第一部分课后习题
1.学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学生
们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：
（1）按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。
（2）2.1节中的Q值方法。
（3）d’Hondt方法：将A，B，C各宿舍的人数用正整数n=1，2，3，…相除，其商数如
将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A，B，C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。你能解释这种方法的道理吗。
如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额。将3种方法两次分配的结果列表比较。
（4）你能提出其他的方法吗。用你的方法分配上面的名额。
2.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。比如洁银牙膏50g
装的每支1.50元，120g装的3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1。试用比例方法构造模型解释这个现象。
（1）分析商品价格C与商品重量w的关系。价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。
（2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w 的增加c减少的程度变小。解释实际意义是什么。
3.一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将调上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部
只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：
先用机理分析建立模型，再用数据确定参数
4.用宽w的布条缠绕直径d的圆形管道，要求布条不重叠，问布条与管道轴线的夹角 应
多大（如图）。若知道管道长度，需用多长布条（可考虑两端的影响）。如果管道是其他形状呢。
5.用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘，给出几种简便、有效的排列方法，使加工
出尽可能多的圆盘。
6.动物园里的成年热血动物靠饲养的食物维持体温基本不变，在一些合理、简化的假设下
建立动物的饲养食物量与动物的某个尺寸之间的关系。
7.举重比赛按照运动员的体重分组，你能在一些合理、简化的假设下建立比赛成绩与体重
第一部分课后习题答案
2.（1）生产成本主要与重量w成正比，包装成本主要与表面积s成正比，其它成本也
包含与w和s成正比的部分，上述三种成本中都含有与w，s均无关的成分。又因为
形状一定时一般有3
/2w s ∝，故商品的价格可表为γβα++=3
/2w
w C （γβα,,为
大于0的常数）。 （2）单位重量价格13/1--++==
w w w
C
c γβα，其简图如下：
显然c 是w 的减函数，说明大包装比小包装的商品便宜，；曲线是下凸的，说明单价的减少值随着包装的变大是逐渐降低的，不要追求太大包装的商品。
3. 对于同一种鱼不妨认为其整体形状是相似的，密度也大体上相同，所以重量w 与身
长l 的立方成正比，即3
1l k w =，1k 为比例系数。
常钓得较肥的鱼的垂钓者不一定认可上述模型，因为它对肥鱼和瘦鱼同等看待。如果只假定鱼的横截面积是相似的，则横截面积与鱼身最大周长的平方成正比，于是
l d k w 22=，2k 为比例系数。
利用数据估计模型中的系数可得1k =0.014，2k =0.0322，将实际数据与模型结果比较如下表：
基本上满意。
4. 将管道展开如图：
可得απcos d w =，若d 一定，w 趋于0，α趋于π/2；w 趋于πd ，α趋于0。若管道
长度为l ，不考虑两端的影响时布条长度显然为πd l /w ，若考虑两端影响，则应加上πdw/sin α。对于其它形状管道，只需将πd 改为相应的周长即可。
5. 设圆盘半径为单位1，矩形板材长a ，宽b ；可以精确加工，即圆盘之间及圆盘与板
材之间均可相切。 方案一：圆盘中心按正方形排列，如下图1，圆盘总数为1N =[a/2][b/2]
方案二：圆盘中心按六角形排列，如下图2，行数m 满足2+（m-1）≤3a ，于是
m=132+??
?
?
??-a
图1 图2
列数（按图2第1行计数）n 满足：若[b]为奇数，则各行圆盘数相同为（[b]-1）/2；若[b]为偶数，则奇数行圆盘数为[b]/2，偶数行圆盘数为[b]/2-1。
圆盘总数为?
?
?+--=)2(2/12/)1]([)
1(2/)1]([2b m b m N
其中（1）为：m 为偶数。（2）为：m 为奇数，[b]为偶数。 两个方案的比较见下表(表中数字为1N /2N )：
当a ，b 较大时，方案二优于方案一。
其它方案，方案一、二混合，若a=b=20，3行正方形加8行六角形，圆盘总数为106。 6. 假设处于静止状态的动物的饲养食物量主要用于维持体温不变，且动物体内热量主要
通过它的表面积散失，对于一种动物其表面积S 与某特征尺寸l 之间的关系是
2l S ∝，所以饲养食物量2l w ∝。
7. 假设举重比赛成绩y 与运动员肌肉的截面积s 成正比，而截面积2
l s ∝（l 是某特征
尺寸），体重3
l w ∝，于是3
/2w
y ∝。
用举重总成绩检验这个模型，结果如下图3；如果用举重总成绩拟合α
w y ∝，可得
α=0.57，结果如下图4。
图3 图4
第二部分 课后习题
1.
Malthus 模型预测的优缺点。 2. 阻滞增长模型预测的优缺点。 3. 简述动态模型和微分方程建模。
4. 按照你的观点应从那几个方面来建立传染病模型。
5. 叙述Leslie 人口模型的特点。并讨论稳定状况下种群的增长规律。
6. 试比较连续形式的阻滞增长模型 (Logistic 模型)和离散形式阻滞增长模型, 并讨论离散形式阻滞增长模型平衡点及其稳定性。
第二部分 课后习题答案
1. 优点: 短期预报比较准确; 缺点: 不适合中长期预报; 原因: 预报时假设人口增长率为常
数, 没有考虑环境对人口增长的制约作用。 2. 优点: 中期预报比较准确; 缺点: 理论上很好，实用性不强; 原因: 预报时假设固有人口增
长率以及最大人口容量为定值。实际上这两个参数很难确定，而且会随着社会发展情况变化而变化。
3. 动态模型: 描述对象特征随时间(空间)的演变过程, 分析对象特征的变化规律, 预报对象
特征的未来性态, 研究控制对象特征的手段；微分方程建模: 模根据函数及其变化率之间的关系确定函数, 根据建模目的和问题分析作出简化假设, 按照内在规律或用类比法建立微分方程。
4. 描述传染病的传播过程, 分析受感染人数的变化规律, 预报传染病高潮到来的时刻, 预防
传染病蔓延的手段, 按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型。
5. 不同年龄组的繁殖率和死亡率不同, 以雌性个体数量为对象(假设性别比为1:1), 是一种
差分方程模型。 6. 连续形式: ()y t 表示某种群t 时刻的数量(人口)
d (1)d m
y y ry t N =- 离散形式: n y 表示某种群第n 代的数量(人口)
1(1),1,2,n
n n n m
y y y ry n N +-=-
=
若n m y N =, 则12,,n n m y y N ++=, *m y N =是平衡点; 1(1) n
n n n m
y y y ry N +-=-
的平衡点为*
m y N =. 1(1)1(1)n n n m r y r y y r N +??=+-
??+??
的平衡点为*111r x r b ==-+, 其中
1,/(1),()
(1)n n m b r x r y r N f x b x x =+=+=-, 此时的差分方程变为 1(1)()1,2,
n n n n x bx x f x n +=-==.
由()(1)x f x bx x ==-可得平衡点*
*
11,0x x b
=-
=. 在平衡点*
0x =处,由于(0)1f b '=>,因此, *
0x =不稳定.
在在平衡点*
11x b
=-
处, 因**
()(12)2f x b x b '=-=-,所以 (i) *
()13f x b '>?> 当3b >时, 平衡点*11x b
=-不稳定;
(ii) *()1f x '<13b ?<< 当13b <<时, 平衡点*
11x b
=-不稳定.
第三部分 课后习题
1. 判断下列数学模型是否为线性规划模型。（a,b,c 为常数，x,y 为变量）
???????≥=+≤++≥-++=0
,12432085862.753max 1212132
13213
21x x x x x x x x x x t s x x x f ＋）（
?????=≥===∑∏==),,2,1(0),,2,1(.max )2(1
1
n j x m i b x a t s x c f j
n
j i j ij n
j j
j )
,,2,1;,,2,1(..,
min 321
21
2
m j m i c y x t s y b x a f ij
i i n
j j j m
i i i ==≤++=∑∑==）（
2. 将下述线性规划问题化为标准形式。
??????
?≤≤≤-=--≥++-≤++-++=取值无约束）（3213213213213
21,62,063244239232min 1x x x x x x x x x x x x x x x Z ??
???≤≥+--=无约束）（y x x y x y x Z ,3
2||||max 2
???
??≥≤≤-+-=++-+-=无约束
）（321
321321321,0,06
4
..22min 3x x x x x x x x x t s x x x f
??????
?≤≥≥+--=+-≤++++++=无约束
）（4231431
3
2143214321,0,0,1228
5327
..32max 4x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x f
3. 用单纯形法求解线性规划问题。
??????
?≥≤+≤≤+=0
,18231224
..52max 21212121x x x x x x t s x x f
4. 检验函数2122
12)1()(100)(x x x x f -+-=在T x )1,1(*=处有*
*,0G g =正定，从而
*x 为极小点。证明G 为奇异当且仅当005.0212=-x x ，从而证明对所有满足0025.0)( 5. 求出函数4 131212221222)(x x x x x x x f ++-+=的所有平稳点；问哪些是极小点？是否为 全局极小点？ 6. 应用梯度法于函数,10)(2 22 1x x x f +=取.)1,1.0()1(T x =迭代求.)2(x 第三部分 课后习题答案 1. 答案：（1）是 （2）不是 （3）是 2. 答案：（1） 式： ，可得到如下的标准形及剩余变量引入松弛变量令5642233311,. 2',''','x x x x x x x x x x -=-=-= 4''3'3'2'min 3321+-++-=x x x x z ????? ????≥=+=-++=--++=+-++0 ,,,'',',','4'2''3'3'2'42''2'2''37'''''2.65433216233215332143321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s （2）令 ???<-≥=???<≥=0,0,0,.0,0;0,21x x x x x x x x ?? ?<-≥=???<≥=0 ,0,0, . 0,0;0,21y y y y y y y y 引入松弛变量 .,t s 可得到如下的标准形式： ??? ??≥=+-=--+-+++=0,,,,,3 2.'min 2 1212121212 121t s y y x x t x x s y y x x t s y y x x z （3）解：''','333 11x x x x x -=-=令 ： 可得到如下的标准形式引入松弛变量,4x ''2'2'2m in 3321x x x x z -+--= ??? ??≥=++-+=-++0,'',',,'6 ''''4 ''''.4 3321433213321x x x x x x x x x x x x x x t s （4）解：''','444 22x x x x x -=-=令 ：可得到如下的标准形式和剩余变量引入松弛变量,,65x x ?????? ?≥=--+--=++=+-++-+--+-=-='0 ,,",',,',1"2'2285'327"''..'''3'2min 654432164431 32154432144321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x f f 3. 答案：在上述问题的约束条件中加入松弛变量543,,x x x ，将原问题化成标准形式如下： ?????? ?≥=++=+=+--=-='0 ,,18231224..52min 52152 14231 21x x x x x x x x x x t s x x f f 其现成可行基),,(543ααα对应的单纯形表如下： 换基迭代，得 换基迭代，得 故最优解为T X )0,0,2,6,2(* =，目标函数的最优值为34* =f . 4. 证明： ???? ??--++-=)(20022400400)(21213121x x x x x x x g ， ??? ? ??--++-=20040040021200400)(11212x x x x x G ， 经检验，? ?? ? ??--==200400400802)(,0)(**x G x g 正定， )(x G 奇异当且仅当,0)(=x G 即005.0212=-x x 。 若???>+->++-0 400800008000002120040022 1212x x x x ，即0005.022 1>+-x x 时，)(x G 正定， 所以若,0025.0)( 212<-x x ，即005.02 12<-x x ，故)(x G 正定。 5. 解：??? ? ??-++-=)224624)(12312121x x x x x x x g ??? ? ? ?--++=22212124)(2 11x x x G ，故平稳点为),1,1(),5.0,5.0(),0,0(----极小点为),1,1(),0,0(--且是全局极小点。 6. 解：T x )11 9,1109() 2(- = 第四部分 课后习题 1. 如果开金矿博弈中第三阶段乙选择打官司后的结果尚不能确定，即图中a 、b 的数值不确 定。讨论本博弈可能有哪些可能的结果？如果本博弈中的“威胁”和“承诺”是可信的，a 、b 应满足什么条件？ 2. 静态贝叶斯博弈中参与人的策略有什么特点？为什么？ 3. 有了海萨尼转换，不完全信息动态博弈和完全但不完美信息动态博弈基本上是相同的，， 这种论述是否正确？ 4. 判断下列论述是否正确，并作简单讨论。 (1)古玩市场的交易中买卖双方的后悔都来源于自己对古玩价值判断的失误，若预先对价值的判断是正确的，那么交易者肯定不会后悔。 (2)教育程度在劳动力市场招聘员工时受到重视的理由是，经济学已经证明教育对于提高劳动力素质有不可替代的作用。 5. 若（1）“自然”以均等的概率决定得益是下述得益矩阵1的情况还是得益矩阵2的情况， 并让博弈方1知道而不让博弈方2知道；（2）博弈方1在T 和B 中选择，同时博弈方2在L 和R 中进行选择。找出该静态贝叶斯博弈的所有纯策略贝叶斯纳什均衡。 6. 请用下面这个两市场博弈验证海萨尼关于混合策略和不完全信息博弈关系的结论。 第四部分 课后习题答案 1. 参考答案： 括号中的第一个数字代表乙的得益，第二个数字代表甲的得益，所以a 表示乙的得益，而b 表示甲的得益。 在第三阶段，如果0a ，则乙会选择不打官司。这时逆推回第二阶段，甲会选择不分，因为分的得益2小于不分的得益4 。再逆推回第一阶段，乙肯定会选择不借，因为借 的最终得益0比不借的最终得益1小。 在第三阶段，如果0a >，则乙轮到选择的时候会选择打官司，此时双方得益是(a,b)。逆推回第二阶段，如果2b >，则甲在第二阶段仍然选择不分，这时双方得益为(a,b)。在这种情况下再逆推回第一阶段，那么当1a <时乙会选择不借，双方得益（1，0），当1a >时乙肯定会选择借，最后双方得益为（a,b ）。在第二阶段如果2b <，则甲会选择分，此时双方得益为（2，2）。再逆推回第一阶段，乙肯定会选择借，因为借的得益2大于不借的得益1，最后双方的得益（2，2）。 根据上述分析我们可以看出，该博弈比较明确可以预测的结果有这样几种情况： （1）0a <，此时本博弈的结果是乙在第一阶段不愿意借给对方，结束博弈，双方得益 （1，0），不管这时候b 的值是多少；（2）012a b <<>且，此时博弈的结果仍然是乙在第一阶段选择不借，结束博弈，双方得益（1，0）；（3）12a b >>且，此时博弈的结果是乙在第一阶段选择借，甲在第二阶段选择不分，乙在第三阶段选择打，最后结果是双方得益 （a,b ）；（4）02a b ><且，此时乙在第一阶段会选择借，甲在第二阶段会选择分，双方得益（2，2）。 要本博弈的“威胁”，即“打”是可信的，条件是0a >。要本博弈的“承诺”，即“分”是可信的，条件是0a >且2b <。 注意上面的讨论中没有考虑a=0、a=1、b=2的几种情况，因为这些时候博弈方的选择很难用理论方法确定和预测。不过最终的结果并不会超出上面给出的范围。 2. 参考答案： 静态贝叶斯博弈中博弈方的一个策略是他们针对自己各种可能的类型如何作相应的完整计划。或者换句话说，静态贝叶斯博弈中博弈方的策略就是类型空间到行为空间的一个函数，可以是线性函数，也可以是非线性函数，当博弈方的类型只有有限几种时是离散函数，当博弈方的类型空间是连续区间或空间时则是连续函数。只有一种类型的博弈方的策略仍然是一种行为选择，但我们同样可以认为是其类型的函数。 静态贝叶斯博弈中博弈方的策略之所以必须是针对自己所有可能类型的函数，原因是博弈方相互会认为其他博弈方可能属于每种类型，因此会考虑其他博弈方所有可能类型下的行为选择，并以此作为自己行为选择的根据。因此各个博弈方必须设定自己在所有各种可能类型下的最优行为，而不仅仅只考虑针对真实类型的行为选择。 3. 参考答案： 正确。事实上，不完全信息动态博弈与完全但不完美信息动态博弈本质上常常是相同的，是一种博弈问题的两种不同理解方法，而把它们联系起来的桥梁就是海萨尼转换。 4. 参考答案： （1）错误。即使自己对古玩价值的判断是完全正确的，仍然有可能后悔。因为古玩交易的价格和利益不仅取决于古玩的实际价值和自己的估价，还取决于对方的估价和愿意接受的成交价格，因此仅仅自己作出正确的估价并不等于实现了最大的潜在利益。 （2）错误。事实上经济学并没有证明教育对于提高劳动力素质有不可替代的作用。此外，我们之所以认为教育对劳动力市场招聘员工有重要参考价值，是因为教育除了（很 可能）对提高劳动力素质有作用以外，还具有重要的信号机制的作用。也就是说，即使教育并不能提高劳动力素质，往往也可以反映劳动力的素质。 5. 参考答案： 在这个静态的贝叶斯博弈中，博弈方1的策略是私人信息类型的函数：当“自然”选择得益矩阵1时选择T ，当“自然”选择得益矩阵2时选择B 。 博弈方2的策略则根据期望利益最大化决定。博弈方2选择L 策略的期望得益为0.510.500.5?+?=，选择R 策略的期望得益为0.500.521?+?=，因此博弈方2必定选择R 。 所以该博弈的纯策略贝叶斯纳什均衡只有：博弈方1在“自然”选择得益矩阵1时选择T ，当“自然”选择得益矩阵2时选择B ，博弈方2选择R 。 6. 参考答案： 根据对完全信息静态博弈的分析方法，我们很容易发现上述两市场博弈中有两个纯策略纳什均衡（A,B ）和（B,A ），以及一个对称的混合策略纳什均衡：每个厂商都以0.5的概率随机选择A 和B 。 现在我们把上述两市场博弈改成不完全信息的版本。设两个厂商的得益如下面的得益矩阵所示： 其中12t t 和分别是两个厂商的私人信息，对方只知道它们都均匀分布在[,]εε-上。这时候，我们不难证明厂商1采用策略“10t >时选择A ，否则选择B ”，厂商2也采用策略“20t >时选择A ，否则选择B ”，构成这个不完全信息静态博弈的一个贝叶斯纳什均衡。根据12t t 和的上述分布，我们知道两个厂商选择A 和B 的概率都是0.5。当ε趋向于0时，这个不完全信息博弈与完全信息博弈越来越接近，其纯策略贝叶斯均衡当然与完全信息博弈的混合策略纳什均衡完全相同。 第五部分 课后习题 1. 简述古典回归模型的基本假定。 2. 试述戈德菲尔德—匡特（Goldfeld--Quandt ）检验的原理和目的。 3. 简述虚拟变量的作用和设置原则。 4. 简述多重共线性产生的原因和影响。 5. 异方差的后果 6. D.W 检验的优缺点 第五部分 课后习题答案 1． 1)解释变量x 为非随机变量，即在重复抽样过程中，x 取值是可控的、固定的。 2)零均值假定：E （i ε）=0，即随机误差项的平均值为零。 3)同方差假定：D （AL K e α βε ）=σ2（常数），即各随机误差项的离散程度（或波动幅度）是相同的。 4)非自相关假定：Cov （i ε，j ε）=0（i ≠j ），即随机误差项之间是互不相关、互不影响的。 5)解释变量与随机误差项不相关假定，Cov （X i ，i ε）=0（或E （X i i ε）=0），即解释变量与随机误差项互不相关，彼此独立的对y 产生影响。 6)无多重共线性假定，即解释变量之间不存在完全的线性关系。 2． 目的：检验模型的异方差性。 原理：为了检验异方差性，将样本按解释变量后分成两部分，再利用样本1和样本2分别建立回归模型，并求出各自的残差平方和RSS1和RSS2。如果误差项的离散程度相同（即为同方差的），则RSS1与RSS2的值应该大致相同；若两者之间存在显著差异，则表明存在异方差性。检验过程中为了“夸大”残差的差异性，一般先在样本中部去掉C 个数据（通常取C=n/4），再利用F 统计量判断差异的显著性。 评价：G —Q 检验适用于检验样本容量较大、异方差性呈递增或递减的情况，而且检验结果与数据剔除个数C 的选取有关。 3． 作用：反应无法度量的定性因素对经济变量的影响，使模型更加准确地反应实际。 设置原则：对于一个因素多个类型的虚拟变量：对于有m 个不同属性类型的定性因素，应该设置m-1个虚拟变量来反映该因素的影响。 对于多个因素各两种类型的虚拟变量：如果有m 个定性因素，且每个因素各有两个不同的属性类型，则引入m 个虚拟变量。 4． 产生原因： （1）经济变量的内在联系是产生多重共线性的根本原因。 （2）经济变量变化趋势的“共向性”。 （3）解释变量中含有滞后变量。 影响： （1）增大OLS 估计的方差。 （2）难以区分每个解释变量的单独影响。 （3）T 检验的可靠性降低。 （4）回归模型缺乏稳定性。 5． （1）OLS 估计失效 （2）t 估计失效 （3）模型预测误差增大 6． 优点：适用范围广、检验方便 缺点： （1）有两个盲区 （2）模型中不能含有滞后变量 （3）只能检验一阶滞后自相关 第六部分 课后习题 1. 试举出三个模糊集合的例子。 2. 模糊性和随机性有哪些异同？ 3. 我们给定一个三角形，测得三个内角的读数为A=80°、B=55°、C=45°。令I 表示“近 似等腰三角形”，R 表示“近似直角三角形”，E 表示“近似正三角形”，它们都是U 上的Fuzzy 集，其隶属函数规定如下： {}1 (,,)1min ,601 (,,)190601 (,,)1() 60 I R R A B C A B B C A B C A A B C A C μμμ=- --=--=-- 问给定的三角形属于哪一类？ 4. 设 {} ,,,,0.50.10.30.91 0.40.20.60.60.7U a b c d e A a b c d e B a b c d e == ++++ =++++ 求,A B A B 5. 影响教师教学质量的因素可以取为四个： 1 μ =清楚易懂， 2 μ =教材熟练， 3 μ =生动有趣， 4 μ =板书清楚。这样便做出因素集 {}1 2 3 4 ,,,U μμμμ= 。四种因素的权数分配为（0.5，0.2，0.2，0.1） 。 评价取集为{}1 2 3 4 ,,,V v v v v = =（很好，较好，一般，不好） 。 对于某个教师β，请若干人（教师，学生等等），单就 1 μ 来说，若有40%的人说好，50% 的人说较好，10%的人说一般，，没有人说不好，则得关于 1 μ 的单因素决策向量： （0.4，0.5，0.1，0） 类似地有 （0.6，0.3，0.1，0） （0.1，0.2，0.6，0.1） （0.1，0.2，0.5，0.2） 问该教师的教学质量如何评价？ 6. 设{}1 2 3 4 5 ,,,,X x x x x x = ，对[]0,1α∈有： {}{}{}{}{}12345 1245 124144,,,,00.4,,,0.40.6 ,,0.60.7,0.70.80.8 1.0A x x x x x x x x x x x x x x x αααααα?≤≤??<≤?? =<≤?? <≤?? <≤?? 试求A 。 第六部分 课后习题答案 3. 答案：计算 5 (80,55,45)0.8368 (80,55,45)0.89935 (80,55,45)10.81 180 I R R μμμ= ≈=≈=-≈ 按最大隶属原则，这个三角形应归入“近似直角三角形”。 4. 答案： (0.50.4)(0.10.2)(0.30.6)(0.90.6)(10.7) 0.40.10.30.60.70.7(0.50.4)(0.10.2)(0.30.6)(0.90.6)(10.7)0.50.20.60.910.2 A B A B =∧∨∧∨∧∨∧∨∧=∨∨∨∨==∨∧∨∧∨∧∨∧∨=∧∧∧∧= 5. 答案：作出单因素评判矩阵 0.40.50.1 00.60.30.100.10.20.60.10.1 0.20.50.2R ?? ??? ?=?? ?? ?? 权数分配为 A=（0.5，0.2，0.2，0.1） 容易算出综合评判向量 (0.4,0.5,0.2,0.1)B A R == 其中 11 2131411 1 234()()()()0.4b a a a a r r r r =∧∨∧∨∧∨∧= 其他也是类似算出的，最大值为0.5，故该教师的讲课质量定为较好了。 6. 答案：有[]{}1 1 ()0.80,1|A A x x αα=∨∈=∈ 同理2 3 3 5 ()0.7,()0.4,() 1.0,()0.6A A A A x x x x ==== 故有 1 2 3 4 5 0.80.70.4 1.00.6 A x x x x x = + + ++ 第七部分 课后习题 1. 判断下列各图是不是欧拉图或半欧拉图？如果是，请找出其中的欧拉通路或欧拉回路。 （a ） （b ） （c ） 2. 请找出此无向带权图中顶点A 到其余各顶点的最短路径。 3.请找出此有向带权图中顶点A到其余各顶点的最短路径。 4.求下列图中的最优投递路线。 （a）（b）5.找出下面二部图的最大匹配 图10 6. 根据图12所示比赛结果，给出队伍的排名。 图12 第七部分 课后习题答案 1. 答：（a ）半欧拉图；（b ）欧拉图；（c ）都不是。 2. 答： A 到B 的最短路为ACB ，其权为3； A 到C 的最短路为AC ，其权为1； A 到D 的最短路为ACD ，其权为3； A 到E 的最短路为ACFE ，其权为8； A 到F 的最短路为ACF ，其权为6； A 到G 的最短路为ACDG ，其权为6； A 到H 的最短路为ACFH ，其权为8； 3. 答: A 到B 的最短路为AB ，其权为1； A 到C 不可达，无最短路； A 到D 的最短路为AD ，其权为3； A 到E 的最短路为ADE ，其权为7； A 到F 的最短路为ABF ，其权为7； A 到G 的最短路为ABFG ，其权为14。 4. 答：（a ）图中有四个奇度顶点，即{},,,V A B C D '=，完全带权图K4为图6所示，相应 的欧拉图*G 为图7所示。 图6 图7 数学建模作业 姓名:李成靖 学号:140803０3１１ 班级:计科1403班 日期:２０15．12。30 １.某班准备从5名游泳队员中选4人组成接力队，参加学校的4×100ｍ混合泳接力比赛,5名队员４种泳姿的百米平均成绩如下表所示，问应如何选拔队员组成接力队? 如果最近队员丁的蛙泳成绩有较大的退步，只有１′1５＂２;而队员戊经过艰苦训练自由泳成绩有所进步,达到57”5，组成接力队的方案是否应该调整? 名队员4种泳姿的百米平均成绩 ｉj 若参选择队员i 加泳姿j 的比赛，记x i ｊ＝1， 否则记ｘi ｊ=０ 目标函数： 即m ｉn=66．8*x11+7５.６*ｘ1２+87＊x13+58．６＊x1４+57。2＊x21＋66*x22+66.４＊x ２3＋53＊x2４＋７8＊ｘ3１+67．8＊x32+８4。6*ｘ３3+59．４*x34+70*x ４1+74。2＊x42+69.６*x ４３＋５７。2＊x44+6７。4＊ｘ5１+71＊ｘ5２＋8３。8*x53＋62.4*x5４; 约束条件: x 11＋x12+x13＋x14〈=1； x ２1＋x22+x2３+x ２4〈=1; x ３１+x32+x33+x34<＝1； x ４1+ｘ4２＋x ４3+x44〈＝１； x ５1＋ｘ５2+ｘ５３+ｘ54＜=1； ｘ11＋x ２1+ｘ31＋x41+x51=1； x １2+ｘ2２＋x32+x4２+ｘ５2=１; ｘ13+x ２3＋x33+x43+x53=１; ｘ14+ｘ24+x ３4＋ｘ4４+x54=１; 甲 乙 丙 丁 戊 蝶泳 1′06＂8 ５7”２ 1′1８” 1′１0” １′07＂４ 仰泳 1′１5＂6 1′06＂ 1′0７”8 １′14"２ 1′11＂ 蛙泳 1′２7” １′0６"4 1′２4"6 1′09＂6 １′2３"8 自由泳 5８"6 53” 59”４ 5７”２ 1′02”４ ∑∑=== 415 1j i ij ij x c Z Min 数学建模部分课后习题解答 中国地质大学 能源学院 华文静 1.在稳定的椅子问题中，如设椅子的四脚连线呈长方形，结论如何？ 解： 模型假设 （1） 椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连线呈长方形 （2） 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况）， 即从数学角度来看，地面是连续曲面。这个假设相当于给出了椅子能放稳的必要条件 （3） 椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。为了保证这一点，要求对于椅脚的间 距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的。因为在地面上椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内，如果出现深沟或凸峰（即使是连续变化的），此时三只脚是无法同时着地的。 模型建立 在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示出来。首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动。生活经验告诉我们，要把椅子通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换。然而，平移椅子后问题的条件没有发生本质变化，所以用平移的办法是不能解决问题的。于是可尝试将椅子就地旋转，并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形。 注意到椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转180度后，椅子仍在原地。把长方形绕它的对称中心旋转，这可以表示椅子位置的改变。于是，旋转角度θ这一变量就表示了椅子的位置。为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题。 设椅脚连线为长方形ABCD,以对角线AC 所在的直线为x 轴，对称中心O 为原点，建立平面直角坐标系。椅子绕O 点沿逆时针方向旋转角度θ后，长方形ABCD 转至A1B1C1D1的位置，这样就可以用旋转角）0（πθθ≤≤表示出椅子绕点O 旋转θ后的位置。 其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来。当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚不着地。由于椅子在不同的位置是θ的函数，因此，椅脚与地面的竖直距离也是θ的函数。 由于椅子有四只脚，因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们都是θ的函数，而由假设（3）可知，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地，即这四个函数对于任意的θ，其函数值至少有三个同时为0。因此，只需引入两个距离函数即可。考虑到长方形ABCD 是对称中心图形，绕其对称中心O 沿逆时针方向旋转180度后，长方形位置不变，但A,C 和B,D 对换了。因此，记A ，B 两脚与地面竖直距离之和为)(θf ，C,D 两脚之和为 )(θg ，其中[]πθ，0∈，使得)()(00θθg f =成立。 模型求解 如果0)0()0(== g f ，那么结论成立。 《数学模型》作业解答 第七章（ 2008 年 12 月 4 日） 1．对于节蛛网模型讨论下列问题： （ 1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第 k 1时段的价格y k 1由第k 1 和第 k 时段的数量x k 1和x k决定，如果仍设x k 1仍只取 决于 y k ，给出稳定平衡的条件，并与节的结果进行比较 . （ 2）若除了 y k 1 由 x k 1 和 x k 决定之外， x k 1 也由前两个时段的价格 析稳定平衡的条件是否还会放宽 . 解：（ 1）由题设条件可得需求函数、供应函数分别为： y k 1 f x k 1 x k ) ( 2 x k 1 h( y k ) 在 P 0 (x 0 , y 0 ) 点附近用直线来近似曲线 f , h ，得到 y k 1 y 0 ( x k 1 x k x 0 ), 2 x k 1 x 0 ( y k y 0 ) , 由（ 2）得 x k 2 x 0 ( y k 1 y 0 ) （ 1）代入（ 3）得 x k 2 x 0 ( x k 1x k x 0 ) 2 2x k 2 x k 1 x k 2x 0 2 x 0 对应齐次方程的特征方程为 2 2 ( ) 2 8 特征根为 1, 2 4 y k 和 y k 1 确定 . 试分 (1) ( 2) (3) 当 8 时，则有特征根在单位圆外，设 8 ，则 1,2 ( ) 2 ( ) 2 8 42 2 4 1,2 1 2 即平衡稳定的条件为 2与 P 207 的结果一致 . （ 2）此时需求函数、供应函数在 P 0 (x 0 , y 0 ) 处附近的直线近似表达式分别为： y k 1 y 0 ( x k 1 x k x 0 ), ( 4) 2 x k 1 x 0 ( y k y k 1 y 0 ) , ( 5) 2 由（ 5）得， (x x 0 ) β(y y y k 1 y 0 ) ( 6 ) 2 k 3 k 2 将（ 4）代入（ 6），得 2( x k 3 x 0 ) ( x k 2 x k 1 x 0 ) ( x k 1 x k x 0 ) 2 2 4 x k 3x k 2 2 x k 1 x k 4 x 0 4 x 0 对应齐次方程的特征方程为 4 3 2 2 0 (7) 代数方程（ 7 ）无正实根，且 αβ , , 2 4 不是（ 7）的根 . 设（ 7）的三个非零根分 别为 1, 2, 3，则 1 2 3 4 1 2 2 3 3 1 2 1 2 3 4 对（ 7）作变换： , 则 12 3 q 0, p 其中 p 1 (2 2 2 ), q 1(833 2 2 ) 4 12 4 123 6 上机练习题一 班级： 姓名： 学号： 1.建立起始值=3,增量值=5.5,终止值=44的一维数组x 答案： x=(3:5.5:44) 2.写出计算 Sin(30o )的程序语句. 答案： sin(pi*30/180) 或 sin(pi/6) 3.矩阵??????????=187624323A ,矩阵???? ??????=333222111B ;分别求出B A ?及A 与B 中对应元素之间的乘积. 答案：A = [3,2,3; 4,2,6; 7,8,1] B = [1,1,1; 2,2,2; 3,3,3] A*B ；A.*B 4计算行列式的值1 876243 23=A 。答案：det(A) 5对矩阵 ???? ??????=187624323A 进行下述操作。 (1)求秩。答案：rank(A) (2)求转置。答案：A' (3) 对矩阵求逆，求伪逆。答案：inv(A) ，pinv(A) (4) 左右反转,上下反转。答案：fliplr(A)，flipud(A) (5) 求矩阵的特征值. 答案：[u,v]=eig(A) (6) 取出上三角和下三角. 答案：triu(A) tril(A) (7)以A 为分块作一个3行2列的分块矩阵。答案：repmat(a) 6 计算矩阵??????????897473535与???? ??????638976242之和。 >> a=[5 3 5;3 7 4;7 9 8]; >> b=[2 4 2;6 7 9;8 3 6]; >> a+b 7 计算??????=572396a 与?? ????=864142b 的数组乘积。 >> a=[6 9 3;2 7 5]; >> b=[2 4 1;4 6 8]; 数学建模作业 1、在甲乙双方的一场战争中，部分甲方部队被乙方部队包围长达4个月，乙方封锁了所有 水陆交通通道，因此被包围的甲方只能依靠空中交通维持补给，运送4个月的供给依此分别 需要2次、3次、3次、4次飞行，每次飞行编队由50架飞机组成，每架飞机都需要3名飞 行员，每架飞机每月只能飞行一次，每名飞行员每月也只能飞行一次，每次执行完运输飞行 任务后的返回途中有20%的飞机被乙方部队击落，导致机上的飞行员也牺牲或失踪。在第 一个月开始时，甲方拥有110架飞机和330名熟练的飞行员，每个月开始时，甲方可以招聘 新飞行员和购买新飞机，新飞机必须经过一个月的检查磨合后才可以投入使用，新飞行员也 必须在熟练飞行员的指导下经过一个月的训练才能成为熟练飞行员而投入飞行（作为教练的 熟练飞行员本月不能参与飞行任务），每名熟练飞行员作为教练每月指导20名飞行员（包括 自己在内）进行训练，每名飞行员在完成本月的飞行任务后必须有一个月的带薪休假，然后 返回待命可再次投入飞行，已知各项费用平均单价如下表所示（单位：千元）。 第一个月第二个月第三个月第四个月新飞机价格200 195 190 185 闲置的熟练飞行员报酬7 6.9 6.8 6.7 10 9.9 9.8 9.7 教练及飞行员报酬和训练 费用 执行飞行任务的飞行员报 9 8.9 9.8 9.7 酬 休假期的飞行员报酬 5 4.9 4.8 4.7 （1）为甲方安排一个总费用最小的飞行计划。 （2）如果每名熟练飞行员作为教练每月指导不超过20名飞行员（包括自己在内）进行训练， 相应的模型和安排将会发生怎样的改变？ 解：（1） 设每月初购买飞机数量为d1，d2，d3,d4架，每月闲置飞机数量为 y1,y2,y3,y4架，每月教练与新飞行员总数量为a1,a2,a3,a4人，每月闲置熟练 飞行员的数量为b1,b2,b3,b4人。由于每月执行任务的飞行员和休假期的飞行员 的数量是固定的，即这部分的花费是固定的，所以在优化目标中可以不必考虑。 模型建立： 决策变量：设每月初购买飞机数量为d1，d2，d3,d4架，每月闲置飞机数量 为y1,y2,y3,y4架，每月教练与新飞行员总数量为a1,a2,a3,a4人，每月闲置熟 练飞行员的数量为b1,b2,b3,b4人。 目标函数：设总费用为z元，则由价格平均表可知： z=200d1+195d2+190d3+185d4+10a1+9.9a2+9.8a3+9.7a4+7b1+6.9b2+6.8b3+ 6.7b4 约束条件包括： （1）飞机数量限制：四个月中出去执行任务的飞机数量分别为100，150，150，200架次，每次安全返回的数量为80，120，120，160架次。 根据每个月的实际情况可得方程： 100+y1=110； 150+y2=80+y1+d1； 150+y3=120+y2+d2； 200+y4=120+y3+d3； 第一部分课后习题 1.学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学 生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数： （1）按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。 （2）2.1节中的Q值方法。 （3）d’Hondt方法：将A，B，C各宿舍的人数用正整数n=1，2，3，…相除，其商数如下表： 将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A，B，C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。你能解释这种方法的道理吗。 如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额。将3种方法两次分配的结果列表比较。 （4）你能提出其他的方法吗。用你的方法分配上面的名额。 2.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。比如洁银牙膏50g 装的每支1.50元，120g装的3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1。试用比例方法构造模型解释这个现象。 （1）分析商品价格C与商品重量w的关系。价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。 （2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w的增加c减少的程度变小。解释实际意义是什么。 3.一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将调上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部 只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）： 先用机理分析建立模型，再用数据确定参数 4.用宽w的布条缠绕直径d的圆形管道，要求布条不重叠，问布条与管道轴线的夹角 应 多大（如图）。若知道管道长度，需用多长布条（可考虑两端的影响）。如果管道是其他形状呢。 西南大学2014年春《数学建模》作业及答案(已整理) 第一次作业 1：[填空题] 名词解释: 1．原型 2．模型 3．数学模型 4．机理分析 5．测试分析 6．理想方法 7．计算机模拟 8．蛛网模型 9．群体决策 10．直觉 11．灵感 12．想象力 13．洞察力 14．类比法 15．思维模型 16．符号模型 17．直观模型 18．物理模型19．2倍周期收敛20．灵敏度分析21．TSP问题22．随机存储策略23．随机模型24．概率模型25．混合整数规划26．灰色预测 参考答案： 1．原型：原型指人们在现实世界里关心、研究或者从事生产、管理的实际对象。2．模型：指为某个特定目的将原形的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。3．数学模型：是由数字、字母或其它数字符号组成的，描述现实对象数量规律的数学公式、图形或算法。4．机理分析：根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律，建立的模型常有明显的物理意义或现实意义。5．测试分析：将研究对象看作一个"黑箱”系统，通过对系统输入、输出数据的测量和统计分析，按照一定的准则找出与数据拟合得最好的模型。6．理想方法：是从观察和经验中通过想象和逻辑思维，把对象简化、纯化，使其升华到理状态，以其更本质地揭示对象的固有规律。7．计算机模拟：根据实际系统或过程的特性，按照一定的数学规律用计算机程序语言模拟实际运行情况，并依据大量模拟结构对系统或过程进行定量分析。8．蛛网模型：用需求曲线和供应曲线分析市场经济稳定性的图示法在经济学中称为蛛网模型。9．群体决策：根据若干人对某些对象的决策结果，综合出这个群体的决策结果的过程称为群体决策。10．直觉：直觉是人们对新事物本质的极敏锐的领悟、理解或推断。11．灵感：灵感是指在人有意识或下意识思考过程中迸发出来的猜测、思路或判断。12．想象力：指人们在原有知识基础上，将新感知的形象与记忆中的形象相互比较、重新组合、加工、处理，创造出新形象，是一种形象思维活动。13．洞察力：指人们在充分占有资料的基础上，经过初步分析能迅速抓住主要矛盾，舍弃次要因素，简化问题的层次，对可以用那些方法解决面临的问题，以及不同方法的优劣作出判断。14．类比法：类比法注意到研究对象与以熟悉的另一对象具有某些共性，比较二者相似之处以获得对研究对象的新认识。15．思维模型：指人们对原形的反复认识，将获取的知识以经验的形式直接储存于人脑中，从而可以根据思维或直觉作出相应的决策。16．符号模型：是在一定约束条件或假设下借助于专门的符号、线条等，按一定形式组合起来描述原型。17．直观模型：指那些供展览用的实物模型以及玩具、照片等，通常是把原型的尺寸按比例缩小或放大，主要追求外观上的逼真。18．物理模型：主要指科技工作者为一定的目的根据相似原理构造的模型，它不仅可以显示原型的外形或某些特征，而且可以用来进行模拟实验，间接地研究原型的某些规律。19．2倍周期收敛：在离散模型中，如果一个数列存在两个收敛子列就称为2倍周期收敛。20．灵敏度分析：系数的每个变化都会改变线性规划问题，随之也会影响原来求得的最优解。为制定一个应付各种偶然情况的全能方法，必须研究以求得的最优解是怎样随输入系数的变化而变化的。这叫灵敏性分析。21．TSP问题：在加权图中寻求最佳推销员回路的问题可以转化为在一个完备加权图中寻求最佳哈密顿圈的问题，称为TSP问题。22．随机存储策略：商店在订购货物时采用的一种简单的策略，是制定一个下界s和一个上界S，当周末存货不小于s时就不定货；当存货少于s 时就订货，且定货量使得下周初的存量达到S，这种策略称为随机存储策略。23．随机模型：如果随机因素对研究对象的影响必须考虑，就应该建立随机性的数学模型，简称为随机模型。24．概 数学模型课后答案 《数学模型》作业答案 第二章(1)（2012年12月21日） 1．学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍.学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数： （1）. 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者; （2）. §1中的Q值方法； （3）.d’Hondt方法：将A、B、C各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,……相除，其商数如下表： 将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A 、B 、C 行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位.你能解释这种方法的道理吗？ 如果委员会从10个人增至15人，用以上3种方法再分配名额，将3种方法两次分配的结果列表比较. 解：先考虑N=10的分配方案， , 432 ,333 ,235321 ===p p p ∑==3 1 . 1000i i p 方法一（按比例分配） , 35.23 1 11 == ∑=i i p N p q , 33.33 1 22 == ∑=i i p N p q 32 .43 1 33 == ∑=i i p N p q 分配结果为： 4 ,3 ,3321 ===n n n 方法二（Q 值方法） 9个席位的分配结果（可用按比例分 配）为： 4 ,3 ,2321===n n n 第10个席位：计算Q 值为 2． 试用微积分方法，建立录像带记数器读数n 与转过时间的数学模型. 解： 设录像带记数器读数为n 时，录像带转过时间为t.其模型的假设见课本. 考虑t 到t t ?+时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得,2)(kdn wkn r vdt π+=两边积分，得 ??+=n t dn wkn r k vdt 0 )(2π ) 2 2 2 n wk k(r n πvt +=∴ . 2 2 2n v k w n v rk t ππ+=∴ 《数学模型》作业解答 第三章1（2008年10月14日） 1. 在 3.1节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用,重新确定最优订货周期和订货批量．证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货模型中最优订货周期和订货批量都比原来结果减少． 09级数模试题 1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然后稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。（15分） 解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很 可能是否定的。 因此对这个问题我们假设： （1）地面为连续曲面 （2）长方形桌的四条腿长度相同 （3）相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的 （4）方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。 那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。 现在，我们来证明：如果上述假设 条件成立，那么答案是肯定的。以长方 桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图 所示，方桌的四条腿分别在A、B、C、D 处，A、、D的初始位置在与x轴平行，再 假设有一条在x轴上的线,则也与A、B，C、D平行。当方桌绕中心0旋转时，对角线与x轴的夹角记为θ。 容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。为消除这一不确定性，令() fθ为A、B离地距离之和， ()g θ为C 、D 离地距离之和，它们的值由θ唯一确定。由假设（1）， ()f θ,()g θ均为θ的连续函数。又由假设（3） ，三条腿总能同时着地， 故()f θ()g θ=0必成立（?θ）。不妨设(0)0f =(0)0g >（若(0)g 也为0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转），于是问题归结为： 已知()f θ,()g θ均为θ的连续函数，(0)0f =,(0)0g >且对任意θ有00()()0f g θθ=，求证存在某一0θ，使00()()0f g θθ=。 证明：当θ=π时，与互换位置，故()0f π>，()0g π=。作()()()h f g θθθ=-，显然，()h θ也是θ的连续函数，(0)(0)(0)0h f g =-<而()()()0h f g πππ=->，由连续函数的取零值定理，存在0θ，00θπ<<，使得0()0h θ=，即00()()f g θθ=。又由于00()()0f g θθ=，故必有00()()0f g θθ==，证毕。 2.学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍。学生 们要组织一个10人的委员会，试用合理的方法分配各宿舍的委员数。（15分） 解：按各宿舍人数占总人数的比列分配各宿舍的委员数。设：A 宿舍的委员数为x 人，B 宿舍的委员数为y 人，C 宿舍的委员数为z 人。计算出人数小数点后面的小数部分最大的整数进1，其余取整数部分。 则 10； 10=235/1000； 《数学模型》作业答案 第二章(1)（2012年12月21日） 1． 学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍.学生们 要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数： （1）. 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者; （2）. §1中的Q 值方法； （3）.d ’Hondt 方法：将A 、B 、C 各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,……相除，其商数如下表： 将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A 、B 、C 行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位.你能解释这种方法的道理吗？ 如果委员会从10个人增至15人，用以上3种方法再分配名额，将3种方法两次分配的结果列表比较. 解：先考虑N=10的分配方案， ,432 ,333 ,235321===p p p ∑==3 1 .1000i i p 方法一（按比例分配） ,35.23 1 11== ∑=i i p N p q ,33.33 1 22== ∑=i i p N p q 32.43 1 33== ∑=i i p N p q 分配结果为： 4 ,3 ,3321===n n n 方法二（Q 值方法） 9个席位的分配结果（可用按比例分配）为： 4 ,3 ,2321===n n n 第10个席位：计算Q 值为 ,17.92043223521=?=Q ,75.92404333322=?=Q 2.9331544322 3=?=Q 3Q 最大，第10个席位应给C.分配结果为 5 ,3 ,2321===n n n 方法三（d ’Hondt 方法） 此方法的分配结果为：5 ,3 ,2321===n n n 此方法的道理是：记i p 和i n 为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表A 、B 、C 宿舍）. i i n p 是每席位代表的人数，取,,2,1 =i n 从而得到的i i n p 中选较大者，可使对所有的,i i i n p 尽量接近. 再考虑15=N 的分配方案，类似地可得名额分配结果.现将3种方法两次分配的结果列表如下： 2． 试用微积分方法，建立录像带记数器读数n 与转过时间的数学模型. 解： 设录像带记数器读数为n 时，录像带转过时间为t.其模型的假设见课本. 考虑t 到t t ?+时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得,2)(kdn wkn r vdt π+=两边积分，得 ?? +=n t dn wkn r k vdt 0 )(2π )22 2 n wk k(r n πvt +=∴ .2 22n v k w n v rk t ππ+=∴ 《数学模型》作业解答 第三章1（2008年10月14日） 数学建模习题指导 第一章 初等模型 讨论与思考 讨论题1 大小包装问题 在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象吗？比如洁银牙膏50g 装的每支1.50元，120g 装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2:1，试用比例方法构造模型解释这种现象。 （1）分析商品价格C 与商品重量w 的关系。 （2）给出单位重量价格c 与w 的关系，并解释其实际意义。 提示： 决定商品价格的主要因素：生产成本、包装成本、其他成本。 单价随重量增加而减少 单价的减少随重量增加逐渐降低 思考题2 划艇比赛的成绩 赛艇是一种靠浆手划桨前进的小船，分单人艇、双人艇、四人艇、八人艇四种。各种艇虽大小不同，但形状相似。T.A.McMahon 比较了各种赛艇1964—1970年四次2000m 比赛的最好成绩(包括1964年和1968年两次奥运会和两次世界锦标赛)，见下表。建立数学模型解释比赛成绩与浆手数量之间的关系。 各种艇的比赛成绩与规格 γβα++=3 2w w C w w c γβα++=-3 123 431w w c γβ--='-3 2943 4w w c γβ+=''- 第二章 线性代数模型 森林管理问题 森林中的树木每年都要有一批砍伐出售。为了使这片森林不被耗尽且每年都有所收获，每当砍伐一棵树时，应该就地补种一棵幼苗，使森林树木的总数保持不变。被出售的树木，其价值取决于树木的高度。开始时森林中的树木有着不同的高度。我们希望能找到一个方案，在维持收获的前提下，如何砍伐树木，才能使被砍伐的树木获得最大的经济价值。 思考： 试解释为什么模型中求解得到的 为每周平均销售量会略小于模型假设中给出的1。 练习： 将钢琴销售的存贮策略修改为：当周末库存量为0或1时订购，使下周初的库存 达到3架；否则，不订购。建立马氏链模型，计算稳态下失去销售机会的概率和每周的平均销售量。 2.将钢琴销售的存贮策略修改为：当周末库存量为0时订购本周销售量加2架；否则，不订购。建立马氏链模型，计算稳态下失去销售机会的概率和每周的平均销售量。 第三章 优化模型 讨论题 1）最优下料问题 用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘。给出几种加工排列方法，比较出最优下料方案。 2）广告促销竞争问题 甲乙两公司通过广告竞争销售商品，广告费分别为 x 和 y 。设甲乙公司商品的售量在两公司总售量中所占份额是它们的广告费在总广告费中所占份额的函数 又设公司的收入与售量成正比，从收入中扣除广告费后即为公司的利润。试构造模型的图形，并讨论甲公司怎样确定广告费才能使利润最大。 （1）令 （2）写出甲公司的利润表达式 对一定的 y ，使 p (x ) 最大的 x 的最优值应满足什么关系。用图解法确定这个最优值。 练习1 三个家具商店购买办公桌：A 需要30张，B 需要50张，C 需要45张。这些办公桌由两个工厂供应：工厂1生产70张，工厂2生产80张。下表给出了工厂和商店的距离（单位公里） ， 857.0=n R ) (),(y x y f y x x f ++的示意图。。画出则)()()(,t f t f t f y x x t 11=-++= 。 )(t p 1.你要在雨中从一处沿直线走到另一处，雨速是常数，方向不变。 你是否走得越快，淋雨量越少呢？ 2.假设在一所大学中，一位普通教授以每天一本的速度开始从图书 馆借出书。再设图书馆平均一周收回借出书的1/10，若在充分长的时间内，一位普通教授大约借出多少年本书？ 3.一人早上6：00从山脚A上山，晚18：00到山顶B；第二天，早 6：00从B下山，晚18：00到A。问是否有一个时刻t,这两天都在这一时刻到达同一地点？ 4.如何将一个不规则的蛋糕I平均分成两部分？ 5.兄妹二人沿某街分别在离家3公里与2公里处同向散步回家，家 中的狗一直在二人之间来回奔跑。已知哥哥的速度为3公里/小时，妹妹的速度为2公里/小时，狗的速度为5公里/小时。分析半小时后，狗在何处？ 6.甲乙两人约定中午12：00至13：00在市中心某地见面，并事先 约定先到者在那等待10分钟，若另一个人十分钟内没有到达，先到者将离去。用图解法计算，甲乙两人见面的可能性有多大？ 7.设有n个人参加某一宴会，已知没有人认识所有的人，证明：至 少存在两人他们认识的人一样多。 8.一角度为60度的圆锥形漏斗装着10 端小孔的 面积为0.5 9.假设在一个刹车交叉口，所有车辆都是由东驶上一个1/100的斜 坡，计算这种情 下的刹车距离。如果汽车由西驶来，刹车距离又是多少？ 10. 水管或煤气管经常需要从外部包扎以便对管道起保护作用。包扎时用很长的带子缠绕在管道外部。为了节省材料，如何进行包扎才能使带子全部包住管道而且带子也没有发生重叠。 :顶=1：a:b ，选坐v>0,而设语雨速 L( 1q -+v x ),v≤x Q(v)= L( v x -q +1),v>x 2.解：由于教授每天借一本书，即一周借七本书，而图书馆平均每周 第一章 课后习题6. 利用1.5节药物中毒施救模型确定对于孩子及成人服用氨茶碱能引起严重中毒和致命的最小剂量。 解：假设病人服用氨茶碱的总剂量为a ，由书中已建立的模型和假设得出肠胃中的药量为： )()0(mg M x = 由于肠胃中药物向血液系统的转移率与药量)(t x 成正比，比例系数0>λ，得到微分方程 M x x dt dx =-=)0(,λ（1） 原模型已假设0=t 时血液中药量无药物，则0)0(=y ，)(t y 的增长速度为x λ。由于治疗而减少的速度与)(t y 本身成正比，比例系数0>μ，所以得到方程： 0)0(,=-=y y x dt dy μλ（2） 方程（1）可转换为：t Me t x λ-=)( 带入方程（2）可得：)()(t t e e M t y λμμ λλ ----= 将01386=λ和1155.0=μ带入以上两方程，得： t Me t x 1386.0)(-= )(6)(13866.01155.0---=e e M t y t 针对孩子求解，得： 严重中毒时间及服用最小剂量：h t 876.7=，mg M 87.494=； 致命中毒时间及服用最小剂量：h t 876.7=，mg M 8.4694= 针对成人求解： 严重中毒时间及服用最小剂量：h t 876.7=，mg M 83.945= 致命时间及服用最小剂量：h t 876.7=，mg M 74.1987= 课后习题7. 对于1.5节的模型，如果采用的是体外血液透析的办法，求解药物中毒施救模型的血液用药量的变化并作图。 解：已知血液透析法是自身排除率的6倍，所以639.06==μu t e t x λ-=1100)(，x 为胃肠道中的药量，1386.0=λ )(6600)(t t e e t y λμ---= 1386.0,639.0,5.236)2(,1100,2,====≥-=-λλλu z e x t uz x dt dz t 解得：()2,274.112275693.01386.0≥+=--t e e t z t t 用matlab 画图: 图中绿色线条代表采用体外血液透析血液中药物浓度的变化情况。 从图中可以看出，采取血液透析时血液中药物浓度就开始下降。T=2时，血液中药物浓度最高，为236.5；当z=200时，t=2.8731，血液透析0.8731小时后就开始解毒。 第二章 1.用 2.4节实物交换模型中介绍的无差别曲线的概念，讨论以下的雇员和雇主之间的关系： 1）以雇员一天的工作时间和工资分别为横坐标和纵坐标，画出雇员无差别曲线族的示意图，解释曲线为什么是那种形状； 2）如果雇主付计时费，对不同的工资率画出计时工资线族，根据雇员的无差别曲线族和雇主的计时工资线族，讨论双方将在怎样的一条曲线上达成协议； 3）雇员和雇主已经达成了协议，如果雇主想使用雇员的工作时间增加到t 2，他有两种 15．速度为v 的风吹在迎风面积为s 的风车上，空气密度是ρ ，用量纲分析方法确定风车获得的功率P 与v 、S 、ρ的关系. 解: 设P 、v 、S 、ρ的关系为0),,,(=ρs v P f ， 其量纲表达式为: [P]=32-T ML , [v ]=1-LT ,[s ]=2L ,[ρ]=3-ML ,这里T M L ,,是基本量纲. 量纲矩阵为： A=) ??????? ???---ρ()() ()()()()(001310013212s v P T M L 齐次线性方程组为： ?? ? ??=--=+=-++0 30 32221414321y y y y y y y y 它的基本解为)1,1,3,1(-=y 由量纲i P 定理得 1131ρπs v P -=， 1 13ρλs v P =∴ ， 其中λ是无量纲常数. 16．雨滴的速度v 与空气密度ρ、粘滞系数μ和重力加速度g 有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系 数，用量纲分析方法给出速度v 的表达式. 解：设v ,ρ,μ,g 的关系为(f v ,ρ,μ,g )=0.其量纲表达式为[v ]=LM 0T -1，[ρ]=L -3MT 0 ， [μ]=MLT -2 （LT -1L -1 ）-1L -2 =MLL -2T -2 T=L -1 MT -1 ，[g ]=LM 0T -2 ,其中L ，M ，T 是基本量纲. 量纲矩阵为 A=) ()()()()()() (210101101131g v T M L μρ??????????----- 齐次线性方程组Ay=0 ，即 ??? ??==+=+0 2y -y - y -0 y y 0y y -3y -y 431 324321 的基本解为y=(-3 ,-1 ,1 ,1) 由量纲i P 定理 得 g v μρπ1 3 --=. 3 ρ μλg v =∴，其中λ是无量纲常数. 第一章 4.在1、3节“椅子能在不平的地面上放稳不”的假设条件中,将四脚的连线呈正方形改为长方形,其余不变。试构造模型并求解。 答:相邻两椅脚与地面距离之与分别定义为)()(a g a f 和。f 与g 都就是连续函数。椅子在任何位置至少有三只脚着地,所以对于任意的a ,)()(a g a f 和中至少有一个不为零。不妨设0)0(,0)0(g >=f 。当椅子旋转90°后,对角线互换,0π/2)(,0)π/2(>=g f 。这样,改变椅子的位置使四只脚同时着地。就归结为证明如下的数学命题: 已 知 a a g a f 是和)()(的连续函数,对任意 0)π/2()0(,0)()(,===?f g a g a f a 且,0)π/2(,0)0(>>g f 。证明存在0a ,使0)()(00==a g a f 证:令0)π/2(0)0(),()()(<>-=h h a g a f a h 和则, 由g f 和的连续性知h 也就是连续函数。 根据连续函数的基本性质, 必存在0a (0＜0a ＜π/2)使0)(0=a h ,即0)()(00==a g a f 因为0)()(00=?a g a f ,所以0)()(00==a g a f 8 第二章 10.用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘,给出几种简便有效的排列方法,使加工出尽可能多的圆盘。 第三章 5.根据最优定价模型 考虑成本随着销售量的增加而减少,则设 kx q x q -=0)( (1)k 就是产量增加一个单位时成本的降低 , 销售量x 与价格p 呈线性关系0,,>-=b a bp a x (2) 收入等于销售量乘以价格p :px x f =)( (3) 利润)()()(x q x f x r -= (4) 将(1)(2)(3)代入(4)求出 ka q kbp pa bp x r --++-=02)( 当k q b a ,,,0给定后容易求出使利润达到最大的定价*p 为 b a kb ka q p 2220*+--= 数学建模模拟试题及答案 一、填空题（每题5分，共20分） 1. 若,, x z z y ∝∝则y 与x 的函数关系是. 2. 在超级市场的收银台有两条队伍可选择，队1有1m 个顾客，每人都买了1n 件商品，队2有2m 个顾客，每人都买了2n 件商品，假设每个人付款需p 秒，而扫描每件商品需t 秒，则加入较快队1的条件是 . 3. 马尔萨斯与罗捷斯蒂克两个人口增长模型的主要区别是假设了 4. 在研究猪的身长与体重关系时，我们通过与已知其相关性质的的弹性梁作 的方法建立了模型. 二、分析判断题（每小题15分，满分30分） 1. 要为一所大学编制全校性选修课程表，有哪些因素应予以考虑？试至少列出5种. 2. 一起交通事故发生3个小时后，警方测得司机血液中酒精的含量是 ),m l /m g (100/56 又过两个小时，含量降为),m l /m g (100/40试判断，当事故发生时，司 机是否违反了酒精含量的规定（不超过80/100)m l /m g (. （提示：不妨设开始时刻为)(,0t C t =表示t 时刻血液中酒精的浓度，则依平衡原理，在时间间隔],[t t t ?+内酒精浓度的改变量为 t t kC t C t t C ??=??+)()()( 其中0>k 为比例常数，负号则表示了浓度随时间的推移是递减的.） 三、计算题（每题25分，满分50分） 1. 一个毛纺厂使用羊毛、兔毛和某种纤维生产甲、乙两种混纺毛料，生产一个单位产品甲需要的三种原料依次为3、2、8个单位，产值为580元；生产一个单位产品乙需要的三种原料依次为2、3、5个单位，产值为680元，三种原料在计划期内的供给量依次为90、30和80单位.试建立线性规划模型以求一个生产方案，使得总产值达到最大，并由此回答： （1） 最优生产方案是否具有可选择余地？若有请至少给出两个，否则说明理由. （2） 原材料的利用情况. 试卷学期《数学模型》期末考试A山东轻工业学院08/09学年II 页）本试卷共4< 题说明总号考次开试分考卷试，参加考试的同学可以携带任何资料，可以 使用计算器，但上述物品严禁相互借用。16分，每小题8分）一、简答题<本题满分得分）式，写出与§2.2录像机计数器的用途中，仔细推算一下<11、在阅卷人<2）式的差别，并解释这个差别；中不允许缺货的存储模型中为什么没有考虑生产 费用，在什么条件下可2、试说明在§3.1 以不考虑它；8分）二、简答题<本题满分16分，每小题得分1阅卷人?s)(ti的变化情时、对于1§5.1传染病的SIR 模型，叙述当0?况并加以证明。 E 2、在§6.1捕鱼业的持续收获的效益模型中，若单位捕捞强度的费用为捕捞强度的减函数，)0?0,b?c?a?bE,(a即，请问如何达到最大经济效益？本题满分16分，每小题8分）三、 简答题<得分s程是法图解说明为什么方策、1在§9.3 随机存储略中，请用)S?(x)?cI(I的最小正根。阅卷人0、请结合自身特点谈一下如何培养数学建模 的能力？2 分）四、<本题满分20得分219人，二年级有某中学有三个年级共1000名学生，一年级有人。现要选20名校级优秀学生，请用下列办316人，三年级有465 阅卷人Q ;<2））按比例加惯例的方法法分配各年级的优秀学生名额：<1值法。另外如果校级优秀学个，重新进行分配，并按照席位分配的理想生名额增加 到21化准则分析分配结果。得分分）16五、<本题满分阅 卷人大学生毕业生小李为选择就业岗位建立了层次分析模型，影响就业的因素考虑了收入情况、发展空间、社会声誉三个方面，有三个层次结构图如图，已知准则层。 选可业就岗位供择对目标层的成对比较矩阵1 / 4 选择就业岗位 71/1/43511????????23111/2/AB??41，比较矩阵分别为成，方案层对准则层的对 ????1????22171/51/1????117463????????3112/B?3B?1/41。，JhYEQB29bj ????32????1/21/6111/71/3????请根据层次分析方法为小李确定最佳的工作岗位。 16分）六、<本题满分得分某保险公司欲开发一种人寿保险，投保人需要每年缴纳一定数的阅卷人<额保险费，如果投保人某年未按时缴纳保费则视为保险合同终止保险公司需要对投保人的健康、疾病、死亡和退保的情况作出评估，从而制退保）。 定合适的投保金额和理赔金额。各种状态间相互转移的情况和概率如图。试建立马氏链模型分析在投保人投保时分别为健康或疾病状态下，平均需要经过多少年投保人就会出现退保或死亡的情况，以及出现每种情况的概率各是多少？5Y944Acbad 退保死亡II 学期《数学模型》期末考试A试卷解答山东轻工业 学院08/09学年0.05 0.03 分）分，每小题8一、简答题<本题满分160.15 0.07 m(m?1)???2mr?vt2?）得4分1、答：由<1，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。20.1 健康疾病2???knk2?)t?2r?n?(knm?代入得。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。，6分将 vv0.6 ???2r?r2??r，则得<2因为）。所以。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分 crc，每天的平均费用是，则平均每天的生产费用为2、答：假设每件产品的生产费用为 33ccrT112??crC(T)?4分，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 1132T1)TdC()TdC(11)T(TC?下面求最小，发现使，所以111dTdT12c1??TT，与生产费用无关，所以不考虑。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。81cr2分 二、简答题<本题满分16分，每小题8分） 1di??s?),(1s??i，1、答：由<14若）0?dtdi1s)(t??s,?0i时，4增 加; 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。分当0?dtdi1?i(ts),?0i时，达到最大值当；数学建模作业
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