第十一章计数原理
第1讲两个基本计数原理
对应学生
用书P168
考点梳理
1．分类加法计数原理
完成一件事，有n类办法：在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法．
2．分步乘法计数原理
完成一件事，需要分成n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法．
【助学·微博】
两个原理的联系与区别
联系：两个计数原理，都是关于完成一件事的不同方法种数的问题．区别：分类计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事一步到位；分步计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成，缺一不可．
考点自测
1．“海山联合—2012”中俄联合军演在中国青岛海域举行，在某一项演练中，中方参加演习的有4艘军舰、3架飞机；俄方有5艘军舰、2架飞机，若从中、俄两方中各选出2个单位(1架飞机或1艘军舰都作为一个单位，所有的军舰两
两不同，所有的飞机两两不同)，且选出的四个单位中恰有一架飞机的不同选法共有________种．
解析若中方选出一架飞机，则选法有C14C13C25＝120(种)；若俄方选出一架飞机，则选法有C15C12C24＝60(种)．故不同选法共有120＋60＝180(种)．
答案180
2．(2012·全国大纲卷改编)6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有________种．
解析甲先排在其余4个位置上有C14种方法，剩余元素则进行全排列，有A55种排法，由分步乘法计数原理，得一共有C14A55＝480(种)．
答案480
3．(2012·广州模拟)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{5,6,7}，C＝{8,9}．现在从这三个集合中取出两个集合，再从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合，则一共可以组成________个集合．
解析C14C13＋C14C12＋C13C12＝26(个)．
答案26
4．(2010·湖南卷改编)在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息．若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为________．
解析若4个位置的数字都不同的信息个数为1；若恰有3个位置的数字不同的信息个数为C34；若恰有2个位置上的数字不同的信息个数为C24，由分类计数原理知满足条件的信息个数为1＋C34＋C24＝11.
答案11
5.
某电子元件是由3个电阻组成的回路，其中有4个焊点A、B、C、D，若某个焊点脱落，整个电路就不通，现在发现电路不通了，那么焊点脱落的可能情况共有________种．
解析法一当线路不通时焊点脱落的可能情况共有2×2×2×2－1＝15(种)．
法二恰有i个焊点脱落的可能情况为C i4(i＝1,2,3,4)种，由分类计数原理，当电路不通时焊点脱落的可能情况共C14＋C24＋C34＋C44＝15(种)．
答案15
对应学生
用书P168
考向一分类加法计数原理
【例1】若集合A1、A2满足A1∪A2＝A，则称(A1，A2)为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A1＝A2时，(A1，A2)与(A2，A1)为集合A的同一种分拆，问集合A＝{a1，a2，a3}的不同分拆种数有多少个？
解若A1＝?，则A2＝{a1，a2，a3}；
若A1＝{a1}，则A2＝{a2，a3}或{a1，a2，a3}；
若A1＝{a2}，则A2＝{a1，a3}或{a1，a2，a3}；
若A1＝{a3}，则A2＝{a1，a2}或{a1，a2，a3}；
若A1＝{a1，a2}，
则A2＝{a3}或{a1，a3}或{a2，a3}或{a1，a2，a3}；
若A1＝{a1，a3}，
则A2＝{a2}或{a1，a2}或{a2，a3}或{a1，a2，a3}；
若A1＝{a2，a3}，
则A2＝{a1}或{a1，a2}或{a1，a3}或{a1，a2，a3}；
若A1＝{a1，a2，a3}，则A2＝?或{a1}或{a2}或{a3}或{a1，a2}或{a1，a3}或{a2，a3}或{a1，a2，a3}．
故不同的分拆种数为1＋3×2＋3×4＋8＝27.
[方法总结] 分类时，首先要确定一个恰当的分类标准，然后进行分类；其次分类时要注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理．
【训练1】
如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有多少个？
解把与正八边形有公共边的三角形分为两类：
第一类，有一条公共边的三角形共有8×4＝32(个)；
第二类，有两条公共边的三角形共有8(个)．
由分类加法计数原理知，共有32＋8＝40(个)．
考向二分步乘法计数原理
【例2】
如图所示三组平行线分别有m、n、k条，在此图形中
(1)共有多少个三角形？
(2)共有多少个平行四边形？
解(1)每个三角形与从三组平行线中各取一条的取法是一一对应的，由分步计数原理知共可构成m·n·k个三角形．
(2)每个平行四边形与从两组平行线中各取两条的取法是一一对应的，由分类和分步计数原理知共可构成C2m C2n＋C2n C2k＋C2k C2m个平行四边形．
[方法总结] 此类问题，首先将完成这件事的过程分步，然后再找出每一步中的方法有多少种，求其积．注意：各步之间相
互联系，依次都完成后，才能做完这件事．简单说使用分步计数原理的原则是步与步之间的方法“相互独立，逐步完成”．
【训练2】由数字1,2,3,4
(1)可组成多少个3位数；
(2)可组成多少个没有重复数字的3位数；
(3)可组成多少个没有重复数字的三位数，且百位数字大于十位数字，十位数字
大于个位数字．
解(1)百位数共有4种排法；十位数共有4种排法；个位数共有4种排法，根据分步计数原理共可组成43＝64(个)3位数．
(2)百位上共有4种排法；十位上共有3种排法；个位上共有2种排法，由分步计数原理共可排成没有重复数字的3位数4×3×2＝24(个)．
(3)排出的三位数分别是432、431、421、321，共4个．
考向三涂色问题
【例3】
如图，用5种不同的颜色给图中A、B、C、D四个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，求有多少种不同的涂色方法？
解法一如题图分四个步骤来完成涂色这件事：
涂A有5种涂法；涂B有4种方法；涂C有3种方法；涂D有3种方法(还可以使用涂A的颜色)．
根据分步计数原理共有5×4×3×3＝180(种)涂色方法．
法二由于A、B、C两两相邻，因此三个区域的颜色互不相同，共有A35＝60(种)涂法；又D与B、C相邻，因此D有3种涂法；由分步计数原理知共有60×3＝180(种)涂法．
[方法总结] 涂色问题的实质是分类与分步，一般是整体分步，分步过程中若出现某一步需分类时还要进行分类．涂色问题通常没有固定的方法可循，只能按照题目的实际情况，结合两个基本原理和排列组合的知识灵活处理．
【训练3】
如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法数．
解法一可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步乘法原理即可得出结论．由题设，四棱锥S－ABCD的顶点S、A、B所染的颜色互不相同，它们共有5×4×3＝60(种)染色方法．
当S、A、B染好时，不妨设其颜色分别为1、2、3，若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种染法，若C染5，则D可染3或4，有2种染法．可见，当S、A、B已染好时，C、D还有7种染法，故不同的染色方法有60×7＝420(种)．
法二以S、A、B、C、D顺序分步染色
第一步，S点染色，有5种方法；
第二步，A点染色，与S在同一条棱上，有4种方法；
第三步，B点染色，与S、A分别在同一条棱上，有3种方法；
第四步，C点染色，也有3种方法，但考虑到D点与S、A、C相邻，需要针对A与C是否同色进行分类，当A与C同色时，D点有3种染色方法；当A 与C不同色时，因为C与S、B也不同色，所以C点有2种染色方法，D点也有2种染色方法．由分步乘法、分类加法计数原理得不同的染色方法共有5×4×3×(1×3＋2×2)＝420(种)．
法三按所用颜色种数分类
第一类，5种颜色全用，共有A55种不同的方法；
第二类，只用4种颜色，则必有某两个顶点同色(A与C，或B与D)，共有2×A45种不同的方法；
第三类，只用3种颜色，则A与C、B与D必定同色，共有A35种不同的方法．由分类加法计数原理，得不同的染色方法总数为A55＋2×A45＋A35＝420(种)．
对应学生
用书P170
热点突破28两个计数原理的综合应用
高考对两个计数原理应用的考查，多以填空题的形式出现，考查蕴含在实际问题的解决中，多是两原理结合在一起应用，做好问题转化，分好类与步是关键．【示例】(2012·四川卷改编)方程ay＝b2x2＋c中的a，b，c∈{－3，－2,0,1,2,3}，且a，b，c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有________条．
[审题与转化] 第一步：以y的系数a的取值为标准进行分类．令a依次取值1,2,3，－2，－3.
第二步：在a值确定的情况下，再依次确定c、b2值．
[规范解答] 第三步：当a＝1时，若c＝0，则b2有4,9两个取值，共2条抛物线；
若c≠0，则c有4种取值，b2有两种，共有2×4＝8(条)抛物线；
当a＝2时，若c＝0，b2取1,4,9三种取值，共有3条抛物线；
若c≠0，c取1时，b2有2个取值，共有2条抛物线，
c取－2时，b2有2个取值，共有2条抛物线，
c取3时，b2有3个取值，共有3条抛物线，
c取－3时，b2有3个取值，共有3条抛物线．
∴共有3＋2＋2＋3＋3＝13(条)抛物线．
同理，a＝－2，－3,3时，共有抛物线3×13＝39(条)．
由分类加法计数原理知，共有抛物线39＋13＋8＋2＝62(条)．
[反思与回顾] 第四步：本题体现了分类讨论思想在计数原理解题中的作用．
高考经典题组训练
1．(2012·北京卷改编)从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为________个．
解析三位数可分成两种情况：(1)奇偶奇；(2)偶奇奇．对(1)，个位(3种选择)，十位(2种选择)，百位(2种选择)，共12种；对(2)，个位(3种选择)，十位(2种选择)，百位(1种选择)，共6种，即12＋6＝18(个)．
答案18
2．(2012·浙江卷改编)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有________种．
解析4个数和为偶数，可分为三类．
四个奇数C45，四个偶数C44，二奇二偶，C25C24.
共有C45＋C44＋C25C24＝66(种)不同取法．
答案66
3．(2012·课标全国卷改编)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有________种．
解析甲地由1名教师和2名学生：C12C24＝12(种)．
答案12
4．(2011·北京卷)用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个(用数字作答)．
解析法一数字2只出现一次的四位数有C14＝4(个)；数字2出现两次的四位数有C24C22＝6(个)；数字2出现三次的四位数有C34＝4(个)．故总共有4＋6＋4＝14(个)．
法二由数字2,3组成的四位数共有24＝16(个)，其中没有数字2的四位数只有1个，没有数字3的四位数也只有1个，故符合条件的四位数共有16－2＝14(个)．
答案14
5．(2012·大纲卷改编)将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有________种．解析利用分步计数原理，先填写最左上角的数，有C13＝3种；再填写右上角的数为2种；再填写第二行第一列的数有2种，一共有3×2×2＝12(种)．
答案12
对应学生
用书P355
分层训练A级基础达标演练
(时间：30分钟满分：60分)
一、填空题(每小题5分，共30分)
1．由0,1,2,3这四个数字组成的四位数中，有重复数字的四位数共有________个．解析可用排除法，由0,1,2,3可组成的四位数共有3×43＝192(个)，其中无重复的数字的四位数共有3A33＝18(个)，故共有192－18＝174(个)．
答案174
2．(2012·长春市三测)现有4名教师参加说题比赛，共有4道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一道题没有被这4位选中的情况有________种．
解析首先选择题目，从4道题目中选出3道，选法为C34，而后再将获得同一道题目的2位老师选出，选法为C24，最后将3道题目，分配给3组老师，分配方式为A33，即满足题意的情况共有C34C24A33＝144(种)．
答案144
3．某次活动中，有30人排成6行5列，现要从中选出3人进行礼仪表演，要求这3人中的任意2人不同行也不同列，则不同的选法种数为________(用数字作答)．
解析其中最先选出的一个人有30种方法，此时不能再从这个人所在的行和列共9个位置上选人，还剩一个5行4列的队形，故选第二个人有20种方法，此时不能再从该人所在的行和列上选人，还剩一个4行3列的队形，此时第三个人的选法有12种，根据分步乘法计数原理，总的选法种数是30×20×12＝
7 200.
答案7 200
4.(2012·汕头模拟)如图，用6种不同的颜色把图中A、
B、C、D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种
颜色，则不同的涂法共有________种．
解析从A开始，有6种方法，B有5种，C有4种，D、A同色1种，D、A
不同色3种，∴不同涂法有6×5×4×(1＋3)＝480(种)．
答案480
5．高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践，三个班去何工厂可自由选择，但甲工厂必须有班级要去，则不同的分配方案有________种．解析三个班去四个工厂不同的分配方案共43种，甲工厂没有班级去的分配方案共33种，因此满足条件的不同的分配方案共有43－33＝37(种)．
答案37
6．(2011·全国卷改编)4位同学从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法有________种．
解析分三步，第一步先从4位同学中选2人选修课程甲．共有C24种不同选法，第二步给第3位同学选课程，有2种选法．第三步给第4位同学选课程，也有2种不同选法．故共有C24×2×2＝24(种)．
答案24
二、解答题(每小题15分，共30分)
7.如图，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点
涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点
涂不同颜色．则不同的涂色方法共有多少种？
解先涂A、D、E三个点，共有4×3×2＝24(种)涂法，然
后再按B、C、F的顺序涂色，分为两类：一类是B与E或
D同色，共有2×(2×1＋1×2)＝8(种)涂法；另一类是B与E或D不同色，共有1×(1×1＋1×2)＝3(种)涂法．所以涂色方法共有24×(8＋3)＝264(种)．8．现安排一份5天的工作值班表，每天有一个人值班，共有5个人，每个人都可以值多天班或不值班，但相邻两天不准由同一个人值班，问此值班表共有多少种不同的排法？
解可将星期一、二、三、四、五分给5个人，相邻的数字不分给同一个人．星期一：可分给5人中的任何一人有5种分法；
星期二：可分给剩余4人中的任何一人有4种分法；
星期三：可分给除去分到星期二的剩余4人中的任何一人有4种分法；
同理星期四和星期五都有4种不同的分法，由分步计数原理共有5×4×4×4×4＝1 280(种)不同的排法．
分层训练B级创新能力提升
1．(2012·无锡调研)将数字1,2,3,4,5,6按第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数的形式随机排列，设N i(i＝1,2,3)表示第i行中最大的数，则满足N1＜N2＜N3的所有排列的个数是________(用数字作答)．
解析由已知数字6一定在第三行，第三行的排法种数为A13A25＝60；剩余的三个数字中最大的一定排在第二行，第二行的排法种数为A12A12＝4，由分步计数原理满足条件的排列个数是240.
答案240
2.(2013·盐城检测)数字1,2,3，…，9这九个数字填写在如图的
9个空格中，要求每一行从左到右依次增大，每列从上到下
也依次增大，当数字4固定在中心位置时，则所有填写空
格的方法共有________种．
解析必有1、4、9在主对角线上，2、3只有两种不同的填法，对于它们的每一种填法，5只有两种填法．对于5的每一种填法，6、7、8只有3种不同的填法，由分步计数原理知共有22×3＝12(种)填法．
答案12
3．(2010·上海)从集合U＝{a，b，c，d}的子集中选出4个不同的子集，需同时满足以下两个条件：
(1)?，U都要选出；
(2)对选出的任意两个子集A和B，必有A?B或A?B.那么，共有________种
不同的选法．
解析将选法分成两类．第一类：其中一个是单元素集合，则另一集合为含两个或三个元素且含有单元素集合中的元素，有C14×6＝24(种)．
第二类：其中一个是两个元素集合，则另一个是含有这两个元素的三元素集合，有C24×2＝12(种)．
综上共有24＋12＝36(种)．
答案36
4．(2012·揭阳一中检测)用n个不同的实数a1，a2，…，a n可得
到n！个不同的排列，每个排列为一行写成一个n！行的数
阵，对第i行a i1，a i2，…，a in，记b i＝－a i1＋2a i2－3a i3＋…＋(－1)n n·a in，i＝1,2,3，…，n！.例如：用1,2,3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，b1＋b2＋…＋b6＝－12＋2×12－3×12＝－24.那么，在用1,2,3,4,5形成的数阵中，b1＋b2＋…＋b120等于________．
解析在用1,2,3,4,5形成的数阵中，每一列的和为(1＋2＋3＋4＋5)×A44＝360，∴b1＋b2＋…＋b120＝－360＋2×360－3×360＋4×360－5×360＝－3×360＝－1 080.
答案－1 080
5．(2012·扬州调研一)用n种不同的颜色为两块广告牌着色(如图甲、乙所示)．要求在①，②，③，④四个区域中相邻(有公共边界)的区域不用同一种颜色．
(1)若n＝6，为甲着色时共有多少种不同的方法？
(2)若为乙着色时共有120种不同的方法，求n的值．
解完成着色这件事，共分为四个步骤，可以依次考虑为①，②，③，④这四个区域着色时各自的方法数，再利用分步乘法计数原理确定出总的着色种数，因此有：
(1)为①区域着色时有6种方法，为②区域着色时有5种方法，为③区域着色时
有4种方法，为④区域着色时有4种方法，∴依据分步(乘法)计数原理，不同的着色方法为6×5×4×4＝480(种)．
(2)由题意知，为①区域着色时有n种方法，为②区域着色时有(n－1)种方法，
为③区域着色时有(n－2)种方法，为④区域着色时有(n－3)种方法，由分步计数原理得不同的着色数为n(n－1)(n－2)(n－3)．∴n(n－1)(n－2)(n－3)＝120.
而120＝5×4×3×2，∴n＝5.
6．(2012·镇江调研二)已知集合A＝{a1，a2，a3，a4}，B＝{0,1,2,3}，f是从A到B 的映射．
(1)若B中每一元素都有原象，这样不同的f有多少个？
(2)若B中的元素0无原象，这样的f有多少个？
(3)若f满足f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋f(a4)＝4，这样的f又有多少个？
解(1)显然对应是一一对应的，即a1找象有4种方法，a2找象有3种方法，a3找象有2种方法，a4找象有1种方法，所以不同的f共有4×3×2×1＝24(个)．(2)0无原象，1,2,3有无原象不限，所以为A中每一元素找象时都有3种方法．所以不同的f共有34＝81(个)．
(3)分为如下四类：
第一类，A中每一元素都与1对应，有1种方法；
第二类，A中有两个元素对应1，一个元素对应2，另一个元素与0对应，有C24·C12＝12(种)方法；
第三类，A中有两个元素对应2，另两个元素对应0，有C24·C22＝6(种)方法；第四类，A中有一个元素对应1，一个元素对应3，另两个元素与0对应，有C14·C13＝12(种)方法．
所以不同的f共有1＋12＋6＋12＝31(个).
第2讲排列与组合
对应学生
用书P170
考点梳理
1．排列与排列数
(1)排列的定义：从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A m n表示．
(3)排列数公式：A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中n，m∈N*，且m≤n.
(4)全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列，A n n＝n·(n－1)·(n－2)·…·2·1＝n！.排列数公式写成阶乘的形式为A m n＝
n ！(n －m )！
，这里规定0！＝1. 2．组合与组合数
(1)组合的定义：从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．
(2)组合数的定义：从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用C m n 表示．
(3)组合数的计算公式：C m n ＝A m n A m m
＝n ！m ！(n －m )！＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m (m －1)…2·1，由于0！＝1，所以C 0n ＝1.
(4)组合数的性质：①C m n ＝C n －m n ；②C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n .
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解决排列类应用题的主要方法
(1)直接法：把符合条件的排列数直接列式计算；
(2)特殊元素(或位置)优先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置；
(3)捆绑法：相邻问题捆绑处理的方法，即可以把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列，同时注意捆绑元素的内部排列；
(4)插空法：不相邻问题插空处理的方法，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中；
(5)分排问题直接处理的方法；
(6)“小集团”排列问题中先集体后局部的处理方法；
(7)定序问题除法处理的方法，即可以先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列．
组合数公式的两种形式
组合数公式有两种形式，(1)乘积形式；(2)阶乘形式．前者多用于数字计算，后者多用于证明恒等式及合并组合数简化计算．注意公式的逆用．即由
n ！m ！(n －m )！
写出C m n . 考点自测
1．8名运动员参加男子100米的决赛，已知运动场有从内到外编号依次为1,2,3,4,5,6,7,8的八条跑道，若指定的3名运动员所在的跑道编号必须是三个连
续数字(如：4,5,6)，则参加比赛的这8名运动员安排跑道的方式共有________种．
解析可分步完成，先从8个数字中取出3个连续的三个数字共有6种可能，将指定的3名运动员安排在这三个编号的跑道上，最后剩下的5个排在其他的编号的5个跑道上，故共有6A33A55＝4 320(种)方式．
答案 4 320
2．若甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有________种．
解析分三类：甲在周一，共有A24种排法；
甲在周二，共有A23种排法；甲在周三，共有A22种排法；
∴A24＋A23＋A22＝20(种)．
答案20
3．(2010·山东卷改编)某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位．该台晚会节目演出顺序的编排方案共有________种．
解析因为丙必须排在最后一位，因此只需考虑其余五人在前五位上的排法．当甲排在第一位时，有A44＝24(种)排法；当甲排在第二位时，有A13·A33＝18(种)排法，所以共有方案24＋18＝42(种)．
答案42
4．(2013·温州检测)如图，将1,2,3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，右面是一种填法，则不同的填写方法共有________种．
解析只需要填写第一行第一列，其余即确定了．因此填写方法共有A33A22＝12(种)．
答案12
5．(2013·南京师大附中阶段检测)某工程队有6项工程需要先后单独完成，其
中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，又工程丁必须在工程丙完成后立即进行，那么安排这6项工程的不同排法种数是________(用数字作答)．
解析可将6项工程分别用甲、乙、丙、丁、a、b表示，要求是甲在乙前，乙在丙前，并且丙丁相邻丙在丁前，可看作甲、乙、丙丁、a、b五个元素的排列，可先排a、b，再排甲、乙、丙丁共A25C33＝20(种)排法．也可先排甲、乙、丙丁，再排a、b，共C35A22＝20(种)排法．
答案20
对应学生
用书P171
考向一排列问题
【例1】有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数：
(1)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置；
(2)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边；
(3)全体排成一行，其中男生必须排在一起；
(4)全体排成一行，男、女各不相邻；
(5)全体排成一行，男生不能排在一起；
(6)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变；
(7)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(8)全体排成一行，甲、乙两人中间必须有3人．
解(1)利用元素分析法(特殊元素优先安排)，甲为特殊元素，故先安排甲，左、右、中共三个位置可供甲选择，有A13种，其余6人全排列，有A66种．
由分步计数原理得A13A66＝2 160(种)．
(2)位置分析法(特殊位置优先安排)．先排最左边，除去甲外，有A16种，余下的6个位置全排有A66种，但应剔除乙在最右边的排法数A15A55种．
则符合条件的排法共有A16A66－A15A55＝3 720(种)．
(3)捆绑法．将男生看成一个整体，进行全排列，再与其他元素进行全排列，共有A33A55＝720(种)．
(4)插空法．先排好男生，然后将女生插入其中的四个空位，共有A33A44＝144(种)．
(5)插空法．先排女生，然后在空位中插入男生，共有A44A35＝1 440(种)．
(6)定序排列．第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为N；第二步，对甲、乙、丙进行全排列，则为7个人的全排列，因此A77＝N×A33，∴N
＝A77
A33＝840(种)．
(7)与无任何限制的排列相同，有A77＝5 040(种)．
(8)从除甲、乙以外的5人中选3人排在甲、乙中间的排法有A35种，甲、乙和其余2人排成一排且甲、乙相邻的排法有A22A33种，最后再把选出的3人的排列插入到甲、乙之间即可，共有A35×A22×A33＝720(种)．
[方法总结] 本题集排列多种类型于一题，充分体现了元素分析法(优先考虑特殊元素)、位置分析法(优先考虑特殊位置)、直接法、间接法(排除法)、等机会法、插空法等常见的解题思路．
【训练1】有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？
(1)甲不在中间也不在两端；
(2)甲、乙两人必须排在两端；
(3)男女相间．
解(1)法一(元素分析法)
先排甲有6种，其余有A88种，
故共有6·A88＝241 920(种)排法．
法二(位置分析法)
中间和两端有A38种排法，包括甲在内的其余6人有A66种排法，故共有A38·A66＝336×720＝241 920(种)排法．
法三(等机会法)
9个人的全排列数有A99种，甲排在每一个位置的机会都是均等的，依题意，甲
不在中间及两端的排法总数是A99×6
9＝241 920(种)．
法四(间接法)
A99－3·A88＝6A88＝241 920(种)．(2)先排甲、乙，再排其余7人，共有A22·A77＝10 080(种)排法．
(3)(插空法)
先排4名男生有A44种方法，再将5名女生插空，有A55种方法，故共有A44·A55＝2 880(种)排法．
考向二组合问题
【例2】某课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长．现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？
(1)只有一名女生；
(2)两队长当选；
(3)至少有一名队长当选；
(4)至多有两名女生当选；
(5)既要有队长，又要有女生当选．
解(1)一名女生，四名男生．
故共有C15·C48＝350(种)．
(2)将两队长作为一类，其他11人作为一类，故共有C22·C311＝165(种)．
(3)至少有一名队长含有两类：只有一名队长和两名队长．故共有：C12·C411＋C22·C311＝825(种)或采用排除法：C513－C511＝825(种)．
(4)至多有两名女生含有三类：有两名女生、只有一名女生、没有女生．故选法为：
C25·C38＋C15·C48＋C58＝966(种)．
(5)分两类：第一类女队长当选：C412；
第二类女队长不当选：
C14·C37＋C24·C27＋C34·C17＋C44.
故选法共有：
C412＋C14·C37＋C24·C27＋C34·C17＋C44＝790(种)．
[方法总结] 对于有条件的组合问题，可能遇到含某个(些)元素与不含某个(些)元素问题；也可能遇到“至多”或“至少”等组合问题的计算，此类问题要注意分类处理或间接计算，切记不要因为“先取再后取”产生顺序，从而造成计算错误．
【训练2】已知甲、乙两人从4门课程中各选修2门．(1)甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有多少种？(2)甲、乙所选的课程中至少有一门不相同的
选法有多少种？
解(1)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，且甲、乙所选课程中恰有1门相同的选法种数共有C24C12C12＝24(种)．
(2)甲、乙两人从4门课程中各选两门不同的选法种数为C24C24，又甲乙两人所选的两门课程都相同的选法种数为C24种，因此满足条件的不同选法种数为C24 C24－C24＝30(种)．
考向三排列、组合的综合应用
【例3】将4个编号为1,2,3,4的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子中．
(1)有多少种放法？
(2)每盒至多一球，有多少种放法？
(3)恰好有一个空盒，有多少种放法？
(4)每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种方法？
(5)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种不同的放法？
解(1)有44＝256(种)放法．
(2)有A44＝24(种)放法．
(3)先取4个球中的两个“捆”在一起，有C24种选法，再将三组小球投入四个盒子中的三个盒子，有A34种投放方法，故共有C24A34＝144(种)放法．
(4)有C14×2＝8(种)放法．
(5)先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放两个球，余下两个盒子各放一个球，由于球相同，所以共有C34C14＝12(种)放法．
[方法总结] 排列、组合综合题目，一般是将符合要求的元素取出(组合)或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列．其中分组时，要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标准．
【训练3】有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？
(1)分成1本、2本、3本三组；
(2)分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本；
(3)分成每组都是2本的三组；
(4)分给甲、乙、丙三人，每人2本．
解(1)分三步：先选一本有C16种选法；再从余下的5本中选2本有C25种选法；对于余下的三本全选有C33种选法，由分步乘法计数原理知有C16C25C33＝60(种)选法．
(2)由于甲、乙、丙是不同的三人，在(1)的基础上，还应考虑再分配的问题，因此共有C16C25C33A33＝360(种)选法．
(3)先分三步选取，则应是C26C24C22种选法，但是这里面出现了重复，不妨记6本书为分别A、B、C、D、E、F，若选取时选取了(AB，CD，EF)，则C26C24C22种分法中还有(AB、EF、CD)，(CD、AB、EF)、(CD、EF、AB)、(EF、CD、AB)、(EF、AB、CD)共有A33种情况，而且这A33种情况仅是AB、CD、EF的顺
序不同，因此只算作一种情况，故分配方式有C26C24C22
A33＝15(种)．
(4)在问题(3)的基础上再分配，故分配方式有C26C24C22
A33·A
3
3
＝C26C24C22＝90(种)．
对应学生
用书P173
热点突破29有限制条件的排列、组合问题
在高考中，主要考查用排列、组合知识解决实际问题．注重对学生理解、分析和解决问题的能力及分类讨论思想的考查．
【示例】(2012·山东卷改编)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为________．
[审题与转化] 第一步：①无红色时，分3张不同色和2张同色两类；
②有红色时，分剩余2张同色与2张不同色两类．
[规范解答] 第二步：若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色，则有C14×C14×C14＝64(种)，若2张同色，则有C23×C12×C24×C14＝144(种)；若红色卡片有1张，剩余2张不同色，则有C14×C23×C14×C14＝192(种)，剩余2张同色，则有C14×C13×C24＝72(种)，所以共有64＋144＋192＋72＝472(种)不同的取法．
[反思与回顾] 第三步：解决这类问题通常有以下三种方法：
高考数学 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 自测： 1．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有__种．32 解析每位同学有两种不同的报名方法，而且只有这5位同学全部报名结束，才算事件完成．所以共有2×2×2×2×2＝32(种)． 2．有不同颜色的4件上衣与不同颜色的3件长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数是________．12 解析由分步乘法计数原理，一条长裤与一件上衣配成一套，分两步，第一步选上衣有4种选法，第二步选长裤有3种选法，所以有4×3＝12(种)选法． 3．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有_____种．答案24 解析分步完成．首先甲、乙两人从4门课程中同选1门，有4种方法，其次甲从剩下的3门课程中任选1门，有3种方法，最后乙从剩下的2门课程中任选1门，有2种方法，于是，甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法共有4×3×2＝24(种)． 4．用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答)答案14 解析数字2,3至少都出现一次，包括以下情况： “2”出现1次，“3”出现3次，共可组成C14＝4(个)四位数． “2”出现2次，“3”出现2次，共可组成C24＝6(个)四位数． “2”出现3次，“3”出现1次，共可组成C34＝4(个)四位数． 综上所述，共可组成14个这样的四位数. 题型一分类加法计数原理的应用 例1一班有学生50人，男生30人，女生20人；二班有学生60人，男生30人，女生30人；三班有学生55人，男生35人，女生20人． (1)从一班或二班或三班中选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？ (2)从一班、二班男生中，或从三班女生中选一名学生任学生会体育部长，有多少种不同的选法？ 思维启迪用分类加法计数原理． 解(1)完成这件事有三类方法 第一类，从高三一班任选一名学生共有50种选法； 第二类，从高三二班任选一名学生共有60种选法；
计数原理 课表要求 1、会用两个计数原理分析解决简单的实际问题； 2、理解排列概念，会推导排列数公式并能简单应用； 3、理解组合概念，会推导组合数公式并能解决简单问题； 4、综合应用排列组合知识解决简单的实际问题； 5、会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题； 6、会用二项式定理求某项的二项式系数或展开式系数，会用赋值法求系数之和。突破方法 1．加强对基础知识的复习，深刻理解分类计数原理、分步计数原理、排列组合等基本概念，牢固掌握二项式定理、二项展开式的通项、二项式系数的性质。2．加强对数学方法的掌握和应用，特别是解决排列组合应用性问题时，注重方法的选取。比如：直接法、间接法等；几何问题、涂色问题、数字问题、其他实际问题等；把握每种方法使用特点及使用范围等。 3．重视数学思维的训练，注重数学思想的应用，在解题过程中注重化归与转化思想的应用，将不同背景的问题归结为同一个数学模型求解；注重数形结合、分类讨论思想、整体思想等，使问题化难为易。 知识点 1、分类加法计数原理 完成一件事，有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，……在第n类办法中有m n种不同的方法。那么完成这件事共有：N=m1+m2+……+m n种不同的方法。 注意：（1）分类加法计数原理的使用关键是分类，分类必须明确标准，要求每一种方法必须属于某一类方法，不同类的任意两种方法是不同的方法，这时分类问题中所要求的“不重复”、“不遗漏”。 （2）完成一件事的n类办法是相互独立的。从集合角度看，完成一件事分A、B两类办法，则A∩B=?,A∪B=I（I表示全集）。 （3）明确题目中所指的“完成一件事”是指什么事，完成这件事可以有哪些办法，怎样才算是完成这件事。 2、分步乘法计数原理 完成一件事，需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有：N=m1·m2·……·m n种不同的方法。 注意：（1）明确题目中所指的“做一件事”是什么事，单独用题中所给的某种方法是不是能完成这件事，是不是要经过几个步骤才能完成这件事。 （2）完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少哪一步，这件事都不可能完成。 （3）根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这几步逐步去
《计数原理》练习 一、选择题 1.书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书，从中任取数学书和语文书各一本，则不同的取法种数有（ ） A 11 B 30 C 56 D 65 2.在平面直角坐标系中，若{}{}1,2,3,3,4,5,6x y ∈∈，则以(),x y 为坐标的点的个数为（ ） A 7 B 12 C 64 D 81 3.若()12n x +的展开式中，3x 的系数是x 系数的7倍，则n 的值为（ ） A 5 B 6 C 7 D 8 4.广州市某电信分局管辖范围的电话号码由8位数字组成，其中前3位是一样的，后5位数字都是0～9这10个数字中的一个，那么该电信分局管辖范围内不同的电话号码个数最多有（ ） A 50 B 30240 C 59049 D 100000 6.按血型系统学说，每个人的血型为A ，B ，O ，AB 型四种之一，依血型遗传学，当且仅当父母中至少有一人的血型是AB 型时，其子女的血型一定不是O 型，如果某人的血型为O 型，则该人的父母血型的所有可能情况种数有（ ） A 6 B 7 C 9 D 10 7.计算0121734520C C C C ++++L 的结果为（ ） A 421C B 321 C C 320C D 420C 8.一个口袋内装有4个不同的红球，6个不同的白球，若取出一个红球得2分，取出一个白球得1分，问从口袋中取出5个球，使总分不少于7分的取法种数有（ ） A 15 B 16 C 144 D 186 二、填空题 9.开车从甲地出发到丙地有两种选择，一种是从甲地出发经乙地到丙地，另一种是从甲地出发经丁地到丙地。其中从甲地到乙地有2条路可通，从乙地到丙地有3条路可通；从甲地到丁地有4条路可通，从丁地到丙地有2条路可通。则从甲地到丙地不同的走法共有 种。 10.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 种。 14.()()5 211x x +-的展开式中3x 的系数为
高中数学教案：计数原理 教学目标： 对差不多概念，差不多知识和差不多运算的把握 注重对分析咨询题和解决咨询题的能力的培养 对综合咨询题要注意数学思想的培养 教学重难点： 对两个差不多计数原理的把握和运用 排列组合以及二项式定理典型题解题技巧 教学设计： 知识网络： 一、两个差不多计数原理： 1、分类计数原理：完成一件事，有n 类方法,在第一类方法中有m1种不同的方法,在第二类方法中有m2种不同的方法，……，在第n 类方法中有mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N=m1+m2+…+mn 种不同的方法。〔加法原理〕 2、分步计数原理：完成一件事，需要分成n 个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n 步有mn 种不同的方法，那么完成这件事有 N=m1×m2×…×mn 种不同的方法。〔乘法原理〕 二、排列 排列：一样地，从n 个不同的元素中取出m 〔m ﹤n 〕个元素，并按一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。 注意：1、排列的定义中包含两个差不多内容：①〝取出元素〞；②〝按照一定顺序排列〞，〝一定顺序〞确实是与位置有关，这也是判定一个咨询题是不是排列咨询题的重要标志。 2、依照排列的定义，两个排列相同，是指当且仅当两个排列的元素完全相同，而且元素的排列顺序也相同 排列数公式： )!(!)1()2()1(m n n m n n n n A m n -=+-???-?-?= !12)2()1(n n n n A n n =????-?-?= 三、组合 组合：一样地，从n 个不同元素中取出m 个不同元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的一个组合。 组合数公式： 〔组合数公式1—适用于运算〕 〔组合数公式2—适用于化简证明〕 组合数公式性质：性质1: m n n m n C C -= ! )1()2)(1(m m n n n n m m m n m n C +---=A =A ! )(! ! m n m n C m n -=
分类加法计数原理与分步乘法计数原理练习题 一.选择题 1．一件工作可以用2种方法完成，有3人会用第1种方法完成，另外5人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是（ ） Ａ．8 Ｂ．15 Ｃ．16 Ｄ．30 2．从甲地去乙地有3班火车，从乙地去丙地有2班轮船，则从甲地去丙地可选择的旅行方式有（ ） Ａ．5种 Ｂ．6种 Ｃ．7种 Ｄ．8种 3．如图所示为一电路图，从A 到B 共有（ ）条不同的线路可通电（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 4．由数字0，1，2，3，4可组成无重复数字的两位数的个数是（ ） Ａ．25 Ｂ．20 Ｃ．16 Ｄ．12 5．李芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有两套不同样式的连衣裙．“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则李芳有（ ）种不同的选择方式 Ａ． 24 Ｂ．14 Ｃ． 10 Ｄ．9 6．设A ，B 是两个非空集合，定义{}()A B a b a A b B *=∈∈，，|，若{}{}0121234P Q ==， ，，，，，，则P *Q 中元素的个数是（ ） Ａ．4 Ｂ．7 Ｃ．12 Ｄ．16 二、填空题 7．商店里有15种上衣，18种裤子，某人要买一件上衣或一条裤子，共有 种不同的选法；要买上衣，裤子各一件，共有 种不同的选法． 8．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有 种行车路线． 9．已知{}{}0341278a b ∈∈， ，，，，，，则方程22()()25x a y b -+-=表示不同的圆的个数是 ． 10．多项式123124534()()()()a a a b b a a b b ++++++··展开后共有 项． 11．如图，从A →C ，有 种不同走法． 12．将三封信投入4个邮箱，不同的投法有 种． 三、解答题 13．一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同． （1）从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？ （2）从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？
选修2-3定理概念及公式总结 第一章基数原理 1.分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 N=m 1+m 2+……+m n 种不同的方法 2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法，……，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事有N=m 1×m 2×……m n 种不同的方法 分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤完整” 3.两个计数原理的区别: 如果完成一件事，有n 类办法，不论哪一类办法中的哪一种方法，都能独立完成这件事,用分类计数原理， 如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要完成所有步骤才能完成这件事，是分步问题,用分步计数原理. 4.排列:从n 个不同的元素中取出m 个(m ≤n)元素并按一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. （1）排列数: 从n 个不同的元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列的个数.用符号m n A 表示 （2）排列数公式:)1()2)(1(+-???--=m n n n n A m n 用于计算， 或m n A )! (! m n n -=() n m N m n ≤∈*,, 用于证明。 n n A =!n =()1231????- n n =n(n-1)! 规定0！=1 5.组合：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合 （1）组合数: 从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，用m n C 表示 （2）组合数公式: (1)(2)(1) ! m m n n m m A n n n n m C A m ---+== 用于计算， 或)! (!! m n m n C m n -= ),,(n m N m n ≤∈*且 用于证明。
第九章 计数原理与概率 §9.1 计数原理 一、知识导学 1.分类计数原理：完成一件事，有ｎ类办法，在第1类办法中，有1m 种不同的方法，在第2类办法中，有2m 种不同的方法，……在第ｎ类办法中，有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝1m ＋2m ＋……＋n m 种不同的方法. 2. 分步计数原理：完成一件事，需要分成ｎ个步骤，做第1步，有1m 种不同的方法，做第2步，有2m 种不同的方法，……做第ｎ步，有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝1m ×2m ×…×n m 种不同的方法.注：分类计数原理又称加法原理 分步计数原理又称乘法原理二、疑难知识导析 1．分类原理中分类的理解：“完成一件事，有ｎ类办法”这是对完成这件事的所有办法的一个分类.分类时，首先要根据问题的特点，确定一个适合它的分类标准，然后在这个标准下进行分类，其次，分类时要注意满足两条基本原则：第一，完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；第二，分别属于不同类的两种方法是不同的方法.前者保证完成这件事的立法不遗漏，后者保证不重复. 2．分步原理中分步的理解：“完成一件事，需要分成ｎ个步骤”这就是说完成这件事的任何一种方法，都要完成这ｎ个步骤.分步时，首先要根据问题的特点确定一个可行的分步标准，其次，步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这ｎ个步骤，这件事才算最终完成. 3．两个原理的区别在于一个和分类有关，一个和分步有关.如果完成一件事有ｎ类办法， 这ｎ类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中的哪一个都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类计数原理.如果完成一件事，需分成ｎ个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种数，就用分步计数原理. 4．在具体解题时，常常见到某个问题中，完成某件事，既有分类，又有分步，仅用一 种原理不能解决，这时需要认真分析题意，分清主次，选择其一作为主线. 5．在有些问题中，还应充分注意到在完成某件事时，具体实践的可行性.例如：从甲地 到乙地 ，要从甲地先乘火车到丙地，再从丙地乘汽车到乙地.那么从甲地到乙地共有多少种不同的走法？这个问题中，必须注意到发车时刻，所限时间，答案较多.三、经典例题导讲 [例1]体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某学生到该体育场练跑步，则他进出门的方案有 （ ） A ．12 种 B ．7种 C ．24种 D ．49种
【高中数学】计数原理总结 知识梳理： 1. 分类加法计数原理和分布乘法计数原理 (1)如果完成一件事有n 类不同的方案，在第一类中有m1种不同的方法，在第二类中有m2种不同的方法，…，在第n 类中有mn 种不同的方法,那么完成这件事共有N=_________种不同的方法。 (2)如果完成一件事需要n 个不同的步骤，在第一步中有m1种不同的方法，在第二步中有m2种不同的方法，…，在第n 步中有mn 种不同的方法,那么完成这件事共有N=_________种不同的方法。 (3)分类和分布的区别，关键是看事件能否完成，事件完成了就是___________；必须要连续若干步才能完成则是 _____________。分类要用分类计数原理将种数_________，分步要用分步计数原理将种数_________。 2. 排列与组合 (1)排列 (1)(2)(1)()(1)321(1)(2)(1)()(1)321 !()! m n n n n n m n m n m A n n n n m n m n m n n m ---+---??=---+= ---??=- (1)(2)(!()!m n A n n n n n n m =--=- (2)组合 ①组合数公式(1)(2)(1)!()(1)321()!! m n n n n n m n C n m n m n m m ---+==---??- ①组合数的两个性质_______ _ ____、 。 ③区别排列与组合 3. 常见的解题策略有以下几种： (1)特殊元素优先安排的策略 (2)合理分类和准确分布的策略 (3)排列、组合混合问题先选后排的策略 (4)正难则反、等价转化的策略 (5)相邻问题捆绑的策略 (6)不相邻问题插空处理的策略 (7)定序问题除法处理的策略 (8)分排问题直排处理的策略 (9)“小集团”排列问题中先整体后局部的策略 (10)构造模型的策略。 4. 二项式定理 (1)二项式定理：)()(1110*--∈+++++=+N n b C b a C b a C a C b a n n n r r n r n n n n n n (2)通项：展开式的第1+r 项，即) ,,1,0(1n r b a C T r r n r n r ==-+ (3)二项式系数的性质： ①对称性：在二项展开式中，与首末两端等距离的任意两项的二项式系数相等。即 ①增减性与最值：二项式系数先增后减且在中间取得最大值 当n 是偶数时，中间一项取得最大值2n n C 当n 是奇数时，中间两项相等且同时取得最大值21-n n C =21+n n C ③二项式系数的和： 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数和。即 m n n m n C C -=n n n k n n n n C C C C C 2 210 =+???++???+++∴ 0213n-1n n n n C +C +=C +C +=2
1.1 两个基本计数原理 1．分类计数原理 完成一件事，有n 类方式，在第1类方式中有m 1种不同的方法，在第2类方式中有m 2种不同的方法，……，在第n 类方式中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝m 1＋m 2＋…＋m n 种不同的方法．分类计数原理又称为加法原理． 预习交流1 应用分类计数原理的原则是什么？ 提示：做一件事有n 类方式，每一类方式中的每一种方法均完成了这件事． 2．分步计数原理 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有m 1种不同的方法，做第2步有m 2种不同的方法，……，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝m 1×m 2×…×m n 种不同的方法．分步计数原理又称为乘法原理． 预习交流2 应用分步计数原理的原则是什么？ 提示： 做一件事要分n 个步骤完成，只有所有步骤完成时，才完成这件事，也就是说，每一步骤中每种方法均不能完成这件事． 一、分类计数原理问题 从甲地到乙地每天有火车3班，汽车8班，飞机2班，轮船2班，问一天内乘坐班次不同的运输工具由甲地到乙地，有多少种不同的走法？ 思路分析：由于每班火车、汽车、飞机、轮船均能实现从甲地到乙地，因此利用分类计数原理．
解：根据运输工具可分四类： 第1类是乘坐火车，有3种不同的走法； 第2类是乘坐汽车，有8种不同的走法； 第3类是乘坐飞机，有2种不同的走法； 第4类是乘坐轮船，有2种不同的走法； 根据分类计数原理，共有不同的走法的种数是N＝3＋8＋2＋2＝15. 设有5幅不同的油画，2幅不同的国画，7幅不同的水彩画．从这些画中只选一幅布置房间，有__________种不同的选法． 答案：14 解析：根据分类计数原理，不同的选法有N＝5＋2＋7＝14种． 如果完成一件事有n类方式，每类方式彼此之间是相互独立的，无论哪一种方式的每种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类计数原理(加法原理)． 二、分步计数原理问题 有三个盒子，分别装有不同编号的红色小球6个，白色小球5个，黄色小球4个，现从盒子里任取红、白、黄小球各1个，有多少种不同的取法？ 思路分析：要从盒子里取到红、白、黄小球各1个，应分三个步骤，并且这三个步骤均完成时，才完成这件事，故应用分步计数原理． 解：分三步完成： 第1步是取红球，有6种不同的取法； 第2步是取白球，有5种不同的取法； 第3步是取黄球，有4种不同的取法； 根据分步计数原理，不同取法的种数为N＝6×5×4＝120. 现有高一学生9人，高二学生12人，高三学生7人自发组织参加数学课外活动小组，为便于管理，每年级各选一名组长，有__________种不同的选法． 答案：756 解析：根据分步计数原理有N＝9×12×7＝756种不同的选法． 如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种数就用分步计数原理(乘法原理)． 1．两个书橱，一个书橱内有7本不同的小说，另一个书橱内有5本不同的教科书．现从两个书橱任取一本书的取法有__________种． 答案：12 解析：根据分类计数原理，不同的取法有N＝7＋5＝12种． 2．教学大楼有5层，每层均有2个楼梯，由1楼到5楼的走法有__________种． 答案：16 解析：根据分步计数原理，不同的走法有N＝2×2×2×2＝16种． 3．现有高一学生9人，高二学生12人，高三学生7人，从中推选两名来自不同年级的
计数原理练习题 一、排列数与组合数计算 1、若n ∈N 且n<20,则（27—n ）（28—n ） （34—n ）= ( ) A 、827n A - B 、n n A --2734 C 、734n A - D 、834n A - 2、已知=++++2252423n C C C C 363，则n=______ 3、化简=+++-2132n n n n C C C _________ 二、站队相邻与不相邻问题 4、记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ ） A 、1440种 B 、960种 C 、720种 D 、480种 5、把5件不同的商品在货架上排成一排，其中a ，b 两种必须排在一起，而c ，d 两种不能排在一起，则不同排法共有（ ）A 、12种 B 、20种 C 、24种 D 、48种 6、三个女生和五个男生排成一排， （1）如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？ （2）如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？ （3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？ （4）如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法？ （5）如果三个女生站在前排，五个男生站在后排，有多少种不同的排法？ 三、定序问题 7、A 、B 、C 、D 、E 五人并排站在一排，其中A 、B 、C 顺序一定，那么不同的排法种数是________。 四、错排问题 8、将数字1、2、3、4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与数字均不相同的填法有（ ） A 、6种 B 、9种 C 、11种 D 、23种 五、分组分配问题 9、有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4 人承担这三项任务，不同的选法种数是__________。 10、5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ） A 、480种 B 、240种 C 、120种 D 、96种 11、有6名志愿者（其中4名男生，2名女生）义务参加某项宣传活动，他们自由分成两组完成不同的两项任务，但要求每组最多4人，女生不能单独成组，则不同的工作安排方式有 ( ) A 、40种 B 、48种 C 、60种 D 、68种 12、有2红3黄4白共9个球，同色球不加以区分，将这九个球排成一排，共有____种方法。 六、名额分配问题 13、10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有_________不同分配方案。 14、方程60821=+++x x x 有多少组自然数解（用排列或组合表示）_____________。 七、限制条件的分配问题 15、某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？
计数原理（讲义） ? 知识点睛 一、两个计数原理 1. 全排列：n 个不同元素全部取出的排列，叫做n 个不同元素的一个全排列， A (1)(2)21n n n n n n =?-?-???=L ！ 即正整数1到n 的连乘积叫做n 的阶乘，用n ！表示． A ()m n n n m =-！！，A !C !()!A m m n n m m n m n m ==-， 规定0!1=，0C 1n =． 2. 组合数的性质 C C m n m n n -=，11C C C m m m n n n -+=+． ? 精讲精练 1. 从A 地到B 地要经过C 地和D 地，从A 地到C 地有3条路，从C 地到D 地有2条路，从D 地 到B 地有4条路，则从A 地到B 地的不同走法共有（ ）种．
A ．3+2+4=9 B ．1 C ．3×2×4=24 D ．1+1+1=3 2. 设4名学生报名参加同一时间安排的3项课外活动的方案有a 种，这4名学生在运动会上共同争 夺100米、跳远、铅球3项比赛的冠军的可能结果有b 种，则(a ，b )为（ ） A ．(34，34) B ．(43，34) C ．(34，43) D ．3344(A A )， 3. 填空： （1）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有______种． （2）某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成，若要选出不同年级的两人参加市里组织的某项活动，则不同的选法共有______种． （3）从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台，其中至少有原装与组装计算机各两台，则不同的取法有_____种． （4）在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的为_____种（结果用数值表示）． 4. 填空： （1）用0到9这10个数字，可组成________个没有重复数字的四位偶数． （2）6个人从左至右排成一行，若最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有________种． （3）某运输公司有7个车队，每个车队的车均多于4辆且型号相同，现从这个车队中抽调出10辆车，并且每个车队至少抽调一辆，则不同的抽调方法共有________种．
高二理科数学选修计数 原理练习题及答案 Document number【980KGB-6898YT-769T8CB-246UT-18GG08】
高二理科数学选修2—3《计数原理》练习 班别： 姓名： 学号： 增城市华侨中学 何敏辉 一、选择题（每题4分，共32分） 1.书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书，从中任取数学书和语文书各一本，则不同的取法种数有（ ） A 11 B 30 C 56 D 65 2.在平面直角坐标系中，若{}{}1,2,3,3,4,5,6x y ∈∈，则以(),x y 为坐标的点的个数为（ ） A 7 B 12 C 64 D 81 3.若()12n x +的展开式中，3x 的系数是x 系数的7倍，则n 的值为（ ） A 5 B 6 C 7 D 8 4.广州市某电信分局管辖范围的电话号码由8位数字组成，其中前3位是一样的，后5位数字都是0～9这10个数字中的一个，那么该电信分局管辖范围内不同的电话号码个数最多有（ ） A 50 B 30240 C 59049 D 100000 5.如图：A ，B ，C ，D ，E 五个区域可用红、蓝、黄、白、绿五种颜色中的某一种着色。要求相邻的区域着不同的颜色，则不同的着色方式种数有（ ） ，AB 型四种之一，依血型遗传学，当且仅当父母中至少有一人的血型是AB 型时，其子女的血型一定不是O 型，如果某人的血型为O 型，则该人的父母血型的所有可能情况种数有（ ） A 6 B 7 C 9 D 10 7.计算01 217 34 520C C C C ++++的结果为（ ） A 421C B 321 C C 320C D 4 20C 8.一个口袋内装有4个不同的红球，6个不同的白球，若取出一个红球得2分，取出一个白球得1分，问从口袋中取出5个球，使总分不少于7分的取法种数有（ ） A 15 B 16 C 144 D 186
高二数学数学选修2-3第一章计数原理练习 【导学诱思】 1．纤维素是类物质，是自然界中纤维素含量最高的天然产物，此外，木材、作物秸秆等也富含纤维素。 2．纤维素酶是一种复合酶，一般认为它至少包括三种组分，即、和，前两种酶使纤维素分解成纤维二糖，第三种酶将纤维二糖分解成。正是在这三种酶的协同作用下，纤维素最终被水解成葡萄糖，为微生物的生长提供营养，同样，也可以为人类所利用。 3．在做纤维素酶分解纤维素的实验过程中，如果没有摇床，可以采用何种方法代替？ 4．筛选纤维素分解菌可以用法，这种方法能够通过直接对微生物进行筛选。 在土壤中取样的方法有：①；② 。 5．刚果红是一种，它可以与像纤维素这样的多糖物质形成红色复合物，但并不和水解后的纤维二糖和葡萄糖发生这种反应。 6．分离分解纤维素的微生物的实验流程图如下：→→梯度稀释→→。 【课后练习】 1．下面是弗来明对青霉素的早期研究过程： 发现问题：在培养细菌的器具中发现一种青霉菌，在这种青霉菌的周围有没有其它细菌生存?为什么会产生这种现象? 提出假设： 设计实验：在液体中培养青霉菌后，考察这种液体对细菌增殖的影响。 实验结果：培养液使细菌的增殖停止。 结论：下面几项最适合作为该实验假设的是 A．青霉菌与细菌之间是共生关系 B．青霉菌污染了细菌生存的环境 C．青霉菌产生了对人体有益的物质D．青霉菌能产生抑制细菌增殖的物质 2．培养流感病毒时，应选用 A．固体培养基 B．含有多种无机盐的培养液 C．活的鸡胚 D．无菌的牛肉汤 4．可以使微生物细胞内蛋白质、核酸发生不可逆破坏的环境因素是 A．高温 B.营养成分的变化 C.氧含量 D.温度、pH、氧的共同作用 5．微生物（除病毒外）需要从外界吸收营养物质并通过代谢来维持正常的生长和繁殖。下列有关微生物营养的说法正确的是
高二数学计数原理练习 测试题 一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 某商店销售的电视机中，本地产品有4种，外地产品有6种，现购买一台电视机，不同的选法有（ ） A.10种 B.24种 C. 46种 D. 64种 2. 从A 地到B 地有2条路，从B 地到C 地有5条路，某人从A 地经B 地到C 地，则此人所经线路有（ ） A.7种 B.10种 C. 25种 D. 52种 3. 从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在3块不同的土地上，不同种植方法的种类数是（ ） A.36 B.64 C.24 D.81 4. )1(9 -x 的展开式第5项的系数是（ ） A.C 59 B. C 59- C. C 49 D. C 4 9- 5. 若x a x a x a a x 7722107 )21(++++=- ，则=++++a a a a 7210 （ ） A.1 B.－1 C. 27 D. 26 6．已知集合{ }{}d c b a B A ,,,,3,2,1==，则集合A 到集合B 的映射的个数是（ ） A ．81 B ．64 C ．24 D ．4 7．从4双不同的鞋中任取4只，恰有两只配成一双的取法有（ ） A ．24种 B ．16种 C ．32种 D ．48种 8．从6人中选4人，分别到D C B A 、、、四个城市游览，要求每个城市有1人游览，每人只能游览一个城市，又知道这6人中，甲、乙两人都不去A 城市游览，则不同的选择方案有（ ） A ．300种 B ．240种 C ．144种 D ．96种 9．若A A A A M 2008 2008332211++++= ，则M 的个位数字是（ ） A ．3 B ．8 C ．0 D ．5 10． )3 12 ( x x +的展开式中，含x 的正整数次幂的项共有（ ） A ．4项 B ．3项 C ．2项 D ．1项 11. n+1个不同的球放入n 个不同的盒子中，其放法总数为n n n A C 3 1+的放法是（ ） A 、指定某盒放3球，此外最多放1球 B 、恰有一盒放3球，此外最多放1球
武汉十九中高二数学第二学期计数原理同步练习 一、单选题 1．三位数中，如果百位数字、十位数字、个位数字刚好能构成等差数列，则称为“等差三位数”，例如：147，642，777，420等等.等差三位数的总个数为（ ） A ．32 B ．36 C ．40 D ．45 2．从5名志愿者中选出4人分别到A 、B 、C 、D 四个部门工作，其中甲、乙两名志愿者不能到A 、B 二个部门工作，其他三人能到四个部门工作，则选派方案共有（ ） A ．120种 B ．24种 C ．18种 D ．36种 3．从3，5，7中选两个数字，从0，4，6中选两个数字，组成无重复数字的四位数．其中偶数的个数为（ ） A ．36个 B ．72个 C ．82个 D ．96个 4．有3位男生，3位女生和1位老师站在一起照相，要求老师必须站中间，与老师相邻的不能同时为男生或女生，则这样的排法种数是（ ） A ．144 B ．216 C ．288 D ．432 5．将5个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（ ） A ．60种 B ．30种 C ．25种 D ．20种 6．若n 是正奇数，则112217777n n n n n n n C C C ---++++L 被9除的余数为（ ） A ．2 B ．5 C ．7 D ．8 7．已知()()()()52501251111x a a x a x a x -=+++++++L ，则2a =（ ） A ．20 B ．20- C ．80 D ．80- 8．在561819(1)(1)(1)(1)x x x x -+-++-+-…的展开式中，含3x 的项的系数是（ ）． A ．4840 B ．4840- C ．3871 D ．3871- 二、填空题 9．某校暑假举行“义教活动”，现从6名老师中选派4人分别参加8月9日至8月12日四天的义教值班，若其中甲、乙两名老师不能参加8月12日的值班，则不同的选派方案共有_______种. 10．一个书架的其中一层摆放了7本书，现要把新拿来的2本不同的数学书和1本化学书放入该层，要求2本数学书要放在一起，则不同的摆放方法有__________种.（用数字作答）
2012年高考真题理科数学解析汇编：计数原理 一、选择题 1 ．（2012年高考（天津理））在2 5 1(2)x x - 的二项展开式中,x 的系数为 （ ） A ．10 B ．10- C ．40 D ．40- 2 ．（2012年高考（新课标理））将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙 两地参加社会实践活动, 每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有 （ ） A ．12种 B ．10种 C ．9种 D ．8种 3 ．（2012年高考（浙江理））若从1,2,2,,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为 偶数,则不同的取法共有 （ ） A ．60种 B ．63种 C ．65种 D ．66种 4 ．（2012年高考（重庆理））8 的展开式中常数项为 （ ） A ． 16 35 B ． 8 35 C ． 4 35 D ．105 5 ．（2012年高考（四川理））方程2 2 ay b x c =+中的,,{3,2,0,1,2,3}a b c ∈--,且,,a b c 互不相同,在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有 （ ） A ．60条 B ．62条 C ．71条 D ．80条 6 ．（2012年高考（四川理））7 (1)x +的展开式中2 x 的系数是 （ ） A ．42 B ．35 C ．28 D ．21 7 ．（2012年高考（陕西理））两人进行乒乓球比赛,先赢三局着获胜,决出胜负为止,则所 有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有 （ ） A ．10种 B ．15种 C ．20种 D ．30种 8 ．（2012年高考（山东理））现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片 各4张.从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张.不同取法的种数为 （ ） A ．232 B ．252 C ．472 D ．484 9 ．（2012年高考（辽宁理））一排9个座位坐了3个三口之家,若每家人坐在一起,则不 同的坐法种数为 （ ） A ．3×3! B ．3×(3!)3 C ．(3!)4 D ．9! 10．（2012年高考（湖北理））设a ∈Z ,且013a ≤<,若201251a +能被13整除,则a = （ ） A ．0 B ．1 C ．11 D ．12 11．（2012年高考（大纲理））将字母,,,,,a a b b c c 排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有 （ ） A ．12种 B ．18种 C ． 24种 D ．36种 12．（2012年高考（北京理））从0,2 中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复
高二数学计数原理练习题 1．A 、B 、C 、D 、E 五人排一个5天的值日表，每天由一人值日，每人可以值多天或不值，但相邻的两天不能由同一人值，那么值日表的排法种数为( ) A ．120 B ．324 C ．720 D ．1280 2.从10名大学毕业生中选3个担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为 ( ) A ．85 B ．56 C ．49 D ．28 3．从1,2,3,4,5,6,7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为( ) A ．432 B ．288 C ．216 D ．108 4.已知5)1)(1(x ax ++的展开式中2 x 的系数为5,则=a （ ） A ．4- B ．3- C ．2- D ．1- 5．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少一人参加。甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（ ） A ．54 B ．90 C ．126 D ．152 6．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（ ） A ． 4 B ．10 C ．18 D ．20 7．有5名男同事去外地出差，住宿安排在三个房间内，要求甲乙两人不住同一房间，且每个房间最多住两人，则不同的住宿安排的种数为（ ） A ．72 B ．90 C ．162 D ．180
8．设()5522105.......2x a x a x a a x ++++=-，那么3 1420a a a a a +++的值为（ ） A ．121122- B ．6061- C ．-1 D ．241 244- 9．某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则方法有________种． 10．从3名骨科，4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科.脑外科和内科医生都至少有人的选派方法种数是___________ 11．5 11x x ??+- ?? ?展开式中的常数项有 答案： 1．D 第一天有5种排法，以后各天都有4种排法，故总排法为N ＝5×4×4×4×4＝1 280种． 2．C 所有选法分两类：甲，乙恰有一人入选的选法有C 12C 27＝42种；甲，乙都入选 的选法有C 17＝7种，故不同的选法有42＋7＝49种 3．C 第一步先从4个奇数中取2个再从3个偶数中取2个共C 24C 23＝18种，第二步再把4 个数排列，其中是奇数的共A 12A 33＝12种，故所求奇数的个数共有18×12＝216种． 4．D 依题有2 15225)510(1x a x C ax x C +=?+?，则5510=+a ，解得1-=a 5．C 先安排开车的：开车1人时108332413=??A C C ，开车2人时183323=?A C ，两类加和 6．B 元素相同只选人给画册，剩下的给集邮册即可，分两类：取画册2本，集邮册2本时24C ,取画册1本，集邮册3本时14C ，两类加和 7．A 用排除法先分组分配再除去甲乙同房间的：722223133322 2325=??-??A C C A A C C 8．B 可逐个求出各系数 9．2828=C 10．590 11.展开得常数项的情况5个-1或2个x 、2个x 1和一个-1：31)1()1(2325555-=-+-C C C
分类计数原理和分步计数原理练习题2016.11.11 1、一个学生从3 本不同的科技书、4 本不同的文艺书、5 本不同的外语书中任选一本阅读，不同的选法有种。 2、一个乒乓球队里有男队员5 人，女队员4 人，从中选出男、女队员各一名组成混合双打，共有种不同的选法。 3、一商场有 3 个大门，商场内有 2 个楼梯，顾客从商场外到二楼的走法有 种。 4、从分别写有1，2，3，…，9 九张数字的卡片中，抽出两张数字和为奇数的卡片，共有种不同的抽法。 5、某国际科研合作项目成员由 11 个美国人，4 个法国人和 5 个中国人组成，（1）从中选出 1 人担任组长，有多少种不同选法？ （2）从中选出两位不同国家的人作为成果发布人，有多少种不同选法？ 6、（1）3 名同学报名参加 4 个不同学科的比赛，每名学生只能参赛一项，问有 多少种不同的报名方案？ （2）若有 4 项冠军在 3 个人中产生，每项冠军只能有一人获得，问有多少种不 同的夺冠方案？ 7、用五种不同颜色给图中四个区域涂色，每个区域涂一种颜色， （1）共有多少种不同的涂色方法？ （2）若要求相邻（有公共边）的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法？ 8、从甲地到乙地有两种走法，从乙地到丙地有 4 种走法，从甲地不经过乙地到丙地有3 种走法，则从甲地到丙地共有种不同的走法。 9、某电话局的电话号码为，若后面的五位数字是由6 或8 组成的，则这样的电话号码一共有个。 10、从0，1，2，…，9 这十个数字中，任取两个不同的数字相加，其和为偶数的不同取法有种。
分类计数原理和分步计数原理练习题2016.11.12 11、将3 封信投入4 个不同的信箱，共有种不同的投法； 3 名学生走进有 4 个大门的教室，共有种不同的进法； 3 个元素的集合到 4 个元素的集合的不同的映射有个。 12、、4 个小电灯并联在电路中，每一个电灯均有亮与不亮两种状态，总共可表示种不同的状态，其中至少有一个亮的有种状态。 13、用五种不同颜色给图中四个区域涂色，每个区域涂一种颜色，若要求相邻（有公共边）的区域涂不同颜色，那么共有种不同的涂色方法。 14、在一次读书活动中，有 5 本不同的政治书，10 本不同的科技书，20 本不同的小说书供学生选用， （1）某学生若要从这三类书中任选一本，则有多少种不同的选法？ （2）若要从这三类书中各选一本，则有多少种不同的选法？ （3）若要从这三类书中选不属于同一类的两本，则有多少种不同的选法？ 15、某座ft，若从东侧通往ft顶的道路有3 条，从西侧通往ft顶的道路有2 条，那么游人从上ft到下ft共有种不同的走法。 16、某学生去书店，发现 3 本好书，决定至少买其中 1 本，则该生的购书方案有 种。 17、已知两条异面直线上分别有 5 个点和 8 个点，则经过这 13 个点可确定 个不同的平面。 18、为了对某农作物新品种选择最佳生产条件，在分别有3 种不同土质，2 种不同施肥量，4 种不同种植密度，3 种不同播种时间的因素下进行种植实验，则不同的实验方案共有种。 19、某市提供甲、乙、丙和丁四个企业供育才诈中学高三级 3 个班级进行社会实践活动，其中甲是市明星企业，必须有班级去进行社会实践，每个班级去哪个企业由班级自己在四个企业中任意选择一个，则不同的安排社会实践的方案共有种。 20、有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3 面，在每种颜色的3 面旗帜上分别标上号码1，2，3，任取3 面，它们的颜色与号码均不相同的取法有种