于己百教授成才之道管窥
[摘要]本文从于教授对中医理论功底深厚，临床医疗效果卓著；治学紧跟时代节奏，临教加强理论创新；躬行验证老而弥坚，医教彰显大医风范等三方面总结了其成才之经验，冀以对新一代名医、巨匠的培养和成长有所借鉴。
于己百教授（1920年～），山东省牟平县人，18岁时受其父于有五（系北平华北国医学院第一届毕业生，兰州近代名医，临床善治疑难杂症尤其内科伤寒，外感病取效神奇）影响而学习中医，1947
年经国家考试院特考及格，获中医师资格，隧悬壶金城，并就职于其师叔王仲英开办的兰山中医夜校，承担中药学课程的讲授。1950年，他以同等学历又考入兰州大学医学院，进行西医学知识的深造。1955年，兰州大学医学院毕业后，先在甘肃省中医门诊部、省中医医院工作，任医师、主治医师、研究室负责人和省中医学会副秘书长等职务，负责省中医院医疗、科研和教学的组织工作及省中医学会的日常工作，并担负着甘肃省党、政、军领导及外国专家的中医保健医疗工作。于1970年调离省中医医院，筹建甘肃省新医药研究所，任研究所副所长，并负责甘肃省西医离职学习中医班工作，还亲自担任中医学基础、伤寒论、中医内科学等课程的讲授，为培养甘肃省中西医结合人才作出了贡献。1978年以后，调入甘肃中医学院，历任中医学院筹备组副组长、副院长、院长等职务。在此期间，还兼任甘肃省第五届人大常委、第一届中华全国中医学会理事、第一届中华全国中医理论研究会理事、肃省中医学会会长、甘肃省高等教育学会委员、中国中西医结
合研究会顾问、光明中医函授大学顾问、张仲景国医大学名誉教授、甘肃省中医技术人员高级职务评审委员会主任、甘肃省高校教师职务评审委员会学科评议组组长、甘肃省老龄委员会顾问等职。发表学术论文数十篇，著有《新编中医人门》、《中医药简易方选》、《中医基础理论》、《伤寒论释义》及《中医内科学讲义》等。于己百教授从医、执教60年，学验俱丰，擅长内、妇、儿科常见病、疑难病的治疗。对中医经典特别是《伤寒论》之真谛领悟最精。现将于教授成才之经验总结如下。
1. 中医理论功底深厚，临床医疗效果卓著
1.1 崇尚仲景学说、学识独具匠心
于己百教授学医之始，深受其父影响，尤其对于《伤寒论》之真谛领悟最精。他研究《伤寒论》的最大特点是深究善思，尊古不泥，对于历代医家研究《伤寒论》所提出的观点敢于质疑，发表己见。如他认为，《伤寒论》原书篇名，均言“辨xx病脉证并治”，论中并无“六经”二字，故后世所谓“六经辨证”，实非仲景原意，应把它理解为是“六病”的代名词。据此他提出“以六病辨外感，以脏腑辨杂病”的诊治原则，对于研究仲景学说以及临床诊治疾病都有启发意义。
于教授指出：中医治病，首别阴阳，阴病、阳病是一个整体性的大证候系统，它是正邪斗争所产生的整体性病理反应的总纲；而《伤寒论》中所言之“六病”，则是从属于阴病、阳病中的整体性的分支证候系统；“脉证并治”中的“证”则是整体性分支证候系统中的小证候系统。在“证”中还有单独的症状，如发热、恶寒、头痛、脉浮
等，它们都是“证”的组成部分，一般不起临床诊断的决定性作用，通常将这些症状简称为“症”。弄清楚“‘阴阳”、“六病”、“证”、“症”的含义及其相互间的关系，对于《伤寒论》这部经典医籍的学术思想和价值也就不难领悟了。
1.2临诊病证结合、治疗善用经方
于教授不仅中医基础理论功底深厚，而且具有丰富的临床实践经验。他在内、妇、儿科的辨证论治方面特别强调病证结合。他认为为了提高对疾病的诊断辨证的准确性，克服处方用药的盲目性，临床诊治疾病，就应该辨病与辨证相结合。于教授认为：中医治病则是以证为主，以病为辅侧重于整体而兼顾局部，在治疗用药上重视扶正而兼顾祛邪，注重调动机体内在的抗病能力。他还指出：就整休及辨证论治来说，中医优于西医，就运用现代科学技术手段治疗疾病这点上来说，西医则优于中医。所以要想全面地准确地认识一个疾病，就必须中西医结合诊断，辨病与辨证结合，取长补短，去粗取精。
于教授在临床实践中，特别重视仲景方药的研究，临证时运用经方治病可谓得心应手，左右逢源。他常以小柴胡汤、柴胡桂枝汤、大青龙汤等方加减治疗感冒；以麻杏石甘汤、桂枝加厚朴杏子汤、小青龙汤等方加减治疗气管炎，肺炎等咳喘病证；以半夏泻心汤、旋覆代赭汤等方加减治疗胃病；以酸枣仁汤、栀子豉汤等方加减治疗神经衰弱，虚烦失眠；以柴胡加龙牡汤加减洽疗癫痫、精神病；以葛根芩连汤、白头翁汤、理中汤、桃花汤等方加减治疗各型泻痢。以越婢加术汤、麻黄连翘赤小豆汤、五苓散等方加减治疗肾炎、水肿等病证；以
桂麻各半汤加减治疗荨麻疹、皮肤瘙痒症；以麻杏苡甘汤加减治疗面部黄褐斑、扁平疣；以桂枝加葛根汤、桂枝加附子汤加减治疗颈椎病、肩周炎；以甘桔汤、苦酒汤加减治疗咽喉炎症、声带水肿等。
由于他对仲景方的方义深透的理解，随证精当加减，恰到用量，因而往往力挽沉病，药到病除、颇受医界同仁之赞崇。
2. 治学紧跟时代节奏，临教加强理论创新
2.1 注重改革创新、力倡中西合参
于教授治学态度严谨，他认为中医要发展，就必须与现代科学相结合，多学科进行研究，要勇于改革创新，绝不能墨守成规。早在七十年代，于教授就曾提出利用现代科学知识，把中医的脏腑功能和现代医学结合起来，并阐明脏腑的生理、病理，以及脏腑与体表、官窍相关的机理。在药物方面，要研究并阐明中西药物的性味、功效及主治，以适应病证结合的需要。要根据中西医学理论，实验研究新的方剂，研究、分析中药、方剂的功效，研究剂型改革，合成新的药物。更为重要的是加强中医“证候病理学”的研究，也是中医基础理论现代化的重要课题之一。他认为，中西医结合，从多学科探讨“证”的客观规律，建立新的学科—证候病理学，将会使中医理论产生质的飞跃。以此为突破口，还可能派生出“证候诊断学”、“证候药物学”、“证候治疗学”等等。若再进一步深入发展，就可形成既有民族特色，又具有现代科学水平，生理与病理、整体与局部相结合的新的医学理论、诊断技术和治疗方法。
于教授认为现代医学科学的快速发展赋予了中医人更多的责任
和使命，我们不仅需要传承中医文明，更必须了解和把握现代医学发展的脉搏。随着社会的进步和人们生活方式的改变，疾病谱不断发生变化，许多疑难病症和危急重症必须引入现代医学科学手段加以处理，此时的中医院校培养对象必须掌握现代医学知识，临床中能融会古今，学贯中西，知常达变，不断地继承与创新，在临证处理中将能力发挥至极至。
2.2 医理自成机杼，精于临床实践
于教授耕耘杏林六十载，毕生致力于仲景学说的研究，他治学严谨，勤奋善思，师古不泥，勇于创新。多年来，于教授潜心于中医病因学的研究。他将中医病因分为五类，即六淫、七情、内伤、外伤、虫病等.其中内伤类病因主要是指续发病因如阳伤、阴伤、气伤、血伤、饮食伤、劳逸伤等，这些内伤续发病因，实际是致病因素作用于人体后，因功能的失调，器质的损伤，代谢的障碍等所产生的结果。据此，于教授认为，中医病因不是完全指致病因素而言，主要是指致病因素作用于人体后所产生的病理反应的证.中医探求病因，之所以要“审证求因”，其理正在于此。于教授对于中医病因的这种分类方法和认识，不仅是对中医病因学的充实和发挥，而且确实能有效地指导临床的辨证论治。
于教授对于诊断学方面也提出了自己独到的看法，他一向主张，既有西医现代科学技术的诊断，又有中医辨证的诊断，合起来才是“科学辨证的诊断”。他认为，要使中医的诊断和西医的诊断逐步结合起来，使中医诊断方法现代化，使各种证候找出科学的指标；使西医化
学的或物理的检查具有辨证性，不仅是必要的，而且也是可能的。因为外在的表现和内在的变化，是一个疾病不可分割的两个方面，如核酸、蛋白质、血象、内分泌、酶的变化、代谢功能、神经功能改变、X线的表现、大小便的改变等，肯定与疾病的阴阳、表里、寒热、虚实及脏腑功能状态，有着固有的极为密切的内部联系，这正是中西医结合和中医现代化可能实现的基础。
于教授师古不泥，勇于创新的精神不仅体现在他对中医理论的研究和中医临床的治疗上，而且还体现在他多年的教学工作中。他在编写西医学习中医的试用教材时，即根据中医传统的理论和现代中西医结合的研究成果，采取“以证带病，病中辨证，病证结合”的体例，内容系统、全面，形式新颖、条理，堪称中医学教材中的一株奇葩。
3.躬行验证老而弥坚，医教彰显大医风范
3.1 矢志传承中医、铸造复合人才
于教授经常鼓励后学“立志成才，立业奉献”。他认为中医要发展，就必须与现代科学相结合，多学科进行研究，要勇于改革创新，通过自己的奋斗，绝不能墨守成规。他还经常告诫后学者，在成为名医的过程中“机遇也很重要，没有机遇是成不了才的。当然还有自己的奋斗和社会的帮助”。
于教授认为年轻中医生毕业之后，要把学校所学的知识转化为临床工作能力，仍然需要读书、学习。要学好基础理论，学好经典著作，学好哲学，学习中医医案，向病人学习，学习边缘学科知识，学习如何利用医学参考资料，学习医学文献的写作和作学术报告的技巧等
等。
于教授要求学生坚持终身实践，积累丰富的临床经验。具体方法如拜名师，只有多拜名师，方可能汇各家之长，才可能成为中医大家；接受正规的住院医师培养，在有经验的医师指导下从事医疗实践，可以避免一些纯中医只可坐门诊，不能管住院病人的弊端；选择好自己的专业发展方向，接受专科专病培训，终身坚持专项或专病的研究和实践，是成为中医大家的必经之路。
于教授倡导新一代中医生应在继承与创新中引领中医学发展。首先医生成长的过程，就是实践、思考和知识不断结合的过程。其次培养总结能力和科研能力，把自己在实践中和科学研究中的成果、经验，写成文章发表或作学术报告交流。最后著书立说，引领学科发展，年轻中医应当在搞好临床、教学、科研的同时，不断地升华其研究成果，及时捕捉学科发展动向，总结经验，积累资料，整理医案，观察病例，撰写文章，著书立说，将自己的学术特色传播出去，达到引领中医学科发展的目的。
3.2 求道勤奋严谨 堪称吾辈师表
于教授耕耘杏林六十载，毕生致力于仲景学说的研究，他治学严谨，勤奋善思，师古不泥，勇于创新的精神，实为后学之楷模，吾辈之师表。作为当代杰出的中医学家，于教授在其60多年的医学生涯中，以振兴祖国医学为己任，精研医理，勤奋实践，兢兢业业，矢志不移，其严谨的治学精神和突出的医学成就，深为医药界所敬仰。
于教授指出：初学中医的关键，在于养成背诵、默读的习惯。背
诵，不但背歌诀，还要背经典著作的部分原文。一篇文章能够反复不断地熟读背诵、深思联想，这不但能够加深记忆，而且能够悟出其中奥妙，领会其精神实质。同时还要注意勤查、勤写、善思，即遇到古典医籍中的生字、难词及文义有不明之处，随时查阅字典、辞典，并参考历代名家注释，对其不同学术见解，以求领会其精神实质；勤写即勤于写心得笔记，每读完一本书，一篇文章或一个病证都应记下自己的收获、体会、见解；对问题还要善于思考，归纳分析，提出个人见解。
于教授还指出：初学中医更应该在经典医籍上下功夫，如《黄帝内经》、《本草纲目》、《伤寒论》、《金匮要略》、《衷中参西录》等，打好基本功，而后循序渐进，兼及诸家，才能视野宽阔，进而在某一专题上深入的研究。于教授通过口传面授，将自己学术见解，独到的临床经验，毫无保留的传授给青年教师和徒弟，以使自己的学术经验后继有人。
“霜叶红于二月花”。年逾古稀之年的于己百教授，每天仍在勤奋不息，时刻不停地工作，以迎接新的人生历程，向人们展示生命的价值。于教授的这种刻苦钻研，严于继承，勇于创新的精神，值得我们敬佩和学习。
他认为，中医理论深奥，没有坚韧不拔、锲而不舍的毅力和活到老、学到老的恒心，是不易掌握和领会的。《黄帝内经》：学好医家之宗，打好基础。《本草纲目》：知药物之性味。《伤寒论》：知辨证、治疗之方法。《金匮要略》：知脏
腑辨证和杂病的辨证与治疗的方法。《黄帝内经》是中医理论奠基之作，其丰富的理论至今还没有人能把它完全解析，更莫说有否其它的专著能超过她；《伤寒论》和《金匮要略》即《伤寒杂病论》，是奠定中医辨证论治体系的重要著作，其中的理法方药，现代更是经常使用；《温病条辨》是清代的著作，是对温病学发展的重要著作。四大经典是中医由经验水平上升到科学理论层次的里程碑，如果我们直接学习他们，将有助直接通往成为辨证论治之医的水平，更能体现到理、法、方、药的统一。
于教授在临证时十分强调抓主症，他认为主症是纲，抓住了主症就是抓住了疾病的纲领，纲举则目张。于教授治疗疾病，胆大心细，高屋建瓴，圆机活法，知守善变，不落窠臼。推重经方，不薄时方。主张方证相对，有证有方，在诊治许多疑难重症时，每能出奇制胜，化险为夷。
必修一第一章集合 1.1 集合与集合的表示方法 1.2 集合之间的关系与运算 章复习与测试 本章小结 第二章函数 2.1 函数 2.2 一次函数和二次函数 2.3 函数的应用(I) 2.4 函数与方程 章复习与测试 本章小结 第三章基本初等函数(I) 3.1 指数与指数函数 3.2 对数与对数函数 3.3 幂函数 3.4 函数的应用(II) 章复习与测试 本章小结 必 修 二 第一章立体几何初步 1．1 空间几何体 1．2 点、线、面之间的位 置关系 章复习与测试 第二章平面解析几何初步 2．1 平面直角坐标系中的 基本公式 2．2 直线方程 2．3 圆的方程 2．4 空间直角坐标系 章复习与测试 必修三 第一章算法初步 1．1 算法与程序框图 1．2 基本算法语句 1．3 中国古代数学中的算法 案例 章复习与测试 本章小结 第二章统计 2．1 随机抽样 2．2 用样本估计总体 2．3 变量的相关性 章复习与测试 本章小结 第三章概率 3．1 随机现象 3．2 古典概型 3．3 随机数的含义与应用 3．4 概率的应用 章复习与测试 本章小结 必 修 四 第一章基本初等函数（Ⅱ） 1．1 任意角的概念与弧度 制 1．2 任意角的三角函数 1．3 三角函数的图象与性 质 章复习与测试 第二章平面向量 2．1 向量的线性运算 2．2 向量的分解与向量的 坐标运算 2．3 平面向量的数量积 2．4 向量的应用 章复习与测试 第三章三角恒等变换 3．1 和角公式 3．2 倍角公式和半角公式 3．3 三角函数的积化和差 与和差化. 章复习与测试
必修五 第一章解斜角三角形 1．1 正弦定理和余弦定理 1．2 应用举例 章复习与测试 第二章数列 2．1 数列 2．2 等差数列 2．3 等比数列 章复习与测试 第三章不等式 3．1 不等关系与不等式 3．2 均值不等式 3．3 一元二次不等式及其解法 3．4 不等式的实际应用 3．5 二元一次不等式(组)与简单 线. 章复习与测试 选修 二 (2-1) 第一章常用逻辑用语 1.1 命题与量词 1.2 基本逻辑联结词 1.3 充分条件、必要条件与命题的. 章综合 第二章圆锥曲线与方程 2.1 曲线与方程 2.2 椭圆 2.3 双曲线 2.4 抛物线 2.5 直线与圆锥曲线 章综合 第三章空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.2 空间向量在立体几何中的应 用 章综合 选修二(2-2) 第一章导数及其应用 1.1 导数 1.2 导数的运算 1.3 导数的应用 1.4 定积分与微积分基本定 理 章复习与测试 第二章推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 2.2 直接证明与间接证明 2.3 数学归纳法 章复习与测试 第三章数系的扩充与复数 3.1 数系的扩充与复数的概 念 3.2 复数的运算 章复习与测试 选修 二 (2-3) 第一章计数原理 1.1 基本计数原理 1.2 排列与组合 1.3 二项式定理 章复习与测试 第二章概率 2.1 离散型随机变量及其分布列 2.2 条件概率与事件的独立性 2.3 随机变量的数学特征 2.4 正态分布 章复习与测试 第三章统计案例 3.1 独立性检验 3.2 回归分析 章复习与测试 选修4-1 几何证明选修4-4 坐标系与参数方程选修4-5 不等式选讲
高中数学教材新课标人教B版目录完整版 The final revision was on November 23, 2020
高中数学（B版）必修一 第一章集合 1．1 集合与集合的表示方法1．2 集合之间的关系与运算 第二章函数 2．1 函数2．2 一次函数和二次函数 2．3 函数的应用（Ⅰ）2．4 函数与方程 第三章基本初等函数（Ⅰ） 3．1 指数与指数函数3．2 对数与对数函数 3．3 幂函数 3．4 函数的应用（Ⅱ） 高中数学（B版）必修二 第一章立体几何初步 1．1 空间几何体1．2 点、线、面之间的位置关系第二章平面解析几何初步 2．1 平面真角坐标系中的基本公式2．2 直线方程 2．3 圆的方程 2．4 空间直角坐标系 高中数学（B版）必修三 第一章算法初步 1．1 算法与程序框图1．2 基本算法语句 1．3 中国古代数学中的算法案例 第二章统计 2．1 随机抽样2．2 用样本估计总体2．3 变量的相关性
第三章概率 3．1 随机现象3．2 古典概型 3．3 随机数的含义与应用3．4 概率的应用 高中数学（B版）必修四 第一章基本初等函(Ⅱ) 1．1 任意角的概念与弧度制1．2 任意角的三角函数 1．3 三角函数的图象与性质 第二章平面向量 2．1 向量的线性运算 2．2 向量的分解与向量的坐标运算 2．3 平面向量的数量积2．4 向量的应用 第三章三角恒等变换 3．1 和角公式3．2 倍角公式和半角公式 3．3 三角函数的积化和差与和差化积 高中数学（B版）必修五 第一章解直角三角形 1．1 正弦定理和余弦定理1．2 应用举例 第二章数列 2．1 数列2．2 等差数列2．3 等比数列 第三章不等式 3．1 不等关系与不等式 3．2 均值不等式 3．3 一元二次不等式及其解法3．4 不等式的实际应用
高一数学数列知识总结 知识网络
二、知识梳理 ①),2(1为常数d n d a a n n ≥=-- ②211-++=n n n a a a (2≥n ) ③b kn a n +=(k n ,为常数). 二、看数列是不是等比数列有以下两种方法： ①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n ②112 -+?=n n n a a a (2≥n ，011≠-+n n n a a a ) 三、在等差数列｛n a ｝中,有关S n 的最值问题：(1)当1a >0,d<0时，满足?? ? ≤≥+0 01m m a a 的项数m 使得m s 取最大值. (2)当1a <0,d>0时，满足???≥≤+0 1m m a a 的项数m 使得m s 取最小值。在解含绝对值
的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 四.数列通项的常用方法： （1）利用观察法求数列的通项. （2）利用公式法求数列的通项：①???≥-==-) 2()111n S S n S a n n n （；②{}n a 等差、等比数列{}n a 公式. （3）应用迭加（迭乘、迭代）法求数列的通项： ①)(1n f a a n n +=+；②).(1n f a a n n =+ （4）造等差、等比数列求通项： ① q pa a n n +=+1；②n n n q pa a +=+1；③)(1n f pa a n n +=+；④n n n a q a p a ?+?=++12. 第一节通项公式常用方法 题型1 利用公式法求通项 例1：1.已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。求a n 。 2.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，求下列数列{}n a 的通项公式： ⑴ 1322-+=n n S n ； ⑵12+=n n S . 总结:任何一个数列，它的前n 项和n S 与通项n a 都存在关系：???≥-==-) 2() 1(11n S S n S a n n n 若1a 适 合n a ，则把它们统一起来，否则就用分段函数表示. 题型2 应用迭加（迭乘、迭代）法求通项 例2：⑴已知数列{}n a 中，)2(12,211≥-+==-n n a a a n n ，求数列{}n a 的通项公式； ⑵已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，11=a ，n n a n S ?=2 ，求数列{}n a 的通项公式. 总结：⑴迭加法适用于求递推关系形如“)(1n f a a n n +=+”； 迭乘法适用于求递推关系形如“)(1n f a a n n ?=+“；⑵迭加法、迭乘法公式： ① 11232211)()()()(a a a a a a a a a a n n n n n n n +-++-+-+-=----- ② 11 22332211a a a a a a a a a a a a n n n n n n n ??????= ----- . 题型3 构造等比数列求通项 例3已知数列{}n a 中，32,111+==+n n a a a ，求数列{}n a 的通项公式. 总结：递推关系形如“q pa a n n +=+1” 适用于待定系数法或特征根法：
为什么高一数学人教版分 A版和B版 The final edition was revised on December 14th, 2020.
为什么高一数学人教版分A版和B版高中数学课程框架1．课程框架 高中数学课程分必修和选修。必修课程由5个模块组成；选修课程有4个系列，其中系列1、系列2由若干个模块组成，系列3、系列4由若干专题组成；课程结构如图所示。 2．必修课程 必修课程是每个学生都必须学习的数学内容，包括5个模块。数学1：集合、函数概念与基本初等函数I（指数函数、对数函数、幂函数）。刚上高1的学生很快就接触到了函数知识，其实初中对函数的知识有一些初步的涉猎，但是涉及的内容较少，定义也不完整，高中阶段是学生第一次正式接触函数，此部分知识模块难度较大，大部分学生学到这个知识模块会出现比较多的问题，函数是高中知识最难的3个模块之1也是学生第一个遇到的难题，需要学生平和的心态去把握。花大量的时间学习掌握。也是期中考试的主题内容。很多学生学到这个部分问题教多会怀疑自己初中知识学的是否扎实，其实和初中关联的只有几个部分：（二次函数，一次函数，正比例函数，反比例函数，一元二次方程，和不等式的简单解法。）这几个知识要是没问题就是不会影响到高1初步的知识学习。 数学2：立体几何初步、平面解析几何初步。此部分知识讲解前需要学生做适当预习，不过知识不是很难，因为前面讲数列会花费比较多的时间，因此到解析几何的时候会显得时间紧张，应该提前注意避免影响成绩。
数学3：算法初步、统计、概率。此部分知识不是很难，只要学生紧跟学校老师应该问题不大，但是很多学生会因此放松导致影响后面的知识的学习。 数学4：基本初等函数II（三角函数）、平面上的向量、三角恒等变换。此部分知识承接必修1的函数，是知识延续，如果函数学的不好会对这个部分有较多影响。开展课程前要先了解下必修1中函数知识的掌握情况。 数学5：解三角形、数列、不等式。解斜三角形和必修4的三角函数有部分练习，需提前复习，数列是一个很难的知识模块，需要花费比较多的时间学习掌握。 3．选修课程 对于选修课程，学生可以根据自己的兴趣和对未来发展的愿望进行选择。选修课程由系列1，系列2，系列3，系列4等组成。 系列1：由2个模块组成。 选修1-1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用；选修1-2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数的引入、框图。 系列2：由3个模块组成。 选修2-1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间中的向量与立体几何； 选修2-2：导数及其应用、推理与证明、数系的扩充与复数的引入； 选修2-3：计数原理、统计案例、概率。
高中数学必修五知识点汇总 第一章 解三角形 一、知识点总结 正弦定理: 1．正弦定理:2sin sin sin a b c R A B C === (R 为三角形外接圆的半径). 步骤1. 证明：在锐角△ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c 。作CH ⊥AB 垂足为点H CH=a ·sinB CH=b ·sinA ∴a ·sinB=b ·sinA 得到b b a a s i n s i n = 同理，在△ABC 中， b b c c sin sin = 步骤2. 证明：2sin sin sin a b c R A B C === 如图，任意三角形ABC,作ABC 的外接圆O. 作直径BD 交⊙O 于D. 连接DA. 因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90° 因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D 等于∠C. 所以C R c D sin 2sin == 故2sin sin sin a b c R A B C === 2.正弦定理的一些变式： ()sin sin sin i a b c A B C ::=::；()sin ,sin ,sin 22a b ii A B C R R ==2c R =； ()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===； （4）R C B A c b a 2sin sin sin =++++ 3．两类正弦定理解三角形的问题： （1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. （2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（可能有一解，两解，无解） 4.在ABC ?中，已知a,b 及A 时，解得情况： 解法一：利用正弦定理计算 解法二：分析三角形解的情况，可用余弦定理做，已知a,b 和角A ，则由余弦定理得 即可得出关于c 的方程：0cos 2222=-+-a b Ac b c 分析该方程的解的情况即三角形解的情况 ①△=0,则三角形有一解 ②△>0则三角形有两解 ③△<0则三角形无解 余弦定理:
数学①必修 第一章集合 1.1 集合与集合的表示方法 1.1.1 集合的概念 1.1.2 集合的表示方法 1.2 集合之间的关系与运算 1.2.1 集合之间的关系 1.2.2 集合的运算 第二章函数 2.1 函数 2.1.1 函数 2.1.2 函数的表示方法 2.1.3 函数的单调性 2.1.4 函数的奇偶性 2.1.5 用计算机作函数的图像（选学） 2.2 一次函数和二次函数 2.2.1 一次函数的性质和图像 2.2.2 二次函数的性质和图像 2.2.3 待定系数法 2.3 函数的应用（I） 2.4 函数与方程 2.4.1 函数的零点 2.4.2 求函数零点近似解的一种近似方法——二分法 第三章基本初等函数（I） 3.1 指数与指数函数 3.1.1 有理指数幂及其运算 3.1.2 指数函数 3.2 对数与对数函数 3.2.1 对数及其运算 3.2.2 对数函数 3.2.3 指数函数与对数函数的关系 3.3 幂函数 3.2 函数的应用（II） 数学②必修 第一章立体几何初步 1.1 空间几何体 1.1.1 构成空间几何体的基本元素 1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征 1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球 1.1.4 投影与直观图 1.1.5 三视图 1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积 1.1.7 柱、锥、台和球的体积 1.2 点、线、面之间的位置关系
1.2.1 平面的基本性质与推论 1.2.2 空间中的平行关系 1.2.3 空间中的垂直关系 第二章平面解析几何初步 2.1 平面直角坐标系中的基本公式 2.1.1 数轴上的基本公式 2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式 2.2 直线的方程 2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率 2.2.2 直线方程的集中形式 2.2.3 两条直线的位置关系 2.2.4 点到直线的距离 2.3 圆的方程 2.3.1 圆的标准方程 2.3.2 圆的一般方程 2.3.3 直线与圆的位置关系 2.3.4 圆与圆的位置关系 2.4 空间直角坐标系 2.4.1 空间直角坐标系 2.4.2 空间两点的距离公式 数学③必修 第一章算法初步 1.1 算法与程序框图 1.1.1 算法的概念 1.1.2 程序框图 1.1.3 算法的三种基本逻辑结构和框图表示 1.2 基本算法语句 1.2.1 赋值、输入和输出语句 1.2.2 条件语句 1.2.3 循环语句 1.3 中国古代数学中的算法案例 第二章统计 2.1 随机抽样 2.1.1 简单随机抽样 2.1.2 系统抽样 2.1.3 分层抽样 2.1.4 数据的收集 2.2 用样本估计总体 2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布 2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征 2.3 变量的相关性 2.3.1 变量间的相关关系 2.3.2 两个变量的线性相关 第三章概率
数学①必修第一章集合 1.1 集合与集合的表示方法 1.1.1 集合的概念 1.1.2 集合的表示方法 1.2 集合之间的关系与运算 1.2.1 集合之间的关系 1.2.2 集合的运算 第二章函数 2.1 函数 2.1.1 函数 2.1.2 函数的表示方法 2.1.3 函数的单调性 2.1.4 函数的奇偶性 2.1.5 用计算机作函数的图像（选学） 2.2 一次函数和二次函数 2.2.1 一次函数的性质和图像 2.2.2 二次函数的性质和图像 2.2.3 待定系数法 2.3 函数的应用（I） 2.4 函数与方程 2.4.1 函数的零点
2.4.2 求函数零点近似解的一种近似方法——二分法 第三章基本初等函数（I） 3.1 指数与指数函数 3.1.1 有理指数幂及其运算 3.1.2 指数函数 3.2 对数与对数函数 3.2.1 对数及其运算 3.2.2 对数函数 3.2.3 指数函数与对数函数的关系 3.3 幂函数 3.2 函数的应用（II） 数学②必修 第一章立体几何初步 1.1 空间几何体 1.1.1 构成空间几何体的基本元素 1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征 1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球 1.1.4 投影与直观图 1.1.5 三视图 1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积 1.1.7 柱、锥、台和球的体积 1.2 点、线、面之间的位置关系
1.2.1 平面的基本性质与推论 1.2.2 空间中的平行关系 1.2.3 空间中的垂直关系 第二章平面解析几何初步 2.1 平面直角坐标系中的基本公式 2.1.1 数轴上的基本公式 2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式 2.2 直线的方程 2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率 2.2.2 直线方程的集中形式 2.2.3 两条直线的位置关系 2.2.4 点到直线的距离 2.3 圆的方程 2.3.1 圆的标准方程 2.3.2 圆的一般方程 2.3.3 直线与圆的位置关系 2.3.4 圆与圆的位置关系 2.4 空间直角坐标系 2.4.1 空间直角坐标系 2.4.2 空间两点的距离公式 数学③必修 第一章算法初步
高中数学（B版）必修一 第一章集合 1．1 集合与集合的表示方法1．2 集合之间的关系与运算 第二章函数 2．1 函数2．2 一次函数和二次函数 2．3 函数的应用（Ⅰ）2．4 函数与方程 第三章基本初等函数（Ⅰ） 3．1 指数与指数函数3．2 对数与对数函数 3．3 幂函数3．4 函数的应用（Ⅱ） 高中数学（B版）必修二 第一章立体几何初步 1．1 空间几何体1．2 点、线、面之间的位置关系第二章平面解析几何初步 2．1 平面真角坐标系中的基本公式2．2 直线方程 2．3 圆的方程2．4 空间直角坐标系 高中数学（B版）必修三 第一章算法初步 1．1 算法与程序框图1．2 基本算法语句 1．3 中国古代数学中的算法案例 第二章统计 2．1 随机抽样2．2 用样本估计总体2．3 变量的相关性
第三章概率 3．1 随机现象3．2 古典概型 3．3 随机数的含义与应用3．4 概率的应用 高中数学（B版）必修四 第一章基本初等函(Ⅱ) 1．1 任意角的概念与弧度制1．2 任意角的三角函数 1．3 三角函数的图象与性质 第二章平面向量 2．1 向量的线性运算2．2 向量的分解与向量的坐标运算 2．3 平面向量的数量积2．4 向量的应用 第三章三角恒等变换 3．1 和角公式3．2 倍角公式和半角公式 3．3 三角函数的积化和差与和差化积 高中数学（B版）必修五 第一章解直角三角形 1．1 正弦定理和余弦定理1．2 应用举例 第二章数列 2．1 数列2．2 等差数列2．3 等比数列 第三章不等式 3．1 不等关系与不等式3．2 均值不等式 3．3 一元二次不等式及其解法3．4 不等式的实际应用
函数(一) 双基达标 (限时20分钟) 1．与函数y ＝－2x 3为同一函数的是 ( )． A ．y ＝x －2x B ．y ＝－x －2x C ．－2x 3 D ．y ＝x 2 －2x 解析 函数y ＝－2x 3的定义域为(－∞，0]，则化简为 －2x 3＝－x －2x . 答案 B 2．函数f (x )＝(x －12)0＋|x 2－1| x ＋2的定义域为 ( )． A ．(－2，1 2) B ．(－2，＋∞) C ．(－2，12)∪(1 2，＋∞) D ．(1 2，＋∞) 解析 由??? x －1 2≠0 x ＋2>0 ，得?? ? x ≠1 2， x >－2， 即x >－2且x ≠1 2. 答案 C 3．函数f (x )＝x 2－1x 2＋1 ，则f (2) f (12)＝ ( )． A ．1 B ．－1 C.35 D ．－35 解析 ∵f (x )＝x 2 －1x 2＋1，∴f (12)＝1 22－1122＋1＝1－22 1＋2 2＝－3 5， f (2)＝22－122＋1＝35，∴f (2)f (12)＝－1.故选B. 答案 B 4．已知f (x )＝x 3－8，则f (x －2)＝________.
解析f(x)＝x3－8，∴f(x－2)＝(x－2)3－8＝x3－6x2＋12x－16. 答案x3－6x2＋12x－16 5．已知函数f(x)的定义域为[0,3]，则函数f(3x＋6)的定义域是________．解析由0≤3x＋6≤3，得－2≤x≤－1，故定义域为[－2，－1]． 答案[－2，－1] 6．已知f(x)＝ 1 1＋x (x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)． (1)求f(2)、g(2)的值； (2)求f[g(2)]的值； (3)求f[g(x)]的解析式． 解(1)f(2)＝ 1 1＋2 ＝ 1 3，g(2)＝2 2＋2＝6. (2)f[g(2)]＝f(6)＝ 1 1＋6 ＝ 1 7. (3)f[g(x)]＝f(x2＋2)＝ 1 1＋(x2＋2) ＝ 1 x2＋3 . 综合提高(限时25分钟) 7．设f(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则g(0)的值为()．A．1 B．－1 C．－3 D．7 解析∵g(x＋2)＝f(x)，∴g(0)＝f(－2)＝2×(－2)＋3＝－1. 答案 B 8．若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝f(2x) x－1 的定义域是()． A．[0,1] B．[0,1) C．[0,1)∪(1,4] D．(0,1) 解析∵y＝f(x)的定义域是[0,2]， 故f(2x)中，0≤2x≤2， 即0≤x≤1，又x－1≠0，∴x≠1，∴0≤x<1. 答案 B
为什么高一数学人教版分A版和B版高中数学课程框架1．课程框架 高中数学课程分必修和选修。必修课程由5个模块组成；选修课程有4个系列，其中系列1、系列2由若干个模块组成，系列3、系列4由若干专题组成；课程结构如图所示。2．必修课程 必修课程是每个学生都必须学习的数学内容，包括5个模块。数学1：集合、函数概念与基本初等函数I（指数函数、对数函数、幂函数）。刚上高1的学生很快就接触到了函数知识，其实初中对函数的知识有一些初步的涉猎，但是涉及的内容较少，定义也不完整，高中阶段是学生第一次正式接触函数，此部分知识模块难度较大，大部分学生学到这个知识模块会出现比较多的问题，函数是高中知识最难的3个模块之1也是学生第一个遇到的难题，需要学生平和的心态去把握。花大量的时间学习掌握。也是期中考试的主题内容。很多学生学到这个部分问题教多会怀疑自己初中知识学的是否扎实，其实和初中关联的只有几个部分：（二次函数，一次函数，正比例函数，反比例函数，一元二次方程，和不等式的简单解法。）这几个知识要是没问题就是不会影响到高1初步的知识学习。 数学2：立体几何初步、平面解析几何初步。此部分知识讲解前需要学生做适当预习，不过知识不是很难，因为前面讲
数列会花费比较多的时间，因此到解析几何的时候会显得时间紧张，应该提前注意避免影响成绩。 数学3：算法初步、统计、概率。此部分知识不是很难，只要学生紧跟学校老师应该问题不大，但是很多学生会因此放松导致影响后面的知识的学习。 数学4：基本初等函数II（三角函数）、平面上的向量、三角恒等变换。此部分知识承接必修1的函数，是知识延续，如果函数学的不好会对这个部分有较多影响。开展课程前要先了解下必修1中函数知识的掌握情况。 数学5：解三角形、数列、不等式。解斜三角形和必修4的三角函数有部分练习，需提前复习，数列是一个很难的知识模块，需要花费比较多的时间学习掌握。 3．选修课程 对于选修课程，学生可以根据自己的兴趣和对未来发展的愿望进行选择。选修课程由系列1，系列2，系列3，系列4等组成。 系列1：由2个模块组成。 选修1-1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用；选修1-2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数的引入、框图。 系列2：由3个模块组成。
三角函数的图像与性质 一、选择题 1．若sin x = m m +-11,则实数m 的取值范围是( ) A.［0,+∞) B.［－1,1］ C.(－∞,－1］∪［1,+∞) D.［0,1］ 2．在下列函数中，同时满足①在(0， 2 π )上递增；②以2π为周期；③是奇函数的( ) A ．y ＝tan x B ．y ＝cos x C ．y ＝tan 2 1 x D ．y ＝－tan x 3．函数4sin(2π)y x =+的图象关于（ ） Ａ．x 轴对称 Ｂ．原点对称 Ｃ．y 轴对称 Ｄ．直线π 2 x = 对称 4．为了得到函数πsin 24y x ? ?=- ?? ?的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点（ ） Ａ．向左平移π4个单位 Ｂ．向右平移π 4 个单位 Ｃ．向左平移 π 8 个单位 Ｄ．向右平移 π 8 个单位 5．πsin 36y x ?? =- ?? ? 的单调递减区间是（ ） Ａ．2π4π2π5π()3 939k k k ?? ++∈? ???Z ， Ｂ．2π2π2π5π()3 933k k k ?? ++∈? ???Z ， Ｃ．2π2π2π5π()3333k k k ?? ++∈? ?? ?Z ， Ｄ．2π2π2π5π()3939k k k ?? ++∈? ?? ?Z ， 6．下图中的曲线对应的函数解析式是（ ） A ． |sin |x y = B ．||sin x y = C ．||sin x y -= D ． |sin |x y -= 二、填空题 7．函数值sin1,sin2,sin3,sin4的大小顺序是 . 8．函数y =x cos 2 1-的定义域是 . 9．函数sin 1y a x =+的最大值是3，则它的最小值为 ． 10．若一个三角函数()y f x =在π02?? ??? ，内是增函数，又是以π为最小正周期的偶函数，则这样的一个三角 函数的解析式为 （填上你认为正确的一个即可，不必写上所有可能的形式）． 三、解答题 11．函数1 πtan 2 6y x ??=- ???的图象可以由函数tan y x =的图象经过怎样的变换得到，请写出变换过程
高中数学必修一至必修五知识点总结完整版 一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性： 1、元素的确定性； 2、元素的互异性； 3、元素的无序性说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。 (2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。 (3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。 (4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 1、用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队 员},B={1,2,3,4,5}
2、集合的表示方法：列举法与描述法。非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作a∈A ，相反，a 不属于集合A 记作 aA列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x?R| x-3>2}或{x| x-3>2} 4、集合的分类：（1）、有限集含有有限个元素的集合（2）、无限集含有无限个元素的集合（3）、空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1、“包含”关系f(x)，那么f(x)就叫做奇函数、注意： 1、函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。 2、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）、 3、具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点
为什么高一数学人教版分A版和B版 高中数学课程框架1．课程框架 高中数学课程分必修和选修。必修课程由5个模块组成；选修课程有4个系列，其中系列1、系列2由若干个模块组成，系列3、系列4由若干专题组成；课程结构如图所示。 2．必修课程 必修课程是每个学生都必须学习的数学内容，包括5个模块。 数学1：集合、函数概念与基本初等函数I（指数函数、对数函数、幂函数）。刚上高1的学生很快就接触到了函数知识，其实初中对函数的知识有一些初步的涉猎，但是涉及的内容较少，定义也不完整，高中阶段是学生第一次正式接触函数，此部分知识模块难度较大，大部分学生学到这个知识模块会出现比较多的问题，函数是高中知识最难的3个模块之1也是学生第一个遇到的难题，需要学生平和的心态去把握。花大量的时间学习掌握。也是期中考试的主题内容。很多学生学到这个部分问题教多会怀疑自己初中知识学的是否扎实，其实和初中关联的只有几个部分：（二次函数，一次函数，
正比例函数，反比例函数，一元二次方程，和不等式的简单解法。）这几个知识要是没问题就是不会影响到高1初步的知识学习。 数学2：立体几何初步、平面解析几何初步。此部分知识讲解前需要学生做适当预习，不过知识不是很难，因为前面讲数列会花费比较多的时间，因此到解析几何的时候会显得时间紧张，应该提前注意避免影响成绩。 数学3：算法初步、统计、概率。此部分知识不是很难，只要学生紧跟学校老师应该问题不大，但是很多学生会因此放松导致影响后面的知识的学习。 数学4：基本初等函数II（三角函数）、平面上的向量、三角恒等变换。此部分知识承接必修1的函数，是知识延续，如果函数学的不好会对这个部分有较多影响。开展课程前要先了解下必修1中函数知识的掌握情况。 数学5：解三角形、数列、不等式。解斜三角形和必修4的三角函数有部分练习，需提前复习，数列是一个很难的知识模块，需要花费比较多的时间学习掌握。
2014级必修五 编号1001 课题：正弦定理（第一课时） 编制人：闫宝新 审核人：王国燕 编制日期：2015年4月8日 星期三 班级 姓名 【学习目标】：能运用正弦定理解决两类解三角形的问题；能利用正弦定理判断三角形的形状。 一、【自学课本】：3——5页 1、正弦定理的内容是什么？了解正弦定理推导过程。 2、正弦定理可做怎样的变形？ （边化角）： （角化边）： 3、三角形中你可以想到那些结论？ 4、正弦定理可以解决哪些题型？ 二、【学习过程】 (A)1、在ABC ?中，若A sin >B sin ，则有（ ） A 、a b D 、a ，b 的大小无法确定 (A)2、在ABC ?中，A=30°，C=105°，b=8，则a 等于（ ） A 、4 B 、24 C 、34 D 、54 (A)3、已知△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，则A ∶B ∶C 等于( ) A ．1∶2∶3 B ．2∶3∶1 C ．1∶3∶2 D ．3∶1∶2 (A)4、已知在ABC ?中，A=45°，2,6==BC AB ，则=∠C (A)5、设△ABC 的外接圆半径为R ，且已知AB ＝4，∠C ＝45°，则R ＝________． (A)6、根据下列条件，解ABC ?： （1）已知 30,7,5.3===B c b ，求C 、A 、a ； （2）已知B=30°，2= b ，c=2，求C 、A 、a ； （3）∠B ＝45°，∠C ＝60°，a ＝2(3＋1)，求A 、b 、c 。 （A ）7、在ABC ?中，若B b A a cos cos =，求证：ABC ?是等腰三角形或直角三角形。 三、【达标检测】 （A ）1、在ABC ?中，下列等式总能成立的是（ ） A 、A c C a cos cos = B 、A c C b sin sin = C 、B bc C ab sin sin = D 、A c C a sin sin = （A ）2、在ABC ?中， 120,3,5===C b a ，则B A sin :sin 的值是（ ） A 、 3 5 B 、 5 3 C 、 7 3 D 、 7 5 (A)3、在ABC ?中，已知 60,8==B a ，C=75°，则b 等于（ ） A 、24 B 、34 C 、64 D 、 3 32 (B)4、在ABC ?中，A=60°，24,34==b a ，则角B 等于（ ） A 、45°或135° B 、135° C 、45° D 、以上答案都不对 (A)5、已知ABC ?中， 45,60,10===C B a ，则c 等于（ ） A 、310+ B 、)13(10- C 、)13(10+ D 、310 (A)6、在ABC ?中，已知A b B a tan tan 2 2 =，则此三角形是（ ） A 、锐角三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、直角或等腰三角形 (A)7、在ABC ?中，若 60,32,2=∠==B b a ，则c= ，=∠C 。 (B)8、在ABC ?中，已知6:5:4)(:)(:)(=+++b a a c c b ，则C B A sin :sin :sin 等于 (B)9、在ABC ?中， 30,1,3===B b a ，则三角形的面积等于 。 四、【拓展提高】 (C)10.在任意△ABC 中，求证：a （sinB-sinC ）+b （sinC-sinA ）+c （sinA-sinB ）=0
必修五·数学试卷Ⅳ Ⅰ、选择题 一、选择题 1、在ABC 中，若 sin cos A B a b = ，则角B 等于 （ ） A 、30? B 、45? C 、60? D 、90? 2、在ABC 中，10,30a c A ===?，则角B 等于 （ ） A 、105? B 、60? C 、15? D 、105?或15? 已知一个锐角三角形地三边边长分别为3，4，a ，则a 地取值范围 （ ） A 、(1,5) B 、(1,7) C 、 ) D 、 ) ABC 中，若 1cos 1cos A a B b -=-，则ABC 一定是 （ ） A 、等腰三角形 B 、直角三角形 C 、锐角三角形 D 、钝角三角形 5、在等差数列{} n a 中，若34567450a a a a a ++++=，则28a a +等于 （ ） A 、45 B 、75 C 、180 D 、3006、设等差数列{} n a 地前n 项和为n S ，且211210,38m m m n a a a S -+-+-==，则m 等于 （ ） A 、38 B 、20 C 、10 D 、9 7、若数列{} n a 地通项公式为n a = ，且9m S =，则m 等于 （ ） A 、9 B 、10 C 、99 D 、1008、已知{} n a 为等差数列，135105a a a ++=，34699a a a ++=，用n S 表示{} n a 地前n 项和，则使n S 达到最大值地n 是 （ ） A 、21 B 、20 C 、19 D 、18 9、若关于x 地不等式2 20ax bx ++>地解集为1 12 3x x ?? - < B 、1 2 a b a -< C 、22log log 2a b +<- D 、12a b b a a +> 12、已知集合{} 22 40,1M x x N x x ??=->= B 、{} 2x x <- C 、N D 、M Ⅱ、非选择题 二、填空题 13、ABC 地三个内角之比为1:2:3，则这个三角形地三边之比为. 14.已知数列{} n a 地前n 项和为2 31n S n n =++，则它地通项公式为. 15、设等差数列{} n a 地前n 项和为n S ，且53655S S -=，则4a =. 16、已知函数16 ,(2,)2 y x x x =+∈-+∞+，则此函数地最小值为. 三、解答题 17、在ABC 中，已知a =2,150c B ==?，求边b 地长及ABC 地面积S .
最新版本高中数学目录 （2019年人教B版） 必修一 第一章集合与常用逻辑用语 1.1集合 1.2 常用逻辑用语 本章小结 第二章等式与不等式 2.1等式 2.2不等式 本章小结 第三章函数 3.1函数的概念与性质 3.2函数与方程、不等式之间的关系 3.3函数的应用(一) 3.4数学建模活动:决定苹果的最佳出售时间点 本章小结 必修二 第四章指数函数、对数函数与幂函数 4.1指数与指数函数 4.2对数与对数函数 4.3指数函数与对数函数的关系
4.4幂函数 4.5增长速度的比较 4.6函数的应用(二) 4.7数学建模活动:生长规律的描述 本章小结 第五章统计与概率 5.1统计 5.2数学探究活动:由编号样本估计总数及其模拟5.3概率 5.4统计与概率的应用 本章小结 第六章平面向量初步 6.1平面向量及其线性运算 6.2向量基本定理与向量的坐标 6.3平面向量线性运算的应用 本章小结 必修三 第七章三角函数 7.1 任意角的概念与弧度制 7.2 任意角的三角函数 7.3 三角函数的性质与图像 7.4 数学建模活动:周期现象的描述
本章小结 第八章向量的数量积与三角恒等变换 8.1 向量的数量积 8.2 三角恒等变换 本章小结 必修四 第九章解三角形 9.1 正弦定理与余弦定理 9.2 正弦定理与余弦定理的应用 9.3 数学探究活动:得到不可达两点之间的距离本章小结 第十章复数 10.1 复数及其几何意义 10.2 复数的运算 10.3 复数的三角形式及其运算 本章小结 第十一章立体几何初步 11.1 空间几何体 11.2 平面的基本事实与推论 11.3 空间中的平行关系 11.4 空间中的垂直关系 本章小结
必修五数学知识点归纳资料 第一章 解三角形 1、三角形的性质： ①.A+B+C=π,? sin()sin A B C +=，cos()cos A B C +=- 222A B C π+=-?sin cos 22 A B C += ②.在ABC ?中, a b +＞c , a b -＜c ; A ＞B ?sin A ＞sin B , A ＞B ?cosA ＜cosB, a ＞b ? A ＞B ③.若ABC ?为锐角?，则A B +＞2π,B+C ＞2π,A+C ＞2π ; 22a b +＞2c ，22b c +＞2a ，2a ＋2c ＞2b 2、正弦定理与余弦定理： ①.正弦定理： 2sin sin sin a b c R A B C === (2R 为ABC ?外接圆的直径) 2s i n a R A =、2sin b R B =、2sin c R C = （边化角） sin 2a A R = 、 sin 2b B R =、 sin 2c C R = （角化边） 面积公式：111 sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ?=== ②.余弦定理： 2222c o s a b c b c A =+-、2222cos b a c ac B =+-、 2222cos c a b ab C =+- 222cos 2b c a A bc +-=、222cos 2a c b B ac +-=、222 cos 2a b c C ab +-= （角化边） 补充：两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ --= + ? （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；
人民教育出版社B版高中数学目录(全) 高中数学（B版）必修一 第一章集合 1.1集合与集合的表示方法 1.1.1集合的概念 1.1.2集合的表示方法 1.2集合之间的关系与运算 1.2.1集合之间的关系 1.2.2集合的运算 整合提升 第二章函数 2.1 函数 2.1.1函数 2.1.2函数的表示方法 2.1.3函数的单调性 2.1.4函数的奇偶性 2.2一次函数和二次函数 2.2.1一次函数的性质与图象 2.2.2二次函数的性质与图象 2.2.3待定系数法 2.3函数的应用（I） 2.4函数与方程 2.4.1函数的零点 2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法 整合提升 第三章基本初等函数（I） 3.1指数与指数函数 3.1.1实数指数幂及其运算 3.1.2指数函数 3.2对数与对数函数 3.2.1对数及其运算 3.2.2对数函数- 3.2.3指数函数与对数函数的关系 3.3幂函数 3.4函数的应用（Ⅱ） 整合提升 高中数学（B版）必修二 第1章立体几何初步 1.1空间几何体1.1.1构成空间几何体的基本元素 1.1.2棱柱、棱锥和棱台的结构特征 1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球 1.1.4投影与直观图 1.1.5三视图 1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积 1.1.7柱、锥、台和球的体积 1.2点、线、面之间的位置关系 1.2.1平面的基本性质与推论 1.2.2空间中的平行关系(第1课时) 空间中的平行关系(第2课时) 1.2.3空间中的垂直关系(第1课时) 空间中的垂直关系(第2课时) 综合测试阶段性综合评估检测(一) 第2章平面解析几何初步 2.1平面直角坐标系中的基本公式 2.2直线的方程 2.2.1直线方程的概念与直线的斜率 2.2.2直线方程的几种形式 2.2.3两条直线的位置关系 2.2.4点到直线的距离 2.3 圆的方程 2.3.1圆的标准方程 2.3.2圆的一般方程 2.3.3直线与圆的位置关系 2.3.4圆与圆的位置关系 2.4空间直角坐标系 综合测试 高中数学（B版）必修三 第一章算法初步 1.1 算法与程序框图 1.1.1 算法的概念 1.1.2 程序框图 1.1.3 算法的三种基本逻辑结构和框图表示1.2 基本算法语句 1.2.1 赋值、输入和输出语句 1.2.2 条件语句 1.2.3 循环语句 1.3 中国古代数学中的算法案例 单元回眸