东城区普通高中示范校高三综合练习(二)
高三数学（文） 2012.3
学校： 班级： 姓名： 成绩： 一、选择题：（本大题共8小题。每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。） 1. 已知集合A ={}2,x x x ≤∈R , B ={
}
2
40,x x x x ->∈Z ,则A B 等于 A ．（1，2） B ．[1，2] C ．(1，2]
D ．{1，2}
2. i 是虚数单位，若(i 1)i z +=，则z 等于 A ．11i 22+ B ．11i 22-+ C. 11i 22- D. 11i 22
--
3.“2a =”是“直线2()0a a x y -+=和直线210x y ++=互相平行”的 A ．充要条件 B ． 充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件
4. 设数列{}n a 满足：12()n n a a n *+=∈N ， 且前n 项和为n S ，则
4
2
S a 的值为
A. 152
B.
4
15 C.
4 D. 2
5. 某程序框图如右图所示，现将输出(,)x y 值 依次记为： 1122(,),(,),,(,),;n n x y x y x y 若程序运行中输出的一个数组是(,10),x - 则数组中的x 等于
A ．64
B ．32
C ．16
D ．8
6. 给出下列命题：
① 如果不同直线m 、n 都平行于平面α，则m 、n 一定不相交； ② 如果不同直线m 、n 都垂直于平面α，则m 、n 一定平行；
③ 如果平面βα、互相平行，若βα??n m ，直线直线，则m//n. ④ 如果平面βα、互相垂直，且直线m 、n 也互相垂直，若α⊥m 则β⊥n
.
则真命题的个数是 A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
7. 已知函数22,0,
()21,0,x x f x x ax x -?≤=?-++>?
()a ∈R 则下列结论正确的是
A ．a ?∈R,()f x 有最大值()f a
B ．a ?∈R,()f x 有最小值(0)f
C ．a ?∈R,()f x 有唯一零点
D ．a ?∈R,()f x 有极大值和极小值
8. 如果直线1+=kx y 与圆0422=-+++my kx y x 相交于P 、Q 两点，且点P 、Q 关于直线
0=+y x 对称，则 不等式组??
?
??≥≤-≥+-.y ,m y kx ,y kx 0001表示的平面区域的面积是
A ．2
B ．1
C ．
2
1 D ．
4
1 二、填空题 ：(每题5分,共6小题) 9. 若点)sin ,(cos ααP 在直线x y 2-=上， 则)4
tan(π
α+
= ______________ ．
10. 已知向量a ,b 的夹角为
60 ,2=a ,3=b ,
则2-=a b . 11. 已知某几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积为 .
12. 若双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的左、右顶点分别是21,A A ,线段21A A
被bx y =2的焦点分为3:1两段, 则此双曲线的离心率为 ． 13. 已知0,0,a b >>函数2()(4)f x x ab a b x ab =+--+是偶函数， 则()f x 的图象与y 轴交点纵坐标的最小值为 . 14. 函数()f x 的定义域为A ，若12,x x A ∈且12()()f x f x =时总有12x x =，
则称()f x 为单函数．例如：函数()f x =2x +1(x ∈R )是单函数． 给出下列命题：
①函数2()f x x =（x ∈R ）是单函数；
②指数函数()2x f x =（x ∈R ）是单函数；
③若()f x 为单函数，12,x x A ∈且12x x ≠，则12()()f x f x ≠； ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数． 其中的真命题是 ．（写出所有真命题的编号）
三、解答题：（共6小题）
15. （本小题满分13分）
已知函数22()(sin cos ),f x x x x x =++∈R （Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期及其单调递减区间；
（Ⅱ）在锐角△ABC 中，,a b ,c 分别为角,A B ,C 所对的边，又a =2，31)(+=A f ， b c =
3
5
,求△ABC 的周长.
16. （本小题满分13分）
《国家中长期教育改革和发展规划纲要》下设A ，B ，C 三个工作组，其分别有组员36，36，18人，现在意见稿已公布，并向社会公开征求意见，为搜集所征求的意见，拟采用分层抽样的方法从A ，B ，C 三个工作小组抽取5名工作人员来完成. （Ⅰ）求从三个工作组分别抽取的人数；
（Ⅱ）搜集意见结束后，若从抽取的5名工作人员中再随机抽取2名进行汇总整理，求这两
名工作人员没有A 组工作人员的概率.
17．（本小题满分14分）
如图所示，在棱长为2的正方体1111
ABCD A BC D -中，E ，F 分别为1DD ，DB 的中点． （Ⅰ）求证：EF //平面11ABC D ； （Ⅱ）求证：1EF B C ⊥； （Ⅲ）求三棱锥EFC B V -1的体积． 18. (本题满分13分)
已知函数32()231f x ax ax =-+，3
()42
a g x x =-
+()a ∈R . (Ⅰ) 当1a =时, 求函数()y f x =的单调区间；
(Ⅱ) 当0≤a 时，若任意给定的[]00,2x ∈,在[]0,2上总存在两个不同的(1,2)i x i =，使 得
0()()i f x g x =成立，求a 的取值范围．
19. （本小题满分14分）
已知椭圆22
22:1x y C a b
+=(0)a b >>的左、右焦点
C
D
B
F
E
D 1C 1
B 1
A
A
1
分别为21,F F , 离心率为
2
.以原点为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆与直线
0x y -=相切．
(Ⅰ) 求椭圆C 的方程；
(Ⅱ) 如图，若斜率为)0(≠k k 的直线l 与x 轴、椭圆C 顺次相交于点,,A M N （A 点在椭圆
右顶点的右侧），且A MF F NF 212∠=∠. （ⅰ）求证：直线l 过定点（2，0）; （ⅱ）求斜率k 的取值范围.
20. （本小题满分13分）
定义：若数列{}n A 满足2
1n n A A =+，则称数列{}n A 为“平方递推数列”.已知数列{}n a
中，21=a ，点),(1+n n a a 在函数x x x f 22)(2+=的图象上，其中n 为正整数. (Ⅰ) 证明：数列{}12+n a 是“平方递推数列”，且数列{})12lg(+n a 为等比数列;
(Ⅱ) 设（Ⅰ）中“平方递推数列”的前n 项之积为n T ，即
12(21)(21)(21)n n T a a a =+++ ，求数列{}n a 的通项公式及n T 关于n 的表达式;
（Ⅲ）记n a n T b n 12log +=，求数列{}n b 的前n 项之和n S ，并求使 2012>n S 成立的n 的 最小值.
东城区示范校综合练习(二)
高三数学答案 （文） 2012年3月
一、选择题 1．D 2．A 3．B
4．A
5．B
6．C
7．C
8． D
二、填空题 9．1
3
-
10．13 11．
3
2 12．5 13．16 14．②③④
三、解答题
15. （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）x x x x f 22cos 32)cos (sin )(++=
)2cos 1(3cos sin 2cos sin 22x x x x x ++?++=-------------2分 )2cos 32(sin 31x x +++= )3
2sin(231π
+++=x ------------------------------------4分
所
以
函
数
)
(x f 的周期为
π
.
--------------------------------------------5分 由2
323
22
2π
ππ
π
π+
≤+
≤+
k x k ，k ∈Z 解得 12
712π
ππ
π+
≤≤+
k x k ，
故函数)(x f 的单调减区间是7[,]().1212
k k k ππ
π+π+∈Z ----------7分
（Ⅱ）在锐角?ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边， 31)(+=A f )3
2sin(231π
+++=A ， 则,0)3
2sin(=+
π
A
40,22333
A A ππππ
<<<+<因为所以， 所
以
π
π
=+
3
2A . 则
3
π
=
A .
-----------------------------10分
又 a =2， 由余弦定理
2
2
2
2
2cos 4()22cos ,a b c bc A b c bc bc A =+-=+--，得
因为5
3
bc =
，所以3b c +=， 则 ?ABC 的周长等于5. --------------------13分
16. （本小题满分13分） 解：（I ）三个工作组的总人数为36+36+18=90，
样本容量与总体中个体数的比为
,18
1
905= 所以从,,A B C 三个工作组分别抽取的人数为2，2，1. ------------------5分
（II ）设12,A A 为从
A 组抽得的2名工作人员，12,
B B 为从B 组抽得的工作人员，1
C 为从C 组抽得的工作人员，若从这5名工作人员中随机抽取2名，其所以可能的结果是：
),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(112112221211211121C B B B C A B A B A C A B A B A A A
21(,)B C ,共有10种， --------------------------9分
其中没有A 组工作人员的结果是：121121(,),(,),(,)B B B C B C 有3种，
--------------------------11分 所以从抽取的5名工作人员中再随机抽取2名进行汇总整理，此时这两名工作人员中没有A 组工作人员的概率3
10
P =
。 -------------------------13分 17．（本小题满分14分）
证明：（Ⅰ）连结1BD ，在B DD 1?中，
E 、
F 分别为1D D ，DB
的中点，则
11111111////EF D B
D B ABC D EF ABC D EF ABC D ?
?
??????
平面平面平面
---------------------------4分
（Ⅱ）1111111,B C AB
B C BC AB B C ABC D AB BC B ⊥?
?⊥?
???
?=?
平面?
111111B C ABC D BD ABC D ⊥??
???
平面平面111//B C BD EF BD ⊥?
??1EF B C ?⊥
-------------------------------9分
（Ⅲ）11
CF BDD B ⊥ 平面
1CF EFB ∴⊥平面 -------------------------------10分
且
CF BF ==C
D
B
F
E
D 1
C 1
B 1
A
A 1
11
2
EF BD =
= 1B F ==
13B E ===
∴22211EF B F B E += 即190EFB ∠=
-----------------------------12分
11113B EFC C B EF B EF V V S CF --?∴==??=111
32
EF B F CF ????
=
11
132?=
-------------------------14分
18. (本题满分13分)
解：（I ）2()666(1).f x x x x x '=-=-
------------------------2分
由()0,10f x x x '>><得或； 由()0,01f x x '<<<得；
故函数)(x f 的单调递增区间是)(1,)0,(+∞-∞和；单调递减区间是（0，1）. -------------------------6分 （II ） ①当0a =时，2
3
)(,1)(=
=x g x f ，显然不可能满足题意； -------------------------7分
②当0a <时，)1(666)(2'.
分
又因为当3
0,()42a a g x x <=-
+时在[0，2]上是增函数， 对任意]2
3
2,23[)(],2,0[+-∈∈a x g x ， -------------------------------11分
由题意可得a a -<+-12
3
2