概 率
（1）随机事件——概率学把“可能性”引进数学
在概率学中，我们称一定发生的事件为必然事件，不可能发生的事件是不可能事件，可能发生也可能不发生的事件是随机事件. 概率也就是事件发生的可能性.所以必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0，而随机事件的概率在区间（0，1）之中. 【例1】 同时掷两枚骰子，则以下事件各是什么事件？ （1） 点数之和是正整数； （2） 点数之和小于2； （3）
点数之和是3的倍数.
【解析】（1）是必然事件，（2）是不可能事件；（3）是随机事件.
（2）等可能事件——概率公式的起源
如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且这n 个结果出现的可能性相同，则称这类事件为等可能事件.由此导出基本概率公式是：
()m P A n =
.（其中n 和 m 分别表示基本事件总数和事件A 发生的次数.）
【例2】将一枚骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次．．成等差数列的概率为 （ ） Ａ．
19
Ｂ．
112
Ｃ．
115
Ｄ．
118
【解析】抛掷一枚骰子后，出现任何一面的可能性相同.所以本题属于等可能事件.
一枚骰子连续抛掷三次，则基本事件总数3
6216n ==；设事件A ；连掷3次所得点数依次成等差数列，那么3数相等时有111，222，…666等六种；3数不相等时有123，234，345，456，135，246及其反序数等12个.于是事件A 发生的次数61218m =+=种.
故()181216
12
P A ==
.选B.
（3）互斥事件——概率的加法原理
在某种试验中，不能同时发生的事件称为互斥事件.如果A 、B 是互斥事件，那么：
()()()P A B P A P B ?=+.
【例3】在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（ ）
A ．
310
B ．
15
C ．
110
D ．
112
【解析】设小球标注的数字之和为3与6的事件分别为A 、B.显然A 与B 不能同时成立，是互斥事件.
由于基本事件总数2
510.n C ==事件A 只有1+2=3一种，；事件B 有1+5=2+4=6两种，.∵A 与B 互斥，
()(
)()12
3
1010
P A B P A P B
+∴?=+==.选A.
（4）对立事件——两互斥事件的特写
在一次试验中，如果事件A 与B 一定恰有一个发生，则称事件A 与B 是对立事件. 注意对立事件必然互斥，但是互斥事件不一定对立.
一般地，记A 的对立事件为A .由于A 与A 具有互补性，所以()()1P A P B +=.这是简化概率计算的基本公式.
【例4】8个篮球队中有2个强队，先任意将这8个队分成两个组(每组4个队)进行比赛，这两个强队被分在一个组内的概率是多少? 【解析】 我们用a 、b 分别记八个队中的两个强队. 令C =“a 队与b 队分在同一组”， 则C =“a 队与b 队不在同一组”.
a 队与
b 队不在同一组，只能分成两种情况：a 队在第一组，b 队在第二组，此时有C 3
6·C 3
3＝C 3
6种分法；a 队在第二组，b 队在第一
组，此时有C 36·C 33＝C 36种分法.这些分法中任何两种都是不同的，因此，有C 36+ C 36种分法. 八个队平分成的两组的分法共C
4
8
·C
44
= C
48
种.每一种分法是一基本事件，任何两个基本事件都是等可能的.这样，
P (C )=
7
41454545C C C 48
3
6
36 =
??+?=
+，
∴P (C )=1-P (C )=1-
7
4=
7
3.
【点评】 应抓住两个强队被分在一组和不同一组是对立的事件，由此入手来解之.
（5）相互独立事件——概率的乘法原理
如果事件A 与B 的发生互相没有影响，则称事件A 与B 为相互独立事件.
特别注意：不能将互斥事件与相互独立事件搞混，前者相互约束，而后者相互无关；前者不可能同时发生，而后者可以同时发生. 如果A 与B 是相互独立事件，那么A 与B 同时发生的概率是：()()()P A B P A P B ?=?.
【例5】甲、乙两个袋中均有红、白两种颜色的小球,这些小球除颜色外完全相同,其中甲袋装有4个红球、2个白球, 乙袋装有1个红球、5个白球.现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球,则取出的两球都是红球的概率为 ．(答案用分数表示)
【分析】分别从甲、乙两袋中随机地取球，则取球的结果相互没有影响.所以本题中发生的事件是相互独立事件. 【解析】两袋中各有6个球，则各取1球的基本事件总数为1
1
6636C C ?=.
设从甲袋中取出一个球是红球的事件为A ，从乙袋中取出一个球是红球的事件为B ，那么()()41,6
6
P A P B ==
.故“取出的两球
都是红球的概率”是()()4116
6
9
P A P B ?=
?
=
.
（6）独立重复试验——加法原理与乘法原理的复合
在调查某事件发生的概率时，往往要做大量重复的试验.这些试验不仅相互独立，而且都是同一类型的等可能事件.我们称这种试验为独立重复试验.
独立重复试验中的概率计算公式是：()()
1k
k
k
n n P k C P
P =-.
【例6】甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜．根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0．6，则本次比赛甲获胜的概率是（ ）
(A1 0．216 (B)0．36 (C)0．432 (D )0．648
【分析】两人赛球不止一局，且每局每人获胜的概率相同.所以本题这种赛球属于独立重复试验. 【解析】设事件A ：在“3局2胜”的球赛中甲获胜，则A 有3种可能. （1） 前两局甲胜，其概率为2
10.6P =；
（2）
1、3局胜，2局负，其概率为2
20.60.40.60.60.4P =??=? （3）
首局负，2、3局胜，其概率为230.40.60.60.60.4P =??=?
显然3种情况互斥，()()2
0.610.40.40.648P A ∴=++=，故选D.
【说明】本题虽然属于独立重复试验.的题型，却有不能死套公式.这是因为：如果甲前两局获胜，则无须打第3局.
（7）和事件——概率计算与集合计数
在某次试验中，如果事件A 与B 不互斥，则计算A 与B 都发生的概率不能用简单的加法，这是因为事件A 与B 含有交叉的部分，而
这部分被重复计算一次，应该把重复计算的数据减去.和事件的正确计算方法是：()()()()P
A B P A P B P A B ?=+-?.
【例7】某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．
（I ）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；
（II ）任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培养的概率．
【分析】在题设的两项培训中，每个下岗人员都有3种选择方法：参加1项、两项或不参加培训.所以仅根据现有数据，无法判断哪些是仅参加了一项培训，哪些是两项培训都参加了的.所以本题属于典型的计算和事件的题型.
【解析】设事件A 表示参加财会培训，事件B 表示参加计算机培训，则A B ?表示同时参加两项培训.()()()0.6,0.75,0.60.750.45.P A P B P A B ==∴?=?=
（I ）
任选1名下岗人员，则该人参加过培训的概率是：
()()()()0.60.750.450.9P A B P A P B P A B ?=+-?=+-=.
（II ）
设事件C 表示3人中至少有2人参加培训，则事件A 表示3人中至多1人参加培训.
根据（I ），三人中无人参加培训的概率是()3
110.90.001P =-=；而三人中恰1人参加培训的概率是：
()2
1
230.90.10.027P C =??=.这两种情况互斥，()
0.0010.0270.028P C ∴=+=
于是3人中至少有2人参加培训的概率是()10.0280.972.P C =-= 三类概率问题的求解策略
对于一个概率题，我们首先要弄清它属于哪一类型的概率，因为不同的类型需要采取不同类型的概率公式和求解方法；其次，要审清题意，注意问题中的关键语句，因为这些关键语句往往蕴含着解题的思路和方法。
下面略举数例谈谈几种概率应用题的解题技巧和策略。 一、可能性事件概率的求解策略
对于可能性事件的概率问题，除了要用到排列、组合的知识来解决外，还要用到排列、组合的解题思路和方法，同时，在利用概率的古典定义来求可能性事件的概率时，应注意按下列步骤进行：求出基本事件的总个数n;②求出事件A 中包含的基本事件的个数m;③求出事件A 的概率，即n
m A P =
)(
例1 甲、乙两名学生参加某次英语知识竞赛，该竞赛共有15道不同的题，其中听力题10个，判断题5个，甲乙两名学生依次各抽一题。分别求下列问题的概率：
（1）甲抽到听力题，乙抽到判断题；（2）甲乙两名学生至少有一人抽到听力题。 解析 甲、乙依次抽一题的结果有2101
141
15==C C n （个）
（1）甲抽到听力题、乙抽到判断结果有501
51
10==C C n （个），故所求概率为21
5)(=
=
m
n
A P ；
（2）（用间接法）甲、乙两名学生都抽不到听力题的结果有201
41
5==C C m ，其概率为21
2)(=
=m
n A P ，从而甲乙两名学生至少
有一人抽到听力题的概率为21
1921
2
1=
-
。
二、互斥事件概率的求解策略
对于互斥事件的概率问题，通常按下列步骤进行：①确定众事件彼此互斥；②众事件中有一个发生；先求出众事件分别发生的概率，然后再求其和。
对于某些复杂的互斥事件的概率问题，一般应考虑两种方法：一是“直接法”，将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是用“间接法”，即先求出此事件的对立事件的概率)(A P ，再用)(1)(A P A P -=求出结果。
例2 从12双不同颜色的鞋中任取10只，求至少有一双配对的概率。
解析 直接法 记“取出10只鞋中恰好有1双、2双、3双、4双、5双配对的概率分别为)(1A P 、)(2A P 、)(3A P 、)(4A P 、)(5A P 则至少有一双配对的概率为
10
24
8
81111210
24
6
61021210
24
4
4931210
24
2
284121024
5
122
2
2
2
)5()4()3()2()1()(C C C C C C C C C C C C C C A P A P A P A P A P A P +
+
+
?+
=++++=
间接法 设至少有一双配对的概率为P （A ），则)(A P 为所抽的10只鞋都不配对的概率，即
1024
10
10122
)(C
C A P ?=
，所以
10
2410
10
1221)(C
C A P ?-
=
三、相互独立事件同时发生的概率的求解策略
对于相互独立事件同时发生的概率问题，其求解的一般步骤是：①确定众事件是相互独立的；②确定众事件会同时发生；③先求每个事件发生的概率，再求它们的积。
例3 在我军的一场模拟空战演习中，我军甲、乙、丙三名飞行员向同一假想敌机炮击，已知甲乙丙三名飞行员击中敌机的概率分别为0.4、0.5和0.7。（1）求敌机被击中的概率；
（2）若一名飞行员击中，敌机坠毁的概率是0.2，若两名飞行员击中，敌机坠毁的概率是0.6，若三名飞行员击中，则敌机必然坠毁，求敌机坠毁的概率。
解析 （1）设P （A ）、P （B ）、P （C ）分别表示甲、乙、丙三名飞行员击中敌机的概率，则三名飞行员同时没有击中敌机的概率为
,09.0)7.01)(5.01)(4.01()(=---=??C B A P ，故敌机被击中的概率为.
91.0)(1)
(=??-=C B A P A P 。
（2）设一名飞行员击中，两名飞行员击中、三名飞行员击中敌机的事件分别为1A 、2A 、3A 则
36
.07.05.0)4.01()7.01(5.0)4.01()7.01(5.04.0)(1=??-+-??-+-??=A P
5.0)4.01()7.01(5.04.0)(2?-+-??=A P ;41.07.05.04.07.0=??+?
458.01)14.06.041.02.036.0)(=?+?+?=A P
概率的计算方法
一、公式法
利用公式P =（随机事件）
随机事件可能出现的结果数随机事件所有可能出现的结果数
就可以计算随机事件的概率，这里1=（必然事件）P ，0=（不可能事件）
P ，
如果A 为不确定事件，那么0＜）（A P ＜1．
例1．中国体育彩票每100万张一组，每张2元，设特等奖1名，奖金30万元；一等奖10名，各奖5万元；二等奖10名，各奖1万元；三等奖100名，各奖100元；四等奖1000名，各奖20元；五等奖10万名，各奖2元．小王花2元买了1张彩票，那么他获奖的概率是多少？他得特等奖、一等奖、二等奖、三等奖、四等奖、五等奖的概率分别是多少？
解：一组体育彩票等分成100万份，其中特等奖1份，一等奖是10份，二等奖是10份，三等奖100份，四等奖是1000份，五等奖是10万份，因此对于小王来说，有
10121.01000000101121
100000100000
100010010101(==
+++++=
获奖）P ．
6
(1010000001-==获特等奖）P ；5
(10100000010-==获一等奖）
P ；5
(101000000
10-==获二等奖）P ； 4
(10
1000000
100-==
获三等奖）P ；3
(10
1000000
1000-==获四等奖）P ；1
(10
1000000
100000-==
获五等奖）P ．
二、列表法
例2．如果每组3张牌，它们的牌面数字分别是1，2，3，那么从每组牌中各摸出一张牌，两张牌的牌面数字和为几的概率最大？两张牌的牌面数字和等于4的概率是多少？ 解：利用列表法：
列表中两次出现1，2，3点的可能性相同，因而共有9中可能，而牌面数字和等于4的情况有（1，3），（2，2），（3，1），3中可能，所以牌面数字和等于4的概率等于
9
3，即
3
1．
三、树状图法
如上题的另一中解法，就利用用树状图法来解：
总共9种情况，每种情况发生的可能性相同，而两张牌的牌面数字和等于4的情况出现得最多，共3次，因此牌面数字和等于4的概率最大，概率为等于
9
3，即
3
1．
例3．求：连续掷一枚均匀的硬币，出现一正一反的概率． 解：本题采用树状图分析法：
由树状图知共有4种可能，出现“一正一反”的有两种，概率为2
142=，即2
1)(=
一正一反P ．
本题也可采用列表法来解：
由表知共有4种可能，出现“一正一反”共2次，概率为2
14
2=
，即2
1)(=
一正一反P ．
四、面积法
几何概型的概率的求解方法往往与面积的计算相结合
例4．如图，矩形花园ABCD ，AB 为4米，BC 为6米，小鸟任意落下，则小鸟落在阴影区的概率是多少？ 解：矩形面积为：4×6＝24（米2
）， 阴影部分面积为：
12642
1=??（米2）， 2
124
12==
（小鸟落在阴影区）
P ．
练习：
1．袋中装有3个红球，1个白球，除颜色外完全相同．
（1）用实验的方法估计，从袋中随机摸出一球，是白球的概率． （2）计算从袋中随机摸出一球，是白球的概率是多少？
（3）实验估计结果与理论概率一致吗？为什么？你认为要得到较为准确的估计值，应注意哪些问题？
2．在摸牌游戏中，每组有三张牌，第一组牌面数字分别是2，3，4，第二组牌面数字分别是3，4，5，从每组牌中各摸出一张牌，两张牌的牌面数字和为几的概率最大？是多少？
3．三张除数字完全相同的纸牌，数字为1，2，3，每次抽取一张为一次实验，多少次实验后汇总下表： 3
1 1
1
2
2
2
3
（4） （5） （4） 开始
2
1
3
3
（2） （3） （3） （4） （5） （6）
正 反
反
正 开始
反
正
（正，正） （正，反） （反，正） （反，反）
A B
C
D
（1）将表格补充完整；
（2）观察上面的表格，你估计出现奇数的概率为多少？ （3）通过对表格的仔细观察，你有什么想法和感悟？
4．一张有重要情报的纸片，被随意藏在下面涂有黑、灰、白三种颜色的图形中． （1）藏在那种颜色的区域的概率最大？ （2）藏在哪两种颜色区域内的概率相同？ （3）分别计算藏在三种颜色区域内的概率？
6．如图3，有两个可以自由转动的均匀转盘A ，B ，转盘A 被均匀地分成4等分，每份分别标上1、2、3、4四个数字；转盘Ｂ被均匀地分成6等分，每份分别标上1、2、3、4、5、6六个数字，有人为甲、乙两人设计了一个游戏，其规则如下： （1）同时自由转动转盘A 与B ；
（2）转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分格线上，那么重转一次，直到指针指向某一数字为止），用所指的两个数作乘积，如果得到的积是偶数，那么甲胜；如果得到的积是奇数，那么乙胜（如转盘A 指针指向3，转盘B 指针指向5，3×5＝15，按规则乙胜）．
你认为这样的规则是否公平？请说明理由；
例析概率问题与各章知识的精彩交汇
概率问题与函数知识的交汇
例1：多项飞碟是奥运会的竞赛项目，它是由抛靶机把碟靶（射击的目标）在一定范围内从不同的方向飞出，每抛出一个碟靶，就允许运动员射击两次.一运动员在进行训练时，每一次射击命中碟靶的概率P 与运动员离碟靶的距离S （米）成反比，现有一碟靶抛出后S （米）与飞行时间t （秒）满足S=15（t+1），（0≤t ≤4）.假设运动员在碟靶飞出后0.5秒进行第一次射击，且命中的概率为0.8，如果他发现没有命中，则通过迅速调整，在第一次射击后经过0.5秒进行第二次射击，求他命中此碟靶的概率？ [解析]：设P=
S
K （K 为非0常数），则P=
)
115+t K （当t=0.5秒时，P 1=0.8 ,代入上式得K=18 ， ∴P=
=
+)
11518t （)
156+t （∴
当t=1秒时，P 2=0.6因此 P= P 1+（1- P 1）×P 2=0.8+（1-0.8）×0.6=0.92 一、 概率问题与向量、数列知识的交汇
例2：从原点出发的某质点M ，按向量a =(0,1)移动的概率为2/3，按向量b =（0，2）移动的概率为1/3，设M 可到达点（0，n ）的概率为P n (1)求P 1和P 2的值；（2）求证：12++-n n p p =)3
1
1n n p p --+（;(3)求n p 的表达式。
[解析]：（1）P 1=
3
2 ，P 2=（
3
2）2+
31
=??
?
??97
（
2）证明：M 到达点（0，n+2）有两种情况：①从点（0，n+1）按向量a =（0，1）移动；②从点（0，n ）按向量b =（0，2）移动. ∴123
2++=
n n p p +
n p 31
∴12++-n n p p =)3
1
1n n p p --+（ （3）数列{n n p p -+1}是以P 2-P 1为首项，-
3
1
为公比的等比数列.
图
n n p p -+1= (P 2-P 1)(-
3
1)n-1=
9
1(-
3
1)n-1=(-
3
1)n+1,∴1--n n p p =(-
3
1)n ,
又∵1p p n -=（1--n n p p ）+（1-n p 2--n p ）+…+(P 2-P 1) =(-3
1)n +(-
3
1)n-1+…+(-
3
1)2=(
12
1)[1- (-
3
1)n-1]
∴1p p n =+(
12
1)[1- (-
3
1)n-1]=
+
4
3?4
1(-
3
1)n
二、 概率问题与平面几何知识的交汇
例3：两人相约在7点到8点在某地会面，先到者等候另一个人20分钟方可离去. 试求这两人能会面的概率？ [解析]：（如图）这是几何概型问题. 以X 、Y 分别表示两人到达时刻，建立直角坐标系如图：
则0≤X ≤60， 0≤Y ≤60。两人能会面的充要条件是|X-Y|≤20
∴P=
9
560
206060
2
2
2
=
--=
）（阴OABC
S S
三、 概率问题与立体几何知识的交汇
例4：质地均匀的三个几何体A 、B 、C. A 是硬币，正面涂红色，反面涂黄色；B 是正四面体涂了红黄蓝白四色，每面一色；C 是正方体，每面涂一色，涂有红黄蓝三色，每种颜色两个面，在水平
地面上依次投A 、B 、C 各一次，几何体与地面接触的面的颜色称为“保留色”。 （1） 求A 、B 、C 的“保留色”相同的概率；
（2） 求A 、B 、C 的“保留色”恰为两个红色的概率； （3）
求A 、B 、C 的“保留色”互不相同的概率；
[解析]：（1`）∵当A 、B 、C 的“保留色”相同可分为同红或同黄，∴ P 1=
31
412131412
1?
?
+
?
?
=
12
1
（2）∵“恰为两个红色”有三种情况，即A 、B 同红色；B 、C 同红色；A 、C 同红色∴P 2=+
??+??314321
32
41
21
3
1
4121??=4
1
（3）解法（一）按先投A ，再投C ，最后投B 的顺序可得P 3=
4
13
12
112
12
12
C
C
C
??=
3
1
解法（二）按先投A ，再投B ，最后投C 的顺序则需分两类，当B 投得的“保留色”为白色时，则此时三者的“保留色”互不相同的概率是
3
14
12
112
1
1
12
C
C C
??=
6
1 ；
当B 投得的“保留色”不为白色时，则此时三者的“保留色”互不相同的概率是
3
14
12
11
1
12
12
C C
C
??=
6
1，
∴A 、B 、C 的“保留色”互不相同的概率P 3=
6
1+
6
1=
3
1
解法（三）反面解之，P 3=1- P 1-2P 2 -
3
14
1?
（其中
3
14
1?
为B 、C 同蓝色的概率）
由上观之，对概率知识的学习，尤其是高三总复习阶段，如果能打破知识条块系统的限制，串点成线，寻找合适的知识载体，精心选编复习内容，在知识的交汇点，方法的多样性，思维的灵活性能力的综合性上讨论问题，将有利于提高学习效益. 附相关练习及答案：
1、从集合｛0，1，2，3，5，7，11｝中任取3个元素分别作为方程Ax+By+C=0中的A 、B 、C 。所得直线恰好经过坐标原点的概率是 。
2、将一个各个面上均涂有红颜色的正方体锯成64个同样大小的小正方体。 (1)从这些小正方体中任取1个，其中恰好有奇数个面涂有红颜色的概率是多少？
(2)从这些小正方体中任取2个，至少有一个小正方体的某个面或某几个面涂有红颜色的概率是多少？
3.、在某物理实验中，有两粒子a ，b 分别位于同一直线上A 、B 两点处(如图所示)，|AB |＝2，且它们每隔1秒必向左或向右移动1个单位，
如果a 粒子向左移动的概率为
3
1，b 粒子向左移动的概率为
5
2.
(1)求2秒后，a 粒子在点A 处的概率；(2)求2秒后，a ，b 两粒子同时在点B 处的概率. 4．袋里装有35个球，每个球上都标有从1到35的一个号码，设号码n 的球重
1553
2
+-n n
（克）．这些球以等可能性（不受重量的
影响）从袋里取出．（1）如果任意取出一球，试求其重量大于号码数的概率；（2）如果同时任意取出二球，试求它们重量相同的概率． 5．某超市为扩大销售调查进入该超市顾客的人数，经观察，在一段时间内，进入超市为n 个人的概率为p (n)满足关系
??
???≥≤≤=)6(0)
51)(0()2
1()(n n p n p n
（1） 求一个顾客也没有的概率p （0）；（2）求一段时间进入该超市顾客的期望值。
1答
7
1 ，2答、(1)2164
2481=
+=
P (2)72
711)(12
64
2
8
2=
-
=-=C C A P P ，
3答. (1)
3
1×
3
2+
3
2×
3
1=
9
4.(2)
9
4×
25
12=
75
16.
4．解（1）由不等式
n n n
>+-1553
2
得n ＞15，n ＜3，由题意知n ＝1，2，或n ＝16，17，…，35．于是所求概率为
35
22 （2）设第
n 号与第m 号的两个球的重量相等，其中n ＜m ，则有
1553
1553
2
2
+-=
+-m m n n
，所以0)(15)(2
2=---m n m n ，因为n ≠m ，
所以n ＋m ＝15，（n ，m ）＝（1，14），（2，13），…（7，8），但从35个球中任取两个的方法数为5952
13435C 2
35=??=，故，所求概率
为
85
1595
7=
巧求概率
一、注意每次实验的步数，有放回与无放回
例1 袋中有1个白球，2个黄球，问（1）从中一次性地随机摸出2个球，都是黄球的概率是多少？ （2）先从中摸出一球，再从剩下的球中摸出一球，两次都是黄球的概率是多少？ （3）先从中摸出一球，将它放回口袋中后，再摸一次，两次都是黄球的概率是多少？
解析：（1）从袋中一次性地摸出2个球，作为一次实验，此实验就此一步，从袋中一次性地摸出2个球的结果总数为3，都是黄球的结果数为1，所以概率为
13
．
（2）先从中摸出一球，再从剩下的球中摸出一球，作为一次实验，此实验分为两步，第一步为：从袋中摸出一球，第二步为：再从剩下的球中摸出一球． 法一：画树状图．
由树状图可看出，总结果数为6，两次都是黄球的结果数为2，所以两次都是黄球的概率为
216
3
=
．
法二：第一步从袋中摸出一个黄球的概率为
23
，当第一步摸出了黄球时，剩下的两个球为1个白球，1个黄球，所以此时第二步再从
剩下的两个球中摸出一个黄球的概率为
12
．即在第一步
23
的概率中，第二步又有
12
的概率，所以两次都是黄球的概率为两步概率的乘积
2113
2
3
?
=
．
（3）先从中摸出一球，将它放回口袋中后，再摸一次，作为一次实验，此实验分为两步，第一步为：从袋中摸出一球，第二步为将摸出的球放回袋中，使袋中始终保持三个球，再从中摸出一球．
法一：因为每次摸球都是从三个球中摸出一个，所以每次摸黄球的概率都为
23
，二次都摸到黄球的概率为
2243
3
9
?
=
．
法二：每次摸球的结果都是3，对于第一次的每个结果，第二次都有3个结果与之对应，所以两次摸球的结果总数为两次结果的乘积
339?=，每次摸黄球的结果数都为2，所以两次都摸到黄球的结果数为224?=，概率为
49
．
法三：列表格．法四：画树状图．
小结：由（1）、（2）比较可以看出，无放回地两次都摸黄球的概率与一次性地摸两个黄球的概率是一样的．
求概率的方法有多种，其中树状图和表格的方法，思路清晰，各种情况一目了然，但相对来说较麻烦，而（3）中的法一、法二相对较简单，归纳如下：如果一次实验分两步进行，第一步的等可能结果数为m ，第二步的等可能结果数为n ，则总等可能结果数为各步结果数的乘积mn ．第一步事件A 的发生的概率为P （A ），第二步事件B 发生的概率为P （B ），则事件A 、B 同时发生的概率为各步概率乘积P （A ）P （B ）．
二、注意找出所有符合要求的情况
例2 用下图所示的转盘进行配紫色（红色与蓝色配成）游戏：其中A 转盘蓝色部分占整个转盘的
13
．求游戏者获胜的概率？
解析：配成紫色的情况为（红，蓝），（蓝，红），括号里两种颜色分别表示转盘A 、B 的指针所指的颜色． 对于情况（红，蓝），转盘A 指向红色的概率为23
，转盘B 指向蓝色的概率为
12
，所以情况（红，蓝）的概率为
2113
2
3
?
=
．
同理情况（蓝，红）的概率为
1113
2
6
?
=
．所以配成紫色的概率为
1113
6
2
+
=
．
本题也可用表格或树状图来解．
小结：本题中符合要求的情况为两种，这两种情况不可能同时发生，它们的概率之和就是所求概率．
《概率与统计》预测题
预测题一：（文科与理科） 从原点出发的某质点M ，按照向量(1,0)=
a 移动的概率为
5
3，按照向量(2,0)=
b 移动的概率为
5
2，
设可到达点)0,(n 的概率为n P ．（Ⅰ）求概率1P 、2P ；（Ⅱ）求2+n P 与n P 、1+n P 的关系并证明数列{}12++-n n P P 是等比数列；（Ⅲ）求n P ．
解析： (Ⅰ)M 点到达点)0,1(的概率为5
31=
P ；M 点到达点)0,2(的事件由两个互斥事件组成：①A=“M 点先按向量
)0,1(=a 到达点)0,1(，再按向量(1,0)=
a 到达点)0,2(”
，此时2
)5
3
()(=A P ； ②B=“M 点先按向量(2,0)=
b 移动直接到达点)0,2(”，此时5
2)(=B P 。=2P +)(A P =)(B P 2
)
5
3
(5
2+
25
19=
(Ⅱ) M 点到达点)0,2(+n 的事件由两个互斥事件组成：
①=+2n A “从点)0,1(+n 按向量(1,0)=
a 移动到达点)0,2(+n ”，此时125
3)(++=
n n P A P ；
②=+2n B “从点)0,(n 按向量)0,2(=b 移动到达点)0,2(+n ”，此时n n P B P 5
2)(2=
+。
n n n P P P 5
25
312+
=∴++，即 =-++12n n P P )(5
21n n P P --
+
∴
数列{}12++-n n P P 是以25412=
-P P 为首项，公比为5
2-
的等比数列。
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知=
-++12n n P P n
n )5
2()
5
2(25
42
-
=-
- =-+n n P P 11
)
5
2(--n =--1n n P P 2
)
5
2(--
n ……
=-12P P 2
)5
2(-
n
n P P )5
2()5
2()5
2(3
2
1-
++-
+-
=-
1
1
1
)
5
2(7
27
2])
5
2(1[7
25
21])
5
2(1[5
2----
+
-
=-
--
=+
---
=
n n n 1
1
)
5
2(7
235
11)
5
2(7
27
25
3---
+
=
-
+
-
=
∴n n n P
预测题二：（理科）已知从“神六”飞船带回的某种植物种子每粒成功发芽的概率都为
13
，某植物研究所进行该种子的发芽实验，每次实
验种一粒种子，每次实验结果相互独立，假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败。若该研究所共进行四次实验，设ξ表示四次实验结束时实验成功的次数与失败的次数之差的绝对值。 （Ⅰ）求随机变量ξ的数学期望E ξ；
（Ⅱ）记“不等式ξx 2－ξx+1>0的解集是实数集R ”为事件A ，求事件A 发生的概率P （A ）。
解析：（Ⅰ）由题意知：ξ的可能取值为0，2，4。
“ξ=0”指的是实验成功2次 ，失败2次；()22
24111424016339981P C ξ????∴==-=??=
? ?????
“ξ=2”指的是实验成功3次 ，失败1次或实验成功1次 ，失败3次； ()3
3
3144111121133331218404427332781
P C C ξ???????
?∴==-+- ? ? ? ?
????????=??+??=
“ξ=4”指的是实验成功4次 ，失败0次或实验成功0次 ，失败4次；
()4
4
4
04
411116174133818181
P C C ξ????∴==+-=+= ? ?????24401714802481818181E ξ∴=?
+?+?=故随机变量ξ的数学期望E ξ为14881 （Ⅱ）由题意知：“不等式ξx 2－ξx+1>0的解集是实数集R ”为事件A 。 当ξ=0时，不等式1>0的解集是R ，说明事件A 发生；
当ξ=2时，不等式2x 2－2x+1>0的解集是实数集R ，因为2
24240?=-?=-<成立，说明事件A 发生；
当ξ=4时，不等式4x 2－4x+1>0的解集是1|2x R x ??∈≠
????
，因为2
44400?=-?=<不成立，说明事件A 不发生。 ()()()2440640281
81
81
P A P P ξξ∴==+==
+
=
故事件A 发生的概率P （A ）为
6481
预测题二：（文科）湖南省羽毛球一队与二队进行对抗比赛，在每局比赛中一队获胜的概率都是p （0≤p ≤1）。 （Ⅰ）若比赛6局，且p=
23
,求一队至多获胜4局的概率是多少？
（Ⅱ）若比赛6局，求一队恰好获胜3局的概率的最大值是多少？
（理）（Ⅲ）若采用“五局三胜”制，求一队获胜时的比赛局数ξ的分布列和数学期望。 解析：（Ⅰ）设“比赛6局，一队至多获胜4局”为事件A ，则
[]55666666222()1(5)(6)1()(1)()333P A P P C C ??=-+=--+???
?=2564731729729-
=∴一队至多获胜4局的概率为473729。 （Ⅱ）设“若比赛6局，一队恰好获胜3局”为事件B,则3
3
3
6()(1)P B C p p =-。当p=0或p=1时，显然有()0P B =。
当0 3 26 3 3 3 3 6115()(1)20(1)20202216p p P B C p p p p ??+-???? =-=?-≤?=?=?? ? ? ???????? 当且仅当p=1-p,即12 p = 时取等号 。故一队恰好获胜3局的概率的最大值是 516 。 （理）（Ⅲ）若采用“五局三胜”制，一队获胜时的比赛局数ξ=3，4，5。 3(3)P p ξ==，2333(4)(1)3(1)P C p p p p ξ==-=- 23232 4(5)(1)6(1)P C p p p p ξ==-=-， 所以ξ的分布列为 32 3(11166)E p p p ξ∴=-+． 点击概率问题求解时的常见错误 概率是高中数学新课标新增加的内容，也是排列、组合知识的应用及其延伸。同学们在学习过程中普遍感觉概率问题比较抽象、难以理解。在解题过程中也往往因为概念理解不透、审题不严、考虑不周或忽视公式成立的条件等等而出现错误。为此本文对概率问题中同学们易犯的错误归类剖析，供同学们借鉴与参考。 一．基本事件总数算错误导致错误 例1．（江西九江模拟题）两个袋内，分别装有写着0,1，2,3，4,5的六个数字的6张卡片，现从每个袋子中任取一张卡片，求所得两数之和等于7的概率。 错解：甲袋取出卡片上的数为0,1，2,3，4,5，乙袋中取出的卡片上的数为0,1，2,3，4,5，两袋中取出两张卡片上的数字之和共有0,1，2,3，4,5，6,7，8,9，10十一种不同的情况，从而所得两数之和等于7的概率为11 1= P 。 剖析：从甲袋中取1张卡片，从乙袋中取出1张卡片，共有361 61 6=?C C 种不同的组合，而其中和为7的组合有2+5，3+4，4+3，5+2共4种。从而所得两数之和等于7的概率为9 136 4= = P 。 二．“等可能”与“非等可能”分辨不清引发错误 例2．（山东省学业水平考试题）将一枚骰子连续抛掷两次，所得点数之和等于5的概率是多少？ 错解一：将一枚骰子连续抛掷两次，所出现的结果为2种，而出现而出现点数之和为5的情况共有1种，所以所求得的概率为 2 1。 错解二：将一枚骰子连续抛掷两次，所出现的结果为3666=?种，而出现点数之和为5的情况共有1种，所以所求得的概率为36 1。 剖析：将一枚骰子连续抛掷两次，所有有36种等可能事件： （1,1）（1,2）（1,3）（1,4）（1,5）（1,6）（2,1）（2,2）（2,3）（2,4）（2,5）（2,6）（3,1）（3,2）（3,3）（3,4）（3,5）（3,6） （4,1）（4,2）（4,3）（4,4）（4,5）（4,6） （5,1）（5,2）（5,3）（5,4）（5,5）（5,6）（6,1）（6,2）（6,3）（6,4）（6,5）（6,6） 而“所得点数之和等于5”并不是一种结果，而是有（1,4）（2,3）（3,2）（4,1）共4种不同的结果，所以正确的答案应为9 136 4= = P 。 三．“有序”与“无序”判断不准导致错误 例3．（2002年两省一市高考试题）甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有10道不同的题目，其中选择题有6道，判断题有4道，甲、乙两个依次各抽取一题。（1）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？（2）甲、乙二人至少有1人抽到选择题的概率是多少？ 错解：（1）甲抽到选择题、乙抽到判断题的可能的结果有1 41 6C C ?个，又甲、乙两人依次抽到一题的可能结果有2 10C 个，所以甲抽到选择 题，乙抽到判断题的概率为15 8210 1 416= ?= C C C P 。 （2）设甲、乙两人至少有1人抽到选择题为事件A ，则甲、乙两人都未抽到选择题为事件A ，由对立事件的计算公式得 - =-=1)(1)(A P A P 15 11210 1 314= ?C C C 。 剖析：上述解法错把甲、乙依次抽取一题理解为甲、乙同时抽取一题，前者与顺序有关，是排列问题；而后者与顺序无关，是组合问题，两者不是同的。所以基本事件总数应为2 10A ，从而正确的结果应为： （1）15 42 10 1 4 16= ?= A C C P ；（2）- =-=1)(1)(A P A P 15 132 10 1 3 14= ?A C C 。 四．“互斥事件”与“独立事件”混同导致错误 例4．（山西模拟试题）甲、乙、丙三名射手击中目标的概率分别为0.7，0.8，0.85。若他们三人分别向目标发射一枪，试求三弹都脱靶的概率。 错解：设甲发射一枪击中目标为事件A ，乙发射一枪击中目标为事件B ，丙发射一枪击中目标为事件C ，则甲、乙、丙三人分别向目标发射一枪击中目标为事件ABC ，从而甲、乙、丙三人分别向目标发射一枪击中目标的概率为： 476.085.08.07.0)()()()(=??==C P B P A P ABC P 所以三人分别向目标发射一枪三弹都脱靶的概率为：524.0476.01)(1)(=-=-=ABC P ABC P 。 剖析：上述错误在于将相互独立事件同时发生的事件当成互斥事件来考虑，认为“三弹都未中”的对立事件是“三弹都中”，而事实上，这两者不是对立事件。正确的解法应为： 甲、乙、丙脱靶的概率分别为,3.07.01)(=-=A P 2.08.01)(=-=B P ，15.085.01)(=-=C P ，所以三弹都脱靶的概率是 09.015.02.03.0)()()(=??=??=C P B P A P P 。 五．“互斥事件”与“对立事件”混同致错 例5．（江西南昌调研题）甲、乙两名同学分别解一道数学题，每个人解出这道题的概率都是0.6，求至少有一个人解出这道题的概率。 错解：甲、乙两都解不出题的概率都是1－0.6＝0.4，从而两位同学都解不出的概率是0.4＋0.4＝0.8，所以至少有一人解出的概率为1－0.8＝0.2。 剖析：上述错解的原因是把“互斥事件”与“对立事件”混同，互斥事件与对立事件的联系与区别主要体现在以下三个方面：（1）两事件对立，则必定互斥，但互斥并不一定对立； （2）互斥的概念适用于多个事件，但对立的概念只适用于两个事件；（3）两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多有一个发生，但也可以两个都不发生，而对立事件则表示它们有且只有1个发生。 因此上述问题的正确解法应为： 甲、乙两同学解出这道题的概率分别为6.0)(,6.0)(==B P A P ，甲、乙两名同学解不出这道题的概率分别为 4.06.01)(,4.06.01)(=-==-=B P A P 。所以甲乙都解不出这道题的概率为16.04.04.0)()()(=?=?=?B P A P B A P ， 所以至少有一个解出这道题的概率是：-=1P 84.016.01)(=-=?B A P 。 六．忽视公式成立的条件出错 例6．（2001年天津高考试题）如图，用A 、B 、C 三类不同的无件连接成一个系统N ．当元件A 正常工作且元件B 、C 至少有一个正常工作时，系统N 正常工作．已知元件A 、B 、C 正常工作的概率依次为0.80,0.90,0.90．分别求系统N 正常工作的概率P 。 — — N 错解：系统正常工作的概率为：)()()]([C B P A P C B A P +?=+?= ＝44.1)9.09.0(8.0)]()([)(=+?=+?C P B P A P 。 剖析：对于两个随机事件A 、B 有)()()()(B A P B P A P B A P -+=，特别地当A 、B 互斥时，有 )()()(B P A P B A P +=+。对于上述错误产生的原因主要是B 、C 不是互斥事件，所以公式)()()(C P B P C B P +=+不成立。 正解的解法应为： )()()]([C B P A P C B A P +?=+?=＝)]()()()([)(C P B P C P B P A P ?-+? ＝792.0)9.09.09.09.0(8.0=?-+?。 1、某公司咨询热线电话共有10路外线，经长期统计发现，在8点至10点这段时间内，外线同时使用情况如下表所示： 若这段时间内，公司只安排2位接线员（一个接线员只能接一部电话）. （1）求至少一路电话号不能一次接通的概率； （2）在一周五个工作日中，如果有三个工作日的这一时间至少一路电话不能一次接通，那么公司形象将受到损害，现在至少一路电话不能一次接通的概率表示公司的“损害度”，，求这种情况下公司形象的“损害度”； （3）求一周五个工作日的时间内，同时打入电话数X 的数学期望. 解：（1）只安排2位接线员则至少一路电话号不能一次接通的概率是 1-0.13-0.35-0.27=0.25； （2）“损害度”512 45)43()41 ( 2 33 5=C ； （3）一个工作日内这一时间内同时打入电话数的期望是4.87，所以一周内5个工作日打入电话数的期望是24.35. 2、甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量X 和Y ，其分布列如下： （1）求a,b 的值； （2）比较两名射手的水平. 解：（1）a=0.3,b=0.4; （2）23.034.023.01,3.26.031.023.01=?+?+?==?+?+?=EY EX 6.0,855.0==DY DX 所以说甲射手平均水平比乙好，但甲不如乙稳定. 3、某校要组建明星篮球队，需要在各班选拔预备队员，规定投篮成绩A 级的可作为入围选手，选拔过程中每人最多投篮5次，若投中3次则确定为B 级，若投中4次及以上则可确定为A 级，已知某班同学阿明每次投篮投中的概率是0.5. （1）求阿明投篮4次才被确定为B 级的概率； （2）设阿明投篮投中次数为X ，求他入围的期望； （3）若连续两次投篮不中则停止投篮，求阿明不能入围的概率. 解：（1）阿明投篮4次才被确定为B 级的概率16 3212 1)2 1( 2 2 3=? ? =C P . （2）有已知X 的取值为4，5，且32 1)21()5(,325 21)2 1( )4(5 552 45==== ? ==C X P C X P 所以X 的数学期望32 2532 1532 54= ? +? =EX . （3）若连续两次投篮不中则停止投篮，阿明不能入围这一事件有如下几种情况： ①5次投中3次，有2 4C 种投球方式，其概率为16 3) 2 1 ()3(5 2 4= =C P ； ②投中2次，分别是中中否否、中否中否否、否中中否否、否中否中否，概率是 32 5 )21(3)21()2(54= ?+=P ； ③投中1次分别有中否否、否中否否，概率为16 3) 2 1 ()21 ()1(4 3 = +=P ； ④投中0次只有否否一种，概率为4 1) 2 1( )0(2 = =P ； 所以阿明不能入围这一事件的概率是32 25)0()1()2()3(= +++=P P P P P 4、袋中装有35个球，每个球上都标有1到35的一个号码，设号码为n 的球重 1552 2 +-n n 克，这些球等可能的从袋中被取出. （1）如果任取1球，试求其重量大于号码数的概率；（2）如果任意取出2球，试求他们重量相等的概率. 解：（1）由 1552 2 +-n n >n 可得6666,030122 -<+ >>+-n n n n 或所以， 由于35,,13,12,11,10,9,3,2,1,* ???∈可取所以n N n 共30个数，故7 635 301= = P ， （2）由 21212 2 212 2 212 1),(52 ,1552 1552 n n n n n n n n n n ≠-=-+-= +-因为得 所以64738291,1021，），（，），（，），（，从而满足条件的球有（=+n n ） 故概率为595 42= P 5、甲、乙两名射击运动员，甲射击一次命中10环的概率为0.5，乙射击一次命中10环的概率为s ，若他们独立的射击两次，设乙命中10环的次数为X ，则EX= 3 4，Y 为甲与乙命中10环的差的绝对值. 求s 的值及Y 的分布列及期望. 解：由已知可得),2(~s B X ，故3 2,3 42= ==s s EX 所以． 有Y 的取值可以是0，1，2. 甲、乙两人命中10环的次数都是0次的概率是361)31()21 (22 =?， 甲、乙两人命中10环的次数都是1次的概率是9 2)3 23 13 132)(21212121(= ? + ? ?+?， 甲、乙两人命中10环的次数都是2次的概率是9 1)3232)(212 1(= ?? 所以36 139 19 236 1)0(= + + = =Y P ； 甲命中10环的次数是2且乙命中10环的次数是0次的概率是361)31()21 ( 22 =?， 甲命中10环的次数是0且乙命中10环的次数是2次的概率是9 1 )3232)(2121(=?? 所以36 59 136 1)2(= + = =Y P ，故2 1)2()0(1)1(= =-=-==Y P Y P Y P 所以Y 的分布列是 所以 Y 的期望是EY= 9 7 6、一软件开发商开发一种新的软件，投资50万元，开发成功的概率为0.9，若开发不成功，则只能收回10万元的资金，若开发成功，投放市场前，召开一次新闻发布会，召开一次新闻发布会不论是否成功都需要花费10万元，召开新闻发布会成功的概率为0.8，若发布成功则可以销售100万元，否则将起到负面作用只能销售60万元，而不召开新闻发布会则可新销售75万元. （1）求软件成功开发且成功在发布会上发布的概率. （2）求开发商盈利的最大期望值. 解：（1）设A=“软件开发成功”，B=“新闻发布会召开成功” 软件成功开发且成功在发布会上发布的概率是P(AB)=P(A)P(B)=0.72. （2）不召开新闻发布会盈利的期望值是5.189.0)5075()9.01(401=?-+-?-=E (万元)； 召开新闻发布会盈利的期望值 是8.249.010)5060()8.01(9.072.0)50100()9.01(402=?--?-?+?-+-?-=E （万元） 故开发商应该召开新闻发布会，且盈利的最大期望是24.8万元. 7、现在，一些城市对小型汽车开始解禁，小型轿车慢慢进入百姓家庭，但是另一个问题相继暴露出来——堵车，某先生居住在城市的A 处，准备开车到B 处上班，若该地各路段发生堵车事件是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率为如图，（例如D C A →→ 算作两个路段：路段AC 发生堵车事件的概率是0.1，路段CD 发生堵车事件的概率是15 1） （1）请你为他选择一条由A 到B 的路段，使得途中发生堵车的概率最小； （2）若记路线B F C A →→→中遇到堵车的次数为随机变量X ，求X 的期望； 解：（1）路线B D C A →→→用遇到堵车的概率是 )()()(1)(11DB P CD P AC P DB CD AC P P -=??-= 10 36 515 1410 91)](1)][(1)][(1[1= ? ? - =----=DB P CD P AC P 同理路线B F C A →→→遇到堵车的概率是800 239； 路线B F E A →→→遇到堵车的概率是 300 91. 因此应选择线路B F C A →→→可使途中发生堵车的概率最小. （2）路线B F C A →→→中遇到堵车的次数X 取值可能是0，1，2，3， 所以X 的分布列是 8、现有甲、乙两个盒子，甲盒中装有4个白球和4个红球，乙盒中装有3个白球和若干个红球，若从乙盒中任取两个球，取到同色球的概率是 28 13. （1）求乙盒中红球的个数； （2）若从甲盒中任取两个球，放入乙盒中均匀后，再从乙盒中任意取出2个球放回到甲盒中，求甲盒中白球没有增加的概率； （3）从甲、乙两个盒子中各任取两个球进行交换，若交换后乙盒子中的白球数和红球数相等，就说这次交换是成功的，试求当进行150次交换（都从初始状态交换）时，大约有多少次是成功的. 解：（1）设乙盒中有n 个红球，由已知可得 28 132 3 2 23= ++n n C C C ，解的n=5，即乙盒中含有5个红球. （2）若甲盒中白球增加了，则有以下两种情况： 从甲盒中取出了两个红球，放入乙盒中均匀后从乙盒中取出两个白球或一个白球一个红球放入甲盒中，此时的概率是 35 4210 1 7 132328 2 41= +? = C C C C C C P ； 从甲盒中取出一个红球和一个白球，放入乙盒中均匀后从乙盒中取出2个白球放入甲盒中，此时概率是 105 82 10 2 4 2 8 1 4142= ? = C C C C C P ； 所以甲盒中白球增加了的概率是 21 4105 835 4= + ，所以甲盒中白球没有增加的概率是 21 17. （3）从甲乙两个盒中各取2个球交换后乙盒中白球数和红球数相等的情况有以下两种： 一是从甲盒中取２个白球与乙盒中取１个白球、一个红球进行交换；二是从甲盒中取出１个白球、１个红球与乙盒中取出２个红球进行交换； 所以概率是347 12528 2 528 1 41428 1 51328 2 4= ? + ? = C C C C C C C C C C P 高考数学中有关概率问题的解题思路 概率是高中新教材的新增内容，在实际中应用非常广泛，每年高考都占有一席之地。下面就高考中与概率有关的问题的解题思路作一归纳，供大家参考。 一． 离散型随机变量的概率分布和数学期望 例1：（2003年理科高考题）A ，B 两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员。A 队队员是A 1，A 2，A 3，B 队队员是B 1，B 2，B 3。按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下： 现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分。设A 队，B 队最后所得总分分别为ξ，η。 （Ⅰ）求ξ，η的概率分布；（Ⅱ）求E ξ，E η。 分析：（Ⅰ）ξ，η的可能取值分别为3，2，1，0。P （ξ=3）=23 × 25 × 25 = 8 75 P （ξ=2）=23×25 ×35 +13× 25 × 25 + 23 × 35 × 25 = 2875 P （ξ=1）= 23 ×3 5× 35 + 13 × 25 × 35 + 13 × 35 × 25 = 25 P （ξ=0）= 13 × 35 × 35 = 3 25;据题意知ξ+η=3，所以 P （η=0）= P （ξ=3）= 875，P （η=1）= P （ξ=2）= 2875 P （η=2）= P （ξ=1）=25 ，P （η=3）= P （ξ=0）= 3 25 。 （Ⅱ）E ξ=3× 875 +2× 2875 +1× 25 +0× 325 = 2215 ；因为ξ+η=3，所以E η=3－E ξ= 2315 。 思路：此类问题只需正确求出随机变量在某一范围内取值时所对应的概率，并能运用公式E ξ= 1122n n x p x p x p ++++ 计算即可。 二． 等可能事件的概率 例2：（2000年理科高考题）甲，乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个。甲，乙二人依次 各抽一题。 （Ⅰ）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？（Ⅱ）甲，乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？ 分析：（Ⅰ） 1164 1 1 109 C C C C = 415 （Ⅱ）甲，乙二人依次都抽到判断题的概率为 11431 110 9 C C C C 故甲，乙二人中至少有一人抽到选择题的概率为1－ 11431 110 9 C C C C = 1315 或 11651110 9 C C C C ＋ 1164 1 1 109 C C C C ＋ 1146 1 1 109 C C C C = 1315 . 思路：1。此类问题关键在于正确求出n,m 进而运用公式P （A ）= m n 。在求n,m 时注意利用排列，组合等知识。 2．“至少”型的问题一般有正向思考与逆向思考两种思路。逆向思考可使一些较为复杂的问题得到简化。 三． 互斥事件有一个发生或相互独立事件同时发生的概率 例3：（2003年文科高考题）有三种产品，合格率分别是0.90,0.95和0.95.各抽取一件进行检验。 （Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；（Ⅱ）求至少有两件不合格的概率。（精确到0.001） 分析：设抽到合格产品的事件分别为A ，B ，C ，则 P （A ）=0.90 P(B)=P(C)=0.95 P(A )=0.10 P(B )=P(C )=0.05 （Ⅰ）因为A ，B ，C 相互独立，故恰有一件不合格的概率为: P(A ·B ·C )+_P(A ·B ·C)+P(A ·B ·C)=P(A)·P(B)·P(C )+P(A)·P(B )·P(C)+P(A )·P(B)·P(C) =0.90×0.95×0.05+0.90×0.05×0.95+0.10×0.95×o.95=0.176 （Ⅱ）至少有两件不合格的概率为: P(A ·B ·C )+P(A ·B ·C )+P(A ·B ·C)+P(A ·B · C )=0.90×0.05×0.05+0.10×0.95×0.05+0.10×0.05×0.95+0.10×0.05×0.05=0.012 思路:1.正确分清互斥事件与相互独立事件是解决此类问题的关键. 2.只有当事件A,B 互斥时,才能运用公式P(A+B)=P(A)+P(B);只有当事件A,B 相互独立时,才能运用公式P(A ·B)=P(A)·P(B). 四.独立重复试验的概率 例4:(2002年理科高考题)某单位6个员工借助互联网开展工作,每个员工上网的概率都是0.5(相互独立). （Ⅰ）求至少3人同时上网的概率;（Ⅱ）至少几人同时上网的概率小于0.3 ? 分析: （Ⅰ）至少3人同时上网的概率等于1减去至多2人同时上网的概率.即 1－0 6 1 1 5 2 2 4 66621(0.5)(10.5)0.5(10.5)0.5(10.5)32 C C C -----= （Ⅱ）至少4人同时上网的概率为:4 6 5 6 6 6 666110.50.50.50.332 C C C ++= > .至少5人同时上网的概率为:5 6 6 6 6670.50.50.364 C C += < 因此, 至少5人同时上网的概率小于0.3. 思路:如果在1次试验中某事件发生的概率是P,那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生K 次的概率为 ()(1) k k n k n n P K C P P -=-. 五.等概率抽样 例5:(2000年文科高考题)从含有500个个体的总体中一次性地抽取25个个体.假定其中每个个体被抽到的概率相等.那么总体中的每个个体被抽取的概率等于_________.分析: 250.05500 = 例6:(2003年理科高考题)某公司生产三种型号的轿车,产量分别为1200辆,6000辆和2000辆.为检验该公司的产品质量.现用分层抽样的 方法抽取46辆进行检验,这三种型号的轿车依次应抽取__________,__________,__________辆. 分析: 1200 466 120060002000 ?= ++ , 6000 4630 120060002000 ?= ++ , 2000 4610 120060002000 ?= ++ . 思路:1.用简单随机抽样从个体数为N的总体中抽取一个容量为n的样本时,每个个体被抽到的概率都等于n N . 2.在分层抽样中,每一层进行抽样时,都采用简单随机抽样或系统抽样,因此,也是等概率抽样. __________完_________- 几何分布的期望与方差 （选修II）比原来的修订本新增加随机变量的几何分布，但书中只给出了结论：（1），（2），而未加以证明。本文给出证明，并用于解题。 （1）由，知 下面用倍差法（也称为错位相减法）求上式括号内的值。记 两式相减，得 由，知，则，故 从而 也可用无穷等比数列各项和公式（见教科书91页阅读材料），推导如下： 记相减， 则 还可用导数公式，推导如下： 上式中令，则得 （2）为简化运算，利用性质来推导（该性质的证明，可见本刊6页）。可见关键是求。 对于上式括号中的式子，利用导数，关于q求导：，并用倍差法求和，有 则，因此 利用上述两个结论，可以简化几何分布一类的计算问题。 例1. 一个口袋内装有5个白球和2个黑球，现从中每次摸取一个球，取出黑球就放回，取出白球则停止摸球。求取球次数的数学期望 与方差。 解：每次从袋内取出白球的概率，取出黑球的概率。的取值为1，2，3，……，有无穷多个。我们用表示前k－1次均取到黑球，而第k次取到白球，因此 。可见服从几何分布。所以 例2. 某射击运动员每次射击击中目标的概率为p（0 解：射手射击次数的可能取值为1，2，…，9，10。 若，则表明他前次均没击中目标，而第k次击中目标；若k＝10，则表明他前9次都没击中目标，而第10 次可能击中也可能没击中目标。因此的分布列为 用倍差法，可求得 所以 说明：本例的试验是有限次的，并且，不符合几何分布的概率特征，因而随机变量不服从几何分布，也就不能套用几何分布的相关公式。但求解过程可参照相关公式的推导方法。 高中数学解题方法系列：概率的热点题型及其解法 概率主要涉及等可能事件，互斥事件，对立事件，独立事件的概率的求法，对于这部分，我们还应当重视与传统内容的有机结合，在以后的高考中，可能出现概率与数列、函数、不等式等有关内容的结合的综合题，下面就谈一谈概率与数列、函数、不等式等有关知识的交汇处命题的解题策略。 题型一：等可能事件概率、互斥事件概率、相互独立事件概率的综合。 例1：甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是 32和4 3.假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响. (Ⅰ)求甲射击4次,至少1次未击中目标的概率; (Ⅱ)求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率; (Ⅲ)假设某人连续2次未击中．．． 目标,则停止射击.问:乙恰好射击5次后,被中止射击的概率是多少? 解：（1）设“甲射击4次，至少1次未击中目标”为事件A，则其对立事件A 为“4次均击中目标”，则()()4 26511381P A P A ??=-=-= ???（2）设“甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次”为事件B,则 ()223 23442131133448P B C C ??????=?????= ? ? ???????（3）设“乙恰好射击5次后，被中止射击”为事件C,由于乙恰好射击5次后被中止射击,故必然是最后两次未击中目标，第三次击中目标，第一次及第二次至多有一次未击中目标。 故()22123313145444441024 P C C ??????=+????=?? ? ?????????例2：某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界3个景区中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的. （Ⅰ）求3个景区都有部门选择的概率； （Ⅱ）求恰有2个景区有部门选择的概率. 解：某单位的4个部门选择3个景区可能出现的结果数为34.由于是任意选择，这些结果出现的可能性都相等. （I）3个景区都有部门选择可能出现的结果数为!32 4?C （从4个部门中任选2个作为1组， 另外2个部门各作为1组，共3组，共有624=C 种分法，每组选择不同的景区，共有3！种选法），记“3个景区都有部门选择”为事件A 1，那么事件A 1的概率为 P（A 1）=.943!3424=?C （II）解法一：分别记“恰有2个景区有部门选择”和“4个部门都选择同一个景区”为事件A 2 高中数学统计与概率知识点（文） 第一部分:统计 一、什么是众数。 一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数。 众数的特点。 ①众数在一组数据中出现的次数最多；②众数反映了一组数据的集中趋势，当众数出现的次数越多，它就越能代表这组数据的整体状况，并且它能比较直观地了解到一组数据的大致情况。但是，当一组数据大小不同，差异又很大时，就很难判断众数的准确值了。此外，当一组数据的那个众数出现的次数不具明显优势时，用它来反映一组数据的典型水平是不大可靠的。 3.众数与平均数的区别。 众数表示一组数据中出现次数最多的那个数据；平均数是一组数据中表示平均每份的数量。 二、.中位数的概念。 一组数据按大小顺序排列，位于最中间的一个数据(当有偶数个数据时，为最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数。 三.众数、中位数及平均数的求法。 ①众数由所给数据可直接求出;②求中位数时，首先要先排序(从小到大或从大到小)，然后根据数据的个数，当数据为奇数个时，最中间的一个数就是中位数;当数据为偶数个时，最中间两个数的平均数就是中位数。③求平均数时，就用各数据的总和除以数据的个数，得数就是这组数据的平均数。 四、中位数与众数的特点。 ⑴中位数是一组数据中唯一的，可能是这组数据中的数据，也可能不是这组数据中的数据； ⑵求中位数时，先将数据有小到大顺序排列，若这组数据是奇数个，则中间的数据是中位数；若这组数据是偶数个时，则中间的两个数据的平均数是中位数； ⑶中位数的单位与数据的单位相同； ⑷众数考察的是一组数据中出现的频数； ⑸众数的大小只与这组数的个别数据有关，它一定是一组数据中的某个数据，其单位与数据的单位相同；（6）众数可能是一个或多个甚至没有；（7）平均数、众数和中位数都是描述一组数据集中趋势的量。 高中数学九大解题技巧 1、配法 通过把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式解决数学问题的方法，叫配方法。配方法用的最多的是配成完全平方式，它是数学中一种重要的 恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常 用到它。 2、因式分解法 因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式，是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、 几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多， 除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相 乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。 3、换元法 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数 学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子， 使它简化，使问题易于解决。 4、判别式法与韦达定理 一元二次方程ax2bxc=0(a、b、c属于R，a≠0)根的判别， △=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代 数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算 中都有非常广泛的应用。 韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根;已知两个 数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数， 计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线 的问题等，都有非常广泛的应用。 5、待定系数法 在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学 中常用的方法之一。 6、构造法 在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从 而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。运用 构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透， 有利于问题的解决。 7、面积法 平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理，不仅可用于计算面积，而且用它来证明平面几何题有 时会收到事半功倍的效果。运用面积关系来证明或计算平面几何题 的方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法。 用归纳法或分析法证明平面几何题，其困难在添置辅助线。面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来，通过运算达到 求证的结果。所以用面积法来解几何题，几何元素之间关系变成数 量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置补助线，即使需要添 置辅助线，也很容易考虑到。 8、几何变换法 在数学问题的研究中，常常运用变换法，把复杂性问题转化为简单性的问题而得到解决。所谓变换是一个集合的任一元素到同一集 合的元素的一个一一映射。中学数学中所涉及的变换主要是初等变 第一章 高中数学解题基本方法 一、 配方法 配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。 最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy 项的二次曲线的平移变换等问题。 配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a ＋b) ＝a ＋2ab ＋b ，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如： a 2 ＋ b 2＝(a ＋b)2 －2ab ＝(a －b)2 ＋2ab ； a 2 ＋a b ＋b 2 ＝(a ＋b)2 －ab ＝(a －b)2 ＋3ab ； a 2 ＋ b 2 ＋ c 2 ＋ab ＋bc ＋ca ＝ 2 1[(a ＋b)2 ＋(b ＋c) 2＋(c ＋a) 2] a 2＋b 2＋c 2＝(a ＋b ＋c) 2－2(ab ＋bc ＋ca)＝(a ＋b －c)2 －2(ab －bc －ca)＝… 结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如： 1＋sin2α＝1＋2sin αcos α＝（sin α＋cos α） ； x ＋ ＝(x ＋ ) －2＝(x － ) ＋2 ；…… 等等。 Ⅰ、再现性题组： 1. 在正项等比数列{a }中，a ?a +2a ?a +a ?a =25，则 a ＋a ＝_______。 2. 方程x ＋y －4kx －2y ＋5k ＝0表示圆的充要条件是_____。 A. 深入分析高考中概率试题的特点与解题方法 1 概率试题的特点 （1）密切联系教材，试题通常是通过对课本原题的改编，通过对基础知识的重新组合、拓广，从而成为立意高、情境新、设问巧、并赋予时代气息、贴近学生实际的问题． （2）概率试题与其它数学试题有着明显的区别，它具有一定的应用性.近三年来出现过三种类型：一是课本中出现的，从实际生活中概括出来的；二是与横向学科有联系的问题；三是赋予时代气息的数学问题． （3）概率试题中注重了对四个基本公式的考查，即对等可能性事件的概率；互斥事件的概率加法公式；独立事件的概率乘法公式；事件在n次独立重复试验中恰发生k次的概率的考查． 2 概率试题的解题分析 2.1 通过对事件的理解与把握来解决问题 例1 （2000年新课程卷第17题）甲乙两人参加普法知识竞赛，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙二人依次各抽一题． （Ⅰ）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？（Ⅱ）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？ 分析本题是一个等可能性事件的概率问题.同时注意到“甲、乙二人依次各抽一题”在解题中的作用，于是可利用排列知识及等可能事件的概率公式加以求解． 2.2 通过应用分类讨论的思想来解决问题 例2 （2002年新课程卷第19题）某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（相互独立）． （Ⅰ）求至少3人同时上网的概率； （Ⅱ）至少几人同时上网的概率小于0.3？ 分析本题可应用分类讨论的思想将问题（Ⅰ）“至少3人同时上网的概率”转化为恰有3人同时上网，恰有4人同时上网，恰有5人同时上网，恰有6人同时 上网的四种类型，再结合相互独立事件同时发生或互斥事件有一个发生的概率的计算方法加以求解．同时问题（Ⅰ）的解决为第二问的求解做好了铺垫. 2.3 通过合理运用公式()1()P A P A =-来解决问题 例3 （2000年新课程卷第18题）用A 、B 、C 三类不同的元件连接成两个系统N 1、N 2．当元件A 、B 、C 都正常工作时，系统N 1正常工作，当元件A 正常工作且元件B 、C 至少有一个正常工作时，系统N 2正常工作．已知元件A 、B 、C 正常工作的概率依次为0.80,0.90,0.90,分别求系统N 1、N 2正常工作的概率． 分析 系 统N 1正常工作的概率由物理串联知识结合独立事件的乘法公式即可求得；而系统N 2正常工作的概率由“当元件A 正常工作且元件B 、C 至少有一个正常工作时，系统N 2正常工作”可知，必须分成三类：一元件A 、B 正常工作，元件C 不正常工作；二元件A 、C 正常工作，元件B 不正常工作；三元件A 、B 、C 都正常工作．在解题时容易遗漏第三种情况，且忘记不正常工作的元件，导致解题错误．但若我们合理使用公式()1()P A P A =-，则系统N 2正常工作的概率可以看成元件A 正常工作，元件B 、C 都不正常工作的对立事件的概率，从而可以简化计算过程． 3 概率试题对高考复习的启示 3．1 在复习中，不能因为概率这部分是新增加的内容而加以忽视，也不能因为概率与排列、组合同在一个章节，认为只可能出现填空、选择题的类别.因为从近三年的试卷看到，每年均有一个概率解答题，所以在复习中应引起足够的重视． 3．2 在复习中，应充分研究大纲、考纲，使学生做到：（1）五个了解，即了解随机事件的统计规律性；随机事件的概率；等可能事件的概率；互斥事件；相互独立事件.（2）四个会，即会用排列组合基本公式计算等可能事件的概率；会用互斥事件的概率加法公式计算事件的概率；会用独立事件的概率乘法公式计算事件的（N 1 （N 2 前言 (2) 第一章高中数学解题基本方法 (3) 一、配方法 (3) 二、换元法 (7) 三、待定系数法 (14) 四、定义法 (19) 五、数学归纳法 (23) 六、参数法 (28) 七、反证法 (32) 八、消去法……………………………………… 九、分析与综合法……………………………… 十、特殊与一般法……………………………… 十一、类比与归纳法………………………… 十二、观察与实验法………………………… 第二章高中数学常用的数学思想 (35) 一、数形结合思想 (35) 二、分类讨论思想 (41) 三、函数与方程思想 (47) 四、转化（化归）思想 (54) 第三章高考热点问题和解题策略 (59) 一、应用问题 (59) 二、探索性问题 (65) 三、选择题解答策略 (71) 四、填空题解答策略 (77) 附录……………………………………………………… 一、高考数学试卷分析………………………… 二、两套高考模拟试卷………………………… 三、参考答案…………………………………… 前言 美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。 高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查： ①常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去 法等； ②数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等； ③数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、 归纳和演绎等； ④常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化 归）思想等。 数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。 数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。 可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。 为了帮助学生掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，本书先是介绍高考中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法，再介绍高考中常用的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（ 第一章高中数学解题基本方法 一、配方法 配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。 最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。 配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b) 2 ＝a 2 ＋2ab＋b 2 ，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如： a 2 ＋b 2 ＝(a＋b) 2 －2ab＝(a－b) 2 ＋2ab； a 2 ＋ab＋b 2 ＝(a＋b) 2 －ab＝(a－b) 2 ＋3ab＝(a＋ b 2) 2 ＋（ 3 2b） 2 ； a 2 ＋b 2 ＋c 2 ＋ab＋bc＋ca＝ 1 2[(a＋b) 2 ＋(b＋c) 2 ＋(c＋a) 2 ] a 2 ＋b 2 ＋c 2 ＝(a＋b＋c) 2 －2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c) 2 －2(ab－bc－ca)＝… 结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如： 1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα） 2 ； x 2 ＋ 1 2 x＝(x＋ 1 x) 2 －2＝(x－ 1 x) 2 ＋2 ；……等等。 Ⅰ、再现性题组： 1. 在正项等比数列{a n}中，a1?a5+2a3?a5+a3?a7=25，则 a3＋a5＝_______。 2. 方程x 2 ＋y 2 －4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。 A. 1 4 概率与统计高考常见题型 解题思路及知识点总结 一、解题思路 （一）解题思路思维导图 （二）常见题型及解题思路 1.正确读取统计图表的信息 典例1：（2017全国3卷理科3）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图，根据该折线图，下列结论错误的是（）. A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加 C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月份 D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 【解析】由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A 选项错误，选A. 2．古典概型概率问题 典例2：（ 全国卷理科）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德 巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A. B. C. D. 解：不超过30的素数有2，3，5，7，11，13 ，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有 种方法，因为 ，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方 法，故概率为 ，选C. 典例3： (2014全国2卷理科5)某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是 ( ) A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45 解：设某天空气质量优良,则随后一天空气质量也优良的概率为p,则据条件概率公式得 ，故选A. 3．几何概型问题 典例4：(2016全国1卷理科4)某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是 ( ) A.13 B.12 C. 23 D.3 4 高中数学解题的21个典型方法与技巧 2018-12-26 1、解决绝对值问题(化简、求值、方程、不等式、函数)的基本思路是：把绝对值的问题转化为不含绝对值的问题。具体转化方法有： ①分类讨论法：根据绝对值符号中的数或表达式的正、零、负分情况去掉绝对值。 ②零点分段讨论法：适用于含一个字母的多个绝对值的情况。 ③两边平方法：适用于两边非负的方程或不等式。 ④几何意义法：适用于有明显几何意义的情况。 2、根据项数选择方法和按照一般步骤是顺利进行因式分解的重要技巧。因式分解的一般步骤是：提取公因式→选择用公式→十字相乘法→分组分解法→拆项添项法。 3、利用完全平方式把一个式子或部分化为完全平方式就是配方法，它是数学中的重要方法和技巧。配方法的主要根据有： ①()2222a ab b a b ±+=± ②()2 222222a b c ab bc ca a b c +++++=++ ③()()()22222212a b c ab bc ca a b b c c a ??+++++=+++++? ? ④222222224224244b b b b b b ac ax bx c a x x c a x x c a x a a a a a a ??-????++=++=+??++-=++ ? ? ??????? 4、解某些复杂的特型方程要用到换元法。换元法解题的一般步骤是：设元→换元→解元→还元。 5、待定系数法是在已知对象形式的条件下求对象的一种方法。适用于求解点的坐标、函数解析式、曲线方程等重要问题的解决。其步骤是：①设②列③解④写 6、复杂代数等式条件的使用技巧：右边化为零，左边变形。 ①因式分解型：()()0---?---=，两种情况为或型。 ②配成平方型：()()22 0---+---=，两种情况为且型。 7、数学中两个最伟大的解题思路： ①求值的思路 ?????→方程思想与方法列欲求值字母的方程或方程组 ②求取值范围的思路??????→不等式思想与方法欲求范围字母的不等式或不等式组 十、构造法 解数学问题时，常规的思考方法是由条件到结论的定向思考，但有些问题用常规的思维 方式来寻求解题途径却比较困难，甚至无从着手。在这种情况下,经常要求我们改变思维方 向，换一个角度去思考从而找到一条绕过障碍的新途径。 历史上有不少著名的数学家，如欧几里得、欧拉、高斯、拉格朗日等人，都曾经用“构 造法”成功地解决过数学上的难题。数学是一门创造性的艺术，蕴含着丰富的美,而灵活、 巧妙的构造令人拍手叫绝，能为数学问题的解决增添色彩，更具研究和欣赏价值。近几年来， 构造法极其应用又逐渐为数学教育界所重视，在数学竞赛中有着一定的地位。 构造需要以足够的知识经验为基础，较强的观察能力、综合运用能力和创造能力为前提， 根据题目的特征，对问题进行深入分析，找出“已知”与“所求（所证）”之间的联系纽带， 使解题另辟蹊径、水到渠成。 用构造法解题时，被构造的对象是多种多样的，按它的内容可分为数、式、函数、方程、 数列、复数、图形、图表、几何变换、对应、数学模型、反例等，从下面的例子可以看出这 些想法的实现是非常灵活的，没有固定的程序和模式，不可生搬硬套。但可以尝试从中总结 规律：在运用构造法时，一要明确构造的目的，即为什么目的而构造；二要弄清楚问题的特 点，以便依据特点确定方案，实现构造。 再现性题组 1、求证： 3 10910 22≥++=x x y （构造函数） 2、若x > 0, y > 0, x + y = 1，则4 2511≥???? ??+??? ??+ y y x x （构造函数） 3、已知01a <<，01b <<，求证： 22)1()1()1()1(22222222≥-+-+-+++-++b a b a b a b a （构造图形、复数） 4、求证：9)9(272≤-+x x ，并指出等号成立的条件。（构造向量） 5、已知：a>0、b>0、c>0 ,求证：222222c ac a c bc b b ab a ++≥+-++-当且仅当 c a b 111+=时取等号。（构造图形） 6 、求函数y = 再现性题组简解： 1、解：设)3(92 ≥+=t x t 则t t y t f 1)(2+==，用定义法可证：f (t )在),3[+∞上单调递增，令：3≤12t t < 则0)1)((11)()(2 1212122212121>--=+-+=-t t t t t t t t t t t f t f ∴310313)3(9 10322=+=≥++= f x x y 概率与数据 概率 １．随机事件的概率，其中当时称为必然事件；当时称为不可能事件P(A)=0； 2.等可能事件的概率（古典概率）： P(A)=。理解这里m、ｎ的意义。比如： （1）将数字1、2、3、4填入编号为1、2、3、4的四个方格中，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填数字均不相同的概率是______（答：）； （2）设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率：①从中任取2件都是次品；②从中任取5件恰有2件次品；③从中有放回地任取3件至少有2件次品；④从中依 次取5件恰有2件次品。（答：①；②；③；④） 3、互斥事件：（A、B互斥，即事件A、B不可能同时发生）。计算公式：P(A+B)＝P(A)+P(B)。比如： （1）有A、B两个口袋，A袋中有4个白球和2个黑球，B袋中有3个白球和4个黑球，从A、B袋中各取两个球交换后，求A袋中仍装有4个白球的概率。（答：）； （2）甲、乙两个人轮流射击，先命中者为胜，最多各打5发，已知他们的命中率分别为0.3和0.4，甲先射，则甲获胜的概率是（0.425=0.013，结果保留两位小数）______（答：0.51）； （3）有一个公用电话亭，在观察使用这个电话的人的流量时，设在某一时刻，有n个人正在使用电话或等待使用的概率为P（n），且P（n）与时刻t无关，统计得 到，那么在某一时刻，这个公用电话亭里一个人也没有的概率P（0）的值是（答：） 4、对立事件：（A、B对立，即事件A、B不可能同时发生，但A、B中必然有一个发生）。计算公式是：P（A）+ P(B)＝１；P()=1－P(A)； 5、独立事件：（事件A、B的发生相互独立，互不影响）P(A?B)＝P(A) ? P(B) 。提醒： （1）如果事件A、B独立，那么事件A与、与及事件与也都是独立事件； （2）如果事件A、B相互独立，那么事件A、B至少有一个不发生的概率是1－P（A B）＝1－P(A)P(B)； （3）如果事件A、B相互独立，那么事件A、B至少有一个发生的概率是1－P（） ＝1－P()P()。比如： ①设两个独立事件A和B都不发生的概率为,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同,则事件A发生的概率P(A)是______（答：）； ②某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错得0分，假设这位同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响，则这名同学得300分的概率为_____________;这名同学至少得300分的概率为_____________（答：0.228；0.564）； ③袋中有红、黄、绿色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取三次，球的颜色全相同的概率是________（答：）； 高中数学经典解题技巧：平面向量 一、向量的有关概念及运算 解题技巧：向量的有关概念及运算要注意以下几点： （1）正确理解相等向量、共线向量、相反向量、单位向量、零向量等基本概念，如有遗漏，则会出现错误。 （2）正确理解平面向量的运算律，一定要牢固掌握、理解深刻 （3）用已知向量表示另外一些向量，是用向量解题的基础，除了用向量的加减法、实数与向量乘积外，还要充分利用平面几何的一些定理，充分联系其他知识。 例1：（2010·山东高考理科·Ｔ12）定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下，对任意的a=(m,n)，b p,q)= （，令a ⊙b mq np =-，下面说法错误的是（ ） A.若a 与b 共线，则a ⊙b 0= B. a ⊙b = b ⊙a C.对任意的R λ∈，有()a λ⊙b = (a λ⊙)b D. (a ⊙b )2222()a b a b +?= 【命题立意】本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力. 【思路点拨】根据所给定义逐个验证. 【规范解答】选B ，若a 与b 共线，则有a ⊙b 0mq np =-=，故A 正确；因为b ⊙a pn qm =-,，而a ⊙b mq np =-，所以有a ⊙b ≠ b ⊙a ，故选项B 错误，故选B. 【方法技巧】自定义型信息题 1、基本特点：该类问题的特点是背景新颖，信息量大，是近几年高考的热点题型. 2、基本对策：解答这类问题时，要通过联想类比，仔细分析题目中所提供的命题，找出其中的相似性和一致性 二、与平面向量数量积有关的问题 解题技巧：与平面向量数量积有关的问题 1．解决垂直问题：121200,a b a b x x y y a b ⊥?=?+=其中、均为非零向量。这一条件不能忽视。 2．求长度问题：2||a a a =，特别地1122(,),(,),||(A x y B x y AB x =则 3．求夹角问题：求两非零向量夹角的依据 2 22 222cos(,).||||a b a b a b x x y ==++ 例2：1.（2010·湖南高考理科·Ｔ4）在Rt ABC ?中，C ∠=90°AC=4，则AB AC ?uu u r uuu r 等于（ ） 一、《高中数学解题的思维策略》 概 率 （1）随机事件——概率学把“可能性”引进数学 在概率学中，我们称一定发生的事件为必然事件，不可能发生的事件是不可能事件，可能发生也可能不发生的事件是随机事件. 概率也就是事件发生的可能性.所以必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0，而随机事件的概率在区间（0，1）之中. 【例1】 同时掷两枚骰子，则以下事件各是什么事件？ （1） 点数之和是正整数； （2） 点数之和小于2； （3） 点数之和是3的倍数. 【解析】（1）是必然事件，（2）是不可能事件；（3）是随机事件. （2）等可能事件——概率公式的起源 如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且这n 个结果出现的可能性相同，则称这类事件为等可能事件.由此导出基本概率公式是： ()m P A n = .（其中n 和 m 分别表示基本事件总数和事件A 发生的次数.） 【例2】将一枚骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次．．成等差数列的概率为 （ ） Ａ． 19 Ｂ． 112 Ｃ．1 15 Ｄ． 1 18 【解析】抛掷一枚骰子后，出现任何一面的可能性相同.所以本题属于等可能事件. 一枚骰子连续抛掷三次，则基本事件总数3 6 216n ==；设事件A ；连掷3次所得点数依次成等差数列，那么3数相等时有111， 222，…666等六种；3数不相等时有123，234，345，456，135，246及其反序数等12个.于是事件A 发生的次数61218m =+=种. 故()181 21612 P A = =.选B. （3）互斥事件——概率的加法原理 在某种试验中，不能同时发生的事件称为互斥事件.如果A 、B 是互斥事件，那么： ()()()P A B P A P B ?=+. 【例3】在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（ ） A ． 310 B ．15 C ．110 D ．112 【解析】设小球标注的数字之和为3与6的事件分别为A 、B.显然A 与B 不能同时成立，是互斥事件. 由于基本事件总数 2 510.n C ==事件 A 只有1+2=3一种，；事件 B 有1+5=2+4=6两种，.∵A 与B 互斥， ()()()12 3 10 10 P A B P A P B +∴?=+= =.选A. （4）对立事件——两互斥事件的特写 在一次试验中，如果事件A 与B 一定恰有一个发生，则称事件A 与B 是对立事件. 注意对立事件必然互斥，但是互斥事件不一定对立. 一般地，记A 的对立事件为 A .由于A 与A 具有互补性，所以()()1P A P B +=.这是简化概率计算的基本公式. 【例4】8个篮球队中有2个强队，先任意将这8个队分成两个组(每组4个队)进行比赛，这两个强队被分在一个组内的概率是多少? 【解析】 我们用a 、b 分别记八个队中的两个强队. 令C =“a 队与b 队分在同一组”， 则C =“a 队与b 队不在同一组”. a 队与 b 队不在同一组，只能分成两种情况：a 队在第一组，b 队在第二组，此时有C 3 6·C 3 3＝C 3 6种分法；a 队在第二组，b 队在第一 11 12 13 3 5 7 2 2 4 6 9 1 5 5 7 图1 统计与概率专题 一、知识点 1、随机抽样：系统抽样、简单随机抽样、分层抽样 1、用简单随机抽样从100名学生（男生25人）中抽选20人进行评教，某男生被抽到的概率是( ) A ． 1001 B ．251 C ．5 1 D ． 5 1 2、为了解1200名学生对学校教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔k 为( ) A ．40 B ．30 C ．20 D ．12 3、某单位有职工160人，其中业务员有104人，管理人员32人，后勤服务人员24人，现用分层抽样法从中抽取一容量为20的样本，则抽取管理人员( ) A ．3人 B ．4人 C ．7人 D ．12人 2、古典概型与几何概型 1、一枚硬币连掷3次，只有一次出现正面的概率是( ) A ．83 B ．32 C ．31 D ．4 1 2、如图所示，在正方形区域任意投掷一枚钉子，假设区域内每一点被投中的可能性相等，那么钉子投进阴影区域的概率为____________． 3、线性回归方程 用最小二乘法求线性回归方程系数公式1 2 211 ???n i i i n i x y nx y b a y bx x nx ==-==--∑∑，． 二、巩固练习 1、随机抽取某中学12位高三同学，调查他们春节期间购书费用（单位：元），获得数据的茎叶图如图1， 这12位同学购书的平均费用是（ ） A.125元 B.5.125元 C.126元 D.5.126元 2、200辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图如图所示，时速在[50,60) 的汽车大约有（ ） A .30辆 B . 40辆 C .60辆 D .80辆 3、某校有高级教师26人，中级教师104人，其他教师若干人．为了了解该校教师 的工资收入情况，若按分层抽样从该校的所有教师中抽取56人进行调查，已知从其 他教师中共抽取了16人，则该校共有教师 ______人． 4、执行下边的程序框图，若0.8p =，则输出的n = ． 0.04 0.030.020.01频率 组距时速8070605040开始 10n S ==， S p 高中数学50个解题小技巧 XX：__________ 指导：__________ 日期：__________ 1 . 适用条件 [直线过焦点]，必有ecosA=(x-1)/(x+1)，其中A为直线与焦点所在轴夹角，是锐角。x为分离比，必须大于1。 注：上述公式适合一切圆锥曲线。如果焦点内分(指的是焦点在所截线段上)，用该公式;如果外分(焦点在所截线段延长线上)，右边为(x+1)/(x-1)，其他不变。 2 . 函数的周期性问题(记忆三个) (1)若f(x)=-f(x+k)，则T=2k;(2)若f(x)=m/(x+k)(m不为0)，则T=2k;(3)若f(x)=f(x+k)+f(x-k)，则T=6k。 注意点：a.周期函数，周期必无限b.周期函数未必存在最小周期，如：常数函数。 c.周期函数加周期函数未必是周期函数，如：y=sinxy=sin派x相加不是周期函数。 3 . 关于对称问题(无数人搞不懂的问题)总结如下 (1)若在R上(下同)满足：f(a+x)=f(b-x)恒成立，对称轴为x=(a+b)/2(2)函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图像关于x=(b-a)/2对称;(3)若f(a+x)+f(a-x)=2b，则f(x)图像关于(a， b)中心对称 4 . 函数奇偶性 (1)对于属于R上的奇函数有f(0)=0;(2)对于含参函数，奇函数没有偶次方项，偶函数没有奇次方项(3)奇偶性作用不大，一般用于选择填空 5 . 数列爆强定律 (1)等差数列中：S奇=na中，例如S13=13a7(13和7为下角标);(2)等差数列中： S(n)、S(2n)-S(n)、S(3n)-S(2n)成等差(3)等比数列中，上述2中各项在公比不为负一时成等比，在q=-1时，未必成立(4)等比数列爆强公式：S(n+m)=S(m)+q2mS(n)可以迅速求q 6 . 数列的终极利器，特征根方程 首先介绍公式：对于an+1=pan+q(n+1为下角标，n为下角标)，a1已知，那么特征根x=q/(1-p)，则数列通项公式为an=(a1-x)p2(n-1)+x，这是一阶特征根方程的运用。 二阶有点麻烦，且不常用。所以不赘述。希望同学们牢记上述公式。当然这种类型的数列可以构造(两边同时加数) 7 . 函数详解补充 1、复合函数奇偶性：内偶则偶，内奇同外 2、复合函数单调性：同增异减 3、重点知识关于三次函数：恐怕没有多少人知道三次函数曲线其实是中心对称图形。它有一个对称中心，求法为二阶导后导数为0，根x即为中心横坐标，纵坐标可以用x带入原函数界定。另外，必有唯一一条过该中心的直线与两旁相切。 8 . 常用数列bn=n×(22n)求和Sn=(n-1)×(22(n+1))+2记忆方法 前面减去一个1，后面加一个，再整体加一个2 9 . 适用于标准方程(焦点在x轴)爆强公式 k椭=-{(b2)xo｝/{(a2)yo｝k双={(b2)xo｝/{(a2)yo｝k抛=p/yo 注：(xo，yo)均为直线过圆锥曲线所截段的中点。 10 . 强烈推荐一个两直线垂直或平行的必杀技 已知直线L1：a1x+b1y+c1=0直线L2：a2x+b2y+c2=0若它们垂直：(充要条件)a1a2+b1b2=0;若它们平行：(充要条件)a1b2=a2b1且a1c2≠a2c1[这个条件为了 最全面的高考复习资料 目录 前言 (2) 一、配方法 (3) 二、换元法 (7) 三、待定系数法 (14) 四、定义法 (19) 五、数学归纳法 (23) 六、参数法 (28) 七、反证法 (32) 八、消去法……………………………………… 九、分析与综合法……………………………… 十、特殊与一般法……………………………… 十一、类比与归纳法………………………… 十二、观察与实验法………………………… 一、数形结合思想 (35) 二、分类讨论思想 (41) 三、函数与方程思想 (47) 四、转化（化归）思想 (54) 第一章高考热点问题和解题策略 (59) 一、应用问题 (59) 二、探索性问题 (65) 三、选择题解答策略 (71) 四、填空题解答策略 (77) 附录……………………………………………………… 一、高考数学试卷分析………………………… 二、两套高考模拟试卷………………………… 三、参考答案…………………………………… 前言 美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。 高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查： ①常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等； ②数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等； ③数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和 演绎等； ④常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想 等。 数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。 数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。 可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。 为了帮助学生掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，本书先是介绍高考中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法，再介绍高考中常用的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想。最后谈谈解题中的有关策略和高考中的几个热点问题，并在附录部分提供了近几年的高考试卷。 在每节的内容中，先是对方法或者问题进行综合性的叙述，再以三种题组的形式出现。再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现，示范性题组进行详细的解答和分析，对方法和问题进行示范。巩固性题组旨在检查学习的效果，起到巩固的作用。每个题组中习题的选取，又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知识。高中数学解题方法系列：概率的热点题型及其解法
高中数学统计与概率知识点
高中数学九大解题技巧
高中数学解题方法大全
高三数学 深入分析高考中概率试题的特点与解题方法
高中数学知识点以及解题方法大全
概率与统计高考常见题型解题思路及知识点总结
高中数学解题的21个典型方法与技巧
高中数学解题方法之构造法(含答案)
高中理科数学解题方法篇(概率与数据)
高中数学经典解题技巧和方法平面向量
高中最全数学解题的思维策略资料全
很抱歉这么晚才来给大家讲课，因为今年暑假刚去安徽写生画图，
昨天下午坐了 24 个小时的火车过来，误了 4 天的课程，最后咱们
下午物理上完之后再给大家补课，再给大家补 5 天的课程，
去年高考难，很多学生数学考得也很不错，，很多人可能会问补课
有用吗。给大家举个例子，那几年留学很流行，大家可能会说，留
学很贵，实际上很多海归回来后一年的工资就把多花的挣回来了，
补课也是，讲到的某些知识点能被大家用到高考中，增加分数，高
考中分数的重要性，，我姐是个老师，我姐经常说孩子们考好了，
家长就说，，考不好，家长就说老师和郭师哥教的不好，实际上主
体还是我们学生，次要的才是老师，家长，环境，据去年那批学生
反映最后对我们 3 个教的还不错，
我先讲一下我补课大概基本要讲的内容，把大家数学必修的知识点
基本过一遍，再做相应的习题，中间穿插还有很多我个人感觉很多
好题；很多我归纳的知识和一些数学技巧；在最后 2 天我要给大家
讲一下数学解题策略，如果最后还有时间的话，还会给大家讲一下
一些英语，语文和其他科目的技巧。
导
读
数学教学的目的在于培养学生的思维能力，培养良好思维品质的途径，是进行有效
的训练，本策略结合数学教学的实际情况，从以下四个方面进行讲解：
一、数学思维的变通性(举例子过几天再给他们讲，考试的时候有些难题大家容易钻
牛角尖，这个变通不只是说思维，也可以说是大家对数学卷子的一种变通，高考 120 分
钟，12 道选择，4 道填空，基本用时不超过 50 分钟，选这题一般最后 2 个比较难，填
空题一般最后一个比较难，大家很容易被这卡主，流汗，紧张，看到你旁边的人第 2 道概率习题精选精讲
高考数学复习专题：统计与概率(经典)
高中数学50个解题小技巧
高中数学解题方法及解析大全
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