B A AB B A B A ?==?
)()()(AB P A P B A P -=-，若B A ?，则)()()(A P B P A B P -=-，)()(B P A P ≤
5.0)0(=Φ；（2）)(1)(x x Φ-=-Φ；对二维连续随机向量，y
x y x F y x f ???=)
,(),(2
二维均匀分布??
?
??∈=其它 0, ),( ,)(1
),(G y x G m y x f ，其中)(G m 为G 的面积
1． 二维正态分布),,,,(~) ,(2
22121ρσσμμN Y X ，其密度函数（牢记五个参数的含义）
??
??????????????-+-------=
22222121212
1222
1)())((2)()1(21exp 121),(σμσσμμρσμρρσπσy y x x y x f 且),(~ ),,(~2
222
11σμσμN Y N X ；
（1） 连续时 Y X ,独立)()(),(y f x f y x f Y X =?
（2） 二维正态分布Y X ,独立0=?ρ，且),(~2
22121σσμμ+++N Y X
（1） 和的分布 Y X Z +=的密度??
+∞
∞
-+∞
∞
--=-=dx x z x f dy y y z f z f Z ),(),()(
（2） 最大最小分布
4．相关系数 )
()()
,(Y X Y X Cov XY σσρ=
；有1||≤XY ρ，1)( ,,1||=+=??=b aX Y P b a XY ρ
5．k 阶原点矩)(k k X E =ν，k 阶中心矩k k X E X E ))((-=μ
中心极限：（1）设随机变量n X X X ,,,21 独立同分布2)( ,)(σμ==i i X D X E ，则
) ,(~2
1
σμn n N X n
i i ∑=近似， 或) ,(~121n N X n n i i σμ∑=近似 或)0,1(~ 1
N n n X n
i i
近似
σ
μ
∑=-，
（2）设m 是n 次独立重复试验中A 发生的次数，p A P =)(，则对任意x ，有
)(}{
l i m x x n p q
np m P n Φ=≤-∞
→或理解为若),(~p n B X ，则),(~npq np N X 近似
)
,(1
),( ),,(~11221112n n F n n F n n F F αα=
- 4．正态总体的抽样分布
（1）)/,(~2
n N X σμ； （2）
)(~)(1
1
222
n X
n
i i
∑=-χμσ；
（3）
)1(~)1(22
2
--n S n χσ
且与X 独立； （4）)1(~/--=
n t n
S X t μ；
（5）)2(~)()(212
12121-++---=n n t n n n n S Y X t ωμμ，2)1()1(212
222112
-+-+-=
n n S n S n S ω （6）)1,1(~//212
2
222
121--=n n F S S F σσ
会议记录总结 会议记录总结 篇一： 参加了省教研室组织的教研会议，收获良多，总结如下： 一、倾听专家报告和经验介绍，受到了启发和震动。 1、关于提高教师解读文本和执教语文课堂的能力。 会议上，有关专家提到了应该加强对经典篇目的解读，这对我们是有益的启发。 经典篇目由于长期被教育名家研读、分析，似乎已经没有多少可以挖掘的东西了。 但是，随着时代的变迁和教育教学理念的更新，对传统篇目的理解和分析会出现更多更新的角度和切入点，对文本的解读是没有止境的，如能找到合适的突破口，老课文也可以上出新意。 2、学生不是教师完成讲课任务的道具。 很多时候，我们讲课的时候更多地想到的是如何顺利地完成，而不是学生在课堂上能得到多少东西。 这个问题牵涉到教育最终为了谁这个终极命题。 专家认为，真正适应学生的教育才是最好的教育，真正适应学生的课堂才是最好的课堂。 那么，以此为标准，不管是教师的讲授还是学生的学习，都应以能不能促进学生的更好成长为标准。
3、让中青年教师重视自身的成长。 教师是成人，在工作之前受过多年的教育，参加工作后也获得了不少有益的教学经验，但这并不表示教师就不需要学习和成长了。 一个真正的教师应该始终是一个学习者，他有学习的渴望，不断试图超越自己，在不断地反思和否定中获得更好的成长。 但在实际教学工作中，由于缺乏有效的指导和激励，很多教师喜欢靠经验教学，迷信老办法。 不注重学习和研究，这是非常危险的，因为他极可能因为年龄的.增长而逐渐和学生越走越远，最终丧失学生的信任和喜爱，那么，他的教学也就必然走向了失败。 4、加强双基，强调多读多写。 在平时的教学中，我们的讲授占据了很大的比重，仿佛不讲，这节课就没法进行，就白上了。 这显然是认识上的不足，而且没有从长远的角度来看问题。 只要我们稍微考查一下成年人的语文能力就会发现，恰恰是我们在课堂上喋喋不休反复强调的东西，是在我们成年后最没有价值，最容易被忘掉的东西。 (工作总结)在一个成年人身上，读写几乎是不可分的，而且也是最有价值的。 一个人爱读书，写一点东西并不是什么难事，反过来说，一个擅长写的人，几乎也就是因为多读了几本书。 在课堂上让学生更多地读，更有创意的表达是在为一个人的未来
第一章 随机事件与概率 第一节 随机事件及其运算 1、 随机现象：在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象 2、 样本空间：随机现象的一切可能基本结果组成的集合，记为Ω={ω},其中ω 表示基本结果，又称为样本点。 3、 随机事件：随机现象的某些样本点组成的集合常用大写字母A 、B 、C 等表 示，Ω表示必然事件， ?表示不可能事件。 4、 随机变量：用来表示随机现象结果的变量，常用大写字母X 、Y 、Z 等表示。 5、 时间的表示有多种： （1） 用集合表示，这是最基本形式 （2） 用准确的语言表示 （3） 用等号或不等号把随机变量于某些实属联结起来表示 6、事件的关系 （1）包含关系：如果属于A 的样本点必属于事件B ，即事件 A 发生必然导致事 件B 发生，则称A 被包含于B ，记为A ?B; （2）相等关系：若A ?B 且B ? A ，则称事件A 与事件B 相等，记为A ＝B 。 （3）互不相容：如果A ∩B= ?，即A 与B 不能同时发生，则称A 与B 互不相容 7、事件运算 （1）事件A 与B 的并：事件A 与事件B 至少有一个发生，记为 A ∪B 。 （2）事件A 与B 的交：事件A 与事件B 同时发生，记为A∩ B 或AB 。 （3）事件A 对B 的差：事件A 发生而事件B 不发生,记为 A －B 。用交并补可以 表示为B A B A =-。 （4）对立事件：事件A 的对立事件（逆事件），即 “A 不发生”，记为A 。 对立事件的性质：Ω=?Φ=?B A B A ,。 8、事件运算性质：设A ，B ，C 为事件，则有 （1）交换律：A ∪B=B ∪A ，AB=BA （2）结合律：A ∪(B ∪C)=(A ∪B)∪C=A ∪B ∪C A(BC)=(AB)C=ABC （3）分配律：A ∪(B∩C)＝(A ∪B)∩(A∪C)、 A(B ∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)= AB ∪AC （4）棣莫弗公式（对偶法则）：B A B A ?=? B A B A ?=? 9、事件域：含有必然事件Ω ，并关于对立运算和可列并运算都封闭的事件类ξ 称为事件域，又称为σ代数。具体说，事件域ξ满足： （1）Ω∈ξ; (2)若A ∈ξ，则对立事件A ∈ξ； （3）若A n ∈ξ，n=1,2，···，则可列并 ∞ =1 n n A ∈ξ 。
·1· 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （ 3 ） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （ 4 ） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件：
概率论与数理统计（二）笔记 经济数学基础二（概率论与数理统计）课程教学大纲 一、课程教学目的与基本要求 概率论与数理统计是高等学校（专科）经济、管理类及计算机类专业最重要的基础理论课之一。本课程是我院经济、管理类及计算 机类专业继微积分课程之后的一门基础课。通过本课程的学习，使学生获得概率论与数理统计的基本知识和基本运算技能。教学中要贯彻“以应用为目的，以必需、够用为度”的原则，教学重点放在掌握概念，强化应用，培养技能上。通过各教学环节逐渐培养学生具有比较熟练的分析问题和解决问题的能力，并为专业课程的定量分析打下基础。 1.要正确理解以下概念： 随机试验，随机事件、概率的古典定义、事件的独立性、一元随机变量、分布函数、二元随机变量、联合分布及边缘分布、随机变量相互独立性、随机变量的数字特征、总体与样本、统计量、两类错误、回归的基本概念 2. 要掌握下列基本理论、基本定理和公式： 概率的基本性质。概率加法定理、乘法定理、全概率公式和贝叶斯公式、贝努里概型。切比雪夫大数定律与贝努里大数定律、中心极限定理。常用的统计量的分布。参数估计的基本思想。小概率原理。 3.熟练掌握下列运算法则和方法： 事件的关系与运算。古典概型的概率计算。一元随机变量的分布函数、二元随机变量的边缘分布计算。标准正态分布表的查法。随机变量的数学期望、方差、协方差计算。 4.应用方面： 用数学期望、方差的概念及性质解决具体问题的计算。利用正态分布的理论解决具体问题。用区间估计正确解决实际问题，并能解释其结果。运用小概率原理，对具体问题做假设检验。用一元线性回归方程及相关性检验解决实际问题。 二、课程主要内容 第一章随机事件及其概率（10学时） 1. 理解随机试验、随机事件的概念，了解样本空间的概念，掌握事件的关系与运算并会能灵活表达。 2. 了解概率的统计定义，理解概率的古典定义，会计算简单的古典概率。 3. 了解概率的公理化定义。掌握概率的基本性质及概率加法定理。
总结会议纪要范文 导语：会议纪要与会议记录不同，会议记录只是一种客观的纪实材料，记录每个人的发言，而会议纪要则集中、综合地反映会议的主要议定事项，起具体指导和规范的作用。很多人都不太能够区分期间的区别，下面是小编整理收集的总结会议纪要范文，希望对大家有所帮助，欢迎阅读参考！ 篇一：20**年工作总结会会议纪要 会议纪要 20**年12月27日-28日，公司召开20**年工作总结和2015年工作计划会暨管理干部述职会，公司副总经理李天伟（主持全面工作）主持会议，公司总会计师庄志斌,副总经理、安全总监杨成柱；各部室、车间管理干部参加会议。公司领导班子听取了各部门20**年工作总结和2015年的工作计划的汇报。最后，公司领导对各部门20**年工作进行了集中总结，并对2015年重点工作进行了部署。 一、办公室： 20**年工作不足 公司“五部一室”成立后，办公室兼并原生活后勤部的职责（后勤管理和仓库管理工作）在部室合并后，未能及时地转换部室的职能，存在“等、靠”思想，工作统筹性和执行力不强，工作不够细致深入，特别是员工关心的饭菜质量、 厂内生活区环境卫生等方面，没有得到有效提升。部室人员休
假，虽一直执行工作交接确认制，但实际工作中存在工作脱节的情况。 1、文件起草方面：部门人员公文写作水平参差不齐、文字功底整体性较差。在请示、周汇报及工作总结类文件起草过程中，存在条理不清晰、生产经营知识匮乏等问题，多次出现上报总部的文件需公司领导修改的情况。 2、绩效考核方面：在日常管理工作方面，如：公文公务督查督办、周汇报等方面，对没达到要求的部室、车间，只是在周一生产经营例会上强调，实际没有考核,造成工作被动。 3、新闻宣传报道方面：没有及时地报到公司的最新动态，激励机制发挥不好，各部室、车间人员投稿不踊跃，上交稿件存在应付现象。对关系到公司核心利益的生产经营、节能降耗等工作，了解不深入，报道不及时，时效性极差，无法起到激励员工上进的作用。在给总部提供的基层动态中，呈现脉冲式管理状态，领导过问一次，会好几天。 4、人事管理方面：人事管理岗位不能有效地完成现有工作。对公司培训及考试等需要现场监督的环节掌控力度不够，如公司内训，不能做到及时有效跟踪。 5、信息管理方面：信息系统建设缺乏主动性，没有引起重视，导致机房改造项目进展缓慢。现有化验分析数据系统和生产数据管理系统运行时有问题发生。 6、企业文化建设方面：对企业理念、企业经营目标、核心价值观及企业精神等企业文化内涵，宣讲不到位，员工认同感不强，尤
第一章 事件与概率 1．写出下列随机试验的样本空间。 （1）记录一个班级一次概率统计考试的平均分数 （设以百分制记分）。 （2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。 （3）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产 品的总件数。 （4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上 “正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品 就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的 结果。 （5）在单位正方形内任意取一点，记录它的坐标。 （6）实测某种型号灯泡的寿命。 解（1）},100,,1,0{n i n i ==Ω其中n 为班级人数。 （2）}18,,4,3{ =Ω。 （3）},11,10{ =Ω。 （4）=Ω{00，100，0100，0101，0110，1100， 1010，1011，0111，1101，0111，1111}，其中 0表示次品，1表示正品。 （5）=Ω{(x,y)| 0 （2）A 与B 都发生，而C 不发生。 （3）A ，B ，C 中至少有一个发生。 （4）A ，B ，C 都发生。 （5）A ，B ，C 都不发生。 （6）A ，B ，C 中不多于一个发生。 （7）A ，B ，C 至少有一个不发生。 （8）A ，B ，C 中至少有两个发生。 解 （1）C B A ，（2）C AB ，（3）C B A ++，（4）ABC ， （5）C B A ， （6）C B C A B A ++或 C B A C B A C B A C B A +++， （7）C B A ++， （8）BC AC AB ++或 ABC BC A C B A C AB ??? 3．指出下列命题中哪些成立，哪些不成立，并作 图说明。 （1）B B A B A =（2）AB B A = （3）AB B A B =?则若,（4）若 A B B A ??则, （5）C B A C B A = （6）若Φ=AB 且A C ?， 做好会议记录和总结报告的 若干方法及技巧 首先，写好一份会议记录和总结报告的一个最重要的前提是，是否公司之前有类似的记录和惯例，因为作为一个有体制和制度的正式企业，必定有其制度化的一面。所以，体现在会议记录和总结报告上面的便是惯例，如果公司在这方面已经形成了相关制度和模式，那么你就要在做首次会议记录之前，先要参照公司在这方面的范例，以便继承这种模式，从而更容易直接上手。 但是，正是由于公司如果有了这样的范例和模式，也就需要你做出以下两方面的准备： 一、始终遵循原有基础。也就是说，如果单位有要求，必须要遵守原有基础，则要在记录和报告的写作过程中，严格按照原有模式进行记录和总结。只需在用词上进行注意，你可以用自己的理解进行记录和总结。这种情况下的会议记录和总结，需要从细节用词上注意。也就是： 1、记录具体的发言可以摘要记录。一般会议只要记录发言的要点，即要把发言者讲了哪些内容，每一点内容的基本观点与主要事实、结论，以及对他人发言的态度等，进行摘要式的记录，而不必“有闻必录”。 2、而某些特殊会议或重要人物的发言，则需要记下全部内容。如果宝宝有录音器或者录音笔，可先录音，会后再整理出全文；没有的话，就要仔细听了，一定要听到要点。 3、会议的记录要求忠于事实哦，不能夹杂你的任何个人情感，更不允许有意增删发言内容。而且还有最重要的是会议记录一般不宜公开发表，如需发表， 应征得与会发言者的审阅同意方可。 4、要是记录的话，势必要分清主次、重点与非重点。所以作为记录的重点主要包括： （1）会议中心议题以及围绕中心议题展开的有关活动； （2）会议讨论、争论的焦点及其各方的主要见解； （3）权威人士或代表人物的言论； （4）会议开始时的定调性言论和结束前的总结性言论； （5）会议已议决的或议而未决的事项； （6）对会议产生较大影响的其他言论或活动。 二、在原有基础上进行改进。在单位里，要是想在工作上取得进步，则就不能仅仅固步自封、因循守旧，所以就要在遇有基础上进行改进和完善，但是必须要经得公司主要负责人的许可方可进行完善，否则会被误以为挑战权威、或者被误以为不按规矩办事。而当进行改变时，要循序渐进，切忌大刀阔斧式的删减，容易使得会议记录和总结出错。在这里需要注意的就是： 1、如果以前的记录和模式没有相应的细节描述，比如会议主要发言人的记录不明确，形式过于敷衍等，就需要先进行细节描述和适当增加。使得会议记录更加充实和完善。 2、要延续原有的优点和长处，因为毕竟经历了这么久了，曾经的范文和模式还是有许多可取之处的，所以要注意扬长避短。 再谈过了如果公司具有原有的范文和模式的条件下之后，下面主要就是将另一种最重要的条件，那就是公司出于各种目的，比如为了考察你的记录和总结能力，或者公司过去没有这样的范文和模式，想要重新开始弄一份新的会议记录和总结。 概率论与数理统计主要内容小结 概率部分 1、全概率公式与贝叶斯公式 全概率公式： )()|()(11B P B A P A P = ++)()|(22B P B A P )()|(n n B P B A P + 其中n B B B ,,,21 是空间S 的一个划分。 贝叶斯公式：∑== n j j j i i i B A P B P B A P B P A B P 1 ) |()() |()()|( 其中n B B B ,,,21 是空间S 的一个划分。 2、互不相容与互不相关 B A ,互不相容0)(,==?B A P B A φ 事件B A ,互相独立))(()(B A P B A P =? ; 两者没有必然联系 3、几种常见随机变量概率密度与分布律:两点分布，二项分布，泊松分布，均匀分布，二项分布，指数分布，正态分布。 ),,1(~p b X 即二点分布，则分布律为.1,0,)1(}{1=-==-k p p k x P k k ),,(~p n b X 即二项分布，则分布律为.,...,1,0,)1(}{n k p p C k x P k n k k n =-==- ),(~λπX 即泊松分布，则分布律为,......1,0,! }{== =-k k e k x P k λ λ ),,(~b a U X 即均匀分布，则概率密度为.,0),(,1 )(??? ??∈-=其它 b a x a b x f ),(~θE X 即指数分布，则概率密度为.,00 ,1)(?? ???>=-其它x e x f x θ θ ),,(~2σμN X 即正态分布，则则概率密度为+∞<<-∞= - x e x f x ,21)(2 2π . 习题 1. 写出下列随机试验的样本空间: (1) 掷两颗骰子,观察两颗骰子出现的点数. (2) 从正整数中任取一个数,观察取出数的个位数. (3) 连续抛一枚硬币,直到出现正面时为止. (4) 对某工厂出厂的产品进行检查,如连续检查出两个次品,则停止检查,或 检查四个产品就停止检查,记录检查的结果. (5) 在单位圆内任意取一点,记录它的坐标. 解:(1){(,)|1,2,,6,1,2, ,6}i j i j Ω===; (2){|0,1, ,9}i i Ω==; (3)Ω={(正), (反, 正), (反, 反, 正), (反, 反, 反, 正), … }; (4)Ω={(次, 次), (次, 正, 正, 正), (次, 正, 正, 次), (次, 正, 次, 次), (次, 正, 次,正), (正, 次, 次), (正, 次, 正, 正), (正, 次, 正, 次)}; (5)22{(,)|,,1}x y x R y R x y Ω=∈∈+≤. 2. 在掷两颗骰子的试验中写出下列事件的集合表示: (1) A =”出现的点数之和为偶数”. (2) B =”出现的点数之和为奇数, 但没有骰子出现1点”. (3) C =”至少掷出一个2点”. (4) D =”两颗骰子出现的点数相同”. 解: (1) {(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),A = {(4,2),(4,4),(4,6),(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)}=; (2){(2,3),(2,5),(3,2),(3,4),(3,6),(4,3),(4,5),(5,2),(5,4),(5,6),(6,3),(6,5)}B =; (3){(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(1,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2)}C =; (4){(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}D =. 3. 设,,A B C 是三个事件,试用,,A B C 来表示下列事件: 年终总结会议记录范文 如何写年终总结会议记录?下面是我给大家整理收集的年终总结会议记录范文，供大家阅读参考。 年终总结会议记录范文1 xx市建设协会xxx5年年终总结会于xxx6年1月19日下午在xx市江南工程监理有限公司召开。会议由秘书长戴显吾主持。会长xx，副会长赖小龙、刘志忠、林建平、陈静，张贤杰、钟道福、王鍏、秘书长戴显吾、副秘书长邱国红以及各专业委员会联系人参加了会议，龙峰建设集团有限公司林芳、鑫业集团有限公司黄名灯列席了会议。这次会议得到市城乡建设局和市民政局的高度重视，市城乡建设局局长廖光斌前来看望大家，副局长肖烽以及相关科(室)负责人、市民政局副调研员陈佛招参加了会议，并对协会工作提了建议，作了指示。本次会议的主要任务是总结xxx5年度工作，布置xxx6年工作任务。现将会议的主要内容纪要如下： 一、各会长、专业委员会主任委员汇报了xxx5年工作开展情况及xxx6 年主要工作计划，并就建设企业面临的形势、存在的问题进行了分析，发表了意见。相关科(室)负责人就协会工作也提出了建议。 二、xx会长总结汇报了工作，布置了工作任务。 xx在总结xxx5年工作情况时指出：xxx5年协会在市城乡建设局、市民政局指导帮助和支持下，积极贯彻落实党的xx大以来党的路线方针政策，紧紧依靠广大会员单位，认真履行"提供服务、反映诉求、规范行为、行业自律"职能，认清形势、创新思路、重点突破、务实工作，以服务会员为宗旨，不断完善基础条件，加强内部治理，增强服务意识、提高服务质量，在全年的工作推进中取得了一些成绩。主要表现在：一是加强自身建设，优化协会服务功能。制定和印发了《xx市建设专业委员会管理办法》(试行)，使协会逐步走上制度化管理轨道;积极开展评优评先、认真搞好等级评估申报，向省建设协会推荐先进企业和优秀建设师工作;强化协会网站和会刊《城市经纬》的作用;办理了税务登记，拓展了服务范围;落实了精准扶贫工作。二是坚持服务宗旨，努力为会员服务。及时向有关部门、单位反映会员单位提出的在职称评审中支持建设施工企业资质就位的 《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（ ))(()( C A B A C B A ??=?? 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率 定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事 件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件： （1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P 概率论与数理统计复习 第一章 概率论的基本概念 一.基本概念 随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 样本空间S: E 的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E 的每个结果. 随机事件(事件):样本空间S 的子集. 必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(?):每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算 ?(事件B 包含事件A )事件A 发生必然导致事件B 发生. ∪B (和事件)事件A 与B 至少有一个发生. 3. A ∩B=AB(积事件)事件A 与B 同时发生. 4. A-B(差事件)事件A 发生而B 不发生. 5. AB=? (A 与B 互不相容或互斥)事件A 与B 不能同时发生. 6. AB=?且A ∪B=S (A 与B 互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B . 运算规则 交换律 结合律 分配律 德?摩根律 B A B A I Y = B A B A Y I = 三. 概率的定义与性质 1.定义 对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A 的概率. (1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ; (3)可列可加性 对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…(A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…), P(A 1∪A 2∪…)=P( A 1)+P(A 2)+… 2.性质 (1) P(?) = 0 , 注意: A 为不可能事件 P(A)=0 . (2)有限可加性 对于n 个两两互不相容的事件A 1,A 2,…,A n , 会议记录工作总结 第一篇、会议记录 会议记录员个人总结 会议纪要 会议时间 2021 年 8 月 15 日 会议地点盛泰搅拌站总经理办公室 参加单位及人员华良宗士伟王广林张录明刘滨申希 为规范公司业务管理，加强公司风险管控能力，降本增效，提升公司效益， 公司领导班子于 2021 年8月15 日在总经理办公室召开关于公司强化管理的研 讨会，现纪要如下 1、为实现公司各部门工作情况有效上传下达，总经理宗士伟要求公司管理 层以后每周一早上 8 点 30 整召开周例会，会上要详细汇报上周所存在问题的事 项，并制定当周的工作计划，要求事实求实 2、由各部门对本部门工作流程及核心制度进行梳理，并上会通过，对今后公司各部门的工作给予指示，要求严格执行工作流程，如有特殊情况，需提前汇报给公司总经理后根据指示作出变更。工作内容做好痕迹管理，各项检查需要留有记录。 3、生产部王广林汇报了部门流程问题，并制定了本周工作内容，即在保证生产的前提下，要求本部门对工作流程进行认真学习，对管辖区域卫生和安全进行检查落实，对铲车罐车及司机进行安全教育，同时对公司司机完善挂靠协议、签订安全协议书，配合公司中心任务收账。 4、张录明汇报财务部各项工作情况本周继续进行污水处理厂账款催缴，王立的账目催缴，建立健全财务泵房工作制度，要求本部门人员进行部门业务学习培训，存档并在下周例会检查。 5、实验室刘滨目前存在部分问题一是未接到生产任务单，主机就开始生产，生产上与主机直接沟通联系没有通过实验室，下一步要求生产主机人员必须有实验室人员签字后生产才可以生产；计划要求实验室人员按照国家标准组织学习，主要是技术、原材料参数及本岗位方面的知识内容，提升整体人员素质；对之前资料混乱的情况进行改革，将没有存档和备查记录的资料进行梳理。 6、业务部申希根据领导要求业务部改为市场部，要有固定市场开发人员 及临时人员，加强市场开发和账目催缴。对栗河物流园、茶尔路口张武、白 桐 3 标段、光彩大世界、伏牛路何富强加强要账力度。 总经理对本次会议进行总结 福州大学概率论与数理统计课后习题答案 高等教育出版社 习题1.1解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）} {=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）} 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数 之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。 解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω； {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ； {})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ； Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ； {})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下 事件： （1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。 解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）C B A C B A C B A ++； （4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++； （6）C B A ； （7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ （8）ABC ； （9）C B A ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和： C B A ++，C AB +，AC B -. 《概率论和数理统计》笔记 一、课程导读 “概率论和数理统计”是研究随机现象的规律性的一门学科 在自然界，在人们的实践活动中，所遇到的现象一般可以分为两类： 确定性现象随机现象 确定性现象 在一定的条件下，必然会出现某种确定的结果．例如，向上抛一枚硬币，由于受到地心引力的作用，硬币上升到某一高度后必定会下落．我们把这类现象称为确定性现象（或必然现象）．同样，任何物体没有受到外力作用时，必定保持其原有的静止或等速运动状态；导线通电后，必定会发热；等等也都是确定性现象． 随机现象 在一定的条件下，可能会出现各种不同的结果，也就是说，在完全相同的条件下，进行一系列观测或实验，却未必出现相同的结果．例如，抛掷一枚硬币，当硬币落在地面上时，可能是正面（有国徽的一面）朝上，也可能是反面朝上，在硬币落地前我们不能预知究竟哪一面朝上．我们把这类现象称为随机现象（或偶然现象）．同样，自动机床加工制造一个零件，可能是合格品，也可能是不合格品；射击运 动员一次射击，可能击中10环，也可能击中9环8环……甚至脱靶；等等也都是随机现象． 统计规律性 对随机现象，从表面上看，由于人们事先不能知道会出现哪一种结果，似乎是不可捉摸的；其实不然．人们通过实践观察到并且证明了，在相同的条件下，对随机现象进行大量的重复试验（观测），其结果总能呈现出某种规律性．例如，多次重复抛一枚硬币，正面 朝上和反面朝上的次数几乎相等；对某个靶进行多次射击，虽然各次弹着点不完全相同，但这些点却按一定的规律分布；等等．我们把随机现象的这种规律性称为统计规律性． ●使用例子 摸球游戏中谁是真正的赢家 在街头巷尾常见一类“摸球游戏”．游戏是这样的：一袋中装有16个大小、形状相同，光滑程度一致的玻璃球．其中8个红色、8个白色．游戏者从中一次摸出8个，8个球中．当红白两种颜色出现以下比数时．摸球者可得到相应的“奖励”或“处罚”： 结果（比数） A (8:0) B (7:1) C (6:2) D (5:3) E (4:4) 奖金（元）10 1 0.5 0.2 -2 注：表中“-2”表示受罚2元 会议记录总结 篇一：会议记录格式和范文 会议记录格式和范文 一:会议记录格式 一般会议记录的格式包括两部分：一部分是会议的组织情况，要求写明会议名称、时间、地点、出席人数、缺席人数、列席人数、主持人、记录人等。另一部分是会议的内容，要求写明发言、决议、问题。这是会议记录的核心部分。对于发言的内容，一是详细具体地记录，尽量记录原话，主要用于比较重要的会议和重要的发言。二是摘要性记录，只记录会议要点和中心内容，多用于一般性会议。 会议结束，记录完毕，要另起一行写"散会"二字，如中途休会，要写明"休会"字样。 会议记录格式（一） 会议名称： 记录人： 会议时间：会议地点：出席与列席会议人员： 缺席人员： 会议主持人：审阅：签字： 主要议题： 发言记录： 会议记录格式（二） ××公司办公会议记录 时间：一九××年×月×日×时 地点：公司办公楼五楼大会议室 出席人：×××××××××××××××…… 缺席人：×××××××××…… 主持人：公司总经理 记录人：办公室主任刘×× 主持人发言：(略) 与会者发言：×××……………………………………………………………… ×××……………………………………………………………… 散会 主持人：×××(签名) 记录人：×××(签名) (本会议记录共×页) 会议记录格式范例 党支部会议记录 地点：***会议室或党员活动室 主持者：*** 记录者*** 出席者：支部全体党员（详见点名簿） 列席：***（职务）、***（职务）…… 缺席者：***（缺席原因，如学习、出差、生病、无故等） 会议主题：1、讨论支部工作报告 2、讨论通过预备党员***、***转正 ***（主持人、书记）：今天，我们召开支部全体党员大会，有**人出席，超过应到会人员半数，会议有效。今天我们还邀请***、***等几位同志参加，大家向他们表示热烈欢迎。今天会议是讨论通过去年支部的工作报告和讨论***、***同志的转正。下面让我来向大会做支部工作报告。（书记做支部工作报告）请与会同志酝酿，充分发表意见。 ***（***）：…… ……………… [详细记录每位同志的发言] ***（主持人）：刚才，同志们对我们的工作提出了许多宝贵的意见，我们会认真加以考虑，不断改进工作。接下来研究预备党员转正（记录详见《发展党员专用记录本》）。 会议到此结束 篇二：例会会议记录模板 部门会议记录 篇三：XX年工作总结会会议纪要 温州中石油燃料沥青有限责任公司 《概率论与数理统计》课程学习感想 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律的科学，既是重要的基础理论，又是实践性很强的应用科学。 概率论与数理统计是现代数学的一个重要分支。近二十年来，随着计算机的发展以及各种统计软件的开发，概率统计方法在金融、保险、生物、医学、经济、运筹管理和工程技术等领域得到了广泛应用。主要包括：极限理论、随机过程论、数理统计学、概率论方法应用、应用统计学等。极限理论包括强极限理论及弱极限理论；随机过程论包括马氏过程论、鞅论、随机微积分、平稳过程等有关理论。概率论方法应用是一个涉及面十分广泛的领域，包括随机力学、统计物理学、保险学、随机网络、排队论、可靠性理论、随机信号处理等有关方面。它主要是通过数学建模，理论分析、推导，数值计算以及计算机模拟等理论分析、统计分析和模拟分析，以求研究和分析所涉及的理论问题和实际问题。 实用性赋予了概率论与数理统计强大的生命力。17世纪概率论与数理统计作为学科诞生后，其方法就被英国古典政治经济学创始人佩蒂引进到社会经济问题的研究中，他提倡让实际数据说话，其对资本主义经济的研究从流通领域进入生产领域，对商品的价值量做了正确的分析。 生活中会遇到这样的事例：有四张彩票供三个人抽取，其中只有一张彩票有奖。第一个人去抽，他的中奖概率是25％，结果没抽到。第二个人看了，心里有些踏实了，他中奖的概率是33％，结果他也没抽到。第三个人心里此时乐开了花，其他的人都失败了，觉得自己很幸运，中奖的机率高达50％，可结果他同样没中奖。由此看来，概率的大小只是在效果上有所不同，很大的概率给人的安慰感更为强烈。但在实质上却没有区别，每个人中奖的概率都是50％，即中奖与不中奖。 同样的道理，对于个人而言，在生活中要成功做好一件事的概率是没有大小之分的，只有成功或失败之分。但这概率的大小却很能影响人做事的心态。 如果说概率有大小之分，那应该不是针对个体而言，而是从一个群体出发，因为不同的人有不同的信念，有不同的做事方法。把地球给撬起来，这在大多数 会议记录总结范文 会议记录总结范文篇一： 会议部门：研发中心-平台组 会议内容：研发中心-平台组周例会 记录人： xxx 会议主持： xxx 会议地点： xxx 审查：会议日期： xxx 出席人员： xxx、xx、xxx 一、会议议题 研发中心-平台组的各成员在这一周工作情况的汇报与总结。 二、工作汇报 吕灶树：开发平台V2.0软件、资源中心V2.0软件、产品货架V1.0软件三款软件结项前的准备工作。 余文聪：MINI2.5一体化教学平台需求：课程包结构、教学流程、课程要素等讨论;MINI2.5一体化教学平台的项目章程编写。 张盼盼：开发平台V2.0软件课程包结构清单信息录入;产品货架软件产品以及产品信息的整理;课程包出库。 周琳：上汽帕萨特项目测试;上汽帕萨特项目操作手册的编写。 胡绍林：开发平台V2.0软件，课程包出库15单;上汽帕萨特项目测试。 舒树奎：上海交校项目，软件后台开发。 苏龙峰：开发平台V2.0电子书移植功能;产品货架V1.0软件Bug修改;配合吕灶树、王云、余文 周治：开发平台V2.0课程包移植功能;资源中心V2.0资源移植。 李宏伟：资源中心V2.0软件所提交的Bug修改。 王云：MINI2.5一体化教学平台需求：课程包结构、教学流程、课程要素、基础功能等讨论。 王为武：发动机3D结构原理展示软件的原型、界面设计。 丁天偎：熟悉练习项目界面、图标设计工作;帕萨特维修技术三维仿真实训系统后台界面图标设计。 三、待办事宜 四、问题讨论 无 五、会议总结 此次会议是自研发中心成立以来，平台组组织的第一次集体会议，会议上各成员对各自负责的近期工作都做了汇报。 吕灶树阐述近期的工作重心。 概率论与数理统计作业及解答 概率论与数理统计作业及解答 第一次作业 ★1. 甲, 乙, 丙三门炮各向同一目标发射一枚炮弹, 设事件A , B , C 分别表示甲, 乙, 丙击中目标, 则三门炮最多有一门炮击中目标如何表示. 事件E ={事件,,A B C 最多有一个发生},则E 的表示为 ;E ABC ABC ABC ABC =+++或;AB AC BC =U U 或;AB AC BC =U U 或;AB ACBC =或().ABC ABC ABC ABC =-++ (和A B +即并A B U ,当,A B 互斥即AB φ=时,A B U 常记为A B +.) 2. 设M 件产品中含m 件次品, 计算从中任取两件至少有一件次品的概率. 22 1M m M C C --或1122 (21)(1)m M m m M C C C m M m M M C -+--=- ★3. 从8双不同尺码鞋子中随机取6只, 计算以下事件的概率. A ={8只鞋子均不成双}, B ={恰有2只鞋子成双}, C ={恰有4只鞋子成双}. 61682616()32()0.2238,143C C P A C ===1414 8726 16()80 ()0.5594,143C C C P B C === 22128626 16()30 ()0.2098.143 C C C P C C === ★4. 设某批产品共50件, 其中有5件次品, 现从中任取3件, 求: (1)其中无次品的概率; (2)其中恰有一件次品的概率. (1)34535014190.724.1960C C == (2)21455350990.2526.392 C C C == 5. 从1～9九个数字中, 任取3个排成一个三位数, 求: (1)所得三位数为偶数的概率; (2)所得三位数为奇数的概率. (1){P 三位数为偶数}{P =尾数为偶数4 },9= (2){P 三位数为奇数}{P =尾数为奇数5 },9 = 或{P 三位数为奇数}1{P =-三位数为偶数45 }1.99 =-= 6. 某办公室10名员工编号从1到10,任选3人记录其号码,求:(1)最小号码为5的概率;(2)最大号码为5的概率. 记事件A ={最小号码为5}, B ={最大号码为5}. (1) 253101();12C P A C ==(2) 2 43101 ().20 C P B C == 7. 袋中有红、黄、白色球各一个,每次从袋中任取一球,记下颜色后放回,共取球三次, 求下列事件的概率:A ={全红},B ={颜色全同},C ={颜色全不同},D ={颜色不全同},E ={无黄色球},F ={无红色且无黄色球},G ={全红或全黄}. 311(),327P A ==1()3(),9P B P A ==33333!2(),339A P C ===8 ()1(),9 P D P B =-= 《概率论与数理统计》笔记(考研版) 一、课程导读 “概率论与数理统计”是研究随机现象的规律性的一门学科 统计规律性 对随机现象，从表面上看，由于人们事先不能知道会出现哪一种结果，似乎是不可捉摸的；其实不然．人们通过实践观察到并且证明了，在相同的条件下，对随机现象进行大量的重复试验（观测），其结果总能呈现出某种规律性．例如，多次重复抛一枚硬币，正面 朝上和反面朝上的次数几乎相等；对某个靶进行多次射击，虽然各次弹着点不完全相同，但这些点却按一定的规律分布；等等．我们把随机现象的这种规律性称为统计规律性． 应用例子 摸球游戏中谁是真正的赢家 在街头巷尾常见一类“摸球游戏”．游戏是这样的：一袋中装有16个大小、形状相同，光滑程度一致的玻璃球．其中8个红色、8个白色．游戏者从中一次摸出8个，8个球中．当红白两种颜色出现以下比数时．摸球者可得到相应的“奖励”或“处罚”： 注：表中“-2”表示受罚2元 解： 此游戏（实为赌博），从表面上看非常有吸引力，5种可能出现的结果．有4种可得奖．且最高奖达10元．而只有一种情况受罚．罚金只是2元．因此就吸引了许多人特别是好奇的青少年参加．结果却是受罚的多，何以如此呢？其实．这就是概率知识的具体应用：现在是从16个球中任取8个．所有可能的取法为816C 种．即基本事件总数有限．又因为是任意抽取．保证了等可能性．是典型的古典概型问题．由古典概率计算公式．很容易得到上述5种结果．其对应的概率分别是： 38070487301218000994600001554048 4838 582868 187 8 .C C C P(E); .C C 2C P(D); .C C 2C P(C);.C C 2C P(B); .C 2 P(A)8 168168 16 8 168 16========== 假设进行了1000次摸球试验， 5种情况平均出现的次数分别为：0、10、122、487、381次，经营游戏者预期可得 2×381-(10×0＋1×10＋0.5×122＋0.2×487) =593.6（元）． 这个例子的结论可能会使我们大吃一惊，然而正是在这一惊之中．获得了对古典概率更具体、更生动的知识. 戏院设座问题会议记录和总结的技巧和方法
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