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数值分析检测题

数值分析检测题
数值分析检测题

数值分析第一章检测题(黄)

一、填空题(每空4')

1. 已知x =6

2.1341是由准确数a 经四舍五入得到的a 的近似值,试给出x 的绝对误差限_______________.

2. 设x 和y 的相对误差均为0.001,则x*y 的相对误差约为____________.

3. π取四位有效数字是 ,e取五位有效数字是 ,此时π/e的误差限是 。

4. 根据秦九韶算法,多项式p(x)=5x^4+3x^2+12x+4只需计算 次乘法和 次加法。

5. 要使30的近似值的相对误差小于0.1%,至少要取 位有效数字。 二、简答题(10'×4)

1. 科学计算中的误差来源有哪些?

2. 截断误差和舍入误差的区别。

3. 用公式表示误差、误差限;相对误差、相对误差限。

4. 避免误差危害,防止有效数字损失的方法。

三、解答题(8'×3)

1. 用秦九韶算法求多项式p (x )=2x^6+3x^4-9x^2+x-6在x=3处的值。

2. 计算球面积要使相对误差限为0.1%,问度量半径R 所允许的相对误差是多

少?

3. 取99的6位有效数字9.94987,则以下两种算法各有几位有效数字?

05013.094987.9109910=-≈-

0501256399.094987.191

94987.910199

101==+≈+ 数值分析第一章检测题

80分钟

一、

填空题(5′×4)

1.下列各数都是经过四舍五入的近似数:

x=1.1022,y=0.033,z=385.7,w=56.430 则x+y+w 的误差限为________________ x*y*z 的误差限为________________

2.设x>0,x 的相对误差为δ,则ln(x^n)的误差为________________ 3.设x 的相对误差为2%,则x^(3n)的相对误差为________________

4.设Yo=28,按递推公式Yn=Yn-1—1023/100,若取1023≈31.984(5位有效数字),计算Y100的误差为_________ 二、解答题(10′×4+15′×2)

5.计算球体积使相对误差限为1‰,则度量半径R 所允许的误差限是多少?

6.求方程x 2-64x+1=0的两个根,使它至少具有4为有效数字(1023≈31.984)。

7.当x ≈y 时,lnx-lny 有效位数会损失,改用lnx-lny=ln y

x

是否就能减少舍入误差?(提示:考虑对数函数何时出现病态)。

8.序列{Yn}满足递推关系:Yn=10Yn-1—1,n=1,2,3,…若Yo=3≈1.73(三位有效数字),计算到Y10时误差有多大?这个计算过程稳定吗?

9.设P (x )=4x^5+6x^4-3x^3+2x^2+7x+3,请用秦九韶算法求P(3)及P ′(3)的值。(15分)

10.f (x )=ln (x-(x 2-1)?),求f (30)的值。若开平方用6位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式

ln (x-(x 2-1)?)=-ln (x+(x 2-1)?) 计算,求对数时误差有多大?(15分)

数值分析第七章检测题 信科11-1班 汪芳

一、 填空题

1、在区间()1,0内用二分法求0210=-+x e x 的根到三位小数所需要的计算量为( )。

2、用迭代法10

21

k x k e x -=+,取初值00=x ,求0210=-+x e x 的根到三位小数所

需要的计算量为( )。

3、对于迭代过程()k k x x ?=+1及正整数p ,若( )在所求根*x 附近连续且( ),则该迭代过程在点*x 附近是p 阶收敛的。

4、设*x 为()x ?的不动点,()x ?'在*x 的某个邻域内连续,且( ),则迭代法局部收敛。

5、通过点()()1100,;,y x y x 的拉格朗日插值基函数()()1100,x l x l 满足( )。 二、 计算题

1、用牛顿法求()0cos =-=x x x f 的近似解。

2、设()()()()()x f

x q x f x p x x 2

--=?,试确定函数()x p 和()x q ,使求解()0

=x f 且以()x ?为迭代函数的迭代法至少三阶收敛。 3、应用牛顿法于方程()0=-=a x x f n 和()01=-=n x

a

x f ,分别导出求n a 的迭代公式,并求

(

)

k

n

x a x a k n

k -+∞

→-2

1

lim

4、利用100,121,144的平方根,试用二次拉格朗日插值多项式求的近似值115,要求保留4位有效数字。 三、 证明题

1、求证:给定迭代公式???

?

??+=+k k k x x x 2211

,对于任意初值0x >1都收敛于2。

2、给定函数()x f ,设对一切x ,()x f '存在且()M x f m ≤'≤<0,证明对于范围

M

2

0<

<λ的任意定数λ,迭代过程()k k k x f x x λ-=+1均收敛于()0=x f 的根*x 。

3、证明迭代公式()

a

x a

x x x k k k k ++=+2

2

1

33 是计算a 的三阶方法。假定初值0x 充分靠近根*x ,求(

)

k

x a x a k k -+∞

→-3

1

lim

数值分析第七章测试题

一.填空题(3*4)

1.二分法 阶收敛,牛顿法 阶收敛。

2.牛顿法迭代公式(单根) 。

3.用二分法求方程012=--x x 的在[]2,1内的正根 (误差小于0.05)。 二.判断题(10*2)

1.非线性方程(或方程组)的解通常不唯一。()

2.牛顿法是不动点迭代的一个特列。()

3.不动点迭代法总是线性的。()

4.任何迭代法的收敛阶都不可能高于牛顿法。()

5.牛顿法总比弦截法及抛物线法更节省计算时间。()

6.求多项式P (x )的零点问题一定是病态的问题。()

7.二分法与牛顿法一样都可以推广到多维方程组求解。()

8.牛顿法有可能不收敛。()

9.不动点迭代法)(1k k x x Φ=+,其中)(**x x Φ=,若1*)(<Φ'x 则对任何初值0x 迭代都收敛。()

10.弦截法是不动点迭代的特例。() 三.解答题(5*10)

1.已知方程08.023=--x x 在5.10=x 附近有一个根,将此方程改写成如下两个等价形式:328.0x x +=和8.03-=x x 构造如下两个迭代格式:

①),1,0(,8.032

1 =+=+k x x k

k

②),1,0(,8.03

1 =-=+k x x k k

判断这两个迭代格式是否收敛。

2.用下列方法求013)(3=--=x x x f 在20=x 附近的根。根的准确值

87938524.1*=x ,要求计算结果准确到四位有效数字。

⑴用牛顿法。⑵用弦截法,取9.1,210==x x 。

3.用牛顿法和求重根迭代法计算方程0)2(sin )(2=-=x

x x f 的一个近似根,准确

到5-10,初始值2

0π=

x 。

4.对于下列修正的牛顿公式

)())(()

(21k k k k k k x f x f x f x f x x -+-

=+

设0)(,0)(**≠'=x f x f ,试证明:该方法至少是二阶收敛的。 5.用二分法确定方程0133=+-x x 最小正根所在区间[]b a ,,使之满足

12<=

m

M

K ,其中)(min ,)(max x f m x f M b x a b x a '=''=≤≤≤≤。

数值分析第七章检测题 一、填空(每空6分)

1、求方程2cos x x =根的Newton 迭代公式为 。

2、用二分法求方程012=--x x 的正根,正根为 。(误差小于0.05)

3、已知方程310x x --=在区间(1,2)内有根, 构造方程的一种迭代格式为

3

11k k x x +=-,则该迭法 收敛的(填是或不)。

4、二分法是 阶收敛,牛顿法是 阶收敛。

5、方程0210=-+x e x 在区间[]10,

内用二分法求根到三位小数所需的计算量为 。

二、解答题

1、用二分法确定方程0133=+-x x 最小正根所在区间[]b a ,,使之满足 121

2

<=

m M K 其中)(max 2x f M b

x a ''=≤≤,)(min 1x f m b

x a '=≤≤.(10分)

2、设)()()()()(2x f x q x f x p x x --=?,试确定函数)(x p 和)(x q ,使求解0)(=x f 且以)(x ?为迭代函数的迭代法至少为三阶收敛.(12分)

3、应用牛顿法于方程01)(2

=-

=x a

x f ,导出求a 的迭代公式,并用此公式求115的值.(14分)

4、对于迭代函数()3)(2-+=x c x x ?,试讨论:

(1)当c 为何值时,)(1k k x x ?=+产生的序列{}k x 收敛到3; (2)c 为何值时收敛最快?

(3)取21

-=c ,3

21-,分别计算)(x ?的不动点,要求5110-+<-k k x x .(14分)

三、证明题

1、研究求a 的牛顿公式

???

?

??+=+k k k x a x x 211,00>x . 证明对一切a x k k ≥=,,2,1 且序列 ,,21x x 是递减的.(8分) 2、证明迭代公式

()

a

x a

x x x k k k k ++=+2

2

133 是计算a 的三阶方法.假定初值0x 充分靠近根*x ,求()()

31lim k

k k x a x a --+∞

→.(12分)

数值分析第二章检测题

一、填空题(每空4')

1.满足P(0)=P'(0)=0,P(1)=P'(1)=1的一个次数不高于四次的多项式是

__________________

2.关于点(1,2),(3,5),(4,1)的一阶均差是___和___,二阶均差是

_____________________

3.过点(1,2),(3,1)的Lagrange插值多项式为____________

4.f(x)=x^4+3x^2+2x+4,则f[1,2,3,4,5]=__________________

5.f(x)=x^2,x0=0.5,x1=1.2.x2=2,则f(x)在[0.5,2]上的三次埃尔米

特插值多项式是_______________________________

二、解答题(8分一题)

1.f(x)=3x^2-4点(1,-1),(0,-4),(2,8)在f(x)上,写出过三点的Lagrange

插值多项式,并对余项的误差进行估计。

2.求f(x)=x^2在[3,7]上的分段线性插值函数和分段埃米尔特插值,并对它

们的误差进行估计。

3.设f(x)=x^7+9,求以-1,0,1,3为节点三次插值多项式

4.给出tan x在-1

究用线性插值求tan x近似值时的总误差界

三证明题(10分一道)

1.证明∑(x i-x)2L i(x)=0,其中L i(x)是关于点x0,x1…x4的插值基函数

2.设x j为互异节点(j=0,1…,n),求证∑x j k L j(x)≡x k(k=0,1…n)

3.证明n阶均差具有如下性质:

若g(x)=c f(x),则g[x0, x1 ,…,x n]=c f[x0,x1,…,x n] 其中c为任意实数

4.求证:若f(n)(x)在[a,b]上连续,f(n+1)(x)在(a,b)上存在,节a=x0

L n(x)是各节点构成的Lagrange插值多项式,则对于任何x属于[a,b],插值余项

R n(x)=f(x)—L n(x)=(x-x0)(x-x1)…(x-x n)f(n+1)(ξ)/(n+1)!

数值分析第二章检测题

60分钟

三、填空题(每空4')

6.满足P(0)=P'(0)=0,P(1)=P'(1)=1的一个次数不高于四次的多项式是

__________________

7.关于点(1,2),(3,5),(4,1)的一阶均差是___和___,二阶均差是

_____________________

8.过点(1,2),(3,1)的Lagrange插值多项式为____________

9.f(x)=x^4+3x^2+2x+4,则f[1,2,3,4,5]=__________________

10.f(x)=x^2,x0=0.5,x1=1.2.x2=2,则f(x)在[0.5,2]上的三次埃尔米

特插值多项式是_______________________________

四、解答题(8分一题)

5.f(x)=3x^2-4点(1,-1),(0,-4),(2,8)在f(x)上,写出过三点的Lagrange

插值多项式,并对余项的误差进行估计。

6.求f(x)=x^2在[3,7]上的分段线性插值函数和分段埃米尔特插值,并对它

们的误差进行估计。

7.设f(x)=x^7+9,求以-1,0,1,3为节点三次插值多项式

8.给出tan x在-1

究用线性插值求tan x近似值时的总误差界

三证明题(10分一道)

5.证明∑(x i-x)2L i(x)=0,其中L i(x)是关于点x0,x1…x4的插值基函数

6.设x j为互异节点(j=0,1…,n),求证∑x j k L j(x)≡x k(k=0,1…n)

7.证明n阶均差具有如下性质:

若g(x)=c f(x),则g[x0, x1 ,…,x n]=c f[x0,x1,…,x n] 其中c为任意实数

8.求证:若f(n)(x)在[a,b]上连续,f(n+1)(x)在(a,b)上存在,节a=x0

L n(x)是各节点构成的Lagrange插值多项式,则对于任何x属于[a,b],插值余项

R n (x )=f (x )— L n (x )=(x-x 0)(x-x 1)…(x-x n )f (n+1)(ξ)/(n+1)!

数值分析第二章测试题

一,

填空题(5’x8)

1,过点((i=0,1…n )的n 次插值多项式的误差为______________________. 2,若f (x )=,则该多项式在(0,1),(1,3),(-1,1)的牛顿差值公式为 _______________________,试求f (1/2)=__________________.

3,过点(1,0),(2,0),(3,0),(0,-6)的拉格朗日插值多项式为f (x )=___________________(用拉格朗日基底表示).计算得f (-1)=_______________.

4,已知,求f[]=______________________, f[]=__________________.

5,设为互异节点(i=0,1,…,n ),则F (x )==_____________. 二,

解答题(共60’,第6,7题每题10分,第8,9题每题20分).

6,证明n 阶均差有如下性质: 若F (x )=c*f (x )则F[]=c* f[].

7,求一个不高于4次的多项式p (x ),是p (0)=p’(0)=0,p (1)=p ’(1)=1.p(2)=1

8,设f (x )[a,b],且f (a )=a ,f (b )=b.求证: ,其中.

9, 的近似值,使其截断误差为,则函数的步长应该取多长?

数值分析第七章检测题

一、填空题.

1.

()()6

3

i i 0

x

x l x i =-=∑ ,其中是关于点,

,,的插值函数。 2. 写出n 次插值基函数。 。

3满足()a a f x x =,()b b f x x =,()c c f x x =的拉格朗日插值余项为 。

4.已知函数()f x 的函数值()()()()()0,2,3,5,6f f f f f ,以及均差如下 ()()()()()00,0,24,0,2,35,

0,2,3,51,0,2,3,5,6

f f f f f ==

=

==

那么由这些数据构造的牛顿插值多项式的最高次幂的系数是 5.. 已知等距节点的插值型求积公式()()35

2

k k k f x dx A f x =≈∑?,那么3

k k A ==∑

二、解答题.

1.长才能使分段线性插值函数与sinx 的误差不超过。

2.数表如下,求x=

3.8的函数值

x 3 4 y

0.5

0.64

3. 已知函数2

1

1y x =+的一组数据

求分段线性插值函数,并计算()

1.5f 的近似值.

4.已知函数表如下,求newton 插值多项式。

x 0 1 4 3

y

-7 8

5

三、证明题。

1.设为互异节点(j=0,1,2,…,n ),求证:

(1)()()k k j j 0x l x x k 01

n ;n

j =≡=∑,,, (2)()

k

j j 0

x x l (x)0n j =-≡∑012k n =?(,,,,)

. 2.证明n 阶插商的性质,若 F(X)=cf(x)+dg(x), 则][o 1n o 1n o 1n [x x ,x x x ,x x x ,x ,][,,]F cf dg =+,,, 3. 求证:给定迭代公式???

?

??+=

+k k k x x x 2211,对于任意初值0x >1都收敛于2。

i x 0 1

2

数值分析第1章习题

(A)1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有()和()为有效数字(有效数字) A. 4和3 B. 3和2 C. 3和4 D. 4和4 解..14159.3==*πx ,1103142.0?=a 时,1=m ,3102 1...00041.0)(-*?≤ =-=a x a E m-n= -3,所以n=4,即有4位有效数字。当1103141.0?=a 时,1=m , 2102 1005.0...00059.0)(-*?=≤=-=a x a E ,m-n= -2,所以n=3,即有3位有效数字。 (A)2. 为了减少误差,在计算表达式19992001-时,应该改为 199920012+计算,是属于()来避免误差。(避免误差危害原则) A.避免两相近数相减; B.化简步骤,减少运算次数; C.避免绝对值很小的数做除数; D.防止大数吃小数 解:由于2001和1999相近,两数相减会使误差大,因此化加法为减法,用的方法是避免误差危害原则。 (B)3.下列算式中哪一个没有违背避免误差危害原则(避免误差危害原则) A.计算123460.60.612345++- B.计算 25612520000450?- C.计算10.99994- D.计算11x x +- 解:A 会有大数吃掉小数的情况C 中两个相近的数相减,D 中两个相近的数相减也会增大误差 (D)4.若误差限为5105.0-?,那么近似数0.003400有()位有效数字。(有效数字) A. 5 B. 4 C. 7 D. 3 解:51021)(-?= a E 即m-n= -5,2103400.0-?=a ,m= -2,所以n=3,即有3位有效数字 (A)5.设*x 的近似数为40.32710a =?,如果a 具有3位有效数字,则a 的相对误差限为 ()(有效数字与相对误差的关系) A . 35103-g B. 33105-g C. 53105-g D. 5103 g -2 解:因为40.32710a =?所以31=a ,因为a 有3位有效数字,所以n=3,由相对误差和有效数字的关系可得a 的相对误差限为 31103510.5--?== n r a δ

数值分析实验报告1

实验一误差分析 实验1.1(病态问题) 实验目的:算法有“优”与“劣”之分,问题也有“好”与“坏”之别。对数值方法的研究而言,所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者,反之属于好问题。通过本实验可获得一个初步体会。 数值分析的大部分研究课题中,如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决,当然一般要付出一些代价(如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等)。 问题提出:考虑一个高次的代数多项式 显然该多项式的全部根为1,2,…,20共计20个,且每个根都是单重的。现考虑该多项式的一个扰动 其中ε(1.1)和(1.221,,,a a 的输出b ”和“poly ε。 (1(2 (3)写成展 关于α solve 来提高解的精确度,这需要用到将多项式转换为符号多项式的函数poly2sym,函数的具体使用方法可参考Matlab 的帮助。 实验过程: 程序: a=poly(1:20); rr=roots(a); forn=2:21 n form=1:9 ess=10^(-6-m);

ve=zeros(1,21); ve(n)=ess; r=roots(a+ve); -6-m s=max(abs(r-rr)) end end 利用符号函数:(思考题一)a=poly(1:20); y=poly2sym(a); rr=solve(y) n

很容易的得出对一个多次的代数多项式的其中某一项进行很小的扰动,对其多项式的根会有一定的扰动的,所以对于这类病态问题可以借助于MATLAB来进行问题的分析。 学号:06450210 姓名:万轩 实验二插值法

数值分析实验报告1

实验一 误差分析 实验(病态问题) 实验目的:算法有“优”与“劣”之分,问题也有“好”与“坏”之别。对数值方法的研究而言,所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者,反之属于好问题。通过本实验可获得一个初步体会。 数值分析的大部分研究课题中,如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决,当然一般要付出一些代价(如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等)。 问题提出:考虑一个高次的代数多项式 )1.1() ()20()2)(1()(20 1∏=-=---=k k x x x x x p 显然该多项式的全部根为1,2,…,20共计20个,且每个根都是单重的。现考虑该多项式的一个扰动 )2.1(0 )(19=+x x p ε 其中ε是一个非常小的数。这相当于是对()中19x 的系数作一个小的扰动。我们希望比较()和()根的差别,从而分析方程()的解对扰动的敏感性。 实验内容:为了实现方便,我们先介绍两个Matlab 函数:“roots ”和“poly ”。 roots(a)u = 其中若变量a 存储n+1维的向量,则该函数的输出u 为一个n 维的向量。设a 的元素依次为121,,,+n a a a ,则输出u 的各分量是多项式方程 01121=+++++-n n n n a x a x a x a 的全部根;而函数 poly(v)b =

的输出b 是一个n+1维变量,它是以n 维变量v 的各分量为根的多项式的系数。可见“roots ”和“poly ”是两个互逆的运算函数。 ;000000001.0=ess );21,1(zeros ve = ;)2(ess ve = ))20:1((ve poly roots + 上述简单的Matlab 程序便得到()的全部根,程序中的“ess ”即是()中的ε。 实验要求: (1)选择充分小的ess ,反复进行上述实验,记录结果的变化并分析它们。 如果扰动项的系数ε很小,我们自然感觉()和()的解应当相差很小。计算中你有什么出乎意料的发现表明有些解关于如此的扰动敏感性如何 (2)将方程()中的扰动项改成18x ε或其它形式,实验中又有怎样的现象 出现 (3)(选作部分)请从理论上分析产生这一问题的根源。注意我们可以将 方程()写成展开的形式, ) 3.1(0 ),(1920=+-= x x x p αα 同时将方程的解x 看成是系数α的函数,考察方程的某个解关于α的扰动是否敏感,与研究它关于α的导数的大小有何关系为什么你发现了什么现象,哪些根关于α的变化更敏感 思考题一:(上述实验的改进) 在上述实验中我们会发现用roots 函数求解多项式方程的精度不高,为此你可以考虑用符号函数solve 来提高解的精确度,这需要用到将多项式转换为符号多项式的函数poly2sym,函数的具体使用方法可参考Matlab 的帮助。

数值分析试题及答案汇总

数值分析试题 一、 填空题(2 0×2′) 1. ?? ????-=? ?????-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值,则x 有 2 位 有效数字。 2. 若f (x )=x 7-x 3+1,则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 , f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设,‖A ‖∞=___5 ____,‖X ‖∞=__ 3_____, ‖AX ‖∞≤_15_ __。 4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ,则使用该迭代 函数的迭代解法一定是局部收敛的。 5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时,若所求节点靠近首节点,应该选用等距节点下牛顿差商 公式的 前插公式 ,若所求节点靠近尾节点,应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ;如果要估计结果的舍入误差,应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。 7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是:=∑=n i i x a 0)( 1 ;所以当 系数a i (x )满足 a i (x )>1 ,计算时不会放大f (x i )的误差。 8. 要使 20的近似值的相对误差小于%,至少要取 4 位有效数字。 9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ,线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收 敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。 11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。 12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i =0,1,…,n )来实现的,其中的残差 r i = (b i -a i1x 1-a i2x 2-…-a in x n )/a ii ,(i =0,1,…,n )。 13. 在非线性方程f (x )=0使用各种切线法迭代求解时,若在迭代区间存在唯一解,且f (x )

《数值分析》第一章答案

习题1 1. 以下各表示的近似数,问具有几位有效数字?并将它舍入成有效数。 (1)*1x =451.023, 1x =451.01; (2)* 2x =-0.045 113, 2x =-0.045 18; (3)* 3x =23.421 3, 3x =23.460 4; (4)* 4x =3 1 , 4x =0.333 3; (5)* 5x =23.496, 5x =23.494; (6)* 6x =96×510, 6x =96.1×510; (7)*7x =0.000 96, 7x =0.96×310-; (8)*8x =-8 700, 8x =-8 700.3。 解:(1) =* 1x 451.023 =1x 451.01 =-1*1x x 0.0131 10 2 1-?≤ ,1x 具有4位有效数字。→1x 451.0 (2) -=*2x 0.045 113 -=2x 0.045 18 =-

=-4* 4x x 4 10 2 1000033.0-?< ,4x 具有4位有效数字,=4x 0.3333 (5) =* 5x 23.496,= 5 x 23.494 =-5 *5 x x =-494.23496.232 10 21002.0-?< 5x 具有4位有效数字, → 5x 23.50 (不能写为23.49) (6) = * 6x 5 1096?7 10 96.0?= =6x 5 10 1.96?7 10 961.0?= =-6*6 x x 7 10 001.0-?7 2 10 102 1--??≤ 6x 具有2位有效数字,57610961096.0?=?=x (7) =*7x 0.00096 3 71096.0-?=x 3 *710 96.0-?=x =-7* 7x x 0 7x 精确 (8) 8700* 8-=x 8x 3.8700-= 8*8 x x -0 10 2 13.0?≤ = 8x 具有4位有效数字,8x 8700-=精确 2.以下各数均为有效数字: (1) 0.1062 + 0.947; (3)2.747?6.83; (2)23.46―12.753; (4)1.473 / 0.064 。 问经过上述运算后,准确结果所在的最小区间分别是什么? 解:(1) 1x =0.1062,2x =0.947,1x +2x =1.0532 )(1x e 4 10 2 1-?≤ ,)(2x e 3 10 2 1-?≤ )()()(2121x e x e x x e +≈+≤ +≤)()(21x e x e 3 4 10 2 110 21--?+ ? =0.00055

数值分析实验指导2012

数值分析实验指导 2012年8月

实验一 误差分析 实验1.1(病态问题) 实验目的:算法有“优”与“劣”之分,问题也有“好”与“坏”之别。对数值方法的研究而言,所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者,反之属于好问题。通过本实验可获得一个初步体会。 数值分析的大部分研究课题中,如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决,当然一般要付出一些代价(如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等)。 问题提出:考虑一个高次的代数多项式 )1.1() ()20()2)(1()(20 1∏=-=---=k k x x x x x p 显然该多项式的全部根为1,2,…,20共计20个,且每个根都是单重的。现考虑该多项式的一个扰动 )2.1(0 )(19=+x x p ε 其中ε是一个非常小的数。这相当于是对(1.1)中19x 的系数作一个小的扰动。我们希望比较(1.1)和(1.2)根的差别,从而分析方程(1.1)的解对扰动的敏感性。 实验内容:为了实现方便,我们先介绍两个MATLAB 函数:“roots ”和“poly ”。 roots(a)u = 其中若变量a 存储n+1维的向量,则该函数的输出u 为一个n 维的向量。设a 的元素依次为121,,,+n a a a ,则输出u 的各分量是多项式方程 01121=+++++-n n n n a x a x a x a 的全部根;而函数 p o l y (v b = 的输出b 是一个n+1维向量,它是以n 维向量v 的各分量为根的多项式的系数。可见“roots ”和“poly ”是两个互逆的运算函数。 ) )20:1((; )2();21,1(;000000001.0ve poly roots ess ve zeros ve ess +=== 上述简单的MATLAB 程序便得到(1.2)的全部根,程序中的“ess ”即是(1.2)中的ε。

数值分析课后题答案

数值分析 第二章 2.当1,1,2x =-时,()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。 解: 0120121200102021101201220211,1,2, ()0,()3,()4;()()1 ()(1)(2)()()2()()1 ()(1)(2) ()()6 ()()1 ()(1)(1) ()()3 x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------= =-+-- 则二次拉格朗日插值多项式为 2 20 ()()k k k L x y l x ==∑ 0223()4() 14 (1)(2)(1)(1)23 537623 l x l x x x x x x x =-+=---+ -+= +- 6.设,0,1,,j x j n =L 为互异节点,求证: (1) 0()n k k j j j x l x x =≡∑ (0,1,,);k n =L (2) ()()0n k j j j x x l x =-≡∑ (0,1,,);k n =L 证明 (1) 令()k f x x = 若插值节点为,0,1,,j x j n =L ,则函数()f x 的n 次插值多项式为0 ()()n k n j j j L x x l x == ∑。

插值余项为(1)1() ()()()()(1)! n n n n f R x f x L x x n ξω++=-= + 又,k n ≤Q (1)()0 ()0 n n f R x ξ+∴=∴= 0()n k k j j j x l x x =∴=∑ (0,1,,);k n =L 0 000 (2)()() (())()()(()) n k j j j n n j i k i k j j j i n n i k i i k j j i j x x l x C x x l x C x x l x =-==-==-=-=-∑∑∑∑∑ 0i n ≤≤Q 又 由上题结论可知 ()n k i j j j x l x x ==∑ ()()0 n i k i i k i k C x x x x -=∴=-=-=∑原式 ∴得证。 7设[]2 (),f x C a b ∈且()()0,f a f b ==求证: 21 max ()()max ().8 a x b a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤- 解:令01,x a x b ==,以此为插值节点,则线性插值多项式为 10 101010 ()() ()x x x x L x f x f x x x x x --=+-- =() ()x b x a f a f b a b x a --=+-- 1()()0()0 f a f b L x ==∴=Q 又

数值分析最佳习题(含答案)

第一章 绪论 姓名 学号 班级 习题主要考察点:有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。 1 若误差限为5105.0-?,那么近似数有几位有效数字(有效数字的计算) 解:2*103400.0-?=x ,325*102 1102 1---?=?≤-x x 故具有3位有效数字。 2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少(有效数字的计算) 解:10314159.0?= π,欲使其近似值*π具有4位有效数字,必需 41*102 1 -?≤-ππ,3*3102 1102 1--?+≤≤?-πππ,即14209.314109.3*≤≤π 3 已知2031.1=a ,978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值,问b a +, b a ?有几位有效数字(有效数字的计算) 解:3*1021 -?≤-a a ,2*102 1-?≤-b b ,而1811.2=+b a ,1766.1=?b a 2123****102 1 10211021)()(---?≤?+?≤ -+-≤+-+b b a a b a b a 故b a +至少具有2位有效数字。 2123*****102 1 0065.01022031.1102978.0)()(---?≤=?+?≤ -+-≤-b b a a a b b a ab

故b a ?至少具有2位有效数字。 4 设0>x ,x 的相对误差为δ,求x ln 的误差和相对误差(误差的计算) 解:已知δ=-* *x x x ,则误差为 δ=-= -* **ln ln x x x x x 则相对误差为 * * ** * * ln ln 1ln ln ln x x x x x x x x δ = -= - 5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=,底面半径r 的值为cm r 5*=, 已知cm h h 2.0||*≤-,cm r r 1.0||*≤-,求圆柱体体积h r v 2π=的绝对误差 限与相对误差限。(误差限的计算) 解:*2******2),(),(h h r r r h r r h v r h v -+-≤-ππ 绝对误差限为 πππ252.051.02052)5,20(),(2=??+????≤-v r h v 相对误差限为 %420 1 20525) 5,20() 5,20(),(2 ==??≤ -ππv v r h v 6 设x 的相对误差为%a ,求n x y =的相对误差。(函数误差的计算) 解:%* *a x x x =-, )%(* **** *na x x x n x x x y y y n n n =-≤-= - 7计算球的体积,为了使体积的相对误差限为%1,问度量半径r 时允许的相对误差限为多大(函数误差的计算)

数值分析实验报告模板

数值分析实验报告模板 篇一:数值分析实验报告(一)(完整) 数值分析实验报告 1 2 3 4 5 篇二:数值分析实验报告 实验报告一 题目:非线性方程求解 摘要:非线性方程的解析解通常很难给出,因此线性方程的数值解法就尤为重要。本实验采用两种常见的求解方法二分法和Newton法及改进的Newton法。利用二分法求解给定非线性方程的根,在给定的范围内,假设f(x,y)在[a,b]上连续,f(a)xf(b) 直接影响迭代的次数甚至迭代的收敛与发散。即若x0 偏离所求根较远,Newton法可能发散的结论。并且本实验中还利用利用改进的Newton法求解同样的方程,且将结果与Newton法的结果比较分析。 前言:(目的和意义) 掌握二分法与Newton法的基本原理和应用。掌握二分法的原理,验证二分法,在选对有根区间的前提下,必是收

敛,但精度不够。熟悉Matlab语言编程,学习编程要点。体会Newton使用时的优点,和局部收敛性,而在初值选取不当时,会发散。 数学原理: 对于一个非线性方程的数值解法很多。在此介绍两种最常见的方法:二分法和Newton法。 对于二分法,其数学实质就是说对于给定的待求解的方程f(x),其在[a,b]上连续,f(a)f(b) Newton法通常预先要给出一个猜测初值x0,然后根据其迭代公式xk?1?xk?f(xk) f'(xk) 产生逼近解x*的迭代数列{xk},这就是Newton法的思想。当x0接近x*时收敛很快,但是当x0选择不好时,可能会发散,因此初值的选取很重要。另外,若将该迭代公式改进为 xk?1?xk?rf(xk) 'f(xk) 其中r为要求的方程的根的重数,这就是改进的Newton 法,当求解已知重数的方程的根时,在同种条件下其收敛速度要比Newton法快的多。 程序设计: 本实验采用Matlab的M文件编写。其中待求解的方程写成function的方式,如下 function y=f(x);

数值分析试验一

数值分析第一次实验报告 姓名: 学号: 实验1: 1. 实验项目的性质和任务 通过上机实验,使学生对病态问题、线性方程组求解和函数的数值逼近方法有一个初步理解。 2.教学内容和要求 1)对高阶多多项式 20 1()(1)(2)(20)()k p x x x x x k ==---=-∏ 编程求下面方程的解 19()0p x x ε+= 并绘图演示方程的解与扰动量ε的关系。(实验) 2)对2~20n =,生成对应的Hilbert 矩阵,计算矩阵的条件数;通过先确定解获得常向量b 的方法,确定方程组 n H x b = 最后,用矩阵分解方法求解方程组,并分析计算结果。(第三章,实验题4) 3)对函数 2 1()[1,1]125f x x x =∈-+ 的Chebyshev 点 (21)cos( ) 1,2,...,12(1) k k x k n n π -==++ 编程进行Lagrange 插值,并分析插值结果。(第四章 实验1)

项目涉及核心知识点 病态方程求解、矩阵分解和方程组求解、Lagrange插值。 重点与难点 算法设计和matlab编程。 1)a.实验方案: 先创建一个20*50的零矩阵X,然后利用Matlab中的roots()和poly()函数将50个不同的ess扰动值所产生的50个解向量分别存入X矩阵中。然后再将ess向量分别和X的20个行向量绘图。即可直观的看出充分小的扰动值会产生非常大的偏差。即证明了这个问题的病态性。 b.编写程序: >> X=zeros(20,50); >> ve=zeros(1,21); >> ess=linspace(0,,50);k=1; >> while k<=50 ve(2)=ess(k); X(1:20,k)=roots(poly(1:20)+ve); k=k+1; end >> m=1; >> while m<=20 figure(m),plot(ess,X(m,:));

数值分析试题及答案

一、单项选择题(每小题3分,共15分) 1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有( )和( )位有效数字. A .4和3 B .3和2 C .3和4 D .4和4 2. 已知求积公式 ()()2 1 121 1()(2)636f x dx f Af f ≈ ++? ,则A =( ) A . 16 B .13 C .12 D .2 3 3. 通过点 ()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足( ) A . ()00l x =0, ()110l x = B . ()00l x =0, ()111l x = C .() 00l x =1,()111 l x = D . () 00l x =1,()111 l x = 4. 设求方程 ()0 f x =的根的牛顿法收敛,则它具有( )敛速。 A .超线性 B .平方 C .线性 D .三次 5. 用列主元消元法解线性方程组 1231231 220223332 x x x x x x x x ++=?? ++=??--=? 作第一次消元后得到的第3个方程( ). A . 232 x x -+= B .232 1.5 3.5 x x -+= C . 2323 x x -+= D . 230.5 1.5 x x -=- 单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 得 分 评卷人 二、填空题(每小题3分,共15分)

1. 设T X )4,3,2(-=, 则=1||||X ,2||||X = . 2. 一阶均差 ()01,f x x = 3. 已知3n =时,科茨系数()()() 33301213,88C C C ===,那么 () 33C = 4. 因为方程()420 x f x x =-+=在区间 []1,2上满足 ,所以()0f x =在区间 内有根。 5. 取步长0.1h =,用欧拉法解初值问题 ()211y y y x y ?'=+?? ?=? 的计算公式 . 填空题答案 1. 9和29 2. ()() 0101 f x f x x x -- 3. 1 8 4. ()()120 f f < 5. ()12 00.1 1.1,0,1,210.11k k y y k k y +???? ?=+? ?=+???? =??L 得 分 评卷人 三、计算题(每题15分,共60分) 1. 已知函数 21 1y x = +的一组数据: 求分 段线性插值函数,并计算 () 1.5f 的近似值. 计算题1.答案 1. 解 []0,1x ∈, ()1010.510.50110x x L x x --=?+?=---% []1,2x ∈,()210.50.20.30.81221x x L x x --=?+?=-+--%

数值分析第一章绪论习题答案

第一章绪论 1.设0x >,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差。 解:近似值* x 的相对误差为* **** r e x x e x x δ-= == 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln ** e x x x e x =-≈ 进而有(ln *)x εδ≈ 2.设x 的相对误差为2%,求n x 的相对误差。 解:设()n f x x =,则函数的条件数为'() | |() p xf x C f x = 又1 '()n f x nx -= , 1 ||n p x nx C n n -?∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈? 且(*)r e x 为2 ((*))0.02n r x n ε∴≈ 3.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字:*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, * 456.430x =,*57 1.0.x =? 解:*1 1.1021x =是五位有效数字; *20.031x =是二位有效数字; *3385.6x =是四位有效数字; *456.430x =是五位有效数字; *57 1.0.x =?是二位有效数字。 4.利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限:(1) * * * 124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x . 其中****1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数。 解:

*4 1* 3 2* 13* 3 4* 1 51()1021()1021()1021()1021()102 x x x x x εεεεε-----=?=?=?=?=? *** 124***1244333 (1)()()()() 1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=?+?+?=? *** 123*********123231132143 (2)() ()()() 111 1.10210.031100.031385.610 1.1021385.610222 0.215 x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=???+???+???≈ ** 24**** 24422 *4 33 5 (3)(/) ()() 11 0.0311056.430102256.43056.430 10x x x x x x x εεε---+≈ ??+??= ?= 5计算球体积要使相对误差限为1,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 解:球体体积为34 3 V R π= 则何种函数的条件数为 2 3'4343 p R V R R C V R ππ=== (*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈= 又(*)1r V ε=

数值分析心得体会

数值分析心得体会 篇一:学习数值分析的经验 数值分析实验的经验、感受、收获、建议班级:计算131 学号:XX014302 姓名:曾欢欢 数值分析实验主要就是学习MATLAB的使用以及对数值分析类容的应用,可以使学生更加理解和记忆数值分析学得类容,也巩固了MATLAB的学习,有利于以后这个软件我们的使用。在做实验中,我们需要具备较好的编程能力、明白MATLAB软件的使用以及掌握数值分析的思想,才能让我们独立自主的完成该作业,如果是上述能力有限的同学,需要借助MATLAB的书以及网络来完成实验。数值分析实验对于我来说还是有一定难度,所以我课下先复习了MATLAB的使用方法以及编写程序的基本类容,借助互联网和同学老师资源完成了数值分析得实验的内容。在实验书写中,我复习了各种知识,所以我认为这门课程是有必要且是有用处的,特别是需要处理大量实验数据的人员,很有必要深入了解学习它,这样在以后的工作学习里面就减少了很多计算问题也提高了实验结果的精确度。 学习数值分析的经验、感受、收获、建议数值分析的内容包括插值与逼近,数值微分与数值积分,非线性方程与线性方程组的数值解法,矩阵的特征值与特征向量计算,常微分方程数值解等。

首先我们必须明白数值分析的用途。通常所学的其他数学类学科都是由公式定理开始,从研究他们的定义,性质再到证明与应用。但实际上,尤其是工程,物理,化学等其它具体的学科。往往我们拿到 手的只是通过实验得到的数据。如果是验证性试验,需要代回到公式 进行分析,验证。但往往更多面对的是研究性或试探性试验,无具体 公式定理可代。那就必须通过插值,拟合等计算方法进行数据处理以得到一个相对可用的一般公式。还有许多计算公式理论上非常复杂,在工程中不实用,所以必须根据实际情况把它转化成多项式近似表 示。学习数值分析,不应盲目记公式,因为公事通常很长且很乏味。其次,应从公式所面临的问题以及用途出发。比如插值方法,就 是就是把实验所得的数据看成是公式的解,由这些解反推出一个近似公式,可以具有局部一般性。再比如说拟合,在插值的基础上考虑实 验误差,通过拟合能将误差尽可能缩小,之后目的也是得到一个具有 一定条件下的一般性的公式。。建议学习本门课程要结合知识与实际,比如在物理实验里面很多

数值分析实验题目及解答

内容包括: 实验题目1:算法的数值稳定性实验 实验题目2:LU分解实验 实验题目3:三次样条插值外推样条实验 实验题目4:第二类Fredholm 积分方程实验实验题目5:M级显式R_K法

实验题目:算法的数值稳定性实验 实验内容:计算积分()1 0()d 1515n x I n x a x ==+? (n=1,2,…,20) 易得到下面递推公式 ()()1 1I n aI n n =--+ 并有估计式 ()() ()() 1 1 111I n a n a n << +++ 计算方法: 算法一:采用下面递推公式计算: ()()1 1I n aI n n =--+ ()1,2,,20 n = 取初值()116 0ln ln 15a I a +== 算法二: 采用下面递推公式计算: ()()111I n I n a n ??-= -+???? ()20,19,,1 n =

结果分析:(分析哪个好哪个不好,原因是什么) 我觉得算法二比较好, 原因一:根据式 ()() ()() 1 1 111I n a n a n << +++得知,I(n)不可能小于 零,而算法一的计算结果有部分结果小于零。原因二:对算法一记初始误差 ε0=/I 0-I(0)/>0; 则εn =/I n -I(n)/=a/I n-1-I(n-1)/=a n *ε0 由此可知,当n=20时, ε20把ε0放大了a 20倍,其结果造成严重的。 而对于算法二^ ^ 11n n a εε-= ,…, ^ ^ 01 n n a εε=,尽管有初始误差^ 20ε,但随着计算的进程,这个误差的影响不断减小。 附:源程序:(把源程序附上) 算法一程序: >> format long >> a=15;I=log(16/15); for n=1:20 n I=-a*I+1/n end 算法二程序: >> format long >> a=15;I=31/10080; >> for n=20:-1:1 n I I=1/a*(-I+1/n); End

数值分析整理版试题及答案

数值分析整理版试题及答案

例1、 已知函数表 x -1 1 2 ()f x -3 0 4 求()f x 的Lagrange 二次插值多项式和Newton 二次插值多项式。 解: (1)k x -1 1 2 k y -3 0 4 插值基函数分别为 ()()()()()()()()()() 1200102121()1211126 x x x x x x l x x x x x x x ----= ==-------- ()()()()()()()() ()()021******* ()1211122x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+---+- ()()()()()()()()()()0122021111 ()1121213 x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+--+- 故所求二次拉格朗日插值多项式为 () ()()()()()()()()()()2 20 2()11131201241162314 121123537623k k k L x y l x x x x x x x x x x x x x ==?? =-? --+?-+-+?+-????=---++-=+-∑ (2)一阶均差、二阶均差分别为

[]()()[]()()[][][]010********* 011201202303 ,11204 ,412 3 4,,5 2,,126 f x f x f x x x x f x f x f x x x x f x x f x x f x x x x x ---===-----= = =----=== --- k x ()k f x 一阶 二阶 -1 -3 1 0 3/ 2 2 4 4 5/6 故所求Newton 二次插值多项式为 ()()[]()[]()() ()()()20010012012,,,35 311126537623P x f x f x x x x f x x x x x x x x x x x x =+-+--=-+ +++-=+- 例2、 设2 ()32f x x x =++,[0,1]x ∈,试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=,{} span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。 解: 若{}span 1,x Φ=,则0()1x ?=,1()x x ?=,且()1x ρ=,这样,有

数值分析实验报告

学生实验报告实验课程名称 开课实验室 学院年级专业班 学生姓名学号 开课时间至学年学期

if(A(m,k)~=0) if(m~=k) A([k m],:)=A([m k],:); %换行 end A(k+1:n, k:c)=A(k+1:n, k:c)-(A(k+1:n,k)/ A(k,k))*A(k, k:c); %消去end end x=zeros(length(b),1); %回代求解 x(n)=A(n,c)/A(n,n); for k=n-1:-1:1 x(k)=(A(k,c)-A(k,k+1:n)*x(k+1:n))/A(k,k); end y=x; format short;%设置为默认格式显示,显示5位 (2)建立MATLAB界面 利用MA TLAB的GUI建立如下界面求解线性方程组: 详见程序。 五、计算实例、数据、结果、分析 下面我们对以上的结果进行测试,求解:

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - - - 7 2 5 10 13 9 14 4 4 3 2 1 13 12 4 3 3 10 2 4 3 2 1 x x x x 输入数据后点击和,得到如下结果: 更改以上数据进行测试,求解如下方程组: 1 2 3 4 43211 34321 23431 12341 x x x x ?? ???? ?? ???? ?? ???? = ?? ???? - ?? ???? - ???? ?? 得到如下结果:

数值分析第四版习题及答案

第四版 数值分析习题 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2%,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1%,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=…) 计算到100Y .(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字. 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞ +? ? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误 差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算61)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 ln(ln(x x =- 计算,求对数时误差有多大?

数值分析第一章作业

西安邮电大学2018级工硕学位课 数值分析第一章作业 1.数值计算方法设计的基本手段是( ). (A) 近似 (B) 插值 (C) 拟合 (D) 迭代 2.为了在有限时间内得到结果,用有限过程取代无限过程所产生的近似解与精确解之间的误差称为( ). (A) 舍入误差 (B) 截断误差 (C) 测量误差 (D) 绝对误差 3.由于计算机的字长有限,原始数据在机器内的表示以及进行算术运算所产生的误差统称为( ). (A) 舍入误差 (B) 截断误差 (C) 相对误差 (D) 绝对误差 4.数值计算方法研究的核心问题可以概括为( )对计算结果的影响. (A) 算法的稳定性 (B) 算法的收敛性 (C) 算法的复杂性 (D) 近似 5.当N 充分大时,利用下列各式计算121N N dx I x +=+?,等式( )得到的结果最好. (A) arctan(1)arctan()I N N =+- (B) 2arctan(1)I N N =++ (C) 21arctan()1I N N =++ (D) 211I N =+ 6. 计算61), 1.4≈,利用下列哪个公式得到的结果最好?为什么? (B) 3(3- (D) 99-7.计算圆柱体的体积,已知底面半径r 及圆柱高h 的相对误差限均不超过5110-?,则计算所得体积的相对误差限如何估计?. 8.已知近似值0.500x *=的误差限*4()510x ε-≤?,32()21f x x x x =---. ①用秦九韶算法计算()f x *. ②求(())f x ε*,并说明x *及()f x *各有几位有效数字. 9. 分析算法011111,,32,1,2,,k k k y y y y y k +-?==???=-=? 的数值稳定性.

数值分析习题集及答案Word版

数值分析习题集 (适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》) 长沙理工大学 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2%,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1%,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=…) 计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求2 1 1N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对 误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 1)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?

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