第1章 高阶统计量的定义与性质 §1.1 准备知识 1.随机变量的特征函数 若随机变量x 的分布函数为)(x F ，则称 ??∞ ∞-∞∞-===Φdx x f e x dF e e E x j x j x j )()(][)(ωωωω 为x 的特征函数。其中)(x f 为概率密度函数。 离散情况：}{, ][)(k k k k x j x j x x p p p e e E k ====Φ∑ωωω * 特征函数)(ωΦ是概率密度)(x f 的付里叶变换。 例：设x ~),(2σa N ，则特征函数为 dx e e x j a x ?∞∞---=Φωσσπω222/)(21 )( 令σ2/)(a x z -=，则 dz e a j z j z ?∞ ∞-++-=Φωσωπω221 )( 根据公式：A B AC Cx Bx Ax e A dx e 2 22--∞∞--±-=?π，则 2221)(σωωω-=Φa j e 若0=a ，则2 221)(σωω-=Φe 。 2.多维随机变量的特征函数 设随机变量n x x x ,,,21 联合概率分布函数为),,,(21n x x x F ，则联合特征函数为 ),,,(][),,,(21)()(2122112211n x x x j x x x j n x x x dF e e E n n n n ??∞∞-+++∞∞-+++==Φωωωωωωωωω 令T n x x x ],,,[21 =x ,T n ],,,[21ωωω =ω，则 ?=ΦdX f e T j )()(x ωx ω 矩阵形式 或 n n x j n dx dx x x f e k n k k ,,),,(),,,(11211 ??∞∞-∞∞-∑=Φ=ωωωω 标量形式 其中，),,,()(21n x x x f f =x 为联合概率密度函数。 例：设n 维高斯随机变量为 T x x x ],,,[ =x ,T a a a ],,,[ =a
第1章 高阶统计量的定义与性质 1.1 准备知识 1. 随机变量的特征函数 若随机变量x 的分布函数为)(x F ，则称 ?? ∞ ∞ -∞ ∞ -== =Φdx x f e x dF e e E x j x j x j )()(][)(ωωωω 为x 的特征函数。其中)(x f 为概率密度函数。 离散情况：}{, ][)(k k k k x j x j x x p p p e e E k === =Φ∑ωωω 特征函数)(ωΦ是概率密度)(x f 的付里叶变换。 例：设x ~),(2σa N ，则特征函数为 dx e e x j a x ? ∞ ∞ ---= Φωσ σ πω2 22/)(21)( 令σ2/)(a x z -=，则 dz e a j z j z ? ∞ ∞ -++-= Φωσωπω22 1 )( 根据公式：A B AC Cx Bx Ax e A dx e 2 2 2-- ∞ ∞ --±-= ?π ，则 2 2 2 1)(σ ωωω-=Φa j e 若0=a ，则2 22 1)(σωω-=Φe 。 2. 多维随机变量的特征函数 设随机变量n x x x ,,,21 联合概率分布函数为),,,(21n x x x F ，则联合特征函数为 ) ,,,(][),,,(21) () (2122112211n x x x j x x x j n x x x dF e e E n n n n ? ? ∞ ∞ -+++∞ ∞ -+++= =Φωωωωωωωωω 令T n x x x ],,,[21 =x ,T n ],,,[21ωωω =ω，则 ? = ΦdX f e T j )()(x ωx ω 矩阵形式 或 n n x j n dx dx x x f e k n k k ,,),,(),,,(11211 ? ? ∞ ∞ -∞ ∞ -∑= Φ=ωωωω 标量形式
前言 在现代通信技术飞速发展，信息的传输与交换日益频繁，各种通信方式和通信技术不断更新和广泛应用。因此我们所处的空间就有各种各样的电磁波。随着电磁环境不断变得复杂以及数字调制技术的广泛运用，如何有效地识别数字通信信号的调制方式成为了一个重要的研究课题。通信信号的调制方式识别在通信系统中扮演着重要的角色，尤其是在信号确认、干扰识别、信号检测以及信号监督等通信领域。它需要在复杂环境和有噪声干扰的条件下，不依赖于其他的先验知识，确定接收信号的调制方式，并提取相应的调制参数，为信号的进一步分析和处理提供依据。 数字通信信号调制方式识别广泛应用在民用和军用领域。在民用领域中，有关职能部门需要对自由空间中的无线信号进行认证、实施频谱监管。要想成功排出非法干扰、保证合法通信正常进行以及合理分配频率资源就必须采用通信信号调制识别技术。在军用领域中，调制识别在军事侦察、通信对抗、频谱监测等应用占有重要的位置。通信情报系统作为通信电子战(信息战)的电子支援措施之一，用来监视战场的电磁频谱活动，进行威胁识别，帮助选择电子干扰策略，直至截获敌方的有用军事情报。如在电子战通信情报截获接收机的设计中，获得接收通信信号的调制方式，为解调器选择解调算法提供参考依据，有助于电子战最佳干扰样式或干扰抵消算法的选择，以保证友方通信，同时抑制和破坏敌方通信，实现电子战通信对抗的目的。又如辐射源识别问题。机载截获设备接收到不同类型的辐射源信号，利用信号调制类型和其他测量参数识别敌方探测器的类型，以便完成威胁等级分析，及时进行机动规避，施放干扰或欺骗信掣引。再如军用软件无线电技术的目的之一就是设计出一种通信“网桥"，实现不同传输体制通信设备间的相互通信功能和资源的最佳利用。为达此目的，解决方案之一就是先识别出发射方的调制样式和调制参数，对其发送的信息进行解调，然后按照接收方采用的调制方式，把有用信息调制并转发给接收方。这里，正确识别收发双方的调制样式，是保证信息无误转发的基本条件。 调制信号识别最初采用人工识别方法，这种方式一般是利用不同调制方式的调解器将接受的中频信号解调出可观察或可听的信号，然后由操作员借助频谱分析仪等设备观察信号的频谱、波形、瞬时幅度、瞬时频率和信号声音等信息，人为地确认信号的调制类型，其特点是结构庞大，复杂度高。随着集成电路的发展和数字技术的应用，数字调制逐渐取代模拟通信系统。信号调制方式越来越复杂，种类也越来越多。自动识别技术成为一项引人关注的重要课题。 目前针对调制识别的研究较多，主要有基于小波变换的识别方法，基于瞬时特征的识别方法，基于星座图的识别方法和基于高阶累积量的识别方法。由于高斯白噪声大于二阶