高中数学必修2综合测试题
一、选择题（本大题共2道小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、下图（1）所示的圆锥的俯视图为 （ ）
2
、直线30l y ++=的倾斜角α为 （ ）
A 、30 ；
B 、60 ；
C 、120 ；
D 、150 。
3、边长为a 正四面体的表面积是 （ ）
A 、
34a ； B 、312a ； C 、24
； D
2
。 4、对于直线:360l x y -+=的截距，下列说法正确的是 （ ）
A 、在y 轴上的截距是6；
B 、在x 轴上的截距是6；
C 、在x 轴上的截距是3；
D 、在y 轴上的截距是3-。
5、已知,a b αα?//，则直线a 与直线b 的位置关系是 （ ）
A 、平行；
B 、相交或异面；
C 、异面；
D 、平行或异面。
6、已知两条直线12:210,:40l x ay l x y +-=-=，且12l l //，则满足条件a 的值为
A 、1
2
-
； B 、12； C 、2-； D 、2。
7、在空间四边形ABCD 中，,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD DA 的中点。若
AC BD a ==，且AC 与BD 所成的角为60
，则四边形EFGH 的面积为 （ ）
图（1）
A
B
C
D
A 、
28a ；
B 、24a ；
C 、2
2
； D
2。 8、在右图的正方体中，M 、N 分别为棱BC 和棱CC 1的中点， 则异面直线AC 和MN 所成的角为（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．90°
D ． 60°
9、下列叙述中错误的是 （ ）
A 、若P αβ∈ 且l αβ= ，则P l ∈；
B 、三点,,A B
C 确定一个平面；
C 、若直线a b A = ，则直线a 与b 能够确定一个平面；
D 、若,A l B l ∈∈且,A B αα∈∈，则l α?。
10、两条不平行的直线，其平行投影不可能是 （ ）
A 、两条平行直线；
B 、一点和一条直线；
C 、两条相交直线；
D 、两个点。
11、长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3、4、5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是 （ ）
A 、25π；
B 、50π；
C 、125π；
D 、都不对。
12、给出下列命题
①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直 ②过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行 ③过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 ④过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直 其中正确命题的个数为（ ） A ．0个 B ．1个
C ．2个
D ．3个
二、填空题（本大题共4道小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上）
1 A
13、圆柱的侧面展开图是边长分别为2,a a 的矩形，则圆柱的体积为 ； 14．一个圆柱和一个圆锥的底面直径．．和它们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为 ．
15、过点（1，2），且在两坐标轴上截距相等的直线方程 16、已知,a b 为直线，,,αβγ为平面，有下列三个命题： （1） a b αβ////,，则a b // （2） ,a b γγ⊥⊥，则a b //； （3） ,a b b α?//，则a α// （4） ,a b a α⊥⊥，则b α//； 其中正确命题是 。
三、解答题（本大题共6道小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17、（本小题满分12分）如下图(2),建造一个容积为3
16m ，
深为2m ，宽为2m 的长方体无盖水池，如果池底的造价为120m 2
/元，池壁的造价为80m 2
/元，求水池的总造价。
18、（本小题满分12分）如下图(3)，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是平
行四边形，,M N 分别是,AB PC 的中点，求证：MN PAD //平面 。
2m
2m
图2
C
D
N
P
M
A
D
O
19、（本小题满分12分）如下图（4），在正方体1111ABCD A BC D -中， （1）画出二面角11A B C C --的平面角； （2）求证：面11BB DD ⊥面1ABC
20、（本大题8分）求经过M （-1，2）
，且满足下列条件的直线方程 （1）与直线2x + y + 5 = 0平行 ； （2）与直线2x + y + 5 = 0垂直；
21、（本小题满分12分）已知三角形ABC 的三个顶点是()()()4,0,6,7,0,8A B C （1） 求BC 边上的高所在直线的方程； （2） 求BC 边上的中线所在
22、（本小题满分14分）如下图（5），在三棱锥A BCD -中，,O E 分别是,BD BC 的中点，2CA CB CD BD ====,AB AD ==
（1） 求证：AO ⊥平面BCD ；
（2） 求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值 （3） 求点E 到平面ACD 的距离。
图（4）
1
A 1
B 1
D 1
C C
A
B
D
2m
2m
高中数学必修2综合测试题
(答案卷)
一、选择题（本大题共2道小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的）
二、填空题（本大题共4道小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上）
13、3
a π或32a π
； 14、3：1：2； 15、3,2+==x y x y 16、（2）。
三、解答题（本大题共6道小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤）
17、（本小题满分12分）如下图(2),建造一个容积为3
16m ，深为2m ，宽为2m 的长方体无盖水池，如果池底的造价为120m 2
/元，池壁的造价为80m 2
/元，求水池的总造价。
解：分别设长、宽、高为,,am bm hm ；水池的总造价为y 元
16,2,2V abh h b ==== ， 4a m ∴=———————————
——3分
则有2428S m =?=底————————6分
()2224224S m =?+?=壁—————9分
12080120880242880y S S =?+?=?+?=底壁（元）———————12分
18、（本小题满分12分）如下图(3)，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是平行四边形，,M N 分别是,AB PC 的中点，求证：MN PAD //平面 。
证明：如图，取PD 中点为E ，连接,AE EN
———1分
,E N 分别是,PD PC 的中点 1
2
EN DC ∴//
———————————————4分
M 是AB 的中点 12
A M D C
∴//
——————7分
EN AM ∴// ∴四边形AMNE 为平行四边形 —9分
AE MN ∴// ———————————————11分
又
AE APD
? 面
M N A P D ? 面 ∴M N P A D //平面 。
————————12分
19、（本小题满分12分）如下图（4），在正方体1111ABCD A BC D -中，
（1）画出二面角11A B C C --的平面角； （2）求证：面11BB DD ⊥面1ABC
解：（1）如图，取1B C 的中点E ,连接1,AE EC 。
B
C
A D
M N
P
图(3)
E
1D
1C
C
A
B D
E
11,,AC AB B C 分别为正方形的对角线 11AC AB B C ∴==
E 是1B C 的中点 1AE B C ∴⊥ ——————2分
又 在正方形11BB C C 中 11EC BC ∴⊥ ——————————3分
∴1AEC ∠为二面角11A B C C --的平面角。 ———————————4分
（2） 证明： 1D D ABCD ⊥ 面，AC ABCD ?面 1D D A C ∴⊥ ——6分 又 在正方形ABCD 中 AC BD ∴⊥ —————————————8分
1D D BD D = 11AC DD B B ∴⊥面 ————————————10分
又1AC ABC ? 面 ∴面11BB DD ⊥面1ABC
———————————12分 20、（本小题满分12分） 点M （-1，2）
（1）2-=k -----3分 直线方程为02=+y x --------5分 （2）2
1
=
k ---------6分 直线方程为052=+-y x --------8分 21、（本小题满分12分）已知三角形ABC 的三个顶点是()()()4,0,6,7,0,8A B C （1） 求BC 边上的高所在直线的方程； （2） 求BC 边上的中线所在直线的方程解：（1）如图，作直线AD BC ⊥，垂足为点D 。
781
606
BC k -=
=-- —————2分 BC AD ⊥ 1
6AD BC
k k ∴=-
= 4分 由直线的点斜式方程可知直线AD 的方程为： ()064y x -=-化简得： 624
y x =- 6分 （2）如图，取BC 的中点()00,E x y ，连接AE 。
由中点坐标公式得000632
8715
22
x y +?==???+?==??，即点153,2E ?? ??? ———————9分
由直线的两点式方程可知直线AE 的方程为：15
02
430
y x --=
-- ——————11分 化简得：5
102
y x =- ——————————————————————12分
22、（本小题满分14分）如下图（5），在三棱锥A BCD -中，,O E 分别是,BD BC 的中点，2CA CB CD BD ====
,AB AD ==
（1） 求证：AO ⊥平面BCD ； （2） 求异面直线AB 与BC 所成角的余弦值； （3） 求点E 到平面ACD 的距离。
（1）证明：连接OC ,BO DO AB AD ==
AO BD ∴⊥ ————————1分
,BO DO BC CD ==
CO BD ∴⊥ ———————2分
在AOC 中，
由已知可得1,AO CO == 而2
2
2
2,AC AO CO AC =∴+=
90AOC ∴∠= ，即AO OC ⊥ ————4分 BD OC O = AO BCD ∴⊥平面 —————5分
（2）解：取AC 的中点M ，连接,,OM ME OE
由E 为BC 的中点知 ,ME AB OE DC ////
∴直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线
AB 与CD 所成的角。 ——————6分
在OME 中
, 12EM AB =，112OE DC ==
E
A
B
C
图（5）
D
O
E
A
B
C
图（5）
D
O M
OM 是Rt AOC 斜边AC 上的中线
112OM AC ∴=
= —————————8
分cos 4
OEM ∴∠= ———————————————————10分
（3）解：设点E 到平面ACD 的距离为h 。
E ACD A CDE V V --= ——————12分11
33
ACD CDE h S AO S ∴?=??
在ACD
中，2,CA CD AD ===
12ACD S ∴=
=
而211,22CDE AO S ==
=
CDE ACD AO S h S ?∴=
=
∴点E
到平面的距离为7————————14分