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二次函数与相似三角形综合题20160203

二次函数与相似三角形综合题20160203
二次函数与相似三角形综合题20160203

二次函数与相似三角形

例1 如图1,已知抛物线x x 4

1

y 2+-=的顶点为A ,且经过原,与x 轴交于点O 、B 。 (1)若点C 在抛物线的对称轴上,点D 在抛物线上,且以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形,求D 点的坐标;

(2)连接OA 、AB ,如图2,在x 轴下方的抛物线上是否存在点P ,使得△OBP 与△OAB 相似?若存在,求出P 点的坐标;若不存在,说明理由。

分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线.......

为四边形的边和对角线来考虑问题以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按OB 为边和对角线两种情况

2. 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径

① 求相似三角形的第三个顶点时,先要分析已知三角形的边.和角.的特点,进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。 ②或利用已知三角形中对应角,在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。

③若两个三角形的各边均未给出,则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度,之后利用相似来列方程求解。

解:⑴如图1,当OB 为边即四边形OCDB 是平行四边形时,CD ∥=OB,

由1)2x (4

1

02+--=得4x ,0x 21==,

∴B(4,0),OB =4. ∴D 点的横坐标为6

将x =6代入1)2x (4

1y 2+--=,得y =-3, ∴D(6,-3);

根据抛物线的对称性可知,在对称轴的左侧抛物线上存在点D,使得四边形ODCB 是平行四边形,此时D 点的坐标为(-2,-3),

当OB 为对角线即四边形OCBD 是平行四边形时,D 点即为A 点,此时D 点的坐标为(2,1) ⑵如图2,由抛物线的对称性可知:AO =AB,∠AOB =∠ABO. 若△BOP 与△AOB 相似,必须有∠POB =∠BOA =∠BPO 设OP 交抛物线的对称轴于A′点,显然A′(2,-1)

∴直线OP 的解析式为x 2

1

y -=

由x x 4

1

x 212+-=-,

得6x ,0x 21==

.∴P(6,-3)

过P 作PE ⊥x 轴,在Rt △BEP 中,BE =2,PE =3, ∴PB =13≠4.

∴PB≠OB,∴∠BOP≠∠BPO, ∴△PBO 与△BAO 不相似,

同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P 点. 所以在该抛物线上不存在点P ,使得△BOP 与△AOB 相似.

例2 (2013凉山州压轴题)如图,抛物线y=﹣x 2

+x+4交x 轴于A 、B 两点,与y 轴交于点C ,以OC 、OA 为边作矩形OADC 交抛物线于点G .

(1)抛物线的对称轴l 在边OA (不包括O 、A 两点)上平行移动,分别交x 轴于点E ,交CD 于点F ,交AC 于点M ,交抛物线于点P ,若点M 的横坐标为m ,请用含m 的代数式表示PM 的长;

(2)在(1)的条件下,连结PC ,则在CD 上方的抛物线部分是否存在这样的点P ,使得以P 、C 、F 为顶点的三角形和△AEM 相似?若存在,求出此时m 的值,并直接判断△PCM 的形状;若不存在,请说明理由.

考点:二次函数综合题.

分析:(1)将A (3,0),C (0,4)代入y=ax 2

﹣2ax+c ,运用待定系数法即可求出抛物线的解析式;

(2)先根据A、C的坐标,用待定系数法求出直线AC的解析式,进而根据抛物线和直线AC 的解析式分别表示出点P、点M的坐标,即可得到PM的长;

(3)由于∠PFC和∠AEM都是直角,F和E对应,则若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM 相似时,分两种情况进行讨论:①△PFC∽△AEM,②△CFP∽△AEM;可分别用含m的代数式表示出AE、EM、CF、PF的长,根据相似三角形对应边的比相等列出比例式,求出m的值,再根据相似三角形的性质,直角三角形、等腰三角形的判定判断出△PCM的形状.

解答:解:(1)∵抛物线y=ax2﹣2ax+c(a≠0)经过点A(3,0),点C(0,4),

∴,解得,

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+4;

(2)设直线AC的解析式为y=kx+b,

∵A(3,0),点C(0,4),

∴,解得,

∴直线AC的解析式为y=﹣4

3

x+4.

∵点M的横坐标为m,点M在AC上,

∴M点的坐标为(m,﹣4

3

m+4),

∵点P的横坐标为m,点P在抛物线y=﹣x2+x+4上,∴点P的坐标为(m,﹣ m2+m+4),

∴PM=PE﹣ME=(﹣m2+m+4)﹣(﹣4

3

m+4)=﹣m2+

7

3

m,

即PM=﹣m2+7

3

m(0<m<3);

(3)在(2)的条件下,连结PC,在CD上方的抛物线部分存在这样的点P,使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似.理由如下:由题意,可得AE=3﹣m,EM=﹣m+4,CF=m,PF=﹣m2+m+4﹣4=﹣m2+m.

若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似,分两种情况:①若△PFC∽△AEM,则PF:AE=FC:EM,

即(﹣m2+m):(3﹣m)=m:(﹣ m+4),

∵m≠0且m≠3,

∴m=.

∵△PFC∽△AEM,∴∠PCF=∠AME,

∵∠AME=∠CMF,∴∠PCF=∠CMF.

在直角△CMF中,∵∠CMF+∠MCF=90°,

∴∠PCF+∠MCF=90°,即∠PCM=90°,

∴△PCM为直角三角形;

②若△CFP∽△AEM,则CF:AE=PF:EM,

即m:(3﹣m)=(﹣m2+m):(﹣m+4),

∵m≠0且m≠3,

∴m=1.

∵△CFP∽△AEM,∴∠CPF=∠AME,

∵∠AME=∠CMF,∴∠CPF=∠CMF.

∴CP=CM,

∴△PCM为等腰三角形.

综上所述,存在这样的点P使△PFC与△AEM相似.此时m 的值为或1,△PCM为直角三角形或等腰三角形.

点评:此题是二次函数的综合题,其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式,矩形的性质,相似三角形的判定和性质,直角三角形、等腰三角形的判定,难度适中.要注意的是当相似三角形的对应边和对应角不明确时,要分类讨论,以免漏解.

练习

1

、已知抛物线2

2

3

y x x

=-

经过0

P E

?

??

??

及原点(00)

O,.

(1)过P点作平行于x轴的直线PC交y轴于C点,在抛物线对称轴右侧且位于直线PC 下方的抛物线上,任取一点Q,过点Q作直线QA平行于y轴交x轴于A点,交直线PC于B点,直线QA与直线PC及两坐标轴围成矩形OABC.是否存在点Q,使得OPC

△与PQB

△相似?若存在,求出Q点的坐标;若不存在,说明理由.

(2)如果符合(2)中的Q点在x轴的上方,连结OQ,矩形OABC内的四个三角形OPC PQB OQP OQA

,,,

△△△△之间存在怎样的关系?为什么?

(1)存在.

设Q 点的坐标为()m n ,

,则2233

n m =-

+, 要使,BQ PB OCP PBQ CP OC =△∽△,

=,

2233m m +=

解之得,12m m ==

当1m =2n =,即为Q

点,所以得Q

要使,BQ PB OCP QBP OC CP =△∽△,

则有33n -=,

即223333m +=

解之得,12m m =

m =P 点,

当1m =3n =-

,所以得3)Q -. 故存在两个Q 点使得OCP △与PBQ △相似.

Q

点的坐标为3)-.

(2)在Rt OCP △

中,因为tan CP COP OC ∠=

=.所以30COP ∠=

. 当Q

点的坐标为2)时,30BPQ COP ∠=∠=

. 所以90OPQ OCP B QAO ∠=∠=∠=∠=

因此,OPC PQB OPQ OAQ ,

,,△△△△都是直角三角形. 又在Rt OAQ △

中,因为tan 3

QA QOA AO ∠=

=.所以30QOA ∠= . 即有30POQ QOA QPB COP ∠=∠=∠=∠=

. 所以OPC PQB OQP OQA △∽△∽△∽△, 又因为QP OP QA OA ,⊥⊥30POQ AOQ ∠=∠=

所以OQA OQP △≌△.

2.在平面直角坐标系xOy 中,已知二次函数223y x x =-++的图象与x 轴交于A B ,两点(点A 在点B 的左边),与y 轴交于点C .

(1)若直线:(0)l y kx k =≠与线段BC 交于点D (不与点B C ,重合),则是否存在这样的直线l ,使得以B O D ,,为顶点的三角形与BAC △相似?若存在,求出该直线的函数

表达式及点D 的坐标;若不存在,请说明理由;(1

0)(30),(03)A B C -,,,, (2

(1)假设存在直线:(0)l y kx k =≠与线段BC 交于点D (不与点B C ,重合),使得以

B O D ,,为顶点的三角形与BA

C △相似.

在2

23y x x =-++中,令0y =,则由2

230x x -++=,解得1213x x =-=,

(10)(30)A B ∴-,,,.

令0x =,得3y =.(03)C ∴,

. 设过点O 的直线l 交BC 于点D ,过点D 作DE x ⊥轴于点E .

点B 的坐标为(30),

,点C 的坐标为(03),,点A 的坐标为(10)-,. 4345.

AB OB OC OBC ∴===∠=

,,

BC ∴==

要使BOD BAC △∽△或BDO BAC △∽△, 已有B B ∠=∠,则只需

BD BO

BC BA

=

, ①

.BO BD

BC BA

=

成立.

若是①,则有344

BO BC BD BA

?=

=

=

. 而45OBC BE DE ∠=∴=

,.

∴在Rt BDE △中,由勾股定理,得2

2222

24BE DE BE BD ?+=== ??

解得 9

4

BE DE ==(负值舍去).

93

344OE OB BE ∴=-=-=.

∴点D 的坐标为3944??

???

,.

将点D 的坐标代入(0)y kx k =≠中,求得3k =.

∴满足条件的直线l 的函数表达式为3y x =.

[或求出直线AC 的函数表达式为33y x =+,则与直线AC 平行的直线l 的函数表达式为

3y x =.此时易知BOD BAC △∽△,再求出直线BC 的函数表达式为3y x =-+.联立

33y x y x ==-+,求得点D 的坐标为3944??

???

,.]

若是②,则有

BO BA BD BC

=

=

= . 而45OBC BE DE ∠=∴=

,.

∴在Rt BDE △

中,由勾股定理,得2222

22BE DE BE BD +===.

解得

2BE DE ==(负值舍去)

. 321OE OB BE ∴=-=-=.

∴点D 的坐标为(12),

. 将点D 的坐标代入(0)y kx k =≠中,求得2k =.

∴满足条件的直线l 的函数表达式为2y x =.

∴存在直线:3l y x =或2y x =与线段BC 交于点D (不与点B C ,重合)

,使得以B O D ,,为顶点的三角形与BAC △相似,且点D 的坐标分别为3944??

???,或(12),.

(2)设过点(03)(10)C E ,,

,的直线3(0)y kx k =+≠与该二次函数的图象交于点P . 将点(1

0)E ,的坐标代入3y kx =+中,求得3k =-. ∴此直线的函数表达式为33y x =-+.

设点P 的坐标为(33)x x -+,

,并代入223y x x =-++,得2

50x x -=. 解得1250x x ==,(不合题意,舍去).

512x y ∴==-,. ∴点P 的坐标为(512)-,

. 此时,锐角PCO ACO ∠=∠.

又 二次函数的对称轴为1x =,

∴点C 关于对称轴对称的点C '的坐标为(23),

. ∴当5p x >时,锐角PCO ACO ∠<∠;

当5p x =时,锐角PCO ACO ∠=∠; 当25p x <<时,锐角PCO ACO ∠>∠.

O

3.如图所示,已知抛物线21y x =-与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C ,过点A 作AP ∥CB 交抛物线于点P . 在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ,过M 作MG ⊥x 轴于点G ,使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与?PCA 相似.若存在,请求出M 点的坐标;否则,请说明理由. 解: 假设存在

A (1,0)-

B (1,0)

C (0,1)- ∵∠PAB=∠BAC =45

∴PA ⊥AC

∵MG ⊥x 轴于点G , ∴∠MGA=∠PAC =90

在Rt △AOC 中,OA=OC=1 ∴

在Rt △PAE 中,AE=PE=3 ∴

AP= 设M 点的横坐标为m ,则M 2

(,1)m m - ①点M 在y 轴左侧时,则1m <- (ⅰ) 当?AMG ∽?PCA 时,有

AG PA =MG

CA

∵AG=1m --,MG=2

1m -

2=

解得11m =-(舍去) 22

3

m =

(舍去) (ⅱ) 当?MAG ∽?PCA 时有AG CA =MG

PA

2=

解得:1m =-(舍去) 22m =- ∴M (2,3)-

② 点M 在y 轴右侧时,则1m > (ⅰ) 当?AMG ∽?PCA 时有

AG PA =MG

CA

∵AG=1m +,MG=2

1m -

∴ 2

=

解得11m =-(舍去) 243m = ∴M 47

(,)39

(ⅱ) 当?MAG ∽?PCA 时有

AG CA =MG

PA

即 2

=

解得:11m =-(舍去) 24m = ∴M (4,15)

∴存在点M ,使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与?PCA 相似 M 点的坐标为(2,3)-,47(,)39

,(4,15)

4.(2013?曲靖压轴题)如图,在平面直角坐标系xOy 中,直线y=x+4与坐标轴分别交于A 、

B 两点,过A 、B 两点的抛物线y=﹣x 2

﹣3x+4..点D 为线段AB 上一动点,过点D 作CD⊥x 轴于点C ,交抛物线于点E .

(1)当DE=4时,求四边形CAEB 的面积. (2)连接BE ,是否存在点D ,使得△DBE 和△DAC 相似?若存在,求此点D 坐标;若不存在,说明理由.

×2×6+)×2﹣×2×4=12.

BD= m

5.(2013?绍兴压轴题)抛物线y=(x﹣3)(x+1)与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C,点D为顶点.

(1)求点B及点D的坐标.

(2)连结BD,CD,抛物线的对称轴与x轴交于点E.

①若线段BD上一点P,使∠DCP=∠BDE,求点P的坐标.

②若抛物线上一点M,作MN⊥CD,交直线CD于点N,使∠CMN=∠BDE,求点M的坐标.

,CB=3

==

x解方程组

,CB=3 ==

由方程组.的坐标为(,﹣)

==

a

∴MG=FG=

a

a

,﹣

如备

==

a

6.(2013?恩施州压轴题)如图所示,直线l:y=3x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B.把△AOB沿y轴翻折,点A落到点C,抛物线y=x2﹣4x+3过点B、C和D(3,0).

(1)若BD与抛物线的对称轴交于点M,点N在坐标轴上,以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似,求所有满足条件的点N的坐标.

(2)在抛物线上是否存在点P,使S△PBD=6?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.

()?m﹣×3×3﹣

(+×3×3﹣(

二次函数与相似三角形问题(含答案)

y x E Q P C B O A 综合题讲解 函数中因动点产生的相似三角形问题 练习1、如图,已知抛物线与x 交于A(-1,0)、E(3,0)两点,与y 轴交于点B(0,3)。 (1) 求抛物线的解析式; (2) 设抛物线顶点为D ,求四边形AEDB 的面积; (3) △AOB 与△DBE 是否相似?如果相似,请给以证明;如果不相似,请说明理由。 练习2、已知抛物线2 y ax bx c =++经过5330P E ? ???? ,, ,及原点(00)O ,. (1)求抛物线的解析式. (2)过P 点作平行于x 轴的直线PC 交y 轴于C 点,在抛物线对称轴右侧且位于直线PC 下方的抛物线上,任取一点Q ,过点Q 作直线QA 平行于y 轴交x 轴于A 点,交直线PC 于B 点,直线QA 与直线PC 及两坐标轴围成矩形OABC .是否存在点Q ,使得OPC △与PQB △相似?若存在,求出Q 点的坐标;若不存在,说明理由. (3)如果符合(2)中的Q 点在x 轴的上方,连结OQ ,矩形OABC 内的四个三角形 OPC PQB OQP OQA ,,,△△△△之间存在怎样的关系?为什么?

练习3 、如图所示,已知抛物线2 1y x =-与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C . (1)求A 、B 、C 三点的坐标. (2)过点A 作AP∥CB 交抛物线于点P ,求四边形ACBP 的面积. (3)在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ,过M 作MG ⊥x 轴于点G ,使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与?PCA 相似.若存在,请求出M 点的坐标;否则,请说明理由. 练习4、在平面直角坐标系xOy 中,已知二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于A B ,两点(点 A 在点 B 的左边) ,与y 轴交于点C ,其顶点的横坐标为1,且过点(23),和(312)--,. (1)求此二次函数的表达式;(由一般式... 得抛物线的解析式为2 23y x x =-++) (2)若直线:(0)l y kx k =≠与线段BC 交于点D (不与点B C ,重合),则是否存在这样的直线l ,使得以B O D ,,为顶点的三角形与BAC △相似?若存在,求出该直线的函数表达式及点D 的坐标;若不存在,请说明理由;(10)(30),(03)A B C -,,,, (3)若点P 是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点,试比较锐角PCO ∠与ACO ∠的大小(不必证明),并写出此时点P 的横坐标p x 的取值范围.

相似三角形综合题练习

相似三角形综合题练习 类型一相似三角形中动点问题 例1:如图正方形ABCD的边长为2,AE=EB,线段MN的两端点分别在CB、CD上滑动,且MN=1,当CM为何值时△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似? 变式:如图,在△ABC中,AB=8,BC=7,AC=6,有一动点P从A沿AB移动到B,移动速度为2单位/秒,有一动点Q从C沿CA移动到A,移动速度为1单位/秒,问两动点同时移动多少时间时,△PQA与△BCA相似. 例2:如图,已知△ABC是边长为6cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别沿AB、BC匀速运动,其中点P运动的速度是1cm/s,点Q运动的速度是2cm/s,当点Q到达点C时,P、Q两点都停止运动,设运动时间为t(s),解答下列问题: (1)当t=2时,判断△BPQ的形状,并说明理由; (2)设△BPQ的面积为S(cm2),求S与t的函数关系式; (3)作QR//BA交AC于点R,连结PR,当t为何值时,△APR∽△PRQ? A B D C E N

N C M B 变式:如图,在矩形ABC D中,AB=12cm,BC=8cm.点E 、F、G 分别从点A 、B 、C 三点同时出发,沿矩形的边按逆时针方向移动.点E 、G 的速度均为2c m/s ,点F 的速度为4cm/s,当点F 追上点G (即点F 与点G 重合)时,三个点随之停止移动.设移动开始后第t 秒时,△EFG 的面积为S(c m2) (1)当t =1秒时,S 的值是多少? (2)写出S 和t 之间的函数解析式,并指出自变量t 的取值范围. (3)若点F 在矩形的边B C上移动,当t 为何值时,以点E 、B 、F 为顶 点的三角形与以点F 、C 、G为顶点的三角形相似?请说明理由. 例3:如图,在梯形ABC D中,AD ∥BC,AD =3,DC=5,BC=10,梯形的高为4.动点M 从B点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动;动N 同时从C 点出发沿线段C D以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动.设运动的时间为t(秒). (1)当MN//AB 时,求t 的值; (2)试探究:t 为何值时,△MN C为直角三角形.

沪科版二次函数与相似三角形综合测试题

二次函数与相似三角形综合测试提高题 (本卷满分150分, 考试时间120分钟) 一选择题: (每题4分,共40分) 1、下列函数是二次函数的是:( ) A 、2(2)(2)(1)y x x x =+--- B 、y = C 、21y x x =+D 、20y x -= 2、已知2=a ,4=b ,c 5=,则a 、b 、c 的第四比例项为( ) A 、 10 B 、 5.2 C 、 8 D 、 22 3、把二次函数221y x x =--配方成顶点式为( ) A 、2(1)y x =- B 、2(1)2y x =-- C 、2(1)1y x =++ D 、2(1)2y x =+- 4.下列每一组中两个图形相似的是 ( ) A 、两个等腰三角形,每个三角形都有一个内角为?30 B 、邻边的比都等于2的两个平行四边形 C 、 底角为?45的两个等腰梯形 D 、有一个角是?120的两个等腰三角形 5、二次函数的图象上有两点(1,-3)和(4,-3),则此拋物线的对称轴是( ) A 、x =1 B 、x =2 C 、x =3 D 、x =2.5 6、函数263y kx x =-+的图象与x 轴有交点,则k 的取值范围是( ) A 、3k < B 、30k k <≠且 C 、3k ≤ D 、30k k ≤≠且 7、直角坐标平面上将二次函数2y 2(x 1)2-=--的图象向左平移1个单位, 再向上平移1个单位,则其顶点为( ) A 、(0,0) B 、(1,-2) C 、(0,-1) D 、(-2,1) 8、二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,则abc , 24b ac -,2a b +,a b c ++这四个式子中,值为正数的有( ) A 、4个 B 、3个 C 、2个 D 、1个

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2018数学中考复习 ——二次函数与相似三角形 二次函数中因动点问题产生的相似三角形的解题方法一般有以下三种: 1.如图,已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A(-4,0)、B(1,0)、C(-2,6). (1)求经过A 、B 、C 三点的抛物线解析式; (2)设直线BC 交y 轴于点E ,连接AE ,求证:AE=CE; (3)设抛物线与y 轴交于点D ,连接AD 交BC 于点F , 试问以A 、B 、F ,为顶点的三角形与△ABC 相似吗请说明理由. 2、如图,已知抛物线过点A (0,6),B (2,0),C (7, 5 2 ). 若D 是抛物线的顶点,E 是抛物线的对称轴与直线AC 的交点,F 与E 关于D 对称. (1)求抛物线的解析式; (2)求证:∠CFE=∠AFE ; (3)在y 轴上是否存在这样的点P ,使△AFP 与△FDC 相似,若有,请求出所有合条件的点P 的坐标;若没有,请说明理由. O A B E D F C x N M

3.如图,已知抛物线的方程C1:y=-(x+2)(x-m)(m>0)与x 轴相交于点B 、C ,与y 轴相交于点E ,且点B 在点C 的左侧. (1)若抛物线C 1过点M(2,2),求实数m 的值. (2)在(1)的条件下,求△BCE 的面积. (3)在(1)的条件下,在抛物线的对称轴上找一点H ,使BH+EH 最小,并求出点H 的坐标. (4)在第四象限内,抛物线C 1上是否存在点F ,使得以点B 、C 、F 为 顶点的三角形与△BCE 相似若存在,求m 的值;若不存在,请说 明理由. 4. 如图,已知抛物线 与x 轴的正半轴分别交于点A 、B (点A 位于点 B 的左侧),与y 轴的正半轴交于点 C . ⑴点B 的坐标为 ,点C 的坐标为 (用含b 的代数式表示); ⑵请你探索在第一象限内是否存在点P ,使得四边形PCOB 的面积等于2b ,且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形如果存在,求出点P 的坐标;如果不存在,请说明理由; ⑶请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ,使得△ QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似(全等可看作相似的特殊情况)如果存在,求出点Q 的坐标;如果不存在,请说明理由. 5.如图已知:直线3+-=x y 交x 轴于点A ,交y 轴于点B ,抛物线y=ax 2+bx+c 经过A 、B 、C (1,0)三 x y P O C B A

二次函数与相似三角形结合问题

琢玉教育个性化辅导讲义 教师学科上课时间年月日学生年级讲义序号 课题名称 教学目标1.会根据题目条件求解相关点的坐标和线段的长度; 2.掌握用待定系数法求解二次函数的解析式; 3.能根据题目中的条件,画出与题目相关的图形,继而帮助解题; 教学重点 难点1.体会利用几何定理和性质或者代数方法建立方程求解的方法; 2.会应用分类讨论的数学思想和动态数学思维解决相关问题。 课前检查上次作业完成情况:优□良□中□差□建议_______________________________ 教学容知识结构: 一.二次函数知识点梳理:下图中0 a≠二.特殊的二次函数:下图中0 a≠

3 4 y x =与BC边交于D点. (1)求D点的坐标; (2)若抛物线2 y ax bx =+经过A、D两点,求此抛物线的表达式; (3)设(2)中的抛物线的对称轴与直线OD交于点M,点P是对称轴上一动点,以P、O、M为顶点的三角形与△OCD相似,求出符合条件的点P. 方法总结: 1.已知:如图,在平面直角坐标系xOy中,二次函数c bx x y+ + - =2 3 1 的图像经过点 A(-1,1)和点B(2,2),该函数图像的对称轴与直线OA、OB分别交于点C和点D.二次函数背景下相似三角形的解题方法和策略: 1.根据题意,先求解相关点的坐标和相关线段的长度; 2.待定系数法求解相关函数的解析式; 3.相似三角形中,注意寻找不变的量和相等的量(角和线段); 4.当三角形的三边不能用题目中的未知量表示时,注意利用相似三角形的转化求解; 5.根据题目条件,注意快速、正确画图,用好数形结合思想; 6.注意利用好二次函数的对称性; 7.利用几何定理和性质或者代数方法建立方程求解都是常用方法。

二次函数与相似三角形问题(含答案 完美打印版)

综合题讲解 函数中因动点产生的相似三角形问题 例题 如图1,已知抛物线的顶点为A (2,1),且经过原点O ,与x 轴的另一个交点为B 。 ⑴求抛物线的解析式;(用顶点式... 求得抛物线的解析式为x x 4 1y 2 +-=) ⑵若点C 在抛物线的对称轴上,点D 在抛物线上,且以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形,求D 点的坐标; ⑶连接OA 、AB ,如图2,在x 轴下方的抛物线上是否存在点P ,使得△OBP 与△OAB 相似若存在,求出P 点的坐标;若不存在,说明理由。 分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线....... 为四边形的边和对角线来考虑问题以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按OB 为边和对角线两种情况 2. 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径 ① 求相似三角形的第三个顶点时,先要分析已知三角形的边.和角.的特点,进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。 ②或利用已知三角形中对应角,在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。 ③若两个三角形的各边均未给出,则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度,之后利用相似来列方程求解。

y x E Q P C B O A 例题2:如图,已知抛物线y=ax 2+4ax+t (a >0)交x 轴于A 、 B 两点,交y 轴于点 C ,抛物线的对称轴交x 轴于点E ,点B 的坐标为(-1,0). (1)求抛物线的对称轴及点A 的坐标; (2)过点C 作x 轴的平行线交抛物线的对称轴于点P ,你能判断四边形ABCP 是什么四边形并证明你的结论; (3)连接CA 与抛物线的对称轴交于点D ,当∠APD=∠ACP 时,求抛物线的解析式. 练习1、已知抛物线2 y ax bx c =++经过5330P E ? ???? ,, ,及原点(00)O ,. (1)求抛物线的解析式.(由一般式... 得抛物线的解析式为2253 33 y x x =-+) (2)过P 点作平行于x 轴的直线PC 交y 轴于C 点,在抛物线对称轴右侧且位于直线PC 下方的抛物线上,任取一点Q ,过点Q 作直线QA 平行于y 轴交x 轴于A 点,交直线PC 于B 点,直线QA 与直线PC 及两坐标轴围成矩形OABC .是否存在点Q ,使得OPC △与PQB △相似若存在,求出Q 点的坐标;若不存在,说明理由. (3)如果符合(2)中的Q 点在x 轴的上方,连结OQ ,矩形OABC 内的四个三角形 OPC PQB OQP OQA ,,,△△△△之间存在怎样的关系为什么

二次函数与相似三角形综合

第10讲:二次函数中因动点产生的相似三角形问题? 二次函数中因动点产生的相彳以三角形问题一般有三个解题途径: ①求相似三角形的第三个顶点时,先要分析已知三角形的边和角的特点,进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。 ②或利用已知三角形中对应角,在未知三角形中利用勾股定理、三角比、对称、旋转等知识来推导边的大小。 ③若两个三角形的各边均未给出,则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度,之后利用相似来列方程求解。 例题1:已知抛物线的顶点为A (2, 1),且经过原点O,与X轴的另一个交点为B. 1 2 y = --x~ +x (1)求抛物线的解析式:(用顶点式求得抛物线的解析式为 4 ) (2)连接OA、AB.如图2,在x轴下方的抛物线上是否存在点P,使得二OBP与二OAB 相似?若存在,求出P点的坐标:若不存在,说明理由。 解:如图2,由抛物线的对称性可知:AO=AB二AOB=CABO. 若二BOP与匚A0B相似,必须有二POB = OBOA =匚BPO 设0P交抛物线的对称轴于A?点,显然AX2-1) 1 y = --x 二直线OP的解析式为2 一一x =一一x? + 由2 4 得x 1 = 0, x 2 =6 -JP(6,~3) 过P 作PE二x 轴,在RtZBEP 中,BE=2,PE=3, 二PB=厢拜. 二PB=OB,HBOP* 二BPO、 ZOPB0与匚BAO不相似, 同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P点. 所以在该 抛物线上不存在点R使得ZBOP与ZAOB相似.

例题2:如图所示,已知抛物线与兀轴交于A、B两点,与y轴交于点c. (1)求A、B、C三点的坐标. (2)过点A作APZCB交抛物线于点P,求四边形ACBP的面积. (3)在x轴上方的抛物线上是否存在一点过M作MG丄兀轴于点G, 使以A、M. G 三点为顶点的三角形与APCA相似.若存在,请求岀M点的坐标; 解:(1)令尸°,得?-1=0 解得“±1 令x=o,得〉‘=一1 二A(70)B(I,°)c(°,j) (2)匚OA=OB=OC= 1 □ ZBAC=厶ACO= ZBCO= 45 ZAPZCB, E Z PAB=45 过点P作PE丄x轴于E,则△ APE为等腰直角三角形 令OE=" > 贝iJPE=Q + l + 0 ::点p在抛物线上“+1=/_i 解得5=2,心=一1 (不合题意,舍去)二PE=3 1 1 1 「1 ———x2xl + —x2x3 = 4 二四边形ACBP的而积S = 2 A B?OC+ 2 A B?PE=2 2 (3).假设存在 二Z PAB= Z BAC =45 匚PA 丄AC ZMG丄 * 轴于点G, □ Z MGA= Z PAC = 90 在Rt 二AOC 中,OA=OC= 1 二AC=Q 在Rt 二PAE 中, AE=PE= 3 ZAP= 3^2 设M点的横坐标为m ,则M(加,m~ -1) □点M在y轴左侧时,贝0VT 图2

经典相似三角形练习题(附参考答案)

相似三角形 一.解答题(共30小题) 1.如图,在△ABC 中,DE ∥BC ,EF ∥AB ,求证:△ADE ∽△EFC . 2.如图,梯形ABCD 中,AB ∥CD ,点F 在BC 上,连DF 与AB 的延长线交于点G . (1)求证:△CDF ∽△BGF ; (2)当点F 是BC 的中点时,过F 作EF ∥CD 交AD 于点E ,若AB=6cm ,EF=4cm ,求CD 的长. 3.如图,点D ,E 在BC 上,且FD ∥AB ,FE ∥AC . 求证:△ABC ∽△FDE . 4.如图,已知E 是矩形ABCD 的边CD 上一点,BF ⊥AE 于F ,试说明:△ABF ∽△EAD . 5.已知:如图①所示,在△ABC 和△ADE 中,AB=AC ,AD=AE ,∠BAC=∠DAE ,且点B ,A ,D 在一条直线上,连接BE ,CD ,M ,N 分别为BE ,CD 的中点. (1)求证:①BE=CD ;②△AMN 是等腰三角形; (2)在图①的基础上,将△ADE 绕点A 按顺时针方向旋转180°,其他条件不变,得到图②所示的图形.请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立; (3)在(2)的条件下,请你在图②中延长ED 交线段BC 于点P .求证:△PBD ∽△AMN . 6.如图,E 是?ABCD 的边BA 延长线上一点,连接EC ,交AD 于点F .在不添加辅助线的情况下,请你写出图中所有的相似三角形,并任选一对相似三角形给予证明. 7.如图,在4×3的正方形方格中,△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上. (1)填空:∠ABC= _________ °,BC= _________ ; (2)判断△ABC 与△DEC 是否相似,并证明你的结论. 8.如图,已知矩形ABCD 的边长AB=3cm ,BC=6cm . 某一时刻,动点M 从A 点出发沿AB 方向以1cm/s 的速度向B 点匀速运动;同时,动点N 从D 点出发沿DA 方向以2cm/s 的速度向A 点匀速运动,问: (1)经过多少时间,△AMN 的面积等于矩形ABCD 面积的? (2)是否存在时刻t ,使以A ,M ,N 为顶点的三角形与△ACD 相似?若存在,求t 的值;若不存在,请说明理由. 9.如图,在梯形ABCD 中,若AB ∥DC ,AD=BC ,对角线BD 、AC 把梯形分成了四个小三角形. (1)列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况,并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少;(注意:全等看成相似的特例) (2)请你任选一组相似三角形,并给出证明. 10.如图△ABC 中,D 为AC 上一点,CD=2DA ,∠BAC=45°,∠BDC=60°,CE ⊥BD 于E ,连接AE . (1)写出图中所有相等的线段,并加以证明; (2)图中有无相似三角形?若有,请写出一对; 若没有,请说明理由; (3)求△BEC 与△BEA 的面积之比.

中考数学真题汇编:《二次函数》综合题专项训练(二)与解析

《二次函数》综合题专项训练(二)与解析 1.如图,矩形OABC的两边在坐标轴上,点A的坐标为(10,0),抛物线y=ax2+bx+4过点B,C两点,且与x轴的一个交点为D(﹣2,0),点P是线段CB上的动点,设CP=t(0<t<10). (1)请直接写出B、C两点的坐标及抛物线的解析式; (2)过点P作PE⊥BC,交抛物线于点E,连接BE,当t为何值时,∠PBE=∠OCD?(3)点Q是x轴上的动点,过点P作PM∥BQ,交CQ于点M,作PN∥CQ,交BQ于点N,当四边形PMQN为正方形时,请求出t的值. 2.如图,直线y=﹣ x x轴、y轴交于B、C两点,点A在x轴上, 3 ∠ACB=90°,抛物线y=ax2+bx A,B两点. (1)求A、B两点的坐标; (2)求抛物线的解析式; (3)点M是直线BC上方抛物线上的一点,过点M作MH⊥BC于点H,作MD∥y轴交BC于点D,求△DMH周长的最大值.

3.如图,抛物线y=1 4 x2+ 1 4 x+c与x轴的负半轴交于点A,与y轴交于点B,连结 AB,点C(6,15 2 )在抛物线上,直线AC与y轴交于点D. (1)求c的值及直线AC的函数表达式; (2)点P在x轴正半轴上,点Q在y轴正半轴上,连结PQ与直线AC交于点M,连结MO并延长交AB于点N,若M为PQ的中点. ①求证:△APM∽△AON; ②设点M的横坐标为m,求AN的长(用含m的代数式表示). 4.如图,抛物线y=ax2+bx﹣2与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,已知A(3, 0),且M(1,﹣8 3 )是抛物线上另一点. (1)求a、b的值; (2)连结AC,设点P是y轴上任一点,若以P、A、C三点为顶点的三角形是等腰三角形,求P点的坐标; (3)若点N是x轴正半轴上且在抛物线内的一动点(不与O、A重合),过点N 作NH∥AC交抛物线的对称轴于H点.设ON=t,△ONH的面积为S,求S与t之间的函数关系式. 5.如图,已知抛物线y=ax2﹣﹣9a与坐标轴交于A,B,C三点,其中C(0,

初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)

经典练习题相似三角形 一.解答题(共30小题) 1.如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,求证:△ADE∽△EFC. 2.如图,梯形ABCD中,AB∥CD,点F在BC上,连DF与AB的延长线交于点G. (1)求证:△CDF∽△BGF; (2)当点F是BC的中点时,过F作EF∥CD交AD于点E,若AB=6cm,EF=4cm,求CD的长. $ 3.如图,点D,E在BC上,且FD∥AB,FE∥AC. 求证:△ABC∽△FDE.

4.如图,已知E是矩形ABCD的边CD上一点,BF⊥AE于F,试说明:△ABF∽△EAD. ; 5.已知:如图①所示,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且点B,A,D在一条直线上,连接BE,CD,M,N分别为BE,CD的中点. (1)求证:①BE=CD;②△AMN是等腰三角形; (2)在图①的基础上,将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°,其他条件不变,得到图②所示的图形.请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立; (3)在(2)的条件下,请你在图②中延长ED交线段BC于点P.求证:△PBD∽△AMN.

6.如图,E是?ABCD的边BA延长线上一点,连接EC,交AD于点F.在不添加辅助线的情况下,请你写出图中所有的相似三角形,并任选一对相似三角形给予证明. | 7.如图,在4×3的正方形方格中,△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上. (1)填空:∠ABC=_________°,BC=_________; (2)判断△ABC与△DEC是否相似,并证明你的结论. 8.如图,已知矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm.某一时刻,动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动;同时,动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动,问: ' (1)经过多少时间,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的 (2)是否存在时刻t,使以A,M,N为顶点的三角形与△ACD相似若存在,求t的值;若不存在,请说明理由.

二次函数与相似三角形综合

第10讲:二次函数中因动点产生的相似三角形问题 二次函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径: 例题1:已知抛物线的顶点为A (2,1),且经过原点O ,与x 轴的另一个交点为B 。 (1)求抛物线的解析式;(用顶点式求得抛物线的解析式为x x 41 y 2+-=) (2)连接OA 、AB ,如图2,在x 轴下方的抛物线上是否存在点P ,使得△OBP 与△OAB 相似?若存在,求出P 点的坐标;若不存在,说明理由。 解:如图2,由抛物线的对称性可知:AO =AB,△AOB =△ABO. 若△BOP 与△AOB 相似,必须有△POB =△BOA =△BPO 设OP 交抛物线的对称轴于A′点,显然A′(2,-1) △直线OP 的解析式为x 21y -= 由 x x 41 x 212+-=- , 得6x ,0x 21== .△P(6,-3) 过P 作PE△x 轴,在Rt△BEP 中,BE =2,PE =3, △PB =13≠4. △PB≠OB,△△BOP≠△BPO, △△PBO 与△BAO 不相似, 同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P 点. 所以在该抛物线上不存在点P,使得△BOP 与△AOB 相似. 例1题图 图1 O A B y x O A B y x 图2 E A' O A B P y x 图2 ① 求相似三角形的第三个顶点时,先要分析已知三角形的边和角的特点,进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。 ② 或利用已知三角形中对应角,在未知三角形中利用勾股定理、三角比、对称、旋转等知识来推导边的大小。 ③ 若两个三角形的各边均未给出,则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度,之后利用相似来列方程求解。

二次函数与几何综合(有答案)中考数学压轴题必做(经典)

二次函数与几何综合
题目背景
07 年课改后,最后一题普遍为抛物线和几何结合(主要是与三角形结合)的 代数几何综合题,计算量较大。几何题可能想很久都不能动笔,而代数题则可以 想到哪里写到哪里,这就让很多考生能够拿到一些步骤分。因此,课改之后,武 汉市数学中考最后一题相对来说要比以前简单不少,而这也符合教育部要求给学 生减轻负担的主旨,因此也会继续下去。要做好这最后一题,主要是要在有限的 时间里面找到的简便的计算方法。要做到这一点,一是要加强本身的观察力,二 是需要在平时要多积累一些好的算法,并能够熟练运用,最后就是培养计算的耐 心,做到计算又快又准。
题型分析
题目分析及对考生要求 (1)第一问通常为求点坐标、解析式:本小问要求学生能够熟练地掌握待定系 数法求函数解析式,属于送分题。 (2)第二问为代数几何综合题,题型不固定。解题偏代数,要求学生能够熟练 掌握函数的平移,左加右减,上加下减。要求学生有较好的计算能力,能够把题 目中所给的几何信息进行转化,得到相应的点坐标,再进行相应的代数计算。 (3)第三问为几何代数综合,题型不固定。解题偏几何,要求学生能够对题目 所给条件进行转化,合理设参数,将点坐标转化为相应的线段长,再根据题目条 件合理构造相似、全等,或者利用锐角三角函数,将这些线段与题目构建起联系, 再进行相应计算求解,此处要求学生能够熟练运用韦达定理,本小问综合性较强。
在我们解题时,往往有一些几何条件,我们直接在坐标系中话不是很好用, 这时我们需要对它进行相应的条件转化,变成方便我们使用的条件,以下为两种 常见的条件转化思想。 1、遇到面积条件:a.不规则图形先进行分割,变成规则的图形面积;b.在第一 步变化后仍不是很好使用时,根据同底等高,或者等底同高的三角形面积相等这 一性质,将面积进行转化;c.当面积转化为一边与坐标轴平行时,以这条边为底, 根据面积公式转化为线段条件。 2、遇到角度条件:找到所有与这些角相等的角,以这些角为基础构造相似、全 等或者利用锐角三角函数,转化为线段条件。
二次函数与三角形综合
【例1】. (2012 武汉中考)如图 1,点 A 为抛物线 C1:y= x2﹣2 的顶点,点 B 的坐标为(1,
0)直线 AB 交抛物线 C1 于另一点 C

初三数学相似三角形练习题集

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相似三角形练习题 1.如图所示,给出下列条件: ①;②;③;④. 其中单独能够判定的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 2.如图,已知,那么下列结论正确的是() A.B.C.D. 3. 如图,已知等边三角形ABC的边长为2,DE是它的中位线,则下面四个结论: (1)DE=1,(2)△CDE∽△CAB,(3)△CDE的面积与△CAB的面积之比为 1:4.其中正确的有:() A.0个B.1个C.2个D.3个 4.若△ABC∽△DEF, △ABC与△DEF的相似比为1∶2,则△ABC与△DEF的周长比为() A.1∶4B.1∶2C.2∶1D.1∶ 5.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8,另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x,那么x的值() D B C A N M O

A.只有1个 B.可以有2个 C.有2个以上但有限 D.有无数个 6.如图,菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,M、N分别是边AB、AD 的中点,连接OM、ON、MN,则下列叙述正确的是() A.△AOM和△AON都是等边三角形 B.四边形MBON和四边形MODN都是菱形 C.四边形AMON与四边形ABCD是位似图形 D.四边形MBCO和四边形NDCO都是等腰梯形 7.如图,在方格纸中,将图①中的三角形甲平移到图② 中所示的位置,与三角形乙拼成一个矩形,那么,下面的平 移方法中,正确的是() A.先向下平移3格,再向右平移1格 B.先向下平移2格,再向右平移1格 C.先向下平移2格,再向右平移2格 D.先向下平移3格,再向右平移2格 8.在中华经典美文阅读中,小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比。已知这本书的长为20cm,则它的宽约为() A.12.36cm B.13.6cm C.32.36cm D.7.64cm 9.小明在一次军事夏令营活动中,进行打靶训练,在用枪瞄准目标点B 时,要使眼睛O、准星A、目标B在同一条直线上,如图4所示,在射击时,小明有轻微的抖动,致使准星A偏离到A′,若OA=0.2米,OB=40米, AA′=0.0015米,则小明射击到的点B′偏离目标点B的长度BB′为 () A.3米B.0.3米C.0.03米D.0.2米 10、在比例尺为1︰10000的地图上,一块面积为2cm2的区域表示的实际面积是()

二次函数与相似三角形综合题

二次函数与相似三角形综合题 黄陂区实验中学邓静 教学目标: 1、会求二次函数解析式; 2、根据条件寻找或构造相似三角形,在二次函数的综合题中利用其性质求出线段的长度,从而得出点的坐标。 教学重点: 1、求二次函数解析式; 2、相似三角形的判定与性质在二次函数综合题中的运用。 教学难点: 根据条件构造相似三角形解决问题。 情感与态度: 1、培养学生积极参与教学学习活动的兴趣,增强数学学习的好奇心和求知欲。 2、使学生感受在数学学习活动中获得成功的体验,锻炼学生克服困难的意志,建立自信心。 3、培养学生科学探索的精神。

O 教学过程: 一、复习巩固 如图,抛物线y=ax 2+bx -2与x 轴交于点A (-1,0),B (m ,0)两点,与y 轴交于C 点,且∠ACB=90°,求抛物线的解析式. 分析:OC 2=OA·OB ∴4=1×m,m=4 ∴B(4,0) 设抛物线解析式为y=a(x+1)(x -4) 代入C 点(0,-2) ∴抛物线解析式为213222 y x x =--. 二、新授 例题、如图,直线y=-x+3与x 轴、y 轴分别相交于B 、C ,经过B 、C 两点的抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴另一交点为A ,顶点为P ,且对称轴是直线x=2, (1)求抛物线解析式; (2)连结AC ,请问在x 轴上是否存在点Q ,使得以点P 、B 、Q 为顶点的三角形与△ACB 相似,若存在,请求出Q 点坐标;若不存在,说明理由.

(3)D 点为第四象限的抛物线上一点,过点D 作DE ⊥x 轴,交CB 于E ,垂足于H ,过D 作DF ⊥CB ,垂足为F ,交x 轴于G ,试问是否存在这样的点D ,使得△DEF 的周长恰好被x 轴平分若能,请求出D 点坐标;若不能,请说明理由. [解] (1)直线3y x =-+与x 轴相交于点B , ∴当0y =时,3x =, ∴点B 的坐标为(30),. 又抛物线过x 轴上的A B ,两点,且对称轴为, 根据抛物线的对称性, ∴点A 的坐标为(10),. 3y x =-+过点C ,易知(03)C ,, 3c ∴=. 又抛物线2y ax bx c =++过点(1 0)(30)A B ,,,, ∴(1)(3)y a x x =--,经过C 点(0,3) A B C P O x y 2x =

中考相似三角形经典综合题

中考相似三角形经典综合题 1、如图,在平面直角坐标系中,点0为坐标原点,A点的坐标为(3,0),以0A为边作等边三角形OAB,点B在第一象限,过点B作AB的垂线交x轴于点C.动点P从0点出发沿0C 向C点运动,动点Q从B点出发沿BA向A点运动,P,Q两点同时出发,速度均为1个单位/秒。设运动时间为t秒. (1)求线段BC的长; (2)连接PQ交线段OB于点E,过点E作x轴的平行线交线段BC于点F。设线段EF的长为m,求m与t之间的函数关系式,并直接写出自变量t的取值范围: (3)在(2)的条件下,将△BEF绕点B逆时针旋转得到△BE1F1,使点E的对应点E1落在线 段AB上,点F的对应点是F1,E1F1交x轴于点G,连接PF、QG,当t为何值时,2BQ-PF= 3 3 QG? 2、在平面直角坐标系中,已知点A(﹣2,0),点B(0,4),点E在OB上,且∠OAE=∠0BA. (Ⅰ)如图①,求点E的坐标; (Ⅱ)如图②,将△AEO沿x轴向右平移得到△A′E′O′,连接A′B、BE′. ①设AA′=m,其中0<m<2,试用含m的式子表示A′B2+BE′2,并求出使A′B2+BE′2取得最小值时点E′的坐标; ②当A′B+BE′取得最小值时,求点E′的坐标(直接写出结果即可).

3、如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=3,AB=5.点P从点B出发,以每秒1个单位长度沿B→C→A→B的方向运动;点Q从点C出发,以每秒2个单位沿C→A→B方向的运动,到达点B后立即原速返回,若P、Q两点同时运动,相遇后同时停止,设运动时间为ι秒.(1)当ι=7时,点P与点Q相遇; (2)在点P从点B到点C的运动过程中,当ι为何值时,△PCQ为等腰三角形? (3)在点Q从点B返回点A的运动过程中,设△PCQ的面积为s平方单位. ①求s与ι之间的函数关系式; ②当s最大时,过点P作直线交AB于点D,将△ABC中沿直线PD折叠,使点A落在直 线PC上,求折叠后的△APD与△PCQ重叠部分的面积. 4、如图,点A是△ABC和△ADE的公共顶点,∠BAC+∠DAE=180°,AB=k·AE,AC=k·AD,点M是DE的中点,直线AM交直线BC于点N. (1)探究∠ANB与∠BAE的关系,并加以证明. (2)若△ADE绕点A旋转,其他条件不变,则在旋转的过程中(1)的结论是否发生变化?如果没有发生变化,请写出一个可以推广的命题;如果有变化,请画出变化后的一个图形,并证明变化后∠ANB与∠BAE的关系. 5.如图,已知一个三角形纸片ABC,BC边的长为8,BC边上的高为6,B ∠和C ∠都为锐角,M为AB一动点(点M与点A B 、不重合),过点M作MN BC ∥,交AC于点N,在AMN △中,设MN的长为x,MN上的高为h. (1)请你用含x的代数式表示h. (2)将AMN △沿MN折叠,使AMN △落在四边形BCNM所在平面,设点A落在平面 A B C E M D N

二次函数七大综合专题

二次函数七大综合专题 二次函数与三角形的综合题

函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径 ① 求相似三角形的第三个顶点时,先要分析已知三角形的边.和角.的特点,进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。 ②或利用已知三角形中对应角,在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。 ③若两个三角形的各边均未给出,则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度,之后利用相似来列方程求解。 如图,已知抛物线与交于A(-1,0)、E(3,0)两点,与轴交于点B(0,3)。 (1) 求抛物线的解析式; (2) 设抛物线顶点为D ,求四边形AEDB 的面积; (3) △AOB 与△DBE 是否相似?如果相似,请给以证明;如果不相似,请说明理由。 (2016?益阳第21题) 如图,顶点为A 的抛物线经过坐标原点O ,与x 轴交于点B . (1)求抛物线对应的二次函数的表达式; (2)过B 作OA 的平行线交y 轴于点C ,交抛物线于点D ,求证:△OCD ≌△OAB ; (3)在x 轴上找一点P ,使得△PCD 的周长最小,求出P 点的坐标. x y

考点:考查二次函数,三角形的全等、三角形的相似。 解析:(1 )∵抛物线顶点为A , 设抛物线对应的二次函数的表达式为2(1y a x =+, 将原点坐标(0,0)代入表达式,得1 3a =-. ∴抛物线对应的二次函数的表达式为:213y x =-+ . (2)将0y = 代入213y x =-+ 中,得B 点坐标为:, 设直线OA 对应的一次函数的表达式为y kx =, 将A 代入表达式y kx = 中,得k = , ∴直线OA 对应的一次函数的表达式为y x =. ∵BD ∥AO ,设直线BD 对应的一次函数的表达式为y b =+, 将 B 代入y b = +中,得2b =- , ∴直线BD 对应的一次函数的表达式为2y x =-. 由2213y x y x ?= -????=-?? 得交点D 的坐标为(3)-, 将0x = 代入2y =-中,得C 点的坐标为(0,2)-, 由勾股定理,得:OA =2=OC ,AB =2=CD , OB OD ==. 在△OAB 与△OCD 中,OA OC AB CD OB OD =?? =??=? , ∴△OAB ≌△OCD . (3)点C 关于x 轴的对称点C '的坐标为(0,2),则C D '与x 轴的交点即为点P ,它使得△PCD 的周长最小. 过点D 作DQ ⊥y ,垂足为Q ,则PO ∥DQ .∴C PO '?∽C DQ '?. ∴ PO C O DQ C Q '=', 25 = ,∴PO =, ∴ 点P 的坐标为(. 二次函数与平行四边形的综合题 7

二次函数中的相似三角形

二次函数中的相似三角形 例1(2011绵阳):已知抛物线y = x2 -2x +m -1与x轴只有一个交点,且与y轴交于A点,如图,设它的顶点为B. (1)求m的值; (2)过A作x轴的平行线,交抛物线于点C,求证△ABC是等腰直角三角形; (3)将此抛物线向下平移4个单位后,得到抛物线C’,且与x轴的左半轴交于E点,与y轴交于F点。如图,请在抛物线C’上求点P,使得△EFP是以EF为直角边的直角三角形. 例1图例1(1)(2)图例1(3)图

例2:如图,抛物线y = ax2 +bx + 1与x轴交于两点A(-1,0)、B(1,0)与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式; (2)过点B作BD∥CA与抛物线交于点D,求四边形ACBD的面积; (3)在x轴下方的抛物线上是否存在点M,过M作MN⊥x轴于点N,使以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似?若存在,则求出点M的坐标;若不存在,请说明理由. 例2(1)(2)图例2(3)图

例3:已知,如图,二次函数y = ax2 - 2ax + c(a ≠ 0)的图象与y轴交于点C(0,4),与x 轴交于点A、B,点A的坐标为(4,0). (1)求该二次函数的关系式并写出它的对称轴和顶点坐标; (2)点Q是线段AB上的动点,过点Q作QE∥AC交BC于点E,连接CQ,当△CQE的面积最大时,求点Q的坐标; (3)若平行于x轴的直线l与该抛物线交于点P,与直线AC交于点F,点D的坐标(2,0).问:是否存在这样的直线l.使△ODF是等腰三角形?若存在,请求出点P坐标;若不存在,请说明理由. 思考:在(1)中抛物线的对称轴上是否存在点M,使△BCM是直角三角形?若存在,请直接写出点M坐标;若不存在,请说明理由. 例3(1)(2)图例3(3)图 例3思考

相似三角形综合题精选

相似三角形综合题精选 1、在Rt ABC ?中, ∠ACB =90°, CD AB ⊥,垂足为D . E 、F 分别是AC 、BC 边上一点, 且CE = 13AC ,BF =1 3BC . (1 )求证∶AC BC =CD BD . (2 )求EDF ∠的度数. 2、在矩形ABCD 中,AB =4,AD =5,P 是射线BC 上的一个动点,作PE ⊥AP ,PE 交射线DC 于点E ,射线AE 交射线BC 于点F ,设BP =x ,CE =y . (1)如图,当点P 在边BC 上时(点P 与点B 、C 都不重合),求y 关于x 的函数解析式,并 写出它的定义域; (2)当x =3时,求CF 的长; (3)当EP/AP=2 1 时,求BP 的长. F F E D C B A

3、(1)在ABC ?中,5==AC AB ,8=BC ,点P 、Q 分别在射线CB 、AC 上(点P 不与点C 、点B 重合),且保持ABC APQ ∠=∠. ①若点P 在线段CB 上(如图),且6=BP ,求线段CQ 的长; ②若x BP =,y CQ =,求y 与x 之间的函数关系式,并写出函数的定义域; (2)正方形ABCD 的边长为5(如图2),点P 、Q 分别在直线..CB 、DC 上(点P 不与 点C 、点B 重合),且保持?=∠90APQ .当1=CQ 时,写出线段BP 的长 (不需要计算过程,请直接写出结果). 图1 A B C 备用图 A B C P Q A B C D 图2

※ 课堂练习: 1、在ABC ?和AED ?中, AB ·AD =AC ·AE ,CAE ∠=BAD ∠,ADE S ?=4ABC S ?. 求证∶DE =2BC . 2、如图1,在平行四边形ABCD 中,CD AC =. (1)求证:ACB D ∠=∠; (2)若点E 、F 分别为边BC 、CD 上的两点,且CAD EAF ∠=∠.(如图2) ① 求证:ADF ?∽ACE ?; ② 求证:EF AE =. (图1) (图 2) E D C B A

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