浅析判别式在解题中的应用

毕业论文

题目浅析判别式在解题中的应用学院数学科学学院

专业数学与应用数学

班级数学1102

学生张义

学号20110921216

指导教师蒋琴会

二〇一五年五月二十五日

摘要

判别式法是一种技巧层次的解题方法，是把题设中的条件转化为一个方程，或者能通过条件构造出合适的函数，最终运用判别式来求解的思想方法. 本文讨论了一元二次方程的判别式在一元二次方程根的情况、含参数的一元二次方程、二次函数、二次曲线及证明不等式等方面的应用；研究了三角函数判别法在代数、方程、函数以及在解析几何中的应用；介绍了一元三次方程判别式的一些应用. 利用判别式可以将问题简单化，在方程、函数等有着广泛的应用. 通过应用判别式的思想把方程、函数、不等式联系起来，其核心是能否构造出合适的方程或函数. 本文主要的研究方法是通过举例子来阐述，从而归纳总结出判别式的解题思路和一般步骤.

关键词：判别式；方程；函数；应用

ABSTRACT

Discriminant is a skillful level of problem-solving approach, is to set the conditions in question transformed into an equation, or can be constructed condition suitable function, eventually using discriminant to solve the problem. We discuss a quadratic discriminant of a quadratic equation root in the case, the application contains the parameters of a quadratic equation, quadratic function, quadratic and prove inequality etc. I study the trigonometric discrimination law in algebra, equations, functions, and applications in analytic geometry, which introduced some applications of a cubic equation discriminant. These can simplify complex issues with discriminant equation, where the function was widely used in. By applying the idea of the discriminant equations, functions, inequalities linked to its core is the ability to construct a suitable equation or function. The main method we use is to illustrate some examples to the points, which summarize the discriminant problem-solving ideas and general procedures.

Key words：Discriminant；Equation；Function；Application

目录

摘要....................................................................................................... I ABSTRACT...........................................................................................II 1前言.. (1)

1.1研究背景 (1)

1.2研究的意义和目的 (1)

1.3 主要的研究方法 (1)

2 一元二次方程的判别式 (2)

2.1 一元二次方程判别式定理 (2)

2.2 一元二次方程判别式的应用 (2)

2.2.1 在一元二次方程中的应用 (2)

2.2.2 在二次函数中的应用 (3)

2.2.3 在求极值中的应用 (5)

2.2.4 在二次曲线中的应用 (7)

2.2.5 在二次不等式的应用 (8)

3 一元三次方程的判别式 (13)

3.1 一元三次方程判别式定理 (13)

3.2 一元三次方程判别式的应用 (18)

4 三角判别式 (20)

4.1 三角判别式定理 (20)

4.2 三角判别式的应用 (20)

4.2.1三角判别式在代数中的应用 (20)

4.2.2三角判别式在方程中的应用 (21)

4.2.3三角判别式在函数中的应用 (21)

4.2.4三角判别式在解析几何中的应用 (21)

结论 (23)

参考文献 (24)

致谢 (25)

1 前言

1.1 研究背景

一元二次方程的求根公式是中国最早发现的,在古代,我国数学家赵爽对古代著名的《周髀算经》注释时,写到“其信弦为广、袤合、令勾、股见者自乘为其实.”董国玉，卢静解释这句话的意思是“阐述了二次方程的求解过程”，可见参考文献[1]. 注释时赵爽研究方程时用到的求根公式和现在基本类似. 在古埃及的草纸文书中涉及了关于二次方程的简单解法，所以判别式很自然广泛的应用在解一元二次方程中.

对于一元二次方程02=++c bx ax )0(≠a 根的判别式在中学数学用途广泛，判别式可直接判断出方程根的情况，若我们知道了方程根的情况,就可以得到系数之间的关系. 当涉及到系数与根之间的问题，或者可以转换成系数与根的问题，我们都可以使用判别式的方法来思考，把这种利用判别式来解数学中的问题的方法叫做“判别式法”.

1.2 研究的意义和目的

判别式是数学解题中的一种常用方法，判别式一般用于判断一个方程根的情况，

而且可以根据方程的根，从而确定方程中一些参数的取值范围和联系，可以通过方程作为桥梁，来解决有关一些函数的问题或解决不等式一些问题，进而有效的把方程、函数、不等式联系起来，从而把复杂困难的问题变的有规律可寻，提高了对问题的理解题能力, 以及对于具体问题的分析能力.

1.3 主要的研究的方法

（1）例题讲解法：通过例题更好的揭示判别式的规律，根据题目中的条件或结论的不同可以从多个方向，多层次的去思考问题，从而更好地理解判别式的规律.

（2）构造函数法：杨辉, 马菊意在文[2]中研究了判别式时介绍了通过对命题的条件、结论特点分析，能够合理构想、组合，以条件重新组合来构造函数，在应用函数解释条件与结论的联系，最终得到所需的结果.

2 一元二次方程判别式的应用

2.1 一元二次方程判别式定理

一元二次方程判别式定理:

在实数范围内,一元二次方程02=++c bx ax ）（0≠a 判别式记为

，

ac b 42-=? (1) 当0>?时,方程有2个不相等实数根； (2) 当0=?时,方程有2个相等实数根； (3) 当0

注：当0

2.2 一元二次方程判别式的应用

2.2.1 在一元二次方程中的应用

温双琴在研究一元二次方程根的情况时, 介绍了有关一元二次方程问题或转化为一个一元二次方程的问题, 应用判别式可以解答所需的问题,可见参考文献[4].

(1) 判断根的情况.

例1 不解方程，判断下列一元二次方程有无实数根. (1) 010342=+-x x . (2) .04252=++x x 解 (1) 因为

，

10,34,1=-==c b a ，

）（0810143442

2>=??--=-=?ac b 所以方程有个不相等的实数根. (2) 因为

，4,2,5===c b a

，

0784542422<-=??-=-=?ac b 所以方程无实根, 但有2个共轭复数根.

(2) 确定方程中的参数的关系.

例2 已知一元二次方程042=++bx ax 有两个相等的实数根, 求、

a b 关系. 解 因为

042=++bx ax

是一个一元二次方程, 所以

.0≠a

又因为此方程有实数根, 所以

，0=?

即为

,0442=?-a b

16

2

b a =, 综上所述0≠a 且.16

2

b a =

(3) 判断参数的取值范围.

例3 已知关于x 的方程0142=++x ax 有实数根, 求a 的取值范围.

分析: 对于一个含有参数的方程,先判断它是一个什么样的方程,在讨论二次项系数是否为零,肖云瑞在文[5]中写到二次项系数是否为零应分情况讨论,然后在根据判别式来求出参数的取值.

解 当，0≠a 一元二次方程有实数根,则

，0416≥-=?a

由上式得

；4≤a

当0=a 时方程显然有实数根, 综上所述a 的取值范围是.4≤a 2.2.2 在二次函数中的应用

形如02=++c bx ax (0≠a )是一元二次方程的形式,而形式为c bx ax y ++=2

(，a ，b c 为常数,0≠a )是二次函数的一般式.它们在形式上几乎相同,差别只有一

元二次方程的表达式等于零,而二次函数的表达式等于y ,这种形式上的类似使得它们之间的关系非常密切.主要是因为当二次函数中的变量y 取零时,二次函数就变成

一元二次方程.可以看出,许多一元二次方程中的性质应用在二次函数中. (1) 求二次函数解析式.

解 设所求二次函数)(x f 解析式为

)0(2)2

1

()(2>--=a x a x f ,

化简得

，)0(4

8)(2>-+

-=a a ax ax x f 不妨设所求函数与x 轴的两个交点的横坐标为,1x ,2x 则，1x 2x 是所求函数等于零的两个不相等的实数根， 由韦达定理得

121=+x x , ，a a x x 48

21-=

于是由题意得

21221214)(x x x x x x -+=-

281=--=a

a ,

由此解得

4=a ,

即所求二次函数的解析式为

.

244)(2

--=x x x f

注：忽培明在文[6]中介绍了韦达定理及其应用.

韦达定理 对于一个一元二次方程02=++c bx ax (0≠a )有,

a

b x x -

=+21，a c

x x =21.

(2) 函数交点的问题.

研究函数交点问题时,其实可转化为方程是否有几个根,在文章[7]介绍了抛物线与直线交点问题.

例5 当m 为何值时,抛物线22)12(m x m x y +-+=与x 轴有两个交点.

解 由题意得

1414)12(22+-=??--=?m m m ,

因为抛物线与x 轴有两个交点,所以0>?,即

014>+-m ,

解得

4

1<

m , 所以当4

1

<

m 时抛物线22)12(m x m x y +-+=与x 轴有两个交点. 2.2.3 在求极值的应用

在数学分析书中介绍了极值定理[8]：

极值定理 设f 在点0x 连续，在某邻域0U ）

（δ;0x 上可导. )(i 若当）（00,x x x δ-∈时0≤'）（x f ,当）（δ+∈00,x x x 时0≥'）（x f ,则f 在点0x 取得

极小值,可以用min y 表示.

)(ii 若当）（00,x x x δ-∈时0≥'）（x f ,当）（δ+∈00,x x x 时0≤'）（x f ,则f 在点0x 取得

极大值,可以用max y 表示.

对于二次函数c bx ax y ++=2）（0≠a ,当a

b x 2-=时,y 有极值.我们把c

bx ax y ++=2可以写成一个关于x 的一元二次方程的形式

，

02=-++y c bx ax 因为x 是实数,而有实数根的充要条件是.0≥? (1) 有理整函数极值.

例6 已知函数)(x f y =满足方程

,0122=-++x y yx

求)(x f y =的极值.

解 原方程可化为

，

0)1()1(2=++-y x y 因为x 是实数,则

0)1)(1(4≥+--=?y y ,

解得

11≤≤-y ，

显然可以看出,当1=y 时,方程变为

0)11()11(2=++-x ,

上式显然不成立,所以1=y 不是)(x f y =的极值， 于是)(x f y =只有极小值1min -=y ,无极大值. (2) 求有理分函数的极值.

例7 求函数形如c bx ax x ax y ++++=

22γβ的极值,贺光明在文[9]中归纳了一般步骤. )(i 把显函数c

bx ax x ax y ++++=

22γβ的形式化为隐函数的形式； )(ii 由于x 是实数,则用判别式可有0≥?； )(iii 将y 值代入方程,求出对应的极值.

目的：构造相关函数,转化成判别式的知识,进而解决问题. (3) 求多元函数的极值.

例8 当)86lg(2++-=m mx mx y 的值域为R ,求m 的取值范围.

解 要使上述函数的值域为R ,必须有862++-m mx mx 能取到大于零的一切值,

因此

??

?≥?>.

0,0m 所以解得m 的取值范围为1>m .

例9 令)0()22()(),(22≠++-=y y

x y x y x F ,求),(y x F 的最小值是多少.

分析 这是一个多元函数,在《多元函数极值的判别方》[10]中介绍了把原函数整理成一个二次函数,把一个未知数看成参数,应用判别式来确定函数的取值.

解 令

)0()2

2()(22≠++-=y y

x y x T ,

把上式化为

04

)22(45222=-++-+T y

y x y y x , 则

0)4

(5)22(222≥-+--=?T y

y y y ,

整理得

，168881652

2=+≥++

≥y

y T 当且仅当42=y 时,得

，516min =

T

即),(y x F 的最小值是516.

2.2.4 在二次曲线中的应用 (1) 二次曲线之间的位置关系.

李永根老师在文[11]中介绍了二次曲线的定义和性质. 二次曲线 在平面上,由二元二次方程

022233231322212211=+++++a y a x a y a xy a x a (其中221211,,a a a 不全为零)

所表示的曲线,叫做二次曲线.

例 10 已知抛物线与椭圆的方程分别为

m mx y 522+=,124322=+y x .

当m 为何实数时,抛物线与圆相切,相交,相离. 解 联立抛物线方程和椭圆方程,整理得

0)35(4832=-++m mx x ,

其判别式为

)35(48642--=?m m ,

当0=?时,抛物线与椭圆相切,即

4

3

=

m 或3=m ；

当0>?时,抛物线与椭圆相交,即

3>m 或4

3<

m ； 当0

33

<

(1) 不等式的证明.

例12 已知：x ,y ,z 是实数,且满足等式

0782=+--x yz x ,0662

2=+-++x yz z y ,

求证：91≤≤x . 证 由题意得

782+-=x x yz ,

662

-+=+x yz z y ）（，

上式整理得

，

（2

22)1(6678)-=-++-=+x x x x z y

即为

，

2)1(-±=+x z y 因为,t 和z 是方程

0)78()1(22=+-+-x x t x t

的两个根,由于t 是实数，所以

，

0)78(4)1(22≥+---=?x x x 解得

91≤≤x .

(2) 不等式的有关极值.

例13 已知1x 和2x 是方程0)53()2(22=+++--k k x k x (k 为实数)的两个实根,求证

2

221x x +的最大值为19.

解 由韦达定理得

，

19)5(22

22

1++-=+k x x 由此得到5=k 时,最大值为19. (3) 三角不等式的证明. 例 14 已知：10≤≤θ,求证

)cos(arcsin )arcsin(cos θθ>.

证 因为10≤≤θ,所以

，

02

)]

2

(arcsin[sin )arcsin(cos >-=

-=θπ

θπ

θ

又因为

，

01)(arcsin sin 1)cos(arcsin 2

2≥-=-=θθθ

下面证明

，212

θθπ

->-

为此构造一个关于θ的二次函数

，

4

4

2)1()2

(

)(2

22

22-+

-=---=ππθθθθπ

θf

这是一个关于θ的二次函数,由于二次项系数大于零,

，

084

4

24-222

<+-=-?

?=?πππ

所以对所有θ,恒有0)(>θf ,即

，（222)1()2

θθπ

->- 再由

，01,022>->-θθπ

得

，212

θθπ

->- 即

)cos(arcsin )arcsin(cos θθ>.

陈英飞在文[13]中介绍了不等式通过构造函数,应用函数性质来解决不等式证明. (4) 柯西-施瓦茨不等式.

柯西-施瓦茨不等式定理

若n a a a ,...,21和n b b b ,...,21是任意实数,则有

)(1

2

1

2

2

1

∑∑∑===≤n

k k n

k k n

k k k b a b a ）（）（，

此外,如果某个0≠i a ,则上式中的等号当且仅当存在一个实数x 使得对于每一个

n k ,,2,1 =都有0=+k k b x a 成立.

分析 在数学分析中有柯西-施瓦茨不等式的证明[14],其实也可以用判别式的方法证明.

证 当n a a a ,...,21全为零时,命题显然成立.

当n a a a ,...,21不全为零时,令

，∑=-=n

i i i b x a y 12)(

即

，∑∑∑===+-=n

i i n i i i n i i b x b a x a y 1

2

1

1

2

2

)2()(

这是关于x 的一元二次函数. 由于012

>∑=n

i i a ,0≥y 恒成立,

所以判别式0≤?,即

，0)(4)2(1

2

1

2

2

1

≤?+∑∑∑===n

i i n i i n i i i b a b a 化简得

，）（）（)(1

2

1

2

2

1

∑∑∑===≤n

i i n i i n i i i b a b a

等号是存在x 使得0=+i i b x a ),,2,1(n i =时成立. 例15 已知实数a ,b ,c ,d ,e ,满足等式

8=++++e d c b a ,，1622222=++++e d c b a

求证

5

160≤

≤e .

分析 这题用一般的证法比较困难,但是利用了柯西-施瓦茨不等式来证明较为方便.

证 由于

2

21111）（）（?+?+?+?=+++d c b a d c b a

)1111(22222222++++++≤）（d c b a

）（22224d c b a +++=,

因为

e d c b a -=+++8,2222216e d c b a -=+++,

所以

)16(4822

e e -≤-）（.

解得.5

160≤≤e

可以看出,一元二次方程判别式用途广泛,若能在解题时准确的应用,会给人简单明快的感觉,在解题过要注意使用条件和本质,有时应分情况讨论，要避免误用、漏用.通过对判别式的性质和特点,有效地构造一个一元二次方程或二次函数,使得问题简单化,体现了数学知识的交叉与迁移.

- 13 - 3 一元三次方程判别式的应用

3.1 一元三次方程判别式的定理

文[14]中介绍了可以把一个标准的一元三次方程化为下面式子,

),(,03R q p q px x ∈=++

其判别式记为

，

）（32)3(2p q D +=

(1) 当0>D ,方程有一个实数根和一对共轭虚数根； (2) 当0=D ,方程有三个实数根，且其中两个相等； (3) 当0

中考数学十大解题思路之反证法

中考数学十大解题思路之反证法 一、选择题 1否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是（） A.有一个解 B.有两个解 C .至少有三个解D .至少有两个解 ［答案］C ［解析］在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有n+ 1个”,所以“至多有两个解”的否定为“至 少有三个解” 故应选C. 2?否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为（） A. a、b、c都是奇数 B . a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数 C. a、b、c都是偶数 D . a、b、c中至少有两个偶数 ［答案］B ［解析］a, b, c三个数的奇、偶性有以下几种情况：①全是奇数；②有两个奇数，一个偶数；③有一 个奇数，两 个偶数；④三个偶数.因为要否定②，所以假设应为“全是奇数或至少有两个偶数”.故应选B. 3.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是（） A.假设三内角都不大于60° B .假设三内角都大于60 ° C.假设三内角至多有一个大于60° D .假设三内角至多有两个大于60° ［答案］B ［解析］“至少有一个不大于”的否定是“都大于60°”.故应选B. 4.用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2+ bx+ c = 0（a工0）有有理根，那么a, b, c中至少 有一个是偶 数” 下列假设正确的是（) 时， A.假设a, b, c都是偶数 B .假设a、b, c都不是偶数

C.假设a, b, c至多有一个偶数 D .假设a, b, c至多有两个偶数 ［答案］B 9.用反证法证明命题在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45 °”时，应先假设（)

判别式的八种应用

判别式的八种应用 一、求方程(组)的解及解的取值范围 例1若x2＋2x＋y2－6y＋10＝0，x，y为实数．求x，y． 解：将方程看成是关于x的一元二次方程，由于x，y为实数． ∴ Δ＝22－4(y2－6y＋10)＝－4(y－3)2≥0． 即(y－3)2≤0，于是y＝3，进而得x＝－1． 例2已知a，b，c为实数，满足a＋b＋c＝0，abc＝8，求c的取值范围．(第一届“希望杯”全国数学竞赛题) 解：∵a＋b＋c＝0，abc＝8， 例3已知实数x，y，z满足x＝6－y，z2＝xy－9，求x，y的值． 证明：∵x+y＝6，xy=z2+9则x，y是一元二次方程a2－6a＋z2＋9＝0的两个实数根， 则有Δ＝36－4(z2＋9)＝－4z2≥0，即z2≤0． 因z为实数，∴z＝0，从而Δ＝0， 故上述关于a的方程有相等实根，即x＝y＝3． 二、判断三角形形状 例4若三角形的三边a，b，c满足a(a－b)＋b(b－c)＋c(c－a)＝0．试判断三角形形状． 证明：将原式变形为b2－(a＋c)b＋a2＋c3－ac＝0，由于a，b，c为实数，关于b的一元二次方程有实根， ∴Δ＝(a＋c)2－4(a2＋c2－ac)≥0． 整理得－3(a－c)2≥0，

即(a－c)2≤0，故a＝c， 把a＝c代入原式，得b＝c，从而有a＝b＝c， 所以三角形为等边三角形． 三、求某些字母的值． 例5 k为何值时，(x＋1)(x＋3)(x＋5)(x＋7)＋k是一完全平方式． 解：原式＝(x2＋8x＋7)(x2＋8x＋7＋8)＋k ＝(x2＋8x＋7)2＋8(x2＋8x＋7)＋k 令(x2＋8x＋7)2＋8(x2＋8x＋7)＋k＝0，因原式是完全平方式，则其根的判别式， Δ＝82－4k＝0，即k＝16． 例6如果x2－y2＋mx＋5y－6能分解成两个一次因式的积，试求m的值．解：令x2＋mx－(y2－5y＋6)＝0，则关于x的方程的根的判别式Δ＝4y2－20y ＋m2＋24． 欲使原式能分解成两个一次因式乘积，必须“Δ”是一完全平方式， 从而有4y2－20y＋m2＋24＝0的根的判别式 ∴m2＝1，即m＝±1． 例7a为有理数，问：b为何值时，方程x2－4ax＋4x＋3a2－2a＋4b＝0的根是有理数． 解：方程整理为x2＋4(1－a)x＋(3a2－2a＋4b)＝0． 它的判别式Δ＝4(a2－6a－4b＋4)，由于4(a2－6a－4b＋4)是有理数a的二次三项式． 即4(a2－6a－4b＋4)＝0的根的判别式 四、证明不等式

数学的解题方法

数学的解题方法 技巧，积累教学资料，提升业务水平和教学水平。下面介绍的解题方法，都是初中数学中最常用的，有些方法也是中学教学大纲要求掌握的。1、配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。2、因式分解法因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有很多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。3、换元法换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。4、判别式法与韦达定理一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c属于R，a≠0）根的判别，△=b2-4ac，不但用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还能够求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些相关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。5、待定系数法在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。6、构造法在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它能够是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。使用构造法解题，能够使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。7、反证法反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过准确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题准确的一种方法。反证法能够分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。反设是反证法的基础，为了准确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存有/不存有；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定初中各年级课件教案习题汇总语文数学英语物理化学理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。8、面积法平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算相

九年级数学上册专题一根的判别式的应用同步测试新人教版

九年级数学上册专题一根的判别式的应用同步测试新人教 版 (教材P17习题21.2第13题) 无论p取何值，方程(x－3)(x－2)－p2＝0总有两个不等的实数根吗？给出答案并说明理由．解：x2－5x＋6－p2＝0， Δ＝(－5)2－4×1×(6－p2)＝25－24＋4p2＝4p2＋1＞0， 所以方程(x－3)(x－2)－p2＝0总有两个不等的实数根． 【思想方法】一元二次方程根的判别式Δ＝b2－4ac可以用来判断根的情况，也可以根据一元二次方程根的情况，确定方程中的未知系数． 一判断一元二次方程根的情况 方程x2＋7＝8x的根的情况为(A) A．方程有两个不相等的实数根 B．方程有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．方程没有实数根 对于任意实数k，关于x的方程x2－2(k＋1)x－k2＋2k－1＝0的根的情况为(C) A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 下列对关于x的一元二次方程x2＋2kx＋k－1＝0的根的情况描述正确的是(A) A．方程有两个不相等的实数根 B．方程有两个相等的实数根 C．方程没有实数根 D．无法确定 已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0.求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根． 证明：Δ＝(m＋3)2－4(m＋1)＝(m＋1)2＋4. ∵无论m取何值时，(m＋1)2＋4的值恒大于0， ∴原方程总有两个不相等的实数根． 已知关于x的方程x2－(m＋2)x＋(2m－1)＝0. (1)求证：方程恒有两个不相等的实数根； (2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求出以此两根为边长的直角三角形的周长． 【解析】(1)根据关于x的方程x2－(m＋2)x＋(2m－1)＝0的根的判别式的符号来证明结论； (2)根据一元二次方程的解的定义求得m值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根．分类讨论：①当该直角三角形的两直角边是1，3时，由勾股定理得斜边的长度为10；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1，3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为22；再根据三角形的周长公式进行计算． 解：(1)∵b2－4ac＝[－(m＋2)]2－4×1×(2m－1)＝m2－4m＋8＝(m－2)2＋4>0， ∴方程恒有两个不相等的实数根； (2)把x＝1代入方程x2－(m＋2)x＋(2m－1)＝0中，解得m＝2，

反证法在数学解题中的应用

反证法在数学解题中的应用 我们在解决数学问题时，一般是从正面入手，这就是所谓的正向思维，但往往也会遇到从正面入手困难，或出现一些逻辑上的困境的情形，这时就要从辩证思维的观点出发，运用逆向思维克服思维定势的消极面，从习惯思路的反方向去分析问题，运用反证法解决问题。 一、反证法的逻辑基础 证明命题“A B”时如果用这种方法：假设A∧B为真，在A且B的条件下，合乎逻辑地推出一个矛盾的结果(不论是与A矛盾还是与其他已知正确的结论矛盾或自相矛盾)，从而B成立(即A B成立)，这种方法就是反证法。 二、反证法的解题步骤 第一步审题，弄清命题的前提和结论； 第二步否定原命题，由假设条件及原命题构成推理的基础； 第三步由假设出发，根据公理、定义、定理、公式及命题的条件，正确逻辑推理，导出逻辑矛盾； 第四步肯定原命题的正确性。 三、什么情况下考虑应用反证法 1待证命题的结论是唯一存在性命题 例1设方程x=p sin x+a有实根(0＜p＜1，a是实数)，求证实根唯一。 证明：假设方程存在两个不同实根x1，x2，则有 x1=p sin x1+a，x2=p sin x2+a x1－x2=p sin x1－sin x2=2p cos x1+x22sin x1－x22 由于cos x1+x22│≤1，从而有│x1－x2│≤2p│sin x1－x22│又sin x1－x22≤x1－x22，故x1－x2≤p x1－x2，但x1≠x2，于是p≥1，与0＜p＜1矛盾。所以方程若有实根，则根唯一。 2采取直接证法，无适宜的定理作为根据，甚至无法证明。 例2已知A、B、C、D是空间的四点，ABGN CD是导向直线，求证AC和BD、AD和BC也都是异面直线。 分析：证AC和BD是异面直线，即证明AC和BD不在同一平面内，考虑反证法。 证明：假定AC和BD不是异面直线，那么AC和BD在同一平面内，因此A、B、C、D不是异面直线，这与已知条件矛盾。所以AC和BD是异面直线。 3待证命理的结论是以“至少存在”的形式出现的，“至少存在”的反面是“必定不存在”，所以只要证明“必定不存在”不成立即可。 例3设p1p2=2(q1+q2)求证方程x2+p1x+q1=ox2+p2x+q2=0中至少有一个方程有实根。 证明：假设两方程都无实根，则 p12－4q1＜0，p22－4q2＜0，两式相加，有p21+p22＜4(q1+q2)(1) 而p1p2=2(q1+q2)代入(1)得p21+p22＜2p1p2，这与p21+p22≥2p1p2矛盾。 故假设不成立，原命题正确。 4待正命题含有涉及各种“无限形式”的结论，由于中学没有直接证明“无限”的手段。而结论的反面却是“有限”，故常常借助于反证法。 例4证明实数lg3是无理数。 证明：假设lg3是有理数。则它可以表示成lg3=mn(m，n是互质的正整数，由对数的定义，得10=3″)。但10是偶数，而3″是奇数，矛盾。因此实数lg3是无理数。

第02讲 判别式及其应用

第2讲判别式及其应用 当数学家导出方程式和公式，如同看到 雕像、美丽的风景，听到优美的曲调等等一 样而得到充分的快乐。 —— 柯普宁 知识方法扫描 在一元二次方程ax2+bx+c=0中，△=b2-4ac称为根的判别式。当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程没有实数根。 我们利用判别式主要解决以下两个方面的问题：一是根据方程或题目所给的条件，确定方程根的性质；二是根据给定的方程的条件，确定字母的取值或取值范围。 此外，要注意判别式在以下几个方面的应用： ①在解答关于整系数的一元二次方程方程有整数根一类问题时，要注意它的判别式应该为完全平方数； ②当出现了形如一个平方式与两个代数式的积之差形式的问题时，可以考虑利用这种结构构造一个一元二次方程，再用一元二次方程的理论去解答问题； ③在一些求某个字母（参数）的取值范围的问题中，常可先利用根的定义或根与系数的关系构造二次方程，再用判别式求出其中参数的范围。 经典例题解析 例1（1987年全国初中数学联赛试题）当a、b为何值时，方程x2+2 (1+a)x+ (3a2+4ab+4b2+2)=0有实根？ 解因为方程有实数根，所以判别式 △= 4[(1+a)2-(3a2+4ab+4b2+2) = 4( -1+2a-2a2-4ab-4b2) = -4[(1-2a+a2)+(a2+4ab+4b2)] = -4[(1-a)2+(a+2b)2] ≥0 ∵-4[(1-a)2+(a+2b)2] ≤0,∴-4[(1-a)2+(a+2b)2] =0. ∴ 1-a=0, 且a+2b=0; 即a=1,b=. ∴当a=1, b=时，方程有实数根。 例2 （1987年武汉，广州，福州，重庆，西安五市初中数学联赛试题）已知实数a，b，c，r，p满足pr＞1，pc-2b+ra=0，求证：一元二

高中物理解题方法例话：2判别式法

2判别式法 .对于一元二次方程02 =++c bx ax ， 方程有解时，042≥-=?ac b ；方程无解时，042<-=?ac b [例题1]在一平直较窄的公路上，一辆汽车以22m/s 的速度匀速行驶，正前方有一辆自行车以4m/s 的速度向匀速行驶，汽车刹车的最大加速度为2/6s m ，若两车不相撞，则两车的间距至少为多少？ 解析：要使两车不相撞，设它们间距为S ，则地者在任一时间内位移关系应满足 S S S +≠自汽即S vt at t v +≠-202 1代入数值得 01832≠+-S t t 所以关于t 的一元二次方程无实数解，所以当042<-=?ac b 时上式成立，即0341842 2，所以最小间距为27m 是 车不与自行车相撞的条件 [例题2]如图所示，侧面开有小孔s 的量简中注满水，高为h 的量简放图在高为H 的平台上，问小孔s 应开在何处，从孔中喷出的水为最远？ 解析：设小孔s 的位置离地面的高度为y ，水的水 平射程为x ，并设某一时刻质量为m 的水由小孔喷 出，做初速度为0V 的平抛运动，经时间l 落地，由 运动学公式可得 t v x 0= ① 22 1gt y = ② 喷出的水的动能可相当于它从水面处下落)(y H h -+的高度量力所做的功。 根据机械能守值定律有 202 1)(mv y H h mg = -+ ③ 联立①②③式得 022)(44=++-x y H h y 这是一个关于y 的一元二次方程，由于y 必须是正实数，所以△≥0,即 044)](4[22≥?-+-x H h , 又因x>0,所以x ≤h+H ，故最大水平射程H h x +=max ,此时方程的解为

“根的判别式”的种种应用

“根的判别式”的种种应用 学习了一元二次方程的求根公式以后，为了研究问题的方便，我们把一元二 次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的求根公式x＝ a ac b b 2 4 2- ± - 中的b2－4ac称做为根的判别式，用符号“Δ”来表示，即Δ＝b2－4ac.至此，我们一般只知道：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根，当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，当Δ＜0时，方程没有实数根.反之也成立.至此，我们可以不解方程，利用根的判别式来判别根的情况.而事实上，一元二次方程根的判别式还许多其它的应用，为方便同学们的学习，现举例说明. 一、不解方程，判断根的情况 例1已知关于x的一元二次方程x2－mx－2＝0.…① （1）若x＝－1是方程①的一个根，求m的值和方程①的另一根； （2）对于任意实数m，判断方程①的根的情况，并说明理由. 解（1）因为x＝－1是方程①的一个根，所以1+m－2＝0，解得m＝1. 所以原方程为x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝2.所以方程的另一根为x＝2. （2）Δ＝b2－4ac＝m2+8，因为对于任意实数m，m2≥0，所以m2+8＞0， 所以对于任意的实数m，方程①有两个不相等的实数根. 说明运用根的判别式时，必须注意化方程为一元二次方程的一般形式，明确a，b，c的值. 二、确定字母系数的范围 例2已知关于x的一元二次方程(k+1)x2+2x－1＝0有两个不相同的实数根，则k的取值范围是＿＿＿. 解因为于x的一元二次方程(k+1)x2+2x－1＝0有两个不相同的实数根，所以满足Δ＝22－4×(k+1)×(－1)＞0，且k+1≠0，解得k＞－2，且k≠－1. 说明利用根的判别式解题时，若原一元二次方程的二次项含有字母系数，则必须保证二次项系数不等于0这一隐含条件的限制. 三、字母系数的值 例3当m为何值时，关于x的一元二次方程x2－4x+m－1 2 ＝0有两个相等的 实数根？此时这两个实数根是多少？

正确用判别式法求值域着重点辨析

正确用判别式法求值域“着重点”辨析 用判别式法求函数的值域是求值域的一种重要方法之一，它主要适用于分式型二次函数，或可通过换元法转化为二次函数的一些函数求值域问题。但在用判别式法求值域时因忽视一些“着重点”而经常出错，下面针对“着重点”一一加以辨析 着重点1 对二次方程的二次项系数是否为零加以讨论 例1 求函数3 22122+-+-=x x x x y 的值域。 错解 原式变形为0)13()12()12(2=-+-+-y x y x y （*） ∵R x ∈，∴0)13)(12(4)12(2≥----=?y y y ，解得 21103≤≤y 。 故所求函数的值域是]21,103[ 分析 把21=y 代入方程（*）显然无解，因此21=y 不在函数的值域内。事实上，21=y 时，方程（*）的二次项系数为0，显然用“?”来判定其根的存在情况是不正确的，因此要注意判别式存在的前提条件，即需对二次方程的二次项系数加以讨论。 正解 原式变形为0)13()12()12(2 =-+-+-y x y x y （*） （1）当2 1= y 时，方程（*）无解； （2）当2 1≠y 时，∵R x ∈，∴0)13)(12(4)12(2≥----=?y y y ，解得2 1103<≤y 。 由（1）、（2）得，此函数的值域为)21,103[ 着重点2 将原函数转化为方程时应等价变形 例2 求函数1++=x x y 的值域。 错解 移项平方得：()011222=+++-y x y x ， 由()014)]12([22≥+---=?y y 解得43≥y ，则原函数的值域是?? ????+∞,43. 分析 由于1-= -x x y 平方得()011222=+++-y x y x ，这种变形不是等价变

反证法在数学中的应用

论文 反证法在数学中的应用 开封县八里湾镇第一初级中学 杨继敏

反证法在数学中的应用 摘要反证法是数学教学中所涉及的基本论证方法,它为一些从正面入手,无法使已知条件和结论找出联系的问题，提供了一条解题途径，它通过给出合理的反设,来增加演绎推理的前提，从而使那种只依靠所给前提而变的山穷水尽的局面,有了柳暗花明又一村的境地,使学生看到增加演绎推理前提的方便功效。在过去的数学学习中,许多人拘泥于传统的推理方法，常常使问题复杂化,尽管最后能达到目的，但往往费时费力,因为数学的研究往往体现一种思维转换，我们可以用一种“换位”思想来处理我们日常遇到的数学问题。 【关键词: 逆向思维;假设；归谬;数学逻辑推理；矛盾；结论。】 １．引言 反证法是数学中一种重要的解题方法，对数学解题有着重要作用。其基本思想是通过求证对立面的不成立从而推出正面的正确。因为这种方法推理严密，说服性强，所以除了在数学中应用反证法,在实际生活中的应用也比较广泛。 在不同的数学情境下,反证法的前提假设不同。因此，在数学中应用反证法,一定要具体问题提出相应具体正确的假设。这就需要熟练掌握反证法的反设词，除此,还应熟记反证法的证题步骤——假设，归谬，结论。有关这个课题的研究,以及涉及到各种文章说明其步骤，适用范围，并附以大量例题。但对反证法在数学中的应用,文字讲解与反证法适宜的数学题型的归纳总结还欠缺。本文就基于这方面的考虑,根据反证法在数学中适宜的命题应用进行了详细的文字讲解及归纳总结。 2. 反证法初探 ２.1 反证法的含义及逻辑依据 含义:所谓反证法就是从反面证明命题的正确性，即欲证明“p则q”,则从反面推导出“若p非q”不能成立,从而证明“若p则ｑ”成立。它从否定结论出发,经过正确的严格推理,得到与已知（假设)或已成立的数学命题相矛盾的结果,从而验证产生矛盾的原因，推出原命题的结论不容否定的正确结论。

一元二次方程根的判别式的综合应用

一元二次方程根的判别式的综合应 用 一、知识要点： 1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式=b2-4ac。 定理1 ax2+bx+c=0(a0)中，＞0方程有两个不等实数根. 定理2 ax2+bx+c=0(a0)中，=0方程有两个相等实数根. 定理3 ax2+bx+c=0(a0)中，＜0方程没有实数根. 2、根的判别式逆用（注意：根据课本反过来也成立）得到三个定理。 定理4 ax2+bx+c=0(a0)中，方程有两个不等实数根＞0. 定理5 ax2+bx+c=0(a0)中，方程有两个相等实数根＝0.

定理6 ax2+bx+c=0(a0)中，方程没有实数根＜0. 注意：（1）再次强调：根的判别式是指=b2-4ac。（2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。 (3)如果说方程有实数根，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b2-4ac0切勿丢掉等号。(4)根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a0. 二.根的判别式有以下应用： ①不解一元二次方程，判断根的情况。 例1．不解方程，判断下列方程的根的情况： (1)2x2+3x-4=0(2)ax2+bx=0(a0) 解：(1) 2x2+3x-4=0 a=2, b=3, c=-4,

∵=b2-4ac=32-42(-4)=41 方程有两个不相等的实数根。 (2)∵a0,方程是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项视为零， ∵=(-b)2-4a0=b2, ∵无论b取任何关数，b2均为非负数， 0，故方程有两个实数根。 ②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。 例2．k的何值时？关于x的一元二次方程x2-4x+k-5=0（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根； 分析：由判别式定理的逆定理可知（1）＞0；（2）=0；（3）＜0；

“反证法”在物理解题中的应用

“反证法”在物理解题中的应用 府谷县前石畔九年制学校贾占雄 在物理解题时，当从正面难以解决时可以转向反面思考，当用直接方法难以奏效时可以采用间接方法，这种正面突破有困难而转向反面寻求解法的策略，称为正难则反，或者称为逆向思维原则。反证法就是正难则反解题原则的一种形式。 所谓反证法，是指通过证明论题结论的反面不正确来得出论题的正确结论的一种证明方法。反证法的证题步骤有三： 反设——归谬———存真 第一步：反设。即先提出与欲证结论相反（或相斥）的假设。第二步：归谬。在反设成立的前提条件下推出矛盾。这个矛盾可以是与已知条件、客观事实的矛盾，可以是与物理概念定义、物理规律的矛盾，可以是与命题题设矛盾，或与所做假设矛盾，甚至可以是从两个不同角度进行推理得出的结论自相矛盾。第三步，存真。反证法的逻辑依据是形式逻辑的“排中律”与“矛盾律”。排中律可以简洁地表述为：两个相互矛盾的思想不能同假，必有一真。矛盾律可以表述为：一个思想及其否定不能同真，必有一假。这样，欲证结论的正面与反面不可能同真，也不可能同假，二者必居其一。 例如：物体在空中下落的现象极为普遍，那么物体下落的快慢与哪些因素有关呢？古代的学者认为：物体下落的快慢是由它们所受的重力决定的，物体越重，下落的越快。公元前4世纪希腊哲学家亚里士多德最早阐述了这种观点。由于这种观点与人们日常所见十分吻合，在其后两千多年的时间里，人们一直信奉他的学说。最早向亚里士多德学说挑战的是伟大的物理学家伽利略。如何证明亚里士多德的学说是错误的呢?伽利略以著名的比萨斜塔实验给予正面冲击，同时也以反证法奇妙的向亚里士多德发起迂回冲击。假设亚里士多德的学说是正确的，物体越重，下落的越快，重物体要比轻物体下落的快。那么，把一个轻物体与一个重物体系在一起下

关于判别式法求值域增根的研究

关于判别式法求值域增根的研究 文章来源：2008年下半年度《试题与研究》 我们都知道对于形如f ( x ) = 的二次分式函数我们通常使用判别式来求其值域。但这是在分子分母没有公因式的前提下进行的，若分子分母有公因式时，我们须先 约去公因式，化成f(x) =的形式，然后再求出其值域。但如果我们用判别式法求这类函数的值域时，会出现什么情况呢？让我们比较吧！ 例：求二次分式函数y = 的值域．

y = y = = ， = 通过比较，我们发现用判别式法求值域的结果，比先化成一次分式函数来求解其值域的结果多了一个值y = 2。这就是说，

用判别式法求值域会产生增根。这是为什么呢？下面让我们首先来研究一下用判别式法来求值域的原理吧！ 函数是定义域到值域的映射，在定义域内任何一个x值，在值域内都有唯一一个y值与之对应。反过来，值域内每一个y 值，都会有一个或多个x值与之对应。将某一函数化为关于x 的方程（将y看作是x的系数），只是将x和y的对应关系用另一种形式表示出来，其对应实质并未改变。判别式法求值域就是基于这种思想而产生的。 将二次分式函数的分母乘到另一侧，得到一个关于x的方程。如果二次项系数不为0，此方程为关于x的一元二次方程。其中，当△≥0时（△是含字母y的式子），将这个范围内的y 值代入方程，都能够得到一个或两个与之对应的x值；而当△＜0时，方程无解，这说明在此范围内的y值没有x值与之对应，因此此范围内的值y不属于值域。如果二次项系数为0，此方程为关于x的一次方程，将此时y的取值代入解析式可得到一个与之对应的x值，如果所得x值在定义域内，则该y值属于值域；如果所得x值不在定义域内，或所得解析式根本没有意义，则该y值不属于值域。

九年级数学上册专题突破讲练根的判别式的深化应用试题新版青岛版

根的判别式的深化应用 一、一元二次方程根的判别式 对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），它的解的情况由b 2－4ac 的取值决定，我们 通常用“?2-，即ac b 42 -=?。 方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况 =?b 2－4ac ＞0 两个不相等的实数根 =?b 2－4ac ＝0 两个相等的实数根 =?b 2－4ac ＜0 没有实数根 方法归纳：用b －4ac 可以判断方程根的情况，反过来，若已知方程根的情况，则可确定b 2－4ac 的取值。 二、根的判别式的应用 1. 判断一元二次方程根的情况。 2. 确定一元二次方程中字母系数的取值范围。 3. 确定一元二次方程根的某些特性，如是不是有理根。 方法归纳：（1）计算=?b 2－4ac 时注意a 、b 、c 表示各项系数，包括它们前面的符号； （2）关于根的判别式=?b 2－4ac 的正、负号的判定涉及代数式的恒等变形，一般地，将表 示=?b 2－4ac 的代数式进行配方，利用非负数、非正数的概念，确定=?b 2－4ac 的正、负号。 总结： 1. 会讨论方程的根的情况，包括一元一次方程和一元二次方程。 2. 能利用一元二次方程根的判别式判断方程的根的特性，如：有理根、整数根等。 例题1 关于x 的一元二次方程x 2－mx ＋（m －2）＝0的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 解析：这是含字母系数的一元二次方程，将字母视为数字即可。这里a ＝1，b ＝－m ，c ＝m －2。因为b 2－4ac ＝（－m ）2－4×1×（m －2）＝m 2－4m ＋8＝m 2－4m ＋4＋4＝（m －2）2＋4＞0，所以方程有两个不相等的实数根。 答案：A 点拨：判断b 2－4ac 的正、负情况时，通常有两种情形，（1）已知判别式中某些字母的 取值范围，依此确定判别式?的取值范围；（2）一般要将表示b 2－4ac 的代数式进行配方， 利用偶次幂的非负性确定b 2－4ac 的正、负号。 例题2 定义：如果一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）满足a ＋b ＋c ＝0，那么我们 称这个方程为“凤凰”方程，已知ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等 的实数根，则下列结论正确的是

中考数学解题方法及提分突破训练：反证法专题(含解析)

解题方法及提分突破训练：反证法专题 对于一个几何命题，当用直接证法比较困难时，则可采用间接证法，反证法就是一种间接证法，它不是直接去证明命题的结论成立，而是去证明命题结论的反面不能成立。从而推出命题的结论必然成立，它给我们提供了一种可供选择的新的证题途径，掌握这种方法，对于提高推理论证的能力、探索新知识的能力都是非常必要的。 一 真题链接 1.用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。 已知：如图，在⊙O 中，弦AB 、CD 交于点P ，且AB 、CD 不是直径.求证：弦AB 、CD 不被P 平分 . 2.平面内有四个点，没有三点共线， 证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形 3. 平面内有四个点，没有三点共线 证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形 二 名词释义 反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。

反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n 个/至多有(n 一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。 归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。例如： 已知：a 是整数，2能整除2 a 。试证：2能整除a ① 探究：问题实际上是在讨论a 是奇数，还是偶数。已知中：说明2 a 是偶数，则 () 22a m m N =∈，此时)a m N =∈ ② 反思：条件已用完，结论还不能明确得证，可能结论自身有问题。 ③ 若结论有问题，则“2不能整除a ”应该成立，此时会发生怎样的情况，进行推理 引出反证法。 总结：在上题由“2不能整除a ”这个假设下，推理出了矛盾，肯定了原题的结论，从而 说明了这种思想可以作为一种证明问题的方法，再通过问题2继续认识。 三 典型例题 反证法的证题步骤： ① 假设。假设结论的反面成立，重点完成对假设的等价转化 ② 归结矛盾。矛盾来源：与已知，定理，公理，已证，已作，矛盾。 ③ 否定假设，肯定结论。 例1.是无理数 是有理数，那么它就可以表示成两个整数之比， 设 ,0,q p p = ≠且,p q q =。 所以，2 2 2p q =。---------① 故2 q 是偶数，q 也必然为偶数。 不妨设2q k =，代入①式，则有22 24p k =，

判别式与韦达定理的应用

【学习课题】 九上 补充内容 综合应用根的判别式和韦达定理 【学习目标】 1、掌握一元二次方程根与系数的符号关系 2、利用韦达定理并结合判别式，求参数的值 【学习重点】一元二次方程根与系数的符号关系 【学习难点】利用韦达定理并结合判别式，求参数的值 【学习过程】 学习准备：（1）一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 的判别式△=__________ △＞0?__________△=0 ?_____________△＜0 ?__________ （2）一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)的两根分别为x 1和x 2 x 1+x 2=____________, x 1x 2=_____________ 解读教材：由根的判别式及韦达定理可得如下结论： （1）若a 、c 异号 ? ax 2+bx+c=0 (a ≠0)必有两个不相等的实数根； （2）有一个根为1 ? a+b+c=0 ； （3） 有一个根为—1 ? a —b+c=0； （4）有一个根为0 ? c=0 （5）有两个正根 ??????+≥0210210＞＞△x x x x （6）有两个负根 ? ?? ???+≥0210210＞＜△x x x x (7) 有一正根一负根 ????0021＜△＞x x （8）两根同号 ????≥002 1＞△x x （9）两根互为相反数????=?=+0 0021b x x △＞ （10）两根互为倒数????=≥102 1x x △ （11）一根为正，一根为0 ??????=?=+00002 121c x x x x ＞△＞ （12）一根为负，一根为0 ??????=?=+00002 121c x x x x ＜△＞ （13）两根均为0?b=c=0 (14) 一根比a 大，一根比a 小????--0 ))(021＜（△＞a x a x 例1 已知方程（k+1）x 2—4kx+3k —1=0 的两个实数根均为正，求k 的值。 思路点拨：因为原方程两个实数根均为正，有上述结论（5）可得不等式组，解这个不 等式组即可求出k 的值。

导数常见题型与解题方法总结

导数题型总结 1、分离变量-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 2、变更主元-----已知谁的范围就把谁作为主元 3、根分布 4、判别式法-----结合图像分析 5、二次函数区间最值求法-----（1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立 此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令0)('=x f 得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知； 第三种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）。 例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上，()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数， 4323()1262 x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围； （2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332x mx f x x '=- - 2()3g x x mx ∴=-- （1） ()y f x =Q 在区间[]0,3上为“凸函数”， 则 2()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x <

一元二次方程根的判别式的多种应用

一元二次方程根的判别式的多种应用 一元二次方程根的判别式用来判断一元二次方程根的情况，能帮助我们解一元二次方程，也是以后学习一些知识的基础，在解题中应用很多，举例如下： 一、不解方程，判断一元二次方程根的情况。 例1、判断下列方程根的情况 2x2+x━1=0；x2—2x—3=0；x2—6x+9=0；2x2+x+1=0 二、已知一元二次方程根的情况，求方程中字母系数所满足的条件。 例2、当m为何值时关于x的方程（m—4）x2—（2m—1）x+m=0 有两个实数根？ 简解：当Δ=[-（2m-1）]2-4（m-4）m≥0时，原方程有两个实数根， ∴4m2-4m+1-4m2+16m≥0，解得m≥- 又∵m-4≠0 ∴m≠4 ∴当m≥- 且m≠4时，原方程有两个实数根。 例3、当m分别取何值时关于x的方程（m-1）x2+（2m-1）x+m-1=0 l 有两个不相等的实数根 l 有两个相等的实数根 l 有两个实数根 l 有一个实数根 l 有实数根 l 无实数根 评析：初中阶段的根的判别式Δ=b2-4ac是相对于一元二次方程而言的，而ax2+bx+c=0当a=0时是一元一次方程不能用判别式，所以例2中一定要考虑二次项系数m-4≠0；例3则一定要做分类讨论。 三、证明方程根的性质。 例4、求证：无论m为任何实数，关于x的方程x2+（m2+3）x+0.5(m2+2)=0恒有两个不相等的实数根。简解：∵Δ=（m2+3）2-4╳0.5(m2+2)=m4+4m2+5=（m2+2）2+1>0 ∴无论m为任何实数，关于x的方程x2+（m2+3）x+0.5(m2+2)=0恒有两个不相等的实数根。 评析：这种应用有两个难点：（1）是容易与（二）中求字母取值混淆，即用Δ≥0求m的取值范围；（2）是用配方法证明二次三项式的特性。 四、判断二次三项式能否在实数范围内因式分解。 例5、当m为何值时，关于x的二次三项式mx2-2（m+2）x+（m+5）能在实数范围 内因式分解。 简解：当Δ=[-2（m+2）]2-4m（m+5）≥0时，关于x的二次三项式mx2-2（m+2）x+（m+5）能在实数范围内因式分解。 ∴m≥4且m≠0。 评析：对于系数是有理数的二次三项式ax2+bx+c（a≠0）的因式分解，其方法是先求ax2+bx+c=0（a≠0）的根然后再代入公式，所以，判别式决定了二次三项式能否在实数范围内因式分解，即： Δ<0时不能在实数范围内因式分解； Δ≥0时能在实数范围内因式分解；进而当Δ为完全平方数时能在有理数范围内因式分解； 再进而当Δ=0时ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）=a（x-x1）2（a≠0），所以此时可以说它是完全平方式。五、判定二次三项式为完全平方式。 例6、若x2-2（k+1）x+k2+5是完全平方式，求k的值。 例7、当m为何值时，代数式（5m-1）x2-（5m+2）+3m—2是完全平方式。 六、利用判别式构造一元二次方程。 例8、已知：（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0（x≠y） 求证：2y=x+z

判别式法证明不等式

判别式法证明不等式x^2+y^2+z^2>=2xycosc+2zxcosb+2yzcosa 等价于(x-cosc*y-cosb*z)^2+(sinc*y-sinb*z)^2>=0 对于分式函数 y=f(x)=(ax^2+bx+c)/(dx^2+ex+f) ： 由于对任意一个实数y,它在函数f(x)的值域内的充要条件是关于x的方程y=(ax^2+bx+c)/(dx^2+ex+f) 有实数解，因此“求f(x)的值域。”这一问题可转化为“已知关于x的方程 y=(ax^2+bx+c)/(dx^2+ex+f) 有实数解，求y的取值范围。” 把x作为未知量，y看作常量，将原式化成关于x的一元二次方程形式(*)，令这个方程有实数解，然后对二次项系数是否为零加以讨论： (1)当二次项系数为0时，将对应的y值代入方程(*)中进行检验以判断y的这个取值是否符合x有实数解的要求，…… (2)当二次项系数不为0时，∵x∈R，∴Δ≥0，…… 此时直接用判别式法是否有可能产生增根，关键在于对这个方程去分母这一步是不是同解变形。 原问题“求f(x)的值域。”进一步的等价转换是“已知关于x的方程 y(dx^2+ex+f)=ax^2+bx+c 至少有一个实数解使得 dx^2+ex+f≠0，求y的取值范围。” 【举例说明】 1、当函数的定义域为实数集R时 例1 求函数y=(x^2-2x+1)/(x^2+x+1)的值域. 解：由于x^2+x+1=(x+12)^2+34>0，所以函数的定义域是R. 去分母：y(x^2+x+1)=x^2-2x+1,移项整理得(y-1)x^2+(y+2)x+(y-1)=0.(*) (1)当y≠1时，由△≥0得0≤y≤4; (2)当y=1时，将其代入方程(*)中得x=0. 综上所述知原函数的值域为〔0，4〕. 2、当函数的定义域不是实数集R时 例2 求函数y=(x^2-2x+1)/(x^2+x-2)的值域. 解：由分母不为零知，函数的定义域A={x|x≠-2且x≠1}. 去分母：y(x^2+x-2)=x^2-2x+1,移项整理得(y-1)x^2+(y+2)x-(2y+1)=0. (*) (1)当y≠1时，由△≥0得y^2≥0�y∈R. 检验：由△=0得y=0，将y=0代入原方程求得x=1，这与原函数定义域A相矛盾， 所以y≠0. (2)当y=1时，将其代入方程(*)中得x=1，这与原函数定义域A相矛盾， � 所以y≠1. 综上所述知原函数的值域为{y|y≠0且y≠1} 对于分式函数y=f(x)=(ax^2+bx+c)/(x^2+mx+n)： 由于对任意一个实数y,它在函数f(x)的值域内的充要条件是关于x的方程y=(ax^2+bx+c)/(x^2+mx+n)有实数解， 把“求f(x)的值域”这问题可转化为“已知x的方程y=(ax^2+bx+c)/(x^2+mx+n)有实数解，求y的取值范围”把x当成未知量，y当成常量，化成一元二次方程，让这个方程有根.先看二次项系数是否为零，再看不为零时只需看判别式大于等于零了. 此时直接用判别式法是否有可能出问题，关键在于对这个方程取分母这一步是不是同解变形。这个问题进一步的等价转换是“已知x的方程y(x^2+mx+n)=ax^2+bx+c)到少有一个实数解使x^2+mx+n≠0，求y的取值范围” 这种方法不好有很多局限情况，如：定义域是一个区间的.定义域是R的或定义域是R且不等