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北京市2017届高三数学文一轮复习专题突破训练:圆锥曲线

北京市2017届高三数学文一轮复习专题突破训练

圆锥曲线

一、填空、选择题

1、(2016年北京高考) 已知双曲线22

221x y a b

-= (a >0,b >0)的一条渐近线为2x +y =0,一个焦

点为(5 ,0),则a =_______;b =_____________.

2、(2015年北京高考)已知()2,0是双曲线2

2

21y x b

-=(0b >)的一个焦点,则b = .

3、(2014年北京高考)设双曲线C 的两个焦点为()2,0-,(

)

2,0,一个顶点式()1,0,则C 的

方程为 .

4、(昌平区2016届高三二模)已知抛物线2:2(0)C y px p =>的准线方程为2x =-,则抛物线C 的方程为_____________; 若某双曲线的一个焦点与抛物线C 的焦点重合,且渐近线方程为3y x =±,则此双曲线的方程为_______________.

5、(朝阳区2016届高三二模)在平面直角坐标系xOy 中,抛物线28y x =的准线l 的方程是 ;

若双曲线()22

2210,0x y a b a b -=>>的两条渐近线与直线l 交于,M N 两点,且MON ?的面积为8,

则此双曲线的离心率为 .

6、(东城区2016届高三二模)已知双曲线2

2

21(0)y x b b

-=>的虚轴长是实轴长的2倍,则实数

b = .

7、(丰台区2016届高三一模)已知双曲线的一个焦点F ,点P 在双曲线的一条渐近线上,点O 为双曲线的对称中心,

若△OFP 为等腰直角三角形,则双曲线的离心率为

(A )6 (B )2 (C )2 (D )3

8、(海淀区2016届高三二模)已知双曲线2

221x y a

-=的一条渐近线与直线1y x =-+垂直,则该双

曲线的焦距为___.

9、(石景山区2016届高三一模)已知抛物线2

4y x =的动弦AB 的中点的横坐标为2,则AB 的最大值为( )

A .4

B .6

C .8

D .12

10、(西城区2016届高三二模)设双曲线C 的焦点在x 轴上,渐近线方程为2

2

y x =±

,则其离心率为____;若点(4,2)在C 上,则双曲线C 的方程为____.

11、(朝阳区2016届高三上学期期末)设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F ,且与

y 轴交于点A ,若OAF ?(O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为

A.24y x =±

B. 24y x =

C. 28y x =±

D. 28y x = 12、(大兴区2016届高三上学期期末)抛物线2y x =的准线方程是

(A ) 14y =- (B ) 1

2y =-

(C ) 14x =- (D )1

2x =-

13、(丰台区2016届高三上学期期末)如图,在圆224

x y +=上任取一点P ,过点P 作x 轴的垂线段PD ,D 为垂足.当点P 在圆上运动时,线段PD 的中点M 的轨迹是椭圆,那么这个椭圆的离心率是 (A )12 (B )

1

4

(C )

22 (D )3

2

14、(东城区2016届高三上学期期末)双曲线

22

1169

x y -=的离心率是_________. 15、(海淀区2016届高三上学期期末)已知双曲线2

2

21(0)y x b b

-=>的一条渐近线通过点(1,2), 则

___,b = 其离心率为__.

16、(顺义区2016届高三上学期期末)过椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>的焦点垂直于x 轴的弦长为a .

则双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的离心率为___________.

O

D y

x

P M

二、解答题

1、(2016年北京高考)已知椭圆C :22

221x y a b

+=过点A (2,0),B (0,1)两点.

(I )求椭圆C 的方程及离心率;

(Ⅱ)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上,直线PA 与y 轴交于点M ,直线PB 与x 轴交于点N ,求证:四边形ABNM 的面积为定值.

2、(2015年北京高考)已知椭圆C :2233x y +=,过点()D 1,0且不过点()2,1E 的直线与椭圆C 交于A ,B 两点,直线AE 与直线3x =交于点M . (Ⅰ)求椭圆C 的离心率;

(Ⅱ)若AB 垂直于x 轴,求直线BM 的斜率;

(Ⅲ)试判断直线BM 与直线D E 的位置关系,并说明理由.

3、(2014年北京高考)已知椭圆C :2224x y +=. (Ⅰ)求椭圆C 的离心率;

(Ⅱ)设O 为原点,若点A 在直线2y =,点B 在椭圆C 上,且OA OB ⊥,求线段AB 长度的最小值.

4、(昌平区2016届高三二模)已知椭圆M :()22

2210x y a b a b

+=>>的焦距为2,点(

)

0,

3D 在椭

圆M 上,过原点O 作直线交椭圆M 于A 、B 两点,且点A 不是椭圆M 的顶点,过点A 作x 轴的垂线,垂足为H ,点C 是线段AH 的中点,直线BC 交椭圆M 于点P ,连接AP .

(Ⅰ)求椭圆M 的方程及离心率; (Ⅱ)求证:AB AP ⊥;

(III )设ABC ?的面积与APC ?的面积之比为q ,求q 的取值范围.

5、(朝阳区2016届高三二模) 在平面直角坐标系xOy 中,000(,)(0)P x y y ≠是椭圆

:C 22

2212x y λλ

+=(0)λ>上的点,过点P 的直线l 的方程为002212x x y y λλ+=.

(Ⅰ)求椭圆C 的离心率;

(Ⅱ)当1λ=时,设直线l 与x 轴、y 轴分别相交于,A B 两点,求OAB ?面积的最小值;

(Ⅲ)设椭圆C 的左、右焦点分别为1F ,2F ,点Q 与点1F 关于直线l 对称,求证: 点 2,,Q P F 三点共线.

6、(东城区2016届高三二模)已知椭圆:C 22

22+1(0)x y a b a b

=>>与y 轴交于12,B B 两点,1F 为

椭圆C 的左焦点,且△112F B B 是边长为2等边三角形. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;

(Ⅱ)设直线1x my =+与椭圆C 交于P ,Q 两点,点P 关于x 轴的对称点为1P (1P 与Q 不重合)

,则直线1PQ 与x 轴是否交于一个定点?若是,请写出定点坐标,并证明你的结论;若不是,请说明理由.

7、(丰台区2016届高三一模)已知椭圆C :22

221(0)x y a b a b

+=>>过点A (2,0),离心率12e =,

斜率为(01)k k <≤ 直线l 过点M (0,2),与椭圆C 交于G ,H 两点(G 在M ,H 之间),与

x 轴交于点B .

(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程;

(Ⅱ)P 为x 轴上不同于点B 的一点,Q 为线段GH 的中点,设△HPG 的面积为1S ,BPQ ? 错误!未找到引用源。面积为2S ,求

1

2

S S 的取值范围.

8、(海淀区2016届高三二模)已知曲线22

:1(0)43

x y C y +=≥, 直线:1l y kx =+与曲线C 交于,A D 两点,,A D 两点在x 轴上的射影分别为点,B C . (Ⅰ)当点B 坐标为(1,0)-时,求k 的值;

(Ⅱ)记OAD ?的面积1S ,四边形ABCD 的面积为2S .

(i ) 若126

3S =

,求||AD 的值; (ii )求证:121

2

S S ≥.

9、(石景山区2016届高三一模)在平面直角坐标系xOy 中,动点P 到两点(

)30-,

,()

30,的距离之和等于4,设动点P 的轨迹为曲线C ,直线l 过点()10E -,且与曲线C 交于A B ,

两点. (Ⅰ)求曲线C 的方程;

(Ⅱ)△AOB 的面积是否存在最大值?若存在,求出此时△AOB 的面积;若不存在,说明理由.

10、(西城区2016届高三二模)已知抛物线C :2

4x y =,过点)0)(,0(>m m P 的动直线l 与C 相交于

B A ,两点,抛物线

C 在点A 和点B 处的切线相交于点Q ,直线BQ AQ ,与x 轴分别相交于点F E ,.

(Ⅰ)写出抛物线C 的焦点坐标和准线方程; (Ⅱ)求证:点Q 在直线y m =-上;

(Ⅲ)判断是否存在点P ,使得四边形PEQF 为矩形?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,说明理由.

11、(石景山区2016届高三上学期期末)已知椭圆C :)0(12222>>=+b a b

y a x ,其中21

=e (e 为

椭圆离心率),焦距为2,过点)0,4(M 的直线l 与椭圆C 交于点B A ,,点B 在AM 之间.又点B

A ,

的中点横坐标为

7

4. (Ⅰ)求椭圆C 的标准方程; (Ⅱ)求直线l 的方程.

12、(顺义区2016届高三上学期期末)已知椭圆:E 22

221x y a b

+=(0)a b >>的一个顶点(0,3)A ,

离心率1

2

e =

. (Ⅰ)求椭圆E 的方程;

(Ⅱ)设动直线:l y kx m =+与椭圆E 相切于点P ,且与直线4x =相交于点Q . 求证:以PQ 为直径的圆过定点(1,0)N .

13、(西城区2016届高三上学期期末)已知椭圆C :)0(12222>>=+b a b

y a x 的离心率为3

2,点

3

(1,

)2

A 在椭圆C 上,O 为坐标原点. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;

(Ⅱ)设动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点,且l 与圆225x y +=的相交于不在坐标轴上的两点1P ,2P ,记直线1OP ,2OP 的斜率分别为1k ,2k ,求证:12k k ?为定值.

参考答案

一、填空、选择题 1、1,2a b == 2、【答案】3

【解析】

试题分析:由题意知2,1c a ==,2

2

2

3b c a =-=,所以3b =. 3、【答案】12

2

=-y x

【解析】由题意知:1,2==a c ,所以1222=-=a c b ,又因为双曲线的焦点在x 轴上,所以C

的方程为122=-y x .

4、2

2

2

8;13

y y x x =-= 5、2x =-,5 6、2 7、B 8、22 9、B

10、6

2 22

184

x y -=

11、C 12、A 13、D

14、

5

4

15、2,5 16、

62

二、解答题

1、【答案】(Ⅰ)2214x y +=;32

=e (Ⅱ)见解析

. (II )设()00,x y P (00x <,00y <),则22

0044x y +=.

又()2,0A ,()0,1B ,所以, 直线PA 的方程为()0

022

y y x x =

--. 令0x =,得0022y y x M =-

-,从而0

02112

y y x M BM =-=+-.

直线PB 的方程为00

1

1y y x x -=

+. 令0y =,得001x x y N =-

-,从而0

0221

x x y N AN =-=+-. 所以四边形ABNM 的面积

1

2

S =

AN ?BM 00002121212x y y x ?

???=++ ???--????

()

22000000000044484

222x y x y x y x y x y ++--+=

--+[来

000000002244

22

x y x y x y x y --+=

--+

2=.

从而四边形ABNM 的面积为定值. 2、【答案】(1)

6

3

;(2)1;(3)直线BM 与直线DE 平行. 【解析】(Ⅰ)椭圆C 的标准方程为2

213

x y +=. 所以3a =,1b =,2c =

.

所以椭圆C 的离心率63

c e a =

=. (Ⅱ)因为AB 过点(1,0)D 且垂直于x 轴,所以可设1(1,)A y ,1(1,)B y -. 直线AE 的方程为11(1)(2)y y x -=--. 令3x =,得1(3,2)M y -. 所以直线BM 的斜率11

2131

BM y y k -+=

=-.

(Ⅲ)直线BM 与直线DE 平行.证明如下: 当直线AB 的斜率不存在时,由(Ⅱ)可知1BM k =.

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