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理工ch2

第二章 导数与微分

一. 填空题

1. x

x x f +-=11)(, 则)()

(x f

n = _______.解. 1

11

2)

1(!12)1()1(11)('++?-=++---=x x x x x f , 假设1

)

()

1(!2)1(++?-=

k k

k x k f , 则

1

11

)

1()

1()!

1(2)

1(++++++?-=

k k k x k f

, 所以

1

)

()

1(!2)1(++?-=

n n

n x n f

2. 设??

?=+=t

y t x cos 12

, 则=2

2dx

d

y ______.解.

t

t dx

dy 2sin -=

, 3

2'

22

4cos sin 214sin 2cos 22sin t

t t t t t t t t dx

dt t t dx

y d t -=--=??? ?

?-=

3. 设函数y = y(x)由方程0)cos(=++xy e y x 确定, 则

=dx

dy ______.解. 0sin )'()'1(=+-++xy xy y y e y x , 所以

xy

x e e xy y y y

x y

x sin sin '--=++

4. 已知f(-x) =-f(x), 且k x f =-)('0, 则=)('0x f ______.

解. 由f(-x) =-f(x)得)(')('x f x f -=--, 所以)(')('x f x f =- 所以 k x f x f =-=)(')('00 5. 设f(x)可导, 则=??--?+→?x

x n x f x m x f x )()(lim 000

_______.

解. x

x n x f x f x f x m x f x ??--+-?+→?)

()()()(lim

00000

=x

m x f x m x f m x ?-?+→?)()(lim 000

+x

n x f x n x f n x ?--?-→?)()(lim 000

=)(')(0x f n m +

6. 设)('3

1)()(lim 0000

x f x x f x k x f x =?-?+→?, 则k = ________.

解. )('31)()(lim 0000

x f x k x f x k x f k x =?-?+→?, 所以)('31)('0

0x f x kf =所以 3

1=k

7. 已知x x f dx d 112=????????? ??, 则=??? ??21'f _______. 解. x x x f 121'3

2=???? ??-, 所以21'2

2x x f -=??? ??. 令x 2 = 2, 所以11'2-=??

? ??x f 8. 设f 为可导函数, )]}([sin sin{x f f y =, 则=dx

dy _______. 解.

)]}([sin cos{)]([sin ')(cos )('x f f x f f x f x f dx

dy =

9. 设y = f(x)由方程1)cos(2-=-+e xy e y x 所确定, 则曲线y = f(x)在点(0, 1)处的法线方程为_______. 解. 上式二边求导0)sin()'()'2(2=+-++xy xy y y e y x . 所以切线斜率 2)0('-==y k . 法线斜率为

2

1, 法线方程为

x

y 2

11=

-, 即 x -2y + 2 = 0.

二. 单项选择题1. 已知函数f(x)具有任意阶导数, 且2

)]([)('x f x f =, 则当n 为大于2的正整数时, f(x)的n 阶导数是 (a) 1)]([!+n x f n (b) 1)]([+n x f n (c) n x f 2)]([ (d) n x f n 2)]([! 解. 3)]([!2)(')(2)(''x f x f x f x f ==, 假设)()

(x f k =1

)]

([!+k x f k , 所以

)()

1(x f k +=2

)]

([)!1()(')]([!)1(++=+k k

x f k x f x f k k , 按数学归纳法

)()

(x f

n =1

)]

([!+n x f n 对一切正整数成立. (a)是答案.

2. 设函数对任意x 均满足f(1 + x) = af(x), 且=)0('f b, 其中a, b 为非零常数, 则 (a) f(x)在x = 1处不可导 (b) f(x)在x = 1处可导, 且=)1('f a (c) f(x)在x = 1处可导, 且=)1('f b (d) f(x)在x = 1处可导, 且=)1('f ab 解. 在f(1 + x) = af(x)中代入)0()1(,0af f x ==得

x

f x f f x ?-?+=→?)

1()1(lim

)1('0=ab

af x

af x af x ==?-?→?)0(')

0()(lim

, 所以. (d)是答案

注: 因为没有假设)(x f 可导, 不能对于)()1(x af x f =+二边求导. 3. 设||3)(23x x x x f +=, 则使)0()

(n f 存在的最高阶导数n 为 (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3

解.

??

?=3

3

24)(x

x x f 0

0<≥x x . ??

?=x

x x f 1224)(''

0<≥x x

24024lim 0

)0('')(''lim )0('''0

=-=--=+

+

→→+x

x x f x f f x x 12012lim 0

)0('')(''lim )0('''0

=-=--=-

-

→→-x

x x f x f f x x

所以n = 2, (c)是答案.

4. 设函数y = f(x)在点x 0处可导, 当自变量x 由x 0增加到x 0 + ?x 时, 记?y 为f(x)的增量, dy 为f(x)的微分, x

dy y x ?-?→?0

lim 等于

(a) -1 (b) 0 (c) 1 (d) ∞

解. 由微分定义?y = dy + o (?x), 所以0)(lim lim 0

=??=?-?→→?x

x o x

dy y x x . (b)是答案.

5. 设

??

???+=b ax x

x x f 1sin

)(2

0≤>x x 在x = 0处可导, 则

(a) a = 1, b = 0 (b) a = 0, b 为任意常数 (c) a = 0, b = 0 (d) a = 1, b 为任意常数 解. 在x = 0处可导一定在x = 0处连续, 所以 )(lim 1sin

lim 0

20

b ax x

x x x +=-+

→→, 所以b = 0.

)0(')0('-

+

=f f ,

x

ax

x

x x x x -

+

→→=02

lim 1

sin

lim , 所以 0 = a. (c)是答案.

三. 计算题 1. ')]310ln[cos(2y x y ,求+= 解. )310tan(6)

310cos(6)310sin('22

2

x x x x x y +-=+?+-=

2. 已知f(u)可导, ')][ln(2y x a x f y ,求++= 解. ='y ???

? ??++++

?

++2

222211)][ln('x a x x

a x x a x f =2

2)][ln('x a x a x f +++

3. 设y 为x 的函数是由方程x

y y

x arctan

ln

2

2=+确定的, 求'y .

解.

2

22

2

2

2

2

1'2'22x

y x y

x y y

x y x yy x +

-=

+++ y x y yy x -=+'', 所以

y

x y x y -+=

'

4. 已知???==t

e y t e x t

t

cos sin , 求2

2

dx

y d .

解. t

t t t t e t e t e t e dx dy t

t t

t sin cos sin cos sin cos sin cos +-=+-=,

dt

dx t t t t t t dx dt t t t t dt d dx

y d 1

)

sin (cos )sin (cos )sin (cos sin cos sin cos 2

2

22

2

?+--+-=???? ??+-=

3

2

2

)

s i n (c o s 2

t t e dx

y d t

+-

=

5. 设2

/32

2)

(x x u y y x +=+=,, 求

du

dy

解. dy y dx )12(+=, dx x x x du )12()(2

321

2++=

dx

x x x dx

du

dy

y )12(2

3)12(2

++=

+

)

12()12(32

2

+++=

x x x y du

dy

6. 设函数f(x)二阶可导, 0)0('≠f ,

且???-=-=)

1()(3t

e f y t f x π, 求

=t dx dy ,

2

2

=t dx

y d .

解. )

('3)1('33t f e e f dx dy t

t -=, 所以0

=t dx dy

=3. 3

333323322)]

('[)('')1(')(')]1('3)(3)1(''[3t f t f e f e t f e f e e e f dx y d t

t t t t t ---+-=

所以

2

3

2

2

)]

0('[)0(''6)0('9)]

0('[)

0('')0(')0(')]0('3)0(''3[3

f f f f f f f f f t dx y

d +=

-+==

7. 设曲线x = x(t), y = y(t)由方程组???=+=e

e e te

x y

t

t

2确定. 求该曲线在t = 1处的曲率.

解. e

e e

e

e y t

t

y

t

t 2'-=

-=. 所以)

2)(1(1

2'

'e e t te

e e e e

x y dx

dy t

t

t t t

t t -+=

+-== 所以

e

t dx dy 211

-

==.

t t t

t

t e e e t te e e dx dt e e t dt d dx

y d 2322

)2()1(22)2)(1(1

-++--=????

??-+= 所以 2

22811e

t dx y d -==. 在t = 1的曲率为

2

32

23

22

23

2

)

41(41181

1

)'1(|

''|-

-+=?

?? ?

?

+=

=+=

e

e e e

t y y k

四. 已知当x ≤ 0时, f (x )有定义且二阶可导, 问a, b, c 为何值时 ???++=c

bx ax

x f x F 2

)

()(

0>≤x x 二阶可导.

解. F(x )连续, 所以)(lim )(lim 0

x F x F x x +

-

→→=, 所以c = f (-0) = f (0);

因为F(x )二阶可导, 所以)('x F 连续, 所以b = )0(')0('f f =-, 且 ??

?+=-)

0('2)

(')('f ax x f x F

0>≤x x )0(''F 存在, 所以)0('')0(''+-=F F , 所以 a x f f ax x f x f x x 2)0(')0('2lim )

0(')('lim 00=-+=--→→+-

, 所以 )0(''2

1f a = 五. 已知)

0(1)()

(2

2n f

x

x

x f ,求-=

. 解. x

x

x f +?

+

-?

+-=11

21

11

211)( 1

1

)

()

1()

1(21

)

1(!

21

)(+++-?

+

-?

=

n n n n x x n x f

0)0()

12(=+k f , k = 0, 1, 2, … !)0(2n f

k

=, k = 0, 1, 2, …

六. 设x x y ln =, 求)1()

(n f .解. 使用莱布尼兹高阶导数公式

1

2

1

)

1()

()

()!2()

1()!1()

1()(ln )

(ln )(------+--=+?=n n n

n n n n x

n n x

n x x n x x x f

=1211

21)!2()1()1()!2()1(-------=??????+----n n n n n x n x n x n n 所以 )!2()

1()1(2

)

(--=-n f n n

七. 已知

'.,sin cos 2

2

2

y y tdt dt e x y t

求+=

?

?

解. 两边对x 求导,

2

2

2

2cos 2cos 2',

cos '2cos 2'2

2

y

y e

x

x y y yy x x y e

y

y

-=

+=

第三章 一元函数积分学(不定积分)

一. 求下列不定积分: 1.

?-+-

dx x

x x

11ln

112

解.

=-+-?dx x x

x

11ln 11

2

c x x x x

d x x +??

?

??-+=-+-+?2

11ln 4111ln 11ln 21

2. c x x x x

d x x

dx x x x +???

?

?-+=-+-+=-++??2

211arctan 2111arctan 11arctan 11arctan 11 3.

?

++?+++dx x

x

x x x cos 1sin 1)cos 1(1sin cos 2

解.

c x x x x

d x x dx x

x

x x x +??

?

??++=++++=++?+++??

2

2

cos 1sin 121cos 1sin 1cos 1sin 1cos 1sin 1)cos 1(1sin cos

4.

?

+)

1(8

x x dx 解. 方法一: 令t

x 1=

,

c t t dt t dt t t t

x x dx ++-=+-=??

?

??+-

=

+??

?

)1ln(8

1

1

11

11)

1(8

8

7

82

8

= c x +??

? ??+-811ln 81 方法二:

???+-

-=+=

+dx x x

x x x

dx

x x

x dx

)111(

)1()

1(8

8

7

8

8

7

8

=c x x x x d x dx ++-=++-??

)1ln(81||ln 1)1(81888

=c x +??

? ?

?+-811ln 8

1 5.

dx

x

x x x x x dx x

x x

??

+++

-+

++=

+++cos sin 121)cos (sin 2

1

)cos sin 1(2

1

cos sin

1sin 1 ??

?+++

++--=dx

x

x dx x

x x

x dx cos sin 1121

cos sin

1sin cos 21

2

1

dx

x x x x

x x x d x ?

?

++

++++-

=2

cos

22cos

2sin

21

2

1cos sin 1)cos sin 1(2

12

12

2

t a n

1

2t a n

12

1|c o s s i n 1|ln 2

12

1x d x x x x ?

++

++-

=

c x x x x +++++-=|12

t a n |ln 2

1|cos sin 1|ln 2

12

1

二. 求下列不定积分:

1.

?+++2

2)

1(2

2

x x x dx

解.

??++++=

+++1

)1()

1()

1(2

2)

1(2

2

2

2

x x x d x x x dx

t x tan 1=+令

?

t

t t dt sec tan cos 2

2

=?++++-

=+-=c x x x c t

t

tdt 1

22sin 1sin

cos 2

2

2.

?

+2

4

1x

x

dx 解. 令x = tan t,

?

??

?

?

++

-

=-

=

==

+c

t

t

t

t d t

t d dt t

t

t

t t dt

x

x

dx sin 1sin 31sin

sin sin

sin sin

cos sec tan cos 13

2

4

4

3

4

2

2

4

=c

x

x x

x +++???

?

??+-2

3

2

1131

3.

?++2

2

1)12(x

x

dx

解. 令t x tan =

????+=

+=

+=

++t

t

d dt t

t t

dt t

t t

x

x

dx

2

2

2

2

2

2

2

sin

1sin cos sin

2cos sec )1tan

2(sec 1)12(

=c

x

x c t ++=+2

1arctan

sin arctan

4. ?

-2

2

2

x

a

dx x (a > 0)解. 令t a x sin =

?

?

?

+-

=

-=?=

-c

t a t a dt t

a

t

a tdt

a t a x

a dx x 2sin 4

12

12

2cos 1cos cos sin

2

2

2

2

22

2

2

=c

x a a

x a x a +??

?

??

--2222

arcsin

2

5.

?

-dx

x 3

2

)1(解. 令t x sin =

???

?

++=+=

=

-dt

t

t dt t tdt dx x 4

2cos 2cos 214)

2cos 1(cos )1(2

2

4

3

2

=?++

+

=

++

+

c

t t t dt t t t 4sin 32

12sin 4

18

3)4cos 1(8

1

2sin 4

14

1=c

t t x +++)2cos 4

11(2sin 4

1arcsin

83

=c

t

t t x +-++

)4

sin 214(

cos sin 24

1arcsin

8

32

=c

x x x x +--+)25(18

1arcsin

8

32

2

6.

?

-dx x

x 4

2

1解. 令t

x 1

=

?

??

--=??

? ??--=

-dt t t dt t t

t t

dx x

x 224

2

2

4

2

11111 u t sin =令?

-udu u 2cos sin

=c x

x c u +-=

+3

3

233)1(cos 3

1

7. ?-+dx x x

x 112

2

解. 令

tdt t dx t x tan sec ,sec ==

???

++=+=

+=

-+c t t dt t tdt t t

t t dx x x

x sin )cos 1(tan sec tan sec

1

sec 1

1

2

2

2

c

x

x x

+-+

=11a r c c o s 2

三. 求下列不定积分: 1.

?+-+dx

e e

e

e

x

x

x

x

1

243解.

???+-=+--=

+-+=

+-+-----c

e

e e

e

e

e d dx e

e

e

e dx e e

e

e

x

x x

x

x x x

x

x x x

x

x

x

)arctan(1

)()

(11

2

22243

2. ?+)

41(2

x

x

dx

解. 令x

t 2=, 2

ln t dt dx =

c t t dt t t t t

dt

dx

x

x

+--=??? ??+-=

+=

+???2

ln arctan 2ln 11112ln 1

2

ln )1()

41(2

222

2

=c x x ++--)2arctan 2(2ln 1 四. 求下列不定积分: 1.

?-dx

x x

100

5

)

2(解.

??

?---+

--

=--

=-dx x x

x x

x d x dx x x

99

4

99

5

99

5100

5

)

2(99

5)

2(99)

2(99

1)

2(

=?--??+

-?-

--dx x x

x x

x x

98

3

98

4

99

5

)

2(98

9945)

2(98995)

2(99

=96

2

97

3

98

4

99

5

)

2(96979899345)

2(97989945)

2(98995)

2(99-?????-

-???-

-?-

--x x

x x

x x

x x

c x x x

+-?????

???-

-???????-

94

95

)

2(95969798992345)

2(95969798992345

2.

?

+4

1x

x dx 解.

?

?

?

?+-

=+-=+-=+2

2

24

4

4

24

)

(12

1111

1/11t dt

t

tdt t

t t

dt

t

t

x x

x dx 令

c x

x

c u u du u

u u t ++-

=++-

=-

=?

2

4

2

2

1ln

2

1|sec tan |ln 2

1sec sec 2

1tan 令

五. 求下列不定积分: 1.

?xdx x 2

cos

解.

?

??

+

=

+=

x xd

x dx x x xdx x 2sin 4

14

1)2cos 1(2

1cos 2

2

?

-+=x d x x x x 2s i n 4

12s i n 4

14

12 c x x x x +++=2c o s 8

12s i n 4

14

12

2.

?xdx 3

sec

解.

???-

==

xdx x x x x x xd xdx tan sec tan

tan sec tan sec

sec

3

=??-++=--xdx x x x x xdx x x x 3

2

sec |tan sec |ln tan sec sec )1(sec

tan sec

c x x x x x

d x +++

=

?|t a n s e c |ln 2

1tan sec 2

1sec

3

3.

?

dx

x

x 2

3

)(ln 解. ??

?

+-

=-=dx x

x x x x

d

x dx x

x 2

2

3

3

2

3

)(ln 3)(ln 11)(ln )(ln

?

+

--=dx x

x x

x x x 2

2

3ln 6)(ln 3)(ln ?

+

-

-

-

=dx x x

x x

x x

x 2

2

3

6

ln 6)

(ln 3)(ln c x

x x x x x x +----=6ln 6)(ln 3)(ln 2

3 4.

?dx x )cos(ln

解.

???-

+=+

=dx x x x x dx x x x dx x )cos(ln

)]sin(ln )[cos(ln )sin(ln

)cos(ln )cos(ln

∴c x x x dx x ++=?)]sin(ln )[cos(ln 2

)cos(ln

5.

??

?

?

---+

-

=-

==dx

x x x x xd dx x x x x dx x

x x 2

sin

8

12

sin

8

12

sin

8

12

cos

2

sin

2

cos

81

sin

2cos

2

2

2

3

3

4

3

4

c

x x x x d

x x

x +-

-

=+

-

=---?2

c o t

4

12

s i n

8

12

2

s i n

4

1

2

s i n

8

12

2

2

六. 求下列不定积分:1.

?

-++dx

x x x x 2

2

2

)

1()

1ln(

解.

?

?

-++=

-++2

2

2

2

2

11)1ln(21

)

1()

1ln(x

d

x x dx x x x x =?+?

--

-++dx

x x

x

x x 2

2

2

2

1111

21

11)

1ln(2

1

t x t a n =令 tdt

t

t x x x 2

2

2

2

sec sec 1

tan

11

21

)

1(2)

1ln(??

--

-++?

=dt

t

t

x x x ?--

-++

2

2

2

sin 21cos 21

)1(2)

1ln( =?--

-++

t

t

d

x x x 2

2

2

sin

21sin 2221

)1(2)

1ln(

=c

t

t x x x +-

+-

-++

sin 21sin 21ln 2

41)

1(2)

1ln(

2

2

=c x

x

x x x x x +-+++--++2121ln 2

41)

1(2)1ln(2

2

2

2

2.

?

+dx

x

x x 2

1arctan 解.

?

??

++-

+=+=

+dx

x

x x x x

xd

dx x

x x 2

2

2

2

2

11arctan 11arctan 1arctan

=c x x x x dx x

x x +++

-+=+-+?

)1ln(arctan 111arctan 12

2

2

2

3.

?

dx e

e x

x

2arctan 解.

dx e

e

e e e

de

e dx e

e

x

x x

x

x

x

x x

x

???

++

-=-

=---2222212

1

arctan 2

1arctan 2

1

arctan

dx e

e

e e x

x x x ?++-=--22121

arctan 2

1?++

-

=-dx e

e

e e

x

x

x

x

)

1(1

21

arctan 2122

c x e

e e

dx e

e

e

e e x

x x

x

x x

x x +++-

=+-+-=---?)arctan arctan (2

1)11(2

1arctan 2

1222

七. 设

??

?-+-+=-x e

x x x x x f )32(3

)1ln()(22 0

0<≥x x , 求?dx x f )(.解.

????

?-+-+=-?

??

dx e x x dx x x dx x f x )32()3)1ln(()(22

?????+++-+-+--+=-1

22222)14(3)]1ln([2

1)1ln(21c e x x c x x x x x x

0<≥x x 考虑连续性, 所以

c =-1+ c 1, c 1 = 1 + c

?

dx

x f )(??

???++++-+-+--+=-c e x x c x x x x x x 1)14(3)]1ln([2

1)1ln(2122

222

0<≥x x

八. 设x b x a e f x cos sin )('+=, (a, b 为不同时为零的常数), 求f(x). 解. 令t x e t x ln ==,, )cos(ln )sin(ln )('t b t a t f +=, 所以 ?

+=dx x b x a x f )]cos(ln )sin(ln [)( =c

x a b x b a x +-++)]cos(ln )()sin(ln

)[(2

九. 求下列不定积分: 1. ?-dx x x

2

3

4解. 令

t x sin 2=

???

--==-t td t tdt t dx x x

cos cos )cos 1(32cos sin 3242

22323

=c x x c t t +---=++-23

225

253)4(3

4)4(51cos 532cos 332

2.

?

>-)

0(2

2a dx x

a x 解. 令t a x sec =

???

+-===

>-c

at t a tdt a t t a t a t

a a dx x

a x tan tan

tan sec sec tan )0(2

2

2

=c x

a a a x +--arccos 22 3.

dx

e

e e x

x

x

?

-+21)1(解. =

-+?

d e

e e x

x

x 21)1(?

-dx

e

e

x

x

21+

dx

e

e

x

x

?

-221

=?

-x

x e

de

21-dx

e

e d x

x ?

--221)

1(2

1

=c e e x x +--21arcsin

4.

?-dx

x

a x

x

2 (a > 0)解.

?-dx

x

a x

x

2 x u =令

?

-du

u

a u

2

4

22 t a u sin 2=令

?tdt

a

4

2

sin

8

=?

?+-=-dt t t a

dt t a

)2cos

2cos 21(24

)

2cos 1(82

2

2

2

=c t a t a t a dt t a t a t a ++-=++-?

4sin 4

2sin 232

4cos 122sin 224

22222

=c t t t a t t a t a +-+-)sin 21(cos sin cos sin 432

222 =c t t a t t a t a +--cos sin 2cos sin 333

222

=c

a

x a a

x a

x a

a

x a a

x a

a

x a +----2222222232arcsin

32

2

2 =c x a x x a a

x a +-+-)2(2

32arcsin

32

十. 求下列不定积分: 1.

?+-dx

x

x

cos

2sin 2解.

?

?

?+++

+=+-x

x d dx x

dx x

x

cos 2)cos 2(cos 212cos

2sin 2 t x =2

tan

??+++=+++-++|cos 2|ln 322|cos 2|ln 1121222

2

22

x t dt

x t

t t dt

=c x x c x t +++=

+++|cos 2|ln )2

(tan

3

1arctan

3

4|cos 2|ln 3

arctan

3

4

2.

?+dx

x

x x x cos sin

cos sin 解.

??+-+=

+dx

x

x x x dx x

x x x cos sin 1

cos sin 212

1

cos sin

cos sin

=???+-

+=

+-+dx

x

x dx x x dx x

x x cos sin

121

)cos (sin 2

1cos sin 1cos)(sin 2

1

2

=

?

+

+-

-)

4

sin()4

(4

2)cos (sin 2

1ππx x d x x

=c x x x ++

-

-|)8

2

tan(

|ln 4

2)cos (sin 2

十一. 求下列不定积分:

1.

?++dx x x

x )32(3

32

解. ??

+=

+=

++++c

x d dx x x

x x

x x

x

3

ln 3

)3(3

)32(332

332

2

2

2.

?-+-dx x x x

)13()523(2

32

解.

)523()523(2

1

)13()523(2

23

2

2

3

2

+-+-=

-+-??x x d x x dx x x x

c x x ++-=25

2)523(5

1

3. dx

x

x x ?

+++2

2

1)

1ln(解. ??

+++

=

++

++

=

+++c

x x x x d x x dx x

x x )1(ln 2

1)1ln()1ln(1)

1ln(2

2

2

2

2

2

4.

?

++

++

+)

11ln()11(2

2

2

x x x xdx

解.

c

x x x d x x x xdx

+++=++

++=

+++++?

?

|)11ln(|ln )

11ln()11ln()

11ln()11(2

22

2

2

2

十二. 求下列不定积分: 1.

?

+dx

x x x )

1(arctan 2

解.

???

-+-

=++=

+1

22

2

2

2

2

)

1(arctan

2

1

)1()

1(arctan 21

)

1(arctan x xd x d x

x

dx x x x

??++

+-

=+++-=dx

x

x

x x d x

x

x 2

2

2

2

2

)

1(1

21

1arctan 21arctan 11

21

1arctan 21

dt t x

x tdt x

x t x ?

?+++-=++-=2

2cos 12

11arctan 21cos 2

11arctan 21tan 222令

c t t x x

x a e x c t t x

x ++++-=++++-=c o s s i n 4

1

a r c t a n 4

11t a n 2

12s i n 8

14

11a r c t a n 212

2 c x

x

x x

x a e x +++

+

+-=2

2

141a r c t a n 4

11t a n 2

1

2. ?+dx

x

x

1arcsin

解. 令t x t x

x 2

tan

,1arcsin

==+则

???++-=-==

+c t t t t t d t t t t d t dx x

x tan tan

tan

tan

tan

1arcsin

2

2

2

2

c x x

x x c x

x

x x

x x +-

++=+++-

+=1a r c s i n

)1(1a r c s i n

1a r c s i n

3.

?

-+?

dx

x

x

x

x 2

22

11arcsin 解.

??

?+=

+?

=-+?

dt

t t tdt t

t

t

t

t

x dx x

x

x

x )1(csc

cos cos sin 1sin

sin 11arcsin 2

2

2

2

22

??

?+++-=+-=c t t d t t t dt t tdt t 22

1cot cot cot

c t t t t +++-=2

21

|s i n |ln cot c x x x

x x ++

+--=2

2

)(a r c s i n 2

1||ln 1arcsin

4.

dx

x x

x

?+)

1(arctan 2

2

解.

???-=

=+dt

t t dt t t

t t

t

x dx x x

x

)1(csc

sec sec tan

tan )

1(arctan 2

2

2

2

2

2

2222

1c o t c o t 2

1c o t c s c t dt t t t t d t dt t dt t t -+-=--=-=?

???

c x x

x x

x c t t t t +-

++-=+-+-=2

2

2)(a r c t a n 2

1|1|

ln arctan 2

1|sin |ln cot c x x

x

x

x +-

++-=2

2

2)(a r c t a n 2

11ln

2

1arctan

十三. 求下列不定积分: 1.

?-dx x x

2

3

4解.

???==-dt t t dt t t t t x dx x x

2

3323

cos sin 32cos 2cos 2sin 8sin 24令

c t t t

d dt t t ++-=-=?

5322cos 5

32cos 332cos cos )cos 1(32 c x x +-+--=25

2232)4(5

1)4(34

2.

?

-x

a x 2

2解.

??

?

-==-dt

t

t a dt t t a t

a t

a t

a x x

a x 2

2

2

2cos cos 1tan sec sec tan sec 令

c

x

a a a

x c at t a +--=+-=arccos

tan 2

2

3.

dx

e

e e x

x

x

?

-+21)1(解.

udu

u

u u

t dt t

t t

dt t

t t t

e

dx e

e e x

x

x

x cos cos sin 1sin 111)1(1)1(2

2

2?

?

?

?

+=-+=

-+=-+令令

c e e c u u x

x +--=+-=21a r c s i n c o s

4.

?-dx

x

a x x

2 (a > 0)解.

?-dx x

a x x

2 x u =

令 ?

-du u

a u

2

4

22 t a u sin 2=

令 ?tdt a 42sin 8

=??+-=-dt t t a dt t a )2cos 2cos 21(24)2cos 1(82222 =c t a t a t a dt t a t a t a ++-=++-?

4sin 4

2sin 2324cos 122sin 224

22222

=c t t t a t t a t a +-+-)sin 21(cos sin cos sin 432222 =c t t a t t a t a +--cos sin 2cos sin 333222 =c

a

x a a

x a

x a

a

x a a

x a

a

x a +----2222222232arcsin

32

2

2 =c

x a x x a a

x a +-+-

)2(2

32arcsin

32

十四. 求下列不定积分: 1.

?+x

x dx cos 1sin

解.

?

??

?-+-=++-=+=

+x

x d x

x x d x

x dx

x x

x dx 2

2

2

cos

1cos 12cos 1sin

)cos 1(cos 1sin

sin cos 1sin

??--=---=+)2(2)1(12

c o s 12

2

2

2

u u du u du u x 令

?+-++

=-+

-=c u

u u du u

u

|22|

ln 2

211)211(2

2

c

x

x x

++-

+++

+=

|c o s 12c o s 12|

ln 2

21cos 11

2.

?+-dx

x

x

cos

2sin 2解.

?

?

?+++

+=+-x

x d dx x

dx x

x

cos 2)cos 2(cos 212cos

2sin 2

t

x =2

t a n

??+++=+++-++|cos 2|ln 322|cos 2|ln 1121222

2

22

x t dt

x t

t t dt

=

c

x x c x t +++=

+++|cos 2|ln )2

(tan

3

1arctan

3

4|cos 2|ln 3

arctan

3

4

3.

?+dx

x

x x x cos sin

cos sin 解.

??+-+=

+dx

x

x x x dx x

x x x cos sin 1

cos sin 212

1

cos sin

cos sin

=???+-

+=

+-+dx x

x dx x x dx x

x x cos sin

121

)cos (sin

2

1

cos sin 1

cos)(sin 2

12

=

?

+

+

-

-)

4

sin()4

(4

2)cos (sin 2

1ππx x d x x =c

x x x ++--|)8

2

tan(

|ln 4

2)cos (sin

2

十五. 求下列不定积分: 1. dx

x

x x ?

-1解.

c

t t

t d dt t

t

t

x dx x

x x +--

=---

=-=-??

?

3

3

3

3

213

41)1(3

2

121令

c

x +--

=23

13

4

2.

?

+-dx

e e x x

1

1解.

??

?

?

-=

-=--=

+-dt

t dt t t

t t

e

dx e

e dx e e x

x

x

x

x

)1(sec tan tan 1sec sec 1

11

12令

c e

e

e c t t t x x

x +-++=+--=1

a r c c o s )1l n (|t a n s e c |ln 2

3. dx x

x x ?--1

arctan

1解. 令t t dx t x x t x t tan sec 2,

sec ,1tan ,1arctan

2

2

==-=-=

????

-===

--dt t

t t

dt t t dt t t t

t

t dx x

x x 22

2

22

cos cos 12tan

2tan sec 2sec

tan 1

arctan

1

?

???--=-=-

=2

2

2

t a n 2t a n 2t a n 22c o s 2

t dt t t t t

t d t dt t dt t

t c t t t t +-+=2|c o s |ln 2tan 2

c x x x x +-----=2

)1(a r c t a n ||ln 1arctan 12

第三章 一元函数积分学(定积分)

一.若f(x)在[a ,b]上连续, 证明: 对于任意选定的连续函数Φ(x), 均有

0)()(=Φ?

b

a

dx x x f , 则f(x) ≡ 0.

证明: 假设f(ξ)≠ 0, a < ξ < b, 不妨假设f(ξ) > 0. 因为f(x)在[a ,b]上连续, 所以存在δ > 0, 使得在[ξ-δ, ξ + δ]上f(x) > 0. 令m =

)(min

x f x δ

ξδξ+≤≤-. 按以下方法定义[a ,b]上Φ(x): 在[ξ-δ, ξ + δ]上Φ(x) =2

2

)(ξδ

--x , 其它地方Φ(x) = 0. 所以

02

)()()()(2

>≥Φ=

Φ??

+-πδ

δξδ

ξ

m

dx x x f dx x x f b

a

.和

0)()(=Φ?

b

a

dx x x f 矛盾. 所以f(x) ≡ 0.

二. 设λ为任意实数, 证明: ?

+=2

)

(tan 11π

λ

dx x I =4

)(cot 112

ππ

λ

=

+?dx x .

证明: 先证: 4

)

(cos )(sin )(sin 2

ππ

=

+?

dx x f x f x f =?

+20

)

(cos )(sin )

(cos π

dx x f x f x f

令 t =x

-

2

π

, 所以 =

+?

2

)

(c o s )(s i n )(s i n π

dx x f x f x f ?-+0

2

)

()

(s i n )(c o s )(c o s π

t d t f t f t f = =

+?

2

)

(sin )(cos )(cos π

dt t f t f t f ?

+2

)

(sin )(cos )(cos π

dx

x f x f x f

于是=

+?

2

)

(cos )(sin )(sin 2

π

dx x f x f x f +

+?

2

)

(cos )(sin )(sin π

dx x f x f x f ?

+2

)

(sin )(cos )

(cos π

dx x f x f x f =2

)

(cos )(sin )(cos )(sin 2

20

ππ

π

=

=

++?

?dx dx x f x f x f x f

所以

4

)

(c o s )(s i n )(s i n 2

ππ

=

+?

dx x f x f x f =

?

+2

)

(cos )(sin )(cos π

dx x f x f x f .

所以 ?

+=

2

)

(t a n 11π

λ

dx

x I 4

)

(s i n )(c o s )

(c o s c o s s i n 11

2

2

π

π

λ

λ

λ

π

λ

=

+=

?

?

?

??+=

?

?

x x x dx x x

同理

4

)

(c o t 112

π

π

λ

=

+=

?

dx x I .

三.已知f(x)在[0,1]上连续, 对任意x, y 都有|f(x)-f(y)| < M |x -y|, 证明

n M n k f n

dx x f n

k 21

)(1

1

??

?

??-

∑?

= 证明:

∑?

?

=-=

n

k n

k n

k dx x f dx x f 1

11

)()(,

=∑=n

k n

k

f n

1

)(1

dx n

k f n k n k n

k ∑?

=-1

1)(

n

M n

M dx x n k M

dx

n k x M dx n

k

f x f dx n k f x f n k

f n

dx x f n k n

k n k n

k n

k n k

n

k n

k n k n k n

k n

k

n k n

k 21

2)()()(|)()(|)(1

)(1

2

1

1111

11

11

1

=

=

??

?

??-=-≤

-≤

??????

-=-

∑∑?

∑?

∑?

∑?

∑?

==-=-=-=-= 四. 设?

=

4

tan

π

xdx I n

n , n 为大于1的正整数, 证明:

)

1(21)

1(21-<

<+n I n n .

证明: 令t =x tan , 则?

?

+=

=

1

2

4

1tan

dt t

t

xdx I n n

n π

因为

2

22

'

2)1(11t t t t +-=??

? ??+> 0, (0 < t < 1). 所以

2

11

1112

2

=

+<

+t

t

于是

?

?

?

-<

+<

1

1

1

2

1

2

112

1dt t

dt t

t

dt t n n n

立即得到

)

1(2121)

1(21-<

<

<+n n

I n n .

五. 设f(x)在[0, 1]连续, 且单调减少, f(x) > 0, 证明: 对于满足0 < α < β < 1的任何 α, β, 有 ??>β

α

ααβ

dx x f dx x f )()(0

证明: 令??-=x

dt t f dt t f x

x F ααα)()()(0

(x ≥ α), 0)()(0

>=?α

ααdt t f F .

=

-=

?

)()()('0

x f dt t f x F αα

?

>-α

0)]()([dt x f t f , (这是因为t ≤ α, x ≥ α, 且f(x)单减).

所以 0)()(>>αβF F , 立即得到??

α

α

αβ

dx x f dx x f )()(0

六. 设f(x)在[a, b]上二阶可导, 且)(''x f < 0, 证明:

?

?

?

??+-≤?

2)()(b a f a b dx x f b

a

证明: ?x, t ∈[a, b], 2)(!

2)(''))((')()(t x f t x t f t f x f -+-+=ξ≤))((')(t x t f t f -+

令2

b a t += , 所以?

?

? ?

?+-??? ?

?++??? ?

?+≤2

2

'2

)(b a x b a f b a f x f

二边积分

?

?

?

??? ??+-??? ??++??

? ??+≤

b

a

b

a

b

a

dx b a x b a f dx b a f dx x f 22'2)( =??

? ??+-2)(b a f a b . 七. 设f(x)在[0, 1]上连续, 且单调不增, 证明: 任给α ∈ (0, 1), 有

??

≥1

)()(dx x f dx x f αα

证明: 方法一: 令??-=x

x

dt t f dt t f x F 0

)()()(ααα (或令?

?-=x

dt t f dt t f x x F 0

)()()(αα)

0)()()('≥-=x f x f x F ααα, 所以F(x)单增; 又因为F(0) = 0, 所以F(1) ≥ F(0) = 0. 即 0)()(1

1

≥-??

dt t f dt t f ααα, 即

??

≥1

)()(dx x f dx x f αα

方法二: 由积分中值定理, 存在ξ∈[0, α], 使)()(0

ξααf dx x f =?

;

由积分中值定理, 存在η∈[α, 1], 使)1)(()(1

αηα

-=?f dx x f

因为 )()(,ξηξηf f ≤≥所以. 所以 )1)(()()()()(2

1

1

0αηαξαααα

α

α-+=+=?

?

?f f dx x f dx x f dx x f

?

=

=-+≤αξααξαξα0

2)()()1)(()(dx x f f f f

八. 设f(x)在[a, b]上连续, )('x f 在[a, b]内存在而且可积, f(a) = f(b) = 0, 试证: ?≤b

a

dx

x f x f |)('|2

1

|)(|, (a < x < b)

证明: |)('|)('|)('|x f x f x f ≤≤-, 所以 ?

?

-≤-x

a

x

a

dt t f a f x f dt t f |)('|)()(|)('|,

即 ??≤

≤-x

a

x

a

dt t f x f dt t f |)('|)(|)('|; ?

?

-≤-

b

x

b

x

dt t f x f b f dt t f |)('|)()(|)('|

即 ?

?

≤-

b

x

b

x

dt t f x f dt t f |)('|)(|)('| 所以 ?

?

≤-

b

a

b

a

dt t f x f dt t f |)('|)(2|)('|

即 ?≤b

a

dx x f x f |)('|2

1

|)(|, (a < x < b)

九. 设f(x)在[0, 1]上具有二阶连续导数)(''x f , 且0)(0)1()0(≠==x f f f ,, 试证: 4

)

()(''1

>?

dx x f x f

证明: 因为(0,1)上f(x) ≠ 0, 可设 f(x) > 0 因为f(0) = f(1) = 0

?x 0 ∈ (0,1)使 f(x 0) =

0max ≤

≤x (f(x)) 所以

dx

x f x f ?

1

)

()(''>

dx

x f x f ?1

)('')

(1 (1)

在(0,x 0)上用拉格朗日定理 0

0()('x x f f )=

α ),0(0x ∈α

在(x 0, 1)上用拉格朗日定理

01)()('x x f f --

=β )1,(0x ∈β 所以 )

(4)

1()()

(')(')('')('')(''00001

x f x x x f f f dx x f dx x f dx x f ≥-=

-=≤

≥?

??β

α

β

α

αβ

(因为ab

b a ≥+2

)2

()所以

?

≥1

4)('')(1dx x f x f 由(1)得?

>1

4

)

()(''dx x f x f

十. 设],[)(b a x f 在上连续, 且??-≥

->b a

b a

dx

x f a

b dx x f a

b x f )(ln 1

])(1

ln[

,0)(则.

解. 将t ln 在点0x 展开, 得 202

00

0)(21)(1ln ln x t x t x x t ---+=ξ 所以

1ln )(1ln ln 0

000

0-+=-+

≤x t x x t x x t 令 )(,

)(1

0x f t dx x f a

b x b a

=-=

?, 得

1

)(1

)()(1

ln

)(ln --+

-≤?

?b a

b a

dx

x f a

b x f dx x f a

b x f 二边做定积分, 得

)

()()(1

ln

)()(ln a b a b dx x f a

b a b dx x f b a

b a

---+--≤??

??

--≤b a

b a

dx x f a

b a b dx x f )(1

ln

)()(ln 所以 ??-≥

-b a

b a

dx x f a

b dx x f a

b )(ln 1

])(1

ln[

十一. 设f(x)在[0, 1]上有一阶连续导数, 且f(1)-f(0) = 1, 试证: 1)]('[1

2

≥?

dx x f

证明:

=

?

1

2

)]('[dx x f 1))0()1(()1)('(1)]('[2

2

1

1

2

1

2

=-=?≥???

f f dx x f dx dx x f

十二. 设函数f(x)在[0, 2]上连续, 且

?

2

)(dx x f = 0,

?2

)(dx x xf = a > 0. 证明: ? ξ ∈ [0, 2], 使|f(ξ)| ≥ a.

解. 因为f(x)在[0, 2]上连续, 所以|f(x)|在[0, 2]上连续, 所以? ξ ∈ [0, 2], 取ξ使|f(ξ)| = max |f(x)| (0 ≤ x ≤ 2)使|f(ξ)| ≥ |f(x)|. 所以 |)(||1||)(||)(||1||)()1(|2

2

2

0ξξf dx x f dx x f x dx x f x a =-≤-≤

-=???

第三章 一元函数积分学(广义积分)

一. 计算下列广义积分:(1) ?

-2

3

1

)

1(dx

e e

x

x

(2)

?

+∞

++0

2

2

)

4)(1(1

dx

x x (3) ?

+∞

-+2

32

)

1(x dx

(4)

?1

)sin(ln dx x (5)

?

---1

2

2

1

1dx

x x

(6)

dx

x x ?

+∞

+0

2

32

)

1(arctan

解. (1) 3

2

2

2

3

1

02

3

1

)

1(2

3)

1()1(lim )

1(-=--=-??

+

→e dx e e d dx e e

x

x

x

x

ε

ε (2)

124111

3

1

lim

)

4)(1(1

220

2

2

π=

??

????+-+=++??

+∞

→∞

+b

b dx x x dx x x (3)

?

+∞

-+2

3

2

)1(x dx

因为

1

)

1(1

lim 2

3

2

3

=+∞

→x x

x , 所以

?

++0

2

32

)

1(x dx 积分收敛.所以

?

+∞

-+2

32

)

1(x dx =2

t

x x dx tan )

1(0

2

32

=+?

+令 2cos 2sec sec 2

20

2

3

2

==??

π

π

tdt dt t

t

(4)

2

11

))

cos(ln )sin(ln (2

1lim )sin(ln lim )sin(ln

1

1

-

=-==+

+→→??ε

εε

εx x x x dx x dx x (5)

3

tan sec tan sec 1

13

21

2

2

ππ

π

=

=

-??

--dt t

t t t dx x x

(6) 12

cos sec sec )

1(arctan 2

2

3

2

2

32

-=

=

=

+?

?

?

π

π

tdt t dt t

t t dx x x

第四章 微分中值定理与泰勒公式

一. 设函数f(x)在闭区间[0, 1]上可微, 对于[0, 1]上每一个x, 函数f(x)的值都在开区间(0, 1)内, 且1)('≠x f , 证明: 在(0, 1)内有且仅有一个x, 使f(x) = x.

证明: 由条件知0 < f(x) < 1. 令F(x) = f (x)-x, 于是F(0) > 0, F(1) < 0,

所以存在ξ ∈ (0, 1), 使F(ξ) = 0. 假设存在ξ1, ξ2 ∈ (0, 1), 不妨假设ξ2 < ξ1, 满足f(ξ1) = ξ1, f(ξ2) = ξ2. 于是 ξ1-ξ2 = f(ξ1)-f(ξ2) =

))(('21ξξη-f . (ξ2 < η < ξ1). 所以1)('=ηf , 矛盾.

二. 设函数f(x)在[0, 1]上连续, (0, 1)内可导, 且)0()(3

1

3

2f dx x f =?

. 证明: 在(0, 1)内存在一个ξ, 使0)('=ξf .

证明: )()3

21)((3)(3)0(111

3

2ξξf f dx x f f =-

==?

, 其中ξ1满足1

3

2

1<<ξ.

由罗尔定理, 存在ξ, 满足0 < ξ < ξ1, 且 0)('=ξf .

三.设函数f(x)在[1, 2]上有二阶导数, 且f(1) = f(2) = 0, 又F(x) =(x -1)2f(x), 证明: 在(1, 2)内至少存在一个ξ, 使 0)(''=ξF . 证明: 由于F (1) = F (2) = 0, 所以存在ξ1, 1 < ξ1 < 2, 满足0)('1=ξF . 所以0)(')1('1==ξF F .所以存在ξ, 满足1 < ξ < ξ1, 且

0)(''=ξF .

四. 设f (x )在[0, x ](x > 0)上连续, 在(0, x )内可导, 且f (0) = 0, 试证: 在(0, x )内存在一个ξ, 使 )(')1l n ()1()(ξξf x x f ++=. 证明: 令F (t ) = f (t ), G (t ) = ln(1+t ), 在[0, x ]上使用柯西定理 )(')(')0()()0()(ξξG F G x G F x F =--, ξ ∈ (0, x)

所以

)(')1()

1l n ()(ξξf x x f +=+, 即)(')1ln()1()(ξξf x x f ++=.

五. 设f (x )在[a , b ]上可导, 且ab > 0, 试证: 存在一个ξ ∈ (a , b ), 使

1

)](')([)

()(1-+=-n n

n

f nf b f a f a

b

a b ξ

ξξξ

证明: 不妨假设a > 0, b > 0. 令)()(x f x x F n

=. 在[a , b ]上使用拉格朗日定理 ))]((')([)()(1

a b f f n a f a b f b n

n n n -+=--ξξ

ξξ

六. 设函数f (x ), g (x ), h (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导, 证明:存在一个ξ ∈ (a , b ), 使 0)

(')

(')

(')()()()()()(=ξξξh g f b h b g b f a h a g a f

证明: 令

)

()

()

()()()

()()()

()(x h x g x f b h b g b f a h a g a f x F =, 则F (a ) = F (b ) = 0, 所以存在一个ξ ∈ (a , b ), 使

0)

(')

(')

(')()()()()()()('==ξξξξh g f b h b g b f a h a g a f F

七. 设函数f (x )在[0, 1]上二阶可导, 且f(0) = f(1) = 0, 试证: 至少存在一个ξ ∈ (0, 1), 使 ξ

ξξ-=1)('2)(''f f

证明: (x

x f x f -=

1)('2)('',

x

x f x f -=

12)

(')(''二边积分可得c x x f =-2

)

1)(('ln , 所以c

e x x

f =-2)1)((')

令 2

)1)((')(-=x x f x F . 由f(0) = f(1) = 0知存在η ∈ (0, 1), 0)('=ηf . 所以F(η) = F(1) = 0, 所以存在 ξ ∈ (η, 1),

0)('=ξF . 立即可得ξ

ξξ-=1)('2)(''f f

八. 设f (x )在[x 1, x 2]上二阶可导, 且0 < x 1 < x 2, 证明:在(x 1, x 2)内至少存在一个ξ, 使

)

(')()

()(1212

1

2

1

ξξf f x f x f e

e

e

e

x x x x -=-

证明: 令x

x

e

x G x f e

x F --==)()()(,, 在[x 1, x 2]上使用柯西定理. 在(x 1, x 2)内至少存在一个ξ, 满足

=

--)

()()()(1212x G x G x F x F )(')()

()(1212

1

2

1

ξξf f x f x f e

e

e

e

x x x x -=-.

九. 若x 1x 2 > 0, 证明: 存在一个ξ ∈ (x 1, x 2)或(x 2, x 1), 使 )()1(21211

2

x x e e

x e

x x x --=-ξ

ξ

证明: 不妨假设0 < x 1 < x 2. 令x

x G x e

x F x

1)()(=

=

,, 在[x 1, x 2]上使用柯西定理. 在(x 1, x 2)内至少存在一个ξ, 满足

2

2

1

2

1212121

11)

()()()(1

2

ξ

ξξξ

ξ-

-=

-

-=

--e e x x x e x e

x G x G x F x F x x

立即可得 )()1(21211

2

x x e e

x e x x x --=-ξ

ξ.

十. 设f (x ), g (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导, 且f (a ) = f (b ) = 0, g (x ) ≠ 0, 试证: 至少存在一个ξ ∈ (a , b ), 使

)()(')()('ξξξξf g g f =

证明: 令)

()()(x g x f x F =

, 所以F (a ) = F (b ) = 0. 由罗尔定理至少存在一个ξ ∈ (a , b ), 使

0)('=ξF ,

于是 )()(')()('ξξξξf g g f =.

第五章 常微分方程

一. 求解下列微分方程:

1. 011=????

??-+???

? ??+dy y x e dx e y x

y x 解. y

x

y x

e

y x

e dy dx +???

? ??-=11. 令yu x u y

x ==,.(将y 看成自变量)

dy du y u dy dx

+=, 所以

u u e u e dy du y u +-=+1)1( u

u u

u

u e

e u u e e ue dy du y ++-

=-+-=11

y dy du e u e

u u

-=++1, y dy e u e u d u u

-=++)

(, y y c e u u 1ln ln ln =-=???

? ?

?+

c

e u y u

+=

1

, y

x

u

e

y

x c

e

u c y +=+=, c ye

x y

x =???

?

?

?

+. 2. ??

??

?-=-+--=1)1(22'222

2y x xy y x xy y y 解. 令xu y u x y

==,. d x d u x

u d x d y +=, 所以

1

21222

-+--=+u u u u dx du x u 121121

222

3

22-+----=--+--=u u u u u u u u u u dx du

x x dx du u u u u u -=+++-+1122

32 x dx du u u u -=??? ??+++-12112

cx u u ln 1

1ln

2

=++, cx u u =++1

1

2. 由1)1(,1)1(-=-=u y 得

所以 c = 0. 0112

=++u u , 得到01=+u , 01=+x

y , 即x

y -=.

二. 求解下列微分方程: 1.

2

122

2sin

22sin '1x

e

y x y y x ++=+ 解. 令y y u y u 2sin '',sin

2

==则. 得到

2

122

2'1x

e xu u x ++=+,

2

122

112'2

x

e

u x

x u x

+=

+-

+为一阶线性方程

解得

|)1|ln (2122

x x c e

u x

++

+=+. 即 |)1|ln (sin 2

12

22

x x c e y x

++

+=+.

2. 0)2(22=+--dx y dy y xy x 解. 原方程可化为 221y

x y x dy dx

-+=. 即 12

12=???

? ??-+x y y dy dx

, 为一阶线性方程(y 为自变量, x 为因变量). 解得:

y

e cy y x 1

2

2+=.

3.

0)cos 1(cos sin ln '=-+y x y y x xy

解. 令u y =cos

, 则 y

y u sin ''-=. 原方程化为

0)1(ln '=-+-xu u x x u

x

u

x x u u ln ln '2

=+

-, 为贝奴利方程. x u x x u u ln 11ln 1'2

=?+-. 令u z 1

=

, 则2''u

u z -=. 方程化为 x z x x z ln 1ln 1'=+, 为一阶线性方程.

解得 x c x z ln )(+=

. 即 x

c x y ln cos 1+=

, x y c x ln cos )(=+.

三. 求解下列微分方程:1.

0)2(=-+dy y xe

dx e y

y

解. 02=-+ydy dy xe dx e y y . 于是0)(2

=-dy

xe d y . 所以方程解为 c y xe y =-2.

2. 0112222=????

??--

+???? ??-+

dy x y y x

dx x y x 解. 0

12

22

2

=--

-++dy x

y y

x dx x

y dy xdx

设函数),(y x u 满足),(y x du =

dy

x

y y

x dx x

y 2

2

2

2

1--

-. 所以2

2

1x

y x

u

-=

??,

)

(arcsin

)(1),(2

2

y y

x y dx x

y y x u ??+=+-=

?

所以

2

2

2

22

)('1x

y y

x y y

x y

x y

u --

=+-

-=

???.

于是c y y ==)(,0)('?? 所以原方程的解为

c

y

x y x =++arcsin

2

12

3. 02)2(22=+++ydy dx x y x 解. 由原方程可得

0)()(2

222=+++y x d dx y x

得到 0)(2

22

2

=+++y

x y x d dx . 于是原方程解为 c y x x =++)ln (2

2.

四. 求解下列微分方程: 1. )

1(2'2

--=

x y x y y 解. x y x yy -=-2)1('2 令u y =2, 得到x u x u -=-)1('

1

1

1'--

=--

x x

u x u 为一阶线性方程. 解得

?

?

? ??+----=c x x x x u )1ln(1)1(. 即

)1ln ()1()1(2

---+-=x x x x c y

2.

6

3

'y

x y xy =+ 解. 该方程为贝奴利方程. 3

5

6

'y y

y xy

=+--.

,5

u y

=- ''56

u y y =--, 3

'5

x

u u x =+-

255'x u x

u -=-.

解得 )25(25-+=x c x u 于是 35

52

5x cx

y +

=-

五. 设)(x ψ

在实轴上连续, )0('ψ存在, 且具有性质)()()(y x y x ψψψ=+, 试求出)(x ψ.

解. )0()0()00(ψψψ=+, )0()0(2ψψ=, 0)0(=ψ, 1)0(=ψ. i) 0)0(=ψ. 对于任何x 有)()()(x x x x ?=?+ψψψ

所以 0)0()()(lim )()(lim

)(0

==?=?+=ψ→?→?ψψψψψx x x x x x x x . 所以 0)(≡x ψ.

ii) 1)0(=ψ

x

x x x

x x x

x x x x

x x x ?-=

?-?=

?-?=

?-?+))

0()()(()

1)()(()

()()()

()(ψψψψψψψψψψ

上式令0→?x

, 得到 ??

?==1

)0()0(')()('ψψψψx x 解得 x e x )0(')(ψψ=.

六. 求解下列方程:1.

???==-+1

)0(0)(y dy x y ydx 解. 可得??

?

??=-=-0)1(1x y x dy dx . 这是以y 为自变量的一阶线性方程. 解得

)ln (y c y x -=. 0

)1(=x ,

=c . 所以得解

y y x ln -=.

2. ?????==+++0)2

(0)sin()1'(π

y y x y x 解. 令u y x =+. 可得???

??==+2

)2(0

sin

πu u xu

u du x dx

sin =-, )cot ln(csc ln u u x c -=, u u x c cot csc -=. 2)2(ππ=u , 12

cot 2csc 2

=-=πππc , 2

π=

c .

解为

)c o t ()c s c (2y x y x x

+-+=π.

七. 求解下列方程:

1. 01)'('')1(22=+++y y x 解. 令dx dp y p y =='','则. 所以 01)1(22=+++p dx dp x , 2

211x

dx p dp

+-=+ c

x p +-=arctan arctan 所以 1

t a n 1c c px

x p ==-+, px c c x p 11-=+, x c x c p -=+11)1(

于是 )1(111112

1111x c c c c x c x c dx dy +++-=+-= dx x c c c c dy ???

? ??+++-=)1(11112

11 解为 212

1

2

11|1|ln 11c x c c c x c y ++++-=.

2. ??

?===-+1

)2(',2)2(0')'(''2y y y y x xy 解. 令dx

dp y p y =='','则 02

=-+p xp dx dp x ,

2

p x

p dx

dp -=-

,

11

112

-=-

p x dx

dp p

令1)2(1'12=-==u dx

dp

p u u p ,,则 于是得到 11'-=-

-u x

u , 11'=+

u x

u 为u 对于x 的一阶线性方程

解得

x

c x u +

=

2

1,

1)2(=u , 得c = 0. x

u 2

1=

x p

2

11=, x dy dx 2

1=,

c

x y +=ln 2,

2ln 22,2)2(-==c y 解得所以 2)2

ln(2ln 22ln 22+=-+=x x y

3. ??

?===+1

)0(',2)0()'(''22

y y y y y 解. 令dy dp p y p y ==''',则\ 得到 y p dy dp p =+22 令u p =2, 得到

y u dy

du =+为关于y 的一阶线性方程. 且1)]0('[)0(0

|2

2

====y p x u

解得 y

ce y u -+-=1

所以 2

)

0(121)0(0

|1--+-=+-===ce

ce y x u

y ,

=c . 于是

1-=y u , 1

-±=y p

dx y dy ±=-1

, 112

c x y +±=-,

2

2

11c x y +

±

=-

2)0(=y , 得到

12

1=c , 得解

12

1+±

=-x y

八. 求解下列微分方程: 1.

0'''2'''2)

4()

5(=+++++y y y y y

y

解. 特征方程 01222

345=+++++λλλλλ

0)1)(1(22=++λλ

i i -==-=5,43,21,,1λλλ

于是得解 x x c c x x c c e

c y x

c o s )(s in )(54321++++=-

2. ??

?-=====-+-14

)0(''',6)0('',0)0(',1)0(06'10''5)

4(y y y y y y y y

解. 特征方程

0610524=-+-λλλ, 0)22)(3)(1(2

=+-+-λλλλ

11=λ, 32-=λ, i ±=14,3λ

得通解为

)s i n c o s (43321x c x c e e

c e c y x

x

x

+++=-

14)0(''',6)0('',0)0(',1)0(-====y y y y

得到

2

11-

=c ,

2

12=

c ,

13=c , 14=c 得特解

)s i n (c o s 2

12

13x x e e

e y x

x

x

+++

-

=-

九. 求解下列微分方程: 1.

x x x y y cos 22sin 3''++=+

解. 特征方程

012

=+λ, i

±=λ 齐次方程通解

x

c x c y s i n c o s 21+=

非齐次方程特解: x x D

y =+=

1

12

*1

x x x D x D y 2sin 2sin 1

432sin 1

13

2sin 31

12

2

*

2-=+-=

+=+=

x D

y c o s 21

12

*

3+=

考察

121

12121211

)(1221

12

2

2

D

i D e

iD

D e

i D e

e D ix

ix

ix

ix

+=+=++=+

=))(sin (cos 121121)421(12ix x i x xe i

i D e D i D e ix ix ix -+===+

=x

ix x x cos sin -

所以 x x x D

y s i n c o s 21

12

*3

=+=

所以通解为

x

x x x x c x c y s in 2s in s in c o s 21+-++= 2. ??

?==+=+0

)0(')0(sin 42''y y x xe y y x

解. 特征方程

012

=+λ, i

±=λ

齐次方程通解

x

c x c y s i n c o s 21+=

非齐次方程特解 x D D e

x D e

xe

D y x

x

x

2

2121

)1(1221

12

2

2

*1

++=++=+=

=)1(21212-=??

? ??-x e x D e

x

x

x x x D

y c o s 2s i n 41

12

*2

-=+=

(计算方法同上题, 取

ix

e D

1

12

+的虚部)

所以

x

x x e x c x c y x

c o s 2)1(s in c o s 21--++=

0)0(')0(==y y 可得2

,121==c c 得解

x

x x e x x y x

c o s 2)1(s in 2c o s --++=

3.

ax

e y y y =++4'4'' 解. 特征方程0442

=++λλ

, 2

2,1-=λ

x

e

x c c y 221)(-+=

i)

2-=a

x

x

x

e

x D e

e

D y 22

2

222

*

211)

22(1

)

2(1---=

+-=+=

ii)

-

≠a 22

*)2()

2(1+=+=

a e e

D y ax

ax

所以 ???????+++++=---x

x ax

x e x e x c c e a e x c c y 2222122212

1)()2(1)( 22-=-≠a a 十. 求解下列微分方程:

1.

)

sin(ln 2'''2

x y xy y x =++ 解. 令x t e x t

ln ,==则得

dt

dy dt

y d y x dt dy xy -=

=

22

2

''' 得到方程

t y y s in 2''=+. 解得 t t t c t c y c o s s in c o s 21-+=

所以得解

x x x c x c y ln cos ln ln sin ln cos 21-+=

2.

)1ln()1(6')1('')1(2

++=++-+x x y y x y x

解. 令)1ln(,1+==+x t e x

t

则得

dt

dy dt

y d y x dt dy y x -

=

+=

+22

2

'')1(')1(

得到方程

t

te

y y y 6'2''=+-. 解得

t

t

e

t e t c c y 3

21)(++=

所以得解

)1(ln )1()1))(1ln((3

21++++++=x x x x c c y

十一. 一质量为m 的物体, 在粘性液体中由静止自由下落, 假如液体阻力与运动速度成正比, 试求物体运动的规律.

解. 取物体的初始位置为坐标原点, x 坐标向下为正向. 并以)(t x 表示在时刻t 时的物体位置.物体所受的重力为mg , 阻力为dt

dx k

(k 为比例系数). 由牛顿

定律得到: ????

?

===-0)0(')0(2

2

x x dt x d m dt dx k mg . 即??

??

?===+0)0(')0('''x x g x m k x 解得 t k

mg e

c c x t

m

k +

+=-2

1

于是 k

mg e

c m

k x t

m

k +

-

=-

2'

0)0(=x , 得到21c c -= k

mg c m

k x +

-

==2)0('0

所以 222k g m c =, 2

221k

g m c c -=-= 所求解为 t k mg

e k g m k g m x t m k

++-=-22

22

.

第六章 一元微积分的应用

一. 选择题

1. 设f (x)在(-∞, +∞)内可导, 且对任意x 1, x 2, x 1 > x 2时, 都有f (x 1) > f (x 2), 则

(a) 对任意x, 0)('>x f (b) 对任意x, 0)('≤-x f (c) 函数f (-x)单调增加 (d) 函数-f (-x)单调增加 解. (a) 反例:3)(x x f =, 有

0)0('=f ; (b) 反例:3)(x x f =; (c) 反例:3)(x x f =,3

)(x x f -=- 单调减少; 排除(a), (b), (c)后, (d)为答案.

具体证明如下:令F(x) = -f (-x), x 1 > x 2, -x 1 < -x 2. 所以F(x 1) =-f (-x 1) > -f (-x 2) = F(x 2). 2. 设f (x)在[-π, +π]上连续, 当a 为何值时, ?-

-=

π

πdx nx a x f a F 2

]

cos )([)(的值为极小值.

(a)

?-

π

π

nxdx x f cos )( (b)

?-

π

π

π

nxdx x f cos )(1

(c)

?-

π

π

π

nxdx x f cos )(2

(d)

?-

π

π

π

nxdx x f cos )(21

解. ?-

-=

π

π

dx nx a x f a F 2

]cos )([)( ??

?-

--+

-=π

π

π

π

π

π

dx x f nxdx x f a nxdx a )(cos )(2cos 2

22

??

-

-+

-=

π

π

π

π

πdx x f nxdx x f a a )(cos )(22

2

为a 的二次式. 所以当a =

?-

π

π

π

nxdx

x f cos )(1

, F(a )有极小值.

3. 函数y = f (x )具有下列特征:f (0) = 1;

0)0('=f , 当x ≠ 0时, 0)('>x f ; ??

?

><0

0)(''x f

0>

解. (b)为答案. 4. 设三次函数

d

cx bx

ax x f y +++==2

3)(, 若两个极值点及其对应的两个极值均为相反数, 则这个函数的图形是

(a) 关于y 轴对称 (b) 关于原点对称 (c) 关于直线y = x 轴对称 (d) 以上均错 解. 假设两个极值点为x = t 及 x = -t (t ≠ 0), 于是f (t) =-f (-t). 所以

d ct bt at d ct bt at -+-=+++2

323, 所以b + d = 0

023)('2

=++=c bx ax

x f 的根为 x = ± t, 所以 b = 0. 于是d = 0. 所以 cx ax

x f +=3

)( 为奇函数, 原点对称. (b)为答案.

5. 曲线)2)(1(x x x y

--=与x 轴所围图形面积可表示为(a) ?

---

2

)2)(1(dx x x x (b)

?

--1

)2)(1(dx x x x ?---

2

1

)2)(1(dx x x x

(c) ?

---1

)2)(1(dx x x x ?

--+

2

1

)2)(1(dx x x x (d)

?--2

)2)(1(dx x x x

解.

0 由图知(c)为答案.

二. 填空题 1. 函数?

??? ?

?-=

x

dt

t x F 1

12)( (x > 0)的单调减少区间______. 解. 012)('<-=x x F , 所以0 < x < 41. 2. 曲线

x x y -=3

与其在3

1=x 处的切线所围成的部分被y 轴分成两部分, 这两部分面积之比是________.

解.

13'2

-=x y , 所以切线的斜率为k =3

2

1913-=-?切线方程: 27

23

2-

-

=x y ,

曲线和切线的交点为32-=x . (解曲线和切线的联立方程得027233=+-x x , 3

1=x 为其解, 所以可得0)32()31(2=+-x x , 解得32-=x .)

实验二_门电路的特性

实验二门电路的特性(终结报告) 预习报告(记录有原始数据) 一.实验目的 1.在理解CMOS门电路和TTL门电路的工作原理和电特性基础上,学习并 掌握其电特性主要参数的测试方法。 2.学习并掌握数字集成电路的正确使用方法 二.预习任务 1,回顾实验一“常用电子仪器使用”,回答下列问题: (1)如何调整函数发生器,使其输出100Hz、0~5V的三角波信号? 选择三角波输出选项,通过“50Ω”输出端连接示波器观察波形,通过调 节函数信号发生器的频率旋钮,调节频率至100Hz,Vp-p为5V,将示波器的 参考电平位置设置在三角波的最低值处,得到0-5V的三角波,用示波器进 行实际测量,判断调节是否正确应该以示波器的测量结果为准。 (2)用示波器观测到如图1所示的a、b两个信号,假设此时示波器的垂直定标(灵敏度)旋钮位置分别为1V/格和2V/格,请写出它们的最高值和最低值。 解:图(a)中最高值为2V,最低值为-2V 图(b)中最高值为4V,最低值为0V (3)电压传输特性曲线是指输出电压随输入电压变化的曲线。示波器默认的时基模式为“标准(YT)模式”显示的是电压随时间变化的波形,若要观测电 压传输特性曲线,需改变示波器上哪些菜单或旋钮? 解:示波器默认的时基模式为“标准(YT)模式”,若要观察电压传输特性, 应该将时基模式调节为XY模式。具体调节方法如下:按下【Horiz】按钮,

在“水平设置菜单”中,按下时间模式,然后改变时基模式由原来的“标 准”变为“XY模式”。 (4)用示波器观测两路信号时,如何调整示波器使波形稳定的显示在屏幕上? 应该合理设置触发源和触发电平使得波形稳定,调节【Trigger】旋钮2,仔细阅读《数字电子技术基础》第三章相关内容,并结合各项任务完成以下内容。 (1)写出各测试电路中门电路的工作电压。 测试电路1,工作电压V DD=5V; 测试电路2,V DD=12V; 测试电路3,工作电压为V DD=5V; (2)写出各测试电路输入信号的类型、频率、电压值。 测试电路1, (3)什么是阈值电压?什么是噪声容限?在电压传输特性曲线中如何读取? 解:阈值电压:通常将传输特性曲线中输出电压随输入电压改变而急剧变化转折区 的中点对应的输入电压称为阈值电压; 噪声容限:是指在前一极输出为最坏的情况下,为保证后一极正常工作,所允许的最大噪声幅度; 高电平噪声容限=最小输出高电平电压-最小输入高电平电压 低电平噪声容限=最大输入低电平电压-最大输出低电平电压 噪声容限=min{高电平噪声容限,低电平噪声容限} (4)写出各项任务的测试方法及步骤。 步骤见各任务; (5)列出各项任务记录数据的表格。 表格见各任务; (6)写出测试过程中的注意事项。 测试2:每次在改变变阻器阻值时,都要断电后再进行电阻的测量,而且计 算时电阻的取值以实际测量值为准; 测试3:要注意传输延迟时间的定义,是以输入,输出的幅值的一半对应的时间点为基准进行计算的数据记录 (7)根据选做任务内容分析图5电路,试着给出取样电阻R的阻值范围。三.必做任务 1. CMOS与非门CD4011的电压传输特性

培养方案-华东理工大学

自动化专业2013级教学培养方案 一、培养目标 自动化专业致力于培养适应社会发展和经济建设需要,具有多元人文知识、社会责任感、创新意识、环保节能意识和团队合作精神,知识、能力、素质协调统一,具有基础理论扎实、专业知识面广、实践能力强,具有分析问题和解决问题的综合能力,能够在生产、科研及其他相关部门,尤其是面向石油、化工、制药等相关流程工业领域从事自动化相关的科学研究、技术开发、工程设计与实施、组织管理等方面工作的高级工程技术人才。 二、培养要求 1、具有从事工程工作所需的相关数学、自然科学以及经济和管理知识,系统地掌握本专业所必需的自然科学和工程技术方面的基础知识,接受工程设计和科学研究的基本训练,具有控制工程设计、实验研究等基本技能。 2、掌握自动化的基本理论及相关技术,尤其是控制论、系统论和信息论的基本思想;具有控制系统分析、设计和开发的基本能力。 3、具有较强的计算机应用能力,具有创新意识,能利用现代技术手段解决自动化系统分析、开发与设计中的工程问题,掌握文献检索、资料查询及运用现代信息技术获取相关信息的基本方法。 4、掌握一门外语,能熟练阅读和理解外文专业资料,具有较好的国际视野与跨文化交流能力。 5、了解自动化系统设计、研究与开发、环境保护等方面的方针、政策和法规,具备社会责任感和职业道德。 6、具有较强的适应性和终身学习的能力,并具备一定的组织管理和社会活动能力,具有团队合作精神。 三、学位及学分要求 本专业学生在学期间必须修满专业培养方案规定的179学分,其中,通识教育平台课程44学分,学科基础教育课程平台36学分,专业教育平台课程66.5学分,实践平台32.5学分。学生修满学分并达到《大学生体质健康标准》,可获得毕业证书。获准毕业并通过华东理工大学大学英语学位考试,且符合国家学位授予条例者,可获得工学学士学位。 四、课程设置

复变函数习题三参考答案

习题三 3.1计算积分 2C z dz ? ,其中C 是: (1)原点到()2i +的直线段; (2)原点到2再到()2i +的折线; (3)原点到i 再沿水平到()2i +的折线。 解:(1)C 的参数方程为()()22201z t i t ti t =+=+≤≤ ()2dz i dt =+ 于是 ()()()222 1 222113 C i i d z d t i z t +++== ? (2)12C C C =+,1C 参数方程为()02z t t =≤≤, 2C 参数方程为()201z it t =+≤≤ ()()1 2 2 21 2 2 2 2 1 22113 C C C z dz z dz z dz t dt id it i t += +=+=+? ???? (3)12C C C =+,1C 参数方程为()01z it t =≤≤, 2C 参数方程为()02z t i t =+≤≤ ()()()1 2 2 1 2 2 2 22 1 2113 C C C z dz z dz z dz it idt dt t i i += +++==????? 3.2设C 是,i z e θ θ=是从π-到π的一周,计算: (1) ()Re C z dz ? ;(2)()Im C z dz ?;(3)C zdz ? 解:cos sin i z e i θ θθ==+,()sin cos dz i d θθθ=-+ (1)()()Re cos sin cos C z dz i d i π π θθθθπ-=-+=??; (2)()()Im sin sin cos C z dz i d π π θθθθπ-=-+=-? ?; (3) ()()cos sin sin cos 2C zdz i i d i π π θθθθθπ-=--+=? ? 3.3计算积分C z zdz ? ,其中C 是由直线段11,0x y -≤≤=及上半单位圆周组成的正向闭 曲线。 解:12C C C =+,1C 表示为z x iy =+,()11,0x y -≤≤=;

实验十三集成门电路逻辑功能转换及测试

实验十三集成门电路逻辑功能转换及测试 一、实验目的 1.学习检查和使用集成与非门的方法。 2.掌握基本门电路的逻辑功能及测试方法。 3.学会利用与非门组成其它逻辑门电路。 4. 观察门电路对数字信号传输的控制作用。 二、实验原理 TTL与非门是数字电路中广泛使用的一种基本逻辑门电路。利用逻辑代数的基本运算法则,可以用与非的逻辑关系实现“与”、“非”、“或”、“或非”、“异或”、“同或”等逻辑运算,既可以用与非门组成其它逻辑门电路。例如当只使用一个输入端,其余输入端悬空(相当于接1),或者将几个输入端并在一起接输入信号时,如图13.1所示,具有非门的功能。 常用基本逻辑门电路的逻辑表达式、符号、逻辑功能、逻辑功能转换及用作控制门时,控制信号、输入输出信号间的关系如表13.1所示。 表13.1 用与非门可以组成控制门。逻辑门对数字信号有控制作用,就是利用逻辑门的逻辑功能在门的一端加上控制信号(1或0),由控制信号决定门电路的打开或关闭。当门电路处于打开状态时,数字信号被传输,当门电路处于关闭状态时,数字信号被封锁。如图13.2所示,A为控制端,B为信号输入端。当A=0时,无论B端信号如何,输出端F=1,相当于关门。当A=1时,输出端F的状态才随输入信号B变化而改变,相当于开门。

三、实验仪器和设备 1.数字万用表 1块 2.双踪示波器 1台 3.74LS00二输入四与非门 1片 4.74LS86二输入四异或门 1片 5.数字电路实验箱 1台 四、预习要求 1.复习与非门的逻辑功能。画出用与非门构成与门、或门、或非门、异或门、同或门的逻辑图。 2.熟悉集成与非门、异或门的管脚功能。 3.集成与非门有多个输入端,对不使用的输入端应如何处理? 4.复习逻辑代数的运算法则,能熟练地进行逻辑函数化简。 五、实验内容及步骤 1.与非门逻辑功能测试 (1)74LS00二输入四与非门的管脚排列如图13.3所示。找到74LS00组件的“1”号标识位,将其插入实验箱上的14脚插座板上。注意组件管脚的序号要与插座板上的序号一致。按图13.3所示,分清楚“电源”、“地”、“输入”、“输出”的管脚序号。 Y 图13.1 与非门组成非门 (a ) (b ) 图13.2 与非门组成控制门

ch2-4LEDIT绘制nmos管版图

LOGO 第2单元绘制版图 主讲:赵琳娜 LOGO 2.4 绘制版图 绘制版图 CH2 LOGO 绘制版图 根据手中的0.25um 设计规则,画出反相器中NMOS 管的版图!(Tanner) NMOS:1um/.25um PMOS:2um /.25um LOGO 绘制版图 画版图时,要严格按照design rule 来画! 软件:tanner14.1 L-Edit 软件使用说明详见《集成电路版图设计入门》 好。Come on ! LOGO Layer 零距离接触Tanner L-Edit ! LOGO 零距离接触Tanner L-Edit !

LOGO 零距离接触Tanner L-Edit ! LOGO 零距离接触Tanner L-Edit ! LOGO 零距离接触Tanner L-Edit ! LOGO 绘制版图 LOGO LVS DRC 验证通过并不代表Layout 就完全正确了,极端的例子是Layout 中即使什么都没画,DRC 也不会报错,所以我们还需将Layout 和Schematic 作对比,看看是不是该画的器件都画上了,该连的线也都连对了,这样的检查叫LVS(Layout Vs. Schematic) LVS 验证需要的三个文件: GDS2、网表文件(Netlist File )和LVS 命令文件 LOGO 绘制版图——DRC 检查

LOGO 绘制版图——DRC 检查LOGO 绘制版图 LOGO DRC 检查LOGO DRC 检查 LOGO DRC 检查LOGO 画Schematic ,提取网表文件 1)网表文件(Netlist File ) 1.

华东理工大学电气工程及其自动化培养方案

电气工程及其自动化专业教学培养方案 一、培养目标 电气工程及其自动化专业致力于培养适应社会发展和经济建设需要,具有多元人文知识、社会责任感、创新意识、环保节能意识和团队合作精神,知识、能力、素质协调统一,具有扎实的电器、电力电子、电气传动、电气系统设计及应用等专业基础知识和工程实践能力,具有分析问题和解决问题的综合能力,能从事与电气工程有关的系统运行、自动控制、电力电子技术等相关领域科学研究、技术开发、工程应用与组织管理的高级工程技术人才。 二、培养要求 1、具有从事工程工作所需的相关数学、自然科学以及经济和管理知识,系统地掌握本专业所必需的自然科学和工程技术方面的基础知识,接受工程设计和科学研究的基本训练,具有电气工程及自动化系统设计、开发与工程应用的基本技能。 2、较好地掌握本专业领域的技术知识,包括电器、电力电子、电气传统、电气系统设计等。 3、具有较强的计算机应用能力,具有创新意识,能利用现代技术手段解决电气工程相关的系统分析、开发与设计中的问题,掌握文献检索、资料查询及运用现代信息技术获取相关信息的基本方法。 4、掌握一门外语,能熟练阅读和理解外文专业资料,具有较好的国际视野与跨文化交流能力。 5、了解电气自动化系统设计、研究与开发、环境保护等方面的方针、政策和法规,具备社会责任感和职业道德。 6、具有较强的适应性和终身学习的能力,并具备一定的组织管理和社会活动能力,具有团队合作精神。 三、学位及学分要求 本专业学生在学期间必须修满专业培养方案规定的179学分,其中,通识教育平台课程44学分,学科基础教育课程平台36学分,专业教育平台课程66.5学分,实践平台32.5学分。学生修满学分并达到《大学生体质健康标准》,可获得毕业证书。获准毕业并通过华东理工大学大学英语学位考试,且符合国家学位授予条例者,可获得工学学士学位。

实验2

一.实验目的 1.掌握使用示波器测量二进制脉冲信号的方法 2.掌握测量门电路平均延时时间的方法 3.熟悉集成门电路的逻辑功能和测试方法 4.用QUARTUSII平台对组合逻辑电路进行仿真,确定其逻辑 功能。 5.掌握TTL和CMOS与非门的电压传输特性和部分参数的测 试方法;

二、实验器材 1. TDS-2002数字示波器 2. DLBS-1型逻辑实验器

三、实验内容 必做: 1.门电路输入输出信号的测量 2.门电路平均延时间的测试 3.门电路静态逻辑功能测试 3.CPLD完成组合逻辑电路的仿真选做: 1.非门电压传输特性的测试 2.TTL与非门的输入、输出电流测量

门电路动态逻辑功能测试 1.非门输入输出信号的测量 搭接实验电路,用示波器观察并记录Vi和Vo的波形;测量每路信号的6个波形参数,各个波形参数的意义如下图所示:

示波器测量周期性信号步骤: a.调节示波器使波形显示稳定。 方法一:使用示波器自动设置功能,点自动设置菜单(AUTOSET)按钮,示波器根据被测信号的频率关系自动设定触发菜单各个选项,使波形稳定显示。 自动设置菜单按钮

方法二:手动调节,先点触发菜单按钮,打开触发菜单,若测量单路信号,触发信号源选择被测信号所连接的通道。测两路信号时若两路信号频率相同,可将任意一路设为触发信号源,若两路信号的频率不同,则必须选择频率低的一路信号为触发信号源。调节触发电平调节旋钮,把触发电平设定在触发信号的最小值和最大值区间里的任意一个值即可。 触发电平调节旋钮 触发菜单按钮 触发菜单 触发信号源 触发电平光标 触发电平指示值

正弦交流电路习题参考答案

第四章 正弦交流电路 [练习与思考] 4-1-1 在某电路中,() A t i ο60 314sin 2220-= ⑴指出它的幅值、有效值、周期、频率、角频率及初相位,并画出波形图。 ⑵如果i 的参考方向选的相反,写出它的三角函数式,画出波形图,并问⑴中各项有无改变? 解:⑴ 幅值 A I m 2220 有效值 A I 220= 频率 314 5022f Hz ωππ === 周期 1 0.02T s f = = 角频率 314/rad s ω= 题解图 初相位 s rad /3 π ψ- = 波形图如题解图所示 (2) 如果i 的参考方向选的相反, 则A t i ?? ? ??+=32 314sin 2220π,初相位改变了, s rad /3 2π ψ= 其他项不变。波形图如题解图 所示。 题解图 4-1-2 已知A )120314sin(101ο-=t i ,A )30314sin(202ο+=t i ⑴它们的相位差等于多少? ⑵画出1i 和2i 的波形。并在相位上比较1i 和2i 谁超前,谁滞后。 解:⑴ 二者频率相同,它们的相位差?-=?-?-=-=1503012021i i ψψ? (2)在相位上2i 超前,1i 滞后。波形图如题解图所示。 题解图 4-2-1 写出下列正弦电压的相量

V )45(sin 2201ο-=t u ω,)V 45314(sin 1002ο +=t u 解:V U ?-∠=?4521101 V U ?∠=? 452502 4-2-2 已知正弦电流)A 60(sin 81ο +=t i ω和)A 30(sin 62ο -=t i ω,试用复数计算电流 21i i i +=,并画出相量图。 解:由题目得到 A j j j j I I I m m m ?∠=+=-++=?-?+?+?=? -∠+?∠=+=? ??1.231093.32.9)32.5()93.64()30sin 630cos 6()60sin 860cos 8(30660821 所以正弦电流为 )A 1.23(sin 101ο +=t i ω 题解图 相量图如题解图所示。 4-2-3 指出下列各式的错误。 A I 3010∠=, )V 45sin 100ο +=t ( U ω A e I j 3010=, A )20314sin 10ο+=t (I 解:A I 3010∠= 应改为 A I ?∠=? 3010 )V 45sin 100ο +=t ( U ω 应该为 )V 45sin 100ο +=t ( u ω A e I j 30 10= 应该为 A e I j ? ? =3010 A )20314sin 10ο +=t (I 应该为 A )20314sin 10ο +=t (i 4-3-1 已知H 1=L 的电感接在400Hz/100V 的正弦电源上,u 的初相位为200 ,求电流并画 出电流、电压的相量图。 解:已知 V U ?∠=? 20100 A j jX U I L ?-∠=??? ∠== ? ? 7004.01 400220100π

北交大考博辅导班:2019北京交通大学应用数学考博难度解析及经验分享

北交大考博辅导班:2019北交大应用数学考博难度解析及经验分享根据教育部学位与研究生教育发展中心最新公布的第四轮学科评估结果可知,在科教评价网版2017-2018数学与应用数学专业大学排名中,数学与应用数学专业排名第一的是复旦大学,排名第二的是北京师范大学,排名第三的是南开大学。 下面是启道考博辅导班整理的关于北京交通大学应用数学考博相关内容。 一、专业介绍 应用数学专业培养掌握数学科学的基本理论与基本方法,具备运用数学知识、使用计算机解决实际问题的能力,受到科学研究的初步训练,能在科技、教育和经济部门从事研究、教学工作或在生产经营及管理部门从事实际应用、开发研究和管理工作的高级专门人才。 北京交通大学理学院的应用数学在博士招生方面,划分为1个研究方向: 070104 应用数学 研究方向:01 微分方程理论与应用 考试科目:①1101 英语②2272 代数学基础或 2290 分析学基础或 2617 概率论基础③3756 微分方程或 3762 分形与混沌及其应用或 3780 组合学或 3781 图论或 3782 随机分析与随机过程或 3783 运筹学 二、综合考核及分数 北京交通大学应用数学博士研究生招生考试分为五个阶段。其中,综合考核内容为 :(一)外国语水平考核 符合学校要求的英语考试成绩证明或在国外获得硕士或博士学位证明可免试外国语水平考核。 (二)基础水平测试 学院根据学科培养目标要求及高层次优秀人才选拔标准,制定申请考核制招生申请材料审核办法、评分标准及相关程序。学院材料审核专家组应结合考生学术研究经历、学科综述与研究设想、硕士学位论文(应届硕士毕业生论文目录、详细摘要和主要成果)、考生参与科研、发表论文、出版专著、获奖等情况及专家推荐意见按照学院制定的申请材料审核评分标准,给出对应成绩及书面评价,成绩满分100分。成绩低于60分的考生,不得录取。 (三)学科专业能力考核 学院对进入综合素质考核名单的考生进行学科专业能力考核。学科专业能力的考核形式、内容及评价标准由学院制定,成绩满分100分。主要测试考生的本学科博士研究生应具

集成门电路功能测试(三态门)

集成门电路功能测试实验报告 一实验内容 1 三态门的静态逻辑功能测试。 2 动态测试三台门。并画出三态门的输出特性曲线。输入为CP矩形波。 3 测试三态门的传输延迟时间。 4 动态测试三态门的电压传输特性曲线。输入为三角波。 二实验条件 硬件基础实验箱,函数信号发生器,双踪示波器,数字万用表,74LS125。 三实验原理 1 首先测试实验箱上提供的频率电源参数是否正确。 打开实验箱电源,把分别把5MHz的脉冲接入红表笔上,黑表笔接地。观察示波器显示波形的频率是否为5MHz,经过观察计算,波形频率接近5M。误差很小,从下图可以看出,ch1为输入波形一个周期占四个格子,可计算得到f=5MHz。 2 三态门的静态逻辑功能测试。(后面四个实验都是通过示波器在同一时刻测试 3动态测试三台门。并画出三态门的输出特性曲线。输入为CP矩形波。 使能端无效是波形:

使能端有效时输出波形 4 测试三态门的传输延迟时间。 通过测量同一时刻的输入输出波形,可以观察到三态门的输出延迟。得到波形图为

CH1,CH2分别为输入输出波形,可以看出在上升沿的输出延迟为10ns 然而下降沿的时候的截图已经丢失了,依稀记得在实验时候,测得是数据下降沿的输出延迟与上升沿的不一致,并且比上升沿的短。为9.6ns,其传输延迟为两个延迟的平均值9.8ns。 5 测试三态门的电压传输特性曲线。输入为三角波。 得到输入输出波形为:CH1为输入,CH2为输出。

得到阀值电压为0.92V。 四总结 这次实验基本上和上次实验的方法一样,没遇到什么大的问题。就是还是粗心。五评价 实验效果挺好。巩固了对逻辑器件的功能测试的方法和操作。

正弦交流电路的分析与讲解

授课日期年月日第课时

第一节纯电阻电路 一、电路: 1.纯电阻电路:交流电路中若只有电阻,这种电路叫纯电阻电 路。 2.电阻元件对交流电的阻碍作用,单位Ω 二、电流与电压间的关系: 1.大小关系: 设在纯电阻电路中,加在电阻R上的交流电压u = U m sin ωt,则通过电阻R的电流的瞬时值为: i = R u = R t Uω sin m = I m sin ω t I m = R U m I = 2 m I = R U 2 m= R U I = R U :纯电阻电路中欧姆定律的表达式,式中:U、I为交流电 路中电压、电流的有效值。 2.相位关系: (1)在纯电阻电路中,电压、电流同相。 (2)表示:解析式、相量图和波形图。 例:在纯电阻电路中,电阻为44 Ω,交流电压 u = 311 sin ( 314 t + 30? ) V,求通过电阻的电流多大?写出电流的解析式。 练习: 已知交流电压u = 2202sin ( 314 t + 45? ) V,它的有效 是,频率是,初相是。若电路接上一电阻负载R = 220 Ω,电路上电流的有效值是,电流的解析式 是。 小结: 1.纯电阻电路中欧姆定律的表达式。 2.电阻两端的电压和通过电阻的电流的关系。

课前复习: 电阻元件上电流、电压之间的关系 1.大小关系 2.相位关系 第二节纯电感电路 一、电路: 二、电感对交流电的阻碍作用: 1.演示: 电感在交、直流电路中的作用 2.分析与结论: 电感线圈对直流电和交流电的阻碍作用是不同的。对于直流电起阻碍作用的只是线圈电阻,对交流电,除线圈电阻外,电感也起阻碍作用。 (1)电感对交流电有阻碍作用的原因。 (2)感抗:电感对交流电的阻碍作用。用X L表示,单位:Ω。(3)感抗与ω、L有关: ①L越大,X L就越大,f越大,X L就越大。 ②X L与L、f有关的原因。 ③X L = ω L = 2 π f L 单位:X L―欧姆(Ω);f -赫兹(Hz);L -亨利(H)。(4)电感线圈在电路中的作用:通直流、阻交流,通低频、阻高频。 (5)应用: 低频扼流圈:用于“通直流、阻交流”的电感线圈叫低频扼流圈。 高频扼流圈:用于“通低频、阻高频”的电感线圈叫高频扼流圈。

9-10次作业答案

华东理工大学 复变函数与积分变换作业(第5册) 班级____________学号_____________姓名_____________任课教师_____________ 第九次作业 教学内容:5.1孤立奇点 5.2.1 留数的定义 5.2.2极点处留数的计算 1.填空题: (1)函数)1(1)(i e z f z +-= 的全部孤立奇点是 ,.......1,0),24 ( 2ln 2 1±=++k k i ππ (2)0=z 是 z z -sin 1的____三____级极点. (3)2-=z 是 3 2 3) 4(8--z z 的____三_级极点. (4)若()f z 在0z 点解析,0z 是()g z 的本性极点,0z 是()()f z g z ?的_本性_奇点, 是 ()() f z g z 的___本性__奇点. (5)=]0,1cos [Res z z 2 1 2.指出下列函数的奇点及其类型(不考虑∞点),若是极点,指出它的级. (1) 21n n z z +; 解:由,1,01-==+n n z z 得) 1,,1,0()12(-==+n k e z i n k k π 为原式一级极点。 (2) z z ) 1(ln + 解1:10,1 ) 1()1ln(0 1 <<+-= +∑∞ =+z n z z n n n , ∑∞ =+-= +0 1 ) 1() 1ln(n n n n z z z 无负幂项,故0 =z

为其可去奇点。 解2:1) 1(1lim ) 1ln(lim =+=+→→z z z z z ,故0=z 为可去奇点。 (3)1z z e - 解:由于1z z e -∑∞ =---+---= ==0 11 1 111) 1() 1(1 n n n z z z z e e e e ,所以1=z 为本性奇点。 (4) 3 sin z z ; 解:0=z 为z sin 的一级零点,而0=z 为3z 的三级零点,故0=z 为 3 sin z z 的二级极点。 01sin lim sin lim 0 3 2 ≠==→→z z z z z z z ,故0=z 为 3 sin z z 的二级极点。 (5) 2 1(1) z z e -; 解:因),! 32 1()! 1(12 ++ + =+=-∑ ∞ =z z z n z z e n n z 故0=z 为 2 1(1) z z e -的三级极点,而 ,2,1,2±±==k i k z π均为一级极点。 (6) 2 sin z e z z 解:由于 2 sin z e z z z z e z z z e z z ...) ! 31(....) ! 3(2 2 3 +- = +-= 所以1sin lim 2 =? →z z e z z z ,因此 0z =是一级极点 3 证明:如果0z 是()f z 的(1)m m >级零点,那么0z 是()f z '的1m -级零点. 证明:0z 是()f z 的()1m m >级零点,可设()()()0m f z z z z ?=-, 其中()z ?在0z 点解析,且()00z ?'≠,

CH2 物理层习题

CH2 物理层习题 2.1 典型习题与分析 【1】假定以2400bps 的速率在一条线路上发送10,000字节的文件. a. 计算采用异步通信方式时在比特和时间上的开销。假定发送每个符号时1位开始 位,1位停止位和8比特的数据位,其中数据位中不包含校验位。 b. 计算采用同步通信方式时在比特和时间上的开销。假定数据是以帧的方式发送, 每帧包含1000个字符=8000比特,同时有48比特的控制位开销。 c. 如果发送100000个字符的文件,上述a, b 的答案又是什么? d. 如果以9600bps 的速度发送100000个字符的文件,上述a, b 的答案又是什么? 解答: (a) 额外开销率=%201 1811=+++,而传输速率为2400b/s ,所以传输时间= 67.41240 10000=s 。 (b) 系统的开销率为 %59.0%10048 800048=?+,所以额外开销为4801048=?比特,因此传输一帧所需的时间为 35.32400 8048 =s ,所以总耗时为5.3335.310=?s 。 (c) 异步、同步额外开销不变。 异步情况下的总耗时为41.67? 10=416.7s ,而同步情况下的总耗时为100?3.35=335s 。 (d) 异步情况下的总耗时为 2.10410 /960010000 =s , 而而同步情况下的总耗时8383.09600 8048=s 。 所以总耗时为83.838383.0100=?s 。 【2】根据RS-232-C 标准,DTE 只有在哪四个电路都处于开状态(ON)的情况下才能发送数据? 解答: (1) 请求发送RTS(针4) (2) 清送CTS(针5) (3) 数据端接装置就绪DSR(针6) (4) 数据终端就绪DTR(针20) 【3】RS232C 接口如何在两个DTE 的直接连接中应用? 解答: 当两个DTE 距离较近(50英尺以内),并且未接DCE 时,可通过采用零调制解调器电缆来使用RS232C 接口。这种连接电缆利用交叉跳变信息线的方法,使得连接在电缆两端的DTE 通过电缆看对方都好像是DCE 一样,从而满足RS232C 接口的要求。零调制解调器电缆中,发送数据的插脚2和接收数据的插脚3交叉相连;插脚1和插脚7是接地信号,可直接连接在一起;插脚6、8和20被连接或跨接在一起,这样只要任何一个信号被激活,其它

逻辑门电路 作业题(参考答案)

第四章逻辑门电路 (Logic Gates Circuits) 1.知识要点 CMOS逻辑电平和噪声容限;CMOS逻辑反相器、与非门、或非门、非反相门、与或非门电路的结构; CMOS逻辑电路的稳态电气特性:带电阻性负载的电路特性、非理想输入时的电路特性、负载效应、不用的输入端及等效的输入/输出电路模型; 动态电气特性:转换时间、传输延迟、电流尖峰、扇出特性; 特殊的输入/输出电路结构:CMOS传输门、三态输出结构、施密特触发器输入结构、漏极开路输出结构。 重点: 1.CMOS逻辑门电路的结构特点及与逻辑表达式的对应关系; 2.CMOS逻辑电平的定义和噪声容限的计算; 3.逻辑门电路扇出的定义及计算; 4.逻辑门电路转换时间、传输延迟的定义。 难点: 1.CMOS互补网络结构的分析和设计; 2.逻辑门电路对负载的驱动能力的计算。 (1)PMOS和NMOS场效应管的开关特性 MOSFET管实际上由4部分组成:Gate,Source,Drain和Backgate,Source和Drain之间由Backgate连接,当Gate对Backgate的电压超过某个值时,Source和Drain之间的电介质就会形成一个通道,使得两者之间产生电流,从而导通管子,这个电压值称为阈值电压。对PMOS管而言,阈值电压是负值,而对NMOS管而言,阈值电压是正值。也就是说,在逻辑电路中,NMOS管和PMOS管均可看做受控开关,对于高电平1,NMOS导通,PMOS截断;对于低电平0,NMOS截断,PMOS导通。 (2)CMOS门电路的构成规律 每个CMOS门电路都由NMOS电路和PMOS电路两部分组成,并且每个输入都同时加到一个NMOS管和一个PMOS管的栅极(Gate)上。 对正逻辑约定而言,NMOS管的串联(Series Connection)可实现与操作(Implement AND Operation),并联(Parallel Connection)可实现或操作(Implement OR Operation)。 PMOS电路与NMOS电路呈对偶关系,即当NMOS管串联时,其相应的PMOS管一定是并联的;而当NMOS 管并联时,其相应的PMOS管一定需要串联。 基本逻辑关系体现在NMOS管的网络上,由于NMOS网络接地,输出需要反相(取非)。 (3)CMOS逻辑电路的稳态电气特性 一般来说,器件参数表中用以下参数来说明器件的逻辑电平定义: V OHmin输出为高电平时的最小输出电压 V IHmin能保证被识别为高电平时的最小输入电压 V OLmax能保证被识别为低电平时的最大输入电压 V ILmax输出为低电平时的最大输出电压 不同逻辑种类对应的参数值不同。输入电压主要由晶体管的开关门限电压决定,而输出电压主要由晶体管的“导通”电阻决定。 噪声容限是指芯片在最坏输出电压情况下,多大的噪声电平会使得输出电压被破坏成不可识别的输入值。对于输出是高电平的情况,其最坏的输出电压是V OHmin,如果要使该电压能在输入端被正确识别为高电平,即被噪

华东理工复变函数与积分变化1-2次作业答案

华东理工大学 复变函数与积分变换作业(第1册) 班级____________学号_____________姓名_____________任课教师_____________ 第一次作业 教学内容:1.1复数及其运算 1.2平面点集的一般概念 1.填空题: (1) 3 5arctan 2,234,25 23,25,23-+-πk i (2)3arctan 2,10,31,3,1-+-πk i (3))31(2 1 i +- (4) 13,1=-=y x 。 2.将下列复数化成三角表示式和指数表示式。 (1)31i +; 解:32)3 sin 3(cos 2)2321(231π π πi e i i i =+=+=+ (2))0(sin cos 1π???≤≤+-i 解:) 22(2 sin 2)]22sin()22[cos(2sin 2sin cos 1? π? ?π?π?? ?-=-+-=+-i e i i

(3)3 2) 3sin 3(cos )5sin 5(cos φφφφi i -+. 解:φ φ φφφφφφφ199********)/()()3sin 3(cos )5sin 5(cos i i i i i e e e e e i i ===-+-- φε19sin 19cos i + 3.求复数 1 1 +-z z 的实部与虚部 解:2 | 1|) 1)(1()1)(1()1)(1(11++-=+++-=+-= z z z z z z z z z w 2 22| 1|Im 2|1|1|1|)1(+++-=+--+= z z i z z z z z z z z 所以,2|1|1Re +-= z z z w ,2 |1|Im 2Im +=z z w 4. 求方程083 =+z 的所有的根. 解:.2,1,0,2)8()21(3 3 1 ==-=+k e z k i π 即原方程有如下三个解: 31,2,31i i --+ 5. 若 321z z z ==且0321=++z z z ,证明:以321,,z z z 为顶点的三角形是正三角形. 证明:记a z =||1,则2 3223222 3 22 1 )(2z z z z z z z --+=+= 得2232 3||a z z =-221|)||(|z z -=,同样, 22 212123||a z z z z =-=- 所以.||||212321 z z z z z z -=-=- 6. 设2,1z z 是两个复数,试证明. 2 12z z ++2 21z z -22 122()z z =+.

几种取样门电路

几种取样积分电路的分析比较取样积分电路包括取样和积分两个步骤,且将取样积分方法有很多种类。根据取样点的不同将取样积分方法分为单点式取样积分和多点式取样积分,单点式取样积分是指在每个周期内固定取样,且仅仅为一个取样点。采用此方法对信号进行取样积分时,需要经过太多的周期才能得到测量结果,这将大大降低了取样积分的效率。当被测信号为低频率微弱信号时,采样过程中要采样更多的点,即更多个周期,而过长的测量时间会因电容漏电因素而导致对生命信号的测量不准确。多点取样积分方式是指在每个周期内固定取样,但每次取样为多个取样点,这就大大提高了取样的效率。每个周期取样点数的多少都是由输入信号的频率和要求恢复信号的精度决定的,但要求积分器的多少与取样的点数相同。 取样积分电路根据取样门的不同分为对称平衡取样积分电路(李葵芳,李太全.“平衡取样积分电路分析与应用”)、双管取样积分电路(Parssinen A,Magoon R,Stephen I L.A2GHz Sub-harmonic Sampler For signal Down-conversion)和桥式取样积分电路(Yu-xiao Chen et.”Design and Simulation of 100ps Transient Sampling Gate Based on High Speed Schottky Diode”)等。各种取样门电路各有其优缺点,平衡取样积分电路是由两个采用共阴极集成的高速开关二极管接成对称结构,且两个门电路共用一个取样脉冲,后面的积分电路采用共模抑制比较高的差分放大器、电容和电阻构成线性积分电路;双管取样门电路是由两个快速二极管和电阻组成一个桥路,其中二极管一般都处于截止状态,由两个极性相反的取样脉冲对其二极管进行控制,后面的积分电路采用线性积分电路,其良好的对称性帮助其电路更好的实现取样积分;桥式取样积分电路是由四个二极管构成一个桥路,由幅度相等、极性相反的取样脉冲控制其桥式二极管的开关,后面积分电路采用最简单电容和电阻构成。综上所述,三个取样积分电路各有其特点:平衡取样积分电路是由一个取样脉冲对其电路进行控制,电路简单易设计,但其对取样脉冲宽度的要求很高;双管取样门电路则是由两个极向相反的取样脉冲对电路进行控制,且对电路的对称性要求极高。同平衡取样积分电路一样,其对取样脉冲宽度的要求极高,要求其取样门导通时间要小于被取样信号最高频率倒数的0.443倍;桥式二极管取样积分电路同双管取样门电路

华东理工大学2008学年第二学期复变函数A卷

华东理工大学2008–2009学年第二学期 《复变函数与积分变换》课程期末考试试卷 A 2009.6 开课学院:理学院,专业:大面积考试形式:闭卷,所需时间 120 分钟考生姓名:学号:班级:任课教师 一、填空题(每小题4分,共36分) 1.复数 n ?? 的模. 2.若 1 z=, 2 z i =,则 12 z z?的指数形式为. 3.Lni的值为. 4.= ?=dz z z1 . 5.幂级数n n n z n n ∑∞ =1 2 )! ( 的收敛半径是. 6.已知函数 2 32 () (2) z f z z z + = + ,则= ]0 ), ( Re[z f. 7.把上半平面0 Im(z)>映射为单位圆1 < w且满足0 )( arg ,0 )(= ' =i f i f的分式线性映射为. 8.函数)] ( ) ( [ ) ( ω ω δ ω ω δ π ω- + + = F的Fourier逆变换为 9. ()1t f t te =-的Laplace变换为. 二、单项选择题(每小题4分,共20分) 1.复数2i e-的辐角主值是() A.1 B.8 C.-1 D.8 2. 函数() w f z u iv ==+在点 z处解析,则命题()不成立。

A. ,u v 仅在点0z 处可微且满足C R -条件; B. 存在点0z 的某一邻域0()U z ,,u v 在0()U z 内满足C R -条件; C. ,u v 在邻域0()U z 内可微; D. B, C 同时成立。 3. 设()f z 在闭曲线C 上及其内部解析,0z 在C 的内部,则有( ) A. 02200()1 ()()()C C f z dz f z dz z z z z '=--?? B. 200()() ()()C C f z f z dz dz z z z z '=--?? C. 0200()()1()2!()C C f z f z dz dz z z z z =--?? D. 0200()()()()C C f z f z dz dz z z z z =--?? 4. 函数 cot 23 z z π-在2z i -=内的奇点个数( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 将点0,1,z =∞分别映射为1,,1i w --=的分式线性映射为( ) A.11z w z +=- B. 211i z w e z π+=- C. z i w z i -=+ D. 2i z i w e z i π -=+ 三、(8分)已知23 (,)3u x y xy x =-+为调和函数,求满足(0)f C =的解析函数?

正弦交流电路习题解答

习 题 电流π10sin 100π3i t ??=- ?? ?,问它的三要素各为多少?在交流电路中,有两个负载,已知它们的电压分别为1π60sin 3146u t ??=- ???V ,2π80sin 3143u t ??=+ ?? ?V ,求总电压u 的瞬时值表达式,并说明u 、u 1、u 2三者的相位关系。 解:(1)最大值为10(V ),角频率为100πrad/s ,初相角为-60°。 (2)?-=30/601m U &(V )?=60/802m U &(V ) 则?=?+?-=+=1.23/10060/8030/6021m m m U U U &&&(V ) )1.23314sin(100?+=t u (V )u 滞后u 2,而超前u 1。 两个频率相同的正弦交流电流,它们的有效值是I 1=8A ,I 2=6A ,求在下面各种情况下,合成电流的有效值。 (1)i 1与i 2同相。 (2)i 1与i 2反相。 (3)i 1超前i 2 90o 角度。 (4)i 1滞后i 2 60o 角度。 解:(1)146821=+=+=I I I (A ) (2)6821+=-=I I I (A ) (3)1068222221=+=+=I I I (A ) (4)设?=0/81I &(A )则?=60/62 I &(A ) ?=?+?=+=3.25/2.1260/60/82 1I I I &&&(A ) 2.12=I (A ) 把下列正弦量的时间函数用相量表示。 (1)u =t V (2)5i =-sin(314t – 60o) A 解:(1)U &=10/0o (V) (2)m I &=-5/-60o =5/180o -60o=5/120o (A) 已知工频正弦电压u ab 的最大值为311V ,初相位为–60°,其有效值为多少?写出其瞬时值表达式;当t =时,U ab 的值为多少? 解:∵U U ab abm 2= ∴有效值2203112 121=?==U U abm ab (V) 瞬时值表达式为 ()?-=60314sin 311t u ab (V) 当t =时,5.80)12sin(31130025.0100sin 311-=-=??? ? ?-??=πππU ab (V) 题图所示正弦交流电路,已知u 1sin314t V ,u 2t –120o) V ,试用相量表示法求电压u a 和u b 。 题图 解:(1)由图a 知,21u u u a +=

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