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函数极限连续

一. 填空题

1．设, 则a = ________.

解. 可得=, 所以 a = 2.

2. =________. 解.

所以<<

所以=

3. 已知函数, 则f[f(x)] _______. 解. f[f(x)] = 1.

4. =_______.

解.

5. =______.

解.

6. 已知则A = ______, k = _______.

解.

所以 k－1=1990, k = 1991;

二. 单项选择题

1. 设f(x)和x)在(－内有定义, f(x)为连续函数, 且f(x x)有间断点, 则

f(x)]必有间断点x)]2必有间断点 (c) f x)]必有间断点 (d) 必有间断点

解. (a) 反例, f(x) = 1, 则f(x)]=1

(b) 反例x)]2 = 1

(d) 反设 g(x) = 在(－内连续, 则x) = g(x)f(x) 在(－内连续, 矛盾. 所以(d)是答案.

2. 设函数, 则f(x)是

(a) 偶函数 (b) 无界函数 (c) 周期函数 (d) 单调函数

解. (b)是答案.

3. 极限的值是

(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 不存在

解.

=, 所以(b)为答案.

4. 设, 则a的值为

(a) 1 (b) 2 (c) (d) 均不对

解. 8 = =

=, , 所以(c)为答案.

5. 设, 则的数值为

(d) 均不对

解. (c)为答案.

6. 设, 则当时

(a) f(x)是x的等价无穷小 (b) f(x)是x的同阶但非等价无穷小

解. =, 所以(b)为答案.

7. 设, 则a的值为

(a) －1 (b) 1 (c) 2 (d) 3

解. , 1 + a = 0, a = －1, 所以(a)为答案.

8. 设, 则必有

(a) b = 4d (b) b =－4d (c) a = 4c (d) a =－4c

解. 2 ==, 所以a =－4c, 所以(d)为答案.

1. 求下列极限

(1)

解.

(2)

解. 令

(3)

解.

==.

2. 求下列极限

(1)

解. 当时, , . 按照等价无穷小代

换

(2)

解. 方法1：

方法2：

3. 求下列极限

(1)

解.

(2)

解.

(3) , 其中a > 0, b > 0

解.

4. 求下列函数的间断点并判别类型

(1)

解. ,

所以x = 0为第一类间断点.

(2)

解.

显然, 所以x = 1为第一类间断点;

, 所以x = －1为第一类间断点.

(3)

解. f(+0) =－sin1, f(－0) = 0. 所以x = 0为第一类跳跃间断点;

不存在. 所以x = 1为第二类间断点;

不存在, 而,所以x = 0为第一类可去间断点;

, (k = 1, 2, …) 所以x =为第二类无穷间断点.

5. 设, 且x = 0 是f(x)的可去间断点. 求解. x = 0 是f(x)的可去间断点, 要求

存在. 所以

. 所以

0 =

所以

上式极限存在, 必须.

6. 设求a, b的值.

解. 上式极限存在, 必须a =(否则极限一定为无穷). 所以

=. 所以.

7. 讨论函数在x = 0处的连续性.

解. 当时

不存在, 所以x = 0为第二类间断点;

当时

, 所以时,在 x = 0连续, 时, x = 0为第一类跳跃间断点.

8. 设f(x)在[a, b]上连续, 且a < x 1 < x 2 < … < x n < b, c i (i = 1, 2, 3, …, n)为任意正数, 则在(a, b)内

至少存在一个

使

证明: 令M = , m = . 不妨假定

所以

所以存在

< b), 使得

9. 设f(x)在[a, b]上连续, 且f(a) < a, f(b) > b, 试证在(a, b)内至少存在一个使

证明: 假设F(x) = f(x)－x, 则F(a) = f(a)－a < 0, F(b) = f(b)－b > 0 于是由介值定理在(a, b)内至少存在一个使

10. 设f(x)在[0, 1]上连续, 且试证在[0, 1]内至少存在一个使

证明: (反证法) 反设

. 所以恒大于0或恒小于0. 不妨设

. 令

, 则

因此

. 于是

, 矛盾. 所以在[0, 1]内至少存在一个使

11. 设f(x), g(x)在[a, b]上连续, 且f(a) < g(a), f(b) > g(b), 试证在(a, b)内至少存在一个

使

证明: 假设F(x) = f(x)－g(x), 则F(a) = f(a)－g(a) < 0, F(b) = f(b)－g(b) > 0 于是由介值定理在(a, b)内至少存在一个

使

12. 证明方程x 5

－3x －2 = 0在(1, 2)内至少有一个实根. 证明: 令F(x) = x 5

－3x －2, 则F(1) =－4 < 0, F(2) = 24 > 0 所以在(1, 2)内至少有一个

满足

13. 设f(x)在x = 0的某领域内二阶可导, 且 , 求及 .

解. . 所以

. f(x)在x = 0的某领域内二阶可导, 所以在x = 0连续. 所以f(0) = －3. 因为

, 所以, 所以

由, 将f(x)泰勒展开, 得

, 所以, 于是

(本题为2005年教材中的习题, 2006年教材中没有选入. 笔者认为该题很好, 故在题解中加入此题)

倒数与微分

一. 填空题(理工类)

1. , 则= _______.

解. , 假设, 则

, 所以

2. 设, 则______.

解. ,

3. 设函数y = y(x)由方程确定, 则______. 解. , 所以

4. 已知f(－x) =－f(x), 且, 则______.

解. 由f(－x) =－f(x)得, 所以

所以

5. 设f(x)可导, 则_______.

解.

=+=

6. 设, 则k = ________.

解. , 所以

所以

7. 已知, 则_______.

解. , 所以. 令x2 = 2, 所以

8. 设f为可导函数, , 则_______.

解.

9. 设y = f(x)由方程所确定, 则曲线y = f(x)在点(0, 1)处的法线方程为_______.

解. 上式二边求导. 所以切线斜率

. 法线斜率为, 法线方程为

, 即 x－2y + 2 = 0.

二. 单项选择题(理工类)

1. 设f(x)可导, F(x) = f(x)(1+|sin x|), 则f(0) = 0是F(x)在x = 0处可导的

(a) 充分必要条件 (b) 充分但非必要条件 (c) 必要但非充分条件

(d) 既非充分又非必要条件

解. 必要性:

存在, 所以=, 于是

所以, 2f(0) = 0, f(0) = 0

充分性:

已知f(0) = 0, 所以

===

所以存在. (a)是答案.

2. 已知函数f(x)具有任意阶导数, 且, 则当n为大于2的正整数时, f(x)的n阶导数是

(a) (b) (c) (d)

解. , 假设=, 所以

=, 按数学归纳法

=对一切正整数成立. (a)是答案.

3. 设函数对任意x均满足f(1 + x) = af(x), 且b, 其中a, b为非零常数, 则

(a) f(x)在x = 1处不可导 (b) f(x)在x = 1处可导, 且 a

解. 在f(1 + x) = af(x)中代入

=, 所以. (d)是答案

注: 因为没有假设可导, 不能对于二边求导.

4. 设, 则使存在的最高阶导数n为

(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3

解. .

所以n = 2, (c)是答案.

5. 设函数y = f(x)在点x0处可导, 当自变量x由x0增加到x0时, 记为f(x)的增量, dy为f(x)的微分, 等于

(a) －1 (b) 0 (c) 1

解. 由微分定义o所以. (b)是答案.

6. 设在x = 0处可导, 则

(a) a = 1, b = 0 (b) a = 0, b为任意常数 (c) a = 0, b = 0 (d) a = 1, b为任意常数解. 在x = 0处可导一定在x = 0处连续, 所以

, 所以b = 0.

, , 所以 0 = a. (c)是答案.

7. 设f(0) = 0, 则f(x)在x = 0处可导的充要条件为

(a) h)存在. (b) 存在.

解. 由存在可推出(a)中的极限值为, (b)中的极限值为, (d)中的极限值为, 而(c)中的极限为:

;

反之(a) 及(c)中的极限值存在, 不一定存在, 举反例如下: y = |x|, 不存在, (a)、(c)二表达

式的极限都存在排除(a)及(c). (d)中的极限存在, 不一定存在, 举反例如下:

, 排除(d). 所以(b)是答案.

由(b)推出存在证明如下:

所以存在.

8. 设函数f(x)在(－上可导, 则

(a) 当时, 必有

(b) 当时, 必有

(d) 当时, 必有

解. (a)不正确. 反例如下: y = x; (b)不正确. 反例如下: ; (c)不正确. 反例如下: ; (d)

是答案. 证明如下: 因为, 所以对于充分大的x, 单增. 如果, 则证

明结束, 否则单增有上界, 则存在(k为有限数). 任取x, 在区间[x, x + 1]上用拉格朗日定理

令于是矛盾. 所以.

9. 设函数f(x)在x = a处可导, 则函数|f(x)|在x = a处不可导的充分条件是

(a) f(a) = 0且. (b) f(a) = 0且.

解. (a) 反例f(x) = 0, 取a = 0. 排除(a); (c) 反例: , 取a = 0. f(0) = 1 > 0,

, |f(x)| = f(x), 在x = 0可导. 排除(c); (d) 反例: , 取a = 0. 排

除(d); 所以(b)是答案. 对于(b)证明如下: 在(b)的条件下证明不存在.

不妨假设. . 所以存在当－时

. 所以当x > a时, f(x) > 0. 于是. 当x < a时f(x)

< 0. 于是. 所以不存在.

三. 计算题(理工类)

解.

2. 已知f(u)可导,

解.

3. 设y为x的函数是由方程确定的, 求.

解.

, 所以

4. 已知, 求.

解. ,

5. 设, 求

解. ,

6. 设函数f(x)二阶可导, , 且, 求, .

解. , 所以=3.

所以

7. 设曲线x = x(t), y = y(t)由方程组确定. 求该曲线在t = 1处的曲率.

解. . 所以

所以.

所以. 在t = 1的曲率为

四. 已知, 其中g(x)有二阶连续导数, 且g(0) = 1

(1) 确定a 的值, 使f(x)在x = 0点连续; (2) 求.

解. (1) f(x)在x = 0点连续, 所以

所以, 所以g(0) = cos 0 = 1

(这说明条件g(0) = 1是多余的). 所以

(2) 方法1:

所以

方法2:

五. 已知当x时, f(x)有定义且二阶可导, 问a, b, c为何值时

二阶可导.

解. F(x)连续, 所以, 所以c = f(－0) = f(0);

因为F(x)二阶可导, 所以连续, 所以b = , 且

存在, 所以, 所以

, 所以

六. 已知.

解.

, k = 0, 1, 2, …

七. 设, 求.

解. 使用莱布尼兹高阶导数公式

所以

一元函数积分学

一. 求下列不定积分:

高等数学函数极限与连续习题及答案

1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同．错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴()12 ++=x x x f 与()11 3--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与 ()x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大．错误根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在．错误如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ．错误如：数列()n n a 1-=，1)1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）．正确根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ．正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小．正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ．错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ．错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点．错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y =的第一类间断点． 11、函数()x f x 1 =必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值．

第一章函数、极限与连续

第一章函数、极限与连续 (一) 1．区间[)+∞,a 表示不等式( ) A ．+∞<

01函数极限与连续

1. ..sin 12lim 1.4/1/0 +++→x x e e x x x 求=+∞-∞+=-∞→,0)(lim ,),()(2.a x f e a x x f x bx 、则常数且内连续在设函数00数一考研题 ???>≤=1(B)0(A)). ( )]}([{, 1, 0, 1, 1)(3.x f f f x x x f 等于则设01数二考研题 b 满足00数二考研题 ). ( <≥>≤>><<0,0)(0,0)(0,0)(0,0)(b a D b a C b a B b a A [ ] ;; . ;;; 考研真题一 . ,}{),,2,1()3(,307.). (,00,,0,2arcsin 1)(6.112tan 并求此极限的极限存证明数列设则处连续在设函数n n n n x x x n x x x x a x x ae x x e x f =-=<<==?? ?? ???≤>-=+02数二考研题 02数二考研题 8., lim ,1lim ,0lim }{},{},{9.则必有均为非负数列设n n n n n n n n n c b a c b a ∞ →∞ →∞ →===且,03数一考研题 )(. (D)(C)(B)(A);成立对任意n n n b a <;成立对任意n n n c b <; lim 不存在极限n n n c a ∞ →. lim 不存在极限n n n c b ∞ →. _____sin 1)1(,04 12=-- →a x x ax x 是等价无穷小与时若则,03数二考研题 . 4)(3)(2)(1)(,)1(sin ,sin )1ln )cos 1(,05.2 13lim 4.221 2等于则正整数高阶的无穷小是比而高阶的无穷小是比时设当x n n x D C B A n e x x x x x x x x x x x -+-→=-++--→(01数二考研题 01数二考研题 ; ; ; 在__________.∞>≤>≤.1 , 11 ,0(D)1 ,01,1(C)x x ???x x ?? ?;

函数的极限及函数的连续性典型例题

函数的极限及函数的连续性典型例题一、重点难点分析： ① 此定理非常重要，利用它证明函数是否存在极限。 ② 要掌握常见的几种函数式变形求极限。 ③ 函数 f(x)在 x=x 0 处连续的充要条件是在 x=x 0 处左右连续。 ④ 计算函数极限的方法，若在 x=x 0 处连续，则 ⑤ 若函数在 [a,b] 上连续，则它在 [a,b] 上有最大值，最小值。二、典型例题例 1 ．求下列极限解：由可知 x 2+mx+2 含有 x+2 这个因式， ∴ x=-2 是方程 x 2+mx+2=0 的根， ∴ m=3 代入求得 n=-1。求 m,n 。 ① ④ ④ ③ ③ ② 解析：① 例 2．已知

的连续性。解析：函数的定义域为(-∞,+∞)，由初等函数的连续性知，在非分界点处函数是连续的，从而 f(x)在点 x=-1 处不连续。 ∴ f(x) 在 (- ∞,-1),(- 1,+∞) 上连续， x=-1 为函数的不连续点。 , (a,b 为常数 ) 。试讨论a,b 为何值时，f(x)在 x=0 处连续。例 3 ．讨论函数例 4 ．已知函数， ∴ f(x)在 x=1 处连续。解析： ∴ a=1, b=0 。例 5 ．求下列函数极限 ① ② 解析：① ②

要使存在，只需 ∴ 2k=1 ，故时，存在。例7．求函数在 x=-1 处左右极限，并说明在 x=-1 处是否有极限？，∴ f(x)在 x=-1处极限不存在。三、训练题： 2．的值是 3. 已知，则 = ，2a+b=0，求 a 与 b 的值。，求 a 的值。 5．已知参考答案：1. 3 2. 3. 4. a=2, b=-4 5. a=0 例 6 ．设，问常数k 为何值时，有存在？解析：∵ 4．已知解析：由 1．已知

大一高数第一章--函数、极限与连续

第一章函数、极限与连续由于社会和科学发展的需要，到了17世纪，对物体运动的研究成为自然科学的中心问题.与之相适应，数学在经历了两千多年的发展之后进入了一个被称为“高等数学时期”的新时代，这一时代集中的特点是超越了希腊数学传统的观点，认识到“数”的研究比“形”更重要，以积极的态度开展对“无限”的研究，由常量数学发展为变量数学，微积分的创立更是这一时期最突出的成就之一.微积分研究的基本对象是定义在实数集上的函数. 极限是研究函数的一种基本方法，而连续性则是函数的一种重要属性.因此，本章内容是整个微积分学的基础.本章将简要地介绍高等数学的一些基本概念，其中重点介绍极限的概念、性质和运算性质，以及与极限概念密切相关的，并且在微积分运算中起重要作用的无穷小量的概念和性质.此外，还给出了两个极其重要的极限.随后，运用极限的概念引入函数的连续性概念，它是客观世界中广泛存在的连续变化这一现象的数学描述. 第一节变量与函数一、变量及其变化范围的常用表示法在自然现象或工程技术中，常常会遇到各种各样的量.有一种量，在考察过程中是不断变化的，可以取得各种不同的数值，我们把这一类量叫做变量；另一类量在考察过程中保持不变，它取同样的数值，我们把这一类量叫做常量.变量的变化有跳跃性的，如自然数由小到大变化、数列的变化等，而更多的则是在某个范围内变化，即该变量的取值可以是某个范围内的任何一个数.变量取值范围常用区间来表示.满足不等式a x b ≤≤的实数的全体组成的集合叫做闭区间，记为,a b ????，即 ,{|}a b x a x b =≤≤????；满足不等式a x b <<的实数的全体组成的集合叫做开区间，记为(,)a b ，即 (,){|}a b x a x b =<<；满足不等式a x b <≤(或a x b ≤<)的实数的全体组成的集合叫做左(右)开右(左)闭区间，记为 (,a b ?? (或),a b ??)，即 (,{|}a b x a x b =<≤?? (或),{|}a b x a x b =≤

函数极限与连续

函数 1.1.1 函数及其性质 1.函数的概念引例汽车以60千米/小时的速度均速行驶，那么行驶里程与时间有什么关系设行驶路程为s 千米，行驶时间为t 小时，依题意可得()600s t t =<<+∞.变量s 和t 的这种对应关系，即是函数概念的实质. 定义设x 和y 是两个变量，D 是一个非空实数集，如果对于数集D 中的每一个数x 按照一定的对应法则f 都有唯一确定的实数y 与之对应，则称f 是定义在数集D 上的函数，记作)(x f y =，其中D 称为函数的定义域，x 称为自变量，y 称为因变量．如果对于确定的0x D ∈，通过对应法则f ，有唯一确定的实数0y 与之对应，则称0y 为)(x f y =在0x 处的函数值，记作00()y f x =.集合{} (),Y y y f x x D ==∈称为函数的值域. 2.函数的表示法（1）解析法：用一个等式来表示两个变量的函数关系.如一次函数y kx b =+ （,k b 为常数，且0k ≠）. （2）列表法：列出表格来表示两个变量的函数关系.如三角函数表. （3）图像法：用函数图像表示两个变量之间的函数关系.如二次函数图像. 3.函数的两个要素函数的对应法则和定义域称为函数的两个要素.函数的对应法则通常由函数的解析式给出，函数的值域由定义域和对应法则确定.函数的定义域是使函数表达式有意义的自变量取值的全体.在实际问题中，函数的定义域要由问题的实际意义确定.在求函数的定义域时，应注意：分式函数的分母不能为零；偶次根式的被开方式必须大于等于零；对数函数的真数必须大于零；反正弦函数与反余弦函数的定义域为[]1,1-等，如果函数表达式中含有上述几种函数，则应取各部分定义域的交集. 两个函数只有当定义域和对应法则都相同时，才是同一个函数. 例如函数 y =y x =是相同的函数；而函数()2lg f x x =与()2lg f x x =因定义域不

函数极限与连续知识梳理

知识梳理函数极限内容网络图内容提要与释疑解难内容提要与释疑解难

一、函数极限的概念 1. 。 2. 把1中“”换成“”。 3．把1中“”换成“”。定理且 4．设在的某空心邻域内有定义，若存在一个常数A，，都有。 5．设在的某左半邻域内有定义，若存在一个常数A，时，都有。此时也可用记号或表示左极限值A，因此可写成 6. 设在的某右半邻域内有定义，若存在一个常数，当时，都有。此时也可用或表示右极限。因此可写成。定理且该定理是求分界点两侧表达式不同的分段函数在该分界点极限是否存在的方法，而如果在的左右极限存在且相等，则在该点的极限存在，否则不存在。 7．时，都有。此时称时，是无穷大量。而，只要把公式中“”改成“”，，只要把上式中“”改成“”。 8.。当时，都有。

读者同理可给出定义。注：（常数）与的区别，前者是表明函数极限存在，后者指函数极限不存在，但还是有个趋于无穷大的趋势。因此，给它一个记号，但还是属于极限不存在之列，以后，我们说函数极限存在，指的是函数极限值是个常数。 9．。称当是无穷小量。这里的可以是常数，也可以是。定理。其中。 10．若时，都有，称时是有界量。二、无穷小量阶的比较，无穷小量与无穷大量关系设，（这里可以是常数，也可以是，以后我们不指出都是指的这个意思）（1）若，称当时是的高阶无穷小量，记作。（2）若，称时是的同价无穷小量。（3）若，称时是的等价无穷小量，记作，此时（2）式也可记作。（4）若，称时是的k阶无穷小量。由等价无穷量在求极限过程中起到非常重要的作用，因此，引入若。记作，如果均是无穷小量，称为等价无穷小量；如果均是无穷大量，称为等价无穷大量；如

函数、极限与连续复习题参考答案Word版

函数、极限与连续复习题一.填空题: 1. 函数1 1ln +-=x x y 的奇偶性是奇函数. 2. 设1 2)11(-=-x x x f ，则=)(x f 1 1x -. 3. 函数x e y -=1的复合过程是,1u y e u x ==-. 4. 函数y =sin ,12y u u v x ===+. 5. 设)(x f 的定义域是[0,1] , 则函数y=)(ln x f 的定义域[1,]e 6. =∞→x x x sin lim 0 . 7. =-∞→n n n )1 1(lim 1e - 8. 5 432lim 42-+-∞→n n n n =0 9. 设43 2lim 23=-+-→x k x x x ，则k =___-3_. 10. 设b ax x x x f ++-+= 1 3 4)(2，0)(lim =∞→x f x ，则=a __-4_，=b __-4. 11. 设0→x 时，b ax 与x x sin tan -为等价无穷小，则=a __1 2 __，=b __3__. 12. 函数3 21 2 --=x x y 的间断点有x=-1,x=3 连续区间是(,1),(1,3),(3,)-∞--+∞. 二、选择题 1、ln(1) y x =+ A ） A 、（—1，+∞） B 、]1,1(- C 、（—1，1） D 、（1，+∞） 2、当0→x 时，下列变量为无穷小量的是（ D ） A 、x 1sin B 、x 1 cos C 、x e 1 D 、) 1ln(2x +

3、A x f x x =→)(lim 0 （A 为常数），则)(x f 在0x 处（ D ） A 、一定有定义 B 、一定无定义 C 、有定义且A x f =)(0 D 、不一定有定义 4、设???≥+<=0,20,)(2x a x x e x f x 当时；当在点0=x 连续，则a 的值等于（D ） A 、0 B 、1 C 、—1 D 、2 1 5、函数)(x f = 3 2 -x ，则x=3是函数)(x f 的（D ） A 、连续点 B 、可去间断点 C 、跳跃间断点 D 、无穷间断点 6、)(x f 在0x 处左、右极限存在是)(x f 在0x 处连续的（ B ） A 、充分条件 B 、必要条件 C 、充要条件 D 、以上都不是三.求下列极限: 1. )1(lim 2x x x x -++∞ → 解：)1(lim 2 x x x x -++∞ → =lim x lim x = lim x =1 2 2. 3 tan sin lim x x x x →- 解：30tan sin lim x x x x →-=32 00 sin (1cos )sin 11cos lim lim()cos cos x x x x x x x x x x x →→--= =20 1cos lim x x x →-=2 202lim x x x →=12 3. x x x x ?? ? ??+-∞→11lim 解：x x x x ??? ??+-∞→11lim =11lim 11x x x x →∞??- ? ? ? +? ?=1e e -=2e - 4. x x x x x 3sin 2sin lim 0-+→

大学高等数学函数极限和连续

第一章函数、极限和连续 §1.1 函数一、主要内容㈠函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: ?? ?∈∈=21)()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y) y=f -1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的；则它必定存在反函数： y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X 且也是严格单调增加(或减少)的。㈡函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2), 则称f(x)在D 内单调增加( )；若f(x 1)≥f(x 2), 则称f(x)在D 内单调减少( )；若f(x 1)＜f(x 2),

则称f(x)在D 内严格单调增加( )；若f(x 1)＞f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢基本初等函数 1.常数函数： y=c ， (c 为常数) 2.幂函数： y=x n , (n 为实数) 3.指数函数： y=a x , (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣复合函数和初等函数 1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x) y=f[φ(x)] , x ∈X 2.初等函数:

函数、极限、连续重要概念公式定理

一、函数、极限、连续重要概念公式定理（一）数列极限的定义与收敛数列的性质数列极限的定义：给定数列{}n x ,如果存在常数A ,对任给0ε>,存在正整数N ,使当n N >时,恒有 n x A ε-<,则称A 是数列{}n x 的当n 趋于无穷时的极限,或称数列{}n x 收敛于A ,记为lim n n x A →∞ =.若 {}n x 的极限不存在,则称数列{}n x 发散. 收敛数列的性质： (1)唯一性：若数列{}n x 收敛,即lim n n x A →∞ =,则极限是唯一的． (2)有界性：若lim n n x A →∞ =,则数列{}n x 有界,即存在0M >,使得对n ?均有n x M ≤. (3)局部保号性：设lim n n x A →∞ =,且()00A A ><或,则存在正整数N ,当n N >时,有()00n n x x ><或. (4)若数列收敛于A ,则它的任何子列也收敛于极限A . （二）函数极限的定义（三）函数极限存在判别法 (了解记忆) 1．海涅定理：()0 lim x x f x A →=?对任意一串0n x x →()0,1,2,n x x n ≠= ,都有 ()l i m n n f x A →∞ = ． 2.充要条件：(1)()()0 lim ()lim lim x x x x x x f x A f x f x A + -→→→=?==; (2)lim ()lim ()lim ()x x x f x A f x f x A →∞ →+∞ →-∞ =?==.

3.柯西准则：()0 lim x x f x A →=?对任意给定的0ε>,存在0δ>,当 100x x δ<-<,200x x δ<-<时,有()()12f x f x ε-<. 4.夹逼准则：若存在0δ>,当00x x δ<-<时,有)()()x f x x ? φ≤≤（,且0 lim ()lim (),x x x x x x A ?φ→→==则0 lim ()x x f x A →=. 5.单调有界准则：若对于任意两个充分大的1212,,x x x x <,有()()12f x f x <(或()()12f x f x >),且存在常数M ,使()f x M <(或()f x M >),则()lim x f x →+∞ 存在. （四）无穷小量的比较 (重点记忆) 1.无穷小量阶的定义,设lim ()0,lim ()0x x αβ==. (1)若() lim 0() x x αβ=,则称()x α是比)x β（高阶的无穷小量. (2)() lim ,())() x x x x ααββ=∞若则是比（低阶的无穷小量. (3)() lim (0),())() x c c x x x ααββ=≠若则称与（是同阶无穷小量. (4)() lim 1,())() x x x x ααββ=若则称与（是等价的无穷小量,记为()()x x αβ~. (5)() lim (0),0,())() k x c c k x x k x ααββ=≠>若则称是（的阶无穷小量 2.常用的等价无穷小量 (命题重点,历年必考) 当0x →时, sin arcsin tan ~,arctan ln(1)e 1x x x x x x x ????? ? ? ? +? -?? () 2 11c o s ~2 (1)1~x x x x ααα-+- 是实常数（五）重要定理 (必记内容,理解掌握) 定理1 0 00lim ()()()x x f x A f x f x A -+→=?==. 定理2 0 lim ()()(),lim ()0x x x x f x A f x A a x a x →→=?=+=其中. 定理3 (保号定理)：0 lim (),0(0),0x x f x A A A δ→=>设又或则一个,当 000(,),()0(()0)x x x x x f x f x δδ∈-+≠><且时，或. 定理4 单调有界准则：单调增加有上界数列必有极限;单调减少有下界数列必有极限. 定理5 (夹逼定理)：设在0x 的领域内,恒有)()()x f x x ? φ≤≤（,且 0 lim ()lim (),x x x x x x A ?φ→→==则0 lim ()x x f x A →=．

函数极限与连续知识梳理

知识梳理? ? ? ? 函数极限内容网络图内容提要与释疑解难内容提要与释疑解难一、函数极限的概念

1. 。 2. 把1中“”换成“”。 3．把1中“”换成“”。定理且 4．设在的某空心邻域内有定义，若存在一个常数A，，都有。 5．设在的某左半邻域内有定义，若存在一个常数A，时，都有。此时也可用记号或表示左极限值A，因此可写成 6. 设在的某右半邻域内有定义，若存在一个常数，当时，都有。此时也可用或表示右极限。因此可写成。定理且该定理是求分界点两侧表达式不同的分段函数在该分界点极限是否存在的方法，而如果在的左右极限存在且相等，则在该点的极限存在，否则不存在。 7．时，都有。此时称时，是无穷大量。而，只要把公式中“”改成“”，，只要把上式中“”改成“”。 8.。当时，都有。

(完整版)函数极限与连续习题含答案

基本初等函数是实变量或复变量的指数函数、对数函数、幂函数、三角函数和反三角函数经过有限次四则运算及有限次复合后所构成的函数类。函数的极限与连续训练题 1、已知四个命题：（1）若)(x f 在0x 点连续，则)(x f 在0x x →点必有极限（2）若)(x f 在0x x →点有极限，则)(x f 在0x 点必连续（3）若)(x f 在0x x →点无极限，则)(x f 在0x x =点一定不连续（4）若)(x f 在0x x =点不连续，则)(x f 在0x x →点一定无极限。其中正确的命题个数是（ B ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 2、若a x f x x =→)(lim 0 ，则下列说法正确的是（ C ） A 、)(x f 在0x x =处有意义 B 、a x f =)(0 C 、)(x f 在0x x =处可以无意义 D 、x 可以只从一侧无限趋近于0x 3、下列命题错误的是（ D ） A 、函数在点0x 处连续的充要条件是在点0x 左、右连续 B 、函数)(x f 在点0x 处连续，则)lim ()(lim 0 0x f x f x x x x →→= C 、初等函数在其定义区间上是连续的 D 、对于函数)(x f 有)()(lim 00 x f x f x x =→ 4、已知x x f 1)(=，则x x f x x f x ?-?+→?)()(lim 0的值是（ C ） A 、21x B 、x C 、21x - D 、x - 5、下列式子中，正确的是（ B ） A 、1lim 0=→x x x B 、1)1(21lim 21=--→x x x C 、111lim 1=---→x x x D 、0lim 0=→x x x 6、51lim 21=-++→x b ax x x ，则b a 、的值分别为（ A ） A 、67和- B 、67-和 C 、67--和 D 、67和 7、已知,2)3(,2)3(-='=f f 则3 )(32lim 3--→x x f x x 的值是（ C ） A 、4- B 、0 C 、8 D 、不存在 8、=--→33lim a x a x a x （ D ）

函数极限连续概念解析

函数、极限、连续概念解析 1、下列各函数对中，（）中的两个函数相等。 A. x x g x x f ==)(, )()(2 B. 1)(, 1 1)(2 +=--= x x g x x x f C. x x g x x f ln 2)(,ln )(2== D. 1)(, cos sin )(2 2 =+=x g x x x f 分析：从函数的两个要素可知，两个函数相等，当且仅当他们的定义域相同，对应规则相同，而与自变量或因变量所用的字母无关。正确答案：D 2、下列结论中正确的是（）。 A. 周期函数都是有界函数 B. 基本初等函数都是单调函数 C. 奇函数的图形关于坐标原点对称 D. 偶函数的图形关于坐标原点对称分析：首先要清楚函数的有界性、单调性、奇偶性和周期性的定义，还要知道奇偶函数的图形特点。正确答案：C 3、周期函数是否一定有最小正周期？答：不一定有最小正周期．尽管我们所学的周期函数函数一般都有最小正周期，但周期函数不一定有最小正周期．例如常值函数()f x C =是一个以任意正数为周期的周期函数，它没有最小正周期。 4、判断下列数列的极限：（1）(1)n n ??-????，（2）1n e ???? ???? ?????? ?。分析：本题只要求对数列的极限作出判断，根据数列极限的定义，利用观察法，看在n →∞的过程中数列通项n x 的变化趋势。解：（1）因为n →∞时虽然(1)n n x n -= 的符号时正时负，但 (1)10n n n -= →，

所以数列(1)n n ?? -???? 的极限为0。（2）因为数列的通项11n n n x e e ?? == ??? ，当n →∞时分母n e →∞，所以 10 n e →，故该数列的极限是0。 5、无界数列必发散吗？分析：已知性质：收敛数列必有界．用反证法。正确答案：无界数列必发散。 6、发散数列一定无界吗？有界数列必收敛吗？分析：发散数列除了lim n n x →∞ =∞的情况外，还有其它情况。例如：数列(1)n n x =-发散，但有界。正确答案：发散数列不一定无界，有界数列也不一定收敛。 7、无穷小量是很小的数，对吗？零是无穷小量吗？分析：无穷小量是指趋于零的变量。正确答案：无穷小量不是很小的数，但零是无穷小量。 8、连续函数的三个要求缺一不可吗？分析：连续函数的三个要求为：①()f x 在0x 点有定义；②0 lim ()x x f x →存在； ③0 0lim ()()x x f x f x →=。三者如缺一，则为间断（不连续）。例如：①1()sin f x x =在 x =点无定义，故间断；② 1sin ,0()1,0x f x x x ?≠? =??=? 在0x =点虽然有定义， 1lim sin x x →不存在，故也间断；③ 1sin ,0 ()1,0x x f x x x ? ≠?=??=? 在0x =点虽然有定义，且 1lim sin 0x x x →=，但0 1lim sin 01(0)x x f x →=≠=，故间断。

函数极限连续单元测试及答案

函数单元测试（A ）一、填充题： 1、设的定义域为[]1,0，则)2(+x f 的定义域是________________。 2、1sin )(,)(2+==x x q x x f ，则[]=)(x q f ________,()[]=x f q __________。 3、设()2212++=+x x x f ，则()=x f _____________。 4、()_________ )2(_________,)4(,1 ,01 ,sin = -=?????≥=π πf f x x x x f 。 5、已知函数()x f 是偶函数，且在()+∞,0上是减函数，则函数()x f 在()0,∞-上必是____________函数。 6、设x v v u u y arccos , 1 ,3=+==，则复合函数()_____________==x f y 。 7、______________,cos sin )(22其周期为设函数x x x f -=。二、选择题： 1、函数?? ?????>≤ +=2,sin 2 ,)1ln()(ππ x x x x x f 则)4(π f 等于（）（A ）)41ln(π+ （B ）22 （C ）2π （D ）4π 2、设x e x g x x f ==)(,)(2，则=)]([x g f （）（A ）2x e （B ）x e 2 （C ）2x x （D ）x e 3、设函数()x f 的定义域是]1,0[，则()2x f 的定义域是（）（A ）[-1，1] （B ）[0，1] （C ）[-1，0] （D ）（- ∞，+∞） 4、函数()x x x f -+=1010是（）（A ）奇函数（B ）偶函数（C ）非奇非偶函（D ）既是奇函数又是偶函数 5、函数()[]213arcsin +=x y 的复合过程是（） ()()13sin ,sin ,(D) 13,arcsin ,)(1 3,arcsin B) ( 13arcsin ,)(2222+===+===+==+==x v v u u y x v v u u y C x u u y x u u y A 6、34x y -=的反函数是（） ()()33334(D) 4C) ( 4(B) 4)(x y x y x y x y A -=-=-=-= 7、下列函数中为基本初等函数的是（） 123)()( )15arctan()()( 0,10 ,0)()( 1)ln()()(-=+=???≥=+=x x f D x x f C x x x f B x x f A 三、判断题： 1、确定函数的两个要素是定义域和对应关系。（）

函数的极限与连续

第一章函数的极限与连续极限是微积分学中最基本、最重要的概念之一，极限的思想与理论，是整个高等数学的基础，连续、微分、积分等重要概念都归结于极限. 因此掌握极限的思想与方法是学好高等数学的前提条件. 本章将在初等数学的基础上，介绍极限与连续的概念. §1-1函数一、函数的概念定义1.1 设有一非空实数集D ，如果存在一个对应法则f ，使得对于每一个D x ∈，都有一个惟一的实数y 与之对应，则称对应法则f 是定义在D 上的一个函数. 记作y=f(x)，其中x 为自变量，y 为因变量，习惯上称y 是x 的函数，D 称为定义域. 当自变量x 取定义域D 内的某一定值0x 时，按对应法则f 所得的对应值y 0，称为函数y=f(x)在x =x 0时的函数值，记作f(x 0)，即 y 0=f(x 0). 当自变量x 取遍D 中的数，所有对应的函数值y 构成的集合称为函数的值域，记作M ，即 {} D x x f y y M ∈==),( 例1 已知1)(2 --=x x x f ，求)0(f ，)1(f ，)(x f - 解 1100)0(2 -=--=f 1111)1(2 -=--=f 11)()()(22-+=----=-x x x x x f 例2 求下列函数的定义域. （1）142 -= x y (2))1ln(62 ++-+=x x x y 解（1）1,012 ±≠≠-x x ，所以定义域为),1()1,1()1,(+∞---∞∈Y Y x （2）? ???+≥-+01062x x x ?? ?-?≤≤-?132x x ，所以定义域为(]3,1-∈x 由函数定义可知，定义域与对应法则一旦确定，则函数随之惟一确定. 因此，我们把函数的定义域和对应法则称为函数的两个要素. 如果两个函数的定义域、对应法则均相同，那么可以认为这两个函数是同一函数. 反之，如果两要素中有一个不同，则这两个函数就不是同一函数. 例如：x x x f 2 2 cos sin )(+= 与1)(=x ?,因为1cos sin 2 2=+x x ,即这两个函数的对应法则相同，而且定义域均为R ，所以它们是相同的函数. 又如1 1)(2--=x x x f 与1)(+=x x ?，虽然11 2--x x 1+=x ，但由于这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一函数. 通常函数可以用三种不同的形式来表示：表格法、图形法和解析法（或称公式法）.三种形式各有其优点和不足，实际问题中往往把三种形式结合起来使用. 二、函数的性质 1、单调性设函数)(x f y =在（b a ,）内有定义，若对（b a ,）内的任意两点21,x x ，当21x x ?时，有 )()(21x f x f ?，则称)(x f y =在（b a ,）内单调增加；若当21x x ?时，有)()(21x f x f ?，则称) (x f 在（b a ,）内单调减少，区间（b a ,）称为单调区间. 2、奇偶性

部分函数极限连续

第一部分函数、极限、连续 [选择题] 容易题 1—47，中等题48—113，难题114—154。 1．设f x ()的定义域是[0,4]，则f x ()2的定义域是( ) A. [,]04 B. [-2,2] C. [0,16] D. [0,2] 2．设函数y f x =()的定义域为[0,2]，a >0，则y f x a f x a =++-()() 的定义域为( ) A.[,][,]--?+a a a a 22 B. ? C. 当a ≤1时，定义域：a x a ≤≤-2；当a >1 时，?； D. [,][,]--?+a a a a 22 3．若Z y f x = +-()31，且已知当y =1时，z x =.则f x ()=（） A.()x +-113 B.x -1 C.()t +-113 D.t -1 4．下列不正确的是（） A.f g ,在(,)-∞+∞上都为单调增（减）函数，则f g f g f g f g g +-?≠,,,()0都为单调增（减）函数 B.f g ,在(,)-∞+∞上都为单调增（减）函数，则f g f g f g ,max(,),min(,)都为单调增（减）函数 C.若f x g x x (),(),()?在其公共定义域上均为单调增函数，且满足： g x x f x ()()()≤≤?，又设 g g x x f f x [()],[()],[()]??均有意义，则必有：g g x x f f x [()][()][()]≤≤?? D.若函数f x ()在(-∞,+∞)上为奇函数，且在[0,+∞)上是严格单调增加的，则f x ()在(-∞,+∞)上一定是严格单调增加的。 5．设f x ()的定义域为(-∞,+∞)，则g x f x f x ()()()=--是( ) A. 偶函数 B. g x ()≡0 C. 非奇非偶函数 D. 奇函数 6．反函数保持原来函数的( )性质。 A. 单调性 B. 奇偶性 C. 周期性 D. 有界性 7．设f x ()为奇函数，g x ()为偶函数，则( )为奇函数。（）

函数极限和连续试题及答案

极限和连续试题（A 卷） 1.选择题（正确答案可能不止一个）。（1）下列数列收敛的是（）。 A . n n x n n 1)1(--= B . n x n n 1)1(-= C . 2 sin πn x n = D . n n x 2= （2）下列极限存在的有（）。 A . x x sin lim ∞ → B . x x x sin 1 lim ∞→ C . 121lim 0-→x x D . 1 21 lim 2+∞→n n （3）下列极限不正确的是（）。 A . 2)1(lim 1 =+-→x x B . 11 1 lim =+→x x C . ∞=-→2 12 4 lim x x D . +∞=+→x x e 20 lim （4）下列变量在给定的变化过程中，是无穷小量的有（）。 A . )0(12 →--x x B . )0(sin →x x x C . )(+∞→-x e x D . )0()1 sin 2(12→-+x x x x （5）如果函数.0;0;0,1sin ,,sin 1 )(>=

函数极限经典例题

函数、极限与连续典型例题 1．填空题（1）函数) 2ln(1)(-=x x f 的定义域是．（2）函数24) 2ln(1)(x x x f -++=的定义域是．（3）函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f ．（4）若函数?? ???≥<+=0,0,13sin )(x k x x x x f 在0=x 处连续，则=k ．（5）函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ．（6）函数1 322+--=x x x y 的间断点是．（7）=∞→x x x 1sin lim ．（8）若2sin 4sin lim 0=→kx x x ，则=k ． 2．单项选择题（1）设函数2 e e x x y +=-，则该函数是（）． A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．既奇又偶函数（2）下列函数中为奇函数是（）． A ．x x sin B ．2 e e x x +- C ．)1ln(2x x ++ D ．2x x + （3）函数)5ln(4 +++= x x x y 的定义域为（）． A ．5->x B ．4-≠x C ．5->x 且0≠x D ．5->x 且4-≠x （4）设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （） A ．)1(+x x B ．2x C ．)2(-x x D ．)1)(2(-+x x （5）当=k （）时，函数???=≠+=0, 0,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续.

A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 （6）当=k （）时，函数???=≠+=0, 0,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续. A ．0 B ．1 C ．2 D ．1- （7）函数2 33)(2+--=x x x x f 的间断点是（） A ．2,1==x x B ．3=x C ．3,2,1===x x x D ．无间断点 3．计算题（1）42 3lim 222-+-→x x x x ．（2）329 lim 223---→x x x x （3）458 6lim 224+-+-→x x x x x （4）计算极限x x x 1 1lim 0--→．（5）计算极限x x x 4sin 1 1lim 0--→

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函数极限连续

高等数学函数极限与连续习题及答案

第一章 函数、极限与连续

01函数极限与连续

函数的极限及函数的连续性典型例题

大一高数第一章--函数、极限与连续

函数极限与连续

函数极限与连续知识梳理

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函数的极限与连续

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