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2021年中考数学压轴题全揭秘下专题12圆的有关性质与计算试题

2021年中考数学压轴题全揭秘下专题12圆的有关性质与计算试题
2021年中考数学压轴题全揭秘下专题12圆的有关性质与计算试题

专题12 圆的有关性质与计算

【典例分析】

【考点1】垂径定理

【例1】(2019·湖北中考真题)如图,一条公路的转弯处是一段圆弧,点O是这段弧所在圆的圆心,=,点C是AB的中点,且10

=,则这段弯路所在圆的半径为()

CD m

AB m

40

A.25m B.24m C.30m D.60m

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题意,可以推出AD=BD=20,若设半径为r,则OD=r﹣10,OB=r,结合勾股定理可推出半径r的值.【详解】

解:OC AB ⊥,

20AD DB m ∴==,

在Rt AOD ?中,222OA OD AD =+,

设半径为r 得:()2

221020r r =-+,

解得:25r m =, ∴这段弯路的半径为25m

故选:A .

【点睛】

本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用,关键在于设出半径为r 后,用r 表示出OD 、OB 的长度.

【变式1-1】(2019·四川中考真题)如图,AB ,AC 分别是⊙O 的直径和弦,OD AC ⊥于点D ,连接BD ,BC ,且10AB =,8AC =,则BD 的长为( )

A .25

B .4

C .13

D .4.8

【答案】C

【解析】

【分析】 先根据圆周角定理得∠ACB=90°,则利用勾股定理计算出BC=6,再根据垂径定理得到

142

CD AD AC ==

=,然后利用勾股定理计算BD 的长. 【详解】 ∵AB 为直径,

∴90ACB ?∠=, ∴22221086BC AB AC =-=-,

∵OD AC ⊥, ∴142

CD AD AC ===,

在Rt CBD ?中,2246213BD =

+=. 故选C .

【点睛】

本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.也考查了垂径定理.

【变式1-2】(2019·四川中考真题)如图,O 的直径AB 垂直于弦CD ,垂足是点E ,22.5CAO ∠=,6OC =,则CD 的长为( )

A .62

B .32

C .6

D .12

【答案】A

【解析】

【分析】 先根据垂径定理得到CE DE =,再根据圆周角定理得到245BOC A ∠=∠=,可得OCE ?为等腰直角三角形,所以2322CE =

=CD 的长. 【详解】

∵CD AB ⊥,AB 为直径,

∴CE DE =,

∵∠BOC 和∠A 分别为BC 所对的圆心角和圆周角,∠A=22.5°,

∴2222.545BOC A ∠=∠=?=,

∴OCE ?为等腰直角三角形,

∵OC=6,

∴2263222

CE === ∴262CD CE ==

故选A .

【点睛】

本题考查了垂径定理及圆周角定理,在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半;垂直于弦的直径,平分这条弦且平分这条弦所对的两条弧.

【考点2】弧、弦、圆心角之间的关系

【例2】(2019·四川自贡中考真题)如图,⊙O 中,弦AB 与CD 相交于点E ,AB CD =,连接AD BC 、. 求证:⑴AD BC =;

⑵AE CE =.

【答案】(1)见解析;(2)见解析.

【解析】

【分析】

(1)由AB=CD 知=AB CD ,即AD AC BC AC +=+,据此可得答案;

(2)由AD BC =知AD=BC ,结合∠ADE=∠CBE,∠DAE=∠BCE 可证△ADE≌△CBE,从而得出答案.

【详解】

证明(1)∵AB=CD,

∴=AB CD ,即AD AC BC AC +=+,

∴AD BC =;

(2)∵AD BC =,

∴AD=BC,

又∵∠ADE=∠CBE,∠DAE=∠BCE,

∴△ADE≌△CBE(ASA ),

∴AE=CE.

【点睛】

本题主要考查圆心角、弧、弦的关系,圆心角、弧、弦三者的关系可理解为:在同圆或等圆中,①圆心角相等,②所对的弧相等,③所对的弦相等,三项“知一推二”,一项相等,其余二项皆相等.

【变式2-1】(2018·黑龙江中考真题)如图,在⊙O中,,AD⊥OC于D.求证:AB=2AD.

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】

延长AD交⊙ O于E,可得、AB=AE,可得出结论.

【详解】

延长AD交⊙O于E,

∵OC⊥AD,

∴,AE=2AD,

∵,

∴,

∴AB=AE,

∴AB=2AD.

【点睛】

本题主要考查垂径定理及弧、弦、圆心角之间的关系,灵活做辅助线是解本题的关键.

【变式2-2】(2019·江苏中考真题)如图,⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P,且AB=CD.求证PA=PC.

【答案】见解析.

【解析】

【分析】

连接AC,由圆心角、弧、弦的关系得出AB CD

=,根据等弧所对的圆周角相等得出

=,进而得出AD CB

∠C=∠A,根据等角对等边证得结论.

【详解】

解:如图,连接AC.

=,

∵AB CD

∴AB CD

=.

∴AB BD CD DB

=.

+=+,即AD CB

∠=∠.

∴C A

=.

∴PA PC

【点睛】

本题考查了圆心角、弧、弦的关系,圆周角定理,等腰三角形的判定等,熟练掌握性质定理是解题的关键.【考点3】圆周角定理及其推论

【例3】(2019·陕西中考真题)如图,AB是⊙O的直径,EF,EB是⊙O的弦,且EF=EB,EF与AB交于点C,连接OF,若∠AOF=40°,则∠F的度数是()

A.20°B.35°C.40°D.55°

【答案】B

【解析】

【分析】

连接FB,由邻补角定义可得∠FOB=140°,由圆周角定理求得∠FEB=70°,根据等腰三角形的性质分别求出∠OFB、∠EFB的度数,继而根据∠EFO=∠EBF-∠OFB即可求得答案.

【详解】

连接FB,

则∠FOB=180°-∠AOF=180°-40°=140°,

∴∠FEB=1

2

∠FOB=70°,

∵FO=BO,

∴∠OFB=∠OBF=(180°-∠FOB)÷2=20°,

∵EF=EB,

∴∠EFB=∠EBF=(180°-∠FEB)÷2=55°,

∴∠EFO=∠EBF-∠OFB=55°-20°=35°,

故选B.

【点睛】

本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质等知识,正确添加辅助线,熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.

【变式3-1】(2019·北京中考真题)已知锐角∠AOB如图,(1)在射线OA上取一点C,以点O为圆心,OC 长为半径作PQ,交射线OB于点D,连接CD;

(2)分别以点C,D为圆心,CD长为半径作弧,交PQ于点M,N;

(3)连接OM,MN.

根据以上作图过程及所作图形,下列结论中错误的是()

A.∠COM=∠COD B.若OM=MN,则∠AOB=20°

C.MN∥CD D.MN=3CD

【答案】D

【解析】

【分析】

由作图知CM=CD=DN,再利用圆周角定理、圆心角定理逐一判断可得.

【详解】

解:由作图知CM=CD=DN,

∴∠COM=∠COD,故A选项正确;

∵OM=ON=MN,

∴△OMN 是等边三角形,

∴∠MON=60°,

∵CM=CD=DN, ∴∠MOA=∠AOB=∠BON=13

∠MON=20°,故B 选项正确; ∵∠MOA=∠AOB=∠BON=20°,

∴∠OCD=∠OCM=80°,

∴∠MCD=160°,

又∠CMN=12

∠AON=20°, ∴∠MCD+∠CMN=180°,

∴MN∥CD,故C 选项正确;

∵MC+CD+DN>MN ,且CM=CD=DN ,

∴3CD>MN ,故D 选项错误;

故选:D .

【点睛】 本题主要考查作图-复杂作图,解题的关键是掌握圆心角定理和圆周角定理等知识点.

【变式3-2】(2019·湖北中考真题)如图,点A ,B ,C 均在⊙O 上,当40OBC ∠=?时,A ∠的度数是( )

A .50?

B .55?

C .60?

D .65?

【答案】A

【解析】

【分析】 先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出BOC ∠的度数,然后根据圆周角定理可得到A ∠的度数.

【详解】

OB OC =,

∴40OCB OBC ∠=∠=?,

∴1804040100BOC ∠=???=?--, ∴1502

A BOC ∠=∠=?. 故选A .

【点睛】

本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.

【考点4】圆内接四边形

【例4】(2019·贵州中考真题)如图,四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形,∠A =100°,则∠DCE 的度数为_______;

【答案】100°

【解析】

【分析】

直接利用圆内接四边形的性质,即可解答

【详解】

∵四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形,

∴∠DCE =∠A =100°,

故答案为100°

【点睛】

此题考查圆内接四边形的性质,难度不大

【变式4-1】(2019·甘肃中考真题)如图,四边形ABCD 内接于O ,若40A ∠=?,则C ∠=( )

2020-2021备战中考数学压轴题专题初中数学 旋转的经典综合题附详细答案

2020-2021备战中考数学压轴题专题初中数学旋转的经典综合题附详细答案 一、旋转 1.操作与证明:如图1,把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起,使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合,点E、F分别在正方形的边CB、CD上,连接AF.取AF中点M,EF的中点N,连接MD、MN. (1)连接AE,求证:△AEF是等腰三角形; 猜想与发现: (2)在(1)的条件下,请判断MD、MN的数量关系和位置关系,得出结论. 结论1:DM、MN的数量关系是; 结论2:DM、MN的位置关系是; 拓展与探究: (3)如图2,将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°,其他条件不变,则(2)中的两个结论还成立吗?若成立,请加以证明;若不成立,请说明理由. 【答案】(1)证明参见解析;(2)相等,垂直;(3)成立,理由参见解析. 【解析】 试题分析:(1)根据正方形的性质以及等腰直角三角形的知识证明出CE=CF,继而证明出△ABE≌△ADF,得到AE=AF,从而证明出△AEF是等腰三角形;(2)DM、MN的数量关系是相等,利用直角三角形斜边中线等于斜边一半和三角形中位线定理即可得出结论.位置关系是垂直,利用三角形外角性质和等腰三角形两个底角相等性质,及全等三角形对应角相等即可得出结论;(3)成立,连接AE,交MD于点G,标记出各个角,首先证明出 MN∥AE,MN=AE,利用三角形全等证出AE=AF,而DM=AF,从而得到DM,MN数量相等的结论,再利用三角形外角性质和三角形全等,等腰三角形性质以及角角之间的数量关系得到∠DMN=∠DGE=90°.从而得到DM、MN的位置关系是垂直. 试题解析:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD=BC=CD,∠B=∠ADF=90°,∵△CEF 是等腰直角三角形,∠C=90°,∴CE=CF,∴BC﹣CE=CD﹣CF,即BE=DF, ∴△ABE≌△ADF,∴AE=AF,∴△AEF是等腰三角形;(2)DM、MN的数量关系是相等,DM、MN的位置关系是垂直;∵在Rt△ADF中DM是斜边AF的中线,∴AF=2DM,∵MN 是△AEF的中位线,∴AE=2MN,∵AE=AF,∴DM=MN;∵∠DMF=∠DAF+∠ADM, AM=MD,∵∠FMN=∠FAE,∠DAF=∠BAE,∴∠ADM=∠DAF=∠BAE,

中考数学压轴题专题

中考数学压轴题专题 一、函数与几何综合的压轴题 1.如图①,在平面直角坐标系中,AB 、CD 都垂直于x 轴,垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.已知:A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证:E 点在y 轴上; (2) 如果有一抛物线经过A ,E ,C 三点,求此抛物线方程. (3) 如果AB 位置不变,再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位,此时AD 与BC 相交于E ′点, 如图②,求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式. [解] (1)(本小题介绍二种方法,供参考) 方法一:过E 作EO ′⊥x 轴,垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴ ,EO DO EO BO AB DB CD DB '''' == 又∵DO ′+BO ′=DB ∴ 1EO EO AB DC '' += ∵AB =6,DC =3,∴EO ′=2 又∵DO EO DB AB ''=,∴2 316 EO DO DB AB ''=?=?= ∴DO ′=DO ,即O ′与O 重合,E 在y 轴上 方法二:由D (1,0),A (-2,-6),得DA 直线方程:y =2x -2① 再由B (-2,0),C (1,-3),得BC 直线方程:y =-x -2 ② 联立①②得02x y =??=-? ∴E 点坐标(0,-2),即E 点在y 轴上 (2)设抛物线的方程y =ax 2 +bx +c (a ≠0)过A (-2,-6),C (1,-3) 图① 图②

E (0,-2)三点,得方程组42632a b c a b c c -+=-?? ++=-??=-? 解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2 -2 (3)(本小题给出三种方法,供参考) 由(1)当DC 水平向右平移k 后,过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。 同(1)可得: 1E F E F AB DC ''+= 得:E ′F =2 方法一:又∵E ′F ∥AB E F DF AB DB '?= ,∴1 3DF DB = S △AE ′C = S △ADC - S △E ′DC =1112 2223 DC DB DC DF DC DB ?-?=? =1 3 DC DB ?=DB=3+k S=3+k 为所求函数解析式 方法二:∵ BA ∥DC ,∴S △BCA =S △BDA ∴S △AE ′C = S △BDE ′()11 32322 BD E F k k '= ?=+?=+ ∴S =3+k 为所求函数解析式. 证法三:S △DE ′C ∶S △AE ′C =DE ′∶AE ′=DC ∶AB =1∶2 同理:S △DE ′C ∶S △DE ′B =1∶2,又∵S △DE ′C ∶S △ABE ′=DC 2∶AB 2 =1∶4 ∴()221 3992 AE C ABCD S S AB CD BD k '?= =?+?=+梯形 ∴S =3+k 为所求函数解析式. 2.已知:如图,在直线坐标系中,以点M (1,0)为圆心、直径AC 为22的圆与y 轴交于A 、D 两点. (1)求点A 的坐标; (2)设过点A 的直线y =x +b 与x 轴交于点B.探究:直线AB 是否⊙M 的切线?并对你的结论加以证明; (3)连接BC ,记△ABC 的外接圆面积为S 1、⊙M 面积为S 2,若 4 21h S S =,抛物线 y =ax 2 +bx +c 经过B 、M 两点,且它的顶点到x 轴的距离为h .求这条抛物线的解析式. [解](1)解:由已知AM =2,OM =1, 在Rt△AOM 中,AO = 122=-OM AM , ∴点A 的坐标为A (0,1) (2)证:∵直线y =x +b 过点A (0,1)∴1=0+b 即b =1 ∴y=x +1 令y =0则x =-1 ∴B(—1,0),

初三中考数学计算题训练及答案

1.计算:22 ﹣1|﹣. 2计算:( )0 - ( )-2 + 45° 3.计算:2×(-5)+23-3÷. 4. 计算:22+(-1)4+(-2)0-|-3|; 5.计算:30 82 145+-Sin 6.计算:?+-+-30sin 2)2(20. 7.计算, 8.计算:a(3)+(2)(2) 9.计算: 10. 计算:()()03 32011422 - --+÷- 11.解方程x 2 ﹣41=0. 12.解分式方程 2 3 22-= +x x

13.解方程:=.14.已知﹣1=0,求方裎1的解. 15.解方程:x2+4x-2=0 16.解方程:-1)-x)= 2.17.(2011.苏州)解不等式:3﹣2(x﹣1)<1.18.解不等式组: 19.解不等式组 () ()() ? ? ? + ≥ - - + - 1 4 6 1 5 3 6 2 x x x xπ 20.解不等式组 ?? ? ? ? < + > + .2 2 1 ,1 2 x x 答案 1.解: 原式=4+1﹣3=2 2.解:原式=1-4+12.

3.解:原式10+8-68 4.解:原式=4+1+1-3=3。 5.解:原式= 222222=+-. 6. 解:原式=2+1+2×2 1=3+1=4. 7. 解:原式=1+2﹣ +2× =1+2﹣ + =3. 8.解: ()()()22a a 32a 2a a 3a 4a =43a -+-+=-+-- 9. 解:原式=5+4-1=8 10. 解:原式3 1122 -- 0. 11. 解:(1)移项得,x 2 ﹣4﹣1, 配方得,x 2 ﹣44=﹣1+4,(x ﹣2)2 =3,由此可得x ﹣2=±,x 1=2+,x 2=2﹣; (2)1,﹣4,1.b 2 ﹣4=(﹣4)2﹣4×1×1=12>0. 2±, x 1=2+,x 2=2﹣. 12.解:10 13.解:3 14. 解:∵﹣1=0,∴a﹣1=0,1;2=0,﹣2. ∴﹣21,得2x 2 ﹣1=0,解得x 1=﹣1,x 2=. 经检验:x 1=﹣1,x 2=是原方程的解.∴原方程的解为:x 1=﹣1,x 2=. 15.解: 4168426 26x -±+-±- 16. 解:去分母,得 3=2(1) . 解之,得5. 经检验,5是原方程的解. 17. 解:3﹣22<1,得:﹣2x <﹣4,∴x>2. 18.解:x <-5 19.解:15≥x 20. 解:不等式①的解集为x >-1;不等式②的解集为x +1<4 x <3 故原不等式组的解集为-1<x <3.

2017中考数学计算题专项训练

2014年中考数学计算题专项训练 一、集训一(代数计算) 1. 计算: (1)30 82 145+-Sin (2) (3)2×(-5)+23-3÷1 2 (4)22+(-1)4+(5-2)0-|-3|; (6)?+-+-30sin 2)2(20 (8)()()0 2 2161-+-- (9)( 3 )0 - ( 12 )-2 + tan45° (10)()()0332011422 ---+÷- 2.计算:345tan 3231211 0-?-??? ? ??+??? ??-- 3.计算:( ) () () ??-+-+-+ ?? ? ??-30tan 3312120122010311001 2 4.计算:()( ) 11 2230sin 4260cos 18-+ ?-÷?--- 5.计算:12010 0(60)(1) |2(301) cos tan -÷-+-

二、集训二(分式化简) 注意:此类要求的题目,如果没有化简,直接代入求值一分不得! 考点:①分式的加减乘除运算 ②因式分解 ③二次根式的简单计算 1. . 2。 2 1 422 ---x x x 3.(a+b )2 +b (a ﹣b ). 4. 11()a a a a --÷ 5.2 11 1x x x -??+÷ ??? 6、化简求值 (1)????1+ 1 x -2÷ x 2 -2x +1 x 2-4,其中x =-5. (2)(a ﹣1+)÷(a 2 +1),其中a= ﹣1. (3)2121(1)1a a a a ++-?+,其中a (4))2 5 2(423--+÷--a a a a , 1-=a (5))1 2(1a a a a a --÷-,并任选一个你喜欢的数a 代入求值.

中考数学压轴题专集二一次函数

中考数学压轴题专集二:一次函数 1、如图,在平面直角坐标中,点A 的坐标为(4,0),直线AB ⊥x 轴,直线y =- 1 4 x +3经过点B ,与y 轴交于点C . (1)求点B 的坐标; (2)直线l 经过点C ,与直线AB 交于点D ,E 是直线AB 上一点,且∠ECD =∠OCD ,CE =5,求直线l 的解析式. 解:(1)∵A (4,0),AB ⊥x 轴,∴点B 的横坐标为4 把x =4代入y =- 1 4 x +3,得y =2 ∴B (4,2) (2)∵AB ⊥x 轴,∴∠EDC =∠OCD ∵∠ECD =∠OCD ,∴∠EDC =∠ECD ∴ED =EC =5 在y =- 1 4 x +3中,当x =0时,y =3 ∴C (0,3),OC =3 过C 作CF ⊥AB 于F ,则CF =OA =4 ∴EF = EC 2 -CF 2 = 5 2 -4 2 =3 ∴FD =5-3=2,∴DA =1 ∴D (4,1) 设直线l 的解析式y =kx +b ,把C (0,3),D (4,1)代入 得:?????b =3 4k +b =1 解得 ?????k =- 1 2 b =3 ∴直线l 的解析式为y =- 1 2 x +3

2、如图,直线y=2x+4交坐标轴于A、B两点,点C为直线y=kx(k>0)上一点,且△ABC是以C为直角顶点的等腰直角三角形. (1)求点C的坐标和k的值; (2)若在直线y=kx(k>0)上存在点P,使得S△PBC=1 2S△ABC,求点P的坐标. (1)过点C分别作坐标轴的垂线,垂足为G、H 则∠HCG=90° ∵∠ACB=90°,∴∠ACG=∠BCH 又∠AGC=∠BHC=90°,AC=BC ∴△ACG≌△BCH,∴CG=CH 在y=2x+4中,令y=0,得x=-2;令x=0,得y=4 ∴A(-2,0),B(0,4),OA=2,OB=4 设CG=CH=x,则2+x=4-x 解得x=1,∴C(1,1) ∴k=1 (2)由(1)知,CG=1,AG=3 ∴AC2=BC2=12+32=10 ∴S△ABC=1 2AC 2=5,S △PBC = 1 2S△ABC= 5 2 当点P在点G左侧时 S△PBC=S△PBO+S△BOC-S△PCO ∴1 2OP×4+ 1 2×4×1- 1 2OP×1= 5 2 解得OP=1 3,∴P1(- 1 3,0) 当点P在点G右侧时 S△PBC=S△PBO-S△BOC-S△PCO ∴1 2OP×4- 1 2×4×1- 1 2OP×1= 5 2 解得OP=3,∴P2(3,0)

中考数学计算题训练及答案

1.计算:22+|﹣1|﹣ . 2计算:( 3 )0 - ( 12 )-2 + tan45° 3.计算:2×(-5)+23-3÷12 . 4. 计算:22+(-1)4+(5-2)0-|-3|; 5.计算:3082145+- Sin 6.计算:?+-+-30sin 2)2(20. 7.计算 , 8.计算:a(a-3)+(2-a)(2+a) 9.计算: 10. 计算:()()0332011422 ---+÷-

11.解方程x 2﹣4x+1=0. 12.解分式方程 2322-=+x x 13.解方程:3x = 2x -1 . 14.已知|a ﹣1|+ =0,求方裎+bx=1的解. 15.解方程:x 2+4x -2=0 16.解方程:x x -1 - 3 1- x = 2. 17.(2011.苏州)解不等式:3﹣2(x ﹣1)<1. 18.解不等式组:???2x +3<9-x ,2x -5>3x . 19.解不等式组()()() ?? ?+≥--+-14615362x x x x 20.解不等式组?????<+>+.22 1,12x x 答案 1.解: 原式=4+1﹣3=2 2.解:原式=1-4+1=-2. 3.解:原式=-10+8-6=-8 4.解:原式=4+1+1-3=3。

5.解:原式=222222=+-. 6. 解:原式=2+1+2×2 1=3+1=4. 7. 解:原式=1+2﹣+2×=1+2﹣+=3. 8.解: ()()()22a a 32a 2a a 3a 4a =43a -+-+=-+-- 9. 解:原式=5+4-1=8 10. 解:原式=31122 -- =0. 11. 解:(1)移项得,x 2﹣4x=﹣1, 配方得,x 2﹣4x+4=﹣1+4,(x ﹣2)2=3,由此可得x ﹣2=± ,x 1=2+,x 2=2﹣; (2)a=1,b=﹣4,c=1.b 2﹣4ac=(﹣4)2﹣4×1×1=12>0. x==2±, x 1=2+,x 2=2﹣. 12.解:x=-10 13.解:x=3 14. 解:∵|a﹣1|+ =0,∴a﹣1=0,a=1;b+2=0,b=﹣2. ∴﹣2x=1,得2x 2+x ﹣1=0,解得x 1=﹣1,x 2=. 经检验:x 1=﹣1,x 2=是原方程的解.∴原方程的解为:x 1=﹣1,x 2=. 15.解: 2x - 16. 解:去分母,得 x +3=2(x -1) . 解之,得x =5. 经检验,x =5是原方程的解. 17. 解:3﹣2x+2<1,得:﹣2x <﹣4,∴x>2. 18.解:x <-5 19.解:15≥x 20. 解:不等式①的解集为x >-1;不等式②的解集为x +1<4 x <3 故原不等式组的解集为-1<x <3.

中考数学计算题专项训练(全)

2 + 3 8 3.计算:2×(-5)+23-3÷1 9. 计算:( 3 )0 - ( )-2 + tan45° 2 - (-2011)0 + 4 ÷ (-2 )3 中考专项训练——计算题 集训一(计算) 1. 计算: Sin 450 - 1 2.计算: 2 . 4.计算:22+(-1)4+( 5-2)0-|-3|; 5.计算:22+|﹣1|﹣ . 8.计算:(1) (- 1)2 - 16 + (- 2)0 (2)a(a-3)+(2-a)(2+a) 1 2 10. 计算: - 3 6.计算: - 2 + (-2) 0 + 2sin 30? . 集训二(分式化简) 7.计算 , 1. (2011.南京)计算 .

x 2 - 4 - 9.(2011.徐州)化简: (a - ) ÷ a - 1 10.(2011.扬州)化简 1 + x ? ÷ x ( 2. (2011.常州)化简: 2 x 1 x - 2 7. (2011.泰州)化简 . 3.(2011.淮安)化简:(a+b )2+b (a ﹣b ). 8.(2011.无锡)a(a-3)+(2-a)(2+a) 4. (2011.南通)先化简,再求值:(4ab 3-8a 2b 2)÷4ab +(2a +b )(2a -b ),其中 a =2,b =1. 1 a a ; 5. (2011.苏州)先化简,再求值: a ﹣1+ )÷(a 2+1),其中 a= ﹣ 1. 6.(2011.宿迁)已知实数 a 、b 满足 ab =1,a +b =2,求代数式 a 2b +ab 2 的值. ? ? 1 ? x 2 - 1 ? 集训三(解方程) 1. (2011?南京)解方程 x 2﹣4x+1=0.

2017上海历年中考数学压轴题专项训练

24.(本题满分12分,第(1)小题满分3分,第(2)小题满分4分,第(3)小题满分5分) 如图,已知抛物线2y x bx c =++经过()01A -, 、()43B -,两点. (1)求抛物线的解析式; (2 求tan ABO ∠的值; (3)过点B 作BC ⊥x 轴,垂足为点C ,点M 是抛物线上一点,直线MN 平行于y 轴交直线AB 于点N ,如果M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形,求点N 的坐标. 24.解:(1)将A (0,-1)、B (4,-3)分别代入2 y x bx c =++ 得1, 1643c b c =-?? ++=-? , ………………………………………………………………(1分) 解,得9 ,12 b c =-=-…………………………………………………………………(1分) 所以抛物线的解析式为29 12 y x x =- -……………………………………………(1分) (2)过点B 作BC ⊥x 轴,垂足为C ,过点A 作AH ⊥OB ,垂足为点H ………(1分) 在Rt AOH ?中,OA =1,4 sin sin ,5 AOH OBC ∠=∠=……………………………(1分) ∴4sin 5AH OA AOH =∠= g ,∴322,55 OH BH OB OH ==-=, ………………(1分) 在Rt ABH ?中,4222 tan 5511 AH ABO BH ∠==÷=………………………………(1分) (3)直线AB 的解析式为1 12y x =- -, ……………………………………………(1分) 设点M 的坐标为29(,1)2m m m --,点N 坐标为1 (,1)2 m m -- 那么MN =2 291 (1)(1)422 m m m m m - ----=-; …………………………(1分) ∵M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形,∴MN =BC =3 解方程2 4m m -=3 得2m =± ……………………………………………(1分) 解方程2 43m m -+=得1m =或3m =; ………………………………………(1分)

2018年度中考数学压轴题

1、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10cm,AC:BC=4:3,点P从点A出发沿AB方向向点B运动,速度为1cm/s,同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动,速度为2cm/s,当一个运动点到达终点时,另一个运动点也随之停止运动.(1)求AC、BC的长; (2)设点P的运动时间为x(秒),△PBQ的面积为y(cm2),当△PBQ存在时,求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围; (3)当点Q在CA上运动,使PQ⊥AB时,以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC 是否相似,请说明理由; (4)当x=5秒时,在直线PQ上是否存在一点M,使△BCM得周长最小,若存在,求出最小周长,若不存在,请说明理由. 解:(1)设AC=4x,BC=3x,在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2, 即:(4x)2+(3x)2=102,解得:x=2,∴AC=8cm,BC=6cm; (2)①当点Q在边BC上运动时,过点Q作QH⊥AB于H,

∵AP=x ,∴BP=10﹣x ,BQ=2x ,∵△QHB ∽△ACB , ∴ QH QB AC AB = ,∴QH=错误!未找到引用源。x ,y=错误!未找到引用源。BP ?QH=1 2 (10﹣x )?错误!未找到引用源。x=﹣4 5 x 2+8x (0<x ≤3), ②当点Q 在边CA 上运动时,过点Q 作QH ′⊥AB 于H ′, ∵AP=x , ∴BP=10﹣x ,AQ=14﹣2x ,∵△AQH ′∽△ABC , ∴'AQ QH AB BC =,即:' 14106 x QH -=错误!未找到引用源。,解得:QH ′=错误!未找到引用源。(14﹣x ), ∴y= 12PB ?QH ′=12(10﹣x )?35(14﹣x )=310x 2﹣36 5 x+42(3<x <7); ∴y 与x 的函数关系式为:y=2 248(03)5 33642(37)10 5x x x x x x ?-+<≤????-+<

初中数学中考计算题

初中数学中考计算题

一.解答题(共30小题) 1.计算题: ①; ②解方程:. 2.计算:+(π﹣2013)0. 3.计算:|1﹣|﹣2cos30°+(﹣)0×(﹣1)2013. 4.计算:﹣. 5.计算:.6.. 7.计算:. 8.计算:. 9.计算:. 10.计算:. 11.计算:. 12..13.计算:.14.计算:﹣(π﹣3.14)0+|﹣3|+(﹣1)2013+tan45°. 15.计算:.16.计算或化简: (1)计算2﹣1﹣tan60°+(π﹣2013)0+|﹣|. (2)(a﹣2)2+4(a﹣1)﹣(a+2)(a﹣2) 17.计算: (1)(﹣1)2013﹣|﹣7|+×0+()﹣1; (2). 18.计算:.19.(1)

(2)解方程:. 20.计算: (1)tan45°+sin230°﹣cos30°?tan60°+cos245°; (2).21.(1)|﹣3|+16÷(﹣2)3+(2013﹣)0﹣tan60° (2)解方程:=﹣. 22.(1)计算:. (2)求不等式组的整数解. 23.(1)计算: (2)先化简,再求值:(﹣)÷,其中x=+1.24.(1)计算:tan30° (2)解方程:. 25.计算: (1) (2)先化简,再求值:÷+,其中x=2+1.26.(1)计算:; (2)解方程:. 27.计算:.28.计算:. 29.计算:(1+)2013﹣2(1+)2012﹣4(1+)2011. 30.计算:.

参考答案与试题解析 一.解答题(共30小题) 1.计算题: ①; ②解方程:. 考点:解分式方程;实数的运算;零指数幂;特殊角的三角函数值. 专题:计算题. 分析:①根据零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值求出每一部分的值,再代入求出即可; ②方程两边都乘以2x﹣1得出2﹣5=2x﹣1,求出方程的解,再进行检验即可. 解答:①解:原式=﹣1﹣+1﹣, =﹣2; ②解:方程两边都乘以2x﹣1得: 2﹣5=2x﹣1, 解这个方程得:2x=﹣2, x=﹣1, 检验:把x=﹣1代入2x﹣1≠0, 即x=﹣1是原方程的解. 点评:本题考查了解分式方程,零指数幂,绝对值,特殊角的三角函数值等知识点的应用,①小题是一道比较容易出错的题目,解②小题的关键是把分式方程转化成整式方程,同时要注意:解分式方程一定要进行检验. 2.计算:+(π﹣2013)0. 考点:实数的运算;零指数幂. 专题:计算题. 分析:根据零指数幂的意义得到原式=1﹣2+1﹣+1,然后合并即可. 解答:解:原式=1﹣2+1﹣+1 =1﹣. 点评:本题考查了实数的运算:先进行乘方或开方运算,再进行加减运算,然后进行加减运算.也考查了零指数幂. 3.计算:|1﹣|﹣2cos30°+(﹣)0×(﹣1)2013. 考点:实数的运算;零指数幂;特殊角的三角函数值. 分析:根据绝对值的概念、特殊三角函数值、零指数幂、乘方的意义计算即可. 解答: 解:原式=﹣1﹣2×+1×(﹣1) =﹣1﹣﹣1 =﹣2. 点评:本题考查了实数运算,解题的关键是注意掌握有关运算法则.

中考数学计算题专项训练完整版

中考数学计算题专项训 练 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】

2017年中考数学计算题专项训练 【亲爱的同学们,如果这试卷是蔚蓝的天空,你就是那展翅翱翔的雄鹰;如果这试卷是碧绿的草原,你就是那驰骋万里的骏马。只要你自信、沉着、放松、细心,相信你一定比雄鹰飞得更高,比骏马跑得更快!】 一、集训一(代数计算) 1. 计算: (1)30 82 145+- Sin (2)∣ ﹣5∣+22﹣(√3+1) (3)2×(-5)+23 -3÷12 (4)22+(-1)4 + (5-2)0 -|-3|; (5)( 3 )0 - ( 12 )-2 + tan45° (6) ()()03 32011422 - --+÷- 2.计算:3 45tan 3231211 -?-??? ? ??+??? ??-- 3.计算: ( ) () ( ) ??-+ -+-+?? ? ??-30 tan 3312120122010311001 2 4.计算: ()( ) 11 2 230sin 4260cos 18-+ ?-÷?--- 5.计算: 120100(60)(1)|28|(301)21 cos tan -÷-+-- ?-- 1. a a 2﹣a 2 ﹣1 a +a ÷a a﹣a . 2。 2 1422---x x x 3.(a+b )2 +b (a ﹣b ). 4. 11 ()a a a a --÷ 5.2 111x x x -??+÷ ??? (1) ( ) 1+ 1 x -2 ÷ x 2 -2x +1 x 2-4 ,其中x =-5(2)(a ﹣ 1+ 2a +1)÷(a 2 +1),其中a=√2﹣ (3)2121(1)1a a a a ++-?+,其中a =2-1. (5)221 21111x x x x x -??+÷ ?+--?? 然后选取一个使原式有 意义的x 的值代入求值 (6) 9、化简求值: 11 1(1 122 2+---÷-+-m m m m m m ), 其中m = 3. 10、先化简,再求代数式22 211 11 x x x x -+---的值,其中x=tan600 -tan450 11、化简:x x x x x x x x x 416 )44122(2222 +-÷+----+, 其 中 22+=x 12、化简并求值: 221122a b a b a a b a -??--+ ?-?? ,其 中322323a b =-=,. 13、计算:332141 222 +-+÷?? ? ??---+a a a a a a a . 14、先化简,再求值:13x -·32269122x x x x x x x -+----, 其中x =-6. 15、先化简:再求值:( ) 1- 1 a -1 ÷ a 2-4a +4 a 2-a ,其中a =2+ 2 .

中考数学压轴题专题

中考数学压轴题专题 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】

专题1:抛物线中的等腰三角形 基本题型:已知AB,抛物线()0 2≠ bx y,点P在抛物线上(或坐 c ax =a + + 标轴上,或抛物线的对称轴上),若ABP ?为等腰三角形,求点P坐标。 分两大类进行讨论: =):点P在AB的垂直平分线上。 (1)AB为底时(即PA PB 利用中点公式求出AB的中点M; k,因为两直线垂直斜率乘积为1-,进利用两点的斜率公式求出AB 而求出AB的垂直平分线的斜率k; 利用中点M与斜率k求出AB的垂直平分线的解析式; 将AB的垂直平分线的解析式与抛物线(或坐标轴,或抛物线的对 称轴)的解析式联立即可求出点P坐标。 (2)AB为腰时,分两类讨论: =):点P在以A为圆心以AB为半径的圆 ①以A ∠为顶角时(即AP AB 上。 =):点P在以B为圆心以AB为半径的圆 ②以B ∠为顶角时(即BP BA 上。 利用圆的一般方程列出A(或B)的方程,与抛物线(或坐标轴,或抛物线的对称轴)的解析式联立即可求出点P坐标。 专题2:抛物线中的直角三角形

基本题型:已知AB ,抛物线()02≠++=a c bx ax y ,点P 在抛物线上(或坐标 轴上,或抛物线的对称轴上),若ABP ?为直角三角形,求点P 坐 标。 分两大类进行讨论: (1)AB 为斜边时(即PA PB ⊥):点P 在以AB 为直径的圆周上。 利用中点公式求出AB 的中点M ; 利用圆的一般方程列出M 的方程,与抛物线(或坐标轴,或抛物线的对 称 轴)的解析式联立即可求出点P 坐标。 (2)AB 为直角边时,分两类讨论: ①以A ∠为直角时(即AP AB ⊥): ②以B ∠为直角时(即BP BA ⊥): 利用两点的斜率公式求出AB k ,因为两直线垂直斜率乘积为1-,进而求出 PA (或PB )的斜率k ;进而求出PA (或PB )的解析式; 将PA (或PB )的解析式与抛物线(或坐标轴,或抛物线的对称轴)的解 析式联立即可求出点P 坐标。 所需知识点: 一、 两点之间距离公式: 已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P , 则由勾股定理可得:()()221221y y x x PQ -+-= 。 二、 圆的方程: 点()y ,x P 在⊙M 上,⊙M 中的圆心M 为()b ,a ,半径为R 。 则()()R b y a x PM =-+-=22,得到方程☆:()()22 2R b y a x =-+-。 ∴P 在☆的图象上,即☆为⊙M 的方程。

2018中考数学计算题专项训练

2018年中考数学计算题专项训练 一、选择填空 1.下列运算错误的是( ) A . B . C . D . 2.下列计算正确的是( ) A . ﹣|﹣3|=﹣3 B . 30=0 C . 3﹣1=﹣3 D . =±3 3.下列各式化简结果为无理数的是( ) A . B . C . D . 4.已知分式的值为零,那么x 的值是 _________ 5.函数y=1-x 3 x +中自变量x 的取值范围是 _________ 二、代数计算 1. 30821 45+-Sin 2 . 3.计算2×(-5)+23-3÷1 2 4. -22+(-1)4+(5-2)0-|-3|; 5. ( 3 )0 - ( 12 )-2 + tan45° 6计算:3 45tan 32 31211 0-?-???? ??+??? ??-- 7. ()()()??-+-+-+??? ??-30tan 331212012201031100102 8. 计算:()()0112230sin 4260cos 18-+?-÷?--- 90238(2452005)(tan 602)3---?-+?-

10.计算:120100(60)(1)|28|(301)21 cos tan -÷-+--?-- 三、分式化简求值(注意:此类要求的题目,如果没有化简,直接代入求值一分不得!) 1. ()()()()a -b a 2-b -a b a -b a 2++,其中a 、b 是方程01-x 2x 2=+的两根。 2、 3. 11()a a a a --÷ 4.2111x x x -??+÷ ??? 5、化简求值 (1)??? ?1+ 1 x -2÷ x2-2x +1 x2-4,其中x =-5. (2)2121(1)1a a a a ++-?+,其中a 2 (3))2-a -2-5(4-2-3a a a ÷, 1-=a (4) )12(1a a a a a --÷-,并任选一个你喜欢的数a 代入求值.

中考数学压轴题专题 动点问题

2012年全国中考数学(续61套)压轴题分类解析汇编 专题01:动点问题 25. (2012吉林长春10分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8cm,BC=4cm,D、E分别为边AB、BC的中点,连结DE,点P从点A出发,沿折线AD-DE-EB运动,到 点B停止.点P在AD的速度运动,在折线DE-EB上以1cm/s的速度运动.当点P与点A不重合时,过点P作 PQ⊥AC于点Q,以PQ为边作正方形PQMN,使点M落在线段AC上.设点P的运动时间为t(s). (1)当点P在线段DE上运动时,线段DP的长为______cm,(用含t的代数式表示).(2)当点N落在AB边上时,求t的值. (3)当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时,设五边形的面积为S(cm2),求S与t的函数关系式. (4)连结CD.当点N于点D重合时,有一点H从点M出发,在线段MN上以2.5cm/s 的速度沿M-N-M连续做往返运动,直至点P与点E重合时,点H停止往返运动;当点P 在线段EB上运动时,点H始终在线段MN的中心处.直接写出在点P的整个运动过程中,点H落在线段CD上时t的取值范围. 【答案】解:(1)t-2。 (2)当点N落在AB边上时,有两种情况: ①如图(2)a,当点N与点D重合时,此时点P在DE上,DP=2=EC,即t-2=2,t=4。 ②如图(2)b,此时点P位于线段EB上. ∵DE=1 2 AC=4,∴点P在DE段的运动时间为4s, ∴PE=t-6,∴PB=BE-PE=8-t,PC=PE+CE=t-4。 ∵PN∥AC,∴△BNP∽△BAC。∴PN:AC = PB:BC=2,∴PN=2PB=16-2t。 由PN=PC,得16-2t=t-4,解得t=20 3 。 综上所述,当点N落在AB边上时,t=4或t=20 3 。 (3)当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时,有两种情况:

2019年各省市中考数学压轴题合辑5(湖南专辑)

【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功,文档内容齐全完整,请放心下载。】 2019年各省市中考数学压轴题合辑(五) 1.(2019?长沙)如图,抛物线26(y ax ax a =+为常数,0)a >与x 轴交于O ,A 两点,点B 为抛物线的顶点,点D 的坐标为(t ,0)(30)t -<<,连接BD 并延长与过O ,A ,B 三点的P e 相交于点C . (1)求点A 的坐标; (2)过点C 作P e 的切线CE 交x 轴于点E . ①如图1,求证:CE DE =; ②如图2,连接AC ,BE ,BO ,当3a = ,CAE OBE ∠=∠时,求11OD OE -的值.

2.(2019?长沙)已知抛物线22(2)(2020)(y x b x c b =-+-+-,c 为常数). (1)若抛物线的顶点坐标为(1,1),求b ,c 的值; (2)若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称,求c 的取值范围; (3)在(1)的条件下,存在正实数m ,n (m <n ),当m ≤x ≤n 时,恰好≤≤, 求m ,n 的值.

3.(2019?长沙)根据相似多边形的定义,我们把四个角分别相等,四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形.相似四边形对应边的比叫做相似比. (1)某同学在探究相似四边形的判定时,得到如下三个命题,请判断它们是否正确(直接在横线上填写“真”或“假”). ①四条边成比例的两个凸四边形相似;(命题) ②三个角分别相等的两个凸四边形相似;(命题) ③两个大小不同的正方形相似.(命题) (2)如图1,在四边形ABCD和四边形 1111 A B C D中, 111 ABC A B C ∠=∠, 111 BCD B C D ∠=∠,111111 AB BC CD A B B C C D ==.求证:四边形ABCD与四边形 1111 A B C D相似. (3)如图2,四边形ABCD中,// AB CD,AC与BD相交于点O,过点O作// EF AB分 别交AD,BC于点E,F.记四边形ABFE的面积为 1 S,四边形EFCD的面积为 2 S,若 四边形ABFE与四边形EFCD相似,求2 1 S S 的值.

2018年中考数学计算题专项训练

2018年中考数学计算题专项训练 一、集训一(代数计算) 1. 计算: (1)30821 45+-Sin (2)错误!未找到引用源。 (3)2×(-5)+23-3÷12 (4)22+(-1)4+(5-2)0-|-3|; (6)?+-+-30sin 2)2(20 (8)()()0 22161-+-- (9)( 3 )0 - ( 12 )-2 + tan45° (10)()()0332011422 ---+÷- 2.计算:345tan 32312110-?-??? ? ??+??? ??-- 3.计算:()() ()??-+-+-+??? ??-30tan 331212012201031100102 4.计算:() ()0112230sin 4260cos 18-+?-÷?--- 5.计算:120100(60)(1) |28|(301) cos tan -÷-+-- 二、集训二(分式化简) 1. . 2。 2 1422---x x x 、 3. (a+b )2 +b (a ﹣b ). 4. 11()a a a a --÷ 5.2111x x x -??+÷ ??? 6、化简求值 (1)??? ?1+ 1 x -2÷ x 2-2x +1 x 2-4,其中x =-5. (2)(a ﹣1+错误!未找到引用源。)÷(a 2+1),其中a=错误!未找到引用源。﹣1. (3)2121(1)1a a a a ++-?+,其中a -1. (4))2 52(423--+÷--a a a a , 1-=a (5))12(1a a a a a --÷-,并任选一个你喜欢的数a 代入求值. (6)22121111x x x x x -??+÷ ?+--??然后选取一个使原式有意义的x 的值代入求值

中考数学计算题训练

中考数学计算题专项训练 一、训练一(代数计算) 1. 计算: (1)30821 45+-Sin (2) (3)2×(-5)+23-3÷12 (4)22+(-1)4+(5-2)0-|-3|; (6)?+-+-30sin 2)2(20 (8)()()0 22161-+-- 2.计算:345tan 32312110-?-??? ? ??+??? ??-- 3.计算:()() ()??-+-+-+??? ??-30tan 331212012201031100102 4.计算:() ()0 112230sin 4260cos 18-+?-÷?--- 5.计算:120100(60)(1)|28|(301)21 cos tan -÷-+--?-- 二、训练二(分式化简) 注意:此类要求的题目,如果没有化简,直接代入求值一分不得! 考点:①分式的加减乘除运算 ②因式分解 ③二次根式的简单计算 1. . 2。 2 1422---x x x 3.(a+b )2 +b (a ﹣b ). 4. 11()a a a a --÷ 5.2111x x x -??+÷ ??? 6、化简求值 (1)????1+ 1 x -2÷ x 2 -2x +1 x 2-4,其中x =-5. (2)2121(1)1a a a a ++-?+,其中a 2-1. (3) )2 52(423--+÷--a a a a , 1-=a (4))12(1a a a a a --÷-,并任选一个你喜欢的数a 代入求值.

(5)22121111x x x x x -??+÷ ?+--??然后选取一个使原式有意义的x 的值代入求值 7、先化简:再求值:????1-1a -1÷a 2-4a +4a 2-a ,其中a =2+ 2 . 8、先化简,再求值:a -1a +2·a 2+2a a 2-2a +1÷1a 2-1 ,其中a 为整数且-3<a <2. 9、先化简,再求值:222211y xy x x y x y x ++÷??? ? ??++-,其中1=x ,2-=y . 10、先化简,再求值: 222112( )2442x x x x x x -÷--+-,其中2x =(tan45°-cos30°) 三、训练三(求解方程) 1. 解方程x 2﹣4x+1=0. 2。解分式方程 2322-=+x x 3解方程:3x = 2x -1 . 4.解方程:x 2+4x -2=0 5。解方程:x x -1 - 31- x = 2. 四、训练四(解不等式) 1.解不等式组,并写出不等式组的整数解. 2.解不等式组?????<+>+.22 1,12x x 3. 解不等式组? ????x +23 <1,2(1-x )≤5,并把解集在数轴上表示出来。 4. 解不等式组31311212 3x x x x +<-??++?+??≤,并写出整数解. 五、训练五(综合演练) 1、(1)计算: |2-|o 2o 12sin30(3)(tan 45)-+--+; (2)先化简,再求值: 6)6()3)(3(2+---+a a a a ,其中12-=a . 2、解方程: 0322=--x x 3、解不等式组1(4)223(1) 5. x x x ?+?,

中考数学压轴题专题

中考数学压轴题专题Prepared on 21 November 2021

专题1:抛物线中的等腰三角形 基本题型:已知AB,抛物线()0 2≠ bx y,点P在抛物线上(或坐 c ax =a + + 标轴上,或抛物线的对称轴上),若ABP ?为等腰三角形,求点P坐标。 分两大类进行讨论: =):点P在AB的垂直平分线上。 (1)AB为底时(即PA PB 利用中点公式求出AB的中点M; k,因为两直线垂直斜率乘积为1-,进利用两点的斜率公式求出AB 而求出AB的垂直平分线的斜率k; 利用中点M与斜率k求出AB的垂直平分线的解析式; 将AB的垂直平分线的解析式与抛物线(或坐标轴,或抛物线的对 称轴)的解析式联立即可求出点P坐标。 (2)AB为腰时,分两类讨论: =):点P在以A为圆心以AB为半径的圆 ①以A ∠为顶角时(即AP AB 上。 =):点P在以B为圆心以AB为半径的圆 ②以B ∠为顶角时(即BP BA 上。 利用圆的一般方程列出A(或B)的方程,与抛物线(或坐标轴,或抛物线的对称轴)的解析式联立即可求出点P坐标。 专题2:抛物线中的直角三角形

基本题型:已知AB ,抛物线()02≠++=a c bx ax y ,点P 在抛物线上(或坐标 轴上,或抛物线的对称轴上),若ABP ?为直角三角形,求点P 坐标。 分两大类进行讨论: (1)AB 为斜边时(即PA PB ⊥):点P 在以AB 为直径的圆周上。 利用中点公式求出AB 的中点M ; 利用圆的一般方程列出M 的方程,与抛物线(或坐标轴,或抛物线的对称 轴)的解析式联立即可求出点P 坐标。 (2)AB 为直角边时,分两类讨论: ①以A ∠为直角时(即AP AB ⊥): ②以B ∠为直角时(即BP BA ⊥): 利用两点的斜率公式求出AB k ,因为两直线垂直斜率乘积为1-,进而求出 PA (或PB )的斜率k ;进而求出PA (或PB )的解析式; 将PA (或PB )的解析式与抛物线(或坐标轴,或抛物线的对称轴)的解析式联立即可求出点P 坐标。 所需知识点: 一、 两点之间距离公式: 已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P , 则由勾股定理可得:()()2 21221y y x x PQ -+-=。 二、 圆的方程: 点()y ,x P 在⊙M 上,⊙M 中的圆心M 为()b ,a ,半径为R 。 则()()R b y a x PM =-+-= 22,得到方程☆:()()22 2 R b y a x =-+-。 ∴P 在☆的图象上,即☆为⊙M 的方程。

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