第2章 优化设计1

现代设计方法第二章优化设计习题

第二章 《优化设计》测试 一、单项选择题（每题1分，共20分） 1.试判别矩阵1111???? ? ?，它是（ ） A.单位矩阵 B.正定矩阵 C.负定矩阵 D.不定矩阵 2.约束极值点的库恩—塔克条件为：-?= ?=∑F X g X i i q i ()()* * λ1 ，当约束函数是g i (X)≤0和λi >0时，则q 应为（ ） A.等式约束数目 B.不等式约束数目 C.起作用的等式约束数目 D.起作用的不等式约束数目 3. F （X ）为定义在n 维欧氏空间中凸集D 上的具有连续二阶偏导数的函数，若H(X)正定，则称F(X)为定义在凸集D 上的( ) A.凸函数 B.凹函数 C.严格凸函数 D.严格凹函数 4.在用0.618法求函数极小值的迭代运算中，a 1,b 1为搜索区间［a,b ］中的两点，函数值分别记为F 1,F 2。已知F 2>F 1。在下次搜索区间中，应作如下符号置换( )。 A.a →a 1, a 1→b 1, F 1→F 2 B.a 1→a, b 1→a 1, F 2→F 1 C.b →b 1, b 1→a 1, F 2→F 1 D.b 1→b, a 1→b 1, F 1→F 2 5.下列优化方法中，不需计算迭代点一阶导数和二阶导数的是（ ） A. 可行方向法 B. 复合形法 C. DFP 法 D. BFGS 法 6.n 元函数F(X)在点X 处梯度的模为( )。 A.|?F|= n 21x F x F x F ??+?????+?? B.|?F|=n 21x F x F x F ??+ ?????+?? C.|?F|=2n 2221)x F ()x F ()x F ( ??+?????+?? D.|?F|=2 n 2221)x F ()x F ()x F (??+?????+?? 7.内点罚函数Φ(X,r (k))=F(X)-r (k) 1 01g X g X u u u m () ,(())≤=∑，在其无约束极值点X ·(r (k))逼近原目标函数的约束最优点时，惩罚项中（ ） A. r (k)趋向零， 11 g X u u m ()=∑ 不趋向零 B. r (k)趋向零，1 1g X u u m ()=∑ 趋向零 C. r (k) 不趋向零， 11 g X u u m ()=∑ 趋向零 D. r (k)不趋向零，11g X u u m ()=∑ 不趋向零 7.0.618法在迭代运算的过程中，区间的缩短率是（ ） A.不变的 B.任意变化的 C.逐渐变大 D.逐渐变小 8.F(X)在区间［x 1,x 3］上为单峰函数，x 2为区间中一点，x 4为利用二次插值法公式求得的近似极值点。如 x 4-x 2>0,且F(x 4)>F(x 2)，那么为求F(X)的极小值，x 4点在下一次搜索区间内将作为( )。 A.x 1 B.x 2 C.x 3 D.x 4 9.已知函数F(X)=2221x x 2+-x 1x 2+1，则其Hessian 矩阵是( )。 A.?? ????--2114 B.?? ????--1214 C.???? ??--1412 D.? ? ????2114 10.已知二元二次型函数F(X)=AX X 21 T ，其中A=?? ??? ?4221 ，则该二次型是( )的。 A.正定 B.负定 C.不定 D.半正定 11.已知函数F(X)=-122212 1x 2x x x 2x 2+-+，判断其驻点(1，1)是( )。 A.最小点 B.极小点 C.极大点 D.最大点 12.对于目标函数F(X)受约束于g u (X)≥0(u=1,2,…，m)的最优化设计问题，外点法惩罚函数的表达式是（ ） A. Φ(X,M (k) )=F(X)+M (k) {max[(),]} ,()g X M u u m k 012 =∑为递增正数序列 B.Φ(X,M (k))=F(X)+M (k) {max[(),]},()g X M u u m k 012=∑为递减正数序列 C. Φ(X,M (k) )=F(X)+M (k) {min[(),]},()g x M u u m k 012=∑为递增正数序列 D. Φ(X,M (k))=F(X)+M (k) {min[(),]},()g x M u u m k 01 2=∑为递减正数序列 13.在约束优化方法中，容易处理含等式约束条件的优化设计方法是（ ） A.可行方向法 B.复合形法 C.内点罚函数法 D.外点罚函数法 14.对于二次函数F(X)=1 2 X T AX+b T X+c,若X *为其驻点，则▽F(X *)为（ ） A.零 B.无穷大 C.正值 D.负值 15.已知F(X)=(x 1-2)2+x 22,则在点X (0)=00???? ?? 处的梯度为（ ） A.?=?????? F X ()()000 B.?=-?????? F X ()()020 C.?=?????? F X ()()040 D.?=-??? ??? F X ()()040 16.Powell 修正算法是一种（ ） A.一维搜索方法 B.处理约束问题的优化方法 C.利用梯度的无约束优化方法 D.不利用梯度的无约束优化方法 17.下列离散优化方法中，最简便、最容易处理离散型变量的是( )。 A.凑整法 B.离散规划法 C.自适应随机搜索法 D.离散性惩罚函数法 18．函数F （X ）为在区间［10，20］内有极小值的单峰函数，进行一维搜索时，取两点13和16，若F （13）

机械优化设计课后习题答案

第一章习题答案 1-1 某厂每日（8h 制）产量不低于1800件。计划聘请两种不同的检验员，一级检验员的标准为：速度为25件／h ，正确率为98％，计时工资为4元／h ；二级检验员标准为：速度为15件／h ，正确率为95％，计时工资3元／h 。检验员每错检一件，工厂损失2元。现有可供聘请检验人数为：一级8人和二级10人。为使总检验费用最省，该厂应聘请一级、二级检验员各多少人？ 解：（1）确定设计变量； 根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X = ?? ????=? ??? ??二级检验员一级检验员 21x x ； （2）建立数学模型的目标函数； 取检验费用为目标函数，即： f (X ) = 8*4*x 1+ 8*3*x 2 + 2（8*25*0.02x 1 +8*15*0.05x 2 ） =40x 1+ 36x 2 （3）本问题的最优化设计数学模型： min f (X ) = 40x 1+ 36x 2 X ∈R 3· s.t. g 1(X ) =1800-8*25x 1+8*15x 2≤0 g 2(X ) =x 1 -8≤0 g 3(X ) =x 2-10≤0 g 4(X ) = -x 1 ≤0 g 5(X ) = -x 2 ≤0 1-2 已知一拉伸弹簧受拉力F ，剪切弹性模量G ，材料重度r ，许用剪切应力[]τ，许用最大变形量[]λ。欲选择一组设计变量T T n D d x x x ][][2 32 1 ==X 使弹簧重量最轻，同时满足下列限制条件：弹簧圈数3n ≥， 簧丝直径0.5d ≥，弹簧中径21050D ≤≤。试建立该优化问题的数学模型。 注：弹簧的应力与变形计算公式如下 3 22234 881 ,1,(2n s s F D FD D k k c d c d Gd τλπ==+==旋绕比）， 解： （1）确定设计变量； 根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X = ????? ? ????=??????????n D d x x x 2321； （2）建立数学模型的目标函数； 取弹簧重量为目标函数，即： f (X ) = 322 12 4 x x rx π （3）本问题的最优化设计数学模型：

~机械优化设计复习题及答案

机 械优化设计复习题 一.单项选择题 1．一个多元函数()F X 在X * 附近偏导数连续，则该点位极小值点的充要条件为（ ） A ．()* 0F X ?= B. ()* 0F X ?=,()* H X 为正定 C ．()* 0H X = D. ()* 0F X ?=,()* H X 为负定 2.为克服复合形法容易产生退化的缺点，对于n 维问题来说，复合形的顶点数K 应（ ） A ． 1K n ≤+ B. 2K n ≥ C. 12n K n +≤≤ D. 21n K n ≤≤- 3．目标函数F （x ）=4x 2 1+5x 2 2，具有等式约束，其等式约束条件为h(x)=2x 1+3x 2-6=0,则目标函 数的极小值为（ ） A ．1 B ． 19.05 C ． D ． 4.对于目标函数F(X)=ax+b 受约束于g(X)=c+x ≤0的最优化设计问题，用外点罚函数法求解 时，其惩罚函数表达式Φ(X,M (k) )为( )。 A. ax+b+M (k){min ［0,c+x ］}2，M (k) 为递增正数序列 B. ax+b+M (k){min ［0,c+x ］}2，M (k) 为递减正数序列 C. ax+b+M (k){max ［c+x,0］}2，M (k) 为递增正数序列hn D. ax+b+M (k){max ［c+x,0］}2，M (k) 为递减正数序列 10C. 13A 16 D 0.186 C (X)在区间［x 1,x 3］上为单峰函数，x 2为区间中一点，x 4为利用二次插值法公式求得的近似极值点。如x 4-x 2>0,且F(x 4)>F(x 2)，那么为求F(X)的极小值，x 4点在下一次搜索区间内将作为( )。 1 3 C 7.已知二元二次型函数F(X)=AX X 21 T ，其中A=?? ????4221，则该二次型是( )的。 A.正定 B.负定 C.不定 D.半正定 8.内点罚函数法的罚因子为（ ）。 A.递增负数序列 B.递减正数序列 C.递增正数序列 D.递减负数序列 9.多元函数F(X)在点X *附近的偏导数连续，?F(X *)=0且H(X * )正定，则该点为F(X)的 （ ）。 A.极小值点 B.极大值点 C.鞍点 D.不连续点 (X)为定义在n 维欧氏空间中凸集D 上的具有连续二阶偏导数的函数，若H(X)正定，则称F(X)为定义在凸集D 上的（ ）。 A.凸函数 B.凹函数 C.严格凸函数 D.严格凹函数 10C. 13A 16 D 11.在单峰搜索区间[x 1 x 3] (x 1

第二章-机械优化设计复习过程

主讲:阮学云 安徽理工大学 第一节绪论 1.1 概念 ~是一种规格化的设计方法，它首先要求将设计问题按优化设计所规定的格式建立数学模型，选择合适的优化方法及计算机程序，然后再通过计算机的计算，自动获得最优设计方案。（三级减速器，V降低23%） 1.2 优化设计发展概况 时间：60年代开始，在化工，建筑领域得到应用 内容：机构优化设计，机械零部件设计，机械结构优化设计，机械系统设计。 第二节优化设计的数学模型 2.1 例子。 设计：一长度为6 米的绳子如何围成一个最大面积的矩形，并求其S 解： 6=2（a+b) S= a*b 法一：解析法将b=6/2-a代入下式，成为一元方程，可以求其最大值。 法二：做图法 2.2 优化设计的数学模型 统一形式描述： min f(x) x=[x1,x2,………x n]T s.t g i(x)≤0 i=1,2,3…..m h j(x)=o j=1,2,…….p 包括： 1.设计变量 2.目标函数 3.约束问题 2.3 优化过程： 优化设计的一般过程可以用如下的框图来表示: （2）按设计变量的性质分：连续变量、离散变量和带参变量。 （3）按问题的物理结构分：优化控制问题和非优化控制问题。 （4）按模型所包含方程式的特性分：线性规划、非线性规划、二次规划和几何规划等。（5）按变量的确定性性质分：确定性规划和随机规划。 2. 优化设计问题的迭代思路 3. 终止准则 准则1-点距准则 4. 1往往采用两个准则来判别 4.2 往往采用两个准则来判别 第三节一维搜索 0 概念： 对一维（也称一元或单变量）函数f(x)寻求其极值点x*就是一维优化方法中限制最优解问题，称一维搜索方法。 3.1 方法分类

《机械优化设计》第6章习题解答-1

第六章习题解答 1．已知约束优化问题： 2)(0)() 1()2()(m in ≤-+=≤-=?-+-=x x x g x x x g t s x x x f 试从第k 次的迭代点[ ]x 2 1-= 出发，沿由（-1 1）区间的随机数0.562和-0.254 所确定的方向进行搜索，完成一次迭代， 获取一个新的迭代点+ x 。并作图画出目标函数 的等值线、可行域和本次迭代的搜索路线。 [解] 1）确定本次迭代的随机方向： [ ] S 0.412 0.911 0.254 0.562 0.254 0.2540.5620.5622 2 2 2-=??? ? ?? ? ?++= 2) 用公式：S x x α+= + 计算新的迭代点。步长α取为搜索到约束边界 上的最大步长。到第二个约束边界上的步长可取为2，则： 176 .1)412.0(22822.0911.02 1=-?+=+==?+-=+=+ +S x x S x x αα ?? ? ???=+ 176.1822. 0X 即： 该约束优化问题的目标函数的等值线、可行域和本次迭代的搜索路线如下图所示。

2．已知约束优化问题： )(0)(0 25)(12 4)(m in ≤-=≤-=≤-+=?--=x x g x x g x x x g t s x x x f 试以[][][]x x x 33,14,1 2===为复合形的初始顶点，用复合形法进行 两次迭代计算。 [解] 1）计算初始复合形顶点的目标函数值，并判断各顶点是否为可行点： [][][]9 35 1 2-=? ==?=-=?=0 303 2023314f x f x f x 经判断，各顶点均为可行点，其中，为最坏点。为最好点，x x 2）计算去掉最坏点 02 x 后的复合形的中心点： ??????+????? ?=???? ????????+??????= = ∑ ≠ = 3325.221 1331 2x L x 3 ）计算反射点x （取反射系数3.1=α） 20.69 3.30.551422.51.322.5)(1 1 02 1 -=??????=? ??? ????????-??????+??? ???=-+ =f x x x x x 值为可行点，其目标函数 经判断α 4）去掉最坏点1 R 0 30 1x x x x 和， ，由构成新的复合形，在新的复合形中 为最坏点为最好点，0 11R x x ，进行新的一轮迭代。 5）计算新的复合形中，去掉最坏点后的中心点得： ????? ?=???? ????????+??????= 3.151.7753.30.55332 1x 6）计算新一轮迭代的反射点得： ，完成第二次迭代。 值为可行点，其目标函数经判断413.14 5.9451.4825123.151.7751.33.151.775)(1 2 11 1 2 -=?? ????=? ??? ????????-??????+??????=-+ =f x x x x x α

机械优化设计课程教学大纲

《机械优化设计》课程教学大纲 一．课程基本信息 开课单位：机械工程学院 英文名称：Mechanical Optimize Design 学时：总计48学时，其中理论授课36学时，实验（含上机）12学时 学分：3.0学分 面向对象：机械设计制造及其自动化，机械电子工程等本科专业 先修课程：高等数学，线性代数，计算机程序设计，工程力学，机械原理，机械设计 教材：《机械优化设计》，孙靖民主编，机械工业出版社，2012年第 5版 主要教学参考书目或资料： 1.《机械优化设计》，陈立周主编，上海科技出版社，1982年 2.《机械优化设计基础》，高健主编，机械工业出版社，2000年 3.其它教学参考数目在课程教学工作实施前另行确定 二．教学目的和任务 优化设计是60年代以来发展起来的一门新学科，它是将最优化方法和计算机技术结合、应用于设计领域而产生的一种现代设计方法。利用优化设计方法可以从众多的设计方案中寻找最佳方案，加快设计过程，缩短设计周期，从而大大提高设计效率和质量。优化设计方法目前已经在机械工程、结构工程、控制工程、交通工程和经济管理等领域得到广泛应用。在机械设计中采用最优化方法，可以加速产品的研发过程，提高产品质量，降低成本，从而达到增加经济效益的目的。学生通过学习《机械优化设计》课程，可以掌握优化设计的基本原理和方法，熟悉建立最优化问题数学模型的基本过程，初步具备对工程中的优化设计问题进行建模、编程和计算的应用能力，为以后从事有关的工程技术工作和科学研究工作打下一定的基础。 三．教学目标与要求 本门课程通过授课、计算机编程等教学环节，使学生了解优化设计的基本思想，优化设计在机械中的作用及其发展概况。初步掌握建立数学模型的方法，掌握优化方法和使用MATLAB优化工具箱能力。并具备一定的将机械工程问题转化为最优化问题并求解的应用能力 四．教学内容、学时分配及其基本要求 第一章优化设计概述（2学时） （一）教学内容 1、课程的性质、优化的含义；优化方法的发展与应用；机械优化设计的内容及目的；机械优化设计的一般过程 2、机械优化设计的基本概念和基本术语；优化设计的数学模型；优化问题的几何描述；优化设计的基本方法 （二）基本要求

机械优化设计课后习题答案

第一章习题答案 1-1某厂每日（8h 制）产量不低于1800件。计划聘请两种不同的检验员，一级检验员的标准为：速度为25件／h ，正确率为98％，计时工资为4元／h ；二级检验员标准为：速度为15件／h ，正确率为95％，计时工资3元／h 。检验员每错检一件，工厂损失2元。现有可供聘请检验人数为：一级8人和二级10人。为使总检验费用最省，该厂应聘请一级、二级检验员各多少人？ 解：（1）确定设计变量； 根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X =?? ????=??????二级检验员一级检验员 21x x ； （2）建立数学模型的目标函数； 取检验费用为目标函数，即： f (X )=8*4*x 1+8*3*x 2+2（8*25*+8*15*） =40x 1+36x 2 （3）本问题的最优化设计数学模型： min f (X )=40x 1+36x 2X ∈R 3· 已知一拉伸弹簧受拉力F ，剪切弹性模量G ，材料重度r ，许用剪切应力[]τ，许用最大变形量[]λ。欲选择一组设计变量T T n D d x x x ][][2 32 1==X 使弹簧重量最轻，同时满足 下列限制条件：弹簧圈数3n ≥，簧丝直径0.5d ≥，弹簧中径21050D ≤≤。试建立该优化问 题的数学模型。 注：弹簧的应力与变形计算公式如下 解：（1）确定设计变量； 根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X =?????? ????=??????????n D d x x x 2321； （2）建立数学模型的目标函数； 取弹簧重量为目标函数，即： f (X )= 322 12 4 x x rx π （3）本问题的最优化设计数学模型： min f (X )= 322 12 4 x x rx πX ∈R 3· []τπ-+312218)21(x Fx x x []λ-4 1 33 28Gx x Fx 某厂生产一个容积为8000cm 3 的平底、无盖的圆柱形容器，要求设计此容器消耗原材料最少，试写出这一优化问题的数学模型。

机械优化设计习题参考答案

第六章习题解答．已知约束优化问题：122)(x?(x?2)1?xminf()?2120??xtg(x)?xs? ??T)(k2?1x?-0.254）区间的随机数0.562和出发，沿由（-1 1 试从第k次的2110?2?x)?x?xg(212 迭代点)k?1(x。并作图画出目标函数所确定的方向进行搜索，完成一次迭代，获取一个新的迭代点的等值线、可行域和本次迭代的搜索路线。解] 1）确定本次迭代的随机方向： [T??0.2540.562??T0.412S???0.911??R2222??0.254?0.254?0.5620.562??(1)k)?(k?Sx?x?计算新的迭代点。步长α用公式：2)取为搜索到约束边界R上的最大步长。到第二个约束边界上 的步长可取为2，则： k?1k?S??1?2?0?x.?911?0.x82211R1k?k?x)?1.176412(2?x?S??2??0.222R0.822??1?k?X即： ??1.176??该约束优化问题的目标函数的等值线、可行域和本次迭代的搜索路线如下图所示。 2．已知约束优化问题： 2minf(x)?4x?x?122122?x?25?0sg(x)?x?t211 0??x?g(x)120??x?g(x)23??????TTT000312x,x?13?4,x?为复合形的初始顶点，用复合形法进行试以213两次迭代计算。 [解] 1）计算初始复合形顶点的目标函数值，并判断各顶点是否为可行点： ??00??5x??f2111??00?f13x??422??00????xf3393300为最坏点。x为最好点，x经判断，各顶点均为可行点，其中，230x后的复合形的中心点：2）计算去掉最坏点 ?00????xx?????????????ic32132L??????????1i?2?i1?x3.?1（取反233532.2??????????11

机械优化设计课后习题答案

第一章习题答案 1-1 某厂每日（８h 制）产量不低于１800件。计划聘请两种不同的检验员,一级检验员的标准为:速度为25件/ｈ，正确率为98%,计时工资为4元/h;二级检验员标准为：速度为１5件／h ，正确率为95%，计时工资3元/h 。检验员每错检一件,工厂损失2元。现有可供聘请检验人数为:一级8人和二级10人。为使总检验费用最省,该厂应聘请一级、二级检验员各多少人? 解：(1）确定设计变量； 根据该优化问题给定的条件与要求,取设计变量为X = ?? ????=??????二级检验员一级检验员 21x x ; (2）建立数学模型的目标函数； 取检验费用为目标函数，即: ｆ(Ｘ) = 8*4*x 1＋ 8*3*x 2 + 2(８*25*0．02ｘ1 +8*15*0．05x ２ ） =40x 1+ 36x 2 （3）本问题的最优化设计数学模型： min ｆ (X ） = 40x 1+ 3６x ２ X ∈R ３· ｓ.ｔ. g 1（X ) =1800-８＊25x 1+8*１５x 2≤0 g 2(X ） =ｘ1 -8≤0 g ３(X ) =x 2-10≤0 ｇ4(Ｘ) = -x 1 ≤0 ｇ5(Ｘ) = -x ２ ≤0 1-2 已知一拉伸弹簧受拉力F ，剪切弹性模量G ，材料重度r ，许用剪切应力[]τ,许用最大变形量[]λ。欲选择一组设计变量T T n D d x x x ][][2 32 1 ==X 使弹簧重量最轻,同时满足下列限制条件：弹簧圈数3n ≥， 簧丝直径0.5d ≥,弹簧中径21050D ≤≤。试建立该优化问题的数学模型。 注：弹簧的应力与变形计算公式如下 3 22234 881 ,1,(2n s s F D FD D k k c d c d Gd τλπ==+==旋绕比）， 解: （1）确定设计变量； 根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X = ????? ? ????=??????????n D d x x x 2321； (２)建立数学模型的目标函数； 取弹簧重量为目标函数，即： ｆ（Ｘ） = 322 12 4 x x rx π (3）本问题的最优化设计数学模型:

八下优化设计答案

第七单元生物圈中生命的延续和发展 第一章生物的生殖和发育 第一节植物的生殖 {自主导学] 1．由受精卵发育成新个体的生殖方式种子卵细胞精子受精卵→胚→种子2．不经过两性生殖细胞结合,由母体直接产生新个体3．扦插嫁接压条组织培养4．形成层 [课堂练习] 5．果实—子房，果皮—子房壁，种子—胚珠，种皮—珠被，胚—受精卵6．B 7．B 8．传粉受精种子有性9．嫁接红富士10．A 11．A [能力培养] 12．⑴嫁接无⑵接穗砧木形成层⑶如苹果、梨、桃、柑橘等 13．⑴外植体无植物细胞的全能性⑵无菌⑶愈伤⑷适应 14．⑴生长健壮,具有2个饱满的节⑵将葡萄茎段的上下两端分别切成水平和斜向的切口⑶用生根剂浸泡插条的下段 [课外延伸] 15．⑴上方的切口是水平的,这样可以减少伤口水分的过度蒸发; 下方的切口是斜向的,可以增加吸收水分的面积。这样剪出的材料也容易辨认正反方向，以免插错。⑵因为一般在节的部位容易生根，去掉叶片时，叶柄在节上留下伤痕，伤口处较容易产生愈伤组织，也就容易生根。 第二节昆虫的生殖和发育 [自主导学] 1．卵幼虫蛹成虫变态发育蜜蜂蚊蝇2．卵若虫成虫不完全变态蟋蟀蝼蛄螳螂 [课堂练习] 3．①√②×③√4．完全变态蜜蜂蚊蝇菜粉蝶；不完全变态蟋蟀蝼蛄5．A 6．D 7．C 8．B 9．C 10．C 11．B 12．D 13．C 14．B 15．D [能力培养] 16．（1）2－4－1－3 （2）1 （3）4或幼虫期 [课外延伸] 17．昆虫的身体表面是一层外骨骼，外骨骼不能随着身体的生长而长大，当昆虫长到一定程度，其体表的外骨骼就会退掉而换上新外骨骼昆虫的一生中要经历5次蜕皮 第三节两栖动物的生殖和发育 [自主导学] 1．受精卵蝌蚪幼蛙成蛙蝌蚪水鳃肺变态发育2．鱼类爬行类 [课堂练习] 3．⑴BCE ⑵ADF 4．B 5．C 6．D 6．D8．C 9．B 10．C 11．C 12．D [能力培养]

~机械优化设计复习题及答案

机械优化设计复习题 一.单项选择题 1．一个多元函数() F X在X* 附近偏导数连续，则该点位极小值点的充要条件为（） A．()*0 F X ?= B. ()*0 F X ?=,()* H X为正定 C．()*0 H X= D. ()*0 F X ?=,()* H X为负定 2.为克服复合形法容易产生退化的缺点，对于n维问题来说，复合形的顶点数K 应（） A．1 K n ≤+ B. 2 K n ≥ C. 12 n K n +≤≤ D. 21 n K n ≤≤- 3．目标函数F（x）=4x2 1+5x2 2 ，具有等式约束，其等式约束条件为h(x)=2x 1 +3x 2 -6=0, 则目标函数的极小值为（） A．1 B． 19.05 C．0.25 D．0.1 4.对于目标函数F(X)=ax+b受约束于g(X)=c+x≤0的最优化设计问题，用外点罚函 数法求解时，其惩罚函数表达式Φ(X,M(k))为( )。 A. ax+b+M(k){min［0,c+x］}2，M(k)为递增正数序列 B. ax+b+M(k){min［0,c+x］}2，M(k)为递减正数序列 C. ax+b+M(k){max［c+x,0］}2，M(k)为递增正数序列hn D. ax+b+M(k){max［c+x,0］}2，M(k)为递减正数序列 1.B 2.C 3.B 4.B 5.A 6.B 7.D 8.B 9.A 10C.11.B 12.C 13A 14.B 15.B 16 D 17.D 18.A 0.186 C 6.F(X)在区间［x 1,x 3 ］上为单峰函数，x 2 为区间中一点，x 4 为利用二次插值法公式

机械优化设计课后习题答案

第一章习题答案 1-1 某厂每日(8h 制)产量不低于 1800件。计划聘请两种不同的检验员，一级检验员的标准为：速度为件/h,正确率为98%，计时工资为 4元/ h;二级检验员标准为：速度为元/h。检验员每错检一件，工厂损失 2元。现有可供聘请检验人数为： 省，该厂应聘请一级、二级检验员各多少人？解：(1 )确定设计变量； g2( X) = X1 -8 w 0 g3( X) = X2-10 w 0 g4( X) = -X1 w 0 g5( X) = - X2 w 0 X3 (2)建立数学模型的目标函数； 取弹簧重量为目标函数，即: 2 2 f(X)=——rx1 X2X3 4 (3)本问题的最优化设计数学模型: 2 2 min f (X) = —rx1 X2X3 4 25 15件/h,正确率为95%，计时工资 3 —级8人和二级 10人。为使总检验费用最 根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X= X1 X2 一级检验员二级检验员 (2)建立数学模型的目标函数；取检 验费用为目标函数，即： f(X) = 8*4* X1+ 8*3* X2 + 2 =40x1+ 36x2 ( 8*25*0.02x1 +8*15*0.05 X2) s.t. min f (X) = 40X1+ 36X2 g i(X) =1800-8*25 3’ X € R X i+8*15X2< 0 1-2已知一拉伸弹簧受拉力选择一组设计变量X [X1 X2F，剪切弹性模量G，材料重度 X3]T[d D2 n]T使弹簧重量最轻，同时满足下列限制条件：弹簧圈数 r，许用剪切应力[],许用最大变形量[]。欲 簧丝直径d 0.5，弹簧中径10 D2 50。试建立该优化问题的数学模型。 注：弹簧的应力与变形计算公式如下 ks^ , k s 1 ± d 2c D2 (旋绕 比)， 8F n D Gd4 解：(1)确定设计变量; X1 根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X2 D2 3 ? X€ R

机械优化设计第1阶段练习题

江南大学现代远程教育 第一阶段练习题 考试科目:《机械优化设计》 第一章至第三章 （总分100分） 学习中心（教学点） 批次： 层次： 专业： 学号： 身份证号： 姓名： 得分： 一、单项选择题（本题共5小题，每小题4分，共20分。在每小题列出的四个选项中只有一 个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在横线上。） (1)、对于约束问题 ()()()()22 12221122132min 44 g 10 g 30 g 0 f X x x x X x x X x X x =+-+=--≥=-≥=≥ 根据目标函数等值线和约束曲线，判断() 1[1,1]T X =为 ，()2 51[,]22 T X =为 。 A ．内点；内点 B. 外点；外点 C. 内点；外点 D. 外点；内点 (2)、对于一维搜索，搜索区间为[a ，b]，中间插入两个点a 1、b 1，a 1

(4) 、一维搜索试探方法——黄金分割法比二次插值法的收敛速度 。 A 、慢 B 、快 C 、一样 D 、不确定 (5)、下列关于最常用的一维搜索试探方法——黄金分割法的叙述，错误的是 ，假设要 求在区间[a ，b]插入两点α1、α2，且α1<α2。 A 、其缩短率为0.618 B 、α1=b-λ（b-a ） C 、α1=a+λ（b-a ） D 、在该方法中缩短搜索区间采用的是外推法。 二、填空题(本题共9个空，视难易程度每空3-4分，共30分。) (1)、机械优化设计的一般过程中， 是首要和关键的一步，它是取得正确结果的前提。 (2)、当优化问题是________的情况下，任何局部最优解就是全域最优解。 (3)、应用外推法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点、中间点和终点，它们的函数值形成 趋势。 (4)、包含n 个设计变量的优化问题，称为 维优化问题。 (5)、函数 C X B HX X T T ++2 1的梯度为 。 (6)、 、 、 是优化设计问题数学模型的基本要素。 (7)、用黄金分割法求一元函数3610)(2+-=x x x f 的极小点，初始搜索区间]10,10[],[-=b a ，经第一次区间消去后得到的新区间为 。 三、已知实对称矩阵 522251215A ??-?? =-????--?? 判别A 是否正定。（本题共10分。） 四、求二元函数22 121221x 4820f x x x +--+（,x ）=x 在[](0)00T X =处函数变化率最大的方向 和数值。（本题共20分）

机械优化设计课后习题答案

第一章习题答案 1-１ 某厂每日（8h 制)产量不低于1８00件。计划聘请两种不同的检验员,一级检验员的标准为：速度为２5件／ｈ,正确率为98％,计时工资为4元／h ；二级检验员标准为：速度为15件／ｈ，正确率为95%,计时工资3元／ｈ。检验员每错检一件,工厂损失2元。现有可供聘请检验人数为：一级８人和二级10人。为使总检验费用最省,该厂应聘请一级、二级检验员各多少人？ 解:(1)确定设计变量； 根据该优化问题给定的条件与要求,取设计变量为X = ?? ????=??????二级检验员一级检验员 21x x ； (2）建立数学模型的目标函数； 取检验费用为目标函数,即： f (Ｘ） = 8*４*x 1＋ 8＊3*ｘ2 + 2（8*25*０.０２x １ ＋８*15*0.０5x 2 ） =４0x 1+ 3６x 2 （3）本问题的最优化设计数学模型： m ｉn f (X ) = ４0ｘ1＋ 36x ２ X ∈Ｒ ３· ｓ.t. g １(X ） =1８0０-8*2５x 1+８*1５x ２≤０ g 2(Ｘ） =x １ -8≤０ g 3(X ) ＝x 2-10≤0 g 4(X ) = -x 1 ≤0 g 5（X ) ＝ －x 2 ≤0 １－2 已知一拉伸弹簧受拉力F ,剪切弹性模量G ,材料重度r ，许用剪切应力[]τ，许用最大变形量[]λ。欲选择一组设计变量T T n D d x x x ][][2 32 1 ==X 使弹簧重量最轻，同时满足下列限制条件:弹簧圈数3n ≥， 簧丝直径0.5d ≥，弹簧中径21050D ≤≤。试建立该优化问题的数学模型。 注:弹簧的应力与变形计算公式如下 3 22234 881 ,1,(2n s s F D FD D k k c d c d Gd τλπ==+==旋绕比）， 解: (1)确定设计变量； 根据该优化问题给定的条件与要求,取设计变量为X = ????? ? ????=??????????n D d x x x 2321; （２）建立数学模型的目标函数； 取弹簧重量为目标函数，即： f (X ) ＝ 322 12 4 x x rx π (3）本问题的最优化设计数学模型：

机械优化设计课后习题答案汇编

学习-----好资料 第一章习题答案 1-1某厂每日（8h制）产量不低于1800件。计划聘请两种不同的检验员，一级检验员的标准为：速度为25件／h，正确率为98％，计时工资为4元／h；二级检验员标准为：速度为15件／h，正确率为95％，计时工资3元／h。检验员每错检一件，工厂损失2元。现有可供聘请检验人数为：一级8人和二级10人。为使总检验费用最省，该厂应聘请一级、二级检验员各多少人？ 解：（1）确定设计变量； x一级检验员????1?；X= 根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为????x二级检验员????2（2）建立数学模型的目标函数； 取检验费用为目标函数，即： f(X) = 8*4*x+ 8*3*x + 2（8*25*0.02x+8*15*0.05x） 2 121 =40x+ 36x 21（3）本问题的最优化设计数学模型： 3· xx∈R f (X) = 40+ 36Xmin 21xx0 +8*15) =1800-8*25≤s.t. g(X1210 ≤X) =x-8g(21 ≤X) =x-10g(23-0 ) = ≤x g(X 1 40 ) = -x≤g(X 52 ??][G][F r。欲，剪切弹性模量，许用剪切应力，材料重度，许用最大变形量1-2 已知一拉伸弹簧受拉力TT]ndx]D X?[x?[x n?3，使弹簧重量最轻，同时满足下列限制条件：弹簧圈数选择一组设计变量212310?D?500.5?d。试建立该优化问题的数学模型。簧丝直径，弹簧中径2注：弹簧的应力与变形计算公式如下 38FD8FDD1??2n22?旋绕比），c?(,kk?1?,?ss43?Gdcdd2 解：（1）确定设计变量； xd????1????x?D；= 根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X????22????xn????3（2）建立数学模型的目标函数； 取弹簧重量为目标函数，即： 2?2xrxx X() = f3214（3）本问题的最优化设计数学模型： 更多精品文档． 学习-----好资料 2?3·2xrxx∈R min f (X) = X3124s.t. g(X) =0.5-x≤0 1 1g(X) =10-x≤0 22 g(X) =x-50≤0 3 2g(X) =3-x≤0 34x8Fx???21??)(1≤) =0 g(X5 ???32?≤g(X) =0 64Gx1 32x?x2138Fxx 3的平底、无盖的圆柱形容器，要求设计此容器消耗原材料最少，试写出这cm某厂生产一个容积为8000 1-3 一优化问题的数学模型。x底面半径r????1? , = 解：根据该优化问题给定的条件 与要求，取设计变量为X????x高h ????2表面积为目标函数，即：2??

《机械优化设计》第6章习题解答-2资料

8． 有一汽门用弹簧，已知安装高度H1=50.8mm,安装（初始）载荷F1=272N ，最大工作载 荷F2=680N ，工作行程h=10.16mm 弹簧丝用油淬火的50CrV A 钢丝，进行喷丸处理； 工作温度126°C ；要求弹簧中径为20mm ≤D2≤50mm ，弹簧总圈数4≤n1≤50，支 承圈数n2=1.75，旋绕比C ≥6；安全系数为1.2；设计一个具有重量最轻的结构方案。 [解] 1．设计变量：影响弹簧的重量的参数有弹簧钢丝直径：d ，弹簧中径D1和弹簧总圈数n1，可取这三个参数作为设计变量：即： ??????=??????=H D x x x 21 2．目标函数：弹簧的重量为 式中 ρ――钢丝材料的容重， 目标函数的表达式为 3221611262101925.0108.725.0)(x x x n D d x F --?=??=π ３．约束条件： １）弹簧的疲劳强度应满足 min S S ≥ 式中 2.1m i n m i n =--S S ，可取最小安全系数，按题意 S ――弹簧的疲劳安全系数，由下式计算： m s s s S ττττττττα???? ??+???? ??-=000 2 式中 ：劳极限，计算方法如下弹簧实际的脉动循环疲--0τ 初选弹簧钢丝直径：4mm ≤d ≤8mm ，其抗拉强度MPa b 1480=σ，取弹簧的循环工作次数大于7 10，则材料的脉动循环疲劳极限为 MPa b 44414803.03.0'0=?==στ 设可靠度为90％，可靠性系数 868.0=r k ； 工作温度为126°C ，温度修正系数 862.0126 273344273344=+=+=T k t 再考虑到材料经喷丸处理，可提高疲劳强度10％，则弹簧实际的脉动循环疲劳极限为 MPa k k t r 4.365444862.0868.01.1)1.01('00=???=+=ττ 3 6/107.8mm kg -?=ρρ π12220.25n D d W =

现代设计方法(第二章 优化设计)

1.直接搜索法。它只利用目标函数值构成的搜索方法，如POWELL，单纯形法； 2.梯度法。它需要有目标函数及其导数的解析式。 对于非线性的显函数，且变量数较少或中等的问题，用复合形法或罚函数法（其中尤其是内点罚函数法）的求解效果一般都比较理想，前者求得全域最优解的可能性较大。建议当找不到一个可行的初始点时，才用外点罚函数法。在用罚函数法解优化问题时，必须选用一个合适的无约束优化方法。如果目标函数的一阶和二阶偏导数易于计算（用解析法），且设计变量不是很多（如n ≤20）时，建议用拟牛顿法；若n>20，且每一步的Hessian 矩阵求解变得很费时时，则选用变尺度法较好。若目标函数的导数计算困难（用解析法）或者不存在连续的一阶偏导数，则用Powell共轭方向法效果是最好的。对于一般工程设计问题，由于维数都不很高（n<50），且函数的求导计算都存在不同程度的困难，因此用内点罚函数法调用Powell无约束优化方法求序列极小化。 优化设计：它是以数学规划理论为基础，以电子计算机为辅助工具的一种设计方法。它首先将设计问题按规定的格式建立数学模型，并选择合适的优化方法，选择或编制计算机程序，然后通过电子计算机自动获得最优设计方案。 两类优化方法： 1.直接法：直接计算目标函数值，比较目标函数值，并以之作为迭代、收敛根据的方法。 2.求导法：以多变量函数极值理论为基础，利用目标函数的性态，并以之作为寻优、迭代、收敛根据的方法。 综合设计法： 以程序设计、优化技术、仿真技术及自动绘图技术的综合为基础，以计算机工作站为工具，将工业设计方法提高到更新的阶段，使产品设计，换代、创新更趋于自动化，并展示了有可能向智能化发展的前景。 优化问题的分类： 按照目标函数的性质和约束条件可分为无约束问题和有约束问题。 无约束问题按照目标函数包含的单变量或多变量来分类。（直接搜索法：它只利用目标函数值构成的搜索方法，如POWELL法，单纯形法等。梯度法：它需要有目标函数及其导数的解析式。） 有约束问题有三类： 1.线性目标函数和线性约束（线性规划，整数规划） 2.非线性的目标函数和线性约束（二次规划，凸规划，线性分式规划） 3.非线性目标函数和非线性约束条件（变换法，线性逼近法，直接搜索法） 建立数学模型有哪三个基本步骤？ 1）识别要确定的未知变量，并用代数符号表示它们。2）识别目标或判别标准，并将其表示为要最大化或最小化的函数。 3）识别问题的约束条件或限制，并将它们表示成未知变量的线性或非线性的等式或不等式组。 。优化设计的数学模型一般由设计变量、目标函数和约束条件三个基本要素组成。其含义为在一定的约束条件下，追求目标函数的极小值（或极大值）,而求得一组设计变量值。 。设计变量与设计空间：设计变量的个数决定了设计空间的维数，设计空间的维数又表征设计的自由度，设计变量越多，则设计的自由度越大，可供选择的方案越多，设计越灵活，但难度亦越大，求解越复杂。通常在保证必要的设计精度的前提下，设计变量应尽可能取少些。 。约束条件可分为边界约束和性能约束。在二维设计空间中，不等式约束条件的可行域，是各约束线所围的平面，比较直观。三维和三维以上的设计问题，约束条件是曲面或超曲面，约束曲面围成的可行域，是多曲面或超越曲面围成的空间。 。等值线有哪些特点：不同值的等值线不相交；除极 值点外，等值线在设计空间内不会中断；等值线反映 了目标函数的变化规律，愈内层的等值线，其函数值 愈小，其中心点为极值点；等值线间隔越密，表示该 处函数变化率越大；极值点附近的等值线近似椭圆 族，极值点为中心点。 。线性规划与非线性规划有何区别？ 当目标函数F(x)和约束条件都是设计变量的线性函 数时，列出这种数学模型并求解的过程，称为线性规 划，只有一个公用算法，称为“单纯形法”。在所有 的优化模型中，线性规划应用的最广。如果目标函数 F(x)和约束条件中有一个或多个是设计变量的非线 性函数时，列出这种数学表达式并求解的过程，称为 非线性规划。解非线性规划问题有许多算法。 。什么是约束条件？约束条件和可行域有何关系？等 式约束和不等式约束有何区别与联系？ 设计变量的取值范围有限制或必须满足一定的条件， 这种对设计变量取值的限制称为约束条件。 不等式约束条件将设计空间划分为可行域和非可行 域，设计方案只能在可行域内选取。 等式约束条件只允许设计方案在可行域的等式约束 线（或面）上选取。 不等式约束将设计变量限制在一个区间或区域，约束 不严格；而等式约束设计变量限制在一个点、线或面 上，约束严格。 等式约束起到降低自由度的作用，有一个等式约束可 以降低一个设计自由度，一个等式约束可以用两个不 等式约束表示。 。约束极值点存在的条件：库恩-塔克条件：一个约 束极值点存在的必要条件为目标函数的梯度可表示 成诸约束面梯度纯属组合的负值。其几何意义为：起 作用约束的梯度矢量，在设计空间构成一个锥体，目 标函数的负梯度应包含在此锥体内。这个条件是约束 优化问题极值的必要条件，而不是充分条件。只有当 目标函数为凸函数，约束函数也是凸函数时，即凸规 划问题时，其局部最优点就是全局最优点，刚库恩- 塔克条件是该极值的必要充分条件。 。数值方法：根据目标函数值的变化规律，以适当的 步长沿着能使目标函数值下降的方向，逐步向目标函 数值的最优点进行探索，逐步逼近目标函数的最优 点，直至达到最优点。 。常用迭代终止准则有哪三种？ 1）点距准则：当设计变量在相邻两点之间的移动距 离以充分小时，可以相邻两点的矢量差的摸作为终止 迭代的判据。 2) 值差准则：当相邻两点目标函数之差已达到充分 小时，可用两次迭代的目标函数之差作为终止判据 3）梯度准则：当迭代点逼近极值点时，目标函数在 该点的梯度已达到充分小时，可用梯度的模作为终止 判据。 0.618法的基本思想：0.618法又称黄金分割法，要 求定义区间[a,b]上的函数为单峰值函数通过不断割 舍左端或右端的一部分，逐步把区间缩小之至极小点 所在区间到给定误差范围内，从而得到近似的最优 解，并且每次缩短的新区建长度与元区间长度的比值 始终是一个常数。 。二次插值法的基本思想是:在选定的单峰区间内选 一点，连同两端点，利用这三点的函数值构成一个二 次多项式，作为原函数的近似，求近似二次多项式的 极小点作为原函数的近似最优点。 。Powell法在每一轮形成新的搜索方向时会存在何 种问题导致不收敛？如何修正？ Powell法在每一轮形成新的搜索方向替换原来矢量 组中的第一个方向形成新的搜索方向组，可能存在新的方向 组线性相关的情况，从而导致算法不收敛的问题。修正 方法：选代过程中，形成一个新的方向后，先判别一下新方 向是否有效，如果有效则替换原来的搜索方向组中的第一个 搜索方向，否则，不替换，仍然按原来的方向组搜索。 。梯度法的基本原理和特点是什么 1）梯度法的基本原理：梯度法又称最速下降法，基本原理是 在迭代点附近采用使目标函数值下降最快的负梯度方向作为 搜索方向，求目标函数的极小值。 2）梯度法的特点：迭代计算简单，只需求一阶偏导数，所占 用存储单元少，对初始点要求不高，在接近极小点位置时收 敛速度很慢。 1.共轭梯度法的特点是什么？ 在梯度法靠近极值点收敛速度减慢的情况下，共轭梯度法可 以通过构造共轭方向，使其收敛速度加快，具有一次收敛速 度，使得计算过程简便，效果又好：在每一步迭代过程中都 要构造共轭方向，比较繁琐。 2.为什么选项用共轭方向作为搜索方向可以取得良好的 效果？ 选用共轭方向作为搜索方向可以取得良好的效果，主要是由 共轭方向的性质所决定。 共轭方向的性质为: 对于n维正定二次型函数，从任意初始 点出发，依次沿着与矩阵A为共轭的n个线性无关的方向进 行一维搜索，则能在第n或第n步以前达到极小点。 3.变尺度法：为了得到既快速收敛的性质，又能避免计 算二阶导数矩阵及其逆矩阵，减少计算工作量。 变尺度矩阵必须是对称正定矩阵，才能保证变尺度算法的搜 索方向是函数值下降的方向，而且从一次迭代到另一次迭代 是变化的，故称变尺度矩阵。 4.有约束优化方法根据对约束条件的处理方法不同，可 分为直接法和间接法两大类。 直接法的基本思想是设法使每一次的迭代点都能在可行域 内，并逐步降低目标函数值，直至最后得到一个在可靠域内 的约束最优解。即在迭代过程中，搜索方向和迭代步长都要 经过可靠性和适用性条件的检查。属于直接法的有：复合形 法、简约梯度法等。间接法的基本思想是把有约束问题通过 一定形式的变换，转化成无约束优化问题，然后用无约束方 法求解，属于此类常见的有罚函数法等。 5.简述复合形法的优化过程的基本原理。 复合形法的优化过程为：在可行域内选择是个设计点，作为 初始复合形的顶点，构造一个多面体；然后对多面体各顶点 的函数值逐个进行比较，目标函数最大的为坏点，按照一定 规则去掉坏点而代以新点，构成一个新的多面体；依次步骤 进行多次，使复合形的位置逐步调向邻近最优点，最后以顶 点中目标函数值最小的点，作为近似最优点而得到解。 特点：由于在迭代计算中不必计算目标函数的导数，也不用 一维搜索，所以程序结构比较简单，适用性较广。对设计变 量增加，维数高或约束条件多的优化问题，为了得到较好的 新顶点，往往要向中心点多次收缩，因而计算效率显著降低。 6.简约梯度法：解决线性约束非线性规划问题。 7.简述罚函数法的基本原理，罚函数法分为哪几种？ 基本思想是把一个有约束的问题转化为一系列无约束问 题求解，逐渐逼近于目标函数的最优值。 在原目标函数中添加一些与约束函数有关的项，形成一个 新的目标函数以取代原目标函数，然后用无约束融洽优化 方法求新目标函数的最优解。 有内点法、外点法、混合法。 内点罚函数法、外点罚函数法及混合罚函数法的基本思想： 内点罚函数法：是把新目标函数定义于可行域内，因此其初 始点和后面产生的迭代点序列也必然在可行域内，这种方法 是求解不等式约束最优化问题的一种十分有效的方法，但不 能处理等式约束。 缺陷：一是不能处理等式约束问题，因为在边界上新目标函 数的函数值无穷大，迭代点无法达到；二是初始点必须在可