第十部分 电磁感应
在第十部分，我们将对感应电动势进行更加深刻的分析，告诉大家什么是动生电动势，什么是感生电动势。在自感和互感的方面，也会分析得更全面。至于其它，如楞次定律、电磁感应的能量实质等等，则和高考考纲差别不大。
第一讲、基本定律
一、楞次定律
1、定律：感应电流的磁场总是阻碍引起感应电流的磁通量的变化。
注意点：阻碍“变化”而非阻碍原磁场本身；两个磁场的存在。
2、能量实质：发电结果总是阻碍发电过程本身——能量守恒决定了楞次定律的必然结果。
【例题1】在图10-1所示的装置中，令变阻器R 的触
头向左移动，判断移动过程中线圈的感应电流的方向。
【解说】法一：按部就班应用楞次定律；
法二：应用“发电结果总是阻碍发电过程本身”。由“反
抗磁通增大”→线圈必然逆时针转动→力矩方向反推感应
电流方向。
【答案】上边的电流方向出来（下边进去）。
〖学员思考〗如果穿过线圈的磁场是一对可以旋转的
永磁铁造成的，当永磁铁逆时针旋转时，线圈会怎样转
动？ 〖解〗略。
〖答〗逆时针。
——事实上，这就感应电动机的基本模型，只不过感应电动机的旋转磁场是由三相交流电造就的。
3、问题佯谬：在电磁感应问题中，可能会遇到沿不同途径时得出完全相悖结论的情形，这时，应注意什么抓住什么是矛盾的主要方面。
【例题2】如图10-2发电过程本身”扩张。
向平行电流”应该收缩。
地方，因为导线除了受彼此间的安培力之外，还受
到外磁场的安培力作用，而外磁场的安培力是促使
线圈扩张的，所以定性得出结论事实上是困难的。
但是，途径一源于能量守恒定律，站的角度更高，
没有漏洞存在。
【答案】扩张。
〖学员思考〗如图10-3所示，在平行、水平的金属导轨上有两根可以自由滚动的金属棒，当它们构成闭合回路正上方有一根条形磁铁向下运动时，两根金属棒会相互靠拢还是相互远离？
〖解〗同上。
〖答〗靠拢。
二、法拉第电磁感应定律
1、定律：闭合线圈的感应电动势和穿过此线圈的磁通量的变化率成正比。即
ε= N t
?φ? 物理意义：N 为线圈匝数；
t ?φ?有瞬时变化率和平均变化率之分，在定律中的ε分别对应瞬时电动势和平均电动势。
图象意义：在φ－t 图象中，瞬时变化率t
?φ?对应图线切线的斜率。 【例题3】面积为S 的圆形（或任何形）线圈绕平行环面
且垂直磁场的轴匀速转动。已知匀强磁场的磁感应强度为B ，
线圈转速为ω，试求：线圈转至图19-4所示位置的瞬时电动
势和从图示位置开始转过90°过程的平均电动势。
【解说】本题是法拉第电磁感应定律的基本应用。求瞬时电动势时用到极限x x sin lim 0
x →= 1 ；求平均电动势比较容易。 【答案】BS ω ；π
2 BS ω 。 2、动生电动势 a 、磁感应强度不变而因闭合回路的整体或局部运动形成
的电动势成为动生电动势。
b 、动生电动势的计算
在磁感应强度为B 的匀强磁场中，当长为L 的导体棒一速度v 平动切割磁感线，且B 、L 、v 两两垂直时，ε= BLv ，电势的高低由“右手定则”判断。这个结论的推导有两种途径——
①设置辅助回路，应用法拉第电磁感应定律；
②导体内部洛仑兹力与电场力平衡。导体两端形成固定电势差后，导体内部将形成电场，且自由电子不在移动，此时，对于不在定向移动的电子而言，洛仑兹力f 和电场力F 平衡，即
F = f 即 qE = qvB
而导体内部可以看成匀强电场，即 L
ε= E 所以ε= BLv
当导体有转动，或B 、L 、v 并不两两垂直时，我们可以分以下四种情况讨论（结论推导时建议使用法拉第电磁感应定律）——
①直导体平动，L ⊥B ，L ⊥v ，但v 与B 夹α角（如图10-5所示），则ε= BLvsin α； ②直导体平动，v ⊥B ，L ⊥B ，但v 与L 夹β角（如图10-6所示），则ε= BLvsin β； 推论：弯曲导体平动，端点始末连线为L ，v ⊥B ，L ⊥B ，但v 与L 夹γ角（如图10-7所示），则ε= BLvsin γ；
③直导体转动，转轴平行B 、垂直L 、且过导体的端点，角速度为ω（如图10-8所示），则ε= 21B ωL 2
；
推论：直导体转动，转轴平行B 、垂直L 、但不过导体的端点（和导体一端相距s ），角速度为ω（如图10-9所示），则ε1 = BL ω(s +
2L )（轴在导体外部）、ε2 = 21B ω(L 2－2s) = B(L －2s) ω(s +2s 2L )（轴在导体内部）； ☆这两个结论由学员自己推导 (教师配合草稿板图) …
④直导体转动，转轴平行B 、和L 成一般夹角θ、且过导体的端点，角速度为ω（如图10-9所示），则ε= 21
B ωL 2sin 2
θ ；
推论：弯曲导体（始末端连线为L ）转动，转轴转轴平行B 、和L 成一般夹角θ、且过导体的端点，角速度为ω（如图10-10所示），则ε= 21
B ωL 2sin 2
θ。
统一的结论：种种事实表明，动生电动势可以这样寻求——即
ε= BLv ，而B 、L 、v 应彼此垂直的（分）量。
【例题4】一根长为 L 的直导体，绕过端点的、垂直匀强磁场
的转轴匀角速转动，而导体和转轴夹θ角，已知磁感应强度B 和导
体的角速度ω ，试求导体在图10-11所示瞬间的动生电动势。
【解说】略。（这个导体产生的感应电动势不是恒定不变的，而
是一个交变电动势。）
【答案】ε= 41B ωL 2sin2θ 。
第二讲 感生电动势
一、感生电动势
造成回路磁通量改变的情形有两种：磁感应强度B 不变回路面积S 改变（部分导体切割磁感线）；回路面积S 不变而磁感应强度B 改变。对于这两种情形，法拉第电磁感应定律都能够求出（整个回路的）感应电动势的大小（前一种情形甚至还可以从洛仑兹力的角度解释）。但是，在解决感应电动势的归属．．
问题上，法拉第电磁感应定律面临这前所未有的困难（而且洛仑兹力角度也不能解释其大小）。因此，我们还是将两种情形加以区别，前一种叫动生电动势，后一种叫感生电动势。
感生电动势的形成通常是用麦克斯韦的涡旋电磁理论解释的。
1、概念与意义
根据麦克斯韦电磁场的理论，变化的磁场激发（涡旋）电场。涡旋电场力作用于单位电荷，使之运动一周所做的功，叫感生电动势，即
ε感 = q W 涡
*值得注意的是，这里的涡旋电场力是一种比较特殊的力，它和库仑电场力、洛仑兹力并称为驱动电荷运动的三大作用力，但是，它和库仑电场力有重大的区别，特别是：库仑电场力可以引入电位、电场线有始有终，而涡旋电场不能引入电位、电场线是闭合的（用数学语言讲，前者是有源无旋场，后者是有旋无源场）。
2、感生电动势的求法 感生电动势的严谨求法是求法拉第电磁感应定律的微分方程（*即??L
l d E 感= －?????S S d t B ）。
在一般的情形下，解这个方程有一定的难度。但是，t
B ?? 具有相对涡旋中心的轴对称性，根据这种对称性解体则可以是问题简化。
【例题5】半径为R 的无限长螺线管，其电流随时间均匀增加时，其内部的磁感应强度也随时间均匀增加，由于“无限长”的原因，其外部的有限空间内可以认为磁感应强度恒为零。设内部t
B ??= k ，试求解管内、外部空间的感生电场。 【解说】将B 值变化等效为磁感线变密或变疏，并假定B 线不能凭空产生和消失。在将B 值增加等效为B 线向“中心”会聚（运动）、B 值减小等效为B 线背离“中心”扩散（运动）。
（1）内部情形求解。设想一个以“中心”为圆心且垂直B 线的圆形回路，半径为r ，根据运动的相对性，B 线的会聚运动和导体向外“切割”B 线是一样的。而且，导体的每一段切割的“速度”都相同，因此，电动势也相等。根据E =
d
U ??知，回路上各处的电场强度应相等（只不过电场线是曲线，而且是闭合的）。
由ε总 = πr 2t
B ?? 和 E = r 2πε总 得 E = 2kr
显然，撤去假想回路，此电场依然存在。
（2）外部情形求解。思路类同（1），只是外部
“假想回路”的磁通量不随“回路”的半径增大而
改变，即 φ=πR 2B
由ε总 = πR 2
t B ?? 和 E ′= r 2πε总 得 E = r
2kR 2 （r ＞R ） 【答案】感生电场线是以螺线管轴心为圆心的同心圆，具体涡旋方向服从楞次定律。感生电场强度的大小规律可以用图10-12表达。
〖说明〗本题的解答中设置的是一个特殊的回路，才会有“在此回路上感生电场大小恒定”
的结论，如果设置其它回路，E = r
2πε总关系不可用，用我们现有的数学工具将不可解。当然，在启用高等数学工具后，是可以的出结论的，而且得出的结论和“特殊回路”的结论相同。
〖学员思考〗如果在螺线管内、外分别放置两
段导体CD 和EF ，它们都是以螺线管轴线为圆心、
且圆心角为θ的弧形，试求这两段导体两端的电势
差。
〖参考解答〗因为在弧线上的场强都是大小恒
定的，故可用U = E ·l 弧长求解
显然，U CD = 2k θr 2 ，U EF = 2
k θR 2 。 〖推论总结〗我们不难发现，U CD =
t B ??×（扇形OCD 的面积）, U EF = t B ??×（扇形OGH 的面积）。结论：感生电动势的大小可以这样计算，用磁感应强度的变化率乘以自磁场变化中心出发引向导体两端的曲边形（在磁场中）的“有效面积”。
注意，针对（圆心在磁场变化中心的）非弧形导体，用U = Ed 行不通（启用ε= ??l d E
数学工具又不到位），但上面的“推论”则是可以照样使用的。
【应用】半径为R 螺线管内充满匀强磁场，磁感应强度随时间的变化率t B ??已知。求长为L 的直导体在图10-14中a 、b 、c 三个位置的感应电动势大小分别是多少？
【解】在本题中，由于没有考查（以涡旋中心为圆心的）环形回路或弧形回路，所以需要用上面的“推论”解决问题。
显然，这里的“有效面积”分别为
S a = 0
S b = 21L 22)2L (R -?
S c = 21
R 2·arctg R
l L + 【答】εa = 0 ；εb =
22L R 4t B 4L -?? ；εa = t B 2R 2??arctg R l L + 。 二、电势、电流、能量和电量
1
、只要感应电路闭合，将会形成感应电流，进而导致能量的转化。关于感应电路的电流、能
量和电量的计算，可以借助《稳恒电流》一章中闭合电路欧姆定律的知识。但是，在处理什么是“外电路”、什么是“内电路”的问题上，常常需要不同寻常的眼光。我们这里分两种情形归纳——
如果发电是“动生”的，内电路就是（切割）运动部分；
如果发电是“感生”的，内、外电路很难分清，需要具体问题具体分析，并适当运用等效思想。（内电路中的电动势分布还可能不均匀。）
【例题6】如图10-15所示，均匀导体做成的半径为R 的Φ形环，内套半径为R/2的无限长螺线管，其内部的均匀磁场随时间正比例地增大，B = kt ，试求导体环直径两端M 、N 的电势差U MN 。
【解说】将图10-15中的左、中、右三段导体分别标示为1、2、3 ，它们均为电源，电动势分别为——
ε1 = 41kR 2（π－arctg2），ε2 = ε3 = 41kR 2
arctg2
设导体单位长度电阻为λ，三“电源”的内阻分别为——
r 1 = r 3 =πλR ，r 2 = 2λR
应用楞次定律判断电动势的方向后，不难得出它们的连接方式如图10-16所示。
然后，我们用戴维南定理解图10-16中的电流I ，
最后 U MN = Ir 1 －ε1 = 133221321133123r r r r r r r r r r r r ++ε+ε+ε= …
【答案】U MN = 41
kR 2（arctg2 － π
π+24）。 2、受中学阶段数学工具的制约，在精确解不可求的情况下，将物理过程近似处理，或在解题过程中做近似处理常常是必要的。
【例题7】在图10-17所示的装置中，重G = 0.50N 、宽L = 20cm 的П型导体置于水银槽中，空间存在区域很窄（恰好覆盖住导体）的、磁感应强度B = 2.0T 的匀强磁场。现将开
关K 合上后，导体立即跳离水银槽，且跳起的最大高度h = 3.2cm ，重力加速度g = 10m/s 2 ，
忽略电源内阻。
（1）若通电时间t = 0.01s ，忽略导体加速
过程产生的感应电动势，求通电过程流过导体的
电量；
（2）如果回路外总电阻R = 0.10Ω，则导体
重回水银槽瞬间，消耗在回路中的电功率是多
少？
【解说】解第（1）问时，本来因为导体运动而形成的反电动势（感应电动势）是存在的，这里只能忽略；磁场又是仅仅覆盖住导体的，这就意味着导体棒跳离水银槽后可以认为是竖直上抛运动。
对上抛过程，v 0 =gh 2
对导体离开水银槽过程，（F －G ）t = mv 0
综合以上两式，即 BLq － Gt = m gh 2，由此可解q 。
如果说第（1）问的近似处理重在过程的话，第（2）则在解题的规律运用上也不得不运用一些令人难以接受的“近似处理”—— P = R (2）
感ε+ε（起跳时不计感应电动势，进入水银槽，又没有忽略ε感）
其中 ε感 = BLv 0
ε则只有追寻到导体离开的过程，ε= I R =
t
q R （这里的问题就大了，I 是电流对时间的平均值，而在P = R (2）感ε+ε中的ε应该取方均根值．．．．
〈即交流电的“有效值”〉才是严谨的！但是，在这里求有效值几乎是不可能的，因此也就只能勉为其难了。）
【答案】（1）电量为0.1125C ；（2）瞬时电功率为20.88W 。
第三讲 自感、互感及其它
一、自感
1、自感现象：电路中因自身电流变化而引起感应电动势的现象。
2、自感电动势：自感现象中产生的电动势
ε自 = －L t
I ?? L 为自感系数，简称自感或电感。对于N 匝闭合回路，L = N
I Φ ，*对长直螺线管，L =μn 2V （其中V 为螺线管体积；若无铁芯，μ减小为μ0）。
值得注意的是，随着L 、t
I ??的增大，ε自可以很大，但是自感电流却不会随之增大，定量的计算（解微分方程）表明，自感电流只会．．．．．．在初始电流的基础上呈指数函数减小．．．．．．．．．．．．．．．．
。 【例题8】在图10-18所示的电路中，ε= 12V ，r = 1.0Ω，R 1 = 2.0Ω，R 2 = 9.0Ω，R 3 = 15Ω，L = 2.0H 。现让K 先与A 接通，然后迅速拨至
B ，求自感线圈上可产生的最大自感电动势。 【解说】如果选择定义式求解，t
I ??不知，故这里只能根据自感电流的变化规律解题。
在不做特别说明的情况下，忽略L 的直流电阻。K 接
A 时，L 上的稳恒电流I = 1.0A ；K 接
B 后，将L 视为电
动势为ε自的电源，i = 32R R +ε自
i 取极大值I 时（K 接B 后的初始时刻），ε自极大。
【答案】24V 。
二、互感与变压器
1、互感：两线圈靠近放置，当1中有变化电流时，2中会感应出电流，若2中的感应电流仍是变化的，则它又会激发磁场并在1中形成电磁感应，这种显现称为互感。
互感电动势：ε12 = －M t
I 1?? ，ε21 = －M t I 2?? ，其中M 为互感系数。 2、变压器：两个（或多个）有互感耦合的静止线圈的组合叫变压器。
接电源的线圈叫原线圈，接负载的叫副线圈。
理想变压器：无铜损（导线焦耳热）、铁损（涡流能耗）、磁损（漏磁通），空载电流无穷小的变压器，即 P 入 = P 出 。
对于原、副线圈一对一的理想变压器，有
u 1 = －ε1 = －(－n 1
t
1??Φ) u 2 = ε2 = －n 2t 2??Φ 即原、副线圈电压瞬时值
21u u = －21n n 但有效值 21U U = 21n n 联系功率关系，可得
21I I = 12n n 三、暂态过程
由一个稳态向另一个稳态过渡的过程叫暂态过程。
1、RL 暂态特性
对图10-20所示的电路，K 合上“过程”的电流i 变化情形如图10-21所示。L 在两个稳态的等效：初态——断路；末态——短路。
对图10-22所示的电路，K 合上“过程”的电流i 变化情形如图10-23所示。
2、RC 暂态特性
对图10-24所示的电路，K 合上“过程”，电容器的电压U C 变化情形如图10-25所示。C 在两个稳态的等效：初态——短路；末态——断路。
对图10-26所示的电路，K 合上“过程”，电容器的电压U C 变化情形如图10-27所示。
【例题9】在图10-28所示的RLC 电路中，L 不计电阻，ε=
6.0V ，r = 1.0Ω ，R 1 = 0.5Ω ，R 2 = 1.5Ω 。试求：（1）K
接通时刻各元件的电流；（2）K 接通后各元件的电压。
【解说】直接应用L 、C 元件在两种特殊稳态的“等效处理”。
【答案】（1）I R1 = I R2 = I C = 2.0A ，I L = 0 ；（2）U R1 = 2.0V ，
U L = U R2 = U C = 0 。
【例题10】如图10-29所示，两匝数相同的线圈绕在同一铁
芯上，其一经电键K 与电动势为ε的电源相连，其一与电阻R 相
连。已知两线圈的自感系数均为L ，试求：（1）闭合K 瞬间，R
消耗的功率；（2）过电源的电流随时间的变化关系；*（3）合上K 后，经时间τ再将K 断开，求此后R 上消耗的功率。
【解说】（1）双线圈可视为理想变压器，闭合K 瞬时是暂态过程的初态，原线圈可视为断路，电压为ε ，而这个电压又被耦合到副线圈中，所以此时
R 的电压也为ε ，R 的瞬时功率就可求了。
（2）由于电源不是交变的，不能保证电流的持续变化，
故原线圈的自感只能由R 上电流的变化（又耦合回来）而产
生。可以想象，随着时间的推移，这个变化率越来越小，自
感电动势随之减小，对原线圈所在的回路而言，阻抗越来越
小，电流将越来越大。
设t 时刻的电流为I ，针对零时刻到t 时刻的过程，有
ε= －ε自 = L t I ?? = L t I I 0-（其中I 0 = R
ε） *（3）R 消耗的功率是原线圈（或副线圈）磁场能的释放（21
LI 2）
【答案】（1）R 2ε ；（2）R ε+L
εt ；*（3）L 222τε 。
——第十部分完——
专题六 动量 【扩展知识】 1．动量定理的分量表达式 I 合x =mv 2x -mv 1x , I 合y =mv 2y -mv 1y , I 合z =mv 2z -mv 1z . 2．质心与质心运动 2.1质点系的质量中心称为质心。若质点系内有n 个质点，它们的质量分别为m 1,m 2,……m n ,相对于坐标原点的位置矢量分别为r 1,r 2,……r n ,则质点系的质心位置矢量为 r c=n n n m m m r m r m r m ++++++ 211211=M r m n i i i ∑=1 若将其投影到直角坐标系中，可得质心位置坐标为 x c =M x m n i i i ∑=1, y c =M y m n i i i ∑=1, z c =M z m n i i i ∑=1. 2.2质心速度与质心动量 相对于选定的参考系，质点位置矢量对时间的变化率称为质心的速度。 v c=t r c ??=M p 总=M v m n i i i ∑=1, p c =Mv c =∑=n i i i v m 1 . 作用于质点系的合外力的冲量等于质心动量的增量 I 合= ∑=n i i I 1=p c －p c0=mv c －mv c0 . 2.3质心运动定律 作用于质点系的合外力等于质点总质量与质心加速度的乘积。Ｆ合＝Ma c.。 对于由n 个质点组成的系统，若第i 个质点的加速度为a i ，则质点系的质心加速度可表示为 a c =M a m n i i i ∑=1 .
【典型例题】 1．将不可伸长的细绳的一端固定于天花板上的C点，另一端系一质量为m的小球以以角速度ω绕竖直轴做匀速圆周运动，细绳与竖直轴之间的夹角为θ，如图所示。已知A、B为某一直径上的两点，问小球从A点运动到B点的过程中细绳对小球的拉力T的冲量为多少？ 2．一根均匀柔软绳长为l=3m，质量m=3kg，悬挂在天花板的钉子上，且下端刚好接触地板，现将软绳的最下端拾起与上端对齐，使之对折起来，然后让它无初速地自由下落，如图所示。求下落的绳离钉子的距离为x时，钉子对绳另一端的作用力是多少？ 3．一长直光滑薄板AB放在平台上，OB伸出台面，在板左侧的D点放一质量为m1的小铁块，铁块以速度v向右运动。假设薄板相对于桌面不发生滑动，经过时间T0后薄板将翻倒。现让薄板恢复原状，并在薄板上O点放另一个质量为m2的小物体，如图所示。同样让m1从D点开始以速度v向右运动，并与m2发生正碰。那么从m1开始经过多少时间后薄板将翻倒？
7.1简谐振动 一、简谐运动的定义 1、平衡位置：物体受合力为0的位置 2、回复力F ：物体受到的合力，由于其总是指向平衡位置，所以叫回复力 3、简谐运动：回复力大小与相对于平衡位置的位移成正比，方向相反 F k x =- 二、简谐运动的性质 F kx =- ''mx kx =- 取试探解（解微分方程的一种重要方法） cos()x A t ω?=+ 代回微分方程得： 2m x kx ω-=- 解得： 22T π ω== 对位移函数对时间求导，可得速度和加速度的函数 cos()x A t ω?=+ sin()v A t ωω?=-+ 2cos()a A t ωω?=-+ 由以上三个方程还可推导出： 222()v x A ω += 2a x ω=- 三、简谐运动的几何表述 一个做匀速圆周运动的物体在一条直径 上的投影所做的运动即为简谐运动。 因此ω叫做振动的角频率或圆频率， ωt +φ为t 时刻质点位置对应的圆心角，也叫 做相位，φ为初始时刻质点位置对应的圆心 角，也叫做初相位。
四、常见的简谐运动 1、弹簧振子 (1)水平弹簧振子 (2)竖直弹簧振子 2、单摆（摆角很小） sin F mg mg θθ=-≈- x l θ≈ 因此： F k x =- 其中： mg k l = 周期为：222T π ω=== 例1、北京和南京的重力加速度分别为g 1=9.801m/s 2和g 2=9.795m/s 2，把在北京走时准确的摆钟拿到南京，它是快了还是慢了？一昼夜差多少秒？怎样调整？ 例2、三根长度均为l=2.00m 、质量均匀的直杆，构成一正三角彤框架 ABC ．C 点悬挂在一光滑水平转轴上，整个框架可绕转轴转动．杆AB 是一导轨，一电动玩具松鼠可在导轨运动，如图所示．现观察到松鼠正在导轨上运动，而框架却静止不动，试论证松鼠的运动是一种什么样的运动?
高中物理竞赛辅导（2） 静力学力和运动 共点力的平衡 n个力同时作用在物体上，若各力的作用线相交于一点，则称为 共点力，如图1所示。 作用在刚体上的力可沿作用线前、后滑移而不改变其力 学效应。当刚体受共点力作用时，可把这些力沿各自的作用 线滑移，使都交于一点，于是刚体在共点力作用下处于平衡 状态的条件是：合力为零。 （1） 用分量式表示： （2） [例1]半径为R的刚性球固定在水 平桌面上，有一质量为M的圆环状均匀 弹性细绳圈，原长为，绳 圈的弹性系数为k。将圈从球的正上方 轻放到球上，并用手扶着绳圈使其保持 水平，最后停留在平衡位置。考虑重力， 不计摩擦。①设平衡时绳圈长 ，求k值。②若 ，求绳圈的平衡位置。
分析：设平衡时绳圈位于球面上相应于θ角的纬线上。在绳圈上任取一小元段， 长为，质量为，今将这元段作为隔离体，侧视图和俯视图分别由图示（a）和（b）表示。 元段受到三个力作用：重力方向竖直向下；球面的支力N方向沿半径R 指向球外；两端张力，张力的合力为 位于绳圈平面内，指向绳圈中心。这三个力都在经 线所在平面内，如图示（c）所示。将它们沿经线的切向和法向分 解，则切向力决定绳圈沿球面的运动。 解：（1）由力图（c）知：合张力沿经线切向分力为： 重力沿径线切向分力为： （2-2） 当绳圈在球面上平衡时，即切向合力为零。 （2-3） 由以上三式得 （2-4） 式中
由题设：。把这些数据代入（2-4）式得。于是。 （2）若时，C=2，而。此时（2-4）式变成 tgθ=2sinθ-1, 即 sinθ+cosθ=sin2θ, 平方后得。 在的范围内，上式无解，即此时在球面上不存在平衡位置。这时由于k值太小，绳圈在重力作用下，套过球体落在桌面上。 [例2]四个相同的球静止在光滑的球形碗内，它们的中心同在一水平面内，今以另一相同的球放以四球之上。若碗的半径大于球的半径k倍时，则四球将互相分离。试求k值。 分析：设每个球的质量为m，半径为r ，下面四个球的相互作用力为N，如图示（a）所示。 又设球形碗的半径为R，O' 为球形碗的球心，过下面四球的 球心联成的正方形的一条对角线 AB作铅直剖面。如图3（b）所示。 当系统平衡时，每个球所受的合 力为零。由于所有的接触都是光 滑的，所以作用在每一个球上的 力必通过该球球心。 上面的一个球在平衡时，其 重力与下面四个球对它的支力相平衡。由于分布是对称的，它们之间的相互作用力N， 大小相等以表示，方向均与铅垂线成角。
目录 中学生全国物理竞赛章程 (2) 全国中学生物理竞赛内容提要全国中学生物理竞赛内容提要 (5) 专题一力物体的平衡 (10) 专题二直线运动 (12) 专题三牛顿运动定律 (13) 专题四曲线运动 (16) 专题五万有引力定律 (18) 专题六动量 (19) 专题七机械能 (21) 专题八振动和波 (23) 专题九热、功和物态变化 (25) 专题十固体、液体和气体的性质 (27) 专题十一电场 (29) 专题十二恒定电流 (31) 专题十三磁场………………………………………………………………………… 33 专题十四电磁感应 (35) 专题十五几何光学 (37) 专题十六物理光学原子物理 (40)
中学生全国物理竞赛章程 第一章总则 第一条全国中学生物理竞赛（对外可以称中国物理奥林匹克，英文名为Chinese Physic Olympiad，缩写为CPhO）是在中国科协领导下，由中国物理学会主办，各省、自治区、直辖市自愿参加的群众性的课外学科竞赛活动，这项活动得到国家教育委员会基础教育司的正式批准。竞赛的目的是促使中学生提高学习物理的主动性和兴趣，改进学习方法，增强学习能力；帮助学校开展多样化的物理课外活动，活跃学习空气；发现具有突出才能的青少年，以便更好地对他们进行培养。第二条全国中学生物理竞赛要贯彻“教育要面向现代化、面向世界、面向未来”的精神，竞赛内容的深度和广度可以比中学物理教学大纲和教材有所提高和扩展。 第三条参加全国中学生物理竞赛者主要是在物理学习方面比较优秀的学生，竞赛应坚持学生自愿参加的原则．竞赛活动主要应在课余时间进行，不要搞层层选拔，不要影响学校正常的教学秩序。 第四条学生参加竞赛主要依靠学生平时的课内外学习和个人努力，学校和教师不要为了准备参加竞赛而临时突击，不要组织“集训队”或搞“题海战术”，以免影响学生的正常学习和身体健康。学生在物理竞赛中的成绩只反映学生个人在这次活动中所表现出来的水平，不应当以此来衡量和评价学校的工作和教师的教学水平。 第二章组织领导 第五条全国中学生物理竞赛由中国物理学会全国中学生物理竞赛委员会（以下简称全国竞赛委员会）统一领导。全国竞赛委员会由主任1人、副主任和委员若干人组成。主任和副主任由中国物理学会常务理事会委任。委员的产生办法如下： 1．参加竞赛的省、自治区、直辖市各推选委员1人； 2．承办本届和下届决赛的省。自治区、直辖市各推选委员3人。 3．由中国物理学会根据需要聘请若干人任特邀委员。 在全国竞赛委员会全体会议闭会期间由主任和副主任组成常务委员会，行使全国竞赛委员会职权。 第六条在全国竞赛委员会领导下，设立命题小组、组织委员会和竞赛办公室等工作机构。命题小组成员由全国竞赛委员会聘请专家和高等院校教师担任。组
高中物理竞赛讲座讲稿 课题：固体与液体的性质 主讲人：桐城中学华奎庭 一、基础知识部分 （一）固体的特性 （1）晶体与非晶体 固体可以分为晶体与非晶体。晶体又可分为单晶体与多晶体。从本质上说，非晶体是粘滞性很大的液体。因此，固体严格地讲主要指晶体。 晶体的特点：具有一定的熔点。在熔解或凝固的过程中，固、液态并存，温度保持不变。而单晶体，除此之外还具有天然的规则几何外形。物理性质（如弹性模量、导热系数、电阻率、吸收系数等）具有各向异性。 多晶体是由许多小的单晶粒组成。（晶粒的线度约为10-3cm）由于晶粒的排列的无序性，故物理性质表现为各向同性。外形也不具有规则性。 （2）晶体的微观结构 所有的晶体从微观结构上看，都是大量的相同的粒子（分子或原子或离子，统称为结构基元）在空间周期性规则排列组成的。由这些结构基元在空间周期性排列的总体称之为空间点阵结构。每个几何点称之为结点。空间点阵是一种数学抽象。只有当点阵中的结点被晶体的结构基元代替后，才成为晶体结构。各粒子（即结构基元）并不是被束缚在结点不动，而是在此平衡位置不停地无规则振动。 由于这种周期性的并且有某种对称性晶体点阵的规则排列，决定了晶体宏观上的规则的天然几何形状决定了物理性质呈现出出各向异性。又由于晶体的空间点阵决定的每个粒子所保持的严格的相互位置关系，即结合关系，当晶体被加热时达到瓦解程度的温度是一样的，不断
加热，不断对结合关系进行瓦解直到瓦解完成，完全变成液体，温度始终不必升高。因此，晶体有一定的熔点。 （3）物体的热膨胀 在外界压强不变的条件下，物体的长度、面积、体积随温度升高而增加的现象叫热膨胀。在相同的条件下，气体、液体、固体的热膨胀不同。气体最显著，固体最不明显。也有极少数物质，在某一温度范围内（如：水在0℃～4℃）当温度升高时体积反而减小。这种现象叫反常膨胀。水、锑、铋、铸铁等都有反常膨胀。 在温度变化范围不太大时，线度膨胀近似遵从如下关系： l=l 0（1+αt ）或△l=αl △T 式中的α叫膨胀系数。一般金属的膨胀系数约为10-5/度。 大多数物体都具有热胀冷缩的性质，在一定的温度下固体的线度(如长度、直径、周长)是一定的，当温度升高时固体的线度会增加．设温度为0℃时固体的长度0l ，温度升高到t ℃时长度为t l ，长度增量0t l l l ?=-与温度的增量t t ?=成正比，也跟0l 成正比，即00t l l l t α-=，0(1)t l l t α=+．式中α称为固体的线膨胀系数，与材料的性质有关，其数量级为10－6K －1～10－5K －1． 当固体的线度发生膨胀时，固体的表面积和体积也在发生膨胀，分别称为面膨胀和体膨胀，其变化规律分别为 0(1)t S S t β=+，0(1)t V V t γ=+． 式中0S 、0V 分别为固体在0℃时的表面积和体积，β、γ分别为面胀系数和体胀系数． 对于各向同性的固体有：2βα=，3γα=． （二）液体的性质
高中物理《竞赛辅导》力学部分 目录 ：力学中的三种力 【知识要点】 （一）重力 重力大小G=mg，方向竖直向下。一般来说，重力是万有引力的一个分力，静止在地球表面的物体，其万有引力的另一个分力充当物体随地球自转的向心力，但向心力极小。 （二）弹力 1．弹力产生在直接接触又发生非永久性形变的物体之间(或发生非永久性形变的物体一部分和另一部分之间)，两物体间的弹力的方向和接触面的法线方向平行，作用点在两物体的接触面上．2．弹力的方向确定要根据实际情况而定． 3．弹力的大小一般情况下不能计算，只能根据平衡法或动力学方法求得．但弹簧弹力的大小可用．f=kx(k 为弹簧劲度系数，x为弹簧的拉伸或压缩量)来计算． 在高考中，弹簧弹力的计算往往是一根弹簧，而竞赛中经常扩展到弹簧组．例如：当劲度系数分别为k1,k2,…的若干个弹簧串联使用时．等效弹簧的劲度系数的倒数为：，即弹簧变软；反之．若
以上弹簧并联使用时，弹簧的劲度系数为：k=k 1+…k n ，即弹簧变硬．(k=k 1+…k n 适用于所有并联弹簧的原长相等；弹簧原长不相等时，应具体考虑) 长为 的弹簧的劲度系数为k ，则剪去一半后，剩余 的弹簧的劲度系数为2k （三）摩擦力 1．摩擦力 一个物体在另一物体表面有相对运动或相对运动趋势时，产生的阻碍物体相对运动或相对运动趋势的力叫摩擦力。方向沿接触面的切线且阻碍物体间相对运动或相对运动趋势。 2．滑动摩擦力的大小由公式f=μN 计算。 3．静摩擦力的大小是可变化的，无特定计算式，一般根据物体运动性质和受力情况分析求解。其大小范围在0＜f≤f m 之间，式中f m 为最大静摩擦力，其值为f m =μs N ，这里μs 为最大静摩擦因数，一般情况下μs 略大于μ，在没有特别指明的情况下可以认为μs =μ。 4．摩擦角 将摩擦力f 和接触面对物体的正压力N 合成一个力F ，合力F 称为全反力。在滑动摩擦情况下定义tgφ=μ=f/N ，则角φ为滑动摩擦角；在静摩擦力达到临界状态时，定义tgφ0=μs =f m /N ，则称φ0为静摩擦角。由于静摩擦力f 0属于范围0＜f≤f m ，故接触面作用于物体的全反力同接触面法线 的夹角≤φ0，这就是判断物体不发生滑动的条件。换句话说，只要全反力的作用线落在（0，φ0）范围时，无穷大的力也不能推动木块，这种现象称为自锁。 本节主要内容是力学中常见三种力的性质。在竞赛中以弹力和摩擦力尤为重要，且易出错。弹力和摩擦力都是被动力，其大小和方向是不确定的，总是随物体运动性质变化而变化。弹力中特别注意轻绳、轻杆及胡克弹力特点；摩擦力方向总是与物体发生相对运动或相对运动趋势方向相反。另外很重要的一点是关于摩擦角的概念，及由摩擦角表述的物体平衡条件在竞赛中应用很多，充分利用摩擦角及几何知识的关系是处理有摩擦力存在平衡问题的一种典型方法。 【典型例题】 【例题1】如图所示，一质量为m 的小木块静止在滑动摩擦因数为μ=的水平面上，用一个与水平方 向成θ角度的力F 拉着小木块做匀速直线运动，当θ角为多大时力F 最小？ 【例题2】如图所示，有四块相同的滑块叠放起来置于水平桌面上，通过细绳和定滑轮相互联接起来.如果所有的接触面间的摩擦系数均为μ，每一滑块的质量均为 m ，不计滑轮的摩擦.那么要拉动最上面一块滑块至少需要多大的水平拉力?如果有n 块这样的滑块叠放起 来，那么要拉动最上面的滑块，至少需多大的拉力? 【例题3】如图所示，一质量为m=1㎏的小物块P 静止在倾角为θ=30°的斜面 上，用平行于斜面底边的力F=5N 推小物块，使小物块恰好在斜面上匀速运动，试求小物块与斜面间的滑 动摩擦因数（g 取10m/s 2 ）。 【练习】 1、如图所示，C 是水平地面，A 、B 是两个长方形物块，F 是作用在物块B 上沿水平方向的力，物块A 和B 以相同的速度作匀速直线运动，由此可知， A 、 B 间的滑动 θ F P θ F A B F C N F f m f 0 α φ
镜像法 思路 用假想的镜像电荷代替边界上的感应电荷。 保持求解区域中场方程和边界条件不变。 使用范围：界面几何形状较规范，电荷个数有限，且离散分布于有限区域。 使用范围 界面几何形状较规范，电荷个数有限，且离散分布于有限区域。 步骤 确定镜像电荷的大小和位置。 去掉界面，按原电荷和镜像电荷求解所求区域场。 求解边界上的感应电荷。 求解电场力。 平面镜像1 点电荷对平面的镜像 (a) 无限大接地导体平面上方有点电荷q （b）用镜像电荷-q代替导体平面上方的感应电荷 图4.4.1 点电荷的平面镜像 在无限大接地导体平面（YOZ平面）上方有一点电荷q，距离导体平面的高度为h。 用位于导体平面下方h处的镜像电荷-q代替导体平面上的感应电荷，边界条件维持不变，即YOZ平面为零电位面。 去掉导体平面，用原电荷和镜像电荷求解导体上方区域场，注意不能用原电荷和镜像电荷求解导体下方区域场。
电位： (4.4.2.1 ) 电场强度： (4.4.2.2) 其中， 感应电荷：=> (4.4.2.3) 电场力： (4.4.2.4) 图4.4.2 点电荷的平面镜像图4.4.3 单导线的平面镜像 无限长单导线对平面的镜像 与地面平行的极长的单导线，半径为a，离地高度为h。
用位于地面下方h处的镜像单导线代替地面上的感应电荷，边界条件维持不变。 将地面取消而代之以镜像单导线（所带电荷的电荷密度为） 电位： (4.4.2.5) 对地电容 ： (4.4.2.6 平面镜像2 无限长均匀双线传输线对平面的镜 像 与地面平行的均匀双线传输线， 半径为a，离地高度为h，导线间距离为d， 导线一带正电荷+，导线二带负电荷-。 用位于地面下方h处的镜像双 导线代替地面上的感应电荷，边界条件维 持不变。 将地面取消而代之以镜像双导线。 图 4.4.4 无限长均匀传输线对地面的镜像 求解电位： (4.4.2.8) (4.4.2.9)
第3讲运动的关联 温馨寄语 前面我们讨论了物理量以及物理量之间的关系，尤其是变化率变化量的关系。我们还学习了非常牛的几个方法：相对运动法，微元法，图像法。 然而，物理抽象思想除了物理量之外，还有一大块就是模型，而各种模型都有自己的一些特点，根据这些特点，决定了这些模型的运动学性质。探究这些性质就成了我们今天的主要任务。 知识点睛 一、分速度和合速度 首先速度作为矢量是可以合成和分解的。但是同样的作为矢量，速度的合成和分解，和力这个矢量有一点不同。这个不同在于，两个作用在同一个物体上的力，可以直接合成。但是同一个物体，已经知道在两个方向上的速度，最后的总速度，并不一定是这两个速度的矢量和。 （CPhO选讲）例如： （这里面速度是通过两个速度各自从矢量末端做垂线相交得到的） 第二个原则就是：合速度=真实的这个物体的运动速度矢量。
这里力和速度的区别是：我们看到的多个力，不见得是“合力”在各个方向上的投影；但是我们看到的多个速度，就是“合速度”在各个方向上的分速度。所以，当且仅当两个分速度相互垂直的时候，合速度等于两个分速度的矢量和。 这个东西大家可以这样想。遛狗的时候，每个狗的力是作用在一起的，所以遛狗越多，需要的力越大。但是每个狗都有个速度，最后遛狗人的速度和狗的速度大小还是差不多的，不会因为遛狗个数越多就速度越快…… 二、体现关联关系的模型 1．绳（杆）两端运动的关联：实际运动时合运动，由伸缩运动与旋转运动合成。 实际运动=旋转运动+伸缩运动 【例】吊苹果逗小孩儿有两种逗法，一种是伸缩，一种是摆动。 不难总结： 一段不可伸长的细绳伸缩运动速度相等——沿绳（杆）速度相等，转速无论多大不可改变绳子长度。 2．叠加运动的关联 先举个例子：如图的定滑轮，两边重物都在竖直运动，并且滑轮也在竖直运动，设两边重物位移分别沃为x 1x 2，轮中心的位移为x 。 不难由绳子长度不变得位移关系： 12 2x x x += 对应的必然有速度关系： 12 2v v v += 加速度关系： 12 2 a a a += 我们用运动关联的目的是为了使未知量变少。 物理学中非常重要的思想就是把现实中的物体抽象成为理想的模型，然后用物理原理以及模型对应的牵连关系来解决问题．常见的模型有杆，绳，斜面，等等． 3.轻杆 杆两端，沿着杆方向的速度相同\ 4.轻绳 绳子的两端也是沿着绳子的方向速度相同\．绳子中的力是可以突变的，突变的条件是剪断或者是突然绷紧等等． 5.斜面
高中物理竞赛辅导讲义 第2篇 运动学 【知识梳理】 一、匀变速直线运动 二、运动的合成与分解 运动的合成包括位移、速度和加速度的合成，遵从矢量合成法则（平行四边形法则或三角形法则）。 我们一般把质点对地或对地面上静止物体的运动称为绝对运动，质点对运动参考照系的运动称为相对运动，而运动参照系对地的运动称为牵连运动。以速度为例，这三种速度分别称为绝对速度、相对速度、牵连速度，则 v 绝对 = v 相对 + v 牵连 或 v 甲对乙 = v 甲对丙 + v 丙对乙 位移、加速度之间也存在类似关系。 三、物系相关速度 正确分析物体（质点）的运动，除可以用运动的合成知识外，还可充分利用物系相关速度之间的关系简捷求解。以下三个结论在实际解题中十分有用。 1．刚性杆、绳上各点在同一时刻具有相同的沿杆、绳的分速度（速度投影定理）。 2．接触物系在接触面法线方向的分速度相同，切向分速度在无相对滑动时亦相同。 3．线状交叉物系交叉点的速度，是相交物系双方运动速度沿双方切向分解后，在对方切向运动分速度的矢量和。 四、抛体运动： 1．平抛运动。 2．斜抛运动。 五、圆周运动： 1．匀速圆周运动。 2．变速圆周运动： 线速度的大小在不断改变的圆周运动叫变速圆周运动，它的角速度方向不变，大小在不断改变，它的加速度为a = a n + a τ，其中a n 为法向加速度，大小为2 n v a r =，方向指向圆心；a τ为切向加速度，大小为0lim t v a t τ?→?=?，方向指向切线方向。 六、一般的曲线运动 一般的曲线运动可以分为很多小段，每小段都可以看做圆 周运动的一部分。在分析质点经过曲线上某位置的运动时，可 以采用圆周运动的分析方法来处理。对于一般的曲线运动，向心加速度为2n v a ρ =，ρ为点所在曲线处的曲率半径。 七、刚体的平动和绕定轴的转动 1．刚体 所谓刚体指在外力作用下，大小、形状等都保持不变的物体或组成物体的所有质点之间的距离始终保持不变。刚体的基本运动包括刚体的平动和刚体绕定轴的转动。刚体的任
第四章 能量和动量 1、功 W=FScos θ= 2、功率 P=dW/dt=FVcos θ 3、动能 4、重力势能 5、引力势能 6、弹性势能 7、机械能 8、动能定理 K E W ?= 9、势能定理 10、机械能定理 它 11、机械能守恒 0=?E （只有重力做功） 12、总能量守恒 0=?总E 13、冲量 I=Ft= 14、动量 P=mV 15、动量定理 16、动量守恒 △P=0 第一讲 功和动能定理 一、功 力的瞬时作用效果用加速度a 表示。力对空间的积累效果用功W 表示。力对时间的积累效果用冲量I 表示。 W= cos Fs θ 变力做功的几种计算方法 1、微元法。将整个过程分为无穷小段，每一小段可以认为是恒力做功，然后再累积起来。 ∑?=?=ds F s F W θθcos cos
利用F —s 图解释上面的积分公式。 例：F 和v 总是垂直的力，做的功为0。如：向心力不做功，洛仑兹力不做功。 例：大小不变，且F 和v 总是同线的力，做的功绝对值等于力和路程之积。如：摩擦力做的功。 2、图像法。F S -图中，图线和s 轴围成的面积在数值上等于功。 3、效果法。利用功能原理，从做功产生的效果上考虑。 例题：将立方体在地面上推翻需要做的功 例题：半径为r 的半球形水池装满密度为ρ的水，问要将池内的水抽干至少 要做多少功。 答案:44 1 gr πρ 解：先求匀质半球的质心位置，在距圆心x 处，取微元dx ，设密度为ρ，球半径为r ，质心坐标为 L 例题：一帆船在静水中顺风飘行，风速为υ0，船速多大时，风供给船的功率最大。（设帆面是完全弹性面，且与风向垂直） 答案:0/3υυ= 解：设每个空气分子的质量为m ，单位体积内的分子数为n ，帆船的面积为S ， 对船参考系，风以（0()υυ-的速度撞击帆，并原速反弹 00[()]2()Ft nm St υυυυ=-- 202()P F nSm υυυυ==- 由上可知，υ取不同值，有不同的功率。当0/3υυ=时，风供给船的功率最大。 在船参考系中风对船是不做功的。 二、功率 （Ｐ） θcos Fv t W P == （θ为F 和v 之间的夹角）
高中物理竞赛辅导讲义 第1篇 静力学 【知识梳理】 一、力和力矩 1．力与力系 （1）力：物体间的的相互作用 （2）力系：作用在物体上的一群力 ①共点力系 ②平行力系 ③力偶 2．重力和重心 （1）重力：地球对物体的引力（物体各部分所受引力的合力） （2）重心：重力的等效作用点（在地面附近重心与质心重合） 3．力矩 （1）力的作用线：力的方向所在的直线 （2）力臂：转动轴到力的作用线的距离 （3）力矩 ①大小：力矩=力×力臂，M =FL ②方向：右手螺旋法则确定。 右手握住转动轴，四指指向转动方向，母指指向就是力矩的方向。 ③矢量表达形式：M r F =? （矢量的叉乘），||||||sin M r F θ=? 。 4．力偶矩 （1）力偶：一对大小相等、方向相反但不共线的力。 （2）力偶臂：两力作用线间的距离。 （3）力偶矩：力和力偶臂的乘积。 二、物体平衡条件 1．共点力系作用下物体平衡条件： 合外力为零。 （1）直角坐标下的分量表示 ΣF ix = 0，ΣF iy = 0，ΣF iz = 0 （2）矢量表示 各个力矢量首尾相接必形成封闭折线。 （3）三力平衡特性 ①三力必共面、共点；②三个力矢量构成封闭三角形。 2．有固定转动轴物体的平衡条件：
3．一般物体的平衡条件： （1）合外力为零。 （2）合力矩为零。 4．摩擦角及其应用 （1）摩擦力 ①滑动摩擦力：f k = μk N（μk－动摩擦因数） ②静摩擦力：f s ≤μs N（μs－静摩擦因数） ③滑动摩擦力方向：与相对运动方向相反 （2）摩擦角：正压力与正压力和摩擦力的合力之间夹角。 ①滑动摩擦角：tanθk=μ ②最大静摩擦角：tanθsm=μ ③静摩擦角：θs≤θsm （3）自锁现象 三、平衡的种类 1．稳定平衡： 当物体稍稍偏离平衡位置时，有一个力或力矩使之回到平衡位置，这样的平衡叫稳定平衡。2．不稳定平衡： 当物体稍稍偏离平衡位置时，有一个力或力矩使它的偏离继续增大，这样的平衡叫不稳定平衡。 3．随遇平衡： 当物体稍稍偏离平衡位置时，它所受的力或力矩不发生变化，它能在新的位置上再次平衡，这样的平衡叫随遇平衡。 【例题选讲】 1．如图所示，两相同的光滑球分别用等长绳子悬于同一点，此两球同时又支撑着一个等重、等大的光滑球而处于平衡状态，求图中α（悬线与竖直线的夹角）与β（球心连线与竖直线的夹角）的关系。 面圆柱体不致分开，则圆弧曲面的半径R最大是多少？（所有摩擦均不计） R
高中物理竞赛讲义——微积分初步 一：引入 【例】问均匀带电的立方体角上一点的电势是中心的几 倍。 分析： ①根据对称性，可知立方体的八个角点电势相等；将原立 方体等分为八个等大的小立方体,原立方体的中心正位于个小立方体角点位置；而根据电势叠加原理，其电势即为八个小立方体角点位置的电势之和，即U 1=8U 2 ； ②立方体角点的电势与什么有关呢?电荷密度ρ；二立方体的边长a ；三立方体的形状； 根据点电荷的电势公式U=K Q r 及量纲知识，可猜想边长为a 的立方体角点电势为 U=CKQ a =Ck ρa 2 ；其中C 为常数，只与形状（立方体）及位置（角点）有关，Q 是总电量，ρ是电荷密度；其中Q=ρa 3 ③ 大立方体的角点电势：U 0= Ck ρa 2 ；小立方体的角点电势：U 2= Ck ρ（a 2 ）2=CK ρa 2 4 大立方体的中心点电势：U 1=8U 2=2 Ck ρa 2 ；即U 0=12 U 1 【小结】我们发现，对于一个物理问题，其所求的物理量总是与其他已知物理量相关联，或者用数学语言来说，所求的物理量就是其他物理量（或者说是变量）的函数。如果我们能够把这个函数关系写出来，或者将其函数图像画出来，那么定量或定性地理解物理量的变化情况，帮助我们解决物理问题。 二：导数 ㈠ 物理量的变化率 我们经常对物理量函数关系的图像处理，比如v-t 图像，求其斜率可 以得出加速度a ，求其面积可以得出位移s ，而斜率和面积是几何意义上 的微积分。我们知道，过v-t 图像中某个点作出切线，其斜率即a= △v △t . 下面我们从代数上考察物理量的变化率： 【例】若某质点做直线运动，其位移与时间的函数关系为上s=3t+2t 2,试求其t 时刻的速度的表达式。（所有物理量都用国际制单位，以下同）
原 子 物 理 自1897年发现电子并确认电子是原子的组成粒子以后，物理学的中心问题就是探索原子内部的奥秘，经过众多科学家的努力，逐步弄清了原子结构及其运动变化的规律并建立了描述分子、原子等微观系统运动规律的理论体系——量子力学。本章简单介绍一些关于原子和原子核的基本知识。 §1.1 原子 1．1．1、原子的核式结构 1897年，汤姆生通过对阴极射线的分析研究发现了电子，由此认识到原子也应该具有内部结构，而不是不可分的。1909年，卢瑟福和他的同事以α粒子轰击重金属箔，即α粒子的散射实验，发现绝大多数α粒子穿过金箔后仍沿原来的方向前进，但有少数发生偏转，并且有极少数偏转角超过了90°，有的甚至被弹回，偏转几乎达到180°。 1911年，卢瑟福为解释上述实验结果而提出了原子的核式结构学说，这个学说的内容是：在原子的中心有一个很小的核，叫原子核，原子的全部正电荷和几乎全部质量都集中在原子核里，带负电的电子在核外的空间里软核旋转，根据α粒子散射的实验数据可估计出原子核的大小应在10-14nm 以下。 1、1． 2、氢原子的玻尔理论 1、核式结论模型的局限性 通过实验建立起来的卢瑟福原子模型无疑是正确的，但它与经典论发生了严重的分歧。电子与核运动会产生与轨道旋转频率相同的电磁辐射，运动不停，辐射不止，原子能量单调减少，轨道半径缩短，旋转频率加快。由此可得两点结论： ①电子最终将落入核内，这表明原子是一个不稳定的系统； ②电子落入核内辐射频率连续变化的电磁波。原子是一个不稳定的系统显然与事实不符，实验所得原子光谱又为波长不连续分布的离散光谱。如此尖锐的矛盾，揭示着原子的运动不服从经典理论所表述的规律。 为解释原子的稳定性和原子光谱的离经叛道的离散性，玻尔于1913年以氢原子为研究对象提出了他的原子理论，虽然这是一个过渡性的理论，但为建立近代量子理论迈出了意义重大的一步。 2、玻尔理论的内容： 一、原子只能处于一条列不连续的能量状态中，在这些状态中原子是稳定的，电子虽做加速运动，但并不向外辐射能量，这些状态叫定态。 二、原子从一种定态（设能量为E 2）跃迁到另一种定态（设能量为E 1）时，它辐射或吸收一定频率的光子，光子的能量由这种定态的能量差决定，即 γh =E 2-E 1 三、氢原子中电子轨道量子优化条件：氢原子中，电子运动轨道的圆半径r 和运动初速率v 需满足下述关系： π2h n rmv =，n=1、2…… 其中m 为电子质量，h 为普朗克常量，这一条件表明，电子绕核的轨道半径是不连
最新高中物理竞赛讲义 （完整版） 目录 最新高中物理竞赛讲义（完整版） (1) 第0 部分绪言 (5) 一、高中物理奥赛概况 (5)
二、知识体系 (6) 第一部分力＆物体的平衡 (7) 第一讲力的处理 (7) 第二讲物体的平衡 ............................. 1...0.. 第三讲习题课 ................................. 1..1... 第四讲摩擦角及其它........................... 1...7..第二部分牛顿运动定律 ............................ 2..2.. 第一讲牛顿三定律 ............................. 2...2.. 第二讲牛顿定律的应用 ......................... 2..3.. 第二讲配套例题选讲........................... 3...7..第三部分运动学 ................................. 3...7... 第一讲基本知识介绍 .......................... 3..7.. 第二讲运动的合成与分解、相对运动 ............. 4..0 第四部分曲线运动万有引力 ....................... 4...4. 第一讲基本知识介绍........................... 4...4.. 第二讲重要模型与专题 ......................... 4..7.. 第三讲典型例题解析............................. 5...9..第五部分动量和能量 ............................... 5...9.. 第一讲基本知识介绍............................. 5...9.. 第二讲重要模型与专题.......................... 6..3.. 第三讲典型例题解析............................. 8...3..第六部分振动和波 ................................. 8..3...
§2. 4、电路化简 2．4．1、 等效电源定理 实际的直流电源 可以看作电动势为 ε，内阻为零的恒压 源与内阻r 的串联， 如图2-4-1所示，这部分电路被称为电压源。 不论外电阻R 如何，总是提供不变电流的理想电源为恒流源。实际电源ε、r 对外电阻R 提供电流I 为 r R r r r R I +? =+=ε ε 其中r /ε 为电源短路电流0I ，因而实际电源可看作是一定的内阻与恒流并 联的电流源，如图2-4-2所示。 实际的电源既可看作电压源，又可看作电流源，电流源与电压源等效的条件是电流源中恒流源的电流等于电压源的短路电流。利用电压源与电流源的等效性可使某些电路的计算简化。 等效电压源定理又叫戴维宁定理，内容是：两端有源网络可等效于一个电压源，其电动势等于网络的开路电压，内 阻等于从网络两端看除电源以外网络的电阻。 如图2-4-3所示为两端有源网络A 与电阻R 的串联，网络A 可视为一电压源， 图2-4-1 图 2-4-2 图2-4-3 图2-4-4
等效电源电动势0ε等于a 、b 两点开路时端电压，等效内阻0r 等于网络中除去电动势的内阻，如图2-4-4所示。 等效电流源定理 又叫诺尔顿定理，内容是：两端有源网络可等效于一个电流源，电流源的0I 等于网络两端短路时流经两端点的电流，内阻等于从网络两端看除电源外网络的电阻。 例4、如图2-4-5所示的电路中， Ω=Ω= Ω=Ω=Ω===0.194 ,5.43,0.101 ,0.12 ,5.01,0.12 ,0.31R R R R r r V V εε （1）试用等效电压源定理计算从电源()22r 、ε正极流出的电流2I ；（2）试用等效电流源定理计算从结点B 流向节点A 的电流1I 。 分析： 根据题意，在求通过2ε电源的电流时，可将ABCDE 部分电路等效为一个电压源，求解通过1R 的电流时，可将上下两个有源支路等效为一个电流源。 解： （1）设ABCDE 等效电压源电动势0ε，内阻0r ，如图2-4-6所示，由等效电压源定理，应有 V R R R r R 5.11321110=+++=εε ()Ω=+++++= 53 21132110R R R r R R r R r 电源00r 、ε与电源22r 、ε串联，故 A r R r I 02.02 400 22-=+++= εε A 2 图2-4-5 图2-4-6
2014竞赛讲座 专题1.参考系 相对运动与连接体的速度关联 〖典型例题〗 （1）灵活利用参考系解决物理问题，尤其是涉及两个物体的运动问题 【例1】t =0时刻从水平地面上的O 点在同一铅垂面上同时朝图示的两个方向发射初速率分别为v A =10m/s 和v B =20m/s 的两个质点A 、B ，试问t=1s 时A 、B 相距多远? （2）速度变换关系：A C A B B C v v v →→→=+ 【例2】如图所示, 一列相同汽车以等速度V 沿宽度为C 的直公路行驶,每车宽为b ,头尾间距为a 则人能以最小速度沿一直线穿过马路所用的时间为多少? 【例3】超声波流量计是利用液体流速对超声波传播速度的影响来测量液体流速，再通过流速来确定流量的仪器。一种超声波流量计的原理示意图如图所示。在充满流动液体（管道横截面上各点流速相同）管道两侧外表面上P 1和P 2处（与管道轴线在同一平面内），各置一超声波脉冲发射器T 1、T 2和接收器R 1、R 2。位于P 1处的超声波脉冲发射器T 1向被测液体发射超声脉冲，当位于P 2处的接收器R 2接收到超声脉冲时，发射器T 2立即向被测液体发射超声脉冲。如果知道了超声脉冲从P 1传播到P 2所经历的时间t 1和超声脉冲从P 2传播到P 1所经历的时间t 2，又知道了P 1、P 2两点间的距离l 以及l 沿管道轴线的投影b ，管道中液体的流速便可求得u 。试求u 。 （3）连接体的速度关联 【例4】两只小环O 和O '分别套在静止不动的竖直杆AB 和B A ''上。一根不可伸长的绳子，一端系在A '点上，绳子穿过环O ',另一端系在环O 上。如图所示，若环O '以恒定速度V 1沿杆向下运动,∠ AO O '=α。求环O 的运动速度为多大? 【例5】如图所示，AB 杆的A 端以匀速V 运动，在运动时杆恒与一水平半圆相切，半圆的半径为R ，当杆与水平线的交角为θ时，求杆的角速度及杆上与半圆相切点C 的速度和杆与圆柱接触点C 1的速度的大小。 （4）用微元法求物体的速度加速度 【例6】A 、B 、C 三质点同时从边长为L 的等边三角形三顶点A 、B 、C 出发，以相同的不变速率v 运动，运动中始终保持A 朝着B ，B 朝着C ，C 朝着A ，则经过时间t =_______后三质点相遇，当他们开始运动时加速度大小a =________________。 （5）利用导数示物体的速度加速度 【例7】如图所示，水平高台上有一小车，水平地面上有一拖车，两车之间用一根不可伸长的绳跨过定滑轮相连。拖车从滑轮正下方以恒定速度沿直线运动，则在拖车行进的过程中，小车的加速度? A.?逐渐减小? B ．逐渐增大? C ．先减小后增大? D ．先增大后减小? 【例8】如图所示，一个半径为R 的半圆柱体沿水平方向向右做加速度为a 的匀 加速度直线运动，在半圆柱体上放置一个竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动。当半圆柱体的速度为v 时，杆与半圆柱体 接触点P 与圆柱柱心的连线OP ，与竖直方向的夹角为θ，求此时竖直杆运动的速度和 加速度。 v A v B 40° 80° o O P
微积分初步 一、微积分的基本概念 1、极限 极限指无限趋近于一个固定的数值 两个常见的极限公式 0sin lim 1x x x →= *1lim 11x x x →∞??+= ??? 2、导数 当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限叫做导数。 0'lim x dy y y dx x ?→?==? 导数含义，简单来说就是y 随x 变化的变化率。 导数的几何意义是该点切线的斜率。 3、原函数和导函数 对原函数上每点都求出导数，作为新函数的函数值，这个新的函数就是导函数。 00()()'()lim lim x x y y x x y x y x x x ?→?→?+?-==?? 4、微分和积分 由原函数求导函数：微分 由导函数求原函数：积分 微分和积分互为逆运算。 例1、根据导函数的定义，推导下列函数的导函数 （1）2y x = （2） (0)n y x n =≠ （3）sin y x = 二、微分 1、基本的求导公式 （1）()'0 ()C C =为常数 （2）()1' (0)n n x nx n -=≠ （3）()'x x e e = *（4）()'ln x x a a a = （5）()1ln 'x x = *（6）()1log 'ln a x x a =
（7）()sin 'cos x x = （8）()cos 'sin x x =- （9）()21tan 'cos x x = （10）()21cot 'sin x x = **（11）() arcsin 'x = **（12）()arccos 'x = **（13）()21arctan '1x x =+ **（14）()2 1arccot '1x x =-+ 2、函数四则运算的求导法则 设u =u (x )，v =v (x ) （1）()'''u v u v ±=± （2）()'''uv u v uv =+ （3）2'''u u v uv v v -??= ??? 例2、求y=tan x 的导数 3、复合函数求导 对于函数y =f (x )，可以用复合函数的观点看成y =f [g (x)]，即y=f (u )，u =g (x ) 'dy dy du y dx du dx == 即：'''u x y y u = 例3、求28(12)y x =+的导数 例4、求ln tan y x =的导数 三、积分 1、基本的不定积分公式 下列各式中C 为积分常数 （1） ()kdx kx C k =+?为常数 （2）1 (1)1n n x x dx C n n +=+≠-+?