高考数学备考之 放缩技巧
证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：
一、裂项放缩
例1.(1)求∑=-n k k 12142的值; (2)求证:35112
<∑=n
k k . 解析:(1)因为
121121)12)(12(21
422+--=+-=
-n n n n n ,所以12212111
4212
+=+-=-∑=n n n k n k (2)因为
??? ??+--=-=-
<1211212144
4
11
1
222
n n n n n ,所以35321121121513121112=+
k 技巧积累:(1)
??
? ??+--=-<=1211212144441222n n n n n (2)
)1(1)1(1)1()1(212
11+--=-+=+n n n n n n n C C n
n
(3))2(1
11)1(1!11)!(!!11
≥--=-<
=+r r r r r r n r n r n n
C T
r r
r
n r (4)2
5
)1(123112111)11(<-+
+?+?++<+n n n
n
(5)
n
n n
n 2
1
121)12(21--=- (6)
n n n -+<+22
1
(7))1(21)1(2--<<-+n n n
n n (8) n
n n n n n n 2)32(1
2)12(12
13211221
?+-?+=
???? ??
+-+-
(9)
?
?
? ??++-+=+++??? ??+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1 (10) !
)1(1!1!)1(+-
=+n n n n (11)
2
12121
21222)1212(21-++
=
-++=
--+ (11) )2(121121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112≥---=--=--<--=----n n n n n n n n n n n n n n (12) 1 11)1(1)1(1)1)(1(1112 3 --+????? ??+- -=+-< ?= n n n n n n n n n n n n 1 11121 1111 1+--<-++? ??? ?? +- -=n n n n n n n (13) 3 212132122)12(332)13(222 1 n n n n n n n n n < -?>-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1)1(1 ≥--<+n n n n n (15) 1 1 1) 11)((1122222 22 2<++++= ++ +--= -+-+j i j i j i j i j i j i j i 例2.(1)求证:)2()12(21 67) 12(1513 112 2 2≥-->-+ +++n n n (2)求证:n n 41214136 116 14 12 -<++++ (3)求证:1122642)12(531642531423121-+ n (4) 求证：)112(213 12 11)11(2-+<++++<-+n n n 解析:(1)因为 ?? ? ??+--=+->-12112121)12)(12(1)12(12n n n n n ,所以 )1 2131(211)12131(211) 12(1 1 2 --+>+-+>-∑=n n i n i (2))111(4 1)12 11(4 14136 116 14 12 22n n n -+<+++=++++ (3)先运用分式放缩法证明出1 212642)12(531+< ????-????n n n ,再结合 n n n -+<+22 1进行裂项,最后就可以得到答案 (4)首先n n n n n ++= -+>12)1(21,所以容易经过裂项得到n n 13 12 11)11(2++++<-+ 再证 2 1 2121 2122 2)1212(21-++ = -++= --+ 而由均值不等式知道这是显然成立的， 所以)112(213 12 11-+<++++n n 例3.求证: 3 5 191411)12)(1(62<++++≤++n n n n 解析: 一方面: 因为??? ??+--=-=-<121121 2144 411 1 222 n n n n n ,所以 353211211215 1 31211 1 2 = + n k 另一方面: 1 111)1(14313 21119 14 112 += +-=++ +?+?+>++++n n n n n n 当3≥n 时, ) 12)(1(61++> +n n n n n ,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++ , 当2=n 时,21 91411)12)(1(6n n n n ++++<++ , 所以综上有 3 5 191411)12)(1(62<++++≤++n n n n 例4.(2008年全国一卷)设函数()ln f x x x x =-.数列{}n a 满足101a <<.1()n n a f a +=. 设1(1)b a ∈，，整数11ln a b k a b -≥.证明:1k a b +>. 解析: 由数学归纳法可以证明{}n a 是递增数列, 故 若存在正整数k m ≤, 使b a m ≥, 则b a a k k ≥>+1, 若)(k m b a m ≤<,则由101<<≤ m m m k k k k a a a a a a a 1 11 ln ln , 因为 )ln (ln 11 b a k a a k m m m <∑=,于是b a b a b a k a a k =-+≥+>+)(|ln |11111 例5.已知m m m m m n S x N m n ++++=->∈+ 321,1,,,求证: 1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n . 解析:首先可以证明:nx x n +≥+1)1( ∑ =++++++++--=-++---+--=n k m m m m m m m m k k n n n n n 1 11111111])1([01)2()1()1( 所以要证 1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n 只要证: ∑∑∑=+++++++++==++-+=-++--+-+=-+<+<--n k m m m m m m m m m n k m n k m m k k n n n n n k m k k 1 11111111111 1 11] )1[(2)1()1(1)1()1(])1([ 故只要证 ∑∑∑=++==++-+<+<--n k m m n k m n k m m k k k m k k 1 111 1 11])1[()1(])1([, 即等价于m m m m m k k k m k k -+<+<--+++111)1()1()1(, 即等价于11)11(11,)11(11++-<+-+<++m m k k m k k m 而正是成立的,所以原命题成立. 例6.已知n n n a 24-=,n n n a a a T +++= 212,求证:2 3321<++++n T T T T . 解析:)21(2)14(3 421)21(241)41(4)222(444421321n n n n n n n T -+-=-----=+++-++++= 所以 123)2(222322342323 23422234342)21(2)14(3211+?-?? =+?-?=-+=-+-=-+-=++n n n n n n n n n n T ?? ? ??---=--??= +12112123)12)(122(2231n n n n n 从而2 312 11 217 13 13 11231 321 ?---++-+-=+++++n n n T T T T 例7.已知11=x ,???∈=-∈-==) ,2(1),12(Z k k n n Z k k n n x n ,求证: *) )(11(21 1141 224544 32N n n x x x x x x n n ∈-+>++?+?+ 证明: n n n n n n x x n n 222141 141 ) 12)(12(1 14 2 4 2 4 4 1 22= ?= > -= +-= +, 因为 12++ ) 1(21 222 1 4 1 22n n n n n x x n n -+=++> > + 所以 *) )(11(21 1141 224544 32N n n x x x x x x n n ∈-+>++?+?+ 二、函数放缩 例8.求证：)(6 6533 3ln 4 4ln 3 3ln 2 2ln *N n n n n n ∈+-<++++ . 解析:先构造函数有x x x x x 11ln 1ln -≤?-≤,从而)3 13121(133 3ln 44ln 33ln 2 2ln n n n n +++--<++++ cause ??? ??++++++??? ??++++++??? ??+=+ ++n n n n 311212 1 9181716151413121313 12 1 65333232791899363651 11 n n n n n =??? ? ??+?++??? ??++??? ??++>--- 所以 6535133ln 4ln 3ln 2ln +-=--<++++n n n n n n 例10. 所以有 2ln 2 1 <,2ln 3ln 3 1-<,…,)1ln(ln 1-- , n n n ln )1ln(1 1 -+<+,相加后可以得到: )1ln(1 13121+<++++n n 另一方面?->n i n ABDE x S 1 ,从而有)ln(ln |ln 11i n n x x i i n n i n n i n --==> ?---? 取1=i 有, )1ln(ln 1 1 -->-n n n , 所以有n n 12 11)1ln(+++<+ ,所以综上有n n n 1211)1ln(113 121+++<+<++ ++ 例11.求证:e n <+??++)! 11()! 311)(! 211( 和e n <+??+ +)3 1 1()8111)(9 11(2 .解析:构造函数后即可证明 例12.求证:32)]1(1[)321()211(->++???+??+n e n n 解析: 1 )1(3 2]1)1(ln[++- >++n n n n ,叠加之后就可以得到答案 例13.证明:)1*,(4 ) 1(1ln 54ln 4 3ln 3 2ln >∈-<++ +++n N n n n n n 解析:构造函数)1(1)1()1ln()(>+---=x x x x f ,求导,可以得到: 1 2111)('--=--= x x x x f ,令0)('>x f 有21< 所以0)2()(=≤f x f ,所以2)1ln(-≤-x x ,令12+=n x 有,1ln 22-≤n n 所以2 1 1 ln -≤+n n n ,所以)1*,(4 )1(1ln 54ln 4 3ln 3 2ln >∈-<++ +++n N n n n n n 例14. 已知1 12 111,(1). 2 n n n a a a n n +==+ ++证明2n a e <. 解析: n n n n n a n n a n n a )21 )1(11(2 1))1(11(1+++<+++ =+, 然后两边取自然对数,可以得到 n n n a n n a ln )2 1 )1(11ln(ln 1++++ <+ 然后运用x x <+)1ln(和裂项可以得到答案) 放缩思路：? + ++ ≤+n n n a n n a )2 1 11(2 1? ++ ++ ≤+n n n a n n a ln )2 111ln(ln 2 1 n n n n a 2 1 1ln 2 +++ ≤。于是n n n n n a a 2 1 1ln ln 2 1 ++≤ -+， . 221122 11)21 (111ln ln )211()ln (ln 1 1211 11 1 <--=--+ -≤-?++≤---=+-=∑ ∑ n n n i n i i i n i n n a a i i a a 即.2ln ln 21e a a a n n 注：题目所给条件ln(1)x x +<（0x >）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论)2)(1(2≥->n n n n 来放缩： ?-+ -+ ≤+) 1(1)) 1(11(1n n a n n a n n ? +-+ ≤++)1)() 1(1 1(11n n a n n a .)1(1 ))1(11ln()1ln()1ln(1-<-+ ≤+-++n n n n a a n n 111)1ln()1ln()1(1)]1ln()1ln([21 2 112<-<+-+?-<+-+?∑ ∑-=+-=n a a i i a a n n i i i n i ， 即.133ln 1)1ln(2e e a a n n <- 例16.(2008年福州市质检)已知函数.ln )(x x x f =若).()(2ln )()(:,0,0b f b a f b a a f b a -+≥++>>证明 解析:设函数()()(),(0)g x f x f k x k =+-> ()ln ,()ln ()ln(), 0.()ln 1ln()1ln ,2()0,10.2 f x x x g x x x k x k x x x k g x x k x k x x x k k g x x k k x k x =∴=+--'∴<<=+---=--'>>?>?<<-- 令则有 ∴函数k k x g ,2[)(在）上单调递增，在]2 ,0(k 上单调递减.∴)(x g 的最小值为)2(k g ，即总有).2()(k g x g ≥ 而,2ln )()2ln (ln 2 ln )2 ()2 ()2 (k k f k k k k k k f k f k g -=-==-+= ,2ln )()(k k f x g -≥∴ 即.2ln )()()(k k f x k f x f -≥-+ 令,,b x k a x =-=则.b a k += .2ln )()()()(b a b a f b f a f +-+≥+∴ ).()(2ln )()(b f b a f b a a f -+≥++∴ 例15.(2008年厦门市质检) 已知函数)(x f 是在),0(+∞上处处可导的函数,若)()('x f x f x >?在0>x 上恒成立. (I)求证：函数),0()()(+∞= 在x x f x g 上是增函数； (II)当)()()(:,0,0212121x x f x f x f x x +<+>>证明时； (III)已知不等式01)1ln(≠-><+x x x x 且在时恒成立， 求证： ). ()2)(1(2)1ln() 1(14ln 413ln 312ln 21*22 222222N n n n n n n ∈++>++++++ 解析:(I)0)()(')('2 >-=x x f x x f x g ,所以函数),0()()(+∞=在x x f x g 上是增函数 (II)因为 ),0() ()(+∞= 在x x f x g 上是增函数,所以 )()()()(212 111 2 1211 1x x f x x x x f x x x x f x x f +?+< ?++< )()()()(212 122212122x x f x x x x f x x x x f x x f +?+ )()()()(21211 1212111n n n n x x x f x x x x x f x x x x x x f x x f +++?+++ n n x x x f x x x x x f x x x x x x f x x f +++?+++ n n n n n n x x x f x x x x x f x x x x x x f x x f +++?+++ 相加后可以得到: )()()()(2121n n x x x f x f x f x f +++<+++ 所以)ln()(ln ln ln ln 2121332211n n n n x x x x x x x x x x x x x x ++++++<++++ 令 )1(1n x n += ,有 ? ??++++????? ??+++++)1(13121ln )1(1413121n n ???? ??+++?+?????? ??++++ 31121ln )1(13121222 )2)(1(2212111++-=??? ??+-??? ??+- ). ()2)(1(2)1ln()1(14ln 413ln 312ln 21*22 222222N n n n n n n ∈++>++++++ (方法二)? ? ? ??+-+=++≥+++> ++2111 4ln )2)(1(4ln )2)(1()1ln()1()1ln(22 n n n n n n n n n 所以 ) 2(24ln 2121 4ln )1ln()1(14ln 413ln 312ln 2122222222+=??? ??+->++++++n n n n n 又1114ln +>>n ,所以). ()2)(1(2)1ln()1(14ln 413ln 312ln 21* 22 222222N n n n n n n ∈++>++++++ 三、分式放缩 姐妹不等式:)0,0(>>>++>m a b m a m b a b 和)0,0(>>>++ a m b a b 记忆口诀”小者小,大者大” 解释:看b ,若b 小,则不等号是小于号,反之. 例19. 姐妹不等式:12)1 21 1()5 11)(3 11)(11(+>-+ +++n n 和 1 21)211()611)(411)(211(+< +---n n 也可以表示成为 1 2) 12(5312642+>-???????n n n 和1 212642)12(531+ 解析: 利用假分数的一个性质)0,0(>>>++>m a b m a m b a b 可得 > -??1 225 63412n n =+??n n 212674523 )12(212654321+?-??n n n ?12)1 225 63412(2+>-??n n n 即.12)1 21 1()5 11)(311)(11(+>-+ +++n n 例20.证明:.13)2 31 1()711)(411)(11(3+>-++++n n 解析: 运用两次次分式放缩: 1 338956.232313784512-????>--????n n n n (加1) n n n n 31391067.342313784512+????>--???? (加2) 相乘,可以得到: )13(1323875421131381057.2423137 845122 +?--????=-+? ???>??? ??--????n n n n n n n 所以有.13)2 311()7 11)(4 11)(11(3+>-++++n n 四、分类放缩 例21.求证:2 1213 12 11n n >-+ +++ 解析: +++++++++>-+ +++ )21 212121()4141(211121312 113 333n 2)2 11(221)212121( n n n n n n n >-+=-+++ 例22.(2004年全国高中数学联赛加试改编) 在平面直角坐标系xoy 中, y 轴正半轴上的点列{}n A 与曲线x y 2=（x ≥0）上的点列{}n B 满足n OB OA n n 1==，直线n n B A 在x 轴上的截距为n a .点n B 的横坐标为n b ,*∈N n . (1)证明n a >1+n a >4，*∈N n ; (2)证明有*∈N n 0，使得对0n n >?都有n n n n b b b b b b b b 11 2 31 2+-++++ <2008-n . 解析:(1) 依题设有：(()1 0,,,0n n n n A B b b n ??> ??? ，由1n OB n =得： 2*212,1,n n n b b b n N n += ∴∈,又直线n n A B 在x 轴上的截距为n a 满足 ()() 11 000 n n a b n n ??? -=--? ???? n a 2222 1 210,2n n n n n b n b b n b =->+= ( 22 11 2 12 n n n n n b a b n b n b + ∴===+ - 1 n a 显然，对于11 1 n n >> + ，有* 1 4, n n a a n N + >>∈ (2)证明：设 * 1 1, n n n b c n N b + =-∈ ，则 ( ) ()() 2 22 11 1 21121 2 121 n c n n n n n n n ? - + ? ?? ? ++ > ++ ? ()()()2* 1 212210,, 2 n n n n n c n N n ++-+=>∴>∈ + 设* 12 , n n S c c c n N =+++∈ ，则当()* 221 k n k N =->∈时， 231 1111111111 3421234212212 n k k k k S - ?????? >++++=+++++++ ? ? ? -++ ?????? 21 23 1111 222 2222 k k k - - >?+?++?= 。 所以，取4009 22 n=-，对 n n ?> 都有： 2008 2 1 4017 1 1 1 1 2 3 1 2= - > > = ?? ? ? ? ? - + + ?? ? ? ? ? - + ?? ? ? ? ? -+ n n n n S S b b b b b b 故有 n n n n b b b b b b b b 1 1 2 3 1 2+ - + + + + <2008 - n成立。 例23.(2007年泉州市高三质检) 已知函数) ,1 ( ) (2R c b c bx x x f∈ ≥ + + =，若)(x f的定义域为[－1，0]，值域也为[－1，0].若数列} { n b满足 ) ( ) ( * 3 N n n n f b n ∈ = ，记数列} { n b的前n项和为n T，问是否存在正常数A，使得对于 任意正整数n都有A T n <？并证明你的结论。 解析:首先求出x x x f2 ) (2+ =,∵ n n n n n n f b n 1 2 ) ( 3 2 3 > + = = ∴ n b b b b T n n 1 3 1 2 1 1 3 2 1 + + + + > + + + + = ,∵ 2 1 4 1 2 4 1 3 1 = ? > +, 2 1 8 1 4 8 1 7 1 6 1 5 1 = ? > + + +,… 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 1 1 1 = ? > + + + + + - - -k k k k k ,故当k n2 >时,1 2 + > k T n , 因此，对任何常数A，设m是不小于A的最小正整数， 则当2 2 2- >m n时,必有A m m T n > = + - >1 2 2 2. 故不存在常数A使A T n < 对所有2 ≥ n的正整数恒成立. 例24.(2008年中学教学参考)设不等式组 ? ? ? ? ? + - ≤ > > n nx y y x 3 ,0 ,0 表示的平面区域为 n D , 设 n D 内整数坐标点的个数为 n a.设 n n n n a a a S 2 2 1 1 1 1 + + + = + + , 当2 ≥ n时,求证: 36 11 7 1 1 1 1 2 3 2 1 + ≥ + + + + n a a a a n . 解析:容易得到n a n 3=,所以,要证36 1171111 2321+≥++++n a a a a n 只要证12 11721 312112 +≥++++=n S n n ,因为 n n n n S 2 1 221121()81716151()4131(211112++++++++++++++ =-- 12117)1(12723211121222+= -+≥+++++=-n n T T T n ,所以原命题得证 五、迭代放缩 例25. 已知1,1411 =++= +x x x x n n n ,求证:当2≥n 时,n n i i x -=-≤-∑11 22|2| 解析:通过迭代的方法得到1 2 12-≤-n n x ,然后相加就可以得到结论 例26. 设n n n S 2 ! sin 2!2sin 2!1sin 21+++= ,求证:对任意的正整数k ,若k ≥n 恒有:|S n+k －S n |<1 n 解析: |2)sin(2)!2sin(2)!1sin(| ||2 1k n n n n k n k n n n S S ++++++++++=- k n n n k n n n k n n n +++++++++≤++++++≤2 1 2121|2)s i n (||2)!2sin(||2)!1sin(| 2121 n k n k n 2 1)211(21)212121(212<-?=+++= 又n C C C n n n n n n >+++=+= 10)11(2 所以n S S n n k n 12 1||<< -+ 六、借助数列递推关系 例27.求证:1 222642)12(5316 425314 2312 1-+< ????-????++????+??+n n n 解析: 设n n a n 2642)12(531????-????= 则 n n n n n a na a n a n n a +=+?++= ++2)1(2) 1(21 211,从而 n n n na a n a 2)1(21-+=+,相加后就可以得到 1 2 21)22(13 21)1(22)1(21121-+? +<-+? +<-+=++++n n n n a a n a a a n n 所以1222642) 12(5316 425 314 2312 1-+ +????+??+n n n 例28. 求证:1122642) 12(5316 425 314 2312 1-+ +????+??+n n n 解析: 设n n a n 2642)12(531????-????= 则 111)12(]1)1(2[) 1(212+++++=++?++= n n n n n a a n a n a n n a ,从而 n n n a n a n a )12(]1)1(2[11+-++=++,相加后就可以得到 1122 3 1 21)12(3)12(1121-+<- +? +<-+=++++n n n a a n a a a n n 例29. 若1,111+=?=+n a a a n n ,求证:)11(21 11 21-+≥+++ n a a a n 解析: n n n n n n n a a a a a n a a -=? +?=+=?+++++21 112112 所以就有21221 111 211211 21 -+=-≥--++=+++ ++n a a a a a a a a a a a n n n n n 七、分类讨论 例30.已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足.1,)1(2≥-+=n a S n n n 证明：对任意的整数4>m ，有8 711154<+++m a a a 解析:容易得到[] .)1(23 212---+= n n n a , 由于通项中含有n )1(-，很难直接放缩，考虑分项讨论： 当3≥n 且n 为奇数时1 2222223)121121(23111 21--++?=-++=+--+n n n n a a )2 121(2322223123 212-----+?=+? 654m m a a a a a +++++- .878321)2 11(412321)212121(23214243=+<-??+=++++<--m m ②当4>m 且m 为奇数时 <+++m a a a 11154 1 541111+++++m m a a a a （添项放缩）由①知. 871111154<+++++m m a a a a 由①②得证。 八、线性规划型放缩 例31. 设函数21()2 x f x x +=+.若对一切x R ∈，3()3af x b -≤+≤，求a b -的最大值。 解析:由 22 22 1(2)(1)(())((1)1)22(2)x x f x f x -+-+-= +知1(())((1)1)02 f x f +-≤ 即 1 ()12 f x - ≤≤ 由此再由()f x 的单调性可以知道()f x 的最小值为12 -，最大值为1 因此对一切x R ∈，3()3af x b -≤+≤的充要条件是，133 233 a b a b ?-≤-+≤?? ?-≤+≤? 即a ，b 满足约束条件33 1 321 32 a b a b a b a b +≥-??+≤???-+≥-??-+≤??， 由线性规划得，a b -的最大值为5． 九、均值不等式放缩 例32.设.)1(3221+++?+?=n n S n 求证.2 )1(2 ) 1(2 +< <+n S n n n 解析: 此数列的通项为.,,2,1,)1(n k k k a k =+= 2121)1(+=++< + 21(1 1∑∑==+<<∴n k n n k k S k ， 即.2 )1(22)1(2 )1(2+<++< <+n n n n S n n n 注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式 2 b a a b +≤ ，若放成 1)1(+<+k k k 则得2) 1(2)3)(1()1(2 1 +>++=+<∑=n n n k S n k n ，就放过“度”了！ ②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里 n a a n a a a a a a n n n n n n 2 211111 1++≤++≤ ≤++ 其中，3,2=n 等的各式及其变式公式均可供选用。 例33.已知函数bx a x f 211)(?+= ，若5 4)1(=f ，且)(x f 在[0，1]上的最小值为21，求证：.2121)()2()1(1-+>++++n n n f f f 解析: )2211()()1()0(2 2114111414)(?->++?≠?->+-=+=n f f x x f x x x x . 2 121)21211(41)2211()2211(112-+=+++-=?-++?- ++-n n n n n 例34.已知b a ,为正数，且111=+b a ，试证：对每一个*∈N n ，1222)(+-≥--+n n n n n b a b a . 解析: 由111=+b a 得b a ab +=，又42)11)((≥++=++a b b a b a b a ，故4≥+=b a ab ，而 n n n r r n r n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+-- 110)(， 令n n n b a b a n f --+=)()(，则)(n f =1111----++++n n n r r n r n n n ab C b a C b a C ，因为i n n i n C C -=，倒序相加得)(2n f =)()()(111 111b a ab C b a b a C ab b a C n n n n r n r r r n r n n n n -------+++++++ ， 而12 1 1 1 1 2422+------=?≥≥+==+==+n n n n n n r n r r r n n n b a b a ab b a b a ab b a ， 则)(2n f =) )(22())((1 1r r n r n r n r r n r n r n n r n n b a b a b a b a C C C -----+-=+++++ ?-≥)22(n 1 2 +n ，所以 )(n f ?-≥)22(n n 2 ，即对每一个*∈N n ，1222)(+-≥--+n n n n n b a b a . 例35.求证),1(2 2 13 21N n n n C C C C n n n n n n ∈>?>++++- 解析: 不等式左=++++n n n n n C C C C 3211 2 222112-++++=-n n n n n 1 22 221-?????> =2 12 -?n n ， 原结论成立. 例36.已知x x e e x f -+=)(,求证:2 1 )1()()3()2()1(n n e n f f f f +>????+ 解析:11)1()1()()(212112212 122112 1 +>?+++=+?+ =?++x x x x x x x x x x x x x x e e e e e e e e e e e e x f x f 经过倒序相乘,就可以得到2 1 )1()()3()2()1(n n e n f f f f +>????+ 例37.已知x x x f 1)(+=,求证:n n n n f f f f )1(2)2()3()2()1(+>???? 解析:2)12(2) 12(11212)12()12112)(1(+-+>-++-++-++-+=-++ -++k n k n k k k n k n k k n k k n k n k k 其中:n k 2,,3,2,1 =,因为n k n k k n k n k k n k 2)12(0)2)(1(2)1(2≥-+?≥--=--+? 所以22)121 12)(1(+≥-++ -++n k n k n k k 从而n n n f f f f 22)22()]2()3()2()1([+>???? ,所以n n n n f f f f )1(2)2()3()2()1(+>???? . 例38.若7>k ,求证:2 3 112 11 11>-+ +++++=nk n n n S n . 解析:)111()3121()2111()111(2n nk nk n nk n nk n S n +-++-+++-+++-+ = 因为当0,0>>y x 时,xy y x xy y x 211,2≥+≥+,所以4)11)((≥++y x y x ,所以y x y x +≥ +411,当且仅当y x =时取到等号. 所以1 )1(414324214142-+-=-+++-+++-+++-+> nk n k n nk n nk n nk n nk n S n 所以 231421)1(211)1(2> +-=+->-+->k k k n k k S n 所以2 31121111>-++++++= nk n n n S n 例39.已知))(()(21x x x x a x f --=,求证: 16 )1()0(2 a f f ≤ ?. 解析:16 )]1()][1([)1()0(2 2 2 1 1 2a x x x x a f f ≤--=?. 例40.已知函数f (x )=x 2－(－1)k ·2ln x (k ∈N*).k 是奇数, n ∈N*时, 求证: [f’(x )]n －2n － 1·f’(x n )≥2n (2n －2). 解析: 由已知得)0(22)(>+='x x x x f ， (1)当n =1时，左式=22(2)(2)0x x x x +-+=右式=0.∴不等式成立. (2)2n ≥, 左式=)22(2)22()(2)]([11n n n n n n n x x x x x f x f +?-+='?-'-- ).11(22 1424221------++++=n n n n n n n n n n n x C x C x C x C 令12242142 11n n n n n n n n n n S C x C x C C x x ------=++++ 由倒序相加法得： ) 1( )1()1(222 1 4 42 2 21 -------++++ ++ =n n n n n n n n n n x x C x x C x x C S )22(2)(21 21-=+++≥-n n n n n C C C ， 所以).22(-≥n S 所以.)22(2)(2)]([1成立-≥'?-'-n n n n n x f x f 综上，当k 是奇数，N n + ∈时，命题成立 例41. （2007年东北三校）已知函数)1()(>-=a x a x f x （1）求函数)(x f 的最小值，并求最小值小于0时的a 取值范围； （2）令)1()2()1()('1'2'1-+++=-n f C f C f C n S n n n n 求证：)2 ()22()('n f n S n ?-> e a a a a a x x x e a a e a a a a x f a a a f x f a a x f a x x f a x a a a a a x f a a x f 1 min min ''''11 ln ,1ln ln ,0ln ln ln 1,0)(ln ln ln 1)ln log ()(),ln log )ln log ,()(, ln log ,0)(ln log 1,ln 1 ,1ln ,0)(,1ln )()1(<<∴<∴-<<+<+=-=+∞---∞-<<->∴>>∴>>-=的取值范围是则即 若所以上递增；上递减，在（在所以有同理：又即：由 所以不等式成立。 ), 2 ()22()1ln )(22() 22(ln )22()22(ln )]()()([21) (ln )()1ln ()1ln ()1ln ()()2('2 2 11222111211122111221n f a a a a a a a C a a C a a C C C C a a C a C a C a a C a a C a a C n S n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n -=--=---≥--++++++=+++-+++=-++-+-=--------- ★例42. (2008年江西高考试题)已知函数( )f x ()0x ,∈+∞.对任意正数a ,证明：()12f x <<． 解析:对任意给定的0a >,0x >, 由 ()f x , 若令 8b ax =，则 8abx =① ,而 ( )f x 高中数列放缩法技巧大全 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑ =-n k k 121 42的值; (2)求证:2 1153n k k =<∑ . 解析:(1)因为 1 21 121)12)(12(21422+- -=+-= -n n n n n ,所以1 2212111 42 1 2 += +- =-∑=n n n k n k (2)因为22211411214121214 n n n n n ??<==- ?--+??- , 所以35321121121513121112 =+ 常用放缩方法技巧 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高得放缩技巧而充满思考性与挑战性,能全面而综合地考查学生得潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题得极好素材。这类问题得求解策略往往就是:通过多角度观察所给数列通项得结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: ⑴添加或舍去一些项,如:; ⑵将分子或分母放大(或缩小) ⑶利用基本不等式,如:; ⑷二项式放缩:,, (5)利用常用结论: Ⅰ、得放缩 : Ⅱ、得放缩(1) : (程度大) Ⅲ、得放缩(2):(程度小) Ⅳ、得放缩(3):(程度更小) Ⅴ、分式放缩还可利用真(假)分数得性质:与 记忆口诀“小者小,大者大”。解释:瞧b,若b小,则不等号就是小于号,反之亦然、 Ⅵ、构造函数法构造单调函数实现放缩。例:,从而实现利用函数单调性质得放缩:。 一．先求与再放缩 例1、,前n项与为S n ,求证: 例2、 , 前n项与为S n ,求证: 二．先放缩再求与 (一)放缩后裂项相消 例3.数列,,其前项与为 ,求证: (二)放缩后转化为等比数列。 例4、满足: （1）用数学归纳法证明: （2）,求证: 三、裂项放缩 例5、(1)求得值; (2)求证:、 例6、(1)求证: (2)求证: (3)求证: 例7、求证: 例8、已知,,求证:、 四、分式放缩 姐妹不等式:与 记忆口诀”小者小,大者大” 解释:瞧b,若b小,则不等号就是小于号,反之亦然、 例9、姐妹不等式:与 也可以表示成为 与 例10、证明: 五、均值不等式放缩 例11、设求证 例12、已知函数,a>0,b>0,若,且在[0,1]上得最大值为, 求证: 六、二项式放缩 ,, 例13、设,求证、 例14、 , 试证明:、 2010高考数学备考之放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求 ∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 3 51 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1 222n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1)1(1 ≥--<+n n n n n (15) 11 1) 11)((1122222 222<++++= ++ +--= -+-+j i j i j i j i j i j i j i 例2.(1)求证:)2()12(2167) 12(1513112 22≥-->-++++n n n (2)求证:n n 412141361161412 -<++++ (3)求证:1122642)12(531642531423121-+< ????-????++????+??+n n n (4) 求证：)112(213 12 11)11(2-+<++++<-+n n n 常用放缩方法技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： ⑴添加或舍去一些项，如： a a >+12；n n n >+)1( ⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶利用基本不等式，如：4lg 16lg 15lg )2 5lg 3lg (5lg 3lg 2=<=+n n n n (5)利用常用结论： Ⅰ. 的放缩 Ⅱ. 21k 的放缩(1) ： 2111(1)(1) k k k k k <<+-（程度大） Ⅲ. 21k 的放缩(2)：22111111()1(1)(1)211k k k k k k <==+-+--+（程度小） Ⅳ. 2 1k 的放缩(3)：221 4112()412121k k k k <=+--+（程度更小） Ⅴ. 分式放缩还可利用真（假）分数的性质:)0,0(>>>++>m a b m a m b a b 和)0,0(>>>++ 1. 均值不等式法 例1 设.)1(3221+++?+?=n n S n 求证.2 )1(2)1(2 +<<+n S n n n 例2 已知函数bx a x f 211 )(?+=，若54)1(=f ，且)(x f 在[0，1]上的最小值为21，求证：.2121 )()2()1(1-+ >++++n n n f f f 例3 求证),1(2 21321 N n n n C C C C n n n n n n ∈>?>++++- . 例4 已知222121n a a a +++=，222121n x x x +++=，求证：n n x a x a x a +++ 2211≤1. 2．利用有用结论 例5 求证.12)1 211()511)(311)(11(+>-++++n n 例6 已知函数 .2,,10,)1(321lg )(≥∈≤x x f x f 对任意*∈N n 且2≥n 恒成立。 例7 已知1 12111,(1).2n n n a a a n n +==+++ )(I 用数学归纳法证明2(2)n a n ≥≥； )(II 对ln(1)x x +<对0x >都成立，证明2n a e <（无理数 2.71828 e ≈） 例8 已知不等式21111[log ],,2232 n n N n n *+++>∈>。2[log ]n 表示不超过n 2log 的最大整数。设正数数列}{n a 满足：.2,),0(111≥+≤ >=--n a n na a b b a n n n 求证.3,][log 222≥+ 放缩法在数列不等式中的应用 数列不等式是高考大纲在知识点交汇处命题精神的重要体现，在高考试题中占有重要地位，在近几年的高考试题中，多个省份都有所考查，甚至作为压轴题。而数列不等式的求解常常用到放缩法，笔者在教学过程中发现学生在用放缩法处理此类问题时，普遍感到困难，找不到解题思路。现就放缩法在数列不等式求解过程中常见的几种应用类型总结如下。 1. 直接放缩，消项求解 例1在数列{}{},n n a b 中,112,4a b ==,且1,,n n n a b a +成等差数列,11,,n n n b a b ++成等比数列. *N n ∈, （Ⅰ）求234,,a a a 及234,,b b b ,由此猜测{}{},n n a b 的通项公式,并证明你的结论; （Ⅱ）证明:1122111512 n n a b a b a b +++<+++L . 分析：（Ⅰ）数学归纳法。 （Ⅱ）本小题的分母可化为不相同的两因式的乘积，可将其放缩为等差型两项之积，通过裂项求和。 （Ⅰ）略解2(1)(1)n n a n n b n =+=+，． （Ⅱ）11115612 a b =<+．n ≥2时，由（Ⅰ）知(1)(21)2(1)n n a b n n n n +=++>+． 故112211111111622334(1)n n a b a b a b n n ??+++<++++ ?+++??+?? …… 111111116223341n n ??=+-+-++- ?+?? … 111111562216412n ??= +-<+= ?+??，综上，原不等式成立． 点评： 数列和式不等式中，若数列的通项为分式型，可考虑对其分母进行放缩，构造等差型因式之积。再用裂项的方法求解。 另外，熟悉一些常用的放缩方法， 如： ),,2,1(1 1121n k n k n n Λ=+≤+≤,n n n n n n n n n 111)1(11)1(11112--=-≤<+=+- 例2设数列{}n a 满足*,1,1311N c c ca a a n n ∈-+==+其中c 为实数 高考数学备考之 放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 351 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 42 2 +--=+-= -n n n n n ,所以122121114212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为? ? ? ??+--=-= - <121121 2144 4 111 2 22 n n n n n ,所以 353211211215 1 31211 1 2 = +-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1 !)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) ) 2(1) 1(1 ≥--<+n n n n n 放缩技巧 （高考数学备考资料） 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑ =-n k k 1 2142的值; (2)求证:3 511 2 <∑=n k k . 解析:(1)因为 121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为 ??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1222 n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1) 1(1 ≥--<+n n n n n (15) 112 22 2+-+-+j i j i j i 高考数学数列放缩法技巧全汇总 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 高考数学备考之 放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 351 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 42 2 +--=+-= -n n n n n ,所以122121114212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为? ? ? ??+--=-= - <121121 2144 4 111 2 22 n n n n n ,所以 353211211215 1 31211 1 2 = + -?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1 !)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) ) 2(1) 1(1 ≥--<+n n n n n 高考数学备考之放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求 ∑=-n k k 1 2 1 42 的值; (2)求证: 3 51 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k 技巧积累:(1)??? ??+--=-< =1211212144 4412 2 2n n n n n (2)) 1(1) 1(1)1()1(212 11+--=-+=+n n n n n n n C C n n (5) n n n n 2 1121)12(21--=- (8) n n n n n n n 2)32(12)12(12 13211221?+-?+=???? ??+-+- (9) ? ? ? ??++-+=+++??? ??+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1 (10) !)1(1!1!)1(+- =+n n n n >算数平均数可 证） 122a b +?>≥ (3)2n n ≥=> 易知恒成立，当 2)> ≥恒成立。 例2.(1)求证:)2()12(2167) 12(1513112 22≥-->-++++n n n Λ (2)求证:n n 412141361161412 -<++++Λ (3)求证:1122642)12(531642531423121-+< ????-????++????+??+n n n ΛΛΛ (4) 求证：)112(213 12 11)11(2-+<++++<-+n n n Λ (3)再结合 n n n -+<+22 1进行裂项,最后就可以得到答案 例3.求证: 3 5 191411)12)(1(62<++++≤++n n n n Λ 解析:一方面: 353211211215 1 31211 1 2 = + .. 2011 高考数学备考之 放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例 1.(1) n 2 的值 ; (2) 求证 : n 1 5 . 求 k 1 4k 2 1 k 1 k 2 3 解析 :(1) 因为 2 2 1 1 , 所以 n 2 1 1 2n 4n 2 1 (2n 1)(2n 1) 2n 1 2n 1 k 1 4k 2 1 2n 1 2 n 1 (2) 因为 1 1 4 1 1 , 所以 1 1 2 1 1 1 1 5 2 n 1 2 2 1 4 n 2 2n 1 2n 1 k 1 k 2 3 5 2n 1 2n 1 3 3 2 1 n n 4 奇巧积累 :(1) 1 4 4 2 1 1 (2) 1 2 1 1 n 2 4n 2 4n 2 2n 1 C n 1 1 C n 2 ( n 1)n( n 1) n( n 1) n(n 1) 1 2n 1 (3) T r 1 r 1 n! 1 1 1 1 1 (r 2) C n r!( n r )! n r r! r ( r 1) r 1 r n r (4) (1 1 ) n 1 1 1 1 1 1 5 n 2 3 2 n(n 1) 2 (5) 1 1 1 (6) 1 n 2 n 2 n (2 n 1) 2n 1 2 n n 2 (7) 2( n 1 n ) 1 2( n n 1) (8) 2 1 1 1 1 n 2 n 1 2n 3 2n (2 n 1) 2 n 1 (2n 3) 2n (9) 1 1 1 1 , 1 1 1 1 k (n 1 k) n 1 k k n 1 1 k ) k 1 n n 1 k n(n (10) n 1 1 (11) 1 2 2 2 (n 1) ! n ! (n 1) ! 2( 2n 1 2n 1) n 2n 1 2n 1 1 1 n n 2 2 (11) 2 n 2n 2 n 2n 1 1 1 (n 2 ) (2n 1)2 (2n 1)( 2n 1) (2 n 1)( 2 n 2) (2 n 1)(2n 1 1) 2n 1 1 2 n 1 (12) 1 1 1 1 1 1 n 3 n n 2 n (n 1)(n 1) n( n 1) n (n 1) n 1 n 1 1 1 n 1 n 1 1 1 n 1 n 1 2 n n 1 n 1 (13) (14) 2 n 1 2 2n (3 1) 2n 3 3(2 n 1) 2n 2n 1 2n 1 2 n 3 2n 1 3 k 2 1 1 (15) 1 n n 1(n 2) k! (k 1)! (k 2)! (k 1) ! (k 2) ! n( n 1) (15) i 2 1 j 2 1 i 2 j 2 i j 1 i j (i j)( i 2 1 j 2 1) i 2 1 j 2 1 . .下载可编辑 . . 放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑ =-n k k 121 42的值; (2)求证:3511 2 <∑ =n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(2142 2+--=+-=-n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为 ??? ??+--=-=- <1211212144 4 111 222 n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1) 1(1 ≥--<+n n n n n 放缩法技巧全总结 标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑ =-n k k 121 42的值; (2)求证:35112 <∑ =n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(2142 2+--=+-=-n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为 ??? ??+--=-=- <1211212144 4 111222 n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) !)2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1)1(1≥--<+n n n n n (15) 11 1) 11)((112 2 2 22 222<++ ++= ++ +--= -+-+j i j i j i j i j i j i j i 例2.(1)求证:)2()12(21 67) 12(1513 112 22≥-->-+ +++n n n 压轴题放缩法技巧全总结 本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址高考数学备考之 放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.求的值; 求证:. 解析:因为,所以 因为,所以 技巧积累: 例2.求证: 求证: 求证: 求证： 解析:因为,所以 先运用分式放缩法证明出,再结合进行裂项,最后就可以得到答案 首先,所以容易经过裂项得到 再证而由均值不等式知道这是显然成立的， 所以 例3.求证: 解析: 一方面:因为,所以 另一方面: 当时,,当时,, 当时,, 所以综上有 例4.设函数.数列满足.. 设，整数.证明:. 解析: 由数学归纳法可以证明是递增数列, 故 若存在正整数,使,则, 若,则由知,, 因为,于是 例5.已知,求证: . 解析:首先可以证明: 所以要证 只要证: 故只要证, 即等价于, 即等价于 而正是成立的,所以原命题成立. 例6.已知,,求证:. 解析: 所以 从而 例7.已知,,求证: 证明: , 因为 ,所以 所以 二、函数放缩 例8.求证：. 解析:先构造函数有,从而 cause 所以 例9.求证: 解析:构造函数,得到,再进行裂项,求和后可以得到答案 函数构造形式: , 例10.求证: 解析:提示: 函数构造形式: 当然本题的证明还可以运用积分放缩 如图,取函数, 首先:,从而, 取有,, 所以有,,…,,,相加后可以得到: 另一方面,从而有 取有,, 所以有,所以综上有 例11.求证:和.解析:构造函数后即可证明 例12.求证: 解析:,叠加之后就可以得到答案 函数构造形式: 例13.证明: 解析:构造函数,求导,可以得到: “放缩法”技巧 例谈“放缩法”证明不等式的基本策略 近年来在高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，而不等式的证明是高中数学中的一个难点，它可以考察学生逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。特别值得一提的是，高考中可以用“放缩法”证明不等式的频率很高，它是思考不等关系的朴素思想和基本出发点, 有极大的迁移性, 对它的运用往往能体现出创造性。“放缩法”它可以和很多知识内容结合，对应变能力有较高的要求。因为放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察，放缩时要注意适度，否则就不能同向传递。下面结合一些高考试题，例谈“放缩”的基本策略，期望对读者能有所帮助。 1、添加或舍弃一些正项（或负项） 例1、已知*21().n n a n N =-∈求证：*12231 1...().23n n a a a n n N a a a +-<+++∈ 证明： 111211111111 .,1,2,...,,2122(21)2 3.222232k k k k k k k k a k n a +++-==-=-≥-=--+-Q 1222311111111 ...(...)(1),2322223223 n n n n a a a n n n a a a +∴ +++≥-+++=-->- *122311...().232 n n a a a n n n N a a a +∴-<+++<∈ 若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的 值，多项式的值变小。由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了22k -，从而是使和式得到化简. 2、先放缩再求和（或先求和再放缩） 放缩法的应用技巧 放缩法证明数列不等式是高考数学命题的热点和难点。所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对不等式的局部进行合理的放大和缩小从而向结论转化，其难度在于放缩的合理和适度。证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧从而充满思考性和挑战性。为了帮助更多的学生突破这一难点，我们从以下几个方面对放缩法证明数列不等式的基本策略进行分析。 一、常见的放缩方法 证题中经常用到的放缩方法法有： 1.“添舍”放缩：对不等式一边添项或舍项以达到放大和缩小的效果； 2.分式放缩：分别放缩分式的分子、分母或者同时放缩分子分母以达到放缩的效果； 3.利用重要的不等式或结论放缩：把欲证不等式变形构造，然后利用已知的公式或恒不等式进行放缩，例如均值不等式、柯西不等式、绝对值不等式、二项式定理、贝努力公式、真分数性质定理等。 4.单调性放缩：挖掘不等式的结构特征和函数内涵来构造单调数列或单调函数，利用单调性、值域产生的不等关系进行放缩。 二、常见的放缩控制 当我们选择了正确的放缩方法后，却往往会在放缩的过程中不知不觉间失控，导致放缩的过大或过小，达不到欲证的目标。那么如何控制好放缩的尺度呢？ 例1．求证： 4 713121112222<++++n 分析1：不等式左边不能直接求和，我们希望通过合适的放缩后可以求和。 若采取“ )1(112-高中数列放缩法技巧大全
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