数值分析习题集及答案

第一章 绪论

习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。 1 若误差限为5

105.0-?,那么近似数0.003400有几位有效数字？（有效数字的计算）

解：2

*103400.0-?=x ，325*

102

1

1021---?=?≤

-x x 故具有3位有效数字。

2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算）

解：10314159.0?= π，欲使其近似值*

π具有4位有效数字，必需

41*1021-?≤

-ππ，3*3102

1

1021--?+≤≤?-πππ，即14209.314109.3*≤≤π 3 已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +，b a ?有几位有效数字？（有效数字的计算）

解：3*

1021-?≤

-a

a ，2*102

1

-?≤-b b ，而1811.2=+b a ，1766.1=?b a 2123****102

1

10211021)()(---?≤?+?≤-+-≤+-+b b a a b a b a

故b a +至少具有2位有效数字。

2

123*****102

1

0065.01022031.1102978.0)()(---?≤=?+?≤-+-≤-b b a a a b b a ab 故b a ?至少具有2位有效数字。

4 设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差？（误差的计算） 解：已知

δ=-*

*x

x x ，则误差为 δ=-=

-*

**ln ln x

x x x x

则相对误差为

*

*

**

*

*

ln ln 1ln ln ln x

x

x x x

x

x x δ

=

-=

-

5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5*

=，已知

cm h h 2.0||*≤-，cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v 2

π=的绝对误差限与相对误差

限。（误差限的计算） 解：

*

2******2),(),(h h r r r h r r h v r h v -+-≤-ππ

绝对误差限为

π

ππ252.051.02052)5,20(),(2=??+????≤-v r h v

相对误差限为

%420

120525)

5,20()

5,20(),(2

==??≤-ππv v r h v

6 设x 的相对误差为%a ,求n x y =的相对误差。（函数误差的计算） 解：

%*

*a x x x =-，

)%(*

****

*na x

x x n

x

x x y

y y n

n

n =-≤-=

-

7计算球的体积，为了使体积的相对误差限为%1，问度量半径r 时允许的相对误差限为多大？（函数误差的计算） 解：球体积为 334)(r r v ??=

π，3**3

4

)(r r v ??=π 欲使

%13

3

4

4)

()()(*

*3**

2***=-=??-??=

-r r r r r r r r v r v r v ππ，必须

%3

1

*

*=-r r r 。 8 设?-=1

1

dx e x

e

I x n

n ，求证：

（1）)2,1,0(11 =-=-n nI I n n

（2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差逐步增大；反向递推计算时误差逐步减小。（计算方法的比较选择）

解：11

11

10

110

11

1

11][-------=-=-==???n x n x

n x n

x n n nI dx e x ne

dx e x

n e

x e de x e

I 1

11

1

01)1(----=-==?e e e dx e e

I x 如果初始误差为*

000I I -=ε，若是向前递推，有

0221*11*!)1()1()1

()1()1(εεεεn n n n nI nI I I n n n n n n n n -==--=-=---=-=---- 可见，初始误差0ε的绝对值被逐步地扩大了。 如果是向后递推n n I n

n I 1

11-=

-，其误差为 n n n I I εεεε!

)1(211)1(11)1111()1111(221*110-==?-=-=---= 可见，初始误差n ε的绝对值被逐步减少了。

第二章 插值法

姓名 学号 班级

习题主要考察点：拉格朗日插值法的构造，均差的计算，牛顿插值和埃尔米特插值构造，插值余项的计算和应用。

1 已知1)2(,1)1(,2)1(===-f f f ，求)(x f 的拉氏插值多项式。（拉格朗日插值） 解法一（待定系数法）：设c bx ax x L ++=2)(，由插值条件，有

??

?

??=++=++=+-12412c b a c b a c b a 解得：3/4,2/1,6/1=-==c b a 。 故 3

42161)(2+-=

x x x L 。 解法二（基函数法）：由插值条件，有

1)

12)(12()

1)(1(1)21)((11()2)(1(2)21)(11()2)(1()(?-+-++?-+-++?------=

x x x x x x x L

)1)(1(31

)2)(1(21)2)(1(31-++-+---=x x x x x x 3

421612+-=x x 2 已知9,4,10===

x x x y ，用线性插值求7的近似值。（拉格朗日线性插值）

解：由插值节点与被插函数，可知，240==

y ，391==y ，其线性插值函数为

5

6

5134942949)(+=?--+?--=

x x x x L 7的近似值为6.2513

5657)7(≈=

+=L 。 3 若),...1,0(n j x j =为互异节点，且有

)

())(())(()())(())(()(11101110n j j j j j j j n j j j x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l ----------=

+-+-

试证明

),...1,0()(0

n k x x l

x n

j k j

k j =≡∑=。

（拉格朗日插值基函数的性质） 解：考虑辅助函数∑=-=

n

j k j

k

j x x l

x x F 0

)()(，其中，n k ≤≤0，),(∞-∞∈x 。

)(x F 是次数不超过n 的多项式，在节点i x x =（n i ≤≤0）处，有

)()()(0=-=-=-=∑=k

i k i k i i i k i n

j k i i j k j i x x x x l x x x l x x F 这表明，)(x F 有n+1个互异实根。 故0)(≡x F ，从而

∑=≡n

j k j

k

j x x l

x 0

)(对于任意的n k ≤≤0均成立。

4 已知352274.036.0sin ,333487.034.0sin ,314567.032.0sin ===，用抛物线插值计算3367.0sin 的值并估计截断误差。（拉格朗日二次插值） 解：由插值条件，其抛物线插值函数为

314567.0)

36.032.0)(34.032.0()

36.0)(34.0()(?----=

x x x L

333487.0)

36.034.0)(32.034.0()

36.0)(32.0(?----+

x x

352274.0)

34.036.0)(32.036.0()

34.0)(32.0(?----+

x x

将3367.0=x 代入，计算可得：3304.0)3367

.0(≈L 。 其余项为：)36.0)(34.0)(32.0(!

3sin )(----=

x x x x r ξ

其中，36.032.0<<ξ )36.0)(34.0)(32.0(6

1

)(---≤

x x x x r 故误差的上界为：

71014.2)36.03367.0)(34.03367.0)(32.03367.0(6

1

)3367.0(-?≤---≤

r 。 5 用余弦函数x cos 在00=x ，41π=x ，2

2π

=x 三个节点处的值，写出二次拉格朗日插值多项式, 并近似计算6

cos π

及其绝对误差与相对误差，且与误差余项估计值比较。（拉格朗

日二次插值）

解：由插值条件，二次拉格朗日插值多项式为

0)

4/2/)(02/()

4/)(0(21)2/4/)(04/()2/)(0(1)2/0)(4/0()2/)(4/()(?----+?----+?----=

ππππππππππππx x x x x x x L

2

2

)

2/(28)

2/)(4/(8π

ππ

ππ--

--=

x x x x

8508.09

2

42)

2/6/(6/28)2/6/)(4/6/(8)6

(2

2≈+=

--

--=ππππππππππL 绝对误差为：0153.018

28439924223)6(6cos

≈--=+-=-ππ

L 相对误差为：

0179.02

8428439)6

()6(6cos

≈+--=

-π

πL L

余项为：

)2/)(4/(!

3sin )(ππξ

--=

x x x x r ，其中，2/0πξ<< 其余项的上界为：)2/)(4/(6

1

)(ππ--≤

x x x x r 0239.06

)26)(46(661)6(43

≈=--≤πππππππ

r 比较可知，实际计算所得的绝对误差较余项公式所估计出的值要小一些。

6 已知函数值212)6(,82)4(,46)3(,10)1(,6)0(=====f f f f f ，求函数的四阶均差

]6,4,3,1,0[f 和二阶均差]3,1,4[f 。（均差的计算）

解：采用列表法来计算各阶均差，有

从表中可查得：]6,4,3,1,0[=

f 。 故6]3,1,4[=f 。其实，根据均差的对称性，6]4,3,1[]3,1,4[==f f ，该值在第一个表中就可以查到。

7 设)())(()(10n x x x x x x x f ---= 求][1,0p x x x f 之值，其中1+≤n p ，而节点

)1,1,0(+=n i x i 互异。（均差的计算）

解：由均差可以表示成为函数值的线性组合，有

∑

=-+-------=p

i p i p i i i i i i i i p x x x x x x x x x x x x x f x x x f 0

111101,0)

)(())(())(()

(][

而0)(=i x f p i ≤≤0，故0][1,0=p x x x f 。 8 如下函数值表

建立不超过三次的牛顿插值多项式。（牛顿插值多项式的构造） 解：

故 )2)(1(4

)1(381)(---

-++=x x x x x x x N 。 9求一个次数小于等于三次多项式)(x p ，满足如下插值条件：2)1(=p ，4)2(=p ，

3)2(='p ，12)3(=p 。（插值多项式的构造）

解法一（待定系数法）：设d cx bx ax x p +++=23)(，则

c bx ax x p ++='23)(2，由插值条件，有

????

??

?=+++=++=+++=+++12

3927341242482d c b a c b a d c b a d c b a 解得：6,15,9,2-==-==d c b a 。 故 61592)(23-+-=x x x x p

解法二（带重节点的均差法）：据插值条件，造差商表

故 61592)2)(1(2)2)(1()1(22)(232-+-=--+--+-+=x x x x x x x x x p 10 构造一个三次多项式)(x H ，使它满足条件1)1(,1)2(,0)1(,1)0(='===H H H H （埃尔米特插值）。

解：设d cx bx ax x H +++=23)(，c bx ax x H ++='23)(2 利用插值条件，有

????

??

?=++=+++=+++=1

23124801

c b a

d c b a d c b a d 解得：1,4,4,1=-==-=d c b a 。

144)(23+-+-=x x x x H

11 设4/9,1,4/1,)(2102

3

====x x x x x f 。(1)试求)(x f 在[]4/9,4/1上的三次埃尔米特插值多项式)(x H ，使得)()(,2,1,0),()(11x f x H j x f x H j j '='==，)(x H 以升幂形式给出。(2)写出余项)()()(x H x f x R -=的表达式。（埃尔米特插值及其余项的计算）。

解：81)41(=f ，1)1(=f ，827)49(=f ，21

2

3

)(x x f ='，23)1(='f

设d cx bx ax x H +++=2

3

)(，c bx ax x H ++='23)(2

???

??

???

???=++=+++=+++=+++23238274916816472918141161641c b a d c b a d c b a d c b a 解得：22514-

=a ，450263=b ，450233=c ，25

1

-=d 。

故 25

1

45023345026322514)(23-++-

=x x x x H 。 )4

9

()1)(41(1283)(225

---=-x x x x R ξ，其中，4941≤≤ξ。

12 若0)()(],,[)(2==∈b f a f b a c x f ，试证明：

()|)( |max 8

1

|)( |max 2x f a b x f b x a b

x a ''-≤

≤≤≤≤（插值余项的应用）

解：以0)()(==b f a f 为插值条件，作线性插值多项式，有

0)()()(=?--+?--=

b f a

b a

x a f b a b x x L 其余项为

))((!

2)

()()()()(b x a x f x f x L x f x R --''=

=-=ξ 故 )(max )(8

1

)2)(2(

)(max 21)(max 2x f a b b a b a b a x f x f b x a b x a b x a ''-=+--+?''=≤≤≤≤≤≤。 13 设,2)2(,1)0(,1)2(==-=-f f f 求)(x p 使)2,1,0()()(==i x f x p i i ； 又设 M x f ≤'''|)(| ，则估计余项)()()(x p x f x r -=的大小。（插值误差的估计） 解：由插值条件，有

??

?

??=++=-=+-2241

124c b a c c b a 解得：??

?

??==-=14/38/1c b a

从而 14

3

81)(2++-=x x x p 其余项为

)2,2()2()2(!

3)

()()()(-∈-+'''=

-=ξξx x x f x p x f x r M M x x M x r 27

3839166)4(6)(3=≤-≤

第三章 函数逼近

姓名 学号 班级

习题主要考察点：最小二乘法，最佳平方逼近，正交多项式的构造。

1 设x x f πsin )(=，求)(x f 于]1,0[上的线性最佳平方逼近多项式。（最佳平方逼近） 解：},1{span x =?

1),(1011==?dx ??，21),(1021==?xdx ??，31

),(1

222==?dx x ??

π

π?2

sin ),(1

1=

=?xdx f ，π

ππππ

π?1

sin 1

cos sin ),(1

2

1

2=

+

-

==

?x x x

xdx x f

法方程组为

?????

?????=????????????????ππ12312

121121a a

解得：π

2

1=a ，02=a

线性最佳平方逼近多项式为：π

?2

*

=

。

2 令11,)(≤≤-=x e x f x

，且设x a a x p 10)(+=,求10,a a 使得)(x p 为)(x f 于]1,1[-

上的最佳平方逼近多项式。（最佳平方逼近） 解：},1{span x =?

2),(11

11==?-dx ??，0),(1121==?-xdx ??，32

),(1

1222==?-dx x ??

1

1

1

1),(---==?e e dx e f x

?，11

1

22),(--==?e dx xe f x ?

法方程组为

??

?

???-=??????????????--1121232002e e e a a 解得：)(211

1--=e e a ，3

12-=e a

线性最佳平方逼近多项式为：x e e e x p 3

2)(1

1--+-=。

3证明：切比雪夫多项式序列

)arccos cos()(x k x T k =

在区间[]1,1-上带权2

1/1)(x x -=ρ正交。（正交多项式的证明）

解：对于k l ≠，有

dx x k x l x

T T k l )arccos cos()arccos cos(11),(1

12

?

--=

??

=--=π

π0

2

)cos()cos()sin )(cos()cos(cos 11dt kt lt dt t kt lt t

?++-=π

])cos()[cos(21

dt t k l t k l 0])sin(1)sin(1[210=+++--=πt k l k

l t k l k l 对于k l =，有

dx x k x T T k k )arccos (cos 11),(21

12

?

--=

??

=--=π

π

22

2)(cos )sin )((cos cos 11

dt kt dt t kt t

2

])2sin(21[21])2cos(1[210

0πππ

=+=+=?t k k t dt t k 故，序列)}({x T k 在[-1，1]上带权2

11)(x

x -=

ρ正交。

4求矛盾方程组：???

??=-=+=+2

423

21

2121x x x x x x 的最小二乘解。（最小二乘法）

解法一：求1x 与2x ，使得

22122122121)2()42()3(),(--+-++-+=x x x x x x x x f

达到最小。于是，令

0)2(2)42(2)3(22121211

=--+-++-+=??x x x x x x x f

0)1)(2(22)42(2)3(22121212

=---+?-++-+=??x x x x x x x f

即：???=+=+9629232121x x x x ，其最小二乘解为：???==6429.05714.22

1x x 。

解法二：

??

???

?????=????????????????-24311211121x x ，记作b AX =，该矛盾方程组的最小二乘解，应满足以下方程组 b A AX A T

T

=，即??

?

???=????????????99622321x x

解之，得??

?==6429

.05714.221x x 。

5 已知一组试验数据

试用直线拟合这组数据. (计算过程保留3位小数)。（最小二乘线性逼近） 解：作矩阵

????????????????????=5.515141315.2121A ，?????????

???????????=95.8865.44y

法方程为

)()(y A X A A T T =

即

??

????=?????????????25.161405.9022226

b a 解得：2288.1=a ，4831.1=b 。

其直线拟合函数为x y 4831

.12288.1+=。 6 用最小二乘原理求一个形如2

bx a y +=的经验公式,使与下列数据相拟合.

（最小二乘二次逼近） 解：等价于对数据表

作线性拟合。其法方程组为：

??

????=?????????????5.3693214.2717277699532753275

b a

解得：9726.0=a ，0500.0=b 故经验公式为 205.09726.0x y +=。

第四章 数值积分

姓名 学号 班级

习题主要考察点：代数精度的计算，构造插值型求积公式（梯形，辛甫生公式），复化求积的计算，高斯公式的构造。 1给定求积公式

)()0()()(h cf bf h af dx x f h

h

++-≈?

-试确定c b a ,,使它的代数精度尽可能

高。（代数精度的应用和计算）

解：分别取2,,1)(x x x f =，使上述数值积分公式准确成立，有；

??

?

??=+-=+-=++3/2)()(0

)()(2322h h c h a h c h a h c b a 解得：3,34,3h

c h b h a ==

=。 故求积公式为)(3

)0(34)(3)(h f h

f h h f h dx x f h h ++

-≈?-。 再取3

)(x x f =，左边=?-=h h dx x 03，右边=0)(3

034)(333=+?+

-h h h h h 再取4

)(x

x f =，左边=?-=h

h h dx x 5254

，右边=3

2)(3034)(3544

h h h h h h =+?+-

此求积公式的最高代数精度为3。 2 求积公式

)0()1()0()(0101

f B f A f A dx x f '++≈?

，试确定系数0A ,1A 及0B ，使该求积

公式具有尽可能高的代数精确度，并给出代数精确度的次数。（代数精度的应用和计算） 解：分别取2

,,1)(x x x f =，使求积公式准确成立，有

???

??==+=+3/12/11

1

0110A B A A A 解得：61,31,32010===

B A A 。 求积公式为)0(6

1

)1(31)0(32)(10f f f dx x f '++≈?。

再取3

)(x x f =，左边==?+?+?≠=?06

113103241103dx x 右边

故该求积公式的最高代数精度为2。 3数值积分公式

)]2()1([2

3

)(30

f f dx x f +≈?

，是否为插值型求积公式，为什么？又该公式

的代数精确度为多少？（插值型求积公式特征）

解：令1)(=x f ，)]2()1([2

3

]11[2333

f f dx +=+=

=?

x x f =)(，)]2()1([2

3

]21[23293

0f f xdx +=+==

? 2

)(x x f =，)]2()1([2

3

]21[23215923

2f f dx x +=+=≠

=? 故代数精度为1。由于求积节点个数为2，代数精度达到1次，故它是插值型的求积公式。 4如果0)(>''x f ，证明用梯形公式计算积分?

b

a

dx x f )(所得到的结果比准确值大，并说明其

几何意义。（梯形求积） 解：梯形求积公式

)]()([2

b f a f a

b T +-=

是由过点))(,(a f a ，))(,(b f b 的线性插值函数

)()()(b f a

b a

x a f b a b x x L --+--=

在[a,b]上的定积分。

注意到：在区间[a,b]上，0)(>''x f ，而0))((<--b x a x ，有

0))((!

2)

()]()([)()(<--''=-=-=-?

???dx b x a x f dx x L x f dx x L dx x f T I b

a

b

a

b

a

b

a

ξ 从而T I <。

其几何意义可作以下解释：

在区间[a,b]上，0)(>''x f ，故曲线)(x f y =下凹，直线)(x L y =位于曲线之上，因

此，曲边梯形的面积?=

b

a

dx x f I )(小于梯形面积?=b

a

dx x L T )(。

5用4=n 的复化梯形公式计算积分

?2

11

dx x ，并估计误差。（复化梯形求积）

解：41412=-=h ，取求积节点为)4,,1,0(4

1

1 =?+=i i x i )](21

)()()()(21[)]()([2

11

4321013

02

1

3

1

x f x f x f x f x f h x f x f h dx x dx x i i i i x x i i

++++=+≈=+==∑?

∑?

+6970.01680

1171

]84217464544421[41==?++++?= 因

2ln 1

2

1

=?

dx x

，则误差大约为：0039.06970.02ln =-。 6设2)1(,9)5.0(,6)0(,4)5.0(,1)1(====-=-f f f f f ,则用复化辛甫生公式计算

?

-1

1

)(dx x f ，若有常数M 使 M f ≤||)4(，则估计复化辛甫生公式的整体截断误差限。（复

化辛甫生公式） 解：

???

+=

--1

01

1

1

)()()(dx x f dx x f dx x f

)]1(6

1

)5.0(64)0(61[)]0(61)5.0(64)1(61[

f f f f f f ++++-+-≈ 1667.116

67]29466441[61≈=+?+++?+≈ ?

?

---+-++≤

--1

22)4(0

1

21)4(2)1()5.0)(0(!

4)

()0()5.0)(1(!

4)

(dx x x x f dx x x x f S I ξξ ])1()5.0)(0()0()5.0)(1([241

020

1

2dx x x x dx x x x M ??---+-++≤- 0042.06

)25.0(6)1()5.0)(0(12

2

5

.00

21

2

?=-=---≤??M

dt t t M

dx x x x M M 008.0≤

7已知高斯求积公式

)57735.0()57735.0()(1

1

-+≈?-f f dx x f 将区间[0,1]二等分，用复

化高斯求积法求定积分

?

1

dx x 的近似值。（高斯公式）

解：

dx x dx x dx x ?

?

?

+

=

1

2

/12

/10

1

对于

dx x ?

2

/10作变量换t x 4

1

41+=

，有 ]57735.0157735.01[81

1811

12

/10-++≈+=??

-dt t dx x

对于

dx x ?

1

2/1作变量换t x 4

1

43+=

，有 ]57735.0357735.03[8

1

3811

11

2/1-++≈+=??

-dt t dx x

6692.0]57735.0357735.0357735.0157735.01[8

1

1

=-+++-++≈?

dx x

8 试确定常数A ，B ，C 和a ，使得数值积分公式

)()0()()(2

2

a Cf Bf a Af dx x f ++-≈?

-有尽

可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为高斯型的？（代数精度的应用和计算，高斯点的特征）

解：分别取432,,,,1)(x x x x x f =，使上述数值积分公式准确成立，有；

???

??

?

????

???

=+-=+-=+-=+-=++564)()(0)()(316)()(0)()(444332

2a C a A a C a A a C a A a C a A C B A 整理得：

???

?

?????=

+=

+==++564)(316)(442C A a C A a C A C B A 解得：5

12

,916,910=

==

=a B C A 。 数值求积公式为

)5

12(910)0(916)512(910)(2

2

f f f dx x f ++-≈

?

- 再取5

)(x x f =，左边=

?

-=2

2

50dx x ，右边=

0)5

12(9100916)512(9105

5=+?+- 再取6)(x x f =，左边=

?

-=

2

2

67256dx x ，右边=25

768)512(9100916)512(91066=+?+- 可见，该数值求积公式的最高代数精度为5。由于该公式中的节点个数为3，其代数精度达到了5132=-?次，故它是高斯型的。

9设{})(x P n 是[0,1]区间上带权x x =)(ρ的最高次幂项系数为1的正交多项式系 （1）求)(2x P 。

（2）构造如下的高斯型求积公式

)()()(11001

x f A x f A dx x xf +≈?

。（高斯求积）

解（1）：采用施密特正交化方法，来构造带权x x =)(ρ且在[0，1]上正交的多项式序列 取1)(0=x P ，设)()(001x P x x P α+=，且它与)(0x P 在[0，1]上带权x x =)(ρ正交，于是

),(),(),(0000010P P P x P P α+==，3

2)

,()

.(1

102

0000-=-=-

=??xdx

dx

x P P P x α

故 3

2

)(32)(01-=-

=x x P x x P 。 设)()()(001122x P x P x x P αα++=，且它与)(0x P 、)(1x P 在[0，1]上带权x x =)(ρ正交，于是

),(),(),(000002

20P P P x P P α+==，2

1)

,()

,(1

1

03

0002

0-

=-=-

=??xdx

dx x P P P x α ),(),(),(011112

21P P P x P P α+==，5

6

)32()32()

,()

,(10

21

3

11121-=---=-=??dx x x dx x x P P P x α

10

35621)32(56)(21)(56)(220122+-=---=--

=x x x x x P x P x x P

解（2）：10356)(2

2+-

=x x x P 的零点为：10

662,1±=x 。 设

)10

6

6()1066(

)(101

++-≈?

f A f A dx x xf 分别取x x f ,1)(=，使上述求积公式准确成立，有

?

??

??=++-=+3/1106610662/11010A A A A ，即???

????

-=-=+631211010A A A A 解得：661410-=

A ，6

61411+=A 。 高斯型求积公式为

)10

6

6()66141()1066()66141()(1

+++--≈?f f dx x xf

第五章 非线性方程求根

姓名 学号 班级

习题主要考察点：二分法、迭代法、牛顿法和弦截法求根，迭代法求根的收敛性和收敛速度的讨论。

1用二分法求方程012

=--x x 的正根，要求误差小于0.05。（二分法）

解：1)(2--=x x x f ，01)0(<-=f ，01)2(>=f ，)(x f 在[0，2]连续，故[0，2]为函数的有根区间。

（1）计算01)1(<-=f ，故有根区间为[1，2]。

（2）计算041123)23()23(2<-=--

=f ，故有根区间为]2,23

[。

（3）计算0165147)47()47(2>=

--=f ，故有根区间为]47

,23[。 （4）计算06411813)813()813(2>=--

=f ，故有根区间为]813

,23[。 （5）计算06411813)813()813(2>=--

=f ，故有根区间为]813

,23[。 （6）计算025********)1625()1625(2<-=--

=f ，故有根区间为]813

,1625[。 （7）计算010*********)3251()3251(2<-=--

=f ，故有根区间为]8

13

,3251[。 （8）若取中点64103=c 作为取根的近似值，其误差小于

032.0321

3251813<=- 取近似根6094.164

103*

≈=x ，可满足精度要求。 2说明方程04ln 2

=-+x x 在区间[1，2]内有惟一根*

x ，并选用适当的迭代法求*

x （精确至3位有效数），并说明所用的迭代格式是收敛的。（迭代法）

解：4ln )(2

-+=x x x f ]2,1[∈x

03)1(<-=f ，02ln )2(>=f ，0221

2)(>>+

='x

x x f ，故函数单调增加，因此，该方程在（1，2）之间存在着惟一的实根。 取迭代函数x x ln 4)(-=? ]2,1[∈x

显然21ln 4)(2ln 431=-≤≤-≤

1ln 41ln 41

)(<=-≤

--

='e

x

x x ?

故迭代k k x x ln 41-=+ （ ,2,1=k ）对任意初始值]2,1[1∈x 收敛。

对于初值5.11=x ，其迭代值分别为

8959.12=x ，8331.13=x ，8423.14=x ，8409.15=x

由于3154102

1

0014.0-?≤

=-x x ，故8409.15=x 作为近似值，已精确到了3位有效数字。 3设有解方程0cos 2312=+-x x 的迭代法n n x x cos 3

2

41+=+ (1)证明R x ∈?0均有

*lim x x n n =∞

>-（*

x 为方程的根）。(2)此迭代法的收敛阶是多少，证明你的结论。 (3) 取4

0=x 用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过3

10-，列出各次迭代值。（和收敛性讨论） 解(1)：x x cos 324)(+

=?，13

2

sin 32)(<≤-='x x ?（),(∞-∞∈x ），故该迭代对任意初值均收敛于方程的根*

x 。 解(2)：由**

cos 324x x +

=，故有3

2314324324310*πππ-<=+<<-=

2)(**≠-='x x ?，故该迭代的收敛速度是1阶的。

解(3):取40=x ，代入迭代式，可计算出以下结果：

5642.31=x ，3920.32=x ，3541.33=x ，3483.34=x ，3475.35=x

由于3

45100008.0-<=-x x ，取3475.3*

≈x 可满足精度要求。

4设)(**=x x ?，1)(max <='λ?x ，试证明：由 ,1,0)(1==+n x x n n ? ，得到的序列{}n x 收敛于*

x 。（收敛性证明）

证明：由)(*

*=x x ?知，方程)(x x ?=有根。

*01*12***1)()(x x x x x x x x x x n n n n n -≤≤-≤-≤-=-+-+λλλ??

由10<≤λ，当∞→n 时，有0*1→-+x x n ，即序列{}n x 收敛于*

x 。

5 设方程0sin 233=--x x 在[0,1]内的根为*

x ，若采用迭代公式n n x x sin 3

2

11-

=+，试证明：R x ∈?0均有*

*

(lim x x x n n =∞

→为方程的根)；此迭代的收敛阶是多少，证明你的结论。

（迭代法和收敛性讨论）

数值分析试题及答案汇总

数值分析试题 一、 填空题（2 0×2′） 1. ?? ????-=? ?????-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值，则x 有 2 位 有效数字。 2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ， f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____， ‖AX ‖∞≤_15_ __。 4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ，则使用该迭代 函数的迭代解法一定是局部收敛的。 5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商 公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。 7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=n i i x a 0)( 1 ；所以当 系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。 8. 要使 20的近似值的相对误差小于%，至少要取 4 位有效数字。 9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收 敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。 11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。 12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i =0,1,…,n )来实现的，其中的残差 r i ＝ (b i -a i1x 1-a i2x 2-…-a in x n )/a ii ，(i =0,1,…,n )。 13. 在非线性方程f (x )=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f (x )

数值分析试卷及答案

二 1 求A的LU分解，并利用分解结果求 解由紧凑格式 故 从而 故 2求证：非奇异矩阵不一定有LU分解 证明设非奇异，要说明A不一定能做LU分解，只需举出一个反例即可。现考虑矩阵，显然A为非奇异矩阵。若A有LU分解，则 故，而，显然不能同时成立。这矛盾说明A不能做LU分解，故只假定A非奇异并不能保证A能做LU分解，只有在A的前阶顺序主子式时才能保证A一定有LU分解。 3用追赶法求解如下的三对角方程组 解设有分解 由公式 其中分别是系数矩阵的主对角线元素及其下边和上边的次对角线元素，故有 从而有 故，，， 故，，， 4设A是任一阶对称正定矩阵，证明是一种向量范数 证明（1）因A正定对称，故当时，，而当时， （2）对任何实数，有 （3）因A正定，故有分解，则 故对任意向量和，总有 综上可知，是一种向量范数。 5 设，，已知方程组的精确解为 （1）计算条件数； （2）若近似解，计算剩余； （3）利用事后误差估计式计算不等式右端，并与不等式左边比较，此结果说明了什么？解（1） （2）

（3）由事后误差估计式，右端为 而左端 这表明当A为病态矩阵时，尽管剩余很小，误差估计仍然较大。因此，当A病态时，用大小作为检验解的准确度是不可靠的。 6矩阵第一行乘以一数成为，证明当时，有最小值 证明设，则 又 故 从而当时，即时，有最小值，且 7 讨论用雅可比法和高斯-赛德尔法解方程组时的收敛性。如果收敛，比较哪一种方法收敛较快，其中 解对雅可比方法，迭代矩阵 ， 故雅可比法收敛。 对高斯-赛德尔法，迭代矩阵 ，故高斯-赛德尔法收敛。 因=故高斯-赛德尔法较雅可比法收敛快。 8设，求解方程组，求雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法收敛的充要条件。 解雅可比法的迭代矩阵 ， 故雅可比法收敛的充要条件是。 高斯-赛德尔法的迭代矩阵 ， 故高斯-赛德尔法收敛的充要条件是。 9 设求解方程组的雅可比迭代格式为，其中，求证：若，则相应的高斯-赛德尔法收敛。证明由于是雅可比法的迭代矩阵，故 又，故， 即，故故系数矩阵A按行严格对角占优，从而高斯-赛德尔法收敛。 10设A为对称正定矩阵，考虑迭代格式 求证：（1）对任意初始向量，收敛； （2）收敛到的解。 证明（1）所给格式可化为 这里存在是因为，由A对称正定，，故也对称正定。 设迭代矩阵的特征值为，为相应的特征向量，则与做内积，有 因正定，故，从而，格式收敛。

数值分析第4章答案

第四章 数值积分与数值微分 1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度： 101210121 12120 (1)()()(0)(); (2)()()(0)(); (3)()[(1)2()3()]/3; (4)()[(0)()]/2[(0)()]; h h h h h f x dx A f h A f A f h f x dx A f h A f A f h f x dx f f x f x f x dx h f f h ah f f h -----≈-++≈-++≈-++''≈++-?? ?? 解： 求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。 （1）若101(1) ()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 令()1f x =，则 1012h A A A -=++ 令()f x x =，则 110A h Ah -=-+ 令2 ()f x x =，则 3 221123 h h A h A -=+ 从而解得 01 1431313A h A h A h -?=?? ?=?? ?=?? 令3 ()f x x =，则 3()0h h h h f x dx x dx --==? ? 101()(0)()0A f h A f A f h --++= 故 101()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --=-++? 成立。 令4 ()f x x =，则

数值分析课后题答案

数值分析 第二章 2．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。 解： 0120121200102021101201220211,1,2, ()0,()3,()4;()()1 ()(1)(2)()()2()()1 ()(1)(2) ()()6 ()()1 ()(1)(1) ()()3 x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------= =-+-- 则二次拉格朗日插值多项式为 2 20 ()()k k k L x y l x ==∑ 0223()4() 14 (1)(2)(1)(1)23 537623 l x l x x x x x x x =-+=---+ -+= +- 6．设,0,1,,j x j n =L 为互异节点，求证： （1） 0()n k k j j j x l x x =≡∑ (0,1,,);k n =L （2） ()()0n k j j j x x l x =-≡∑ (0,1,,);k n =L 证明 （1） 令()k f x x = 若插值节点为,0,1,,j x j n =L ，则函数()f x 的n 次插值多项式为0 ()()n k n j j j L x x l x == ∑。

插值余项为(1)1() ()()()()(1)! n n n n f R x f x L x x n ξω++=-= + 又,k n ≤Q (1)()0 ()0 n n f R x ξ+∴=∴= 0()n k k j j j x l x x =∴=∑ (0,1,,);k n =L 0 000 (2)()() (())()()(()) n k j j j n n j i k i k j j j i n n i k i i k j j i j x x l x C x x l x C x x l x =-==-==-=-=-∑∑∑∑∑ 0i n ≤≤Q 又 由上题结论可知 ()n k i j j j x l x x ==∑ ()()0 n i k i i k i k C x x x x -=∴=-=-=∑原式 ∴得证。 7设[]2 (),f x C a b ∈且()()0,f a f b ==求证： 21 max ()()max ().8 a x b a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤- 解：令01,x a x b ==，以此为插值节点，则线性插值多项式为 10 101010 ()() ()x x x x L x f x f x x x x x --=+-- =() ()x b x a f a f b a b x a --=+-- 1()()0()0 f a f b L x ==∴=Q 又

数值分析试卷及答案

二 1求A的LU分解，并利用分解结果求 解由紧凑格式 故 从而 故 2求证：非奇异矩阵不一定有LU分解 证明设非奇异，要说明A不一定能做LU分解，只需举出一个反例即可。现考虑矩阵，显然A为非奇异矩阵。若A有LU分解，则 故，而，显然不能同时成立。这矛盾说明A不能做LU分解，故只假定A非奇异并不能保证A能做LU分解，只有在A的前阶顺序主子式 时才能保证A一定有LU分解。

3用追赶法求解如下的三对角方程组 解设有分解 由公式 其中分别是系数矩阵的主对角线元素及其下边和上边的次对角线元素，故有 从而有 故，，， 故，，，

4设A是任一阶对称正定矩阵，证明是一种向量范数 证明（1）因A正定对称，故当时，，而当时， （2）对任何实数，有 （3）因A正定，故有分解，则 故对任意向量和，总有 综上可知，是一种向量范数。 5 设，，已知方程组的精确解为 （1）计算条件数； （2）若近似解，计算剩余； （3）利用事后误差估计式计算不等式右端，并与不等式左边比较，此结果说明了什么？解（1） （2） （3）由事后误差估计式，右端为 而左端

这表明当A为病态矩阵时，尽管剩余很小，误差估计仍然较大。因此，当A病态时，用大小作为检验解的准确度是不可靠的。 6矩阵第一行乘以一数成为，证明当时，有最小值 证明设，则 又 故 从而当时，即时，有最小值，且 7讨论用雅可比法和高斯-赛德尔法解方程组时的收敛性。如果收敛，比较哪一种方 法收敛较快，其中 解对雅可比方法，迭代矩阵 ， 故雅可比法收敛。 对高斯-赛德尔法，迭代矩阵

，故高斯-赛德尔法收敛。 因=故高斯-赛德尔法较雅可比法收敛快。 8设，求解方程组，求雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法收敛的充要条件。 解雅可比法的迭代矩阵 ， 故雅可比法收敛的充要条件是。 高斯-赛德尔法的迭代矩阵 ，

郑州大学数值分析重点考察内容及各章习题

《数值分析》 重点考察内容及各章作业答案 学院： 学号： 姓名：

重点考察内容 基本概念（收敛阶，收敛条件，收敛区域等）, 简单欧拉法。 第一章基础 掌握：误差的种类，截断误差，舍入误差的来源，有效数字的判断。 了解：误差限，算法及要注意的问题。 第二章插值 掌握：Hermite插值，牛顿插值，差商计算，插值误差估计。 了解：Lagrange插值 第三章数据拟合 掌握：给出几个点求线性拟合曲线。 了解：最小二乘原理 第四章数值积分微分 掌握：梯形公式，Simpson公式，代数精度，Gauss积分，带权Gauss积分公式推导，复化梯形公式推导及算法。 了解：数值微分，积分余项 第五章直接法 掌握：LU分解求线性方程组，运算量 了解：Gauss消去法，LDL，追赶法 第六章迭代法 掌握：Jacobi,Gauss-Seidel迭代格式构造，敛散性分析，向量、矩阵的范数、谱半径 了解：SOR迭代 第七章Nolinear迭代法 掌握：牛顿迭代格式构造，简单迭代法构造、敛散性分析，收敛阶。 了解：二分法，弦截法 第八章ODE解法 掌握：Euler公式构造、收敛阶。 了解：梯形Euler公式、收敛阶，改进Euler公式 题目类型：填空，计算，证明综合题

第一章 误差 1. 科学计算中的误差来源有4个，分别是________，________，________，________。 2. 用Taylor 展开近似计算函数000()()'()()f x f x f x x x ≈+-，这里产生是什么误差？ 3. 0.7499作 3 4 的近似值，是______位有效数字，65.380是舍入得到的近似值，有____几位有效数字，相对误差限为_______. 0.0032581是四舍五入得到的近似值，有_______位有效数字. 4. 改变下列表达式，使计算结果比较精确： （1）11,||1121x x x x --++ （2 ||1x （3） 1cos ,0,|| 1.x x x x -≠ （4）sin sin ,αβαβ-≈ 5. 采用下列各式计算61)时，哪个计算效果最好？并说明理由。 （1） （2 ）99-3 ）6 (3-（4 6. 已知近似数*x 有4位有效数字，求其相对误差限。 上机实验题： 1、利用Taylor 展开公式计算0! k x k x e k ∞ ==∑，编一段小程序，上机用单精度计算x e 的函数 值. 分别取x =1，5，10，20，-1，-5，-10，-15，-20，观察所得结果是否合理，如不合理请分析原因并给出解决方法. 2、已知定积分1 ,0,1,2,,206 n n x I dx n x ==+? ,有如下的递推关系 111 110 0(6)61666 n n n n n x x x x I dx dx I x x n ---+-===++-? ? 可建立两种等价的计算公式 (1) 1016,0.154n n I I I n -= -=取； (2) 12011),0.6n n I nI I n -=-=（取

数值分析第四章数值积分与数值微分习题答案

第四章 数值积分与数值微分 1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度： 101210121 12120 (1)()()(0)(); (2)()()(0)(); (3)()[(1)2()3()]/3; (4)()[(0)()]/2[(0)()]; h h h h h f x dx A f h A f A f h f x dx A f h A f A f h f x dx f f x f x f x dx h f f h ah f f h -----≈-++≈-++≈-++''≈++-?? ?? 解： 求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。 （1）若101(1) ()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 令()1f x =，则 1012h A A A -=++ 令()f x x =，则 110A h Ah -=-+ 令2 ()f x x =，则 3 221123 h h A h A -=+ 从而解得 011431313A h A h A h -?=?? ? =?? ?=?? 令3 ()f x x =，则 3()0h h h h f x dx x dx --==? ? 101()(0)()0A f h A f A f h --++=

令4()f x x =，则 455 1012()5 2 ()(0)()3 h h h h f x dx x dx h A f h A f A f h h ---== -++=? ? 故此时， 101()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≠-++? 故 101()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 具有3次代数精度。 （2）若 21012()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 令()1f x =，则 1014h A A A -=++ 令()f x x =，则 110A h Ah -=-+ 令2 ()f x x =，则 3 2211163 h h A h A -=+ 从而解得 1143 8383A h A h A h -?=-?? ? =?? ?=?? 令3 ()f x x =，则 22322()0h h h h f x dx x dx --==? ? 101()(0)()0A f h A f A f h --++=

数值分析试题及答案

一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和4 2. 已知求积公式 ()()2 1 121 1()(2)636f x dx f Af f ≈ ++? ，则A ＝（ ） A ． 16 B ．13 C ．12 D ．2 3 3. 通过点 ()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ） A ． ()00l x ＝0， ()110l x = B ． ()00l x ＝0， ()111l x = C ．() 00l x ＝1，()111 l x = D ． () 00l x ＝1，()111 l x = 4. 设求方程 ()0 f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。 A ．超线性 B ．平方 C ．线性 D ．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组 1231231 220223332 x x x x x x x x ++=?? ++=??--=? 作第一次消元后得到的第3个方程（ ）. A ． 232 x x -+= B ．232 1.5 3.5 x x -+= C ． 2323 x x -+= D ． 230.5 1.5 x x -=- 单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 得 分 评卷人 二、填空题（每小题3分，共15分）

1. 设T X )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = . 2. 一阶均差 ()01,f x x = 3. 已知3n =时，科茨系数()()() 33301213,88C C C ===，那么 () 33C = 4. 因为方程()420 x f x x =-+=在区间 []1,2上满足 ，所以()0f x =在区间 内有根。 5. 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题 ()211y y y x y ?'=+?? ?=? 的计算公式 . 填空题答案 1. 9和29 2. ()() 0101 f x f x x x -- 3. 1 8 4. ()()120 f f < 5. ()12 00.1 1.1,0,1,210.11k k y y k k y +???? ?=+? ?=+???? =??L 得 分 评卷人 三、计算题（每题15分，共60分） 1. 已知函数 21 1y x = +的一组数据： 求分 段线性插值函数，并计算 () 1.5f 的近似值. 计算题1.答案 1. 解 []0,1x ∈， ()1010.510.50110x x L x x --=?+?=---% []1,2x ∈，()210.50.20.30.81221x x L x x --=?+?=-+--%

数值分析试卷及其答案

1、（本题5分）试确定7 22 作为π的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。 解 因为 7 22 =3.142857…=1103142857 .0-? π=3.141592… 所以 312102 11021005.0001264.0722--?=?=<=- π （2分） 这里，3,21,0=-=+-=n n m m 由有效数字的定义可知7 22 作为π的近似值具有3位有效数字。 （1分） 而相对误差限 3102 1 0005.00004138.0001264.07 22-?= <≈= -= π π πε r （2分） 2、（本题6分）用改进平方根法解方程组：??? ?? ??=????? ??????? ??--654131*********x x x ； 解 设???? ? ??????? ? ?????? ??===????? ??--11111 1 131321112323121 32 132 31 21 l l l d d d l l l LDL A T 由矩阵乘法得： 5 7,21,215 27 ,25,2323121321- ==-== -==l l l d d d （3分） 由y D x L b Ly T 1 ,-==解得 T T x y )9 23 ,97,910(,)563, 7,4(== （3分） 3、（本题6分）给定线性方程组???????=++-=+-+=-+-=-+17 7222382311387 510432143213 21431x x x x x x x x x x x x x x 1）写出Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式； 2）考查Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式的敛散性； 解 1）Jacoib 迭代格式为

数值分析整理版试题及答案

数值分析整理版试题及答案

例1、 已知函数表 x -1 1 2 ()f x -3 0 4 求()f x 的Lagrange 二次插值多项式和Newton 二次插值多项式。 解： （1）k x -1 1 2 k y -3 0 4 插值基函数分别为 ()()()()()()()()()() 1200102121()1211126 x x x x x x l x x x x x x x ----= ==-------- ()()()()()()()() ()()021******* ()1211122x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+---+- ()()()()()()()()()()0122021111 ()1121213 x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+--+- 故所求二次拉格朗日插值多项式为 () ()()()()()()()()()()2 20 2()11131201241162314 121123537623k k k L x y l x x x x x x x x x x x x x ==?? =-? --+?-+-+?+-????=---++-=+-∑ （2）一阶均差、二阶均差分别为

[]()()[]()()[][][]010********* 011201202303 ,11204 ,412 3 4,,5 2,,126 f x f x f x x x x f x f x f x x x x f x x f x x f x x x x x ---===-----= = =----=== --- k x ()k f x 一阶 二阶 -1 -3 1 0 3/ 2 2 4 4 5/6 故所求Newton 二次插值多项式为 ()()[]()[]()() ()()()20010012012,,,35 311126537623P x f x f x x x x f x x x x x x x x x x x x =+-+--=-+ +++-=+- 例2、 设2 ()32f x x x =++，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=，{} span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。 解： 若{}span 1,x Φ=，则0()1x ?=，1()x x ?=，且()1x ρ=，这样，有

数值分析试卷及其答案2

1、（本题5分）试确定7 22作为π的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。 解 因为 7 22=3.142857…=1103142857.0-? π=3.141592… 所以 3 12 10 2 110 21005.0001264.07 22--?= ?= <=- π （2分） 这里，3,21,0=-=+-=n n m m 由有效数字的定义可知7 22作为π的近似值具有3位有效数字。 （1分） 而相对误差限 3 10 2 10005.00004138.0001264.07 22-?= <≈= -= π π πε r （2分） 2、（本题6分）用改进平方根法解方程组：???? ? ??=????? ??????? ??--654131321 112321x x x ； 解 设???? ? ? ?????? ? ?????? ??===????? ? ?--11 1 11113 1321 11232312132 1 32 31 21 l l l d d d l l l LDL A T 由矩阵乘法得： 5 7,21,21527,25,2323121321- == - == -==l l l d d d （3分） 由y D x L b Ly T 1 ,-==解得 T T x y )9 23,97,910( ,)5 63, 7,4(== （3分） 3、（本题6分）给定线性方程组??? ? ? ??=++-=+-+=-+-=-+17722238231138751043214321 321431x x x x x x x x x x x x x x 1）写出Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式； 2）考查Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式的敛散性； 解 1）Jacoib 迭代格式为

《数值分析》杨大地-标准答案(第八章)

数值分析第8章 数值积分与数值微分 8.1 填空题 （1）n+1个点的插值型数值积分公式∫f(x)dx b a ≈∑A j n j=0f(x j )的代数精度至少是 n ，最高不超过 2n+1 。【注：第1空，见定理8.1】 （2）梯形公式有 1 次代数精度，Simpson 公司有 3 次代数精度。【注：分别见定理8.1,8.3】 （3）求积公式∫f(x)dx h 0≈h 2[f (0)+f (h )]+ah 2[f ′(0)?f ′(h)]中的参数a= 1/12 时，才能保证该求积公式的代数精度达到最高，最高代数精度为 3 。 解：令f(x)=1,x,x 2带入有， { h 2[1+1]+ah 2[0?0]=h h 2[0+h ]+ah 2[1?1]=12 (h 2)h 2[0+h 2]+ah 2[0?2h ]=13 (h 3) //注：x 的导数=1 解之得，a=1/12，此时求积公式至少具有2次代数精度。 ∴ 积分公式为：∫f(x)dx h 0≈h 2[f (0)+f (h )]+h 2 12[f ′(0)?f ′(h)] 令 f(x)= x 3带入求积公式有：h 2 [0 +h 3]+ h 212 [0?3h 2]=14 (h 4)，与f(x)= x 4的定积分计算值1 4 (h 4)相等， 所以，此求积公式至少具有3次代数精度。 令f(x)= x 4带入求积公式有，h 2[0+h 4]+h 2 12[0?4h 3]=1 6(h 5)，与f(x)= x 5的定积分计算值1 5(h 5)不相等，所以，此求积公式的最高代数精度为3次代数精度。 8.2 确定下列求积公式的求积系数和求积节点，使其代数精度尽量高，并指出其最高代数精度。 解题思路：按照P149 中8.3式进行求解，根据求积公式中未知量n 的数量决定代入多少f(x)，当积分公式代入求积节点x n 的计算结果与定积分的计算结果一致，继续代入求积节点X n+1,，若计算结果与对应的定积分计算结果不一致时，求积公式拥有最高n 次的代数精度。 （1）∫f(x)dx 2h 0≈A 0f (0)+A 1f (h )+A 2f(2h) 解：令f(x)=1,x,x 2代入有,【注：本例中需求解A 0、A 1、A 2共3个未知量，故需3个相异求积节点f(x)】 {A 0+A 1+A 2=2h A 1h +A 22h =1 2(2h )2A 1h 2+A 2(2h )2=1 3(2h )3 求解得A 0=13h ，A 1=43h ，A 2=1 3h ， ∴求积公式为：∫f(x)dx 2h 0≈13hf (0)+43hf (h )+1 3 hf(2h) ∵该求积公式对3个相异节点1,x,x 2均有余项E (f )=0， //注：参见P149定理8.1 ∴该求积公式至少具有2次代数精度。 令f(x)= x 3，代入求积公式有：4 3hh 3+1 3h (2h )3=4h 4 ∵函数f(x) = x 3的定积分结果为：∫x 3dx 2h 0=1 4(2h )4=4h 4 ，与求积公式计算值相等， ∴该求积公式具有3次代数精度。

数值分析第四版习题及答案

第四版 数值分析习题 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=…) 计算到100Y .(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字. 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞ +? ? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误 差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算61)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 ln(ln(x x =- 计算,求对数时误差有多大?

数值计算第四章课后习题答案

()()()()()()()()()收敛较慢 代入上式得：将解： 收敛速度次并分析该迭代公式的迭代的根求方程 取试用迭代公式∴≠<<*'*+++-='∴+*+*=*∴=+?+?? ? ??===++= =∴++= ==-++=++=++014.01022220||10 2202613381013202132020 132010212010220. 2.0 20102110220 4.1222 222212012123021x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x k k k k k k k ?????? )))()()()[]()()[])49998.0cos 215.0cos 2 1,022,00cos 2 102 12,0210,2,0.cos 2 10sin 2 11,cos 2 113cos 2 12; 1.0cos 2 12.4120101==== ==->-=<-=-=>+='-===-+x x x x x x x f f x x x f x x f x x x f x x x x k k 则 取上有一个根在所以上在为单调递增函数故则令解： 位有效数字求出这些根，精确到用迭代公式分析该方程有几个根给定方程ππππ

500 .0105.0102.0||3412≈*?

数值分析习题集及答案Word版

数值分析习题集 （适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》） 长沙理工大学 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=…) 计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求2 1 1N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对 误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 1)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?

数值计算方法试题集及答案要点

《数值计算方法》复习试题 一、填空题： 1、 ?? ??? ?????----=410141014A ，则A 的LU 分解为 A ? ???????? ???=????????? ?? ?。 答案： ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(, 0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求 得?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：2.367，0.25 3、1)3(,2)2(, 1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数 为 ，拉格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对 1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 8、用二分法求非线性方程f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为( 1 2+-n a b )； 9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公

数值分析第四版习题和答案解析

第四版 数值分析习题 第一章绪论 1.设x>0,x的相对误差为δ,求的误差. 2.设x的相对误差为2％,求的相对误差. 3.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字: 4.利用公式求下列各近似值的误差限: 其中均为第3题所给的数. 5.计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许的相对误差限是多少 6.设按递推公式 ( n=1,2,…) 计算到.若取≈(五位有效数字),试问计算将有多大误差 7.求方程的两个根,使它至少具有四位有效数字(≈. 8.当N充分大时,怎样求 9.正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝ 10.设假定g是准确的,而对t的测量有±秒的误差,证明当t增加时S的绝对误差增加,而 相对误差却减小. 11.序列满足递推关系(n=1,2,…),若(三位有效数字),计算到时误差有多大这个计算过程 稳定吗 12.计算,取,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好 13.,求f(30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大若改用另一等价公式 计算,求对数时误差有多大 14.试用消元法解方程组假定只用三位数计算,问结果是否可靠 15.已知三角形面积其中c为弧度,,且测量a ,b ,c的误差分别为证明面积的误差满足 第二章插值法 1.根据定义的范德蒙行列式,令 证明是n次多项式,它的根是,且 . 2.当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)的二次插值多项式. 3.

4.给出cos x,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数 字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界. 5.设,k=0,1,2,3,求. 6.设为互异节点(j=0,1,…,n),求证: i) ii) 7.设且,求证 8.在上给出的等距节点函数表,若用二次插值求的近似值,要使截断误差不超过,问使用函 数表的步长应取多少 9.若,求及. 10.如果是次多项式,记,证明的阶差分是次多项式,并且为正整数). 11.证明. 12.证明 13.证明 14.若有个不同实根,证明 15.证明阶均差有下列性质: i)若,则; ii)若,则. 16.,求及. 17.证明两点三次埃尔米特插值余项是 并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 18.求一个次数不高于4次的多项式,使它满足并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 19.试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式,以便使它能够满足以下边界条件,,. 20.设,把分为等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数并证明当时,在上一致收敛到. 21.设,在上取,按等距节点求分段线性插值函数,计算各节点间中点处的与的值,并估计误 差. 22.求在上的分段线性插值函数,并估计误差. 23.求在上的分段埃尔米特插值,并估计误差. i) ii) 25.若,是三次样条函数,证明 i); ii)若,式中为插值节点,且,则. 26.编出计算三次样条函数系数及其在插值节点中点的值的程序框图(可用式的表达式). 第三章函数逼近与计算 1.(a)利用区间变换推出区间为的伯恩斯坦多项式. (b)对在上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误 差做比较. 2.求证: (a)当时,. (b)当时,. 3.在次数不超过6的多项式中,求在的最佳一致逼近多项式.

数值分析试题及答案

数值分析试题及答案 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 3.142和3.141分别作为的近似数具有（）和（）位有效数字. A．4和3 B．3和2 C．3和4 D．4和4 2. 已知求积公式，则＝（） A． B．C．D． 3. 通过点的拉格朗日插值基函数满足（） A．＝0，B．＝0， C．＝1，D．＝1， 4. 设求方程的根的牛顿法收敛，则它具有（）敛速。 A．超线性B．平方C．线性D．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组作第一次消元后得到的第3个方程（）. A．B． C．D． 单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 得分评卷 人 二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 设, 则， . 2. 一阶均差 3. 已知时，科茨系数，那么 4. 因为方程在区间上满足，所以在区间内有根。 5. 取步长，用欧拉法解初值问题的计算公式.填空题答案

1. 9和 2. 3. 4. 5. 得分评卷 人 三、计算题（每题15分，共60分） 1. 已知函数的一组数据：求分段线性插值函数，并计算的近似值. 计算题1.答案 1. 解， ， 所以分段线性插值函数为 2. 已知线性方程组 （1）写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式； （2）对于初始值，应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算（保留小数点后五位数字）. 计算题2.答案 1.解原方程组同解变形为 雅可比迭代公式为 高斯－塞德尔迭代法公式 用雅可比迭代公式得 用高斯－塞德尔迭代公式得 3. 用牛顿法求方程在之间的近似根 （1）请指出为什么初值应取2？ （2）请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001. 计算题3.答案

数值分析试卷及其答案1

1. 已知325413.0,325413*2*1==X X 都有6位有效数字，求绝对误差限。（4分） 解： 由已知可知6 5.0102 1 ,0,6,10325413.0016*1=?= =-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 620*2102 1 ,6,0,10325413.0-?= -=-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 2. 已知?? ???=0 01 A 220- ?????440求21,,A A A ∞ （6分） 解： {}, 88,4,1max 1==A 1分 {}, 66,6,1max ==∞A 1分 () A A A T max 2λ= 1分 ?????=0 1 A A T 4 2 ???? ? -420?????0 01 2 20 - ???? ?440= ?????0 01 80 ???? ?3200 2分 {}32 32,8,1max )(max ==A A T λ

1分 24322==A 3. 设32)()(a x x f -= （6分） ① 写出f(x)=0解的迭代格式 ② 当a 为何值时，)(1k k x x ?=+ （0,1……）产生的序列{}k x 收敛于 2 解： ①迭代格式为： x a x x x a x a x x a x x x f x f x x k k k k k k k k k k 665)(665)(6)()(')(2 2 32 1 += +=---=-=+? 3 分 ②时迭代收敛即当222,112 10)2(',665)('2<<-<-=-= a a x a x ?? 3分 4. 给定线性方程组，其中：?? ?=13A ?? ?2 2，?? ? ???-=13b 用迭代公式 )()()()1(k k k Ax b x x -+=+α（0,1……）求解，问取什么实数α ，可使 迭代收敛 （8分） 解： 所给迭代公式的迭代矩阵为?? ? --???--=-=ααααα21231A I B 2分