第十五章虚位移原理
虚位移原理
动力学普遍方程分析力学
限制质点或质点系运动的条件称为约束，
表示限制条件的数学方程称为约束方程。
约束约束方程
几何约束
运动约束
非定常约束
定常约束
非完整约束
完整约束
几何约束必定是完整约束；
运动约束可能是完整约束或非完整约束。
双侧约束方程为等式，单侧约束方程为不等式刚杆绳
双侧、完整、几何约束
自由度数自由度
广义坐标广义坐标的数目就等于自由度数目
sin 2
22-r l j
O A
B x
y A
r d r B r d r M
实位移是质点系实际发生的位移，它与约束条件、时间、主动力以及运动的初始条件有关；虚位移是在约束容许的条件下可能发生的假想位移。
实位移具有确定的方向，可能是微小值，也可能是有限值；虚位移则是微小位移，视约束情况可能有多种不同的方向，如前述固定曲面约束。
虚位移是将时间固定后，约束允许的位移虚位移之间存在着一定
的关系i i i i i i i i i q q q q q q q q q
dr
C
C C
不做虚功或所做虚功的和等于零理想约束
N
Ni
i
Ni
i
zi
i
yi
i
xi 条件是：作
。该方程作
用于质点系的所有主动力在任何虚位移中所作的虚功之和为零。
主动力在虚功方程中计入非理想约束力所作的功即可
虚位移原理的应用：
充分性即质点系满足
，质点系一定平衡。?=×0δi i r F
15-1 提升矿石用的传送带与水平成倾角α。设传送带以匀加速度a 运动，为保 持矿石不在带上滑动，求所需的摩擦系数。 解：取矿石m 为研究质点，其受力分析如图所示，Q 为虚拟惯性力，根据矿石 的动平衡方程知： α tg α cos g a f ma Q ,f N F 0αcos m g N 0Y 0αsin mg Q F 0 X +≥∴=?≤=+=∑=--=∑ 15-2 矿车重P 以速度v 沿倾角为α的斜坡匀速下降，运动总阻力系数为f ，尺 寸如图；不记轮对的转动惯量，求钢丝绳的拉力。h 当制动时，矿车作匀减速运动，制动时间为t ，求此时钢丝绳的拉力和轨道法向反力。 解：取矿车为研究质点，其受力分析如图所示，Q 为虚拟惯性力。 （1） 匀速下降，Q=0 ) αcos f α(sin P T f )N N (F 0αcos P N N 0 Y 0 αsin P F T 0 X B A B A -=∴?+==-+=∑=+--=∑ （2） 匀减速运动 F F
制动时间为t ，作匀减速运动，加速度方向与V 相反，且： t V a = ?? ????+++-= ∴? =?+==?-?-?+?-?=∑=-+=∑=++--=∑αcos )fd 2b ()gt V α)(sin d h (b P T t V g P Q ,f )N N (F 0 2 b αcos P h αsin P b N h Q d T 0 m 0αcos P N N 0 Y 0αsin P Q F T 0 X B A B A B A 15-3 图示凸轮导板机构，偏心轮绕O 轴以匀角速度ω转动，偏心距OA=e ，当导 板CD 在最低位置时，弹簧的压缩为b ，导板重为P 。为使导板在运动过程 解：考虑OA 与水平线夹角为θ时的情况。 以导板为研究质点，其受力分析如图所示，Q 为虚拟惯性力。弹力 )θsin e e b (c F ++=. 导板与偏心轮不脱离，两者沿y 向的加速度相同， θsin ωe a 2?= 惯性力是 a g P Q = 根据导板的动平衡条件：
（2009年真题）均质圆盘质量为Ⅲ，半径为R，在铅垂图面内绕D轴转动，图所示瞬时角速度为国，则其对o轴的动量矩和动能的大小为( )。 解：此题关键是要求出均质圆盘对转轴O的转动惯量J0，则其对 O轴的动量矩，动能 答案：(D) （2007年真题）忽略质量的细杆OC=l，其端部固结均质圆盘。杆上点C为圆盘圆心。盘质量为m，半径为r。系统以角速度∞绕轴0转动(见图)。系统的动能是( )。 解：忽略质量的细杆动能不计，只需计算做定轴转动的均质圆盘的动能，其对转轴D的转动惯量为 ，系统的动能为 答案：(D) （2013年真题）A块与B块叠放如图示，各接触面处均考虑摩擦。当B块受力F作用沿水平面运动
时，A块仍静止于B块上，于是( )。 (A)各接触面处的摩擦力都做负功 (B)各接触面处的摩擦力都做正功 (C)A块上的摩擦力做正功 (D)B块上的摩擦力做正功 提示：当A、B两物体在力F作用下向右运动时，作用在A块上的摩擦力与A块运动方向相同，摩擦力做正功；而作用在B块上的摩擦力与B块运动方向相反，摩擦力做负功。 答案：(c) 2016—55真题质点受弹簧力作用而运动，为弹簧自然长度， k 为弹簧刚度系数，质点由位置 1 到位置 2 和由位置 3 到位置 2 弹簧力所做的功为（）。 答案：C 2．动力学三大普遍定理 动力学普遍定理（包括动量定理、质心运动定理，对固定点和相对质心的动量矩定理、动能定理）及相应的守恒定理的表达式、适用范围见表4-9。
2016—56真题如图所示圆环以角速度ω绕铅直轴 AC 自由转动，圆环的半径为 R ，对转轴的转动惯量为 I ，在圆环中的 A 点放一质量为 m的小球，设由于微小的干扰，小球离开 A 点，忽略一切摩擦，则当小球达到 B 点时，圆环的角速度是（）。
习 题 15-1 如图15-7所示的升降机，在主动轮C 上作用一驱动力偶M ，使质量m 1的物体A 上升。已知平衡物B 的质量为m 2，主动轮C 和从动轮D 都为均质圆轮，半径和质量分别为r 和m 3。如不计胶带质量，试求A 物的加速度。 图15-7 a m F A 1I = a m F B 2I = ra m r a r m M M D C 323I I 2 1)(21 == = 动力学普遍方程 0δ)(δ)(δ)(I 2I 1I I =-++---s F W s F W r s M M M B A D C 0)()(1) 2 12 1(221133=-++--- a m g m a m g m r ra m ra m M r m m m gr m m M a )()(32112++-+= 15-2 图15-8所示调速器由两个质量各为m 1的滑块及质量为m 2的平衡重块组成，长l 的杆不计重量，弹簧刚度为k ，当θ = 0时，为原长。若调速器绕铅垂轴等角速度旋转，试求 ω与θ的关系。 图15-8 θωsin 2 11I l m F = )c o s 1(θ-=kl F 动力学普遍方程 0δ)(δ22211I =+-r F g m r F θθcos δsin δ21r r = θt a n δδ12r r = 故 0tan δ)]cos 1([δsin 21212 1=-+-θθθωr kl g m r l m θ θωcos 2) cos 1(122 l m kl g m -+= 15-3 如图15-9所示，板DE 质量为m 1，放在三个质量均为m 2的滚子A 、B 和C 上，今在板上作用一水平向右的力F ，使板与滚子运动。如板与滚子，以及滚子与水平面之间均无滑动，试求板DE 的加速度.滚子可视为均质圆柱，不计滚动摩擦。 图15-9 DE a m F 11I = 2/22I DE a m F = DE DE O ra m r a r m M 22 2I 4 1)2( 2 1= = 动力学普遍方程 0δ3δ3δ)(2I 22I 11I =---?C M r F r F F
第15章 虚位移原理 15-2 图示曲柄式压榨机的销钉B 上作用有水平力F ，此力位于平面ABC 内。作用线平分∠ABC 。设AB=BC ，∠ABC=θ2，各处摩擦及杆重不计，求对物体的压缩力。 解： （1）取整个系统为研究对象 （2）受力分析 拆掉被压榨物体，用力D F 代替。 此时主动力为：D F F , ，约束为理想约束。 （3）给虚位移求关系D B r r δδ, C B ,点虚位移在BC 连线上投影相等： )90cos()902cos(0θδθδ-=-D B r r 即：D B r r δθδ=cos 2 （4）由虚位移原理： 0)90cos(0 =--D D B r F r F δθδ 代入虚位移关系： θF t g F D 2 1 =
15-3在图示机构中，当曲柄OC 绕O 轴摆动时，滑块A 沿曲柄滑动，从而带动杆AB 在铅直导槽K 内移动。已知：OC=a ，OK=l ，在点C 处垂直于曲柄作用一力F 1；而在点B 沿BA 作用一力F 2。求机构平衡时F 2与F 1的关系。 解： （1）取整个系统为研究对象 （2）受力分析 主动力为：21,F F ，约束为理想约束。 （3）给虚位移求关系C A r r δδ, 虚位移满足合成关系：r A e A A r r r δδδ+= ?δδcos A e A r r = A A e A C r l a a l r OC OA r r δ???δδδ?=?=?=2cos cos /cos （4）由虚位移原理： 012=-C A r F r F δδ 0cos 212=?-A A r l a F r F δ?δ 则：l a F F ?2 12cos = 1 1
《理论力学》考试知识点 静力学 第一章静力学基础 1、掌握平衡、刚体、力的概念以及等效力系和平衡力系，静力学公理。 2、掌握柔性体约束、光滑接触面约束、光滑铰链约束、固定端约束和球铰链的性质。 3、熟练掌握如何计算力的投影和平面力对点的矩，掌握空间力对点的矩和力对轴之矩的计算方法，以及力对轴的矩与对该轴上任一点的矩之间的关系。 4、对简单的物体系统，熟练掌握取分离体并画出受力图。 第二章力系的简化 1、掌握力偶和力偶矩矢的概念以及力偶的性质。 2、掌握汇交力系、平行力系、力偶系的简化方法和简化结果。 3、熟练掌握如何计算主矢和主矩；掌握力的平移定理和空间一般力系和平面力系的简化方法和简化结果。 4、掌握合力投影定理和合力矩定理。 5、掌握计算平行力系中心的方法以及利用分割法和负面积法计算物体重心。 第三章力系的平衡条件 1、了解运用空间力系（包括空间汇交力系、空间平行力系和空间力偶系）的平衡条件求解单个物体和简单物体系的平衡问题。 2、熟练掌握平面力系（包括平面汇交力系、平面平行力系和平面力偶系）的平衡条件及其平面力系平衡方程的各种形式；熟练掌握利用平面力系平衡条件求解单个物体和物体系的平衡问题。 3、了解静定和静不定问题的概念。 4、掌握平面静定桁架计算内力的节点法和截面法，掌握判断零力杆的方法。 第四章摩擦 1、掌握运用平衡条件求解平面物体系的考虑滑动摩擦的平衡问题。 2、了解极限摩擦定律、滑动摩擦系数、摩擦角、自锁现象、摩阻的概念。 运动学 第五章点的运动 1、掌握描述点的运动的矢量法、直角坐标法和弧坐标法，能求点的运动方程。 2、熟练掌握如何计算点的速度、加速度及其有关问题。 第六章刚体的基本运动
理论力学》考试知识点 静力学 第一章静力学基础 1、掌握平衡、刚体、力的概念以及等效力系和平衡力系，静力学公理。 2、掌握柔性体约束、光滑接触面约束、光滑铰链约束、固定端约束和球铰链的性质。 3、熟练掌握如何计算力的投影和平面力对点的矩，掌握空间力对点的矩和力对轴之矩的计算方法，以及力对轴的矩与对该轴上任一点的矩之间的关系。 4、对简单的物体系统，熟练掌握取分离体并画出受力图。 第二章力系的简化 1、掌握力偶和力偶矩矢的概念以及力偶的性质。 2、掌握汇交力系、平行力系、力偶系的简化方法和简化结果。 3、熟练掌握如何计算主矢和主矩；掌握力的平移定理和空间一般力系和平面力系的简化方法和简化结果。 4、掌握合力投影定理和合力矩定理。 5、掌握计算平行力系中心的方法以及利用分割法和负面积法计算物体重心。 第三章力系的平衡条件 1、了解运用空间力系（包括空间汇交力系、空间平行力系和空间力偶系）的平衡条件求解单个物体和简单物体系的平衡问题。 2、熟练掌握平面力系（包括平面汇交力系、平面平行力系和平面力偶系）的平衡条件及其平面力系平衡方程的各种形式；熟练掌握利用平面力
系平衡条件求解单个物体和物体系的平衡问题。 3、了解静定和静不定问题的概念 4、掌握平面静定桁架计算内力的节点法和截面法，掌握判断零力杆的方法。 第四章摩擦 1、掌握运用平衡条件求解平面物体系的考虑滑动摩擦的平衡问题。 2、了解极限摩擦定律、滑动摩擦系数、摩擦角、自锁现象、摩阻的概念。 运动学 第五章点的运动 1、掌握描述点的运动的矢量法、直角坐标法和弧坐标法，能求点的运动方程。 2、熟练掌握如何计算点的速度、加速度及其有关问题。 第六章刚体的基本运动 1、掌握刚体平动和定轴转动的特征；掌握刚体定轴转动的转动方程、角速度和角加速度；掌握定轴转动刚体角速度矢量和角加速度矢量的概念以及刚体内各点的速度和加速度的矢积表达式。 2、熟练掌握如何计算定轴转动刚体的角速度和角加速度、刚体内各点的速度和加速度。 第七章点的复合运动 1、掌握运动合成和分解的基本概念和方法。 2、理解哥氏加速度的原理。 3、熟练掌握点的速度合成定理和牵连运动为平动时的加速度合成定理的应用。
（a ） 第11章 达朗贝尔原理及其应用 11－1 均质圆盘作定轴转动，其中图（a ），图（c ）的转动角速度为常数，而图（b ），图（d ）的角速度不为常量。试对图示四种情形进行惯性力的简化。 r ， 0 ，α I （ d ） I =F ， αα2 I 2 1mr J M O O = = 11－2矩形均质平板尺寸如图，质量27kg ，由两个销子 A 、 B 悬挂。若突然撤去销子B ，求在撤 去的瞬时平板的角加 速度和销子A 的约束力。 解：如图（a ）：设平板的质量为m ，长和宽分别为a 、b 。 αα375.3I =?=AC m F ααα5625.0])(12 1 [222I =?++==AC m b a m J M A A ∑=0)(F A M ；01.0I =-mg M A ；2rad/s 04.47=α ∑=0x F ；0sin I =-Ax F F θ；其中：6.05 3sin ==θ N 26.956.004.47375.3=??=Ax F ∑=0y F ；0cos I =-+mg F F Ay θ；8.05 4sin ==θ N 6.1378.004.47375.38.927=??-?=Ay F 11－3在均质直角构件ABC 中，AB 、BC 两部分的质量各为3.0kg ，用连杆AD 、DE 以及绳子AE 保持在图示位置。若突然剪断绳子，求此瞬时连杆AD 、BE 所受的力。连杆的质量忽略不计，已知l = 1.0m ，φ = 30o。 解：如图（a ）：设AB 、BC 两部分的质量各为m 直角构件ABC 作平移，其加速度为a = a A ，质心在O 处。 ma F 2I = ∑=0)(F O M ； 04 sin )(43 cos 4cos =+--l F F l F l F B A A B ??? （1） ∑=0AD F ； 0cos 2=-+?mg F F B A （2） 联立式（1）和式（2），得：A B F mg F 3+= 习 题 （ （
y 第十一章 动量矩定理 习题解 [习题11-1] 刚体作平面运动。已知运动方程为：2 3t x C =，24t y C =，3 2 1t = ?，其中长度以m 计，角度以rad 计，时间以s 计。设刚体质量为kg 10，对于通过质心C 且垂直于图平面的惯性半径m 5.0=ρ，求s t 2=时刚体对坐标原点的动量矩。 解： )(1223|22m x t C =?== )(1624|2 2m y t C =?== t t dt d dt dx v C Cx 6)3(2=== )/(1226|2s m v t Cx =?== t t dt d dt dy v C Cy 8)4(2=== )/(1628|2s m v t Cy =?== 2323)21(t t dt d dt d === ?ω )/(622 3 |22s rad t =?==ω → →→+=k v m M J L C Z Cz O )]([ω → → -+=k y mv x mv m L C Cx C Cy O ][2 ωρ → =→ ?-?+??=k L t O ]1612121665.0[10|2 2 → =→ =k L t O 15|2 )/(2 s m kg ?，→ k 是z 轴正向的单位向量。 [习题11-2] 半径为R ，重为W 的均质圆盘固结在长l ，重为P 的均质水平直杆AB 的B 端，绕铅垂轴Oz 以角速度ω旋转，求系统对转轴的动量矩。 解： g Pl l g P J AB z 3312 2,=??=
平动 )(a O 转动 绕定轴C )( b 转动 绕定轴1 )(O c O 在圆弧上作纯滚动 )(d g l R W l g W g J l z 4)4(R W 412222,+=?+??=圆盘 ωω?+?=圆盘,,z AB z z J J L ω4) 4(3[222g l R W g Pl L z ++= ω)4443(2 22g WR g Wl g Pl L z ++= ω)4333(2 22g WR g Wl g Pl L z ++= ω)433( 2 2R g W l g W P L z ++= [习题11-3] 已知均质圆盘质量为m ，半径为R ，当它作图示四种运动时，对固定点1O 的动量矩分别为多大？图中l C O =1。 解：)(a 因为圆盘作平动，所以 ωω2 11ml J L z O O == 解：)(b → →→→?+=p r L L C C O 1 其中，质心C 的动量为0 ωω22 1 1mR J L Cz O = = 解：)(c ωω)2 1 (2211ml mR J L z O O +== 解：)(d 因为圆盘作平面运动，所以： )(11→ +=C Z O Cz O v m M J L ω
第一章 思考题 1.1平均速度与瞬时速度有何不同？ 1.2 在极坐标系中，r v r =，θθ r v =.为什么2θ r r a r -=而非r ？为什么θθ r r a 20+=而非θθ r r +？你能说出r a 中的2θ r -和θa 中另一个θ r 出现的原因和它们的物理意义吗？ 1.3 在内禀方程中，n a 是怎样产生的？为什么在空间曲线中它总沿着主法线方向？当质点沿空间运动时，副法线方向的加速度b a 等于零，而作用力在副法线方向的分量b F 一般不等于零，这是不是违背了牛顿运动定律呢？ 1.4 在怎样的运动中只有τa 而无n a ？在怎样的运动中又只有n a 而无τa ？在怎样的运动中既有n a 而无τa ？ 1.5dt r d 与dt dr 有无不同？dt v d 与dt dv 有无不同？试就直线运动与曲线运动分别加以讨论. 1.6人以速度v 向篮球网前进，则当其投篮时应用什么角度投出？跟静止时投篮有何不同？ 1.7雨点以匀速度v 落下，在一有加速度a 的火车中看，它走什么路经？ 1.8某人以一定的功率划船，逆流而上.当船经过一桥时，船上的渔竿不慎落入河中.两分钟后，此人才发现，立即返棹追赶.追到渔竿之处是在桥的下游600米的地方，问河水的流速是多大？ 1.9物体运动的速度是否总是和所受的外力的方向一致？为什么？ 1.10在那些条件下，物体可以作直线运动？如果初速度的方向和力的方向一致，则物体是沿力的方向还是沿初速度的方向运动？试用一具体实例加以说明. 1.11质点仅因重力作用而沿光滑静止曲线下滑，达到任一点时的速度只和什么有关？为什么是这样？假如不是光滑的将如何？ 1.12为什么被约束在一光滑静止的曲线上运动时，约束力不作功？我们利用动能定理或能量积分，能否求出约束力？如不能，应当怎样去求？ 1.13质点的质量是1千克，它运动时的速度是k j i v 323++=，式中i 、j 、k 是沿x 、 y 、z 轴上的单位矢量。求此质点的动量和动能的量值。 1.14在上题中，当质点以上述速度运动到（1，2，3）点时，它对原点O 及z 轴的动量矩各是多少？ 1.15动量矩守恒是否就意味着动量也守恒？已知质点受有心力作用而运动时，动量矩是守恒的，问它的动量是否也守恒？ 1.16如()r F F =，则在三维直角坐标系中，仍有▽0=?F 的关系存在吗？试验之。 1.17在平方反比引力问题中，势能曲线应具有什么样的形状？
习 题 11-1 质量为m 的质点在平面Oxy 内运动，其运动方程为：t b y t a x ωω2sin ,cos ==。其中a 、b 和w 均为常量。试求质点对坐标原点O 的动量矩。 t a x v x ωωsin -== t b y v y ωω2cos 2== x mv y mv L y x O +-= )cos 2cos 22sin sin (t a t b t b t a m ωωωωωω?+?= )cos 2cos 22sin (sin t t t t mab ωωωωω?+?= )cos 2cos 2cos sin 2(sin t t t t t mab ωωωωωω?+?= )2cos (sin cos 22t t t mab ωωωω+= t mab ωω3cos 2= 11-2 C 、D 两球质量均为m ，用长为2 l 的杆连接，并将其中点固定在轴AB 上，杆CD 与轴AB 的交角为θ，如图11-25所示。如轴AB 以角速度w 转动，试求下列两种情况下，系统对AB 轴的动量矩。（1）杆重忽略不计；（2）杆为均质杆，质量为2m 。 图11-25 (1) θθ222sin 2)sin (2ml l m J z =?= θω22sin 2l m L z = (2) θθ2202sin 32d )sin (2ml x x l m J l z ==? 杆 θ22sin 3 8 ml J z = θ ω22sin 3 8 l m L z = 11-3 试求图11-26所示各均质物体对其转轴的动量矩。各物体质量均为m 。 图11-26 (a) ω2 3 1ml L O = (b) 22291)6(121ml l m ml J O =+= ω29 1ml L O -=
一．填空题（共10分，每空2分） 图(a)长为l 、质量为m 的均质细杆，在平面内绕O 点转动，角速度为ω，其动量为 ，动量矩为 ，动能为 ；图(b)所示的均质滚轮，半径为r ，质量为m ，轮心速度为v C ，其动量为 ，动量矩为 ； 1．秋千为什么越荡越高，能量的增长从何而来？（5分） 2．为什么发动机中都设有飞轮？试说明飞轮在工作时的能量变化过程。（5分） 三．图示水平面上放一均质三棱柱A ，在其斜面又放一均质三棱柱B 。两三棱柱 的横截面均为直角三角形。三棱柱A 质量为3m ，B 质量为m ，尺寸如图示。设各处摩擦不计，初始时系统静止。求当三棱柱B 沿三棱柱A 滑下接触到水平面时，三棱柱A 移动的距离。（20分） 四．高炉运送矿石用的卷扬机如图所示。已知鼓轮的半径为R ，质量为m ，作用 在鼓轮上的力偶矩为M 。小车和矿石总质量为m ，轨道的倾角为θ 。设绳的a 。（20分） 五．重物A 质量为m 1，系在绳子上，绳子跨过不计质量的固定滑轮D ，并绕在 鼓轮B 上，如图所示。由于重物下降，带动了轮C ，使它沿水平轨道只滚
不滑。设鼓轮半径为r ，轮C 的半径为R ，两者固连在一起，总质量为m 2，对于其水平轴O 的回转半径为ρ。求绳子的拉力。（20分） 六．如图所示，匀质薄圆盘M ，质量为m ，半径为R ，圆盘中心点在E 处，其悬 挂在两平行绳子上，圆盘上两悬挂点B 和D 的连线BD 通过圆盘中心点E ，并且BE=DE=r ，BE 为水平位置；开始时，系统处于静平衡状态；突然剪断绳子CD 。试求：剪断绳子CD 瞬时，绳子AB 的拉力。设重力加速度为g 。（20分） A
（a ） 习题11－1图 第11章 达朗贝尔原理及其应用 11－1 均质圆盘作定轴转动，其中图（a ），图（c ）的转动角速度为常数，而图（b ），图（d ）的角速度不为常量。试对图示四种情形进行惯性力的简化。 解：设圆盘的质量为m ，半径为r ，则如习题11-1解图： （a ）2I ωmr F =，0I =O M （b ）2n I ωmr F =，αmr F =t I ，αα2 I 2 3mr J M O O = = （c ）0I =F ，0I =O M （d ）0I =F ，αα2 I 2 1mr J M O O = = 11－2矩形均质平板尺寸如图，质量27kg ，由两个销子 A 、B 悬挂。若突然撤去销子B ，求在撤去的瞬时平板的角加 速度和销子A 的约束力。 解：如图（a ）：设平板的质量为m ，长和宽分别为a 、b 。 αα375.3I =?=AC m F ααα5625.0])(12 1 [222I =?++==AC m b a m J M A A ∑=0)(F A M ；01.0I =-mg M A ；2rad/s 04.47=α ∑=0x F ；0sin I =-Ax F F θ；其中：6.05 3sin ==θ N 26.956.004.47375.3=??=Ax F ∑=0y F ；0cos I =-+mg F F Ay θ；8.05 4sin ==θ 习题11－2图 习题11-1解图 （a ） （a ）
N 6.1378.004.47375.38.927=??-?=Ay F 11－3在均质直角构件ABC 中，AB 、BC 两部分的质量各为3.0kg ，用连杆AD 、DE 以及绳子AE 保持在图示位置。若突然剪断绳子，求此瞬时连杆AD 、BE 所受的力。连杆的质量忽略不计，已知l = 1.0m ，φ = 30o。 解：如图（a ）：设AB 、BC 两部分的质量各为m = 3.0kg 直角构件ABC 作平移，其加速度为a = a A ，质心在O 处。 ma F 2I = ∑=0)(F O M ； 04 sin )(43cos 4cos =+--l F F l F l F B A A B ??? （1） ∑=0AD F ； cos 2=-+?mg F F B A （2） 联立式（1）和式（2），得：A B F mg F 3+= N 38.5)13(4 1 =-=mg F A ； N 5.4538.53=?+=mg F B 11－4 两种情形的定滑轮质量均为m ，半径均为 r 。图a 中的绳所受拉力为W ；图b 中块重力为W 。 试分析两种情形下定滑轮的角加速度、绳中拉力和定滑轮轴承处的约束反力是否相同。 解：1、图（a ）： ① Wr J O =a α Wr mr =a 22 1α mr W 2a =α （1） ②绳中拉力为W （2） ③∑=0x F ，0=Ox F （3） ∑=0y F ，W F Oy = （4） 2、图（b ）： ① b 2I 2 1 αmr M O = （5） b I αr g W a g W F == （6） ∑=0O M ，0I I =-+W r r F M O （5）、（6）代入，得 ) 2(2b W mg r Wg +=α （7） ②绳中拉力（图c ）： ∑=0y F ，W F T =+I b W W mg mg a g W W T 2b +=- = （8） ③轴承反力： ∑=0x F ，0=Ox F （9） ∑=0y F ，0I =-+W F F Oy W mg mgW F Oy 2+= （10） 习题11－3图 （a ） a I F (a) 习题11-4图 αa F Oy F Ox F Oy F Ox αb M I O F I W a
第十五章 虚位移原理 15-1图示曲柄连杆机构有多少个自由度。[答：1个] 15-2求图示系统中主动力作用点C 、D 、B 的虚位移大小的比值。[答：=B D C δδδ::2:2:1] 15-3 图示平面机构中，CD 连线铅直，杆BC= BD 。在图示瞬时，角 30=?，杆AB 水平，求该瞬时点A 和点C 的虚位移大小之间的关系。[答：C A r 2 3 r δδ= ] 15-4求图示滑轮系统中，A 、B 两点虚位移之间的关系。[答：A B r 2r δδ=]
15-5重为P 、长为l 的均质杆AB 放置如图。设各处光滑，在A 点处的水平力F 作用下保持平衡， 60=?，今给A 点一向右的虚位移x δ，试由虚位移原理建立的虚功方程。[答：0x F -6 3 P =δδ] 15-6 杆OA 和AB 各长l ，在A 点用铰链连接，在点O 和B 间连接一根刚度系数为 k 的铅直弹簧，弹簧的原长为0l 。当在A 点作用铅垂力A F 时，机构处于图所示的平衡位置，且弹簧被拉伸。如果不计各构件的重量和摩擦，用虚位移原理求机构处于平衡位置时的角度?。[答：4kl 2kl F arcsin A +=?]
15-7 如图所示，两等长杆AB 和BC 在点B 用铰链连接。在杆的点D 和点E 连接水平弹簧，弹簧的刚度系数为k ；从当距离AC a =时，弹簧的拉力等于零。已知 AB=l , BD=b ，今在点C 作用水平力F 1使系统处于 平衡。若不计构件重量和摩擦，试用虚位移原理求距离AC 的值x 。[答：2 1 b l k F a x ?? ? ??+=] 15-8 在图示机构中，已知：力F ，l GC EG DE DC BC AC ======，弹簧的原长为l ，刚度系数为k 。试用虚位移原理求机构平衡时，力F 与角θ的关系。[答：()12sin kl 3 2 F -= θ]
y x 第十一章 动量矩定理 习题解 [习题11-1] 刚体作平面运动。已知运动方程为：2 3t x C =，24t y C =，3 2 1t = ?，其中长度以m 计，角度以rad 计，时间以s 计。设刚体质量为kg 10，对于通过质心C 且垂直于图平面的惯性半径m 5.0=ρ，求s t 2=时刚体对坐标原点的动量矩。 解： )(1223|2 2m x t C =?== )(1624|22m y t C =?== t t dt d dt dx v C Cx 6)3(2=== )/(1226|2s m v t Cx =?== t t dt d dt dy v C Cy 8)4(2=== )/(1628|2s m v t Cy =?== 2323)21(t t dt d dt d === ?ω )/(622 3 |22s rad t =?==ω → →→+=k v m M J L C Z Cz O )]([ω → → -+=k y mv x mv m L C Cx C Cy O ][2 ωρ → =→ ?-?+??=k L t O ]1612121665.0[10|2 2 → =→ =k L t O 15|2 )/(2 s m kg ?，→ k 是z 轴正向的单位向量。 [习题11-2] 半径为R ，重为W 的均质圆盘固结在长l ，重为P 的均质水平直杆AB 的B 端，绕铅垂轴Oz 以角速度ω旋转，求系统对转轴的动量矩。 解： g Pl l g P J AB z 3312 2,=??=
平动 )(a O 转动 绕定轴C ) (b 转动 绕定轴1 )(O c 1 O 在圆弧上作纯滚动 )(d g l R W l g W g J l z 4)4(R W 412222,+=?+??=圆盘 ωω?+?=圆盘,,z AB z z J J L ω4) 4(3[222g l R W g Pl L z ++= ω)4443( 2 2 2 g WR g Wl g Pl L z ++= ω)4333(2 22g WR g Wl g Pl L z ++= ω)433( 2 2R g W l g W P L z ++= [习题11-3] 已知均质圆盘质量为m ，半径为R ，当它作图示四种运动时，对固定点1O 的动量矩分别为多大图中l C O =1。 解：)(a 因为圆盘作平动，所以 ωω211ml J L z O O == 解：)(b → →→→?+=p r L L C C O 1 其中，质心C 的动量为0 ωω22 1 1mR J L Cz O = = 解：)(c ωω)2 1 (2211ml mR J L z O O +== 解：)(d 因为圆盘作平面运动，所以： )(11→ +=C Z O Cz O v m M J L ω