第三章 3.1 第1课时
一、选择题
1．对于实数a 、b ，下列结论正确的是( ) A ．a ＋b i 是实数 B ．a ＋b i 是虚数 C ．a ＋b i 是复数 D ．a ＋b i ≠0
[答案] C
2．下列说法中正确的个数是( )
①实数是复数；②虚数是复数；③实数集和虚数集的交集不是空集；④实数集与虚数集的并集等于复数集．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
[答案] C
[解析] ①②④正确，故选C. 3．下列说法正确的是( )
A ．如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等
B ．a i 是纯虚数
C ．如果复数x ＋y i 是实数，则x ＝0，y ＝0
D ．复数a ＋b i 不是实数 [答案] A
[解析] 两个复数相等的充要条件是实部、虚部分别相等．故选A.
4．(2014·白鹭洲中学期中)复数z ＝(m 2＋m )＋m i(m ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为( )
A ．0或－1
B ．0
C ．1
D ．－1
[答案] D
[解析] ∵z 为纯虚数，∴?
????
m 2
＋m ＝0，
m ≠0，∴m ＝－1，故选D.
5．复数z ＝a 2－b 2＋(a ＋|a |)i (a 、b ∈R )为纯虚数的充要条件是( ) A ．|a |＝|b | B ．a <0且a ＝－b C ．a >0且a ≠b D ．a >0且a ＝±b
[答案] D
[解析] a 2－b 2＝0，且a ＋|a |≠0.
6．若sin2θ－1＋i(2cos θ＋1)是纯虚数，则θ的值为( ) A ．2k π－π
4(k ∈Z )
B ．2k π＋π
4(k ∈Z )
C ．2k π±π
4(k ∈Z )
D ．k π2＋π
4
(k ∈Z )
[答案] B
[解析] 由??
?
sin2θ－1＝0
2cos θ＋1≠0
得???
2θ＝2k π＋π
2θ≠2k π＋π±π
4
(k ∈Z )
∴θ＝2kπ＋π
4
.故选B.
7．若x 、y ∈R ，则“x ＝0”是“x ＋y i 为纯虚数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 [答案] B
[解析] x ＝0，y ＝0时，x ＋y i 不是纯虚数．故选B.
8．若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x 的值为( ) A ．1 B ．±1 C ．－1 D ．－2
[答案] A
[解析] 解法一：由x 2－1＝0得，x ＝±1，当x ＝－1时，x 2＋3x ＋2＝0，不合题意，当x ＝1时，满足，故选A.
解法二：检验法：x ＝1时，原复数为6i 满足，排除C 、D ；x ＝－1时，原复数为0，不满足，排除B.故选A.
二、填空题
9．若(x ＋y －2)＋(x －y －4)i ＝0(x 、y ∈R )，则x ＝________，y ＝________. [答案] 3 －1
[解析] 根据复数相等的充要条件有????
?
x ＋y －2＝0x －y －4＝0，
∴?
????
x ＝3
y ＝－1. 10．设C ＝{复数}，A ＝{实数}，B ＝{纯虚数}，全集U ＝C ，那么下面结论正确的个数是________．
①A ∪B ＝C ；② ?U A ＝B ；③A ∩?U B ＝C ；④C ∪B ＝C . [答案] 1
[解析] 只有④正确．
11．已知复数z ＝k 2－3k ＋(k 2－5k ＋6)i(k ∈Z )，且z ＜0，则k ＝________. [答案] 2
[解析] ∵z ＜0，k ∈Z ，∴?
????
k 2－3k ＜0
k 2－5k ＋6＝0∴k ＝2.
三、解答题
12．(2014·微山一中高二期中)实数m 分别取什么数值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i
(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数；(4)是0.
[解析] 由m 2＋5m ＋6＝0得，m ＝－2或m ＝－3，由m 2－2m －15＝0得m ＝5或m ＝－3.
(1)当m 2－2m －15＝0时，复数z 为实数，∴m ＝5或－3； (2)当m 2－2m －15≠0时，复数z 为虚数，∴m ≠5且m ≠－3.
(3)当?????
m 2
－2m －15≠0，m 2＋5m ＋6＝0.时，复数z 是纯虚数，∴m ＝－2.
(4)当?
????
m 2－2m －15＝0，m 2＋5m ＋6＝0.时，复数z 是0，∴m ＝－3.
一、选择题
1．下列命题中哪个是真命题( ) A ．－1的平方根只有一个 B ．i 是1的四次方根 C ．i 是－1的立方根 D ．i 是方程x 6－1＝0的根 [答案] B
[解析] ∵(±i)2＝－1，∴－1的平方根有两个，故A 错；∵i 3＝－i ≠－1.∴i 不是－1的立方根；∴C 错；
∵i 6＝i 2＝－1，∴i 6－1≠0，故i 不是方程x 6－1＝0的根，故D 错； ∵i 4＝1，∴i 是1的四次方根．故选B.
2．(2014·江西临川十中期中)若(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i 是纯虚数，则实数m 的值为( )
A ．－1
B ．4
C ．－1或4
D ．不存在
[答案] B
[解析] 由条件知，?
????
m 2－3m －4＝0，
m 2－5m －6≠0，
∴?
???
?
m ＝－1或4，m ≠－1或m ≠6，∴m ＝4. 3．若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ的值为( ) A.π4
B ．π4或5
4π
C ．2k π＋π
4(k ∈Z )
D ．kπ＋π
4
(k ∈Z )
[答案] D
[解析] 由复数相等的条件得cos θ＝sin θ. ∴θ＝kπ＋π
4
(k ∈Z )．故选D.
4．若复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i(a ∈R )不是纯虚数，则( ) A ．a ＝－1 B ．a ≠－1且a ≠2 C ．a ≠－1 D ．a ≠2
[答案] C
[解析] ①因为a 2－a －2≠0时，已知的复数一定不是纯虚数．解得a ≠－1且a ≠2. ②当a 2－a －2＝0，且|a －1|－1＝0时，已知的复数也不是一个纯虚数．
解得?
????
a ＝－1或a ＝2，a ＝0或a ＝2.∴a ＝2.
综上可知，当a ≠－1时，已知的复数不是一个纯虚数．故选C. 二、填空题
5．若x [解析] 由复数相等的条件知????? xy ＝2 x 2＋y 2＝5， ∵x ＜y ＜0，∴? ???? x ＝－2 y ＝－1. 6．若复数z ＝m ＋(m 2－1)i(m ∈R )满足z <0，则m ＝________. [答案] －1 [解析] ∵z <0即????? m <0 m 2－1＝0 ，∴m ＝－1. 7．复数z ＝sin θ－1＋i(1－2cos θ)且θ∈(0，π)，若z 为实数，则θ的值为________；若z 为纯虚数，则θ的值是________． [答案] π3 π 2 [解析] z ∈R 时，1－2cos θ＝0， ∴cos θ＝12，∵0<θ<π，∴θ＝π 3 ； z 为纯虚数时，????? sin θ－1＝01－2cos θ≠0 ，又∵θ∈(0，π)，∴θ＝π 2. 三、解答题 8．求适合方程(x ＋y )2＋[(x －y )2－3(x －y )]i ＝9－2i 的实数x 、y 的值． [解析] 由两复数相等的充要条件，得 ? ???? (x ＋y )2 ＝9(x －y )2 －3(x －y )＝－2 ?????? x ＋y ＝－3x －y ＝2或????? x ＋y ＝3x －y ＝2 或????? x ＋y ＝－3x －y ＝1或????? x ＋y ＝3x －y ＝1 解得??? x ＝－1 2y ＝－5 2 或??? x ＝5 2y ＝1 2 或????? x ＝2y ＝1或????? x ＝－1 y ＝－2 . 9．已知复数z 1＝m ＋(4－m 2)i(m ∈R )，z 2＝2cos θ＋(λ－3sin θ)i(λ∈R )．若z 1＝z 2，证明： －9 16 ≤λ≤7. [解析] 由复数相等的条件， 得? ???? m ＝2cos θ 4－m 2 ＝λ－3sin θ， ∴λ＝4－4cos 2θ＋3sin θ＝4? ???sin θ＋382－9 16， 当sin θ＝－38时，λmin ＝－916；当sin θ＝1时，λmax ＝7.∴－9 16 ≤λ≤7.
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