高考数学复习（全）
目录
前言 (2)
第一章高中数学解题基本方法 (3)
一、配方法 (3)
二、换元法 (7)
三、待定系数法 (14)
四、定义法 (19)
五、数学归纳法 (23)
六、参数法 (28)
七、反证法 (32)
八、消去法………………………………………
九、分析与综合法………………………………
十、特殊与一般法………………………………
十一、类比与归纳法…………………………
十二、观察与实验法…………………………
第二章高中数学常用的数学思想 (35)
一、数形结合思想 (35)
二、分类讨论思想 (41)
三、函数与方程思想 (47)
四、转化（化归）思想 (54)
第三章高考热点问题和解题策略 (59)
一、应用问题 (59)
二、探索性问题 (65)
三、选择题解答策略 (71)
四、填空题解答策略 (77)
附录………………………………………………………
一、高考数学试卷分析…………………………
二、两套高考模拟试卷…………………………
三、参考答案……………………………………
前言
美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。
高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查：
①常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等；
②数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等；
③数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归
纳和演绎等；
④常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）
思想等。
数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。
数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。
可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。
为了帮助学生掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，本书先是介绍高考中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法，再介绍高考中常用的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想。最后谈谈解题中的有关策略和高考中的几个热点问题，并在附录部分提供了近几年的高考试卷。
在每节的内容中，先是对方法或者问题进行综合性的叙述，再以三种题组的形式出现。再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现，示范性题组进行详细的解答和分析，对方法和问题进行示范。巩固性题组旨在检查学习的效果，起到巩固的作用。每个题组中习题的选取，又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知识。
第一章高中数学解题基本方法
一、配方法
配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。
最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。
配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：
a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；
a 2＋a
b ＋b 2＝(a ＋b)2－ab ＝(a －b)2＋3ab ＝(a ＋
b 2)2＋（32b ）2； a 2＋b 2＋
c 2＋ab ＋bc ＋ca ＝
12
[(a ＋b)2＋(b ＋c)2＋(c ＋a)2] a 2＋b 2＋c 2＝(a ＋b ＋c)2－2(ab ＋bc ＋ca)＝(a ＋b －c)2－2(ab －bc －ca)＝… 结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如： 1＋sin2α＝1＋2sin αcos α＝（sin α＋cos α）2；
x 2＋1x ＝(x ＋1x )2－2＝(x －1x
)2＋2 ；…… 等等。 Ⅰ、再现性题组： 1. 在正项等比数列{a n }中，a 1?a 5+2a 3?a 5+a 3?a 7=25，则 a 3＋a 5＝_______。 2. 方程x 2＋y 2－4kx －2y ＋5k ＝0表示圆的充要条件是_____。 A. 14
3. 已知sin 4α＋cos 4α＝1，则sin α＋cos α的值为______。
A. 1
B. －1
C. 1或－1
D. 0
4. 函数y ＝log 12 (－2x 2
＋5x ＋3)的单调递增区间是_____。 A. （－≦, 54] B. [54,+≦) C. (－12,54] D. [54,3)
5. 已知方程x 2+(a-2)x+a-1=0的两根x 1、x 2，则点P(x 1,x 2)在圆x 2+y 2=4上，则实数a ＝_____。
【简解】 1小题：利用等比数列性质a m p -a m p +＝a m 2，将已知等式左边后配方（a 3＋a 5）2易求。答案是：5。
2小题：配方成圆的标准方程形式(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，解r 2>0即可，选B 。 3小题：已知等式经配方成(sin 2α＋cos 2α)2－2sin 2αcos 2α＝1，求出sin αcos α，然后求出所求式的平方值，再开方求解。选C 。
4小题：配方后得到对称轴，结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。选D 。 5小题：答案3－11。
Ⅱ、示范性题组：
例1. 已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为_____。 A. 23 B. 14 C. 5 D. 6
【分析】 先转换为数学表达式：设长方体长宽高分别为x,y,z ，则211424()()xy yz xz x y z ++=++=??? ,而欲求对角线长x y z 222++，
将其配凑成两已知式的组合形式可得。
【解】设长方体长宽高分别为x,y,z ，由已知“长方体的全面积为11，其12条棱的
长度之和为24”而得：211424()()xy yz xz x y z ++=++=???
。
长方体所求对角线长为：x y z 222++＝()()x y z xy yz xz ++-++22＝6112-＝5
所以选B 。
【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式，观察和分析三个数学式，容易发现使用配方法将三个数学式进行联系，即联系了已知和未知，从而求解。这也是我们使用配方法的一种解题模式。
例2. 设方程x 2＋kx ＋2=0的两实根为p 、q ，若(
p q )2+(q p
)2≤7成立，求实数k 的取值范围。
【解】方程x 2＋kx ＋2=0的两实根为p 、q ，由韦达定理得：p ＋q ＝－k ，pq ＝2 , (p q )2+(q p )2＝p q pq 442+()＝()()p q p q pq 222222
2+-＝[()]()p q pq p q pq +--2222
222＝()k 22484
--≤7， 解得k ≤－10或k ≥10 。 又 ≧p 、q 为方程x 2＋kx ＋2=0的两实根， ? △＝k 2－8≥0即k ≥22或k ≤－22
综合起来，k 的取值范围是：－10≤k ≤－22 或者 22≤k ≤10。
【注】 关于实系数一元二次方程问题，总是先考虑根的判别式“Δ”；已知方程有两根时，可以恰当运用韦达定理。本题由韦达定理得到p ＋q 、pq 后，观察已知不等式，从其结构特征联想到先通分后配方，表示成p ＋q 与pq 的组合式。假如本题不对“△”讨论，结果将出错，即使有些题目可能结果相同，去掉对“△”的讨论，但解答是不严密、不完整的，这一点我们要尤为注意和重视。
例3. 设非零复数a 、b 满足a 2＋ab ＋b 2
=0，求(a a b +)1998＋(b a b
+)1998 。 【分析】 对已知式可以联想：变形为(a b )2＋(a b )＋1＝0，则a b ＝ω （ω为1的立方虚根）；或配方为(a ＋b)2＝ab 。则代入所求式即得。
【解】由a 2＋ab ＋b 2=0变形得：(
a b )2＋(a b )＋1＝0 ， 设ω＝
a b ，则ω2＋ω＋1＝0，可知ω为1的立方虚根，所以：1ω＝b a
，ω3＝ω3＝1。
又由a 2＋ab ＋b 2=0变形得：(a ＋b)2＝ab ， 所以 (a a b +)1998＋(b a b
+)1998＝(a ab 2
)999＋(b ab 2
)999＝(a b )999＋(b a )999＝ω999＋ω999＝2 。
【注】 本题通过配方，简化了所求的表达式；巧用1的立方虚根，活用ω的性质，计算表达式中的高次幂。一系列的变换过程，有较大的灵活性，要求我们善于联想和展开。
【另解】由a 2＋ab ＋b 2
＝0变形得：(a b )2＋(a b )＋1＝0 ，解出b a ＝-±132
i 后，化成三角形式，代入所求表达式的变形式(a b )999＋(b a
)999后，完成后面的运算。此方法用于只是未-±132i 联想到ω时进行解题。 假如本题没有想到以上一系列变换过程时，还可由a 2＋ab ＋b 2
＝0解出：a ＝-±132
i b ，直接代入所求表达式，进行分式化简后，化成复数的三角形式，利用棣莫佛定理完成最后的计算。
Ⅲ、巩固性题组：
1. 函数y ＝(x －a)2＋(x －b)2
（a 、b 为常数）的最小值为_____。 A. 8 B. ()a b -22 C. a b 222
+ D.最小值不存在 2. α、β是方程x 2－2ax ＋a ＋6＝0的两实根，则(α-1)2 +(β-1)2的最小值是
_____。
A. －494
B. 8
C. 18
D.不存在
3. 已知x 、y ∈R +，且满足x ＋3y －1＝0，则函数t ＝2x ＋8y 有_____。
A.最大值22
B.最大值22
C.最小值22 B.最小值22
4. 椭圆x 2－2ax ＋3y 2＋a 2－6＝0的一个焦点在直线x ＋y ＋4＝0上，则a ＝_____。
A. 2
B. －6
C. －2或－6
D. 2或6
5. 化简：218-sin ＋228+cos 的结果是_____。
A. 2sin4
B. 2sin4－4cos4
C. －2sin4
D. 4cos4－2sin4
6. 设F 1和F 2为双曲线x 24
－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上且满足∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积是_________。
7. 若x>－1，则f(x)＝x 2＋2x ＋11
x +的最小值为___________。 8. 已知π2〈β<α〈34π，cos(α-β)＝1213
，sin(α+β)＝－35，求sin2α的值。(92年高考题)
9. 设二次函数f(x)＝Ax 2＋Bx ＋C ，给定m 、n （m ① 解不等式f(x)>0； ② 是否存在一个实数t ，使当t ∈(m+t,n-t)时，f(x)<0 ？若不存在，说出理由；若存在，指出t 的取值范围。 10. 设s>1，t>1，m ∈R ，x ＝log s t ＋log t s ，y ＝log s 4t ＋log t 4s ＋m(log s 2t ＋log t 2s), ① 将y 表示为x 的函数y ＝f(x)，并求出f(x)的定义域； ② 若关于x 的方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求m 的取值范围。 二、换元法 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。 换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。 它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。 换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4x ＋2x －2≥0，先变形为设2x ＝t （t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。 三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y ＝ x ＋1-x 的值域时，易发现x ∈[0,1]，设x ＝sin 2α ，α∈[0,π2 ]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x 、y 适合条件x 2＋y 2＝ r 2（r>0）时，则可作三角代换x ＝rcos θ、y ＝rsin θ化为三角问题。 均值换元，如遇到x ＋y ＝S 形式时，设x ＝S 2＋t ，y ＝S 2 －t 等等。 我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的t>0和α∈[0,π2 ]。 Ⅰ、再现性题组： 1.y ＝sinx 〃cosx ＋sinx+cosx 的最大值是_________。 2.设f(x 2 ＋1)＝log a (4－x 4) （a>1），则f(x)的值域是_______________。 3.已知数列{a n }中，a 1＝－1，a n +1〃a n ＝a n +1－a n ，则数列通项a n ＝___________。 4.设实数x 、y 满足x 2＋2xy －1＝0，则x ＋y 的取值范围是___________。 5.方程1313 ++-x x ＝3的解是_______________。 6.不等式log 2(2x －1) 〃log 2(2x +1－2)〈2的解集是_______________。 【简解】1小题：设sinx+cosx ＝t ∈[－2,2]，则y ＝t 2 2 ＋t －12，对称轴t ＝－1，当t ＝2，y max ＝12＋2； 2小题：设x 2＋1＝t (t ≥1)，则f(t)＝log a [-(t-1)2 ＋4]，所以值域为(－≦,log a 4]； 3小题：已知变形为 11a n +－1a n ＝－1,设b n ＝1a n ，则b 1＝－1,b n ＝－1＋(n －1)(-1)＝－n ，所以a n ＝－1n ； 4小题：设x ＋y ＝k ，则x 2－2kx ＋1＝0, △＝4k 2－4≥0,所以k ≥1或k ≤－1； 5小题：设3x ＝y ，则3y 2＋2y －1＝0,解得y ＝ 13，所以x ＝－1； 6小题：设log 2(2x －1)＝y ，则y(y ＋1)<2，解得－2 54,log 23)。 Ⅱ、示范性题组： 例1. 实数x 、y 满足4x 2－5xy ＋4y 2＝5 （ ①式） ，设S ＝x 2＋y 2，求1 S max ＋ 1S min 的值。（93年全国高中数学联赛题） 【分析】 由S ＝x 2＋y 2联想到cos 2α＋sin 2 α＝1,于是进行三角换元，设x S y S ==?????cos sin αα 代入①式求S max 和S min 的值。 【解】设x S y S ==?????cos sin αα 代入①式得： 4S －5S 〃sin αcos α＝5 解得 S ＝10852-sin α ； ≧ -1≤sin2α≤1 ? 3≤8－5sin2α≤13 ? 1013≤1085-sin α≤103 ? 1S max ＋1S min ＝310＋1310＝1610＝85 此种解法后面求S 最大值和最小值，还可由sin2α＝810S S -的有界性而求，即解不等式：|810S S -|≤1。这种方法是求函数值域时经常用到的“有界法”。 【另解】 由S ＝x 2＋y 2，设x 2＝S 2＋t ，y 2＝S 2－t ，t ∈[－S 2，S 2 ]， 则xy ＝〒S t 224－代入①式得：4S 〒5S t 2 24 －=5， 移项平方整理得 100t 2+39S 2－160S ＋100＝0 。 ? 39S 2－160S ＋100≤0 解得：1013≤S ≤103 ? 1 S max ＋1S min ＝310＋1310＝1610＝85 【注】 此题第一种解法属于“三角换元法”，主要是利用已知条件S ＝x 2＋y 2与三角公式cos 2α＋sin 2α＝1的联系而联想和发现用三角换元，将代数问题转化为三角函 数值域问题。第二种解法属于“均值换元法”，主要是由等式S ＝x 2＋y 2 而按照均值换 元的思路，设x 2＝S 2＋t 、y 2＝S 2 －t ，减少了元的个数，问题且容易求解。另外，还用到了求值域的几种方法：有界法、不等式性质法、分离参数法。 和“均值换元法”类似，我们还有一种换元法，即在题中有两个变量x 、y 时，可以设x ＝a ＋b ，y ＝a －b ，这称为“和差换元法”，换元后有可能简化代数式。本题设x ＝a ＋b ，y ＝a －b ，代入①式整理得3a 2＋13b 2＝5 ，求得a 2 ∈[0,53 ]，所以S ＝(a －b)2＋(a ＋b)2＝2(a 2＋b 2)＝1013＋2013a 2∈[1013,103]，再求1S max ＋1S min 的值。 例2． △ABC 的三个内角A 、B 、C 满足：A ＋C ＝2B ，1cos A ＋1cos C ＝－2cos B ，求cos A C -2 的值。（96年全国理） 【分析】 由已知“A ＋C ＝2B ”和“三角形内角和等于180°”的性质，可得 A C B +=???12060°＝°；由“A ＋C ＝120°”进行均值换元，则设A C ＝°α＝°－α6060+??? ，再代入可求cos α即cos A C -2 。 【解】由△ABC 中已知A ＋C ＝2B ，可得 A C B +=???12060°＝° , 由A ＋C ＝120°，设A C ＝°α＝°－α 6060+?? ?，代入已知等式得： 1cos A ＋1cos C ＝160cos()?+α＋160cos()?-α＝11232 cos sin αα-＋11232 cos sin αα+＝cos cos sin ααα143422-＝cos cos αα234-＝－22, 解得：cos α＝22， 即：cos A C -2＝22。 【另解】由A＋C＝2B，得A＋C＝120°，B＝60°。所以 1 cos A＋ 1 cos C＝－ 2 cos B ＝－22，设 1 cos A＝－ 2＋m， 1 cos C＝－ 2－m ， 所以cosA＝ 1 2 -+m ，cosC＝ 1 2 --m ，两式分别相加、相减得： cosA＋cosC＝2cos A C + 2cos A C - 2＝cos A C - 2＝ 22 2 2 m-， cosA－cosC＝－2sin A C + 2sin A C - 2＝－ 3sin A C - 2＝ 2 2 2 m m-， 即：sin A C - 2＝－ 2 32 2 m m () - ，＝－ 22 2 2 m-，代入sin 2 A C - 2＋cos 2 A C - 2＝1 整理得：3m4－16m－12＝0,解出m2＝6，代入cos A C - 2＝ 22 2 2 m-＝ 2 2。 【注】本题两种解法由“A＋C＝120°”、“ 1 cos A＋ 1 cos C＝－2 2”分别进行 均值换元，随后结合三角形角的关系与三角公式进行运算，除由已知想到均值换元外，还要求对三角公式的运用相当熟练。假如未想到进行均值换元，也可由三角运算直接解 出：由A＋C＝2B，得A＋C＝120°，B＝60°。所以 1 cos A＋ 1 cos C＝－ 2 cos B＝－2 2， 即cosA＋cosC＝－22cosAcosC，和积互化得： 2cos A C + 2cos A C - 2＝－ 2[cos(A+C)＋cos(A-C)，即cos A C - 2＝ 2 2－ 2cos(A-C)＝ 2 2－ 2(2cos2 A C - 2－1)，整理得：4 2cos2 A C - 2＋2cos A C - 2 －32＝0, 解得：cos A C - 2＝ 2 2 例3. 设a>0，求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx〃cosx－2a2的最大值和最小值。【解】设sinx＋cosx＝t，则t∈[-2,2]，由(sinx＋cosx)2＝ 1＋2sinx〃cosx得：sinx〃cosx＝t21 2 - ? f(x)＝g(t)＝－1 2(t－2a) 2＋ 1 2（a>0），t∈[- 2,2] t＝-2时，取最小值：－2a2－22a－1 2 当2a ≥ 2时，t ＝2，取最大值：－2a 2＋22a －12 ； 当0<2a ≤2时，t ＝2a ，取最大值：12 。 ? f(x)的最小值为－2a 2－22a －12，最大值为1202222212222()()<<-+-≥???????a a a a 。 【注】 此题属于局部换元法，设sinx ＋cosx ＝t 后，抓住sinx ＋cosx 与sinx 〃cosx 的内在联系，将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题，使得容易求解。换元过程中一定要注意新的参数的范围（t ∈[-2,2]）与sinx ＋cosx 对应，否则将会出错。本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方法，即由对称轴与闭区间的位臵关系而确定参数分两种情况进行讨论。 一般地，在遇到题目已知和未知中含有sinx 与cosx 的和、差、积等而求三角式的最大值和最小值的题型时，即函数为f(sinx 〒cosx ，sinxcsox)，经常用到这样设元的换元法，转化为在闭区间上的二次函数或一次函数的研究。 例4. 设对所于有实数x ，不等式x 2 log 241()a a +＋2x log 221a a +＋log 2()a a +142 >0恒成立，求a 的取值范围。（87年全国理） 【分析】不等式中log 241()a a +、 log 221a a +、log 2()a a +142 2三项有何联系？进行对数式的有关变形后不难发现，再实施换元法。 【解】 设log 2 21a a +＝t ，则log 241()a a +＝log 2812()a a +＝3＋log 2a a +12＝3－log 221a a +＝3－t ，log 2()a a +142 2＝2log 2a a +12＝－2t ， 代入后原不等式简化为（3－t ）x 2 ＋2tx －2t>0，它对一切实数x 恒成立，所以： 304830 2->=+-???306或 ? t<0即log 221a a +<0 0<21 a a +<1，解得0 何设元，关键是发现已知不等式中log 241()a a +、 log 221a a +、log 2()a a +142 2 三项之间的联系。在解决不等式恒成立问题时，使用了“判别式法”。另外，本题还要求对数运算十分熟练。一般地，解指数与对数的不等式、方程，有可能使用局部换元法，换元时也可能要对所给的已知条件进行适当变形，发现它们的联系而实施换元，这是我们思考解法时要注意的一点。 例5. 已知sin θx ＝cos θy ，且cos 22θx ＋sin 2θy ＝10322() x y + (②式)，求x y 的值。 【解】 设 sin θx ＝cos θy ＝k ，则sin θ＝kx ，cos θ＝ky ，且sin 2θ＋cos 2θ＝k 2(x 2+y 2)＝1,代入②式得： k y x 222＋k x y 222＝10322() x y +＝1032k 即：y x 22＋x y 22＝103 设x y 22＝t ，则t ＋1t ＝103 , 解得：t ＝3或13 ?x y ＝〒3或〒33 【另解】 由x y ＝sin cos θθ ＝tg θ，将等式②两边同时除以cos 22θx ，再表示成含tg θ的式子：1＋tg 4θ＝()()11031122+?+tg tg θθ＝103tg 2θ，设tg 2θ＝t ，则3t 2—10t ＋3＝0， ?t ＝3或13， 解得x y ＝〒3或〒33。 【注】 第一种解法由sin θx ＝cos θy 而进行等量代换，进行换元，减少了变量的个数。第二种解法将已知变形为x y ＝sin cos θθ ，不难发现进行结果为tg θ，再进行换元和变形。两种解法要求代数变形比较熟练。在解高次方程时，都使用了换元法使方程次数降低。 例6. 实数x 、y 满足()x -192＋()y +116 2 ＝1，若x ＋y －k>0恒成立，求k 的范围。 【分析】由已知条件()x -192＋()y +116 2 ＝1，可以发现它与a 2＋b 2＝1有相似之处，于是实施三角换元。 【解】由()x -192＋()y +116 2＝1，设x -13＝cos θ，y +14＝sin θ， 即：x y =+=-+???1314cos sin θθ 代入不等式x ＋y －k>0得： 3cos θ＋4sin θ－k>0，即k<3cos θ＋4sin θ＝5sin(θ+ψ) 所以k<-5时不等式恒成立。 【注】本题进行三角换元，将代数问题（或者是解析几何问题）化为了含参三角不等式恒成立的问题，再运用“分离参数法”转化为三角函数的值域问题，从而求出参数范围。一般地，在遇到与圆、椭圆、双曲线的方程相似的代数式时，或者在解决圆、椭圆、双曲线等有关问题时，经常使用“三角换元法”。 ＋by ＋c>0 (a>0)所表示的区域为直线ax ＋by ＋c ＝0的一部分。此题不等式恒成立问题化为图形问题：椭圆上的 点始终位于平面上x ＋y －k>0的区域。即当直线x ＋y －k ＝0在与椭圆下部相切的切线之下时。当直线与椭圆相切时，方程组161911440 22()()x y x y k -++=+-=???有相等的一组实数解，消元后由△＝0可求得k ＝－3,所以k<-3时原不等式恒成立。 Ⅲ、巩固性题组： 1. 已知f(x 3)＝lgx (x>0)，则f(4)的值为_____。 A. 2lg2 B. 13lg2 C. 23lg2 D. 23 lg4 2. 函数y ＝(x ＋1)4＋2的单调增区间是______。 A. [-2,+≦) B. [-1,+≦) D. (-≦,+≦) C. (-≦,-1] 3. 设等差数列{a n }的公差d ＝12 ，且S 100＝145，则a 1＋a 3＋a 5＋……＋a 99的值为_____。 A. 85 B. 72.5 C. 60 D. 52.5 4. 已知x 2＋4y 2＝4x ，则x ＋y 的范围是_________________。 5. 已知a ≥0，b ≥0，a ＋b ＝1，则a +12＋b +12 的范围是____________。 6. 不等式x >ax ＋32 的解集是(4,b)，则a ＝________，b ＝_______。 7. 函数y ＝2x ＋x +1的值域是________________。 8. 在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋…＋a 10＝2，a 11＋a 12＋…＋a 30＝12，求a 31＋a 32 ＋…＋a 60。 9. 实数m 在什么范围内取值，对任意实数x ，不等式sin 2x ＋2mcosx ＋4m －1<0恒成 立。 10. 已知矩形ABCD ，顶点C(4,4)，A 点在曲线x 2＋y 2＝2 (x>0,y>0)上移动，且AB 、AD 始终平行x 轴、y 轴，求矩形ABCD 的最小面积。 x ＋y －k>0 k 平面区域 三、待定系数法 要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)≡g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)≡g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。 待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。 使用待定系数法，它解题的基本步骤是： 第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式； 第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程； 第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。 如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析： ①利用对应系数相等列方程； ②由恒等的概念用数值代入法列方程； ③利用定义本身的属性列方程； ④利用几何条件列方程。 比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式，其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程。 Ⅰ、再现性题组： 1.设f(x)＝x 2＋m，f(x)的反函数f -1(x)＝nx－5，那么m、n的值依次为_____。 A. 5 2 , －2 B. － 5 2， 2 C. 5 2 , 2 D. － 5 2，－2 2.二次不等式ax2＋bx＋2>0的解集是(－1 2, 1 3)，则a＋b的值是_____。 A. 10 B. －10 C. 14 D. －14 3.在(1－x3)（1＋x）10的展开式中，x5的系数是_____。 A. －297 B.－252 C. 297 D. 207 4.函数y＝a－bcos3x (b<0)的最大值为3 2，最小值为－ 1 2，则y＝－4asin3bx的最 小正周期是_____。 5.与直线L：2x＋3y＋5＝0平行且过点A(1,-4)的直线L’的方程是_______________。 6. 与双曲线x 2－y 2 4＝1有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的方程是____________。 【简解】1小题：由f(x)＝ x 2 ＋m 求出f -1(x)＝2x －2m ，比较系数易求，选C ； 2小题：由不等式解集(－12,13)，可知－12、13是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根，代入两根，列出关于系数a 、b 的方程组，易求得a ＋b ，选D ； 3小题：分析x 5的系数由C 105与(－1)C 102两项组成，相加后得x 5的系数，选D ； 4小题：由已知最大值和最小值列出a 、b 的方程组求出a 、b 的值，再代入求得答案23 π； 5小题：设直线L ’方程2x ＋3y ＋c ＝0，点A(1,-4)代入求得C ＝10，即得2x ＋3y ＋10＝0； 6小题：设双曲线方程x 2－y 2 4＝λ，点(2,2)代入求得λ＝3，即得方程x 23－y 212＝1。 Ⅱ、示范性题组： 例1. 已知函数y ＝mx x n x 22431 +++的最大值为7，最小值为－1，求此函数式。 【分析】求函数的表达式，实际上就是确定系数m 、n 的值；已知最大值、最小值实际是就是已知函数的值域，对分子或分母为二次函数的分式函数的值域易联想到“判别式法”。 【解】 函数式变形为： (y －m)x 2 －43x ＋(y －n)＝0， x ∈R, 由已知得y －m ≠0 ? △＝(－43)2－4(y －m)(y －n)≥0 即： y 2－(m ＋n)y ＋(mn －12)≤0 ① 不等式①的解集为(-1,7)，则－1、7是方程y 2－(m ＋n)y ＋(mn －12)＝0的两根， 代入两根得：1120497120+++-=-++-=???()()m n mn m n mn 解得：m n ==???51或m n ==??? 15 ? y ＝5431122x x x +++或者y ＝x x x 224351 +++ 此题也可由解集(-1,7)而设(y ＋1)(y －7)≤0,即y 2 －6y －7≤0，然后与不等式①比较系数而得：m n mn +=-=-??? 6127，解出m 、n 而求得函数式y 。 【注】 在所求函数式中有两个系数m 、n 需要确定，首先用“判别式法”处理函数值域问题，得到了含参数m 、n 的关于y 的一元二次不等式，且知道了它的解集，求参数m 、n 。两种方法可以求解，一是视为方程两根，代入后列出m 、n 的方程求解；二是由已知解集写出不等式，比较含参数的不等式而列出m 、n 的方程组求解。本题要求对一元二次不等式的解集概念理解透彻，也要求理解求函数值域的“判别式法”：将y 视为参数， 函数式化成含参数y 的关于x 的一元二次方程，可知其有解，利用△≥0,建立了关于参数y 的不等式，解出y 的范围就是值域，使用“判别式法”的关键是否可以将函数化成一个一元二次方程。 例2. 设椭圆中心在(2,-1)，它的一个焦点与短轴两端连线互相垂直，且此焦点与长轴较近的端点距离是10－5，求椭圆的方程。 【分析】求椭圆方程，根据所给条件，确定几何数据a 、b 、c 之值，问题就全部解决了。设a 、b 、c 后，由已知垂直关系而联想到勾股定理建立一 个方程，再将焦点与长轴较近端点的距离转化为a －c 的值后列出第二个方程。 【解】 设椭圆长轴2a 、短轴2b 、焦距2c ，则|BF ’|＝a ? a b c a a b a c 2222222105 =++=-=-?????() 解得：a b ==?????105 ? 所求椭圆方程是：x 210＋y 2 5 ＝1 也可有垂直关系推证出等腰Rt △BB ’F ’后，由其性质推证出等腰Rt △B ’O ’F ’，再进 行如下列式： b c a c a b c =-=-=+???? ?105222 ，更容易求出a 、b 的值。 【注】 圆锥曲线中，参数（a 、b 、c 、e 、p ）的确定，是待定系数法的生动体现；如何确定，要抓住已知条件，将其转换成表达式。在曲线的平移中，几何数据（a 、b 、c 、e ）不变，本题就利用了这一特征，列出关于a －c 的等式。 一般地，解析几何中求曲线方程的问题，大部分用待定系数法，基本步骤是：设方程（或几何数据）→几何条件转换成方程→求解→已知系数代入。 例3. 是否存在常数a 、b 、c ，使得等式1〃22＋2〃32＋…＋n(n ＋1)2＝n n ()+112 (an 2＋bn ＋c)对一切自然数n 都成立？并证明你的结论。 （89年全国高考题） 【分析】是否存在，不妨假设存在。由已知等式对一切自然数n 都成立，取特殊值n ＝1、2、3列出关于a 、b 、c 的方程组，解方程组求出a 、b 、c 的值，再用数学归纳法证明等式对所有自然数n 都成立。 【解】假设存在a 、b 、c 使得等式成立，令：n ＝1，得4＝ 16(a ＋b ＋c)；n ＝2，得22＝12 (4a ＋2b ＋c)；n ＝3，得70＝9a ＋3b ＋c 。整理得： a b c a b c a b C ++=++=++=?????2442449370,解得a b c ===???? ?31110， B 于是对n＝1、2、3，等式1〃22＋2〃32＋…＋n(n＋1)2＝n n() +1 12(3n 2＋11n＋10) 成立，下面用数学归纳法证明对任意自然数n，该等式都成立： 假设对n＝k时等式成立，即1〃22＋2〃32＋…＋k(k＋1)2＝k k() +1 12(3k 2＋11k ＋10)； 当n＝k＋1时，1〃22＋2〃32＋…＋k(k＋1)2＋(k＋1)(k＋2)2＝k k() +1 12(3k 2＋ 11k＋10) ＋(k＋1)(k＋2)2＝k k() +1 12(k＋2)（3k＋5）＋(k＋1)(k＋2) 2＝ ()() k k ++ 12 12（3k 2＋5k＋12k＋24）＝ ()() k k ++ 12 12[3(k＋1) 2＋11(k＋1)＋10]， 也就是说，等式对n＝k＋1也成立。 综上所述，当a＝8、b＝11、c＝10时，题设的等式对一切自然数n都成立。 【注】建立关于待定系数的方程组，在于由几个特殊值代入而得到。此种解法中，也体现了方程思想和特殊值法。对于是否存在性问题待定系数时，可以按照先试值、再猜想、最后归纳证明的步骤进行。本题如果记得两个特殊数列13＋23＋…＋n3、12＋22＋…＋n2求和的公式，也可以抓住通项的拆开，运用数列求和公式而直接求解：由n(n ＋1)2＝n3＋2n2＋n得S n ＝1〃22＋2〃32＋…＋n(n＋1)2＝(13＋23＋…＋n3)＋2(12 ＋22＋…＋n2)＋(1＋2＋…＋n)＝n n 22 1 4 () + ＋2〓 n n n ()() ++ 121 6＋ n n() +1 2＝ n n() +1 12(3n 2＋11n＋10)，综上所述，当a＝8、b＝11、c＝10时，题设的等式对一切自然数n都成立。 例4. 有矩形的铁皮，其长为30cm，宽为14cm，要从四角上剪掉边长为xcm的四个小正方形，将剩余部分折成一个无盖的矩形盒子，问x为何值时，矩形盒子容积最大，最大容积是多少？ 【分析】实际问题中，最大值、最小值的研究，先由已知条件选取合适的变量建立目标函数，将实际问题转化为函数最大值和最小值的研究。 【解】依题意，矩形盒子底边边长为(30－2x)cm，底边宽为(14－2x)cm，高为xcm。 ?盒子容积 V＝(30－2x)(14－2x)x＝4(15－x)(7－x)x ， 显然:15－x>0，7－x>0，x>0。 设V＝4 ab(15a－ax)(7b－bx)x (a>0,b>0） 要使用均值不等式，则 --+= -=-=? ? ? a b a ax b bx x 10 157 解得：a＝1 4， b＝ 3 4， x＝3 。 从而V ＝643(154－x 4)(214－34 x)x ≤643(15421 43 )3＝643〓27＝576。 所以当x ＝3时，矩形盒子的容积最大，最大容积是576cm 3。 【注】均值不等式应用时要注意等号成立的条件，当条件不满足时要凑配系数，可以用“待定系数法”求。本题解答中也可以令V ＝4ab (15a －ax)(7－x)bx 或 4ab (15－x)(7a －ax)bx ，再由使用均值不等式的最佳条件而列出方程组，求出三项该进行凑配的系数，本题也体现了“凑配法”和“函数思想”。 Ⅲ、巩固性题组： 1. 函数y ＝log a x 的x ∈[2,+≦)上恒有|y|>1，则a 的取值范围是_____。 A. 2>a>12且a ≠1 B. 0 或1 2. 方程x 2＋px ＋q ＝0与x 2＋qx ＋p ＝0只有一个公共根，则其余两个不同根之和为 _____。 A. 1 B. －1 C. p ＋q D. 无法确定 3. 如果函数y ＝sin2x ＋a 〃cos2x 的图像关于直线x ＝－π8 对称，那么a ＝_____。 A. 2 B. －2 C. 1 D. －1 4. 满足C n 0 ＋1〃C n 1＋2〃C n 2＋…＋n 〃C n n <500的最大正整数是_____。 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 无穷等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝a －1 2 , 则所有项的和等于_____。 A. －12 B. 1 C. 12 D.与a 有关 6. (1＋kx)9＝b 0＋b 1x ＋b 2x 2＋…＋b 9x 9，若b 0＋b 1＋b 2＋…＋b 9＝－1，则k ＝______。 7. 经过两直线11x －3y －9＝0与12x ＋y －19＝0的交点，且过点(3,-2)的直线方程 为_____________。 8. 正三棱锥底面边长为2，侧棱和底面所成角为60°，过底面一边作截面，使其与底面成30°角，则截面面积为______________。 9. 设y ＝f(x)是一次函数，已知f(8)＝15,且f(2)、f(5)、(f14)成等比数列，求f(1)＋f(2)＋…＋f(m)的值。 10. 设抛物线经过两点(-1,6)和(-1,-2)，对称轴与x 轴平行，开口向右，直线y ＝2x ＋7和抛物线截得的线段长是410, 求抛物线的方程。 四、定义法 所谓定义法，就是直接用数学定义解题。数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来。定义是揭示概念内涵的逻辑方法，它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念。 定义是千百次实践后的必然结果，它科学地反映和揭示了客观世界的事物的本质特点。简单地说，定义是基本概念对数学实体的高度抽象。用定义法解题，是最直接的方法，本讲让我们回到定义中去。 Ⅰ、再现性题组： 1. 已知集合A 中有2个元素，集合B 中有7个元素，A ∪B 的元素个数为n ，则______。 A. 2≤n ≤9 B. 7≤n ≤9 C. 5≤n ≤9 D. 5≤n ≤7 2. 设MP 、OM 、AT 分别是46°角的正弦线、余弦线和正切线，则_____。 A. MP B. OM C. AT< D. OM 3. 复数z 1＝a ＋2ｉ，z 2＝－2＋ｉ，如果|z 1|< |z 2|，则实数a 的取值范围是_____。 A. －1 B. a>1 C. a>0 D. a<－1或a>1 4. 椭圆x 225＋y 2 9 ＝1上有一点P ，它到左准线的距离为52，那么P 点到右焦点的距离为_____。 A. 8 C. 7.5 C. 754 D. 3 5. 奇函数f(x)的最小正周期为T ，则f(－T 2 )的值为_____。 A. T B. 0 C. T 2 D. 不能确定 6. 正三棱台的侧棱与底面成45°角，则其侧面与底面所成角的正切值为_____。 【简解】1小题：利用并集定义，选B ； 2小题：利用三角函数线定义，作出图形，选B ； 3小题：利用复数模的定义得 a 222 <5，选A ； 4小题：利用椭圆的第二定义得到||PF 左52＝e ＝45 ，选A ； 5小题：利用周期函数、奇函数的定义得到f(－ T 2)＝f(T 2)＝－f(－T 2 )，选B ； 6小题：利用线面角、面面角的定义，答案2。 Ⅱ、示范性题组： 例 1. 已知z ＝1＋ｉ， ① 设w ＝z 2 ＋3z －4，求w 的三角形式； ② 如果z az b z z 221 ++-+＝1－ｉ，求实数a 、b 的值。（94年全国理） 【分析】代入z 进行运算化简后，运用复数三角形式和复数相等的定义解答。 【解】由z ＝1＋ｉ，有w ＝z 2＋3z －4＝(1＋ｉ)2＋3()1+i －4＝2ｉ＋3(1－ｉ)－4＝－1－ｉ，w 的三角形式是2（cos 54π＋ｉsin 54 π）； 由z ＝1＋ｉ，有z az b z z 221++-+＝()()()()1111122+++++-++i a i b i i ＝()()a b a i i +++2＝(a ＋2)－(a ＋b)ｉ。 由题设条件知：(a ＋2)－(a ＋b)ｉ＝1＋ｉ； 根据复数相等的定义，得：a a b +=-+=-?? ?211()， 解得a b =-=??? 12。 【注】求复数的三角形式，一般直接利用复数的三角形式定义求解。利用复数相等的定义，由实部、虚部分别相等而建立方程组，这是复数中经常遇到的。 例2. 已知f(x)＝－x n ＋cx ，f(2)＝－14，f(4)＝－252，求y ＝log 22f(x)的定义 域，判定在(22 3,1)上的单调性。 【分析】要判断函数的单调性，必须首先确定n 与c 的值求出函数的解析式，再利用函数的单调性定义判断。 【解】 f c f c n n ()()22214444252 =-+=-=-+=-????? 解得：n c ==???41 ? f(x)＝－x 4 ＋x 解f(x)>0得：0 1)－f(x 2)＝－x 14+x 1-（-x 24+x 2）=(x 1-x 2)[1-(x 1+x 2)( x 12+x 22)], ≧ x 1+x 2>23， x 12+x 22>423 ? (x 1+x 2)( x 12+x 22)〉23〓42 3＝1 ? f(x 1)－f(x 2)>0即f(x)在(223,1)上是减函数 ≧ 2 2<1 ? y＝log2 2 f(x) 在( 2 2 3 ,1)上是增函数。 【注】关于函数的性质：奇偶性、单调性、周期性的判 断，一般都是直接应用定义解题。本题还在求n、c的过程中， 运用了待定系数法和换元法。 例3. 如图，已知A’B’C’—ABC是正三棱柱，D是AC中点。 ①证明：AB’∥平面DBC’； ②假设AB’⊥BC’，求二面角D—BC’—C的度数。（94年 全国理） 【分析】由线面平行的定义来证①问，即通过证AB’平 行平面DBC’内的一条直线而得；由二面角的平面角的定义作出平面角，通过解三角形而求②问。 【解】①连接B’C交BC’于O, 连接OD ≧ A’B’C’—ABC是正三棱柱 ?四边形B’BCC’是矩形 ? O是B’C中点 △AB’C中， D是AC中点? AB’∥OD ? AB’∥平面DBC’ ②作DH⊥BC于H，连接OH ? DH⊥平面BC’C ≧ AB’∥OD, AB’⊥BC’? BC’⊥OD ? BC’⊥OH 即∠DOH为所求二面角的平面角。 设AC＝1，作OE⊥BC于E，则DH＝1 2sin60°＝ 3 4，BH＝ 3 4，EH＝ 1 4； Rt△BOH中，OH2＝BH〓EH＝ 3 16， ? OH＝ 3 4＝DH ?∠DOH＝45°，即二面角D—BC’—C的度数为45°。 【注】对于二面角D—BC’—C的平面角，容易误认为∠DOC即所求。利用二面角的平面角定义，两边垂直于棱，抓住平面角的作法，先作垂直于一面的垂线DH，再证得垂直于棱的垂线DO，最后连接两个垂足OH，则∠DOH即为所求，其依据是三垂线定理。本题还要求解三角形十分熟练，在Rt△BOH中运用射影定理求OH的长是计算的关键。 此题文科考生的第二问为：假设AB’⊥BC’，BC＝2，求AB’在侧面BB’C’C的射影长。解答中抓住斜线在平面上的射影的定义，先作平面的垂线，连接垂足和斜足而得到射影。 其解法如下：作AE⊥BC于E，连接B’E即所求，易得到OE∥B’B，所以EF BF＝ OE B B'＝ 1 2， EF＝1 3B’E。在Rt△B’BE中，易得到BF⊥BE,由射影定理得：B’E〓EF＝BE 2即 1 3B’E 2＝1， 所以B’E＝3。 例4. 求过定点M(1,2)，以x轴为准线，离心率为1 2的椭圆的下顶 点的轨迹方程。 C 2015艺考生高考数学总复习讲义 第一章、集合基本运算 一、基础知识： 1.元素与集合的关系:用∈或?表示； 2.集合中元素具有确定性、无序性、互异性. 3.集合的分类： ①按元素个数分：有限集，无限集；②按元素特征分；数集，点集。如数集{y |y =x 2},表示非负实数集，点集{(x ，y )|y =x 2}表示开口向上，以y 轴为对称轴的抛物线； 4.集合的表示法： ①列举法：用来表示有限集或具有显着规律的无限集，如N +={0，1，2，3，…}； ②描述法：一般格式：{}()x A p x ∈，如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x 2+1}，…； 描述法表示集合应注意集合的代表元素，如{(x,y)|y= x 2+3x+2}与 {y|y= x 2+3x+2}是不同的两个集合 ③字母表示法:常用数集的符号：自然数集N ；正整数集*N N +或；整数集Z ；有理数集Q 、实数集R; 5．集合与集合的关系:用?，≠?，=表示;A 是B 的子集记为A ?B ；A 是B 的真子集记为A ≠?B 。 常用结论：①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?；②空集是任何集合的子集，记为A ?φ；空集是任何非空集合的真子集； ③如果B A ?，同时A B ?，那么A = B ；如果A B ?，B C ?， A C ?那么. ④n 个元素的子集有2n 个；n 个元素的真子集有2n －1个；n 个元素的非空真子集有2n －2个. 6．交集A ∩B={x |x ∈A 且x ∈B};并集A ∪B={x |x ∈A ，或x ∈B};补集C U A=｛x |x ∈U ，且x ?A ｝，集合U 表示全集. 7.集合运算中常用结论: 注：本章节五个定义 1.子集 定义：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 中的任何一个元素都是集合 高考前重点知识 第一章?集合 （一）、集合：集合元素的特征：确定性、互异性.无序性. 工集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为A胃A ; ②空集是任何集合的子集，记为。包A ； ③空集是任何非空集合的真子集； ①〃个元素的子集有2〃个.〃个元素的真子集有2〃 -1个.〃个元素的非空真子集有2〃-2个. ［注］①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题。逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真.原命题。逆否命题. 交：A,且x e B} 2、集合运算：交、并、补产AU6Q{xlxeA或xe* 未卜：或A o {% ￡ （/, 且x任A} （三）简易逻辑 构成复合命题的形式：p或q （记作〃pvq〃）； p且q （记作〃p 八q〃）；mEp（i己作、q〃） o 工〃或〃‘〃且"、"非"的真假判断 种命题的形式及相互关系: 原命题：若P则q；逆命题：若q则p； 否命题：若1 P则1 q ；逆否命题：若1 q则］Po ④、原命题为真，它的逆命题不一定为真。 i命题为真它的否命题不一定为真。 @、原命题为真，它的逆否命题一定为真。 6、如果已知p=q那么我们说，P是q的充分条件，q是P的必要条 件。 若p=q且q = p,则称p是q的充要条件，记为p<=>q. 一.函数的性质 (工)定义域：(2)值域: (3)奇偶性：(在整个定义域内考虑) ①定义：①偶函数：/(—x) = /(x),②奇函数：/(—x) = -/(X) ②判断方法步骤：a.求出定义域；b.判断定义域是否关于原点 对称；c.求/(-X)；&比较/(T)与/(X)或/(T)与—/(X)的关系。 (4 )函数的单调性 定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值X1f X2, 。语当X1VX2时，都有f(XT)Vf(X2),则说f(X)在这个区间上是增函数； (2语当X1 2010-2016高考理科数学题型全归纳题型1、集合的基本概念 题型２、集合间的基本关系 题型３、集合的运算 题型４、四种命题及关系 题型5、充分条件、必要条件、充要条件的判断与证明 题型６、求解充分条件、必要条件、充要条件中的参数范围 题型7、判断命题的真假 题型8、含有一个量词的命题的否定 题型９、结合命题真假求参数的范围 题型10、映射与函数的概念 题型11、同一函数的判断 题型12、函数解析式的求法 题型１3、函数定义域的求解 题型14、函数定义域的应用 题型15、函数值域的求解 题型16、函数的奇偶性 题型17、函数的单调性(区间） 题型１８、函数的周期性 题型１9、函数性质的综合 题型20、二次函数、一元二次方程、二次不等式的关系 题型21、二次方程ax2+ｂx+c=０（a≠0)的实根分布及条件题型２2、二次函数"动轴定区间"、"定轴动区间"问题 题型２3、指数运算及指数方程、指数不等式 题型24、指数函数的图像及性质 题型25、指数函数中的恒成立的问题 题型２6、对数运算及对数方程、对数不等式 题型27、对数函数的图像与性质 题型２８、对数函数中的恒成立问题 题型29、幂函数的定义及基本性质 题型30、幂函数性质的综合应用 题型３1、判断函数的图像 题型3２、函数图像的应用 题型３3、求函数的零点或零点所在区间 题型34、利用函数的零点确定参数的取值范围 题型35、方程根的个数与函数零点的存在性问题 题型３6、函数与数列的综合 题型３7、函数与不等式的综合 题型３８、函数中的创新题 题型39、导数的定义 题型4０、求函数的导数 题型41、导数的几何意义 题型4２、利用原函数与导函数的关系判断图像 2021年新高考数学总复习：集合 1．(2019·全国卷Ⅰ)已知集合M ＝{x |－4 解析：集合M ＝{x |x 2 －x >0}＝{x |x >1或x <0}，N ＝??????x |1x <1＝{x |x >1或x <0}，所以M ＝N ，则B 、C 、D 正确． 答案：BCD 5．(2019·全国卷Ⅱ改编)已知集合A ＝{x |x 2－5x ＋6>0}，B ＝{x |x －1≥0}，全集U ＝R ，则A ∩(?U B )＝( ) A ．(－∞，1) B ．(－2，1) C ．(－3，－1) D ．(3，＋∞) 解析：由x 2－5x ＋6>0，得A ＝{x |x <2或x >3}， 又B ＝{x |x ≥1}，知?U B ＝{x |x <1}， 所以A ∩(?U B )＝{x |x <1}． 答案：A 6．若全集U ＝{－2，－1，0，1，2}，A ＝{－2，2}，B ＝{x |x 2－1＝0}，则图中阴影部分所表示的集合为( ) A ．{－1，0，1} B ．{－1，0} C ．{－1，1} D ．{0} 解析：B ＝{x |x 2－1＝0}＝{－1，1}，阴影部分所表示的集合为?U (A ∪B )．A ∪B ＝{－2，－1，1，2}，全集U ＝{－2，－1，0，1，2}， [全国通用]高中数学高考知识点总结 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么？ 2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。? 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {} {}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为B A a ? （答：，，）-?????? 1013 3. 注意下列性质： {} （）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n （）若，；2A B A B A A B B ??==I Y （3）德摩根定律： ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B Y I I Y ==， 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于的不等式的解集为，若且，求实数x ax x a M M M a --<∈?50352 的取值范围。 ()（∵，∴ ·∵，∴ ·，，）335305555015392522∈-- 2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (全国新课标卷II) 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013课标全国Ⅱ，理1)已知集合M ＝{x |(x －1)2＜4，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N ＝( )． A ．{0,1,2} B ．{－1,0,1,2} C ．{－1,0,2,3} D ．{0,1,2,3} 2．(2013课标全国Ⅱ，理2)设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( )． A ．－1＋i B ．－1－I C ．1＋i D ．1－i 3．(2013课标全国Ⅱ，理3)等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )． A ．13 B ．13- C ．19 D ．1 9- 4．(2013课标全国Ⅱ，理4)已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l α，l β，则( )． A ．α∥β且l ∥α B ．α⊥β且l ⊥β C ．α与β相交，且交线垂直于l D ．α与β相交，且交线平行于l 5．(2013课标全国Ⅱ，理5)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( )． A ．－4 B ．－3 C ．－2 D ．－1 6．(2013课标全国Ⅱ，理6)执行下面的程序框图，如果输入的N ＝10，那么输出的S ＝( )． A ．1111+23 10+++ B ．1111+2!3! 10!+++ C ．1111+23 11+++ D ．1111+2!3!11!+++ 7．(2013课标全国Ⅱ，理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是 (1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )． 8．(2013课标全国Ⅱ，理8)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )． A ．c ＞b ＞a B ．b ＞c ＞a C ．a ＞c ＞b D ．a ＞b ＞c 数学家高斯的故事 高斯(Gauss,1777—1855)、著名的德国数学家。1777年4月30日出生在德国的布伦兹维克。父亲是一个砌砖工人,没有什么文化。 还在少年时代、高斯就显示出了他的数学才能。据说、一天晚上,父亲在计算工薪账目、高斯在旁边指出了其中的错误、令父亲大吃一惊。10岁那年、有一次老师让学生将1、2、3、…连续相加、一直加到100、即1+2+3+…+100。高斯没有像其他同学那样急着相加、而是仔细观察、思考、结果发现： 1+100=101、2+99=101、3+98=101、…、50+51=101一共有50个101、于是立刻得到： 1+2+3+…+98+99+100=50×101=5050 老师看着小高斯的答卷、惊讶得说不出话。其他学生过了很长时间才交卷、而且没有一个是算对的。从此、小高斯“神童”的美名不胫而走。村里一位伯爵知道后、慷慨出钱资助高斯、将他送入附近的最好的学校进行培养。 中学毕业后、高斯进入了德国的哥廷根大学学习。刚进入大学时、还没立志专攻数学。后来听了数学教授卡斯特纳的讲课之后、决定研究数学。卡斯特纳本人并没有多少数学业绩、但他培养高斯的成功、足以说明一名好教师的重要作用。 从哥廷根大学毕业后、高斯一直坚持研究数学。1807年成为该校的数学教授和天文台台长、并保留这个职位一直到他逝世。 高斯18岁时就发明了最小二乘法、19岁时发现了正17边形的尺规作图法、并给出可用尺规作出正多边形的条件、解决了这个欧几里得以来一直悬而未决的问题。为了这个发现、在他逝世后、哥廷根大学为他建立了一个底座为17边形棱柱的纪念像。 对代数学、高斯是严格证明代数基本定理的第一人。他的《算术研究》奠定了近代数论的基础、该书不仅在数论上是划时代之作、就是在数学史上也是不可多得的经典著作之一。高斯还研究了复数、提出所有复数都可以用平面上的点来表示、所以后人将“复平面”称为高斯平面、高斯还利用平面向量与复数之间的一一对应关系、阐述了复数的几何加法与乘法、为向量代数学奠定了基础。1828年高斯出版《关于曲面的一般研究》、全面系统地阐述了空间曲面的微分几何学。并提出了内蕴曲面理论。高斯的数学研究几乎遍及当时的所有数学领域、而且在不少方面的研究走在了时代的前列。他在数学历史上的影响可以和阿基米德、牛顿、欧拉并列。 高斯一生共有155篇论文。他治学严谨、把直观的概念作为入门的向导、然后试图在完整的逻辑体系上建立其数学的理论。他为人谨慎、他的许多数学思想与结果从不轻易发表、而且、他的论文很少详细写明思路。所以有的人说：“这个人、像狐狸似的、把沙土上留下的足迹、用尾巴全部扫掉。” 最新普通高等学校招生全国统一考试·模拟调研卷（一） 数学（文科） 考生注意： 1、本试卷分选择题和非选择题两部分，共150分，共4页，考试时间120分钟，考试结束后，只交答题卡。 2、客观题请用2B 铅笔填涂在答题卡上，主观题用黑色碳素笔写在答题卡上。 第Ⅰ卷（选择题，满分60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1、已知集合}1log |{2>=x x A ，}4|{<=x x B ，则=B A I （） A ．)4,1( B ．)4,0( C ．)2,0( D ．)4,2( 2、已知实数y x ,满足i yi xi )2(32-=-，则=+yi x （） A ．i 31+B ．i 31+-C ．i 31-D ．i 31-- 3、已知)4 ,2(,π πβα- ∈，则“βαtan tan <”是“βα<”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4、执行右面的程序框图，若输入的x 的值为4，则输出的y 值为（ ） A ． 4 1 B ．4 1- C ．4 D ．4- 5、已知e a πlog =，2 )6(-=b ，2 ln 1 =c ，则c b a ,,的大小关系为 （ ） A ．a b c >>B ．b a c >> C ．c b a >>D ．b c a >> 6、已知实数y x ,满足约束条件?? ? ??≥+--≥≤--01226032y x x y y x ，则y x z 2+=的最小值为 （ ） A ．1 B ．3 C ．9 D ．12 7、右图是“华东粤语歌曲争霸赛”中七位评委为甲、乙两位选手打出的分数的茎叶图（以 十位数字为茎，个位数字为叶），则下列说法错误的是 （ ） A ．甲选手成绩的极差为22 B ．乙选手成绩的中位数为83 C ．甲选手成绩的平均数低于乙选手成绩的平均数 D ．甲选手成绩的方差大于乙选手成绩的方差 8、已知抛物线2 4 1:x y C = 的焦点为F ，点P 是抛物线在第一象限内的一点，且点P 到抛 物线对称轴的距离与点P 到抛物线准线的距离相等，则以||PF 为直径的圆为 （ ） A ．1)1()1(22=-+-y x B ．1)1()1(2 2=-++y x C ．1)1()1(22=++-y x D ．1)1()1(2 2=+++y x 9、某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体 ） A ． π32 B ．π C ． π3 4 D ．π2 10、已知各项都为正数的数列}{n a 满足： 1 2 1+++=n n n n a a a a ，且064410=-a a ，记n S 是数列}{n a 的前n 项和，则 3 16 S a S -的值为 （ ） A ．8 21- B ． 8 21 C ．9- D ．9 11、已知21,F F 分别是双曲线)0,0(1:22 22>>=-Γb a b y a x 的左右焦点，O 为双曲线Γ的对 称中心，N M ,分别在双曲线Γ的两条渐近线上，?=∠=∠902MNO O MF ，若 OM NF //2，则双曲线Γ的渐近线方程为 （ ） A ．x y 33± = B ．x y 2 2 ±= C ．x y 2±=D ．x y 3±= 甲 乙 1 7 6 9 6 3 2 1 8 1 2 3 5 5 3 9 3 高中数学知识点回顾 第一章-集合 （一）、集合：集合元素嘚特征：确定性、互异性、无序性. 1、集合嘚性质：①任何一个集合是它本身嘚子集，记为A A ?； ②空集是任何集合嘚子集，记为A ?φ； ③空集是任何非空集合嘚真子集； ①n 个元素嘚子集有2n 个. n 个元素嘚真子集有2n －1个. n 个元素嘚非空真子集有2n －2个. [注]①一个命题嘚否命题为真，它嘚逆命题一定为真.否命题?逆命题. ②一个命题为真，则它嘚逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. 2、集合运算：交、并、补. {|,}{|} {,} A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ?∈∈?∈∈?∈?U 交：且并：或补：且C （三）简易逻辑 构成复合命题嘚形式：p 或q(记作“p ∨q ” )；p 且q(记作“p ∧q ” )；非p(记作“┑q ” ) 。 1、“或”、 “且”、 “非”嘚真假判断 4、四种命题嘚形式及相互关系： 原命题：若P 则q ； 逆命题：若q 则p ； 否命题：若┑P 则┑q ；逆否命题：若┑q 则┑p 。 ①、原命题为真，它嘚逆命题不一定为真。 ②、原命题为真，它嘚否命题不一定为真。 ③、原命题为真，它嘚逆否命题一定为真。 6、如果已知p ?q 那么我们说，p 是q 嘚充分条件，q 是p 嘚必要条件。 若p ?q 且q ?p,则称p 是q 嘚充要条件，记为p ?q. 第二章-函数 一、函数嘚性质 （1）定义域： （2）值域： （3）奇偶性：（在整个定义域内考虑） ①定义：①偶函数： )()(x f x f =-，②奇函数：)()(x f x f -=- ②判断方法步骤：a.求出定义域；b.判断定义域是否关于原点对称；c.求)(x f -； d.比较 )()(x f x f 与-或)()(x f x f --与嘚关系。 （4）函数嘚单调性 定义：对于函数f(x)嘚定义域I 内某个区间上嘚任意两个自变量嘚值x 1,x 2, ⑴若当x 1 4.1 数列基础题 命题角度1求数列的通项公式 高考真题体验·对方向 1.(2016浙江·13)设数列{a n}的前n项和为S n,若S2=4,a n+1=2S n+1,n∈N*,则 a1=,S5=. 答案1121 解析由题意,可得a1+a2=4,a2=2a1+1, 所以a1=1,a2=3. 再由a n+1=2S n+1,a n=2S n-1+1(n≥2), 得a n+1-a n=2a n,即a n+1=3a n(n≥2). 又因为a2=3a1,所以数列{a n}是以1为首项,3为公比的等比数列. 所以S5==121. 2.(2015全国Ⅱ·16)设S n是数列{a n}的前n项和,且a1=-1,a n+1=S n S n+1,则S n=. 答案- 解析由a n+1=S n+1-S n=S n S n+1,得=1,即=-1,则为等差数列,首项为 =-1,公差为d=-1,∴=-n,∴S n=-. 新题演练提能·刷高分 1.(2018湖南长沙雅礼中学、河南省实验中学联考)在数列{a n} 中,a1=2,+ln1+,则a n=() A.2+n ln n B.2n+(n-1)ln n C.2n+n ln n D.1+n+n ln n 答案 C 解析由题意得=ln(n+1)-ln n,n分别取1,2,3,…,(n-1)代入, 累加得=ln n-ln 1=ln n,=2+ln n, ∴a n=2n+n ln n,故选C. 2.(2018广东一模)已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n=n2+n,则a5=. 答案14 解析由题意得a5=S5-S4=×52+-×42+2=14. 3.(2018湖南、江西第二次联考)已知S n是数列{a n}的前n项和,且log3S n+1=n+1,则数列{a n}的通项公式为. 答案a n= 解析由log3(S n+1)=n+1,得S n+1=3n+1, 当n=1时,a1=S1=8; 当n≥2时,a n=S n-S n-1=2×3n, 所以数列{a n}的通项公式为a n= 4.(2018湖南衡阳一模)已知数列{a n}前n项和为S n,若S n=2a n-2n,则S n=. 答案n·2n 解析∵S n=2a n-2n=2(S n-S n-1)-2n,整理得S n-2S n-1=2n, 等式两边同时除以2n有=1, 又S1=2a1-2=a1,可得a1=S1=2, 所以数列b n=可看作以1为首项,1为公差的等差数列,所以=n,所以S n=n·2n. 5.(2018河南4月适应性考试)已知数列{a n}的前n项和是S n,且a n+S n=3n-1,则数列{a n}的通项公式a n=. 答案3-n-2 2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国课标I) 理科数学 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置． 3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效． 4．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－5＜x＜5}，则( )． A．A∩B＝ B．A∪B＝R C．B?A D．A?B 2．若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为( )． A．－4 B． 4 5 - C．4 D． 4 5 3．为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )． A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样 C．按学段分层抽样 D．系统抽样 4．已知双曲线C： 22 22 =1 x y a b -(a＞0，b＞0)的离心率为 5 2 ，则C的渐近线方程为( )． A．y＝ 1 4 x ± B．y＝ 1 3 x ± C．y＝ 1 2 x ± D．y＝±x 5．执行下面的程序框图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s属于( )． A ．[－3,4] B ．[－5,2] C ．[－4,3] D ．[－2,5] 6．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )． A ． 500π3cm 3 B ．866π3 cm 3 C ． 1372π3cm 3 D ．2048π3 cm 3 7．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )． A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )． 第一章集合与常用逻辑用语 第一节集合 题型1-1 集合的基本概念 题型1-2 集合间的基本关系 题型1-3 集合的运算 第二节命题及其关系、充分条件与必要条件题型1-4 四种命题及关系 题型1-5 充分条件、必要条件、充要条件的判断与证明 题型1-6 求解充分条件、必要条件、充要条件中的参数取值范围 第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 题型1-7 判断命题的真假 题型1-8 含有一个量词的命题的否定 题型1-9 结合命题真假求参数的取值范围 第二章函数 第一节映射与函数 题型2-1 映射与函数的概念 题型2-2 同一函数的判断 题型2-3 函数解析式的求法 第二节函数的定义域与值域（最值） 题型2-4 函数定义域的求解 题型2-5 函数定义域的应用 题型2-6 函数值域的求解 第三节函数的性质——奇偶性、单调性、周期性 题型2-7 函数奇偶性的判断 题型2-8 函数单调性（区间）的判断 题型2-9 函数周期性的判断 题型2-10 函数性质的综合应用 第四节二次函数 题型2-11 二次函数、一元二次方程、二次不等式的关系 题型2-12 二次方程的实根分布及条件 题型2-13 二次函数“动轴定区间” “定轴动区间”问题 第五节指数与指数函数 题型2-14 指数运算及指数方程、指数不等式题型2-15 指数函数的图象及性质 题型2-16 指数函数中恒成立问题 第六节对数与对数函数 题型2-17 对数运算及对数方程、对数不等式 题型2-18 对数函数的图象与性质 题型2-19 对数函数中恒成立问题 第七节幂函数 题型2-20 求幂函数的定义域 题型2-21 幂函数性质的综合应用 第八节函数的图象 题型2-22 判断函数的图象 题型2-23 函数图象的应用 第九节函数与方程 题型2-24 求函数的零点或零点所在区间 题型2-25 利用函数的零点确定参数的取值范 围 题型2-26 方程根的个数与函数零点的存在性 问题 第十节函数综合 题型2-27 函数与数列的综合 题型2-28 函数与不等式的综合 题型2-29 函数中的信息题 第三章导数与定积分 第一节导数的概念与运算 题型3-1 导数的定义 题型3-2 求函数的导数 第二节导数的应用 题型3-3 利用原函数与导函数的关系判断图像 题型3-4 利用导数求函数的单调性和单调区间 题型3-5 函数的极值与最值的求解 题型3-6 已知函数在区间上单调或不单调，求 参数的取值范围 题型3-7 讨论含参函数的单调区间 题型3-8 利用导数研究函数图象的交点和函数 零点个数问题 题型3-9 不等式恒成立与存在性问题 题型3-10 利用导数证明不等式 题型3-11 导数在实际问题中的应用 第三节定积分和微积分基本定理 题型3-12 定积分的计算 题型3-13 求曲边梯形的面积 第四章三角函数 第一节三角函数概念、同角三角函数关系式和 诱导公式 题型4-1 终边相同角的集合的表示与识别 题型4-2 α 2 是第几象限角 题型4-3 弧长与扇形面积公式的计算 题型4-4 三角函数定义 题型4-5 三角函数线及其应用 题型4-6 象限符号与坐标轴角的三角函数值 题型4-7 同角求值——条件中出现的角和结论 中出现的角是相同的 题型4-8 诱导求值与变形 第二节三角函数的图象与性质 题型4-9 已知解析式确定函数性质 题型4-10 根据条件确定解析式 题型4-11 三角函数图象变换 第三节三角恒等变换 题型4-12 两角和与差公式的证明 题型4-13 化简求值 第四节解三角形 题型4-14 正弦定理的应用 题型4-15 余弦定理的应用 题型4-16 判断三角形的形状 题型4-17 正余弦定理与向量的综合 题型4-18 解三角形的实际应用 第五章平面向量 第一节向量的线性运算 题型5-1 平面向量的基本概念 题型5-2 共线向量基本定理及应用 题型5-3 平面向量的线性运算 题型5-4 平面向量基本定理及应用 题型5-5 向量与三角形的四心 题型5-6 利用向量法解平面几何问题 第二节向量的坐标运算与数量积 题型5-7 向量的坐标运算 题型5-8 向量平行（共线）、垂直充要条件的坐 标表示 题型5-9 平面向量的数量积 题型5-10 平面向量的应用 第六章数列 第一节等差数列与等比数列 题型6-1 等差、等比数列的通项及基本量的求 解 题型6-2 等差、等比数列的求和 题型6-3 等差、等比数列的性质应用 题型6-4 判断和证明数列是等差、等比数列 题型6-5 等差数列与等比数列的综合 第二节数列的通项公式与求和 题型6-6 数列的通项公式的求解 题型6-7 数列的求和 第三节数列的综合 题型6-8 数列与函数的综合 题型6-9 数列与不等式综合 第七章不等式 第一节不等式的概念和性质 题型7-1 不等式的性质 题型7-2 比较数（式）的大小与比较法证明不 等式 第二节均值不等式和不等式的应用 题型7-3 均值不等式及其应用 题型7-4 利用均值不等式求函数最值 题型7-5 利用均值不等式证明不等式 题型7-6 不等式的证明 第三节不等式的解法 题型7-7 有理不等式的解法 题型7-8 绝对值不等式的解法 第四节二元一次不等式（组）与简单的线性规 划问题 题型7-9 二元一次不等式组表示的平面区域 题型7-10 平面区域的面积 题型7-11 求解目标函数中参数的取值范围 题型7-12 简单线性规划问题的实际运用 第五节不等式综合 题型7-13 不等式恒成立问题中求参数的取值 范围 2019-2020学年度最新人教版高考数学总复习 (各种专题训练)Word版(附参考答案) 一．课标要求： 1．集合的含义与表示 （1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系； （2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 2．集合间的基本关系 （1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； （2）在具体情境中，了解全集与空集的含义； 3．集合的基本运算 （1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集； （2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； （3）能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。二．命题走向 有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主，分值5分。 预测2013年高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。具体题型估计为： （1）题型是1个选择题或1个填空题； （2）热点是集合的基本概念、运算和工具作用。 三．要点精讲 1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合。 a∈；若b不是集合A的元素，（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作A b?； 记作A （2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性； 确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立； 互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体 （对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素； 无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排 列顺序无关； （3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法； 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内； 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。 具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。 （4）常用数集及其记法： 2020人教版数学高考知识点集合手册 必修一 第一章集合与函数概念 〖1.1〗集合 （1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法 N表示自然数集，N*或N+表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集. （3）集合与元素间的关系 对象a与集合M的关系是a M ?，两者必居其一. ∈，或者a M （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x|x具有的性质}，其中x为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). （6）子集、真子集、集合相等 （7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21 n -个非空子集，它有22n -非空真子集. （8）交集、并集、补集 并集 A B U {|,x x A ∈或 }x B ∈ （1）A A A =U （2）A A ?=U （3）A B A ?U A B B ?U B A 补 集 U A e {|,} x x U x A ∈?且 1()U A A =? I e 2()U A A U =U e 【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法 （1）含绝对值的不等式的解法 不等式 解集 ||(0)x a a <> {|}x a x a -<< ||(0)x a a >> |x x a <-或}x a > ||,||(0)ax b c ax b c c +<+>> 把ax b +看成一个整体，化成 ||x a <，||(0)x a a >>型不等式来求 解 （2）一元二次不等式的解法 判别式 24b ac ?=- 0?> 0?= 0?< 二次函数 2(0) y ax bx c a =++>的图象 O 一元二次方程 20(0) ax bx c a ++=>的根 21,242b b ac x a -±-= （其中12)x x < 122b x x a ==- 无实根 ()()()U U U A B A B =I U 痧?()()() U U U A B A B =U I 痧? 数学试卷 第1页（共21页） 数学试卷 第2页（共21页） 数学试卷 第3页（共21页） 绝密★启用前 2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1) 理科数学 使用地区：河南、山西、河北 注意事项： 1.本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至6页. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效. 4.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.已知集合2 0{}|2A x x x =-> ,{|B x x <<=,则 ( ) A .A B =R B .A B =? C .B A ? D .A B ? 2.若复数z 满足(34i)|43i|z -=+,则z 的虚部为 ( ) A .4- B .45 - C .4 D .45 3.为了解某地区的中小学生视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是 ( ) A .简单随机抽样 B .按性别分层抽样 C .按学段分层抽样 D .系统抽样 4.已知双曲线C ：22 221(0,0)x y a b a b -=>> ,则C 的渐近线方程为 ( ) A .1 4y x =± B .1 3y x =± C .1 2 y x =± D .y x =± 5.执行如图的程序框图,如果输入的[1,3]t ∈-,则输出的s 属于 ( ) A .[3,4]- B .[5,2]- C .[4,3]- D .[2,5]- 6.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器 高8cm ,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球 面恰好接触水面时测得水深为6cm ,如果不计容器的 厚度,则球的体积为 ( ) A .3866π cm 3 B . 3500π cm 3 C .31372πcm 3 D .32048πcm 3 7.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,12m S -=-,0m S =,13m S +=,则m = ( ) A .3 B .4 C .5 D .6 8.某几何体的三视图如图所示,则该几何的体积为 ( ) A .168π+ B .88π+ C .1616π+ D .816π+ 9.设m 为正整数,2()m x y +展开式的二项式系数的最大值 为a ,21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b .若137a b =,则m = ( ) A .5 B .6 C .7 D .8 10.已知椭圆 E ：22 221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交E 于A ,B 两点. 若AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为 ( ) A .22 14536 x y += B .2213627x y += C .2212718x y += D .22 1189x y += 11.已知函数22,0, ()ln(1),0.x x x f x x x ?-+=?+>? ≤若|()|f x ax ≥,则a 的取值范围是 ( ) A .(,1]-∞ B .(,0]-∞ C .[2,1]- D .[2,0]- 12.设n n n A B C △的三边长分别为n a ,n b ,n c ,n n n A B C △的面积为n S ,1,2,3, n =.若11b c >,1112b c a +=,1n n a a +=,12n n n c a b ++= ,12 n n n b a c ++=,则 ( ) A .{}n S 为递增数列 B .{}n S 为递减数列 C .21{}n S -为递增数列,2{}n S 为递减数列 D .21{}n S -为递减数列,2{}n S 为递增数列 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分. 13.已知两个单位向量a ,b 的夹角为60,(1)t t =+-c a b .若0=b c ,则t =________. 14.若数列{}n a 的前n 项和21 33 n n S a = +,则{}n a 的通项公式是n a =________. 15.设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos θ=________. 16.设函数22()(1)()f x x x ax b =-++的图象关于直线2x =-对称,则()f x 的最大值为________. 三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. --------在 --------------------此--------------------卷-------------------- 上-------------------- 答-------------------- 题-------------------- 无-------------------- 效 ---------------- 姓名________________ 准考证号_____________艺考生高考数学总复习讲义
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