防疾病 D.恢复健康 E.减轻痛苦 11.以下有关噪声说法正确的是 A噪声的危害程度只与频率高低有关 B噪声耐受程度大多数人是一致的 C长时间处于90dB以上环境可造成永久失聪 D当噪声达到120dB以上才能对人产生干扰 E噪声耐受程度与过去生活环境及经历有关 12.下列关于光线对人的作用的是 A红外线能被皮肤吸收点及深部组织受到温热作用 B适量的日光照射，使人食欲增加，舒适愉快 C.紫外线有强大的杀菌作用 D.光线对人的心理无作用 E.可见光、红外线、紫外线，各种射线都有很强的生物学作用 13.下列关于医疗服务环境的描述正确的是
精品文档15周周末自主测试高一第立体几何初步测试题（一） 分，在每小题给出的四个选项中，只分，共6012小题，每小题5一、选择题：（本题共有一项是符合题目要求的））1、有一个几何体的三视图如下图 所示，这个几何体应是一个（ 俯视图左视图主视图 、都不对 D C、棱柱B、棱锥A、棱台）2、已知正方形的直观图是有一条边长为4的平行四边形，则此正方形的面积是（D、都不对、16或64 C、64 B A、16 ）3、下面表述正确的是（ B、分别在不同的三条直线上的三点确定一个平面A、空间任意三点确定一个平面 D、不共线的四点确定一个平面、直线上的两点和直线外的一点确定一个平面 C ）4、两条异面直线是指（ B、分别位于两个不同平面内的两条直线A、在空间内不相交的两条直线 D、不同在任一平面内的两条直线C、某平面内的一条直线和这个平面外的一条直线 下列命题中：①平行于同一直线的两平面平行②平行于同一平面的两平面平行③垂直5、）于同一直线的两平面平行④与同一直线成等角的两平面平行；正确的命题是（ 、②③④ D C、③④A、①②B、②③ ）6、下列命题中正确命题的个数是（ ①一条直线和另一条直线平行，那么它和经过另一条直线的任何平面平行；②一条直线平行于一个平面，则这条直线与这个平面内所有直线都没有公共点，因此这条直线与这个平面内的所有直线都平行；③若直线与平面不平行，则直线与平面内任一直线都不平行；④与一平面内无数条直线都平行的直线必与此平面平行。3 、D C、2 A、0 B、1 、一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面交线的位置关系是7 ）（A'C'、不确定 D C B、相交、平行、异
六年级第三讲——立体几何 A卷 1. 圆柱体的侧面展开，放平，是边长分别为10厘米和12厘米的长方形，那么这个圆柱体的体积是________立方厘米。(结果用π表示) 2. 如图，有一个圆柱和一个圆锥，它们的高和底面直径都标在图上，单位是厘米。那么，圆锥体积与圆柱体积的比是多少? 3. 如图，从长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长2米的正方形，然后，沿虚线折叠成长方体容器。这个容器的体积是多少立方厘米? 4. 如图，有一个边长是5的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是5，3，2的长方体，那么它的表面积减少了百分之几?
5. 有大、中、小3个正方形水池，它们的内边长分别是6米、3米、2米．把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了6厘米和4厘米．如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面升高了多少厘米？ 6. 有一个棱长是4厘米的正方体，从它的一个顶点处挖去一个棱长是1厘米的正方体后，剩下物体的体积和表面积各是多少？ 7. 把两个完全一样的长方体木块粘成一个大长方体，这个大长方体的表面积比原来两个长方体的表面积的和减少了46平方厘米，而长是原来长方体的2倍。如果拼成的长方体的长是24厘米，那么它的体积是多少立方厘米？
8. 把4块棱长都是2分米的正方体粘成一个长方体，它们的表面积最多会减少多少平方厘米？ 9.有24个正方体，每个正方体的体积都是1立方厘米，用这些正方体可以拼成几种不同的长方体？ 10.一个长方体，前面和上面的面积之和是209平方厘米，这个长方体的长、宽、高是以厘米为单位的数且都是质数。这个长方体的体积和表面积各是多少？
基础护理学试卷 一、以下每一道题下面有 A 、B 、C 、D 、 E 五个备选答案。请从中选择一个最佳答案 1、以人为中心，以护理程序为基础，以现代护理观为指南，对人实施从生理、心理、和社会各个方面的 护理，从而使人达到最佳健康状况是（） A、个案护理 B、功能制护理 C、小组护理 D、责任制护理 E、整体护理 2、王女士， 36 岁。因患乳腺癌接受了乳腺癌根治术，病人术后常有自卑感，不愿见人。护士应特别注意 满足病人的哪一方面的需要（） A、生理的需要 B、安全的需要 C、爱与归属的需要 D、尊重的需要 E、自我实现的需要 3、欣女士，住院期间对探视的儿子抱怨说，在病房里无报纸、无人谈话，感觉特别寂寞和孤独。引起抱 怨的压力源可能是（） A、环境陌生 B、疾病威胁 C、不被重视 D、丧失自尊 E、缺少信息 4、刘先生，35 岁，车祸，外伤出血 1000ml，发生出血性休克，此时应首先满足病人哪一层次的需要（） A、生理的需要 B、安全的需要 C、爱与归属的需要 D、尊重的需要 E、自我实现的需要 5、王某，教师，大面积心肌梗死入院。因担心所带高三毕业班的学习，不能安心在医院接受治疗。病人 的角色适应属于（） A、角色行为缺如 B、角色行为冲突 C、角色行为强化 D、角色行为消退 E、角色行为固有 6、廖女士， 55 岁，胆结石，次日于硬膜外麻醉下行胆囊切除手术，术前病人病情稳定，术前准备工作已 做好，仍焦虑不安，忧郁不定，是因为病人哪方面需要未被满足（） A、生理的需要 B、安全的需要 C、爱与归属的需要 D、尊重的需要 E、自我实现的需要 7、郎女士， 26 岁，妊娠 39+5 周，于 6:45 正常分娩。 14： 00 病人主诉腹胀、腹痛。视诊：下腹膀胱区 隆起 ;叩诊：耻骨联合上鼓音。病人存在的健康问题是（） A、分娩后疼痛 B、体液过多 C、排尿异常 D、尿潴留 E、有子宫内膜感染的可能 8、李同学， 29 岁。因患急性心肌炎人院，护士在进行评估收集资料，其中属于主观资料的是（） A、心动过速、发热 B、感觉心慌、发热 C、心悸、气促、浑身不适 D、气促、心动过速、发热 E、气促、感觉心慌、心率快 9、张先生， 34 岁，昏迷。评估确认病人存在以下护理问题，优先应解决问题是（） A、便秘 B、语言沟通障碍 C、清理呼吸道无效 D、皮肤完整性受损 E、营养失调，低于机体需要量 10、卫先生， 45 岁，肾病综合征，入院 3 天，常观察或用语言检验护士的可信任度。则其和护士之间的 护患关系处于哪一阶段（） A、开拓期 B、初期 C、工作期 D、解决期 E、结束期 11、宏太太， 39，肿瘤晚期，全身极度衰竭，意识模糊，护士与其交流时应使用何种距离（） A、亲密距离 B、个人距离 C、社会距离 D、工作距离 E、公众距离 12、赵先生 ,49 岁，某公司总监，因冠心病心肌梗塞发作12 小时后入院，病情基本稳定，在沟通开始阶段，护士应采取的方法是（） A、直呼病人姓名 B、不必介绍自己 C、直接进入交流的正题 D、说明交谈的目的和所需时间 E、对患者表示感谢 13、宋先生， 53 岁，脑出血，经过治疗后病情稳定，但仍遗留下肢运动障碍，行走不便，给予下肢功能 康复锻炼。根据健康系统模式，此种护理干预属于哪级预防（） A、初级预防 B、一级预防 C、二级预防 D、三级预防 E、四级预防 14、霍女士， 65 岁，脑血管意外，长期卧床，无自理能力，根据奥瑞姆的自理模式，这时护士提供的护 理应属于何种补偿系统（） A、全补偿系统 B、部分补偿系统 C、支持系统 D、教育系统 E、辅助系统 15、张某某，男，门脉高压大量呕血急诊入院，护士安排于危重病室卧于床上后需立即（） A、填写病历有关楣栏 B、测量血压、呼吸、脉搏 C、介绍环境 D、通知医生 E、准备抢救物品 16、发药的注意事项有错误的是（） A、严格执行查对制度 B、发药前了解病员的情况 C、如因特殊情况可提前发给病员 D、病员提出疑问时，应重新核对无误后再给药 E、随意发
《立体几何初步》测试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题6分，共60分） 1. 在空间四点中，无三点共线是四点共面的是（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件 2. 若a ∥b ，A c b =?，则c a ,的位置关系是（ ） A.异面直线 B.相交直线 C.平行直线 D.相交直线或异面直线 3．圆锥的侧面展开图是直径为a 的半圆面，那么此圆锥的轴截面是 （ ） A ．等边三角形 B ．等腰直角三角形 C ．顶角为30°的等腰三角形 D ．其他等腰三角形 4. 已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是 一个底边长为8、高为4的等腰三角形，左视图是一个底边 长为6、高为4的等腰三角形．则该几何体的体积为（ ） A 48 B 64 C 96 D 192 5. 长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8 个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ） A ．25π B ．50π C ．125π D ．都不对 6. 已知正方体外接球的体积是323 π，那么正方体的棱长等于 （ ） A 3 C 3 3 7. 若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（ ） A ．若//,,l n αβαβ??，则//l n B ．若,l αβα⊥?，则l β⊥ C. 若,//l l αβ⊥，则αβ⊥ D ．若,l n m n ⊥⊥，则//l m
8. 如图，在正方体1111ABC D A B C D -中，E F G H ，，， 分别为1A A ，A B ，1B B ，11B C 的中点，则异面直线E F 与 G H 所成的角等于（ ） Ａ．45° Ｂ．60° Ｃ．90° Ｄ．120° 9. 已知两个平面垂直，下列命题 ①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线； ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线； ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面； ④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面. 其中正确的个数是（ ） A.3 B.2 C.1 D.0 10. 平面α与平面β平行的条件可以是（ ） A.α内有无穷多条直线与β平行； B.直线a//α,a//β C.直线a α?,直线b β?,且a//β,b//α D.α内的任何直线都与β平行 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 11. 直观图（如右图）中，四边形O ′A ′B ′C ′为 菱形且边长为2cm ，则在xoy 坐标中四边形ABCD 为 _ ____，面积为______cm 2． 12. 长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=2，BC=3，AA 1=5，则一只小虫从A 点沿 长方体的表面爬到C 1点的最短距离是 ． 13. 已知直线b//平面α，平面α//平面β，则直线b 与β的位置关系为 . 14. 正方体的内切球和外接球的半径之比为＿＿＿＿＿ 15. 如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB=?90，PA ⊥平面ABC ，此图形中有 个直角三角形 16. 将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A －BD －C ，有如下四个结论：（1）AC ⊥BD ； （2）△ACD 是等边三角形 （3）AB 与平面BCD 所成的角为60°；（4）AB 与CD 所成的角为60°。 其中正确结论的序号为＿＿＿＿ 三、解答题（本大题共4小题，共60分） 17.（10分）如图，PA ⊥平面ABC ，平面PAB ⊥平面PBC 求证：AB ⊥BC A F D B C G E 1B H 1C 1D 1 A A B C P D'C' B' A'O' Y'X'
立体几何 G5 空间中的垂直关系 18．、[2014·广东卷] 如图1-4，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E. (1)证明：CF⊥平面ADF； (2)求二面角D- AF- E的余弦值． 图1-4 19．、[2014·湖南卷] 如图1-6所示，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD ＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形． (1)证明：O1O⊥底面ABCD； (2)若∠CBA＝60°，求二面角C1-OB1-D的余弦值． 19．解：(1)如图(a)，因为四边形ACC1A1为矩形，所以CC1⊥AC.同理DD1⊥BD. 因为CC1∥DD1，所以CC1⊥BD.而AC∩BD＝O，因此CC1⊥底面ABCD. 由题设知，O1O∥C1C.故O1O⊥底面ABCD. (2)方法一：如图(a)，过O1作O1H⊥OB1于H，连接HC1. 由(1)知，O1O⊥底面ABCD O1O⊥A1C1. 又因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等，所以四边形A1B1C1D1是菱形， 因此A1C1⊥B1D1，从而A1C1⊥平面BDD1B1，所以A1C1⊥OB1，于是OB1⊥平面O1HC1. 进而OB1⊥C1H.故∠C1HO1是二面角C1-OB1-D的平面角．
不妨设AB ＝2.因为∠CBA ＝60°，所以OB ＝3，OC ＝1，OB 1＝7. 在Rt △OO 1B 1中，易知O 1H ＝OO 1·O 1B 1OB 1＝237.而O 1C 1＝1，于是C 1H ＝O 1C 21＋O 1H 2 ＝ 1＋12 7 ＝ 197 . 故cos ∠C 1HO 1＝O 1H C 1H ＝ 23 7197 ＝25719. 即二面角C 1-OB 1-D 的余弦值为257 19 . 方法二：因为四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，所以四边形ABCD 是菱形，因此AC ⊥BD .又O 1O ⊥底面ABCD ，从而OB ，OC ，OO 1两两垂直． 如图(b)，以O 为坐标原点，OB ，OC ，OO 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系O -xyz ，不妨设AB ＝2.因为∠CBA ＝60°，所以OB ＝3，OC ＝1，于是相关各点的坐标为O (0，0，0)， B 1(3，0，2)， C 1(0，1，2)． 易知，n 1＝(0，1，0)是平面BDD 1B 1的一个法向量． 设n 2＝(x ，y ，z )是平面OB 1C 1的一个法向量，则?????n 2·OB →1＝0，n 2·OC →1＝0，即???3x ＋2z ＝0， y ＋2z ＝0. 取z ＝－3，则x ＝2，y ＝23，所以n 2＝(2，23，－3)． 设二面角C 1-OB 1-D 的大小为θ，易知θ是锐角，于是 cos θ＝|cos 〈，〉|＝??????n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝2319＝25719. 故二面角C 1-OB 1-D 的余弦值为25719 . 19． 、、[2014·江西卷] 如图1-6，四棱锥P - ABCD 中，ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD . 图1-6 (1)求证：AB ⊥PD .
2014年六年级数学思维训练：立体几何 一、兴趣篇 1．一个长方体的长、宽、高分别为3厘米、2厘米、1厘米．若它的棱长总和等于另一个正方体的棱长总和，则长方体与正方体的表面积之比是多少？长方体体积比正方体体积少多少立方厘米？ 2．如图，将长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长为2厘米的正方形，然后沿虚线折叠成长方体容器．这个容器的体积是多少立方厘米？如果四角去掉边长为3 厘米的正方形呢？ 3．用棱长是1厘米的小立方体拼成如图所示的立体图形，这个图形的表面积是多少平方厘米？ 4．（1）如图1，将一个棱长为6的正方体从某个角切掉一个长、宽、高分别为4、3、5的长方体，剩余部分的表面积是多少？ （2）如图2，将一个棱长为5的正方体，从左上方切去一个长、宽、高分别为5、4、3的长方体，它的表面积减少了百分之几？ 5．（2013?北京模拟）如图是一个边长为2厘米的正方体．在正方体的上面的正中向下挖一 个边长为1厘米的正方体小洞；接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前两个相同，边长为厘米．那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？
6．（2012?北京模拟）（1）如图，将4块棱长为1的正方体木块排成一排，拼成一个长方体．那么拼合后这个长方体的表面积，比原来4个正方体的表面积之和少了多少？ （2）一个正方体形状的木块，棱长为1，如图所示，将其切成两个长方体，这两部分的表面积总和是多少？如果在此基础上再切4刀，将其切成大大小小共18块长方体．这18块长方体表面积总和又是多少？ 7．这里有一个圆柱和一个圆锥（如图），它们的高和底面直径都标在图上，单位是厘米．请回答：圆锥体积与圆柱体积的比是多少？ 8．如图，一块三层蛋糕，由三个高都为1分米，底面半径分别为1.5分米、1分米和0.5分米的圆柱体组成．请问： （1）这个蛋糕的表面积是多少平方分米？（л取3.14） （2）如果沿经过中轴线AB的平面切一刀，将该蛋糕分成完全相同的两部分，那表面积之和又是多少？ 9．有大、中、小三个立方体水池，它们的内部棱长分别是6米、3米、2米，三个池子都装了半池水．现将两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了6厘米和4厘米．如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面会升高多少厘米？（结果精确到小数点后两位） 10．有一个高24厘米，底面半径为10厘米的圆柱形容器，里面装了一半水，现有一根长30厘米，底面半径为2厘米的圆柱体木棒．将木棒竖直放入容器中，使棒的底面与容器的底面接触，这时水面升高了多少厘米？ 二、拓展篇
立体几何初步测试题 1.如图，设A 是棱长为a 的正方体的一个顶点，过从此顶点出发的三条棱的中点作截面，截面与正方体各面共同围成一个多面体，则关于此多面体有以下结论，其中错误的是( ) A ．有10个顶点 B ．体对角线AC 1垂直于截面 C ．截面平行于平面CB 1 D 1 D ．此多面体的表面积为47 8 a 2 解析 此多面体的表面积S ＝6a 2－3×12×12a ×12a ＋12×22a ×22a ×32＝45 8a 2 ＋ 38a 2＝45＋38 a 2 .故选D 2．(2012·福建宁德二模)如图是一个多面体的三视图，则其全面积为( ) A.3 B.3 2＋6 C.3＋6 D.3＋4 解析 由几何体的三视图可得，此几何体是正三棱柱，其全面积为S ＝3×(2)2 ＋2×1 2×(2)2×sin60°＝6＋ 3.故选C. 3．(2012·江西抚州一中模拟)如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是( ) A ．22π B ．12C ．4π＋24 D ．4π＋32 解析 由几何体的三视图可得，此几何体是上面一个球、下面一个长方体组成的几何体，此几何体的表面积S ＝4π×12＋2×2×2＋8×3＝4π＋32.故选D. 5．(2012·江苏启东中学模拟)一个与球心距离为1的平面截球体所得的圆面面积为π，则球的体积为( ) A.82π 3 B.8π3 C.32π3 D ．8π
解析 由题意，球的半径为R ＝12＋12＝2，故其体积V ＝4 3π(2)3＝82π 3，选A. 6．(2012·福建福鼎一中模拟)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，E 是AD 的中点，则异面直线C 1E 与BC 所成的角的余弦值是( ) A.105 B.1010 C.13 D.223 解析 因为BC ∥B 1C 1，故∠EC 1B 1即为异面直线C 1E 与BC 所成的角，在△EB 1C 1中，由余弦定理可得结果，选C. 8.(2012·安徽皖南八校联考)设m ，n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题： ① ???? ?α∥βα∥γ?β∥γ；② ???? ?α⊥β m ∥α?m ⊥β；③ ? ??? ?m ⊥αm ∥β?α⊥β；④ ? ??? ?m ∥n n ?α?m ∥α.其中正确的命题是( ) A ．①④ B ．②③ C ．①③ D ．②④
立体几何大题专练 1、如图，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别为AB 、PC 的中点； (1)求证：MN//平面PAD (2)若∠PDA=45°，求证：MN ⊥平面PCD 2（本小题满分12分） 如图，在三棱锥P ABC -中，,E F 分别为,AC BC 的中点． （1）求证：//EF 平面PAB ； （2）若平面PAC ⊥平面ABC ，且PA PC =，90ABC ∠=?， 求证：平面PEF ⊥平面PBC ． P A C E B F
（1）证明：连结EF , E 、F 分别为AC 、BC 的中点， //EF AB ∴. ……………………2分 又?EF 平面PAB ，?AB 平面PAB ， ∴ EF ∥平面P AB . ……………………5分 （2）PA PC = ，E 为AC 的中点， PE AC ∴⊥ ……………………6分 又 平面PAC ⊥平面ABC PE ∴⊥面ABC ……………………8分 PE BC ∴⊥……………………9分 又因为F 为BC 的中点， //EF AB ∴ 090,BC EF ABC ⊥∠=∴ ……………………10分 EF PE E = BC ∴⊥面PEF ……………………11分 又BC ? 面PBC ∴面PBC ⊥面PEF ……………………12分 3. 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC=BC ，点D 是AB 的中点。 （1）求证：BC 1//平面CA 1D ； （2）求证：平面CA 1D⊥平面AA 1B 1B 。 4．已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是 AB 、PC 的中点． (1) 求证：EF ∥平面PAD ； (2) 求证：EF ⊥CD ； (3) 若∠PDA ＝45°，求EF 与平面ABCD 所成的角的大小．
高一立体几何初步练习 题 Corporation standardization office #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8
立体几何训练题 一、选择题：每题4分，共40分. 1． 下列图形中，不是正方体的展开图的是----------------------------- （ ） A B C D 2.已知直线//m α平面，直线n 在α内，则m n 与的关系为（ ） A 平行 B 相交 C 相交或异面 D 平行或异面 3．设A 1A 是正方体的一条棱，这个正方体中与A 1A 平行的棱共有（ ） A 1条 B 2条 C 3 条 D 4条 4 , 则长方体的对角线的长等于（ ） A 5．如图，如果MC ⊥菱形ABCD 所在平面，那么MA 与BD 的位置关系是（ ） A 平行 B 垂直相交 C 异面 D 相交但不垂直 C A B M 6．下列条件中，能判断两个平面平行的是（ ） A 一个平面内的一条直线平行于另一个平面； B 一个平面内的两条直线平行于另一个平面； C 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面； D 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 7.已知直线m ⊥平面α，直线n 平面β，下列说法正确的是( ) A 若 a ⊥⊥⊥ ⊥ 4π380cm 3112cm 356cm 3 336cm 1 2 5310 3 2acm 12.已知直线a ，b ，平面α，β，有下列命题： （1）若a ⊥⊥⊥⊥ 在公路旁有一条河，河对岸有高为24m 的塔AB ，当公路与塔底点B 都在水平面上时，如果只有测角器和皮尺作测量工具，塔顶与道路的距离________
第一章 空间几何体 [基础训练A 组] 一、选择题 1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( ) A.棱台 B.棱锥 C.棱柱 D.都不对 2．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ） 3．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在 同一球面上，则这个球的表面积是（ ） A ．25π B ．50π C ．125π D ．都不对 4．正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ） A B 2 C ． 5．在△ABC 中，02, 1.5,120AB BC ABC ==∠=,若使绕直线BC 旋转一周， 则所形成的几何体的体积是（ ） A. 92π B. 72π C. 52π D. 32 π 6．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长 分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是（ ） A ．130 B ．140 C ．150 D ．160 二、填空题 1．一个棱柱至少有 _____个面，面数最少的一个棱锥有 ________个顶点， 顶点最少的一个棱台有 ________条侧棱。 2．若三个球的表面积之比是1:2:3，则它们的体积之比是_____________。 3．正方体1111ABCD A BC D - 中，O 是上底面ABCD 中心，若正方体的棱长为a ， 则三棱锥11O AB D -的体积为_____________。 4．如图，,E F 分别为正方体的面11A ADD 、面11B BCC 的中心，则四边形 E BFD 1在该正方体的面上的射影可能是____________。 5．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，这个 长 方体的对角线长是___________；若长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3,5,15，则它的体积为___________. 三、解答题 1．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用） ，已建的仓库的 主视图 左视图 俯视图
题型：单选、名解、简答、论述（参见课后题） 基础护理学综合试题（一） 一、A型选择题：（每题1分，共25分，请在五个备选答案中先一个最佳的） 1．下列沟通技巧中不属于倾听技巧的是 A．参与 B．复述 C．澄清 D．反映 E．触摸【答案】E 2．按马斯洛的人类基本需要层次，护士应首先满足 A．生理需要 B．爱的需要 C．安全的需要 D．自我实现的需要 E．自尊的需要【答案】A 3．压力源对机体造成的影响大小，关键是个体的 A．年龄大小 B．地位高低 C．承受能力 D．性别不同 E．文化层次【答案】C 4．有关护理目标（预期结果）的叙述，错误的是 A．病人2周后可以拄着拐杖走路 B．护士在出院前教会产妇给婴儿洗澡 C．病人在7天内会安全地给自己注射胰岛素 D．病人在3天内学会测定尿蛋白 E．病人2周内体重增加05kg 【答案】B 5．根据国际标准，病区的声音强度宜控制在多少分贝左右 A．15～20 B．25～30 C．30～35 D．40～45 E．35～40 【答案】E 6．急救药品和各种抢救设备，应做到“五定”，其中不包括 A．定人、定点 B．定数量、品种 C．定期检查、维修 D．定期消毒、灭菌 E．定时间使用【答案】E 7．病人王某因车祸，而造成下肢开放性骨折，大量出血，至急诊室，在医生来到之前，值班护士首先应 A．详细询问发生车祸的原因 B．向保卫部门报告 C．给患者注射镇静剂、止血剂 D．劝耐心等候医生处理 E．给患者止血、测血压，建立静脉通道【答案】E 8．中凹卧位适用于下列哪种病人 A．昏迷 B．腹部检查 C．心肺疾患 D．休克 E．全身麻醉 E．减轻切口缝合处的张力【答案】D 9．有关保护具的应用，错误的一项是 A．使用前向病人家属解释清楚 B．安置舒适的位置，常更换卧位 C．扎紧约束带，定期按摩 D．将枕头横立床头，以免头部撞伤 E．床档必须两侧同时应用【答案】C 10．现有一治疗室长6m，宽5m，高4m，用2%过氧乙酸进行空气消毒，请问其用量是 A．240ml B．360ml C．480ml D．720ml E．960ml 【答案】D 11．用平车护送伤寒病人摄片、正确的方法 A．协助病人卧于平车上后、再盖上一条清洁大单 B．铺清洁大单于平车上、协助其卧上 C．将病人床单铺在平车上、协助其卧上 D．协助病人直接卧于平车上 E．病人更换清洁衣裤后、卧于平车上【答案】B 12．应执行严密隔离的疾病是 A．肺结核 B．伤寒 C．传染性肝炎 D．SARS E．流行性乙型脑炎【答案】D 13．昏迷病人做口腔护理时禁忌 A．用血管钳夹紧棉球擦拭 B．棉球蘸漱口水不过湿 C．取下义齿浸泡在清水中 D．用张口器 E．漱口【答案】E 14．发生褥疮的最主要原因是 A．局部组织受压过久 B．机体营养不良 C．病原菌侵入皮肤组织 D．皮肤破损 E．皮肤受潮湿磨擦刺激【答案】A 15．张某，男，68岁，两周前因肺炎入院，用抗生素治疗，近日发现口腔粘膜破溃，并附着白色膜状物，用棉签拭去附着物可见基底部轻微出血，无疼痛，请判别口腔感染的类型 A．维生素缺乏 B．霉菌感染 C．凝血功能障碍 D．病毒感染 E．绿脓杆菌感染【答案】
一、选择题 1．在四面体S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，9021ABC SA AC AB ?∠====,,，则该四 面体的外接球的表面积为（ ） A ． 23 π B ． 43 π C ．4π D ．5π 2．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若αβ⊥，m β⊥，则//m α B ．若//m α，n m ⊥，则n α⊥ C ．若//m α，//n α，m β?，n β?，则//αβ D ．若//m β，m α?，n α β=，则//m n 3．已知四棱锥S ABCD -的底面为矩形，SA ⊥底面ABCD ，点E 在线段BC 上，以AD 为直径的圆过点E .若33SA AB ==，则SED ?的面积的最小值为（ ） A ．9 B ．7 C ． 92 D ． 72 4．正三棱柱有一个半径为3cm 的内切球，则此棱柱的体积是（ ）. A ．393cm B ．354cm C ．327cm D ．3183cm 5．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，13,2,4AA AB AD ===，点M 是棱AD 的中点，点N 在棱1AA 上，且满足12AN NA =，P 是侧面四边形11ADD A 内的一动点（含边界），若1//C P 平面CMN ，则线段1C P 长度的取值范围是（ ） A ．17] B ．[2,3] C ．6,22] D ．[17,5] 6．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，若,,,E F G H 分别是棱111111,,,A B BB CC C D 的中点，则必有（ ）
立体几何题型分类解答 第一节空间简单几何体的结构与三视图、直观图 及其表面积和体积 一、选择题 1．(2009年绵阳月考)下列三视图所对应的直观图是( ) 2．(2010年惠州调研)下列几何体(如下列图)各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( ) A．①②B．①③C．①④D．②④ 3．如下图所示，甲、乙、丙是三个立体图形的三视图，甲、乙、丙对应的标号正确的是( ) ①长方体②圆锥③三棱锥④圆柱 A．④③② B．②①③ C．①②③ D．③②④ 4．(2009年常德模拟)用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如下图所示，则它的体积的最小值与最大值分别为( ) A．9与13 B．7与10 C．10与16 D．10与15 5．(2009年山东卷)一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A ．2π＋2 3 B ．4π＋2 3 C ．2π＋233 D ．4π＋23 3 二、填空题 6．在下列图的几何体中，有________个是柱体． 7．(2009年全国卷)直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各顶点都在同一球面上，若AB ＝AC ＝AA 1＝2，∠BAC＝120°，则此球的表面积等于__________． 8．一个长方体共顶点的三个面的面积分别为2、3、6，这个长方体对角线的长是________． 三、解答题 9.如右图所示，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝3，AA 1＝4，M 为AA 1的中点，P 是BC 上一点，且由P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到M 的最短路线长为29，设这条最短路线与CC 1的交点为N.求： (1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长； (2)PC 和NC 的长． 10.一几何体的表面展开图如右图，则这个几何体是哪一种几何体？选择适当的角度，画出它水平放置时的直观图与三视图．并计算该几何体的体积． 参考答案 1．C 2．解析：正方体的三视图都相同，而三棱台的三视图各不相同，正确答案为D.
《立体几何初步》测试题 一、选择题(本大题共10小题,每小题6分,共60分） 1. 在空间四点中，无三点共线是四点共面的是( ) A ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件 ２. 若a ∥b ,A c b =?，则c a ,的位置关系是( ) A.异面直线 B.相交直线 C.平行直线 D ．相交直线或异面直线 3.圆锥的侧面展开图是直径为a 的半圆面，那么此圆锥的轴截面是 （ ） A.等边三角形 B.等腰直角三角形 C ．顶角为３0°的等腰三角形 Ｄ．其他等腰三角形 4. 已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是 一个底边长为8、高为4的等腰三角形,左视图是一个底边 长为6、高为4的等腰三角形．则该几何体的体积为（ ) Ａ 48 B 64 C 9６ D 1９2 5． 长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5,且它的8 个顶点都在同一球面上,则这个球的表面积是（ ） A.25π B ．50π Ｃ．125π D.都不对 6． 已知正方体外接球的体积是323π,那么正方体的棱长等于 ( ） ?Ａ 22 B 233 Ｃ 423 Ｄ 433 7. 若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面,则下列命题中为真命题的是( ） Ａ.若//,,l n αβαβ??,则//l n B.若,l αβα⊥?，则l β⊥ C ． 若,//l l αβ⊥，则αβ⊥ D.若,l n m n ⊥⊥，则//l m
8． 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E F G H ，，， 分别为1AA ，AB ,1BB ,11B C 的中点,则异面直线EF 与 GH 所成的角等于( ) A ．45° ?Ｂ.60° Ｃ.90° Ｄ.１20° 9． 已知两个平面垂直,下列命题 ①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线； ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线； ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面； ④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面. 其中正确的个数是（ ) A ．3 B.２ C.1 Ｄ.0 10． 平面α与平面β平行的条件可以是( ) Ａ.α内有无穷多条直线与β平行； B ．直线ａ/／α,a ／/β C ．直线a α?,直线ｂβ?,且ａ//β,b//α D.α内的任何直线都与β平行 二、填空题（本大题共６小题,每小题5分，共30分) 11. 直观图(如右图）中,四边形O ′A ′B ′C ′为 ?菱形且边长为2cm ，则在x ｏy 坐标中四边形ABC Ｄ 为 ＿ ____，面积为＿＿____cm 2． 1２. 长方体ＡBCD —A 1B 1C １D 1中,AB ＝２，BC ＝３，A Ａ１=5，则一只小虫从A 点沿长方体的表面爬到C 1点的最短距离是 . １3. 已知直线ｂ/／平面α,平面α//平面β，则直线b 与β的位置关系为 . 14. 正方体的内切球和外接球的半径之比为___＿＿ 1５. 如图，△ＡBC 是直角三角形,∠ACB=?90,ＰＡ⊥平面ABC ，此图形中有 个直角三角形 16. 将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角Ａ－BD-C ，有如下四个结论: （1）A Ｃ⊥BD; (2)△ＡCD 是等边三角形 （3）AB 与平面ＢC Ｄ所成的角为６０°;（4）AB 与ＣD 所成的角为60°。 其中正确结论的序号为_＿＿_ 三、解答题(本大题共４小题,共6０分) １7.(1０分）如图,PA ⊥平面A ＢＣ,平面ＰAB ⊥平面P ＢC 求证:A Ｂ⊥B Ｃ A F D B G E 1B H 1C 1D 1A A B C P D'C'B'A'O'Y'X'
立体几何 内容提要 板块一、基本立体图形认知 板块二、立体染色及最短线路问题 板块三、套模法、切片法及立体旋转问题 立体图形 表面积 体积 6 62?a ＝个面的面积和3 2a a a =?=?高底面积) (26bc ac ab ++＝个面的面积和abc c ab =?=?高 底面积rh r ππ＝侧面积两个底面积222++h r h r 22ππ高底面积=?=?rl r π＝π侧面积底面积++2h r h r 223 1 3131 ππ高底面积=?=?r 2 4r π使劲记住：3 3 4r π使劲记住：
例1 右图是一个直圆柱形状的玻璃杯，一个长为12厘米的直棒状细吸管(不考虑吸管粗细)放在玻璃杯内。当吸管一端接触圆柱下底面时，另一端沿吸管最少可露出上底面边缘2厘米，最多能露出4厘米。则这个玻璃杯的容积为________立方厘米。(取π=3.14) C A B 例2 铁路油罐车由两个半球面和一个圆柱面钢板焊接而成，尺寸如下图所示。问：该油罐车的容积是多少立方米？(π=3.14)
例3 (2005年第十届华杯赛初赛) 图中是一个直三棱柱的表面展开图，其中，黄色和绿色的部分都是边长等于1的正方形。问这个直三棱柱的体积是多少？ 黄 绿 例4 下图是半个圆柱的表面展开图，由两个半圆和两个长方形组成，总面积是a，圆柱底面半径是 r。用a，r和圆周率 所表示的这个半圆柱的体积的式子是 __________。
例5 (2006年香港数学奥林匹克竞赛) 如下图给出了一个立体图形的正视图、左视图和俯视图，图中单位为厘米。立体图形的体积()立方厘米。 A.2π B.2.5π C.3π D.3.5π 例6 如图，厚度为0.25毫米的铜版纸被卷成一个空心圆柱(纸卷得很紧，没有空隙)，它的外直径是180厘米，内直径是50厘米。这卷铜版纸的总长是多少米？(π=3.14)