用分离变量法解常微分方程
.
１ 直接可分离变量的微分方程
1.1形如
dx
dy
= ()x f ()y ? (1.1) 的方程，称为变量分离方程，这里()x f ，()y ?分别是的连续函数.
如果?(y)≠0，我们可将（1.1）改写成
)
(y dy
?= ()x f ()x d , 这样，变量就“分离”开来了.两边积分，得到
通解：?
)(x dy
?=?
dx x f )( + c. (1.2) 其中，c 表示该常数，?
)(x dy
?，?dx x f )(分别理解为)
(1y ?，()x f 的原函数.常数c 的取值必须保证（1.2）有意义.使()0=y
?的0y y =是方程(1.1)的解. 例1 求解方程01122=-+-dx y dy x 的通解. 解：(1)变形且分离变量：
），
，（11112
2
<<--
=-y x x
dx y
dy (2)两边积分：
c x
dx y
dy +-=-?
?
2
2
11 ，
得
c x y +-=arcsin arcsin .
可以验证1±=y 也是原方程的解，若视x 和y 是平等的，则1±=x 也是原方程的解.
我们可以用这个方法来解决中学常见的一些几何问题.
例2 曲线L 上的点),(y x P 处的法线与x 轴的交点为Q ，且线段PQ 被y 轴平分.求曲线L 的方程.
分析:这是一个利用几何条件来建立微分方程的例子.先建立法线PQ 的方程，用大写的),(Y X 表示法线上的动点，用小写的表示曲线L 上的点，法κ为过点),(y x P 的法线的斜率.
解：由题意得
y '
-
=1法κ. 从而法线PQ 的方程为
)(1
x X y y Y -'
-
=-. 又PQ 被y 轴平分，PQ 与y 轴交点M 的坐标为??
?
??2,0y ，代入上式，得
)0(1
2x y y y -'
-=-. 整理后，得
x y y 2-='，
分离变量，解得
c y x =+2
2
2
，
其中c 为任意正数，如图1.
２ 变量可替换的微分方程
),(y x p
y
y
M L
x
Q
2
y x 图1
通过上面的介绍，我们已经知道了什么方程是变量分离方程.下面，我们再介绍几种可化为变量分离方程的类型:
2.1齐次方程
形如
??
?
??=x y dx dy ? (1.3) 的微分方程，称为齐次微分方程.这里)(u ?是u 的连续函数.
对方程(1.3)做变量变换 x
y
u =， (1.4) 即ux y =，于是
u dx
du x dx dy +=. (1.5) 将(1.4),(1.5)代入（1.3），则原方程变为
)(u u dx du
x ?=+， 整理后，得到
x
u u dx du -=)(?. (1.6) 方程（1.6）是一个变量分离方程.可按前面(1.1)的方法求解，然后代回原来的变量，便得到（1.3）的解.
例3 求微分方程dx
dy xy dx dy x y =+22的通解. 解：原方程化为
()2
2
y
dx
dy x xy =- ()x y ≠，
即
1-??? ??=x
y
x y dx dy ，
于是，令x y u =
，即xu y =，将dx
du
u dx dy +=代入该方程，得
1
2
-=+u u dx du x u ，
整理，即有
1
12-=--=u u u u u dx du x ， 分离变量，得
x
dx du u u =-1 ()0≠u ， 两边积分，得
1ln ln ln c x u u +=-，
将x
y
u =
代回来，得 ()y c c x x y x y 11ln ln =??
?
????=， ∴ x
y e y c =1， 即
x
y
ce y =，其中c 为任意常数.
另, 0=u 即0=y 也是原方程的解，但此解课包含于通解0=c 之中.故,方程的通解为x
y ce y =.
2.2形如
2
221
11c y b x a c y b x a dx dy ++++=
(1.7) 的方程，这里212121,,,,,c c b b a a 均为常数. 此方程经变量变换可化为变量分离方程.
我们分三种情形来讨论：
2.2.1
()常数k c c b b b a ===2
1
2111的情形. 这时方程化为
k dx
dy
= 有通解
c kx y +=，
其中为任意的常数c . 2.2.2
2
12111c c k b b a a ≠==的情形. 令y b x a u 22+=，这时有
2
12
222c u c ku b a dx dy
b a dx du +++=+= 是变量分离方程.
2.2.3
2
1
11b b b a ≠的情形. 如果方程()1.2中21,c c 不全为零，方程右端分子、分母都是y x ,的一次多项式，因此
0121=++c y b x a ，
0222=++c y b x a . （1.8） 代表Oxy 平面上两条相交直线，设交点()βα,.若令
α-=x X ，
β-=y Y .
则（2.2）化为
11=+Y b X a ， 022=+Y b X a .
从而（2.1）变为
??
?
??=++=X Y Y b X a Y b X a dX dY ?2211. (1.9) 因此，求解上述变量分离方程，最后代回原变量即可得原方程（2.1）的解.
如果方程（2.1）中021==c c 可不必求解（2.2），直接取变换x
y
u =即可.
上述解题的方法也适用于比方程（2.1）更一般的方程类型
???? ??++++=222
111c y b x a c y b x a f dx
dy .
例4 求解方程
7
663
22-++-=
y x y x dx dy （2.0） 解： 解方程组 0322=+-y x , 0766=-+y x ,
得3
4
,61=-=y x .
于是，令
61
-=X x , 3
4
+=Y y ,
代入方程（2.4），则有
Y
X Y
X dx dy 6622+-=. ()1.2 再令X
Y
u =
,即 uX Y =，则()5.2化为 du u
u u
X dX 2211--+=， 两边积分，得
c
u u X ~12ln ln 22+-+-=， 因此
(
)
1~2
2
12c e u u X c
=±=-+，
代回原变量，得
1222c X XY Y =-+，
即
12
2613461234c x y x y =??? ??+-??? ??-??? ?
?++??? ??-.
因此，方程（2.3）的通解为
c x y xy x y =--
+-18
47
37222， 其中，c 为任意常数.
通过上述的求解，我们发现以上的方法是非常的准确的，但是对于像例5这种形式的的方程，我们发现还可以用另一种方法——凑微分进行求解.
凑微分 当方程
2
221
11c y b x a c y b x a dx dy ++++=
满足：
21b a -= （2.2） 时，方程会有更简便的求解方法（全微分的知识的运用）.
即：将12b a -=代入方程2
221
11c y b x a c y b x a dx dy ++++=
中， 有
2
221
21c y b x a c y a x a dx dy ++++= 即
=++dx c y b x a )(111dy c y b x a )(222++
展开，得
=++dx c ydx b xdx a 111dy c ydy b xdy a 222++ （2.3）
有条件（2.6）可知，
dx b xdy a ydx a xdy a xy d a 12222)(-=+= （2.4）
将（2.8）代入（2.7）中，得
0)222(1212222=--++x c x a y c y b xy a d .
很显然，这是一个全微分方程，从而原方程的通解为
C x c x a y c y b xy a =--++1212222222，其中C 为任意常数.
例5 求解方程
8
5
+-+-=
y x y x dx dy . 解法一：该方程属于（2.2.2）的情形.于是，令y x u -=.则dy dx du -= 所以，原方程可化为
8
3+=u dx du . 这是一个分离变量方程.整理可得
x u u 6162=+.
将y x u -=代入，可得
x y x y x 6)(16)(2=-+-
即，通解为
c y x xy y x =-+-+1610222.其中c 为任意常数.
观察例6可以发现，方程也满足条件(2.6)，于是用凑微分的方法同样可以求解.
解法二：原方程变形为
dx y x dy y x )5()8(+-=+-.
整理得
058)(=--+-+dx xdx dy ydy ydy xdy .
所以
0)52
1
821(22=--+-
x x y y xy d . 两边积分，得原方程的通解为x x y y xy 52
1
82122--+-=C ，其中C 为任意常数.
以上的两种方法都是求解微分方程的常用方法,下面再介绍几种比较常见的课分离变量的方程.
2.3形如 ()
c by ax f y
x dx dy ++=--βαβα11
的方程也可以经变量变换化为变量分离方
程，这里的c b a ,,均为常数.
做变量变换
c by ax u ++=βα，
这时有
()u f x b x a dx
dy y b x a dx du ???+??=???+??=----1111ααβαβαβα， 即
()
dx x u f b a du
1-=??+?αβα.
是变量分离方程.而当1==βα时，
()c by ax f dx
dy
++=为其特殊形式. 例7 求解方程y x
xy y x dx ++=3dy .
解：因为
y x
xy y x dx ++=3dy ， (2.5)
可以化为
()
1dy 22
++=y x y
x dx . 于是，令
122++=y x u . (2.6) 则
xu x dx
dy y x dx du 2222+=+=, (2.7) 将(2.9)代入(2.11)可以知道，这是一个分离变量方程. 即
xdx du u =+2
21
. 两边同时积分，得
()121ln c x u +=+. (2.8) 再将(2.10)代入(2.12)，得
()
12222ln c x y x +=++.
所以
1
2
222c x
e y x +=++
整理得，
2
22
2x Ce y x =++，其中C 为任意常数.
2.4其他几种变量能分离的方程类型
2.4.1形如
()()0=+dy xy xg dx xy yf , (2.9) 的方程同样可已经变量替换化为变量分离方程.
将(2.13)变形为
()()
xy yf xy xg dx dy -= (3.0) 做变量替换
xy u =. 这时有
2
x udx
xdu dy -=， (3.1) 将(2.15)代入(2.14)中，得
()()()dx x
du u uf u ug u g 1
=-.
是变量分离方程.
2.4.2形如
()xy f dx
dy
x =2
， (3.2) 的方程是变量分离方程.
做变量替换
xy u =，
则
2
x udx
xdu dx dy -=， (3.3) 代入原方程，得
()dx x
du u f u 1
1=-.
是变量分离方程.
2.4.3形如
??
?
??=2x y xf dx dy ， (3.4) 的方程是变量分离方程.
做变量替换
2
x y
u =
， 则，有
xudx du x dy 22+=， (3.5) 将(2.19)代入(2.18)中，得
()dx x
du u u f 1
21=-，
所以，原方程同样是变量可替换方程.
2.4.4形如
βαby ax dx
dy
+= (3.6) （其中α、β满足βααβ-=）的方程.
可令1+=αz y ，方程(2.20)化为齐次方程
???
?????+???
??+=-b x z dx dz α
αα11， 事实上，
()dx
dz
z dx dy αα1+=， 由于
ααβαβαβααααbz x bz x by x dx
dz
+=+=+=+， 所以
()ααα
αbz ax dx
dz
z +=+1， 即
()???
?????+???
??+=-b x z dx dz α
αα11， 再，设x
z
u =
，可化为变量分离变量. 除此之外，还有一些一般形式，如
()??
?
??+=x y f x x y dx dy ?可以通过变量替换x
y
u =
化为变量分离方程求解；形如()()()()ydx xdy y x N ydy xdx y x M -++,,（其中M 、N 为y x ,齐次函数，次数可以不相同）也可通过变量替换θρθρsin ,cos ==y x 化为变量分离方程求解.变量代换是求解一阶微分方程的一种重要方法，在一阶
微分方程的初等解法中具有重要的作用.
用分离变量法解常微分 方程 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】
用 分离变量法解常微分方程 . １ 直接可分离变量的微分方程 形如 dx dy = ()x f ()y ? 的方程，称为变量分离方程，这里()x f ，()y ?分别是的连续函数. 如果?(y)≠0，我们可将（）改写成 ) (y dy ?= ()x f ()x d , 这样，变量就“分离”开来了.两边积分，得到 通解：? )(x dy ?=? dx x f )(+c. 其中，c 表示该常数，? )(x dy ?，?dx x f )(分别理解为) (1y ?，()x f 的原函数.常数c 的取值必须保证（）有意义.使()0=y ?的0y y =是方程的解. 例1 求解方程01122=-+-dx y dy x 的通解. 解：(1)变形且分离变量： (2)两边积分： c x dx y dy +-=-? ? 2 2 11 ， 得 c x y +-=arcsin arcsin . 可以验证1±=y 也是原方程的解，若视x 和y 是平等的，则1±=x 也是原方程的解. 我们可以用这个方法来解决中学常见的一些几何问题.
例2 曲线L 上的点),(y x P 处的法线与x 轴的交点为Q ，且线段PQ 被y 轴平分.求曲线L 的方程. 分析:这是一个利用几何条件来建立微分方程的例子.先建立法线PQ 的方程，用大写的),(Y X 表示法线上的动点，用小写的表示曲线L 上的点，法κ为过点),(y x P 的法线的斜率. 解：由题意得 y '- =1法κ. 从而法线PQ 的方程为 )(1 x X y y Y -' - =-. 又PQ 被y 轴平分，PQ 与y 轴交点M 的坐标为?? ? ??2,0y ，代入上式，得 )0(1 2x y y y -' -=-. 整理后，得 x y y 2-='， 分离变量，解得 x +2 其中c 为任意正数，如图1. ２ 变量可替换的微分方程 种可化为变量分离方程的类型: 齐次方程 形如 ?? ? ??=x y dx dy ?
2.1 可分离变量型方程的解法 [教学内容] 1. 介绍导数、不定积分公式表及其意义; 2.介绍求导和求不定积分的法则; 3. 引入齐次方程的概念及其求解方法; 4. 介绍其他可分离变量型方程及其解法. [教学重难点] 重点是知道齐次方程如何引入新的因变量化为分离变量型方程，难点是如何根据方程的形式引入新的变量变换使得新方程为可分离变量型方程. [教学方法] 自学1、2；讲授3、4，5课堂练习 [考核目标] 1. 会熟记、记准导数公式和积分公式; 2. 知道求导法则和积分法则，并熟练、正确计算函数的导数和不定积分; 3. 知道齐次方程的形式 )x y f (dx dy =，并会用变换x y u =，将原方程化为 变量可分离型方程; 4. 知道探照灯形状设计问题及其求解步骤和方法; 5. 知道如何将函数 方程或积分方程求解问题化归为微分方程来求解. 1. 导数公式和积分表的意义 小学时大家熟记乘法口诀表，这是小学、中学数学乘、除运算的基础，要不然，买2斤苹果3斤梨子，都不知道该付给商贩多少钱。 大学时大家关心的是函数，其中求导和求积分是两个重要的运算，函数的不少性质需要求助于这两种运算的结果，比如单调性、凸凹性、曲线的长度等.（导数表参见《数学分析上》P101基本初等函数的导数公式，积分表参见《数学分析上》P180 列表） 练习17. （1） 合上书本，写出基本初等函数的导数公式和不定积分公式. （2）双曲正弦2e e sh x x x --=，双曲余弦2 e e ch x x x -+=，(有的教材用sinh x 和 cosh x 表 示). 证明：1x sh x ch ch x,(sh x)' sh x,(ch x)'2 2 =-==. 2. 求导法则和积分法则 碰到的函数成千上万，不可能记住所有这些函数的导数(积分)公式，但你要会将这些函数的导数（积分）转化为上面基本初等函数的导数（积分）来算，这就要知道求导（积分）法则. 对于一元函数f(x)y =而言，可导性和可微性是等价的， (x)' f dx dy =(x)dx ' f dy =?，导数也称为微商，原因是(x)' f 是y 的微分与x 微分的商. 下面就给出求导、求微分、求积分 法则. 设g(x) v f(x), u ==均可导，则 (x)' g (x)' f g(x))'(f(x)+=+, dv du v)d(u +=+； 相应（1）???+=+dv du v)d(u ; (x)' g )f(x (x)g(x)' f g(x))'(f(x)+=?, dv u du v v)d(u +=?；于是相应地有 （2） ???+=?dv u du v v)d(u ; (x)g' (g(x))' f (g(x)) (f dx d =，g(x) v dv, )v ('f d(f(g(x)))==；于是相应地有
§7. 2 可分离变量的微分方程 观察与分析: 1. 求微分方程y '=2x 的通解. 为此把方程两边积分, 得 y =x 2+C . 一般地, 方程y '=f (x )的通解为C dx x f y +=?)((此处积分后不再加任意常数). 2. 求微分方程y '=2xy 2 的通解. 因为y 是未知的, 所以积分? dx xy 22无法进行, 方程两边直 接积分不能求出通解. 为求通解可将方程变为 xdx dy y 212 =, 两边积分, 得 C x y +=-21, 或C x y +-=21, 可以验证函数C x y +-=21是原方程的通解. 一般地, 如果一阶微分方程y '=?(x , y )能写成 g (y )dy =f (x )dx 形式, 则两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程 G (y )=F (x )+C , 由方程G (y )=F (x )+C 所确定的隐函数就是原方程的通解 对称形式的一阶微分方程: 一阶微分方程有时也写成如下对称形式: P (x , y )dx +Q (x , y )dy =0 在这种方程中, 变量x 与y 是对称的. 若把x 看作自变量、y 看作未知函数, 则当Q (x ,y )≠0时, 有 ) ,(),(y x Q y x P dx dy -=. 若把y 看作自变量、x 看作未知函数, 则当P (x ,y )≠0时, 有 ) ,(),(y x P y x Q dy dx -=.
可分离变量的微分方程: 如果一个一阶微分方程能写成 g (y )dy =f (x )dx (或写成y '=?(x )ψ(y )) 的形式, 就是说, 能把微分方程写成一端只含y 的函数和dy , 另一端只含x 的函数和dx , 那么原方程就称为可分离变量的微分方程. 讨论: 下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？ (1) y '=2xy , 是. ?y -1dy =2xdx . (2)3x 2+5x -y '=0, 是. ?dy =(3x 2+5x )dx . (3)(x 2+y 2)dx -xydy =0, 不是. (4)y '=1+x +y 2+xy 2, 是. ?y '=(1+x )(1+y 2). (5)y '=10x +y , 是. ?10-y dy =10x dx . (6)x y y x y +='. 不是. 可分离变量的微分方程的解法: 第一步 分离变量, 将方程写成g (y )dy =f (x )dx 的形式; 第二步 两端积分:??=dx x f dy y g )()(, 设积分后得G (y )=F (x )+C ; 第三步 求出由G (y )=F (x )+C 所确定的隐函数y =Φ(x )或x =ψ(y ) G (y )=F (x )+C , y =Φ (x )或x =ψ(y )都是方程的通解, 其中G (y )=F (x )+C 称为隐式(通)解. 例1 求微分方程xy dx dy 2=的通解. 解 此方程为可分离变量方程, 分离变量后得 xdx dy y 21=, 两边积分得 ??=xdx dy y 21, 即 ln|y |=x 2+C 1, 从而 2 112x C C x e e e y ±=±=+. 因为1C e ±仍是任意常数, 把它记作C , 便得所给方程的通解 2 x Ce y =. 例2 铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M 成正比. 已知t =0时铀的含量为M 0, 求在衰变过程中铀含量M (t )随时间t 变化的规律.
第二章 分离变量法 偏微分方程定解问题常用解法，分离变量法。 解常微分方程定解问题时，通常总是先求出微分方程的特解，由线性无关的特解叠加出通解，而后用定解条件定出叠加系数 一阶线性偏微分方程的求解问题，基本方法也是转化为一阶线性常微分方程组的求解问题 对于二阶以及更高阶的偏微分方程定解问题，情况有些不同：即使可以先求出通解，由于通解中含有待定函数，一般来说，很难直接根据定解条件定出，因此，通常的办法就是把它转化为常微分方程问题 §2.1 有界弦的自由振动 什么是分离变量法？使用分离变量法应具备那些条件？ 下面通过两端固定的弦的自由振动问题来说明。 定解问题：考虑长为l ，两端固定的弦的自由振动，其数理方程及定解条件为 .0 ),(u ),(u 0, ,0u ,0u 0, l,0 ,0 t 0022 222l x x x t t x x u a t u t t l x x ≤≤==>==><
2019年数学物理方程-第二章分离变量法.doc
第二章 分离变量法 分离变量法是求解偏微分方程定解问题最常用的方法之一，它和积分变换 法一起统称为Fourier 方法. 分离变量法的本质是把偏微分方程定解问题通过变量分离，转化为一个所谓的特征值问题和一个常微分方程的定解问题，并把原定解问题的解表示成按特征函数展开的级数形式. 本章介绍两个自变量的分离变量法，更多变量的情形放在其他章节中专门讨论. §2?1 特征值问题 2．1.1 矩阵特征值问题 在线性代数中，我们已学过线性变换的特征值问题. 设A 为一n 阶实矩阵，A 可视为n R 到自身的线性变换。该变换的特征值问题（eigenvalue problem ）即是求方程： ,n Ax x x R λ=∈， （1.1） 的非零解，其中C λ∈为待定常数. 如果对某个λ，问题（1.1）有非零解n x R λ∈，则λ就称为矩阵A 的特征值(eigenvalue)，相应的n x R λ∈称为矩阵A 的特征向量(eigenvector). 一般来讲，特征值问题（1.1）有不多于n 个相异的特征值和线性无关的特征向量. 但可证明: 任一n 阶矩阵都有n 个线性无关的广义特征向量，以此n 个线性无关的广义特征向量作为n R 的一组新基，矩阵就能够化为Jordan 标准型. 若A 为一n 阶实对称矩阵，在线性代数中有一个重要结果，即存在一个正交矩阵T 使得 1T AT D -=， （1.2） 其中D =diag 12(,,...,)n λλλ为实对角阵. 设12[ ... ]n T T T T =，i T 为矩阵T 的第i 列向量(1)i n ≤≤，则式（1.2）可写为如下形式 1212 [ ... ][ ... ]n n A T T T T T T D =， 或 , 1.i i i A T T i n λ=≤≤ （1.3） 上式说明，正交矩阵T 的每一列都是实对称矩阵A 的特征向量，并且这n 个特征向量是相互正交的. 由于此结论在一定意义下具有普遍性，我们以定理的形式给出. 定理1.1 设A 为一n 阶实对称矩阵，考虑以下特征值问题 ,n Ax x x R λ=∈， 则A 的所有特征值为实数，且存在n 个特征向量,1i T i n ≤≤，它们是相互正交的（正交性orthogonality ），可做为n R 的一组基（完备性completeness ）. 特征值问题在线性问题求解中具有重要的意义，下面举例说明之. 为简单起见，在下面两个例子中取A 为n 阶非奇异实矩阵，故A 的所有特征值非零，并且假设A 有n 个线性无关的特征向量,i T 相应的特征值为, 1i i n λ≤≤. 例1.1 设n b R ∈，求解线性方程组 Ax b =. 解 由于向量组{1}i T i n ≤≤线性无关，故可做为n R 的一组基. 将,x b 按此
§2.2 有限杆上的热传导 定解问题：一均匀细杆，长为l ，两端坐标为l x x == ,0。杆的侧面绝热，且在端点0=x 处温度为零，而在l x = 处杆的热量自由发散到周围温度为0的介质中。初始温度为)(x ?，求杆上的温度变化情况，即考虑下定解问题： .0 ),(u 0, ,0hu ,0u 0, l,0 ,0002 2 2l x x t x u t x x u a t u t l x x ≤≤=>=+??=><<=??-??===? 仍用分离变量法求解。此定解问题的边界条件为第三类边界条件。类似§2.1中步骤，设)()(),(t T x X t x u =，代入上面的方程可得 ?????=+=+?-==. 0)()(,0)()() ()()()( 2 ' '22'2 2'''x X x X t T a t T x T a x T x X x X βββ 从而可得通解 x B x A x X ββsin cos )(+= 由边界条件知 .0)()(,0)0('=+=l hX l X X 从而 ?? ???-=?=+=.tan 0sin cos , 0h l l h l A βββββ 令 αγ γαβγ=?- ==tan 1 ,hl l 上方程的解可以看作曲线γtan 1=y ，αγ=2y 交点的横坐标，显然他们有无穷多个，于是方程有无穷多个根。用下符号表示其无穷多个正根 ,,21n γγγ 于是得到特征值问题的无穷个特征值
1,2,3...) (n ,2 2 2== l n n γβ 及相应的特征函数 x B x X n n n βsin )(= 再由方程0)()(22'=+t T a t T β， 可得 t a n n n e A t T 2 2)(β-=， 从而我们得到满足边界条件的一组特解 x e C t x u n t a n n n ββsin ),(2 2-= 由于方程和边界条件是齐次的，所以 ∑∞ =-=1 sin ),(2 2n n t a n x e C t x u n ββ 仍满足此方程和边界条件。 下面研究一下其是否满足初始条件。 )(sin 1 x x C n n n ?β=∑∞ = 可以证明}{sin x n β在区域[0,l]上具有正交性，即 ?≠=l m n xdx x 0 n m ,0sin sin ββ 证明： ) )((sin cos cos sin ))((2)sin()()sin()( ) (2)sin()(2)sin( ))cos()(cos(2 1sin sin 00=+--- =+-+---+=++- --=--+- =??m n m n m n n m n m m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n l m n m n l m n l l l l l l l l dx x x xdx x ββββββββββββββββββββββββββββββββββββ 完成。 令 ?=l n n n xdx x L 0 ,sin sin ββ 于是， ?= l n n n xdx x L C 0 sin )(1β ?
可分离变量的微分方程 观察与分析: 1. 求微分方程y '=2x 的通解. 为此把方程两边积分, 得 y =x 2+C . 一般地, 方程y '=f (x )的通解为C dx x f y +=?)((此处积分后不再加任意常数). 2. 求微分方程y '=2xy 2 的通解. 因为y 是未知的, 所以积分? dx xy 22无法进行, 方程两边直 接积分不能求出通解. 为求通解可将方程变为 xdx dy y 212=, 两边积分, 得 C x y +=-21, 或C x y +-=21, 可以验证函数C x y +-=21是原方程的通解. 一般地, 如果一阶微分方程y '=?(x , y )能写成 g (y )dy =f (x )dx 形式, 则两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程 G (y )=F (x )+C , 由方程G (y )=F (x )+C 所确定的隐函数就是原方程的通解 对称形式的一阶微分方程: 一阶微分方程有时也写成如下对称形式: P (x , y )dx +Q (x , y )dy =0 在这种方程中, 变量x 与y 是对称的. 若把x 看作自变量、y 看作未知函数, 则当Q (x ,y )≠0时, 有 ) ,(),(y x Q y x P dx dy -=. 若把y 看作自变量、x 看作未知函数, 则当P (x ,y )≠0时, 有 ),(),(y x P y x Q dy dx -=. 可分离变量的微分方程: 如果一个一阶微分方程能写成
g (y )dy =f (x )dx (或写成y '=?(x )ψ(y )) 的形式, 就是说, 能把微分方程写成一端只含y 的函数和dy , 另一端只含x 的函数和dx , 那么原方程就称为可分离变量的微分方程. 讨论: 下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？ (1) y '=2xy , 是. ?y -1dy =2xdx . (2)3x 2+5x -y '=0, 是. ?dy =(3x 2+5x )dx . (3)(x 2+y 2)dx -xydy =0, 不是. (4)y '=1+x +y 2+xy 2, 是. ?y '=(1+x )(1+y 2). (5)y '=10x +y , 是. ?10-y dy =10x dx . (6)x y y x y +='. 不是. 可分离变量的微分方程的解法: 第一步 分离变量, 将方程写成g (y )dy =f (x )dx 的形式; 第二步 两端积分:??=dx x f dy y g )()(, 设积分后得G (y )=F (x )+C ; 第三步 求出由G (y )=F (x )+C 所确定的隐函数y =Φ(x )或x =ψ(y ) G (y )=F (x )+C , y =Φ (x )或x =ψ(y )都是方程的通解, 其中G (y )=F (x )+C 称为隐式(通)解. 例1 求微分方程xy dx dy 2=的通解. 解 此方程为可分离变量方程, 分离变量后得 xdx dy y 21=, 两边积分得 ??=xdx dy y 21, 即 ln|y |=x 2+C 1, 从而 2 112x C C x e e e y ±=±=+. 因为1C e ±仍是任意常数, 把它记作C , 便得所给方程的通解 2 x Ce y =. 解 此方程为可分离变量方程, 分离变量后得
用分离变量法解常微分方程 . １直接可分离变量的微分方程 1.1形如 dx dy =()x f ()y ?(1.1) 的方程，称为变量分离方程，这里()x f ，()y ?分别是的连续函数. 如果?(y)≠0，我们可将（1.1）改写成 ) (y dy ?=()x f ()x d , 这样，变量就“分离”开来了.两边积分，得到 通解：?)(x dy ?=?dx x f )(+c. (1.2) 其中，c 表示该常数，?)(x dy ?，?dx x f )(分别理解为) (1y ?，()x f 的原函数.常数c 的取值必须保证（1.2）有意义.使()0=y ?的0y y =是方程(1.1)的解. 例1求解方程01122=-+-dx y dy x 的通解. 解：(1)变形且分离变量： (2)两边积分： c x dx y dy +-=-??2211， 得 c x y +-=arcsin arcsin . 可以验证1±=y 也是原方程的解，若视x 和y 是平等的，则1±=x 也是原方程的解. 我们可以用这个方法来解决中学常见的一些几何问题. 例2曲线L 上的点),(y x P 处的法线与x 轴的交点为Q ，且线段PQ 被y 轴平分.求曲线L 的方 程. 分析:这是一个利用几何条件来建立微分方程的例子.先建立法线PQ 的方程，用大写的),(Y X 表示法线上的动点，用小写的表示曲线L 上的点，法κ为过点),(y x P 的法线的斜率.
解：由题意得 y ' -=1法κ. 从而法线PQ 的方程为 )(1x X y y Y -'-=-. 又PQ 被y 轴平分，PQ 与y 轴交点M 的坐标为?? ? ??2,0y ，代入上式，得 )0(12x y y y -' -=-. 整理后，得 x y y 2-='， 分离变量，解得 c y x =+22 2 ， 其中c 为任意正数，如图1. ２变量可替换的微分方程 通过上面的介绍，我们已经知道了什么方程是变量分离方程.下面，我们再介绍几种可化为变 量分离方程的类型: 2.1齐次方程 形如?? ? ??=x y dx dy ?(1.3) 的微分方程，称为齐次微分方程.这里)(u ?是u 的连续函数. 对方程(1.3)做变量变换 x y u =，(1.4) 即ux y =，于是 u dx du x dx dy +=.(1.5) 将(1.4),(1.5)代入（1.3），则原方程变为 )(u u dx du x ?=+， 图1
第五讲补充常微分方程求解相关知识。
第二章 分离变量法 偏微分方程定解问题常用解法，分离变量法。 解常微分方程定解问题时，通常总是先求出微分方程的特解，由线性无关的特解叠加出通解，而后用定解条件定出叠加系数 一阶线性偏微分方程的求解问题，基本方法也是转化为一阶线性常微分方程组的求解问题 对于二阶以及更高阶的偏微分方程定解问题，情况有些不同：即使可以先求出通解，由于通解中含有待定函数，一般来说，很难直接根据定解条件定出，因此，通常的办法就是把它转化为常微分方程问题 （第六讲） §2.1 有界弦的自由振动 什么是分离变量法？使用分离变量法应具备那些条件？ 下面通过两端固定的弦的自由振动问题来说明。 定解问题：考虑长为l ，两端固定的弦的自由振动，其数理方程及定解条件为 .0 ),(u ),(u 0, ,0u ,0u 0, l,0 ,0 t 0022 222l x x x t t x x u a t u t t l x x ≤≤==>==><
第七章 微分方程 第一节 微分方程的基本概念 一、单项选择题 1. 下列各式中是常微分方程的为 B . A. 23y y += B. 2y y y '''+= C. 22xy y xy += D. x y x z z y ''++= 2. 微分方程3d d y x y x x =+的通解为y = B . A. 34x C x + B. 32x Cx + C. 33x C + D. 3 4 x Cx + 3. 函数y C x =-(C 为任意常数)是微分方程1xy y '''-=的 C . A. 通解 B. 特解 C. 是解，但既不是通解也不是特解 D. 不是解 4. 微分方程0y y ''+=的通解是y = D . A. sin A x B. cos B x C. sin cos x B x + D. sin cos A x B x + 5． 已知某微分方程的通解为212()e x y C C x =+，且满足01x y ='=,00x y ==， 则有 B . A. 2e x y = B. 2e x y x = C. 2(1)e x y x =+ D. 22e x y = 二、验证满足()ln y xy =的函数()y y x =是微分方程()220xy x y xy yy y '''''-++-=的解. 解：方程ln()y xy =两边同时对x 求导得11y y x y ''=+，整理得y y xy x '=-，两 边再对x 求导得() ()3223()(1) 22y xy x y y xy xy xy xy y xy x xy x ''--+--+-''==--，将,y y '''代入原 方程得()3223222()20()xy xy xy y y y xy x x y xy x xy x xy x xy x -+--++-=----.因此，由 ln()y xy =所确定的函数是微分方程的解.
第二章 分离变量法 §2.1 有界弦的自由振动 为了了解什么是分离变量法以及使用分离变量法应该具备什么条件，我们选取两端固定的弦的自由振动问题为例，通过具体地求解逐步回答这些问题。 讨论两端固定的弦的自由振动，归结求解下列定解问题： 22222000,0,0 (2.1)0,0,0 (2.2)(),(),0 (2.3)x x l t t u u a x l t t x u u t u u x x x l t ?ψ====???=<<>?????==>????==≤≤??? 这个定解问题的特点是：偏微分方程是线性齐次的，边界条件也是齐次的。求解这样的问题，可以运用叠加原理。我们知道，在求解常系数线性齐次常微分方程的初值问题时，是先求出足够多个特解（它们能构成通解），再利用叠加原理作这些特解的线性组合，使满足初始条件。这就启发我们，要解问题（2.1～2.3），先寻求齐次方程（2.1）的满足齐次边界条件（2.2）的足够多个具有简单形式（变量被分离的形式）的特解，再利用它们作线性组合使满足初始条件（2.3）。 这种思想方法，还可以从物理模型得到启示。从物理学知道乐器发出的声音可以分解成各种不同频率的单音，每种单音，振动时形成正弦曲线，其振幅依赖于时间t ，即每个单音可以表示成
(,)()sin u x t A t x ω= 的形式，这种形式的特点是：u (x ,t )中的变量x 与t 被分离出来。 根据上面的分析，现在我们就试求方程（2.1）的分离变量形式 (,)()()u x t X x T t = 的非零解，并要求它满足齐次边界条件（2.2），式中X (x )，T （t ）分别表示仅与x 有关及仅与t 有关的待定函数。 由(,)()()u x t X x T t =得 2222()(),()()u u X x T t X x T t x t ??''''==?? 代入方程（2.1）得 2()()()()X x T t a X x T t ''''= 或 2()()()() X x T t X x a T t ''''= 这个式子左端仅是x 的函数，右端仅是t 的函数，只有它们均为常数时才能相等。令此常数为-λ，则有 2()()()() X x T t X x a T t λ''''==- 这样我们得到两个常微分方程： 2()()0T t a T t λ''+= （2.4） ()()0X x X x λ''+= （2.5） 再利用边界条件（2.2），由于u (x ,t )＝X (x ) T （t ），故有 (0)()0,()()0X T t X l T t == 但T （t ）不恒等于零，因为如果T （t ）≡0，则u (x ,t )＝0，这种解称
第二节 可分离变量的微分方程 微分方程的类型是多种多样的，它们的解法也各不相同. 从本节开始我们将根据微分方程的不同类型，给出相应的解法. 本节我们将介绍可分离变量的微分方程以及一些可以化为这类方程的微分方程，如齐次方程等. 内容分布图示 ★ 可分离变量微分方程 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 齐次方程 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 可化为齐次方程的微分方程 ★ 例 11 ★ 例 12 ★ 例 13 ★ 例 14 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题8-2 ★ 返回 内容要点： 一、可分离变量的微分方程 设有一阶微分方程 ),(y x F dx dy =, 如果其右端函数能分解成)()(),(x g x f y x F =，即有 )()(y g x f dx dy =. (2.1) 则称方程(2.1)为可分离变量的微分方程，其中)(),(x g x f 都是连续函数. 根据这种方程的特点，我们可通过积分来求解. 求解可分离变量的方程的方法称为分离变量法. 二、齐次方程：形如 ?? ? ??=x y f dx dy (2.8) 的一阶微分方程称为齐次微分方程，简称齐次方程.. 三、可化为齐次方程的方程：对于形如 ???? ??++++=222 111c y b x a c y b x a f dx dy 的方程，先求出两条直线 ,0111=++c y b x a 0222=++c y b x a 的交点),(00y x ，然后作平移变换
???-=-=00y y Y x x X 即 ? ??+=+=00y Y y x X x 这时，dX dY dx dy =，于是，原方程就化为齐次方程 ,2211???? ??++=Y b X a Y b X a f dX dY 例题选讲： 可分离变量的微分方程 例1（讲义例1）求微分方程xy dx dy 2=的通解. 例2（讲义例2）求微分方程ydy dx y xydy dx +=+2的通解. 注：在用分离变量法解可分离变量的微分方程的过程中, 我们在假定0)(≠y g 的前提下, 用它除方程两边, 这样得到的通解, 不包含使0)(=y g 的特解. 但是, 有时如果我们扩大任意常数C 的取值范围, 则其失去的解仍包含在通解中. 如在例2中，我们得到的通解中应该0≠C ，但这样方程就失去特解1±=y ，而如果允许0=C ，则1±=y 仍包含在通解22)1(1-=-x C y 中. 例3 已知,tan 2cos )(sin 22x x x f +=' 当10< 3-5-可分离变量型方程及其解法 2.1 可分离变量型方程的解法 [教学内容] 1. 介绍导数、不定积分公式表及其意义; 2.介绍求导和求不定积分的法则; 3. 引入齐次方程的概念及其求解方法; 4. 介绍其他可分离变量型方程及其解法. [教学重难点] 重点是知道齐次方程如何引入新的因变量化为分离变量型方程，难点是如何根据方程的形式引入新的变量变换使得新方程为可分离变量型方程. [教学方法] 自学1、2；讲授3、4，5课堂练习 [考核目标] 1.会熟记、记准导数公式和积分公式; 2. 知道求导法则和积分法则，并熟练、正确计算函数的导数和不定积分; 3. 知道齐次方程的形式?Skip Record If...?，并会用变换?Skip Record If...?，将原方程化为变量可分离型方程; 4. 知道探照灯形状设计问题及其求解步骤和方法; 5. 知道如何将函数方程或积分方程求解问题化归为微分方程来求解. 1. 导数公式和积分表的意义 小学时大家熟记乘法口诀表，这是小学、中学数学乘、除运算的基础，要不然，买2斤苹果3斤梨子，都不知道该付给商贩多少钱。大学时大家关心的是函数，其中求导和求积分是两个重要的运算，函数的不少性质需要求助于这两种运算的结果，比如单调性、凸凹性、曲线的长度等.（导数表参见《数学分析上》P101基本初等函数的导数公式，积分表参见《数学分析上》P180 列表） 练习17. （1）合上书本，写出基本初等函数的导数公式和不定积分公式. （2）双曲正弦?Skip Record If...?，双曲余弦?Skip Record If...?，(有的教材用sinh x 和 cosh x 表示). 证明：?Skip Record If...?.最新3-5-可分离变量型方程及其解法汇总
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