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2012年高考理科数学解析分类汇编(6)---平面向量(含详解)

2012年高考真题理科数学解析汇编：立体几何

一、选择题

错误！未指定书签。．（2012年高考（新课标理））已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球

O 的求面上,ABC ?是边长为1的正三角形,

SC 为球O 的直径,且2SC =;则此棱锥的体积为

（）

A ．

B ．

C ．

23 D ．

错误！未指定书签。．（2012年高考（新课标理））如图,网格纸上小正方形的

边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为

（）

A ．6

B ．9

C ．12

D ．18

错误！未指定书签。．（2012年高考（浙江理））已知矩形ABCD ,AB =1,BC =2.

将?ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻着,在翻着过程中, （）

A ．存在某个位置,使得直线AC 与直线BD 垂直

B ．存在某个位置,使得直线AB 与直线CD 垂直

C ．存在某个位置,使得直线A

D 与直线BC 垂直

D ．对任意位置,三直线“AC 与BD ”,“AB 与CD ”,“AD 与BC ”均不垂直

错误！未指定书签。．（2012年高考（重庆理））设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,2

和a ,且长为a 的棱与长为2的棱异面,则a 的取值范围是（）

A ．(0,2)

B ．(0,3)

C ．(1,2)

D ．(1,3)

错误！未指定书签。．（2012年高考（四川理））如图,半径为R 的

半球O 的底面圆O 在平面α内,过点O 作平面α的垂线交半球面于点A ,过圆O 的直径CD 作平面α成45

角的平面与半

球面相交,所得交线上到平面α的距离最大的点为B ,该交线上的一点P 满足60BOP ∠=

,则A 、P 两点间的球面距离为

（）

A ．2arccos

4R B ．4

π C ．3arccos

3R D ．3

π 错误！未指定书签。．（2012年高考（四川理））下列命题正确的是

（）

A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行

B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行

C ．若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行

D ．若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行

错误！未指定书签。．（2012年高考（上海春））已知空间三条直线.l m n 、、若l 与m 异

面,且l 与n 异面,则 [答] （）

A ．m 与n 异面.

B ．m 与n 相交.

C ．m 与n 平行.

D ．m 与n 异面、相交、平行均有可能.

错误！未指定书签。．（2012年高考（陕西理））如图,在空间直角坐标系中有

直三棱柱111ABC A B C -,12CA CC CB ==,则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为（）

A ．

55 B ．

C ．

D ．

错误！未指定书签。．（2012年高考（江西理））如图,已知正四棱锥S-ABCD 所有棱长都为

1,点E 是侧棱SC 上一动点,过点E 垂直于SC 的截面将正四棱锥分成上、下两部分.记SE=x(0

错误！未指定书签。．（2012年高考（湖南理））某几何体的正视图和侧视图均如图1所示,

则该几何体的俯视图不可能是

错误！未指定书签。．（2012年高考（湖北理））我国古代数学名著《九章算术》中“开立

圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径. “开立圆术”相

当于给出了已知球的体积V ,求其直径d 的一个近似公式316

d V ≈. 人们还用过一些

类似的近似公式. 根据π =3.14159 判断,下列近似公式中最精确的一个是（）

A ．3169d V ≈

B ．3

2d V ≈ C ．3300157d V ≈ D ．

32111d V ≈

(一)必考题(11—14题)

错误！未指定书签。．（2012年高考（湖北理））已知某几何体的三视图如图所示,则该几

何体的体积为

（） A 图1 B C D

2 4

2 俯视

图

A ．8π3

B ．3π

C ．

10π

D ．6π

错误！未指定书签。．（2012年高考（广东理））(立体几何)某几何体的三视图

如图1所示,它的体积为（）

A ．12π

B ．45π

C ．57π

D ．81π

错误！未指定书签。．（2012年高考（福建理））一个几何体的三视图形状都相

同、大小均相等,那么这个几何体不可以是（）

A ．球

B ．三棱柱

C ．正方形

D ．圆柱

错误！未指定书签。．（2012年高考（大纲理））已知正四棱柱1111

ABCD A B C D -中,12,22,AB CC E ==为1CC 的中点,则直线1AC 与平面BED 的距离为（） A ．2

B ．3

C ．2

D ．1

错误！未指定书签。．（2012年高考（北京理））某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表

面积是（）

A ．2865+

B ．3065+

C ．56125+

D ．60125+

错误！未指定书签。．（2012年高考（安徽理））设平面α与平面β相交于直线m ,直线a 在

平面α内,直线b 在平面β内,且b m ⊥,则“αβ⊥”是“a b ⊥”的（）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．即不充分

不必要条件

二、填空题

错误！未指定书签。．（2012年高考（天津理））―个几何体的三视图如图所示(单

位:m ),则该几何体的体积为______3

m .

错误！未指定书签。．（2012年高考（浙江理））已知某三棱锥的三

视图(单位:cm)如图所示,则该三棱锥的体积等于

___________cm 3

错误！未指定书签。．（ 2012年高考（四川理））如图,在正方体

1111ABCD A B C D -中,M 、N 分别是CD 、1CC 的中点,则异

面直线1A M 与DN 所成角的大小是____________.

错误！未指定书签。．（2012年高考（上海理））如图,AD 与BC 是四

面体ABCD 中互相垂直的棱,BC=2。若AD=2c ,且AB+BD=AC+CD=2a ,其中a 、c 为常数,则四面体ABCD 的体积的最大值是 _________ .

错误！未指定书签。．（2012年高考（上海理））若一个圆锥的侧面展开图

是面积为2π的半圆面,则该圆锥的体积为_________ .

侧视图

俯视图

正视图

B 1

A 1

C 1

D 1

错误！未指定书签。．（2012年高考（山东理））如图,正方体

1111

ABCD A B C D

-的棱长为

1,,E F分别为线段

AA B C上的点,则三棱锥

D E D F

-的体积为____________.

错误！未指定书签。．（2012年高考（辽宁理））已知正

三棱锥P-ABC,点P,A,B,C都在半径为3的求面上,

若PA,PB,PC两两互相垂直,则球心到截面ABC的距

离为________.

错误！未指定书签。．（2012年高考（辽宁理））一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为______________.

错误！未指定书签。．（2012年高考（江苏））如图,在长方体

1111

ABCD ABC D

中,3cm

AB AD

==,

2cm

AA=,则四棱锥

A B

B D D

-的体积为____cm3.

错误！未指定书签。．（2012年高考（大纲理））三棱柱

111

ABC A B C

-中,底

面边长和侧棱长都相等,

BAA CAA

∠=∠=?,则异面直线

AB与

BC所成角的余弦值为_____________.

错误！未指定书签。．（2012年高考（安徽理））某几何体的三

视图如图所示,该几何体的表面积是_____.

三、解答题

错误！未指定书签。．（2012年高考（天津理））如图,在四棱锥

P ABCD

-中,PA丄平面ABCD,AC丄AD,AB丄

BC,0

=45

ABC

∠,==2

PA AD,=1

AC.

(Ⅰ)证明PC丄AD;

(Ⅱ)求二面角A PC D

--的正弦值;

(Ⅲ)设E为棱PA上的点,满足异面直线BE与CD所成的角为0

30,求AE的长.

A B

错误！未指定书签。．（2012年高考（新课标理））如图,直三棱柱111

ABC A B C -中,11

AC BC AA ==

,D 是棱1AA 的中点,BD DC ⊥1 (1)证明:BC DC ⊥

(2)求二面角11C BD A --的大小.

错误！未指定书签。．（2012年高考（浙江理））如

图,在四棱锥P —ABCD 中,底面是边长为23的菱形,且∠BAD =120°,且PA ⊥平面

ABCD ,PA =26,M ,N 分别为PB ,PD 的中点.

(Ⅰ)证明:MN ∥平面ABCD ;

(Ⅱ) 过点A 作AQ ⊥PC ,垂足为点Q ,求二面角A —MN —Q 的平面角的余弦值.

错误！未指定书签。．（2012年高考（重庆理））(本小题满分12分(Ⅰ)小问4分(Ⅱ)小问8

分)

如图,在直三棱柱111C B A ABC - 中,AB=4,AC=BC=3,D 为AB 的中点 (Ⅰ)求点C 到平面11A ABB 的距离;

(Ⅱ)若11AB AC ⊥,求二面角 11A CD C --的平面角的余弦值.

错误！未指定书签。．（2012年高考（四川理））如图,在三棱锥

P ABC

-中,90APB ∠= ,60PAB ∠= ,AB BC CA ==,平面PAB ⊥平面ABC . (Ⅰ)求直线PC 与平面ABC 所成角的大小; (Ⅱ)求二面角B AP C --的大小.

错误！未指定书签。．（2012年高考（上海理））如图,在四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 是矩

形,PA ⊥底面ABCD ,E 是PC 的中点.已知AB=2, AD=22,PA=2.求: (1)三角形PCD 的面积; (2)异面直线BC 与AE 所成的角的大小.

错误！未指定书签。．（2012年高考（上海春））如图,正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面

边长为1,高为2,M 为线段AB 的中点.求: (1)三棱锥1C MBC -的体积;

(2)异面直线CD 与1MC 所成角的大小(结果用反三角函数值表示)

错误！未指定书签。．（2012年高考（陕西理））(1)如图,证明命题“a

是平面π内的一条

直线,b 是π外的一条直线(b 不垂直于π),c 是直线b 在π上的投影,若a b ⊥,则

a c ⊥”为真.

(2)写出上述命题的逆命题,并判断其真假 (不需要证明)

[来源:2]

A B C

D P E

A B C D

A 1

B 1

C 1

D 1

错误！未指定书签。．（2012年高考（山东理））在如图所

示的几何体中,四边形ABCD 是等腰梯

形,AB ∥CD ,60,DAB FC ∠=⊥

平面,,ABCD AE BD CB CD CF ⊥==. (Ⅰ)求证:BD ⊥平面AED ;

(Ⅱ)求二面角F BD C --的余弦值.

错误！未指定书签。．（2012年高考（辽宁理））如图,直三棱柱

///ABC A B C -,90BAC ∠= ,

/,AB AC AA λ==点M ,N 分别为/A B 和//B C 的中点.

(Ⅰ)证明:MN ∥平面//A ACC ;

(Ⅱ)若二面角/A MN C --为直二面角,求λ的值.

错误！未指定书签。．（2012年高考（江西理））在三棱柱111ABC A B C -中,已知

15,4AB AC AA BC

====,在1A 在底面ABC 的投影是线段BC 的中点O 。

(1)证明在侧棱1AA 上存在一点E ,使得OE ⊥平面11BB C C ,并求出AE 的长; (2)求平面11A B C 与平面11BB C C 夹角的余弦值。

错误！未指定书签。．（2012年高考（江苏））如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,1111A B AC =,D E ，

分别是棱1BC CC ，上的点(点D 不同于点C ),且AD DE F ⊥，为11B C 的中点.

求证:(1)平面ADE ⊥平面11BCC B ; (2)直线1//A F 平面ADE .

错误！未指定书签。．（2012年高考（湖南理））如图5,在四棱锥P-ABCD 中,PA⊥平面

ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90°,E 是CD 的中点.

(Ⅰ)证明:CD⊥平面PAE;

(Ⅱ)若直线PB 与平面PAE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等,求四棱锥P-ABCD 的体积.

错误！未指定书签。．（2012年高考（湖北理））如

图

A B

C D

P E

1,45ACB ∠= ,3BC =,过动点A 作AD BC ⊥,垂足D 在线段BC 上且异于点B ,连接AB ,沿AD 将△ABD 折起,使90BDC ∠= (如图2所示). (Ⅰ)当BD 的长为多少时,三棱锥A BCD -的体积最大;

(Ⅱ)当三棱锥A BCD -的体积最大时,设点E ,M 分别为棱BC ,AC 的中点,试在棱CD 上确定一点N ,使得EN ⊥BM ,并求EN 与平面BMN 所成角的大小.

错误！未指定书签。．（2012年高考（广东理））如图5所示,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD

为矩形,PA ⊥平面ABCD ,点E 在线段PC 上,PC ⊥平面BDE . (Ⅰ)证明:BD ⊥平面PAC ;

(Ⅱ)若1PA =,2AD =,求二面角B PC A --的正切值.

错误！未指定书签。．（2012年高考（福建理））如图,在长方体

1111ABCD A B C D -中1,AB AD E ==为CD 中点.

(Ⅰ)求证:11B E AD ⊥

(Ⅱ)在棱1AA 上是否存在一点P ,使得//DP 平面1B AE ?若存在,求AP 的长;若不存在,说明理由.[

(Ⅲ)若二面角11A B E A --的大小为30?,求AB 的长.

图

图1

M E

. ·

错误！未指定书签。．（2012年高考（大纲理））(注意:在试题卷上作答无效．．．．．．．．．

)如图,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为菱形,PA ⊥底面

ABCD ,22AC =,2,PA E =是PC 上的一点,2PE EC =.

(1)证明:PC ⊥平面BED ;

(2)设二面角A PB C --为90?,求PD 与平面PBC 所成角的大小.

错误！未指定书签。．（2012年高考（北京理））如图1,在Rt△ABC 中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E

分别是AC,AB 上的点,

且DE∥BC,DE=2,将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置,使A 1C⊥CD,如图2. (1)求证:A 1C⊥平面BCDE;

(2)若M 是A 1D 的中点,求CM 与平面A 1BE 所成角的大小;

(3)线段BC 上是否存在点P,使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直?说明理由.

错误！未指定书签。．（2012年高考（安徽理））平面图形111ABB AC C 如图4所示,其中11BB C C

是矩形,12,4BC BB ==,2AB AC ==

11115A B A C ==.现将该平面图形分别沿BC 和11B C 折叠,使ABC ?与111A B C ?所在

平面都

与平面11BB C C 垂直,再分别连接111,,AA BA CA ,得到如图2所示的空间图形,对此空间图形解答下列问题.

B D

(Ⅰ)证明:1AA BC ⊥; (Ⅱ)求1AA 的长; (Ⅲ)求二面角1A BC A --的余弦值.

2012年高考真题理科数学解析汇编：立体几何参考答案

一、选择题

错误！未找到引用源。【解析】选A

ABC ?的外接圆的半径33r =

,点O 到面ABC 的距离2263

d R r =-= SC 为球O 的直径?点S 到面ABC 的距离为26

d =

此棱锥的体积为113262233436

ABC V S d ?=

?=??= 另:13

236

ABC V S R ?<

?=排除,,B C D 错误！未找到引用源。【解析】选B 该几何体是三棱锥,底面是俯视图,高为3

此几何体的体积为11

633932

V =

????= 错误！未找到引用源。【答案】B

【解析】最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着,观察在翻着过程,即可知选项B 是正确的.

错误！未找到引用源。【答案】A

【解析】2221(

),,2222

BE BF BE AB BF =-=<=<. 【考点定位】本题考查棱锥的结构特征,考查空间相象力,极限思想的运用,是中档题.

错误！未找到引用源。 [答案]A

[解析] 以O 为原点,分别以OB 、OC 、OA 所在直线为x 、y 、z 轴,

则22cos 4

AO PO AOP R ?∴∠== ,A )0,23

,21(),22,0,22(R R P R R

42arccos =∠∴AOP ,4

arccos

?=∴R P A

[点评]本题综合性较强,考查知识点较为全面,题设很自然的把向量、立体几何、三角函

数等基础知识结合到了一起.是一道知识点考查较为全面的好题.要做好本题需要有扎实的数学基本功.

错误！未找到引用源。 [答案]C

[解析]若两条直线和同一平面所成角相等,这两条直线可能平行,也可能为异面直线,也可能相交,所以A 错;一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行,故B 错;若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行,也可以垂直;故D 错;故选项C 正确.

[点评]本题旨在考查立体几何的线、面位置关系及线面的判定和性质,需要熟练掌握课

本基础知识的定义、定理及公式. 错误！未找到引用源。 D

错误！未找到引用源。解析:不妨设122CA CC CB ===,则

11(2,2,1),(0,2,1)

AB C B =-=-

111111(2)02(2)115

cos ,595AB C B AB C B AB C B

×-??+ <>==

=-′

,直线1BC 与直线1AB 夹角为锐角,所以余弦值为

,选A. 错误！未找到引用源。 A 【解析】本题综合考查了棱锥的体积公式,线面垂直,同时考查了函

数的思想,导数法解决几何问题等重要的解题方法. (定性法)当1

x <<时,随着x 的增大,观察图形可知,()V x 单调递减,且递减的速度越来越快;当

x ≤<时,随着x 的增大,观察图形可知,()V x 单调递减,且递减的速度越来越慢;再观察各选项中的图象,发现只有A 图象符合.故选A.

【点评】对于函数图象的识别问题,若函数()y f x =的图象对应的解析式不好求时,作为选择题,没必要去求解具体的解析式,不但方法繁琐,而且计算复杂,很容易出现某一步的计算错误而造成前功尽弃;再次,作为选择题也没有太多的时间去给学生解答;因此,使用定性法,不但求解快速,而且准确节约时间.

错误！未找到引用源。【答案】D

【解析】本题是组合体的三视图问题,由几何体的正视图和侧视图均如图1所示知,原图下面图为圆柱或直四棱柱,上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱,A,B,C 都可能是该几何体的俯视图,D 不可能是该几何体的俯视图,因为它的正视图上面应为如图的矩形. 【点评】本题主要考查空间几何体的三视图,考查空间想象能力.是近年高考中的热点题型.

错误！未找到引用源。考点分析:考察球的体积公式以及估算.

解析:由3346()32d V V d ππ=

?=,设选项中常数为a b ,则6b a

π=;A 中代入得69 3.37516π?=

=,B 中代入得6132π?==,C 中代入得6157 3.14300π?==,D 中代和主得611

3.14285721

π?==,由于D 中值最接近π的真实值,故选择D.

错误！未找到引用源。考点分析:本题考察空间几何体的三视图.

解析:显然有三视图我们易知原几何体为一个圆柱体的一部分,并且有正视图知是一个1/2的圆柱体,底面圆的半径为1,圆柱体的高为6,则知所求几何体体积为原体积的一半为3π.选B.

错误！未找到引用源。解析:C.该几何体下部分是半径为3,高为5的圆柱,体积为

23545V ππ=??=,上部分是半径为3,高为4的圆锥,体积为21

34123

V ππ=???=,

所以体积为57π.

错误！未找到引用源。【答案】D

【解析】分别比较ABC 的三视图不符合条件,D 符合.

【考点定位】考查空间几何体的三视图与直观图,考查空间想象能力、逻辑推理能力. 错误！未找到引用源。答案D

【命题意图】本试题主要考查了正四棱柱的性质的运用,以及点到面的距离的求解.体现了转换与化归的思想的运用,以及线面平行的距离,转化为点到面的距离即可.

【解析】连结BD AC ,交于点O ,连结OE ,因为E O ,是中点,所以1//AC OE ,且

AC OE =

,所以BDE AC //1,即直线1AC 与平面BED 的距离等于点C 到平面BED 的距离,过C 做OE CF ⊥于F ,则CF 即为所求距离.因为底面边长为2,高为22,所以22=AC ,2,2==

CE OC ,2=OE ,所以利用等积法得1=CF ,选 D.

错误！未找到引用源。【答案】B

【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥,本题所求表面积为三棱锥四个面的面积之和.利用垂直关系和三角形面积公式,可得:10,10,10,65S S S S ====后右左底,因此该几何体表面积3065S =+,故选B.

【考点定位】本小题主要考查的是三棱锥的三视图问题,原来考查的是棱锥或棱柱的体积而今年者的是表面积,因此考查了学生的计算基本功和空间想象能力. 错误！未找到引用源。【解析】选A

①,b m b b a αβα⊥⊥?⊥?⊥ ②如果//a m ;则a b ⊥与b m ⊥条件相同

二、填空题

错误！未找到引用源。【答案】18+9π

【命题意图】本试题主要考查了简单组合体的三视图的画法与体积的计算以及空间想象能力.

【解析】由三视图可该几何体为两个相切的球上方了一个长方体组成的组合体,所以其

体积为:3

43=361+2(

)32

V π????=18+9π3m . 错误！未找到引用源。【答案】1

【解析】观察三视图知该三棱锥的底面为一直角三角

形,右侧面也是一直角三角形.故体积等于11

312123

????=.

错误！未找到引用源。 [答案]90o

[解析]方法一:连接D 1M,易得DN⊥A 1D 1 ,DN⊥D 1M,

所以,DN⊥平面A 1MD 1,

又A 1M ?平面A 1MD 1,所以,DN⊥A 1D 1,故夹角为90o

方法二:以D 为原点,分别以DA, DC, DD 1为x, y, z 轴,建立空间直角坐标系D —xyz.设正方体边长为2,则D(0,0,0),N(0,2,1),M(0,1,0)A 1(2,0,2)

故,），（），（2,121,2,01-==MA DN 所以,cos<|

MA ||DN |11

1MA DN MA DN ?=??，

= 0,故DN⊥D 1M,所以夹角为90o

[点评]异面直线夹角问题通常可以采用两种途径: 第一,把两条异面直线平移到同一平面中借助三角形处理; 第二,建立空间直角坐标系,利用向量夹角公式解决.

错误！未找到引用源。 [解析] 作BE ⊥AD 于E ,连接CE ,则AD ⊥平面BEC ,所以CE ⊥AD ,

由题设,B 与C 都是在以AD 为焦距的椭球上,且BE 、CE 都垂直于焦距AD ,所以BE =CE . 取BC 中点F ,

连接EF ,则EF ⊥BC ,EF =2,122

1-=?=?BE EF BC S BEC , 四面体ABCD 的体积123

231-=?=?BE S AD V c

BEC ,显然,当E 在AD 中点,即

B 是短轴端点时,BE 有最大值为b =22c a -,所以1223

2max --=

c a V c .

[评注] 本题把椭圆拓展到空间,对缺少联想思维的考生打击甚大!当然,作为填空押轴题,区分度还是要的,不过,就抢分而言,胆大、灵活的考生也容易找到突破点:AB=BD (同时AC=CD ),从而致命一击,逃出生天!

错误！未找到引用源。 [解析] 如图,ππ22

1=l ?l =2,又2πr2=πl =2π?r =1, 所以h=3,故体积ππ3

1==h r V .

错误！未找到引用源。【解析】因为E 点在线段1AA 上,所以2

11211=??=

?DED S ,又因为F 点在线段C B 1上,所以点F 到平面1D E D 的距离为1,即1=h ,所以6

1213131111=??=??==?--h S V V D E D D E D F E D F D .

【答案】6

D B

E C

r l

P l 2πr

错误！未找到引用源。【答案】

【解析】因为在正三棱锥P -ABC 中,PA ,PB ,PC 两两互相垂直,所以可以把该正三棱锥看作为一个正方体的一部分,(如图所示),此正方体内接于球,正方体的体对角线为球的直径,球心为正方体对角线的中点.

球心到截面ABC 的距离为球的半径减去正三棱锥P -ABC 在面ABC 上的

高.已知球的半径为3,所以正方体的棱长为2,可求得正三棱锥

P -ABC 在面ABC 上的高为

233,所以球心到截面ABC 的距离为233

333

-= 【点评】本题主要考查组合体的位置关系、抽象概括能力、空间想象能力、运算求解能

力以及转化思想,该题灵活性较强,难度较大.该题若直接利用三棱锥来考虑不宜入手,注意到条件中的垂直关系,把三棱锥转化为正方体来考虑就容易多了. 错误！未找到引用源。【答案】38

【解析】由三视图可知该几何体为一个长方体在中间挖去了一个等高的圆柱,其中长方体的长、宽、高分别为4、3、1,圆柱的底面直径为2,所以该几何体的表面积为长方体的表面积加圆柱的侧面积再减去圆柱的底面积,即为

2(344131)21

ππ?+?+?+??-= 【点评】本题主要考查几何体的三视图、柱体的表面积公式,考查空间想象能力、运算求解能力,属于容易题.本题解决的关键是根据三视图还原出几何体,确定几何体的形状,然后再根据几何体的形状计算出表面积. 错误！未找到引用源。【答案】6.

【考点】正方形的性质,棱锥的体积.

【解析】∵长方体底面ABCD 是正方形,∴△ABD 中=32BD cm,BD 边上的高是

cm(它也是11A BB D D -中11BB D D 上的高). ∴四棱锥11A BB D D -的体积为13

3222=632

???.

错误！未找到引用源。答案

【命题意图】本试题考查了斜棱柱中异面直线的角的求解.用空间向量进行求解即可.

【解析】设该三棱柱的边长为1,依题意有1111,AB AB AA BC AC AA AB =+=+-

,则22

221111||()222cos 603

AB AB AA AB AB AA AA =+=+?+=+?=

2222211111||()2222

BC AC AA AB AC AA AB AC AA AC AB AA AB =+-=+++?-?-?= 而1111()()AB BC AB AA AC AA AB ?=+?+- 1111111111112222

AB AC AB AA AB AB AA AC AA AA AA AB

=?+?-?+?+?-?=+-++-=

11111116

cos ,6||||23

AB BC AB BC AB BC ?∴<>===?

错误！未找到引用源。【答案】92

【解析】由三视图可知,原几何体是一个底面是直角梯形,高为4的直四棱柱,其底面积为(25)4

2282

=,侧面积为(4255)464+++?=,故表面积为92. 【考点定位】考查三视图和表面积计算.

三、解答题

错误！未找到引用源。【命题意图】本小题主要考查空间两条直线的位置关系,二面角、异

面直线所成的角,直线与平面垂直等基础知识,考查用空间向量解决立体几何问题的方法,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.

方法一:（1）以,,AD AC AP

为,,x y z 正半轴方向，建立空间直角左边系A xyz -

则11(2,0,0),(0,1,0),(,,0),(0,0,2)22

D C B P -

(0,1,2),(2,0,0)0PC AD PC AD PC AD =-=?=?⊥

（2）(0,1,2),(2,1,0)PC CD =-=- ，设平面PCD 的法向量(,,)n x y z =

则0

202200n PC y z y z x y x z n CD ?=-==????????-===????

取1(1,2,1)z n =?= (2,0,0)AD =

是平面PAC 的法向量

630

cos ,sin ,66AD n AD n AD n AD n

<>==?<>=

得：二面角A PC D --的正弦值为

（3）设[0,2]AE h =∈；则(0,0,2)AE = ，11(,,),(2,1,0)22

BE h CD =-=-

23310

cos ,2101020BE CD BE CD h BE CD h

<>=?

=?=+

即1010AE =

方法二:(1)证明,由PA ⊥平面A B C D ,可得P A A D ⊥,又由

,A D A C P A A C A ⊥?=,故AD ⊥

平面PAC ,又PC ?平面PAC ,所以PC AD ⊥.

(2)解:如图,作AH PC ⊥于点H ,连接DH ,由

,PC AD PC AH ⊥⊥,可得PC ⊥平面A D H .因此,DH PC ⊥,从而AHD ∠为二面角A PC D --的平面角. 在Rt PAC ?中,2,1PA AC ==,由此得2

AH =

,由(1)知AD AH ⊥,故在R t D A

中,22

2305

DH AD AH =+=,因此

30sin 6AD AHD DH ∠=

=,所以二面角A PC D --的正弦值为30

【点评】试题从命题的角度来看,整体上题目与我们平时练习的试题相似,但底面是非特殊

的四边形,一直线垂直于底面的四棱锥问题,那么创新的地方就是第三问中点E 的位置

是不确定的,需要学生根据已知条件进行确定,如此说来就有难度,因此最好使用空间直角坐标系解决该问题为好.

错误！未找到引用源。【解析】(1)在Rt DAC ?中,AD AC =

得:45ADC ?

∠=

同理:1114590A DC CDC ?

∠=?∠=

得:111,DC DC DC BD DC ⊥⊥?⊥面1BCD DC BC ?⊥ (2)11,DC BC CC BC BC ⊥⊥?⊥面11ACC A BC AC ?⊥ 取11A B 的中点O ,过点O 作OH BD ⊥于点H ,连接11,C O C H

1111111AC B C C O A B =?⊥,面111A B C ⊥面1A BD 1C O ?⊥面1A BD 1OH BD C H BD ⊥?⊥ 得:点H 与点D 重合

且1C DO ∠是二面角11C BD A --的平面角设AC a =,则122

a C O =

,1112230C D a C O C DO ?

==?∠= 既二面角11C BD A --的大小为30?

错误！未找到引用源。【解析】本题主要考察线面平行的证明方法,建系求二面角等知识点.

(Ⅰ)如图连接BD .

∵M ,N 分别为PB ,PD 的中点, ∴在?PBD 中,MN ∥BD . 又MN ?平面ABCD , ∴MN ∥平面ABCD ; (Ⅱ)如图建系:

A (0,0,0),P (0,0,26),M (32-,3

,0), N (3,0, 0),C (3,3,0).

设Q (x ,y ,z ),则(33)(3326)CQ x y z CP =--=--

，，，，

，. ∵(3326)CQ CP λλλλ==--

，，,∴(333326)Q λλλ--，，. 由0OQ CP

OQ CP ⊥??=

,得:1

λ=. 即:2326(2)33Q ，，.

对于平面AMN :设其法向量为()n a b c =

，，.

∵33

(0)=(300)22

AM AN =- ，，，，，.

则3333

00122

300a AM n a b b AN n a c ?=

???=-

+=??

???

=???

?=???

?=?

=???

. ∴31

(0)33n = ，，. 同理对于平面AMN 得其法向量为(316)v =-

，，.

记所求二面角A —MN —Q 的平面角大小为θ,

则10

cos 5n v n v

θ?==?

∴所求二面角A —MN —Q 的平面角的余弦值为105

. 【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)

高考数学平面向量专题卷(附答案)

高考数学平面向量专题卷（附答案）一、单选题（共10题；共20分） 1.已知向量，则＝（） A. B. C. 4 D. 5 2.若向量，，若，则 A. B. 12 C. D. 3 3.已知平面向量，，且，则＝（） A. B. C. D. 4.已知平面向量、，满足，若，则向量、的夹角为（） A. B. C. D. 5.在中，的中点为，的中点为，则（） A. B. C. D. 6.已知平面向量不共线，且，，记与的夹角是，则最大时，（） A. B. C. D. 7.在中，，AD是BC边上的高，则等于（） A. 0 B. C. 2 D. 1 8.已知，则的取值范围是（） A. [0，1] B. C. [1，2] D. [0，2] 9.已知向量，的夹角为，且，则的最小值为（） A. B. C. 5 D. 10.已知椭圆：上的三点，，，斜率为负数的直线与轴交于，若原点是的重心，且与的面积之比为，则直线的斜率为（）

A. B. C. D. 二、填空题（共8题；共8分） 11.在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，﹣1），B（﹣3，﹣4）两点，若点C在∠AOB的平分线上，且，则点C的坐标是________． 12.已知单位圆上两点满足，点是单位圆上的动点，且，则的取值范围为________． 13.已知正方形的边长为1，，，，则________. 14.在平面直角坐标系中，设是函数（）的图象上任意一点，过点向直线和轴作垂线，垂足分别是，，则________． 15.已知为锐角三角形，满足，外接圆的圆心为，半径为1，则的取值范围是________. 16.设是边长为的正六边形的边上的任意一点，长度为的线段是该正六边形外接圆的一条动弦，则的取值范围为________. 17.设的外接圆的圆心为，半径为2，且满足，则的最小值为________. 18.如图，在中，，点，分别为的中点，若，，则 ________. 三、解答题（共6题；共60分） 19.的内角，，所对的边分别为，，．向量与平行．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求的面积． 20.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），已知点，点是曲线上任意一点，点为的中点，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.

2011—2019年新课标全国卷1理科数学分类汇编——9.解析几何

9．解析几何（含解析）一、选择题【2019，10】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =， 1||||AB BF =，则C 的方程为 A ．2 212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154 x y += 【2018.8】抛物线C ：y 2=4x 焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为 23直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ?u u u u r u u u r = A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 【2018.11】已知双曲线C ：2 213 x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若OMN △为直角三角形，则|MN |= A ． 32 B ．3 C ． D ．4 【2017，10】已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（） A ．16 B ．14 C ．12 D ．10 【2016，10】以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于B A ,两点，交C 的准线于E D ,两点，已知24=AB ,52=DE ，则C 的焦点到准线的距离为（） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 【2016，5】已知方程1322 22=--+n m y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（） A ．)3,1(- B ．)3,1(- C ．)3,0( D ．)3,0( 【2015，5】已知00(,)M x y 是双曲线C ：2 212 x y -=上的一点，12,F F 是C 的两个焦点，若120MF MF ?的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为 A B ．3 C D ．3m

历年高考数学试题分类汇编

2008年高考数学试题分类汇编圆锥曲线一．选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （ 4 1 ，－1） B. （4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和 22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a ＜22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a 的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞)

2019高考数学真题汇编平面向量

考点1 平面向量的概念及其线性运算 1．平面向量a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ． 1 D ．2 2．在下列向量组中，能够把向量a ＝(3，2)表示出来的是( ) A ．e 1＝(0，0)，e 2＝(1，2) B ．e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，－2) C ．e 1＝(3，5)，e 2＝(6，10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2，3) 考点2 平面向量基本定理及向量坐标运算 3．已知向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( ) A ．－92 B ．0 C ．3 D.152 4．设0<θ<π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________．考点3 平面向量的数量积及应用 5．已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2，1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，则|λ|＝___． 6．设向量a ＝(3，3)，b ＝(1，－1)．若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝___． 7．已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________． 8．若向量a ，b 满足：＝1，(a ＋b )⊥a ，(＋b )⊥b ，则|＝______． 9．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则＝______． 10．在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6 时，△ABC 的面积为______．考点4 单元综合 11．在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3，0)，动点D 满足 |CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________．练习： 1.已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1()2 AO AB AC =+，则AB 与AC 的夹角为 .

高三数学精准培优专题练习8：平面向量

培优点八平面向量 1．代数法例1：已知向量a ，b 满足=3a ，b 且()⊥+a a b ，则b 在a 方向上的投影为（） A ．3 B ．3- C ． D 【答案】C 【解析】考虑b 在a 上的投影为 ?a b b ，所以只需求出a ，b 即可．由()⊥+a a b 可得：()2 0?+=+?=a a b a a b ，所以9?=-a b ．进而?==a b b ．故选C ． 2．几何法例2：设a ，b 是两个非零向量，且2==+=a b a b ，则=-a b _______．【答案】【解析】可知a ，b ，+a b 为平行四边形的一组邻边和一条对角线，由2==+=a b a b 可知满足条件的只能是底角为60o ，边长2a =的菱形， =． 3．建立直角坐标系例3：在边长为1的正三角形ABC 中，设2BC BD =uu u v uu u v ，3CA CE =uu v uu u v ，则AD BE ?=u u u v u u u v __________．【答案】14 AD BE ?=-uuu v uu u v 【解析】上周是用合适的基底表示所求向量，从而解决问题，本周仍以此题为例，从另一个角度解题，

观察到本题图形为等边三角形，所以考虑利用建系解决数量积问题，如图建系： 3 0, A ?? ? ? ?? ， 1 ,0 2 B ?? - ? ?? ， 1 ,0 2 C ?? ? ?? ，下面求E坐标：令() , E x y，∴ 1 , 2 CE x y ?? =- ? ?? uu u v ， 13 2 CA ? =- ?? uu v ，由3 CA CE = uu v uu u v 可得： 111 3 223 3 3 3 x x y y ???? -=-= ? ?? ?? ?? ? ?? ??= = ??? ? 13 3 E ? ?? ， ∴ 3 0, AD ? = ?? uuu v ， 53 6 BE ? = ?? uu u v ，∴ 1 4 AD BE ?=- uuu v uu u v ．一、单选题 1．已知向量a，b满足1 = a，2 = b，且向量a，b的夹角为 4 π ，若λ - a b与b垂直，则实数λ的值为（） A． 1 2 -B． 1 2 C． 2 D 2 【答案】D 【解析】因为12cos2 4 π ?? ?= a b()2 240 λλλ -?=?=?= a b b，故选D．2．已知向量a，b满足1 = a，2 = b，7 += a b?= a b（） A．1 B2C3D．2 【答案】A 对点增分集训

2018-2020三年高考数学分类汇编

专题一集合与常用逻辑用语第一讲集合 2018------2020年 1.（2020?北京卷）已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B =（）． A. {1,0,1}- B. {0,1} C. {1,1,2}- D. {1,2} 2.（2020?全国1卷）设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（） A. –4 B. –2 C. 2 D. 4 3.（2020?全国2卷）已知集合U ={?2，?1，0，1，2，3}，A ={?1，0，1}，B ={1，2}，则()U A B ?=（） A. {?2，3} B. {?2，2，3} C. {?2，?1，0，3} D. {?2，?1，0，2，3} 4.（2020?全国3卷）已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5.（2020?江苏卷）已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B =_____. 6.（2020?新全国1山东）设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2

高考数学压轴专题(易错题)备战高考《平面向量》全集汇编附解析

新数学《平面向量》试卷含答案一、选择题 1．如图，圆O 是等边三角形ABC 的外接圆，点D 为劣弧AC 的中点，则OD =u u u r （） A ．2133BA AC +u u u r u u u r B ．2133BA A C -u u u r u u u r C ．1233BA AC +u u u r u u u r D ．4233BA AC +u u u r u u u r 【答案】A 【解析】【分析】连接BO ，易知B ，O ，D 三点共线，设OD 与AC 的交点为E ，列出相应式子得出结论. 【详解】解：连接BO ，易知B ，O ，D 三点共线，设OD 与AC 的交点为E ，则()() 221121332333 OD BO BE BA BC BA BA AC BA AC ===?+= ++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 故选：A. 【点睛】本题考查向量的表示方法，结合几何特点，考查分析能力，属于中档题. 2．已知正ABC ?的边长为4，点D 为边BC 的中点，点E 满足AE ED u u u r u u u r =，那么EB EC ?u u u r u u u r 的值为（） A ．8 3 - B ．1- C ．1 D ．3 【答案】B 【解析】【分析】由二倍角公式得求得tan ∠BED ，即可求得cos ∠BEC ，由平面向量数量积的性质及其运算得直接求得结果即可．【详解】

由已知可得：7 ，又23 tan BED 3 BD ED ∠= == 所以22 1tan 1 cos 1tan 7 BED BEC BED -∠∠==-+∠ 所以1||cos 7717EB EC EB EC BEC ?? ?=∠=-=- ??? u u u r u u u r u u u r u u u r ‖ 故选B ．【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算及二倍角公式，属中档题． 3．若向量a b r r ，的夹角为3 π ，|2|||a b a b -=+r r r r ，若()a ta b ⊥+r r r ，则实数t =（） A ．1 2 - B ． 12 C 3 D ．3 【答案】A 【解析】【分析】由|2|||a b a b -=+r r r r 两边平方得22b a b =?r r r ，结合条件可得b a =r r ，又由()a ta b ⊥+r r r ，可得20t a a b ?+?=r r r ，即可得出答案. 【详解】由|2|||a b a b -=+r r r r 两边平方得2222442a a b b a a b b -?+=+?+r r r r r r r r . 即22b a b =?r r r ，也即22cos 3 b a b π =r r r ，所以b a =r r . 又由()a ta b ⊥+r r r ，得()0a ta b ?+=r r r ，即20t a a b ?+?=r r r . 所以222 1122b a b t a b ?=-=-=-r r r r r 故选：A

全国高考理科数学试题分类汇编—统计

年高考真题理科数学解析分类汇编 12 统计
1. 【高考上海理 17 】设 10 ? x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 10 4 ， x5 ? 10 5 ，随机变量 ?1 取值
x1、x 2、x 3、x 4、x 5 的概率均为 0.2 ，随机变量 ? 2 取值
x1
? 2
x2
、x2
? 2
x3
、x3
? 2
x4
、x4
? 2
x5
、x5
? 2
x1
的概率也均为 0.2
，若记
D?1、D? 2
分别为
?1、?2 的方差，则（）
A． D?1 ? D?2
B． D?1 ? D?2
C． D?1 ? D?2
D． D?1 与 D? 2 的大小关系与 x1、x2、x3、x4 的取值有关
【答案】A
【解析】由随机变量 ?1,?2 的取值情况，它们的平均数分别为：
1 x1 ? 5 (x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ),
，
x2
?
1? 5 ??
x1
? 2
x2
?
x2
? 2
x3
?
x3
? 2
x4
?
x4
? 2
x5
?
x5
? 2
x1
? ??
?
x1,
且随机变量?1 ,? 2 的概率都为 0.2 ，所以有 D?1 ＞ D? 2 . 故选择 A.
【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差公式.记牢公式是解决此类问题的前提和基础，本题属于中档题. 2.【高考陕西理 6】从甲乙两个城市分别随机抽取 16 台自动售货机，对其销售额进行统计，
统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为 x甲， x乙，中位数分
别为 m甲， m乙，则（
）
A. x甲 ? x乙， m甲 ? m乙
B. x甲 ? x乙， m甲 ? m乙
C. x甲 ? x乙， m甲 ? m乙
D. x甲 ? x乙， m甲 ? m乙
【答案】B.
【解析】根据平均数的概念易计算出
x甲
?
x乙
，又 m甲
?
18 ? 22 2
?
20 ，m乙
?
27 ? 31 2
?
29
故选 B.
3.【高考山东理 4】采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查，为此将他们随机编
号为 1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9.抽到的 32
人中，编号落入区间?1, 450?的人做问卷 A ，编号落入区间?451, 750? 的人做问卷 B ，其余

2019-2020高考数学试题分类汇编

2019---2020年真题分类汇编一、集合(2019) 1，（全国1理1）已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2，（全国1文2）已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则U B A = A ．{}1,6 B ．{}1,7 C ．{}6,7 D ．{}1,6,7 3，（全国2理1）设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B = A ．(–∞，1) B ．(–2，1) C ．(–3，–1) D ．(3，+∞) 4，（全国2文1）已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B = A ．(-1，+∞) B ．(-∞，2) C ．(-1，2) D ．? 5，（全国3文、理1）已知集合2{1,0,1,2}{|1}A B x x =-=≤，，则A B = A ．{}1,0,1- B ．{}0,1 C ．{}1,1- D ．{}0,1,2 6，（北京文，1）已知集合A ={x |–11}，则A ∪B = （A ）（–1，1）（B ）（1，2）（C ）（–1，+∞）（D ）（1，+∞） 7，（天津文、理，1）设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈≤∈R ，则A B = . 10，（上海1）已知集合{1A =，2，3，4，5}，{3B =，5，6}，则A B = ．一、集合(2020) 1.（2020?北京卷）已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B =（）． A. {1,0,1}- B. {0,1} C. {1,1,2}- D. {1,2} 2.（2020?全国1卷）设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则 a =（） A. –4 B. –2 C. 2 D. 4 3.（2020?全国2卷）已知集合U ={?2，?1，0，1，2，3}，A ={?1，0，1}，B ={1，2}，则()U A B ?=（） A. {?2，3} B. {?2，2，3} C. {?2，?1，0，3} D. {?2，?1，0，2，3} 4.（2020?全国3卷）已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5.（2020?江苏卷）已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B =_____.

高考数学平面向量试题汇编

高考数学平面向量试题汇编已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ，那么（Ａ）Ａ．AO OD =u u u r u u u r Ｂ．2AO OD =u u u r u u u r Ｃ．3AO OD =u u u r u u u r Ｄ．2AO OD =u u u r u u u r （辽宁3）若向量a 与b 不共线，0≠g a b ，且?? ??? g g a a c =a -b a b ，则向量a 与c 的夹角为（ D ） A ．0 B ． π6 C ． π3 D ． π2 （辽宁6）若函数()y f x =的图象按向量a 平移后，得到函数(1)2y f x =+-的图象，则向量a =（ A ） A ．(12)--， B ．(12)-， C ．(12)-， D ．(12)，（宁夏，海南4）已知平面向量(11) (11)==-，，，a b ，则向量13 22 -=a b （Ｄ）Ａ．(21)--，Ｂ．(21)-，Ｃ．(10)-，Ｄ．(12)，（福建4）对于向量，，a b c 和实数λ，下列命题中真命题是（ B ） A ．若=0g a b ，则0a =或0b = B ．若λ0a =，则0λ=或=0a C ．若2 2 =a b ，则=a b 或-a =b D ．若g g a b =a c ，则b =c （湖北2）

将π2cos 36x y ??=+ ???的图象按向量π24?? =-- ??? ，a 平移，则平移后所得图象的解析式为（Ａ）Ａ．π2cos 234x y ?? =+- ??? Ｂ．π2cos 234x y ?? =-+ ??? Ｃ．π2cos 2312x y ?? =-- ??? Ｄ．π2cos 2312x y ?? =++ ??? （湖北文9）设(43)=，a ， a 在 b 上的投影为2 ，b 在x 轴上的投影为2，且||14≤b ，则b 为（Ｂ） A ．(214)， B ．227? ?- ???， C ．227??- ??? ， D ．(28)，（湖南4）设，a b 是非零向量，若函数()()()f x x x =+-g a b a b 的图象是一条直线，则必有（ A ） A ．⊥a b B ．∥a b C ．||||=a b D ．||||≠a b （湖南文2）若O E F ，，是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ B ） A ．EF OF OE =+u u u r u u u r u u u r B ．EF OF OE =-u u u r u u u r u u u r C ．EF OF OE =-+u u u r u u u r u u u r D ．EF OF O E =--u u u r u u u r u u u r （四川7）设A ｛a ,1｝，B ｛2，b ｝，C ｛4,5｝，为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若方向在与→ →→OC OB OA 上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为（ A ） (A)354=-b a (B)345=-b a (C)1454=+b a (D)1445=+b a （天津10）设两个向量22 (2cos )λλα=+-，a 和sin 2 m m α? ?=+ ?? ? ，b ，其中m λα，，为实数．若2=a b ，则 m λ 的取值范围是（Ａ）Ａ．[-6，1] Ｂ．[48]，Ｃ．（-6，1] Ｄ．[-1，6] （浙江7）

53.高考数学专题26 平面向量(知识梳理)(理)(原卷版)

专题26 平面向量（知识梳理）一、向量的概念及表示 1、向量的概念：具有大小和方向的量称为向量。 (1)数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。 (2)向量的表示方法： ①具有方向的线段，叫做有向线段，以A 为始点，B 为终点的有向线段记作AB ，AB 的长度记作||AB 。用有向线段AB 表示向量，读作向量AB ； ②用小写字母表示：a 、。 (3)向量与有向线段的区别和联系： ①向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量； ②有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段； ③向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段。向量是规定了大小和方向的量，有向线段是规定了起点和终点的线段。 2、向量的模：向量AB 的大小――长度称为向量的模，记作||。 3、零向量：长度等于零、方向是任意的向量，记作。 4、单位向量：长度为一个单位长度的向量。与非零向量共线的单位向量0a =。 5、平行向量：(1)若非零向量a 、的方向相同或相反，则b a //，又叫共线向量； (2)规定与任一向量平行。 6、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关)。 7、相等向量：若非零向量a 、方向相同且模相等，则向量a 、是相等向量。 (1)相等向量：=?模相等，方向相同； (2)相反向量：b a -=?模相等，方向相反。二、向量的加法 1、三角形法则

图示 2、平行四边形法则原理已知两个不共线向量a 、b ，作a AB =，b BC =，则A 、B 、D 三点不共线，以AB 、AD 为邻边作平行四边形，则对角线上的向量b a AC +=，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则。图示 3、多边形法则原理已知n 个向量，依次把这n 个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第n 个向量的终点为终点的向量叫做这n 个向量的和向量，这个法则叫做向量求和的多边形法则。图示运算律交换律 a b b a +=+ 结合律 )()(c b a c b a ++=++ 1、相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作a -。 (1)规定：零向量的相反向量仍是零向量； (2)a a =--)(； (3)0)()(=+-=-+a a a a ； (4)若a 与b 互为相反向量，则b a -=，a b -=，0=+b a 。 2、向量的减法：已知向量a 与b (如图)，作a OA =，b OB =，则a BA b =+，向量BA 叫做向量a 与b 的差，并记作b a -，即OB OA b a BA -=-=，由定义可知： (1)如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量； (2)一个向量BA 等于它的终点相对于点O 的位置向量OA 减去它的始点相对于点O 的位置向量OB ，或简记为“终点向量减始点向量”；

高考数学真题分类汇编专题直线与圆理科及答案

专题八直线与圆 1.【2015高考重庆，理8】已知直线l ：x +ay -1=0（a ∈R ）是圆C ：2 2 4210x y x y +--+=的对称轴.过点A （-4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |= （） A 、2 B 、 C 、6 D 、【答案】C 【解析】圆C 标准方程为2 2 (2)(1)4x y -+-=，圆心为(2,1)C ，半径为2r =，因此 2110a +?-=，1a =-，即(4,1)A --，6AB ===. 选C . 【考点定位】直线与圆的位置关系. 【名师点晴】首先圆是一个对称图形，它关于圆心成中心对称，关于每一条直径所在直线都是它的对称轴，当然其对称轴一定过圆心，其次直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系，判断方法可用几何与代数两种方法研究，圆的切线长我们用勾股定理求解，设圆外一点P 到圆的距离为d ，圆的半径为r ，则由点P 所作切线的长l = ． 2.【2015高考新课标2，理7】过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则||MN =( ) A ．26 B ．8 C ．46 D ．10 【答案】C 【解析】由已知得321143AB k -= =--，27 341 CB k +==--，所以1AB CB k k =-，所以AB CB ⊥，即ABC ?为直角三角形，其外接圆圆心为(1,2)-，半径为5，所以外接圆方程为 22(1)(2)25x y -++=，令0x =，得2y =±-，所以MN =C ．【考点定位】圆的方程．【名师点睛】本题考查三角形的外接圆方程，要注意边之间斜率的关系，得出ABC ?是直角三角形，可以简洁快速地求出外接圆方程，进而求弦MN 的长，属于中档题． 3.【2015高考广东，理5】平行于直线012=++y x 且与圆52 2 =+y x 相切的直线的方程是（） A ．052=+-y x 或052=--y x B. 052=++y x 或052=-+y x

20高考数学平面向量的解题技巧

第二讲平面向量的解题技巧【命题趋向】由2007年高考题分析可知： 1．这部分内容高考中所占分数一般在10分左右． 2．题目类型为一个选择或填空题，一个与其他知识综合的解答题． 3．考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主．【考点透视】 “平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主．透析高考试题，知命题热点为： 1．向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积． 2．平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义． 3．两非零向量平行、垂直的充要条件． 4．图形平移、线段的定比分点坐标公式． 5．由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等． 6．利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题．【例题解析】 1. 向量的概念，向量的基本运算 (1)理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法. (3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件. (4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算.

(5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式. 例1（2007年北京卷理）已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且 2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ，那么（）Ａ．AO OD =u u u r u u u r Ｂ．2AO OD =u u u r u u u r Ｃ．3AO OD =u u u r u u u r Ｄ．2AO OD =u u u r u u u r 命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力．解： 22()(,22.OA OB OC OA DB OD DC OD DB DC OA OD AO OD ∴∴++=++++=-+==)=0,0,u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 故选A ．例2．（2006年安徽卷）在ABCD Y 中，,,3AB a AD b AN NC ===u u u r r u u u r r u u u r u u u r ，M 为BC 的中点，则MN =u u u u r ______.（用a b r r 、表示）命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积. 解：343A =3()AN NC AN C a b ==+u u u r u u u r u u u r u u u r r r 由得，12 AM a b =+u u u u r r r ，所以,3111()()4 2 4 4 MN a b a b a b =+-+=-+u u u u r r r r r r r . 例3．（2006年广东卷）如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量 =CD ( ) （A ）BA BC 2 1+- （B ） BA BC 2 1-- （C ） BA BC 2 1- （D ）BA BC 2 1+ 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力. 解：BA BC BD CB CD 2 1+-=+=，故选A. 例4． ( 2006年重庆卷)与向量a r =71,,22b ? ?= ???r ?? ? ??27,21的夹解相等，且模为1的向量是 ( ) (A) ?? ?- ??53,5 4 (B) ?? ?- ??53,5 4或?? ? ??-53,54 （C ）?? ?- ??31,3 22 （D ）?? ?- ??31,3 22或?? ? ? ?- 31,3 22 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题. 解：设所求平面向量为,c r 由433,,, 1. 555c c ???? =-= ? ?????r 4或-时5 另一方面,当222274134312525,,cos ,. 55271432255a c c a c a c ?? ?+?- ?????? =-=== ????????????+++- ? ? ? ?????????r r r r r r r 时

全国高考理科数学历年试题分类汇编

全国高考理科数学历年试题分类汇编（一）小题分类集合（2015卷1）已知集合A={x x=3n+2,n ∈N},B={6,8,10,12,14}，则集合A ?B 中的元素个（）（A ） 5 （B ）4 （C ）3 （D ）2 1. （2013卷2）已知集合M ＝{x|－3＜x ＜1}，N ＝{－3，－2，－1,0,1}，则M∩N ＝( )． A ．{－2，－1,0,1} B ．{－3，－2，－1,0} C ．{－2，－1,0} D ．{－3，－2，－1} 2. （2009卷1）已知集合A=1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12}，则A ?B= A ．{3，5} B ．{3，6} C ．{3，7} D ．{3，9} 3. （2008卷1）已知集合M ={ x|(x + 2)(x －1) < 0 }， N ={ x| x + 1 < 0 }，则M∩N =（） {A. (－1，1) B. (－2，1) C. (－2，－1) D. (1，2) 复数 1. （2015卷1）已知复数z 满足(z-1)i=1+i ，则z=（）（A ） -2-i （B ）-2+i （C ）2-i （D ）2+i 2. （2015卷2）若a 实数，且 i ai ++12=3+i,则a= （） A.-4 B. -3 C. 3 D. 4 3. （2010卷1）已知复数() 2 313i i z -+= ，其中=?z z z z 的共轭复数，则是（） A= 4 1 B= 2 1 C=1 D=2 向量 1. （2015卷1）已知点A(0,1),B(3,2)，向量AC =(-4,-3)，则向量BC = ( ) （A ） (-7,-4) （B ）(7,4) （C ）(-1,4) （D ）(1,4) 2. （2015卷2）已知向量=(0,-1),=(-1,2),则() ?+2=( ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 3. （2013卷3）已知两个单位向量，的夹角为60度，()0,1=?-+=t t 且，那么t= 程序框图（2015卷2）右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入的a,b 分别为14,18，则输出的a 为 A . 0 B. 2 C. 4 D.14

20高考数学平面向量的解题技巧

20高考数学平面向量的解题技巧 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

(4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算. (5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式. 例1（2007年北京卷理）已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且 2OA OB OC ++=0，那么（）Ａ．AO OD = Ｂ．2AO OD = Ｃ．3AO OD = Ｄ．2AO OD = 命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力．解： 22()(,22.OA OB OC OA DB OD DC OD DB DC OA OD AO OD ∴∴++=++++=-+==)=0,0, 故选A ．例2．（2006年安徽卷）在ABCD 中，,,3AB a AD b AN NC ===，M 为BC 的中点，则MN =______.（用a b 、表示）命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积. 解：343A =3()AN NC AN C a b ==+由得，12 AM a b =+，所以,3111()()4 2 4 4 MN a b a b a b =+-+=-+. 例3．（2006年广东卷）如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量=CD ( ) （A ）BA BC 2 1+- （B ） BA BC 21-- （C ） BA BC 21- （D ）BA BC 2 1+ 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力. 解：BA BC BD CB CD 2 1+-=+=，故选A. 例4． ( 2006年重庆卷)与向量a =71,,22b ? ?= ??? ? ? ? ??27,21的夹解相等，且模为1的向量是 ( ) (A) ???- ??53,54 (B) ???- ??53,54或?? ? ??-53,54 （C ）???- ??31,322 （D ）???- ??31,322或??? ? ?-31,322 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题. 解：设所求平面向量为,c 由433,,, 1. 555c c ???? =-= ? ?????4或-时5

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