第四讲 几个常见的初等函数——指数、指数函数
指 数
一.根式: 1.定义:
一般地,若*),1(N n n a x n ∈>= 则x 叫做a 的n 次方根。
n
a 叫做根式 n 叫做根指数 a 叫做被开方数
2.性质
①00=n (1*>∈n N n 且); ②a a n
n =)((1*>∈n N n 且);
③??
??????<-≥==)()0()0()
1( 为不等于零的偶数的奇数为大于n a a a a a n a a n
n ④负数没有偶次方根;
⑤当n 为奇数时:正数的n 次方根为正数,负数的n 次方根为负数,记作: n
a x =;
⑥ 当n 为偶数时,正数的n 次方根有两个(互为相反数)记作: n a x ±= 3.常用公式
根据n 次方根的定义,易得到以下三组常用公式: ①当n 为任意正整数时,
()
a a n
n
=.
②当n 为奇数时,a a n
n
=;当n 为偶数时,a a n n ==?
??<-≥)0()0(a a a a .
③根式的基本性质:
n m np
mp a a =(*,,0N n m a ∈≥).
注意,③中的*,,0N n m a ∈≥十分重要,无此条件则公式不成立. 用语言叙述上面三个公式:
(1)非负实数a 的n 次方根的n 次幂是它本身.
(2)n 为奇数时,实数a 的n 次幂的n 次方根是a 本身;n 为偶数时,实数a 的n 次幂
的n 次方根是a 的绝对值.
(3)若一个根式(算术根)的被开方数是一个非负实数的幂,那么这个根式的根指数和被开方数的指数都乘以或者除以同一个正整数,根式的值不变.
例1 下列式子中正确的是 (1)(
)
5
5
5
5
4)4(-=
- (2)(
)
8
8
8
8
)(b a b a +=
+
(3)y x y x +=+44)( (4)y x y x +=+33
)(
例2 计算 3361429---
二.分数指数幂 1.概念:
事实上,kn
n
k a a =)( 若设a >0, *),1(N n n n
m k ∈>=
则m n
n m n
k a a a ==
)()(
由n 次根式定义, n a a m
n m 的是次方根,即:n m n
m
a a =
同样规定:)1*,,0(1>∈>=-n N n m a a a n
m m
且
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义。 注:强调底数0>a
这个条件不可少. 若无此条件会引起混乱,
例如,31)1(-和62
)1(-应当具有同样的意义,但由分数指数幂的意义可得出不同的结果:33
11)1(-=-=-1;
6626
21)1()1(=-=-=1. 这就说明分数指数幂在底数小于0时无意义.
在把根式化成分数指数幂时,要注意使底数大于0,在上面所举的例子中,
3
23
2a a =(0>a ),若无0>a 这个条件时,3
232||a a =;同时,负数开奇数次方根是有
意义的,所以当奇数次根式要化成分数指数幂时,先要把负号移到根号外面去,然后再按规定化成分数指数幂,例如,5
35
3
5
3
22)2(-=-=-.
以后当看到指数是分数时,如果没有特别的说明,底数都表示正数.
(2)整数指数幂的运算性质推广到有理指数幂。
)
,0,0()(),,0()(),,0(Q r b a b a ab Q s r a a a Q s r a a a a r r r rs s r s r s r ∈>>=∈>=∈>=+
说明:若a >0,p 是一个无理数,则a p 表示一个确定的实数. 上述有理指数幂的运算性质,对于无理数指数幂都适用. 即当指数的范围扩大到实数集R 后,幂的运算性质仍然是上述的3条.
例1、(P 76例2) 求值:3
2
8,2
1100-,3)4
1
(-,43
)8116(-.
例2 (课本第67页 例3)用分数指数幂的形式表示下列各式(式中a >0):
a a ?2 ,323a a ?,
a .
例3 (课本第68页 例5) 计算下列各式: (1) 4
3
5)12525(÷-; (2)
3
2
2a
a a ?(0>a ).
(3)
4
14
121214
12
14
3
11-
--
-
--
---+--
+-b
a
b a b
a a
b a
例4 已知122+=x
a ,求x
x x
x a a a a --++33的值.
例5 设)(2
1,01
1n n a a x a --=>,求n
x x )1(2++的值.
例6 设c b a ,,均为不等于1的正数,z y x ,,都是有理数,且z
y
x
c b a ==,
01
11=++z
y x ,求abc 的值.
指数函数
1.指数函数的定义
函数x
a y =(0>a 且1≠a )叫做指数函数.
无论a 为何值,指数函数x
a x f =)(都有定义域为R ,值域为()+∞,0,都过点(0,1)
定义中对0>a 且1≠a 的规定,是为了保证定义域为实数集,且具有单调性. 为什么要规定0>a 且1≠a 呢?
(1)如果0=a ,当0>x 时,x a 恒等于0;当0≤x 时,x
a 无意义; (2)如果0 y )4(-=,对4 1 ,21= x 等都无意义; (3)如果1=a ,则1=y 是-个常数,对它没有研究的必要.此时,x a y =的反函数不存在,且不具有单调性. 为了避免上述各种情况,所以规定0>a 且1≠a .在规定以后,对于任何x ∈R ,x a 都有意义,且x a >0. 因此指数函数的定义域是R ,值域是(0,+∞). 2.指数函数的图象 活动设计:学生分别取不同的a 值,用计算器作出函数图像,观察、分析讨论函数性质,教师辅导、启发、整理 指数函数x a y =(0>a 且1≠a )的图象和性质等见下表: (1)由函数图象的无限伸展可以看出,x 轴是函数圈象的-条渐近线. 当10<a 时,x →-∞,y→0, 当1>a 时,a 的值越大,图象越靠近y 轴,递增速度越快. 当10< 在y 轴左侧,不同图象从下到上相应的底数由大变小. (3)证明:指数函数x a y =(1>a )在(-∞,+∞)上是增函数. 例1 如图,指数函数①x a y =,②x b y =,③x c y =,④x d y =的图象,则d c b a ,,,与1的大小关系是 . 精析:可先分两类③、④的底数-定大于1,①、②的底数小于1,然后再由③、④中比较c 、d 的大小,由①、②中比较a ,b 的大小. 说明:运用上面的方法有利于读者弄清指数函数在第-象限的图象的大致情况,本题若令 1=x ,则四个函数所得的函数值分别为d c b a ,,,,从点所处的位置可知答案. 例 2 将下 列 各数从 小到大排列起来: 234 331 32 31 21 3 2)2 1 (,)23(,)31(,)3(,)32(,)32(,)32(,)3(-------. 精析:这8个数按从小到大的顺序排列起来,最好的方法是将这些数分类:首先可考虑、是负数还是正数,是负数的再进-步分成小于-1及-1与0之间;是正数的同样再进-步分成0与1之间还是大于1,其次再将以上四类数中的每-类作选二步的大小比较就可将它们按从小到大的顺序于列起来 说明:比较两个数的大,首先按数的范围(如大于0还是小于0,大于1还是小于1等)进行分类,后再依据有关性质比较大小(如若两个数的底数相同,则运用指数函数增减性比较大小). 例3 求函数x x y 2221-?? ? ??=的单调区间,并证明 解:设21 x x < 则)2)((222212121212211212 12 222121121-+-+----??? ??=??? ??=?? ? ????? ??=x x x x x x x x x x x x y y ∵21 x x < ∴012>-x x 当](1,,21∞-∈x x 时,0221<-+x x 这时0)2)((1212<-+-x x x x 即 11 2 >y y ∴12y y >,函数单调递增 当)[ ∞+∈,1,21x x 时,0221 >-+x x 这时0)2)((1212>-+-x x x x 即 11 2 解法二、(用复合函数的单调性): 设:x x u 22-= 则:u y ?? ? ??=21 对任意的211x x <<,有21u u <,又∵u y ?? ? ??=21是减函数 ∴21 y y < ∴x x y 2221-? ? ? ??=在),1[+∞是减函数 对任意的121≤ y ?? ? ??=21是减函数 ∴21 y y < ∴x x y 2221-? ? ? ??=在),1[+∞是增函数 引申:求函数x x y 2221-?? ? ??=的值域 (20≤ 例4(对接) 函数)1,0()0,1(,)(?-∈=x x x f a ,若不等式x x f >)(成立,则在 ? ?? ???---∈2,1,32,31,0,32,1,2a 的条件下,a 可以取的值的个数是 ( D ) A .1 B .2 C .3 D .4 例5 (对接) 函数x x x f 243)(-?=在),0[+∞∈x 上的最小值是 2 . 例6(对接) 函数)(x f 满足是定义在R 上的奇函数,且))(2()(Z k k x f x f ∈-=, 若当)1,0(∈x 时,1 42)(+=x x x f . (1)求)(x f 在[]12,12+-k k )(Z k ∈上的解析式; (2)证明)(x f 在)1,0(上是减函数; (3)当m 取何值时,方程m x f =)(在)1,0(上有解. 例7 (难点) 求函数x x x f )3 1 ()21()(-=的定义域. 例8 求函数22 )(1 -=-x x f 的定义域. 例9 求函数1 21 2)(+-=x x x f 的值域. 例10 求函数3 222)(++-=x x x f 的值域. 例11 已知函数3241-?-=--x x a y 在),2[+∞-上的最小值是-4,求实数a 的值. 例12 判断函数)10()(≠>+-=--a a a a a a x f x x x x 且的增减性,并证明结论. 例13 已知函数a x f x +-=1 21 )(的图象关于原点对称,求实数a 的值及函数的值域. 例14 设函数2 )(a x a x e e x f --++=的图象关于直线1=x 对称. (1)求实数a 的值; (2)判断函数)(x f 在),1[+∞-上的增减性,并证明你的结论; (3)当[]2,0∈x 时,比较)4(-f 与)4(2 x x f +-的大小. 基本概念 1. 下列函数中-定是指数函数的是 A .1 2 +=x y B .3x y = C .x y -=3 D .x y 23?= 精析:根据指数函数的定义进行判断.选C . 2. 函数x a a a y ?+-=)33(2是指数函数,则a = . 精析:指数函数x a y =中有两个特点:①0>a 且1≠a ,②x a 的系数必为1. 3. 已知函数)(x f 的定义域为[-1,2],求函数)2(x f -的定义域. 4.若与指数函数)10(≠>=a a a y x 且的图象关于x 轴对称的函数图象经过点(-2,-4)点.求a 值. 5.已知函数2 2 )(-=x x f ,比较)2(),2(),2(-πf f f 的大小. 分析:在-定范围内,函数图象的对称轴是函数单调性的“分界线”,明确了函数图象的对称轴及对称轴两侧的单调性,就可由自变量值大小比较函数值的大小了. 解:可知函数2 2 )(-=x x f 的定义域为R ,又∵对任意实数R x ∈,都有 )2()2(x f x f -=+, ∴函数2 2 )(-=x x f 的图象关于直线2=x 对称. 设2-=x u ,则),2[+∞∈x 时,u 是增函数;当]2,(-∞∈x 时,u 是减函数. 而u y 2=在R 上是增函数 ∴函数2 2 )(-=x x f 的增区间是[2,+∞),减区间是(-∞,2] 而π-2∈(-∞,2],2∈(-∞,2],2∈(-∞,2]且π-2<2<2 ∴)2()2()2(-<<πf f f . 6.已知函数7 21-=x a y ,1 42-=x a y ,其中0>a 且1≠a ,当自变量取什么值时,① 21y y =;②21y y >. 分析:增函数或减函数都是--映射下的函数.如果函数值相等,则自变量值也相等,这是将指数方程化为代数方程的依据.同样依据函数增减性的具体内容,可以转化不等式的形式,这-点体现了函数性质、方程及不等式的对立和统-. 解:①∵0>a 且1≠a , ∴u a y =在其定义域内是单调函数. 若21y y =,即147 2--=x x a a 时,有:1472-=-x x ,得3-=x . ∴当3-=x 时,21y y =. ②∵0>a 且1≠a , ∴当1>a 时,u a y =是增函数. 若21y y >,即147 2-->x x a a 时,有1472->-x x ,得3- 当10< a y =是减函数. 若21y y >,即147 2-->x x a a 时有1472-<-x x ,得3->x ; 综上所述 当1>a ,x ∈(-∞,-3)时,21y y >;当10< 21y y >. 这个题目说明了,方程和不等式都是函数值的特定状态 数形结合 1.求函数x x y )3 1 ()21(-=的定义域 2.求函数22 1 -= -x y 的定义域 分析: 本题可以转化为求不等式0221 ≥--x 的解集的问题.利用指数的性质:22 1 ≥-x 等价于11≥-x ,所以不等式的解集为{} 20≥≤x x x 或.本题还可以考虑画2 21 -=-x y 的图象,从图象中观察出0≥y 的自变量x 的值.函数221 -=-x y 的图象是如何得到的呢? 第-种途径:22 2 221 1 -=→=→=→=--x x x x y y y y . 第二种途径:22 2 221 1 1 -=→=→=→=---x x x x y y y y . 3.已知x y y x )2 1(3)2 1(3+>+,且R y x ∈,,比较y x ,的大小. 分析:函数增减性定义中的三个关系:自变量值的大小、函数值的大小和函数的增减性,知道其中的任意两个关系,可以推出第三个关系的结论.所以函数增减性的定义不仅是判断函数增减的工具,还是比较自变量值大小和函数值大小的工具.解题中关键是构造出函数. 解:构造函数m m m f )21(3)(-=,定义域为R ∵m y 31=是增函数,m y )2 1(2=是减函数 ∴m m m f )2 1(3)(-=是增函数 由y y x x )2 1(3)21(3->-,得y x >. 复合函数 1.已知函数a x f x +-= 1 21 )(的图象关于原点对称,求实数a 的值以及函数的值域. 分析 已知函数的图象关于原点对称.求解析式中的参数值时,可以选择两个互为相反的自变量值代入解析式,得到关于参数的方程求解参数. 2.求函数1 21 2+-=x x y 的值域 分析:这里给出本题的两种常用解法.-种方法是将这个函数式变形,反解出y y x -+= 11 2,利用02>x 得到关于y 的不等式 011 >-+y y ,从而解出y 的范围{}11<<-y y . 另-种方法是将函数看作复合函数,内函数是x u 2=,外函数是)0(1 1 >+-=u u u y ,利用外函数的函数图象求出外函数的值域,也就求出了复合函数的值域. 3. 求函数3 222 ++-=x x y 的值域 分析: 这是外函数是指数函数的复合函数求值域问题.严格地说这个函数由三个基本函数 复合而成:322++-=x x u ,u v =,v y 2=.为了研究上的方便,把3 22++-= x x u 看作-个基本函数,这样,仍将复合函数3 222 ++-=x x y 看作是由内函数 322++-=x x u 、外函数u y 2=两个函数复合而成,解题步骤与上-题就-致了.求 复合函数值域的-般步骤是:①求复合函数定义域;②求内函数的值域;③求外函数的值域,即复合函数的值域. 4. 已知函数324 1-?-=--x x a y 在[-2,+∞)上的最小值是-4,求实数a 的值. 分析:函数324 1-?-=--x x a y 可以化为3)21(2)21(2 --?? ? ???=x x a y 的形式,若设 ),2[,)2 1 (+∞-∈=x u x ,则外函数是:]4,0(,322∈--=u au u y .题中给出的函数可以 看作是由指数函数和二次函数复合而成的函数.由于外函数322 --=au u y 在区间(0,4]上的最小值与对称轴的位置有关,所以要对对称轴在区间(0,4]的左侧、在区间内和在区间右侧三种情况分到讨论它的最小值. 5.设函数2 )(a x a x e e x f --++=(其中e 是无理常数,72.2≈e ,a 是常数)的图象关于直 线1=x 对称. ①求实数a 的值; ②判断函数)(x f 在[1,+∞)上的增减性,并证明结论; ③当x ∈[0,2]时,比较)4(-f 与)4(2 x x f +-的大小. 分析: 函数对称性的-般形式是: 函数)(x f 的图象关于直线a x =对称?)()(x a f x a f -=+?)2()(x a f x f -=(其中x 是定义域内的任意-个取值). 函 数 ) (x f 图象关于(a ,b )点或中心对称 ?b x a f x a f 2)()(=-++?b x a f x f 2)2()(=-+(其中x 是定义域内的任意-个取 值). 可以根据上面的充要条件,像上题-样求出a 值.更简便的方法是选定两个关于直线1=x 对称的x 轴上两点,如(1,0),(2,0),利用对称性)2()0(f f =,求出a 值.在这里选择后面的方法. 比较)4(-f 与)4(2 x x f +-的大小,只须将这两个函数值化为同-单调区间内两个自变量值对应的函数值,结合增减性可以的出它们的大小关系 综合运用 1.求下列函数的定义域和值域 (1)4 12 -=x y ; (2)22)2 1 (x x y -=; (3)2 35 -=x y ; (4)x x +110 . 精析:这是与指数函数有关的复合函数问题,可利用指数函数的概念和性质求函数的定义域和值域. 说明:求与指数函数有关的函数的值域时,要注意到充分考虑并利用指数函数本身的要求,并利用好指数函数的单调性,对于解析式中某些较复杂的式子,往往采用换元法求解,这样可使问题变得清晰简洁,避免出错. 2.求函数2 32)3 1(+-=x x y 的单调区间· 3.已知函数)1(1 2 )(>+-+ =a x x a x f x (1)证明:函数)(x f 在(-1,+∞)上为增函数; (2)用反证法证明方程0)(=x f 没有负数根. 精析:(1)根据函数增减性的定义证明,(2)要求必须用反证法证明. 4.讨论函数x x x x y ---+=10 101010的(1)定义域;(2)值域;(3)单调性. 精析:可将函数化简1 102 1110110222-+=-+=x x x y ,由分母不等于0,出定义域,运用反函数法可求出值域,运用单调性的有关定义可判断单调性. 5.牛顿冷却规律描述-个物体在常温环境下的温度变化,如果物体的初始温度是T 0,则经过-定时间h 后的温度T 将满足:2 1 )(00? -=-a T T T T ,其中a T 是环境温度,使上式成立所需要的时间h 称为半衰期,在这样的情况下,t 分钟后的温度T 将满足 h t a a T T T T )2 1 ()(0?-=-. ① 现有-杯用1950F 热水冲的速溶咖啡,放置在750F 的房间中,如果咖啡降温到1050F 需20分钟,问欲降温到950F 需多少时间? 精析:由①式,可知它是时间t 与温度T 的指数函数关系,将题中有关数据代入求得h 值,再将T=95代入已求得T=f (t )中求得t . 全解:由公式①,得a h t a T T T T +?-=)21 ()(0. 将有关数据代入,得h t T )2 1 ()75195(75?-+= 这里h 是以分钟为单位的半衰期,为了确定它的值,将t=20时,T=105代如,解得10=h . ∴ 10)2 1 (12075t T ?+= . ② 欲使T=95,代入②式,得10)2 1 (1207595t ?+=. 利用计算器,解得t=26(分). 6. 某工厂1月、2月、3月生产某产品的数量分别为1万件,1.2万件,1.3万件,为了估测以后各自的产量,以这三个月的产量为依据,用-个函数模拟产品月产量以万件y 与月份数x 的关系,根据经验,模拟函数可以选用二次函数或c ab y x +=(其中a ,b ,c 为常数),已知4月份该产品产量为1.37万件,请问以上哪个函数作为模拟数较好?并求出此函数的解析式. 7.设1,0≠>a a ,如果函数122-+=x x a a y 在[-1,1]上的最大值为14,求a 的值. 解:设t a x =,若1>a ,则??????∈a a t ,1;若10< ????∈a a t 1,, ∴1)1(2 -+=t y ,它关于t 在[-1,+∞)上单调递增. ∴1>a 时,y 在a t =处取得最大值,3,14122 ==-+a a a ;