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关于弧长概念的思考
作者：彭娟范周田黄秋梅
来源：《教育教学论坛》2015年第48期
摘要：在高等数学教材中，介绍弧微分定义是在给出曲线弧长定义之前，其中用到了曲线弧上两点非常接近时弧长与弦长之比极限为这一结论，由于学生很难理解，本文提出了两个解决方案。
关键词：弧长；弦长；第一个重要极限
中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2015）48-0244-02
度量问题是数学中一个非常古老的问题，而长度的度量是最常用的。有关长度的度量都以线段的长度定义为基础，例如计算平面上一段曲线的弧长，最早也是最直接的方法是用一些直线段来作出和曲线相似的形状，以直线段的长度代替曲线的弧长。仅凭直觉，关于曲线的弧长认识往往存在偏差，下面是一个典型的例子。
一、一个有趣的错误
如图1，有一个直径为1的圆C，其长为L，在圆外作一个边长为1的外切正方形C1，其长为4；然后将正方形的四个角向内折，使得直角的顶点接触圆的边（见图2），这时曲线C2的长度仍为4；进一步将曲线C2的8个向外突出的直角内折，使直角的顶点接触圆的边（见图3），形成的曲线C3长度仍不变。同法，每次将曲线Cn-1的向外突出的直角内折，使其直角的顶点接触圆的边，得到曲线Cn，其长度一直不变。随着n的增大，曲线Cn越来越接近曲线C，所以曲线C的长度L=4，由此得到圆周率=圆周长/直径=4。
上面的做法隐含了这样一个假设：如果n趋于无穷时，曲线列Cn趋于曲线C，则曲线列Cn的长趋于曲线C的长。实际上，这个假设不成立。下面看一个反例。
二、有关弧微分和弧长定义的先后顺序问题
在多数《高等数学》教材的内容安排上，都是先讲授一元函数微分学，后讲积分学。为了介绍曲率都先给出弧长的微分的定义。
这里试图给出弧微分公式的推导，但其中用到的弧长与弦长之比趋于1这个暂时无法证明的结论，反而使得学生更难以理解，怎么解决大家的疑惑呢？有两种处理方法。
方法一：给个具体实例。
在第一个重要极限的证明中，我们做了一个单位圆，如图8。