数学教案(七年级下册)
第五章相交线与平行线
5.1.1相交线
教学目标:1.理解对顶角和邻补角的概念,能在图形中辨认.
2.掌握对顶角相等的性质和它的推证过程.
3.通过在图形中辨认对顶角和邻补角,培养学生的识图能力.
重点:在较复杂的图形中准确辨认对顶角和邻补角.
难点:在较复杂的图形中准确辨认对顶角和邻补角.
教学过程
一、创设情境,引入课题
先请同学观察本章的章前图,然后引导学生观察,并回答问题.
学生活动:口答哪些道路是交错的,哪些道路是平行的.
教师导入:图中的道路是有宽度的,是有限长的,而且也不是完全直的,当我们把它们看成直线时,这些直线有些是相交线,有些是平行线.相交线、平行线都有许多重要性质,并且在生产和生活中有广泛应用.所以研究这些问题对今后的工作和学习都是有用的,也将为后面的学习做些准备.我们先研究直线相交的问题,引入本节课题.
二、探究新知,讲授新课
1.对顶角和邻补角的概念
学生活动:观察上图,同桌讨论,教师统一学生观点并板书.
【板书】∠1与∠3是直线AB、CD相交得到的,它们有一个公共顶点O,没有公共边,像这样的两个角叫做对顶角.
学生活动:让学生找一找上图中还有没有对顶角,如果有,是哪两个角?
学生口答:∠2和∠4再也是对顶角.
紧扣对顶角定义强调以下两点:
(1)辨认对顶角的要领:一看是不是两条直线相交所成的角,对顶角与相交线是唇齿相依,哪里有相交直线,哪里就有对顶角,反过来,哪里有对顶角,哪里就有相交线;二看是不是有公共顶点;三看是不是没有公共边.符合这三个条件时,才能确定这两个角是对顶角,只具备一个或两个条件都不行.
(2)对顶角是成对存在的,它们互为对顶角,如∠1是∠3的对顶角,同时,∠3是∠1的对顶角,也常说∠1和∠3是对顶角.
2.对顶角的性质
提出问题:我们在图形中能准确地辨认对顶角,那么对顶角有什么性质呢?
学生活动:学生以小组为单位展开讨论,选代表发言,井口答为什么.
【板书】∵∠1与∠2互补,∠3与∠2互补(邻补角定义),
∴∠l=∠3(同角的补角相等).
注意:∠l与∠2互补不是给出的已知条件,而是分析图形得到的;所以括号内不填已知,
而填邻补角定义.
或写成:∵∠1=180°-∠2,∠3=180°-∠2(邻补角定义), ∴∠1=∠3(等量代换).
学生活动:例题比较简单,教师不做任何提示,让学生在练习本上独立完成解题过程,请一个学生板演。
解:∠3=∠1=40°(对顶角相等). ∠2=180°-40°=140°(邻补角定义). ∠4=∠2=140°(对顶角相等).
三、范例学习
学生活动:让学生把例题中∠1=40°这个条件换成其他条件,而结论不变,自编几道题. 变式1:把∠l =40°变为∠2-∠1=40° 变式2:把∠1=40°变为∠2是∠l 的3倍 变式3:把∠1=40°变为∠1:∠2=2:9 四、课堂小结
学生活动:表格中的结论均由学生自己口答填出.
五
、布置作业:课本P3练习
5.1.2垂线(第一课时)
教学目标:1.经历观察、操作、想像、归纳概括、交流等活动,进一步发展空间观念,用几何语言准确表达能力.
2.了解垂直概念,能说出垂线的性质“经过一点,能画出已知直线的一条垂线,并且只能画出一条垂线”,会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线. 重点两条直线互相垂直的概念、性质和画法. 教学过程
一、创设问题情境
1.学生观察教室里的课桌面、黑板面相邻的两条边,方格纸的横线和竖线……,思考这些给大家什么印象?
角的名称 特征 性质 相同点 不同点 对顶角 ①两条直线相交面成的角 ②有一个公共顶点 ③没有公共边 对顶
角 相等 都是两直线
相交而成的角,
都有一个公共顶点,它们都是成对出现。 对顶角没有公共边
而邻补角有一条公共
边;两条直线相交时,
一个有的对顶角有一个,而一个角的邻补角有两个。 邻补角 ①两条直线相交面成的
角
②有一个公共顶点
③有一条公共边
邻补
角
互补
在学生回答之后,教师指出:“垂直”两个字对大家并不陌生,但是垂直的意义,垂线有什么性质,我们不一定都了解,这可是我们要学习的内容.
2.学生观察课本P3图5.1-4思考:固定木条a,转动木条,当b的位置变化时,a、b所成的角a是如何变化的?其中会有特殊情况出现吗?当这种情况出现时,a、b所成的四个角有什么特殊关系?
教师在组织学生交流中,应学生明白:当b的位置变化时,角a从锐角变为钝角,其中∠a是直角是特殊情况.其特殊之处还在于:当∠a是直角时,它的邻补角,对顶角都是直角,即a、b所成的四个角都是直角,都相等.
3.师生共同给出垂直定义.
师生分清“互相垂直”与“垂线”的区别与联系:“互相垂直”指两条直线的位置关系;“垂线”是指其中一条直线对另一条直线的命名。如果说两条直线“互相垂直”时,其中一条必定是另一条的“垂线”,如果一条直线是另一条直线的“垂线”,则它们必定“互相垂直”。
4.垂直的表示法.
垂直用符号“⊥”来表示,结合课本图5.1-5说明“直线AB垂直于直线CD,垂足为O”,则记为AB⊥CD,垂足为O,并在图中任意一个角处作上直角记号,如图.
5.简单应用
(1)学生观察课本P6图5.1-6中的一些互相垂直的线条,并再举出生活中其他实例.
(2)判断以下两条直线是否垂直:
①两条直线相交所成的四个角中有一个是直角;
②两条直线相交所成的四个角相等;
③两条直线相交,有一组邻补角相等;
④两条直线相交,对顶角互补.
二、画图实践,探究垂线的性质
1.学生用三角尺或量角器画已知直线L的垂线.
(1)已知直线L(教师在黑板上画一条直线L),画出直线L的垂线.待学生上黑板画出L的垂线后,教师追问学生:还能画出L的垂线吗?能画几条?通过师生交流,使学生明确直线L的垂线有无数多条,即存在,但有不确定性.教师再问:怎样才能确定直线L的垂线位置?在学生道出:在直线L上取一点A,过点A画L的垂线,并且动手画出图形.
教师板书学生的结论:经过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
(2)经过直线L外一点B画直线L的垂线,这样的垂线能画出几条?从中你又得出什么结论?
教师板书学生的结论:经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
教师让学生通过画图操作所得两条结论合并成一条,并板书:
垂线性质1:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
2.变式训练,巩固垂线的概念和画法,如图根据下列语句画图:
(1)过点P画射线MN的垂线,Q为垂足;
(2)过点P画射线BN的垂线,交射线BN反向延长线于Q点;
(3)过点P画线段AB的垂线,交线AB延长线于Q点.
学生画完图后,教师归结:画一条射线或线段的垂线,就是画它们所在直线的垂线.
三、课堂小结
本节学习了互相垂直、垂线等概念,还学习了过一点画已知直线的垂线的画法,并得出垂线一条性质,你能说出相关的内容吗?
四、布置作业:课本P7练习,P9.3,4,5,9.
5.1.2垂线(第二课时)
教学目标:1.经历观察、操作、想像、归纳概括、交流等活动,进一步发展空间观念,用几何语言准确表达能力。2.了解垂线段的概念,了解垂线段最短的性质,体会点到直线的距离的意义,并会度量点到直线的距离.
教学重点:“垂线段最短”的性质,点到直线的距离的概念及其简单应用.
教学难点:对点到直线的距离的概念的理解.
教学过程
一、创设问题情境
1.教师展示课本图5.1-8,提出问题:要把河中的水引到农田P处,如何挖渠能使渠道最短?
学生看图、思考.
2.教师以问题串形式,启发学生思考.
(1)问题1,上学期我们曾经学过什么最短的知识,还记得吗?
学生说出:两点间线段最短.
(2)问题2,如果把渠道看成是线段,它的一个端点自然是P,那么另一个端点的位置呢?把江河看成直线L,那么原问题就是怎么的数学问题.
问题2使学生能用数学眼光思考:在连接直线L外一点P与直线L上各点的线段中,哪一条最短?
3.教师演示教具,给学生直观的感受.
教具如图:在硬纸板上固定木条L,L外一点P,转动的木条a一端固定在点P.
使木条L与a相交,左右摆动木条a,L与a的交点A随之变化,线段PA长度也随之变化.PA最短时,a与L的位置关系如何?用三角尺检验.
4.学生画图操作,得出结论.
(1)画出直线L,L外一点P;
(2)过P点出PO⊥L,垂足为O;
(3)点A1,A2,A3……在L上,连接PA、PA2、PA3……;
(4)用叠合法或度量法比较PO、PA1、PA2、PA3……长短.
5.师生交流,得出垂线的另一条性质.
教师板书:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.
简单说成:垂线段最短.
关于垂线段教师可让学生思考:
(1)垂线段与垂线的区别联系.
(2)垂线段与线段的区别与联系.
二、点到直线的距离
1.师生根据两点间的距离的意义给出点到直线的距离命名.
结合课本图形(图5.1-9),深入认识垂线段PO:PO⊥L,∠POA=90°,O为垂足,垂线段PO的长度比其他线段PA1、PA2……中是最短的.
按照两点间的距离给点到直线的距离命名,教师板书:
直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.
在图5.1-9中,PO的长度是点P到直线L的距离,其余结论PA、PA2……长度都不是点P到L的距离.
2、练习课本P6练习
三、课堂小结:通过这节课,我们主要学习了什么呢?
四、布置作业:课本P9.6,P10.10,11,12,P11观察与猜想.
5.1.3同位角、内错角、同旁内角
教学目标:1、理解同位角、内错角、同旁内角的概念;2、会识别同位角、内错角、同旁内角.
重点:同位角、内错角、同旁内角的概念与识别; 难点:识别同位角、内错角、同旁内角。 教学过程
一、导入新课
前面我们研究了一条直线与另一条直线相交的情形,接下来,我们进一步研究一条直线分别与两条直线相交的情形。
二、同位角、内错角、同旁内角
如图,直线a 、b 与直线c 相交,或者说,两条直线a 、b 被第三条直线c 所截,得到八个角。 我们来研究那些没有公共顶点的两个角的关系。
∠1与∠2、∠4与∠8、∠5与∠6、∠3与∠7有什么位置关系? 在截线的同旁,被截直线的同方向(同上或同下). 具有这种位置关系的两个角叫做同位角。 同位角形如字母“F ”。
∠3与∠2、∠4与∠6的位置有什么共同的特点? 在截线的两旁,被截直线之间。
具有这种位置关系的两个角叫做内错角. 内错角形如字母“Z ”。
∠3与∠6、∠4与∠2的位置有什么共同的特点? 在截线的同旁,被截直线之间。
具有这种位置关系的两个角叫做同旁内角. 同旁内角形如字母“U ”。
思考:这三类角有什么相同的地方? (1)都不相邻即不存在共公顶点;(2)有一边在同一条直线(截线)上。 三、例题
例如图,直线DE ,BC 被直线AB 所截,(1)∠1与∠2、∠1与∠3、∠1与∠4各是什么角?为什么?(2)如果∠1=∠4,那么∠1与∠2相等吗?∠1与∠3互补吗?为什么?
解:(1)∠1与∠2是内错角,因为∠1与∠2在直线DE ,BC 之间,在截线AB 的两旁;∠1与∠3是同旁内角,因为∠1与∠3在直线DE ,BC 之间,在截线AB 的同旁;∠1与∠4是同位角,因为∠1与∠4在直线DE ,BC 的同方向,在截线AB 的同方向。(2)如果∠1=∠4,又因为∠2=∠4,所以∠1=∠2;因为∠3+∠4=1800,又∠1=∠4,所以∠1+∠3=1800,即∠1与∠3互补。
四、课堂小结:通过这节课,我们主要学习了什么呢? 五、布置作业:课本P7练习1、2题
3 1
B
D 4
A
C
E 2 c
b
a 4
321
5 6 8
7
a
C B 5.2.1平行线
教学目标1.经历观察教具模式的演示和通过画图等操作,交流归纳与活动,进一步发展空间观念. 2.了解平行线的概念、平面内两条直线的相交和平行的两种位置关系,知道平行公理以及平行公理的推论.
3.会用符号语方表示平行公理推论,会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线. 重点:探索和掌握平行公理及其推论.
难点:对平行线本质属性的理解,用几何语言描述图形的性质. 教学过程
一、创设问题情境
1.复习提问:两条直线相交有几个交点?相交的两条直线有什么特殊的位置关系?
学生回答后,教师把教具中木条b 与c 重合在一起,转动木条a 确认学生的回答.教师接着问:在平面内,两条直线除了相交外,还有别的位置关系吗? 2.教师演示教具.
顺时针转动木条b 两圈,让学生思考:把a 、b 想像成两端可以无限延伸的两条直线,顺时针转动b 时,直线b 与直线a 的交点位置将发生什么变化?在这个过程中,有没有直线b 与c 木相交的位置? 3.教师组织学生交流并形成共识.
转动b 时,直线b 与c 的交点从在直线a 上A 点向左边距离A 点很远的点逐步接近A 点,并垂合于A 点,然后交点变为在A 点的右边,逐步远离A 点.继续转动下去,b 与a 的交点就会从A 点的左边又转动A 点的左边……可以想象一定存在一个直线b 的位置,它与直线a 左右两旁都没有交点.
c
b
a 二、平行线定义表示法
1.结合演示的结论,师生用数学语言描述平行定义:同一平面内,存在一条直线a 与直线b 不相交的位置,这时直线a 与b 互相平行.换言之,同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线. 直线a 与b 是平行线,记作“∥”,这里“∥”是平行符号.
教师应强调平行线定义的本质属性,第一是同一平面内两条直线,第二是设有交点的两条直线. 2.同一平面内,两条直线的位置关系
教师引导学生从同一平面内,两条直线的交点情况去确定两条直线的位置关系.
在同一平面内,两条直线只有两种位置关系:相交或平行,两者必居其一.即两条直线不相交就是平行,或者不平行就是相交.
三、画图、观察、归纳概括平行公理及平行公理推论
1.在转动教具木条b 的过程中,有几个位置能使b 与a 平行?
本问题是学生直觉直线b 绕直线a 外一点B 转动时,有并且只有一个位置使a 与b 平行. 2.用直线和三角尺画平行线. 已知:直线a,点B,点C.
(1)过点B 画直线a 的平行线,能画几条?
(2)过点C 画直线a 的平行线,它与过点B 的平行线平行吗? 3.通过观察画图、归纳平行公理及推论.
(1)由学生对照垂线的第一性质说出画图所得的结论. (2)在学生充分交流后,教师板书.
平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.
c
b a
B A
(3)比较平行公理和垂线的第一条性质.
共同点:都是“有且只有一条直线”,这表明与已知直线平行或垂直的直线存在并且是唯一的. 不同点:平行公理中所过的“一点”要在已知直线外,两垂线性质中对“一点”没有限制,可在直线上,也可在直线外. 4.归纳平行公理推论.
(1)学生直观判定过B 点、C 点的a 的平行线b 、c 是互相平行.
(2)从直线b 、c 产生的过程说明直线b∥直线c.
(3)学生用三角尺与直尺用平推方验证b∥c.
(4)师生用数学语言表达这个结论,教师板书.
结果两条直线都与第三条直线平行,那么这条直线也互相平行.
结合图形,教师引导学生用符号语言表达平行公理推论: 如果b∥a,c∥a,那么b∥c. (5)简单应用.
练习:如果多于两条直线,比如三条直线a 、b 、c 与直线L 都平行,那么这三条直线互相平行吗?请说明理由.
本练习是让学生在反复运用平行公理推论中掌握平行公理推论以及说理规范. 四、作业:课本P19.7,P20.11.
5.2.2平行线的判定(一)
教学目标:经历探索两直线平行条件的过程,理解两直线平行的条件. 重点:探索两直线平行的条件
难点:理解“同位角相等,两条直线平行” 教学过程
一、情景导入.
装修工人正在向墙上钉木条,如果木条b 与墙壁边缘垂直,那么木条a 与墙壁边缘所夹角为多少度时,才能使木条a 与木条b 平行?
要解决这个问题,就要弄清楚平行的判定。 二、直线平行的条件
以前我们学过用直尺和三角尺画平行线,如图(课本P13图5.2-5)在三角板移动的过程中,什么没有变?
三角板经过点P 的边与靠在直尺上的边所成的角没有变。 简化图5.2-5,得图3.
G
H
P
F
E 2
1
D C B
A
图3
∠1与∠2是三角板经过点P 的边与靠在直尺上的边所成的角移动前后的位置,显然∠1与∠2是同位角并且它们相等,由此我们可以知道什么?
两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行. 简单地说:同位角相等,两条直线平行. 符号语言:∵∠1=∠2∴AB∥CD. 如图(课本P145.2-7),你能说出木工用图中这种叫做角尺的工具画平行线的道理吗?
c
b a
用角尺画平行线,实际上是画出了两个直角,根据“同位角相等,两条直线平行.”,可知这样画出的就是平行线。
如图,(1)如果∠2=∠3,能得出a ∥b 吗?(2)如果∠2+∠4=1800
,能得出a ∥b 吗?
你能用文字语言概括上面的结论吗?
两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行. 简单地说:内错角相等,两直线平行. 符号语言:∵∠2=∠3∴a∥b.
(2)∵∠4+∠2=180°,∠4+∠1=180°(已知)
∴∠2=∠1(同角的补角相等)
∴a∥b.(同位角相等,两条直线平行) 你能用文字语言概括上面的结论吗?
两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么两条直线平行. 简单地说:同旁内角互补,两直线平行. 符号语言:∵∠4+∠2=180°∴a∥b. 四、课堂练习
1、课本P15练习1,补充(3)由∠A+∠ABC =1800可以判断哪两条直线平行?依据是什么?
2、课本P162题。
五、课堂小结:怎样判断两条直线平行? 六、布置作业::P161、2题;P174、5、6。
5.2.2平行线的判定(二)
教学目标1、掌握直线平行的条件,并能解决一些简单的问题; 2、初步了解推理论证的方法,会正确的书写简单的推理过程。 重点:直线平行的条件及运用
难点:会正确的书写简单的推理过程是 教学过程
一、复习导入
我们学习过哪些判断两直线平行的方法?
(1)平行线的定义:在同一平面内不相交的两条直线平行。
(2)平行公理的推论:如果两条直线都平行于第三条直线,那么这两条直线也互相平行。 (3)两直线平行的条件:两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行. 两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行. 两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行. 二、例题
例在同一平面内,如果两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线平行吗?为什么? 解:这两条直线平行。
∵b⊥ac⊥a(已知)
∴∠1=∠2=90°(垂直的定义) ∴b∥c(同位角相等,两直线平行) 你还能用其它方法说明b∥c 吗?
(1)∵∠2=∠3(已知)∠3=∠1(对顶角相等) ∴∠1=∠2(等量代换)
∴a ∥b (同位角相等,两条直线平行)
3 2
b
a c 4
1
c b a 2
1
方法一:如图(1),利用“内错角相等,两直线平行”说明;方法二:如图(2),利用“同旁内角相等,两直线平行”说明.
c
b
a
2
1
c
b
a
2
1
(1)(2)
注意:本例也是一个有用的结论。
例2如图,点B 在DC 上,BE 平分∠ABD,∠DBE=∠A,则BE ∥AC,请说明理由。
分析:由BE 平分∠ABD 我们可以知道什么?联系∠DBE=∠A ,我们又可以知道什么?由此能得出BE ∥AC 吗?为什么? 解:∵BE 平分∠ABD
∴∠ABE=∠DBE (角平分线的定义) 又∠DBE=∠A
∴∠ABE=∠A (等量代换)
∴BE ∥AC(内错角相等,两直线平行)
注意:用符号语言书写证明过程时,要步步有据。 四、课堂练习
1、如图,∠1=∠2=55°,试说明直线AB ,CD 平行?.
d e
c
b
a
3
4
1
2
1题 2题
2、如图所示,已知直线a,b,c,d,e,且∠1=∠2,∠3+∠4=180°,则a 与c 平行吗??为什么? 五、布置作业::课本P17第7题,P18第12题(提示:画图说明)。
5.3.1平行线的性质
教学目标:1.经历观察、操作、想像、推理、交流等活动,进一步发展空间观念,推理能力和有条理表达能力。
2.经历探索直线平行的性质的过程,掌握平行线的三条性质,并能用它们进行简单的推理和计算. 重点:探索并掌握平行线的性质,能用平行线性质进行简单的推理和计算. 难点:能区分平行线的性质和判定,平行线的性质与判定的混合应用. 教学过程
一、引导学生逆向思维
现在同学们已经掌握了利用同位角相等,或者内错角相等,或者同旁内角互补,判定两条直线平行的三种方法.在这一节课里:大家把思维的指向反过来:如果两条直线平行,那么同位角、内错角、同
A
B
C
D E
3 A B
C
D
E F
2
1
旁内角的数量关系又该如何表达? 二、实践探究
1.学生画图活动:用直尺和三角尺画出两条平行线a ∥b,再画一条截线c 与直线a 、b 相交,标出所形成的八个角(如课本P21图5.3-1).
2.学生测量这些角的度数,把结果填入表内.
角 ∠1
∠2 ∠3 ∠4 ∠5 ∠6 ∠7 ∠8
度数
3.学生根据测量所得数据作出猜想.
(1)图中哪些角是同位角?它们具有怎样的数量关系?(2)图中哪些角是内错角?它们具有怎样的数量关系?
(3)图中哪些角是同旁内角?它们具有怎样的数量关系? 4.学生验证猜测.
学生活动:再任意画一条截线d,同样度量并计算各个角的度数,你的猜想还成立吗? 5.师生归纳平行线的性质,教师板书. 平行线具有性质:
性质1:两条平行线被第三条直线所截,同位角相等,简称为两直线平行,同位角相等. 性质2:两条平行线被第三条直线所截,内错角相等,简称为两直线平行,内错相等.
性质3:两条直线按被第三条线所截,同旁内角互补,简称为两直线平行,同旁内角互补.
教师让学生结合右图,用符号语言表达平行线的这三条性质,教师同时板书平行线的性质和平行线的判定.
平行线的性质平行线的判定
因为a∥b,因为∠1=∠2,
所以∠1=∠2所以a∥b.
因为a∥b,因为∠2=∠3,
所以∠2=∠3,所以a∥b.
因为a∥b,因为∠2+∠4=180°, 所以∠2+∠4=180°,所以a∥b.
6.教师引导学生理清平行线的性质与平行线判定的区别. 学生交流后,师生归纳:两者的条件和结论正好相反:
由角的数量关系(指同位角相等,内错角相等,同旁内角互补),得出两条直线平行的论述是平行线的判定,这里角的关系是条件,两直线平行是结论.
由已知的两条直线平行得出角的数量关系(指同位角相等,内错角相等,同旁内角互补)的论述是平行线的性质,这里两直线平行是条件,角的关系是结论. 7.进一步研究平行线三条性质之间的关系.
教师:大家能根据性质1,推出性质2成立的道理吗? 结合上图,教师启发分析:考察性质1、性质2的结论发生了什么变化?学生回答∠1换成∠3,教师再问∠1与∠3有什么关系?并完成说理过程,教师纠正学生错误,规范地给出说理过程. 因为a∥b,所以∠1=∠2(两直线平行,同位角相等); 又∠3=∠1(对顶角相等),所以∠2=∠3.
教师说明:这是有两步的说理,第一步推理根据平行线性质1,第二步推理的条件不仅有∠1=∠2,还有∠3=∠1.∠2=∠3是根据等式性质.根据等式性质得到的结论可以不写理由. 学生仿照以下说理,说出如何根据性质1得到性质3的道理. 8.平行线性质应用.
c
b a 432
1
讲解课本P23例题
三、巩固练习:课本练习(P22).
四、作业:课本P25.1,2,3,4,6.
5.3.2命题、定理
教学目的:1、知识与技能:了解命题的概念,并能区分命题的题设和结论.
2、经历判断命题真假的过程,对命题的真假有一个初步的了解.
3、初步培养学生不同几何语言相互转化的能力.
重点:命题的概念和区分命题的题设与结论.
难点:区分命题的题设和结论.
教学过程
一、创设情境复习导入
教师出示下列问题:
1.平行线的判定方法有哪些?
2.平行线的性质有哪些.
学生能积极的思考教师所出示的各个问题复习巩固有关的知识点为本节课的学习打下良好的基础.(注意:平行线的判定方法三种,另外还有平行公理的推论)
二、尝试活动探索新知
教师给出下列语句,
①如果两条直线都与第三条直线平行,那么这条直线也互相平行;
②等式两边都加同一个数,结果仍是等式;
③对顶角相等;
④如果两条直线不平行,那么同位角不相等.
学生学生能由教师的引导分析每个语句的特点.思考:你能说一说这4个语句有什么共同点吗?并能耐总结出这些语句都是对某一件事情作出“是”或“不是”的判断.初步感受到有些数学语言是对某件事作出判断的.
教师给出命题的定义.
判断一件事情的语句,叫做命题.
(3)命题的组成.
①命题由题设和结论两部分组成.题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项.
②命题的形成,可以写成“如果……,那么……”的形式。
真命题与假命题:
教师出示问题:
如果两个角相等,那么它们是对顶角.
如果a>b.b>c那么a=b
如果两个角互补,那么它们是邻补角.
三、尝试反馈理解新知
明确命题有正确与错误之分:
命题的正确性是我们经过推理证实的,这样得到的真命题叫做定理,作为真命题,定理也可以作为继续推理的依据.
1.“等式两边乘同一个数,结果仍是等式”是命题吗?它们题设和结论分别是什么?
2.命题“两条平行线被第三第直线所截,内错角相等”是正确的?命题“如果两个角互补,那么它们是邻补角”是正确吗?再举出一些命题的例子,判断它们是否正确.
四、总结拓展:教师引导学生完成本节课的小结,强调重要的知识点.
五、布置作业:习题5.3第11题.
5.4平移
教学目标:1、了解平移的概念,会进行点的平移,理解平移的性质,能解决简单的平移问题
2、培养学生的空间观念,学会用运动的观点分析问题.
重点:平移的概念和作图方法.
难点:平移的作图.
教学过程
一.观察图形形成印象
生活中有许多美丽的图案,他们都有着共同的特点,请同学们欣赏下面图案.
观察上面图形,我们发现他们都有一个局部和其他部分重复,如果给你一个局部,你能复制他们吗?学生思考讨论,借助举例说明.
二.提出新知实践探索
平移:(1)把一个图形整体沿某一方向移动,会得到一个新的图形,新图形与原图形的形状和大小完全相同.(2)新图形中的每一点,都是由原图形中的某一个点移动后得到的,这两个点是对应点.(3)连接各组对应的线段平行且相等.图形的这种变换,叫做平移变换,简称平移
探究:设计一个简单的图案,利用一张半透明的纸附在上面,绘制一排形状,大小完全一样的图案
引导学生找规律,发现平移特征
三.典例剖析深化巩固
例如图,(1)平移三角形ABC,使点A运动到A`,画出平移后的ΔABC
先观察探讨,再通过点的平移,线段的平移总结规律,给出定义
探究活动可以使学生更进一步了解平移
四、巩固练习课本33页:1,2,4,5,6,7
五、小结:在平移过程中,对应点所连的线段也可能在一条直线上,当图形平移的方向是沿着一边所在直线的方向时,那么此边上的对应点必在这条直线上。2利用平移的特征,作平行线,构造等量关系是接7题常用的方法.
六、作业课本P33页习题5.4第3题
第五章小结
教学目标:1.经历对本章所学知识回顾与思考的过程,将本章内容条理化,系统化,梳理本章的知识结构.
2.通过对知识的疏理,进一步加深对所学概念的理解,进一步熟悉和掌握几何语言,能用语言说明几何图形.
3.使学生认识平面内两条直线的位置关系,在研究平行线时,能通过有关的角来判断直线平行和反映平行线的性质,理解平移的性质,能利用平移设计图案.
重点:复习正面内两条直线的相交和平行的位置关系,以及相交平行的综合应用. 难点:垂直、平行的性质和判定的综合应用. 教学过程
一、复习提问
本章相交线、平行线中学习了哪些主要问题?教师根据学生的回答,逐步形成本章的知识结构图,使所学知识系统化. 二、回顾与思考
平移
判定
性质
同位角,内错角,同旁内角
点到直线的距离
垂线及其性质
对顶角相等邻补角,对顶角平行公理
两三条条 直直线线被所第截两线条相直交
平行
相交
平线 面的 内位两置条关直系
1.对顶角、邻补角。 (1)教师提出问题①两条直线相交、构成哪两种特殊位置关系的角?指出图(1)中具有这两种位置的角.
O
D
C
B
A
O
D
C
B A
c
b
a
4
3
21
(1) (2) (3)
②如图(2)中,若∠AOD=90°,那么直线AB,CD 的位置关系如何? ③如图(3)中,∠1与∠2,∠2与∠3,∠3与∠4是怎么位置关系的角?
(2)学生回答.
(3)教师强调:对顶角、邻补角是由两条相交面而成的具有特殊位置关系的角,要抓住对顶角的特征,有公共顶角,角的两边互为反向延长线;邻补角的特征:有公共顶有一条公共边,另一边互为反向延长线。
(4)对顶角有什么性质?(对顶角相等)如果两个对顶角互补或邻补角相等,你得到什么结论?
让学生明确,对顶角总是相等,邻补角一定互补,但加上其他条件如对顶角或邻补角相等后,那么问题中每个角的度数就随之确定,为90°角,这时两条直线互相垂直.
2.垂线及其性质.(1)复习时教师应强调垂线的定义即可以作垂线的制定方法用,也可以作垂线性质用.
作判定用时写成:如图(2),因为∠AOD=90°,所以AB ⊥CD,这是一个角的“数”到两直线垂直的“形”的判断。
作为性质用时写成:如图(2),因为AB ⊥CD,所以∠AOD=90°。这是由“形”到“数”的说理。 (2)如图(4),直线AB 、CD 、EF 相交于点O,CD ⊥EF,∠1=35°,求∠2的度数.
F
E
2
1
D C
B
A
l
C
B A
D
C
B
A
(4) (5) (6) 鼓励学生用不同方法求解. (3)垂线性质1和性质2.
让学生叙述垂线的性质,懂得分清这两个命题的题设和结论,垂线性质一说得过一点已知直线的垂线存在并且唯一的. 学生思考:①请回忆一下后体育课测跳远成绩时,教师是怎样测量的?
如图(5),AB ⊥L,BC ⊥L,B 为重足,那么A 、B 、C 三点在同一条直线上吗? ②为什么? ③点到直线的距离、两条平行线的距离.
初中阶级学习了三种距离,即是距离,就要懂得的共同点:距离都是线段的长度,又要懂得区别:两点间的距离是连接这两点的线段的长度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度,平行线间的距离是某条直线上的一点到另一点平行线的距离. 学生练习:①如图(6),四边形ABCD,AD ∥BC,AB ∥CD,过A 作AE ⊥BC,过A 作AF ⊥CD,垂足分别是E 、F,量出点A 到BC 的距离和AB 、CD 平行线间的距离. ②请归纳一下与垂直有关的知识中,有哪些重要结论? 如垂线的性质1、2,又如两种直线都垂直于第三条直线,这两条直线平行,一条直线与平行线中一条垂直,也与另一条垂直……
3.同位角、内错角、同旁内角.
只要求学生从图形中找出同位角,内错角,同旁内角.
练习:如图(7),找出∠1、∠2、∠3中哪两个是同位角、内错角、同旁内角. 4.平行线判定与性质 (1)怎样判别两条直线是否平行. (2)平行线有什么特征?
(3)对比平行线的性质和直线平行的条件,它们有什么异同?
(4)为什么研究平面内两直线的位置关系总是与角联系起来?围绕这些问题展开讨论,交流.
c b
a
3
2
1
图(7)
教师使学生进一步明确:平行线的判定也是由“数”即角与角的关系到“形”的判断,而性质则是“形”到“数”的说理,在研究两条直线的垂直或平行时共同点是把研究它们的位置关系转化为研究角或角之间的关系。
学生练习:①填空:如图(8),当_______时,a ∥c,理由是________;当______时,b ∥c,理由是_________;当a ∥b,b ∥c 时,______∥______,理由是_________.
c
b d
a
4
32
1D
C
B
A
B '
D
C
B
A
(8) (9) (10) ②如图(9),AB ∥CD,∠A=∠C,试判断AD 与BC 的位置关系?为什么? 教师根据学生情况酌情给予引导. 5.关于平移,让学生思考:
(1)图形平移时,连接对应点有什么关系?(2)如何确定图形平移的方向和平移的距离? (3)你能用平移设计一些图案吗?
练习:如图(10),平移四边形ABCD,使点B 移动到点B′,画出平移后的四边形A′B′C′D′. 三、作业课本P3 9.1~8.
第六章 平面直角坐标系
6.1.1有序数对
教学目标:1、理解有序数对的应用意义,了解平面上确定点的常用方法
2、培养学生用数学的意识,激发学生的学习兴趣.
重点:有序数对及平面内确定点的方法. 难点:利用有序数对表示平面内的点. 教学过程 一.问题探知
1.一位居民打电话给供电部门:“卫星路第8根电线杆的路灯坏了,”维修人员很快修好了路灯同学们欣赏下面图案.
2.地质部门在某地埋下一个标志桩,上面写着“北纬44.2°东经125.7°”。 3.某人买了一张8排6号的电影票,很快找到了自己的座位。 分析以上情景,他们分别利用那些数据找到位置的。 你能举出生活中利用数据表示位置的例子吗? 二.概念确定
有序数对:用含有两个数的词表示一个确定的位置,其中各个数表示不同的含义,我们把这种有顺序的两个数a 与b 组成的数对,叫做有序数对(orderedpair ),记作(a,b )。利用有序数对,可以很准确地表示出一个位置。
与3大道例1如图,点A 表示3街与5大道的十字路口,点B 表示5街与3大道的十字路口,如果用(3,5)(4,5)→(5,5)→(5,4)→(5,3)表示由A 到B 的一条路径,那么你能用同样的方法写出由A 到B
的其他几条路径吗?
6大道
5大道 A 4大道 3大道 B 2大道 1大道 1街 2街 3街 4街 5街 6街
分析:图中确定点用前一个数表示大街,后一个数表示大道。 解:其他的路径可以是:
(3,5)→(4,5)→(4,4)→(5,4)→(5,3); (3,5)→(4,5)→(4,4)→(4,3)→(5,3); (3,5)→(3,4)→(4,4)→(5,4)→(5,3); (3,5)→(3,4)→(4,4)→(4,3)→(5,3); (3,5)→(3,4)→(3,3)→(4,3)→(5,3); 1.在教室里,根据座位图,确定数学课代表的位置 2.教材40页练习 三.方法归类
常见的确定平面上的点位置常用的方法
(1)以某一点为原点(0,0)将平面分成若干个小正方形的方格,利用点所在的行和列的位置来确定点的位置。
(2)以某一点为观察点,用方位角、目标到这个点的距离这两个数来确定目标所在的位置。
1.如图,A 点为原点(0,0),则B 点记为(3,1)
2.如图,以灯塔A 为观测点,小岛B 在灯塔A 北偏
东45,距灯塔3km 处。 例2如图是某次海战中敌我双方舰艇对峙示意图 ,对我方舰艇来说: 1)北偏东方向上有哪些目标?要想确定
敌舰B 的位置,还需要什么数据?
(2)距我方潜艇图上距离为1cm 处的敌
舰有哪几艘?
(3)要确定每艘敌舰的位置,各需要几个数据?
四、课堂小结
1.为什么要用有序数对表示点的位置,没有顺序可以吗?
2.几种常用的表示点位置的方法. 五、作业布置教科书44页:1题
6.1.2平面直角坐标系
教学目标:1、认识平面直角坐标系,了解点的坐标的意义,会用坐标表示点,能画出点的坐标位
2、渗透对应关系,提高学生的数感.
重点:平面直角坐标系和点的坐标.
A (灯塔)
B (小岛)北45°
我方战舰2号我方战舰1号敌方战舰C 敌方战舰B
敌方战舰A 小岛我方潜艇
北
难点:正确画坐标和找对应点.
一.利用已有知识,引入
1.如图,怎样说明数轴上点A 和点B
的位置, 2.根据下图,你能正确说出各个象棋子的位置吗?
二.明确概念
平面直角坐标系:平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴,组成平面直角坐标系.水平的数轴称为x 轴或横轴,习惯上取向右为正方向;竖直的数轴为y 轴或纵轴,正方向;两个坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
点的坐标:我们用一对有序数对表示平面上的点,这对数叫坐标。表示方法为(a,b ).a 是点对应横轴上的数值,b 是点在纵轴上对应的数值。 例1写出图中A 、B 、C 、D 点的坐标。
建立平面直角坐标系后,平面被坐标轴分成四部分, 分别叫第一象限,第二象限,第三象限和第四象限。 你能说出例1中各点在第几象限吗?
例2在平面直角坐标系中描出下列各点。 A (3,4);B (-1,2);C (-3,-2);D (2,-2)
问题1:各象限点的坐标有什么特征?练习:教材43页:练习1,2。 三.深入探索
识别坐标和点的位置关系,以及由坐标判断两点的关系以及两点所确定的直线的位置关系。 四、巩固练习:教材44页习题6.1——第1题;教材45页——第2,4,5,6。 五、课堂小结
1.平面直角坐标系;
2.点的坐标及其表示;
3.各象限内点的坐标的特征;
4.坐标的简单应用 六、作业布置:课本P45第3题
6.2.1用坐标表示地理位置
教学目标:1.了解用平面直角坐标系来表示地理位置的意义及主要过程;培养学生解决实际问题的能力.
2.通过学习如何用坐标表示地理位置,发展学生的空间观念. 3.通过学习,学生能够用坐标系来描述地理位置.
4.通过用坐标系表示实际生活中的一些地理位置,培养学生的认真、严谨的做事态度. 重点:利用坐标表示地理位置.
难点:建立适当的直角坐标系,利用平面直角坐标系解决实际问题.
O
C A B
D
B
A -1
1
-4-3
-2
2
3
教学过程
一、创设问题情境
观察:教材第49页图6.2-1.
今天我们学习如何用坐标系表示地理位置,首先我们来探究以下问题.
二、师生互动,探究用坐标表示地理位置的方法
活动1:
根据以下条件画一幅示意图,指出学校和小刚家、小强家、小敏家的位置.
小刚家:出校门向东走150米,再向北走200米.
小强家:出校门向西走200米,再向北走350米,最后再向东走50米.
小敏家:出校门向南走100米,再向东走300米,最后向南走75米.
问题:如何建立平面直角坐标系呢?以何参照点为原点?如何确定x轴、y轴?如何选比例尺来绘制区域内地点分布情况平面图?
小刚家、小强家、小敏家的位置均是以学校为参照物来描述的,故选学校位置为原点.根据描述,可以以正东方向为x轴,以正北方向为y轴建立平面直角坐标系,并取比例尺1:10000(即图中1cm相当于实际中10000cm,即100米).
由学生画出平面直角坐标系,标出学校的位置,即(0,0).
引导学生一同完成示意图.
问题:选取学校所在位置为原点,并以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向有什么优点?
可以很容易地写出三位同学家的位置.
活动2:归纳利用平面直角绘制区域内一些地点分布情况平面图的过程.
经过学生讨论、交流,教师适当引导后得出结论:
(1)建立坐标系,选择一个适当的参照点为原点,确定x轴、y轴的正方向;
(2)根据具体问题确定适当的比例尺,在坐标轴上标出单位长度;
(3)在坐标平面内画出这些点,写出各点的坐标和各个地点的名称.
应注意的问题:
用坐标表示地理位置时,一是要注意选择适当的位置为坐标原点,这里所说的适当,通常要么是比较有名的地点,要么是所要绘制的区域内较居中的位置;二是坐标轴的方向通常是以正北为纵轴的正方向,这样可以使东西南北的方向与地理位置的方向一致;三是要注意标明比例尺和坐标轴上的单位长度.
有时,由于地点比较集中,坐标平面又较小,各地点的名称在图上可以用代号标出,在图外另附名称.
活动3:进一步理解如何用坐标表示地理位置.
展示问题:(教材第56页活动1,公园平面图)
让学生分别画出直角坐标系,标出其他景点的位置.
三、课堂小结:让学生归纳说出如何利用坐标表示地理位置.
四、课后作业:第54页第5题、第8题.
6.2.2用坐标表示平移
教学目标:1.掌握坐标变化与图形平移的关系;能利用点的平移规律将平面图形进行平移;会根据图形上点的坐标的变化,来判定图形的移动过程.
2.发展学生的形象思维能力,和数形结合的意识.
3.用坐标表示平移体现了平面直角坐标系在数学中的应用.
4.培养学生探究的兴趣和归纳概括的能力,体会使复杂问题简单化.
重点:掌握坐标变化与图形平移的关系.
难点:利用坐标变化与图形平移的关系解决实际问题.
教学过程
一、引言
上节课我们学习了用坐标表示地理位置,本节课我们继
续研究坐标方法的另一个应用.
二、新课
展示问题:教材第56页图.
(1)如图将点A(-2,-3)向右平移5个单位长度,得
到点A1,在图上标出它的坐标,把点A向上平移4个单位长
度呢?
(2)把点A向左或向下平移4个单位长度,观察他们的变
化,你能从中发现什么规律吗?
(3)再找几个点,对他们进行平移,观察他们的坐标是否按你发现的规律变化?
规律:在平面直角坐标系中,将点(x,y)向右(或左)平移a个单位长度,可以得到对应点(x+a,y)(或(,));将点(x,y)向上(或下)平移b个单位长度,可以得到对应点(x,y+b)(或(,)).教师说明:对一个图形进行平移,这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化;反过来,从图形上的点的坐标的某种变化,我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移.
例如图(1),三角形ABC三个顶点坐标分别是A(4,3),B(3,1),C(1,2).
(1)将三角形ABC三个顶点的横坐标后减去6,纵坐标不变,分别得到点A1、B1、C1,依次连接A1、B1、C1各点,所得三角形A1B1C1与三角形ABC的大小、形状和位置上有什么关系?(2)将三角形ABC三个顶点的纵坐标都减去5,横坐标不变,分别得到点A2、B2、C2,依次连接A2、B2、C2各点,所得三角形A2B2C2与三角形ABC的大小、形状和位置上有什么关系?
引导学生动手操作,按要求画出图形后,解答此例题.
解:如图(2),所得三角形A1B1C1与三角形ABC的大小、形状完全相同,三角形A1B1C1可以看作将三角形ABC向左平移6个单位长度得到.类似地,三角形A2B2C2与三角形ABC的大小、形状完全相同,它可以看作将三角形ABC向下平移5个单位长度得到.
课本P52思考题:由学生动手画图并解答.
归纳:
三、练习:教材第53页练习;习题6.2中第1、2、4题.
四、作业布置第54页第3题.
第七章三角形
7.1.1三角形的边
教学目标1.认识三角形,了解三角形的意义,认识三角形的边、内角、顶点,能用符号语言表示三角形.
2.经历度量三角形边长的实践活动中,理解三角形三边不等的关系.
3.懂得判断三条线段可否构成一个三角形的方法,并能运用它解决有关的问题.
重点:1.对三角形有关概念的了解,能用符号语言表示三条形.
难点: 1.在具体的图形中不重复,且不遗漏地识别所有三角形.
2.用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形.
教学过程
一、看一看
1.图形见章前图.
教师叙述:三角形是一种最常见的几何图形之一.(看条件许可,可以把古埃及的金字塔、飞机、飞船、分子结构……的投影,给同学放映)从古埃及的金字塔到现代的飞机、上天的飞船,从宏大的建筑如
七年级数学下册知识点归纳 第五章相交线与平行线 5.1相交线 一、相交线两条直线相交,形成4个角。 1、两条直线相交所成的四个角中,相邻的两个角叫做邻补角,特点是两个角共用一条边,另一条边互为反向延长线,性质是邻补角互补;相对的两个角叫做对顶角,特点是它们的两条边互为反向延长线。性质是对顶角相等。 ①邻补角:两个角有一条公共边,它们的另一条边互为反向延长线。具有这种关系的两个角,互为邻补角。如:∠1、∠2。 ②对顶角:两个角有一个公共顶点,并且一个角的两条边,分别是另一个角的两条边的反向延长线,具有这种关系的两个角,互为对顶角。如:∠1、∠3。 ③对顶角相等。 二、垂线 1.垂直:如果两条直线相交成直角,那么这两条直线互相垂直。 2.垂线:垂直是相交的一种特殊情形,两条直线垂直,其中一条直线叫 做另一条直线的垂线。 3.垂足:两条垂线的交点叫垂足。 4.垂线特点:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 5.点到直线的距离:直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫点到直 线的距离。连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。 三、同位角、内错角、同旁内角两条直线被第三条直 线所截形成8个角。 1.同位角:(在两条直线的同一旁,第三条直线的同一侧)在两条直线的上方,又 在直线EF的同侧,具有这种位置关系的两个角叫同位角。如:∠1和∠5。 2.内错角:(在两条直线内部,位于第三条直线两侧)在两条直线之间,又在直线 EF的两侧,具有这种位置关系的两个角叫内错角。如:∠3和∠5。 3.同旁内角:(在两条直线内部,位于第三条直线同侧)在两条直线之间,又在直 线EF的同侧,具有这种位置关系的两个角叫同旁内角。如:∠3和∠6。 5.2平行线及其判定 (一)平行线 1.平行:两条直线不相交。互相平行的两条直线,互为平行线。a∥b(在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线。) 2.平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行。 3.平行公理推论:平行于同一直线的两条直线互相平行。如果b//a,c//a,那么b//c (二)平行线的判定: 1.两条平行线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行。(同位角相等,两直线平行) 2.两条平行线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行。(内错角相等,两直线平行) 3.两条平行线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行。(同旁内角互补,两直线平行) 推论:在同一平面内,如果两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线平行。
人教版七年级下册数学课本知识点归纳 第五章相交线与平行线 一、相交线两条直线相交,形成4个角。 1.邻补角:两个角有一条公共边,它们的另一条边互为反向延长线。具有这种关系的两个角,互为邻补角。如:∠1、∠2。 2.对顶角:两个角有一个公共顶点,并且一个角的两条 边,分别是另一个角的两条边的反向延长线,具有这种 关系的两个角,互为对顶角。如:∠1、∠3。 3.对顶角相等。 二、垂线 1.垂直:如果两条直线相交成直角,那么这两条直线互相垂直。2.垂线:垂直是相交的一种特殊情形,两条直线垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线。 3.垂足:两条垂线的交点叫垂足。 4.垂线特点:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 5.点到直线的距离:直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫点到直线的距离。连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。 三、同位角、内错角、同旁内角两条直线被第三条直线所截形成8个角。
1.同位角:在两条直线的上方,又在直线EF的同侧,具有这种位置关系的两个角叫同位角。如:∠1和∠5。 2.内错角:在在两条直线之间,又在直线EF的两侧,具有这种位置关系的两个角叫内错角。如:∠3和∠5。 3.同旁内角:在在两条直线之间,又在直线EF的同侧, 具有这种位置关系的两个角叫同旁内角。如:∠3和∠6。 四、平行线 (一)平行线 1.平行:两条直线不相交。互相平行的两条直线,互为平行线。a∥b (在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线。) 2.平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行。 3.平行公理推论:①平行于同一直线的两条直线互相平行。 ②在同一平面内,垂直于同一直线的两条直线互相平行。 (二)平行线的判定: 1.同位角相等,两直线平行。 2.内错角相等,两直线平行。 3.同旁内角互补,两直线平行。 (三)平行线的性质 1.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等。 2.两条平行线被第三条直线所截,内错角相等。 3.两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补。 4.两条平行线被第三条直线所截,外错角相等。
最新版人教版七年级数学下册知识点 第五章 相交线与平行线 一、知识网络结构 二、知识要点 1、在同一平面内,两条直线的位置关系有 两 种: 相交 和 平行 , 垂直 是相交的一种特殊情况。 2、在同一平面内,不相交的两条直线叫 平行线 。如果两条直线只有 一个 公共点,称这两条直线相交;如果两条直线 没有 公共点,称这两条直线平行。 3、两条直线相交所构成的四个角中,有 公共顶点 且有 一条公共边 的两个角是邻补角。邻补角的性质: 邻补角互补 。如图1所示, 与 互为邻补角, 与 互为邻补角。 + = 180°; + = 180° ; + = 180°; + = 180°。 4、两条直线相交所构成的四个角中,一个角的两边分别是另一个角的两边的 反向延长线 ,这样的两个角互为 对顶角 。对顶角的性质:对顶角相等。如图1 ?????????????????????????????????????????????????????????????平移 命题、定理的两直线平行:平行于同一条直线性质角互补 :两直线平行,同旁内性质相等:两直线平行,内错角性质相等:两直线平行,同位角性质平行线的性质的两直线平行 :平行于同一条直线判定直线平行 :同旁内角互补,两判定线平行 :内错角相等,两直判定线平行 :同位角相等,两直判定定义平行线的判定平行线,不相交的两条直线叫平行线:在同一平面内平行线及其判定内角同位角、内错角、同旁垂线 相交线相交线相交线与平行线 4321 4321____________________________:图1 1 3 4 2
所示, 与 互为对顶角。 = ; = 。 5、两条直线相交所成的角中,如果有一个是 直角或90°时,称这两条直线互相垂直, 其中一条叫做另一条的垂线。如图2所示,当 = 90°时, 垂线的性质: 性质1:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 性质2:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。 性质3:如图2所示,当 a ⊥ b 时, = = = = 90°。 点到直线的距离:直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫点到直线的距离。6、同位角、内错角、同旁内角基本特征: ①在两条直线(被截线)的 同一方 ,都在第三条直线(截线)的两个角叫 同位角 。图3中,共有 对同位角: 与 是同位角; 与 是同位角; 与 是同位角; 与 是同位角。 ②在两条直线(被截线) 之间 ,并且在第三条直线(截线)的 两侧 ,这样的两个角叫 内错角 。图3中,共有 对内错角: 与 是内错角; 与 是内错角。 ③在两条直线(被截线)的 之间 ,都在第三条直线(截线)的 同一旁 ,这样的两个角叫 同旁内角 。图3中,共有 对同旁内角: 与 是同旁内角; 与 是同旁内角。 7、平行公理:经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。 平行公理的推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。 平行线的性质: 性质1:两直线平行,同位角相等。如图4所示,如果a ∥b , 则 = ; = ; = ; = 。 图3 图4 a 5 7 8 6 1 3 4 2 b c
2005年春季期七年级数学第九章复习测试题 一、填空题(每空2分,共28分) 1、不等式的负整数解是 2、若_______ ;不等式解集是,则取值范围是 3、一次普法知识竞赛共有30道题,规定答对一道题得4分,答错或不答,一道题得-1分,在这次竞赛中,小明获得优秀(90或90分以上),则小明至少答对了道题。 4、不等式组的解集是。 5、如图数轴上表示的是一不等式组的解集,这个不等式组的整数解是 6、若代数式1-x-22 的值不大于1+3x3 的值,那么x的取值范围是_______________________。 7、若不等式组无解,则m的取值范围是. 8、已知三角形三边长分别为3、(1-2a)、8,则a的取值范围是____________。 9、若,则点在第象限。 10、已知点M(1-a,a+2)在第二象限,则a的取值范围是_______________。 11、在方程组的取值范围是____________________ 12、某书城开展学生优惠售书活动,凡一次性购书不超过200元的一律九折优惠,超过200元的,其中200元按九折算,超过200元的部分按八折算。某学生第一次去购书付款72元,第二次又去购书享受了八折优惠,他查看了所买书的定价,发现两次共节省了34元钱。则该学生第二次购书实际付款元。 12、阳阳从家到学校的路程为2400米,他早晨8点离开家,要在8点30分到8点40分之间到学校,如果用x表示他的速度(单位:米/分),则x的取值范围为。 二、选择题(每小题3分,共30分) 1、若∣-a∣=-a则有 (A) a≥0 (B) a≤0 (C) a≥-1 (D) -1≤a≤0 2、不等式组的最小整数解是() A.-1 B.0 C.2 D.3 3、不等式组的解集在数轴上的表示正确的是() A B C D 4、在ABC中,AB=14,BC=2x,AC=3x,则x的取值范围是() A、x>2.8 B、2.8<x<14 C、x<14 D、7<x<14 5、下列不等式组中,无解的是() (B) (C) (D) 6、如果0 2014年最新版人教版七年级数学下册知识点 第五章 相交线与平行线 一、知识网络结构 二、知识要点 1、在同一平面内,两条直线的位置关系有 两 种: 相交 和 平行 , 垂直 是相交的一种特殊情况。 2、在同一平面内,不相交的两条直线叫 平行线 。如果两条直线只有 一个 公共点,称这两条直线相交;如果两条直线 没有 公共点,称这两条直线平行。 3、两条直线相交所构成的四个角中,有 公共顶点 且有 一条公共边 的两个角是 邻补角。邻补角的性质: 邻补角互补 。如图1所示,∠1与∠2互为邻补角,∠2 与 ∠3互为邻补角,∠3 与 ∠4互为邻补角,∠4与∠1互为邻补角。∠1+∠2= 180°;∠2+ ∠3= 180°;∠3+∠4 = 180°;∠4+∠1 = 180°。 4、两条直线相交所构成的四个角中,一个角的两边分别是另一个角的两边的 反向延长线 ,这样的两个角互为 对顶角 。对顶角的性质:对顶角相等。如图1所示,∠1与 ???????????????????????????????????????????????????????????平移 命题、定理 的两直线平行:平行于同一条直线性质角互补:两直线平行,同旁内性质相等:两直线平行,内错角性质相等:两直线平行,同位角性质平行线的性质的两直线平行 :平行于同一条直线判定直线平行 :同旁内角互补,两判定线平行 :内错角相等,两直判定线平行 :同位角相等,两直判定定义平行线的判定平行线,不相交的两条直线叫平行线:在同一平面内平行线及其判定内角同位角、内错角、同旁垂线相交线相交线相交线与平行线 4321 4321____________________________:图1 1 3 4 2 a 初一(七年级)上册数学知识点:一元一次方程 1.一元一次方程:只含有一个未知数,并且未知数的次数是1,并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程。 2.一元一次方程的标准形式:ax+b=0(x是未知数,a、b是已知数,且a≠0)。 3.条件:一元一次方程必须同时满足4个条件: (1)它是等式; (2)分母中不含有未知数; (3)未知数最高次项为1; (4)含未知数的项的系数不为0. 4.等式的性质: 等式的性质一:等式两边同时加一个数或减去同一个数或同一个整式,等式仍然成立。 等式的性质二:等式两边同时扩大或缩小相同的倍数(0除外),等式仍然成立。 等式的性质三:等式两边同时乘方(或开方),等式仍然成立。 解方程都是依据等式的这三个性质等式的性质一:等式两边同时加一个数或减同一个数,等式仍然成立。 5.合并同类项 (1)依据:乘法分配律 (2)把未知数相同且其次数也相同的相合并成一项;常数计算后合并成一项 (3)合并时次数不变,只是系数相加减。 6.移项 (1)含有未知数的项变号后都移到方程左边,把不含未知数的项移到右边。 (2)依据:等式的性质 (3)把方程一边某项移到另一边时,一定要变号。 7.一元一次方程解法的一般步骤: 使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。 一般解法: (1)去分母:在方程两边都乘以各分母的最小公倍数; (2)去括号:先去小括号,再去中括号,最后去大括号;(记住如括号外有减号的话一定要变号) (3)移项:把含有未知数的项都移到方程的一边,其他项都移到方程的另一边;移项要变号 (4)合并同类项:把方程化成ax=b(a≠0)的形式; (5)系数化成1:在方程两边都除以未知数的系数a,得到方程的解x=b/a. 8.同解方程 如果两个方程的解相同,那么这两个方程叫做同解方程。 9.方程的同解原理: (1)方程的两边都加或减同一个数或同一个等式所得的方程与原方程是同解方程。 (2)方程的两边同乘或同除同一个不为0的数所得的方程与原方程是同解方程。 10.列一元一次方程解应用题: 最新人教版七年级下册数学课本知识点归纳 第五章相交线与平行线 一、相交线两条直线相交,形成4个角。 1.邻补角:两个角有一条公共边,它们的另一条边互为反向延长线。具有这种关系的两个角,互为邻补角。如:∠1、∠2。 2.对顶角:两个角有一个公共顶点,并且一个角的两条 边,分别是另一个角的两条边的反向延长线,具有这种 关系的两个角,互为对顶角。如:∠1、∠3。 3.对顶角相等。 二、垂线 1.垂直:如果两条直线相交成直角,那么这两条直线互相垂直。2.垂线:垂直是相交的一种特殊情形,两条直线垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线。 3.垂足:两条垂线的交点叫垂足。 4.垂线特点:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 5.点到直线的距离:直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫点到直线的距离。连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。 三、同位角、内错角、同旁内角两条直线被第三条直线所截形成8个角。 1.同位角:在两条直线的上方,又在直线EF的同侧,具有这种位置关系的两个角叫同位角。如:∠1和∠5。 2.内错角:在在两条直线之间,又在直线EF的两侧,具有这种位置关系的两个角叫内错角。如:∠3和∠5。 3.同旁内角:在在两条直线之间,又在直线EF的同侧, 具有这种位置关系的两个角叫同旁内角。如:∠3和∠6。 四、平行线 (一)平行线 1.平行:两条直线不相交。互相平行的两条直线,互为平行线。a∥b (在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线。) 2.平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行。 3.平行公理推论:①平行于同一直线的两条直线互相平行。 ②在同一平面内,垂直于同一直线的两条直线互相平行。 (二)平行线的判定: 1.同位角相等,两直线平行。 2.内错角相等,两直线平行。 3.同旁内角互补,两直线平行。 (三)平行线的性质 1.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等。 2.两条平行线被第三条直线所截,内错角相等。 3.两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补。 4.两条平行线被第三条直线所截,外错角相等。 第五章相交线与平行线 1、两条直线相交所成的四个角中,相邻的两个角叫做邻补角,特点是两个角共用一条边,另一条边互为反向延长线,性质是邻补角互补;相对的两个角叫做对顶角,特点是它们的两条边互为反向延长线。性质是对顶角相等。 2、三线八角:对顶角(相等),邻补角(互补),同位角,内错角,同旁内角。 3、两条直线被第三条直线所截: 同位角F(在两条直线的同一旁,第三条直线的同一侧) 内错角Z(在两条直线内部,位于第三条直线两侧) 同旁内角U(在两条直线内部,位于第三条直线同侧) 4、两条直线相交所成的四个角中,如果有一个角为90度,则称这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另外一条直线的垂线,他们的交点称为垂足。 5、垂直三要素:垂直关系,垂直记号,垂足 6、垂直公理:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 7、垂线段最短。 8、点到直线的距离:直线外一点到这条直线的垂线段的长度。 9、平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行。 推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。如果b//a,c//a,那么b//c 10、平行线的判定: ①同位角相等,两直线平行。②内错角相等,两直线平行。③同旁内角互补,两直线平行。 11、推论:在同一平面内,如果两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线平行。 12、平行线的性质: ①两直线平行,同位角相等;②两直线平行,内错角相等;③两直线平行,同旁内角互补。 13、平面上不相重合的两条直线之间的位置关系为_______或________ 14、平移:①平移前后的两个图形形状大小不变,位置改变。②对应点的线段平行且相等。 平移:在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,图形的这种移动叫做平移平移变换,简称平移。 对应点:平移后得到的新图形中每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这样的两个点叫做对应点。 15、命题:判断一件事情的语句叫命题。 命题分为题设和结论两部分;题设是如果后面的,结论是那么后面的。 命题分为真命题和假命题两种;定理是经过推理证实的真命题。 用尺规作线段和角 1.关于尺规作图:尺规作图是指只用圆规和没有刻度的直尺来作图。 2.关于尺规的功能 直尺的功能是:在两点间连接一条线段;将线段向两方向延长。 圆规的功能是:以任意一点为圆心,任意长度为半径作一个圆;以任意一点为圆心,任意长度为半径画一段弧。 第六章实数 一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数零有限小数和无限循环小数 实数负有理数 正无理数 无理数无限不循环小数 负无理数 人教版七年级数学下册教材分析 小街中学王祖云 七年级下册包括六章,约需61课时,具体内容如下: 第五章:相交线与平行线13课时第六章:实数8课时 第七章:平面直角坐标系7课时第八章:二元一次方程组10课时第九章:不等式与不等式组13课时 第十章:数据的收集、整理与描述8课时 教材分析 (1)内容多,且章章都是重点 人教版七年级下册的内容包括:相交线与平行线,实数,平面直角坐标系,二元一次方程组,不等式与不等式组,数据的收集、整理与描述六章,且章章都是重点,如:相交线和平行线这一章涉及对顶角相等,平行线的性质和判定,都是以后几何证明中不可缺少的基本组成部分;平面直角坐标系,是今后学习函数图象的基础,是数与形之间的桥梁,实数这一章在原来的人教版教材中是安排在八年级时候才学习,而在2012年修订的新人教版中安排在七年级就学习,教师在讲解的时候有些知识现在还没有学习如直角三角形的勾股定理就要讲解;二元一次方程组,不等式与不等式组,实数这三章是数与代数部分的重点内容。 (2)课时不足,教材跳跃度大 新教材采用循序渐进、螺旋上升的设计,对知识点的阐述是由浅入深、逐级递进,顺应了学生的认识心理规律,但这样的编排使学生在某一阶段对某一内容的学习无法深入,学不透彻,不利于应用知识结构的构件,教师在教学时就要弥补这些不足。如何弥补?增加课时,有些内容让学生学透,如判断直线平行,书本只安排了3课时,如果按照教材要求,学生的说理书写各式各样,而且可以看出有些学生的思维明显混乱,若作要求吧,无疑增加了教学内容,而且还要通过一定的练习,增加了教学时间,而以往的这块内容安排了5课时,而且即便是5课时,我们往往都还要增加一两节来加以巩固。这只是我提到的一个内容,还有其它,如三角形、二元一次方程组、不等式与不等式组等都需要刚才说的增加教学时间。 (3)作业偏难,学生接受能力差 新课程是以城市学校为样本,适用中等偏上的学生,稍微差点的学生则跟不上。例如在讲平行线时,不提三线八角,而在直线平行的条件中,又讲到了同位角,内错角,同旁内角。学生的证明能力迟迟得不到培养,一些老师怕学生学不好,偷偷摸摸给学生补旧教材中的有关内容,难免穿新鞋走老路。 学生基础练习完成已是不错,作业还要综合运用,拓广探索! 教材教学的突破 1、关注推理能力培养的三个层次 七年级下册数学试卷一 (时间:120分钟 满分:100分) 一、细心填一填(每题2分,共24分) 1. 在同一平面内,两条直线有 种位置关系,它们是 ; 2.若直线a//b ,b//c ,则 ,其理由是 ; 3.如图1直线AB ,CD ,EF 相交与点O ,图中AOE ∠的对顶角是 ,COF ∠的邻补角是 。 图3 4.如图2,要把池中的水引到D 处,可过C 点引CD ⊥AB 于D ,然后沿CD 开渠,可使所开渠道最短,试说明设计的依据: ; 5.点P (-2,3)关于X 轴对称点的坐标是 。关于原点对称点的坐标是 。 6.把“对顶角相等”写成“如果……那么……”的形式为 。 7.一个等腰三角形的两边长分别是3cm 和6cm,则它的周长是 cm. 8.若点M (a+5,a-3)在y 轴上,则点M 的坐标为 。 9.若P (X ,Y )的坐标满足XY >0,且X+Y<0,则点P 在第 象限 。 10.一个多边形的每一个外角等于30,则这个多边形是 边形,其内角和是 。 11.直角三角形两个锐角的平分线所构成的钝角等于 度。 12.如图3,四边形ABCD 中,12∠∠与满足 关系时AB//CD ,当 时AD//BC(只要写出一个你认为成立的条件)。 二、精心选一选(下列各小题的四个选项中,有且只有一个是符合题意的,把你认为符合题意的答案代号填 2.以下列各组线段为边,能组成三角形的是( ) A 、2cm, 3cm, 5cm B 、5cm, 6cm, 10cm C 、1cm, 1cm, 3cm D 、3cm, 4m, 9cm 3.某人到瓷砖商店去买一种多边形形状的瓷砖用来铺设无缝地板,他购买的瓷砖形状不可以是( ) A .正三角形 B .长方形 C .正八边形 D .正六边形 4.在直角坐标系中,点P (-2,3)向右平移3个单位长度后的坐标为( ) A .(3,6) B.(1,3) C.(1,6) D.(3,3) 5. 如图4,下列条件中,不能判断直线a//b 的是( ) A 、∠1=∠ 3 B 、∠2=∠3 C 、∠4=∠5 D 、∠2+∠4=180° 6.下列图形中有稳定性的是( ) A .正方形 B.长方形 C.直角三角形 D.平行四边形 三.作图题。(每小题4分,共12分 c b a 5 4 3 2 1 A B D C 1 2 A B C D 图2 A F C E B D 图1 O A 图4 人教版七年级数学下册教学设计 庐江三中:徐九如 5.1.1相交线 教学目标:1.理解对顶角和邻补角的概念,能在图形中辨认. 2.掌握对顶角相等的性质和它的推证过程. 3.通过在图形中辨认对顶角和邻补角,培养学生的识图能力. 重点:在较复杂的图形中准确辨认对顶角和邻补角. 难点:在较复杂的图形中准确辨认对顶角和邻补角. 教学过程 一、创设情境,引入课题 先请同学观察本章的章前图,然后引导学生观察,并回答问题. 学生活动:口答哪些道路是交错的,哪些道路是平行的. 教师导入:图中的道路是有宽度的,是有限长的,而且也不是完全直的,当我们把它们看成直线时,这些直线有些是相交线,有些是平行线.相交线、平行线都有许多重要性质,并且在生产和生活中有广泛应用.所以研究这些问题对今后的工作和学习都是有用的,也将为后面的学习做些准备.我们先研究直线相交的问题,引入本节课题. 二、探究新知,讲授新课 1.对顶角和邻补角的概念 学生活动:观察上图,同桌讨论,教师统一学生观点 并板书. 【板书】∠1与∠3是直线AB、CD相交得到的,它们 有一个公共顶点O,没有公共边,像这样的两个角叫做对顶角. 学生活动:让学生找一找上图中还有没有对顶角,如 果有,是哪两个角? 学生口答:∠2和∠4再也是对顶角. 紧扣对顶角定义强调以下两点: (1)辨认对顶角的要领:一看是不是两条直线相交所成的角,对顶角与相交线是唇齿相依,哪里有相交直线,哪里就有对顶角,反过来,哪里有对顶角,哪里就有相交线;二看是不是有公共顶点;三看是不是没有公共边.符合这三个条件时,才能确定这两个角是对顶角,只具备一个或两个条件都不行. (2)对顶角是成对存在的,它们互为对顶角,如∠1是∠3的对顶角,同时,∠3是∠1的对顶角,也常说∠1和∠3是对顶角. 2.对顶角的性质 提出问题:我们在图形中能准确地辨认对顶角,那么对顶角有什么性质呢? 学生活动:学生以小组为单位展开讨论,选代表发言,井口答为什么.【板书】∵∠1与∠2互补,∠3与∠2互补(邻补角定义), ∴∠l=∠3(同角的补角相等). 注意:∠l与∠2互补不是给出的已知条件,而是分析图形得到的;所以括号内不填已知,而填邻补角定义. 或写成:∵∠1=180°-∠2,∠3=180°-∠2(邻补角定义), ∴∠1=∠3(等量代换). 学生活动:例题比较简单,教师不做任何提示,让学生在练习本上独立完成解题过程,请一个学生板演。 新人教版七年级数学下册 全 册 教 案 第五章相交线与平行线 5.1.1相交线 教学目标:1.理解对顶角和邻补角的概念,能在图形中辨认. 2.掌握对顶角相等的性质和它的推证过程. 3.通过在图形中辨认对顶角和邻补角,培养学生的识图能力. 重点:在较复杂的图形中准确辨认对顶角和邻补角. 难点:在较复杂的图形中准确辨认对顶角和邻补角. 教学过程 一、创设情境,引入课题 先请同学观察本章的章前图,然后引导学生观察,并回答问题. 学生活动:口答哪些道路是交错的,哪些道路是平行的. 教师导入:图中的道路是有宽度的,是有限长的,而且也不是完全直的,当我们把它们看成直线时,这些直线有些是相交线,有些是平行线.相交线、平行线都有许多重要性质,并且在生产和生活中有广泛应用.所以研究这些问题对今后的工作和学习都是有用的,也将为后面的学习做些准备.我们先研究直线相交的问题,引入本节课题. 二、探究新知,讲授新课 1.对顶角和邻补角的概念 学生活动:观察上图,同桌讨论,教师统一学生观点并板书. 【板书】∠1与∠3是直线AB、CD相交得到的,它们有一个公共顶点O,没有公共边,像这样的两个角叫做对顶角. 学生活动:让学生找一找上图中还有没有对顶角,如果有,是哪两个角? 学生口答:∠2和∠4再也是对顶角. 紧扣对顶角定义强调以下两点: (1)辨认对顶角的要领:一看是不是两条直线相交所成的角,对顶角与相交线是唇齿相依,哪里有相交直线,哪里就有对顶角,反过来,哪里有对顶角,哪里就有相交线;二看是不是有公共顶点;三看是不是没有公共边.符合这三个条件时,才能确定这两个角是对顶角,只具备一个或两个条件都不行. (2)对顶角是成对存在的,它们互为对顶角,如∠1是∠3的对顶角,同时,∠3是∠1的对顶角,也常说∠1和∠3是对顶角. 2.对顶角的性质 提出问题:我们在图形中能准确地辨认对顶角,那么对顶角有什么性质呢? 学生活动:学生以小组为单位展开讨论,选代表发言,井口答为什么. 【板书】∵∠1与∠2互补,∠3与∠2互补(邻补角定义), ∴∠l=∠3(同角的补角相等). 注意:∠l与∠2互补不是给出的已知条件,而是分析图形得到的;所以括号内不填已知,而填邻补角定义.或写成:∵∠1=180°-∠2,∠3=180°-∠2(邻补角定义), ∴∠1=∠3(等量代换). 学生活动:例题比较简单,教师不做任何提示,让学生在练习本上独立完成解题过程,请一个学生板演。 解:∠3=∠1=40°(对顶角相等). ∠2=180°-40°=140°(邻补角定义). 七年级数学全册教案 一、教材编排特点及重点训练内容: 本册教材的编排顺序是:相交线与平行线,实数,平面直角坐标系,二元一次方程组,不等式与不等式组,数据的收集、整理与描述。 本册书的6章内容涉及《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》中“数与代数”“空间与图形”“实践与综合应用”三个领域,其中“实践与综合应用”以课题学习的形式安排在第九章。这6章大体上采用相近内容相对集中的方式安排,前一章基本属于“空间与图形”领域,后章五基本属于“数与代数”领域,这样安排有助于加强知识间的纵向联系。在各章具体内容的编写中,又特别注意加强各领域之间的横向联系。 教材编排有如下特点: 1.加强与实际的联系,体现由具体—抽象—具体的认识过程. 2.注意给学生留出探索和交流的空间,改变学生的学习方式. 3.体现由特殊到一般的认识过程. 4.强调数学思想方法.本册书突出体现了数形结合的思想、转化的思想以及类比的方法. 重点训练项目是:通过相交线与平行线的教学初步让学生学会简单的推理;平方根与立方根的概念与求法,实数的概念及实数与平面直角坐标系的关系;二元一次方程组的教法与应用;不等式与不等式组的教法与应用;数据的收集、整理与描述。 二、学生学情: 本班学生进行了一个学期的学习,虽然期末考试成绩可以,但是发现本班学生尖子生少,中等生较多,差生较多,上课很多学生不认真,学习态度学习习惯不是很好,本学期要切实采取措施培养学生良好的学习习惯。 三、教学要求:如下表: 四、教学措施: 1.本学期教学工作重点仍然是加强基础知识的教学和基本技能 的训练,在此基础上努力培养学生的分析问题和解决问题的能力。所以要抓好课前备课,这就要求我要认真研究教材,把握每节课的教学重点和难点,课堂上注重教学方法,努力让不同的学生都学到有用的数学。 2.依据课程标准、教材要求和学生实际,设计出突出重点,突破难点,解决关键的整体优化教学方法。教学方法的运用要切合学生的实际,要有利于培养学生的良好学习习惯,有利于调动不同层次的学生的学习积极性,有利于培养学生的自学能力、思维能力和解决问题的能力。采取多种教学方法,如多让学生动手操作,多设问,多启发,多观察等,增加学习主动性和学习兴趣,体现学生的主体性。教学过程中尽量采取多鼓励、多引导、少批评的教育方法。这样通过多种教学方法,充分调动学生的学习积极性,使学生形成主动学习的意识,教学中通过鼓励性的语言激励学生,使水同层次的学生都能得到鼓励,以此增强他们的学习信心。 数学教案(七年级下册) 第五章相交线与平行线 5.1.1相交线 教学目标:1.理解对顶角和邻补角的概念,能在图形中辨认. 2.掌握对顶角相等的性质和它的推证过程. 3.通过在图形中辨认对顶角和邻补角,培养学生的识图能力. 重点:在较复杂的图形中准确辨认对顶角和邻补角. 难点:在较复杂的图形中准确辨认对顶角和邻补角. 教学过程 一、创设情境,引入课题 先请同学观察本章的章前图,然后引导学生观察,并回答问题. 学生活动:口答哪些道路是交错的,哪些道路是平行的. 教师导入:图中的道路是有宽度的,是有限长的,而且也不是完全直的,当我们把它们看成直线时,这些直线有些是相交线,有些是平行线.相交线、平行线都有许多重要性质,并且在生产和生活中有广泛应用.所以研究这些问题对今后的工作和学习都是有用的,也将为后面的学习做些准备.我们先研究直线相交的问题,引入本节课题. 二、探究新知,讲授新课 1.对顶角和邻补角的概念 学生活动:观察上图,同桌讨论,教师统一学生观点并板书. 【板书】∠1与∠3是直线AB、CD相交得到的,它们有一个公共顶点O,没有公共边,像这样的两个角叫做对顶角. 学生活动:让学生找一找上图中还有没有对顶角,如果有,是哪两个角? 学生口答:∠2和∠4再也是对顶角. 紧扣对顶角定义强调以下两点: (1)辨认对顶角的要领:一看是不是两条直线相交所成的角,对顶角与相交线是唇齿相依,哪里有相交直线,哪里就有对顶角,反过来,哪里有对顶角,哪里就有相交线;二看是不是有公共顶点;三看是不是没有公共边.符合这三个条件时,才能确定这两个角是对顶角,只具备一个或两个条件都不行. (2)对顶角是成对存在的,它们互为对顶角,如∠1是∠3的对顶角,同时,∠3是∠1的对顶角,也常说∠1和∠3是对顶角. 2.对顶角的性质 提出问题:我们在图形中能准确地辨认对顶角,那么对顶角有什么性质呢? 学生活动:学生以小组为单位展开讨论,选代表发言,井口答为什么. 【板书】∵∠1与∠2互补,∠3与∠2互补(邻补角定义), ∴∠l=∠3(同角的补角相等). 注意:∠l与∠2互补不是给出的已知条件,而是分析图形得到的;所以括号内不填已知, 第五章相交线与平行线 5.1.1相交线 教学目标:1.理解对顶角和邻补角的概念,能在图形中辨认. 2.掌握对顶角相等的性质和它的推证过程. 3.通过在图形中辨认对顶角和邻补角,培养学生的识图能力. 重点:在较复杂的图形中准确辨认对顶角和邻补角. 难点:在较复杂的图形中准确辨认对顶角和邻补角. 教学过程 一、创设情境,引入课题 先请同学观察本章的章前图,然后引导学生观察,并回答问题. 学生活动:口答哪些道路是交错的,哪些道路是平行的. 教师导入:图中的道路是有宽度的,是有限长的,而且也不是完全直的,当我们把它们看成直线时,这些直线有些是相交线,有些是平行线.相交线、平行线都有许多重要性质,并且在生产和生活中有广泛应用.所以研究这些问题对今后的工作和学习都是有用的,也将为后面的学习做些准备.我们先研究直线相交的问题,引入本节课题. 二、探究新知,讲授新课 1.对顶角和邻补角的概念 学生活动:观察上图,同桌讨论,教师统一学生观点并板书. 【板书】∠1与∠3是直线AB、CD相交得到的,它们有一个公共顶点O,没有公共边,像这样的两个角叫做对顶角. 学生活动:让学生找一找上图中还有没有对顶角,如果有,是哪两个角? 学生口答:∠2和∠4再也是对顶角. 紧扣对顶角定义强调以下两点: (1)辨认对顶角的要领:一看是不是两条直线相交所成的角,对顶角与相交线是唇齿相依,哪里有相交直线,哪里就有对顶角,反过来,哪里有对顶角,哪里就有相交线;二看是不是有公共顶点;三看是不是没有公共边.符合这三个条件时,才能确定这两个角是对顶角,只具备一个或两个条件都不行. (2)对顶角是成对存在的,它们互为对顶角,如∠1是∠3的对顶角,同时,∠3是∠1的对顶角,也常说∠1和∠3是对顶角. 2.对顶角的性质 提出问题:我们在图形中能准确地辨认对顶角,那么对顶角有什么性质呢? 学生活动:学生以小组为单位展开讨论,选代表发言,井口答为什么. 【板书】∵∠1与∠2互补,∠3与∠2互补(邻补角定义), ∴∠l=∠3(同角的补角相等). 注意:∠l与∠2互补不是给出的已知条件,而是分析图形得到的;所以括号内不填已知,而填邻补角定义.或写成:∵∠1=180°-∠2,∠3=180°-∠2(邻补角定义), ∴∠1=∠3(等量代换). 学生活动:例题比较简单,教师不做任何提示,让学生在练习本上独立完成解题过程,请一个学生板演。 解:∠3=∠1=40°(对顶角相等). ∠2=180°-40°=140°(邻补角定义). 1拿到试卷:熟悉试卷 刚拿到试卷一般心情比较紧张,建议拿到卷子以后看看考卷一共几页,有多少道题,了解试 卷结构,通览全卷是克服“前面难题做不出,后面易题没时间做”的有效措施,也从根本上防 止了“漏做题”。 2答题顺序:从卷首依次开始 一般来讲,全卷大致是先易后难的排列。所以,正确的做法是从卷首开始依次做题,先易后 难,最后攻坚。但也不是坚决地“依次”做题,虽然考卷大致是先易后难,但试卷前部特别是 中间出现难题也是常见的,执着程度适当,才能绕过难题,先做好有保证的题,才能尽量多 得分。 3答题策略 答题策略一共有三点: 1. 先易后难、先熟后生。先做简单的、熟悉的题,再做综合题、难 题。2. 先小后大。先做容易拿分的小题,再做耗时又复杂的大题。 3. 先局部后整体。把疑 难问题划分成一系列的步骤,一步一步的解决,每解决一步就能得到一步的分数。 4学会分段得分 会做的题目要特别注意表达准确、书写规范、语言科学,防止被“分段扣点分”。不会做的题目我们可以先承认中间结论,往后推,看能否得到结论。如果不能,说明这个途径不对,立即改变方向;如果能得出预期结论,就回过头来,集中力量攻克这一“卡壳处”。如果题目有多个问题,也可以跳步作答,先回答自己会的问题。 5立足中下题目,力争高水平 考试时,因为时间和个别题目的难度,多数学生很难做完、做对全部题目,所以在答卷中要立足中下题目。中下题目通常占全卷的80%以上,是试题的主要构成,学生能拿下这些题目,实际上就是有了胜利在握的心理,对攻克高档题会更放得开。 6确保运算正确,立足一次性成功 在答卷时,要在以快为上的前提下,稳扎稳打,步步准确,尽量一次性成功。不能为追求速 度而丢掉准确度,甚至丢掉重要的得分步骤。试题做完后要认真做好解后检查,看是否有空 题,答卷是否准确,格式是否规范。 7要学会“挤”分 考试试题大多分步给分,所以理科要把主要方程式和计算结果写在显要位置,文科尽量把要点写清晰,作文尤其要注意开头和结尾。考试时,每一道题都认真思考,能做几步就做几步,对于考生来说就是能做几分是几分,这是考试中最好的策略。 8检查后的涂改方式要讲究 发现错误后要划掉重新写,忌原地用涂黑的方式改,这会使阅卷老师看不清。如果对现有的题解不满意想 重新写,要先写出正确的,再划去错误的。有的同学先把原来写的题解涂抹了,写新题解的时间又不够, 本来可能得的分数被自己涂掉了。考试期间遇到这些事,莫慌乱!不管是大型考试还是平时的检测,或多 或少会存在一些突发情况。遇到这些意外情况应该怎么办?为防患于未然,老师家长们应该在考前给孩子 七年级下册数学练习 (时间:120分钟满分:100分) 一、细心填一填(每题2分,共24分) 1. 在同一平面内,两条直线有种位置关系,它们是; 2.若直线a//b,b//c,则,其理由是; 3.如图1直线AB,CD,EF相交与点O,图中AOE ∠的对顶角是,COF ∠的邻补角是。 图3 4.如图2,要把池中的水引到D处,可过C点引CD⊥AB于D,然后沿CD开渠,可使所开渠道最短,试说明设计的依据:; 5.点P(-2,3)关于X轴对称点的坐标是。关于原点对称点的坐标是。6.把“对顶角相等”写成“如果……那么……”的形式为。 7.一个等腰三角形的两边长分别是3cm和6cm,则它的周长是 cm. 8.若点M(a+5,a-3)在y轴上,则点M的坐标为。 9.若P(X,Y)的坐标满足XY>0,且X+Y<0,则点P在第象限。 10.一个多边形的每一个外角等于30o,则这个多边形是边形,其内角和是。 11.直角三角形两个锐角的平分线所构成的钝角等于度。 12.如图3,四边形ABCD中,12 ∠∠ 与满足关系时AB//CD,当时AD//BC(只要写出一个你认为成立的条件)。 二、精心选一选(下列各小题的四个选项中,有且只有一个是符合题意的,把你认为符合题意的答案代号填 题号 1 2 3 4 5 6 答案 2.以下列各组线段为边,能组成三角形的是( ) A、2cm, 3cm, 5cm B、5cm, 6cm, 10cm C、1cm, 1cm, 3cm D、3cm, 4m, 9cm 3.某人到瓷砖商店去买一种多边形形状的瓷砖用来铺设无缝地板,他购买的瓷砖形状不可以是( ) A.正三角形 B.长方形 C.正八边形 D.正六边形 4.在直角坐标系中,点P(-2,3)向右平移3个单位长度后的坐标为( ) A.(3,6) B.(1,3) C.(1,6) D.(3,3) 5. 如图4,下列条件中,不能判断直线a//b的是() A、∠1=∠3 B、∠2=∠3 C、∠4=∠5 D、∠2+∠4=180° 6.下列图形中有稳定性的是() A.正方形 B.长方形 C.直角三角形 D.平行四边形 三.作图题。(每小题4分,共12分 c b a 5 43 2 1 A B D C 1 2 A B C D 图2 A F C E B D 图1 O A 图4 新人教版七年级数学下册教案免费 5.1.3同位角、内错角、同旁内角 教学目标:1、理解同位角、内错角、同旁内角的概念;2、会识别同位角、内错角、同旁内角. 重点:同位角、内错角、同旁内角的概念与识别; 难点:识别同位角、内错角、同旁内角。 教学过程 一、导入新课 前面我们研究了一条直线与另一条直线相交的情形,接下来,我 们进一步研究一条直线分别与两条直线相交的情形。 二、同位角、内错角、同旁内角 如图,直线a、b与直线c相交,或者说,两条直线a、b被第三条直线c所截,得到八个角。 我们来研究那些没有公共顶点的两个角的关系。 c 1a b8 ∠1与∠2、∠4与∠8、∠5与∠6、∠3与∠7有什么位置关系? 在截线的同旁,被截直线的同方向(同上或同下). 具有这种位置关系的两个角叫做同位角。 同位角形如字母“F”。 ∠3与∠2、∠4与∠6的位置有什么共同的特点? 在截线的两旁,被截直线之间。 具有这种位置关系的两个角叫做内错角. 内错角形如字母“Z”。 ∠3与∠6、∠4与∠2的位置有什么共同的特点? 在截线的同旁,被截直线之间。 具有这种位置关系的两个角叫做同旁内角. 同旁内角形如字母“U”。 思考:这三类角有什么相同的地方? (1)都不相邻即不存在共公顶点;(2)有一边在同一条直线(截线)上。 三、例题 例如图,直线DE,BC被直线AB所截,(1)∠1与∠2、∠1与∠3、∠1与∠4各是什么角?为什么?(2)如果∠1=∠4,那么∠1与∠2相 等吗?∠1与∠3互补吗?为什么? D3 E C解:(1)∠1与∠2是内错角,因为∠1与∠2在直线DE,BC之间,在截线AB的两旁;∠1与∠3是同旁内角,因为∠1与∠3在直 线DE,BC之间,在截线AB的同旁;∠1与∠4是同位角,因为∠1 与∠4在直线DE,BC的同方向,在截线AB的同方向。(2)如果 ∠1=∠4,又因为∠2=∠4,所以∠1=∠2;因为∠3+∠4=1800,又 ∠1=∠4,所以∠1+∠3=1800,即∠1与∠3互补。 四、课堂小结:通过这节课,我们主要学习了什么呢? 五、布置作业:课本P7练习1、2题2017年人教版七年级数学下册知识点总结
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