第一章 整数的可除性
§1 整除的概念·带余除法 1．证明定理3
定理3 若12n a a a ，，，都是m 得倍数，12n q q q ，，，是任意n 个整数，则
1122n n q a q a q a ++
+是m 得倍数．
证明：
12
,,n a a a 都是m 的倍数。
∴ 存在n 个整数12,,
n p p p 使 1122,,
,n n a p m a p m a p m ===
又12,,
,n q q q 是任意n 个整数
1122n n
q a q a q a ∴++
+
1122n n q p m q p m q p m =+++
1122()n n p q q p q p m =++
+
即1122n n q a q a q a ++
+是m 的整数
2．证明 3|(1)(21)n n n ++ 证明
(1)(21)(1)(2n n n n n n n ++=+++-
(1)(2)(1)(n n n n n n =+++-+ 又
(1)(2)n n n ++，(1)(2)n n n -+是连续的三个整数
故3|(1)(2),3|(1)(1)n n n n n n ++-+
3|(1)(2)(1)(1)n n n n n n ∴+++-+
从而可知
3|(1)(21)n n n ++
3．若00ax by +是形如ax by +（x ，y 是任意整数，a ，b 是两不全为零的整数）的数中最小整数，则00()|()ax by ax by ++．
证：
,a b 不全为0
∴在整数集合{}|,S ax by x y Z =+∈中存在正整数，因而有形如ax by +的最小整数
00ax by +
,x y Z ?∈，由带余除法有0000(),0ax by ax by q r r ax by +=++≤<+
则00()()r x x q a y y q b S =-+-∈，由00ax by +是S 中的最小整数知0r =
00|ax by ax by ∴++
00|ax by ax by ++ （,x y 为任意整数） 0000|,|ax by a ax by b ∴++ 00|(,).ax by a b ∴+ 又有(,)|a b a ，(,)|a b b 00(,)|a b ax by ∴+ 故00(,)ax by a b +=
4．若a ，b 是任意二整数，且0b ≠，证明：存在两个整数s ，t 使得
||,||2
b a bs t t =+≤
成立，并且当b 是奇数时，s ，t 是唯一存在的．当b 是偶数时结果如何？ 证：作序列
33,,,,0,,,,2222
b b b b
b b -
--则a 必在此序列的某两项之间
即存在一个整数q ，使
1
22
q q b a b +≤<成立 ()i 当q 为偶数时，若0.b >则令,22
q q
s t a bs a b =
=-=-，则有 02222
b q q q
a bs t a
b a b b t ≤-==-=-<∴<
若0b < 则令,2
2
q q
s t a bs a b =-=-=+
，则同样有2b t <
()ii 当q 为奇数时，若0b >则令11
,22
q q s t a bs a b ++=
=-=-，则有
若 0b <，则令11
,22
q q s t a bs a b ++=-
=-=+，则同样有2b t ≤
，综上所述，存在性得证．
下证唯一性
当b 为奇数时，设11a bs t bs t =+=+则11()t t b s s b -=-> 而111,22
b b
t t t t t t b ≤
≤∴-≤+≤ 矛盾 故11,s s t t == 当b 为偶数时，,s t 不唯一，举例如下：此时
2
b
为整数 11312(),,22222b b b b b b b t t ?
=?+=?+-=≤
§2 最大公因数与辗转相除法 1．证明推论4.1
推论4.1 a ，b 的公因数与（a ，b ）的因数相同． 证：设d '是a ，b 的任一公因数，∴d '|a ，d '|b 由带余除法
111222
11
1111,,,,,
0n n n n n n n n n n a bq r b r q r r r q r r r q r r r r b
---++-=+=+=+==≤<<
<<
∴(,)n a b r =
∴d '|1a bq -1r =， d '|122b r q r -=，┄, d '|21(,)n n n n r r q r a b --=+=,
即d '是(,)a b 的因数。
反过来(,)a b |a 且(,)a b |b ，若|(,),d a b ''则|,|d a d b ''''，所以(,)a b 的因数都是,a b 的公因数，从而,a b 的公因数与(,)a b 的因数相同。
2．证明：见本书P2，P3第3题证明。
3．应用§1习题4证明任意两整数的最大公因数存在，并说明其求法，试用你的所说的求法及辗转相除法实际算出（76501，9719）．
解：有§1习题4知：
,,0,,,a b Z b s t Z ?∈≠?∈使,||2
b
a bs t t =+≤
。， 11,s t ∴?，使1112
||,||,,22t b b s t t t =+≤≤如此类推知：
21,,;n n n n n n s t t t s t --?=+ 11111,,;n n n n n n s t t t s t ++-++?=+
且1221
||||
||||
||22
22n n n n n t t t b t --+≤
≤≤≤
≤
而b 是一个有限数，,n N ∴?∈使10n t +=
1121(,)(,)(,)(,)(,)(,0)n n n n a b b t t t t t t t t t +∴=======，存在其求法为：
1
(,)(,)(,())a b b a bs a bs b a bs s =-=
---=
(76501,9719)
(9719,7650197197)(8468,97198468)(1251,846812516)(3,1)1
∴=-?=-=-?===
4．证明本节（1）式中的log log 2
b
n ≤
证：由P3§1习题4知在（1）式中有 12
1121022
22n n n n n n
r r r b
r r --+-=<≤
≤≤≤
≤
，而1n r ≥ 1,22n
n
b b ∴≤
∴≤， 2
l o g l o g l o g 2b n b ∴≤=，即log log 2b n ≤ §3 整除的进一步性质及最小公倍数
1．证明两整数a ，b 互质的充分与必要条件是：存在两个整数s ，t 满足条件1ax bt +=． 证明 必要性。若(,)1a b =，则由推论1.1知存在两个整数s ，t 满足：(,)as bt a b +=，
1as bt ∴+=
充分性。若存在整数s ，t 使as+bt=1，则a ，b 不全为0。 又因为(,)|,(,)|a b a a b b ，所以(,|)a b as bt + 即(,)|1a b 。 又(,)0a b >，(,)1a b ∴= 2．证明定理3 定理3 [][]1212,,||,||,||n n a a a a a a =
证：设121[,,
,]n a a a m =，则1|(1,2,,)i a m i n =
∴1|||(1,2,,)i a m i n =又设122[||,||,
,||]n a a a m =
则21|m m 。反之若2|||i a m ，则2|i a m ，12|m m ∴ 从而12m m =，即12[,,,]n a a a =122[||,||,,||]n a a a
3．设1110n n n n a x a x a x a --++
++ （1）
是一个整数系数多项式且0a ，n a 都不是零，则（1）的根只能是以0a 的因数作分子以n a 为
不是有理数．
证：设（1）的任一有理根为
p
q
，(,)1,1p q q =>。则
111
0()()0n n n n p p
p
a a a a q q q
--++++= 111100n n n n n n a p a p q a pq a q ---++
++= （2）
由11110(2)n n n n n n a p a p q a pq a q ----=+
++，
所以q 整除上式的右端，所以|n n q a p ，又(,)1,1p q q =>， 所以(,)1,|n n q p q a =∴； 又由（2）有11110n n n n n n a p a p q a pq a q ---++
+=-
因为p 整除上式的右端，所以0|n P a q ，(,)1,1p q q =>，所以(,)1, |n n q p p a =∴ 故（1）的有理根为
p
q
，且0|,|n p a q a 。
220x x =∴-=，次方程为整系数方程，则由上述结论，可知其有有理根只能是
1,2±±为无理数。
=
,p
q
(,)1,1p q q =>，则2
222222222,2,(,)(2,)1p q p p q q p q q
=∴=∴==>
但由(,)1,1p q q =>知22(,)1p q =不是有理数。 §4 质数·算术基本定理 1．试造不超过100的质数表 解：用Eratosthenes 筛选法
（110=a
（2）10内的质数为：2，3，5，7
（3）划掉2，3，5，7的倍数，剩下的是100内的素数 将不超过100的正整数排列如下：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
2．求82798848及81057226635000的标准式．
解：因为8|848，所以38|,827988488103498562A A B ==?=?， 又8|856，所以8|B ，3812937322B C =?=?， 又4|32，所以4|C ，243234332C D =?=?
又9|（3+2+3+4+3+3），所以9|D ，29359373D E =?=?， 又9|（3+5+9+3+7），所以9|E ，93993E =? 又3399331331311=?=? 所以8532311A =；
同理有3343281057226635000235711172337=???????。 3．证明推论3.3并推广到n 个正整数的情形． 推论3.3 设a ，b 是任意两个正整数，且
1212n
n a p p p ααα=??
?，0i α≥，1,2,
,i k =， 12
12n
n b p p p βββ=???，0i β≥，1,2,
,i k =，
则1212(,)k k a b p p p γγγ=???，12
1
2[,]k
k a b p p p δδδ=???，
其中min(,)i i i γαβ=，min(,)i i i δαβ=，1,2,,i k =
证：
min(,)i i i γαβ=，∴0,0i i i i γαγβ≤≤≤≤
∴ |,|i i i i i i i i p p p p γαγβ (1,2)i k =
∴
1
1
i
i
k
k
i
i i i p p γα==∏∏，1
1
i
i
k
k
i
i i i p p γβ==∏∏. ∴ 12
12|(,)k k p p p a b γγγ，又显然12
12(,)|k
k a b p p p γγγ
∴ 121
2(,)k k p p p a b γγγ=，同理可得1212
[,]k
k p p p a b δδδ=，max{,}i i i δαβ=
推广
设11112
112
k k a p p p βββ=,22122
212k k a p p p βββ=,12
12,n n nk n k a p p p βββ=
(其中j p 为质数1,2,
,,i j k a =为任意n 个正整数1,2,,,0ij i n β=≥)， 则
12
12
121(,,
,),min{},
1,2,,i i ik
k n ij ij i n
p p p a a a j k γγγγβ≤≤=== 12
12121[,,,],max{},1,2,
,i i ik
k n ij ij i n
p p p a a a j k δδδδβ<<===
4．应用推论3.3证明§3的定理4（ii ）
证：设12
11
1
212
k k
k k a p p p b p p p αβααββ==，，
其中p 1, p 2, , p k 是互不相同的素数，αi ，βi （1 ≤ i ≤ k ）都是非负整数，有
11
11
12
12
(,)min{,}1[,]max{,}1k k
k i i i k i i i a b p p p i k a b p p p i k λλλμμμλαβμαβ==≤≤==≤≤，，，，，。
由此知(a , b )[a , b ] =
min{,}max{,}1
1
1
i i
i i i i i i k
k
k
i
i
i i i i p p
p λμαβαβαβ+++=====∏∏∏=ab ；从而有[,](,)
ab
a b a b =
． ５．若n 21+是质数（n>1），则n 是2的方幂． 证：（反证法）设2(k n l l =为奇数）， 则2222
(1)
2(2)2121(2)1(21)[221]k
k
k
k
k
n l l l l ??-?-+=+=+=+-+
+
∵ 22121(2)121k k
l n <+<+=+， ∴ 21n +为合数矛盾，故ｎ一定为２的方幂． §5 函数[x],{x}及其在数论中的一个应用 1．求30！的标准分解式．
解：30内的素数为2，3，5，7，11，13，17，19，23，29
22345303030303022222α??????????
=+++++
????????????????????
15431023=++++=
3234303030303333α????????
=++++
????????????????1031014=+++=
5233030306107555α??????
=+++
=++=????????????
72303040477α????=++
=+=????????，11230302021111α????
=++
=+=????????
13230302021313α????=++
=+=????????，13230302021313α????
=++
=+=????????
17230301011717α????=++
=+=????????
，191923291αααα====
∴ 2314542230!2357111317192329=????????? 2．设n 是任一正整数，α是实数，证明：
(i) [][]n n αα??=????
(ii) [][]11n n n n αααα-????
+++???++=????????
证：(i)设[]m α=.则由性质II 知1m m α≤<+,
所以 nm n nm n α≤<+, 所以[]nm n nm n α≤<+，所以[]
1n m m n
α≤
<+，又在ｍ与ｍ+１之间只有唯一整数ｍ，所以[]
[
][]n m n
αα==． (ii) [证法一]设
1{},0,1,2,,1k k k n n n
α+≤<=-,
则{}1,[][]k n k n n k ααα≤<+∴=+ ①当1i k n +≤-时,1{}1,[][]i k i i
n n n ααα+++
<≤+= ; ②当i k n +≥时,2{}1,[][]1i k i i n n n
ααα+>+
≥≥+=+; 111
00
11
[][][]
1[][][]()[]([]1)[]n n k n i i i n k n n n
i i
n n n n k k n k ααααααααα----=-=--∴+++++=+=+++=-++=+∑∑∑
1
[][]n i i
n n αα-=∴+=∑
[证法二] 令1
()[][]n i i f n n ααα-==
+-∑, 10
11()[][1]()n i i f n f n n αααα-=++=+-+≡∑
10
11()[][1]()n i i f n f n n αααα-=++=+-+≡∑
()f α∴是以
1
n
为周期的函数。
又当[0,1),()000,,()0f R f αααα∈=-=∴∈≡时，
即
1
1
[][]n i n n αα-=+=∑。
[评注]：[证一]充分体现了 常规方法的特点，而[证二]则表现了较高的技巧。 3．设α，β是任意二实数，证明： (i) [][][]αβαβ-=-或[]1αβ-+ (ii) [2][2][][][]αβααββ+≥+++ 证明：（i ）由高斯函数[x]的定义有
[],[],01;01r s r s ααββ=+=+≤<≤<。则
[][],1
r
s r s αβαβ-=-+--< 当0,[][][]r s αβαβ-≥-=-时 当0,[][][]1r s αβαβ-<-=--时
故 [][][][]1[][]αβαβαβαβ-=--+=-或 （ii ）设[],[],0,1x y x y ααββ=+=+≤<， 则有0{}{}2x y αβ≤+=+< 下面分两个区间讨论：
①若01x y ≤+<，则[]0x y +=，所以[][][]αβαβ+=+，所以
[2][2]αβ+=[2[]2][2[]2]x y αβ+++=2[]2[]2([][])x y αβ+++2[]2[]αβ≥+=[][][][]αββα+++=[][][]ααββ+++
②若12x y ≤+<，则[]1x y +=，所以[][][]1αβαβ+=++。 所以
1[2][2][2[]2][2[]2]2[]2[]2([][])2[]2[]2([][1])
[][][][]22([][])2[]2[]1[][][]
x y x y x y x x x x αβαβαβαβαββααβααββ≥-+=+++=+++≥+++-←???→
=++++++-≥++=+++
（ii ）（证法2）由于α，β对称，不妨设{}{}αβ≥
[2][2][2([]{})][2([]{})]αβααββ+=+++
2[]2[][2{}][2{}]αβαβ=+++
2[]2[][{}{}]αβαβ≥+++
[][]([][][{}{}])αβαβαβ=+++++ [][][[]{}[]{}]αβααββ=+++++
[][][]ααββ=+++
4. (i) 设函数错误！未找到引用源。在闭区间Q x R ≤≤上是连续的，并且非负，证明:和式
表示平面区域Q x R ≤≤，0()y f x <≤内的整点（整数坐标的点）的个数. (ii) 设p ，q 是两个互质的单正整数，证明：
(iii) 设错误！未找到引用源。，T 是区域错误！未找到引用源。 内的整点数，证明：
(iv) 设错误！未找到引用源。，T 是区域错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，
错误！未找到引用源。 内的整点数，证明：
证明：(略)
5. 设错误！未找到引用源。任一正整数，且错误！未找到引用源。，p 是质数，错误！未找到引用源。，证明：在错误！未找到引用源。的标准分解式中，质因数p 的指数是
其中错误！未找到引用源。.
证明：在错误！未找到引用源。的标准分解式中，质因数p 的指数有限，即
错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。
所以
而
第二章 不定方程 §2．1 习题
1、解下列不定方程 )1525100a x y +=
630360306)=-y x b
解：)a 原方程等价于：3520x y += 显然它有一个整数解 0010,2x y ==- ，
故一般解为 105
(0,1,2,)
23x t t y t =-?=±±?
=-+?
)b 原方程等价于：172035x y -= 显然它有一个整数解 00735,635x y =-?=-?
故一般解为 735
20(0,1,2,)635
17x t t y t =-?+?=±±?
=-?+? 2、把100分成两份，使一份可被7整除，一份可被11整除。 解：依题意 即求 711100x y += 的正整数解，解得 008,4x y ==
一般解是： 811(0,1,)47x t
t y t
=-?=±?
=+?
但除 0t =外无其他正整数解，故有且只有 1005644=+ 3、证明：二元一次不定方程 ,0,0,(,)a x b y N a b a b +=>>=
的非负整数解为 N ab ?????? 或 1N ab ??
+????
证明：当0N <时，原方程没有整数解，而 10N ab ??
+≤????
故命题正确
当0N =时，原方程有且只有一个非负整数解 ()0,0 而 0N ab ??=???? 11N ab ??
+=????
因为 (),1a b = 所以
原方程有整数解 (){}{}100011021,,(1),,,(1),,n n n n x y y q q N x q q N ---=-=-
其中
[]123,,,,n a
q q q q b
=，由于0a b >>，故00,x y 中一正一负，可设0,0x y >≤
原方程的一般解是：()000,1,
x x bt
t y y at =-?=±?
=+?
要求00000,0x y
x bt y at t b a
-≥+≥?
≥≥-， 仅当 0y a -
是整数时，才能取 0y t a ??=-???? ，否则 0y t a ??
>-????
故这个不等式的整数解个数T 是 ：
当是整数时 000011x y x y T b a b a ????????
=--+=++????????????????
因而 001x y N N T ab b a ab ????????
=+?=+????????????????
当
0y a 不是整数时 00001x y x y T b a b a ????????=--=++????????????????
因而 00001x y b a N ab x y b a ?????
+?????
???????=?????????
?++?????????
? 所以 ()m ?
证明2：二元一次不定方程ax + by = N 的一切整数解为00x x bt
y y at =-??=+?
，t ∈Z ，于
是由x ≥ 0，y ≥ 0得00y x t a b -≤≤，但区间00,[]y x a b -的长度是
N
ab
，故此区间内的整数个数为
[][]N N ab
ab
或+ 1。
：
4、证明：二元一次不定方程 ,(,)1,1,1ax by N a b a b +==>>，当 N ab a b >-- 时有非负整数解，N ab a b === 则不然。
证明：先证后一点，当 N ab a b =--时，原方程有非负整数解 ()00,x y 则12(,).d m m =
00001,11,1,1,1b x a y x bk y ah k h ?++?+=+=≥≥
(),2ab k h ab k h ?+=+≥，这是不可能的。
次证，当N>ab-a-b 时，因(a ，b)=1，故原方程有整数解（x 0，y 0），一般解是{
00(0,1,)
x x bt
y y at
t =-=-=±要求x 0-bt ≥0，y 00at -≥00y x
t a b
?-
≤≤会证明存在满足这个不等式的整数0t t =可取使00(0)x bt r r b =+≤<于是对于这个0t 有：
0011x b x bt r b t b
-+-=≤-?≥
而
0000000
000111
(1)()()()1
0a y at y x b by ax ab a N ab a ab a b ab a b b b b
y
y at t a
+≥+-++-+=-+>---+=-∴+≥?≥-这就证明了当N ab a b >--时，原方程有非负整数解． 1．证明定理2推论。
推论 单位圆周上座标都是有理数的点（称为有理点），可以写成
2222
2222222222,,()()ab a b a b ab a b a b a b a b
--±±±±++++或 的形式，其中a 与b 是不全为零的整数。
证明：设有理数l n
x y m m
=
=，（m ≠ 0）满足方程x 2 + y 2 = 1，即l 2 + n 2 = m 2，于是得l = ±2abd ，n = ±(a 2 - b 2)d ，m = ±(a 2 + b 2)d 或l = ±(a 2 - b 2)d ，m = ±2abd ，
m = ±(a 2
+ b 2
)d ，由此得(x , y ) =22222
2222222
22,,()()ab a b a b ab
a b a b a b a b
--±±±±++++或。反之，代入方程x 2 + y 2 = 1即知这样的点在单位圆周上。
2．求出不定方程2223,(,)1,0,0,0x y z x y x y z +==>>>的一切正整数解的公式。 解：设不定方程2223x y z +=,(,)1x y =有解则 (1)3/z-x 或3/z+x 因为2223()()y z x z x z x =-=-+
?3/()()3/z x z x z x -+?-或3/z+x
()()2
2
22
2
3333/3/z x z x
z x z x z x z x
y y
y x
z +-+=?
=?-=+?
+-或者得或
以下不妨设3/z x +
②(),1x z =， 设 2
2
2(x ,z )d ,
d /x ,d /z d /3,
y
x z =?=-则
2
2
2
,3/,9/,9/9/33/d y y x z ???若 ()3/,x y ?与(),1x y =矛盾!
这样()(
)
2
2
2
3,1/
//3d d d y
y
y d
=??而()//,1d x d x y d ??=
③(),12z x z x +-=或， (),/()()2t z x z x t z x z x x =+-?+--=设，
()/()()2/2.22t z x z x z t x z ++-=?= 即 12t t ==或
④若
(),1,,1,3z x z x z x z x +??
+-=-=
???
则 ()()()2
2
33
z x
z x z x z x y y
+=+-?
=
?-从而 由引理可设
2,3
z x a +=2
,z x y ab b -== 从而≡ ， 为证得,x z 为整数， (),1,x z = 必须有a ， b 均为奇数，且2
2
3a
b >
⑤若(),2,1,12262z x z x z x z x z x z x +-+-????
+-=?=?=
? ?????
()()2
2
3262y z x z x z x z x y
+-??
=+-?=?
???
从而 设
222222
,,,3,2,3622
z x z x y ab x y ab z a b a b a b +-====-==+即， 其中,a b 为一奇一偶，且有(),1
a b =
4．解不定方程：x 2 + 3y 2 = z 2，x > 0，y > 0，z > 0，(x , y ) = 1。
解：设(z - x , z + x ) = d ，易知d = 1或2。由(z - x )(z + x ) = 3y 2得z - x = 3da 2，z + x = db 2，y = dab 或z - x = db 2，z + x = 3da 2，y = dab ，a > 0，b > 0，(a , b )
= 1。(ⅰ) 当d = 1：2222
|3|322
b a b a x y ab z -+===，，，a > 0，b > 0，(a , b ) = 1，3|/b ，a , b 同为奇数； (ⅱ) 当d = 2：x = |b 2 - 3a 2|，y = 2ab ，z = b 2 + 3a 2，a > 0，b > 0，(a , b ) = 1，3|/
b ，a , b 一奇一偶。反之，易验证(ⅰ)或(ⅱ)是原
不定方程的解，且x > 0，y > 0，z > 0，(x , y ) = 1。 3．证明不等式方程()2
2
4
,,1,0,0,/x y x y z x y x z +
==>>的一切正整数解．
可以写成公式: 2
24(
),x ab a
b =-y =∣442
2
6a b a
b
+-∣，2
2
z a
b =
+
其中()0,0,,1,,a b a b a b >>=一单一双 证明:由定理1知道原方程的解是2
222
2,,,x cd y z c
d c d ==
-=+
()0,,1c d c d >>=， 且c ， d 为一奇一偶，
其中，()2
2
2,,0,,1c ab d a b a b a
b ==->>=， 且a ， b 为一奇一偶．
所以2
2
4(
),x ab a
b =-y =∣4
4
2
2
6a b a
b
+-∣，2
2
z a
b =
+是原方程的正整数解
()2
2
(0,0,0,,1,2/,x y z x y x a b >>>=+且是奇数，
原方程正整数的解有:
()000,，
，()2
0,a a ±±，
，()2
,0,a a ±±()2
2
4
4
2
2
2
2
4(),(6),()ab a b a b a b a b ±-±+-±+，(
)442
2
2222
(6),4(),(),
ab a b a
b
a b a b ±+-±-±+
6．求方程x 2 + y 2 = z 4的满足(x , y ) = 1，2∣x 的正整数解。
解：设x ，y ，z 是x 2 + y 2 = z 4的满足(x , y ) = 1，2∣x 的正整数解，则x = 2ab ，y = a 2 - b 2，z 2 = a 2 + b 2，a > b > 0，(a , b ) = 1，a , b 一奇一偶， 再由z 2 = a 2 + b 2得a = 2uv ，b = u 2 - v 2， z = u 2 + v 2 或 a = u 2 - v 2，b = 2uv ， z = u 2 + v 2， u > v > 0，(u , v ) = 1，u , v 一奇一偶，于是得x = 4uv (u 2 - v 2)，y = |u 4 + v 4 - 6u 2v 2|，z = u 2 + v 2，u > v > 0，(u , v ) = 1，u , v 一奇一偶。反之，易验证它是原不定方程的整数解，且x > 0，y > 0，z > 0，(x , y ) = 1，2∣x 。
其中正负号可任意选取． 第三章 同余
ξ1同余的概念及其基本性质
1、 证明（i ）若1
k
ααA ≡1k
α
αB (modm)
x i ≡y i (modm)、i=1，2，、、、，k 则
1
1
1
11,,1
1,,1,,
k k k k
k
k
k x
x y y ααααααααααα
α
A ≡
B ∑∑(modm)
特别地，若i i a b ≡（modm ），i=0，1，
,n 则
111010n n n n n n n n a x a x a b x b x b ----++≡++
+（modm ）
(ii)若a ≡b(modm)，k 0,(mod ),ak bk mk >≡
（iii ）若a ≡b(modm)，d 是a ，b 及m 的任一正公因数，则(mod ),a b m
b d d
≡ (iv)若a ≡b(modm)，,0.d m d > 则a ≡b(modd)． 证明 ：（i ）据性质戊，由(mod ),1,2,,.i i x y m i k ≡=
得(mod ),1,2,,,i i i i x y m i k αα≡=
进一步，则
1
1
1
1
11
(mod )k
k
k k k k x x B y y m α
ααααααααA ≡
最后据性质丁，可得：
1
1
1
11,,1
1,,1,,
k k k k
k
k
k x
x y y ααααααααααα
α
A ≡
B ∑∑（modm ）
(ii) 据定理1，a ≡b(modm),m a b ?-
0,()k mk k a b ka kb >∴-=-
又据定理1，即得(mod ).ka kb mk ≡
（iii ）据定理1， a ≡b(modm) ,m a b ?-即a-b=ms(s ∈z)
,,,0,a b m d a b m d s d d ->∴
=，即,a b m
s d d d -=? 仍据定理1，立得(mod ),a b m
b d d ≡
(iv) 据定理1， a ≡b(modm),(),a a ms s z ?-=∈
又
,,,d m m dt t z ∴=∈
故(),,a b ms d st st z -==∈
(mod ).a b d ∴≡
2、设正整数1101010,010n n n n i a a a a a --=++
≤<
试证11整除的充分且必要条件是11整除
1
(1).i
n
i
i a =-∑
证明 ：101(mod11),≡-∴由上题(i)的特殊情形立得
1101010n n n n a a a a --=++≡110(1)(1)(mod11)n n n n a a a ---+-+
(1)(mod11),n
i i i a a =≡-∑
1111
(1)i
n
i
i a a =∴?-∑．
3．找出整数能被37，101整除有判別条件来。 解：10001(mod37)≡
故正整数11010001000,01000k k k k i a a a a a --=++≤<
立得0
3737
.k
i i a a =?∑
1001(mod101).≡-
故设正整数110100100,0100's s s s i a b b b b --=++≤<，
立得0
101101
(1).s
i i
i a b =?-∑
4、证明641｜3221+ 证明：∵()82256mod641≡
运筹学A卷) 一、单项选择题(从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案,答案选错或未选者,该题不得分。每小题1分,共10分) 1.线性规划具有唯一最优解就是指 A.最优表中存在常数项为零 B.最优表中非基变量检验数全部非零 C.最优表中存在非基变量的检验数为零 D.可行解集合有界 2.设线性规划的约束条件为 则基本可行解为 A.(0, 0, 4, 3) B.(3, 4, 0, 0) C.(2, 0, 1, 0) D.(3, 0, 4, 0) 3.则 A.无可行解 B.有唯一最优解medn C.有多重最优解 D.有无界解 4.互为对偶的两个线性规划, 对任意可行解X 与Y,存在关系 A.Z > W B.Z = W C.Z≥W D.Z≤W 5.有6 个产地4个销地的平衡运输问题模型具有特征 A.有10个变量24个约束
B.有24个变量10个约束 C.有24个变量9个约束 D.有9个基变量10个非基变量 6、下例错误的说法就是 A.标准型的目标函数就是求最大值 B.标准型的目标函数就是求最小值 C.标准型的常数项非正 D.标准型的变量一定要非负 7、m+n－1个变量构成一组基变量的充要条件就是 A.m+n－1个变量恰好构成一个闭回路 B.m+n－1个变量不包含任何闭回路 C.m+n－1个变量中部分变量构成一个闭回路 D.m+n－1个变量对应的系数列向量线性相关 8.互为对偶的两个线性规划问题的解存在关系 A.原问题无可行解,对偶问题也无可行解 B.对偶问题有可行解,原问题可能无可行解 C.若最优解存在,则最优解相同 D.一个问题无可行解,则另一个问题具有无界解 9、有m个产地n个销地的平衡运输问题模型具有特征 A.有mn个变量m+n个约束…m+n-1个基变量 B.有m+n个变量mn个约束 C.有mn个变量m+n－1约束 D.有m+n－1个基变量,mn－m－n－1个非基变量 10.要求不超过第一目标值、恰好完成第二目标值,目标函数就是
一、填空题： 1、多元统计分析是运用数理统计方法来研究解决多指标问题的理论和方法. 2、回归参数显著性检验是检验解释变量对被解释变量的影响是否著. 3、聚类分析就是分析如何对样品（或变量）进行量化分类的问题。通常聚类分析分为 Q型聚类和 R型聚类。 4、相应分析的主要目的是寻求列联表行因素A 和列因素B 的基本分析特征和它们的最优联立表示。 5、因子分析把每个原始变量分解为两部分因素：一部分为公共因子，另一部分为特殊因子。 6、若 () (,), P x N αμα ∑=1,2,3….n且相互独立，则样本均值向量x服从的分布 为_x~N(μ，Σ/n)_。 二、简答 1、简述典型变量与典型相关系数的概念，并说明典型相关分析的基本思想。 在每组变量中找出变量的线性组合，使得两组的线性组合之间具有最大的相关系数。选取和最初挑选的这对线性组合不相关的线性组合，使其配对，并选取相关系数最大的一对，如此下去直到两组之间的相关性被提取完毕为止。被选出的线性组合配对称为典型变量，它们的相关系数称为典型相关系数。 2、简述相应分析的基本思想。 相应分析，是指对两个定性变量的多种水平进行分析。设有两组因素A和B，其中因素A包含r个水平，因素B包含c个水平。对这两组因素作随机抽样调查，得到一个rc的二维列联表，记为。要寻求列联表列因素A和行因素B的基本分析特征和最优列联表示。相应分析即是通过列联表的转换，使得因素A
和因素B 具有对等性，从而用相同的因子轴同时描述两个因素各个水平的情况。把两个因素的各个水平的状况同时反映到具有相同坐标轴的因子平面上，从而得到因素A 、B 的联系。 3、简述费希尔判别法的基本思想。 从k 个总体中抽取具有p 个指标的样品观测数据，借助方差分析的思想构造一个线性判别函数 系数： 确定的原则是使得总体之间区别最大，而使每个总体内部的离差最小。将新样品的p 个指标值代入线性判别函数式中求出 值，然后根据判别一定的规则，就可以判别新的样品属于哪个总体。 5、简述多元统计分析中协差阵检验的步骤 第一，提出待检验的假设 和H1； 第二，给出检验的统计量及其服从的分布； 第三，给定检验水平，查统计量的分布表，确定相应的临界值，从而得到否定域； 第四，根据样本观测值计算出统计量的值，看是否落入否定域中，以便对待判假设做出决策（拒绝或接受）。 协差阵的检验 检验0=ΣΣ 0p H =ΣI ： /2 /21exp 2np n e tr n λ???? =-?? ? ???? S S 00p H =≠ΣΣI ： /2 /2**1exp 2np n e tr n λ???? =-?? ? ???? S S
第二章 质点动力学习题解答 2-1 如题图2-1中(a)图所示,质量为m 的物体用平行于斜面的细线联结置于光滑的斜面上,若斜面向左方作加速运动,当物体刚脱离斜面时,它的加速度的大小为( D ) (A) g sin θ (B) g cos θ (C) g tan θ (D) g cot θ 2-2 用水平力F N 把一个物体压着靠在粗糙的竖直墙面上保持静止．当F N 逐渐增大时,物体所受的静摩擦力F f 的大小( A ) (A) 不为零,但保持不变 (B) 随F N 成正比地增大 (C) 开始随F N 增大,达到某一最大值后,就保持不变 (D) 无法确定 2-3 一段路面水平的公路,转弯处轨道半径为R ,汽车轮胎与路面间的摩擦因数为μ,要使汽车不至于发生侧向打滑,汽车在该处的行驶速率( C ) (A) 不得小于gR μ (B) 必须等于gR μ (C) 不得大于gR μ (D) 还应由汽车的质量m 决定 2-4 如习题2-4图所示，一物体沿固定圆弧形光滑轨道由静止下滑,在下 滑过程中，则( B ) (A) 它的加速度方向永远指向圆心,其速率保持不变 (B) 它受到的轨道的作用力的大小不断增加 (C) 它受到的合外力大小变化,方向永远指向圆心 (D) 它受到的合外力大小不变,其速率不断增加 2-5 习题2-5图所示，系统置于以a ＝1/4 g 的加速度上升的升降机 内,A 、B 两物体质量相同均为m ，A 所在的桌面是水平的,绳子和定滑轮质量均不计,若忽略滑轮轴上和桌面上的摩擦,并不计空气阻力，则绳中张力为( A ) (A) 5/8mg (B) 1/2mg (C) mg (D) 2mg 2-6 对质点组有以下几种说法： (1) 质点组总动量的改变与内力无关； 习题2-4图 A 习题2-5图 B
第十七章总需求—总供给模型 1. 总需求曲线的理论来源是什么为什么在IS—LM模型中，由P(价格)自由变动，即可得到总需求曲线 解答：(1)总需求是经济社会对产品和劳务的需求总量，这一需求总量通常以产出水平来表示。一个经济社会的总需求包括消费需求、投资需求、政府购买和国外需求。总需求量受多种因素的影响，其中价格水平是一个重要的因素。在宏观经济学中，为了说明价格水平对总需求量的影响，引入了总需求曲线的概念，即总需求量与价格水平之间关系的几何表示。在凯恩斯主义的总需求理论中，总需求曲线的理论来源主要由产品市场均衡理论和货币市场均衡理论来反映。 (2)在IS—LM模型中，一般价格水平被假定为一个常数(参数)。在价格水平固定不变且货币供给为已知的情况下，IS曲线和LM曲线的交点决定均衡的收入(产量)水平。现用图17—1来说明怎样根据IS—LM图形来推导总需求曲线。 图17—1分上下两个部分。上图为IS—LM图。下图表示价格水平和需求总量之间的关系，即总需求曲线。当价格P的数值为P1时，此时的LM曲线LM(P1)与IS曲线相交于E1点，E1点所表示的国民收入和利率分别为y1和r1。将P1和y1标在下图中便得到总需求曲线上的一点D1。 现在假设P由P1下降到P2。由于P的下降，LM曲线移动到LM(P2)的位置，它与IS曲线的交点为E2点。E2点所表示的国民收入和利率分别为y2和r2。对应于上图中的点E2，又可在下图中找到D2点。按照同样的程序，随着P的变化，LM曲线和IS曲线可以有许多交点，每一个交点都代表着一个特定的y和P。于是就有许多P与y的组合，从而构成了下图中一系列的点。把这些点连在一起所得到的曲线AD便是总需求曲线。 从以上关于总需求曲线的推导中可以看到，总需求曲线表示社会的需求总量和价格水平之间的反向关系。即总需求曲线是向右下方倾斜的。向右下方倾斜的总需求曲线表示，价格水平越高，需求总量越小；价格水平越低，需求总量越大。 图17—1 2.为什么进行宏观调控的财政政策和货币政策一般被称为需求管理的政策 解答：财政政策是指政府变动税收和支出，以便影响总需求，进而影响就业和国民收入的政策。货币政策是指货币当局即中央银行通过银行体系变动货币供应量来调节总需求的政策。无论财政政策还是货币政策，都是通过影响利率、消费和投资进而影响总需求，使就业和国民收入得到调节的。通过对总需求的调节来调控宏观经济，所以财政政策和货币政策被称为需求管理政策。 3.总供给曲线的理论来源是什么
二、计算题（60分） 1、已知线性规划（20分） MaxZ=3X1+4X2 X1+X2≤5 2X1+4X2≤12 3X1+2X2≤8 X1,X2≥0 其最优解为： 基变量X1X2X3X4X5 X33/2 0 0 1 -1/8 -1/4 X25/2 0 1 0 3/8 -1/4 X1 1 1 0 0 -1/4 1/2 σj 0 0 0 -3/4 -1/2 1）写出该线性规划的对偶问题。 2）若C2从4变成5，最优解是否会发生改变，为什么？ 3）若b2的量从12上升到15，最优解是否会发生变化，为什么？ 4）如果增加一种产品X6，其P6=(2,3,1)T，C6=4该产品是否应该投产？为什么？解： 1)对偶问题为 Minw=5y1+12y2+8y3 y1+2y2+3y3≥3 y1+4y2+2y3≥4 y1,y2≥0 2)当C2从4变成5时， σ4=-9/8 σ5=-1/4 由于非基变量的检验数仍然都是小于0的，所以最优解不变。 3）当若b2的量从12上升到15 X＝9/8 29/8 1/4 由于基变量的值仍然都是大于0的，所以最优解的基变量不会发生变化。 4）如果增加一种新的产品，则 P6’=(11/8,7/8，－1/4)T σ6=3/8>0 所以对最优解有影响,该种产品应该生产 2、已知运输问题的调运和运价表如下，求最优调运方案和最小总费用。（共15分）。 B1B2B3产量销地 产地 A1 5 9 2 15 A2 3 1 7 11 A3 6 2 8 20 销量18 12 16 解：初始解为
计算检验数 由于存在非基变量的检验数小于0，所以不是最优解，需调整 调整为： 重新计算检验数 所有的检验数都大于等于0，所以得到最优解 3、某公司要把4个有关能源工程项目承包给4个互不相关的外商投标者，规定每个承包商只能且必须承包一个项目，试在总费用最小的条件下确定各个项目的承包者，总费用为多少？各承包商对工程的报价如表2所示： （15分） 项目 投标者 A B C D 甲 15 18 21 24 乙 19 23 22 18 丙 26 17 16 19 丁 19 21 23 17 答最优解为： X= 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 总费用为50 4. 考虑如下线性规划问题（24分） B 1 B 2 B 3 产量/t A 1 15 15 A 2 11 11 A 3 18 1 1 20 销量/t 18 12 16 B 1 B 2 B 3 产量/t A 1 5 13 0 15 A 2 －2 0 0 11 A 3 0 0 20 销量/t 18 12 16 B 1 B 2 B 3 产量/t A 1 15 15 A 2 11 11 A 3 7 12 1 20 销量/t 18 12 16 B 1 B 2 B 3 产量/t A 1 5 13 0 15 A 2 0 2 2 11 A 3 0 0 0 20 销量/t 18 12 16
聚类分析和判别分析练习题 一、选择题 1.需要在聚类分析中保序的聚类分析是（ ）。 A.两步聚类 B.有序聚类 C.系统聚类 D.k-均值聚类 2.在系统聚类中2R 是（ ）。 A.组内离差平方和除以组间离差平方和 B.组间离差平方和除以组内离差平方和 C.组间离差平方和除以总离差平方和 D.组间均方除以总均方。 3.系统聚类的单调性是指（ ）。 A.每步并类的距离是单调增的 B.每步并类的距离是单调减的 C.聚类的类数越来越少 D.系统聚类2R 会越来越小 4.以下的系统聚类方法中，哪种系统聚类直接利用了组内的离差平方和。（ ） A.最长距离法 B.组间平均连接法 C.组内平均连接法 D.WARD 法 5.以下系统聚类方法中所用的相似性的度量，哪种最不稳健（ ）。 A.2 1()p ik jk k x x =-∑ B. 1p ik jk k ik jk x x x x =-+∑ C. 21p k =∑ D. 1()()i j i j -'x -x Σx -x 6. 以下系统聚类方法中所用的相似性的度量，哪种考虑了变量间的相关性（ ）。A.2 1()p ik jk k x x =-∑ B. 1 p ik jk k ik jk x x x x =-+∑ C. 21 p k =∑ D. 1()()i j i j -'x -x Σx -x 7.以下统计量，可以用来刻画分为几类的合理性统计量为（ ）？ A.可决系数或判定系数2R B. G G W P P -
C.()/(1) /() G G W P G P n G -- - D.() G W P W - 8.以下关于聚类分析的陈述，哪些是正确的（） A.进行聚类分析的统计数据有关于类的变量 B.进行聚类分析的变量应该进行标准化处理 C.不同的类间距离会产生不同的递推公式 D.递推公式有利于运算速度的提高。D(3)的信息需要D（2）提供。 9.判别分析和聚类分析所要求统计数据的不同是（） A.判别分析没有刻画类的变量，聚类分析有该变量 B.聚类分析没有刻画类的变量，判别分析有该变量 C.分析的变量在不同的样品上要有差异 D.要选择与研究目的有关的变量 10.距离判别法所用的距离是（） A.马氏距离 B. 欧氏距离 C.绝对值距离 D. 欧氏平方距离 11.在一些条件同时满足的场合，距离判别和贝叶斯判别等价，是以下哪些条件。 （） A.正态分布假定 B.等协方差矩阵假定 C.均值相等假定 D.先验概率相等假定 12.常用逐步判别分析选择不了的标准是（） A.Λ统计量越小变量的判别贡献更大 B.Λ统计量越大变量的判别贡献更大 C.判定系数越小变量的判别贡献更大 D.判定系数越大变量的判别贡献更大 二、填空题 1、聚类分析是建立一种分类方法，它将一批样本或变量按照它们在性质上的_______________进行科学的分类。 2．Q型聚类法是按_________进行聚类，R型聚类法是按_______进行聚类。 3．Q型聚类相似程度指标常见是、、，而R型聚类相似程度指标通常采用_____________ 、。 4．在聚类分析中需要对原始数据进行无量纲化处理，以消除不同量纲或数量级的影响，达到数据间
3）若问题中 x2 列的系数变为（3，2）T，问最优解是否有变化； 4）c2 由 1 变为 2，是否影响最优解，如有影响，将新的解求出。 Cj CB 0 0 Cj-Zj 0 4 Cj-Zj 3 4 Cj-Zj 最优解为 X1=1/3,X3=7/5,Z=33/5 2对偶问题为Minw=9y1+8y2 6y1+3y2≥3 3y1+4y2≥1 5y1+5y2≥4 y1,y2≥0 对偶问题最优解为 y1=1/5,y2=3/5 3 若问题中 x2 列的系数变为（3，2）T 则P2’=(1/3,1/5σ2=-4/5＜0 所以对最优解没有影响 4）c2 由 1 变为2 σ2=-1＜0 所以对最优解没有影响 7. 求如图所示的网络的最大流和最小截集(割集，每弧旁的数字是（cij , fij ）。（10 分） V1 (9,5 (4,4 V3 (6,3 T 3 XB X4 X5 b 9 8 X1 6 3 3 X4 X3 1 8/5 3 3/5 3/5 X1 X3 1/3 7/5 1 0 0 1 X2 3 4 1 -1 4/5 -11/5 -1/3 1 - 2 4 X 3 5 5 4 0 1 0 0 1 0 0 X4 1 0 0 1 0 0 1/3 -1/ 5 -1/5 0 X5 0 1 0 -1 1/5 -4/5 -1/3 2/5 -3/5 VS (3,1 (3,0 (4,1 Vt (5,3 V2 解： (5,4 (7,5 V4 V1 (9,7 (4,4 V3 (6,4 (3,2 Vs (5,4 (4,0 Vt (7,7 6/9 V2 最大流＝11 (5,5 V4 8. 某厂Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品分别经过 A、B、C 三种设备加工。已知生产单位各种产品所需的设备台时，设备的现有加工能力及每件产品的预期利润见表：ⅠⅡⅢ设备能力(台.h A 1 1 1 100 B 10 4 5 600 C 2 2 6 300 单
第五章 聚类分析 判别分析和聚类分析有何区别 答：即根据一定的判别准则，判定一个样本归属于哪一类。具体而言，设有n 个样本，对每个样本测得p 项指标（变量）的数据，已知每个样本属于k 个类别（或总体）中的某一类，通过找出一个最优的划分，使得不同类别的样本尽可能地区别开，并判别该样本属于哪个总体。聚类分析是分析如何对样品（或变量）进行量化分类的问题。在聚类之前，我们并不知道总体，而是通过一次次的聚类，使相近的样品（或变量）聚合形成总体。通俗来讲，判别分析是在已知有多少类及是什么类的情况下进行分类，而聚类分析是在不知道类的情况下进行分类。 试述系统聚类的基本思想。 答：系统聚类的基本思想是：距离相近的样品（或变量）先聚成类，距离相远的后聚成类，过程一直进行下去，每个样品（或变量）总能聚到合适的类中。 对样品和变量进行聚类分析时， 所构造的统计量分别是什么简要说明为什么这样构造 答：对样品进行聚类分析时，用距离来测定样品之间的相似程度。因为我们把n 个样本看作p 维空间的n 个点。点之间的距离即可代表样品间的相似度。常用的距离为 （一）闵可夫斯基距离：1/1 ()() p q q ij ik jk k d q X X ==-∑ q 取不同值，分为 （1）绝对距离（1q =） 1 (1)p ij ik jk k d X X ==-∑ （2）欧氏距离（2q =） 21/2 1 (2)() p ij ik jk k d X X ==-∑ （3）切比雪夫距离（q =∞） 1()max ij ik jk k p d X X ≤≤∞=- （二）马氏距离 （三）兰氏距离 对变量的相似性，我们更多地要了解变量的变化趋势或变化方向，因此用相关性进行衡量。 将变量看作p 维空间的向量，一般用 2 1()()()ij i j i j d M -'=--X X ΣX X 11()p ik jk ij k ik jk X X d L p X X =-=+∑
习 题 解 答 11-1 在双缝干涉实验中，若单色光源S 到两缝21S S 、距离相等，则观察屏上中央明纹位于图中O 处。现将光源S 向下移动到示意图中的S '位置，则（ ） （A ）中央明条纹也向下移动，且条纹间距不变 （B ）中央明条纹向上移动，且条纹间距不变 （C ）中央明条纹向下移动，且条纹间距增大 （D ）中央明条纹向上移动，且条纹间距增大 解 由S 发出的光到达21S S 、的光成相等，它们传到屏上中央O 处，光程差 0=?，形成明纹，当光源由S 向下移动S '时，由S '到达21S S 、的两束光产生了 光程差，为了保持原中央明纹处的光程差为0，它将上移到图中O '处，使得由S '沿21S S 、传到O '处的两束光的光程差仍为0.而屏上各级明纹位置只是向上平移，因此条纹间距不变。故选B 11-2 单色平行光垂直照射在薄膜上，经上下两表面反射的两束光发生干涉，如附图所示，若薄膜厚度为e ， 且n 1＜n 2，n 3＜n 2， λ1为入射光在n 1中的波长，则两束反射光的光程为（ ） （A ）e n 22 （B ）1 1222n e n λ- （C ）2 2112λn e n - （D ）2 2122λn e n - 习题11-2图 解 由于n 1〈n 2，n 3〈n 2，因此光在表面上的反射光有半波损失，下表面的反射光没有半波损失，所以他们的光程差2 22λ-=?e n ，这里λ是光在真空中的波 3 n S S ’ O O ’
长，与1λ的关系是11λλn =。 故选C 11-3 如图所示，两平面玻璃板构成一空气劈尖，一平面单色光垂直入射到劈尖上，当A 板与B 板的夹角θ增大时，干涉图样将发生（ ）变化 （A ）干涉条纹间距增大，并向O 方向移动 （B ）干涉条纹间距减小，并向B 方向移动 （C ）干涉条纹间距减小，并向O 方向移动 （D ）干涉条纹间距增大，并向B 方向移动 解 空气劈尖干涉条纹间距θ λ sin 2n l = ?，劈尖干涉又称为等厚干涉，即k 相同的同一级条纹，无论是明纹还是暗纹，都出现在厚度相同的地方. 当A 板与B 板的夹角θ增大时，△ｌ变小. 和原厚度相同的地方向顶角方向移动，所以干涉条纹向O 方向移动。 故选C 11-4 如图所示的三种透明材料构成的牛顿环装置中，用单色光垂直照射，在反射光中看到干涉条纹，则在接触点P 处形成的圆斑为（ ） （A ）全明 （B ）全暗 （C ）右半部明，左半部暗 （D ）右半部暗，左半部明 习题11-4图 解 牛顿环的明暗纹条件（光线垂直入射0=i ） ??? ??? ? ???=? ??=+=?) (,2,1,0,,2,1,0,2)12(明纹（暗纹）k k k k λλ 在接触点P 处的厚度为零，光经劈尖空气层的上下表面反射后的光程差主要由此处是否有半波损失决定. 当光从光疏介质（折射率较小的介质）射向光密的介质（折射率较大的介质）时，反射光有半波损失. 结合本题的条件可知右半部有一次半波损失，所以光程差是2 λ ，右半部暗，左半部有二次半波损失，光程差是零，左半部明。 故选D .162 .A θ B O 习题11-3图
第17章 光的衍射答案 17-2. 衍射的本质是什么？衍射和干涉有什么联系和区别？ 答：光波的衍射现象是光波在传播过程中经过障碍物边缘或孔隙时发生的展衍现象，其实质是由被障碍物或孔隙的边缘限制的波振面上各点发出的子波相互叠加而产生。而干涉则是由同频率、同方向、相位差恒定的两束光波的叠加而成。 17-7. 光栅衍射和单缝衍射有何区别？为何光栅衍射的明条纹特别明亮而暗区很宽？ 答：光栅衍射是多光束干涉和单缝衍射的总效果。其明条纹主要取决于多光束干涉，光强与狭缝数成正比，所以明纹很亮；又因为相邻明条纹间有个暗条纹，而且一般较宽，所以实际上在两条明条纹之间形成一片黑暗背景。 17-8. 试指出当衍射光栅常数为下述三种情况时，哪些级次的衍射明条纹缺级？（1）a+b=2a; （2）a+b=3a; （3）a+b=4a. 答：当（1）a+b=2a 时，±2，±4，±6…2k…(k=±1,±2,…)级缺级; 当（2）a+b=3a 时，±3，±6，±9…3k…(k=±1,±2,…)级缺级; 当（3）a+b=4a 时，±4，±8，±12…4k…(k=±1,±2,…)级缺级。 17-9. 一单色平行光垂直照射一单缝，若其第三级明条纹位置正好与600nm 的单色平行光的第二级明条纹位置相重合，求前一种单色光的波长。 解：单缝衍射的公式为： 2)12(sin λ θ+=k a 当nm 600=λ时，k=2， ' λλ=时，k=3， 当其第三级明条纹位置正好与600nm 的单色平行光的第二级明条纹位置相重合时，θ相同，所以有： 2 )132(2600)122(sin ' λθ+?=+?=a 由上式可以解得 nm 6.428'=λ 17-10. 单缝宽0.10mm ，透镜焦距为50cm ，用5000=λ埃的绿光垂直照射单缝，求：（1）位于透镜焦平面处的屏幕上中央明条纹的宽度和半角宽度各为多少？ （2）若把此装置浸入水中（），中央明条纹的半角宽度又为多少？ 解：中央明纹的宽度为f na x λ 2=?，半角宽度为na λ θ1sin -= （1）在空气中，1=n ，所以有 3310100.55.01010.010500022---?=????==?f na x λ m 3310 1 1100.51010.0105000sin sin -----?=??==na λθrad
第十章战略性计划 一、教学要点 1、战略性计划的主要步骤。 2、远景和使命陈述的主要内容。 3、环境研究的内容与目的。 4、外部一般环境的主要内容。 5、波特的五种力量模型的基本内容。 6、影响行业进入障碍的主要因素。 7、影响买方讨价还价能力的主要因素。 8、影响供应商讨价还价能力的主要因素。 9、影响行业内移动障碍的主要因素。 10、竞争对手分析的基本框架。 11、波特价值链分析的基本内容。 12、企业顾客研究的主要内容。 13、典型的消费品市场细分变量。 14、典型的工业品市场细分变量。 15、如何选择目标市场 16、广告定位的基本策略。 17、各种类型战略的概念，及其选择的基本原则。 18、核心能力的概念及其基本特征。 19、关键名词：战略性计划、远景陈述、使命陈述、核心价值观、核心目标、BHAGs、天、地、彼、己、顾客、一般环境、行业环境、竞争对手、目标市场、PEST模型、五力模型、行业现有竞争对手、入侵者、供应商、买方、替代品、进入障碍、规模经济、产品差别化、转移成本、在位优势、战略群、移动障碍、价值链、基本活动、辅助活动、内部后勤、生产作业、外部后勤、市场营销和销售、服务、企业基础设施、人力资源管理、技术开发、采购、市场细分、目标市场、产品定位、广告定位、总成本领先战略、特色优势战略、目标集聚战略、前向一体化、后向一体化、横向一体化、同心多元化、横向多元化、混合多元化、市场渗透、市场开发、产品开发、战略联盟、虚拟运作、出售核心产品、收缩战略、剥离战略、清算战略、核心能力 二、习题 (一)填充题 1、战略性计划的首要内容是_________和_________。 2、远景和使命陈述包括_________和_________两个主要部分。 3、核心意识形态由_________和_________两部分构成。 4、市场细分一般包括_________、_________和_________三个阶段。 5、_________是组织持久和本质的原则。 6、韦尔奇提出，公司的第一步，也是最重要的一步，是用概括性的，明确的语言确定_________。 7、企业竞争的最终目的是_________。 8、行业环境研究主要包括行业竞争结构研究和行业内_________研究。 9、波特认为，行业的竞争状况以及最终利润状况取决于五种力量共同作用的结构，这五种力量是_________、_________、_________、_________和_________。 10、企业顾客研究的主要内容是_________，_________，_________和_________。 11、根据帕拉哈拉得和哈梅尔的理论，一项能力能否成为企业的核心能力必须通过_________、_________和_________三项检验。 12、根据价值链分析法，每个企业都是用来进行_________、_________、_________、_________以及对产品起辅助作用的各种价值活动的集合。 13、根据价值链分析法，企业的各种价值活动分为_________和_________两类。
第十七章索赔 一、思考题 1．简述在国际货物买卖中争议产生的原因。 答：国际货物买卖中，争议的产生往往是因买卖双方的各自的权利、义务问题而引起的，甚至导致发生仲裁、诉讼等情况。买卖双方发生争议的原因有很多，主要可归结为以下三种情况： （1）卖方不履行或不完全履行合同规定的义务。例如，不交付货物或虽然交货但所交货物的品质、数量、包装等不符合合同规定。 （2）买方不履行或不完全履行合同规定的义务。例如，不能按照合同规定派船接货、指定承运人、支付货款或开出信用证，无理拒收货物等。 （3）合同中所订条款欠明确。例如，“立即装运”、“即期装运”，在国际贸易中无统一解释，买卖双方对此理解不一致或从本身的利益出发各执一词。 2．各国法律对于违约行为的区分方法有哪些区别？对于不同违约行为的违约责任又是如何规定的？ 答：（1）我国《合同法》的相关规定 我国《合同法》第8条规定：“依法成立的合同，对当事人具有法律约束力。当事人应当按照约定履行自己的义务，不得擅自变更或者解除合同。”第107条规定：“当事人一方不履行合同义务或者履行合同义务不符合约定的，应当承担继续履行、采取补救措施或者赔偿损失等违约责任。” 我国《合同法》规定：当事人一方迟延履行合同义务或者有其他违约行为致使不能实现合同目的，对方当事人可以解除合同；当事人一方迟延履行主要债务，经催告后在合同期间内仍未履行的，对方当事人可以解除合同。《合同法》又规定，合同解除后，尚未履行的，终止履行；已经履行的，根据履行情况和合同性质，当事人可以要求恢复原状、采取其他补救措施，并有权要求赔偿损失。 （2）英国法律的相关规定 英国的法律规定，当事人一方“违反要件”，受损害一方除可要求损害赔偿外，还有权解除合同；当事人一方“违反担保”或“违反随附条件”，受损害一方有权请求违约的一方给予损害赔偿，但不能解除合同；当事人一方“违反中间性条款或无名条款”，违约方应承担的责任须视违约的性质及其后果是否严重而定。 （3）美国法律的相关规定 美国法律规定，一方当事人违约，以致使另一方无法取得该交易的主要利益，则是“重大违约”。在此情况下，受损害的一方有权解除合同，并要求损害赔偿。如果一方违约，情况较为轻微，并未影响对方在该交易中取得的主要利益，则为“轻微违约”，受损害的一方只能要求损害赔偿，而无权解除合同。 （4）《联合国国际货物销售合同公约》的相关规定 按《联合国国际货物销售合同公约》规定，一方当事人违反合同的结果，如使另一方当事人蒙受损害，以至于实际上剥夺了他根据合同规定有权期待得到的东西，即为根本违反合同。若一方违反合同构成根本违反合同时，受损害的一方就可以宣告合同无效，同时有权向违约方提出损害赔偿的要求。如违约的情况尚未达到根本违反合同的程度，则受损害方只能要求损害赔偿而不能宣告合同无效。 3．何谓索赔期限？为什么在国际货物买卖合同的索赔条款中通常应规定索赔期限？ 答：（1）索赔期限的含义
(一)线性规划建模与求解 B.样题：活力公司准备在5小时内生产甲、乙两种产品。甲、乙两种产品每生产1 单位分别消耗2小时、1小时。又根据市场需求信息，乙产品的产量应该至少是甲产品产量的3倍。已知甲、乙两种产品每销售1单位的利润分别为3百元和1百元。请问：在5小时内，甲、乙两种产品各生产多少单位，才能够使得总销售利润最大 要求：1、建立该问题的线性规划模型。 2、用图解法求出最优解和最大销售利润值，并写出解的判断依据。如果不存在最优解，也请说明理由。 解：1、(1)设定决策变量： 设甲、乙两种产品分别生产x 1 、x 2 单位 。 (2)目标函数： max z=2 x 1+x 2 (3)约束条件如下：1221 12 25..3,0+≤??≥??≥?x x s t x x x x 2、该问题中约束条件、目标函数、可行域和顶点见图1所示，其中可行域用阴影部分标记，不等式约束条件及变量约束要标出成立的方向，目标函数只须画出其中一条等值线， 结论：本题解的情形是： 无穷多最优解 ，理由： 目标函数等值线 z=2 x 1+x 2与约 束条件2 x 1+x 2≤5的边界平行 。甲、乙两种产品的最优产量分别为 (5,0)或(1,3)单位；最大销售利润值等于 5 百元。 （二）图论问题的建模与求解样题 A.正考样题（最短路问题的建模与求解，清华运筹学教材编写组第三版267-268页例 13）某企业使用一台设备，每年年初，企业都要做出决定，如果继续使用旧的，要付维修费；若购买一台新设备，要付购买费。但是变卖旧设备可以获得残值收入，连续使用1年、2年、3年、4年以上卖掉的设备残值分别为8万元、6万元、3万元和0万元。试制定一个5年的更新计划，使总支出最少。已知设备在各年的购买费与维修费如表2所示。要求：（1）建立某种图论模型；（2）求出最少总支出金额。
5.2酿酒葡萄的等级划分 5.2.1葡萄酒的质量分类 由问题1中我们得知，第二组评酒员的的评价结果更为可信，所以我们通过第二组评酒员对于酒的评分做出处理。我们通过excel计算出每位评酒员对每支酒的总分，然后计算出每支酒的10个分数的平均值，作为总的对于这支酒的等级评价。 通过国际酿酒工会对于葡萄酒的分级，以百分制标准评级，总共评出了六个级别（见表5）。 在问题2的计算中，我们求出了各支酒的分数，考虑到所有分数在区间[61.6，81.5]波动，以原等级表分级，结果将会很模糊，不能分得比较清晰。为此我们需要进一步细化等级。为此我们重新细化出5个等级，为了方便计算，我们还对等级进行降序数字等级（见表6）。 通过对数据的预处理，我们得到了一个新的关于葡萄酒的分级表格（见表7）：
考虑到葡萄酒的质量与酿酒葡萄间有比较之间的关系，我们将保留葡萄酒质量对于酿酒葡萄的影响，先单纯从酿酒葡萄的理化指标对酿酒葡萄进行分类，然后在通过葡萄酒质量对酿酒葡萄质量的优劣进一步进行划分。 5.2.2建立模型 在通过酿酒葡萄的理化指标对酿酒葡萄分类的过程，我们用到了聚类分析方法中的ward 最小方差法，又叫做离差平方和法。 聚类分析是研究分类问题的一种多元统计方法。所谓类，通俗地说，就是指相似元素的集合。为了将样品进行分类，就需要研究样品之间关系。这里的最小方差法的基本思想就是将一个样品看作P 维空间的一个点，并在空间的定义距离，距离较近的点归为一类；距离较远的点归为不同的类。面对现在的问题，我们不知道元素的分类，连要分成几类都不知道。现在我们将用SAS 系统里面的stepdisc 和cluster 过程完成判别分析和聚类分析，最终确定元素对象的分类问题。 建立数据阵，具体数学表示为： 1111...............m n nm X X X X X ????=?????? （5.2.1） 式中，行向量1(,...,)i i im X x x =表示第i 个样品； 列向量1(,...,)'j j nj X x x =’，表示第j 项指标。(i=1,2,…,n;j=1,2,…m) 接下来我们将要对数据进行变化，以便于我们比较和消除纲量。在此我们用了使用最广范的方法，ward 最小方差法。其中用到了类间距离来进行比较，定义为： 2||||/(1/1/)kl k l k l D X X n n =-+ （5.2.2） Ward 方法并类时总是使得并类导致的类内离差平方和增量最小。 系统聚类数的确定。在聚类分析中，系统聚类最终得到的一个聚类树，如何确定类的个数，这是一个十分困难但又必须解决的问题；因为分类本身就没有一定标准，人们可以从不同的角度给出不同的分类。在实际应用中常使用下面几种
第四章 流体力学基础习题解答 4-1 关于压强的下列说确的是（ ）。 A 、压强是矢量； B 、容器液体作用在容器底部的压力等于流体的重力； C 、静止流体高度差为h 的两点间的压强差为gh P o ρ+； D 、在地球表面一个盛有流体的容器以加速度a 竖直向上运动，则流体深度为h 处的压强为0)(P a g h P ++=ρ。 解：Ｄ 4-2 海水的密度为33m /kg 1003.1?=ρ，海平面以下100m 处的压强为（ ）。 A 、Pa 1011.16?； B 、Pa 1011.15? C 、Pa 1001.16?； D 、Pa 1001.15?。 解：Ａ 4-3 两个半径不同的肥皂泡，用一细导管连通后，肥皂泡将会（ ）。 A 、两个肥皂泡最终一样大； B 、大泡变大，小泡变小 C 、大泡变小，小泡变大； D 、不能判断。 解：Ｂ ４-4 两个完全相同的毛细管，插在两个不同的液体中，两个毛细管（ ）。 A 、两管液体上升高度相同； B 、两管液体上升高度不同； C 、一个上升，一个下降； Ｄ、不能判断。 解：Ｂ 4-5 一半径为r 的毛细管，插入密度为ρ的液体中，设毛细管壁与液体接触角为θ，则液体在毛细管中上升高度为h= ( ) 。（设液体的表面力系数为α） 解:gr h ρθα=cos 2 4-6 如图所示的液面。液面下A 点处压强是（ ） 。设弯曲液面是球面的一部分，液面曲率半径为Ｒ，大气压强是0P ，表面力系数是α。 解:R P P α+ =20 4-7 当接触角2πθ< 时，液体（ ）固体，0=θ时，液体（ ）固体；当2π θ>时，液体（ ）固体，πθ=，液体（ ）固体。 解：润湿，完全润湿，不润湿，完全不润湿。
第十七章第一节《电流与电压和电阻的关系》 在探究电阻一定时电流与电压关系的实验中，小明得到的实验数据如下表所示。 （1）为分析电流与电压的定量关系，请你在图17.1-2 的方格中建立有关坐标轴并制定其标度，把表中的数据 在坐标系中描点。 （2）小英说，从图中可以看出，这些数据中有一组是 明显错误的，跟其他数据的规律完全不同，可能是读取 这组数据时粗心所引起的，分析时需要把它剔除掉。这 是哪组数据？ 2. 在电阻一定时探究电流与电压关系的实验中，小凯把 定值电阻、电流表、电压表、滑动变阻器、开关和电源 连接成了图17.1-3 所示的电路，正准备闭合开关时，旁 边的小兰急忙拦住他，说接线错了。 请你检查一下电路，错在哪里？小兰发现只要改接一根导线就可以，请把接错的那一根导线找出来，打上“×”，再画线把它改到正确的位置上。 第一节《电流与电压和电阻的关系》课后习题答案 1.（1）图略 (2)“1.2V 0.40A”这组数据跟其他数据的规律完全不同，需要剔除。 2.如图所示 ×
第十七章第二节《欧姆定律》 1. 一个电熨斗的电阻是80 Ω，接在220 V 的电压上，流过它的电流是多少？ 2. 一个定值电阻的阻值是10 Ω，使用时流过的电流是200 mA ，加在这个定值电 阻两端的电压是多大？ 3. 某小灯泡工作时两端的电压是2.5 V ，用电流表测得此时的电流是300 mA ，此 灯泡工作时的电阻是多少？ 4. 某同学认为：“由I = U/R 变形可得R = U/I 。这就表明，导体的电阻R 跟它两端的电压成正比，跟电流成反比。”这种说法对吗？为什么？ 第二节《欧姆定律》课后习题答案 1. 2.75A 2. 2V 3. 8.3Ω 解析：1.根据公式I=R U 2.根据公式U=IR 3.根据公式R = U/I 4.这种说法不对，因为导体的电阻是导体本身的一种性质，它只与导体的材料、长度、横截面积有关，还受温度影响，而与导体两端的电压及通过导体的电流大小无关，公式R = U/I 只是一个电阻的计算式，通过此公式可以求出导体的电阻，但不能决定导体电阻的大小，当导体不接入电路时，其阻值不会改变。 第十七章第三节《电阻的测量》 1. 一个小灯泡上标着“ 2.2 V 0.25 A ”，表明这个小灯泡工作时的电 阻是8.8 Ω。图17.3-2 是一位同学为检 验小灯泡的标称电阻是否准确而连接的 实验线路。他的连接有三个错误。请你 指出这三个错误分别错在哪里。应怎样 改成正确的连接？ 2. 已知流过一只电阻为242 Ω 的灯泡的电流是0.91 A 。如果在灯泡两端再并联一个电阻为165 Ω 的电烙铁，并联电路的总电流变为多大？ 3. 图17.3-3 是用伏安法测量某未知电阻的电路图。 （1）根据电路图将图17.3-4 所示的实物图连接起来； （2）读出图17.3-5 所示电流表和电压表的示数； （3）算出被测电阻本次的测量值。
运筹学例题及解答 一、市场对I、II两种产品的需求量为：产品I在1-4月每月需10000件，5-9月每月需30000件,10-12月每月需100000件；产品II在3-9月每月需15000件，其它月份每月需50000件。某厂生产这两种产品成本为：产品I在1-5月内生产每件5元，6-12月内生产每件4.50元；产品II在1-5月内生产每件8元，6-12月内生产每件7元。该厂每月生产两种产品能力总和应不超过120000件。产品I容积每件0.2立方米，产品II容积每件0.4立方米，而该厂仓库容积为15000立方米，要求：(a)说明上述问题无可行解；(b)若该厂仓库不足时，可从外厂借。若占用本厂每月每平方米库容需1元，而租用外厂仓库时上述费用增加为1.5元，试问在满足市场需求情况下，该厂应如何安排生产，使总的生产加库存费用为最少。 解：(a) 10-12月份需求总计：100000X3+50000X3=450000件，这三个月最多生产120000X3=360000件，所以10月初需要（450000-360000=90000件）的库存，超过该厂最大库存容量，所以无解。 ? ?（b）考虑到生产成本，库存费用和生产费用和生产能力，该厂10-12月份需求的不足只需在7-9月份生产出来库存就行， 则设xi第i个月生产的产品1的数量，yi第i个月生产的产品2 的数量，zi，wi分别为第i个月末1，2的库存数s1i，s2i分别
为用于第i+1个月库存的原有及租借的仓库容量m3，可建立模型： Lingo 程序为 MODEL: sets: row/1..16/:; !这里n 为控制参数; col/1..7/:; AZ(row,col):b,x; endsets 1211 127777778 7887898998910910109101110111110111211min (4.57)( 1.5) 30000150003000015000300001500030000150003000015000.i i i i i i z x y s s x z y w x z z y w w x z z y w w x z z y w w x z z y w w st x z ===+++-=→-=+-=→+-=+-=→+-=+-=→+-=+-=→+-=+∑∑1211121100005000 120000(712)0.20.415000(712)0i i i i i i i y w x z i z w s s s i ?????????=→+=??+≤≤≤?+=+??≤≤≤???变量都大于等于
第五章 聚类分析 5.1 判别分析和聚类分析有何区别？ 答：即根据一定的判别准则，判定一个样本归属于哪一类。具体而言，设有n 个样本，对每个样本测得p 项指标（变量）的数据，已知每个样本属于k 个类别（或总体）中的某一类，通过找出一个最优的划分，使得不同类别的样本尽可能地区别开，并判别该样本属于哪个总体。聚类分析是分析如何对样品（或变量）进行量化分类的问题。在聚类之前，我们并不知道总体，而是通过一次次的聚类，使相近的样品（或变量）聚合形成总体。通俗来讲，判别分析是在已知有多少类及是什么类的情况下进行分类，而聚类分析是在不知道类的情况下进行分类。 5.2 试述系统聚类的基本思想。 答：系统聚类的基本思想是：距离相近的样品（或变量）先聚成类，距离相远的后聚成类，过程一直进行下去，每个样品（或变量）总能聚到合适的类中。 5.3 对样品和变量进行聚类分析时， 所构造的统计量分别是什么？简要说明为什么这样构造？ 答：对样品进行聚类分析时，用距离来测定样品之间的相似程度。因为我们把n 个样本看作p 维空间的n 个点。点之间的距离即可代表样品间的相似度。常用的距离为 （一）闵可夫斯基距离：1/1()()p q q ij ik jk k d q X X ==-∑ q 取不同值，分为 （1）绝对距离（1q =） 1 (1)p ij ik jk k d X X ==-∑ （2）欧氏距离（2q =）
21/2 1 (2)() p ij ik jk k d X X ==-∑ （3）切比雪夫距离（q =∞） 1()max ij ik jk k p d X X ≤≤∞=- （二）马氏距离 （三）兰氏距离 对变量的相似性，我们更多地要了解变量的变化趋势或变化方向，因此用相关性进行衡量。 将变量看作p 维空间的向量，一般用 （一）夹角余弦 （二）相关系数 5.4 在进行系统聚类时，不同类间距离计算方法有何区别？选择距离公式应遵循哪些原则？ 答： 设d ij 表示样品X i 与X j 之间距离，用D ij 表示类G i 与G j 之间的距离。 （1）. 最短距离法 21()()()ij i j i j d M -'=--X X ΣX X 11()p ik jk ij k ik jk X X d L p X X =-=+∑ cos p ik jk ij X X θ= ∑ ()() p ik i jk j ij X X X X r --= ∑ ij G X G X ij d D j j i i ∈∈= ,min