近三年江苏高考数学命题的特点及教学建议
靖江市第一高级中学展国培
一、近三年江苏卷的命题规律
对2010年是江苏省高考数学试卷的评价褒贬不一，普遍反映较难，甚至认为有部分知识点的考察过偏（有超纲之嫌），但数学人的评价可能不完全相同，因为数学人不会因为“难度分布不当，题型结构不好，“算”与“想”两者比例不尽合理”等等而影响自己的主流判断，更不会轻易否定一份好的试卷，因为起码有两点值得肯定，一是对基础知识、基本技能的考查都基于通性通法，二是作为选拔性考试对思维层次有区分。不仅如此，数学人还会继续拷问“难的道理”是什么，课标、考试说明与教学要求的内容边界怎么界定。对2011年江苏卷来说，社会反响可能是命题组主要考虑的原则。试题偏易，没有区分度。2012年的江苏卷总结了前两年的经验与教训，试题兼顾各个层次的学生，让每个学生都有收获。有足够的基础题（1—13、15、16、17及后三题的第一问分值约为125左右。）但试题又有较好的区分度（14题，后三题的第二问）。因此，2012年的江苏卷特点是很明显的：注重基础，考查能力，兼顾公平。
其实江苏新课程独立命题五年的难易变化是有规律的，出现2010年的情况实属必然。事实上2010年是新课程卷的第三年，2008年作为改革的头一年，“求新”是当年的主题,“求稳”是2009年的核心宗旨，2010年再次唱响了“创新”的主旋律。2011年偏易，2012年调整力度较大。力求创新，回归本质实属必然。一年容易一年难，是不断调整的过程，更是不断优化的机制。
下面就三年试卷的知识点和考点的分布进行归纳，从“稳定”和“变化”两个方面分析，以期从较为理性的角度得到可挖掘的命题空间。
从三年的比较中不难看出：
1.函数仍是全卷比重最大的部分，2012三小题分别考查复合函数的周期性、分段函数单调性和分式函数最值，大题也有两题（17、18题），分别考查多元函数最值及与不等式的综合题，与前两年有所不同，2012年更侧重于函数及其图像性质的考查，重新考查三次函数问题，使最为本质的内容得以回归；小题在考查函数性质（单调、奇偶、最值）时，注重基础，注重考查数学思想方法。
2012年回避了三次函数考察了切线、单调区间、恒成立（值域），考查复合函数的零点问题。2013年如有新题可以关注：一是结合图像判断解的情况（如上一届联考第20题、一模第8题）；二是利用导数转化为二次函数研究；三是结合不等式综合考察等。
函数解答题的常见模式一般是给出含参数的函数解析式，设置阶梯性问题研究此函数性质（常借助导数），往往需要综合运用相关数学知识进行推理论证，也可能是借助此函数的相关特征求参数的取值范围、证明（解）不等式或给出满足要求的构造。
应用题08年以排污管道最优化、09年以经济优化为背景侧重考察的是解模能力，2010年以几何测量为背景的三角应用，2011年图形翻折问题，2012二次函数问题。当然，应用问题考察比较灵活多样，如概率、统计、几何、三角、数列均可作为材料考查，需要专门研究。
最可能的命题方向是以函数为背景，包括分段函数、三角函数等，常常需要结合几何知识或方程、不等式知识解决问题。近年在其他省市高考卷和模拟卷中出现了融合函数(指数函数、对数函数、三角函数等)与圆或椭圆、抛物线融合的应用性问题，这一新变化值得关注。去年很多省市将应用性问题与概率、统计结合起来考查，这方面我省是一块空白，明年我省是否在会应用性问题上作一个创新，考查概率与统计问题。数
列承担着考查逻辑探究、演绎推理的重任，加之数列型应用题建模相对困难，因此出数列应用题的可能性不大。
2. 2012年三角部分以1小题一大题考查，回避了往年的周期、定义（单位圆），三角恒等变换考查的力度较大。三角函数的周期今年没有考，事实上三角函数是刻画周期性现象的数学模型。虽然图像09、10两年都有涉及，但09年是直接给出的，10年要学生自己作出的，11年重复考察解三角形的知识，对图像与变换三年均没有考查，这个知识点是不应该长时间受冷遇。除此，与向量（工具）、与单位圆交汇等均未尝不可。首选题型是三角函数求值题，其次是解三角形或向量与三角整合的问题。
3.数列考查的比重前三年比较稳定，均一大一小两题；2010年小题是等比数列的和，但其关系隐藏较深，拐弯较多；大题只一问，题面简洁、漂亮，紧扣前n项和与通项的关系，揭示数列学习的本真，区分度好，是个难得的考题。2011年的两道数列题比较难，不能真正反映学生的水平。2012年数列小题是基础题，大题比较难，学生普遍反映无从下手。
数列很受命题者重视，常常出新，08年小题考的逐差数阵，大题考察等差数列的子数列能否构成等比的探索题，09年大题、小题都很简单，分别是求等比数列的公比和等差数列通项。其实数列求和的方法十分重要，数列的定义证明也曾出现在高考的解答题中。还要重视如一般数列的转化（简单的递推），如新数列构成的分段函数（前等差、后等比，前增后减等）等题型，考察学生的分析、处理问题的能力绝对有效。
其他省市热衷的递推数列、数列不等式证明在江苏卷中一直不受青睐，今年的数列题应该延续这一风格，坚持出“等差数列、等比数列，一般性质的证明及探究”的问题。另外，是否会给出一个有关数列的相关概念，并在此基础上层层深入的逐次提出问题值得期待。
在平面直角坐标系内，若将坐标点列化，则数列易与解析几何或函数或向量衔接，这方面的试题江苏卷中已销声匿迹多年，事实上，这类问题极易考查学生的创新水平和数学能力，是否会回归同样令人期待。
4.2010年解析几何把直线与圆位置关系的考查从大题迁至小题中，且要求在动与静的两元素（点和线）之间的进行转化，考察对直线与圆本质关系的掌握，思维层次高，解题策略需要不断的优化；另一个小题表面考察焦半径，实质还是离心率（第二定义），没有脱离核心知识；大题在确定考查直线与椭圆后，要创新又怕限制较多，就选择了二次曲线的一个重要的结论（准线上的点与两顶点的连线分别与曲线相交，则另两交点的连线必过其焦点）进行推广，但结论虽优美，思路明确，但计算量却很大，且又人为设计了两个毫不相干的问题，堆积痕迹明显，除了增加几个考查点（求轨迹，直线方程及两直线的交点）外，并无意义。
解析几何小题08、09两年均考查椭圆的离心率，2010年考察双曲线的焦半径，大题08年是与二次函数综合运用，单纯考查过三点的圆，09年考察直线与圆（转化为弦心距），很精彩。
对于解析几何的核心与本质，专家们也是各抒己见，代数与几何各有偏重。复习中一要关注基础（如过三点的圆以及弦长、切线长的求法），二要研究一些经典的解析几何题面（如阿波罗，双定点等）。三要训练与线性规划的综合题，锻炼好学生处理多元变量的能力和意志。
由于圆问题的几何味要重于解析味，10年从考直线与圆变为考椭圆。11年不出意外应该首选考椭圆，内容无外乎求轨迹方程与标准方程、直线与椭圆关系（解二次方程组），且涉及探究内容（定点，定值，共线等）。是否会融合圆与椭圆甚至抛物线，以此为载体出创新型解几题，可以存疑。
5.立体几何没有考小题，大题的难度已适度提高，由于教学要求的限制，点到平面的距离的知识似乎有些“冷僻”或“边缘化”，其实考查并不越矩（教学要求与说明的矛盾），距离的概念既然要了解，棱锥的
体积又要求会求，从知识运用的角度和考查思维灵活性的角度，又何尝不可呢？“冷僻”也好，“边缘化”也罢，适应了，也就习惯了。
立几小题考计算（长度、面积、体积），也不能忽视：一是空间构图问题，二是侧面展开图计算。大题前两年都考察简单的垂直，去年呢寻求点变化，第二问求点到面的距离。三年的几何体（载体）分别是三棱锥、三棱柱、四棱锥。今后大题如有求变，一是载体复杂点，二是探索垂直或平行问题（以算代正），三是需要作出辅助线或辅助平面等，以免阅卷时总在书写的规范上做文章，四是会出现作法题，五是问题形式上由两证变为一证一算。
6.小知识点的考察相对比较稳定，08-10年在复数、几何概型、统计、流程图、集合这六个知识点均以填空题出现，而且思路完全吻合。08、09年分别有向量的模、数量积的题，10年放入到大题中。今后还应当注重概率基本事件的枚举，几何概型测度的选择。
2010年大题增加了向量，考查向量加减法的平行四边形法则及向量的坐标运算，比较基础。如此布局虽与以往不同但仍在意料之中。2010年小题增加了运用不等式性质求最值一题，但由于需要对数式变形，从已知式到要求式有凑配的技巧，高中生久于生疏，可能会寻求另外的解法（线性规划），花费时间就多了。
8.以上的分析既解决了2010年试卷“难的道理”，同时又针对各个知识点的考查提出了“稳”与“变”的设想，当然对2011年的试题研究，更要注意研究三次模拟考试的试卷，各家最后出来的信息卷，一定有启发的。
我对创新的理解：题无常形，惟本质不变；考有定法，须基础最重。
二、教学建议
高一年级
高一阶段数学的教与学中出现的问题：“学生感到难学，教师感到难教”，高一数学相对于初中数学而言, 逻辑推理强，抽象程度高，知识难度大。初中毕业生以较高的数学成绩升入高中后，不适应高中数学教学, 学习成绩大幅度下降，出现了严重的两极分化，过去的尖子生可能变为学习后进生, 甚至，少数学生对学习失去了信心。初中数学教学内容作了较大程度的压缩、上调，中考难度的下调、新课程的实验和新教材的教学使高中数学在教材内容以及高考中都对学生的能力提出了更高的要求，使得原来的矛盾更加突出。1.做好初高中的衔接工作
（１）找准衔接点。数学知识间的联系非常紧密，运用联系的观点提示新知，使学生不仅能顺利接受新知,而且能够认识到新、旧知识间的联系与区别，使知识条理化、系统化。高一数学知识大多是在初中基础上发展而来的，因而从初中知识（衔接点）出发，提出新问题，可以研究得到新知识，比如函数的定义的讲解，可从初中函数定义（衔接点）出发，结合初中所学具体函数加以回顾，再运用映射的观念给这些函数以新的解释，在些基础上对函数重新定义，使新定义的出现水到渠成，易于理解，同时比较新、旧定义，发现原有定义的局限性，又使学生认识得以深化，新知得以掌握和巩固。
（２）做好“衔接点”教材的处理工作。如，在讲解一元二次不等式解法时，应先详细复习二次函数的有关内容，然后疳二次函数、二次不等式、二次方程联系起来进行解决，而一元二次不等式又是一种重要的工具，在代数、三角、解析几何中几乎处处可见，另外，二次函数不但是初中的重要内容，也是高考的“龙头”函数，弄清二次函数的有关内容，对以后的学习指、对函数及三角函数图象的研究到“半两拨千斤”的功效。另一方面，对于学生在初中数学中已经学习过的概念、图形，要作一些整理的工作，使之系统化、条
理化。在教学过程中，要充分利用学生头脑中已有的概念和形象（衔接点），无须作为新知识。重点处理，以便对学生造成不必要的负担，而对于在提法上予以突出。例如函数的概念，在初中组给出了用“变量”描述的经验型的定义，而在高中则从“映射”的高度给出一个理论型的定义。但后者并不摈弃前者，而是把前者作为何供对比，有待深入认识的对象。
2、搞好入学教学
通过入学教育提高学生对初高中衔接重要性的认识，增强紧迫感，消除松懈情绪，初步了解高中数学学习的特点，为其它措施的落实奠定基础，这里主要做好四项工作：一是给学生讲清高一数学在整个中学数学中所占的位置和作用；二是结合实例，采取与初中对比的方法，给学生讲清高中数学内容体系特点和课堂教学特点；三是结合实例给学生讲明初高中数学在学法上存在的本质区别，并向学生介绍一些优秀学法，指出注意事项；四是请高年级学生谈体会讲感受，引导学生少走弯路，尽快适应高中学习。我们在高一教学中，注意运用情感和成功原理，调动学生学习热情，培养学习数学兴趣。学生学不好数学，少责怪学生，要多找自己的原因。要深入学生当中，从各方面了解关心他们，特别是差生，帮助他们解决思想、学习及生活上存在的问题。重视培养学生正确对待困难和挫折的良好心理素质。由于高中数学的特点，决定了高一学生在学习中的困难大挫折多。为此，我们在教学中注意培养学生正确对待困难和挫折的良好心理素质，使他们善于在失败面前，能冷静地总结教训，振作精神，主动调整自己的学习，并努力争取今后的胜利。平时多注意观察学生情绪变化，开展心理咨询，做好个别学生思想工作。通过建立多渠道的反馈途径，及时收集学生对知识的掌握情况和对教学的意见，为及时矫上学生的错误，调整教学，提高教学针对性提供依据。知识落实的思路为：以落实“三基”为中心，实行分层落实，做到提优补差。主要措施是：平时练习层次化，单元结束考查制度化，做到章节会，单元清。
3、培养学生学法习惯
对高一新生来讲确实困难较大。因此，在教学中，应从高一学生实际出发，采取“低起点、小梯度、多训练、分层次”的方法，将教学目标分解成若干递进层次逐层落实。在速度上，放慢起始进度，逐步加快教学节奏。在知识导入上，多由实例和已知引入。在知识落实上，先落实“死”课本，后变通延伸用活课本。在难点知识讲解上，从学生理解和掌握的实际出发，对教材作必要处理和知识铺垫，注意教学内容和方法的衔接。重视培养学生自我反思自我总结的良好习惯，提高学习的自觉性。高中数学概括性强，题目灵活多变，只靠课上听懂是不够的，需要课后进行认真消化，认真总结归纳。这就要求学生应具备善于自我反思和自我总结的能力。为此，我们在教学中，抓住时机积极培养。在单元结束时，帮助学生进行自我章节小结，在解题后，积极引导学生反思：思解题思路和步骤，思一题多解和一题多变，思解题方法和解题规律的总结。由此培养学生善于进行自我反思的习惯，扩大知识和方法的应用范围，提高学习效率。
高中数学教学要把对学生加强学法指导作为教学的重要任务之一。指导以培养学习能力为重点，狠抓学习基本环节，如“怎样预习”、“怎样听课”等等。具体措施有三：一是寓学法指导于知识讲解、作业讲评、试卷分析等教学活动之中，这种形式贴近学生学习实际，易被学生接受；二是举办系列讲座，介绍学习方法；三是定期进行学法交流，同学间互相取长补短，共同提高。良好的学习方法和习惯，不但是高中阶段学习上的需要，还会使学生受益终生。但好的学习方法和习惯，一方面需教师的指导，另一方面也靠老师的强求。教师应向学生介绍高中数学特点，进行学习方法的专题讲座，帮助学生制订学习计划。这里，重点是会听课和合理安排时间。听课时要动脑、动笔、动口，参与知识的形成过程，而不是只记结论。教师应有针对性地
向学生推荐课外辅导书，以扩大知识面。提倡学生进行章节总结，把知识串成线，做到书由厚读薄，又由薄变厚。期中、期末都要召开学习方法交流会，让好的学习方法成为全体学生的共同财富。
高二年级
高二年级的理科数学教学内容较多、高考中以中档题偏多。因此，必须注重基础。不要盲目拔高。文科内容较少，可开展一些研究性学习，培养学生的问题意识、探究能力、建模能力等。
高三年级
以练代讲，盲目综合是备考中的两大极端错误的倾向。具体：
一、训练不到位
不是训练的数量，而是训练的质量。训练的有效性、针对性上没有到位。主要表现在：选题质量不高；综合性的套卷训练过于频繁，学生乏味；纠错不力，缺少跟踪、反复等后续的环节。
二、研究不透切
对高考题的重点、热点、核心知识点研究缺乏，忽视教材作用。突破老大难（运算、审题、作图）缺乏有效的策略。一味地强调基础，忽视能力题对基础的强化作用。
三、全面关注学生不够
学生没有反思的时间。教师总以为不讲的东西学生就不会做，讲过的、练过的就应该会做，一节课中想解决所有的问题。不看学生的“错题集”，没有针对性的突破蹩脚的题目给与学生。
四、课堂效率不高
主要表现为：目标意识不强，复习课缺少目标统领。缺乏思想方法、解题策略的概括与指导；思维量不足，学科特点体现不够。讲评课效率太低。
1．考题再现：
2008年
8．设直线是12
y x b =+曲线ln (0)y x x =>的一条切线，则实数b 的值是 。 9．如图，在平面直角坐标系xoy 中，设三角形ABC 的顶点分别为(0,A a B b C
，点(0,)P p 在线段AO 上的一点（异于端点），这里,,,a b c p 均为非零实数，设直线,BP CP 分别与边,AC AB 交于点,E F ，某同学已正确求得直线OE 的方程为11110x y b c p a ????-+-= ? ?????，请你完成直线OF 的方
程： 。
12．
18．在平面直角坐标系xOy 中，记二次函数2
()2f x x x b =++（x ∈R ）与两坐标轴有三个交点．经过三个交点的圆记为C ．（1）求实数b 的取值范围；（2）求圆C 的方程；（3）问圆C 是否经过定点（其坐标与b 的无关）？请证明你的结论． 2009年
13．
18．（本小题满分16分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:(3)(1)4C x y ++-=和圆222:(4)(5)4C x y -+-=
l 的方程； （1）若直线l 过点(4,0)A ，且被圆1C 截得的弦长为
对互相垂的直线12,l l ，它（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多
们分别与圆1C 和圆2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的
弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标.
2010年
椭圆22
195
x y +=的左右18.（16分）在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知顶点为A,B ，右顶点为F ，设过点(,)T t m 的直线TA,TB 与椭圆分别交于点1122(,),(,)M x y N x y ，其中0m >，120,0y y >< ①设动点P 满足224PF PB -=，求点P 的轨迹 ②设1212,3
x x ==，求点T 的坐标 ③设9t =，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点
（其坐标与m 无关）
2012年
8． 12． 19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -。已知点(1,)e
和(e 都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率。 （1）求椭圆的方程；
（2）设,A B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线1AF 与直线2BF 平行，2AF 与1BF 交与点P 。（ⅰ）
若12AF BF -=
求直线1AF 的斜率；
（ⅱ）求证：12PF PF +是定值。
x