新课标九年级数学竞赛培训第13讲：怎样求最值
? 2011 菁优网
一、填空题（共9小题，每小题5分，满分45分）
1、设（a，b）为实数，那么a2+ab+b2﹣a﹣2b的最小值是_________．
2、设x为实数，则函数的最小值是_________．
3、（2000?黑龙江）如图，用12米长的木方，做一个有一条横档的矩形窗子，为使透进的光线最多，选择窗子的长、宽各为_________米．
4、已知实数a、b、c满足a+b+c=0，a2+b2+c2=6，则a的最大值为_________．
5、设x1、x2是关于x的一元二次方程x2+ax+a=2的两个实数根，则（x1﹣2x2）（x2﹣2x1）的最大值为_________
6、若抛物线y=x2﹣（k﹣1）x﹣k﹣1与x轴的交点为A、B，顶点为C，则△ABC的面积最小值为_________
7、若实数a、b满足a2+ab+b2=1，且t=ab﹣a2﹣b2，则t的取值范围是_________．
8、B船在A船的西偏北45°处，两船相距km，若A船向西航行，B船同时向南航行，且B船的速度为A船速度的2倍，那么A、B两船的最近距离是_________km．
9、销售某种商品，如果单价上涨m%，则售出的数量就减少，为了使该商品的销售金额最大，那么m的值应
该确定为_________．
二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）
10、若，则x2+y2+z2可取得的最小值为（）
A、3
B、
C、D、6
11、已知x、y、z是三个非负实数，满足3x+2y+z=5，x+y﹣z=2，若S=2x+y﹣z，则S的最大值与最小值的和为（）
A、5
B、6
C、7
D、8
12、（2002?天津）已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若S△AOB=4，S△COD=9，则四边形ABCD的面积S
的最小值为（）
四边形ABCD
A、21
B、25
C、26
D、36
13、正实数x，y满足xy=1，那么的最小值为（）
A、B、
C、1
D、
三、解答题（共10小题，满分89分）
14、设x1、x2是方程2x2﹣4mx+2m2+3m﹣2=0的两个实根，当m为何值时，x12+x22有最小值，并求这个最小值．
15、甲、乙两个蔬菜基地，分别向A、B、C三个农贸市场提供同品种蔬菜，按签订的合同规定向A提供45t，向B 提供75t，向C提供40t，甲基地可安排60t，乙基地可安排100t，甲、乙与A、B、C的距离千米数如表，设运费为，问如何安排使总运费最低？求出最小的总运费值_________元．
16、某单位花50万元买回一台高科技设备，根据对这种型号设备的跟踪调查显示，该设备投入使用后，若将养护
和维修的费用均摊到每一天，则有结论：第x天应付的养护与维修费为[]元．
（1）如果将该设备从开始投入使用到报废共付的养护与维修费及购买该设备费用的和均摊到每一天，叫做每天的平均损耗，请你将每天的平均损耗y（元）表示为使用天数x（天）的函数；
（2）按照此行业的技术和安全管理要求，当此设备的平均损耗达到最小值时，就应当报废，问该设备投入使用多少天应当报废？
17、（2003?山西）启明公司生产某种产品，每件产品成本是3元，售价是4元，年销售量为10万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告，根据经验，每年投入的广告费是x（万元）时，产品的年销售量是原
销售量的y倍，且，如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费：
（1）试写出年利润S（万元）与广告费x（万元）的函数关系式，并计算广告费是多少万元时，公司获得的年利润最大，最大年利润是多少万元？
（2）把（1）中的最大利润留出3万元作广告，其余的资金投资新项目，现有6个项目可供选择，各项目每股投资金额和预计年收益如下表：
如果每个项目只能投一股，且要求所有投资项目的收益总额不得低于1.6万元，问有几种符合要求的投资方式？写出每种投资方式所选的项目．
18、（2001?甘肃）某市20位下岗职工在近郊承包50亩土地办农场，这些地可种蔬菜、烟叶或小麦，种这几种农作物每亩地所需职工数和产值预测如下：
请你设计一个种植方案，使每亩地都种上农作物，20位职工都有工作，且使农作物预计总产值最多．
19、（2003?舟山）如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，面积为S米2．
（1）求S与x的函数关系式；
（2）如果要围成面积为45米的花圃，AB的长是多少米？
（3）能围成面积比45米2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．
20、（2003?荆门）某租凭公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加1辆．租出的车每月需维护费150元，未租出的车每月需维护费50元．（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出_________辆车（直接填写答案）；
（2）设每辆车的月租金为x（x≥3000）元，用含x的代数式填空：
（3）每辆车的月租金定为多少元时，租凭公司的月收益最大，最大月收益是多少元？
21、甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是p（万元）和q（万元），它们与投入资金x（万元）的关系有经验公式，．今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对
甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得多大的利润？
22、如图，城市A位于一条铁路线上，而附近的一小镇B需从A市购进大量生活、生产用品，如果铁路运费是公路运费的一半．问该如何从B修筑一条公路到铁路边，使从A到B的运费最低？
23、设x1，x2，…x n是整数，并满足：
（1）﹣1≤x i≤2，i=1，2，…n；
（2）x1+x2+…+x n=19；
（3）x12+x22+…+x n2=99．
求x13+x23+…+x n3的最大值和最小值．
答案与评分标准
一、填空题（共9小题，每小题5分，满分45分）
1、设（a，b）为实数，那么a2+ab+b2﹣a﹣2b的最小值是﹣1．
考点：完全平方公式；非负数的性质：偶次方。
专题：配方法。
分析：观察a2+ab+b2﹣a﹣2b式子要求其最小值，只要将所有含有a、b的式子转化为多个非负数与常数项的和的形式．一般常数项即为所求最小值．
解答：解：a2+ab+b2﹣a﹣2b=a2+（b﹣1）a+b2﹣2b，
=，
=≥﹣1．
当，b﹣1=0，
即a=0，b=1时，上式不等式中等号成立，故所求最小值为﹣1．
点评：本题考查了完全平方公式、非负数的性质．解决本题的关键是将所有含有a、b的式子都转化为多个非负数与常数项的和形式．
2、设x为实数，则函数的最小值是4．
考点：二次函数的最值。
专题：计算题。
分析：先整理式子得（y﹣6）x2+（2y﹣12）x+2y﹣10=0，此时△≥0，得出y的范围由此即可求得y的最小值．
解答：解：将函数整理为关于x的一元二次方程得：
（y﹣6）x2+（2y﹣12）x+2y﹣10=0，（y﹣6≠0），
由x为实数，
∴△=（2y﹣12）2﹣4（y﹣6）（2y﹣10）≥0，
化简得出不等式y2﹣10y+24≤0，
解得4≤y≤6（y≠6），
当y取最小值4时，x=﹣1，
∴分式的最小值为4．
故答案为：4．
点评：本题考查了二次函数的最值，难度一般，此类题关键是把原函数式整理化简为关于x的一元二次方程．
3、（2000?黑龙江）如图，用12米长的木方，做一个有一条横档的矩形窗子，为使透进的光线最多，选择窗子的长、宽各为2、3米．
考点：二次函数的应用。
分析：光线最多就是面积最大，可设长为x米，则宽为（12﹣3x）÷2=6﹣x，表示出面积，运用函数性质求解．解答：解：设长为x米，面积为s米2，根据题意并结合图形得S=x（6﹣x）=﹣x2+6x，
∵﹣＜0，∴S有最大值，
当x=﹣=2时，S最大，此时6﹣x=3，
即窗子的长为2米，高为3米时，透进的光线最多．
点评：此题的关键是理解光线最多就是窗子面积最大时，据此求面积表达式，运用函数性质求解．
4、已知实数a、b、c满足a+b+c=0，a2+b2+c2=6，则a的最大值为2．
考点：完全平方公式。
分析：由+b+c=0，得c=﹣（a+b），代入a2+b2+c2=6，得b2+ab+（a2﹣3）=0，把它看成关于b的一元二次方程，要使其有解，则△≥0，据此求解．
解答：解：∵a+b+c=0，
∴c=﹣（a+b），
∴a2+b2+[﹣（a+b）]2=6，
∴b2+ab+（a2﹣3）=0，
∴△=a2﹣4（a2﹣3）=﹣3a2+12≥0，
解得，﹣2≤a≤2，
∴a的最大值为2．
故答案为：2．
点评：此题考查完全平方公式的应用，注意根据已知条件变形，难度较大．
5、设x1、x2是关于x的一元二次方程x2+ax+a=2的两个实数根，则（x1﹣2x2）（x2﹣2x1）的最大值为﹣
考点：根与系数的关系；根的判别式。
专题：计算题。
分析：x1、x2是关于x的一元二次方程x2+ax+a=2的两个实数根，根据根与系数的关系，表示出a的二次函数的形式，然后求解．
解答：解：∵△=a2﹣4（a﹣2）=a2﹣4a+8=（a﹣2）2+4＞0，
∴对于任意实数a，原方程总有两个实数根．
由根与系数的关系得：x1+x2=﹣a，x1x2=a﹣2，
∴（x1﹣2x2）（x2﹣2x1）=﹣2（x1+x2）2+9x1x2，
=﹣2a2+9a﹣18，
=﹣2，
∴当a=时，原式有最大值﹣．
故答案为：．
点评：本题考查了根与系数的关系及根的判别式，难度不大，关键是熟记x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=﹣p，x1x2=q，反过来可得p=﹣（x1+x2），q=x1x2．
6、若抛物线y=x2﹣（k﹣1）x﹣k﹣1与x轴的交点为A、B，顶点为C，则△ABC的面积最小值为1
考点：抛物线与x轴的交点；三角形的面积。
专题：数形结合。
分析：求出A、B间距离的表达式和抛物线顶点纵坐标公式，根据三角形面积公式表示出三角形面积，将表达式转化为完全平方的形式，即可求出△ABC的面积最小值．
解答：解：∵|x1﹣x2|===，
抛物线顶点纵坐标为：，
整理得，﹣，
由于抛物线开口向下，
故三角形的高为，
S△ABC=?==，
当k=﹣1时，S△ABC取得最小值，为1．
故答案为1．
点评：此题考查了抛物线与x轴两交点间距离的求法及抛物线顶点坐标的求法，将问题转化为完全平方式是解题的关键．
7、若实数a、b满足a2+ab+b2=1，且t=ab﹣a2﹣b2，则t的取值范围是﹣3≤t≤﹣．
考点：根与系数的关系。
分析：首先将两式进行相加再相减，得出a+b，ab有关t的关系式，再构造一元二次方程，利用根的判别式大于等于0解决．
解答：解：∵，
∴解得：ab=，
∵a2+b2=，
∴（a+b）2=≥0，
∴﹣3≤t，
假设a，b是关于x的一元二次方程，
∴x2+（a+b）x+ab=0，
∴x2+x+=0，
∵b2﹣4ac≥0，
﹣2（t+1）≥0，
解得：t≤．
则t的取值范围是：﹣3≤t≤．
故答案为：﹣3≤t≤．
点评：此题主要考查了根与系数的关系，利用两根构造一元二次方程，根据根的判别式求解，是解决问题的关键．8、B船在A船的西偏北45°处，两船相距km，若A船向西航行，B船同时向南航行，且B船的速度为A船速度的2倍，那么A、B两船的最近距离是2km．
考点：勾股定理的应用。
专题：计算题。
分析：作出A船、B船的行进路线图形，找到B船的速度为A船速度的2倍的等量关系，设AE=x，于是BD=2x，并且在直角△CDE中，DE为斜边，根据CD，CE计算DE，
解答：解：如图，
设经过t小时后，A船、B船分别航行到E，D，设AE=x，于是BD=2x．
由AB=10，得AC=BC=10km．
∴EC=|10﹣x|，DC=|10﹣2x|．
∴DE=
=km．
当x=6时，DE=2km最小．
故答案为：2．
点评：本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，考查了最小值问题，本题中找到B船的速度是A船的速度的2倍，并且在直角△CDE中求x是解题的关键．
9、销售某种商品，如果单价上涨m%，则售出的数量就减少，为了使该商品的销售金额最大，那么m的值应
该确定为25．
考点：二次函数的应用。
分析：阅读题意，设销售量为y，根据“销售额=单价×数量”列出方程解答即可．
解答：解：设原价为1，销售量为y，
则现在的单价是（1+m%），销售量是（1﹣）y，
根据销售额的计算方法得：
w=（1+m%）（1﹣）y
w=﹣（m2﹣50m﹣15000）y
w=[﹣（m﹣25）2+]?y，
∵y是已知的正数，
∴当﹣（m﹣25）2+最大时，w最大，根据二次函数的性质，当m=25时，w最大．
点评：此题需设参数解题，在计算过程中参数作为已知数处理，所以计算时要认真仔细．
二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）
10、若，则x2+y2+z2可取得的最小值为（）
A、3
B、
C、D、6
考点：完全平方公式。
专题：计算题。
分析：设，把x，y，z用k的代数式表示，则x2+y2+z2转化为关于k的二次三项式，运用配方法求其最小值．
解答：解：设，
则x2+y2+z2=14k2+10k+6，
=14+．
故最小值为：．
故选B．
点评：本题考查了完全平方公式，难度适中，关键是设．
11、已知x、y、z是三个非负实数，满足3x+2y+z=5，x+y﹣z=2，若S=2x+y﹣z，则S的最大值与最小值的和为（）
A、5
B、6
C、7
D、8
考点：三元一次方程组的应用。
分析：根据题意，先推断出S取最大值与最小值时的x、y、z的值，再求S的最大值与最小值的和．
解答：解：要使S取最大值，2x+y最大，z最小，
∵x、y、z是三个非负实数、z是三个非负实数，
∴z=0，解方程组，解得：，
∴S的最大值=2×1+1﹣0=3；
要使S取最小值，
联立得方程组，
（1）+（2）得4x+3y=7，y=，
（1）﹣（2）×2得，x+3z=1，z=，
把y=，z=代入S=2x+y﹣z，整理得，S=x+2，当x取最小值时，S有最小值，
∵x、y、z是三个非负实数，
∴x的最小值是0，
∴S最小=2，
∴S的最大值与最小值的和3+2=5．
故选A．
点评：考查了在给定的范围内，求一个代数式的最值问题，难度较大．
12、（2002?天津）已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若S△AOB=4，S△COD=9，则四边形ABCD的面积S
的最小值为（）
四边形ABCD
A、21
B、25
C、26
D、36
考点：三角形的面积；不等式的性质。
分析：分别表示出△AOD、△BOC的面积，即可得到四边形ABCD的面积表达式，然后利用换元法结合不等式的性质来求得四边形ABCD的最小面积．
解答：解：如图，任意四边形ABCD中，S△AOB=4，S△COD=9；
∴S△AOD=OD?=4×，S△BOC=OB?=9×；
设=x，则S△AOD=4x，S△BOC=；
∴S四边形ABCD=4x+9x+13≥2?+13=12x+13=25；
故四边形ABCD的最小面积为25．
故选B．
点评：此题主要考查了三角形面积的求法、不等式的性质等知识，需要识记的内容有：
不等式的性质：a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2≥0，即a2+b2≥2ab．（即算术平均数与几何平均数的关系）
13、正实数x，y满足xy=1，那么的最小值为（）
A、B、
C、1
D、
考点：二次函数的最值。
专题：计算题。
分析：根据已知条件将所求式子消元，用配方法将式子配方，即可求出最小值．
解答：解：由已知，得x=，
∴=+=（﹣）2+1，
当=，即x=时，
的值最小，最小值为1．
故选C．
点评：本题考查了二次函数求最大（小）值的运用，关键是将所求式子消元，配方．
三、解答题（共10小题，满分89分）
14、设x1、x2是方程2x2﹣4mx+2m2+3m﹣2=0的两个实根，当m为何值时，x12+x22有最小值，并求这个最小值．考点：二次函数的最值；根的判别式；根与系数的关系。
专题：计算题。
分析：由韦达定理知x12+x22是关于m的二次函数，是否是在抛物线的顶点处取得最小值，就要看自变量m的取值范围，从判别式入手．
解答：解：∵x2是方程2x2﹣4mx+2m2+3m﹣2=0的两个实根，
∴△=（﹣4m）2﹣4×2×（2m2+3m﹣2）≥0，可得m≤，
又x1+x2=2m，x1x2=，
∴x12+x22=2+=2+，
∵m≤，
∴﹣m≥﹣＞0，
∴当m=时，x12+x22取得最小值为2×+=．
点评：本题考查了某一区间的条件限制的二次函数最值问题及根的判别式，难度较大，关键掌握：当抛物线的顶点在该区间内，顶点的纵坐标就是函数的最值，当抛物线的顶点不在该区间内，二次函数的最值在区间内两端点处取得．
15、甲、乙两个蔬菜基地，分别向A、B、C三个农贸市场提供同品种蔬菜，按签订的合同规定向A提供45t，向B 提供75t，向C提供40t，甲基地可安排60t，乙基地可安排100t，甲、乙与A、B、C的距离千米数如表，设运费为，问如何安排使总运费最低？求出最小的总运费值960元．
考点：一次函数的应用。
专题：应用题；方案型。
分析：根据题中表格信息，可以先设乙基地向A提供xt，向B提供yt，根据关系可以得甲、乙两个蔬菜基地，分别向A、B、C三个农贸市场提供同品种蔬菜的吨数，然后列出式子，根据x和y的取值范围得出答案．
解答：解：设乙基地向A提供xt，向B提供yt，向C提供[100﹣（x+y）]t，
则甲基地向A提供（45﹣x）t，向B提供（75﹣y）t，向C提供[40﹣（100﹣x﹣y）]=[（x+y）﹣60]t
依题意，总运费为w=10（45﹣x）+5（75﹣y）+6[（x+y）﹣60]+4x+8y+15[100﹣（x+y）]=1065﹣3[2（x+y）+3x]
∵0≤x+y≤100，0≤x≤45，
当且仅当x+y=100，x=45时，
w有最小值，则w最小=1965﹣3（200+135）=960（元）
答：安排甲基地向A提供0t，向B提供20t，向C提供40t；
安排乙基地向A提供45t，向B提供55t，向C提供0t，
可使总运费最低，最小的总运费为960元．
故答案为：960．
点评：本题考查的是用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题．注意利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质；即由函数y随x的变化，结合自变量的取值范围确定最值．
16、某单位花50万元买回一台高科技设备，根据对这种型号设备的跟踪调查显示，该设备投入使用后，若将养护和维修的费用均摊到每一天，则有结论：第x天应付的养护与维修费为[]元．
（1）如果将该设备从开始投入使用到报废共付的养护与维修费及购买该设备费用的和均摊到每一天，叫做每天的平均损耗，请你将每天的平均损耗y（元）表示为使用天数x（天）的函数；
（2）按照此行业的技术和安全管理要求，当此设备的平均损耗达到最小值时，就应当报废，问该设备投入使用多少天应当报废？
考点：函数最值问题。
专题：计算题。
分析：（1）设第x天应付的养护费与维修费为[]元，将每天的养护费与设备成本相加，除以总天数即可得到函数关系式；
（2）利用在正实数范围内取值的变量x，一定有，即可求出设备的报废天数．
解答：解：（1）
y==[500000+500x+?
]=++499．
即y=++499；
（2）y=++499≥2=500+499=999，
当且仅当=，y=999，
即当x=2000时，y有最小值，所以这台设备投入使用2000天，应当报废．
点评：本题考查了函数的最值问题，在解本题时要用到以下数学知识点：对于确定的正常数a、b以及在正实数范围内取值的变量x，一定有，即当且仅当时，有最小值．
17、（2003?山西）启明公司生产某种产品，每件产品成本是3元，售价是4元，年销售量为10万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告，根据经验，每年投入的广告费是x（万元）时，产品的年销售量是原
销售量的y倍，且，如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费：
（1）试写出年利润S（万元）与广告费x（万元）的函数关系式，并计算广告费是多少万元时，公司获得的年利润最大，最大年利润是多少万元？
（2）把（1）中的最大利润留出3万元作广告，其余的资金投资新项目，现有6个项目可供选择，各项目每股投资金额和预计年收益如下表：
如果每个项目只能投一股，且要求所有投资项目的收益总额不得低于1.6万元，问有几种符合要求的投资方式？写出每种投资方式所选的项目．
考点：二次函数的应用。
专题：阅读型；图表型。
分析：（1）已知了年销售量，那么可根据“产品的年销售量是原销售量的y倍”，可用x表示出年销售走量，然后根据年销售总量﹣成本﹣广告费=利润，列出关于S与x的函数关系式．然后根据得出的函数的性质求出S的最大值．（2）根据（1）中得出的利润额，就能求出除去广告费用后的投资额，然后根据6中股票的单价，找出符合条件的方案即可．
解答：解：（1）S=10×（﹣）×（4﹣3）﹣x=﹣x2+6x+7
即S=﹣（x﹣3）2+16
因此：当x=3时Smax=16．
∴当广告费是3万元时，公司获得的最大年利润是16万元．
（2）用于再投资的资金是16﹣3=13（万元）
经分析，有两种投资方式符合要求．
一种是取A、B、E各一股，投入资金为5+2+6=13（万元）
收益为0.55+0.4+0.9=1.85（万元）＞1.6（万元）
另一种是取B、D、E各一股，投入资金为2+4+6=12（万元）＜13（万元）
收益为0.4+0.5+0.9=1.8（万元）＞1.6（万元）．
点评：本题主要考查了二次函数的应用，根据题意得出关于S与x的函数关系式是解题的关键．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好．
18、（2001?甘肃）某市20位下岗职工在近郊承包50亩土地办农场，这些地可种蔬菜、烟叶或小麦，种这几种农作物每亩地所需职工数和产值预测如下：
请你设计一个种植方案，使每亩地都种上农作物，20位职工都有工作，且使农作物预计总产值最多．
考点：一次函数的应用。
专题：方案型。
分析：可先设其中的两种蔬菜的种植量是未知数，如设蔬菜x亩，烟叶y亩，那么根据种植蔬菜需要的人数+种植烟叶需要的人数+种植小麦需要的人数=20，可得出关于x，y的函数关系式．根据y的值不为负数可得出x的取值范围，然后根据总产值=种植蔬菜的产值+种植烟叶的产值+种植小麦的产值，得出关于总产值和x的函数关系式．根据函数的性质和自变量的取值范围求出符合要求的方案．
解答：解：设种植蔬菜、烟叶、小麦各x亩、y亩，（50﹣x﹣y）亩，由题意有：
x+y+（50﹣x﹣y）=20，
化简得：y=90﹣3x，
再设预计总产值为W元，
则W=1100x+750（90﹣3x）+600（50﹣x﹣90+3x），
W=50x+43500，
由于y=90﹣3x≥0，∴0≤x≤30，
此时x取最大值30，代入W最大=43500+50×30=45000（元）．
因此不种烟叶，而种蔬菜30亩，小麦20亩，且安排15人种蔬菜，5人种小麦方可获得最大的经济效益．
点评：本题是利用一次函数的有关知识解答实际应用题，此类决策性的题，函数的性质和自变量的取值范围是选择方案的关键所在．
19、（2003?舟山）如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，面积为S米2．
（1）求S与x的函数关系式；
（2）如果要围成面积为45米2的花圃，AB的长是多少米？
（3）能围成面积比45米2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．
考点：一元二次方程的应用；二次函数的应用。
专题：几何图形问题。
分析：（1）可先用篱笆的长表示出BC的长，然后根据矩形的面积=长×宽，得出S与x的函数关系式．
（2）根据（1）的函数关系式，将S=45代入其中，求出x的值即可．
（3）可根据（1）中函数的性质和自变量的取值范围得出符合条件的方案．
解答：解：（1）设宽AB为x米，则BC为（24﹣3x）米
这时面积S=x（24﹣3x）=﹣3x2+24x．
（2）由条件﹣3x2+24x=45化为x2﹣8x+15=0
解得x1=5，x2=3
∵0＜24﹣3x≤10得≤x＜8
∴x=3不合题意，舍去
即花圃的宽为5米．
（3）S=﹣3x2+24x=﹣3（x2﹣8x）=﹣3（x﹣4）2+48
∵≤x＜8
∴当时，S有最大值48﹣3（﹣4）2=46
故能，围法：24﹣3×=10，花圃的长为10米，宽为米，这时有最大面积平方米．
点评：本题考查了一元二次方程，二次函数的综合应用，根据已知条件列出二次函数式是解题的关键．要注意题中自变量的取值范围不要丢掉．
20、（2003?荆门）某租凭公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加1辆．租出的车每月需维护费150元，未租出的车每月需维护费50元．（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出88辆车（直接填写答案）；
（2）设每辆车的月租金为x（x≥3000）元，用含x的代数式填空：
（3）每辆车的月租金定为多少元时，租凭公司的月收益最大，最大月收益是多少元？
考点：二次函数的应用。
分析：（1）租金定为3600元，则超出600元，依题意有600÷50=12辆未租出，所以租出100﹣12=88辆；
（2）租金超出x﹣3000，则未租出（x﹣3000）÷50辆；租出100﹣（x﹣3000）÷50辆；所有未租出的车每月的维护费为（x﹣3000）÷50×50；租出的车每辆的月收益为（x﹣150）元；
（3）月收益=租出的车辆收入﹣租出车的维护费﹣未租出车的维护费，列式表示月收益，根据函数性质求解．
解答：解：由题意得：
（1）88辆；
（2）
（3）设每辆车的月租金为x元，月收益为W元，则W=（x﹣150）×（100﹣）﹣×50
=﹣x2+162x﹣21000
∵﹣＜0，
∴W有最大值．
当x=﹣=4050时，W最大值==307050
即每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，是307050元．
点评：正确表示公司的月收益是关键．此题运用公式法求函数的最大值较好．
21、甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是p（万元）和q（万元），它们与投入资金x（万元）的关系有经验公式，．今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对
甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得多大的利润？
考点：二次根式的应用。
专题：应用题。
分析：根据3万元资金投入经营甲、乙两种商品，设投入甲x万元，则投入乙（3﹣x）万元，根据总利润=甲的利润+乙的利润，列方程并平方整理为关于x的一元二次方程，由△≥0，求s的最大值，并求出此时x的值．
解答：解：设对甲、乙两种商品的资金投入分别分别为x，（3﹣x）万元，设获取利润为s，
则s=x+，两边平方，整理得x2+（9﹣10s）x+25s2﹣27=0，
△=（9﹣10s）2﹣4×（25s2﹣27）≥0，解得s≤=1.05，
可知最大利润为s=1.05．此时x=0.75（万元），3﹣x=2.25（万元）．
点评：本题考查了二次根式在实际问题中的运用．关键是根据题意列方程，两边平方去根号转化为关于x的一元二次方程，利用判别式求解．
22、如图，城市A位于一条铁路线上，而附近的一小镇B需从A市购进大量生活、生产用品，如果铁路运费是公路运费的一半．问该如何从B修筑一条公路到铁路边，使从A到B的运费最低？
考点：函数最值问题。
专题：应用题。
分析：设AC=x千米，BC=y千米，AD=n千米，BD=m千米，铁路每千米的运费为a元，从而得出A到B得运费s的表达式，将等式整理成关于y的一元二次方程，利用判别式大于等于0得出s的范围，求出s的最小值后代入运费表达式，从而可求出y和x的值，这样问题就解决了．
解答：解：设AC=x千米，BC=y千米，AD=n千米，BD=m千米，铁路每千米的运费为a元，则公路每千米的运费为2a元，
则从A到B得运费s=a（n﹣）+2ay①，即an﹣s+2ay=a②，
两边平方整理得：3a2y2+4a（an﹣s）y+（an﹣s）2+a2m2=0，
可看作关于y的一元二次方程，△=[4a（an﹣s）]﹣4×3a[（an﹣s）+a m]≥0，
即（an﹣s）2≥3a2m2，s﹣an≥am，
从而可得s≥an+am，故最小值为an+am．
将s的值代入②可得an﹣（an+am）+2ay=a，
移项后可得：=0，故ay=2am，
解得：y=，
从而可得x=n﹣=n﹣m．
答：修一条公路，使得铁路与公路的交接点C距离A的距离为n﹣m，此时的运费最低，为an+am．
点评：本题考查了函数的最值问题，综合性较强，难度较大，关键在于将运费的表达式整理为一元二次方程，利用判别式求s的范围，难点在于设出很多的未知数，同学们往往不敢设出那么多，以后要大胆的设，不一定未知数多不可解．
23、设x1，x2，…x n是整数，并满足：
（1）﹣1≤x i≤2，i=1，2，…n；
（2）x1+x2+…+x n=19；
（3）x12+x22+…+x n2=99．
求x13+x23+…+x n3的最大值和最小值．
考点：整数问题的综合运用。
分析：首先假设x1，x2，…x n中有r个﹣1，s个1，t个2，进而得出r，s，t的关系式，进而得出x13+x23+…+x n3=﹣r+s+8t=6t+19，从而确定其取值范围，利用极值法即可求出．
解答：解：设x1，x2，…x n中有r个﹣1，s个1，t个2，
则，
得3t+s=59，0≤t≤19，
∴x13+x23+…+x n3=﹣r+s+8t=6t+19，
∴19≤x13+x23+…+x n3≤6×19+19=133，
在t=0，s=59，r=40时，x13+x23+…+x n3，取得最小值19，
在t=19，s=2，r=21时，x13+x23+…+x n3=99取得最大值133．
点评：此题主要考查了整数问题的综合应用，假设出x1，x2，…x n中有r个﹣1，s个1，t个2，运用已知条件得出19≤x13+x23+…+x n3≤6×19+19=133，是解决问题的关键．
参与本试卷答题和审题的老师有：
lanyuemeng；MMCH；zhangCF；lkhfy1989；mrlin；gbl210；CJX；zxw；499807835；jingyouwang；nhx600；lanyan；caicl；bjy；lf2-9。（排名不分先后）
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2011年10月22日
九年级数学测验二 满分：120分 时间：150分钟 一、填空题（共9小题，每小题3分，满分27分） 1.实数x 、y 满足等式22 92|3|0x y xy x y xy -++-=，则x y -的取值范围为 。 2.关于x 的方程1 1 3267 a a x x a +=-++无解，则实数a 的可能取值有 。 3. 已知111Rt A B C ?的直角边长分别为1a 、1b ，斜边长为1x ，222Rt A B C ?的直角边长分别为2a 、2b ，斜边长为2x ；请以111Rt A B C ?与222Rt A B C ?的直角边长构造出Rt ABC ?的直角边： ，使得其斜边长为 12x x 4.在ABC ?中，P 为其内部一点，请你构造出一对全等三角形，使得以下结论分别成立： 当 时，ABC ?为以BC 为底边的等腰三角形； 当 时，ABC ?为以AC 为底边的等腰三角形，且P 为它外接圆的圆心； 当 时，ABC ?为等边三角形。 5.在四边形ABCD 中，P 、Q 、R 、S 分别为AB 、BC 、CD 、DA 四边中点，记四边形ABCD 的对角线长度之和为 1l ，四边形PQRS 的对角线长度之和为2l ，令1 2 l k l = ，则k 的取值范围为 。 6.已知函数2 1y ax ax a =++-与直线0x ay a ++=只有一个交点，那么这个交点的坐标为 。 7.给出三个关于x 的方程：2 2 2 20,20,20ax bx c bx cx a cx ax b ++=++=++=， 若2 2 0a b ac bc -+-≠，且这三个方程有相同的根，则这个根为 ； 若0abc ≠，则前两个方程均有实根的概率为 ； 若0ab >，在这三个方程中恰有某个方程存在唯一实根，则它们共有 个不相等的实根。 8. 已知某梯形的边长与对角线可构成三组长度相等的线段，那么最短边 与最长边之比为 。 9.如图，给出反比例函数3 k y x =，这里1k >；在x 轴正半轴上依次排列 2010个点122010,,,A A A L ，点n A 的坐标为(,0)(1,2,,2010)n x n =L ， 1(1,2,,2009)n n x x d n +=+=L ，1(1)x d k =-；过点n A 作x 轴的垂线交反比例函数于点n P ，记12n n n P P P ++?的 面积为(1,2,,2008)n S n =L ，那么122008S S S +++=L 。 二、选择题（共9小题，每小题3分，满分27分） 10.若22221a ab b ++= ，那么a 、b （ ） A.一个为无理数、一个为有理数 B.均为分数 C 均为无限不循环小数 D.不是实数 11.下列整式中哪个不能在实数范围内因式分解？（ ） A. 3 2 333k k k -+- B. 3 2 331k k k ++- C. 3 2 332k k k +-+ D. 3 2 332k k k -++ 12.如图，在无限单位正方形网格中，任意找三个正方形顶点构成一个角，以下特殊角中不可能得到的有（ ）个：①22.5? ②30? ③36? ④45? A.4 B.3 C.2 D.1 13.将一个多边形中所有的点连结成线段后，边长及对角线长共有n 种取值，那么在这些线段构成的角中，最小的角是（ ）度。 A. 180(2)n n -或180(1)1n n -+ B. 90n 或18021n + C. 180n 或360 21 n + D. 180(1)n n -或180(21)21n n -+ 14.如图，一开口向下的抛物线与x 轴负半轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点Q （0，-3），其顶点为P ，若 ~PAB BAQ ??，则抛物线的方程为（ ） A. 2143 333y x x =- -- B. 2123363y x x =-- - C. 2323y x x =-- D. 2 343y x x =-- 15.如图，在半径为r 的O e 中，有内接矩形ABCD ，AB 中点E 与圆上逆时针排列的三点 F 、G 、H 构成边长为a 的菱形，若2GDH EFG ∠=∠，则DG 的长为（ ） A. 2242r a -2242r a + B. 242r ra -242r ra +C. 2 42ra a -2 42ra a + D. 22a r r -或2 2a r r + 16. 如图，在直角坐标系中，直线340x y a ++=与y 轴、反比例函数k y x =和x 轴 依次交于A 、B 、C 、D 四点，若2BC AB CD =+，且2AC BD ?=，则 a k =（ ）
专题10 最优化 例1. 4 提示：原式=1 12 - 62 -+）（x . 例2. B 提示：由-1≤y ≤1有0≤≤1，则=22 +16+3y 2 =142 +4+3是开口向上，对称轴为7 1 -=x 的抛物线. 例3. 分三种情况讨论：①0≤a +?）（，∴f (a )=2a ，即2a =2132-2+a ，则?? ? ??=--=413 172b a 综上，（a ，b ）=(1，3)或（17-2-， 4 13 ） 例4. （1） 121≤≤x ，y 2 = 21+216143-2+-）（ x .当=4 3时，y 2 取得最大值1，a =1； 当21= x 或=1时，y 2取得最小值21，b =22.故a 2+b 2=2 3. (2) 如图，AB =8，设AC =，则BC =8- ，AD =2，CD =42+x ，BE =4，CE =16)-8(2+x BF =AD =2. 10)24(816)8(4222222=++=+=≥+=+-++EF DF DE CE CD x x 当且仅当D ，C ，E 三点共线时，原式取最小值.此时△EBC ∽△DAC ，有 22 4 ===DA EB CA BC , 从而=AC = 3831=AB .故原式取最小值时，=3 8. (3)如图， 原式= [] 22222 2 2)24()13()32()01(032--0y x y x -+-+-+-+-+）（）（
九年级数学（上）竞赛试题 一. 选择题(每小题3分,共36分) 1．一元二次方程的解是 A ． B ．1203x x ==， C ．12 10,3 x x == D ． 2．顺次连结任意四边形各边中点所得到的四边形一定是 A ．平行四边形 B ．菱形 C ．矩形 D ．正方形 3. 若一个几何体的主视图、左视图、俯视图分别是三角形、三角形、圆，则这个几何 体可能是 A ．球 B ．圆柱 C ．圆锥 D ．棱锥 4. 在同一时刻，身高1.6m 的小强，在太阳光线下影长是1.2m ，旗杆的影长是15m ， 则旗杆高为 A 、22m B 、20m C 、18m D 、16m 5. 下列说法不正确的是 A ．对角线互相垂直的矩形是正方形 B ．对角线相等的菱形是正方形 C ．有一个角是直角的平行四边形是正方形 D ．一组邻边相等的矩形是正方形 6. 直角三角形的两条直角边分别是6和8，则这三角形斜边上的高是 A ．4.8 B ．5 C ．3 D ．10 7. 若点（3,4）是反比例函数221m m y x +-=图像上一点 ，则此函数图像必经过点 A ．(3,-4) B ．(2,-6) C ．(4,-3) D ．（2，6） 8. 二次三项式2 43x x -+配方的结果是（ ） A ．2(2)7x -+ B ．2 (2)1x -- C ．2(2)7x ++ D ． 2(2)1x +- 9．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=3．若点E 是边CD 的中点，连接AE ，过点B 作BF ⊥AE 交AE 于点F ，则BF 的长为（ ） 第9题图 A ． 3√10 2 B ． 3√105 C ．√10 5 D ．3√55 10. 函数x k y =的图象经过（1，-1），则函数2-=kx y 的图象是 11．如图，矩形ABCD ，R 是CD 的中点，点M 在BC 边上运动，E 、F 分别是AM 、MR 的中点，则EF 的长随着M 点的运动 A ．变短 B ．变长 C ．不变 D ．无法确定 12．如图，点A 在双曲线6 y x = 上，且OA ＝4，过A 作AC ⊥x 轴，垂足为C ，OA 的垂直平分线交OC 于B ，则△ABC 的周长为 A ．47 B ．5 C ．27 D ．22 二：填空题.(每小题3分,共12分) 13.如图，△ABC 中，∠C=090，AD 平分∠BAC ，BC=10，BD=6，则点D 到AB 的距离是 。 14.如图，△OPQ 是边长为2的等边三角形，若反比例函数的图象过点P ，则此反比例函数的解析式是 。 2 30x x -=0x =1 3x = 2 2 2 2 -2 -2 -2 -2 O O O O y y y y x x x x A ． B ． C ． D ． A B C R D M E F 第11题图
2012年全国初中数学竞赛试题 一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1（甲）．如果实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，那么代数式 可以化简为（）． （第1（甲）题） （A）2c-a（B）2a-2b（C）-a（D）a 1（乙）．如果，那么的值为（）． （A）（B）（C）2 （D） 2（甲）．如果正比例函数y = ax（a ≠ 0）与反比例函数y =（b ≠0）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（）．（A）（2，3）（B）（3，－2）（C）（－2，3）（D）（3，2） 2（乙）．在平面直角坐标系中，满足不等式x2＋y2≤2x＋2y的整数点坐标（x， y）的个数为（）． （A）10 （B）9 （C）7 （D）5 3（甲）．如果为给定的实数，且，那么这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（）． （A）1 （B）（C）（D） 3（乙）．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．， AD = 3，BD = 5，则CD的长为 （）．
（第3（乙）题） （A）（B）4 （C）（D）4.5 4（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍”；小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是（）． （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 4（乙）．如果关于x的方程是正整数）的正根小于3，那么这样的方程的个数是（）． （A） 5 （B） 6 （C） 7 （D） 8 5（甲）．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为 ，则中最大的是（）． （A）（B）（C）（D） 5（乙）．黑板上写有共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数，然后删去，并在黑板上写上数，则经过99次操作后， 黑板上剩下的数是（）． （A）2012 （B）101 （C）100 （D）99 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分） 6（甲）．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x”到“结果是否>487？”为一次操作. 如果操作进行四次才停止，那么x的取值范围是 .
九年级讲义目录
专题01 二次根式的化简与求值 阅读与思考 二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、换元等技巧. 有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点，也是难点，这类问题包含了整式、分式、二次根式等众多知识，又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法，解题的基本思路是： 1、直接代入 直接将已知条件代入待化简求值的式子. 2、变形代入 适当地变条件、适当地变结论，同时变条件与结论，再代入求值. 数学思想： 数学中充满了矛盾，如正与负，加与减，乘与除，数与形，有理数与无理数，常量与变量、有理式与无理式，相等与不等，正面与反面、有限与无限，分解与合并，特殊与一般，存在与不存在等，数学就是在矛盾中产生，又在矛盾中发展. =x , y , n 都是正整数） 例题与求解 【例1】 当x = 时，代数式32003 (420052001)x x --的值是（ ） A 、0 B 、－1 C 、1 D 、2003 2- （绍兴市竞赛试题） 【例2】 化简 （1(b a b ab b -÷-- （黄冈市中考试题） （2 （五城市联赛试题）
（3 （北京市竞赛试题） （4 （陕西省竞赛试题） 解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解. 思想精髓：因式分解是针对多项式而言的，在整式，分母中应用非常广泛，但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中，恰当地作类似于因式分解的变形，可降低一些二次根式问题的难度. 【例3】比6大的最小整数是多少？ （西安交大少年班入学试题） 解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设x y == 想一想：设x=求 432 32 621823 7515 x x x x x x x --++ -++ 的值. （“祖冲之杯”邀请赛试题） 的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式.
九年级数学竞赛试卷（含答案） 温馨提示： 1.本试卷共 8 页,三大题,满分 150 分。考试时间 120 分钟。 2.答卷前请将密封线内的项目填写清楚。 一、 选择题（每小题4分,满40分） 下列各小题均有四个答案,其中只有一个是正确的,请将正确 答案的代号字母填入题前小括号内 1. 下列说法中不正确的是（ ） A.若 a 为任一有理数,则 a 的倒数是 B.若∣a ∣＝∣b ∣,则 a ＝±b C.x2＝（－2） 2,则 x ＝±2 D.x2＋1 一定是正数 2.图中从三个方向看所得的图形所对应的直观图是（ ） 3. m m m m m m 15462-+的值（ ） A.是正数 B.是负数 C.是非负数 D.可为正也可为负 4.四边形 ABCD 中,对角线 AC 、BD 相交于点 O,给出下列四个条件：①AD ∥BC;②AD ＝BC;③OA ＝OC;④OB ＝OD,从中任选两个条件,能使四边形 ABCD 为平行四边形的选法有（ ） A.3 种 B.4 种 C.5 种 D.6 种 5.在四张完全相同的卡片上分别印有等边三角形、平行四边形、等腰梯形、圆的图案,现将印有图案的一面朝下,混合后从中一次性随机抽取两张,则抽到的卡片上印有的图案都是轴对称图形的概率为（ ）
A. 41 B. 3 1 C. 2 1 D. 4 3 6.如图所示,半径为 5 的☉A 中,弦 BC 、ED 所对的圆心角分别是∠BAC,∠EAD.已知 DE ＝6,∠BAC ＋∠EAD ＝180°,则弦 BC 的弦心距等于（ ） A. 2 41 B. 2 34 C.4 D.3 7.如图所示,P 为☉o 的直径 BA 延长线上一点,PC 与☉O 相切.切点为 C.点 D 是☉O 上一点,连接PD.已知 PC=PD=BC.下列结论：①PD 与☉O 相切；②四边形 PCBD 是菱形；③PO=AB;④∠PDB=120°.其中正确的个数为（ ） A.4 B.3 C.2 D.1 8.如图,在平面直角坐标系中,放置一个半径为 1 的圆,与两坐标轴相切,若该圆沿 x 轴正方向滚动 2016 圈后（滚动时在 x 轴上不滑动）,则该圆的圆心坐 标为（ ） A.（4032π＋1,0） B.（4032π＋1,1） C.（4032π－1,0） D.（4032π－1,1） 9.如图所示,平行四边形 ABCD 中,AB ：BC=3:2,∠DAB=60°,E 在 AB 上,且 AE ：EB=1：2,F 是 BC 的中点,过 D 分别作 DP ⊥AF 于 P,DQ ⊥CE 于 Q,则 DP ：DQ 等于（ ） A.3:4 B. 13 : 25 C. 13 : 26 D. 23 : 13 10.如图,菱形 ABCD 中,AB ＝2,∠B ＝60°,M 为 AB 的中点,动点 P 在菱形的边上从点 B 出发,沿 B → C →D 的方向运动,到达点 D 时停止。连接 MP,设点 P 运动的路程为 x,MP 2＝y,则 y 与 x 之间的函数关系图象大致为（ ）
初三数学竞赛试题 班级 姓名 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分） 1．要使方程组???=+=+2 3223y x a y x 的解是一对异号的数，则a 的取值范围是（ ） （A ）334<a （D ）3 43<>a a 或 2．一块含有?30AB ＝8cm, 里面 空 心DEF ?的各边与ABC ?的对应边平行，且各对应边的距离都是 1cm,那么DEF ?的周长是（ ） (A)5cm (B)6cm (C) cm )(36- (D) cm )(33+ 3．将长为15cm 的木棒截成长度为整数的三段，使它们构成一个三角形的三边，则不同的截法有( ) (A)5种 (B) 6种 (C)7种 (D)8种 4．作抛物线A 关于x 轴对称的抛物线B ，再将抛物线B 向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线C 的函数解析式是1122-+=)x (y ，则抛物线A 所对应的函数表达式是 ( ) (A)2322-+-=)x (y (B) 2322++-=)x (y (C) 2122---=)x (y (D) 2322++-=)x (y 5．书架上有两套同样的教材，每套分上、下两册，在这四册教材中随机抽取两册，恰好组成一套教材的概率是( ) (A) 32 (B) 31 (C) 21 (D) 6 1 6．如图，一枚棋子放在七边形ABCDEFG 的顶点处，现顺时针方 向移动这枚棋子10次，移动规则是：第k 次依次移动k 个顶点。 如第一次移动1个顶点，棋子停在顶点B 处，第二次移动2个顶 点，棋子停在顶点D 。依这样的规则，在这10次移动的过程中， 棋子不可能分为两停到的顶点是( ) (A)C,E,F (B)C,E,G (C)C,E (D)E,F.
专题08 二次函数 例1 C ． 提示：③④⑤成立． 对于④，当x ＝－l 时，y ＝a b c -+＜0，∴a c +＜b ．又∵2b a - ＝1，则a ＝2b -代入上式，得2c ＜3b ； 对于⑤，当x ＝1时，max y ＝a b c ++，∴a b c ++＞2am bm c ++，则a b +＞()m am b +（m ≠1）． 例2 B ． 提示：S ＝2b ，b ＞0，b ＝1a +，a ＜0． 例3 （1）O （0，0），B （2，—10），y ＝22510 63 x x - +． （2）x ＝3325-＝85时，y ＝163-，此时运动员距水面的高为10－163＝14 3＜5，故此次试跳会出现失误． 例4 （1）y 24)x - （2）P （0 ，）； （3）由点点A （l ，0），C （4 ，，B （7，0）得∠BAC ＝∠ABC ＝30°，∠ACB ＝120°． ①若以AB 为腰，∠BAQ 为顶角，使△ABQ ∽△CBA ，则Q （－2 ，； ②若以BA 为腰，∠ABQ ′为顶角，由对称性得另一点Q ′（10 ，； ③若以AB 为底，AQ 、BQ 为腰．则Q 点在抛物线的对称轴上，舍去． 例5 由 NP BC CN -＝BF AF ，得34NP x --＝12，∴NP ＝152 x -+，∴y ＝1(5)2x x -+＝21 (5)12.52x --+（2≤x ≤4） ．∵y 随x 的增大而增大，∴当x ＝4时，y 有最大值为21 (45)12.52 -?-+＝12． 例6 （l ）y 2 （2） ①令2＝0，得1x ＝－1，2x ＝1，则抛物线1c 与x 轴的两个交点坐标为（－1，0），（1，0）．∴ A （1m --，0）， B （1m -，0）．同理可得D （1m -+，0），E （1m +，0）．当AD ＝1 3AE 时，如图 1， (1)(1)m m -+---＝[]1(1)(1)3m m +---， ∴m ＝12．当AB ＝1 3 AE 时，如图2，(1)(1)m m ----＝ []1(1)(1)3m m +---，∴m ＝2．∴当m ＝1 2 或2时，B 、D 是线段AE 的三等分点．
1 九年级数学竞赛试卷 班级：_____________ 姓名： ________________ 分数： 一、选择（本题共8个小题，每小题5分，共40分） 1、篆刻是中国独特的传统艺术,篆刻出来的艺术品叫印章．印章的文字刻成凸状的称为“阳文”，刻成凹状的称为“阴文”．如图1的“希望”即为阳文印章在纸上盖出的效果，此印章是下列选项中的（阴影表示印章中的实体部分，白色表示印章中的镂空部分） （ ） 2、已知两圆的半径R 、r 分别为方程0652 =+-x x 的两根，两圆的圆心距为1，两圆的位置关 系是（ ） A ．外离 B ． 外切 C ．相交 D ．内切 3、已知：4x =9y =6，则y 1x 1+等于( )A 、2 B 、1 C 、21 D 、2 3 4、抛物线 c bx x y ++=2 图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为322--=x x y ，则b 、c 的值为（ ） A .b=2，c=0 B. b=2， c=2 C . b= -2，c=-1 D. b= -3， c=2 5、若不等式组?? ?>++<+-m x x m x 110 4的解集是4>x ，则（ ） A 、29≤m B 、5≤m C 、29 =m D 、5=m 6、已知0221≠+=+b a b a ，则b a 的值为（ ）A 、-1 B 、1 C 、2 D 、不能确定 7、任何一个正整数n 都可以写成两个正整数相乘的形式，对于两个乘数的差的绝对值最小的一种 分解：q p n ?=（q p ≤）可称为正整数n 的最佳分解，并规定q p n F =)(．如：12=1×12=2 ×6=3×4，则43)12(=F ，则在以下结论: ①21)2(=F ②8 3 )24(=F ③若n 是一个完 全平方数，则1)(=n F ④若n 是一个完全立方数，即3 a n =（a 是正整数），则a n F 1)(=。 中，正确的结论有：（ ）A 、4个 B 、3个 C 、2个 D 、1个 8、如图3，在四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，∠ABC=60°，AD=4，CD=10，则BD 的长等于 （ ） A 、134 B 、38 C 、12 D 、310 如图3 二、填空（本题共8个小题，每小题5分，共40分） 9、若“!”是一种数学运算符号，并且：1!=1，2!=2×1=2，3!＝3×2×1=6，4!=4×3×2×1，…， 则100!98! ＝ 。 10、设-1≤x ≤2，则22 1 2++- -x x x 的最大值与最小值之差为 11、给机器人下一个指令[s ，A ]（0≥s ， 1800<≤A ），它将完成下列动作：①先在原地向 左旋转角度A ；②再朝它面对的方向沿直线行走s 个单位长度的距离。现机器人站立的位置为坐标原点，取它面对的方向为x 轴的正方向，取它的左侧为y 轴的正方向，要想让机器人移动到点（5-，5）处，应下指令： 。 12、设a b ，是方程220090x x +-=的两个实数根，则2 2a a b ++的值是 13、已知抛物线y=3(x －2)（x+4）则抛物线的对称轴是__________________ 14、汽车燃油价税费改革从2009年元旦起实施：取消养路费，同时汽油消费 税每升提高0.8元。若某车一年的养路费是1440元,百公里耗油8升,在“费改税”前后该车的年支出与年行驶里程的关系分别如图4中的1l 、2 l 所示，则1l 与2l 的交点的横坐标=m (不考虑除养路费和燃油费以外的其它费用) 。 图（4） 15、已知⊙O 的半径为5cm ，AB 、CD 是⊙O 的弦，且 AB=8cm ，CD=6cm ，AB ∥CD ，则AB 与CD 之间的距离为__________. 16、设322 13031 x 2(a x a x a x a +++=+）,这是关于x 的一个恒等式(即对于任意x 都成立)。则31a a +的值是 . 三、解答（40分） 17、（12分=5分+7分）如图，矩形纸片ABCD 中，8AB =，将纸片折叠，使顶点B 落在边AD 的E 点上，折痕的一端G 点在边BC 上，10BG =． （1）当折痕的另一端F 在AB 边上时，如图（5），求EFG △的面积； （2）当折痕的另一端F 在AD 边上时，如图（6），证明四边形BGEF 为菱形，并求出折痕GF 的长。 图 1
九年级数学竞赛题 （全卷满分120分 考试时间100分钟） 一选择题（共10小题，每小题3分，计30分。每小题只有一个选项是符合题意) 1.三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（ ） 2.三角形的两边长分别为2和6，第三是方程x 2 -2x-3=0的解，则第三边的长为（ ） A. 7 B.3 C.7或3 D.无法确定 3下列旋转体中三视图相同的是（ ） 4若顺次连接四边形ABCD 各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD 一定是（ ） Ａ.矩形 Ｂ．菱形 Ｃ．对角线互相垂直的四边形 Ｄ．对角线相等的四边形 ５在Rt △ABC 中，若∠C=90O ,BC=6,AC=8,sinA 的值为（ ） A. 45 B. 35 C.43 D. 34 6若二次函数y=ax 2 +bx+c 的x 与y 的部分对应值如下表 则当x=1时，y 的值为 A. 5 B.-3 C-13 D.-27 7若二次函数y=ax 2 +c,当x 取x 1,x 2(x 1≠x 2)时，函数值相等，则当x 取x 1+x 2时，函数值为（ ）A.a+c B.a-c C.-c D.c 8.已知抛物线y=x 2 +2x+m 的顶点在直线y=-2x+1上，则m 的值为（ ) A.2 B.3 C.4 D.5 9.在平面直角坐标系中，A(-3,4),B(3,2)在x 轴上找一点p,使PA+PB 最小，则点P 的坐标是（ ）A.(-1,0) B.(0，0） C.(1,0） D.(3,0) 10．一个暗箱里装有10个黑球，8个白球，12个红球，每个球出颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到白球的概率是（ ） （A ） 31 (B)81 (C)154 (D)11 4 二填空题（本题共6小题，每小题4分共计24分） 11、方程(m 2 －1)x 2 +(m －1)x+1=0，当m 时，是一元二次方程；当m 时，是一元一次方程. 12.、已知函数 x y 41 - =，当x ＜0时，y _______0，此时，其图象的相应部分在第_______象限； 13王老师假期中去参加高中同学聚会，聚会时，所有到会的同学都互相握了一次手，王老师发现共握手 435次，则参加聚会的同学共有多少人？设参加聚会的同学共有x 人，则根据题意，可列方程： . 14．如图，已知AB 是线段CD 的垂直平分线，E 是AB 上的一点，如果EC=7cm ，那么ED= cm ；如果∠ECD=60°，那么∠EDC= C A D B E
第23讲 几何定值 知识纵横 几何定值，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些集合性质或位置关系不变。 解几何定值问题的基本方法是： 分清问题的定量和变量，运用极端位置、特殊位置、直接计算等方法，先探求出定值，再给出一般情形下的证明。 例题求解 【例1】 （1）如图1，圆内接ABC ?中，CA BC AB ==，OE OD ,为圆O 的半径， BC OD ⊥于点F ，AC OE ⊥于点G ，求证：阴影部分四边形OFCG 的面积是ABC ?的 面积的 3 1 . （2）如图2，若DOE ∠保持?120角度不变，求证：DOE ∠绕着O 点旋转时，由两条半径和ABC ?的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是ABC ?的面积的 3 1． （广东省中考题） 思路点拨 对于（1），连OC OA 、，则要证明ABC OAC S S ??=3 1 ，只需证明OCF OAG ???；对于（2），类比（1）的证明方法证明。
【例2】如图，⊙1O 和⊙2O 外切于点A ，BC 是⊙1O 和⊙2O 的公切线，C B ,为切点． （1）求证：AC AB ⊥； （2）过点A 的直线分别交⊙1O 和⊙2O 于点E D ,，且DE 是连心线时，直线DB 与直线EC 交于点F ．请在图中画出图形，并判断DF 与EF 是否互相垂直，请证明；若不垂直，请说明理由； （3）在（2）的其他条件不变的情况下，将直线DE 绕点A 旋转（DE 不与点C B A ,,重合），请另画出图形，并判断DF 与EF 是否互相垂直？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由． （沈阳市中考题） 思路点拨 按题意画出图形，充分运用角的知识证明若?=∠90DFE ，则EF DF ⊥这一位置关系不变。
九年级数学抽测试题 一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分． ) 1．下列一元二次方程没有实数根的是( ) A ．x 2＋6x ＋9＝0 B ．x 2－5＝0 C ．x 2＋x ＋3＝0 D ．x 2－2x －1＝0 2．用配方法解方程x 2＋1＝8x ，变形后的结果正确的是( ) A ．(x ＋4)2＝15 B ．(x ＋4)2＝17 C ．(x －4)2＝15 D ．(x －4)2＝17 3．把抛物线y ＝－1 2x 2向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到的抛物线 解析式为( ) A ．y ＝－12(x ＋1)2＋1 B ．y ＝－1 2(x ＋1)2－1 C ．y ＝－12(x －1)2＋ 1 D ．y ＝－1 2 (x －1)2－1 4．如图，将△ABC 绕点A 顺时针旋转60°得到△AED.若线段AB ＝3，则BE ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 5．如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上.若?=∠55ABD ， 则BCD ∠的度数为（ ） A ．?25 B ．?30 C ．?35 D ．?40 6．如图，以AB 为直径，点O 为圆心的半圆经过点C ，若AC ＝BC ＝2，则图中阴影部分的面积是( ) A.π4 B.12＋π4 C.π2 D.12＋π2 7．如图，点O 为平面直角坐标系的原点，点A 在x 轴上，△OAB 是边长为4的等边三角形，以O 为旋转中心，将△OAB 按顺时针方向旋转60°，得到△OA′B′，那么点A′的坐标为 C A O B D
( ) A．(2，23) B．(－2，4) C．(－2，22) D．(－2，23) 8．关于抛物线y＝x2－4x＋4，下列说法错误的是( ) A．开口向上B．与x轴有两个重合的交点 C．对称轴是直线x＝2 D．当x＞2时，y随x的增大而减小 9．如图，一边靠墙(墙有足够长)，其它三边用12 m长的篱笆围成一个矩形(ABCD)花园，这个花园的最大面积是( ) A．16 m2B．12 m2C．18 m2D．以上都不对 10.函数y＝mx＋n与y＝n mx，其中m≠0，n≠0，那么它们在同一直角坐标系中的图象可能是() 二、填空题(每小题3分，共15分) 11．在国家政策的宏观调控下，某市的商品房成交价由去年10月份的7 000元/m2下降到12月份的5 670元/m2，则11、12两月平均每月降价的百分率是。 12．一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的9个红球，3个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在0.2，则袋中约有绿球个． 13. 如图，矩形ABCD的边AB与y轴平行，顶点A的坐标为（1，2），点B与点D在反比例 函数 6 y x （x＞0）的图象上，则点C的坐标为。
2016年全国初中数学联合竞赛试题 第一试 (3月20日上午8:30 - 9:30) 一、选择题（本题满分42分，每小题7分） (本题共有6个小题，每题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内. 每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.) 1.用[]x 表示不超过x 的最大整数，把[]x x -称为x 的小数部分.已知 t =，a 是t 的小数部分，b 是t -的小数部分，则 11 2b a -= （ ） . A 12. B . C 1. D 2.三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，那么不同的购书方案有 （ ） .A 9种 .B 10种 .C 11种 .D 12种 3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如：333321(1),2631,=--=-2和26均为“和谐数”.那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为 （ ） .A 6858.B 6860.C 9260.D 9262 3(B ）.已知二次函数2 1(0)y ax bx a =++≠的图象的顶点在第二象限，且过点(1,0).当 a b -为整数时，ab = （ ） .A 0.B 14.C 3 4 -.D 2- 4.已知O 的半径OD 垂直于弦AB ,交AB 于点C ，连接AO 并延长交O 于点E ,若 8,AB =2CD =,则BCE ?的面积为 （ ） .A 12.B 15.C 16.D 18 5.如图，在四边形ABCD 中，0 90BAC BDC ∠=∠=，AB AC =1CD =,对角线 的交点为M ，则DM = ( ) . A .B . C 2 .D 12 6.设实数,,x y z 满足1,x y z ++=则23M xy yz xz =++的最大值为 ( )
配方法 把一个式子或一个式子的部分改写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式，这种解题方法叫配方法。 配方法的作用在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具；配方法的实质在于改变式子的原有结构，是变形求解的一种手段。 运用配方法解题的关键在于“配凑”，“拆”与“添”是配方中常用的技巧。熟悉以下基本等式： 1.222)(2b a b ab a ±=+± 2.2222)(222c b a ac bc ab c b a ++=+++++； 3.[] 2222 2 2 )()()(2 1 a c c b b a ca b c ab c b a ±+±+±= ±±±++ 4.a b ac a b x a c bx ax 44222 2 -+ ??? ? ?+=++ 【例1】已知y x ,实数满足0332=-++y x x ，则y x +的最大值为 （镇江市中考题） 思路点拨 把y 用x 的式子表示，通过配方法求出y x +的最大值。 【例2】已知c b a 、、，满足722 =+b a ，122 -=-c b ， 1762 -=-a c ，则c b a ++的值等于（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 （河北省竞赛题） 思路点拨 由条件等式的特点，从整体叠加配方入手 【例3】已知a 是正整数，且a a 2004 2 +是一个正整数的平方，求a 的最大值。 （北京市竞赛题） 思路点拨 设2 2 2004m a a =+（m 为正整数），解题的关键是把等式左边配成完全平方式。 【例4】已知c b a 、、是整数，且01,422 =-+=-c ab b a ，求c b a ++的值 （浙江省竞赛题）
第八讲由常量数学到变量数学 数学漫长的发展历史大致历经四个时期：以自然数、分数体系形成的萌芽期；以代数符号体系形成的常量数学时期；以函数概念产生的变量数学时期；以集合论为标志的现代数学时期． 函数是数学中最重要的概念之一，它是变量数学的标志，“函数”是从量的侧面去描述客观世界的运动变化、相互联系，从量的侧面反映了客观世界的动态和它们的相互制约性．函数的基本知识有：与平面直角坐标系相关的概念、函数概念、函数的表示法、函数图象概念及画法． 在坐标平面内，由点的坐标找点和由点求坐标是“数”与“形”相互转换的最基本形式．点的坐标是解决函数问题的基础，函数解析式是解决函数问题的关键，所以，求点的坐标、探求函数解析式是研究函数的两大重要课题． 【例题求解】 【例1】在平面直角坐标系内，已知点A(2，2)，B(2，-3)，点P在y轴上，且△APB为直角三角形，则点P的个数为． 思路点拨先在直角坐标平面内描出A、B两点，连结AB，因题设中未指明△APB的哪个角是直角，故应分别就∠A、∠B、∠C为直角来讨论，设点P (0，x)，运用几何知识建立x 的方程． 注：点的坐标是数与形结合的桥梁，求点的坐标的基本方法有： (1)利用几何计算求； (2)通过解析式求； (3)解由解析式联立的方程组求． 【例2】如图，向放在水槽底部的烧杯注水(流量一定)，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽．水槽中水面上升高度h与注水时间之间的函数关系，大致是下列图象中的( )
思路点拨向烧杯注水需要时间，并且水槽中水面上升高0 h． 注：实际生活中量与量之间的关系可以形象地通过图象直观地表现出来，如心电图、，股市行情走势图等，图象中包含着丰富的图象信息，要善于从图象的形状、位置、发展变化趋势等有关信息中获得启示． 【例3】南方A市欲将一批容易变质的水果运往B市销售，共有飞机、火车、汽车三种运输方式，现只可选择其中的一种，这三种运输方式的主要参考数据如下表所示： 若这批水果在运输(包括装卸)过程中的损耗为200元/小时，记A、B两市间的距离为x 千米． (1)如果用W l、W2、W3分别表示使用飞机、火车、汽车运输时的总支出费用(包括损耗)，求出W l、W2、W3与小x间的函数关系式． (2)应采用哪种运输方式，才使运输时的总支出费用最小? 思路点拨每种运输工具总支出费用＝途中所需费用(含装卸费用)+损耗费用；总支出费用随距离变化而变化，由W l—W2＝0，W2一W3=0，先确定自变量的特定值，通过讨论选择最佳运输方式．
者相中学2016年秋季九年级（上）数学竞赛试卷 （考试时间：120分钟满分120分） 姓名班级得分 一、选择题（每小题4分，共32分） 1．下列车标图案中，是中心对称图形的是（） A．B．C．D． 2．对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（） A．开口向下B．对称轴是x=﹣1 C．顶点坐标是（1，2）D．与x轴有两个交点 3．某商品经过两次连续降价，每件售价由原来的100元降到了64元．设平均每次降价的百分率为x，则下列方程中正确的是（） A．100（1+x）2=64 B．64（1+x）2=100 C．64（1﹣x）2=100 D．100（1﹣x）2=64 4．将抛物线y=x2沿y轴向上平移一个单位后得到的新抛物线的解析式为（）A．y=（x+1）2B．y=（x﹣1）2C．y=x2+1 D．y=x2﹣1 5．已知抛物线y=x2﹣x﹣2与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2016的值为（） A．2015 B．2016 C．2017 D．2018 6．半径为R的圆内接正六边形的面积是（） A．R2B．R2C．R2D．R2 7．75°的圆心角所对的弧长是πcm，则此弧所在圆的半径是（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm 8．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=70°，将△ABC绕点A顺时针旋转70°，B、C旋转后的对应点分别是B′和C′，连接BB′，则∠BB′C′的度数是（）A．35°B．40°C．45°D．50°
二、填空题（每小题4分，共20分） 9．二次函数y=（x﹣1）2﹣2的顶点与x轴的交点所围成图形的的面积是______．10．如图，⊙O的直径CD=10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD于M，且CM=2，则AB的长为______． 11．已知二次函数y=x2+bx+c的图象如图所示，则关于x的方程x2+bx+c=0的解为x1=______，x2= . 12．如图，两圆圆心相同，大圆的弦AB与小圆相切，AB=8，则图中阴影部分的面积是______．（结果保留π） 13．如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，那么DH的长是______． 三、解答题（共6小题，共68分） 14．（10分）如图，将四边形ABCD绕原点O旋转180°得四边形A′B′C′D′．（1）画出旋转后的四边形A′B′C′D′； （2）写出A′、B′、C′、D′的坐标； （3）若每个小正方形的边长是1，请直接写出四边形ABCD的面积．
专题10 最优化 阅读与思考 数学问题中常见的一类问题是：求某个变量的最大值或最小值；在现实生活中，我们经常碰到一些带有“最”字的问题，如投入最少、效益最大、材料最省、利润最高、路程最短等，这类问题我们称之为最值问题，解最值问题的常见方法有： 1．配方法 由非负数性质得()02 ≥±b a ． 2．不等分析法 通过解不等式（组），在约束条件下求最值． 3．运用函数性质 对二次函数()02 ≠++=a c bx ax y ，若自变量为任意实数值，则取值情况为： （1）当0>a ，a b x 2-=时，a b ac y 442-=最小值 ； （2）当0 【例3】()2 13 22+-=x x f ，在b x a ≤≤的范围内最小值2a ，最大值2b ，求实数对(a ，b ). 解题思路:本题通过讨论a ，b 与对称轴0=x 的关系得出结论． 【例4】（1）已知2 11- + -=x x y 的最大值为a ，最小值b ，求2 2b a +的值． （“《数学周报》杯”竞赛试题） （2）求使()168422 +-+ +x x 取得最小值的实数x 的值． （全国初中数学联赛试题） （3）求使2016414129492222+-+++-++y y y xy x x 取得最小值时x ，y 的值． （“我爱数学”初中生夏令营数学竞赛试题） 解题思路：解与二次根式相关的最值问题，除了利用函数增减性、配方法等基本方法外，还有下列常用方法：平方法、判别式法、运用根式的几何意义构造图形等． 【例5】如图，城市A 处位于一条铁路线上，而附近的一小镇B 需从A 市购进大量生活、生产用品，如果铁路运费是公路运费的一半，问：该如何从B 修筑一条公路到铁路边，使从A 到B 的运费最低？ （河南省竞赛试题） 解题思路：设铁路与公路的交点为C ，AC ＝x 千米，BC ＝y 千米，AD ＝n 千米，BD ＝m 千米，又设铁路每千米的运费为a 元，则从A 到B 的运费( ) ay m y n a S 222+--=，通过有理化，将式子整理 为关于y 的方程．
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