北京工商大学 《系统辨识》课程上机实验报告（2014年秋季学期） 专业名称：控制工程 上机题目：极大似然法进行参数估计专业班级： 2015年1 月
一 实验目的 通过实验掌握极大似然法在系统参数辨识中的原理和应用。 二 实验原理 1 极大似然原理 设有离散随机过程}{k V 与未知参数θ有关，假定已知概率分布密度)(θk V f 。如果我们得到n 个独立的观测值,21,V V …n V ,，则可得分布密度)(1θV f ，)(2θV f ，…,)(θn V f 。要求根据这些观测值来估计未知参数θ，估计的准则是观测值{}{k V }的出现概率为最大。为此，定义一个似然函数 ) ()()(),,,(2121θθθθn n V f V f V f V V V L = （1.1） 上式的右边是n 个概率密度函数的连乘，似然函数L 是θ的函数。如果L 达到极大值，}{k V 的出现概率为最大。因此，极大似然法的实质就是求出使L 达到极大值的θ的估值∧ θ。为了便于求∧ θ，对式（1.1）等号两边取对数，则把连乘变成连加，即 ∑== n i i V f L 1 )(ln ln θ （1.2） 由于对数函数是单调递增函数，当L 取极大值时，lnL 也同时取极大值。求式（1.2）对 θ的偏导数，令偏导数为0，可得 0ln =??θL （1.3） 解上式可得θ的极大似然估计ML ∧ θ。 2 系统参数的极大似然估计 Newton-Raphson 法实际上就是一种递推算法，可以用于在线辨识。不过它是一种依每L 次观测数据递推一次的算法，现在我们讨论的是每观测一次数据就递推计算一次参数估计值得算法。本质上说，它只是一种近似的极大似然法。 设系统的差分方程为
上海对外经贸大学 Stata 实验报告 二〇一三年十二月
实验一 一、实验目的 1、研究问题：根据历史数据识别可能拖欠贷款的客户特征，进而预测潜在信贷客户拖欠贷款的可能性 数据文件及变量：bankloan.sav ?因变量：default(0,1) (1代表拖欠贷款,0代表正常) ?自变量：ed(文化程度)；employ(现单位工作年数)； debtinc(负债比率)；address(现居住地居住年数); creddebt(信用卡负债数)… ?Age、employ、address、income、debtinc、creddebt、othdebt均为连续变量?教育水平分别用1、2、3、4、5表示高中以下、高中、大学、大专、研究生 2、统计分析问题：建立一个预测因变量取1概率的logistic回归模型，并对因变量的缺失值进行预测。 二、实验步骤 1、准备数据 由于“default”变量可能存在缺失值，所以要新建一个变量"validate"，当default=0不为缺失值时，将validate=1，然后通过validate来判断将不缺失的值纳入回归分析：GET FILE='C:\Users\Administrator\Desktop\SPSS\bankloan.sav'. DATASET NAME 数据集1 WINDOW=FRONT. IF (missing(default)=0) Validata=1. EXECUTE. 2、统计分析 进行分析>>回归>>二元Logistic操作，进入如下对话框：
点击右上角“分类”按钮，进入如下的对话框： 该对话框用来设置自变量中的分类变量，左边的为刚才选入的协变量，必须将所有分类变量选入右边的“分类协变量框中”。本例中只有“Level of education [ed]”为分类变量，将它选入右边框中。点击“继续”按钮返回主界面。 回到主界面后点击“选项”按钮，进入对话框：
北京工商大学 《系统辨识》课程 上机实验报告 （2014年秋季学期） 专业名称：控制工程 上机题目：极大似然法进行参数估计 专业班级： 2015年1月 实验目的 通过实验掌握极大似然法在系统参数辨识中的原理和应用。
二实验原理 1极大似然原理 设有离散随机过程{V k }与未知参数二有关，假定已知概率分布密度 fMR 。如果我们 得到n 个独立的观测值 V 1 ,V 2,…，V n ，则可得分布密度 , f (V 20)，…,f(V n 0)。 要求根据这些观测值来估计未知参数 二，估计的准则是观测值 {{V k } }的出现概率为最大。 为此，定义一个似然函数 LMM, f(Vn" 上式的右边是n 个概率密度函数的连乘， 似然函数L 是日的函数。如果L 达到极大值，{V k } 的出现概率为最大。 因此，极大似然法的实质就是求出使 L 达到极大值的二的估值二。为了 便于求d ,对式(1.1 )等号两边取对数，则把连乘变成连加，即 n 解上式可得二的极大似然估计"ML O 2系统参数的极大似然估计 Newton-Raphson 法实际上就是一种递推算法，可以用于在线辨识。不过它是一种依每 L 次观测数据 递推一次的算法，现在我们讨论的是每观测一次数据就递推计算一次参数估计值 得算法。本质上说，它只是一种近似的极大似然法。 设系统的差分方程为 a(z') y(k) =b(z°)u(k) + ：(k) (2.1 ) 式中 a(z') =1 a 1z^ …a n z 」 b(z')二 b ° …dz" 因为(k)是相关随机向量，故(2.1 )可写成 a(z')y(k) =b(zju(k) +c(z')g(k) (2.2 ) 式中 c(z') ；(k)二(k) (2.3 ) c(z\ =1 C|Z ，亠 亠 (2.4 ) ；(k)是均值为 0的高斯分布白噪声序列。多项式 a(z=) , b(z*)和c(z^)中的系数 a i,..,a,b o ,…b n,G,…C n 和序列｛^(k)｝的均方差o ■ ln L =瓦 ln f (V i 日) 由于对数函数是单调递增函数，当 对二的偏导数，令偏导数为 0，可得 ：： ln L cO i 4 L 取极大值时，lnL 也同时取极大值。求式 (1.2 ) 1.2 ) =0 (1.3 )
第二章多元正态分布及参数的估计 在多元统计分析中,多元正态分布占有相当重要的地位.这是因为许多实际问题涉及到的随机向量服从正态分布或近似服从正态分布;当样本量很大时,许多统计量的极限分布往往和正态分布有关;此外,对多元正态分布,理论与实践都比较成熟,已有一整套行之有效的统计推断方法.基于这些理由,我们在介绍多元统计分析的种种具体方法之前，首先介绍多元正态分布的定义、性质及多元正态分布中参 数的估计问题. 目录 §2.1 随机向量 §2.2 多元正态分布的定义与基本性质 §2.3 条件分布和独立性 §2.4 多元正态分布的参数估计 §2.1 随机向量 本课程所讨论的是多变量总体.把p个随机变量放在一起得X=(X1,X2,…,Xp)′为一个p维随机向量,如果同时对p维总体进行一次观测,得一个样品为p维数据.常把n个样品排成一个n×p矩阵,称为样本资料阵.
?? ? ? ?? ??'''= ?????? ??=)()2()1(2 1 2222111211n np n n p p X X X x x x x x x x x x X def =(X 1,X 2,…,X p ) 其中 X(i)( i =1,…,n)是来自p 维总体的一个样品. 在多元统计分析中涉及到的都是随机向量,或是多个随机向量放在一起组成的随机矩阵. 本节有关随机向量的一些概念(联合分布,边缘分布,条件分布,独立性;X 的均值向量,X 的协差阵和相关阵,X 与Y 的协差阵)要求大家自已复习. 三﹑ 均值向量和协方差阵的性质 (1) 设X ,Y 为随机向量,A ,B 为常数阵,则 E(AX )=A·E(X )， E(AXB )=A·E(X )·B D(AX)=A·D(X)·A' COV(AX,BY)=A·COV(X,Y)·B' (2) 若X,Y 相互独立,则COV(X,Y)=O;反之不成立. 若COV(X,Y)=O,我们称X 与Y 不相关.故有: 两随机向量若相互独立,则必不相关;
第六章 参数估计 在实际问题中, 当所研究的总体分布类型已知, 但分布中含有一个或多个未知参数时, 如何根据样本来估计未知参数，这就是参数估计问题. 参数估计问题分为点估计问题与区间估计问题两类. 所谓点估计就是用某一个函数值作为总体未知参数的估计值；区间估计就是对于未知参数给出一个范围，并且在一定的可靠度下使这个范围包含未知参数. 例如, 灯泡的寿命X 是一个总体, 根据实际经验知道, X 服从),(2σμN , 但对每一批灯泡而言, 参数2,σμ是未知的,要写出具体的分布函数, 就必须确定出参数. 此类问题就属于参数估计问题. 参数估计问题的一般提法: 设有一个统计总体, 总体的分布函数为),(θx F , 其中θ为未知参数(θ可以是向量). 现从该总体中随机地抽样, 得一样本 n X X X ,,,21 , 再依据该样本对参数θ作出估计, 或估计参数θ的某已知函数).(θg 第一节 点估计问题概述 内容分布图示 ★ 引言 ★ 点估计的概念 ★ 例1 ★ 评价估计量的标准 ★ 无偏性 ★ 例2 ★ 例3 ★ 有效性 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 相合性 ★ 例7 ★ 例8 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题6-1 内容要点： 一、点估计的概念 设n X X X ,,,21 是取自总体X 的一个样本, n x x x ,,,21 是相应的一个样本值. θ是总体分布中的未知参数, 为估计未知参数θ, 需构造一个适当的统计量 ),,,,(?2 1 n X X X θ 然后用其观察值 ),,,(?21n x x x θ 来估计θ的值. 称),,,(?21n X X X θ为θ的估计量. 称),,,(?21n x x x θ为θ的估计值. 在不致混淆的情况下, 估计量与估计值统称为点估计,简称为估计, 并简记为θ?. 注: 估计量),,,(?21n X X X θ是一个随机变量, 是样本的函数，即是一个统计量, 对不同的样本值, θ的估计值θ?一般是不同的. 二、评价估计量的标准 从例1可见,参数点估计的概念相当宽松, 对同一参数,可用不同的方法来估计, 因而得到不同的估计量, 故有必要建立一些评价估计量好坏的标准. 估计量的评价一般有三条标准:
实验六参数估计与假设检验 一、实验目的： 学习利用spss对数据进行参数估计与假设检验（参数估计，单样本、独立样本、配对样本T 检验）。 二、实验内容： 某助眠药物临床实验征集了20位被试，试验后得数据表包含被试的性别、身高、体重、用药前睡眠时长及用药后睡眠时长。试就该数据估计性别对未使用药物时睡眠时长的影响、检验被试总体身高与165差距是否显著、对不同性别的被试的身高和体重变量进行独立样本T 检验、并检验药物是否对被试有用。 三、实验步骤： 参数估计 1、定义变量并输入数据 2、选择菜单“分析→描述统计→探索”弹出“探索”对话框，将对话框左侧的变量框中“用药前睡眠时长”添加到因变量列表，“性别”添加到自变量列表 3、点击“统计量”，弹出“探索：统计量”对话框，勾选描述性并设置均值置信区间为95%，单击“继续” 4、单击“确定”按钮，得到输出结果，对结果进行分析解释。 单样本T检验 1、定义变量并输入数据 2、选择菜单“分析→比较均值→单样本T检验”，弹出“单样本T检验”对话框，将对话框左侧的变量框中的“身高”添加到右侧的“检验变量”框中，将检验值设为165； 3、点击“选项”，弹出“选项”对话框，将置信区间百分比设为95%，点击“继续” 4、单击“确定”按钮，得到输出结果，对结果进行分析解释。 独立样本T检验 1、定义变量并输入数据 2、选择菜单“分析→比较均值→独立样本T检验”，弹出“独立样本T检验”对话框，在对话框左侧的变量列表中选变量“身高”“体重”进入检验变量框，选变量“性别”进入控制列表框 3、点击定义组，在组1（1）中填写1，组2(2)中填写2，点击继续， 4、点击“确定”按钮，得到输出结果。对结果进行分析解释。 配对样本T检验 1.打开一份可用数据。 2.选择分析→比较平均值→配对样本T检验，选择一对配对样本“用药前睡眠时长”和“用 药后睡眠时长”，将“用药前睡眠时长”拖至“variable1”，“用药后睡眠时长”拖至“variable2”，单击“选项”设置置信区间为95%，点击“确定”查看自定义结果。
参数的区间估计实验报告 姓名： 班级： 学号（后3位）： 2016年12 月06 日00:00至24：00提交到邮箱：longsheng63@https://www.doczj.com/doc/c99966540.html, 一．实验名称：参数的区间估计 二．实验性质：综合性实验 三．实验目的及要求： 1．了解【活动表】的编制方法； 2．掌握【单个正态总体均值Z 估计活动表】的使用方法． 3．掌握【单个正态总体均值t 估计活动表】的使用方法． 4．掌握【单个正态总体方差卡方估计活动表】的使用方法． 5．掌握【两个正态总体均值Z 估计活动表】的使用方法． 6．掌握【两个正态总体均值t 估计活动表】的使用方法． 7．掌握【两个正态总体方差卡方估计活动表】的使用方法． 8．掌握单个正态总体和两个正态总体参数的区间估计方法． 四．实验内容、实验操作关键步骤及实验主要结果 1．某厂生产的化纤强度2~(,0.85)X N μ，现抽取一个容量为25n =的样本，测定其强度，得样本均值 2.25x =，试求这批化纤平均强度的置信水平为0.95的置信区间． 实验操作关键步骤及实验主要结果 由于应选用样本函数 TINV 、SQRT 求μ的置信区间，所以，要选用【 单个正态总体均值t 估计活动表】，得到如下表的实验结果．因此，这批化纤平均强度的置信水平为0.95的置信区间为 （1.899137245，2.600862755） ． 单个正态总体均值t 估计活动表 置信水平 0.95 样本容量 25 样本均值 2.25 样本标准差 0.85
标准误差 0.17 t 分位数（单） 1.71088208 t 分位数（双) 2.063898562 单侧置信下限 1.959150046 单侧置信上限 2.540849954 区间估计 估计下限 1.899137245 估计上限 2.600862755 2．已知某种材料的抗压强度2~(,)X N μσ，现随机抽取10个试件进行抗压试验，测得数据如下：482，493，457，471，510，446，435，418，394，469． （1）求平均抗压强度μ的置信水平为0.95的置信区间． （2）求2 σ的置信水平为0.95的置信区间． 实验操作关键步骤及实验主要结果 （1）由于应选用样本函数 TINV 、SQRT 求μ的置信区间，所以，要选用【 单个正态总体均值t 估计活动表】，得到如下表的实验结果．因此，平均抗压强度μ的置信水平为0.95的置信区间为 （432.3068626，482.6931374） ． 单个正态总体均值t 估计活动表 抗压强度 抗压强度 482 置信水平 0.95 493 平均 457.5 样本容量 10 457 标准差 35.21757768 样本均值 457.5 471 方差 1240.27777 样本标准差 35.21757768 510 446 标准误差 11.13677591 435 t 分位数（单） 1.833112933 418 t 分位数（双) 2.262157163 394 469 单侧置信下限 437.085032 单侧置信上限 477.914968 区间估计 估计下限 432.3068626 估计上限 482.6931374
实验报告 课程计量经济学 二级学院经济与贸易学院 专业经济学类 班级经济一班 学生姓名石仁翠学号11102990121 指导教师章晓英 时间2013/5/25 重庆理工大学经济管理实验教学中心 实验题目利用软件建立模型并分析
实验日期 2013/5/25 实验地点重庆理工大学经济管理实验教学中心401、402 小组成员石仁翠（11102990121）张丽（11102990137） 章小芳（11102990139）梁婷（11102030214） 实验要求 1、步骤要详细： 不但要写出结果，还要有一定的分析，字数不得低于3000字。 2、模型的拟合优度要高。 3、小组成员自由组合，最多不超过4人。 实验内容 已知重庆市1978---2010年的人均GDP数据，请建立人均GDP的趋势模型， 要求用计量经济学软件（EVIEWS）完成下列工作： 1、建立模型（模型自选） 自变量用时间t；也允许自己分析并决定自变量，但要给出依据并列出原 始数据。 2、参数估计 3、模型检验（检验方法自选） 4、模型应用：预测将来（预测期为5年）
目录 1.模型说明及背景资料 (4) 2.模型设定及原始数据 (5) 3.参数估计 (6) 5.模型检验 (7) 5.1 拟合优度检验 5.2 t检验 5.3 F检验 5.4 自相关检验 5.5 经济意义检验 4.模型预测 (9) 6.结果解释 (10) 7.实验总结 (10)
实验过程 1.模型说明及背景资料 2004年我国消费率为53.6%，比2003年回落1.9个百分点，与1978年相比下降了8.5个百分点，是建国以来的最低水平。当前及今后一段时期内，消费偏低仍是我国经济生活中最为突出的问题之一。 一、消费构成及消费对经济增长的贡献度 按主体分，最终消费由居民消费和政府消费构成；按内容分，分为食品、衣着、居住、医疗保健、交通通信、教育文化娱乐服务等。 消费对GDP增长贡献主要看三个指标。一是消费率，又称最终消费率(最终消费占国内生产总值的比重，一般按现行价格计算)，反映了生产活动的最终成果用于最终消费的比重。通过观察消费与生产之间的关系，可以研究经济的增长类型和运行质量，揭示其发展规律。二是消费拉动率(消费增量占GDP增量百分比)，又称消费对GDP增长的拉动率，通常指在经济增长率中消费需求拉动所占的份额，也称消费对GDP增长的贡献率。三是消费贡献度(消费拉动率×GDP增长率)，代表GDP增速中消费拉动的点数。 二、我国消费拉动GDP增长的历史情况 (一)消费需求持续平稳增长，但增速长期低于国内生产总值的增
实验报告 1. 实验目的 随着中国经济的发展，居民的常住收入水平不断提高，粮食销售量也不断增长。研究粮食年销售量与人均收入之间的关系，对于探讨粮食年销售量的增长的规律性有重要的意义。 2. 模型设定 为了分析粮食年销售量与人均收入之间的关系,选择“粮食年销售量”为被解释变量（用Y表示），选择“人均收入”为解释变量（用X 表示）。本次实验报告数据取自某市从1974年到1987年的数据（教材书上101页表3.11），数据如下图所示： 为分析粮食年销售量与人均收入的关系，做下图所谓的散点图: 粮食年销售量与人均收入的散点图 从散点图可以看出粮食年销售量与人均收入大体呈现为线性关系，可以建立如下简单现行回归模型：
3.估计参数 假定所建模型及其中的随机扰动项满足各项古典假定，可以用OLS 法估计其参数。 通过利用EViews对以上数据作简单线性回归分析，得出回归结果如下表所示： 可用规范的形式将参数估计和检验的结果写为： 99.61349+0.08147 （6.431242）（0.10738） t= (15.48900) (7.587119) =0.827498 F=57.56437 n=14 4.模型检验 （1）.经济意义检验 所估计的参数=99.61349，=0.08147，说明人均收入每增加1元，平均说来可导致粮食年销售量提高0.08147元。这与经济学中边际消费倾向的意义相符。 （2）.拟合优度和统计检验 拟合优度的度量：由回归结果表可以看出，本实验中可决系数为0.827498，说明所建模型整体上对样本数据拟合一般偏好。 对回归系数的t检验：针对:=0 和:=0，由回归结果表中还可以看出，估计的回归系数的标准误差和t值分别为：SE()=6.431242,t()=15.48900;的标准误差和t值分别为：SE()=0.10738,t()=7.587119.取a=0.05，查t分布表自由度为n-2=14-2=12的临界值（12）=2.179.因为t()=15.48900>（12）=2.179, 所以应拒绝:=0;因为t()=7.587119>（12）=2.179.所以应拒绝:=0。
实验名称：利用SPSS进行参数估计 实验目的；熟悉SPSS的参数估计功能，熟练掌握单个总体均值的区间估计方法及操作过程、两个独立总体均值之差的区间估计方法及操作过程、两个匹配总体均值之差的区间估计方法及操作过程，对SPSS运行结果能进行解释。 实验内容；实验一、从某大学的三年级学生中随机抽取30名同学,得到身高（cm）数据如下，数据已输入SPSS工作表。试以95%的置信度估计该大学三年级学生的平均身高。 （步骤；第一步，打开数据文件练习一.sav，选择Analyze→Descriptive Statistics→Explore， 第二步：单击鼠标左键，出现Explore主对话框，将“身高”变量送入dependent List（因变量清单）框，在Display框中选中Statistics（只输出统计量）点击statistics按钮，系统弹出statistics（探索分析统计）窗口，选中Descriptiv，接受95%的置信度，点击Continue按钮，返回Explore主对话es 框。 第三步，点击OK按钮，） 实验二、甲乙两台机床同时加工某种同类型的零件，已知两台机床加工零件的直径（单位：cm）分别服从正态分布，并且方差相等。为测定两台机床加工零件平均直径之差，分别独立抽取了8个零件测得数据如下表：试以95%的置信度估计甲乙两台机床加工零件平均直径之差。 （步骤；第一步，打开数据文件练习二.sav，选择菜单“Analyze→Compare Means→Independent-samples T Test”项，弹出“Independent- samples T Test”对话框。从对话框左侧的变量列表中选“零件直径”，进入“Test Variable(s)”框，选择变量“机床”，进入“Grouping Variable”框。点击“Define Groups”按钮弹出“Define Groups”定义框，在Group 1中输入“甲”，在Group 2中输入“乙”。 第三步：点击“Options”按钮弹出“Confidence Interval”定义框，在“Confidence Interval”框中输入“95”，点击“Continue” 第四步：单击“OK”按钮，得到输出结果。） 实验三、某饮料公司开发出一种产品，为比较消费者对新老产品口感满意程度，该公司随机抽选一组消费者，每个消费者先品尝一种饮料，然后再品尝另种饮料，两种饮料的品尝顺序是随机的，然后每个消费者要对两种饮料分别进行评分，平分结果如下：试建立新旧饮料平均得分之差在95%的置信区间。 （步骤；第一步，打开数据文件练习三.sav，选择菜单“Analyze→Compare Means→Paired-samples T Test”项，弹出“Paired - samples T Test”对话框。从对话框左侧的变量列表中选择变量新旧饮料进入Variables框第二步：点击“Options”按钮弹出“Confidence Interval”定义框，在“Confidence Interval”框中输入“95”，点击“Continue” 第三步：单击“OK”按钮，得到输出结果。） 结果；实验一：样本均值为1.6610，该大学的三年级学生平均身高的95%的置信区间为[1.6367；1.6853]毫米。输出结果同时还给出了总体方差和总体标准差的估计值等。
攀 枝 花 学 院 实 验 报 告 实验课程：数学实验及模型 实验项目：参数估计和假设检验 实验日期：2010.12.30 系：计算机 班级： 姓名： 学号： 同组人： 指导教师： 成绩： 【实验目的】： 1 理解参数估计的基本概念、原理和方法； 2 理解正态总体的均值、方差的区间估计的方法； 3 了解假设检验的基本概念、原理和方法； 4 掌握用Matlab 进行参数估计； 5 掌握用Matlab 进行假设检验. 【实验内容：】 1 参数估计的基本概念、原理和方法； 2 假设检验的基本概念、原理和方法； 3 利用Matlab 进行参数估计和假设检验. 【实验原理：】 1 参数估计:参数估计包括点估计和区间估计 （1）点估计：点估计法主要包括矩估计和最大似然估计. 点估计的常用公式如下： ?x μ =，22?s σ= （2）区间估计：区间估计就是根据样本来估计其分布函数中未知参数的范围区间，并使区 间包含未知参数的概率≥1a -，1a -称为置信水平，估计区间称为置信区间. 总体均值μ、标准差σ的区间估计（置信水平1α-）的常用公式如下： ① σ已知时，μ 的置信区间为：2 x z α ± σ未知时，μ 的置信区间为：()2 1x n α± - ② 2σ的置信区间为： ()()()()2 222 12211,11n S n S n n ααχχ- ??-- ? ?-- ??? 其中，2 z α、()2 1t n α-、()2 2 1n αχ-分别为()0,1N 、()1t n -、()21n χ-分布的上 2 α分位点. （3）Matlab ，常见分布函数中参数估计的点估计和区间估计函数见表3-4.
北京工商大学 《系统建模与辨识》课程 上机实验报告 （2016年秋季学期） 专业名称：控制工程 上机题目：用极大似然法进行参数估计专业班级：计研3班 学生姓名：王瑶吴超 学号：10011316259 10011316260 指导教师：刘翠玲 2017 年 1 月
一 实验目的 通过实验掌握极大似然法在系统参数辨识中的原理和应用。 二 实验原理 1 极大似然原理 设有离散随机过程}{k V 与未知参数θ有关，假定已知概率分布密度)(θk V f 。如果我们得到n 个独立的观测值,21,V V …n V ,，则可得分布密度)(1θV f ，)(2θV f ，…,)(θn V f 。要求根据这些观测值来估计未知参数θ，估计的准则是观测值{}{k V }的出现概率为最大。为此，定义一个似然函数 ) ()()(),,,(2121θθθθn n V f V f V f V V V L = （1.1） 上式的右边是n 个概率密度函数的连乘，似然函数L 是θ的函数。如果L 达到极大值，}{k V 的出现概率为最大。因此，极大似然法的实质就是求出使L 达到极大值的θ的估值∧ θ。为了便于求∧ θ，对式（1.1）等号两边取对数，则把连乘变成连加，即 ∑==n i i V f L 1 )(ln ln θ （1.2） 由于对数函数是单调递增函数，当L 取极大值时，lnL 也同时取极大值。求式（1.2） 对θ的偏导数，令偏导数为0，可得 0ln =??θL （1.3） 解上式可得θ的极大似然估计ML ∧ θ。 2 系统参数的极大似然估计 Newton-Raphson 法实际上就是一种递推算法，可以用于在线辨识。不过它是一种依每L 次观测数据递推一次的算法，现在我们讨论的是每观测一次数据就递推计算一次参数估计值得算法。本质上说，它只是一种近似的极大似然法。 设系统的差分方程为 )()()()()(1 1 k k u z b k y z a ξ+=-- （2.1） 式中 111()1...n n a z a z a z ---=+++ 1101()...n n b z b b z b z ---=+++ 因为)(k ξ是相关随机向量，故（2.1）可写成 )()()()()()(1 1 1 k z c k u z b k y z a ε---+= （2.2）
Poisson 分布的参数估计 作者：高晨 指导老师：戴林送 摘要 泊松分布是概率统计学科中一种重要的离散分布，在参数估计这块，对点估计，矩估计，最大似然 估计以及近似的区间估计等，该文中对泊松分布的相关知识，包括其性质，参数的相关估计，研究了泊松分布的一些性质，参数的估计，以及一些在生活中的简单应用。 关键词 P o i s s o 分布 参数估计 性质 简单应用 1 引言 Poisson 分布是离散型随机变量X 作为大量试验中稀有事件出现的频数的概率分布的数学模型，其中X 可能取值为0，1，2，……而取各个值的概率为： {},0,1,2! k e P x k k k λ λ-== = 其中0λ>是常数，称X 服从参数为λ的泊松~(;)X P k x . 1.1相关定义 1. 离散型随机变量X 的函数分布律{},0,1,2k k P X x P k === ，若级数1k k k x p ∞ =∑绝 对收敛，称级数 1 k k k x p ∞ =∑为随机变量X 的数学期望[]E x ， []E x =1k k k x p ∞ =∑. 2. 定理：Y 是随机变量X 的函数，(),(Y g x g =是连续函数），X 是离散型随机变量， 若 1 ()k k k g x p ∞ =∑绝对收敛，则 [][()]E Y E g x ==1 ()k k k g x p ∞ =∑. 3. 随机变量X ，若2{[()]}E X E X -存在，则称2{[()]}E X E X -为X 的方差，记 为()D x 或()Var x ，即 ()D x =()Var x =2{[()]}E X E X -.
概率论与数理统计实验报告 姓名：蔺志洋 班级：装备62 学号：2161500014 实验五 【实验名称】 抽样分布、参数估计及假设检验 【实验目的】 1、了解 matlab 软件的基本命令与操作； 2、熟悉 matlab 用于描述性统计的基本菜单操作及命令； 3、会求样本的一些统计量如样本数，平均值等。 4、会求样本频率与频数分布；，画频率直方图。 【实验步骤与结果】 问题： 1、给出100名学生的身高和体重（单位厘米千克） ①求出以下统计量：样本数，平均值，中位数，样本标准差，最大值，最小值。 ②求出频率与频数分布； ③作出以上数据的频率直方图。 2、根据这些数据对学生的平均身高和体重作出估计，并给出估计的误差范围； 3、该地区学生10年前作过普查，学生的平均身高为167.5cm，平均体重为60.2kg， 试根据这次抽查的数据，对学生的平均身高和体重有无明显变化作出结论。 程序：
height=normrnd(167.5,2.30,1,100) weight=normrnd(60.2,2.25,1,100) length(height) mean(height) median(height) std(height) max(height) min(height) hist(height,10) grid title('身高频数直方图') xlabel('身高/cm') ylabel('频数') [a,b]=hist(height) bar(b,a/sum(a)) grid title('身高频率直方图') xlabel('身高/cm') ylabel('频率') figure length(weight) mean(weight) median(weight) std(weight)
工商大学 《系统建模与辨识》课程 上机实验报告 （2016年秋季学期） 专业名称：控制工程 上机题目：用极大似然法进行参数估计专业班级：计研3班 学生：王瑶吴超 学号： 10011316259 10011316260 指导教师：翠玲 2017 年 1 月
一 实验目的 通过实验掌握极大似然法在系统参数辨识中的原理和应用。 二 实验原理 1 极大似然原理 设有离散随机过程}{k V 与未知参数θ有关，假定已知概率分布密度)(θk V f 。如果我们得到n 个独立的观测值,21,V V …n V ,，则可得分布密度)(1θV f ，)(2θV f ，…,)(θn V f 。要求根据这些观测值来估计未知参数θ，估计的准则是观测值{}{k V }的出现概率为最大。为此，定义一个似然函数 ) ()()(),,,(2121θθθθn n V f V f V f V V V L ΛΛ= （1.1） 上式的右边是n 个概率密度函数的连乘，似然函数L 是θ的函数。如果L 达到极大值，}{k V 的出现概率为最大。因此，极大似然法的实质就是求出使L 达到极大值的θ的估值∧ θ。为了便于求∧ θ，对式（1.1）等号两边取对数，则把连乘变成连加，即 ∑==n i i V f L 1 )(ln ln θ （1.2） 由于对数函数是单调递增函数，当L 取极大值时，lnL 也同时取极大值。求式（1.2） 对θ的偏导数，令偏导数为0，可得 0ln =??θL （1.3） 解上式可得θ的极大似然估计ML ∧ θ。 2 系统参数的极大似然估计 Newton-Raphson 法实际上就是一种递推算法，可以用于在线辨识。不过它是一种依每L 次观测数据递推一次的算法，现在我们讨论的是每观测一次数据就递推计算一次参数估计值得算法。本质上说，它只是一种近似的极大似然法。 设系统的差分方程为 )()()()()(1 1 k k u z b k y z a ξ+=-- （2.1） 式中 111()1...n n a z a z a z ---=+++ 1101()...n n b z b b z b z ---=+++ 因为)(k ξ是相关随机向量，故（2.1）可写成 )()()()()()(1 1 1 k z c k u z b k y z a ε---+= （2.2）
2016－2017第2学期 计量经济学实验报告 实验（一）：EVIEWS软件的基本操作 学号：0140660 姓名: 江亮选课班级:A01/B01 指导教师: 万建香成绩:
实验日期: 2017.3.13 实验地点: M106/303 学生实验报告 实验名称：EViews软件的基本操作 【教学目标】 《计量经济学》是实践性很强的学科，各种模型的估计通过借助计算机能很方便地实现，上机实习操作是《计量经济学》教学过程重要环节。目的是使学生们能够很好地将书本中的理论应用到实践中，提高学生动手能力，掌握专业计量经济学软件EViews的基本操作与应用。 【实验目的】 了解EViews软件的基本操作对象，掌握软件的基本操作。 【实验内容】 以建立一个数据库文件为例，完成以下操作并写出相关的EViews命令。 1、EViews软件的安装； 2、数据的输入、编辑与序列生成； 3、Eviews的简单操作：show\genr\scat\ls \fit等等。 4、一元线性回归模型的参数估计、拟合优度检验及置信区间估计。 例、人均旅游消费支出X与从业人员Y的数据如下。 表3-5 旅游消费支出X与从业人员Y关系表 X（元）Y（人） 1994 1023.5 77553 1995 1375.7 91592 1996 1638.4 87555
1997 2112.7 94829 1998 2391.2 100448 1999 2831.9 108830 2000 3175.5 164336 2001 3522.4 192408 2002 3878.4 229147 2003 3442.3 249802 2004 4710.7 246219 2005 5285.9 248919 2006 6229.7 285917 2007 7770.6 292047 【实验步骤】
谱估计 尹凯凯 2012011109 （清华大学电子工程系无37班） 【摘要】 谱分析是信号分析的一种工具。功率谱估计就是基于有限的数据寻找信号、随机过程或系统的频率成分。它表示随机信号频域的统计特征，有着明显的物理意义，是信号处理的重要研究内容。研究随机信号在频域的功率分布情况，即功率谱密度或功率谱，功率谱估计有着广泛的应用。 【关键词】 谱估计周期图方法 MUSIC 方法 1．谱估计 谱估计技术是现代信号处理的一个重要部分，还包括空间谱估计，高阶谱估计等。功率谱估计是数字信号处理的主要内容之一，主要研究信号在频域中的各种特征，目的是根据有限数据在频域内提取被淹没在噪声中的有用信号。 在一般工程实际中，随机信号通常是无限长的，例如，传感器的温漂，不可能得到无限长时间的无限个观察结果来获得完全准确的温漂情况，即随机信号总体的情况，一般只能在有限的时间内得到有限个结果，即有限个样本，根据经验来近似地估计总体的分布。有时，甚至不需要知道随机信号总体地分布，而只需要知道其数字特征，如均值、方差、均方值、相关函数、功率谱的比较精确的情况即估计值。功率谱估计(PSD)是用有限长的数据估计信号的功率谱，它对于认识一个随机信号或其他应用方面都是重要的，是数字信号处理的重要研究内容之一。功率谱估计可以分为经典谱估计(非参数估计)和现代谱估计(参数估计)。 1.1背景 英国科学家牛顿最早给出了“谱”的概念。后来，1822年，法国工程师傅立叶提出了著名的傅立叶谐波分析理论。该理论至今依然是进行信号分析和信号处理的理论基础。 傅立叶级数提出后，首先在人们观测自然界中的周期现象时得到应用。19世纪末，Schuster 提出用傅立叶级数的幅度平方作为函数中功率的度量，并将其命名为“周期图”（periodogram ）。这是经典谱估计的最早提法，这种提法至今仍然被沿用，只不过现在是用快速傅立叶变换（FFT ）来计算离散傅立叶变换（DFT ），用DFT 的幅度平方作为信号中功率的度量。 周期图法和自相关法都可用快速傅立叶变换算法来实现，且物理概念明确，因而仍是目前较常用的谱估计方法。周期图较差的方差性能促使人们研究另外的分析方法。现代谱估计主要是针对经典谱估计的分辨率差和方差性能不好的问题而提出的。现代谱估计从方法上大致可分为参数模型谱估计和非参数模型谱估计两种，前者有AR 模型、MA 模型、ARMA 模型、PRONY 指数模型等；后者有最小方差方法、多分量的MUSIC 方法等。 1.2周期图方法 周期图的基本原理是对观测到的数据直接进行傅里叶变换，然后取模的平方就是功率谱。取平稳随机信号x(n)的有限个观察点x 0 、x 1 ……x(n ?1)，则傅里叶变换为X N (e ?jω)= x (n )e ?jωn N?1n =0， 进行谱估计； P ω =1N |X N (e ?jω)|2=1N | x (n )e ?jωn N?1 n =0|2
学生实验报告实验课程名称经济预测与决策上机实验报告 开课实验室 学院年级专业班 学生姓名学号 开课时间至学年第学期
经济预测与决策实验报告 实验一 实验名称：一元线性回归预测上机实验。 实验目的：通过实验掌握一元线性回归预测的数学模型、参数估计方法、误差分析和检验，掌握一元线性回归的点预测和区间预测。 实验内容： 1．对下表所给数据，用Excel直接计算一元线性回归模型的参数估计、可决系数、相关系数、标准差、F统计量和斜率系数的t统计量。 2．分析模型的优劣，α=0.05,作F检验和t检验 3．若2011年月人均可支配收入x0=5000元，预测该商品的销售量，并给出置信度为95%的区间预测。 4．用Excel中的数据分析直接进行回归，写出问题1中的参数和指标，对α=0.10，作F检验和t检验
写出实验报告： 1、用Excel直接计算，得:
R^2和r都很小，模型较差。 ⑵当α=0.05,作F检验和t检验 F统计量=3.934182154<4.6,故方程不显著； t统计量=1.983477288<2.15,故方程不显著。
⑶若2011年月人均可支配收入x0=5000元，该商品的销售量为7427.06288，并给出置信度为95%的预测区间为【5688.49337，9165.63239】 当α=0.10,作F检验和t检验: F统计量=3.934182154>3.10,故方程显著； t统计量=1.983477288>1.76,故方程显著。
经济预测与决策实验报告 实验二 实验名称：多元线性回归预测上机实验。 实验目的：通过实验掌握多元线性回归预测的数学模型、参数估计方法、误差分析和检验，掌握多元线性回归的点预测和区间预测。 实验内容： 1.对下表所给数据，用Excel中的数据分析直接进行回归。 2.写出该二元线性回归模型。 3.写出可决系数、相关系数、标准差，简单判别该预测模型 的优劣。 4.写出F统计量和斜率系数的t统计量，α=0.10,作F检验 和t检验。 5．若劳动量为25人工小时，木材耗用量为30m3,预测总成本，并给出置信度为95%的总成本的区间预测。
一、利用数据“CH4CH8茎叶箱方差工资性别岗位300余”进行参数估计。 1、分别对“一线工人”当前工资的均值进行点估计、区间估计。 ①点击analyze→descriptive statistics→descriptives,进入描述统计模块。 ②把左框中的当前工资送入右框,点击左边选项按钮,选择均值、方差、标准差。 ③点估计结果见下图。 ④点击analyze→descriptive statistics→explore ⑤把左框中当前工资送入右边上面的因变量列表框中,点击统计量按钮,修改置信区间数值,这里选择95%。,点击继续,确定。 ⑥区间估计结果见下图。
2、“一线工人”、“科以上干部”、“一般机关员工”分别占总职工的比例。 ①点击Analyze→Descriptive Statistics→Frequencies ②从左边的变量清单中,选取工作类型,添加到右边的框中,点击确定 ③分析结果如下 二、利用数据“CH4男女性别身高32”,作男生、女生平均身高就是否相同的假设检验。 1.点击analyze→compare means→independent-sample T test。 2.将左边的身高变量加入右边上面的检验变量框中,性别加入右边分组变量框中,如图2-1 3、点击define Groups按钮,,要求输入两个组的变量值,把1输入group1,2输入group2。点击继续。如图2-2 2-1 2-2 4、点击确定,输出结果如下图
5、从独立样本检验表中数字可知,F检验表明方差齐性成立,因此选用上面一组T检验的值。(T统计量的显著概率p=0、002<0、05),两组身高的方差有明显差异。 三、去年股民投入股市资金平均5,利用“CH6CH9CH10证券投资额与依据”判断今年股 民投入股市的资金就是否有变化？ 1.点击analyze→compare means→One sample T test。 2.从左边的框中把变量“投资总额”放入右边检验变量中。 3.在右下方框中检验值(test value)中填入去年投资均值5,如图 4.点击确定,输出实验结果,如图 5.分析。原假设Ho:总体均值=5。在上表中,Sig的值为0、152,就是t的显著性概率p值。 P>0、05,表明t落在t0、025的左边,应当接受Ho。即今年的投资额与去年比没有变化。 四、利用数据“CH6残检3同一批小学生400米跑步成绩”,检验去年与今年相比小学 生跑步成绩有变化不？(注:数据就是同一批60位学生的两年跑步成绩) 1、点击analyze→compare means→paired sample T test。 2、从左边的框中把去年与今年的两组变量放入右边配对变量中,点击确定。如下图