期末考试题型：判断(约占30%)与选择(约占70%)
注：判断题答案中的A 代表结论是对的，B 代表结论是错的。
第一章 行列式
一、 判断题
1．三阶行列式1
23
11
22
331
2
3
2226a a a b a b a b a c c c ---=，则 1
23
1
231
2
3a a a b b b c c c = 3 （ A ） 2．三阶行列式1
23
11
22
331
2
3
2226a a a b a b a b a c c c ---=，则 1
23
1
231
2
3
a a a
b b b
c c c = 12 （B ） 3. 行列式
02000
002
20000020
=（-16） （ A ） 4. 行列式
02000
002
20000020
=（0） （ B ） 5. 行列式
02000
002
20000020
=（8） （ B ） 6. 行列式
02000
002
20000
2
=（-4） （ A ）
7．三阶行列式103100204
1992003952000301300600
= （A ）
8．三阶行列式103100204
1992003952000301300600
=- （B ）
9．行列式_______.c a b
a b c b c a
=3333c b a abc --- （ A ）
10．四阶行列式24431621
144352041203
---=--- （A ）
11．四阶行列式
4
112
31
25
146234112
11
--=--
（ A ） 12．四阶行列式32110402
62011
0102
= （ A ）
13．四阶行列式12011415
922331
3102---=- （ A ）
14．三阶行列式
2
4
4
3
1621
24435204120
3
---=--- （B ）
15. 行列式
0200000220000020
=（-8） （ A ）
16．已知三阶行列式D=123
312231，则元素12a =2的代数余子式12A = -1 ； （ B ）
17．已知三阶行列式D=123
312231，则元素12a =2的代数余子式12A = 1 ； （ A ）
18. 三阶行列式31
1
25
3
1231
D a =中，元素31311a A =-的代数余子式. （ A ） 19.行列式00020023
16.0234
2345
= （ A ）
20.行列式00020023
16.0234
2345
=- （ B ）
21.行列式00020023
8.0234
2345
= （ B ）
22.行列式00020023
8.0234
2345
=- （ B ）
23． 行列式 01000001
1000
0010
=（-1）
（ A ） 24． 行列式 01000001
1000
0010
=（ 1 ）
( B )
25. 四阶行列式0002
(4)
1000
0020
=-. （A ）
26. 四阶行列式0100
2000
(4)
0001
0020
=-. （B ）
27. 四阶行列式0100
0002
(4)
1000
0020
=. （A ）
28．若三阶行列式
13213
13213
13213
2
212
2
a a a a a
b b b b b
c c c c c
--
--=
--
，则
123
123
123
a a a
b b b
c c c
= 3 （ B ）
29．若三阶行列式
13213
13213
13213
2
212
2
a a a a a
b b b b b
c c c c c
--
--=
--
，则
123
123
123
a a a
b b b
c c c
= 6 （ A ）
30．若方程组
123
123
123
tx x x
x tx x
x x tx
++=
?
?
++=
?
?++=
?
有非零解，则t=1或-2 。（A ）
31．若方程组
123
123
123
tx x x
x tx x
x x tx
++=
?
?
++=
?
?++=
?
有非零解，则t=-1或2 。（ B ）
32．已知齐次线性方程组
320
230
20
x y
x y
x y zλ
+=
?
?
-=
?
?-+=
?
仅有零解，则λ≠ 0 （A ）
33．已知齐次线性方程组
320
230
20
x y
x y
x y zλ
+=
?
?
-=
?
?-+=
?
仅有零解，则λ=0 （B ）
二、单项选择题
34. 行列式43400
0013
00
5
1
D ==- （ ）
。 （A ） -12 （B ） -24 （C ） 32 （D ） 72
答 应选（C ）
35. 行列式412003400
0013
005
1
D ==- （ ）
。 （A ） -12 （B ） -24 （C ） 32 （D ） -32
答 应选（D ）
36. 行列式450421121
4120
1
1
11
D -== （ ）
。 （A ） -12 （B ） -7 （C ） 32 （D ） 72
答 应选（B ）
37．若三阶行列式D 的第三行的元素依次为1、2、3，它们的余子式分别为2、3、4，
则D=（ ）
A 、-8
B 、8
C 、-20
D 、20 答 应选（B ）
38. 若0,a =≠1112
132122
233132
33a a a a a a a a a 则=121113
22212332
3133
-a -2a 3a -a -2a 3a -a -2a 3a （ ）. ()5()6()40(D)
10A a
B a
C a
a --
答 应选（B ）
39. 设A 为n 阶方阵，且|A |=4，则|
1
4
A |=??????? 。 （A ） 114n -； （
B ）14n ； （
C ）114n + ； （
D ）21
4
n +。
答 应选（A ）
40. 行列式40510100
3
012
2
002
D -=
-的值为 （ ）
（A ） -12 （B ） -24 （C ） 36 （D ） 72
答 应选（C ）
41. 已知行列式40300
002
1,0004000
x D x x =
==则 （ ） （A ） -24 （B ）
124 （C ） 1
24
- （D ） 24 答 应选（C ）
42.若行列式=---===33
32
31
232221
13
1211133
32
31
232221
131211
333,2a a a a a a a a a D a a a a a a a a a D 那么行列式?????????。 （A ）12 （B ）-12 （C ）6 （D ）-6
答 应选（D ）
43．设334
11104351
123425213211
ij
j j D a A a -==
=--，为的代数余子式（j ，，，），
4
31
___.j j A C ==∑则
（A ）．-43； （B ）. -63； （ C.） 43； （ D.） 63. 答 应选（C ）
44．设行列式2
23
5
00
7
02
22
20
403--=
D ，则第四行各元素的余子式之和∑==4
1
4j j M A 。 （A ）．-28； （B ）. -33； （ C.） 23； （ D.） 26.
答 应选（A ）
45．行列式1010101
001
001k k k
≠0的充分必要条件是（ ）
。 ()0
()1()01(D)01A k B k C k k k k ≠≠±≠≠±≠≠±且或
答 应选（C ）
因为
21010101
(1)001001k k k k k =- 46. 下列行列式恒等于零的是（ ）
11
12132122123334344344411112
131413142324232433333431
32
43
44
4142
00000000000()()000000
000000000
0()(D)00000
a a a a a A D B D a a a a a a a a a a a a a a a a C D D a a a a a a a a =
=
=
=
答 应选（C ）
47. 齐次线性方程组123123123
2000x x x x kx x kx x x -+=??
+-=??++=?有非零解，则k 必须满足（ ）。
()14()1()4(D)14A k k B k C k k k ≠-≠=-==-=且或
答 应选（D ）
48.
行列式
010
0002
000
10
n n
-的值是（ ）。
1()!()!
()(1)!(D)(1)!n n A n B n C n n ----
分析：该行列式的展开式也只有一项非零，即12!n n ???=，该项当行标按照自然顺序
排列时，列标的排列逆序是(21)1,n n τ=-所以选择（D ）。
答 应选（D ）
49.
行列式
001002
10000
n n
n
-的值是（ ）。
(1)(2)
(1)(1)(2)
(2)(3)
2
2
2
2
()(1)
!()(1)
!()(1)
!(D)(1)
!n n n n n n n n A n B n C n n +----------
分析：该行列式的展开式中非零项是：12!n n ???=，该项当行标按照自然顺序排列时，
列标的排列逆序是()1(2)(1,2,
,1,),2
n n n n n τ----=
所以选择（C ）
。
答 应选（C ）
第二章 线性方程组与n 维向量
一、 判断题
1. 如果A 是n 阶矩阵且0A =，则A 的列向量中至少有一个向量是其余各列向量的线性组合。 （ A ）
2. 如果A 是n 阶矩阵且0A =，则A 的行向量组线性无关。 （ B ）
3. 向量组s ααα,,,21 线性无关的充分必要条件是其中任一部分向量组都线性无关。
（ A ）
4. 向量组s ααα,,,21 线性相关的充分必要条件是其中任一部分向量组都线性相关。
（ B ）
5．已知向量组123(1,2,1),(,1,1),(1,,1).a a ααα===则当a= 1 或a= 2 时向量组321,,ααα线性相关。 （ A ）
6．已知向量组123(1,2,1),(,1,1),(1,,1).a a ααα===则当a= 3时向量组321,,ααα线性无关。
（ A ）
7．已知向量组123(1,2,1),(,1,1),(1,,1).a a ααα===则当a=4 时向量组321,,ααα线性相关。
（ B ）
8．若12,ζζ为非齐次线性方程组AX b =(0)b ≠的两个解，则
()121
2
ζζ+为线性方程组 AX b = 的解； （ A ） 9．若12,ζζ为非齐次线性方程组AX b =(0)b ≠的两个解，则
()121
2
ζζ-为线性方程组
AX b = 的解； （ B ）
10．若12,ζζ为非齐次线性方程组AX o =的两个解，则()121
2
ζζ+为线性方程组
AX o = 的解； （ A ） 11． 设123(1,1,1),(1,2,3),(1,3,t),(4,5,3),αααβ====则对任意的t 值，向量组123,,,αααβ线性相关。 （ A ） 12． 设123(1,1,1),(1,2,3),(1,3,t),(4,5,3),αααβ====则对任意的t 值，向量组123,,,αααβ线性无关。 （ B ） 13． 设123(1,1,1),(1,2,3),(1,3,t)ααα===，则当t=5时，向量组123,,ααα线性相关。（ A ） 14． 设123(1,1,1),(1,2,3),(1,3,t)ααα===，则当t=5时，向量组123,,ααα线性无关。（ B ） 15． 设123(1,1,1),(1,2,3),(1,3,t)ααα===，则当t=3时，向量组123,,ααα线性无关。（ A ） 16． 向量组123(1,2,3),(1,1,2),(1,2,5)ααα=-=-=--线性相关。 （ B ） 17． 向量组123(1,2,3),(1,1,2),(1,2,5)ααα=-=-=--线性无关。 （ A ） 18． 向量组123(1,3,1,4),(2,12,2,12),(2,3,8,2)ααα==-=-线性相关。 （ A ） 19． 向量组123(1,3,1,4),(2,12,2,12),(2,3,8,2)ααα==-=-线性无关。 （ B ） 20．设向量123(2,1,2),(4,2,3),(8,8,5),ααα=-=-=-当3k =时有12320.k ααα+-= （ A ） 21．如果()12,,
,s r r ααα=，则12,,
,s ααα中任意r 个向量都线性无关。
( B )
22．如果()r A r =，则矩阵A 的所有1r -阶子式都等于零， （ B ） 23．如果()r A r =，则矩阵A 的所有1r +阶子式都等于零， （ A ） 24．如果()r A r =，则矩阵A 至少有一个不为零的r 阶子式。 （ A ）
25． 已知向量组123,,βββ可以由向量组123,,ααα线性表示：1123
21233
123βαααβαααβααα
=-+??
=+-??=-++? 则这两
个向量组等价。 ( A )
26． 齐次线性方程组???=+=++00
32
321x x x x x 的解空间的维数是1。 （ A )
27．如果向量组12,,
,s ααα可以由向量组12,,,t βββ线性表示，则
()12,,,s r ααα≤()12,,,.t r βββ ( A )
28．设有m 维向量组(I)：α1，α2,…，αn ，当m 二、 单项选择题 29．若线性方程组Ax b =的增广矩阵A 经初等行变换化为 A →123 400012λλλλλ?? ? ? ?--?? 当λ≠（ ）时，此线性方程组有惟一解 A 、-1,0 B 、0,1 C 、-1,1 D 、1,2 答 应选（B ） 30．设矩阵10102102,()03110244A r A *?? ?-- ?== ?-- ??? 则??????1?? 。 （A ）0； （B ）3； （C ）1； （D ）4。 答 应选（C ） 详解： 因为,()()1,()10,()1n r A n r A r A n r A n *=?? ==-??<-? 若若若，所以只须求出矩阵A 的秩，就可以得到()r A * 矩阵A 的秩的计算可以通过初等变换进行，将矩阵化为阶梯型得 10101010101021020122012203110311 0057024400000 00 0A ?????? ? ? ?-- ? ? ?=→→ ? ? ?---- ? ? ??????? 由阶梯型矩阵可知矩阵A 的秩()3,r A = () 1.r A *= 31．设A 、B 均为三阶矩阵，且┃A ┃=4，┃B ┃=-2，则*-A B 1)3(=???????。 （其中*A 为矩阵A 的伴随矩阵） () () () () 27 828 828 728 7D C B A - - 答 应选（A ） 32. 已知12(1,1,1),(1,1,1),αα=-=则下列向量中能由12,αα线性表示的是（ ）。 A.（1，0，0） B.（0，1，1） C.（1，1，0） D.（0，1，0） 答 应选（C ） 33.下列命题中，错误的是( B ) (A) 若1110,,,n n n k k αααα++=且线性无关，则常数1,,n k k 必全为零 (B) 若1110,, ,n n n k k αααα+ +=且线性无关，则常数1,,n k k 必不全为零 (C) 若对任何不全为零的数1,,n k k ，都有1110,, ,n n n k k αααα+ +≠则 线性无关 (D) 若1,,n αα线性相关，则必存在无穷多组不全为零的数1,,n k k ，使110n n k k αα+ += 答 应选（B ） 34. 方程组123123320 2640x x x x x x -+=??-+-=?的一组基础解系由（ ）个解向量组成. A. 2 B. 1 C. 3 D. 0 答 应选（A ） 35．已知线性方程组12341234 123412342313633153510121 x x x x x x x x x x kx x x x x x +++=??+++=??--+=??--+=?，参数k= ????????时，方程组有无穷多解。 A. 2 B. 1 C. 3 D. 0 答 应选（A ） 解：写出方程组的增广矩阵并进行行的初等变换 112311 12311361302422311530022415101210001 2A k k ???? ? ?- ? ?=?????→ ? ?---+ ? ?--???? 行的初等变换 讨论：当2k -+=0，即2k =时， 112311 1 2311361302422311530001215101210 000 0A k ???? ? ?- ? ?=?????→ ? ?-- ? ?--???? 行的初等变换 这时()()3(4)r A r A n ==<=，所以方程组有无穷多解。 36．当上题中的方程组有无穷多解时，其导出组的基础解系为???????? 。 A. 0200η?? ?- ?= ? ??? B. 0200η?? ? ?= ? ??? C. 0100η?? ?- ?= ? ??? D. 01 00η?? ? ?= ? ??? 答 应选（A ） 解：对系数矩阵的导出组进行行的初等变换 11 2310 0013610120311500011510120 000 A k ???? ? ? ? ?=?????→ ? ?-- ? ?--???? 行的初等变换 取3x 为自由未知量，令3x =1得到基础解系为02 00η?? ?- ?= ? ??? 。 37. 方程组12341234 23412343225132222420x x x x x x x x x x x x x x x ++-=??-++=??++=-??-++=?的解是 （ ） 111122 2 2 333344441111 1010()()()(D)0000112 2 x x x x x x x x A B C x x x x x x x x ====-????????=-===?????? ? ?====????????=-=-=-=???? 答 应选（B ） 38. 若齐次线性方程组 12341234 123412340000 x x x kx x x kx x x kx x x kx x x x --+=??-++-=?? -++-=??--+=? 有非零解，则（ ） ()0()1()13(D)13A k B k C k k k k ==-==-==-且或 答 应选（D ） 39. 设有方程组12312 1231()331kx x x I x kx x x x ++=??+=??++=?与12312123 0()030kx x x II x kx x x x ++=?? +=??++=? 下列结论不成立的是（ ） ()03I ()03II ()II 03(D)03I A k k B k k C k k k k ≠≠≠≠====当且时，（）有唯一解当且时，（）仅有零解（）有非零解时或当或时，（）无解 答 应选（D ） 因为(3)k k =-k 11 1k 0311 ， 03I II A B A B k k ≠≠≠当且时，D 0,（）有唯一解,（）仅有零解,故（）（）正确，不选（）（）II 03C),(C). k k ==当（）有非零解时或，故（正确不选 03,D=0,I k k ==当或时方程（）可能有解也可能无解,故选项 (D)是不对的. 40. 设有向量组：123(1,3,2),(3,2,1),(2,5,1),(4,11,3),αααβ===--=则向量 12,,βααα可由线性表示为（ ） 123123123123()20()2()20(D)02A B C βαααβαααβαααβααα=+-=+-=+-=+- 答 应选（A ） 41. 设有向量组：123(1,0,0,0),(1,1,0,0),(1,1,1,0),(2,1,1,0),αααβ====-则向量123 ,,βααα可由线性表示为（ ） 123123123123()2()2()0(D)2A B C βαααβαααβαααβααα=--=--=++=+- 答 应选（D ） 42. 设向量组123123,,,,βββααα可由线性表示为 112321233 123βαααβαααβααα =-+?? =+-??=-++? 则向量123123,,,,αααβββ可由线性表示为（ ） 11211211211222322 3223 223323313313313111111112222222211111111()() ()(D)222222221111111122222222A B C αββαββαββαββαββαββαββαββαββαββαββαββ? ???=+=+=+=-????? ? ? ? ? ?? ? =-+=+=+=-????? ? ? ? ????=-=+=-=-????? ? ? ? 答 应选（B ） 43. 设有两个向量组（I ）123,,ααα和(II) 1234,,,αααα,则下列结论中正确的是 ()(I),(II)()(II),(I)()(I),(II)(D)(II),(I)A B C 如果线性无关则线性无关如果线性无关则线性相关如果线性相关则线性相关如果线性相关则线性相关 答 应选（C ） 三、 讨论题： 当,p q 为何值时，齐次线性方程组 123123123 0200x qx x x qx x px x x ++=?? ++=??++=? 仅有零解？有非零解？在方程组有非零解时，求其全部解。 解 方程组的系数行列式 1 1 121(1)11 q D q q p p ==- 由此可知 (1) 当10p q ≠≠且时，0D ≠，这时方程组仅有零解1230.x x x === (2) 当1p =时，对原方程组的增广矩阵进行初等行变换有 101001000000A ?? ? → ? ??? 由此可知，当1p =，q 为任意数时，方程组有无穷多解，其全部解为 123 0(x c x c x c =-?? =??=?为任意常数） (3) 当0q =时，对原方程组的增广矩阵进行初等行变换有 10100 11000 0A p ?? ?→- ? ?? ? 由此可知，当0q =，p 为任意数时，方程组有无穷多解，其全部解为 123(1)x c x p c x c =?? =-??=? （c 为任意常数） 第三章 矩阵 一、 判断题 1．设A ，B 为n 阶可逆矩阵，则.AB BA =。 ( B ) 2．设A ，B 为n 阶可逆矩阵，则22()().A B A B A B -=-+ ( B ) 3．设A ，B 为n 阶可逆矩阵，则222()2.A B A AB B -=-+ ( B ) 4．设A ，B 为n 阶可逆矩阵，则().k k k AB A B =。 ( B ) 5．设A ，B 为n 阶可逆矩阵，则.AB A B =。 ( A ) 6．设A 为n 阶矩阵，则()().T T A A **=。 ( A ) 7．设A 为n 阶矩阵，则.AA A A A E **==。 ( A ) 8．设A 为n 阶矩阵，则1 .n A A -*=。 ( A ) 9.若n 阶矩阵A 、B 、C 满足ABC=E （其中E 为n 阶可逆阵），则BCA=E 。 （ A ） 10.若n 阶矩阵A 、B 、C 满足ABC=E （其中E 为n 阶可逆阵），则BAC=E 。 （ B ） 11．若32,1T A ?? ?= ? ? -??033,167T B -??= ???则2().4T AB ??= ??? （ B ） 12．若32,1T A ?? ?= ? ? -?? 033,167T B -??= ???则9().8T AB -??= ??? （ A ） 13． 设A 为n 阶可逆矩阵，则()()1 11T T T A A ---????=???????? 。 ( B ) 14．对任意n 阶方阵C B A ,,，若AC AB =，则一定有C B =。 ( B ) 15．对任意n 阶方阵B A ,，若O AB =，则一定有O B O A ==或。 ( B ) 16．对任意n 阶方阵,,B A 若E AB =，则一定有B A =-1。 ( A ) 17．设A 、B 为同阶可逆矩阵，则(A +B )-1=A -1+ B -1。 ( B ) 18．设A ，B 为n 阶可逆矩阵，则()()()1 11T T T AB A B ---??=??。 ( A ) 二、 单项选择题与计算题 19. 已知20010132025A ????=?????? ，求A ，1A -，*1()A - 答案 14 A =-， 11000106042A -????=-????-??， *1400()0260410A --????=--????--?? 20．设矩阵120826,435534A B -???? == ? ?????，且满足方程2A+X=B-2X ，求矩阵X. 答案 ???? ??---=21122 2X 21.设 3 阶方阵 121233,A αααααα?? ??=?????? 其中，，均为三维行向量， 211213010100B ,P 100P 010001101αααα?????? ??????===?????? ??????+?????? ，，则必有 12211212()APP B ()AP P B ()PP A B (D)PP A B A B C ==== 答 应选（C ） 提示：由矩阵的初等变换与初等矩阵的关系可知，将矩阵A 的第一行加到第三行，相当于用同种的初等矩阵2P 左乘矩阵A ，再将得到的矩阵第一行和第二行互换，相当于用同种的初等矩阵1P 左乘矩阵，即12P P A B =。 22. 设矩阵4154,6158X X ????= ? ?????矩阵满足X =则矩阵（ ） 。 02122221() ()()(D)54032530A B C ???? ?? ?? ? ? ? ?--???? ?? ?? 答 应选（A ） 23. 设矩阵2101020,,(101A X AX E A X E ?? ? =+=+ ? ???矩阵满足其中为三阶单位矩阵）， X =则矩阵（ ）。 201001201101() 020()121()030(D)020201201102121A B C ?? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????????? 答 应选（C ） 24. 已知矩阵01536221,,21071035A B --???? == ? ????? 32A+B=0,X X -若矩阵满足则矩 X =阵（ ）。 45324 24124312031332() ()()(D)221121************A B C ? ??? -- ? ?--?? ?? ? ? ? ? --- ??? ?? ?-- ? ? ?? ??答 应选（B ） 25. 已知矩阵10-12-1,()2,( ).A r A k ?? ? === ? ???4k 8若则11-7k ()4 ()3 ()2 (D)4A B C -- 答 应选（D ） 26. 已知矩阵13211,()2,( ).A r A k ?? ? =-== ? ???k k 1若则1753 ()1 ()2 ()2 (D)1A B C -- 答 应选（D ） 27. 已知矩阵11112 1,()2,().231A r A λλ?? ? === ? ?+??若则 ()1 ()3 ()1 (D)4A B C - 答 应选（A ） 28. 若有1133016,( ).02135k k k k ?????? ??? ? == ??? ? ??? ?--??????则 ()1 ()2 ()5 (D)1A B C -- 答 应选（A ） 29. 01130301,1102142A B ???? ? ? ==- ? ? ? ?-????T 则(AB)的第二行第三列的元素是（ ）。 ()1 ()2 ()4 (D)0A B C - 答 应选（D ） 30. A 为n 阶方阵，B 是A 经过若干次初等变换得到的矩阵，则有 ()() ()0,A A B B A B C A =≠=若则0 B =(D)0,A >若则>0 B 答 应选（C ） 31. 若矩阵,,A B C 为可逆矩阵，则矩阵方程ABXC D =的解为（ ）。 111111111111()()()(D)A X A B DC B X B A DC C X DC B A X A B C D ------------==== 答 应选（B ） 32. 设矩阵12,22A E -?? = ?--?? 为二阶单位阵,则下列各矩阵中可逆矩阵是（ ） ()2()()2(D)3A E A B E A C E A E A -+---- 答 应选（B ） 第四章 向量空间 一、 判断题 1.向量(2,3,2)T β=在基1(1,1,1)T α=，2(0,1,1,)T α=，3(0,0,1)T α=下的坐标为(2,1,1)T -. （ A ） 2. 向量(2,3,2)T β=在基1(1,1,1)T α=，2(0,1,1,)T α=，3(0,0,1)T α=下的坐标为(2,1,1)T --. （ B ） 3．已知三维空间3 R 的两组基为： 1(1,1,0)T α=， 2(0,1,1)T α=， 3(1,0,1)T α= 1(1,0,3)T β=， 2(1,1,0)T β=-， 3(1,2,1)T β= 则由基1α，2α，3α到基1β，2β，3β的过渡矩阵为（ 101111210-?? ? - ? ??? ）. （ A ） 4．已知三维空间3 R 的两组基为： 1(1,1,0)T α=， 2(0,1,1)T α=， 3(1,0,1)T α= 1(1,0,3)T β=， 2(1,1,0)T β=-， 3(1,2,1)T β= 则由基1α，2α，3α到基1β，2β，3β的过渡矩阵为（ 101111210-?? ? ? ?-?? ）. （ B ） 5．设312312311212,,,,R ξξξηηηηξηξξ==-和是的两组基，其中，， 3123ηξξξ=--，则32132ξξξα+-=关于基321321,,,,ηηηξξξ和的坐标为???（1，-2，3） 和（-1，5，-3）。 （ A ） 6．设312312311212,,,,R ξξξηηηηξηξξ==-和是的两组基，其中，， 3123ηξξξ=--，则32132ξξξα+-=关于基321321,,,,ηηηξξξ和的坐标为???（1，-2，3） 和（1，-5，3）。 （ B ） 7．向量组1(1,2,2)T α=-，2(1,0,1)T α=--，3(5,3,7)T α=--单位正交化后为 （1122,,333T η??=- ???，2221,,333T η??=--- ???，3212,,333T η??=-- ??? ）。 （ A ） 8．向量组 1(1,1,1,1)T α=，2(3,3,1,1)T α=--，3(2,0,6,8)T α=-单位正交化后为 （ 11111,,,2222T η??= ???，21111,,,2222T η??=-- ???，31111,,,2222T η?? =-- ??? ）. （ A ） 9．向量(1,2,1,1)T α= 。 （ A ） 10．向量(3,1,0,1)T β- ）。 （ A ） 11．向量(1,2,1,1)T α= 的长度为（）。 （ B ） 12．向量(3,1,0,1)T β- 。 （ B ） 13．向量(1,2,1,1)T α=与(3,1,0,1)T β-的内积为（2）. （ A ） 二、 单项选择题 1．设3 R 的一组标准正交基为1221,,333T ξ??=- ???，2212,,333T ξ??=- ???，3122,,333T ξ?? = ??? ，则向 量(1,0,2)T α=-在基1ξ，2ξ，3ξ下的坐标是（ ）. A 、（1，0，－2） B 、（－2，0，1） C 、（0，1，－2） D 、（0，－2，1） 答 应选（D ）。 第五章 矩阵的特征值和特征值向量 一、 判断题 1. n 阶矩阵A 与B 可逆，则A 与B 相似。 （ B ） 数学史话线性代数发展史简介 数学史话—线性代数发展史简介 一门科学的历史是那门科学中最宝贵的一部分，因为科学只能给我们知识，而历史却能给我们智慧。 傅鹰 数学的历史是重要的，它是文明史的有价值的组成部分，人类的进步和科学思想是一致的。 F. Cajori 从事数学研究，发现新的定理和技巧是一回事;而以一种能使其他人也能掌握的方式来阐述这些定理和技巧则又是一回事。学习那些伟大的数学家们的思想，使今天的学生能够看到某些论题在过去是怎样被处理的。 V. Z.卡兹 数学不仅是一种方法、一门艺术或一种语言，数学更主要的是一门有着丰富内容的知识体系，其内容对自然科学家、社会科学家、哲学家、逻辑学家和艺术家十分有用，同时是影响政治家和神学家的学说。 M(Kline 一、了解数学史的重要意义 数学是人类文明的一个重要组成部分,是一项非常重要的人类活动。与其他文化一样，数学科学是几千年来人类智慧的结晶。在学习数学时,我们基本是通过学习教材来认识这门学科的。教材是将历史上的数学材料按照一定的逻辑结构和学习要求加以重组、取舍编撰而成，因此，数学教材往往舍去了许多数学概念和方法形成的实际背景、演化历程以及导致其演化的各种因素。由于数学发展的实际情况与教材的编写体系有着许多不同,所以,对数学教材的学习，往往难以了解数学的全貌 和数学思想产生的过程。正因为如此，许多人往往把数学当成了枯燥的符号、无源的死水，学了很多却理解得很少。 数学和任何一门科学一样，有着自身发展的丰富历史，是积累性的科学。数学的发展历史展示了人类追求理想和美好生活的力量，历史上数学家的成果、业绩和品德无不闪耀着人类思想的光辉，照亮着人类社会发展和进步的历程。 通过了解一些数学史，可以使我们了解数学科学发生、发展的规律，通过追溯数学概念、思想和方法的演变和发展过程，探究数学科学发展的规律和文化内涵，帮助我们认识数学科学与人类社会发展的互动关系以及数学概念和方法的重要意义。 二、代数学的历史发展情况 数学发展到今天，已经成为科学世界中拥有一百多个主要分支学科的庞大的“共和国”。大体说来，数学中研究数的部分属于代数学的范畴;研究形的部分，属于几何学的范筹;沟 通形与数且涉及极限运算的部分，属于分析学的范围。这三大类数学构成了整个数学的本体与核心。在这一核心的周围，由于数学通过数与形这两个概念，与其它科学互相渗透，而出现了许多边缘学科和交叉学科。本节简要介绍一下代数学的历史发展情况。 “代数”(algebra)一词最初来源于公元9世纪阿拉伯数学家、天文学家阿尔?花拉子米(al-Khwarizmī，约780,850)一本代数教程，书名的直译为《还原与对消的计算概要》(其书名中的al-jabr 这个词意为“还原”，它所指的意思是把方程式一边的负项移到方程另一端“还原”为正项;al-muqabala意即“对消”或“化简”，指方程两端可以消去相同的项或合并同类项。在翻译中把“al-jabr”译为拉丁文“aljebra”，拉丁文“aljebra”一词后来被许多国家采用，英文词“algebra”就是阿拉伯文“al-jabr”的讹用。 线性代数选择题道（含答案） 1.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 3.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（） A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.1 2 η1+ 1 2 η2是Ax=b的一个解 C.η1-η2是Ax=0的一个解 D.2η1-η2是Ax=b的一个解 4.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则 必有（） A. k≤3 B. k<3 C. k=3 D. k>3 5.下列矩阵中是正定矩阵的为（） A. 23 34 ? ? ? ? ? B. 34 26 ? ? ? ? ? C. 100 023 035 - - ? ? ? ? ? ? ? D. 111 120 102 ? ? ? ? ? ? ? 6.下列矩阵中，（）不是初等矩阵。 A. 001 010 100 ?? ?? ?? ?? ?? B. 100 000 010 ?? ?? ?? ?? ?? C. 100 020 001 ?? ?? ?? ?? ?? D. 100 012 001 ?? ?? - ?? ?? ?? 线性代数知识点总结 第一章 行列式 1. n 阶行列式()() 12 1212 11121212221212 1= = -∑ n n n n t p p p n p p np p p p n n nn a a a a a a D a a a a a a 2.特殊行列式 () () 1112 11222211221122010 n t n n nn nn nn a a a a a D a a a a a a a = =-= 1 2 12 n n λλλλλλ=， () ()1 12 2 121n n n n λλλλλλ-=- 3.行列式的性质 定义 记 11121212221 2 n n n n nn a a a a a a D a a a =，11211 1222212n n T n n nn a a a a a a D a a a = ，行列式T D 称为行列式D 的转置行列式。 性质1 行列式与它的转置行列式相等。 性质2 互换行列式的两行() ?i j r r 或列() ?i j c c ，行列式变号。 推论 如果行列式有两行（列）完全相同（成比例），则此行列式为零。 性质3 行列式某一行（列）中所有的元素都乘以同一数()?j k r k ，等于用数k 乘此行列式； 推论1 D 的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到D 的外面; 推论2 D 中某一行（列）所有元素为零，则=0D 。 性质4 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则 1112111212222212 () ()()i i n i i n n n ni ni nn a a a a a a a a a a D a a a a a '+'+='+11121111121121222221222212 12 i n i n i n i n n n ni nn n n ni nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''=+ ' 性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去， 概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确 (),n T A r A n A A Ax x Ax A Ax A A A E οοοββ==??≠≠≠??∈=?可逆 的列（行）向量线性无关 的特征值全不为0 只有零解 ， 0总有唯一解 是正定矩阵 R 12,s i A p p p p n B AB E AB E ?? ??? ????? ?? ??=????==?? 是初等阵 存在阶矩阵使得 或 ○ 注：全体n 维实向量构成的集合n R 叫做n 维向量空间. ()A r A n A A A Ax A ολ<=?==不可逆 0的列（行）向量线性相关 0是的特征值 有非零解,其基础解系即为关于0的?? ?? ?????特征向量 ○ 注 ()()a b r aE bA n aE bA aE bA x οολ+ 12121211 12121222()121 2()n n n n n j j j n j j nj j j j n n nn a a a a a a D a a a a a a τ= = -∑ 1 √ 行列式的计算： ①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. ②若A B 与都是方阵（不必同阶）,则 == ()mn A O A A O A B O B O B B O A A A B B O B O *= =* * =-1（拉普拉斯展开式） ③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. ④关于副对角线： (1)2 1121 21 1211 1 ()n n n n n n n n n n n a O a a a a a a a O a O ---* ==- 1 （即：所有取自不同行不 同列的n 个元素的乘积的代数和） ⑤范德蒙德行列式：()1 2 2 22 1211 1112n i j n j i n n n n n x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏ 111 由m n ?个数排成的m 行n 列的表11 12121 2221 2 n n m m mn a a a a a a A a a a ?? ? ? = ? ? ?? 称为m n ?矩阵.记作：()ij m n A a ?=或m n A ? () 1121112222* 12n T n ij n n nn A A A A A A A A A A A ?? ? ? == ? ? ?? ，ij A 为A 中各个元素的代数余子式. √ 逆矩阵的求法: ① 1 A A A *-= ○注： 1 a b d b c d c a ad bc --????= ? ? --???? 1 主换位副变号 线性代数的起源发展及其意义 线性代数是处理矩阵和向量空间的数学分支，在现代科学的各个领域都有应用。由于费马和笛卡尔的工作，线性代数基本上出现于十七世纪。直到十八世纪末，线性代数的领域还只限于平面与空间。十九世纪上半叶才完成了到n维向量空间的过渡,矩阵论始于凯莱，在十九世纪下半叶，因当时对其充分的研究和探索而使其达到了它的顶点。1888年，皮亚诺以公理的方式定义了有限维或无限维向量空间。托普利茨将线性代数的主要定理推广到任意体上的最一般的向量空间中。线性映射的概念在大多数情况下能够摆脱矩阵计算而引导到固有的推理，即是说不依赖于基的选择。不用交换体而用未必交换之体或环作为算子之定义域，这就引向模的概念，这一概念很显著地推广了向量空间的理论和重新整理了十九世纪所研究过的情况。 “代数”这一个词在中国出现较晚，在清代时才传入中国，当时被人们译成“阿尔热巴拉”，直到1859年，清代著名的数学家、翻译家李善男才将它翻译成为“代数学”，之后一直沿用。 线性代数是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学科。 主要理论成熟于十九世纪，而第一块基石（二、三元线性方程组的解法）则早在两千年前出现。 线性代数在数学、物理学和技术学科中有各种重要应用，因而它在各种代数分支中占居首要地位 在计算机广泛应用的今天，计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分； 该学科所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于强化人们的数学训练，增益科学智能是非常有用的 随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性化了的问题又可以计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具。 线性（linear）指量与量之间按比例、成直线的关系，在数学上可以理解为一阶导数为常数的函数，非线性（non-linear）则指不按比例、不成直线的关系，一阶导数不为常数。线性代数起源于对二维和三维直角坐标系的研究。在这里，一个向量是一个有方向的线段，由长度和方向同时表示。这样向量可以用来表示物理量，比如力，也可以和标量做加法和乘法。这就是实数向量空间的第一个例子。 现代线性代数已经扩展到研究任意或无限维空间。作 《线性代数》重点题 一． 单项选择题 1.设A 为3阶方阵，数 = 3，|A | =2，则 | A | =（ ）. A ．54； B ．-54； C ．6； D ．-6. 解. .54227)3(33-=?-=-==A A A λλ 所以填: B. 2、设A 为n 阶方阵，λ为实数，则|λA |=（ ） A 、λ|A |； B 、|λ||A |； C 、λn |A |； D 、|λ|n |A |. 解. |λA |=λn |A |.所以填: C. 3.设矩阵()1,2,12A B ?? ==- ??? 则AB =（ ）. 解. ().24121,221???? ??--=-???? ??=AB 所以填: D. A. 0； B. ()2,2-； C. 22?? ?-??； D. 2142-?? ?-?? . 4、123,,a a a 是3维列向量，矩阵123(,,)A a a a =.若|A |=4，则|-2A |=（ ）. A 、-32； B 、-4； C 、4； D 、32. 解. |-2A |=(-2)3A =-8?4=-32. 所以填: D. 5.以下结论正确的是（ ）. A .一个零向量一定线性无关； B .一个非零向量一定线性相关； C .含有零向量的向量组一定线性相关； D .不含零向量的向量组一定线性无关. 解. A .一个零向量一定线性无关；不对,应该是线性相关. B .一个非零向量一定线性相关；不对,应该是线性无关. C .含有零向量的向量组一定线性相关；对. D .不含零向量的向量组一定线性无关. 不对, 应该是:不能判断. 所以填: C. 6、 1234(1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,0,1,0),(1,1,1,1),αααα====设则它的极 大无关组为( ) A 、 12,; αα B 、 123,, ;ααα C 、 124,, ;ααα D 、1234,, ,αααα 线性代数知识点总结 1 行列式 （一）行列式概念和性质 1、逆序数：所有的逆序的总数 2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和 3、行列式性质：（用于化简行列式） （1）行列互换（转置），行列式的值不变 （2）两行（列）互换，行列式变号 （3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式 （4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。 （5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。 （6）两行成比例，行列式的值为0。 （二）重要行列式 4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积 5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘 6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则 7、n阶（n≥2）范德蒙德行列式 数学归纳法证明 ★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值： （三）按行（列）展开 9、按行展开定理： （1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0 （四）行列式公式 10、行列式七大公式： （1）|kA|=k n|A| （2）|AB|=|A|·|B| （3）|A T|=|A| （4）|A-1|=|A|-1 （5）|A*|=|A|n-1 （6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则 （7）若A与B相似，则|A|=|B| （五）克莱姆法则 11、克莱姆法则： （1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解 （2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0 （3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。 2 矩阵 （一）矩阵的运算 1、矩阵乘法注意事项： （1）矩阵乘法要求前列后行一致； （2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律） （3）AB=O不能推出A=O或B=O。 2、转置的性质（5条） （1）（A+B）T=A T+B T （2）（kA）T=kA T （3）（AB）T=B T A T （4）|A|T=|A| （5）（A T）T=A （二）矩阵的逆 3、逆的定义： AB=E或BA=E成立，称A可逆，B是A的逆矩阵，记为B=A-1 注：A可逆的充要条件是|A|≠0 4、逆的性质：（5条） （1）（kA）-1=1/k·A-1 (k≠0) （2）（AB）-1=B-1·A-1 （3）|A-1|=|A|-1 （4）（A T）-1=（A-1）T （5）（A-1）-1=A 华北水利水电学院 线性代数发展简史 课程名称：线性代数 专业班级： 成员组成： 联系方式： 2011年11月6日 摘要:代数学可以笼统地解释为关于字母运算的学科。线性代数是高等代数的一大分支，是研究如何求解线性方程组而发展起来的。线性代数的主要内容有行列式、矩阵、向量、线性方程组、线性空间、线性变换、欧氏空间和二次型等。 关键词：高等代数行列式矩阵向量 线性代数发展简史 1 代数学可以笼统地解释为关于字母运算的学科。在中学所学的初等代数中，字母仅用来表示数。初等代数从最简单的一元一次方程开始，一方面进而讨论二元及三元的一次方程组，另一方面研究二次以上及可以转化为二次的方程组。沿着这两个方向继续发展，代数学在讨论任意多个未知数的一次方程组，也叫线性方程组的同时，还研究次数更高的一元方程及多元方程组。发展到这个阶段，就叫做高等代数。 线性代数是高等代数的一大分支，是研究如何求解线性方程组而发展起来的。线性代数的主要内容有行列式、矩阵、向量、线性方程组、线性空间、线性变换、欧氏空间和二次型等。在线性代数中，字母的含义也推广了，它不仅用来表示数，也可以表示行列式、矩阵、向量等代数量。笼统地说，线性代数是研究具有线性关系的代数量的一门学科。线性代数不仅在内容上，更重要的是在观点和方法上比初等代数有很大提高。 在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。虽然表面上看，行列式和矩阵不过是一种语言或速记，但从数学史上来看，优良的数学符号和生动的概念是数学思想产生的动力和钥匙。 行列式出现于线性方程组的求解。行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的，他在1683年写了一部叫做《解伏题之法》的著作，标题的意思是“解行列式问题的方法”，书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。欧洲第一个提出行列式概念的是德国的数学家、微积分学奠基人之一莱布尼兹(Leibnitz)。1750年克莱姆(Cramer)在他的《线性代数分析导言》中发表了求解线性方程组的重要基本公式(即人们熟悉的Cramer 克莱姆法则)。1764年，法国数学家贝佐特(Bezout)把确定行列式每一项的符号的 二、选择题 1.(1987—Ⅰ,Ⅱ)设 A 为n 阶方阵,且A 的行列式0A a =≠,而*A 是A 的伴随矩阵,则* A 等于 （ C ） (A)a . (B) 1a . (C)1n a -. (D)n a . 【考点】伴随矩阵的性质. 解 1 *n A A -=. 2.(1987—Ⅳ,Ⅴ)假设 A 是n 阶方阵,其秩r n <,那么在A 的n 个行向量中（ ） (A) 必有r 个行向量线性无关. (B) 任意r 个行向量线性无关. (C) 任意r 个行向量都构成最大线性无关向量组. (D) 任何一个行向量都可以由其他r 个行向量线性表出. 【考点】矩阵的秩,向量组的线性相关性及向量组的最大无关组. 解 ()R A r n A = 行列式 1.为何要学习《线性代数》？学习《线性代数》的重要性和意义。 答：《线性代数》是理、工、医各专业的基础课程，它是初等代数理论的继续和发展， 它的理论和方法在各个学科中得到了广泛的应用。 2.《线性代数》的前导课程。 答：初等代数。 3.《线性代数》的后继课程。 答：高等代数，线性规划，运筹学，经济学等。 4.如何学习《线性代数》？ 答：掌握各章节的基本概念和解决问题的基本方法，多多体会例子的方法和技巧，多做 练习，在练习中要紧扣问题涉及的概念，不要随意扩大概念的范围，练习要自己做才能理解所学的知识。在学完一章后自己要做一个小结，理清该章内容及前后概念之间的联 系。在学完本课程后，将各章的内容做一个总结，想想各章内容之间的联系，易混淆的 概念要着重加深理解及区分它们之间的差异。 第一章行列式 5.什么是一个n阶全排列？【知识点】：n阶全排列。 答：由n个数1,2,…，n组成的一个有序数组。 6.什么是标准排列？【知识点】：n阶全排列。 答：按数字由小到大的自然顺序排列的n阶排列123, n。 7.什么是n阶全排列的逆序？【知识点】：n阶全排列的逆序。 答：在一个n阶排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面，则称这两个数构成一个逆序。例如：排列45312中，数4与3 ,数4与1,数4与2 ,数5与3,数5与1 ,数5与2, 数3与1,数3与2都构成逆序。数4与5,数1与2不构成逆序。 & 什么是n阶排列的逆序数？【知识点】：n阶排列的逆序数。 答：在一个n阶排列中，所有逆序的总数就是排列的逆序数。例如：上问中的排列45312 的逆序数为8。 9.什么是奇排列和偶排列？【知识点】：排列的奇偶性。 线性代数发展史 由于研究关联着多个因素的量所引起的问题，则需要考察多元函数。如果所研究的关联性是线性的，那么称这个问题为线性问题。历史上线性代数的第一个问题是关于解线性方程组的问题，而线性方程组理论的发展又促成了作为工具的矩阵论和行列式理论的创立与发展，这些内容已成为我们线性代数教材的主要部分。最初的线性方程组问题大都是来源于生活实践，正是实际问题刺激了线性代数这一学科的诞生与发展。另外，近现代数学分析与几何学等数学分支的要求也促使了线性代数的进一步发展。 行列式 行列式出现于线性方程组的求解，它最早是一种速记的表达式，现在已经是数学中一种非常有用的工具。行列式是由莱布尼茨和日本数学家关孝和发明的。1693 年4 月，莱布尼茨在写给洛比达的一封信中使用并给出了行列式，并给出方程组的系数行列式为零的条件。同时代的日本数学家关孝和在其著作《解伏题元法》中也提出了行列式的概念与算法。 1750 年，瑞士数学家克莱姆(G.Cramer,1704-1752) 在其著作《线性代数分析导引》中，对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述，并给出了现在我们所称的解线性方程组的克莱姆法则。稍后，数学家贝祖(E.Bezout,1730-1783) 将确定行列式每一项符号的方法进行了系 统化，利用系数行列式概念指出了如何判断一个齐次线性方程组有非零解。 总之，在很长一段时间内，行列式只是作为解线性方程组的一种工具使用，并没有人意识到它可以独立于线性方程组之外，单独形成一门理论加以研究。 在行列式的发展史上，第一个对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述，即把行列式理论与线性方程组求解相分离的人，是法国数学家范德蒙 (A-T.Vandermonde,1735-1796) 。范德蒙自幼在父亲的知道下学习音乐，但对数学有浓厚的兴趣，后来终于成为法兰西科学院院士。特别地，他给出了用二阶子式和它们的余子式来展开行列式的法则。就对行列式本身这一点来说，他是这门理论的奠基人。1772 年，拉普拉斯在一篇论文中证明了范德蒙提出的一些规则，推广了他的展开行列式的方法。 继范德蒙之后，在行列式的理论方面，又一位做出突出贡献的就是另一位法国大数学家柯西。1815 年，柯西在一篇论文中给出了行列式的第 第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n，则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+ λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r，则A中（） A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（） A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.1 2η1+1 2 η2是Ax=b的一个解 C.η1-η2是Ax=0的一个解 D.2η1-η2是Ax=b的一个解 9.设n阶方阵A不可逆，则必有（） 线性代数知识点总结 第一章行列式 （一）要点 1、 二阶、三阶行列式 2、 全排列和逆序数，奇偶排列（可以不介绍对换及有关定理） ，n 阶行列式的定义 3、 行列式的性质 4、 n 阶行列式 ^a i j ，元素a j 的余子式和代数余子式，行列式按行（列）展开定理 5、 克莱姆法则 （二）基本要求 1 、理解n 阶行列式的定义 2、掌握n 阶行列式的性质 3 、会用定义判定行列式中项的符号 4、理解和掌握行列式按行（列）展开的计算方法，即 a 1i A Ij ' a 2i A 2 j ' a ni A nj ^ 5、会用行列式的性质简化行列式的计算，并掌握几个基本方法： 归化为上三角或下三角行列式， 各行（列）元素之和等于同一个常数的行列式， 利用展开式计算 6、 掌握应用克莱姆法则的条件及结论 会用克莱姆法则解低阶的线性方程组 7、 了解n 个方程n 个未知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件 第二章矩阵 （一）要点 1、 矩阵的概念 m n 矩阵A =（a j ）mn 是一个矩阵表。当 m =n 时，称A 为n 阶矩阵，此时由 A 的 元素按原来排列的形式构成的 n 阶行列式，称为矩阵 A 的行列式，记为 A . 注：矩阵和行列式是两个完全不同的两个概念。 2、 几种特殊的矩阵：对角阵；数量阵；单位阵；三角形矩阵；对称矩阵 a i 1A j 1 ■ a i2A j 2 ? a in A jn = 〔 D ' 3、矩阵的运算；矩阵的加减法；数与矩阵的乘法；矩阵的转置；矩阵的乘法 (1矩阵的乘法不满足交换律和消去律，两个非零矩阵相乘可能是零矩阵。如果两矩阵A与B相乘，有AB = BA ,则称矩阵A与B可换。注：矩阵乘积不一定符合交换 (2)方阵的幕：对于n阶矩阵A及自然数k， A k=A A A , 1 k个 规定A° = I ,其中I为单位阵. (3) 设多项式函数(J^a^ k?a1?k^l Z-心律??a k，A为方阵，矩阵A的 多项式(A) = a0A k?a1A k' …-?-a k jA ■ a k I ,其中I 为单位阵。 (4)n阶矩阵A和B ,贝U AB=IAB . (5)n 阶矩阵A ,则∣∕Λ =λn A 4、分块矩阵及其运算 5、逆矩阵：可逆矩阵(若矩阵A可逆，则其逆矩阵是唯一的)；矩阵A的伴随矩阵记 * 为A , AA* = A*A = AE 矩阵可逆的充要条件；逆矩阵的性质。 6、矩阵的初等变换：初等变换与初等矩阵；初等变换和初等矩阵的关系；矩阵在等价 意义下的标准形；矩阵A可逆的又一充分必要条件：A可以表示成一些初等矩阵的乘积； 用初等变换求逆矩阵。 7、矩阵的秩：矩阵的k阶子式；矩阵秩的概念；用初等变换求矩阵的秩 8、矩阵的等价 (二)要求 1、理解矩阵的概念；矩阵的元素；矩阵的相等；矩阵的记号等 2、了解几种特殊的矩阵及其性质 3、掌握矩阵的乘法；数与矩阵的乘法；矩阵的加减法；矩阵的转置等运算及性质 4、理解和掌握逆矩阵的概念；矩阵可逆的充分条件；伴随矩阵和逆矩阵的关系；当A 可逆时，会用伴随矩阵求逆矩阵 5、了解分块矩阵及其运算的方法 (1)在对矩阵的分法符合分块矩阵运算规则的条件下，其分块矩阵的运算在形式上与不分块矩阵的运算是一致的。 (2)特殊分法的分块矩阵的乘法，例如A m n, B nl,将矩 2013届钻石卡学员学习计划---数学三第十五单元（课前或课后学习内容） 计划对应教材：工程数学线性代数同济大学数学系编高等教育出版社第五版 线性代数第一章行列式 第1章第1节二阶与三阶行列式（P1——P4） 第1章第2节全排列及其逆序数（P4——P5） 第1章第3节n阶行列式的定义（P5——P8） 第1章第4节对换（P8——P9） 第1章第5节行列式的性质（P9——P15） 第1章第6节行列式按行（列）展开（P16——P21） 第1章第7节克拉默法则（P21——P25） 本单元中我们应当学习—— 1．行列式的概念和性质，行列式按行（列）展开定理． 2．用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式． 3．用克莱姆法则解齐次线性方程组． 2013届钻石卡学员学习计划---数学三 第十六单元（课前或课后学习内容） 计划对应教材：工程数学线性代数同济大学数学系编高等教育出版社第五版 线性代数第二章矩阵及其运算 第2章第1节矩阵（P29——P32） 第2章第2节矩阵的运算（P33——P42） 第2章第3节逆矩阵（P42——P47） 第2章第4节矩阵分块法（P47——P54） 2013届钻石卡学员学习计划---数学三线性代数第三章矩阵的初等变换与线性方程组 第3章第1节矩阵的初等变换（P57——P65） 本单元中我们应当学习—— 1．矩阵的概念，单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵的概念和性质． 2．矩阵的线性运算、乘法运算、转置以及它们的运算规律. 3. 方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质. 4．逆矩阵的概念和性质，矩阵可逆的充分必要条件. 5. 伴随矩阵的概念，用伴随矩阵求逆矩阵． 6．分块矩阵及其运算． 线性代数发展史 线性代数是高等代数的一大分支。我们知道一次方程叫做线性方程，讨论线性方程及线性运算的代数就叫做线性代数。在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。行列式和矩阵在十九世纪受到很大的注意 , 而且写了成千篇关于这两个课题的文章。向量的概念 , 从数学的观点来看不过是有序三元数组的一个集合 , 然而它以力或速度作为直接的物理意义 , 并且数学上用它能立刻写出物理上所说的事情。向量用于梯度 , 散度 , 旋度就更有说服力。同样 , 行列式和矩阵如导数一样（虽然 dy/dx 在数学上不过是一个符号 , 表示包括△y/△x的极限的长式子 , 但导数本身是一个强有力的概念 , 能使我们直接而创造性地想象物理上发生的事情）。因此，虽然表面上看，行列式和矩阵不过是一种语言或速记，但它的大多数生动的概念能对新的思想领域提供钥匙。然而已经证明这两个概念是数学物理上高度有用的工具。 线性代数学科和矩阵理论是伴随着线性系统方程系数研究而引入和发展的。行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的，他在 1683 年写了一部叫做《解伏题之法》的著作，意思是“解行列式问题的方法”，书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。欧洲第一个提出行列式概念的是德国的数学家，微积分学奠基人之一莱布尼兹（ Leibnitz ，1693 年）。 1750 年克莱姆（ Cramer ）在他的《线性代数分析导言》（ Introduction d l'analyse des lignes courbes alge'briques ）中发表了求解线性系统方程的重要基本公式（既人们熟悉的 Cramer 克莱姆法则）。 1764 年 , Bezout 把确定行列式每一项的符号的手续系统化了。对给定了含 n 个未知量的 n 个齐次线性方程 , Bezout 证明了系数行列式等于零是这方程组有非零解的条件。 Vandermonde 是第一个对行列式理论进行系统的阐述 ( 即把行列 ' 式理论与线性方程组求解相分离 ) 的人。并且给出了一条法则，用二阶子式和它们的余子式来展开行列式。就对行列式本身进行研究这一点而言，他是这门理论的奠基人。 Laplace 在 1772 年的论文《对积分和世界体系的探讨》中 , 证明了 Vandermonde 的一些规则 , 并推广了他的展开行列式的方法 , 用 r 行中所含的子式和它们的余子式的集合来展开行列式，这个方法现在仍然以他的名字命名。德国数学家雅可比（ Jacobi ）也于 1841 年总结并提出了行列式的系统理论。另一个研究行列式的是法国最伟大的数学家柯西 (Cauchy) ，他大大发展了行列式的理论，在行列式的记号中他把元素排成方阵并首次采用了双重足标的新记法，与此同时发现两行列式相乘的公式及改进并证明了 laplace 的展开定理。相对而言，最早利用矩阵概念的是拉格朗日（ Lagrange ）在 1700 年后的双线性型工作中体现的。拉格朗日期望了解多元函数的最大、最小值问题，其方法就是人们知道的拉格朗日迭代法。为了完成这些，他首先需要一阶偏导数为 0 ，另外还要有二阶偏导数矩阵的条件。这个条件就是今天所谓的正、负的定义。尽管拉格朗日没有明确地提出利用矩阵。 高斯（ Gauss ）大约在 1800 年提出了高斯消元法并用它解决了天体计算和后来的地球表面测量计算中的最小二乘法问题。（这种涉及测量、求取地球形状或当地精确位置的应用数学分支称为测地学。）虽然高斯由于这个技术成功地消去了线性方程的变量而出名，但早在几世纪中国人的手稿中就出现了解释如何运用“高斯”消去的方法求解带有三个未知量的三方程系统。在当时的几年里，高斯消去法一直被认为是测地学发展的一部分，而不是数学。而高斯 - 约当消去法则最初是出现在由 Wilhelm Jordan 撰写的测地学手册中。许多人把著名的数学家 Camille Jordan 误认为是“高斯 - 约当”消去法中的约当。 矩阵代数的丰富发展，人们需要有合适的符号和合适的矩阵乘法定义。二者要在大约同一时间和同一地点相遇。 1848 年英格兰的 J.J. Sylvester 首先提出了矩阵这个词，它来源于拉丁语，代表一排数。 1855 年矩阵代数得到了 Arthur Cayley 的工作培育。 Cayley 研究了线性变换的组成并提出了矩阵乘法的定义，使得复合变换 ST 的系数矩阵变为矩阵 S 和矩阵 T 的乘积。他还进一步研究了那些包括矩阵逆在内的代数问题。著名的 Cayley- Hamilton 理论即断言一个矩阵的平方就是它的特征多项式的根，就是由 Cayley 在 1858 年在他的矩阵理论文集中提出的。利用单一的字母 A 来表示矩阵是对矩阵代数发展至关重要的。在发展的早期公式 det( AB ) = det( A )det( B ) 为矩阵代数和行列式间提供了一种联系。数学家 Cauchy 首先给出了特征方程的术语，并证明了阶数超过 3 的矩阵有特征值及任意阶实对称行列式都有实特征值；给出了相似矩阵的概念，并证明了相似矩阵有相同的特征值；研究了代换理论， 数学家试图研究向量代数，但在任意维数中并没有两个向量乘积的自然定义。第一个涉及一个不可交换向量积（既 v x w 不等于 w x v ）的向量代数是由 Hermann Grassmann 在他的《线性扩张论》（ Die lineale Ausdehnungslehre ）一书中提出的。(1844) 。他的观点还被引入一个列矩阵和一个行矩阵的乘积中，结果就是现在称之为秩数为 1 的矩阵，或简单矩阵。在 19 世纪末美国数学物理学家 Willard Gibbs 发表了关于《向量分析基础》 ( Elements of Vector Analysis ) 的著名论述。其后物 线性代数学习心得体会 篇一：学习线性代数的心得体会 学习线性代数的心得体会 线代课本的前言上就说：“在现代社会，除了算术以外，线性代数是应用最广泛的数学学科了。”我们的线代教学的一个很大的问题就是对线性代数的应用涉及太少，课本上涉及最多的只能算解线性方程组了，但这只是线性代数很初级的应用。我自己对线性代数的应用了解的也不多。但是，线性代数在计算机数据结构、算法、密码学、对策论等等中都有着相当大的作用。 线性代数被不少同学称为“天书”，足见这门课给同学们造成的困难。在这门课的学习过程中，很多同学遇到了上课听不懂，一上课就想睡觉，公式定理理解不了，知道了知识但不会做题，记不住等问题。我认为，每门课程都是有章可循的，线性代也不例外，只要有正确的方法，再加上自己的努力，就可以学好它。 线代是一门比较费脑子的课，所以如果前一天晚上睡得太晚第二天早上的线代课就会变成“催眠课”。那么，就应该在第二天有线代课时晚上睡得早一点。如果你觉得上课跟不上老师的思路那么请预习。这个预习也有学问，预习时要“把更多的麻烦留给自己”，即遇到公式、定理、结论马上把证明部分盖住，自己试着证一下，可以不用写详细的过程， 想一下思路即可；还要多猜猜预习的部分会有什么公式、定理、结论；还要想一想预习的内容能应用到什么领域。当然，这对一些同学有困难，可以根据个人的实际情况适当调整，但要尽量多地自己思考。 一定要重视上课听讲，不能使线代的学习退化为自学。上课时干别的会受到老师讲课的影响，那为什么不利用好这一小时四十分钟呢？上课时，老师的一句话就可能使你豁然开朗，就可能改变你的学习方法甚至改变你的一生。上课时一定要“虚心”，即使老师讲的某个题自 己会做也要听一下老师的思路。 上完课后不少同学喜欢把上课的内容看一遍再做作业。实际上应该先试着做题，不会时看书后或做完后看书。这样，作业可以帮你回忆老师讲的内容，重要的是这些内容是自己回忆起来的，这样能记得更牢，而且可以通过作业发现自己哪些部分还没掌握好。作业尽量在上课的当天或第二天做，这样能减少遗忘给做作业造成的困难。做作业时遇到不会的题可以 问别人或参考同学的解答，但一定要真正理解别人的思路，绝对不能不弄清楚别人怎么做就照抄。适当多做些题对学习是有帮助的。。 线性代数的许多公式定理难理解，但一定要理解这些东西才能记得牢，理解不需要知道它的证明过程的每一步，只 (一)单项选择题 1．设A ，B 为n 阶方阵，且()E AB =2 ，则下列各式中可能不成立的是（ ） (A )1-=B A (B)1-=B ABA (C)1 -=A BAB (D)E BA =2)( 2．若由AB=AC 必能推出B=C （A ，B ，C 均为n 阶矩阵）则A 必须满足（ ） (A)A ≠O (B)A=O (C )0≠A (D) 0≠AB 3．A 为n 阶方阵，若存在n 阶方阵B ，使AB=BA=A ，则（ ） (A) B 为单位矩阵 (B) B 为零方阵 (C) A B =-1 (D ) 不一定 4．设A 为n ×n 阶矩阵，如果r(A)数学史话线性代数发展史简介
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