北京市2017届高三数学文一轮复习专题突破训练
圆锥曲线
一、填空、选择题
1、(2016年北京高考) 已知双曲线22
221x y a b
-= (a >0,b >0)的一条渐近线为2x +y =0,一个焦
点为(5 ,0),则a =_______;b =_____________.
2、(2015年北京高考)已知()2,0是双曲线2
2
21y x b
-=(0b >)的一个焦点,则b = .
3、(2014年北京高考)设双曲线C 的两个焦点为()2,0-,(
)
2,0,一个顶点式()1,0,则C 的
方程为 .
4、(昌平区2016届高三二模)已知抛物线2:2(0)C y px p =>的准线方程为2x =-,则抛物线C 的方程为_____________; 若某双曲线的一个焦点与抛物线C 的焦点重合,且渐近线方程为3y x =±,则此双曲线的方程为_______________.
5、(朝阳区2016届高三二模)在平面直角坐标系xOy 中,抛物线28y x =的准线l 的方程是 ;
若双曲线()22
2210,0x y a b a b -=>>的两条渐近线与直线l 交于,M N 两点,且MON ?的面积为8,
则此双曲线的离心率为 .
6、(东城区2016届高三二模)已知双曲线2
2
21(0)y x b b
-=>的虚轴长是实轴长的2倍,则实数
b = .
7、(丰台区2016届高三一模)已知双曲线的一个焦点F ,点P 在双曲线的一条渐近线上,点O 为双曲线的对称中心,
若△OFP 为等腰直角三角形,则双曲线的离心率为
(A )6 (B )2 (C )2 (D )3
8、(海淀区2016届高三二模)已知双曲线2
221x y a
-=的一条渐近线与直线1y x =-+垂直,则该双
曲线的焦距为___.
9、(石景山区2016届高三一模)已知抛物线2
4y x =的动弦AB 的中点的横坐标为2,则AB 的最大值为( )
A .4
B .6
C .8
D .12
10、(西城区2016届高三二模)设双曲线C 的焦点在x 轴上,渐近线方程为2
2
y x =±
,则其离心率为____;若点(4,2)在C 上,则双曲线C 的方程为____.
11、(朝阳区2016届高三上学期期末)设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F ,且与
y 轴交于点A ,若OAF ?(O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为
A.24y x =±
B. 24y x =
C. 28y x =±
D. 28y x = 12、(大兴区2016届高三上学期期末)抛物线2y x =的准线方程是
(A ) 14y =- (B ) 1
2y =-
(C ) 14x =- (D )1
2x =-
13、(丰台区2016届高三上学期期末)如图,在圆224
x y +=上任取一点P ,过点P 作x 轴的垂线段PD ,D 为垂足.当点P 在圆上运动时,线段PD 的中点M 的轨迹是椭圆,那么这个椭圆的离心率是 (A )12 (B )
1
4
(C )
22 (D )3
2
14、(东城区2016届高三上学期期末)双曲线
22
1169
x y -=的离心率是_________. 15、(海淀区2016届高三上学期期末)已知双曲线2
2
21(0)y x b b
-=>的一条渐近线通过点(1,2), 则
___,b = 其离心率为__.
16、(顺义区2016届高三上学期期末)过椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的焦点垂直于x 轴的弦长为a .
则双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的离心率为___________.
O
D y
x
P M
二、解答题
1、(2016年北京高考)已知椭圆C :22
221x y a b
+=过点A (2,0),B (0,1)两点.
(I )求椭圆C 的方程及离心率;
(Ⅱ)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上,直线PA 与y 轴交于点M ,直线PB 与x 轴交于点N ,求证:四边形ABNM 的面积为定值.
2、(2015年北京高考)已知椭圆C :2233x y +=,过点()D 1,0且不过点()2,1E 的直线与椭圆C 交于A ,B 两点,直线AE 与直线3x =交于点M . (Ⅰ)求椭圆C 的离心率;
(Ⅱ)若AB 垂直于x 轴,求直线BM 的斜率;
(Ⅲ)试判断直线BM 与直线D E 的位置关系,并说明理由.
3、(2014年北京高考)已知椭圆C :2224x y +=. (Ⅰ)求椭圆C 的离心率;
(Ⅱ)设O 为原点,若点A 在直线2y =,点B 在椭圆C 上,且OA OB ⊥,求线段AB 长度的最小值.
4、(昌平区2016届高三二模)已知椭圆M :()22
2210x y a b a b
+=>>的焦距为2,点(
)
0,
3D 在椭
圆M 上,过原点O 作直线交椭圆M 于A 、B 两点,且点A 不是椭圆M 的顶点,过点A 作x 轴的垂线,垂足为H ,点C 是线段AH 的中点,直线BC 交椭圆M 于点P ,连接AP .
(Ⅰ)求椭圆M 的方程及离心率; (Ⅱ)求证:AB AP ⊥;
(III )设ABC ?的面积与APC ?的面积之比为q ,求q 的取值范围.
5、(朝阳区2016届高三二模) 在平面直角坐标系xOy 中,000(,)(0)P x y y ≠是椭圆
:C 22
2212x y λλ
+=(0)λ>上的点,过点P 的直线l 的方程为002212x x y y λλ+=.
(Ⅰ)求椭圆C 的离心率;
(Ⅱ)当1λ=时,设直线l 与x 轴、y 轴分别相交于,A B 两点,求OAB ?面积的最小值;
(Ⅲ)设椭圆C 的左、右焦点分别为1F ,2F ,点Q 与点1F 关于直线l 对称,求证: 点 2,,Q P F 三点共线.
6、(东城区2016届高三二模)已知椭圆:C 22
22+1(0)x y a b a b
=>>与y 轴交于12,B B 两点,1F 为
椭圆C 的左焦点,且△112F B B 是边长为2等边三角形. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)设直线1x my =+与椭圆C 交于P ,Q 两点,点P 关于x 轴的对称点为1P (1P 与Q 不重合)
,则直线1PQ 与x 轴是否交于一个定点?若是,请写出定点坐标,并证明你的结论;若不是,请说明理由.
7、(丰台区2016届高三一模)已知椭圆C :22
221(0)x y a b a b
+=>>过点A (2,0),离心率12e =,
斜率为(01)k k <≤ 直线l 过点M (0,2),与椭圆C 交于G ,H 两点(G 在M ,H 之间),与
x 轴交于点B .
(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程;
(Ⅱ)P 为x 轴上不同于点B 的一点,Q 为线段GH 的中点,设△HPG 的面积为1S ,BPQ ? 错误!未找到引用源。面积为2S ,求
1
2
S S 的取值范围.
8、(海淀区2016届高三二模)已知曲线22
:1(0)43
x y C y +=≥, 直线:1l y kx =+与曲线C 交于,A D 两点,,A D 两点在x 轴上的射影分别为点,B C . (Ⅰ)当点B 坐标为(1,0)-时,求k 的值;
(Ⅱ)记OAD ?的面积1S ,四边形ABCD 的面积为2S .
(i ) 若126
3S =
,求||AD 的值; (ii )求证:121
2
S S ≥.
9、(石景山区2016届高三一模)在平面直角坐标系xOy 中,动点P 到两点(
)30-,
,()
30,的距离之和等于4,设动点P 的轨迹为曲线C ,直线l 过点()10E -,且与曲线C 交于A B ,
两点. (Ⅰ)求曲线C 的方程;
(Ⅱ)△AOB 的面积是否存在最大值?若存在,求出此时△AOB 的面积;若不存在,说明理由.
10、(西城区2016届高三二模)已知抛物线C :2
4x y =,过点)0)(,0(>m m P 的动直线l 与C 相交于
B A ,两点,抛物线
C 在点A 和点B 处的切线相交于点Q ,直线BQ AQ ,与x 轴分别相交于点F E ,.
(Ⅰ)写出抛物线C 的焦点坐标和准线方程; (Ⅱ)求证:点Q 在直线y m =-上;
(Ⅲ)判断是否存在点P ,使得四边形PEQF 为矩形?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,说明理由.
11、(石景山区2016届高三上学期期末)已知椭圆C :)0(12222>>=+b a b
y a x ,其中21
=e (e 为
椭圆离心率),焦距为2,过点)0,4(M 的直线l 与椭圆C 交于点B A ,,点B 在AM 之间.又点B
A ,
的中点横坐标为
7
4. (Ⅰ)求椭圆C 的标准方程; (Ⅱ)求直线l 的方程.
12、(顺义区2016届高三上学期期末)已知椭圆:E 22
221x y a b
+=(0)a b >>的一个顶点(0,3)A ,
离心率1
2
e =
. (Ⅰ)求椭圆E 的方程;
(Ⅱ)设动直线:l y kx m =+与椭圆E 相切于点P ,且与直线4x =相交于点Q . 求证:以PQ 为直径的圆过定点(1,0)N .
13、(西城区2016届高三上学期期末)已知椭圆C :)0(12222>>=+b a b
y a x 的离心率为3
2,点
3
(1,
)2
A 在椭圆C 上,O 为坐标原点. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)设动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点,且l 与圆225x y +=的相交于不在坐标轴上的两点1P ,2P ,记直线1OP ,2OP 的斜率分别为1k ,2k ,求证:12k k ?为定值.
参考答案
一、填空、选择题 1、1,2a b == 2、【答案】3
【解析】
试题分析:由题意知2,1c a ==,2
2
2
3b c a =-=,所以3b =. 3、【答案】12
2
=-y x
【解析】由题意知:1,2==a c ,所以1222=-=a c b ,又因为双曲线的焦点在x 轴上,所以C
的方程为122=-y x .
4、2
2
2
8;13
y y x x =-= 5、2x =-,5 6、2 7、B 8、22 9、B
10、6
2 22
184
x y -=
11、C 12、A 13、D
14、
5
4
15、2,5 16、
62
二、解答题
1、【答案】(Ⅰ)2214x y +=;32
=e (Ⅱ)见解析
. (II )设()00,x y P (00x <,00y <),则22
0044x y +=.
又()2,0A ,()0,1B ,所以, 直线PA 的方程为()0
022
y y x x =
--. 令0x =,得0022y y x M =-
-,从而0
02112
y y x M BM =-=+-.
直线PB 的方程为00
1
1y y x x -=
+. 令0y =,得001x x y N =-
-,从而0
0221
x x y N AN =-=+-. 所以四边形ABNM 的面积
1
2
S =
AN ?BM 00002121212x y y x ?
???=++ ???--????
()
22000000000044484
222x y x y x y x y x y ++--+=
--+[来
000000002244
22
x y x y x y x y --+=
--+
2=.
从而四边形ABNM 的面积为定值. 2、【答案】(1)
6
3
;(2)1;(3)直线BM 与直线DE 平行. 【解析】(Ⅰ)椭圆C 的标准方程为2
213
x y +=. 所以3a =,1b =,2c =
.
所以椭圆C 的离心率63
c e a =
=. (Ⅱ)因为AB 过点(1,0)D 且垂直于x 轴,所以可设1(1,)A y ,1(1,)B y -. 直线AE 的方程为11(1)(2)y y x -=--. 令3x =,得1(3,2)M y -. 所以直线BM 的斜率11
2131
BM y y k -+=
=-.
(Ⅲ)直线BM 与直线DE 平行.证明如下: 当直线AB 的斜率不存在时,由(Ⅱ)可知1BM k =.