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【考点28】椭圆、双曲线、抛物线
2009年考题
1.（2009浙江高考）过双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线
的两条渐近线的交点分别为,B C ．若1
2
AB BC =
，则双曲线的离心率是 ( )
A B C D 【解析】选C.对于(),0A a ，则直线方程为0x y a +-=，直线与两渐近线的交点为B ，C ，
22,,(,)a ab a ab B C a b a b a b a b
??- ?++--??，则有222222
22(,),,a b a b ab ab BC AB a b a b a b a b ??
=-=- ?--++??，
因222,4,AB BC a b e =∴=∴
2.（2009浙江高考）已知椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且
BF x ⊥轴，直线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是（ ）
A ．
B ．
C ．13
D ．
12【解析】选D.对于椭圆，因为2AP PB =，则12,2,2
OA OF a c e =∴=∴=.
3.（2009 ）（A ）22124x y -= （B ）22
142x y -= （C ）22146x y -= （D ）221
410
x y -=
【解析】选B.由2
e =得2222223
31,1,222c b b a a a =+==.
4.（2009福建高考）若双曲线()22
2213
x y a o a -=>的离心率为2，则a 等于（ ）
A. 2
B.
C.
3
2
D. 1
【解析】选D.由2222123x y a a
-=∴==c 可知虚轴离心率e=a ，解得a=1或a=-1
（舍去）.
5.（2009海南宁夏高考）双曲线24x -2
12
y =1的焦点到渐近线的距离为（ ）
（A
） （B ）2 （C
（D ）1
【解析】选A.双曲线24x -2
12y =1的焦点(4,0)
到渐近线y =
的距离为d ==6.（2009山东高考）设双曲线12222=-b
y a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2
+1 只有一个公共点，则双曲线的
离心率为( ).
A.
45 B. 5 C. 2
5
D.5 【解析】选D.双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线为x a b y =,由方程组21
b y x
a y x ?
=???=+?,
消去y,得2
10b x x a -
+=有唯一解,所以△=2()40b
a
-=, 所以2b a =±
,2c e a ====
7.（2009山东高考）设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ).
A.24y x =±
B.28y x =±
C. 24y x =
D. 28y x =
【解析】选B.抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F 坐标为(,0)4a
,则直线l 的方程为2()4
a y x =-, 它与y 轴的交点为A (0,)2a -,所以△OAF 的面积为1||||4242
a a
?=,解得8a =±. 所以抛物线方程为2
8y x =±.
8.（2009天津高考）设双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线
方程为（ ）
A x y 2±=
B x y 2±=
C x y 2
2
±
= D x y 21±=
【解析】选C.由已知得到2,3,122=-===b c a c b ，因为双曲线的焦点在x 轴上，
故渐近线方程为x x a b y 2
2±=±
=. 9.（2009全国Ⅰ）设双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切，则该双曲线的离
心率等于( )
（A （B ）2 （C （D
【解析】选C.设切点00(,)P x y ，则切线的斜率为0'
0|2x x y
x ==.由题意有
00
2y x x =又2001y x =+，解得:
201,2,b x e a =∴==
10.（2009全国Ⅱ）双曲线13
62
2=-y x 的渐近线与圆)0()3(222>=+-r r y x 相切，则r=（ ） （A ）3 （B ）2 （C ）3 （D ）6
【解析】选A.本题考查双曲线性质及圆的切线知识，由圆心到渐近线的距离等于r ，可求r=3.
11.（2009江西高考）过椭圆22
221x y a b
+=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点
P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=，则椭圆的离心率为
A ．
2 B C ．12 D ．
13
【解析】选B.因为2(,)b P c a -±，再由12
60F PF ∠=时有232,b a a =从而可得c e a ==12.（2009江西高考）设1F 和2F 为双曲线22
221x y a b
-=(0,0a b >>)的两个焦点, 若12F F ，，(0,2)P b 是
正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为（ ）
A ．
32 B ．2 C ．5
2
D ．3
【解析】选B.由tan
6
2c b π
=
=
有2222
344()c b c a ==-,则2c e a ==.
13.（2009四川高考）已知双曲线22
21(0)2x y b b
-=>的左右焦点分别为12,F F ，
其一条渐近线方程为y x =，
点0)P y 在该双曲线上，则12PF PF ?=（ ）
A. 12-
B. 2- C .0 D. 4
【解析】选C 。方法一：由题知22b =
，故0121,(2,0),(2,0)y F F ==±-，
∴12(21
)(21)3410PF PF ?=-±?±=-+=. 方法2：根据双曲线渐近线方程可求出双曲线方程
22
122
x y -=，则左、右焦点坐标分别为12(2,0),(2,0)F F -
，再将点0)P y
代入方程可求出1)P ±，则可得120PF PF ?=，故选C 。
14.（2009湖南高考）抛物线28y x =-的焦点坐标是（ ）
A ．（2，0）
B ．（- 2，0）
C ．（4，0）
D ．（- 4，0） 【解析】选B.由2
8y x =-,易知焦点坐标是(,0)(2,0)2
p
-
=-，故选B. 15. （2009广东高考）已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x
G 上一点到 G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为 ．
【解析】23
=e ，122=a ，6=a ，3=b ，则所求椭圆方程为
193622=+y x . 答案:
19
362
2=+y x . 16. （2009福建高考）过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作倾斜角为45的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则p =________________
【解析】由题意可知过焦点的直线方程为2p y x =-，联立有222
23042
y px
p x px p y x ?=??-+=?=-
??
，又82AB p ==?=。
答案:2.
17.（2009辽宁高考）已知F 是双曲线
22
1412
x y -=的左焦点，(1,4),A P 是双曲线右支上的动点，则
PF PA +的最小值为 。
【解析】注意到P 点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为F’(4,0),于是由双曲线性质 |PF|－|PF′|＝2a ＝4而|PA|＋|PF’|≥|AF’|＝5两式相加得|PF|＋|PA|≥9, 当且仅当A 、P 、F’三点共线时等号成立. 答案:9
18.（2009北京高考）椭圆22
192
x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若1||4PF =，则2||PF =_________； 12F PF ∠的小大为__________.
【解析】本题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理. 属 于基础知识、基本运算的考查.
∵2
2
9,3a b ==，
∴c ==
∴12F F =
又1124,26PF PF PF a =+==，∴22PF =，
又由余弦定理，得(2
22
12241
cos 224
2
F PF +-∠=
=-??，
∴12120F PF ?
∠=，故应填2,120?
.
答案:2120?
19. （2009上海高考）已知1F 、2F 是椭圆1:22
22=+b
y a x C （a ＞b ＞0）的两个焦点，P 为椭圆C 上一
点，且21PF PF ⊥.若21F PF
?的面积为9，则b =____________.
【解析】依题意，有121222212||||2||||18||||4PF PF a
PF PF PF PF c
?+=?
=??+=?，可得4c 2＋36＝4a 2，
即a 2－c 2＝9，故有
b ＝3。 答案：3
20. （2009重庆高考）已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，
若椭圆上存在一点P 使
1221
sin sin a c
PF F PF F =
，则该椭圆的离心率的取值范围为 ． 【解析】方法1，因为在12PF F ?中，由正弦定理得
21
1221
sin sin PF PF PF F PF F =
则由已知，得
21
a c
PF PF =
，即12aPF cPF = 设点P 00(,)x y ，由焦点半径公式，得1020,PF a ex PF a ex =+=-则00()()a a ex c a ex +=- 记得0()(1)()(1)a c a a e x e c a e e --=
=++由椭圆的几何性质知0(1)
(1)
a e x a a e e ->->-+则，
整理得2210,e e +->
解得11(0,1)e e e <>∈或，又，
故椭圆的离心率1,1)e ∈ 方法2 由方法1知12c
PF PF a
=
由椭圆的定义知
2
12222222c a PF PF a PF PF a PF a c a +=+==+则即，由椭圆的几何性质知
2
2222,,20,a PF a c a c c ac a c a
<+<++->+则即所以2210,e e +->以下同解析1.
答案：
)
1,1
21.（2009湖南高考）已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为端点的四边形中， 有一个内角为60°，则双曲线C 的离心率为________.
【解析】连虚轴一个端点、一个焦点及原点的三角形，由条件知，这个三角形的两直角边分别是,(b c b 是虚半轴长，c 是焦半距)，且一个内角是30?
，即得
tan 30b
c
?=
，所以c =
，所以a =
，离心率c e a =
==
答案：
2
22.（2009湖南高考）过双曲线C ：22221x y a b
-=(0,0)a b >>的一个焦点作圆222
x y a +=的两条切线，
切点分别为A ，B ，若120AOB ∠=（O 是坐标原点），则双曲线线C 的离心率为 .
【解析】 12060302AOB AOF AFO c a ∠=?∠=?∠=?=, 2.c e a ∴=
=
答案：2.
23.（2009四川高考）抛物线24y x =的焦点到准线的距离是 . 【解析】焦点F （1，0），准线方程1-=x ，∴焦点到准线的距离是2 答案：2
24.（2009安徽高考）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>上，00cos ,sin ,0.
2x a y b π
βββ==<<直线2l 与直线00
122:
1x y l x y a b
+=垂直，O 为坐标原点，直线OP 的倾斜角为α，直线2l 的倾斜角为γ. （I ）证明: 点P 是椭圆22
221x y a b
+=与直线1l 的唯一交点；
（II ）证明:tan ,tan ,tan αβγ构成等比数列.
【解析】（I ）方法一：由00221x y x y a b +=得22
020
(),b y a x x a y =-代入椭圆22221x y a b +=,
得2222
200242222000
21()(1)0b x b x b x x a a y a y y +-+-=.
将00cos sin x a y b ββ
=??
=?代入上式,得222
2cos cos 0,x a x a ββ-?+=从而cos .x a β=
因此,方程组22
22
002
211
x y a b x y x y a b ?+=????+=??有唯一解00x x y y =??=?,即直线1l 与椭圆有唯一交点P.
方法二：显然P 是椭圆与1l 的交点，若Q 111(cos ,sin ),02a b βββπ≤<是椭圆与1l 的另外交点，代入1l 的方程
cos sin 1x y a b
ββ+=，得11cos cos sin sin 1,ββββ+= 即11cos()1,,ββββ-==故P 与Q 重合。
方法三：在第一象限内，由22221x y a b
+=
可得0y y == 椭圆在点P
处的切线斜率20
020
(),b x k y x a y '===-
切线方程为20
0020
(),b x y x x y a y =--+即00221x x y y a b +=。
因此，1l 就是椭圆在点P 处的切线。
根据椭圆切线的性质，P 是椭圆与直线1l 的唯一交点。
（II ）00tan tan ,y b
x a αβ==1l 的斜率为2020,x b y a -2l 的斜率为2020tan tan ,y a a x b b
γβ==
由此得2tan tan tan 0,αγβ=≠tan ,tan ,tan αβγ构成等比数列。
25.（2009福建高考）已知A,B 分别为曲线C ： 22x a
+2
y =1（y ≥0,a>0）与x 轴的左、右两个交点，
直线l 过点B,且与x 轴垂直，S 为l 上异于点B 的一点，连结AS 交曲线C 于点T. (Ⅰ)若曲线C 为半圆，点T 为圆弧AB 的三等分点，试求出点S 的坐标；
（II ）如图，点M 是以SB 为直径的圆与线段TB 的交点，试问：是否存在a ,使得O,M,S 三点共线？
若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由。
【解析】方法一：(Ⅰ)当曲线C 为半圆时，1,a =如图，由点T 为圆弧AB 的三等分点得 ∠BOT=60°或120°.
(1)当∠BOT=60°时, ∠SAB=30°.
又AB=2,故在△SAB 中,有tan 30SB AB s =??=
∴
(2)当∠BOT=120°时,同理可求得点S 的坐标为,综上, S 或
(Ⅱ)假设存在(0)a a >,使得O,M,S 三点共线. 由于点M 在以SB 为直线的圆上,故BT OS ⊥.
显然,直线AS 的斜率k 存在且k>0,可设直线AS 的方程为()y k x a =+.
由22
2222242221
(1)20()x y a k x a k x a k a a
y k x a ?+=?+++-=??=+?
得 设点42222(,),(),1T T T a k a T x y x a a k -∴-=+故32221T a a k x a k
-=+,从而22
2()1T T ak
y k x a a k =+=+. 即322222
2(,).11a a k ak T a k a k -++
322222
22(,0),(,)11a k ak
B a BT a k a k -∴=++
由()x a y k x a =??=+?
得(,2),(,2).s a ak OS a ak ∴=
由BT OS ⊥,可得4222
22
2401a k a k BT OS a k -+?==+
即4222240a k a k -+=
0,0,k a a >>∴经检验
,当a =,O,M,S 三点共线.故存在a =使得O,M,S 三点共线. 方法二:(Ⅰ)同方法一.
(Ⅱ)假设存在a,使得O,M,S 三点共线.
由于点M 在以SO 为直径的圆上,故SM BT ⊥.
显然,直线AS 的斜率k 存在且K>0,可设直线AS 的方程为()y k x a =+ 由22
2223242221
(1)20()x y a k x a k x a k a a
y k x a ?+=?+++-=??=+?
得 设点(,)T T T x y ,则有422
22
().1T a k a x a a k -?-=+
故323222222222
22,()().1111T T T a a k ak a a k ak
x y k x a T a k a k a k a k
--==+=?++++从而亦即 221
(,0),,T BT SM T y B a k k a k x a a k
∴==-=-故
由()
x a
y k x a =??
=+?得S(a,2ak),所直线SM 的方程为22()y ak a k x a -=- O,S,M 三点共线当且仅当O 在直线
SM 上,即22()ak a k a -=-
.
0,0,a K a >>∴a 使得O,M,S 三点共线.
2008年考题
T
M
1．（2008海南宁夏高考）已知点P 在抛物线24y x =上，那么点P 到点(21)Q -，的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ ）
A ．1
14??- ???
，
B ．114??
???
，
C ．(12)，
D ．(12)-，
【解析】选A 点P 到抛物线焦点距离等于点P 到抛物线准线距离，如图，
PF PQ PS PQ +=+,故最小值在,,S P Q 三点共线时取得，
此时,P Q 的纵坐标都是1-，所以选A （点P 坐标为1
(,1)4
-）。
2．（2008海南、宁夏高考）双曲线
22
1102
x y -=的焦距为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【解析】选D.由双曲线方程得22210,212==∴=a b c ，于是==c c ，选Ｄ. 3．（2008山东高考）设椭圆C 1的离心率为
13
5
，焦点在X 轴上且长轴长为26．若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为（ ）
（A ）1342222=-y x (B)151322
22=-y x
(C)1432222=-y x (D)112
1322
22=-y x
【解析】选A.本题考查椭圆、双曲线的标准方程。对于椭圆1C ，13,5,a c ==
曲线2C 为双曲线，5,c =4a =，3,b =标准方程为：22
22 1.43
x y -=
4．（2008山东高考）已知圆22:6480C x y x y +--+=．以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 ．
【解析】本小题主要考查圆、双曲线的性质。圆2
2
:6480C x y x y +--+=
20680,y x x =?-+=得圆C 与坐标轴的交点分别为(20),，
(40),， 则2
2,4,12,a c b ===所以双曲线的标准方程为
221412
x y -=。
答案：22
1412
x y -=
5．（2008江苏高考）在平面直角坐标系中，椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的焦距为2，以O 为圆心，a 为
半径作圆，过点P 2
(,0)a c
作圆的两切线互相垂直，则离心率e = 。
【解析】本小题考查椭圆的基本量和直线与圆相切的位置关系。 如图，切线,PA PB 互相垂直，又OA PA ⊥，所以OAP ?是
等腰直角三角形，故2a c =
，解得2
c e a ==。
6．（2008海南宁夏高考）设双曲线
22
1916
x y -=的右顶点为A ，右焦点为F ．过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为 ．
【解析】双曲线的右顶点坐标(3,0)A ，右焦点坐标(5,0)F ，设一条渐近线方程为4
3
y x =
， 建立方程组22
4(5)3
1
916
y x x y ?=-????-=??，得交点纵坐标3215y =-，从而13232
221515
AFB
S =
??= 答案：
15
32
7．（2008海南宁夏高考）过椭圆22
154
x y +=的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为______________
【解析】将椭圆与直线方程联立：()
224520021x y y x ?+-=??=-??，得交点()540,2,,33A B ??
- ???；
故121145
122233
OAB S OF y y =??-=??+=； 答案：53
2007年考题
1、（2007海南宁夏高考）已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点111222()()P x y P x y ，，，，333()P x y ，在抛物线上，且2132x x x =+， 则有（ ） Ａ．123FP FP FP +=
Ｂ．2
2
2
123FP FP FP +=
Ｃ．2132FP FP FP =+ Ｄ．22
1
3FP FP FP =· 【解析】选C.由抛物线定义，2132()()(),222
p p p
x x x +
=+++即：2132FP FP FP =+. 2、（2007全国Ⅰ）已知双曲线的离心率为2，焦点是(4,0)-，(4,0)，则双曲线方程为
A ．
221412x y -= B ．221124x y -= C ．221106x y -= D ．22
1610
x y -= 【解析】选A 。已知双曲线的离心率为2，焦点是(4,0)-，(4,0)，则c =4，a =2，212b =，双曲线方程
为
221412
x y -=. 3、（2007全国Ⅱ）设F 1，F 2分别是双曲线22
221x y a b
-=的左、右焦点。若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2=90o，
且|AF 1|=3|AF 2|，则双曲线离心率为
(A)
2
(B)
2
(C) 2
(D)
【解析】选B 。设F 1，F 2分别是双曲线22
221x y a b
-=的左、右焦点。若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2=90o，
且|AF 1|=3|AF 2|，设|AF 2|=1，|AF 1|=3，双曲线中122||||2a AF AF =-=，
2c ==
∴ 离心率e =
. 4、（2007全国Ⅱ）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ）
A ．
1
3
B C ．
12
D
【解析】选D 。已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，∴ 2a b =，椭圆的离心率c e a =
=
.
5、（2007全国Ⅱ）设12F F ，分别是双曲线2
2
19
y x -=的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且120PF PF =，
则12PF PF +=（ ）
A
B ．
C
D ．【解析】选B 。设12F F ，分别是双曲线2
2
19
y x -=的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且120PF PF =，
则12PF PF +=2||PO =12||F F =6、（2007安徽高考）椭圆2241x y +=的离心率为（ ）
（A ）
2
3
（B ）
4
3 （C ）
2
2 （D ）
3
2
【解析】选A 。椭圆2241x y +=中，11,2a b ==
，∴c =2
3. 7、（2007江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线中心在原点，焦点在y 轴上，一条渐近线方程为
20x y -=，则它的离心率为（ ）
A B C D ．2 【解析】选A.由
a b b a 221==得 a b a c 522=+= ，5==a
c
e . 8、（2007福建高考）以双曲线
22
1916
x y -=错误！未找到引用源。的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是
A 错误！未找到引用源。
B 错误！未找到引用源。
C 错误！未找到引用源。
D 错误！未找到引用源。 【解析】选A.右焦点即圆心为（5，0），一渐近线方程为x y 34=，即034=-y x ，45
|
020|=-=r ，圆方程为16)5(2
2
=+-y x ，即A 错误！未找到引用源。.
9、（2007江西高考）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1
e 2=，右焦点为(0)F c ，
，方程20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点12()P x x ，（ ）
Ａ．必在圆222x y +=内 Ｂ．必在圆222x y +=上 Ｃ．必在圆222x y +=外
Ｄ．以上三种情形都有可能
【解析】选A.由1e 2=
=a c 得a=2c ，b=c 3，所以2
1,232121====+a c x x a b x x ，所以点12()P x x ， 到圆心（0，0）的距离为24
7
1432)(212212
22
1<=+=
-+=
+x x x x x x ，所以点P 在圆内. 10、（2007辽宁高考）设P 为双曲线2
2
112
y x -=上的一点，12F F ，是该双曲线的两个焦点，若12||:||3:2PF PF =，则12PF F △的面积为（ ）
A ．
B ．12
C ．
D ．24
【解析】选B.因为12||:||3:2PF PF =，设x PF x PF 2||,3||21==， 根据双曲线定义得2223||||21===-=-a x x x PF PF ，
所以132||,4||,6||2121===F F PF PF ，∵2224652)132(+==，
∴12PF F △为直角三角形，其面积为
12462
1
=??. 11、（2007辽宁高考）双曲线
22
1169
x y -=的焦点坐标为（ ）
A ．(，
B ．(0，(0
C ．(50)-，，(50)，
D ．(05)-，，(05)，
【解析】选C.因为a=4，b=3，所以c=5，所以焦点坐标为(50)-，，(50)，. 12、（2007陕西高考）抛物线y x =2的准线方程是（ ）
（A ）4y +1=0 (B)4x +1=0 (C)2y +1=0 (D)2x +1=0 【解析】选A .P=
21，准线方程为y=4
1
2-=-P ，即014=+y . 13、（2007陕西高考）已知双曲线C ：122
22=-b
y c a (a ＞0,b ＞0),以C 的右焦点为圆心且与C 的浙近线相切
的圆的半径是（ ）
A.ab
B.2
2
b a + C.a D.b
【解析】选D.圆的半径是（C ，0）到渐近线x a b
y =
的距离，所以R=b c bc a
b a b
c ==+?-22|0|.
14、（2007广东高考）在直角坐标系xOy 中,有一定点A （2，1）。若线段OA 的垂直平分线过抛物线22(0)y px p =>的焦点，则该抛物线的准线方程是______;
【解析】OA 的垂直平分线的方程是y-12(1)2x =--，令y=0得到x=54
. 答案：5
4
x =
. 15、（2007广东高考）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线关于x 轴对称，顶点在原点O ，且过点P(2,4)，则该抛物线的方程是 ．
【解析】设所求抛物线方程为2y ax =,依题意2
428a a =?=,故所求为2
8y x =.
答案:2
8y x =
16、（2007山东高考）设O 是坐标原点，F 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，A 是抛物线上的一点，FA
与x 轴正向的夹角为60?
，则OA 为________.
【解析】过A 作AD x ⊥轴于D ，令FD m =，则2FA m =，2p m m +=，m p =。
.2
OA p ∴==
答案:
2
p 17、（2007江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC ?顶点(4,0)A -和(4,0)C ，
顶点B 在椭圆
19
2522=+y x 上，则sin sin sin A C
B +=________. 【解析】利用椭圆定义和正弦定理 得 1052=?=+c a b=2×4=8
sin sin sin A C B +=45
810==+b c a
答案:54
18、（2007上海高考）已知双曲线22
145
x y -=，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为_____
y
x
【解析】双曲线22
145
x y -=的中心为O （0,0），该双曲线的左焦点为F （－3,0）则抛物线的顶点为
（－3,0），焦点为（0,0），所以p=6，所以抛物线方程是212(3)y x =+ 答案:)3(122+=x y
19、（2007上海高考）以双曲线15
42
2=-y x 的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是 ．
【解析】双曲线22
145
x y -=的中心为O （0,0），该双曲线的右焦点为F （3,0）则抛物线的顶点为（0,0），焦点为（3,0），所以p=6，所以抛物线方程是)212y x =. 答案:212y x =
20、（2007福建高考）已知正方形ABCD ，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为__________；
【解析】设c=1，则121
21
2122222-=+==?+=?=-?=a
c e a a c a a b ，
答案1
21、（2007福建高考）已知长方形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为 。
【解析】由已知C=2，2
1
42,43433222====?=-?=?=a c e a a a a b a b 答案:
1
2
22、（2007海、宁高考）已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为________．
【解析】如图，过双曲线的顶点A 、焦点F 分别 向其渐近线作垂线，垂足分别为B 、C ，则
||||6
3.||||2
OF FC c OA AB a =?== 答案:3
23、（2007重庆高考）过双曲线42
2
=-y x 的右焦点F 作倾斜角为0
105的直线，交双曲线于P 、Q 两点，
1则|FP|?|FQ|的值为__________. 【解析】
(22,0),
F 0tan105(2k ==-
:(2l y x ∴=--
代入422=-y x
得：2(6600.x x +-+++=
设11221212(,),(,).P x y Q x y x x x x ?+=
?=
又12|||FP x FQ x =-=-
21212||||(1)|)8|
(8|8|FP FQ k x x x x ∴?=+-++=+?=
=
答案
24、（2007上海高考）我们把由半椭圆12222=+b y a x (0)x ≥与半椭圆122
22=+c
x b y (0)x ≤合成的曲线
称作“果圆”，其中222c b a +=，0>a ，0>>c b ．
如图，设点0F ，1F ，2F 是相应椭圆的焦点，1A ，2A 和1B ，2B 是“果圆” 与x ，y 轴的交点，M 是线段
21A A 的中点．
（1）若012F F F △是边长为1的等边三角形，求该 “果圆”的方程；
（2）设P 是“果圆”的半椭圆122
22=+c
x b y
(0)x ≤上任意一点．求证：当
PM 取得最小值时，
P 在点12B B ，或1A 处；
（3）若P 是“果圆”上任意一点，求PM 取得最小值时点P 的横坐标． 【解析】（1）
(
(012(0)00F c F F ，
，，，，
021211F F b F F ∴
=
==，，
于是222237
44
c a b c ==+=，，
所求“果圆”方程为2241(0)7x y x +=≥，224
1(0)3y x x +=≤．
（2）设()P x y ，
，则 2
2
2
2||y c a x PM +??? ?
?--=
22
222()1()04b a c x a c x b c x c ??-=---++- ??
?，≤≤，
0122
<-c
b ，∴ 2||PM 的最小值只能在0=x 或
c x -=处取到．
即当PM 取得最小值时，P 在点12B B ，或1A 处．
（3）||||21MA M A = ，且1B 和2B 同时位于“果圆”的半椭圆22
221(0)x y x a b
+=≥和半椭圆
22221(0)y x x b c +=≤上，所以，由（2）知，只需研究P 位于“果圆”的半椭圆22
221(0)x y x a b
+=≥上的情形即可．
2
2
22||y c a x PM +??? ??--=2
22222
22224)(4)(2)(c c a a c a b c c a a x a c ---++??
????--=． 当22()2a a c x a c -=≤，即2a c ≤时，2
||PM 的最小值在2
2
2)(c c a a x -=时取到，此时P 的横坐标是2
22)
(c
c a a -． 当a c
c a a x >-=2
22)
(，即c a 2>时，由于2||PM 在a x <时是递减的， 2||PM 的最小值在a x =时取到，此时P 的横坐标是a ．
综上所述，若2a c ≤，当||PM 取得最小值时，点P 的横坐标是2
22)
(c c a a -；
若c a 2>，当||PM 取得最小值时，点P 的横坐标是a ．
25、（2007广东高考）在平面直角坐标系xoy
中，已知圆心在第二象限、半径为C 与直线
y x =相切于坐标原点O ．椭圆22219
x y a +=与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10．
(1)求圆C 的方程；
(2)试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】 (1)设圆心坐标为(m ，n)（m<0，n>0）,则该圆的方程为(x-m)2+(y-n)2=8已知该圆与直线y=x 相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则
2
n m -=22 即n m -=4 ①
又圆与直线切于原点，将点(0，0)代入得 m 2+n 2=8 ② 联立方程①和②组成方程组解得
?
?
?=-=22
n m 故圆的方程为(x+2)2+(y-2)2=8
(2)a =5，∴a 2=25，则椭圆的方程为 +
=1
其焦距c=925-=4，右焦点为(4，0)，那么OF =4。
要探求是否存在异于原点的点Q ，使得该点到右焦点F 的距离等于OF 的长度4，我们可以转化为探求以右焦点F 为顶点，半径为4的圆(x─4)2+y 2=16与(1)所求的圆的交点数。
通过联立两圆的方程解得x=54
，y=512 即存在异于原点的点Q(54，5
12
)，使得该点到右焦点F 的距离等于OF 的长。
252
x
9
2
y