2009年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)
理科数学
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.
1. 集合{}0,2,A a =,{}
2
1,B a =,若{}0,1,2,4,16A B = ,则a 的值为 ( ).
A.0
B.1
C.2
D.4 【测量目标】集合的基本运算.
【考查方式】考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案. 【难易程度】容易 【参考答案】D
【试题解析】∵{}0,2,A a =,{}
2
1,B a =,{}0,1,2,4,16A B = （步骤1）
∴2164a a ?=?=?
，∴4a =,故选D.（步骤2）
2. 复数
3i
1i
--等于 （ ）. A ．12i + B.12i - C.2i + D.2i - 【测量目标】复数代数形式的四则运算.
【考查方式】考查复数的除法运算，分子、分母需要同乘以分母的共轭复数，把分母变为实 数，将除法转变为乘法进行运算. 【难易程度】容易 【参考答案】C
【试题解析】223i (3i)(1+i)3+2i i 4+2i
====2+i 1i (1i)(1+i)1i 2
------.故选C.
3.将函数sin 2y x =的图象向左平移
π
4
个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析 式是 ( ). A.cos 2y x = B.2
2cos y x = C.π
1sin(2)4
y x =++
D.22sin y x = 【测量目标】函数sin()y A x ω?=+的函数图象及其变换、诱导公式.
【考查方式】考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析式的基
本知识和基本技能,学会公式的变形. 【难易程度】中等 【参考答案】B
【试题解析】将函数sin 2y x =的图象向左平移
π4个单位，得到函数π
sin 2()4
y x =+，即 πsin 2cos22y x x ?
?=+= ??
?的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为
21cos22cos y x x =+=.故选B.
4. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ( ).
第4题图
A.2π+
B.4π+
C. 2π3+
D.4π3
+ 【测量目标】由三视图求几何体的体积.
【考查方式】考查了立体几何中的空间想象能力,由三视图能够想象得到空间的立体图,并能
准确地计算出.几何体的体积. 【难易程度】容易 【参考答案】C
【试题解析】该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的，圆柱的底面半径为1,高为2,体积为
2π,四棱锥的底面边长为2，高为3，∴体积为2
13
?
=
，（步骤1）
∴该几何体的体积为2π.（步骤2） 5. 已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”
的( ).
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【测量目标】线面垂直的判定、充分、必要条件.
【考查方式】考查了立体几何中垂直关系的判定和充分必要条件的概念.
【难易程度】中等
【参考答案】B
【试题解析】由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的一条直线,mβ
⊥,则
αβ
⊥,反过来则不一定.所以“αβ
⊥”是“mβ
⊥”的必要不充分条件.
6. 函数
e e
e e
x x
x x
y
-
-
+
=
-
的图象大致为( ).
A B
C D
【测量目标】函数图象的判断.
【考查方式】考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质.
【难易程度】中等
【参考答案】A
【试题解析】函数有意义,需使e e
0x x
--≠,其定义域为{}0|≠x x ,排除B,D,(步骤1)
又222e e e 12
1e e e 1e 1
x x x x x x x y --++===+--- ,∴当0x >时函数为减函数,故选A.（步骤2）
7. 设P 是所在ABC △平面内的一点，2BC BA BP +=
，则 （ ）. A.PA PB += 0 B. PB PC +=
0 C. PC PA += 0 D.PA PB PC ++= 0
第7题图
【测量目标】向量的线性运算.
【考查方式】考查了向量的加法运算和平行四边形法则，可以借助图形解答. 【难易程度】容易 【参考答案】C
【试题解析】因为2BC BA BP +=
，所以点P 为线段AC 的中点，所以应该选C.
８.某工厂对一批产品进行了抽样检测.下图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据
绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96106]，，样本数据分组为[9698，）， [98100)，,[100102)，，[102104)，,[104106]， ,已知样本中产品净重小于100克的个数是 36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是 ( ).
第8题图
A.90
B.75
C.
60 D.45 【测量目标】系统抽样，频率分布直方图.
【考查方式】考查了统计与概率的知识,读懂频率分布直方图,会计算概率以及样本中有关的数据.
【难易程度】容易 【参考答案】A
【试题解析】产品净重小于100克的概率为()0.0500.10020.300+?=, （步骤1） 已知样本中产品净重小于100克的个数是36,设样本容量为n ,则
300.036
=n
,（步骤2） 120n ∴=,净重大于或等于98克并且小于104克的产品的概率为
()0.1000.1500.12520.75++?=,（步骤3）
∴样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是1200.7590?=.故选A.
（步骤4）
9. 设双曲线122
22=-b
y a x 的一条渐近线与抛物线21y x =+只有一个公共点，则双曲线的离
心率为 ( ) A.
45 B.5 C. 2
5 D.5 【测量目标】直线与双曲线、抛物线的位置关系，双曲线与抛物线的简单几何性质.
【考查方式】考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念,以及直线与抛物线的位置关系, 只有一个公共点,则解方程组有唯一解.较好地考查了基本概念、基本方法和基本技能. 【难易程度】较难 【参考答案】D
【试题解析】双曲线122
22=-b
y a x 的一条渐近线为x a b y =,（步骤1）
由方程组21b y x a
y x ?
=???=+?
,消去y ,得2
10b x x a -+=有唯一解,2()40b a ∴?=-=,（步骤2） 2b a ∴=
,2c e a ====故选D.（步骤3） 10. 定义在R 上的函数()f x 满足2log (1),
0()(1)(2),0
x x f x f x f x x -?=?
--->?…，则(2009)f 的值为
( )
A.1-
B. 0
C.1
D. 2 【测量目标】归纳推理，函数的周期性，分段函数. 【考查方式】考查归纳推理以及函数的周期性和对数的运算. 【难易程度】较难 【参考答案】C
【试题解析】由已知得2(1)log 21f -==,(0)0f =,(1)(0)(1)1f f f =--=-,
(2)(1)(0)1f f f =-=-,(3)(2)(1)1(1)0f f f =-=---=,
(4)(3)(2)0(1)1f f f =-=--=,(5)(4)(3)1f f f =-=,(6)(5)(4)0f f f =-=,
∴函数()f x 的值以6为周期重复性出现.,(2009)(5)1f f ∴==,故选C.
11.在区间[11]-，上随机取一个数x ，πcos
2x 的值介于0到2
1
之间的概率为( ). A.31 B.2π C.21 D.3
2 【测量目标】三角函数的性质和几何概型.
【考查方式】考查了三角函数的值域和几何概型问题,由自变量x 的取值范围,得到函数值
πcos
2
x
的范围,再由长度型几何概型求得. 【难易程度】中等 【参考答案】C
【试题解析】在区间[11]-，
上随机取一个数x ,即[1,1]x ∈-时,πππ
222
x
-剟, ∴π0cos
12
x 剟
区间长度为1, 而πcos
2x 的值介于0到21之间的区间长度为21,所以概率为2
1
.故选C. 12. 设x ，y 满足约束条件360
200,0x y x y x y --??
-+???……厖，若目标函数z ax by =+>0>0a b （，）的最
大值为12，则
23
a b
+的最小值为 ( ). A.625 B.38 C. 3
11 D. 4
【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.
【考查方式】综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题.要求能准确地 画出不等式表示的平面区域,并且能够求得目标函数的最值,对于形如已知236a b +=,求
23
a b
+的最小值常用乘积进而用基本不等式解答. 【难易程度】较难
【参考答案】A
【试题解析】不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,（步骤1）
当直线 ax by z +=00a b >>（，）过直线20x y -+=与直线360x y --=的交点
4,6（）时,（步骤2）
目标函数z ax by =+00a b >>（，）取得最大12,即4612a b +=,即236a b +=,
（步骤3） 而
232323131325
()()26666
a b b a a b a b a b ++=+=+++=…,故选A.（步骤4）
第12题图
第∏卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13.不等式0212<---x x 的解集为 .
【测量目标】解绝对值不等式.
【考查方式】考查了含有多个绝对值号的不等式的解法,需要根据绝对值的定义分段去掉绝 对值号,最后把各种情况综合得出答案.本题涉及到分类讨论的数学思想. 【难易程度】中等
【参考答案】{|11}x x -<<
【试题解析】原不等式等价于不等式组①()22120x x x ???---
221(2)0x x x ?<
或③12
(21)(2)0
x x x ?
???--+-
112x <<,由③得1
12
x -<…,（步骤2） 综上得11x -<<,∴原不等式的解集为{|11}x x -<<.（步骤3）
14. 若函数()x
f x a x a =--(0a >且1)a ≠有两个零点，则实数a 的取值范围是 .
【测量目标】指数函数的图象与性质，函数零点的应用.
【考查方式】考查了指数函数的图象与直线的位置关系，隐含着对指数函数的性质的考查， 根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象解答. 【难易程度】较难 【参考答案】{}1a|a >
【试题解析】设函数(0,x y a a =>且1}a ≠和函数y x a =+,
则函数()(0x f x a x a a =-->且1)a ≠有两个零点,就是函数(0,x y a a =>且1}a ≠与函 数y x a =+有两个交点,（步骤1）
由图象可知当10< 当1>a 时,因为函数(1)x y a a =>的图象过点(0,1),而直线y x a =+所过的点()0,a 一定在 点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.（步骤3） 所以实数a 的取值范围是}1|{>a a .（步骤4） 15. 执行下边的程序框图，输出的T = . 第15题图 【测量方式】循环结构的程序框图. 【考查方式】主要考查了循环结构的程序框图，一般都可以反复的进行运算直到满足条件结 束，本题中涉及到三个变量，注意每个变量的运行结果和执行情况. 【难易程度】中等 【参考答案】30 【试题解析】按照程序框图依次执行为5,2,2;S n T ===（步骤1） 10,4,246;S n T ===+=（步骤2） 15,6,6612;S n T ===+=（步骤3） 20,8,12820;S n T ===+=（步骤4） 25,10,201030>S n T S ===+=，输出30.T =（步骤5） 16.已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[]0,2上是增函数, 若方程()()0f x m m =>在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,则 1234x x x x +++= . 【测量目标】函数单调性的判断，函数奇偶性的判断，函数的周期性. 【考查方式】综合考查了函数的奇偶性,单调性,对称性,周期性,以及由函数图象解答方程问 题,运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题. 【难易程度】较难 【参考答案】8- 【试题解析】 定义在R 上的奇函数，满足(4)()f x f x -=-, (4)()f x f x ∴-=-,（步骤1） ()f x ∴为奇函数,∴函数图象关于直线2x =对称且(0)0f =,（步骤2） 由(4)()f x f x -=-知(8)()f x f x -=,∴函数是以8为周期的周期函数,（步骤3） 又()f x 在区间[]0,2上是增函数,()f x ∴在区间[]2,0-上也是增函数.（步骤4） 如图所示,那么方程()()0f x m m =>在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x , （步骤5） 不妨设1234x x x x <<<，由对称性知1212x x +=-，344x x +=，（步骤6） 12341248x x x x ∴+++=-+=-.（步骤7） 第16题图 三、解答题：本大题共6分，共74分. 17.(本小题满分12分)设函数()2 π cos(2)sin 3 f x x x =++. (1) 求函数()f x 的最大值和最小正周期. (2) 设A ，B ，C 为ABC △的三个内角，若1cos 3B = ，1 ()34 C f =-，且C 为锐角，求sin A . 【测量目标】三角函数的最值、周期性，同角三角函数的基本关系，两角和与差的余弦，二 倍角. 【考查方式】主要考查三角函数中两角和与差的余弦函数公式、二倍角公式、三角函数的性 质以及三角形中的三角关系. 【难易程度】容易 【试题解析】（1） ()2ππ1cos 21cos 2cos sin πcos(2)si 2sin n 233223x x x f x x x x --+==++= ∴函数()f x 最小正周期π.（步骤1） （2）1 213234C C f ??==- ??? ,2sin 3C ∴=,（步骤2） C 为锐角,2π33C ∴ =,π 2C ∴=,（步骤3） 1 sin cos 3A B ∴==.（步骤4） 18.（本小题满分12分） 如图，在直四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 为等腰梯形， AB //CD ，4AB =, 2BC CD ==,12AA = ,1E E 、分别是棱1AD AA 、的中点. (1) 设F 是AB 棱的中点,证明：直线1EE //平面1FCC ； (2) 证明:求二面角1B FC C --的余弦值. 第18题图 【测量目标】空间直角坐标系，空间向量及其运算、线面平行的判定、面面垂直的判定. 【考查方式】主要考查直棱柱的概念、线面位置关系的判定和二面角的计算.考查空间想象 能力和推理运算能力,以及应用向量知识解答问题的能力. 【难易程度】较难 【试题解析】解法一：（1）在直四棱柱1111ABCD A BC D -中， 取11A B 的中点1F ，连接1111,,A D C F CF ，(步骤1) 4AB = ,2CD = ,且AB //CD ， CD ∴=// 11A F ，11A FCD 为平行四边形，1CF ∴//1A D ， （步骤2） 又1E E 、分别是棱1AD AA 、的中点,11EE A D ∴∥，所以11CF EE ∥，（步骤3） 又1EE ? 平面1FCC ，1CF ?平面1FCC ，∴直线1EE //平面1FCC .（步骤4） 第18题图1 （2）4AB = , 2BC CD ==, F 是棱AB 的中点, BF BC CF ∴==,BCF △为正三角形,（步骤5） 取CF 的中点O ,则OB CF ⊥,（步骤6） 又 直四棱柱ABCD -1111A B C D 中,1CC ⊥平面ABCD , 1CC BO ∴⊥,OB ∴⊥平面1CC F ,（步骤7） 过O 在平面1CC F 内作1OP C F ⊥,垂足为P ,连接BP , 则OPB ∠为二面角B -1FC -C 的一个平面角,（步骤8） 在BCF △为正三角形中 ,OB =在1Rt CC F △中,OPF △∽1CC F △, ∵ 11OP OF CC C F = ∴22OP == ,（步骤9） 在Rt OPF △中 ,2BP === cos 2 OP OPB BP ∠===∴二面角B -1FC -C . （步骤10） 解法二:（1）4AB = , 2BC CD ==,F 是棱AB 的中点, BF BC CF ∴==,BCF △为正三角形,（步骤1） ABCD 为等腰梯形,60BAC ABC ∴∠=∠= ,（步骤2） 取AF 的中点M ,连接DM ,则DM AB ⊥,DM CD ∴⊥,（步骤3） 以DM 为x 轴,DC 为y 轴,1DD 为z 轴建立空间直角坐标系, 则0,0,0D （） ,)1,0A - ,) F ,0,2,0C （） , 10,2,2C （） ,,012E ? ?-??? ,) 11,1E -,（步骤4） 11,12EE ?∴=-???? ,)1,0CF = - ,1(0,0,2)CC = () 12FC = .（步骤5） 设平面1CC F 的法向量为(,,)x y z =n ，则100CF CC ?=??=??n n 00y z -=∴=??，（步骤6） 取() =n , 则11 11002 EE =-?=n ,1EE ∴⊥n ,（步骤7） ∴直线1EE //平面1FCC .（步骤8） 第18题图2 （2）(0,2,0)FB = ,设平面1BFC 的法向量为1111(,,)x y z =n ,则11100FB FC ?=??=??n n ， 11110 20 y y z =??∴?++=??,（步骤9） 取(1=n , 则121002=?+=n n , ||2==n ,1||==n （步骤10） 111cos ,||∴??= == n n n n n n （步骤11） 由图可知二面角B -1FC -C 为锐角,∴二面角B -1FC -C .（步骤12） 19.(本小题满分12分) 在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A 处每投进一球得3分， 在B 处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同 学在A 处的命中率1q 为0.25，在B 处的命中率为2q ，该同学选择先在A 处投一球，以后 都在B 处投，用ξ表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为: (1)求2q 的值； (2)求随机变量ξ的数学期望E ξ; (3)试比较该同学选择都在B 处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率 的大小. 【测量目标】互斥事件与对立事件的概率，离散型随机变量的期望. 【考查方式】主要考查了互斥事件的概率，相互独立事件的概率和数学期望，以及运用概率知识解决问题的能力. 【难易程度】中等 【试题解析】（1）设该同学在A 处投中为事件A ,在B 处投中为事件B ,则事件A ,B 相互 独立,且()0.25P A =,()0.75P A =,()2 P B q = ,2()1P B q =-.（步骤1） 根据分布列知: 0ξ=时,22()()()()0.75(103).0P ABB P A P B P B q ==-=, 210.2q ∴-=，20.8q =.（步骤2） （2）当2ξ=时, 1()()()P P ABB ABB P ABB P ABB =+=+ ()()2222()()()()()()0.7512 1.510.24P A P B P B P A P B P B q q q q =+=-?=-=（步骤3） 当3ξ=时, 222()()()()0.25(1)0.01P ABB P A P B P B q P ====-,（步骤4） 当4ξ=时, 232()()()()0.750.48P P ABB P A P B P B q ====,（步骤5） 当5ξ=时, 4()()()P P ABB AB P ABB P AB =+=+ 222()()()()()0.25(1)0.250.24P A P B P B P A P B q q q =+=-+=（步骤6） ∴随机变量ξ的分布列为: 随机变量ξ的数学期望00.0320.2430.0140.4850.24 3.63E ξ=?+?+?+?+?=. （步骤8） （3）该同学选择都在B 处投篮得分超过3分的概率为()P BBB BBB BB ++ ()()()P BBB P BBB P BB =++222222(1)0.896q q q =-+=;（步骤9） 该同学选择（1）中方式投篮得分超过3分的概率为0.480.240.72+=.（步骤10） 由此看来该同学选择都在B 处投篮得分超过3分的概率大.(步骤11) 20.（本小题满分12分） 等比数列{n a }的前n 项和为n S ，已知对任意的n * ∈N ，点(,)n n S 在函数x y b r =+ (0b >且1b ≠，b ，r 均为常数)的图象上. （1）求r 的值； （2）当2b =时，记22(log 1)n n b a =+()n +∈N ， 证明：对任意的n +∈N ，不等式 12121 11···n n b b b b b b +++> . 【测量目标】等比数列的通项公式，数学归纳法. 【考查方式】主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知n S 求n a 的基本题型,并运用数学归纳法证明与自然数有关的命题,以及放缩法证明不等式. 【难易程度】较难 【试题解析】（1） 对任意的n +∈N , 点(,)n n S 在函数x y b r =+(0b >且1b ≠，b ，r 均为常数)的图象上. n n S b r ∴=+,（步骤1） 当1n =时，11a S b r ==+，当2n …时， 1111()(1)n n n n n n n n a S S b r b r b b b b ----=-=+-+=-=-，（步骤2） 又{}n a 为等比数列,1r ∴=-,公比为b ,1(1)n n a b b -∴=-.（步骤3） （2）当2b =时，1 1(1)2n n n a b b --=-=,1222(log 1)2(log 21)2n n n b a n -=+=+= 则 1212n n b n b n ++=,121211135721 ···2462n n b b b n b b b n ++++∴=?? .（步骤4） 下面用数学归纳法证明不等式 121211135721 ···2462n n b b b n b b b n ++++=??> . ① 当1n =时,左边= 32,右边 3 2 > ∴不等式成立. （步骤5） ② 假设当n k =时不等式成立, 即 121211135721 ···2462k k b b b k b b b k ++++=??> 成立.则当1n k =+时,左边= 11212111113572123 (246222) k k k k b b b b k k b b b b k k ++++++++=??? + … 2322k k +>===>+ ∴当1n k =+时,不等式也成立.（步骤6） 由①、②可得不等式恒成立.（步骤7） 21.（本小题满分12分） 两县城A 和B 相距20km ，现计划在两县城外以AB 为直径的半圆弧 AB 上选择一点C 建造 垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A 和城B 的总影响 度为城A 与城B 的影响度之和，记C 点到城A 的距离为 km x ，建在C 处的垃圾处理厂对 城A 和城B 的总影响度为y ,统计调查表明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城 A 的距离的平方成反比，比例系数为4；对城 B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方 成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在 AB 的中点时，对城A 和城B 的总影响度为 0.065. （1）将y 表示成x 的函数； （2）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧 AB 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂 对城A 和城B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城A 的距离；若不存在，说明理由. 【测量目标】求函数解析式，函数图象的应用，二次函数模型，基本不等式求最值. 【考查方式】主要考查了函数在实际问题中的应用，运用待定系数法求解函数解析式的能力 和运用换元法和基本不等式研究函数的单调性等问题. 【难易程度】较难 【试题解析】（1）如图,由题意知AC BC ⊥,22 400BC x =-, 22 4(020)400k y x x x = +<<-，（步骤1） 其中当x =时，0.065y =,9k ∴=，（步骤2） y ∴表示成x 的函数为22 49(020)400y x x x = +<<-.（步骤3） 第21题图 （2）设2m x =，2 400n x =-,则400m n +=,49y m n = +, 494914911()[13()](1312)40040040016 m n n m y m n m n m n +∴=+=+=+++=…，（步骤4） 当且仅当 49n m m n =，即240160n m =??=? 时取“=”.（步骤5） 下面证明函数49 400y m m = +-在()0,160上为减函数, 在()160,400上为增函数. 设120160m m <<<,则121122 4949()400400y y m m m m -= +-+-- 12124499 ( )()400400m m m m =-+---211212124()9()(400)(400) m m m m m m m m --=+ -- 21121249 ()[ ](400)(400)m m m m m m =----12122112124(400)(400)9() (400)(400) m m m m m m m m m m ---=---, （步骤6） 120160m m <<< ,124(400)(400)4240240m m ∴-->??，129 <9160160m m ??， 1212 12124(400)(400)90(400)(400) m m m m m m m m ---∴ >--, （步骤7） 1212 2112124(400)(400)9() 0(400)(400) m m m m m m m m m m ---∴->--，即12y y >， 函数49400y m m = +-在()0,160上为减函数.（步骤8） 同理,函数49 400y m m =+-在()160,400上为增函数,设12160400m m <<<,则 1211224949 ()400400y y m m m m -= +-+--12122112124(400)(400)9()(400)(400) m m m m m m m m m m ---=---, （步骤9） 12160400m m <<< ,124(400)(400)4240240m m ∴-- 12 9 9160160m m >??，1212 12124(400)(400)90(400)(400) m m m m m m m m ---∴ <--,（步骤10） 1212 2112124(400)(400)9() 0(400)(400) m m m m m m m m m m ---∴-<--，即12y y <， 函数49400y m m = +-在()160,400上为增函数.（步骤11） ∴当160m = ，即x =时取“=”,函数y 有最小值,（步骤12） 所以弧 AB 上存在一点， 当x =时使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度最小.（步骤13） 22.（本小题满分14分） 设椭圆E : 22 221x y a b +=,0a b >（） 过(2M ，) N 两点，O 为坐标原点， （I ）求椭圆E 的方程； （II ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ,B , 且OA OB ⊥ ？若存在，写出该圆的方程，并求AB 的取值范围，若不存在说明理由. 【测量目标】椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，直线与圆的位置关系，圆锥曲线中的探索性问题. 【考查方式】主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆的位置关系，直线与圆的位置 关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系 数关系. 【难易程度】较难 【试题解析】（Ⅰ） 椭圆E : 22 221x y a b +=,0a b >（） 过(2M ，) N 两点, 2222421611a b a b +=+??∴?=????，解得2211 8114a b ?=????=??，（步骤1） 2284a b ?=∴?=? ，椭圆E 的方程为 22184x y +=.（步骤2） （Ⅱ）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ,B , 且OA OB ⊥ ,设该圆的切线方程为y kx m =+，（步骤3） 解方程组2218 4x y y kx m +==+?? ???，得222()8x kx m ++=, 即222(12)4280k x kmx m +++-=,（步骤4） 则?=222222164(12)(28)8(84)0k m k m k m -+-=-+>,即2 2 840k m -+>，（步骤5） 122 2 12241228 12km x x k m x x k ? +=-??+?-?=?+? ,（步骤6） 2222222 2 212121212222 (28)48()()()121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k --=++=+++=-+= +++（步骤7） 要使OA OB ⊥ ,需使12120x x y y +=,即222 22 28801212m m k k k --+=++,（步骤8） 2 2 3880m k ∴--=,22 38 08 m k -∴=…，（步骤9） 又2 2 840k m -+> ,22238 m m ?>∴??…,2 83m ∴…, 即m 或m …,（步骤10） 直线y kx m =+为圆心在原点的圆的一条切线,∴ 圆的半径为r = ,（步骤11） 2 22 22 8381318 m m r m k == =-++ ,r = ,所求的圆为22 83x y +=,（步骤12） 此时圆的切线y kx m =+ 都满足3m … 或3m -…,（步骤13） 而当切线的斜率不存在时切线为x =（步骤14） 与椭圆22184x y += 的两个交点为 或(，满足OA OB ⊥ , （步骤15） 综上, 存在圆心在原点的圆22 8 3 x y += ，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ,且OA OB ⊥ .（步骤16） 2010年普通高等学校招生全国统一考试(新课标全国卷) 理科数学试题 本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分． 第I 卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 (1)已知集合{||2}A x R x =∈≤ },{| 4}B x Z =∈≤,则A B ?= (A)(0,2) (B)[0,2] (C){0,2] (D){0,1,2} (2) 已知复数z = ，z 是z 的共轭复数，则z z ?= (A) 14 (B)1 2 (C) 1 (D)2 (3)曲线2 x y x =+在点(1,1)--处的切线方程为 (A)21y x =+ (B)21y x =- (C) 23y x =-- (D)22y x =-- (4)如图，质点P 在半径为2 的圆周上逆时针运动，其初始位置为 0P ，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为 A B C D (5)已知命题 1p ：函数22x x y -=-在R 为增函数， 2p ：函数22x x y -=+在R 为减函数， 则在命题1q ：12p p ∨，2q ：12p p ∧，3q ：()12p p ?∨和4q ：()12p p ∧?中，真命题是 （A ）1q ，3q （B ）2q ，3q （C ）1q ，4 q （D ）2q ，4q (6)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为 (A)100 （B ）200 (C)300 （D ）400 (7)如果执行右面的框图，输入5N =，则输出的数等于 (A)54 （B ）45 (C)65 （D ）56 (8)设偶函数()f x 满足3()8(0)f x x x =-≥， 则{|(2)0}x f x ->= (A) {|24}x x x <->或 (B) {|04}x x x <>或 (C) {|06}x x x <>或 (D) {|22}x x x <->或 (9)若4 cos 5 α=- ，α是第三象限的角，则1tan 21tan 2 αα +=- (A) 12- (B) 12 (C) 2 (D) 2- (10)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 (A) 2 a π (B) 273 a π (C) 2 113 a π (D) 25a π (11)已知函数|lg |,010,()16,10.2 x x f x x x <≤?? =?-+>??若,,a b c 互不相等，且()()(),f a f b f c ==则abc 的取值范围是 (A) (1,10) (B) (5,6) (C) (10,12) (D) (20,24) (12)已知双曲线E 的中心为原点，(3,0)P 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两 点，且AB 的中点为(12,15)N --,则E 的方程式为 (A) 22136x y -= (B) 22 145x y -= (C) 22163x y -= (D) 22 154 x y -= 2007年高考数学山东卷（理科）详细解析 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，选择符合题目要求的选项。 1 若cos sin z i θθ=+（i 为虚数单位），则21z =-的θ值可能是 （A ） 6π （B ） 4π （C ）3π （D ） 2 π 【答案】:D 【分析】：把2 π 代入验证即得。 2 已知集合{}1,1M =-，1124,2x N x x Z +?? =<<∈???? ，则M N ?= （A ）{}1,1- （B ） {}1- （C ）{}0 （D ） {}1,0- 【答案】:B 【分析】：求{}1124,1,02x N x x Z +?? =<<∈=-???? 。 3下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是 （A ）(1),(2) （B ） (1),(3) （C ）(1),(4) （D ） (2),(4) 【答案】:D 【分析】：从选项看只要判断正方体的三视图都相同就可以选出正确答案。 4 设11,1,,32 a ? ?∈-??? ? ，则使函数y x α =的定义域为R 且为奇函数的所有α值为 （A ）1,3 （B ） 1,1- （C ）1,3- （D ） 1,1,3- 【答案】:A 【分析】：观察四种幂函数的图象并结合该函数的性质确定选项。 5 函数sin(2)cos(2)63 y x x π π =+ ++的最小正周期和最大值分别为 （A ）,1π （B ） π （C ）2,1π （D ） 2π【答案】:A 【分析】：化成sin()y A x ω?=+的形式进行判断即cos 2y x =。 6 给出下列三个等式：()()()f xy f x f y =+，()()()f x y f x f y +=， ()() ()1()() f x f y f x y f x f y ++= -。下列函数中不满足其中任何一个等式的是 绝密★启用并使用完毕前 2010年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 文 科 数 学 本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共4页。满分150分。考试用时120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县 区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。 2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3．第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的 位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。 4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 参考公式： 锥体的体积公式：Sh V 3 1 = 。其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。 如果事伯A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）； 如果事件A 、B 独立，那么)()()(B P A P AB P ?= 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．已知全集R =U ，集合{ } 2 40M x x =-≤ ，则U M =e （A ）{} 22x x -<< （B ）{} 22x x -≤≤ （C ）{}22x x x <->或 （D ） {} 22x x x ≤-≥或 （2） 已知2a i b i i +=+(,)a b R ∈，其中i 为虚数单位，则a b += （A ）-1 （B ）1 （C ）2 （D ）3 （3） )13(log )(2+=x x f 的值域为 （A ）(0,)+∞ （B ）[)0,+∞ （C ）(1,)+∞ （D ）[)1,+∞ （4）在空间，下列命题正确的是 填空题（共15题，每题1分） 1．楼板层通常由以下三部分组成（Ｂ）。 A、面层、楼板、地坪 B、面层、楼板、顶棚 C、支撑、楼板、顶棚 D、垫层、梁、楼板 2．当预制板在楼层布置出现较大缝隙，板缝宽度≤120mm时，可采用（Ｄ）的处理方法。 A、用水泥砂浆填缝 B、灌注细石混凝土填缝 C、重新选择板的类型 D、沿墙挑砖或挑梁填缝 3．踢脚板的高度一般为（Ｂ）mm。 A、80~120 B、120~150 C、150~180 D、180~200 4．防水混凝土的设计抗渗等级是根据（Ｄ）确定的。 A、防水混凝土的壁厚 B、混凝土的强度等级 C、工程埋置深度 D、最大水头与混凝土壁厚的比值 5．砖基础采用等高式大放脚时，一般每两皮砖挑出（ B ）砌筑。 A、1皮砖 B、3/4皮砖 C、1/2皮砖 D、1/4皮砖 6．门窗洞口与门窗实际尺寸之间的预留缝隙大小与（Ｂ）无关。 A、门窗本身幅面大小 B、外墙抹灰或贴面材料种类 C、门窗有无假框 D、门窗种类（木门窗、钢门窗或铝合金门窗）7．下列关于散水的构造做法表述中，（Ｃ）是不正确的。 A、在素土夯实上做60~l00mm厚混凝土，其上再做5％的水泥砂浆抹面 B、散水宽度一般为600~1000mm C、散水与墙体之间应整体连接，防止开裂 D、散水宽度应比采用自由落水的屋顶檐口多出200mm左右 8.下列哪种砂浆既有较高的强度又有较好的和易性（Ｃ） A. 水泥砂浆 B. 石灰砂浆 C. 混合砂浆 D. 粘土砂浆 9．屋顶的设计应满足（D）、结构和建筑艺术三方面的要求。 A、经济 B、材料 C、功能 D、安全 10．预制钢筋混凝土楼板间留有缝隙的原因是（Ｂ）。 A、有利于预制板的制作 B、板宽规格的限制，实际尺寸小于标志尺寸 C、有利于加强板的强度 D、有利于房屋整体性的提高 11．下列建筑屋面中，（Ｄ）应采用有组织的排水形式。 A、高度较低的简单建筑 B、积灰多的屋面 C、有腐蚀介质的屋面 D、降雨量较大地区的屋面 12．（Ｄ）开启时不占室内空间，但擦窗及维修不便；（Ｄ）擦窗安全方便，但影响家具布置和使用。 A、内开窗、固定窗 B、内开窗、外开窗 C、立转窗、外开窗 D、外开窗、内开窗 13．防滑条应突出踏步面（C）。 A、1~2mm B、2~3mm C、3~5mm D、5mm 精心整理2010年山东省高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5分）（2010?山东）已知全集U=R，集合M={x||x﹣1|≤2}，则C M=（） U A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|﹣1≤x≤3}C．{x|x＜﹣1，或x＞3} D．{x|x≤﹣1，或x≥3} 【考点】补集及其运算． 【专题】集合． 【分析】由题意全集U=R，集合M={x||x﹣1|≤2}，然后根据交集的定义和运算法则进行计算． ∴C U 故选C． 2．（5，其中 A．﹣ 故选B． 3．（5 A B C D 平行于同一直线的两个平面平行，两个平面可能相交，B错误． 垂直于同一平面的两个平面平行，可能相交，C错误． 故选D． 【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质，属基础题．4．（5分）（2010?山东）设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则f（﹣1）=（） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3 【考点】奇函数． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】首先由奇函数性质f（0）=0求出f（x）的解析式，然后利用定义f（﹣x）=﹣f（x）求f（﹣1）的值． 【解答】解：因为f（x）为定义在R上的奇函数， 所以f（0）=20+2×0+b=0， 解得b=﹣1， 所以当x≥0时，f（x）=2x+2x﹣1， 又因为f（x）为定义在R上的奇函数， 所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（21+2×1﹣1）=﹣3， 故选A． 【点评】本题考查奇函数的定义f（﹣x）=﹣f（x）与基本性质f（0）=0（函数有意义时）．5．（5分）（2010?山东）已知随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2），若P（ξ＞2）=0.023，则P A． 而P 则P 故P 故选：C 6．（5 1 A． 可． 解：由题意知（ 故选：D 数、方差公式是解答好本题的关键． 7．（5分）（2010?山东）由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为（） A．B．C．D． 【考点】定积分在求面积中的应用． 【专题】函数的性质及应用． 1（x2﹣x3）【分析】要求曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积，根据定积分的几何意义，只要求∫ dx即可． 【解答】解：由题意得，两曲线的交点坐标是（1，1），（0，0）故积分区间是[0，1] 1（x2﹣x3）dx═， 所求封闭图形的面积为∫ 2010年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 文 科 数 学 参考公式： 锥体的体积公式：Sh V 3 1= 。其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。 如果事伯A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）； 如果事件A 、B 独立，那么)()()(B P A P AB P ?= 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．已知全集R =U ，集合{ } 2 40M x x =-≤ ，则U M =e （A ）{}22x x -<< （B ）{}22x x -≤≤ （C ）{}22x x x <->或 （D ） {}22x x x ≤-≥或 （2） 已知2a i b i i +=+(,)a b R ∈，其中i 为虚数单位，则a b += （A ）-1 （B ）1 （C ）2 （D ）3 （3） ) 13(log )(2+=x x f 的值域为 （A ）(0,)+∞ （B ）[)0,+∞ （C ）(1,)+∞ （D ）[)1,+∞ （4）在空间，下列命题正确的是 （A ）平行直线的平行投影重合 （B ）平行于同一直线的两个平面 （C ）垂直于同一平面的两个平面平行 （D ）垂直于同一平面的两个平面平行 （5）设()f x 为定义在R 上的函数。当0x ≥时，()22()x f x x b b =++为常数，则(1)f - = （A ） -3 （B ） -1 （C ） 1 （D ） 3 （6）在某项体育比赛中一位同学被评委所打出的分数如下： 90 89 90 95 93 94 93 去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均分值为和方差分别为 （A ） 92，2 （B ） 92 ，2．8 （C ） 93，2 （D ）93，2．8 （7）设{}n a 是首项大于零的等比数列，则“12a a p ”是“数列{}n a 是递增数列”的 第1/10页 2010年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（必修+选修II ） 本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。第I 卷1至2页。第II 卷3至4页。考试结束后，将本草纲目试卷和答题卡一并交回。 第I 卷 注意事项： 1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无交通工效．．．．．．．．．．．．。 3.第I 卷共12小题，第小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 )(()()P A B P A P B +=+ 24S R π= 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 )( ()()P A B P A P B ?=? 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34 3 v R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生K 次的概率 其中R 表示球的半径 ())((10,1,2,,C ηκ ηηρκρ ρκη-A A =-=??? 一． 选择题 （1）复数3223i i +-= （A ）．i （B ）.-i （C ）.12—13i （D ）.12+13i （2） 记cos （-80°）=k ，那么tan100°= （A ） （B ）. — （C.） （D ）. 第2/10页 （3）若变量x ，y 满足约束条件则z=x —2y 的最大值为 （A ）．4 （B ）3 （C ）2 （D ）1 (4) 已知各项均为正数比数列{a n }中，a 1a 2a 3=5，a 7a 8a 9=10，则a 4a 5a 6= (B) 7 (C) 6 (5) 3 5的展开式中x 的系数是 (A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4 (6) 某校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门。若要求两类课程中各至少一门，则不同的选法共有 （A ）30种 （B ）35种 （C ）42种 （D ）48种 （7）正方体1111ABCD A BC D -中，1BB 与平面1ACD 所成角的余弦值为 （A ） 3 （B ）33 （C ）23 （D ）6 3 （8）设1 2 3102,12,5 a g b n c -===则 （A ）a b c << （B ）b c a << （C ）c a b << （D ）c b a << （9）已知1F 、2F 为双曲线2 2 :1C χγ-=的左、右焦点，点在P 在C 上，12F PF ∠=60°， 则P 到χ轴的距离为 （A ） 2 （B ）6 2 （C 3 （D 6（10）已知函数()|1|f g χχ=，若0a b <<，且()()f a f b =，则2a b +的取值范围是 （A ）)+∞ （B ）[22,)+∞ （C ）(3,)+∞ （D ）[3,)+∞ （11）已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA 〃PB 的最小值为 （A ） （B ） （C ） （D ） （12）已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体 积的最大值 绝密★启用前 试卷类型：B 2010年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷) 理科数学解析版 注意事项： 1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上．并将准考证 号条形码粘贴在答题卡上的指定位置，用2B 铅笔将答题卡上试卷类型B 后的方框涂黑。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。咎在试题卷、草稿纸上无效。 3填空题和解答题用0 5毫米黑色墨水箍字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区 域内。答在试题卷、草稿纸上无效。 4考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：本大题共l0小题．每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是满足题目要求的. （1） 已知全集U=R ，集合M={x||x-1|≤2},则U C M= （A ）{x|-1 绝密★启用前 2010年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(必修+选修II ) 本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第I 卷1至2页。第Ⅱ卷3 至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I 卷 注意事项： 1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．． 。 3．第I 卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+ 24S R π= 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 334 V R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 ()(1)(0,1,2,)k k n k n n P k C p p k n -=-=… 一、选择题 (1)复数3223i i +=- (A)i (B)i - (C)12-13i (D) 12+13i (2)记cos(80)k -?=,那么tan100?= A.k B. -k (3)若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤??+≥??--≤? 则2z x y =-的最大值为 (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 2010年普通高等学校招生全国统一考试(全国Ⅰ卷) 理科数学(必修+选修II) 本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第I 卷1至2页。第Ⅱ卷3 至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I 卷 注意事项： 1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．． 。 3．第I 卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+ 24S R π= 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 334 V R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 ()(1)(0,1,2,)k k n k n n P k C p p k n -=-=… 一、选择题 (1)复数3223i i +=- (A)i (B)i - (C)12-13i (D) 12+13i (2)记cos(80)k -?=,那么tan100?= (3)若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤??+≥??--≤? 则2z x y =-的最大值为 (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 （4）已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则 456a a a = (A) (5)35(1(1+的展开式中x 的系数是 (A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4 (6)某校开设A 类选修课3门，B 类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 (A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种 （7）正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为 A 3 B 3 C 23 D 3 （8）设a=3log 2,b=In2,c=1 25-,则 A a 2020年普通高等学校招生全国统一考试 新高考全国一卷（山东卷）数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合{|13}A x x =≤≤，{|24}B x x =<<，则A B = A ．{|23} x x <≤B ．{|23}x x ≤≤C ．{|14} x x ≤ 2011年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 理 科 数 学 参考公式： 柱体的体积公式：v sh =，其中s 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高. 圆柱的侧面积公式：s cl =，其中c 是圆柱的底面周长，l 是圆柱的母线长. 球的体积公式V=34 3 V R π= , 其中R 是球的半径. 球的表面积公式：2 4S R π=,其中R 是球的半径. 用最小二乘法求线性回归方程系数公式1 2 21 ???,n i i i n i i x y nx y b a y bx x nx ==-?==--∑∑ . 如果事件A B 、互斥，那么()()()P A B P A P B +=+. 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：本大题共l2小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 （1）设集合{}{} 260,13M x x x N x x =+-<=≤≤,则M N = （A ）[1,2) （B ）[1,2] （C ）( 2,3] （D ）[2,3] （2）复数22i z i -= +(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （3）若点(),9a 在函数3x y =的图象上，则tan 6 a π 的值为 （A ）0 （B ） 3 3 （C ）1 （D ）3 (4)不等式5310x x -++≥的解集是 （A ）[-5,7] (B)[-4,6] (C)(-∞,-5]∪[7，+∞) （D ）(-∞，-4]∪[6,+∞) （5）对于函数(),y f x x R =∈，“( )y f x =的图像关于y 轴对称”是“()y f x =是奇函数”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （6）若函数()sin f x x ω= (0ω>)在区间0, 3π??????上单调递增，在区间,32ππ?? ???? 上单调递减，则ω= （A ）3 （B ）2 （C ） 32 （D ）2 3 2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅱ） 数学 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。考试结束后，将本试卷降答题卡一同交回，满分150分，考试用时120分钟 注意事项： 1． 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号答题卡上填写清楚，并认真找准条形码上的准考证号，姓名、考、谁座位号填写在规定的位置贴好条形码。 2． 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷的答案无效。 第Ⅰ卷 （选择题 共50分） 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在，每小题给出的四个选项中， 参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 P （A+B ）=P(A)+P(B) S=4πR 2 如果事件A 、B 相互独立，那么 P （A-B ）=P(A)-P(B) 一、选择题 （A ）{}1,4 （B ）{}1,5 （C ）{}2,4 （D ）{}2,5 （2）不等式32 x x -+＜0的解集为 （A ）{}23x x -<< （B ）{}2x x <- （C ）{}23x x x <->或 （D ）{}3x x > （3）已知2sin 3 α=，则cos(2)x α-= （A ）B ）19-（C ）19 （D （4）函数y=1+(x-1)(x>1)的反函数是 （A ）y=1x e +-1(x>0) (B) ）y=1x e -+1(x>0) (C) y=1x e +-1(x ∈R) (D ）y=1x e -+1 (x ∈R) 2010年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标） 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5分）已知集合A={x∈R||x|≤2}}，，则A∩B=（）A．（0，2） B．[0，2]C．{0，2}D．{0，1，2} 2．（5分）已知复数，是z的共轭复数，则=（）A．B．C．1 D．2 3．（5分）曲线y=在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为（） A．y=2x+1 B．y=2x﹣1 C．y=﹣2x﹣3 D．y=﹣2x﹣2 4．（5分）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，﹣），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（） A．B．C． D． 5．（5分）已知命题p1：函数y=2x﹣2﹣x在R为增函数，p2：函数y=2x+2﹣x在R 为减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：（￢p1）∨p2和q4：p1∧（￢p2）中，真命题是（） A．q1，q3B．q2，q3C．q1，q4D．q2，q4 6．（5分）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为（）A．100 B．200 C．300 D．400 7．（5分）如果执行右面的框图，输入N=5，则输出的数等于（） A．B．C．D． 8．（5分）设偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），则{x|f（x﹣2）＞0}=（）A．{x|x＜﹣2或x＞4}B．{x|x＜0或x＞4}C．{x|x＜0或x＞6}D．{x|x ＜﹣2或x＞2} 9．（5分）若，α是第三象限的角，则=（） A．B．C．2 D．﹣2 10．（5分）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（） A．πa2B．C．D．5πa2 11．（5分）已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a） 2010年山东高考数学理科 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 （1）已知全集U=R ，集合}2|1||{≤-=x x M ，则=M C U （A ）}31|{<<-x x （B ）}31|{≤≤-x x （C ）}31|{>- 2010年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷） 第Ⅰ卷(选择题 共60分) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合A ＝{x ||x |≤2，x ∈R}，B ＝{x |x ≤4，x ∈Z}，则A ∩B ＝( ) A ．(0,2) B ．[0,2] C ．{0,2} D ．{0,1,2} 2．已知复数z ＝3＋i (1－3i )2，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝( ) A.14 B.12 C ．1 D ．2 3．曲线y ＝ x x ＋2 在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝2x －1 C ．y ＝－2x －3 D ．y ＝－2x －2 4．如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2，－2)，角速度为1，那么点P 到x 轴的距离d 关于时间t 的函数图象大致为( ) 5．已知命题p 1：函数y ＝2x －2－x 在R 为增函数． p 2：函数y ＝2x ＋2 －x 在R 为减函数． 则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(綈p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(綈p 2)中，真命题是( ) A ．q 1，q 3 B ．q 2，q 3 C ．q 1，q 4 D ．q 2，q 4 6．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒 需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( ) A ．100 B ．200 C ．300 D ．400 7．如果执行如图的框图，输入N ＝5，则输出的数等于( ) A.54 B.45 C.65 D.56 8．设偶函数f (x )满足f (x )＝x 3－8(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}＝( ) A ．{x |x <－2或x >4} B ．{x |x <0或x >4} C ．{x |x <0或x >6} D ．{x |x <－2或x >2} 9．若cos α＝－4 5 ，α是第三象限的角，则1＋tan α21－tan α2＝( ) A ．－12 B.12 C ．2 D ．－2 10．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( ) A ．πa 2 B.7 3 πa 2 C. 113 πa 2 D ．5πa 2 11．已知函数f (x )＝???? ? |lg x |，0 高考交流QQ 群：25854874 55506418 113865968 2010年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 文科数学 第1卷（共60分） 一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 （1） 已知全集U=R ，集合M={x/x2-4≤0}，则C u M= （Ａ）{x/-2 2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷II）（数学 理） 【教师简评】 按照“保持整体稳定，推动改革创新，立足基础考查，突出能力立意”命题指导思想，本套试卷的总体印象是:题目以常规题为主，难度较前两年困难，得高分需要扎扎实实的数学功底. 1.纵观试题，小题起步较低，难度缓缓上升，除了选择题11、12、16题有一定的难度之外，其他题目难度都比较平和. 2.解答题中三角函数题较去年容易，立体几何难度和去年持平，数列题的难度较去年有所提升，由去年常见的递推数列题型转变为今年的数列求极限、数列不等式的证明，不易拿满分，概率题由去年背景是“人员调配”问题，转变为今年的与物理相关的电路问题，更体现了学科之间的联系.两道压轴题以解析几何和导数知识命制，和去年比较更有利于分步得分. 3.要求考生有比较强的计算能力，例如立体几何问题，题目不难，但需要一定的计算技巧和能力.不管题目难度如何变化，“夯实双基(基础知识、基本方法)”，对大多数考生来说，是以不变应万变的硬道理. （1）复数 （A）（B）（C）（D） 【答案】A 【命题意图】本试题主要考查复数的运算. 【解析】. （2）.函数的反函数是 （A）（B） （C）（D） 【答案】D 【命题意图】本试题主要考察反函数的求法及指数函数与对数函数的互化。 【解析】由原函数解得，即，又； ∴在反函数中，故选D. （3）.若变量满足约束条件则的最大值为 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 【答案】C 【命题意图】本试题主要考查简单的线性规划问题. 【解析】可行域是由构成的三角形，可知目标函数过C时最大，最大值为3，故选C. （4）.如果等差数列中，，那么 （A）14 （B）21 （C）28 （D）35 【答案】C 绝密★考试结束前 2010年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（理科） 本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共5页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至5页。满分150分，考试时间120分钟。 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。 选择题部分（共50分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题 纸规定的位置上。 2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用像皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。 参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么 柱体的体积公式 P (A +B )=P (A )+P (B ) Sh V = 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 P (A ·B )=P (A )·P (B ) 锥体的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n Sh V 3 1 = 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 k n k k n n P P C k P --=)1()(),,2,1,0(n k Λ= 球的表面积公式 台体的体积公式 2 4R S π= )(3 1 2211S S S S h V ++= 球的体积公式 其中S 1，S 2分别表示台体的上、下底面积 3 3 4R V π= h 表示台体的高 其中R 表示球的半径 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． （1）设}4|{},4|{2 <=<=x x Q x x P （A ）Q P ? （B ）P Q ? （C ）Q C P R ? （D ）P C Q R ? （2）某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为 （A ）?4>k （B ）?5>k （C ）?6>k （D ）?7>k （3）设n S 为等比数列}{n a 的前n 项和，0852=+a a ，则=2 5 S S （A ）11 （B ）5 （C ）-8 （D ）-11 （4）设2 0π< 2010年高考新课标全国卷理科数学试题(附答案)
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