一元函数微分学练习题答案
一、计算下列极限：
1．93
25
235lim
222-=-+=-+→x x x 2．01)3(3)3(13lim 2
2223=+-=+-→x x x 3．x x x 11lim
--→)
11(lim
)11()11)(11(lim 00+--=+-+---=→→x x x
x x x x x x 21
1011
1
11l i m
-=+--=
+--=→x x
4．0111
111lim )1)(1()1(lim 112lim 1212
21=--+-=-+=-++=-++-→-→-→x x x x x x x x x x x 5．21)23()124(lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x x
x x x x x x
6．x t x t
x t x x t x t x t x t t t 2)2(lim )
)((lim )(lim
00220-=--=--+-=--→→→ 7．0001001311
1lim 13lim 4
2322
42=+-+=+-+
=+-+∞
→∞→x
x x x x x x x x x 8．943)3(2)
13()31()12(lim )13()31()12(lim
10
82108
210
108822=-?=---=---=∞→∞→x x x x x x x x x x x 原式 9．2)211(lim 22
11)211(1lim )21...41211(lim =-=--
=++++∞→∞→∞→n n n n n n 10．21
2lim 02tan lim 3sin lim )2tan 3sin (lim 0000=+=+=+
→→→→x x x x x x x x x x x x x x
11．01
sin lim 20=→x
x x （无穷小的性质）
12．0arctan 1
lim arctan lim ==∞→∞→x x x
x x x （无穷小的性质）
13．51
231121lim
3
)3sin(lim )2)(3()3sin(lim 6)3sin(lim
33323
=+?=+?--=+--=---→→→→x x x x x x x x x x x x x 14．x
x x x x x x x
x x x x )
11)(sin(lim
)
11)(11()11)(sin(lim
11)sin(lim
00
-+-=-+---+-=---→→→
2)011(1)11(lim )
sin(lim
00-=-+?-=-+?-=→→x x
x x x
15．2
323lim 23tan lim 00==→→x x x x x x
16．m
n x x x )
(sin )sin(lim 0→（n 、m 为正整数） ??
?
??<∞=>==→→m
n m n m
n x x x x m
n
x m n
x , ,1 ,0lim )(sin )sin(lim 00 17．3
2)2
(231lim 2sin 21)1(lim 1cos 1)1(lim 2
2023
1203
1
20-=?-=--+=--+→→→x x
x x x x x x x （等价替换）
18．3
1
301)3(lim )3(sin lim 3sin lim
2
202030
=+=+=+=+→→→x x x x x x x x x x x x 19．413)
1()(3
3)11(lim )31(lim )11()31(lim )1()3(lim )13(
lim e e
e x
x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x ==-+=-+=-+=-+--?-∞→?∞→∞→∞→∞→ 20．21
21
)2()21
()2(])21
1(lim [)
211(lim )211(lim ---∞→-?-∞→∞→=-=-=-e x
x x x x x x x x 21．1lim )1ln(lim 00==+→→x x
x x x x （等价替换）注：也可用洛必达法则
22．5
3
5sec 53cos 3lim 5tan 3sin lim
2-==→→x x x x x x ππ
23．)2(sin cos lim 41)2)(4(sin cos lim )2(sin ln lim
2
2
22
ππππππ
-?=--?=-→
→→
x x x
x x x x x x x x 8
1
2141sin 2)2(cos sin lim
412
-=-?=+-?-=
→x x x x x ππ 24．n
m n m a x n
n
m m a x a n
m nx mx a a x a x ---→→==≠--11lim )0(lim 25．x
x x x x
x x x
x x x x x 2sec 22tan 7tan 7sec 7lim 2tan 2sec 27tan 7sec 7lim 2tan ln 7tan ln lim 2202200?==+++→→→ 17cos 2cos lim 2sec 7sec lim 2sec 2277sec 7lim 220220220===?=+++→→→x
x x x x x x x x x x 26．1cos lim sin cos )1ln(lim cos 1cos )1ln(lim cos sec )1ln(lim 2
2022022020==+=-+=-+→→→→x
x x x x x x x x x x x x x x x 27．a a
a x
x x x e x
a x a =+=+?∞→∞→)1(lim )1(lim
28．21
11lim 1
1lim )1112(lim )1112(
lim 1212
2121
-=+-=--=-+--=---→→→→x x x x x x x x x x x x
二、计算下列函数的导数： 1．5
31-=
x y 2．x x e y x
+=1
3．1004)13(-=x y 4．1
22
-+-=x x
e y
5．bx e y ax sin =（b a ,为常数） 6．3cos 1
2e e
y x x ++= 7．x
x
y --
+=
1111 8．x x x x y 3cot sin )32(252-+-+=
9．)1lg()1(22x e x y x -++=- 10．)1ln(2x x y ++= 11．x
y 1tan 2= 12． 3
22)13(+=x y
13．4)sin(=++xy e y x （求y '） 14．4)sin(=++xy e y x （求y '）
答案：
1．23
12
1
2
1
)53(2
3)53()53(21])53[(------='-?--='-='x x x x y
2．x e x x x x x e x x e y x x
x 23
121)1()()(1
2211
+-=?++-?='+'='
3．99434994)13(1200)13()13(100-='-?-='x x x x y 4．1
221
22
2
)22()12(-+--+-+-='-+-?='x x
x x
e x x x e y
5．)cos sin ()(sin sin )()sin (bx b bx a e bx e bx e bx e y ax ax ax ax +='+'='='
6．x x x x x x e x e x e e y -----=+-'='+'+'='sin )2(ln 20)(cos 2ln 2)()()2(cos cos 3cos 7．x x
x x x x x
x
y --=
-+---=
--
+=
1211111111 2
2
)
1(1)
1()1()1(21
2
)1(2x x x x x x x x x
x y -+-
=-'----='--='
8．)3(cot )(sin ])32[(252'-'+'-+='x x x x y
x x x x x x x x x x x x x 3csc 3cos sin 2)32)(22(533csc cos sin 2)32()32(52
4
2
2242++-++=?++'-+?-+=
9．])1[lg(])1[(22'-+'+='-x e x y x
10
ln )1(2)1(2)1(10
ln )1(1))(1()1(222
2
22x x e x xe x x e x e x x
x x x --
+-='--+'++'+=----
10．])1[ln(2'++='x x y
2
22
2
22
22
11]
)1(1211[11]
)1(1[11)1(11x x x
x x x x x x x x x +=
'+?++
++='++++='++++=
11．)1
(1sec 2ln 2)1(1sec 2ln 2)1(tan 2ln 2
)2
(221
tan 21tan 1tan
1tan
x
x x x x y x x x
x
-??='='?='='
12．31
2231
23
22)13(4)13()13(3
2])13[(--+='+?+='+='x x x x x y
13．4)sin(=++xy e y x
解：方程两边同时对x 求导
xy
xy xy xy xy xy xe y x ye y x y ye y x xe y x y y x y e y y x xy e y x y x ++++-
='∴++-=++'='+?+'+?+='?+'+?+)cos()cos( ])[cos(])[cos( 0)()1()cos( 0)()()cos(
14．（与13同）
三、确定下列函数的单调区间： 1．7186223---=x x x y
函数在]1,(--∞、),3[+∞内单调递增，在]3,1[-内单调递减。
2．)0(8
2>+=x x
x y
函数在]2,0(内单调递减，在),2[+∞内单调递增。 3．x
x x y 69410
23+-=
函数在)0,(-∞、]21,0(、),1[+∞内单调递减，在]1,2
1
[内单调递增。
4．)1ln(2x x y ++=
函数在),(+∞-∞内单调递增。
四、求下列函数图形的拐点及凹或凸区间： 1．53523++-=x x x y
拐点)2720,35(，在]35,(-∞内是凸的，在),3
5
[+∞内是凹的。
2．)1ln(2+=x y
拐点)2ln ,1(-、)2ln ,1(，在]1,(--∞、),1[+∞内是凸的，在]1,1[-内是凹的。
五、求下列函数的极值： 1．)1ln(x x y +-=
当0=x 时，函数取得极小值0)0(=y 。 2．x x y -+=1 当43=
x 时，函数取得极大值4
5)43(=y 。
一元函数微分学典型例题 1. 有关左右极限题 求极限??? ?????+++→x x sin e e lim x x x 41 012 ● 根据左右极限求极限， ● 极限x x e lim 1 →， x x sin lim x 0 →，x tan lim x 2 π→，x cot lim x 0→，x cot arc lim x 0→，x arctan lim x 1 0→都不存在， ● A )x (f lim A )x (f lim )x (f lim x x x =?==∞ →-∞ →+∞ → ● 【 1 】 2. 利用两个重要极限公式求1∞ 型极限 x sin x ) x (lim 20 31+→ ● 0→)x (?，e )) x (lim() x (=+??1 1 ● A )x (f lim =0→)x (?，A )x (f ) x (e ])) x (lim[(=+??11 ● 【 6e 】 3. 等价无穷小量及利用等价代换求极限 当0x + → (A) 1- (B) ln (C) 1. (D) 1-. ● 等价无穷小定义：如果1=α β lim ，则称β与α失等价无穷小，记为α∽β， ● 0→x 时，（1）n x x a x a x x x x x x x x x e x x x x x n x x ≈ -+≈-≈-+≈-≈---+≈-≈+≈≈≈≈111112 1 16111112 3 ln )(cos sin )ln(arctan tan sin αα
● 当0→)x (?时，)x (sin ?∽)x (?，11-+n )x (?∽ n ) x (?∽∽ ● 【 B 】 4. 利用单调有界准则求极限 设数列{}n x 满足n n x sin x ,x =<<+110π。证明：极限n n x lim ∞→存在，计算1 1n x n n n x x lim ??? ? ??+∞→ ● 利用单调有界准则球数列或者函数极限的步骤：1。证明数列或函数单调；2。证明 数列或函数是有界；3。等式取极限求出极限。 ● 定理单调有界数列必有极限还可以叙述为单调递减有下界数列必有极限，或单调递 增有上界数列必有极限。 ● 61 1 2 -→=?? ? ??e x x sin lim x x ● 【 0；6 1- e 】 5. 判断函数连续与否以及利用函数的连续性解题 设函数f (x )在x =0处连续，下列命题错误的是： (A) 若0()lim x f x x →存在，则f (0)=0. (B) 若0()() lim x f x f x x →+-存在，则f (0)=0. (C) 若0()lim x f x x →存在，则(0)f '存在. (D) 若0()() lim x f x f x x →-- 存在，则(0)f '存 在 【 】 ● 若()()00 x f x f lim x x =→，则称函数()x f 在点0x 处连续。 ● 左连续右连续则连续。 ● 分段函数的分段点不一定是函数的间断点。 ● 判断函数在某点是否连续的步骤：求函数在该点的极限；求函数在该点的函数值；判断 二者是否相等，相等则连续，否则间断。 6．导数的定义式相关题目 设函数 ()x f 在 x=0某领域内有一阶连续导数，且 ()()0 000≠'≠f ,f 。若 ()()()02f h bf h af -+在0→h 时是比h 高阶的无穷小，试确定a, b. ● 函数在某一点导数的定义： ()()()x x f x x f lim x y lim x f x x ??????000 00-+=='→→ ()()()()()0 0000 00 x x x f x f lim h x f h x f lim x f x x h --=-+='→→
2020年考研数学大纲考点：一元函数微分学 在研究生入学考试中，高等数学是数一、数二、数三考试的公共 内容。数一、数三均占56%(总分150分)，考察4个选择题(每题4分，共16分)、4个填空题(每题4分，共16分)、5个解答题(总分50分)。数二不考概率论，高数占78%，考察6个选择题(每题4分，共24分)、4个填空题(每题5分，共20分)、7个解答题(总分72分)。由高数所 占比例易知，高数是考研数学的重头戏，所以一直流传着“得高数者 得数学。”高等数学包含函数、极限与连续、一元函数微分学、一元 函数积分学、多元函数微分学、多元函数积分学、常微分方程和无穷 级数等七个模块，在梳理分析函数、极限与连续的基础上，继续梳理 对一元函数微分学，希望对学员有所协助。 一元函数微分学包含导数与微分、微分中值定理、导数应用三方 面内容。 1、考试内容 (1)导数和微分的概念；(2)导数的几何意义和物理意义；(3)函数 的可导性与连续性之间的关系；(4)平面曲线的切线和法线；(5)导数 和微分的四则运算(6)基本初等函数的导数；(7)复合函数、反函数、 隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法；(8)高阶导数；(9)一阶 微分形式的不变性；(10)微分中值定理；(11)洛必达(L’Hospital)法则；(12)函数单调性的判别；(12)函数的极值；(13)函数图形的凹凸性、拐点及渐近线；(14)函数图形的描绘；(15)函数的值和最小值；(16)弧微分、曲率的概念；(17)曲率圆与曲率半径(其中16、17只要 求数一、数二考试掌握，数三考试不要求)。 2、考试要求 (1)理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的 几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，理解函数的可导性 与连续性之间的关系；(2)了解导数的物理意义，会用导数描述一些物
第二部分 一元函数微分学 [选择题] 容易题 1—39，中等题40—106，难题107—135。 1．设函数)(x f y =在点0x 处可导，)()(00x f h x f y -+=?，则当0→h 时，必有( ) (A) y d 是h 的同价无穷小量. (B) y y d -?是h 的同阶无穷小量。 (C) y d 是比h 高阶的无穷小量. (D) y y d -?是比h 高阶的无穷小量. 答D 2．已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的一个偶函数，且当0
)(x f 的（ ） （A ）间断点。 （B ）连续而不可导的点。 （C ）可导的点，且0)0(='f 。 （D ）可导的点，但0)0(≠'f 。 答C 6．设函数f(x)定义在[a ，b]上，判断何者正确？（ ） （A ）f （x ）可导，则f （x ）连续 （B ）f （x ）不可导，则f （x ）不连续 （C ）f （x ）连续，则f （x ）可导 （D ）f （x ）不连续，则f （x ）可导 答A 7．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的导数的几何意义是：（ ） （A ）0x 点的切向量 （B ）0x 点的法向量 （C ）0x 点的切线的斜率 （D ）0x 点的法线的斜率 答C 8．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的函数微分的几何意义是：（ ） （A ）0x 点的自向量的增量 （B ）0x 点的函数值的增量 （C ）0x 点上割线值与函数值的差的极限 （D ）没意义 答C 9．x x f = )(，其定义域是0≥x ，其导数的定义域是（ ） （A ）0≥x
第二章 一元函数微分学 一、 导数 （一）、导数概念 1、导数的定义： 设函数)(x f y =在点0x 的某个邻域内有定义，当自变量在点0x 处取得改变量x ?时，函数)(x f 取得相应的改变量，)()(00x f x x f y -?+=?，如果当0→?x 时，x y ??的极限存在，即x y x ??→?0lim x x f x x f x ?-?+=→?)()(lim 000存在，则此极限值为函数)(x f 在点0x 的导数，可记作)(0x f '或|0x x y ='或|0x x dx dy =或|0 )(x x dx x df = 2、根据定义求导数的步骤（即三步曲） ①求改变量)()(x f x x f y -?+=? ②算比值 x y ??x x f x x f ?-?+=)()( ③取极限x y x f y x ??='='→?0lim )(x x f x x f x ?-?+=→?)()(lim 0 例1：根据定义求2 x y =在点3=x 处的导数。 解：223)3(-?+=?x y 2)(6x x ?+?= x x y ?+=??6 6)6(lim lim 0 0=?+=??→?→?x x y x x 3、导数定义的几种不同表达形式 ①x x x x x f x x f x f x ?+=??-?+='→?00000) ()(lim )(令 ②000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→ 时 ＝当0)()(lim )(0000x x x f x f x f x ??-='→? ③x f x f f x )0()(lim )0(0-='→ 4、左右导数的定义： 如果当)0(0-+→?→?x x 时，x y ??的极限存在，则称此极限为)(x f 在点0x 为右导数（左
第二章 综合练习题 一、 填空题 1. 若21lim 11x x x b x →∞??+-+= ?+?? ，则b =________. 2. 若当0x →时，1cos x -与2sin 2x a 是等价无穷小，则a =________. 3. 函数21()1ln f x x = -的连续区间为________. 4. 函数2()ln |1| x f x x -=-的无穷间断点为________. 5. 若21sin ,0,(),0, x x f x x a x x ?>?=??+?…在R 上连续，则a =________. 6. 函数()sin x f x x =在R 上的第一类间断点为________. 7 当x → 时，1 1x e -是无穷小量 8 设21,10(), 012,12x x f x x x x x ?--≤
数学考研：一元函数微分学的知识点和常考题型 【大纲内容】 导数和微分的概念 导数的几何意义和物理意义(数三经济意义) 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线和法线 导数和微分的四则运算基本初等函数的导数 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数(数三不要求)的微分法 高阶导数 一阶微分形式的不变性 微分中值定理 洛必达法则 函数单调性的判别 函数的极值 函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数的最大值和最小值 弧微分、曲率的概念、曲率圆与曲率半径(数三不要求) 【大纲要求】 1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义(数三经济意义)，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。 2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。 3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。 4.会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数(数三不要求)以及反函数的导数。
5.理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理(数三了解)，了解并会用柯西(Cauchy)中值定理。 6.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。 7.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用。 9.了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。(数三不要求) 【常考题型】 1.导数概念; 2.求给定函数的导数或微分(包括高阶导数)隐函数和由参数方程确定的函数求导; 3.函数的单调性和极值; 4.曲线的凹凸性与拐点; 5.利用微分中值定理证明有关命题和不等式或讨论方程在给定区间内的根的个数; 6.利用洛必达法则求极限; 7.几何、物理、经济等方面的最大值、最小值应用题。解这类问题，主要是确定目标函数和约束条件，判定所讨论区间。
多元函数微分学练习题 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
第五章（多元函数微分学） 练习题 一、填空题 1. (,)(0,0)sin()lim x y xy y →= ． 2. 22 (,)(0,0)1lim ()sin x y x y x y →+=+ ． 3. 1 (,)(0,0)lim [1sin()]xy x y xy →+= ． 4. 设21sin(), 0,(,)0, 0x y xy xy f x y xy ?≠?=??=? 则(0,1)x f = ． 5. 设+1(0,1)y z x x x =>≠，则d z = ． 6. 设22ln(1)z x y =++，则(1,2)d z = ． 7. 设u =d u = ． 8. 若(,)f a a x ?=? ，则x a →= ． 9. 设函数u =0(1,1,1)M -处的方向导数的最大值为 ． 10. 设函数23u x y z =++，则它在点0(1,1,1)M 处沿方向(2,2,1)l =-的方向导数为 ． 11. 设2z xy =，3l i j =+，则21x y z l ==?=? ． 12. 曲线cos ,sin ,tan 2 t x t y t z ===在点(0,1,1)处的切线方程是 ． 13. 函数z xy =在闭域{(,)0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤上的最大值是 ． 14. 曲面23z z e xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为 ． 15. 曲面2:0x z y e -∑-=上点(1,1,2)处的法线方程是 ． 16. 曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程是 ．
[考研类试卷]考研数学一（一元函数微分学）历年真题试卷汇编1 一、选择题 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 1 (1998年)函数f(x)=(x2一x一2)|x3一x|不可导点的个数是( ) （A）3 （B）2 （C）1 （D）0 2 (1999年)设其中g(x)是有界函数，则f(x)在x=0处( ) （A）极限不存在 （B）极限存在，但不连续 （C）连续，但不可导 （D）可导 3 (2001年)设f(0)=0，则f(x)在点x=0可导的充要条件为( ) 4 (2004年)设函数f(x)连续，且f′(0)＞0，则存在δ＞0使得( ) （A）f(x)在(0，δ)内单调增加
（B）f(x)在(一δ，0)内单调减少 （C）对任意的x∈(0，δ)有f(x)＞f(0) （D）对任意的x∈(一δ，0)有f(x)＞f(0) 5 (2005年)设函数则f(x)在(一∞，+∞)内( ) （A）处处可导 （B）恰有一个不可导点 （C）恰有两个不可导点 （D）至少有三个不可导点 6 (2006年)设函数y=f(x)具有二阶导数，且f′(x)＞0，f"(x)＞0，△x为自变量x在X0处的增量，△y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若△x＞0，则( ) （A）0＜dy＜△y （B）0＜△y＜dy （C）△y＜dy＜0 （D）dy＜△y＜0 7 (2007年)设函数f(x)在x=0连续，则下列命题错误的是( )
8 (1998年)设f(x)连续，则 （A）xf(x2) （B）一xf(x2) （C）2xf(x2) （D）一2xf(x2) 9 (2008年)设函数则f′(x)的零点个数为( ) （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 10 (2000年)设f(x)，g(x)是恒大于零的可导函数，且f′(x)g(x)一f(x)g′(x)<0，则当a ＜x＜b时，有( ) （A）f(x)g(b)＞f(b)g(x) （B）f(x)g(a)＞f(a)g(x) （C）f(x)g(x)＞f(b)g(b) （D）f(x)g(x)＞f(a)g(a)
一元函数微分学习题集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#
第二部分 一元函数微分学 [选择题] 容易题 1—39，中等题40—106，难题107—135。 1．设函数)(x f y =在点0x 处可导，)()(00x f h x f y -+=?，则当0→h 时，必有( ) (A) y d 是h 的同价无穷小量. (B) y y d -?是h 的同阶无穷小量。 (C) y d 是比h 高阶的无穷小量. (D) y y d -?是比h 高阶的无穷小量. 答D 2．已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的一个偶函数，且当0
5．设函数)(x f 在)1,1(-内有定义，且满足)1,1(,)(2-∈?≤x x x f ，则0=x 必是 )(x f 的（ ） （A ）间断点。 （B ）连续而不可导的点。 （C ）可导的点，且0)0(='f 。 （D ）可导的点，但0)0(≠'f 。 答C 6．设函数f(x)定义在[a ，b]上，判断何者正确（ ） （A ）f （x ）可导，则f （x ）连续 （B ）f （x ）不可导，则f （x ）不连续 （C ）f （x ）连续，则f （x ）可导 （D ）f （x ）不连续，则f （x ）可导 答A 7．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的导数的几何意义是：（ ） （A ）0x 点的切向量 （B ）0x 点的法向量 （C ）0x 点的切线的斜率 （D ）0x 点的法线的斜率 答C 8．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的函数微分的几何意义是：（ ） （A ）0x 点的自向量的增量 （B ）0x 点的函数值的增量 （C ）0x 点上割线值与函数值的差的极限 （D ）没意义
一元函数微分学练习题答案 一、计算下列极限： 1．93 25 235lim 222-=-+=-+→x x x 2．01)3(3)3(13lim 2 2223=+-=+-→x x x 3．x x x 11lim --→) 11(lim )11()11)(11(lim 00+--=+-+---=→→x x x x x x x x x 21 1 011 1 11lim -=+--= +--=→x x 4．0111 111lim )1)(1()1(lim 112lim 1212 21=--+-=-+=-++=-++-→-→-→x x x x x x x x x x x 5．21 )23()124(lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x x x x x x x x 6．x t x t x t x x t x t x t x t t t 2)2(lim ) )((lim )(lim 00220-=--=--+-=--→→→ 7．0001001311 1lim 13lim 4 2322 42=+-+=+-+ =+-+∞ →∞→x x x x x x x x x x 8．943)3(2) 13()31()12(lim )13()31()12(lim 10 82108 210 108822=-?=---=---=∞→∞→x x x x x x x x x x x 原式 9．2)211(lim 22 11)211(1lim )21...41211(lim =-=-- =++++∞→∞→∞→n n n n n n 10．21 2lim 02tan lim 3sin lim )2tan 3sin (lim 0000=+=+=+ →→→→x x x x x x x x x x x x x x 11．01 sin lim 20=→x x x （无穷小的性质）
第一章 函数与极限 1. 函数 会求函数的定义域，对应法则； 几种特殊的函数（复合函数、初等函数等）； 函数的几种特性（有界性、单调性、周期性、奇偶性） 2. 极限 （1）概念 无穷小与无穷大的概念及性质； 无穷小的比较方法；（高阶、低阶、同阶、等价） 函数的连续与间断点的判断 （2）计算 函数的极限计算方法（对照极限计算例题，熟悉每个方法的应用条件） 极限的四则运算法则 利用无穷小与无穷大互为倒数的关系； 利用无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小的性质； 消去零因子法； 无穷小因子分出法； 根式转移法； 利用左右极限求分段函数极限； 利用等价无穷小代换（熟记常用的等价无穷小）； 利用连续函数的性质； 洛必达法则（掌握洛必达法则的应用条件及方法）； ∞∞或00型，) ()(lim )()(lim x g x f x g x f ''= 两个重要极限（理解两个重要极限的特点）；1sin lim 0=→x x x ，1)()(sin lim 0)(=??→?x x x e x x x =+→10)1(lim ，e x x x =+∞→)11(lim ， 一般地，0)(lim =?x ，∞=ψ)(lim x ，)()(lim )())(1lim(x x x e x ψ?ψ=?+ 3 函数的连续 连续性的判断、间断点及其分类 第二章 导数与微分 1 导数 （1）导数的概念：增量比的极限；导数定义式的多样性，会据此求一些函数的极限。 导数的几何意义：曲线上某点的切线的斜率 （2）导数的计算：
基本初等函数求导公式； 导数的四则运算法则；（注意函数积、商的求导法则） 复合函数求导法则（注意复合函数一层层的复合结构，不能漏层） 隐函数求导法则（a ：两边对x 求导，注意y 是x 的函数；b ：两边同时求微分；） 高阶导数 2 微分 函数微分的定义，dx x f dy x x )(00'== 第三章 导数的应用 洛必达法则（函数极限的计算） 函数的单调性与极值，最值、凹凸性与拐点的求法
第二部分 一元函数微分学 [选择题］ 容易题 1—39，中等题40—106，难题107-135。 1．设函数)(x f y =在点0x 处可导,)()(00x f h x f y -+=?,则当0→h 时，必有（ ) （A) y d 是h 的同价无穷小量. (B) y y d -?是h 的同阶无穷小量。 （C) y d 是比h 高阶的无穷小量。 (D ） y y d -?是比h 高阶的无穷小量. 答D 2．已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的一个偶函数，且当0
)(x f 的（ ) （A ）间断点。 （B ）连续而不可导的点. (C ）可导的点,且0)0(='f . （D ）可导的点，但0)0(≠'f . 答C 6．设函数f(x ）定义在［a ，b]上,判断何者正确？( ） （A ）f(x ）可导,则f （x ）连续 (B ）f （x ）不可导，则f （x ）不连续 （C)f （x ）连续，则f （x)可导 （D ）f （x ）不连续，则f （x ）可导 答A 7．设可微函数f(x ）定义在［a ，b]上,],[0b a x ∈点的导数的几何意义是：（ ） （A)0x 点的切向量 （B ）0x 点的法向量 （C ）0x 点的切线的斜率 （D ）0x 点的法线的斜率 答C 8．设可微函数f （x)定义在[a ，b ］上，],[0b a x ∈点的函数微分的几何意义是：（ ） (A)0x 点的自向量的增量 （B ）0x 点的函数值的增量 (C ）0x 点上割线值与函数值的差的极限 （D ）没意义 答C 9．x x f =)(，其定义域是0≥x ,其导数的定义域是（ ) （A ）0≥x
一、极限题 1、求.)(cos lim 2 1 x x x → 2、6 sin )1(lim 2 2 x dt e x t x ?-→求极限。 3、、)(arctan sin arctan lim 20x x x x x -→ 4、2 1 0sin lim x x x x ?? ? ??→ 5、? ?+∞ →x t x t x dt e dt e 0 20 2 2 2)(lim 6、 ) 1ln(1 lim -→+x e x x 7、x x x e x cos 11 20 ) 1(lim -→+ 8、 x x x x x x ln 1lim 1+--→ 9、) 1ln()2(sin ) 1)((tan lim 2 30 2 x x e x x x +-→ 10、1 0lim( )3 x x x x x a b c →++ ， (,,0,1)a b c >≠ 11、)1)(12(lim 1--+∞ →x x e x 12、 )cot 1(lim 2 20x x x -→ 13、[] )1(3sin 1 lim 11x e x x ---→ 14、() ?? ???=≠+=0 021)(3 x A x x x f x 在0=x 点连续，则A =___________ 二、导数题 1、.sin 2 y x x y ''=，求设 2、.),(0y x y y e e xy y x '==+-求确定了隐函数已知方程 3、.)5()(2 3 的单调区间与极值求函数-=x x x f 4、要造一圆柱形油罐，体积为V ，问底半径r 和高h 等于多少时，才能使表面积最小，
多元函数微分学复习题及 答案 Last revision on 21 December 2020
第八章 多元函数微分法及其应用复习题及解答 一、选择题 1.极限lim x y x y x y →→+00 242 = （ B ） (A)等于0； (B)不存在； (C)等于 12； (D)存在且不等于0或12 （提示：令22y k x =） 2、设函数f x y x y y x xy xy (,)sin sin =+≠=?????11000，则极限lim (,)x y f x y →→0 = （ C ） (A)不存在； (B)等于1； (C)等于0； (D)等于2 （提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小） 3、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=???? ?22 2222000，则(,)f x y （ A ） (A) 处处连续； (B) 处处有极限，但不连续； (C) 仅在（0,0）点连续； (D) 除（0,0）点外处处连续 （提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx = ，2000(0,0)x x y f →→→=== ，故在220x y +=，函数亦连续。所以， (,)f x y 在整个定义域内处处连续。） 4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ A ） (A)必要而非充分条件； (B)充分而非必要条件； (C)充分必要条件； (D)既非充分又非必要条件 5、设u y x =arctan ，则??u x = （ B ） (A) x x y 22+； (B) -+y x y 22； (C) y x y 22+ ； (D) -+x x y 22
《高等数学》（上）“一元函数微分学”复习题 1.设x x f +=1)(ln ，求)(x f '. 2.设函数)(x f 二阶可导，且0)0(=f ，1)0(='f ，2)0(=''f ，求20)(lim x x x f x -→. 3.设)(x f 在2=x 处连续，且22)(lim 2=-→x x f x ，求)2(f '. 4.若)(sin x f y =，求dy . 5.若函数)(x f 可导，)(sin 2x f y =则 dx dy 为多少？ 6.设函数)1ln()(2x x f -=，求)(x f ''. 7.求等边曲线x y 1=在点2) ,2 1(的切线方程. 8.设函数???≥+<=0 ),1ln(0,sin )(x x x x x f ，求)0(-'f 、)0(+'f ，并判断)0(f '是否存在. 9.确定常数a ，b 使函数? ??>-≤+=0,0,13sin )(x b ae x x x f x 在0=x 处可导. 10.求曲线???==t y t x sin 2cos 在3π=t 处的切线方程和法线方程. 11.求由方程0=-+e xy e y 所确定的隐函数的微分dy . 12.设函数x x x y ?? ? ??+=1，求其导数y '. 13.设曲线的参数方程为?????==-t t e y e x 23，求22dx y d . 14.求由方程12 2=-y x 所确立的隐函数)(x y y =的二阶导数22dx y d . 15.设函数)(x f y =由方程4ln 2y x xy =+确定，求() 1,1dx dy . 16.求椭圆442 2=+y x 在点()2,0处的二阶导数22dx y d . 17.设()3,1是曲线2 3bx ax y +=的拐点，求b a ,.
第八章 多元函数微分法及其应用 一、选择题 1. 极限lim x y x y x y →→+00 242= （提示：令22y k x =） （ B ） (A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于 12 (D) 存在且不等于0或1 2 2、设函数f x y x y y x xy xy (,)sin sin =+≠=? ????1100 ，则极限lim (,)x y f x y →→0 = （ C ） （提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小） (A) 不存在 (B) 等于1 (C) 等于0 (D) 等于2 3、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=??? ? ?22 2222000 ，则(,)f x y （ A ） （提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx = ， 20 0(0,0)x x y f →→→=== ，故在220x y +=，函数亦连续.所以， (,)f x y 在整个定义域内处处连续.） (A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续 (C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续 4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ A ） (A)必要而非充分条件 (B)充分而非必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件 5、设u y x =arctan ，则??u x = （ B ） (A) x x y 22 + (B) - +y x y 22 (C) y x y 22 + (D) -+x x y 22 6、设f x y y x (,)arcsin =，则f x '(,)21= （ A ） （A ）-1 4 （B ） 14 （C ）-12 （D ）12 7、设y x z arctan =，v u x +=，v u y -=，则=+v u z z （ C ）
24 第二章 一元函数微分学 §2.1 导数与微分 （甲）内容要点 一、导数与微分概念 1、导数的定义 设函数)(x f y =在点0x 的某领域内有定义，自变量x 在0x 处有增量x ?，相应地函数增量)()(00x f x x f y -?+=?。如果极限 x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000 存在，则称此极限值为函数)(x f 在0x 处的导数（也称微商），记作0()f x '，或0 x x y =' ， x x dx dy =， )(x x dx x df =等，并称函数)(x f y =在点0x 处可导。如果上面的极限不存在，则 称函数)(x f y =在点0x 处不可导。 导数定义的另一等价形式，令x x x ?+=0，0x x x -=?，则 0000 ()() ()l i m x x f x f x f x x x →-'= - 我们也引进单侧导数概念。 右导数：0 000000()()()() ()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x + + +→?→-+?-'==-? 左导数：0 000000()()()() ()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x - - -→?→-+?-'==-? 则有 )(x f 在点0x 处可导)(x f ?在点0x 处左、右导数皆存在且相等。 2．导数的几何意义与物理意义 如果函数)(x f y =在点0x 处导数0()f x '存在，则在几何上0()f x '表示曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线的斜率。 切线方程：000()()()y f x f x x x '-=-
一元函数微分学及其应用练习题与自测题 习题2-1 导数 1．假定0()f x '存在，则000()()lim h f x ah f x bh h →+--= ． 2．求曲线ln y x =在点(,1)e 处的切线方程和法线方程． 3．过点(2,0)-作曲线x y e =的切线，求此切线方程． 4．若函数22,1,1x x y ax b x ?+≤=?+>? 在1x =处可导，求,a b 的值． 5．已知21,0(),0 x e x f x x x ?->?=?≤??，求()f x '． 6．讨论函数21sin , 0()0 , 0 x x f x x x ?≠?=??=?在0x =处的连续性与可导性． 习题2-2 求导法则与求导公式 1．求下列函数的导数： （1）24(1)y x x =++． （2 ）y = （3）21sin y x x =． （4 ）y = （5 ）y e =． （6 ）ln(0)y x a =+>． 2．讨论分段函数21cos sin ,0(),0x x x f x x x x ?+>?=??≤? 在分段点0x =处的连续性和可导性． 3．设()f x 可导，求(sin )y f x =的二阶导数22d y dx ． 4．求函数2 x y xe =的二阶导数． 5．求函数x y xe =的n 阶导数．
习题2-3 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率 1 ．求由方程arctan y x =()y y x =的导数； 2．过点(4,2)-作椭圆223x xy y ++=的切线，求此切线方程． 3．求下列函数的导数： （1）1x x y x ??= ?+?? （0x >）． （2 ）y = 4．求由方程x e xy e +=所确定的函数()y y x =的二阶导数22d y dx ． 5．求由参数方程(sin )(1cos ) x a t t y a t =-??=-?（0a >）所确定的函数的二阶导数22d y dx ： 6．某人以2/m s 的速度通过一座桥，桥面高出水面20m ，在此人的正下方有一条小船以4/3 m s 的速度在与桥垂直的方向航行，求经5s 后，人与桥相分离的速度． 习题2-4 函数的微分 1．将适当的函数填入下列括号内，使等式成立： （1）d （ ）45 x dx -=． （2）d （ ）3x e dx -=． 2．求下列函数的微分： （1 ）y =． （2）22(1)n n x y x =+． 习题2-5 中值定理 1．函数32()452f x x x x =-+-在区间[0,1]上满足Lagrange 中值定理的ξ= ． 2．试用中值定理证明不等式：arctan arctan a b a b -≤-． 3．设()f x 在[0,]a 上连续，在(0,)a 内可导，且()0f a =，证明：至少存在一点(0,)a ξ∈，使()()0f f ξξξ'+=．
第二章 一元函数微分学 §2.1 导数与微分 一、主要内容 ㈠导数的概念 1．导数： )(x f y =在0x 的某个邻域内有定义， x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000 0)()(lim 0x x x f x f x x --=→ 0 0)(0x x x x dx dy x f y === '=' 2．左导数： 00) ()(lim )(0x x x f x f x f x x --='- →- 右导数：0 00)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+ →+ 定理： )(x f 在0x 的左（或右）邻域上连续在 其内可导，且极限存在； 则： ) (lim )(0 0x f x f x x '='-→-
（或： )(lim )(0 0x f x f x x '='+→+） 3.函数可导的必要条件： 定理： )(x f 在0x 处可导?)(x f 在0x 处连续 4. 函数可导的充要条件： 定 理 ： ) (00 x f y x x '=' =存在 )()(00x f x f +-'='?， 且存在。 5.导函数： ),(x f y '=' ),(b a x ∈ )(x f 在),(b a 内处处可导。 y )(0x f ' 6.导数的几何性质： y ? )(0x f ' 是曲线 )(x f y =上点 x ? ()00,y x M 处切线的斜率。 o x 0 ㈡求导法则 1.基本求导公式： 2.导数的四则运算： 1o v u v u '±'='±)（ 2o v u v u v u '?+?'='?)（ 3o 2v v u v u v u '?-?'=' ?? ? ?? )0(≠v 3.复合函数的导数：
第二章一元函数微分学 历年试题 1. 利用导数的定义求函数在某点的导数值 1994——2012年共考了8次，考到的概率P=42.1% （1）（0119）设函数f(x)在x=0处可导，且.x ) 0(f )x 3(f lim ,1)0(f 0x -='→求 （2）（0222）设函数f(x)在x=1处可导，且.x ) 1(f )x 21(f lim ,1)1(f 0x -+='→求 （3）（0303）函数f(x)在x 0处可导，且h ) x (f )h 2x (f lim ,2)x (f 000h 0-+='→则= （ ） A.0 B.1 C.2 D. 4 （4）（0702）已知.x ) 1(f )x 21(f lim ,2)1(f 0x ）（则=?-?+='→? A.-2 B.0 C.2 D. 4 （5）（0802）已知f(x)在x=1处可导，且).( h ) 1(f )h 1(f lim ,3)1(f 0h =-+='→则 A.0 B.1 C.3 D. 6 2. 利用四则运算法则求函数的导数或在某点的导数值和微分 1994——2012年共考了19次，考到的概率P=100% （1）（0122）设函数.y ,1 x x cos y 2 '-= 则 （2）（0210）设函数.y ,x cos 11 y = '+= 则 （3）（0310）设函数.)0(f ,e x )x (f x ='=则 （4）（0419）设函数.y ,x ln x y '=求 （5）（0522）设函数.dy ,x cos x y 3求= （6）（0622）设函数.dy ,x sin x y 4求=
（7）（0705）设函数).( d y ),1x sin(y 2=-=求 A. dx )1x cos(2- B. dx )1x cos(2-- C. dx )1x cos(x 22- D. dx )1x cos(x 22-- （8）（0822）设函数.y ,3x sin x y 3'++=求 （9）（0903）设函数).( )1(f ,3x ln e )x (f x ='+=则 A.0 B.1 C. e D. 2e （10）（1022）设函数.dy ,x cos x y 3 则= （11）（1122）设函数.y ,x sin 1 x y '+= 求 （12）（1222）设函数.,cos )(?? ? ??'=2πf x x f 则=（ ） A.-1 B. 2 1 - C.0 D. 1 3. 复合函数的导数 1994——2012年共考了16次，考到的概率P=84.2% （1）（0107）设函数.dy ,x 1y 2=+=则 （2）（0109）设函数.)x (f ,x sin )x (f ='=则 （3）（0217）设函数.y x 1x y 2 '+= 求 （4）（0211）设函数.)x (f ,x ln )x 2(f = '=则 （5）（0223）设函数.dx dy ,(x)]g f[y .x sin )x (g ,e )x (f x 求且'=== （6）（0318）设函数.y ,x x y '+=求 （7）（0418）设函数).0(f ,x 2sin 1)x (f '+=求