正弦定理和余弦定理练习题
1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( )
A.6
B. 2
C. 3 D ．2 6 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )
A ．4 2
B ．4 3
C ．4 6 D.32
3 3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( )
A ．45°或135°
B ．135°
C ．45°
D ．以上答案都不对 4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )
A ．1∶5∶6
B ．6∶5∶1
C ．6∶1∶5
D ．不确定 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( )
A ．1 B.12 C ．2 D.1
4 6．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b
a ，则△ABC 是( )
A ．等腰三角形
B ．等边三角形
C ．直角三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
7．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( )
A.32
B.34
C.32或 3
D.34或32
8．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )
A. 6 B ．2 C. 3 D. 2 9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，
c ＝3，C ＝π
3，则A ＝________.
10．在△ABC 中，已知a ＝43
3，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________. 11．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________.
12．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________． 13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则
a ＋
b ＋c
sin A ＋sin B ＋sin C
＝________，c ＝________.
14．已知三角形ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，则
a －2
b ＋c
sin A －2sin B ＋sin C
＝________.
15．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝1
3，S △ABC ＝43，则b ＝________.
16．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________
组解．
17．如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？
18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2A 2，求A 、B 及b 、c .
19．(2009年高考四川卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C
所对应的边分别为a 、b 、c ，且cos 2A ＝35，sin B ＝10
10.(1)求A ＋B 的值；(2)若a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值．
20．△ABC 中，ab ＝603，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为153，求边b 的长．
余弦定理练习题
1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝1
3，那么AC 等于( )
A ．6
B ．26
C ．3 6
D ．4 6
2．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3－1，C ＝30°，则c 等于( )
A. 3
B. 2
C. 5 D ．2 3．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋3bc ，则∠A 等于( )
A ．60°
B ．45°
C ．120°
D ．150° 4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则∠B 的值为( )
A.π6
B.π3
C.π6或5π6
D.π3或2π3
5．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，则a cos B ＋b cos A 等于( )
A ．a
B ．b
C ．c
D ．以上均不对
6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( )
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．由增加的长度决定
7．已知锐角三角形ABC 中，|AB →|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，
则AB →·AC
→的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－4 8．在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，则a 为( )
A. 3 B ．2 3 C.3或2 3 D ．2 9．已知△ABC 的三个内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．
10．△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数．
11．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，若a ＝4，b ＝5，S ＝53，则边c 的值为________．
12．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos A ∶cos B ∶cos C ＝________.
13．在△ABC 中，a ＝32，cos C ＝1
3，S △ABC ＝43，则b ＝________. 14．已知△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则AB →·BC →的值为________．
15．已知△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝a 2＋b 2－c 2
4，则角C ＝________.
16．(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________．
17．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的长．
18．已知△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C .(1)求边
AB 的长；(2)若△ABC 的面积为1
6sin C ，求角C 的度数．
19．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值；
(2)求sin(2A －π
4)的值．
20．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．
正弦定理
1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( )
A.6
B. 2
C. 3 D ．2 6
解析：选A.应用正弦定理得：a sin A ＝b sin B ，求得b ＝a sin B
sin A
＝ 6.
2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )
A ．4 2
B ．4 3
C ．4 6 D.32
3
解析：选C.A ＝45°，由正弦定理得b ＝a sin B
sin A
＝4 6.
3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( )
A ．45°或135°
B ．135°
C ．45°
D ．以上答案都不对
解析：选C.由正弦定理a sin A ＝b sin B 得：sin B ＝b sin A a ＝2
2
，又∵a >b ，∴B <60°，∴B
＝45°.
4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )
A ．1∶5∶6
B ．6∶5∶1
C ．6∶1∶5
D ．不确定
解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6. 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( )
A ．1 B.12 C ．2 D.1
4
解析：选A.C ＝180°－105°－45°＝30°，由b sin B ＝c sin C 得c ＝2×sin 30°
sin45°
＝1.
6．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b
a
，则△ABC 是( )
A ．等腰三角形
B ．等边三角形
C ．直角三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
解析：选D.∵b a ＝sin B sin A ，∴cos A cos B ＝sin B
sin A
，
sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B
即2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B ，或A ＋B ＝π
2
.
7．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( )
A.
32 B.34 C.32或 3 D.34或32
解析：选D.AB sin C ＝AC sin B ，求出sin C ＝3
2
，∵AB ＞AC ，
∴∠C 有两解，即∠C ＝60°或120°，∴∠A ＝90°或30°.
再由S △ABC ＝1
2
AB ·AC sin A 可求面积．
8．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )
A. 6 B ．2 C. 3 D. 2
解析：选D.由正弦定理得6sin120°＝2
sin C
，
∴sin C ＝1
2
.
又∵C 为锐角，则C ＝30°，∴A ＝30°， △ABC 为等腰三角形，a ＝c ＝ 2.
9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π
3
，则A
＝________.
解析：由正弦定理得：a sin A ＝c
sin C
，
所以sin A ＝a ·sin C c ＝1
2
.
又∵a ＜c ，∴A ＜C ＝π3，∴A ＝π
6
.
答案：π6
10．在△ABC 中，已知a ＝43
3，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________.
解析：由正弦定理得a sin A ＝b
sin B
?sin B ＝b sin A a ＝4×12433
＝3
2
.
答案：3
2
11．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________.
解析：C ＝180°－120°－30°＝30°，∴a ＝c ，
由a sin A ＝b sin B 得，a ＝12×sin30°sin120°＝43， ∴a ＋c ＝8 3. 答案：8 3
12．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________．
解析：由正弦定理，得a ＝2R ·sin A ，b ＝2R ·sin B ， 代入式子a ＝2b cos C ，得 2R sin A ＝2·2R ·sin B ·cos C ， 所以sin A ＝2sin B ·cos C ， 即sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ＝2sin B ·cos C ， 化简，整理，得sin(B －C )＝0. ∵0°＜B ＜180°，0°＜C ＜180°， ∴－180°＜B －C ＜180°， ∴B －C ＝0°，B ＝C . 答案：等腰三角形
13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋c
sin A ＋sin B ＋sin C
＝________，
c ＝________.
解析：由正弦定理得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝63sin60°＝12，又S △ABC ＝12bc sin A ，∴
1
2×12×sin60°×c ＝183，
∴c ＝6.
答案：12 6
14．已知△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋c
sin A －2sin B ＋sin C
＝________.
解析：由∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3得，∠A ＝30°，∠B ＝60°，∠C ＝90°，
∴2R ＝a sin A ＝1
sin30°
＝2，
又∵a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，
∴a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C ＝2R sin A －2sin B ＋sin C
sin A －2sin B ＋sin C ＝2R ＝2. 答案：2
15．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝1
3
，S △ABC ＝43，则b ＝________.
解析：依题意，sin C ＝223，S △ABC ＝1
2
ab sin C ＝43，
解得b ＝2 3. 答案：2 3
16．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．
解析：∵b sin C ＝43×1
2
＝23且c ＝2，
∴c
17．如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则
货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？
解：在△ABC 中，BC ＝40×1
2
＝20，
∠ABC ＝140°－110°＝30°， ∠ACB ＝(180°－140°)＋65°＝105°， 所以∠A ＝180°－(30°＋105°)＝45°， 由正弦定理得
AC ＝BC ·sin ∠ABC sin A
＝20sin30°sin45°
＝102(km)． 即货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是10 2 km.
18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝1
4
，sin B sin
C ＝cos 2A
2
，求A 、B 及b 、c .
解：由sin C 2cos C 2＝14，得sin C ＝1
2
，
又C ∈(0，π)，所以C ＝π6或C ＝5π
6.
由sin B sin C ＝cos 2A
2，得
sin B sin C ＝1
2
[1－cos(B ＋C )]，
即2sin B sin C ＝1－cos(B ＋C )，
即2sin B sin C ＋cos(B ＋C )＝1，变形得 cos B cos C ＋sin B sin C ＝1，
即cos(B －C )＝1，所以B ＝C ＝π6，B ＝C ＝5π
6
(舍去)，
A ＝π－(
B ＋
C )＝2π
3.
由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c
sin C
，得
b ＝
c ＝a sin B
sin A ＝23×123
2
＝2.
故A ＝2π3，B ＝π
6
，b ＝c ＝2.
19．(2009年高考四川卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、
b 、
c ，且cos 2A ＝35，sin B ＝10
10
.(1)求A ＋B 的值；(2)若a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值．
解：(1)∵A 、B 为锐角，sin B ＝10
10
，
∴cos B ＝1－sin 2B ＝310
10
.
又cos 2A ＝1－2sin 2A ＝35，∴sin A ＝55，cos A ＝25
5
，
∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝255×31010－55×1010＝22
.
又0＜A ＋B ＜π，∴A ＋B ＝π
4
.
(2)由(1)知，C ＝3π4，∴sin C ＝2
2.
由正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c
sin C
得
5a ＝10b ＝2c ，即a ＝2b ，c ＝5b .
∵a －b ＝2－1，∴2b －b ＝2－1，∴b ＝1. ∴a ＝2，c ＝ 5.
20．△ABC 中，ab ＝603，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为153，求边b 的长．
解：由S ＝12ab sin C 得，153＝1
2×603×sin C ，
∴sin C ＝1
2
，∴∠C ＝30°或150°.
又sin B ＝sin C ，故∠B ＝∠C . 当∠C ＝30°时，∠B ＝30°，∠A ＝120°.
又∵ab ＝603，a sin A ＝b
sin B
，∴b ＝215.
当∠C ＝150°时，∠B ＝150°(舍去)． 故边b 的长为215.
余弦定理
1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝1
3
，那么AC 等于( )
A ．6
B ．2 6
C ．3 6
D ．4 6 解析：选A.由余弦定理，得 AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B
＝ 42＋62－2×4×6×1
3
＝6.
2．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3－1，C ＝30°，则c 等于( ) A. 3 B. 2 C. 5 D ．2
解析：选B.由余弦定理，得c 2＝a 2
＋b 2－2ab cos C ＝22＋(3－1)2－2×2×(3－1)cos30° ＝2， ∴c ＝ 2.
3．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋3bc ，则∠A 等于( ) A ．60° B ．45°
C ．120°
D ．150°
解析：选D.cos ∠A ＝b 2
＋c 2
－a 2
2bc ＝－3bc 2bc ＝－3
2
，
∵0°＜∠A ＜180°，∴∠A ＝150°.
4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则∠B 的值为( )
A.π6
B.π3
C.π6或5π6
D.π3或2π3
解析：选D.由(a 2＋c 2－b 2
)tan B ＝3ac ，联想到余弦定理，代入得
cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32·1tan B ＝32·cos B sin B .
显然∠B ≠π2，∴sin B ＝32.∴∠B ＝π3或2π
3
.
5．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，则a cos B ＋b cos A 等于( ) A ．a B ．b C ．c D ．以上均不对
解析：选C.a ·a 2＋c 2－b 22ac ＋b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝2c 2
2c
＝c .
6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加的长度决定 解析：选A.设三边长分别为a ，b ，c 且a 2＋b 2＝c 2. 设增加的长度为m ，
则c ＋m ＞a ＋m ，c ＋m ＞b ＋m ，
又(a ＋m )2＋(b ＋m )2＝a 2＋b 2＋2(a ＋b )m ＋2m 2＞c 2＋2cm ＋m 2＝(c ＋m )2， ∴三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形．
7．已知锐角三角形ABC 中，|AB →|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，则AB →·AC →
的值为( )
A ．2
B ．－2
C ．4
D ．－4
解析：选A.S △ABC ＝3＝12
|AB →|·|AC →
|·sin A
＝12
×4×1×sin A ， ∴sin A ＝3
2，又∵△ABC 为锐角三角形，
∴cos A ＝1
2
，
∴AB →·AC →
＝4×1×12
＝2.
8．在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，则a 为( ) A. 3 B ．2 3 C.3或2 3 D ．2
解析：选C.在△ABC 中，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即3＝a 2＋9－33a ， ∴a 2－33a ＋6＝0，解得a ＝3或2 3.
9．已知△ABC 的三个内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．
解析：∵2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π
3
.
在△ABD 中，
AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B
＝ 1＋4－2×1×2×1
2
＝ 3.
答案： 3
10．△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数． 解：∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10， ∴a ∶b ∶c ＝(3－1)∶(3＋1)∶10.
设a ＝(3－1)k ，b ＝(3＋1)k ，c ＝10k (k ＞0)， ∴c 边最长，即角C 最大．由余弦定理，得
cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12
，
又C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°.
11．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，若a ＝4，b ＝5，S ＝53，则边c 的值为________．
解析：S ＝12ab sin C ，sin C ＝3
2，∴C ＝60°或120°.
∴cos C ＝±1
2
，又∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，
∴c 2＝21或61，∴c ＝21或61. 答案：21或61 12．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos A ∶cos B ∶cos C ＝________. 解析：由正弦定理a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4， 设a ＝2k (k ＞0)，则b ＝3k ，c ＝4k ，
cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ 2k 2＋ 4k 2－ 3k 22×2k ×4k ＝11
16
，
同理可得：cos A ＝78，cos C ＝－1
4
，
∴cos A ∶cos B ∶cos C ＝14∶11∶(－4)． 答案：14∶11∶(－4)
13．在△ABC 中，a ＝32，cos C ＝1
3
，S △ABC ＝43，则b ＝________.
解析：∵cos C ＝13，∴sin C ＝22
3.
又S △ABC ＝1
2
ab sin C ＝43，
即12·b ·32·223
＝43，
∴b ＝2 3. 答案：2 3
14．已知△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则AB →·BC →
的值为________．
解析：在△ABC 中，cos B ＝AB 2＋BC 2－AC
22AB ·BC
＝49＋25－362×7×5
＝1935
， ∴AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos(π－B )
＝7×5×(－19
35
)
＝－19. 答案：－19
15．已知△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝a 2＋b 2－c 2
4
，则角C ＝________.
解析：1
2ab sin C ＝S ＝a 2＋b 2－c 24＝a 2＋b 2－c 22ab ·ab 2
＝1
2
ab cos C ，∴sin C ＝cos C ，∴tan C ＝1，∴C ＝45°. 答案：45°
16．(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________．
解析：设三边长为k －1，k ，k ＋1(k ≥2，k ∈N )，
则?
????
k 2＋ k －1 2－ k ＋1 2＜0k ＋k －1＞k ＋1?2＜k ＜4， ∴k ＝3，故三边长分别为2,3,4，
∴最小角的余弦值为32＋42－222×3×4＝7
8
.
答案：78
17．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的长．
解：∵A ＋B ＋C ＝π且2cos(A ＋B )＝1，
∴cos(π－C )＝12，即cos C ＝－1
2
.
又∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根， ∴a ＋b ＝23，ab ＝2. ∴AB 2＝AC ＋BC 2－2AC ·BC ·cos C
＝a 2＋b 2－2ab (－1
2
)
＝a 2＋b 2
＋ab ＝(a ＋b )2－ab
＝(23)2－2＝10， ∴AB ＝10.
18．已知△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C .
(1)求边AB 的长；
(2)若△ABC 的面积为1
6
sin C ，求角C 的度数．
解：(1)由题意及正弦定理得
AB ＋BC ＋AC ＝2＋1，BC ＋AC ＝2AB ， 两式相减，得AB ＝1.
(2)由△ABC 的面积12BC ·AC ·sin C ＝16sin C ，得BC ·AC ＝1
3
，
由余弦定理得cos C ＝AC 2＋BC 2－AB
22AC ·BC
＝ AC ＋BC 2－2AC ·BC －AB 22AC ·BC ＝12
，
所以C ＝60°.
19．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A .
(1)求AB 的值；
(2)求sin(2A －π
4
)的值．
解：(1)在△ABC 中，由正弦定理AB sin C ＝BC
sin A
，
得AB ＝sin C
sin A
BC ＝2BC ＝2 5.
(2)在△ABC 中，根据余弦定理，得
cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝25
5
，
于是sin A ＝1－cos 2A ＝5
5.
从而sin 2A ＝2sin A cos A ＝4
5，
cos 2A ＝cos 2 A －sin 2 A ＝3
5
.
所以sin(2A －π4)＝sin 2A cos π4－cos 2A sin π4＝2
10
.
20．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．
解：由正弦定理，得sin C sin B ＝c
b
.
由2cos A sin B ＝sin C ，有cos A ＝sin C 2sin B ＝c
2b
.
又根据余弦定理，得
cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，所以c 2b ＝b 2＋c 2－a
2
2bc
，
即c 2＝b 2＋c 2－a 2，所以a ＝b .
又因为(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，
所以(a＋b)2－c2＝3ab，所以4b2－c2＝3b2，所以b＝c，所以a＝b＝c，
因此△ABC为等边三角形．