不定方程的解法研究
摘 要：本文研究了一次不定方程，并从二元到n 元给出了一次不定方程有解的充要条件和几种不定方程的基本求解方法。其中首先给出了不定方程的定义和通解公式，然后举例应用辗转相除法、整数分离法、Euler 函数法、解同余式法、矩阵解法、整消法变换解决了不定方程的求解问题。由本文看出，解不定方程的关键就是求出不定方程的特解。
关键词：不定方程 ；通解 ；Euler 函数 ；初等整数矩阵 ；解法
1引言及有关基础知识
不定方程是变数个数多于方程个数，且取整数值的方程。不定方程是数论中最古老的一个分支，我国古代数学家在这方面的研究内容极为丰富，在数学史上占有重要地位。1969年“不定方程之王”L.Jmordell 系统的总结了当时的成果，写成了著名的《丢番图方程》（Diphantine Equations,Adcmic Press ）.1950 年，著名的数学家柯召和孙琦在我国出版了第一部专门研究不定方程的专著《谈谈不定方程》（上海教育出版社）。在这两部专著的基础上，曹珍富于1987年完成了全面总结与系统研究不定方程的成果和方法的手稿《丢番图方程引论》，并于1989年由哈尔滨工业大学出版社出版。最近十余年，不定方程不仅自身的发展异常活跃，而且全面应用于其他各个领域，例如，计算机科学、组合数学、密码学、代数编码、信号的数字处理、计算方法等领域有着广泛的运用，所以数论又成为现在数学界的热门课题。[1]
本文主要研究了一次不定方程和不定方程的几种解法.并利用辗转相除法、整数分离法、Euler 函数法、解同余式法、矩阵解法解决了不定方程的求解问题.
不定方程的整数解问题是数论的一个重要课题，在现实生活中，该问题有很强的实用意义。
不定方程的概念、有解条件及通解公式[2]
定义1：设整数2≥n ，c ,1a ,n a a ,2是整数，且n a a a ,,21都不等于零，
n x x x ,,21是整数变数，方程c x a x a x a n n =+++ 2211(1)n 元一次不定方程，n a a a ,,21称为它的系数。
命题 1：不定方程()1有解的充要条件是()c a a a n ,2,1且当不定方程()1式有解时，它的解和不定方程
g
c
x g a x g a n n =++ 11 ()2 的解相同，这里()n a a a g ,,21=.
命题2：设二元一次不定方程c by ax =+有一整数解0x x =,0y y = 又设)(d b a =,,
d a a 1=，d b b 1=,*11,z b a ∈ 则方程c by ax =+的一切解可表示成
t a y y t b x x 1010,-=+=. 其中 ,2,1,0±±=t .
2 不定方程的几种主要解法
2.1辗转相除法
2.1.1 系数辗转相除法
能够用观察法解决问题的情形毕竟是不多的, 于是辗转相除法就成了主要的工具。
设()1,=b a , 用b a ,之一作除数, 另一作被除数, 比如先用b 除a 得商数1q ,余数
1r ; 若01≠r ,再用1r 除b 得商2q , 余2r ; 若02≠r , 再用2r 除1r 得商3q ,余3r ;经过有限步后, 必有余数为零. 于是得到一串等式：
11r bq a +=
()1
221r q r b += ()2 3321r q r r += ()3
n n n n r q r r +=--12
()n
11+-=n n n q r r
()1+n
由()1知b a ,与1,r b 的公因数完全相同, 因而最大公因数相同, 再由()()1~2+n 类推下去, 得()()()()()()n n n n r r r r r r r r r b b a ,,,,,,11232211---====== ，()n n r r =0,. 因为()1,=n r b a , 所以11=-n r . 由()1知,1r 是b a ,的组合(即能表成a 的一个倍数与
b 的一个倍数之和) ; 从()1中解出 1r 代入()2知2r 是b a ,的组合; 从()()2,1中解出
21,r r 代入()3知3r 是b a ,的组合…如此下去, 可知11=-n r 是b a ,的组合, 即通过上边这组等式可求出整数v u ,使1=+bv au . 这就求出了方程1=+by ax 的一个特解。[3]
例1 求不定方程98352121=+x x 的全部整数解. 解：因为()735,21=，而98|7，所以方程有解. 约去7，得方程 3x 1+5x 2=14
令a =3，b =5，作辗转相除，列表如下
a b r 1 r 2 r 3 3 5 3 2 1 0 1 1 2
q 1
q 2
q 3
由带余除法定理:
a =q 1
b +r 1; b =q 2r 1+r 2; r 1=q 3r 2+r 3; 所以
1 = r 3 = r 1-r 2q 3 = a -bq 1-(b -r 1q 2) = a -b +r 1q 2
= a -b +a -bq 1
= 2a -b 所以 14 = (2×14) a + (-1×14) b 所以方程
3x 1 + 5x 2 = 14
的一个特解为(28，-14)，通解为
??
?--=+=t x t x 31452821.=t 0,±1,±2, .
2.1.2 逐渐减小系数法
逐渐减小系数法：是对整个不定方程用辗转相除法，依次划为等价的不定方程，直到得到有一个变元的系数为±1的不定方程为止，这样的不定方程是可以直接解出来的，再一次反推上去，就得到原方程的通解。为了减少运算次数，在用带余除法时，总取绝对最小余数。[4] 例2：求解不定方程
1402x 1-1969x 2=2. (3)
解：因为(1402，1969)|2，所以不定方程(3)有解.用辗转相除法.
x 1 = x 2 + (567x 2 + 2) / 1402 令 x 3 = (567x 2 + 2) / 1402 ?Z x 1 = x 2 + x 3
= 1402x 9 - 136 + (567x 9 - 55) = 1969x 9 - 191 ↓
↑
x 2 = 2x 3 + (268x 3 - 2) / 567 令 x 4 = (268x 3 - 2) / 567 ?Z x 2 = 2x 3 + x 4
= 2×(567x 9 - 55) + (268x 9 - 26) = 1402 x 9 - 136 ↓
↑
x 3 = 2x 4 + (31x 4 + 2) / 268 令 x 5 = (31x 4 + 2) / 268 ?Z x 3 = 2x 4 + x 5
= 2×(268x 9 - 26) + (31x 9 - 3) = 567x 9 - 55 ↓
↑
x 4 = 8x 5 + (20x 5 - 2) / 31 令 x 6 = (20x 5 - 2) / 31 ?Z x 4 = 8x 5 + x 6
= 8×(31x 9 - 3) + (20x 9 - 2) = 268x 9 - 26 ↓
↑
x 5 = 2x 6 + ( - 9x 6 + 2) / 20 令 x 7 = ( - 9x 6 + 2) / 20 ?Z x 5 = 2x 6 + x 7
= 2×(20x 9 - 2) + ( - 9x 9 + 1) = 31x 9 - 3 ↓
↑
x 6 = - 2x 7 + ( - 2x 7 + 2) / 9 令 x 8 = ( - 2x 7 + 2) / 9 ?Z x 6 = - 2x 7 + 2x 9
= - 2×( - 9x 9 + 1) + 2x 9 = 20x 9 - 2 ↓
↑
x 7 = - 5x 8 + 1 + x 8 / 2 令 x 9 = x 8 / 2 ?Z x 7 = - 5x 8 + 1 + x 9 = - 5×2x 9 + 1 + x 9 = - 9x 9 + 1 ↓
↑ x 8 = 2x 9
→→
通过辗转相除并且逐步回代，得到
??
?-=-=136140219119699291x x x x ，
于是，方程(3)的所有解为
??
?-=-=13614021911969
21t x t x .0=t ,±1,±2, .
由上面的过程可以看出，这种方法是对整个方程运用了辗转相除法，而前一
种方法只是对系数运用了辗转相除法.对于二元不定方程来说，这种方法比较繁琐，但是可以推广到多元一次不定方程.
一般的k 元一次不定方程还可以转化为由1-k 个二元一次不定方程构成的方程组，且它的通解中恰有1-k 个参数.下面的命题可以证明这个结论.
命题3[5] 设g 1 = a 1 , g 2 = (g 1,a 2) = (a 1,a 2) , g 3 = (g 2,g 3) = (a 1,a 2,a 3),… ,k g = (g k -1,a k )
=()k a a ,,1 .那么，不定方程(1)等价于下面的()12-k 个整数变数x 1, … ,k x , y 2, … ,y k -1.k -1个方程的不定方程组： ?????
????=+=+=+=+--------.
,
,,
2222113
3332211112211y g x a x g y g x a y g y g x a y g b x a y g k k k k k k k k k k
(4) 当方程(1)有解时，它的通解有k -1个参数的线性表达式给出.
证 先来证等价性.若x 1, …,x k ,y 2, …,y k -1是方程组(4)的解，则显然x 1, …k x 是(1)的解.反之，若x 1, …,k x 是(1)的解，则取
.12),(1
11-≤≤+?+=
k j x a x a g y j j j
j
显然，i y 是整数，且x 1, …,x k ,y 2, …,y k -1是(4)的解.由命题1容易看出，方程组
(4)的第一个方程和方程(1)一样，有解的充要条件是b g k 而方程组(4)的其余的方程，当把i y 看作参数(取整数时)，每个变数为y i -1，j x 的二元一次不定方程
j j j j j j y g x a y g =+--11 (5)
总是可解得，这里j 依次取k -1，…2.一定可以找到y (0)j -1,x (0)j 使
i j
j j j g x a y g =+--)
0()0(11 (6) 这样)
0()0(1,j j j i x y y y -就是(5)的一组特解，所以(5)的通解是
.
,11)0(1)
0(1
1-----+
=+
=t j
j j
j j t j
j j j j t g g y
y x t g a y
y y (7)
.
)12(,2,1,01-≤≤?±±=-k j t j
当(1)有解，即b g k 时，方程组(4)的第一个方程可解，其通解是(y k -1,0,x k ,0是一组特解)
.,110,10,11------=+
=k k
k k k k k k k k t g g
x x t g a y y (8)
.,2,1,01?±±=-k t
式(8)已经给出了y k -1和k x 的参数t k -1的表达式.由y k -1的参数表达式及式(7)(j =k -1)可得到y k -2和x k -1的参数t k -1，t k -2的表达式；进而由y k -2的参数表达式及(7)(j =k -2)可得到y k -3和x k -2的参数t k -1，t k -2，t k -3的表达式；依次就得到y j -1和j x (j =k -3，…，2)的参数t k -1，…t j -1的表达式.这就给出了方程组(5)变元1,,21,,,-k k y y x x (注意x 1=y 1)的通解公式，其中有1-k 个参数t 1，…，t k -1.显然，其中的一部分——x 1, …,
k x 的参数表示式就给出了不定方程(1)的通解公式.证毕.
例3 ：求解不定方程
15 x 1+10x 2+6x 3=61 (9)
解 g 1=a 1=15;
g 2=(g 1,a 2)=(15,10)=5;
g 3=(g 2,a 3)=(5,6)=1;
因此这个不定方程等价于4个变数两个方程的不定方程组
??
?=+=+2
213251015;
6165y x x x y x 1 = y 2 + 2t 1 , x 2 = -y 2 - 3t 1; y 2 = 5 + 6t 2 , x 3 = 6 - 5t 2; 消去y 2得:
???
??-=---=++=23
21221156635625t
x t t x t t x （t 1，t 2=0,1±） 2.2 整数分离法[6]
整数分离法求不定方程特解的一般步骤：
（1） 变形：用一个未知数的代数式表示另一个未知数；
（2） 分离：变形中，用一个未知数表示另一个未知数，从而得出代数式，把
这个代数式所包含的整系数的整数分离出来，使它成为一个整式与一个分式之和；
（3） 观察估算：通过估算，使分式的值为整数，由此求出不定方程的一个整
数解。
例4： 求不定方程21x+57y=639的一个整数解
解：因为（21，57）=3，6393，因此不定方程有整数解，首先将原方程两边同时除以3得
7x+19y=213 (10)
将（10）式变形得 x=7
19213y
-=()y 230-+753y - (11
要使x ，y 都为整数，必使7
53y
-是整数。即)53(7y -，取y=2显然有)53(7y -.
将y=2代入(11)式得x=25,因此，所给不定方程的一个解为
?
??==225
y x 2.3 Euler 函数法
命题 4 [7]
不定方程
c by ax =+ (12)
在(a ，b )|c 时的全体整数解可以表示为
[]
???
??--=+=-t
a a
b
c y t b a c x b b 0)(00001
)(00001?? (13)
其中，
),(0b a a a =
，),(0b a b b =，),(0b a c c =
，t =0，±1，±2，….
例 5：求不定方程72x 1+157x 2=1的整数解. 解 由题目可知，a =72，b =157，c =1，所以
00072,157,1(,)(,)(,)a b c a b c a b a b a b =
=====
从而，由公式(13)可得方程的全体整数解为：
155
11561
2157721570,1,2,17272x t
t x t ?=+? =±±???=--????
2.4 同余式解法
定义 3[8]
：设m 为正整数，整数a 阿和b 之差可被m 整除时，称为a 和b 关于模的
同余，记作()m b a mod ≡。当且仅当()b a m -时，称a 与b 对模m 同余。 例6: 用同余式解不定方程37x+49y=1 解：37x ≡1(mod49) 即 12x ≡1(mod49) 由于49=4?12+1 所以4?12x ≡-4(mod49) X ≡4(mod49) 设 x=4+49t 代入不定方程得
49y=1-37x=1-37(4+49t)= -3?49-37?49t 所以y=-3-37t
不定方程的解为???--=+=t y t
x 373494(t 为任意整数)
2.5 矩阵解法[9]
元素全为整数的矩阵称为整数矩阵. 整数矩阵的下列变换称为行(列) 初等变换:
(ⅰ) 换法变换: 交换两行(列) ; (ⅱ) 倍法变换: 以1+或1-乘一行(列) ;
(ⅲ) 消法变换: 将一行(列) 的k ()z k ∈ 倍加到另一行(列).
对n 阶单位矩阵作一次整数矩阵的初等变换得到的矩阵称为初等整数矩阵.
对整数矩阵A 作一次整数矩阵的初等变换就相当于以一初等整数矩阵左(右)乘.初等整数矩阵的乘积是可逆的, 其逆仍是整数矩阵.以下仅研究2>n , 且数是整数, 矩阵是整数矩阵的情况.
现在来看n 元一次不定方程
1a 1x +N x a x a n n =++ 22 (14)
其中n a a a ,,21,Z N ∈ , 且n a a a ,,21不全为零.
命题 5
[10]
设不定方程(14)有整数解, 又设d 是n a a a ,,21的最大公因数, 可逆整
数矩阵=b (ij b ) 满足等式
?
?????? ??=????? ??001 d a a B n ,则方程(14)的全部整数解为 ??
????
?+++?=+++?=+++?=n nn n n d N n n n n d N
n n d
N t b t b b x t b t b b x t b t b b x 2122221221121111 (15)
其中n t t t ,,,21 为任意整数.
证明 利用矩阵乘法 (14)、(15) 分别写成
N
a a x x n n =???
?? ?? 11),,( (16)
B t t t d
N
x x x n n ),,,,(
),,,(2121 = (17) 将(17)代入(16)左边得
N
d t t d N a a B t t d N n n n =????
??? ??=?????
??00),,,(),,,(212
故(15)是(14)的解.
反之，设n n c x c x ==,11是(14)的任一解，则
()N
a a c c n n =???
?
?
?? 11,,
再由
???
???? ??=?????
??-0011 d B a a n
得
()N
d B c c n =????
??? ??-00,,11
令(n c c ,,1 )1-B =(n t t t ,,,21 )，即(n c c ,,1 )=(n t t t ,,,21 )B ，则
()N
d t t n =????
??? ??00,,1
故1t d=N ，而1t =
d N .于是(n c c ,,1 )=(d
N
,n t t t ,,,21 )B,这就证明了(14)的解都可以表示成(15)的形式.
例7 :求不定方程9x+24y-5z=1000的全部整数解. 解: [1]、[2]、[3]分别表示矩阵的第1、2、3行.
???
?
? ??----??
?→?????? ??----??→?????? ??---??
?→?????? ??-+?+??-+?+?9050311020111005510120111005510120111005010240019]3[]1[5],2[]1[1]
1[1]2[]3[5],1[]3[2
因为d=(9，24，-5)=1，N=1000，
d
N
所以方程有解，令
??
??? ??-----=905311201B ，方程的全部解为 ??
?
??
??-----==905311201),,1000(),,(),,(2121t t B
t t z y x d N
即
??
?
??-+-==---=211
2193200051000t
t z t y t t x
其中1t ，2t 为任意整数.
2.6 整消法变换[11]
设二元一次不定方程c by ax =+，其中c b a ,,都是整数，d 是a ，b 的最大公因数，当且仅当d 整除c 时，方程c by ax =+有整数解。
设用整消变换将矩阵???? ??b a 1001 化为元素都是整数的矩阵????
??0s r d q p ，且
?
?
?=+=+0sb ra d
qb pa 则当d 整除c 时，方程c by ax =+的一切整数解为???
???
?±±=?+=?+= 2,1,0,,R R s q d c y R r p d
c x 例 8:求111x-321y=75的整数解 解：用整消法变换得
???? ??-3211011101→????
??--0371073926 由此得p=-26,q=-9,r=107,s=37,p=3是111和
-321的最大公因数，这些数满足???=-?+?=?-+?-0)321
(371111073321)9(11126
37107926--=1，又因3整75，所以???
????
±=+-=+-?=+-=+-?=
1,0,3722537)9(375107650107)26(3
75R R R Y R R x 或
??
?+-=+-=t y t
x 3731078（t=0, ,2,1±±）
一次不定方程的解法 我们现在就这个问题，先给出一个定理． 定理如果,a b 是互质的正整数，c 是整数，且方程 ax by c +=① 有一组整数解00,x y 则此方程的一切整数解可以表示为 其中0,1,2,3,t =±±±… 证因为00,x y 是方程①的整数解，当然满足 00ax by c +=② 因此 0000()()a x bt b y at ax by c -++=+=． 这表明0x x bt =-，0y y at =+也是方程①的解． 设,x y ''是方程①的任一整数解，则有 ax by c ''+=③ ③-②得00()()a x x b y y ''-=--④ 由于(,)1a b =，所以0a y y '-，即0y y at '=+，其中t 是整数．将0y y at '=+代入④，即得0x x bt '=-．因此,x y ''可以表示成0x x bt =-，0y y at =+的形式，所以0x x bt =-，0y y at =+表示方程①的一切整数解，命题得证． 有了上述定理，求解二元一次不定方程的关键是求它的一组特殊解. 例1求11157x y +=的整数解． 解法1将方程变形得 因为x 是整数，所以715y -应是11的倍数．由观察得002,1x y ==-是这个方程的一组整数解，所以方程的解为 解法2先考察11151x y +=，通过观察易得
11(4)1531?-+?=， 所以 11(47)15(37)7?-?+??=， 可取0028,21x y =-=，从而 可见，二元一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的．将解中的参数t 做适当代换，就可化为同一形式． 例2求方程62290x y +=的非负整数解． 解因为(6,22)2=，所以方程两边同除以2得 31145x y +=① 由观察知，114,1x y ==-是方程 3111x y +=② 的一组整数解，从而方程①的一组整数解为 由定理，可得方程①的一切整数解为 因为要求的是原方程的非负整数解，所以必有 1801104530t t -≥??-+≥? ③ 由于t 是整数，由③得1516t ≤≤，所以只有15,16t t ==两种可能． 当15,15,0t x y ===；当16,4,3t x y ===．所以原方程的非负整数解是 150x y =??=? ，43x y =??=? 例3求方程719213x y +=的所有正整数解． 分析这个方程的系数较大，用观察法去求其特殊解比较困难，碰到这种情况我们可用逐步缩小系数的方法使系数变小，最后再用观察法求得其解． 解用方程
不定方程 ———研究其解法 方程，这个词对于同学们来说，再熟悉不过了，它在数学中占了很大的一个板块，许 多题目都可以通过方程来得到答案，那么自然而然，它的解法就尤为重要了。 然而，我今天想为大家介绍的是一种特殊的方程——不定方程，因为它往往有多个或无数个解，他的解法相对较多较难，以下就是关于不定方程的一些问题。 一、不定方程是指未知数的个数多于方程个数的方程，其特点是往往有不唯一的解。 二、不定方程的解法 1、筛选试验法 根据方程特点，确定满足方程整数的取值范围，对此范围内的整数一一加以试验，筛去不合理的值。 如：方程x ﹢y ﹢z = 100共有几组正整数解？ 解：当x = 1时y ﹢z = 99，这时共有98个解：(y ，z)为(1，98) (2，97)……(98，1)。 当x = 2时y ﹢z = 98，这时共有97个解：(y ，z)为(1，97) (2，96)……(97，1)。 …… 当 x = 98时，y ﹢z = 2，这时有一个解。 ∵ 98﹢97﹢96﹢ (1) 2 99 98?= 4851 ∴ 方程x ﹢y ﹢z = 100共有4851个正整数解。 2、表格记数法 如：方程式4x ﹢7 y =55共有哪些正整数解。 解： ∴ 方程4x ﹢7 y =55的正整数解有 x = 5 x = 12 y = 5 y = 1 3、分离系数法 如： 求7x ﹢2 y =38的整数解 解： y = 2 738X -=19-3x-21 x
令 t= 2 1 x x =2 t 则 y= 2 2738t ?-=19-7t 2t ＞0 19-7t ＞0 （t 为整）→ 2 7 5 ＞t ＞0 t=2，1 当 t=2时， x =2×2=4 x =4 y=19-7×2=5 y =5 当 t=1时， x =2×1=2 x =2 y=19-7×1=12 y=12 第四十周 不定方程 专题简析： 当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。如5x －3y ＝9就是不定方程。这种方程的解是不确定的。如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。如5x －3y ＝9的解有： x ＝2.4 x ＝2.7 x ＝3.06 x ＝3.6 ……… y ＝1 y ＝1.5 y ＝2.1 y ＝3 如果限定x 、y 的解是小于5的整数，那么解就只有x ＝3，Y ＝2这一组了。因此，研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。 解不定方程时一般要将原方程适当变形，把其中的一个未知数用另一个未知数来表示，然后再一定范围内试验求解。解题时要注意观察未知数的特点，尽量缩小未知数的取值范围，减少试验的次数。 对于有3个未知数的不定方程组，可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。 解答应用题时，要根据题中的限制条件（有时是明显的，有时是隐蔽的）取适当的值。 例1． 求3x+4y ＝23的自然数解。 先将原方程变形，y ＝23－3x 4 。可列表试验求解： X=1 x=5 Y=5 y=2 练习一 1、 求3x+2y ＝25的自然数解。 2、 求4x+5y ＝37的自然数解。 3、 求5x －3y ＝16的最小自然数解。
个例独解：“不定方程”解题思路 不定方程(组)是指未知数的个数多于方程的个数的一个(或几个)方程组成的方程(组)。 不定方程的解一般有无数个，而在这无数个解中要找出一个适合题意的解，则是行测出题 的思路。根据不定方程的这一特点可知，由题干条件推出结论的推理方式比较费时费力， 采用代入法则是不定方程的一般解法。代入法也分为选项代入法、特殊值代入法两种。 某儿童艺术培训中心有5名钢琴教师和6名拉丁舞教师培训中心将所有的钢琴学员和拉丁舞学员共76人分别平均分给各个老师带领刚好能够分完，且每位老师所带的学生数量都 是质数。后来由于学生人数减少，培训中心只保留了4名钢琴教师和3名拉丁舞教师，但每名教师所带的学生数量不变，那么目前培训中心还剩下学员多少人?( )(2012年国家 考试行测第68题) A. 36 B.37 C.39 D.41 读题之后可以看出题干中存在两个明显的等量关系，而也没有其他较简单的做法，则考虑 列方程组，设每名钢琴教师带领x名学员，每名拉丁舞教师带领y名学员; 该方程组有三个未知数，只有两个方程，属于不定方程，用代入法较好。采用特殊值代入 法较好。用第一个方程：5x+6y=76，用奇偶性分析可得x应该为偶数，根据“每位老师所 带的学生数量都是质数”可得x只能为2，又可求的Y=11.再把X=2，Y=11代入方程二可 得4x+3y=41。 该题先列出方程组，再根据题干给出的特殊信息--奇偶性和质数特性，采用特殊值代入的 方式解题。 三位专家为10幅作品投票，每位专家分别都投出了5票，并且每幅作品都有专家投票。 如果三位专家都投票的作品列为A等，两位专家投票的列为B等，仅有一位专家投票的 作品列为C等，则下列说法正确的是( )(2012年 考试 第72题) A、A等和B等共6幅 B、B等和C等共7幅 C、A等最多有5幅 D、A等比C等少5幅 读题之后可以看出题干中存在两个明显的等量关系，即画的张数是10，投票数总共为50. 则考虑列方程组，设A等、B等、C等作品的幅数分别为x、y、z张。可得方程组为： 化简得：2x+y=5，可得x=2，y=1，z=7，答案选D。或者得答案x=1，y=3，z=6，无答案，答案选D。
一次不定方程的解法
一次不定方程的解法 我们现在就这个问题，先给出一个定理． 定理 如果,a b 是互质的正整数，c 是整数，且方程 ax by c += ① 有一组整数解00,x y 则此方程的一切整数解可 以表示为 00x x bt y y at =-??=+? 其中0,1,2,3,t =±±±… 证 因为00 ,x y 是方程①的整数解，当然满足 00ax by c += ② 因此 0000()()a x bt b y at ax by c -++=+=． 这表明0x x bt =-，0y y at =+也是方程①的解． 设,x y ''是方程①的任一整数解，则有 ax by c ''+= ③ ③-②得 00()()a x x b y y ''-=-- ④ 由于(,)1a b =，所以0a y y '-，即0y y at '=+，其中t 是整数．将 0y y at '=+代入④，即得0x x bt '=-．因此,x y ''可以表示成0x x bt =-，0y y at =+的形式，所以0x x bt =-，0y y at =+表示 方程①的一切整数解，命题得证．
例2 求方程62290x y +=的非负整数解． 解 因为(6,22)2=，所以方程两边同除以2得 31145x y += ① 由观察知，114,1x y ==-是方程 3111x y += ② 的一组整数解，从而方程①的一组整数解为 0045418045(1)45 x y =?=??=?-=-? 由定理，可得方程①的一切整数解为 18011453x t y t =-??=-+? 因为要求的是原方程的非负整数解，所以必有 1801104530t t -≥??-+≥? ③ 由于t 是整数，由③得1516t ≤≤，所以只有15,16t t ==两种可能． 当15,15,0t x y ===；当16,4,3t x y ===．所以原方程的非负整数解是 150x y =??=? ，43x y =??=? 例3 求方程719213x y +=的所有正整数解． 分析 这个方程的系数较大，用观察法去求
一次不定方程及方程的整数解问题-1
一次不定方程（组）及方程的整数解问题 【写在前面】 不定方程（组）是数论中的一个重要课题，不仅是数学竞赛，甚至在中考试卷中也常常出现. 对于不定方程（组），我们往往只求整数解，甚至是只求正整数解，加上条件限制后，解就可确定.有时还可以解决计数、求最值等方面的问题.二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些复杂的不定方程（组）常常要转化为二元一次不定方程问题加以解决. 【本讲重点】 求一次不定方程（组）的整数解 【知识梳理】 不定方程（组）是指未知数的个数多于方程的个数的方程（组），其特点是往往有无穷多个解，不能唯一确定. 重要定理： 设a 、b 、c 、d 为整数，则不定方程c by ax =+有： 定理1 若,),(d b a =且d 不能整除c ，则不定方程c by ax =+没有整数解； 定理2 若),(0 y x 是不定方程c by ax =+且的一组整数解（称为 特解），则?? ?-=+=at y y bt x x 00 ,（t 为整数）是方程的全部整数解（称为通解）. （其中d b a =),(,且d 能整除c ）. 定理3 若),(0 y x 是不定方程1=+by ax ，1),(=b a 的特解， 则),(0 cy cx 是方程c by ax =+的一个特解. （其中d b a =),(,且d 能整除c ）.
求整系数不定方程c by ax =+的正整数解，通常有以下步骤： （1） 判断有无整数解； （2） 求出一个特解； （3） 写出通解； （4） 有整数t 同时要满足的条件（不等式组），代入 命题（2）中的表达式，写出不定方程的正整数解. 解不定方程（组），需要依据方程（组）的特点，并灵活运用以下知识和方法： （1）分离整系数法； （2）穷举法； （3）因式分解法； （4）配方法； （5）整数的整除性； （6）奇偶分析； （7）不等式分析； （8）乘法公式. 【学法指导】 【例1】求下列不定方程的整数解（1）862=+y x ； （2）13 105=+y x . 【分析】根据定理1、定理2确定方程的整数解. 【解答】（1）原方程变形为：43=+y x ， 观察得到? ? ?==1 , 1y x 是4 3=+y x 的一组整数解（特解），
摘要 不定方程是初等数论的一个重要内容，在相关学科和实际生活中也有着广泛的应用．本文首先归纳了整数分离法、系数逐渐减小法和辗转相除法等几种常用的二元一次不定方程的解法；其次进一步讨论了求n元一次不定方程和二次不定方程整数解的方法；最后论述了不定方程在中学数学竞赛题、公务员行测试题和其他学科中的应用，并举例说明． 关键词：不定方程；二元一次不定方程；数学竞赛；公务员试题
Abstract The integral solutions of indeterminate equation solving method is an important content of elementary number theory, has been widely used in related disciplines and in real life. This paper summarizes the integer separation method, coefficient decreases and the Euclidean algorithm and several commonly used two element indefinite equation solution, secondly is further discussed. For n linear indeterminate equation and the method of two time indefinite equation integer solution, and finally discusses the indeterminate equation applied in secondary school mathematics, civil servants for test and other subjects, and illustrated with examples. Key words: i ndeterminate equation; two element indefinite equation; Mathematics contest; civil service examination.
精心整理 一次不定方程的解我们现在就这个问题，先给出一个定理 定理如是互质的正整数是整数，且方,①cby?ax?有一组整数解则此 方程的一切整数解可以表示为yx,00其中…3,??1,?2,t?0,证因为是方程①的整数解，当然满足y,x00②c?ax?by00因此 ．cby?at)?ax?ba(x?bt)?(y?0000这表明，也是方程①的解．at?y??x?xbty00设是方程①的任一整数解，则有??y,x③??caxby???②得④③ ??)y(?)x(ax??by?00精心整理． 精心整理 t是整数．将，其中代入④，即得由于，所以，即??? atyy?y?at??y ya?y1)?,(ab000．因此可以表示成，的形式，所以， ???y?y?atx?x?x?x?btyy?x??x?btatbty,x00000表示方程①的一切整数解，命题得证．有了上述定理，求解二元一次不定方程的关键是求它的一组特殊解. 例1求的整数解．715y?11x?将方程变形得1解是这个方程的的倍数．由观察是整数，所应是因211组整数解，所以方程的解先考，通过观 察易得解11114所以 (7711，，从而可取21?x??28,y00可见，二元一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于 求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是 t一样的．将解中的参数做适当代换，就可化为同一 形式．求方程的非负整数解．2例9022y??6x得因为，所以方程两边同
除以解2?(6,22)2①45?3x?11y由观察知，是方程1??yx?4,11②1?11y?x3 的一组整数解，从而方程①的一组整数解为 由定理，可得方程①的一切整数解为精心整理． 精心整理 因为要求的是原方程的非负整数解，所以必有 180?11t?0?③??45?3t?0?由于是整数，由③得，所以只有两种可能．16?t?15,tt16t?15?当；当．所以原方程的非负整数解是 3??4,yy?0?t16,xt?15,x?15,x?415x???，??y?3y?0??求方的所有正整数解211?分析这个方程的系数较大，用观察法去求其特殊解比较困难，碰到这种情况们可用逐步缩小系数的方法使系数变小，最后再用观察法求得其解 解用方 211?的最小系除方程①的各项，并移项 211y②?30?2y?x?77y?53．化简得到是整数，故因为也是整数，于是?u yx,3?7u5y?7③3??7u5y3?2u（整数），由此得令?v5④35v?2u?u??1u??1??是方程④的一组解．将代入③得，再将由观察知代入②得 2?2y?y??v?1v?1??x?25x?25?19t??t为整数，所以它的一切解为．于是方程①有一组解025x???y?2y?2?7t??0由于要求方程的正整数解，所以 解不等式，得只能取．因此得原方程的正整数解为0,1t精心整理．精心整理 x?25x?6??，??y?2y?9??当方程的系数较大时，我们还可以用辗转相除法求其特解，其解法结合例题说明．
不定方程的求解方法汇总 行测数量运算的考查中，不定方程是计算问题的常考题型，难度不大，易求解。但是想要快速正确的求解出结果，还是需要一些技巧和方法的。专家认为，掌握了技巧和方法，经过大量练题一定可以实现有效的提升，不定方程的题目必定成为你的送分题。 一、不定方程的概念 在学习之前，首先了解一下不定方程的概念：指对于一个方程或者方程组，未知数的个数大于独立方程的个数，便将其称为不定方程或者不定方程组。 在这里解释一下独立方程。看个例子大家便可以明白了: 4x+3y=26①,8x+6y=52② 因为①×2=②，相互之间可以进行转化得到，所以①、②两个式子并不是两个独立的方程，。 二、求解不定方程的方法 1、奇偶性 奇数+奇数=偶数奇数×奇数=奇数 偶数+偶数=偶数偶数×偶数=偶数 奇数+偶数=奇数奇数×偶数=偶数 性质：奇偶奇 7x为奇数，x也为奇数。x可能的取值有1、3、5。当x=1时，y=9，满足题干要求，凳子数量大于桌子数量，其余情况不符合要求，故答案选择B。
2、尾数法 当看到未知数前面的系数为0或者5结尾时，考虑尾数法。任何正整数与5的乘积尾数只有两种可能0或5。 性质：奇偶奇 5x 为奇数，则其尾数必定为5，则4y的尾数为4，y可能为1、6、11，这三种可能。但已知乙部门人数超过10人，则y=11,求得x=3,故答案选择C。 3、整除法 当未知数前面的系数与和或差有除1之外的公因数时，考虑用整除法。 4、特值法 当题目考察不定方程组，且一般情况下，求解(x+y+z)之和时考虑特值法。不定方程组拥有无数组解，而(x+y+z)的结果是唯一的，那么我们便可以随便找一组解代入即可。同时要使计算相对简单，便可以将系数较为复杂的未知数设为特值0，简化运算。
不 定 方 程 【知识精要】 形如x +y =4，x +y +z =3，y x 11+=1的方程叫做不定方程，其中前两个方程又叫做一次不定方程．这些方程的解是不确定的，我们通常研究（1）不定方程是否有解？（2）不定方程有多少个解？（3）求不定方程的整数解或正整数解． 对于二元一次不定方程问题，我们有以下两个定理： 定理1．二元一次不定方程ax +by =c ，（1）若其中（a ，b ） c ，则原方程无整数解； （2）若（a ，b ）=1，则原方程有整数解；（3）若（a ，b ）｜c ，则可以在方程两边同时除以（a ，b ），从而使原方程的一次项系数互质，从而转化为（2）的情形． 如：方程2x +4y =5没有整数解；2x +3y =5有整数解． 定理2．若不定方程ax +by =1有整数解???==00y y x x ，则方程ax +by =c 有整数解? ??==00cy y cx x ，此解称为特解．方程方程ax +by =c 的所有解（即通解）为? ??-=+=ak cy y bk cx x 00（k 为整数）． 对于非二元一次不定方程问题，常用求解方法有： （1）恒等变形．通过因式分解、配方、换元等方法将方程变形，使之易于求解； （2）构造法．先利用恒等式构造一些特解，再进一步证明不定方程有无穷多组解； （3）估算法．先缩小方程中某些未知数的取值范围，然后再求解． 【例题精讲】 一 二元一次不定方程 例1．求方程4x +5y =21的整数解． 解：因为方程4x +5y =1有一组解???=-=11y x ，所以方程4x +5y =21有一组解???=-=21 21y x ． 又因为方程4x +5y =0的所有整数解为? ??-==k y k x 45（k 为整数）， 所以方程4x +5y =21的所有整数解为? ??-=+-=k y k x 421521（k 为整数）． 说明：本题也可直接观察得到方程4x +5y =21的一组特解? ??=-=51y x ，从而得到4x +5y =21
10秒钟解不定方程的方法 一、不定方程常用解法汇总 1、利用奇偶性求解 自然数分为奇数和偶数，而加和、做差和乘积也存在一定规律： 奇数+奇数=偶数;偶数+偶数=偶数;奇数+偶数=奇数; 奇数×奇数=奇数;偶数×偶数=偶数;奇数×偶数=偶数。 例题1：x，y为自然数，2x+3y=22，求y=? A.1 B.2 C.3 D.5 【答案】B。解析：22是偶数，2x是偶数，偶数加偶数才能得到偶数，所以3y一定是偶数，又因为3是奇数，所以只能是y为偶数，答案选B。 2、利用尾数法求解 适用环境：一个未知数系数尾数是5或0。 例题2：现有139个同样大小的苹果往大、小两个袋子中装，已知大袋每袋装17个苹果，小袋每袋装10个苹果。每个袋子都必须装满，则需要大袋子的个数是? A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】C解析：设需要大袋子x个，小袋子y个，得到17x+10y=139，由于小袋子每袋装10个苹果，所以无论有多少个小袋子，所能装的苹果数的尾数永远为0，即10y的尾数为0;而大袋每袋装17个苹果，17x的尾数为9，所以x的尾数为7，选C。 3、利用整除特性求解 适用环境：等式右边的常数和某个未知数系数能被同一个数整除(1除外)，即有除了1以外的公约数。 例3：x，y为自然数，3x+4y=129，求y=? A.11 B.12 C.13 D.14 【答案】B。解析：发现129和x的系数3都能被3整除，所以4y也必定被3整除，而4不能被3整除，所以只能y被3整除，答案选B。 二、真题演练 1、超市将99个苹果装进两种包装盒，大包装盒每个装12个苹果，小包装盒每个装5个苹果，共用了十多个盒子刚好装完。问两种包装盒相差多少个? A.3 B.4 C.7 D.13 【答案】D解析：此题条件比较单一，没有直接可以利用的数量关系。因此，要优先考虑方程法，利用方程来理清数量间的特殊关系。 设大包装盒有x个，小包装盒有y个，则12x+5y=99，其中x、y之和为十
基本介绍编辑本段 不定方程是数论的一个分支，它有着悠 久的历史与丰富的内容。所谓不定方程是指解的范围为整数、正整数、有理数或代数整数的方程或方程组，其未知数的个数通常多于方程的个数。 古希腊数学家丢番图于三世纪初就研究过若干这类方程，所以不定方程又称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一。不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等等都有较为密切的联系。1969 年，莫德尔较系统地总结了这方面的研究成果。 2 发展历史编辑本段
希腊的丢番图早在公元3 世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程。Diophantus ，古代希腊人，被誉为代数学的鼻祖，流传下来关于他的生平事迹并不多。今天我们称整系数的不定方程为「Diophantus 方程」，内容主要是探讨其整数解或有理数解。他有三本著作，其中最有名的是《算术》，当中包含了189 个问题及其答案，而许多都是不定方程组（变量的个数大于方程的个数）或不定方程式（两个变数以上）。丢番图只考虑正有理数解，而不定方程通常有无穷多解的。 研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解。②有解时决定解的个数。③求出所有的解。中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5 世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究。秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来。百鸡问题说：“鸡翁一，直钱五，鸡母一，直钱三，鸡雏三，直钱一。百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何”。设x，y，z 分别表鸡翁、母、雏的个数，则此问题即为不定方程组的非负整数解x，y，z，这是一个三元不定方程组问题。 3 常见类型编辑本段
探究二元一次不定方程 （Inquires into the dual indefinite equation） 冯晓梁（XiaoLiang Feng）（江西科技师范学院数计学院数一班 330031）【摘要】:二元一次不定方程是最简单的不定方程, 一些复杂的不定方程常常化为二元一次不定方程问题加以解决。我们讨论二元一次方程的整数解。 The dual indefinite equation is the simple the indefinite equation, some complex indefinite equations change into the dual indefinite equation question to solve frequently. We discuss the dual linear equation the integer solution. 【关键字】：二元一次不定方程初等数论整数解 （Dual indefinite equation Primary theory of numbers Integer solution） 二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且未知项的次数是1的方程叫做二元一次方程。一个方程是二元一次方程必须同时满足下列条件；①等号两边的代数式是整式； ②具有两个未知数；③未知项的次数是1。 如：2x-3y=7是二元一次方程，而方程4xy-3=0中含有两个未知数，且两个未知数的次数都是1，但是未知项4xy的次数是2，所以，它是二元二次方程，而不是二元一次方程。 定理1.形如(不同时为零)的方程称为二元一次不定方程。 [1] 二元一次方程的解和解二元一次方程：能使一个二元一次方程两边的值相等的未知数的一组值叫做这个方程的一个解，但若对未知数的取值附加某些限制，方程的解可能只有有限个。 通常求一个二元一次方程的解的方法是用一个未知数的代数式表示另一个未知数，如x-2y=3变形为x=3+2y，然后给出一个y的值就能求出x的一个对应值，这样得到的x、y的每对对应值，都是x-2y=3的一个解。 定理2.方程有解的充要是；[2] 若，且为的一个解，则方程的一切解都可以表示成： （t为任意整数）
题目：小明的妈妈去超市购物，已知买13个鸡蛋，5个鸭蛋，9个鹌鹑蛋需付9.25元，买2个鸡蛋，4个鸭蛋，3个鹌鹑蛋需付3.20元，小明妈妈想买一个鸡蛋一个鸭蛋一个鹌鹑蛋需付多少钱？ 分析：此方程组是三元一次不定方程组，由于只有两个三元一次方程，因而要分别求出x、y、z的值是不可能的，但注意到所求的是x+y+z的代数和，因此，可通过变形变换得到多种解法． 解：设鸡、鸭、鹌鹑三种蛋的单价分别为x、y、z元，则根据题意，得13x+5y+9z=9.25 ① 2x+4y+3z=3.20 ② （1）凑整法 解法1： （①+②）/3: 5x+3y+4z=4.15 ③ ∴②+③，得 7(x+y+z)=7.35 ∴ x+y+z=1.05 答：只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一个，共需1.05元。 解法2： 原方程组可变形为 13(x++y+z)-4(2y+z)=9.25 ① 2(x++y+z)+4(2y+z)=3.20 ② 解之得x+y+z=1.05 （2）主元法 解法3： 视x、y为主元，视z为常数，解①、②得x=0.5-0.5z，y=0.55-0.5z．∴x+y+z=0.55+0.5-z+z=1.05． 解法4： 视y、z为主元，视x为常数，解①、②得y=0.05+x，z=1-2x． ∴x+y+z=1.05+x-2x+x=1.05． 解法5： 视z、x为主元，视y为常数，解①、②得x=y-0.05，z=1.1-2y ∴x+y+z=y-0.05+y+1.1-2y=1.05． （3）参数法 解法6： 设x+y+z=k，则 13x+5y+9z=9.25 ① 2x+4y+3z=3.20 ② x+y+z=k ③ ∴①-②×3，得x-y=-0.05 ④ ③×3-②，得x-y=3k-3.2 ⑤
不定方程与不定方程组 知识框架 一、知识点说明 历史概述 不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来． 考点说明 在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具解题。 二、不定方程基本定义 （1）定义：不定方程（组）是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）。 （2）不定方程的解：使不定方程等号两端相等的未知数的值叫不定方程的解，不定方程的解不唯一。（3）研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解；②有解时确定解的个数；③求出所有的解 三、不定方程的试值技巧 （1）奇偶性 （2）整除的特点（能被2、3、5等数字整除的特性） （3）余数性质的应用（和、差、积的性质及同余的性质） 重难点 （1）b利用整除及奇偶性解不定方程 （2）不定方程的试值技巧 （3）学会解不定方程的经典例题
例题精讲 一、利用整除性质解不定方程【例 1】求方程2x－3y＝8的整数解 【考点】不定方程 【解析】方法一：由原方程，易得2x＝8＋3y，x＝4＋3 2 y，因此，对y的任意一个值，都有一个x与之对 应，并且，此时x与y的值必定满足原方程，故这样的x与y是原方程的一组解，即原方程的解 可表为： 3 4 2 x k y k ? =+ ? ? ?= ? ，其中k为任意数．说明由y取值的任意性，可知上述不定方程有无穷多 组解． 方法二：根据奇偶性知道2x是偶数，8为偶数，所以若想2x－3y＝8成立，y必为偶数，当y＝0，x＝4；当y＝2，x＝7；当y＝4，x＝10……，本题有无穷多个解。 【答案】无穷多个解 【巩固】求方程2x＋6y＝9的整数解 【考点】不定方程 【解析】因为2x＋6y＝2(x＋3y)，所以，不论x和y取何整数，都有2|2x＋6y，但29，因此，不论x和y取什么整数，2x＋6y都不可能等于9，即原方程无整数解． 说明：此题告诉我们并非所有的二元一次方程都有整数解。 【答案】无整数解 【例 2】求方程4x＋10y＝34的正整数解 【考点】不定方程 【解析】因为4与10的最大公约数为2，而2|34，两边约去2后，得2x＋5y＝17，5y的个位是0或5两种情况，2x是偶数，要想和为17，5y的个位只能是5，y为奇数即可；2x的个位为2，所以x的取值为1、6、11、16…… x＝1时，17－2x＝15，y＝3， x＝6时，17－2x＝5，y＝1， x＝11时，17－2x＝17 －22，无解
考试中，我们经常碰到两个方程三个未知数，三个未知数一个方程，这种情况下，解的数量是多对的，但是我们寻找最简单的那个即可，这里我们用设“0”的方法比较好，但是不管你如何设，最后总是要面对一个不定方程，因此，如何运用因子特性、奇偶特性快速解题，就成为一个需要探讨的问题。接下来，因本群华少和预言家同学所出题为例，为大家拆解。 1.《数学建模题型》甲组同学每人分28和核桃，乙组同学每人分30个核桃，丙组每人31个，三组同学共分核桃365个。问三组共多少同学？ A.11 B.12 C.13 D.14 【解析】设,x,y,z，这样的话，得出一个三元一次方程，28x+30y+31z=365，这里我们设x=0,因为后面30、31离的很近，且有一个质数，对后续的解答为例。方程变成了30y+31z=365，这里该怎么解？需要运用因子特性，30y尾数为0，所以365那个尾数，需要31z来凑，这样z=5.带入后，y=7.所以，x+y+z=12，题做完了，但是讨论还没有完。这里设置x=0，需要有一定的数字敏感性，设置其他变量为0，就会非常麻烦，甚至解不出来。大家可以试试。 2.现有3个箱子，依次放入1、2、3个球，然后将3个箱子随机编号为甲、乙、丙，接着在甲、乙、丙3个箱子里
分别放入其箱内球数的2、3、4倍。两次共放了22个球。最终甲箱中的球比乙箱： A.多1个 B.少1个 C.多2个 D.少2个 【解析】依然设三个箱子中原来有球x、y、z个球，根据题意，可以得到方程组，x+y+z=6①,2x+3y+4z=16②，前面那个方程等式左右乘以2，变成2x+2y+2z=12③，②和③联立后削掉x，得y+2z=4，所以y=2,z=1，x=3,最终甲箱子里有3x=9，乙箱子里有4y=8，所以二者差1，选择A。 注：这个题不可以设“0”，因为题干中明确说了是三个箱子分别是1、2、3. 匆匆成文，不妥之处，请各位见谅。吉吉。
解题技巧之不定方程解法 2015大学生村官备考已经开始了，相信大家会发现有些题，我们虽然能列出方程，但发现方程的个数比未知数的个数要少，若用传统的思想根本无法求解。在此，中公大学生村官考试网将为您介绍这种方程的个数少于未知量个数的方程求解方法——不定方程的解法。 1. 什么是不定方程 方程分为两类：一类是方程的个数等于未知量的个数，这类方程我们称为一般方程;另一类是方程的个数少于未知量的个数，该类方程我们称为不定方程，不定方程看起来貌似无法具体求解，但是公考特点是每道题都是带选项的，我们可以结合选项应用一些技巧快速的确定选项，下面将介绍几种常见的不定方程的解题技巧。 2. 不定方程的常见解题技巧 1)整除法：即利用不定方程中各数除以同一个数所得的余数关系来求解。 【例题】已知3x+y=100，x,y均为整数，求y=( ) A.30 B.31 C.32. D.33 【答案】B 【解析】想求y的数值，若我们知道y的某些性质，结合选项则可确定答案。而该式子我们两边同时除以‘x’前面的系数3，则3x项除以3余数为0，而100除以3余数为1，式子两边除以同一个数，余数应该相同，所以可判定y具有除以3余1的特点，结合选项答案为B. 2)奇偶性：即根据等号两端的奇偶性相同，来判断未知数的奇偶性，进而判断选项。 【例题】现有3个箱子，依次放入1、2、3个球，然后将3个箱子随机编号为甲、乙、丙，接着在甲、乙、丙3个箱子里分别放入其箱内球数的2、3、4倍。两次共放了22个球。最终甲箱中的球比乙箱： A.多1个 B.少1个 C.多2个 D.少2个 【答案】A 【解析】甲乙丙最开始放入箱子的个数不确定谁是1,2或是3。所以设这3个箱子中最开始放入的个数分别是x,y,z。则x+y+z=6...(1);第二次放入三个箱子的个数分别为 2x,3y,4z.所以两次共放了3x+4y+5z=22...(2),因为该题问的是最终甲乙两箱球数差，联合(1)、(2)两个式子消掉未知量z，得2x+y=8,此时2x为偶数，8为偶数，为了保证等号两端奇偶性相同，则y应该为偶数，因此y=2,x=3,所以最后甲中放了9个球，乙中放了8个球，甲比乙多1个，答案为A。 3)尾数法：根据等号两端尾数相同，确定未知数特征，结合选项做出答案。
多元一次不定方程 【教学目标】 1．熟练运用多元一次不定方程解决实际问题。 2．亲历多元一次不定方程解法的探索过程，体验分析归纳得出多元一次不定方程有整数解的充要条件，进一步发展学生的探究、交流能力。 【教学重难点】 重点：掌握多元一次不定方程的概念和解法。 难点：推导多元一次不定方程有整数解的充要条件。 【教学过程】 一、直接引入 师：今天这节课我们主要学习多元一次不定方程，这节课的主要内容有多元一次不定方程的概念以及有整数解的充要条件，并且我们要掌握这些知识的具体应用，能熟练解决相关问题。 二、讲授新课 （1）教师引导学生在预习的基础上了解多元一次不定方程内容，形成初步感知。 （2）首先，我们来学习多元一次不定方程的概念，它的具体内容是： 以三元和四元一次不定方程为例说明一元以上多元一次不定方程的解法．三元一次不定方程的一般形式为ax by cz d a b c为非零整数，d为整数. ++=①，其中,, 它是如何在题目中应用的呢？我们通过一道例题来具体说明。 例：判断234 ++=是不是三元一次不定方程？ x y z 解析：是 根据例题的解题方法，让学生自己动手练习。 练习：写出一个三元一次不定方程. 解：12451 +-= x y z （3）接着，我们再来看下多元一次不定方程有整数解的充要条件内容，它的具体内容是：不定方程①有整数解的充要条件() a b c d|. ,,
它是如何在题目中应用的呢？我们通过一道例题来具体说明。 例：求不定方程5832x y z -+=的全部整数解. 解析：因为()()()5,81,5,8,31,312-=-==|所以不定方程有整数解.分别解不定方程58x y t -=，32t t ==，得到它们的整数通解. 5835x t k y t k =+??=+?131t t z l =--??=+? 其中,k l 为任意整数.联立上面的两个通解表达式，消去t ，便得到原不定方程的全部整数解. 58153591x t k l y k l z l =-+-??=-+-??=+? 其中,k l 为任意整数. 根据例题的解题方法，让学生自己动手练习。 练习：求不定方程257310x y z w +++=的全部整数解. 解：因为()()()()2,5=1,1,7=12,5,7,3=1,3=1 10|，，，所以不定方程存在整数解.作不定方程25,7,310x y u u z v v w +=+=+=，分别求得上面三个二元一次不定方程的整数通解为 11352x u t y u t =+??=--?，2267u v t z v t =-+??=-?，33133v t w t =+??=-? 其中123,,t t t 为任意整数.联合上述三个通解表达式，消去,u v 得 32132132 3 185421561872133x t t t y t t t z t t w t =--++??=+--??=+-??=-? 其中123,,t t t 为任意整数，这就是不定方程257310x y z w +++=的全部整数解。 三、课堂总结 （1）这节课我们主要讲了多元一次不定方程。 （2）它们在解题中具体怎么应用？ 四、习题检测 1．求下列一次不定方程的整数解：513610x y z -+=
不定方程及不定方程组的解法 华图教育任小芳 在公务员行政职业能力测试数量关系模块中，经常会运用到方程法解答各类文字应用题型，但是在运用方程法的过程中，常会遇到所设的未知数数量多于方程个数的情况。未知数数量多于方程数量，这种方程我们称之为“不定方程（组）”。 解不定方程（组）最典型的方法为代入排除法，即直接将选项代入方程中，验证是否能使其他未知数都有符合题目要求的解。 【例1】有271位游客欲乘大、小两种客车旅游，已知大客车有37个座位，小客车有20个座位。为保证每位游客均有座位，且车上没有空座位，则需要大客车的辆数是（）？ A.1辆 B.3辆 C.2辆 D.4辆 【答案】：B 【解析】：每位游客均有座位且车上没有空座位，可知座位总数与游客人数相等。假设需要大客车x辆，需要小客车y辆，根据题意列出方程：37x+20y=271。未知数个数多于方程个数，此为不定方程问题。20的倍数尾数一定为0，则37x的尾数应为1，代入四个选项，只有当x=3时，37x 的尾数为1，B选项正确。 【例2】超市将99个苹果装进两种包装盒，大包装盒每个装12个苹果，小包装盒每个装 5个苹果共用了十多个盒子刚好装完。问两种包装盒相差多少个？（） A.3 B.4 C.7 D.13 【答案】：D 【解析】：假设大包装盒用了x个，小包装盒用了y个，根据题意可列出方程：12x+5y=99。题干中只有一个等量关系，2个未知数，1个方程，此为不定方程问题。结合数字的奇偶特性，偶数的倍数一定是偶数，可知12x为偶数。两个数的和99为奇数，这两个数的奇偶性一定相反，因此5y的值一定为奇数。5的倍数尾数不是0就是5，因此可以确定5y尾数为5,12x尾数为9-5=4。由此推出x=2,y=15。或者x=7,y=3。题目条件“共用了10多个盒子”，x=7,y=3不符合题意，结果为x=2,y=15,差是13。D选项正确。 在解不定方程时可结合数字的奇偶特性、尾数特性等数字特性思想，然后通过代入选项得出答案。当题目要求的是所有未知数的和时，可用设“0”法简化计算。
不定方程与不定方程组 1.利用整除及奇偶性解不定方程 2.不定方程的试值技巧 3.学会解不定方程的经典例题 一、知识点说明 历史概述 不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来． 考点说明 在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具解题。 二、不定方程基本定义 1、定义：不定方程（组）是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）。 2、不定方程的解：使不定方程等号两端相等的未知数的值叫不定方程的解，不定方程的解不唯一。 3、研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解；②有解时确定解的个数；③求出所有的解 三、不定方程的试值技巧 1、奇偶性 2、整除的特点（能被2、 3、5等数字整除的特性） 3、余数性质的应用（和、差、积的性质及同余的性质） 模块一、利用整除性质解不定方程 【例 1】 求方程 2x －3y ＝8的整数解 【考点】不定方程 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 方法一：由原方程，易得 2x ＝8＋3y ，x ＝4＋32 y ，因此，对y 的任意一个值，都有一个x 与之对应，并且，此时x 与y 的值必定满足原方程，故这样的x 与y 是原方程的一组解，即原方程的解可表为： 342x k y k ?=+???=?，其中k 为任意数．说明 由y 取值的任意性，可知上述不定方程有无穷多组解． 例题精讲 知识精讲 教学目标