飞行管理数学建模

摘要

近年来，随着现代航空运输不断发展，为了维护航空器的航空秩序，保证飞机飞行安全，对于同一区域的飞行管理问题提出了要求。

本文讨论了在一定区域范围内飞机飞行管理的最优化问题，通过建立数学模型计算求解，对飞机是否发生碰撞冲突进行预测，根据计算机求解结果对如何解脱冲突给出了较好的解决方法。

对于飞机是否发生碰撞冲突问题，本文提出了基于飞机位置速度矢量关系的碰撞冲突检测方案，证明了只有位置差与速度差矢量内积小于零，即

0△△

这样的航迹才存在潜在碰撞冲突,并根据安全飞行间隔规定,采用线性预测方法对冲突进行有效性确认,解决了飞机碰撞冲突检测的同时也避免了碰撞虚警问题。

在此基础上，对于存在潜在碰撞冲突的飞行问题，运用航向调整的方法解脱冲突，建立非线性数学模型

∑=?6

1min i i

θ

通过引入新的决策变量i m 、i n ，将原来的非线性模型转换成线性模型

()∑=+=6

1

min i n m i i

ij ij j

j i i n m n m αβ>+-+-2

ij ij j

j i i n m n m απβ-<+-+-22

6/0pi m i << 6/0pi m j <<

其中2

i i i m θθ??+=

，2

i i i n θθ??-=

。再运用LINGO11编程求得该模型最优解

为 3.6326，第3架飞机的调整角为 2.8419，第6架飞机（新进入的飞机）的调整角为 0.7907，其余飞机不进行调整，从而给出了冲突解决方案。

之后，本文对计算结果做出了分析和评价，同时还分析了滞后时间和转弯半径和限定在区域范围内对飞机航向调整的影响，使问题更符合实际情况。在对模型进行评价与分析的同时，本文又对模型进行了推广，对速度不同、飞行高度不同的情况下进行了分析，并给出了合理的解释；增强了模型的实际应用意义。 关键词：飞行管理 碰撞冲突 线性规划

一．问题重述

本题主要分析了在同一高度，一定范围内的飞行管理问题。在10000米高空、边长为160公里的正方形区域内最多有6架飞机做水平飞行，其中飞机以每小时800公里的速度匀速飞行。为了便于飞行管理，在每一架飞机刚刚进入此飞行区域边界时，飞机的位置和速度均由计算机记录其数据，并立即进行计算和判断是否会与区域内的其它飞机发生潜在碰撞，如果存在碰撞危险，就应该计算如何调整各架飞机的飞行方向角度，以避免发生碰撞。因此，根据题目的条件和假设，对该避免碰撞的飞机管理问题建立数学模型，列出计算步骤并对已经给出的数据进行计算。在保证进入该区域的飞机到达区域边缘时, 与区域内飞机的距离在60 公里以上的同时，要求满足飞机飞行的方向角度调整幅度不能超过30度，而且要尽量小。

在该区域内建立直角坐标系，4个顶点的坐标为(0,0)，(160,0)，(160,160)，(0,160)。记录数据如下：

最后，对建立的模型进行评价和推广。

二．问题分析

2.1、问题分析

针对问题1，一架新飞机飞入飞行区域边缘时，计算机进行记录其数据并进行判断该飞机是否和区域内的其它飞机存在潜在碰撞危险，由此作出分析，若存；在相互碰撞危险就要对各架飞机的方向角进行调整；否则维持原状，不做任何变化。

⑴对两飞机间距离的理解

在本题中，根据题目假设所给的条件即在安全飞行过程中任意两架飞机间的

距离要在8公里之上，这个距离远大于飞机本身的尺寸大小，所以，在以后的问

题求解过程中我们将飞机当作质点看待。这样，根据计算机记录的数据可以知道

每架飞机的坐标，根据两间距离公式即可得到两飞机之间的距离。

⑵对飞机方向角与调整角的理解

根据题目得知，飞机的方向角即为飞机的飞行方向与x轴正向的夹角。对于两架飞机i、j而言，要求飞机在飞行过程中相对速度的方向不能在飞机i与飞机j的碰撞角（即两切线交角中指向圆心的那个角）范围内。由于调整角以两飞机的连线为对称轴，左右由正负之分，故以调整角的绝对值最为目标函数。

2.2、问题2分析

针对问题2的论述，由于在2.1.2中提出的绝对值目标函数为非线性函数，给求解带来了麻烦，因此应用变量代换的数学方法将其转换成非线性函数，运用MATLAB、LINGO软件编程，调用求解函数得出最优调整方向角度。

三．模型的基本假设

1.新飞机进入边缘时，立即做出计算，每架飞机按照计算机计算后的指示立即作出方向角改变（有的飞机方向角可不变）。

2.每架飞机在新飞机刚进入到下一架飞机要进入前整个过程中最多只改变一次方向角。

3.忽略飞机转向角度，即认为飞机在接收到指令后立即对方向进行调整，且忽略调整时间。

4.新飞机进入该区域前,在区域中飞行的飞机方向已调合适，不会相撞。

5.对方向角的相同调整量的满意程度是一样的，且方向角调整越少，满意程度越高。

6.飞机在安全飞行是两两之间的最短距离为8公里，此距离远大于机身尺寸，因此将飞机当作质点看待，即假设两飞机之间的距离为两点之间的距离。

7.最多考虑6架飞机。

8.飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度。

9.所有飞机匀速飞行，速度为800h

km/。

说明：

⑴假设6中假设飞机为质点是为了将问题简化，忽略次要问题以便得出合理的结

论。

假设7中6架飞机的假设是足够多的。以世界上最繁忙的国际航空港之一希思罗机场邻近区域为例，因假设飞机在区域160×160作水平飞行，即知该区域内无机场。设在希思罗机场起降的飞机有一半穿过该区域，希思罗机场起驾总架次为22.5万次，则平均每小时有15架飞机穿过该区域。而一架飞机穿过该区域最多需

2160?≈÷80028.0小时，则任一时刻该区域上空飞机架数的期望值不超过5

.4架。另外事实上不同飞机的飞行高度是不同的，这就进一步减少了该区域同一水平面上飞机的数目。以上讨论虽然略显粗略，但是足以证明6架飞机的假设是合理的。

⑵ 假设9中假定所有飞机飞行速度均为800h km /，是出于对问题的简化。我们将在模型的推广中给出飞机速度各不相同的方案。

四.符号说明

ij α：第i 架飞机与第j 架飞机的碰撞角，即两圆公切线交角中指向圆的那个角，

规定ji ij αα=；

ij v ：第i 架飞机相对于第j 架飞机的相对飞行速度；

j i r ：第i 架飞机与第j 架飞机间距；

j i γ：第i 架飞机相对于第j 架飞机的位置矢量与x 轴的夹角 0j i β：第i 架飞机相对于第j 架飞机的相对飞行速度与x 轴的夹角。

j i β：第i 架飞机相对于第j 架飞机的相对飞行速度与两架飞机圆心连线的交角，

规定：以第i 架飞机为原点，j i →连线从i 指向j 为正方向，逆时针旋转正，顺时针旋转为负；

i θ?：第i 架飞机相对于直角坐标系旋转的角（即方向角改变量），为代数量；

i β?：第i 架飞机相对于第j 架飞机ij β的改变量； i p

：第i 架飞机的当前位置矢量；

i v

：第i 架飞机的当前速度矢量； t ：时间参数; i : 654321

j :654321

五.模型的建立

5.1 预测是否存在碰撞危险 ⑴ 潜在碰撞危险检测方案

当相对速度矢量v ?与相对位置矢量p ?的矢量内积小于0时，即从v ?到p

?

夹角余弦值小于0时，两飞机存在潜在碰撞的危险，否则，无碰撞危险。具体证明如下：

对任意两架飞机，用位置矢量和速度矢量分别表示为：()11,v p 、()2,2v p ，则经时间t 后两飞机的位置差为：

()vt p t d ?+?= （1）

则

())()min(min 2vt p vt p t d T

?+??+?= （2）

为了求得两飞机相撞时刻t ，令：

()()t

t d ??=0 得到

v

v v

p t △△△△??-

= （3） 当t >0时，说明两飞机具有潜在碰撞的危险，而当t <0时，则说明两飞机处于分离状态，没有碰撞的可能。而t >0，即0△△? v p 时，两飞机处于分离状态，无碰撞的可能。 当对新进入飞机和区域内每一个已经飞行的飞机采用上述算法判断时，其相对速度矢量和位置矢量满足定理时，进行如下确认，否则认为满足安全飞行规则。

当新进入飞机和区域内正在飞行的飞机采用上述算法时，其相对速度矢量和位置矢量满足以上条件时，进行如下确认，否则认为满足安全飞行要求。 ⑵ 碰撞冲突的确认算法

对检测到具有潜在碰撞的飞机对，必须根据安全飞行间隔规定进行确认。飞行间隔规定的最小水平安全间隔就相当于在每架飞机周围设置一个保护区，当某一架飞机保护区内有另外一架飞机进入时，就会发生碰撞，因此定义保护区为以飞机当前位置为中心，最小水平间隔ρ（8km ）为半径的圆形区域Ω，即：

{

}

ρ<∈=Ω2

2|d

R d

其中，2d 表示到航空器当前位置的距离。

如果Ω∈?2p ,说明两航空器已经处于飞行间隔不允许的情况,即告警状态,两航空器已经处于飞行间隔所禁止的情况。反之，如果Ω??2p ,说明两航空器当前没有违反安全飞行间隔规定，但由两飞机之间的飞行位置- 速度矢量关系判断，具有潜在的冲突可能，因此必须进行下列预测和分析。 ⑶ 线性预测后的位置与安全间隔的关系

对于当前航空器对之间的距离大于安全间隔距离，处于安全情况下的飞机对，进行适当时间T 的线性预测，即根据飞机对当前的飞行速度，预测飞机在未来一段时间内位置信息与安全间隔的关系，判断)(22vT p ?-?与Ω之间的关系

(根据本文定理,处于潜在冲突时0△△

5.2 建模方案

⑴ 为了研究两飞机相撞问题，采用相对速度作为研究对象，因为飞机是否相撞的关键取决于相对速度的方向。

⑵ 模型在分析碰撞问题中的运用，如图1示。

图1：分析碰撞模型示意图

⑶ 模型建立的函数及运用方程 Ⅰ 线性规划模型的建立

根据相对运动的观点在考察两架飞机i 和j 的飞行时，可以将飞机i 视为不动而飞机j 以相对速度

)sin sin ,cos cos (i j i j v v v v v θθθθ--= （4）

相对于飞机i 运动，（4）式进行适当的化约可得:

)2

cos

2

sin

,2

sin

2

sin

(2i

j i

j i

j i

j v v θθθθθθθθ+--+-=

)2

cos

,2

sin

(2

sin

2i

j i

j i

j v θθθθθθ++--=

??

?

??

?

++

++

-=)2

2

sin(),2

2cos(2

sin

2i j i

j i j v θθπ

θθπ

θθ （5） 不妨设i j θθ≥，此时相对飞行方向角为2

2

0j

i ij

θθπ

β++

=，如图1。

由于两架飞机的初始距离为

2

0020)()()0(j i j o i ij y y x x r -+-=,

ij

α)

0(ij r 8

i

v

j

ij

β

)

0(8

sin 1

ij ij r -=α （6） 则只要当飞行方向角0ij β满足

ij ij ij απβα-<<20

（7）

时,两架飞机不可能相撞（见图1）。

由于0ij

β是飞行方向角，应满足πβ200<≤ij ，但0ij β是由2

2

0j

i ij

θθπ

β++

=

给出的，

注意到0

0i θ≤，πθ20

?≤-

6

，6π

θ≤

?j ，因此有

3

223

0π

πβπ

+≤≤j

i （8） ij β有可能超出π2，此时只需将式（7）修改为

ij j i ij αππβα-<<22mod 0 (9)

即可，此时第i 架飞机与第j 架飞机不碰撞的条件就成为

ij j i j i ij απθθθθπα-

1

200 (10)

或

ij j

i j i ij αππθθθθα-<-?+?++<22

3)(2100 (11) 这两个条件均为线性的。

这样一来，各架飞机两两不碰撞条件也是关于),...,2,1(n i i =?θ的线性不等式，这个问题就可划为线性规划问题。 Ⅱ 目标函数的建立

根据ij β的含义，可计算出

2

2

00j

i ij θθπ

β++

=

-j i γ (12)

因此，第i 架飞机与第j 架飞机不碰撞的条件可表示为

ij j

i ij ij απθθβα-

(13)

为保证飞机的安全飞行并且考虑乘客乘坐的舒适度，因此，决策目的是使区

域内所有飞机的偏转角绝对值之和最小，在忽略计算时间和转向时间的情况下，可得目标函数如下：

∑==?6

1

m i n i i θ， 6,5,4,3,2,1=i (14)

Ⅲ 目标函数的转化

为将上述非线性目标函数转化成线性目标函数，引入新的决策变量i m 、i n ，令 2

i

i

i m θθ??+=

, 6,5,4,3,2,1=i 2

i

i

i n θθ??-=

, 6,5,4,3,2,1=i (15) 根据题中规定，方向角改变量在??

?

??-6~6ππ范围内，即

6

π

θ≤

?i

(16)

6

π

θ≤

?j

； (17) 6

0π

≤

≤i m (18) 6

0π

≤

≤i n (19)

因此，将(15)式代入(14)式可得线性目标函数

()∑=+=6

1

min i n m i i 6,5,4,3,2,1=i (20)

Ⅳ 目标函数及约束条件

()∑=+=6

1

min i n m i i 6,5,4,3,2,1,=j i (21)

ij ij j

j i i n m n m αβ>+-+-2

, 6,5,4,3,2,1=i (22)

ij ij j

j i i n m n m απβ-<+-+-22

(23)

6

0π

≤

≤i m

6

0π

≤

≤i n

六.模型求解

计算步骤：

1.记录各飞机状态：位置（坐标）及速度大小和方向角。

2.用MATLAB 求解出第i 架飞机与第j 架飞机的碰撞角ij α，

()p

ij r ?=

0 (24)

()()0/8arcsin ij ij r =α (25)

求解ij α 的MA TLAB 程序以“arfa ”为文件名保存，具体程序见附件（1）。

ij α =

0 0.0941 0.5625 0.0889 0.3659 0.0390 0 0 0.0838 0.1154 0.1014 0.0666 0 0 0 0.0762 0.3985 0.0371 0 0 0 0 0.0792 0.0522 0 0 0 0 0 0.0403 0 0 0 0 0 0

3. 根据公式（12）用MA TLAB 求解出第i 架飞机相对于第j 架飞机的速度的夹角

ij β，其中位置矢量与横坐标的夹角j i γ为分段函数，如下：

?????????

??????????=->-<-+?

???

??--<-<-+?

???

??--<->-+?

???

??-->->-?

???

??--=0

2

0*2arctan 00arctan 0

0arctan 00arctan i j i j i j i j

i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j j

i x x x x y y x x y y x x y y x x y y x x y y x x y y x x y y x x y y π

πππγ (26) 求解ij β的MATLAB 程序以“beita ”为文件名保存，具体程序见附件(2)。

j i β =

0 -1.3131 0.8247 0.3435 2.9420 0.1741 4.9701 0 4.7321 -0.7373 4.6722 0.1571 0.8247 -1.5511 0 0.2178 -1.0260 0.0054 0.3435 -0.7373 0.2178 0 0.1042 -0.0615 -3.3412 -1.6110 5.2572 0.1042 0 0.0334

0.1741 0.1571 0.0054 -0.0615 0.0334 0

4.调用程序j i β=mod(j i β,2*pi )，将j i β转换成在)2,0(π范围内的正数角，其弧度值为：

j i β=

0 4.9701 0.8247 0.3435 2.9420 0.1741 4.9701 0 4.7321 5.5459 4.6722 0.1571 0.8247 4.7321 0 0.2178 5.2572 0.0054 0.3435 5.5459 0.2178 0 0.1042 6.2217 2.9420 4.6722 5.2572 0.1042 0 0.0334

0.1741 0.1571 0.0054 6.2217 0.0334 0

5.建立线性规划模型,用LINGO11进行求解（程序见附件1）。

将以上求得的j i β的结果输入程序LINGO Model-1995A 中的beita 的值，经计算求得结果如下：

Global optimal solution found.

Objective value: 0.6340000E-01 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 2

Variable Value Reduced Cost A( 1) 0.000000 0.000000 A( 2) 0.000000 0.000000 A( 3) 0.000000 0.000000 A( 4) 0.000000 0.000000 A( 5) 0.000000 0.000000 A( 6) 0.000000 0.000000 MING( 1) 0.000000 1.000000 MING( 2) 0.000000 1.000000 MING( 3) 0.4960000E-01 0.000000 MING( 4) 0.000000 1.000000 MING( 5) 0.000000 1.000000 MING( 6) 0.1380000E-01 0.000000

NING( 1) 0.000000 1.000000 NING( 2) 0.000000 1.000000 NING( 3) 0.000000 2.000000 NING( 4) 0.000000 1.000000 NING( 5) 0.000000 1.000000 NING( 6) 0.000000 2.000000

结果显示第3架飞机的调整角为

2.8419（0.0496rad ），第6架飞机（新进入的飞机）的调整角为

0.7907（0.0138rad ），最优目标函数为

3.6326（0.0634rad ）

七.结果分析

1、结果的实际价值

在六中目标函数求解结果显示，并根据题目方向角误差小于0.01度的要求，可知，第3架飞机的调整角为 2.842，第6架飞机的调整角为 0.791，其余各架飞机不许进行调整。根据结果分析可知调整的飞机数目与角度均与实际情况吻合。加之，在实际情况中飞机的飞行高度、速度等条件均可改变，故该模型的计算结果符合实际情况。

根据计算软件显示，运用该模型求解结果用时极短，并且随着计算机技术的进步，计算机的计算速度也愈来愈快，故运用该模型可实现实时控制。 2、误差分析

⑴ 模型建立中的误差

考察模型假设可知假设3带来一定误差, 简单分析后可知考虑转弯半径使飞行轨迹在垂直飞行方向上产生一个偏差X

(1cos )X R θ=- (27)

其中R 为转弯半径，θ为转角。

对最小转弯半径小于10公里的中小型飞机，转角小于15度时偏差

(1cos15)10=0.34X ≤-? 公里

对最小转弯半径约为40公里的大型飞机，转角小于8度时偏差

(1cos8)40=0.39X ≤-? 公里

两种情况下偏差均小于相撞条件8公里的5%，可以忽略不计。由于飞行管理中让一架飞机做大于8度的转向是较少发生的事儿（），故该处假设可以认为是合理的。下面给出发生极端情形时的一个对策：设一架大型飞机做30度的转弯,

此时偏差36.540)30cos 1(=?-≤ X 公里不可忽略。在飞机开始转弯后（转

弯过程约需1.6分钟）地面控制站的计算机可算出一条曲率处处大于

40

1

的偏转线，以此曲线引导飞机飞回偏转线。这种局部调整法的优点在于计算简单，不对

全局的调整角度方案产生影响，适用于这种小概率事件。

⑵ 计算过程中的误差仅来源于机器的截断误差，对于最后结果没有重大影 响。

⑶ 输入误差对结果影响

通过对输入数据给以小的扰动，经大量计算可得如下定性结果: Ⅰ.飞机位置有小的扰动对结果影响甚微，扰动增大时影响明显。

Ⅱ.飞机方向角的扰动对结果影响显著，扰动大小与结果变化幅度基本是在一个数量级上。

以上结果说明为保证结果的准确性应尽量减小对飞机方向角测量的误差, 同时对飞机位置测量的误差也应控制在一定范围以内。 （4）该模型未考虑区域限制带来的偏角误差。

八.模型的与改进

根据实际情况，在同一区域飞行的飞机飞行速度完全相同，而且全部匀速飞行的情况，在实际中属于特殊情况，因此本题给出的条件可以看作理想条件。然而上述计算结果对现实仍具有指导意义，下面我们将从飞机的飞行速度不同和飞行高度不同两种情况对模型进行推广。 1、飞行速度不同

针对速度不同但速度保持不变的情况，上述的推导方法已不完全适用，尤其是对于（5）式的推到方法已经不适用，为此我们给出了新的计算方法，如下：

第i 架飞机的速度矢量以复数形式表示为

()i i i i i v v θθsin cos +=

(28)

相对速度

()()j j i i j j i i ij v v i v v v ?θ?θsin -sin cos -cos +=

(29)

则有

()12arg arg p p j v v i ij

--??

? ?

?-=β (30)

即

????

??---?

??

?

??=1212arctan cos -cos sin -sin arctan x x y y v v v v j j i i j j i i ij ?θ?θβ (31)

根据上述推到结果并结合图1，不难得出两飞机持续满足最小安全间隔的充

要条件为：

ij ij αβ≥

若ij ij αβ≤，则需改变i β以实现冲突规避。i β在MATLAB 中计算出来后，依据该模型，可计算出飞机偏转角最小的最优解。 2、飞行高度不同

在实际情况中，根据飞机航道设计的不同，在同一区域内的飞机可以在不同的高度进行飞行。这样一来，就使得同一区域内的飞机数量减少，同时也给飞机改变速度和改变方向提供了更广阔的空间，因此可以给飞机的安全飞行提供更多的实现方式，给飞行管理提供了更多的可行方案，更易于飞行管理的实现。

九.参考文献

[1] 王运锋、贺文红、刘健波，基于航空器位置速度矢量关系的短期冲突检测算

法，四川大学学报（工程科学版），2009年9月，第41卷第5期：136~141

[2] 牟奇峰，空中交通管理中的防撞策略问题探究：38~39

[3] 谭永基、蔡志杰、俞文，数学建模，上海：复旦大学出版社，2005，62~63

[4] 谭浩南、朱正光、刘剑，飞行管理问题的实时计算，数学的实践与认识，1996

年，第26卷第1期：17

附件：

（1）

function [arfa]=j1995iao(x,y)

r=8;

L=length(x);

arfa=zeros(L,L)

for i=1:L

for j=1:L

if i~=j

L(i,j)=sqrt((x(i)-x(j))^2+(y(i)-y(j))^2);

arfa(i,j)=asin(r/L(i, j));

end

end

End

角。

备注：程序中arfa是论文中

ij

（2）

function[A]=feixingjiao5(theta,X,Y)

for i=1:6

theta(i)=theta(1,i);

end

for i=1:6

for j=1:6

if i~=j

if Y(j)-Y(i)>0

if X(j)-X(i)>0

beita(i,j)=atan((Y(j)-Y(i))/(X(j)-X(i)));

end

if X(j)-X(i)<0

beita(i,j)=atan((Y(j)-Y(i))/(X(j)-X(i)));

beita(i,j)=beita(i,j)+pi;

end

if X(j)-X(i)==0

beita(i,j)=pi/2;

end

end

if Y(j)-Y(i)<0

if X(j)-X(i)>0

beita(i,j)=atan((Y(j)-Y(i))/(X(j)-X(i))); beita(i,j)=beita(i,j)+2*pi;

end

if X(j)-X(i)<0

beita(i,j)=atan((Y(j)-Y(i))/(X(j)-X(i))); beita(i,j)=beita(i,j)+pi;

end

if X(j)-X(i)==0

beita(i,j)=3*pi/2;

end

end

end

end

end

A=zeros(6,6);

for i=1:6

for j=1:6

if theta(i)>theta(j)

beita(i,j)=beita(i,j)*180/pi;

A(i,j)=90+(theta(i)+theta(j))/2-beita(i,j);

end

if theta(i)

beita(i,j)=beita(i,j)*180/pi;

A(i,j)=(theta(i)+theta(j))/2-beita(i,j)-90;

end

A(i,j)=mod(A(i,j),360);

A(i,j)=A(i,j)*pi/180;

end

end

备注：矩阵A为第架飞机与第架飞机的相对速度与位置矢量之间的夹角，论文中记为

ij

（3）

model:

sets:

xx/1..6/:a,ming,ning;

xx1/1..6/:;

links(xx,xx1):arfa,beita;

endsets

!目标函数;

min=@sum(xx(I):ming(I)+ning(I));

!防碰撞约束;

@for(xx(i)|i#le#6 #and# i#ge#1:

@for(xx1(j):

(ming(i)-ning(i)+ming(j)-ning(j))/2+beita(i,j)>arfa(i,j);

(ming(i)-ning(i)+ming(j)-ning(j))/2+beita(i,j)<2*pi-arfa(i,j);

));

!变量范围约束;

@for(xx:ming>0);

@for(xx:ning>0); @for(xx:ning<3.14/6);

@for(xx:ming<3.14/6);

!数据;

data:

data:

beita =

0 -1.2346 -2.2375 -2.7196 -0.1210 0.2526

0 0 -1.5502 -0.7373 -1.6110 0.1571

0 0 0 -2.9230 -1.0251 0.0063

0 0 0 0 0.1042 -0.0615

0 0 0 0 0 0.0334

0 0 0 0 0 0 ;

arfa =

0 0.0941 0.5625 0.0889 0.3659 0.0390 0 0 0.0838 0.1154 0.1014 0.0666 0 0 0 0.0762 0.3985 0.0371 0 0 0 0 0.0792 0.0522 0 0 0 0 0 0.0403 0 0 0 0 0 0

;

enddata

end

数学建模 飞机管理模型

Air Traffic Control Abstract 本文讨论了如何对新进入区域内的飞机是否会与区域内原有的飞机碰撞的问题，和如若碰撞，调整各架飞机方向角，使得飞机均能安全飞出正方形区域的问题。 针对判断飞行的飞机之间是否发生碰撞亦即可碰撞问题，把各架飞机的运动轨迹端点坐标用时间表示后，就可以写出第六架飞机与其它五架飞机的距离表达式，判断这个最小距离是否小于8km，如果小于，则碰撞，否则不碰撞。这一过程的实现可通过MATLAB编程动态模拟飞机在区域内的飞行过程。在时间轴上连续取样，最后得出第六架飞机和第五架相碰，碰撞时事件飞机的坐标位（），相碰时刻为？ 针对检测到碰撞的存在并采取措施进行规避，即碰撞规避问题。需要对各架飞机的方向角进行调整，并且使得飞机方向角调整幅度最小。建立非线性规划模型，利用MATLAB求得第i架飞机)6,5,4,3,2,1 i调整的角度分别为： ( 关键字:飞机碰撞方向角最优解非线性规划

Contents

I. Introduction Grow inside 160 kilometers of exact square districts in the about 10,000 meters high empty some side, usually how many the airplane make level flight.Position and speed vector of each airplane inside the district are recorded its data by the calculator, so that they carry on a flight management.When desire gets into the airplane of the district to arrive a district edge, after recording its data, immediately compute and judge whether meeting and airplane occurrence in the district collision.If will collide, then should compute how to adjust each(including is lately ingoing) direction Cape that the airplane flies.To avoid collision.Now suppose a condition as follows: 1)The standard that don't collide is more than 8 kilometers for the distance of arbitrarily two airplanes. 2)The airplane flies the range that the direction Cape adjusts to be higher than 30 degrees. 3)All airplane airspeeds are all per hours are 800 kilometers. 4)The airplane that gets into the district while arriving a district edge, with the distance of airplane inside the district in response to above 60 kilometers. 5)At most need to consider 6 airplanes. 6)Need not consider that the airplane leaves the condition of this empress in the district. Please to the problem establishment mathematics model of the flight management that avoid collision.List to compute a step, carry on a calculation to the following data.(direction Cape the error margin isn't higher than 0.01 degrees)Requesting airplane to fly the range that the direction Cape adjusts is as far as possible small. The coordinates that establishes the district's 4 tops (0,0),(160,0) , (160,160) , (0,160) Airplane serial number Abscissa x Ordinate y Direction Cape （degree） 1 150 140 243 2 85 85 236 3 150 155 220.5 4 14 5 50 159 5 130 150 230 New 0 0 52

数学建模1例题解析

1.贷款问题 小王夫妇计划贷款20万元购买一套房子，他们打算用20年的时间还清贷款。目前，银行的利率是%/月。他们采用等额还款的方式(即每月的还款额相同)偿还贷款。 (1)在上述条件下，小王夫妇每月的还款额是多少共计付了多少利息 (2)在贷款满5年后，他们认为他们有经济能力还完余下的款额，打算提前还贷，那么他们在第6年初，应一次付给银行多少钱，才能将余下全部的贷款还清 (3)如果在第6年初，银行的贷款利率由%/月调到%/月，他们仍然采用等额还款的方式，在余下的15年内将贷款还清，那么在第6年后，每月的还款额应是多少 (4)某借贷公司的广告称，对于贷款期在20年以上的客户，他们帮你提前三年还清贷款。但条件是： (i)每半个月付款一次，但付款额不增加，即一次付款额是原付给银行还款额的1/2； (ii)因为增加必要的档案、文书等管理工作，因此要预付给借贷公司贷款总额10%的佣金。 试分析，小王夫妇是否要请这家借贷公司帮助还款。 解答： (1)贷款总月数为N=20*12=240，第240个月的欠款额为0，即。 利用式子 (元)，即每个月还款元，共还款(元)，共计付利息元。 (2)贷款5年(即5*12=60个月)后的欠款额为， 利用公式：， 所以，

(元) (3)元，即第六年初，贷款利率，所以余下的15年，每个月还款额为：(元) (4)按照借贷公司的条件(i)每半个月付款一次，但付款额不增加，即一次付款额是原付给银行还款额的，付款的时间缩短，但是前17年的付款总额不变。帮忙提前三年还清需要资金数： 。 对于条件(ii)佣金数： 分析：因为预付佣金20000元，按照银行存款利率/月，17年的存款本息为 即在第17年需要给付借贷公司的钱少于给付银行的钱。所以建议请这家借贷公司帮助还款。 2.冷却定律与破案 按照Newton冷却定律，温度为T的物体在温度为的环境中冷却的速度与温差成正比。用此定律建立相应的微分方程模型。 凌晨某地发生一起凶杀案，警方于晨6时到达案发现场，测得尸温26℃，室温10℃，晨8时又测得尸温18℃。若近似认为室温不变，估计凶杀案的发生时间。 解答： 根据Newton冷却定律，可知温度T的微分方程为：

数学建模报告 飞行问题

《数学建模》课程设计 报告 课题名称：___飞行管理问题 系（院）：理学院 专业：数学与应用数学 班级：10122111 学生姓名：邵仁和 学号：1012211122 指导教师：陈宏宇 开课时间：2011-2012 学年二学期

飞行管理问题的优化模型 摘要 为了避免较多飞机在区域内会发生碰撞，让飞机在某正方形区域内安全飞行，便于进行飞行管理，所以在飞机飞行过程中，要适当调整各架飞机的方向角（调整幅度尽量小），所以这是个优化问题。 本文我们根据题目所给的数据，利用matlab软件绘制出飞机的位置图标及飞行路径，并利用lingo软件找出了碰撞发生的飞机、碰撞发生的点和时间。同时再寻找判断两架飞机是否会相撞的方法，我们发现可以在飞机飞出区域之前每隔一段较短的时间对飞机进行监控，看是否与别的飞机相撞。 然后，我们根据问题讨论了飞行方向角的调整时间和次数对最优解的影响，发现调整时间越早，调整角度就越小，所以我们决定在第六架飞机刚飞到区域边缘的时候就进 行飞行角度的调整，并且达到了优化目标：∑ =? = 6 1 |) ( | min i i a。 由题意，我们找到约束条件，然后把这些约束条件在lingo中用语言描述出来，再针对运算方面进行改进，得到我们的lingo程序，运行后我们得到了飞机调整的飞行方向角和方案。 关键词：简化，最小调整幅度，最优

一、问题重述 6. 飞行管理问题(优化模型) 在约10000米高空的某边长160km的正方形区域内,经常有若干架飞机作水平飞行.区域内飞行的每架飞机的位置和速度向量均由计算机记录其数据,以便进行飞行管理.当一架欲进入该区域的飞机到达区域的边界时,记录其数据后,须立即判断是否将与区域内的飞机相碰撞.若可能发生碰撞,则应计算如何调整各架飞机的飞行的方向角，以避免碰撞。 作如下假设: (1)任意两架飞机的安全飞行距离为8公里; (2)所有飞机的飞行速度为800公里/小时; (3)进入该区域的飞机在到达区域边界时,与区域内的飞机的距离应在60公里以上; (4)最多考虑6架飞机; (5)不必考虑飞机离开此区域后的情况. 请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型，列出计算步骤，对以下数据进行计算（方向角误差不超过0.01），要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小。 设该区域四个顶点的坐标为：(0,0)，(160,0)，(160,160)，(0,160) 记录数据为：

无人机飞行控制方法概述

2017-10-08 GaryLiu 于四川绵阳 无人机的飞行控制是无人机研究领域主要问题之一。在飞行过程中会受到各种干扰，如传感器的噪音与漂移、强风与乱气流、载重量变化及倾角过大引起的模型变动等等。这些都会严重影响飞行器的飞行品质，因此无人机的控制技术便显得尤为重要。传统的控制方法主要集中于姿态和高度的控制，除此之外还有一些用来控制速度、位置、航向、3D轨迹跟踪控制。多旋翼无人机的控制方法可以总结为以下三个主要的方面。 1.线性飞行控制方法 常规的飞行器控制方法以及早期的对飞行器控制的尝试都是建立在线性飞行控制理论上的，这其中就有诸如PID、H∞、LQR以及增益调度法。 1)PID PID控制属于传统控制方法，是目前最成功、用的最广泛的控制方法之一。其控制方法简单，无需前期建模工作，参数物理意义明确，适用于飞行精度要求不高的控制。 2)H∞ H∞属于鲁棒控制的方法。经典的控制理论并不要求被控对象的精确数学模型来解决多输入多输出非线性系统问题。现代控制理论可以定量地解决多输入多输出非线性系统问题，但完全依赖于描述被控对象的动态特性的数学模型。鲁棒控制可以很好解决因干扰等因素引起的建模误差问题，但它的计算量非常大，依赖于高性能的处理器，同时，由于是频域设计方法，调参也相对困难。 3)LQR LQR是被运用来控制无人机的比较成功的方法之一，其对象是能用状态空间表达式表示的线性系统，目标函数是状态变量或控制变量的二次函数的积分。而且Matlab软件的使用为LQR的控制方法提供了良好的仿真条件，更为工程实现提供了便利。 4)增益调度法 增益调度（Gain scheduling）即在系统运行时，调度变量的变化导致控制器的参数随着改变，根据调度变量使系统以不同的控制规律在不同的区域内运行，以解决系统非线性的问题。该算法由两大部分组成，第一部分主要完成事件驱动，实现参数调整。如果系统的运行情况改变，则可通过该部分来识别并切换模态；第二部分为误差驱动，其控制功能由选定的模态来实现。该控制方法在旋翼无人机的垂直起降、定点悬停及路径跟踪等控制上有着优异的性能。 2.基于学习的飞行控制方法 基于学习的飞行控制方法的特点就是无需了解飞行器的动力学模型，只要一些飞行试验和飞行数据。其中研究最热门的有模糊控制方法、基于人体学习的方法以及神经网络法。 1)模糊控制方法（Fuzzy logic） 模糊控制是解决模型不确定性的方法之一，在模型未知的情况下来实现对无人机的控制。 2)基于人体学习的方法（Human-based learning） 美国MIT的科研人员为了寻找能更好地控制小型无人飞行器的控制方法，从参加军事演习进行特技飞行的飞机中采集数据，分析飞行员对不同情况下飞机的操作，从而更好地理解无人机的输入序列和反馈机制。这种方法已经被运用到小型无人机的自主飞行中。 3)神经网络法（Neural networks）

飞行管理问题优化模型

飞行管理问题优化模型内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）

飞行管理问题的优化模型 摘要 根据问题我们知道，飞机如果要避免在区域内发生碰撞，则需要调整各自的飞行角，并强调要使调整幅度尽量小，所以这是个最优控制问题。 首先，我们根据本题所给的数据，利用matlab软件绘制出图形，对正方形区域内有可能发生的碰撞做一个大致的估计，并利用lingo软件找出了碰撞发生的飞机、碰撞发生的点和时间。同时寻找判断两架飞机是否会相撞的方法，经探讨，我们发现可以在飞机飞出区域之前每隔一段较短的时间对飞机进行监控，看是否与别的飞机相撞。 然后，我们根据问题讨论了飞行方向角的调整时间和次数对最优解的影响，发现调整时间越早，调整角度就越小，所以我们决定在第六架飞机刚飞到区域边缘的时候就进行飞行角度的调整；同时我们发现调整次数是越少，调整角度总和就越小，所以我们决定只在第六架飞机刚飞到区域边缘时对所有的飞机的飞行角度进行一次调整。我们由此简化了飞机碰撞模型，使飞机在区域内的飞行轨迹更加明了，同时找到了我们的优化目标——调整角度总和最小。 针对优化目标，我们找到约束条件，然后把这些约束条件在lingo中用语言描述出来，再针对运算方面进行改进，得到我们的lingo程序，运行后我们得到了飞机调整的飞行方向角和方案。 最后我们考虑模型的改进和推广。针对模型求解过程中，lingo程序运行时间过长，我们对6架飞机的飞行方向角改变的大小进行预估，然后代入程序中的角度约束，使程序运行量减少。同样我们发现在对飞机进行实时监控时的间隔时

间可以加大，这样可加快程序运行速度，减少运行时间。这样就对模型进行了优化。 关键词：简化，最小调整幅度，最优 一、问题重述 在约10000米的高空某边长为160公里的正方形区域内，经常有若干架飞机作水平飞行。区域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记录其数据，以便进行飞行管理。当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘时，记录其数据后，要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞。如果会碰撞，则应计算如何调整各架（包括新进入的）飞机飞行的方向角，以避免碰撞。现假定条件如下： 1）不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8公里； 2）飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度； 3）所有飞机飞行速度均为每小时800公里； 4）进入该区域的飞机在到达区域边缘时，与区域内飞机的距离应在60公里以上； 5）最多需考虑6架飞机； 6）不必考虑飞机离开此区域后的状况。请你对这个避免碰撞的飞机管理问题建立数学模型，列出计算步骤，对以下数据进行计算（方向角误差不超过0.01度），要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小。设该区域内4个顶点的坐标为(0,0),(160,0),(160,160),(0,160)。记录数据为：

数学建模案例应用罚函数法实施航空港管理

01级混合八班徐涛3013001231 01级混合八班王菁3013001215 01级混合六班赵晓楠3013001155罚函数求解带约束的规划问题（教案） §1求解带约束的非线性规划问题 罚函数法求解带约束的非线形规划问题的基本思想是：利用问题的目标函数和约束函数构造出带参数的所谓增广目标函数，把约束非线形规划问题转化为一系列无约束非线形规划问题来求解。增广目标函数由两个部分构成，一部分是原问题的目标函数，另一部分是由约束函数构造出的“惩罚”项，“惩罚”项的作用是对“违规”的点进行“惩罚”。罚函数法主要有两种形式。一种称为外部罚函数法，或称外点法，这种方法的迭代点一般在可行域的外部移动，随着迭代次数的增加，“惩罚”的力度也越来越大，从而迫使迭代点向可行域靠近；另一种成为内部罚函数法，或称内点法，它从满足约束条件的可行域的内点开始迭代，并对企图穿越可行域边界的点予以“惩罚”，当迭代点越接近边界，“惩罚”就越大，从而保证迭代点的可行性。 1.外部罚函数法(外点法) 约束非线形规划问题 min f(x), s.t.g(x)>=0, 其中g(x)=(g1(x),…,gm(x)), 将带约束的规划问题转化为无约束非线形规划问题来求解的一个直观想法是：设法加大不可行点处对应的目标函数值，使不可行点不能成为相应无约束问题的最优解，于是对于可行域S={x|g(x)>=0}作一惩罚函数 P(x)=0,x∈S; K,else 其中K是预先选定的很大的数。然后构造一个增广目标函数 F(x)=f(x)+P(x), 显然x∈S时，F（x）与f(x)相等，而x S时，相应的F值很大。因此以F(x)为目标函数的无约束问题 minF x)=f(x)+P(x)（1）的最优解也是原问题（NP）的最优解。 上述P(x)虽然简单，但因它的不连续性导致无约束问题（1）求解的困难。为此将P(x)修改为带正参数M（称为罚因子）的函数 P(x)=M∑[min(0,gj(x))]2 则 min F(x,M)=f(x)+M∑[min(0,gj(x))]2 的最优解x(M)为原问题的最优解或近似最优解。这时，若x(M)∈S则它必定是问题的最优解；若对于某一个罚因子M，使得x(M)-∈S，则加大M的值，罚函数的“惩罚”作用也将随之加大，因此当M是很大的数时，即使x(M)-∈S，它与S的“距离”

无人机飞行路线控制系统设计

无人机飞行路线控制系统设计 由于无人机是通过无线遥控的方式完成自动飞行和执行各种任务,具有安全零伤亡、低能耗、重复利用率高、控制方便等优点,因此得到了各个国家、各行各业的高度重视和广泛应用。尤其以美国为代表,无论是在军事、民用、环境保护还是科学研究中,都将无人机的使用发挥到淋漓尽致,其拥有全球最先进的“捕食者”和“全球鹰”战斗无人机、监测鸟类的“大乌鸦”无人机、民用用途的“伊哈纳”无人机等等。我国在无人机研制方面也取得了一定的成就,拥有技术卓越的“翔龙”和“暗箭”高空高速无人侦查机、多用途的“黔中”无人机、探测海洋的“天骄”无人机、中继通讯的“蜜蜂”无人机等等。在未来,随着现代化工业技术、信息技术、自动化技术、航天技术等高新技术的迅速发展,无人机技术将日趋成熟,性能日益完善,为此将拥有更为广阔的应用前景。为确保无人机能够有效地完成各种飞行任务,研发者开发了各种技术方式的飞行控制系统,完成对无人机的起飞、飞行控制、着陆以及相应目标任务等操作的控制。飞行路线控制是飞行控制系统中最基础也是最核心的功能控制部分,其它所有的飞行任务控制都是飞行路线控制的基础之上实现。目前对于无人机飞行路线的控制已有各种各样方式的系统,但大多数系统都存在一定缺陷,如有些系统操作过于繁杂,不够智能化;有些系统只能在视距范围遥 控无人机,严重限制了无人机的使用;有些系统过于专用化,不能适用于大多数类型的无人机;有些比较完善的系统,造价又过于昂贵,等等一系列问题。针对以上存在的这些问题,本课题提出了一种成本低、

遥控距离远、智能化、高效化、适用性广的无人机飞行路线控制系统设计方案。该系统方案包括两大部分,一部分是操作人员所处的地面监控系统,一部分是无人机端的受控系统,实现的机制主要是无人机不断地将自身的定位信息实时地传送给地面控制系统,地面控制系统将无人机位置信息通过电子地图可视化显示给操作人员,操作人员结合本次飞行任务,采用灵活的鼠标绘制方式在地图上绘制预定的飞行路线,地面控制系统对绘制路线进行自动处理生成可用的路线控制信息帧并发送给无人机受控系统,无人机受控系统接收到位置控制信息帧,不断结合实时的方位信息得到飞行控制信息,从而遥控无人机按照预定路线飞行。此外,为方便用户以后对历史数据的查看,以分析总结得到一些有价值的信息,地面监控系统还包含了对预定路线和无人机历史飞行路线的存储、查询和在地图中回放功能。基于GIS技术的地面监控系统的具体实现是在Windows操作系统上,采用Visual Basic作为系统开发环境并结合MSComm串口通信技术、Mapx二次开发组件技术、Winsock网络接口技术以及Access数据库技术完成软件设计,实现与无人机受控系统的无线通信、GIS系统操作和监控、历史数据存储和重现等,其中实验区域的电子地图采用Mapinfo Professional开发软件绘制完成,并创新性地设计并绘制了画面简洁的带高层信息的二点三维矢量地图,而对于绘制路线的优化和提取处理采用了垂距比值法和最小R值法。无人机端使用BDS-2/GPS双卫星系统对无人机实时位置进行高精度的定位,采用双串口单片机进行运算控制处理,实时的飞行控制信息采用了几何空间算法得到,另外采

数学建模典型例题

一、人体重变化 某人的食量是10467焦/天，最基本新陈代谢要自动消耗其中的5038焦/天。每天的体育运动消耗热量大约是69焦/（千克?天）乘以他的体重（千克）。假设以脂肪形式贮存的热量100% 地有效，而1千克脂肪含热量41868焦。试研究此人体重随时间变化的规律。 一、问题分析 人体重W（t）随时间t变化是由于消耗量和吸收量的差值所引起的，假设人体重随时间的变化是连续变化过程，因此可以通过研究在△t时间内体重W的变化值列出微分方程。 二、模型假设 1、以脂肪形式贮存的热量100%有效 2、当补充能量多于消耗能量时，多余能量以脂肪形式贮存 3、假设体重的变化是一个连续函数 4、初始体重为W0 三、模型建立 假设在△t时间内： 体重的变化量为W（t+△t）-W(t)； 身体一天内的热量的剩余为（10467-5038-69*W（t）） 将其乘以△t即为一小段时间内剩下的热量； 转换成微分方程为：d[W(t+△t)-W(t)]=(10467-5038-69*W(t))dt； 四、模型求解 d(5429-69W)/(5429-69W)=-69dt/41686 W(0)=W0 解得： 5429-69W=（5429-69W0）e(-69t/41686) 即： W（t）=5429/69-（5429-69W0）/5429e(-69t/41686) 当t趋于无穷时，w=81; 二、投资策略模型 一、问题重述 一家公司要投资一个车队并尝试着决定保留汽车时间的最佳方案。5年后，它将卖出所有剩余汽车并让一家外围公司提供运输。在策划下一个5年计划时，这家公司评估在年i 的开始买进汽车并在年j的开始卖出汽车，将有净成本a ij（购入价减去折旧加上运营和维修成本）ij

国赛历届数学建模赛题题目与解题方法

历届数学建模题目浏览：1992--2009 1992年 (A) 施肥效果分析问题(北京理工大学：叶其孝） (B) 实验数据分解问题（华东理工大学:俞文此; 复旦大学：谭永基） 1993年 (A) 非线性交调的频率设计问题（北京大学：谢衷洁） (B) 足球排名次问题（清华大学：蔡大用） 1994年 (A) 逢山开路问题（西安电子科技大学：何大可） (B) 锁具装箱问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此） 1995年 (A) 飞行管理问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此） (B) 天车与冶炼炉的作业调度问题（浙江大学：刘祥官, 李吉鸾） 1996年 (A) 最优捕鱼策略问题（北京师范大学：刘来福） (B) 节水洗衣机问题（重庆大学：付鹂） 1997年 (A) 零件参数设计问题（清华大学：姜启源） (B) 截断切割问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此） 1998年 (A) 投资的收益和风险问题（浙江大学：陈淑平） (B) 灾情巡视路线问题（上海海运学院：丁颂康） 1999年 (A) 自动化车床管理问题（北京大学：孙山泽） (B) 钻井布局问题（郑州大学：林诒勋） 1999年(C) 煤矸石堆积问题（太原理工大学：贾晓峰）

(D) 钻井布局问题（郑州大学：林诒勋） 2000年 (A) DNA序列分类问题（北京工业大学：孟大志） (B) 钢管订购和运输问题（武汉大学：费甫生） (C) 飞越北极问题（复旦大学：谭永基） (D) 空洞探测问题（东北电力学院：关信） 2001年 (A) 血管的三维重建问题（浙江大学：汪国昭） (B) 公交车调度问题（清华大学：谭泽光） (C) 基金使用计划问题（东南大学：陈恩水） (D) 公交车调度问题（清华大学：谭泽光） 2002年 (A) 车灯线光源的优化设计问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此） (B) 彩票中的数学问题（解放军信息工程大学：韩中庚） (C) 车灯线光源的优化设计问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此） (D) 赛程安排问题（清华大学：姜启源） 2003年 (A) SARS的传播问题（组委会） (B) 露天矿生产的车辆安排问题（吉林大学：方沛辰） (C) SARS的传播问题（组委会） (D) 抢渡长江问题（华中农业大学：殷建肃） 2004年 (A) 奥运会临时超市网点设计问题(北京工业大学：孟大志) (B) 电力市场的输电阻塞管理问题(浙江大学:刘康生) (C) 酒后开车问题（清华大学：姜启源）

航空延误数学建模

航班延误问题研究论文 摘要 近年来，随着航班延误事件的增多，引起的乘客和航空公司之间纠纷也逐渐增多，如果不能及时解决，会激发两者之间的矛盾，造成社会不稳定因素。本文运用两种关于航班延误的算法（美国关于航班延误问题的算法和中国关于航班延误问题的算法）来判断中国是否是航班延误最严重的国家。并基于收集得到的数据，通过数据拟合，分析得出国内航班延误的主要原因。最后，针对我国航班延误的主要原因提出改进措施。 针对问题一，我们首先对原始数据进行统计并处理，得到航班总数，正常航班数，不正常航班数的时间序列数据。通过题中所给网站https://www.doczj.com/doc/c711083458.html,。我们发现所给数据是以美国统计航班延误数据的标准进行统计的。由于我国统计航班延误数据的标准与美国航班统计方法不一致，我们决定分别运用我国关于航班延误问题统计方法和美国关于航班延误问题统计方法处理数据。然后通过数据判断我国是否是航班延误最严重的国家。 针对问题二，我们首先对原始数据进行整理，得到各个年份的导致航班延误影响因素的分布表，紧接着做出这个比例分布表的直方图和折线图。进而依据数据特征运用excel做出X Y散点图，通过添加趋势线合成多项式曲线，利用软件得多项式方程以及R平方值。通过R平方值，具体且直观的反应出因数影响程度的大小。再通过使用SAS软件对数据进行多因素之间的多重对比，得到与多项式方程比较相同的结果。至此，得以证明结果所得合理且正确。 针对问题三，通过第二问我们得出影响航班延误的主要原因是航空公司自身的原因，所以我们主要阐述了关于改进航空公司自身原因的措施，并且对于其他影响航班延误的原因也提出了一些改进建议。我们认为，航班延误治理是一项系统工程也是一个难题，应对措施及策略可从文中所给出的几方面进行考虑。我们通过对分析所得数据，查阅网上及书本资料，本着具体问题具体解决的思路对应对影响因素的根源提出方案。 关键字：延误因素决定系数拟合多重比较

数学建模题目及答案

09级数模试题 1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然后稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。（15分） 解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很 可能是否定的。 因此对这个问题我们假设： （1）地面为连续曲面 （2）长方形桌的四条腿长度相同 （3）相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的 （4）方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。 那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。 现在，我们来证明：如果上述假设 条件成立，那么答案是肯定的。以长方 桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图 所示，方桌的四条腿分别在A、B、C、D 处，A、、D的初始位置在与x轴平行，再 假设有一条在x轴上的线,则也与A、B，C、D平行。当方桌绕中心0旋转时，对角线与x轴的夹角记为θ。 容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。为消除这一不确定性，令() fθ为A、B离地距离之和，

()g θ为C 、D 离地距离之和，它们的值由θ唯一确定。由假设（1）， ()f θ,()g θ均为θ的连续函数。又由假设（3） ，三条腿总能同时着地， 故()f θ()g θ=0必成立（?θ）。不妨设(0)0f =(0)0g >（若(0)g 也为0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转），于是问题归结为： 已知()f θ,()g θ均为θ的连续函数，(0)0f =,(0)0g >且对任意θ有00()()0f g θθ=，求证存在某一0θ，使00()()0f g θθ=。 证明：当θ=π时，与互换位置，故()0f π>，()0g π=。作()()()h f g θθθ=-，显然，()h θ也是θ的连续函数，(0)(0)(0)0h f g =-<而()()()0h f g πππ=->，由连续函数的取零值定理，存在0θ，00θπ<<，使得0()0h θ=，即00()()f g θθ=。又由于00()()0f g θθ=，故必有00()()0f g θθ==，证毕。 2.学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍。学生 们要组织一个10人的委员会，试用合理的方法分配各宿舍的委员数。（15分） 解：按各宿舍人数占总人数的比列分配各宿舍的委员数。设：A 宿舍的委员数为x 人，B 宿舍的委员数为y 人，C 宿舍的委员数为z 人。计算出人数小数点后面的小数部分最大的整数进1，其余取整数部分。 则 10； 10=235/1000；

浅析无人机航空摄影测量系统及应用

浅析无人机航空摄影测量系统及应用 发表时间：2017-10-26T19:53:11.473Z 来源：《建筑科技》2017年9期作者：舒永国 [导读] 发展低空无人飞行器航测遥感系统是提高测绘现势性的迫切需要，是做好应急救急工作的迫切需要，是构建数字中国、数字城市建设的迫切需要。基于此，本文主要对无人机航空摄影测量系统及应用进行分析探讨。 北京市自来水集团禹通市政工程有限公司北京 100089 摘要：测绘测量技术系统是应对自然灾害、有效处置突发事件、构建完善保障系统与加强防灾减灾工作建设的重要组成部分，也是目前的一个重要战略问题。发展低空无人飞行器航测遥感系统是提高测绘现势性的迫切需要，是做好应急救急工作的迫切需要，是构建数字中国、数字城市建设的迫切需要。基于此，本文主要对无人机航空摄影测量系统及应用进行分析探讨。 关键词：无人机；航空摄影；测量系统；应用 1、前言 航空数字摄影测量是基础地理信息采集的最有效手段之一。随着计算机技术的发展和微处理机的广泛应用，政府各部门对测绘资料的需求越来越大，对资料现势性要求越来越高，对资料所能包涵的信息容量越来越多。无人机航空摄影测量作为一种新型的测量方式不断呈现在大家的面前，伴随着高科技技术环境下测绘技术与测绘装备的快速发展，融合了无人机技术、航空摄影技术、移动测量技术、数字通信技术等一系列新兴技术形态的无人机航空摄影测量系统成为防灾减灾的重要手段，它建立起一整套综合应急测绘保障服务系统。 2、无人机航空摄影测量系统 目前，国内已经投入使用的无人机航空摄影测量系统有“华鹰”、“飞象”、“QuickEye”等。无人机航空摄影测量系统主要由硬件系统和软件系统组成。硬件系统包括机载系统和地面监控系统；软件系统则涵盖了航线设计、飞行控制、远程监控、航摄检查、数据预处理等五个主要的系统。 2.1硬件系统 2.1.1无人机机载系统 在整个无人机航空摄影测量系统构成中，无人机作为主要的系统搭载平台，是整个系统集成与融合的重要基础。这一硬件系统主要由无人机、数字摄影系统、导航与飞行控制系统、通信系统等部分构成。在该系统工作的过程中，整个系统会按照预先设定的航线进行相应的自主飞行，并且完成预先设定的航空摄影测量任务，同时实时地把飞机的速度、高度、飞行状态、气象状况等参数传输给地面控制系统。 2.1.2地面飞行监控系统 这一分支系统是影响飞行平台运行的重要因素，主要有电子计算机、飞行控制软件、电子通信控制介质和电台等设备。在飞行平台的运行过程中，地面飞行控制系统可以据无人机飞行控制系统发回的飞行参数信息，实时在地图上精确标定飞机的位置、飞行路线、轨迹、速度、高度和飞行姿态，使地面操作人员更容易掌握无人机的飞行状况。 2.2软件系统 2.2.1航线设计软件 航线设计在无人机航空摄影测量系统中扮演着十分重要的角色，其直接决定了整个系统工作的方向和精准度。这一分支系统作为信息采集的关键步骤，需要对于系统运行经过的作业范围、地形地貌特点、属性精度要求、摄影测量参数以及摄影测量的结果进行综合设定。航线设计软件需要对相关的工作参数进行综合设定，诸如计算行高、重叠度和地面分辨率等飞行参数，进而获得飞行所需的曝光点坐标、基线长度等参数。此外，航线设计软件还有一个十分重要的功能，那就是对于设计好的航线进行检查，诸如：航线走向、摄影基面、行高、地面分辨率和像片重叠度等。 2.2.2数据接受与预处理系统 这是无人机系统中最为重要的软件系统，也是无人机航空摄影测量系统室外作业的最后一步，直接影响到后续的图像数据处理质量。一般情况下，无人机航空摄影测量系统在影像获取过程中，由于受外界和内部因素的影响，可能降低获取的原始图像的质量。为避免原始图像后续处理的质量问题，在影像配准、拼接之前，必须对原始影像进行预处理。这一预处理的过程，先后涵盖了图像校正、图像增强等方面。 3、项目应用实践 3.1工程概况 井山水库位于抚河流域东乡河南港支流黎圩水上游，地处江西省抚州市东乡县黎圩镇内，坝址位于南港支流东乡县黎圩镇井山村上游河段1.0km狭谷段，坝址区距黎圩镇约5km，距东乡县县城约25km，控制流域面积25.2km2，正常蓄水位83.00m（黄海高程，下同），总库容2250×104m3，是一座灌溉、供水等综合效益的中型水利枢纽工程。 3.2外业测量 3.2.1航摄 航摄仪采用Sonya7R，焦距35mm，相幅大小为：7360×4192，像元分辨率为4.88um。本次无人机航摄分两个架次进行，由GPS领航数据计算相对飞行高度为724m，地面分辨率为0.09m，航摄面积约10km2。两个架次飞行质量和影像良好，影像清晰度较高，且照片色彩均匀，饱和度良好，能够表达真实的地物信息，可以满足1:2000成图要求。本次飞行航向重叠度为75%，旁向重叠度为50%。 3.2.2像控测量 像控点的布设应能够有效控制成图的范围，测区的四周及中心位置必须布设控制点，根据测区的情况，每个测区布设控制点20多个，且都设置为平高点。 3.2.3空中三角测量 本项目采用SVS软件进行空三加密，根据航空飞行及影像分布情况，将空三区域分为两个加密区域网采用自动与手动相结合的方式进行空三加密，即采用自动匹配进行像点量测，剔除粗差。人工调整直至连接点符合规范要求，保证在2/3个像素以内。加入外业像控点对本

关于无人机飞行控制系统的全面解析

关于无人机飞行控制系统的全面解析 飞控的大脑：微控制器在四轴飞行器的飞控主板上，需要用到的芯片并不多。目前的玩具级飞行器还只是简单地在空中飞行或停留，只要能够接收到遥控器发送过来的指令，控制四个马达带动桨翼，基本上就可以实现飞行或悬停的功能。意法半导体高级市场工程师介绍，无人机/多轴飞行器主要部件包括飞行控制以及遥控器两部分。其中飞行控制包括电调/马达控制、飞机姿态控制以及云台控制等。目前主流的电调控制方式主要分成BLDC方波控制以及FOC正弦波控制。 高通和英特尔推的飞控主芯片CES上我们看到了高通和英特尔展示了功能更为丰富的多轴飞行器，他们采用了比微控制器（MCU）更为强大的CPU或是ARM Cortex-A系列处理器作为飞控主芯片。例如，高通CES上展示的Snapdragon Cargo无人机是基于高通Snapdragon芯片开发出来的飞行控制器，它有无线通信、传感器集成和空间定位等功能。Intel CEO Brian Krzanich也亲自在CES上演示了他们的无人机。这款无人机采用了RealSense技术，能够建起3D地图和感知周围环境，它可以像一只蝙蝠一样飞行，能主动避免障碍物。英特尔的无人机是与一家德国工业无人机厂商Ascending Technologies合作开发，内置了高达6个英特的RealSense3D摄像头，以及采用了四核的英特尔凌动（Atom）处理器的PCI-express定制卡，来处理距离远近与传感器的实时信息，以及如何避免近距离的障碍物。这两家公司在CES展示如此强大功能的无人机，一是看好无人机的市场，二是美国即将推出相关法规，对无人机的飞行将有严格的管控。 多轴无人机的EMS/传感器某无人机方案商总经理认为，目前业内的玩具级飞行器，虽然大部分从三轴升级到了六轴MEMS，但通常采用的都是消费类产品如平板或手机上较常用的价格敏感型型号。在专业航拍以及专为航模发烧友开发的中高端无人机上，则会用到质量更为价格更高的传感器，以保障无人机更为稳定、安全的飞行。这些MEMS传感器主要用来实现飞行器的平稳控制和辅助导航。飞行器之所以能悬停，可以做航拍，是因为MEMS传感器可以检测飞行器在飞行过程中的俯仰角和滚转角变化，在检测到角度变化

数学建模例题及解析

。 例１差分方程—-资金的时间价值 问题1：抵押贷款买房——从一则广告谈起 每家人家都希望有一套(甚至一栋)属于自己的住房，但又没有足够的资金一次买下，这就产生了贷款买房的问题。先看一下下面的广告（这是1991年1月1日某大城市晚报上登的一则广告）,任何人看了这则广告都会产生许多疑问,且不谈广告中没有谈住房面积、设施等等,人们关心的是：如果一次付款买这栋房要多少钱呢?银行贷款的利息是多少呢？为什么每个月要付12０0元呢？是怎样算出来的?因为人们都知道,若知道了房价(一次付款买房的价格），如果自己只能支付一部分款,那就要把其余的款项通过借贷方式来解决,只要知道利息，就应该可以算出五年还清每月要付多少钱才能按时还清贷款了,从而也就可以对是否要去买该广告中所说的房子作出决策了。现在我们来进行数学建模。由于本问题比较简单无需太多的抽象和简化。 a。明确变量、参数，显然下面的量是要考虑的： 需要借多少钱，用记; 月利率(贷款通常按复利计）用R记； 每月还多少钱用x记; 借期记为N个月。 b.建立变量之间的明确的数学关系。若用记第k个月时尚欠的款数,则一个月后（加上利息后)欠款 , 不过我们又还了x元所以总的欠款为 ｋ=0，1，２，３， 而一开始的借款为.所以我们的数学模型可表述如下 (1) c. （1)的求解。由

（2）这就是之间的显式关系。 d.针对广告中的情形我们来看（１）和（2）中哪些量是已知的。Ｎ=5年=60个月，已知;每月还款x＝１20０元，已知Ａ.即一次性付款购买价减去７０000元后剩下的要另外去借的款，并没有告诉你，此外银行贷款利率Ｒ也没告诉你,这造成了我们决策的困难.然而,由（2）可知6０个月后还清,即,从而得 (3） A和x之间的关系式，如果我们已经知道银（３)表示Ｎ=6０,x=1２00给定时0 A。例如，若Ｒ=0．01,则由(3)可算得行的贷款利息R，就可以算出0 5３94６元。如果该房地产公司说一次性付款的房价大于70０0０十53946＝12３946元的话，你就应自己去银行借款。事实上，利用图形计算器或Maｔheｍａtiｃa这样的 数学软件可把（3）的图形画出来,从而可以进行估算决策。以下我们进一步考虑下面两个问题。 注1问题1标题中“抵押贷款”的意思无非是银行伯你借了钱不还，因而要你用某种不动产（包括房子的产权）作抵押，即万一你还不出钱了，就没收你的不动产。 例题１某高校一对年青夫妇为买房要用银行贷款６000０元，月利率0.01，贷款期25年=300月，这对夫妇希望知道每月要还多少钱，25年就可还清。假设这对

飞行管理 数学建模

B 题：飞行管理问题 摘要： 飞行管理问题是一个既现实又重要的课题，本文利用偏转角度尽可能的小建立两个非线性规划模型。 模型一：时间模型。考虑到各架飞机的偏转角有正有负，在此模型中，对于各架飞机调整选取各个偏转角的绝对值的和作为目标函数，要求任意两架飞机任意时刻的距离大于8公里，则可以求出任意两架飞机的距离ij d 。此时，两架飞机距离ij d 是时间t 与各个飞机偏转角i θ?的函数，编写程序时将t 离散化，且t 有最大值0.2828s （沿对角线飞过的时间），这样可得到表1-1的结果： 表1-1 模型二：闭塞区域模型。在两架飞机中，将其中一架看成“静止”，另一架相对于它而运动。而以“静止”飞机为圆心，km 8为半径的圆形区域构成该飞机的闭塞区域，任意一架飞机的方向角均不能在此区域内，则为不相撞。为此，本文用复变函数的知识表示各架飞机的速度，从而算出相对速度，再求出相对位移，以相对速度与相对位移的夹角大于每两架飞机的临界夹角来刻画不相撞。目标函数为每架飞机偏转角的平方和。利用计算机编程得到表1-2的结果： 表1-2 对于上述两个非线性规划，在理论方面，本文利用SUTM 内点法（障碍函数法）进行算法描述，在操作方面，分别利用lingo 语言与MATLAB 语言直接编写程序进行计算 关键词：非线性规划、复变函数、SUMT 内点法、闭塞区域、禁飞角

一、问题重述 1.背景知识 与其他交通工具相比，飞机以其速度快、安全舒适等特点在交通领域占据了绝对地位。而近年来飞机事故的频繁发生也预示着飞机存在一定的安全隐患。经调查造成飞机相撞事故的原因主要是人、飞机（设备）、环境，而人的因素是事故中通常起主体作用的因素，直接影响事故的发生和结局。飞机事故的发生难以预测且死亡率极高，所以航空安全机制的健全，航空人员素质的提高已变得刻不容缓。 2.问题重述 在约10000米的高空某边长为160公里的正方形区域内，经常有若干架飞机作水平飞行。区域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记录其数据，以便进行飞行管理。当一驾欲进入该区域的飞机到达区域边缘时，记录其数据后，要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞。如果会碰撞，则应计算如何调整各架（包括新进入的）飞机飞行的方向角，以避免碰撞。现假定条件如下： 1）不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8公里； 2）飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度； 3）所有飞机飞行速度均为每小时800公里； 4）进入该区域的飞机在到达区域边缘时，与区域内飞机的距离应在60公里以上； 5）最多需考虑6架飞机； 6）不必考虑飞机离开此区域后的状况。 请你对这个避免碰撞的飞机管理问题建立数学模型，列出计算步骤，对以下数据进行计算（方向角误差不超过0.01度），要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小。 设该区域内4个顶点的坐标为(0,0),(160,0),(160,160),(0,160)。 记录数据为：