编号：
数字信号处理
实训 (论文)说明书
题目：用matlab实现两信号的卷积
院（系）：应用科技学院
专业：电子信息工程
学生姓名：蒋耀华
学号： 0801130215 指导教师：严素清童有为纪元法
2011 年 6 月29日
摘要
本文讲述的是运用matlab软件编写线性卷积和循环卷积，运行程序并得到正确结果，附上运行结果图让大家参照对比。
MATLAB是一款在数学类科技应用软件中特别是在数值计算方面首屈一指的软件，它可以进行矩阵运算、绘制函数和数据、实现算法、创建用户界面、连接其他编程语言的程序等，主要应用于工程计算、控制设计、信号处理与通讯、图像处理、信号检测、金融建模设计与分析等领域。而线性卷积和循环卷积在工程上的应用亦非常广泛，在Matlab软件处理下，实现任意两个序列的线性和循环卷积对于工程上的辅助是相当重要的。卷积关系最重要的一种情况，就是在信号与线性系统或数字信号处理中的卷积定理。利用该定理，可以将时间域或空间域中的卷积运算等价为频率域的相乘运算，从而利用FFT等快速算法，实现有效的计算，节省运算代价。
本文从线性卷积和循环的定义出发，分析其运算原理以及相关的公式、程序，着重介绍并分析了卷积的运算过程，让大家明白什么是卷积。程序运行之后得到正确的结果，将运行后正确的波形图图放在本次论文中让大家直观的做比较。
关键词：Matlab；线性卷积；循环卷积；波形图；正确
Abstract
This is about using matlab software linear convolution and cyclic convolution, operation procedure and get the right result, enclosed operation result diagram let everybody reference MATLAB is a type of technology in applications of mathematics, especially in numerical calculation of the leading software, which can be matrix calculation, and data mapping function, the realization of algorithms, creation of user interface, connected to other procedures, such as programming languages, the main application in engineering computing, control design, signal processing and communications, image processing, signal detection, financial modeling in areas such as design and analysis. And linear convolution in the application of engineering has a very wide range of software in Matlab, the realization of any two sequences of linear convolution support for projects is very important. Convolution relationship between the most important case, that is linear in the signal and digital signal processing system or the convolution theorem. Use of the theorem can be time-domain or space domain to the convolution operation in frequency domain equivalent of the multiplication operation, thus the use of FFT and other fast algorithms, the calculation of effective, cost-saving operation.
From linear convolution and circulation of the definition, analyzes its operation principle and relevant formula, procedures, and emphatically introduces and analyses the convolution operation process, let everyone know what convolution. After the program is running properly after operation, the results will be put on the right of the waveform Desmond tutu paper let everybody intuitive to compare.
Key words：Matlab；Linear convolution；Circular convolution；Sequence；Wave；Right
目录
引言 (1)
1 MATLAB软件简介 (1)
1.1 MATLAB的优势 (1)
1.2 MATLAB的组成 (3)
2 卷积分析 (3)
2.1 卷积的定义 (3)
2.2 线性卷积的运算 (4)
2.3 循环卷积的运算 (4)
3 MATLAB设计线性卷积 (5)
3.1 线性卷积的分析 (5)
3.2 线性卷积的设计流程图 (5)
3.3 线性卷积的MATLAB设计源程序 (6)
4 MATLAB设计循环卷积 (8)
4.1 循环卷积的分析 (8)
4.2 根据循环卷积分析设计流程图 (8)
4.3 根据循环卷积流程图设计matlab源代码 (9)
5 总结 (10)
谢辞 (12)
参考文献 (13)
引言
在泛函分析中，卷积(卷积)、旋积或摺积(英语：Convolution)是通过两个函数f和g生成第三个函数的一种数学算子，表徵函数f与经过翻转和平移与g 的重叠部分的累积。如果将参加卷积的一个函数看作区间的指示函数，卷积还可以被看作是“滑动平均”的推广。
卷积是分析数学中一种重要的运算，数学上的卷积在信号处理中有着非常广泛的应用。只要这个系统是线性的，对于一维空间是这样，二维、三维都是这样，空间域信号是这样，时间域信号也是这样。一切信号传递处理系统都是卷积系统，但是信号发生系统不像卷积这样，因为信号发生系统不是一个无中生有的系统，它需要消耗能量，而且是一个非线性系统。
卷积关系最重要的一种情况，就是在信号与线性系统或数字信号处理中的卷积定理。利用该定理，可以将时间域或空间域中的卷积运算等价为频率域的相乘运算，从而利用FFT等快速算法，实现有效的计算，节省运算代价。
明确了这些含义以后，我们认为信号放大系统是卷积，信号测量和计数系统也是积。进一步推广照相系统是卷积，视觉系统也是卷积。世界上所有的系统都是卷积，例如脉搏是心跳的卷积，水压的波动是泵水电动机转动力的卷积，只要系统是线性的或近似线性的。卷积的概念还可以推广到数列、测度以及广义函数上去。因此，我们得到这样一个一般性的结论——卷积在我们的生活中无处不在，它的应用非常广泛。
1 MATLAB软件简介
MATLAB名字由MATRIX和 LABORATORY 两词的前三个字母组合而成。顾名思义，就是矩阵实验室（ matrix laboratory ）。MATLAB是一种高性能的科学计算软件，并且广泛应用于数学计算、算法开发、数学建模、系统仿真、数据分析可视化和程序设计集成化等，其具有强大的矩阵运算能力和极高的编程效率，而且使用我们熟悉的数字符号表示问题与答案，这对于初学者来说很容易上手，同时也方便了用户对自己需要的应用程序的开发，运行相应的程序还可以在图形用户界面的建立各种波形仿真图。
MATLAB是一个交互系统，它的基本数据元素是数组，尤其适合解决用矩阵和向量组织数据的科学技术计算问题，对于各种信号的处理可以用不同的库函数或者用户自己编辑的程序来处理，由此可以得到不同的结果，并且还可以经过图形显示来验证。
1.1 MATLAB的优势
MATLAB编程语言又称为M语言，是一种交互式的高级编程语言，一种高阶的矩阵/数组语言。它具有以下的特点和优势：
第1页
(1)语法简单和编程效率高
(2)便于用户使用和扩充
(3)方便高校的矩阵和数组运算
(4)方便的图形和图像操作功能
(5)功能强大的工具箱
1.1.1 语法简单编程效率高
MATLAB是一个高级的矩阵/阵列语言，它包含控制语句、函数、数据结构、输入和输出和面向对象编程特点。新版本的MATLAB语言是基于最为流行的C++语言基础上的，因此语法特征与C++语言极为相似，而且更加简单，更加符合科技人员对数学表达式的书写格式。使之更利于非计算机专业的科技人员使用。
1.1.2 便于用户使用和补充
新版本的MATLAB可以利用MATLAB编译器和C/C++数学库和图形库，将自己的MATLAB 程序自动转换为独立于MATLAB运行的C和C++代码。允许用户编写可以和MATLAB进行交互的C或C++语言程序
作为强大的科学计算软件，MATLAB提供了图形界面的设计与开发功能，MATLAB中的基本图形用户界面对象分为三类：用户界面控制对象、下拉式菜单对象和内容式菜单对象。
1.1.3 方便高校的矩阵和数组运算
MATLAB是一个包含大量计算算法的集合。其拥有600多个工程中要用到的数学运算函数，可以方便的实现用户所需的各种计算功能。函数所能解决的问题其大致包括矩阵运算和线性方程组的求解、微分方程及偏微分方程的组的求解、符号运算、傅立叶变换和数据的统计分析、工程中的优化问题、稀疏矩阵运算、复数的各种运算、三角函数和其他初等数学运算、多维数组操作以及建模动态仿真等。在高校中，MATLAB以成为数学，信息，控制等诸多学科有关课程的有效教学工具
1.1.4 方便图形和图像操作功能
MATLAB自产生之日起就具有方便的数据可视化功能，以将向量和矩阵用图形表现出来，并且可以对图形进行标注和打印。它对一些特殊的可视化要求，例如图形对话等，MATLAB也有相应的功能函数，保证了用户不同层次的要求。
1.1.5 功能强大的工具箱
MATLAB对许多专门的领域都开发了功能强大的模块集和工具箱。一般来说，它们都是由特定领域的专家开发的，用户可以直接使用工具箱学习、应用和评估不同的方法而
不需要自己编写代码。
1.2 MATLAB的组成
MATLAB很重要的特点，是附加了一个解决专门问题的应用程序大家族，叫工具箱。它对于MATLAB用户是非常重要的，能让用户学习和应用专门的技术。工具箱是MATLAB 函数的全面集合，扩展了MATLAB解决特殊类型问题的环境。工具箱可以应用的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、磨具逻辑、子波、模拟等方面。MATLAB这个名字，代表MATRIX LABOROATOR.MATLAB系统由5个主要部分组成：
1.2.1 开发环境
这是一组工具程序，帮助用户使用MATLAB功能和文件。许多工具是图形用户界面，包括MATLAB桌面和命令窗口，命令的历史窗口，编辑器和差错程序，观看帮助信息的浏览器，工作区，文件和收索路径。
1.2.2 MATLAB的数学函数库
这是一个计算算法的巨大集合，范围从初等函数，入求和、正弦、余弦和复数运算，到更高级别的函数，像矩阵求逆、矩阵特征值、贝赛尔函数和快速傅里叶变换。
1.2.3 MATLAB语言
一个高级的矩阵和数组运算，具有控制流语句、函数、数据结构、输入和输出、面向对象的程序特点。用这种语言能够快速建立运行快且短小的程序，也能建立大的和复杂的应用程序。
1.2.4 图形
MATLAB有广泛的程序，用于把向量和矩阵显示为图形，以及注解和打印这些图像。它包括高级功能，用于二维和三维数据的形象化、图像处理、动画和演示图形；包括低级功能，让用户完全定制图形外观，以及为用户的应用程序建立完全的图形用户界面。
1.2.5 MATLAB应用程序接口（API）
这是一个程序库，允许用户写C和FORTRAN程序与MATLAB交互。其中包含的程序，用于从MATLAB调用例行程序，调用MATLAB作为计算引擎，以及读取MAT文件。
2 卷积分析
2.1 卷积的定义
任意信号都可以根据不同需要进行不同的分解。如信号可以分解为直流分量和交流
分量，也可以分解为奇分量和偶分量，或分解为实部分量和虚部分量。如果信号费解为冲击信号，那么信号分解为一系列不同强度，不同时延的冲击信号的叠加，这个过程称为卷积积分。
一般而言，如果有两个函数()t f 1和()t f 2，则它们的积分()()()τττd t f f t y -=?+∞
∞-21称为()t f 1与()t f 2的卷积积分，简称卷积，表达式为：()()()t f t f t y 21*=，即:
()()()()()τττd t f f t f t f t y ?+∞
∞--=*=2121 2.2 线性卷积的运算
卷积运算是线性时不变系统分析的重要工具，很多滤波器的设计中都要用到卷积运算。给出线性卷积运算的定义，设有离散信号x(n)和y(n)，其线性卷积为：
线性卷积有四步运算：①卷积运算时，y(n)要先反折得到y(-n);②m>0表示y(-n)序列右移，m<0表示左移，不同的m 表示不同的值。线性卷积运算简洁表示为:
式中 “?”表示线性卷积运算符。
由线性卷积的定义，等式右边是乘积求和形式，，因而考虑能否用矩阵相乘的形式来表示线性卷积。假设序列x(n) 长度为4点，y(n) 长度为3点，x(n) 除区间之外皆为零，y(n) 除区间之外皆为零，用矩阵的形式来表达线性卷积Z:
0 0 0
0 0
Z= 0
0 0
0 0 0
x(n),y(n)序列长度不同，则将短序列补0使两者相同。
2.3 循环卷积的运算
有限长序列的循环移位是指y((m-n))，也就是先让序列y(n)以N为周期进行周期延拓，再进行反折，然后朝右移位，只朝一个方向移位的原因是：对周期序列向右移动一个位置，也就相当于向左移动了N－1个位置,最后取（0，N－1）的N个值就得到了循环移位后的N个序列值。
设有序列x(n)和y(n)，其N点循环卷积为：
由于循环移位的关系最后得到的循环卷积的长度就是N点，m取[0，1，2，…，N-1]。
循环卷积的简洁表示为：
式中表示循环卷积运算符。
例如N=4的循环卷积如下：
Z=
其中，N≥length(y(n))。
值得说明的是，当N≥length(y(n))+ length(x(n))-1时，圆周卷积的值等于线性卷积。
3 MATLAB设计线性卷积
3.1 线性卷积的分析
两个序列的线性卷积可以分为下列4个步骤：
(1)反折：先将x(n)和h(n)的变量n换成m，变成x(n)和h(m)，再将h(m)以y轴为对称轴反褶成h(-m)。
(2)移位：将h(-m)移位n，得h(n-m)。当n为正数时，右移n位；当n为负数时，左移n位。
(3)相乘：将h(n-m)和x(m)的对应点值相乘。
(4)求和：将以上所有对应点的乘积累加起来，即得y(n)。
3.2 线性卷积的设计流程图
根据线性卷积的分析，可设计流程图如图3.1所示
N
Y
m=M
n=L
图3.1线性卷积流程图
3.3 线性卷积的MATLAB 设计源程序
本次实训的源程序如下：
function y=myconv(x1,x2)
x1=input('x1=');
x2=input('x2=');
N1=length(x1);
n=1:L
y(n)=0
输入序列X1，X2 线性卷积
N1←length （x1）
M ←length （x2）
卷积长度
L=N1+M-1
m=1:M
k=n-m+1
k>=1&
k<=N1
y(n)=y(n)+X2(m)*X1(k
END 卷积结果y （n ）
M=length(x2);
L=N1+M-1;
for(n=1:L)
y(n)=0;
for(m=1:M)
k=n-m+1;
if(k>=1&k<=N1)
y(n)=y(n)+x2(m)*x1(k);
end
end
end
y1=conv(x1,x2);
nx1=0:N1-1;
nx2=0:M-1;
ny=0:L-1;
subplot(231);
stem(nx1,x1,'.k');xlabel('n');ylabel('x1(n)');grid on; title('序列x1')
subplot(232);
stem(nx2,x2,'.k');xlabel('n');ylabel('x2(n)');grid on; title('序列x2')
subplot(233);
stem(ny,y,'.k');xlabel('n');ylabel('y(n)');grid on; title('线性卷积')
subplot(234);
stem(y1');xlabel('n');ylabel('y1');grid on;
title('conv直接卷积')
运行程序，输入序列x1和x2
x1=[-1 2 3 -5]
x2=[6 7 -10 4 12]
线性卷积结果：
[-6 5 42 -33 -69 86 16 -60]
运行结果如图3.2所示：
图3.2线性卷积运行结果
4 MATLAB设计循环卷积
4.1 循环卷积的分析
两个序列的循环卷积可以分三个步骤完成：
(1)初始化：确定循环点数N，测量输入2个序列的长度，长度小于N的在后面补0。
(2)循环右移函数：将序列x(n)循环右移，一共移N次（N为循环卷积的循环次数），最后将每次循环成的新序列组成一个矩阵V。
(3)相乘：将x(n)移位后组成的矩阵V与第二个序列h(n)对应相乘，即得循环卷积结果。
4.2 根据循环卷积分析设计流程图
循环卷积流程图如图4.1所示:
(1)主流程图
循环卷积
(2)循环函数流程图
K=1
图4.1循环卷积流程图 4.3 根据循环卷积流程图设计matlab 源代码
function y=myconv(x1,x2)
x1=input('x1=');
END X2(k)=X2(K-1)
X2(1)=L;
实现循环右移
循环函数 V=circlel A=length （X2） V=zeros(A A) i=1:A j=1:A V(i.j)=X2(j) L=X2(A) K=A:-1:2 当i=A
x2=input('x2=');
N=input('N=');
x1=[x1,zeros(1,N-length(x1))];
x2=[x2,zeros(1,N-length(x2))];
V=circlel(x2)
Z=x1*V;
stem(Z');xlabel('n');ylabel('Z');grid on;
title('循环卷积结果Z')
运行程序，输入序列x1，x2
x1=[-1 2 3 -5]
x2=[6 7 -10 4 12]
循环卷积结果
[10 -55 42 -33 -69 86]
运行图形如图4.2所示
图4.2循环卷积运行结果5 总结
总结本次数字信号处理实训，我受益匪浅。
首先就是方案的确定。由于这个学期我学习了DSP这门课程，课程中我了解到要实现两信号的卷积，可以通过定义来实现，也可以通过DFT来计算线性卷积。对于有限长序列，存在两种形式的卷积：线性卷积与圆周卷积。由于圆周卷积可以采用DFT的快速算法——快速傅里叶变换进行运算，运算速度上有很大的优越性。
其中，设计线性卷积有4个步骤，反折、移位、相乘、求和，而循环卷积则是通过循环移位后得到的矩阵与序列相乘。根据上DSP课上老师讲的求法，画出了思路的流程图，然后根据流程图写出程序，事半功倍。
将结果与直接调用matlab自带的函数比较，结果显示，自己设计的程序是正确的。
通过这次实训，我对线性卷积和循环的定义、原理、以及实现方法都有了深入的认识。同时也对MATLAB软件产生了更加浓厚的兴趣。在做完本次实训要求的线性卷积之后，我运用了同样的思路，设计出了循环卷积，算是对本次实训的一个扩展，同时也提高了自己的编程水平和对matlab的运用。
本次实训，检验了自己的能力，加强了逻辑思维的能力，不过我也发现了自身存在的一些问题，比如在MATLAB软件的应用上还有一些功能不懂如何运用的地方，但是是在老师和同学的帮助下，我认真学习，并且懂得了许多以前不懂的matlab的运用。还有很多matlab的强大功能，希望能在日后好好学习，取得更好的成绩，也希望日后老师能不厌其烦的指导我，给予我更大的支持。
谢辞
本次实训，我非常的感谢严素清老师在实训期间给了我很多的指导与帮助，首先是全面的为我们讲解实训中的一些注意事项，然后在我遇到不懂的程序思路问题上提醒了我如何解决，并且在时间上督促我们按时完成相应的进度，保证了我们实训能够按时完成。还要感谢符强老师，感谢他提出建议让我以C语言的思路去写matlab的程序，并举得了成功，同时要求我们能够在做完自己课题之后做一些相关的扩展，是因为符强老师的监督，才让我有想法去做实训的扩展，并运行成功。最后感谢纪元法老师，在问问题的时候能够耐心的回答我们，并鼓励我们多看书。
最后，再次衷心地感谢所有关心、支持、帮助过我的老师、同学和亲友！
参考文献
[1]戴明桢等编著.TMS320C54X DSP 结构原理及应用. 北京：航空航天大学出版社，第2版，2007；
[2]彭启琮编著.DSP技术的发展与应用.北京：高等教育出版社，2002；
[3]胡广书编著.数字信号处理理论、算法与实现.北京：清华大学出版社，2005；
[4]北京合众达电子技术有限公司编著.SEED-DTK系列实验手册.北京合众达电子技术有限公司出版，2007。
[5] 李真芳，苏涛等.DSP程序开发一MATLAB调试及直接目标代码生成「M].西安:西安电子科技大学出版社，2003.87--163.
[6] 楼顺天，李博函.基于MATLAB的系统分析与设计一信号处理[M].西安:西安电子科技大学出版社，1998.81--88.
[7]王秀芳，关凌涛.基于MatLab与DSP的滤波器的快速设计方法[期刊文章].现代计算机，2008，总第二七七期：97--99
[8]赵秀玲.基于定点DSP的FIR数字滤波器的研究与设计[硕士论文].曲阜师范大学，2007.15--32
[9]罗军辉，罗勇江等.MATLAB在数字信号处理中的应用「M].北京:机械工业出版社，2005.63--128.
数字信号处理实验报告 实验一 离散时间序列卷积和MATLAB 实现 （一）实验目的：学会用MATLAB 对信号与系统分析的方法，理解离散序列卷积和的计算对进行离散信号与系统分析的重要性。 （二）实验原理： 1、离散时间序列f1(k)和f2(k)的卷积和定义： f(k)=f1(k)*f2(k)= ∑∞ -∞ =-? i i k f i f )(2)(1 2、在离散信号与系统分析中有两个与卷积和相关的重要结论： a 、f(k)= ∑∞ -∞ =-?i i k i f )()(δ=f(k)* δ(k)即离散序列可分解为一系列 幅度由f(k)决定的单位序列δ(k)及其平移序列之积。 b 、对线性时不变系统，设其输入序列为f(k)，单位响应为h(k)，其零状 态响应为y(k)，则有：y(k)= ∑ ∞ -∞ =-?i i k h i f )()( 3、上机：conv.m 用来实现两个离散序列的线性卷积。 其调用格式是：y=conv(x,h) 若x 的长度为N ，h 的长度为M ，则y 的长度L=N+M-1。 （三）实验内容 1、题一：令x(n)= { }5,4,3,2,1，h(n)＝{}246326，，，，，，y(n)=x(n)*h(n)，求y(n)。 要求用subplot 和stem 画出x(n),h(n),y(n)与n 的离散序列图形。 源程序： N=5; M=6; L=N+M-1; x=[1,2,3,4,5]; h=[6,2,3,6,4,2]; y=conv(x,h); nx=0:N-1; nh=0:M-1; ny=0:L-1; subplot(131); stem(nx,x,'*k'); xlabel('n'); ylabel('x(n)'); grid on ; subplot(132); stem(nh,h,'*k'); xlabel('n'); ylabel('h(n)'); grid on ; subplot(133); stem(ny,y,'*k'); xlabel('n'); ylabel('y(n)'); grid on ;
循环卷积与线性卷积的实现 1、实验目的：（1）进一步理解并掌握循环卷积与线性卷积的概 念。 （2）理解掌握二者的关系。 三、实验原理 两个序列的N点循环卷积定义为 从定义中可以看到，循环卷积和线性卷积的不同之处在于：两个N 点序列的N点循环卷积的结果仍为N点序列，而他们的线性卷积的结果的长度则为2N-1；循环卷积对序列的移位采取循环移位，而线性卷积对序列采取线性位移。正式这些不同，导致了线性卷积和循环卷积有不同的结果和性质。 循环卷积和线性卷积虽然是不用的概念，但是它们之间有一个有意义的公式联系在一起 其中 也就是说，两个序列的N点循环卷积是他们的线性卷积以N为周期的周期延阔。设序列的长度为,序列的长度为，此时，线性卷积结果的序列的点数为;因此如果循环卷积的点数N小于，那么上述周期性延阔的结果就会产生混叠，从而两种卷积会有不同的结果。而如果N满足的条件，就会有 这就会意味着在时域不会产生混叠。因此，我们得出结论：若通过在序列的末尾填充适当的零值，使得和成为店序列，并作出这两个序列的循环卷积与线性卷积的结果在范围内相同。 根据DFT循环卷积性质中的卷积定理 便可通过两种方法求两个序列的循环卷积：一是直接根据定义计算；二是根据性质先分别求两个序列的N点DFT，并相乘，然后取IDFT以得到循环卷积。第二种方法看起来要经过若干个步骤，但由于求序列的DFT和IDFT都有快速算法，因此它的效率比第一种方法要高得多。 同样，根据线性卷积和循环卷积的关系，可以通过计算循环卷积以求得线性卷积，提高计算序列线性卷积的效率。 4、实验内容 输入程序序列如下： n=[0:1:4];m=[0:1:3]; x1=1+n;x2=4-m; %生成函数x1和x2 L1=length(x1)-1;L2=length(x2)-1; %取函数的长度
实验三 线性卷积与圆周卷积的计算 一、 实验目的 1、掌握计算机的使用方法和常用系统软件及应用软件的使用。 2、通过编程，上机调试程序，进一步增强使用计算机解决问题的能力。 3、掌握线性卷积与循环卷积软件实现的方法，并验证二者之间的关系。 二、实验原理 1、线性卷积： 线性时不变系统（Linear Time-Invariant System, or L. T. I 系统）输入、输出间的关系为：当系统输入序列为)(n x ，系统的单位脉冲响应为)(n h ，输出序列为)(n y ，则系统输出为： ∑∞ -∞ ==-= m n h n x m n h m x n y ) (*)()()()( 或 ∑+∞ -∞ ==-= m n x n h m n x m h n y ) (*)()()()( 上式称为离散卷积或线性卷积。 图1.1示出线性时不变系统的输入、输出关系。 )(n δ→ L. T. I —→)(n h —→ —→ 图1.1 线性时不变系统的输入、输出关系 2、圆周卷积 设两个有限长序列)(1n x 和)(2n x ，均为N 点长 )(1n x )(1k X )(2n x )(2k X 如果)()()(213k X k X k X ?= )(n x 0 L. T. I ∑+∞ -∞ =-= m m n h m x n y ) ()()( D F T D F T
则) ()(~)(~)(10213n R m n x m x n x N N m ??? ???-=∑-= [] ∑---=1 021)()(N m N m n x m x )(1n x =N 10)(2-≤≤N n n x 上式称为圆周卷积。 注：)(~1n x 为)(1n x 序列的周期化序列；)()(~1n R n x N 为)(~1n x 的主值序列。 上机编程计算时，)(3n x 可表示如下： ∑∑-+==-++ -=1 1 2 1 0213) ()()()()(N n m n m m n N x m x m n x m x n x 3、两个有限长序列的线性卷积 序列)(1n x 为L 点长，序列)(2n x 为P 点长，)(3n x 为这两个序列的线性卷积，则)(3n x 为 ∑+∞ -∞ =-= m m n x m x n x ) ()()(2 1 3 且线性卷积)(3n x 的最大长1-+P L ，也就是说当1-≤n 和1-+≥P L n 时 0)(3=n x 。 4、圆周卷积与线性卷积的关系 序列)(1n x 为L 点长，序列)(2n x 为P 点长，若序列)(1n x 和)(2n x 进行N 点的圆周卷积，其结果是否等于该两序列的线性卷积，完全取决于圆周卷积的长度： 当1-+≥P L N 时圆周卷积等于线性卷积，即 )(1n x N )(*)()(212n x n x n x = 当1-+
一 实验目的 1、 学习MATLAB 语言的编程方法及熟悉MATLAB 指令； 2、 深刻理解卷积运算，利用离散卷积实现连续卷积运算； 二 实验内容 1、 完成)(1t f 与)(2t f 两函数的卷积运算 其中：)4()()(), ()(221--==-t u t u t f t u e t f t 在一个图形窗口中，画出)(1t f 、)(2t f 以 及卷积结果。要求每个坐标系有标题、坐标轴名称。 p = ; %定义时间间隔 t= 0:p:10; %定义时间向量 f1=exp(-2*t).*u(t); %将f （t ）表示出来 f2=u(t)-u(t-4); f=conv(f1,f2); subplot(1,2,1); plot(t,f1,t,f2); title('f1=e^-2t*u(t)'' / ''f2=u(t)-u(t-4)'); xlabel('t(sec)'); % 这行代码是给出x 坐标的标签 ylabel('f(t)'); grid on ； subplot(1,2,2); plot(f); title('f=f1*f2'); xlabel('t(sec)'); % 这行代码是给出x 坐标的标签 ylabel('f') grid on
2、 若系统模型为： )(3)()(4)(4)(' ' ' 't f t f t y t y t y +=++ 其中 )()(t u e t f t -= 求零状态响应，画出波形（函数本身画出一幅图，自己再画出一幅输入波形图）。 零状态响应: a= [1 4 4]; %将y （t ）各阶导数的系数放在向量a 中 b= [1 3]; %将f （t ）各阶导数的系数放在向量b 中 sys = tf(b, a); %求系统函数sys td = ; %定义时间间隔 t = 0 : td : 10; %定义时间向量 f = exp(-t).*u(t); %将f （t ）表示出来 y = lsim(sys, f, t); %求系统的零状态响应y plot(t, y); %绘出零状态响应的波形 xlabel('t(sec)'); % 这行代码是给出x 坐标的标签 ylabel('y(t)'); % 这行代码是给出y 坐标的标签 grid on
2、试求下列图片的卷积波形12()()f t f t * 2() f t t 1 -1 1() f t t 1 -1 列出编程步骤： p=0.01; k1=0:p:1; f1=ones(1,length(k1)); k2=-1:p:1; f2= (k2+1).*(k2<0)+(-k2+1).*(k2>=0); [f,k]=sconv(f1,f2,k1,k2,p) function [f,k]=sconv(f1,f2,k1,k2,p) 3、试求下列图片的卷积波形12()()f t f t *
1() f t t 1 0.5- 2() f t t 12 1 p=0.01; k1=-0.5:p:1; f1=ones(1,length(k1)); k2=0:p:2; f2= 0.5*k2; [f,k]=sconv(f1,f2,k1,k2,p) 4、试求下列图片的卷积波形12()()f t f t *
1() f t t 2 2 - 2() f t t 3-2 -3 21 p=0.01; k1=-2:p:2; f1= (k1==-2)+(k1==2); k2=-3:p:3; f2=(k2+3).*(k2<-2)+(-k2-1).*(k2>=-2).*(k2<=-1)+(k2-1).*(k2>=1).*(k2<=2)+(-k2+3).*(k2>2); [f,k]=sconv(f1,f2,k1,k2,p); 5、试求下列图片的卷积波形12()()f t f t *
1() f t t 5 -5 33 -2() f t t 3 -2 -3 21 p=0.01; k1=-10:p:10; f1=(k1>=-5).*(k1<=-3)+(k1>=3).*(k1<=5); k2=-3:p:3; f2=(k2+3).*(k2<-2)+(-k2-1).*(k2>=-2).*(k2<=-1)+(k2-1).*(k2>=1).*(k2<=2)+(-k2+3).*(k2>2); [f,k]=sconv(f1,f2,k1,k2,p);
一、实验目的 1.利用MATLAB 实现循环卷积。 2.比较循环卷积与线性卷积的区别。 二、实验条件 PC 机，MATLAB7.0 三、实验内容 1）循环卷积的定义：两个序列的N 点循环卷积定义为： )0()()()]()([1 0N n m n x m h n x n h N k N N <≤-=?∑-= 利用MATLAB 实现两个序列的循环卷积可以分三个步骤完成： (1)初始化：确定循环点数N ，测量输入2个序列的长度。 (2)循环右移函数：将序列x(n)循环右移，一共移N 次（N 为循环卷积的循环次数），最后将每次循环成的新序列组成一个矩阵V 。 (3)相乘：将x(n)移位后组成的矩阵V 与第二个序列h(n)对应相乘，即得循环卷积结果。程序如下： 程序一： clear;close all ; N=10; x1=[6 15 -6 3 5 7 0 1]; x2=[7 1 2 9 4 3 20 6]; xn1=length(x1); xxn1=0:xn1-1; xn2=length(x2); xxn2=0:xn2-1; subplot(3,1,1); stem(xxn1,x1); subplot(3,1,2); stem(xxn2,x2); x11=fft(x1,N);
x12=fft(x2,N); y11=x11.*x12; y1=ifft(y11,N); subplot(3,1,3); n=0:length(y1)-1; stem(n,y1,'.'); title('循环卷积的结果'); xlabel('n');ylabel('y1(n)'); 运行后所得图形如下： 观察所得的循环卷积结果发现并没有呈现周期性的序列，因此将程序做下列改变。程序二： clear;close all; N=40; x1=[6 15 -6 3 5 7 0 1]; x2=[7 1 2 9 4 3 20 6]; x2=[x2,x2,x2,x2]; xn1=length(x1); xxn1=0:xn1-1; xn2=length(x2); xxn2=0:xn2-1; subplot(3,1,1);
数字信号处理实验报告 黎美琪 201300800610 13通信2 实验一名称：周期卷积、循环卷积和线性卷积比较 一、实验目的 1.理解周期卷积、循环卷积、线性卷积的定义 2.用图像显示上述几种卷积并对其进行直观的比较 二、实验步骤 自行设定： ）它们的线性卷积（）求它们的循环卷积（求它们的周期卷积（两个有限长序列 3)8(2)8)1(20 12,81,1129,1)(,2012,81,0129,8)(21==?? ?≤≤≤≤-≤≤=???≤≤≤≤≤≤-=N N n n n n x n n n n n x 实验代码：（大部分语句为图像显示处理） %循环卷积&线性卷积&周期卷积 %%线性卷积 figure(1); set(gcf, 'color', 'w')%将图的背景设置为白色 x1=[zeros(1,8),[1:4],zeros(1,4),zeros(1,8)];%原有限长序列x1（n ） x2=[zeros(1,8),ones(1,4),zeros(1,4),zeros(1,8)] ; %原有限长序列x2（n ） L=length(x1)%长度L M=length(x2)%长度M y1=conv(x1,x2) %线性卷积 subplot(311) stem(x1); title('有限长序列x1（n ）') axis([1 L 0 5]) subplot(312) stem(x2); title('有限长序列x2（n ）') axis([1 M 0 1]) subplot(313) stem(y1);grid on ; title('线性卷积') axis([1 L+M-1 0 11]) %%循环卷积(圆周卷积) figure(2); set(gcf, 'color', 'w')%将图的背景设置为白色 %x11=[[1:4],zeros(1,4),[1:4],zeros(1,4),[1:4],zeros(1,4)]; x11=[[1:4],zeros(1,2),[1:4],zeros(1,2),[1:4],zeros(1,2),[1:4],zeros(1
求解线性卷积、循环卷积的课上例题 例：}1,1,1{)()(3==n R n x ，20≤≤n ；}1,2,3,4{)()4()(4=-=n R n n h ，3 0≤≤ n ， 求线性卷积)(*)()(n h n x n y =和L 点循环卷积。 线性卷积： )(*)()(n h n x n y =∑ ∞ -∞ =-= m m n h m x )()(∑∞ -∞ =-= m m n x m h )()( 1 y (n )={4, 7, 9, 6, 3, 1}，50≤≤n ，非零数据长度6=4+3-1 （)(n h 长度为N ，)(n x 长度为M ，y (n )长度为1-+M N ） 2）移位加权和法（以n 为变量） ∑=-= 2 1 ) ()()(m m m m n h m x n y ) 2()2()1()1()()0(-+-+=n h x n h x n h x ，其中}1 1, ,1{)(=m x ，20≤≤ m y (n )={4, 7, 9, 6, 3, 1}5 0≤≤n L 点循环卷积：)())(()()(1 n R m n h m x n y L L m L c ∑ -=-=)())(()(1 n R m n x m h L L m L ∑-=-= 1）矩阵方程法（以m 为变量） 先将x (n )、h (n )补零到L 点长；再将其中一个序列周期延拓、翻褶、取主值区间的值、循环右移构成方阵，将另一个序列写成列矩阵，二者做矩阵乘法运算。 以用x (n )构成方阵为例。方阵第一行的构成：x (0)不动，将其它值从后往前倒过来写。下面各行依次对上一行循环右移一位，共L 行。 例：求)()(3n R n x = ，)()4()(4n R n n h -=的 4点循环卷积)()()(1n h n x n y c ④= 。 ??? ? ? ?????= ????????????????????= ????????????????????= 6987011143 2 114322143 3214123411 10 01111011 110 1)(1n y c y c 1(n )={7, 8, 9, 6}，3 0≤≤ n
线性卷积与循环卷积 一、作品目的 通过matlab的强大功能展示线性卷积和循环卷积过程中方方面面的计算和变化，让大家对这两种卷积有一个更加完美的认识。 二、概念简介 卷积是一种典型的乘累加运算。 1.线性卷积 线性卷积是对线性移不变（LSI）系统的输入输出关系的描述，体现系统的特性。 线性卷积的表达式为 一般情况，现实的系统为因果系统，有k<0时，恒有h(k)=0，则 若x(n)是一个N点序列，h(n)是一个m点序列，则卷积的结果y(n)将是L=N+M-1点的序列。 2.循环卷积
设x1(n) 和x2(n) 是两个长度为L、M的有限长序列，它们的N 点循环卷积x3(n) 定义为： 注意：其中N>=Max{L,M}如果其中一个序列(或者两个序列）的长度没有所求N点循环卷积的长度长，那在该序列后面补零，直到长度达到N。 三、设计思路及程序 1. 线性卷积： （1）以输入序列x（n）=[5,4,3,2,1]，脉冲响应h（n）=[1,1,1,1]为列进行演示。 （2）计算输入序列和脉冲响应的长度。 （3）画出补零后的输入序列和脉冲响应 （4）设计一个循环，在循环中实现反转、位移和计算。并画出反转后的图像变化和卷积图像，将每一次移位结果保存为fig图。（5）最后将上一步所生成的所有fig图合起来生成一张gif图 程序展示： clear; clc; close all; (1)(2)
xn=[5,4,3,2,1]; M=length(xn);%输入任意序列并计算长度M hn=[1,1,1,1]; N=length(hn);%输入任意脉冲响应并计算长度N m=[-(M-1):M+N-2];%设置代换变量的范围以便x(m)翻转和移位(3) xm=[zeros(1,M-1),xn,zeros(1,N-1)];%补零以便与m对应绘图 subplot(2,2,1);stem(m,xm,'r.');%%绘输入序列x(m) ylabel('x(m)'); grid on; title('(a)输入序列x(m)'); hm=[zeros(1,M-1),hn,zeros(1,M-1)];%补零以便与m对应绘图 subplot(2,2,2);stem(m,hm,'r.');%绘脉冲响应 ylabel('h(m)'),grid,title('(b)脉冲响应h(m)');%%加标签网格和标题 yn=zeros(1,2*M+N-2);%卷积输出初始化 (4) for n=0:M+N-2;%逐个计算卷积输出 if n==0; xmfy=[fliplr(xn),zeros(1,M+N-2)];%实现翻转 else for k=M:-1:1;
实验五 循环卷积与线性卷积的实现 一、实验目的 （1） 进一步理解并掌握循环卷积与线性卷积的概念； （2） 理解掌握二者的关系。 二、实验原理 两个序列的N 点的循环卷积定义为 1 0[()()]()(())N N N k h n x n h m x n m -=?=-∑ (0) n N ≤< 从定义中可以看到，循环卷积和线性卷积的不同之处在于：两个N 点序列的N 点循环 卷积结果仍为N 点序列，而它们的线性卷积的结果长度则为2N -1；循环卷积对序列的移位采取循环移位，而线性卷积对序列采取线性移位。正是这些不同，导致了线性卷积和循环卷积有不同的结果和性质。 两个序列的N 点循环卷积是它们的线性卷积以N 为周期的周期延拓。设序列()h n 的长度为1N ，序列()x n 的长度为2N ，此时线性卷积结果的序列点数为'121N N N =+-；因此如果循环卷积的点数N 小于121N N +-，那么上述周期性延拓的结果就会产生混叠，从而两种卷积会有不同的结果。而如果满足'N N =的条件，就有循环卷积与线性卷积的结果在0n N ≤<范围内相同。 根据DFT 循环卷积性质中的卷积定理 {[()()]}[()][()]N DFT h n x n DFT x n DFT h n ?=? 因此可以根据性质先分别求两个序列的N 点DFT ，并相乘，然后取IDFT 以得到循环卷积。 三、实验分析 例题：已知有限长序列()x n 与()h n 如下图所示， （1） 画出两者之间的线性卷积 （2） 8点圆卷积。 （3） 5点圆卷积。
解析如下： （1）()x n 与()h n 的线性卷积，由公式可知： ()*()()()m h n x n x m h n m ∞ =-∞ = -∑ ()x m 与()h m -的图形如下： 利用方格平移法： 由方格平移法可知： 当0n =时，()*()0h n x n = 当1n =时，()*()0h n x n = 当2n =时，()*()0*11*11h n x n =+= 当3n =时，()*()2*11*10*13h n x n =++= 当4n =时，()*()3*12*11*10*16h n x n =+++= 当5n =时，()*()3*12*11*10*16h n x n =+++= 当6n =时，()*()3*12*11*16h n x n =++= 当7n =时，()*()3*12*15h n x n =+= 当8n =时，()*()3*13h n x n ==
作业2.用matlab实现离散序列的卷积. N=14; n=[1:N-1]; f=1/16; signal1=5*sin(2*pi*n/8); figure(1); subplot(3,1,1) stem(n,signal1);title( ' 信号1' );xlabel( 'n' );ylabel( axis([0 15 -6 6]) long_M=5; signal2=ones(1,long_M); subplot(3,1,2) stem(signal2);title( ' 信号2' );xlabel( 'n' );ylabel( axis([0 6 -2 2]); grid on; long_N=length(signal1); fk=zeros(0,long_N+long_M+10); if (long_N>long_M) for k=1:1:long_N+long_M-1 a=0; if (k<=long_N) for i=1:1:k if (i>long_M) fk(k)=a; else fk(k)=a+signal2(i)*signal1(k-i+1); a=fk(k); end end else for i=1:1:k if (k-long_N+i>long_M) fk(k)=a; else fk(k)=a+signal2(k-long_N+i)*signal1(long_N-i+1); a=fk(k); end end end end end subplot(3,1,3) stem(fk);title( ' 卷积函数的实现' );xlabel( 'n' );ylabel( 'y(n)' ); 'y(n)' ); 幅度' );
求解线性卷积、循环卷积地课上例题 例：x(n)=2(n) ={1,1,1} , 0_n_2 ; h(n) =(4 — n)R4(n)二{4,3,2,1} , 0_n_3 , 求线性卷积y(n) x(n)*h(n)和L点循环卷积. 八、t t ,卄，oo oO 线性卷积：y(n) =x(n)* h(n) -、、' x(m)h(n -m) - h(m)x(n - m) m = m _：■■； 1)列表法(以m为变量，翻褶、移位、相乘、相加) m -2 -1 O 1 2 3 h(m)43 2 1 x(m) 1 1 1 y(n) n=O x(-m) 1 1 1 4 n=1 x(1 -m) 1 117 n=2 x(2-m) 1 1 1 9 n=3 x(3-m) 1 1 1 6 n=4 x(4-m) 1 1 3 n=5 x(5-m) 1 1 y(n)={4, 7, 9, 6, 3, 1}，O En 乞5,非零数据长度6虫3-1 h(n)长度为N，x(n)长度为M，y(n)长度为N M _1) 2)移位加权和法(以n为变量) m2 y(n) = .：x(m)h(n — m) =x(O)h(n) x(1)h(n —1) x(2)h(n —2)，其中x(m)珂1,1,1}，O Em 乞2 m田 n O 1 2 3 4 5 x(0)h(n) 4 3 2 1 x(1)h(n—1) 4 3 2 1 x(2)h(n-2) 4 3 2 1 y(n) 4 7 9 6 3 1 y(n)={4 7, 9, 6, 3, 1}，O 如冬5 L点循环卷积： LA L A y c(n) x(m)h((n — m))L R L(n)=无h(m)x((n — m))L R_(n) mzS 1)矩阵方程法(以m为变量) 先将x(n)、h(n)补零到L点长；再将其中一个序列周期延拓、翻褶、取主值区间地值、 循环右移构成方阵，将另一个序列写成列矩阵，二者做矩阵乘法运算.文档来源网络及个人整理，勿用作商业用途文档来源网络及个人整理，勿用作商业用途 以用x(n)构成方阵为例方阵第一行地构成：x(O)不动，将其它值从后往前倒过来写.下面各行依次对上一行循环右移一位，共L行.文档来源网络及个人整理，勿用作商业用途文档来源网络及个人整 理，勿用作商业用途 例：求x(n) = R3(n)，h(n) =(4 -n)R(n)地4点循环卷积 _1 y c1( n)二1 1 yd(n) =x(n)④h(n).
本科生毕业论文（设计） 题目：MATLAB实现卷积码编译码 专业代码： 作者姓名： 学号： 单位： 指导教师： 年月日
目录 前言----------------------------------------------------- 1 1. 纠错码基本理论---------------------------------------- 2 1.1纠错码基本理论 ----------------------------------------------- 2 1.1.1纠错码概念 ------------------------------------------------- 2 1.1.2基本原理和性能参数 ----------------------------------------- 2 1.2几种常用的纠错码 --------------------------------------------- 6 2. 卷积码的基本理论-------------------------------------- 8 2.1卷积码介绍 --------------------------------------------------- 8 2.1.1卷积码的差错控制原理----------------------------------- 8 2.2卷积码编码原理 ---------------------------------------------- 10 2.2.1卷积码解析表示法-------------------------------------- 10 2.2.2卷积码图形表示法-------------------------------------- 11 2.3卷积码译码原理---------------------------------------------- 15 2.3.1卷积码三种译码方式------------------------------------ 15 2.3.2V ITERBI译码原理---------------------------------------- 16 3. 卷积码编译码及MATLAB仿真---------------------------- 18 3.1M ATLAB概述-------------------------------------------------- 18 3.1.1M ATLAB的特点------------------------------------------ 19 3.1.2M ATLAB工具箱和内容------------------------------------ 19 3.2卷积码编码及仿真 -------------------------------------------- 20 3.2.1编码程序 ---------------------------------------------- 20 3.3信道传输过程仿真-------------------------------------------- 21 3.4维特比译码程序及仿真 ---------------------------------------- 22 3.4.1维特比译码算法解析------------------------------------ 23 3.4.2V ITERBI译码程序--------------------------------------- 25 3.4.3 VITERBI译码MATLAB仿真----------------------------------- 28 3.4.4信噪比对卷积码译码性能的影响 -------------------------- 28
数字信号处理实验报告 实验项目名称：用MATLAB实现序列的圆周卷积 实验日期： 2012-11-28 实验成绩： 实验评定标准： 一、实验目的 通过本实验，掌握一些基本而且重要的离散时间信号，熟悉基本离散时间信号的MATLAB实现方法。 二、实验器材 PC机，MATLAB软件。 三、实验内容 计算两序列x1（n）={1,2,3,4,5}，x2（n）={1,2,3,4,5,4,3,2,1}的圆周卷积。 四、实验结果 实验代码： clear all close all clc x1=[1,2,3,4,5,6,7,8]; x2=[1,2,3,4,5,6,7,8,7,6,5,4,3,2, 1]; N=length(x1)+length(x2); n=0:N-1 n1=0:N-2; n2=0:N-3; y1=circonvt(x1,x2,N); y2=circonvt(x1,x2,N-1);
y3=circonvt(x1,x2,N-2); x1=[x1 zeros(1,N-length(x1))]; x2=[x2 zeros(1,N-length(x2))]; Xf1=dft(x1,N); Xf2=dft(x2,N); Xf=Xf1.*Xf2; x=idft(Xf,N); x=real(x); subplot(2,3,1) stem(n,x1); title('x1(n)'); subplot(2,3,2) stem(n,x2); title('x2(n)') subplot(2,3,3); stem(n,x); title('x(n)=IDFT(X(k))'); subplot(2,3,4); stem(n,y1); title('N点圆周卷积'); subplot(2,3,5); stem(n1,y2); title('N-1点圆周卷积'); subplot(2,3,6); stem(n2,y3); title('N-2点圆周卷积'); function y=circonvt(x1,x2,N) if length(x1)>N error('N 必须 >= x1的长度') end if length(x2)>N error('N 必须 >= x2的长度') end x1=[x1 zeros(1,N-length(x1))]; x2=[x2 zeros(1,N-length(x2))]; m=[0:1:N-1]; x2=x2(mod(-m,N)+1); H=zeros(N,N); for n=1:1:N H(n,:)=cirshift(x2,n-1,N); end y=x1*H; function y=cirshift(x,m,N) if length(x)>N error('N 必须 >= x的长度') end x=[x zeros(1,N-length(x))]; n=[0:1:N-1]; n=mod(n-m,N); y=x(n+1); function [Xk]=dft(xn,N) n=[0:1:N-1];k=[0:1:N-1]; WN=exp(-j*2*pi/N); nk=n'*k; WNnk=WN.^nk; Xk= xn * WNnk; function [xn]=idft(Xk,N) %计算逆离散傅里叶变换 %[xn]=idft(Xk,N) n=[0:1:N-1];
北京邮电大学 实验报告 实验名称：用MATLAB实现线性卷积运算学院：信息与通信工程学院 班级： 姓名： 学号： 日期：2012年5月
一、实验原理 1、算法产生背景 DFT 是连续傅里叶变换在时域和频域上都离散的形式，将时域信号的采样变换为在离散时间傅里叶变换频域的采样。在形式上，变换两端（时域和频域上）的序列是有限长的。DFT 具备明确且合理的物理含义，适合应用于数字系统，同时可以方便地由计算机进行运算。对于线性非移变离散系统，可由线性卷积表示时域输入输出关系，即 () ()*() ynxnhn 通常采用循环卷积降低运算量，但实际中往往无法满足对信号处理的实时性要求。因此，产生了重叠相加法和重叠保留法两种典型的算法，用以快速计算线性卷积，成为了DFT 的一个重要应用。 2、算法基本思想 1）重叠相加法 重叠相加法是将待过滤的信号分割成长为N 的若干段，如图1 所示，每一段都可以和有限时宽单位取样响应作卷积，再将过滤后的各段重叠相加。 具体算法实现原理如图2 所示，建立缓存序列，每次输入N 点序列，通过计算x(n) 和h(n) 的循环卷积实现线性卷积运算，将缓存的M-1 点序列和卷积结果相加，并输出前N 点作为计算结果，同时缓存后M-1 点，如此循环，直至所有分段计算完毕，则输出序列y(n)为最终计算结果。
2）重叠保留法 重叠保留法相当于将x l(n)和h(n)作循环卷积，然后找出循环卷积中相当于线性卷积的部分。在这种情况下，将序列y(n)分为长为N的若干段(如图3所示)，每个输入段和前一段有M-1个重叠点。此时只需要将发生重叠的前M-1个点舍去，保留重叠的部分并输出，则可获得序列y(n)，算法如图4所示。
上海电力学院 信号与系统实验报告 题目：循环卷积与线性卷积的实现 班级：2011023 专业：电气工程及其自动化 学号：20111257 2013年12月17日
循环卷积与线性卷积的实现 一、实验目的 1、进一步理解并掌握循环卷积与线性卷积的概念； 2、理解掌握二者的关系； 二、实验原理 两个序列的N 点循环卷积的定义为： ()()[]()()()N N k N m n x m h n x n h -=?∑-=10() N N <≤0从定义中可以看到，循环卷积和线性卷积的不同之处在于：两个N 点序列的N 点循环卷积的结果仍为N 点序列，而它们的线性卷积的结果的长度则为2N-1；循环卷积对序列的位移采取循环位移，而线性卷积对序列采取线性位移。正是这些不同，导致了线性卷积和循环卷积有不同的结果和性质。 循环卷积和线性卷积虽然是不同的概念，但它们之间由一个有意义的公式联系在一起：()()()[]()()n G rN n y n x n h n y N r N ??? ??-'=?=∑∞-∞=其中()()()n x n h n y *='。 也就是说，两个序列的N 点循环卷积是他们的线性卷积以N 为周期延拓。设序列()n h 的长度为N1，序列()n x 的长度为N2，此时，线性卷积结果的序列的点数为121-+='N N N ;因此如果循环卷积的点数N 小于121-+N N ,那么上述周期性延拓的结果就会产生混叠，从而两种卷积会有不同的结果。而如果N 满足N N '=的条件，就会有()()n y n y '=() N n <≤0这就意味着在时域不会产生混叠。因此，我们得出结论：若通过在序列的末尾填充适当的零值，使得()n x 和()n h 成为121-+N N 点序列，并作出这两个序列的121-+N N 循环卷积，那么循环卷积与线性卷积的结果在N n <≤0范围内相同。 根据DFT 循环卷积性质中的卷积定理
对图像进行旋转，使用最近邻插值法，双线性插值，三次卷积插值三种方法进行插值。 源码： clc;clear all;close all; Img=imread('test1.bmp'); Img=double(Img); [h w]=size(Img); alpha=pi/6; %逆时针旋转的角度 wnew=w*cos(alpha)+h*sin(alpha); %新图像的宽width hnew=w*sin(alpha)+h*cos(alpha); %新图像的高heighth wnew=ceil(wnew); %取整 hnew=ceil(hnew); u0=w*sin(alpha); %平移量 T=[cos(alpha),sin(alpha);-sin(alpha),cos(alpha)]; %变换矩阵 Imgnew1=zeros(hnew,wnew); Imgnew2=zeros(hnew,wnew); Imgnew3=zeros(hnew,wnew); for u=1:hnew %u和v是新图像坐标，变换到原图像坐标x和y中。 for v=1:wnew
tem=T*([u;v]-[u0;0]); x=tem(1); y=tem(2); if x>=1 & x<=h & y>=1 & y<=w %若变换出的x和y在原图像范围内 x_low=floor(x); x_up=ceil(x); y_low=floor(y); y_up=ceil(y); if (x-x_low)<=(x_up-x) %采用最近点法，选取距离最近点的像素赋给新图像x=x_low; else x=x_up; end if (y-y_low)<=(y_up-y) y=y_low; else y=y_up; end p1=Img(x_low,y_low); %双线性插值，p1到p4是（x,y）周围的四个点p2=Img(x_up,y_low); p3=Img(x_low,y_low); p4=Img(x_up,y_up); s=x-x_low; t=y-y_low; Imgnew1(u,v)=Img(x,y); Imgnew2(u,v)=(1-s)*(1-t)*p1+(1-s)*t*p3+(1-t)*s*p2+s*t*p4; end if x>=2 & x<=h-2 & y>=2 & y<=w-2 %若变换出的x和y在原图像范围内x_1=floor(x)-1; x_2=floor(x); x_3=floor(x)+1; x_4=floor(x)+2; y_1=floor(y)-1; y_2=floor(y); y_3=floor(y)+1; y_4=floor(y)+2; A=[sw(1+x-x_2),sw(x-x_2),sw(1-(x-x_2)),sw(2-(x-x_2))]; C=[sw(1+y-y_2),sw(y-y_2),sw(1-(y-y_2)),sw(2-(y-y_2))]; B=[ Img(x_1,y_1),Img(x_1,y_2),Img(x_1,y_3),Img(x_1,y_4); Img(x_2,y_1),Img(x_2,y_2),Img(x_2,y_3),Img(x_2,y_4); Img(x_3,y_1),Img(x_3,y_2),Img(x_3,y_3),Img(x_3,y_4); Img(x_4,y_1),Img(x_4,y_2),Img(x_4,y_3),Img(x_4,y_4)]; Imgnew3(u,v)=A*B*C'; end
大连理工大学实验报告 学院（系）：电信专业：生物医学工程班级：**1101 姓名：**** 学号：201181*** 组：___ 实验时间：实验室：实验台： 指导教师签字：成绩： 实验一线性卷积和圆周卷积 一、实验程序 1.给出序列x=[3,11,7,0,-1,4,2]，h=[2,3,0,-5,2,1]；用两种方法求两者的线性卷积y，对比结果。 a)直接调用matlab内部函数conv来计算。 b)根据线性卷积的步骤计算。 clear; clc; x=[3 11 7 0 -1 4 2];n1=0:1:length(x)-1; h=[2 3 0 -5 2 1];n2=0:1:length(h)-1; y=conv(x,h);n3=0:1:length(x)+length(h)-2; figure(1); subplot(121);stem(n1,x,'.');axis([0 6 -15 15]);title('x(n)序列');grid; subplot(122);stem(n2,h,'.');axis([0 5 -10 10]);title('h(n)序列');grid; figure(2); subplot(121);stem(n3,y,'.');axis([0 12 -60 60]);title('调用conv函数的线性卷积后序列');grid; N=length(x);M=length(h);L=N+M-1; for(n=1:L) y1(n)=0; for(m=1:M)
k=n-m+1; if(k>=1&k<=N) y1(n)=y1(n)+h(m)*x(k); end; end; end; subplot(122);stem(n3,y1,'*');axis([0 12 -60 60]);title('按步骤计算的线性卷积后序列');grid; 结果 2.卷积后结果y=[ 6 , 31 , 47 , 6 , -51 , -5 , 41 , 18 , -22 , -3 , 8 , 2]。 将函数conv 稍加扩展为函数conv_m ，它可以对任意基底的序列求卷积。格式如下： function [y,ny]=conv_m(x,nx,h,nh) x(n)序列 h(n)序 列 调用conv 函数的线性卷积后序列 按步骤计算的线性卷积后序列