齐河县第四中学校本培训系列教材
年级 班 姓名_________________
◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆装◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆订◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆线◆◆◆◆◆◆◆◆
C B A
C
B
C
B A
齐河县第四中学
先学后教、当堂达标数学导学案
年级：九年级 课 型： 新授课 使用时间：2011.3
课题：28．1锐角三角函数（1） 执笔人： 靳立明 审 核 人： 目标导航： 【学习目标】
⑴: 经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。
⑵: 能根据正弦概念正确进行计算 【学习重点】
理解正弦（sinA ）概念，知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实．
【学习难点】
当直角三角形的锐角固定时，，它的对边与斜边的比值是固定值的事实。 【导学过程】 一、自学提纲：
1、如图在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=10m ，?求AB
2、如图在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=20m ，?求BC
二、合作交流：
问题： 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，?在山坡上修建
一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m ，那么需要准备多长的水管？
思考1：如果使出水口的高度为50m ，那么需要准备多长的水管？ ； 如果使出水口的高度为a m ，那么需要准备多长的水管？ ；
结论：直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值
思考2：在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=45°，∠A 对边与斜边 的比值是一个定值吗？?如果是，是多少？
结论：直角三角形中，45°角的对边与斜边的比值
三、教师点拨：
从上面这两个问题的结论中可知，?在一个Rt △ABC 中，∠C=90°，当∠A=30°时，∠
A 的对边与斜边的比都等于1
2，是一个固定值；?当∠A=45°时，∠A 的对边与斜边的比都
等于
2
，也是一个固定值．这就引发我们产生这样一个疑问：当∠A 取其他一定度数的锐角
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斜边c 对边a
b
C B
(2)13
5
3B A
(1)
34C
B A
探究：任意画Rt △ABC 和Rt △A ′B ′C ′，使得∠C=∠C ′=90°， ∠A=∠A ′=a ，那么
''''
BC B C AB
A B 与有什么关系．你能解释一下吗？
结论：这就是说，在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，?∠A 的对边与斜边的比 正弦函数概念：
规定：在Rt △BC 中，∠C=90，
∠A 的对边记作a ，∠B 的对边记作b ，∠C 的对边记作c ．
在Rt △BC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦， 记作sinA ，即sinA= =
a c
． sinA ＝
A a A c
∠=
∠的对边的斜边
例如，当∠A=30°时，我们有sinA=sin30°=
；
当∠A=45°时，我们有sinA=sin45°= ．
四、学生展示：
例1 如图，在Rt △ABC 中， ∠C=90°，求sinA 和sinB 的值．
随堂练习 （1）： 做课本第79页练习．
随堂练习 （2）：
1．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sin α的值是﹙ ﹚
A ．43
B ．34
C ．53
D ．54
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年级 班 姓名_________________
◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆装◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆订◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆线◆◆◆◆◆◆◆◆
A ．35
B ．45
C ．34
D ．43
3． 在△ABC 中，∠C=90°，BC=2，sinA=2
3，则边AC 的长是( )
A ．13
B ．3
C ．4
3
D ． 5
4．如图，已知点P 的坐标是（a ，b ），则sin α等于（ ）
A ．a
b B ．b
a C
D
五、课堂小结：
在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A ?的对边与斜边的比都是 ．
在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A ?的 ，?记作 ，
六、作业设置：
课本 第85页 习题28．1复习巩固第1题、第2题．（只做与正弦函数有关的部分）
七、自我反思：
本节课我的收获: 。
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先学后教、当堂达标数学导学案
年级：九年级 课 型： 新授课 使用时间：2011.3 课题：28．1锐角三角函数（2） 执笔人： 靳立明 审 核 人：
【学习目标】
⑴: 感知当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边、对边与邻边的比值也都固定这一事实。
⑵:逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力。
重点：难点：
【学习重点】
理解余弦、正切的概念。 【学习难点】
熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算。 【导学过程】 一、自学提纲：
1、我们是怎样定义直角三角形中一个锐角的正弦的？
2、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D 。
已知AC= 5 ，BC=2，那么sin ∠ACD ＝（ ）
A B ．
2 C
D A
B
C
D
斜边c 对边a
b
C B
A
3、如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上， 且AB ＝5，BC ＝3．则sin ∠BAC= ；sin ∠ADC= ．
4、?在Rt △ABC 中，∠C=90°，当锐角A 确定时，
∠A 的对边与斜边的比是 ， ?现在我们要问：
∠A 的邻边与斜边的比呢？ ∠A 的对边与邻边的比呢？ 为什么？ 二、合作交流：
探究：
一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的邻边与斜边的比是否也是一个固定值？
如图：Rt △ABC 与Rt △A`B`C`，∠C=∠C` =90o ，∠B=∠B`=α，
那么
与有什么关系？
三、教师点拨：
类似于正弦的情况，
如图在Rt △BC 中，∠C=90°，当锐角A 的大小确定时，∠A 的邻边与斜边的比、∠A 的对边与邻边的比也分别是确定的．我们
把∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cosA=
A ∠的邻边斜边
=
a c
；
把∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tanA=A A ∠∠的对边的邻边
=
a b
．
例如，当∠A=30°时，我们有cosA=cos30°=
；
当∠A=45°时，我们有tanA=tan45°= ．
（教师讲解并板书）：锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数．
6C
B A
对于锐角A 的每一个确定的值，sinA 有唯一确定的值与它对应，所以sinA 是A 的函数．同样地，cosA ，tanA 也是A 的函数．
例2：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=?6，sinA=35
，求cosA 、tanB 的值．
四、学生展示：
练习一：完成课本P81 练习1、2、3 练习二： 1. 在中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，则有（ ）
A
． B
．
C
．
D ．
2. 在中，∠C ＝90°，如果cos A=45
那么
的值为（ ）
A ．35
B ．54
C ．34
D ．43
3、如图：P 是∠的边OA 上一点，且P 点的坐标为（3，4）， 则cos α＝_____________.
五、课堂小结：
在Rt △BC 中，∠C=90°，我们把
锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦， 记作sinA ，即sinA= =
a c
． sinA ＝
A a A c
∠=
∠的对边的斜边
把∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，
记作 ，即 把∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，
记作 ，即 六、作业设置：
课本 第85页 习题28．1复习巩固第1题、第2题．（只做与余弦、正切有关的部分） 七、自我反思：
本节课我的收获: 。
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先学后教、当堂达标数学导学案
年级：九年级 课 型： 新授课 使用时间：2011.3
课题：28．1锐角三角函数（3） 执笔人： 靳立明 审 核 人： 【学习目标】 ⑴: 能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应锐角度数。 ⑵: 能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式 【学习重点】
熟记30°、45°、60°角的三角函数值，能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式
【学习难点】
30°、45°、60°角的三角函数值的推导过程 【导学过程】 一、自学提纲： 一个直角三角形中，
一个锐角正弦是怎么定义的？
一个锐角余弦是怎么定义的？
一个锐角正切是怎么定义的？ 二、合作交流： 思考：
两块三角尺中有几个不同的锐角？ 是多少度？ 你能分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值码？． 三、教师点拨： 归纳结果 例3：求下列各式的值．
（1）cos 2
60°+sin 2
60°． （2）
cos 45sin 45??
-tan45°．
例4：（1）如图（1），在Rt △ABC 中，∠C=90，，，求∠A 的度数．
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（2）如图（2），已知圆锥的高AO 等于圆锥的底面半径OB 倍，求a ．
四、学生展示：
一、课本83页 第1 题
课本83页 第 2题 二、选择题．
1．已知：Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA=3
5
，AB=15，则AC 的长是（ ）．
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12 2．下列各式中不正确的是（ ）．
A ．sin 260°+cos 2
60°=1 B ．sin30°+cos30°=1 C ．sin35°=cos55° D ．tan45°>sin45° 3．计算2sin30°-2cos60°+tan45°的结果是（ ）．
A ．2
B ．1
4．已知∠A 为锐角，且cosA ≤1
2
，那么（ ）
A ．0°<∠A ≤60°
B ．60°≤∠A<90°
C ．0°<∠A ≤30°
D ．30°≤∠A<90°
5．在△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且sinA=1
2
，
cosB= 3
2
，则△ABC 的形状是（ ）
A ．直角三角形
B ．钝角三角形
C ．锐角三角形
D ．不能确定 6．如图Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，BC=3，AC=4，设∠BCD=a ，则tana?的值为（ ）．
A ．3
4 B ．4
3 C ．3
5 D ．4
5 7．当锐角a>60°时，cosa 的值（ ）．
A ．小于12
B ．大于12
C ．大于 3
2
D ．大于1
8．在△ABC 中，三边之比为a ：b ：c=12，则sinA+tanA 等于（ ）．
A ．1.6
22
2
B C D +
9．已知梯形ABCD 中，腰BC 长为2，梯形对角线BD 垂直平分AC ，?则∠
CAB 等于（ ）
A ．30°
B ．60°
C ．45°
D ．以上都不对 10．sin 272°+sin 218°的值是（ ）．
A ．1
B ．0
C ．12
D ． 3
2
11．若（ 3 tanA-3）2+│2cosB- 3 │=0，则△ABC （ ）．
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◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆装◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆订◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆线◆◆◆◆ C ．是含有60°的任意三角形 D ．是顶角为钝角的等腰三角形 三、填空题．
12．设α、β均为锐角，且sin α-cos β=0，则α+β=_______．
13．cos 45sin 301cos 60tan 452?-??+
?
的值是_______． 14．已知，等腰△ABC?的腰长为4 3 ，?底为30?°，?则底边上的高为______，?周长为______．
15．在Rt △ABC 中，∠C=90°，已知tanB= 5
2
，则cosA=________．
五、课堂小结：要牢记下表：
六、作业设置：
课本 第85页 习题28．1复习巩固第3题 七、自我反思：
本节课我的收获: 。
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先学后教、当堂达标数学导学案
年级：九年级 课 型： 新授课 使用时间：2011.3 课题：28．1锐角三角函数（4） 执笔人： 靳立明 审 核 人： 【学习目标】
让学生熟识计算器一些功能键的使用 【学习重点】
运用计算器处理三角函数中的值或角的问题 【学习难点】
知道值求角的处理 【导学过程】 求下列各式的值．
（1）sin30°·cos45°+cos60°; （2）2sin60°-2cos30°·sin45°
（3）2cos 602sin 302
??-; （4）
sin 45cos 3032cos 60?+?-?
-sin60°（1-sin30°）．
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◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆装◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆订◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆线◆◆◆◆ （5）tan45°·sin60°-4sin30°·cos45°·tan30° （6）sin 45tan 30tan 60??-?
+cos45°·cos30°
合作交流：
学生去完成课本83 84页
学生展示：
用计算器求锐角的正弦、余弦、正切值 学生去完成课本83 86页的题目
自我反思：
本节课我的收获: 。
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先学后教、当堂达标数学导学案
年级：九年级 课 型： 新授课 使用时间：2011.3 课题：28．2解直角三角形（1） 执笔人： 靳立明 审 核 人： 【学习目标】
⑴: 使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形 ⑵: 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
⑶: 渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯． 【学习重点】
直角三角形的解法． 【学习难点】
三角函数在解直角三角形中的灵活运用 【导学过程】 一、自学提纲：
1．在三角形中共有几个元素？ 2．直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？ (1)边角之间关系
a b A b a A c b A c a A ====cot ;tan ;cos ;sin b a
B a b
B c a
B c b
B =
=
=
=
cot ;tan ;cos ;sin
如果用α∠表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成.
的对边的邻边；的邻边
的对边
；斜边的邻边
；斜边的对边
αααααααααα∠∠=
∠∠=
∠=
∠=
cot tan cos sin
(2)三边之间关系 (3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．
a 2 +
b 2 =
c 2 (勾股定理) 以上三点正是解直角三角形的依据．
齐河县第四中学校本培训系列教材要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端.梯子与地面所成的
角一般要满足，(如图).现有一个长6m的梯子，问:
(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0. 1 m)
(2)当梯子底端距离墙面2.4 m时，梯子与地面所成的角等于多少(精确
到1o) 这时人是否能够安全使用这个梯子
三、教师点拨：
例1在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且，
a=，解这个三角形．
例2在Rt△ABC中，∠B =35o，b=20，解这个三角形．
四、学生展示：
完成课本91页练习
补充题
1．根据直角三角形的__________元素（至少有一个边），求出________?其它所有元素的过程，即解直角三角形．
2、在Rt△ABC中，a=104.0，b=20.49，解这个三角形．
3、在△ABC中，∠C为直角，AC=6，BAC
的平分线AD=43，解此直角三角形。
4、Rt△ABC中，若sinA=4
5
，AB=10，那么BC=_____，tanB=______．
5、在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，那么sinA=________．
6、在△ABC中，∠C=90°，sinA=3
5
，则cosA的值是（）
A．3
5
B．
4
5
C．
916
.
2525
D
五、课堂小结：
小结“已知一边一角，如何解直角三角形？”
六、作业设置：
课本第96页习题28．2复习巩固第1题、第2题．七、自我反思：
的邻边
的对边
A A ∠∠ 年级 班 姓名_________________
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先学后教、当堂达标数学导学案
年级：九年级 课 型： 新授课 使用时间：2011.3 课题：28．2解直角三角形（2） 执笔人： 靳立明 审 核 人： 【学习目标】
⑴: 使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题． ⑵: 逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
⑶: 渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识 【学习重点】
将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决． 【学习难点】
实际问题转化成数学模型 【导学过程】 一、自学提纲：
1．解直角三角形指什么？
2．解直角三角形主要依据什么？
(1)勾股定理： (2)锐角之间的关系： (3)边角之间的关系：
tanA=
二、合作交流： 仰角、俯角
当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．
三、教师点拨：
例3 2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功.当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km 的圆形轨道上运行.如图,当飞船运行到地球表面上P 点的正上
斜边的邻边A A ∠=cos 斜边的对边A A ∠=sin
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◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆装◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆订◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆线◆◆◆◆方时，从飞船上最远能直接看到的地球上的点在什么位置?这样的最远点与P 点的距离是多少?(地球半径约为6 400 km ，结果精确到0. 1 km)
例4热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30o ，看这栋离楼底部的俯角为60o ，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)?
四、学生展示：
一、课本93页 练习 第1 、2题
五、课堂小结：
六、作业设置：
课本 第96页 习题28．2复习巩固第3、4题 七、自我反思：
本节课我的收获: 。
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年级：九年级 课 型： 新授课 使用时间：2011.3 课题：28．2解直角三角形（3） 执笔人： 靳立明 审 核 人： 【学习目标】
⑴: 使学生了解方位角的命名特点，能准确把握所指的方位角是指哪一个角
⑵: 逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．
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⑶:巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角问题．
【学习重点】
用三角函数有关知识解决方位角问题
【学习难点】
学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型
【导学过程】
一、自学提纲：
坡度与坡角
坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比），
一般用i表示。即ｉ＝，常i=1：m的形式如i=1:2.5
把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．
结合图形思考，坡度i与坡角α之间具有什么关系？
这一关系在实际问题中经常用到。
二、教师点拨：
例5如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东
65 方向，距离灯塔80海里的A处，它沿
正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34 方向上的B处.这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？
例6同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图6-33 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)
四、学生展示：
完成课本91页练习
补充练习
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◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆装◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆订◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆线◆◆◆◆◆◆◆◆
______，
坡角α______度．
2、利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(图阴影部分是挖去部分)，已知渠道内坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC 为0.5米，求： ①横断面(等腰梯形)ABCD 的面积；
②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．
五、课堂小结：
六、作业设置：
课本 第96页 习题28．2复习巩固第5、6、7题
七、自我反思：
本节课我的收获: 。
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先学后教、当堂达标数学导学案
年级：九年级 课 型： 新授课 使用时间：2011.3 课题：锐角三角函数定义检测 执笔人： 靳立明 审 核 人： 学习要求
理解一个锐角的正弦、余弦、正切的定义．能依据锐角三角函数的定义，求给定锐角的三角函数值．
课堂学习检测
一、填空题
1．如图所示，B 、B ′是∠MAN 的AN 边上的任意两点，BC ⊥AM 于C 点，B ′C ′⊥AM
于C ′点，则△B 'AC ′∽______，从而
AC
B A BC
C B )
()
(
=
'=
''，又可得
①='''B A C B ______，即在Rt △ABC 中(∠C ＝90°)，当∠A 确定时，它的______与______
的比是一个______值； ②
=''B A C A ______，即在Rt △ABC 中(∠C ＝90°)，当∠A 确定时，它的______与______
的比也是一个______； ③
='
''C A C B ______，即在Rt △ABC 中(∠C ＝90°)，当∠A 确定时，它的______与______
的比还是一个______．
第1题图
2．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．
第2题图
①斜边)
(sin =A ＝______， 斜边)(sin =B ＝______； ②斜边)(cos =A ＝______， 斜边)
(cos =B ＝______； ③的邻边
A A ∠=
)(
tan ＝______，
)
(
tan 的对边B B ∠=
＝______．
3．因为对于锐角α 的每一个确定的值，sin α 、cos α 、tan α 分别都有____________与它
______，所以sin α 、cos α 、tan α 都是____________．又称为α 的____________． 4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝9，b ＝12，则c ＝______，
sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______， sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______．
5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝1，b ＝3，则c ＝______，
sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______， sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______． 6．在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，若a ＝16，c ＝30，则b ＝______， sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______， sin C ＝______，cos C ＝______，tan C ＝______．
7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若∠A ＝30°，则∠B ＝______，
sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______， sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______．
二、解答题
8．已知：如图，Rt △TNM 中，∠TMN ＝90°，MR ⊥TN 于R 点，TN ＝4，MN ＝3．
求：sin ∠TMR 、cos ∠TMR 、tan ∠TMR ．
9．已知Rt △ABC 中，,
12,4
3tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ．
综合、运用、诊断
10．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点．
DE ∶AE ＝1∶2．
求：sin B 、cos B 、tan B ．
11．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，?=
∠43sin AOC
求：AB 及OC 的长．
12．已知：⊙O 中，OC ⊥AB 于C 点，AB ＝16cm ，?=
∠53sin AOC
(1)求⊙O 的半径OA 的长及弦心距OC ； (2)求cos ∠AOC 及tan ∠AOC ．
13．已知：如图，△ABC 中，AC ＝12cm ，AB ＝16cm ，?=
31sin A
(1)求AB 边上的高CD ； (2)求△ABC 的面积S ； (3)求tan B ．
齐河县第四中学校本培训系列教材
年级 班 姓名_________________
◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆装◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆订◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆线◆◆◆◆◆◆◆◆
14．已知：如图，△ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，△ABC 的面积等于9，求sin B ．
拓展、探究、思考
15．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，按要求填空：
(1),
sin c a A =
∴=?=c A c a ,sin ______； (2),cos c b A =
∴b ＝______，c ＝______； (3),
tan b a A =
∴a ＝______，b ＝______； (4),23sin =B ∴=B cos ______，=B tan ______； (5),53cos =
B
∴=B sin ______，=A tan ______；
(6)∵=B tan 3，∴=B sin ______，=A sin ______．
齐河县第四中学
先学后教、当堂达标数学导学案
年级：九年级 课 型： 新授课 使用时间：2011.3 课题：特殊锐角三角函数定义检测 执笔人： 靳立明 审 核 人： 学习要求
1．掌握特殊角(30°，45°，60°)的正弦、余弦、正切三角函数值，会利用计算器求一个锐角的三角函数值以及由三角函数值求相应的锐角．
2．初步了解锐角三角函数的一些性质．
课堂学习检测 一、填空题
二、解答题
2．求下列各式的值．
(1)o 45cos 230sin 2-?
(2)tan30°－sin60°·sin30°
(3)cos45°＋3tan30°＋cos30°＋2sin60°－2tan45°
(4)?
+?+?
+
?
-?45sin
30cos
30tan 130sin 145cos 2
2
2
3．求适合下列条件的锐角α ．
(1)2
1cos =α (2)3
3
tan =
α
(3)22
2sin =α (4)33)16cos(6=- α
4．用计算器求三角函数值(精确到0.001)．
(1)sin23°＝______； (2)tan54°53′40″＝______． 5．用计算器求锐角α (精确到1″)．
(1)若cos α ＝0.6536，则α ＝______；
(2)若tan(2α ＋10°31′7″)＝1.7515，则α ＝______．
综合、运用、诊断
6．已知：如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，BE ＝16cm ，?=
1312sin A
求此菱形的周长．
7．已知：如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝10，AC ＝5．
求：sin ∠ACB 的值．
8．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC ＝30°，延长CA 至D 点，使AD ＝AB ．求：
(1)∠D 及∠DBC ；
(2)tan D 及tan ∠DBC ；
(3)请用类似的方法，求tan22.5°．
9．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，3=
=BC AC ，作∠DAC ＝30°，AD 交
CB 于D 点，求：
(1)∠BAD ；
(2)sin ∠BAD 、cos ∠BAD 和tan ∠BAD ．
10．已知：如图△ABC 中，D 为BC 中点，且∠BAD ＝90°，3
1tan =
∠B ，求：sin ∠CAD 、
cos ∠CAD 、tan ∠CAD ．
拓展、探究、思考
11．已知：如图，∠AOB ＝90°，AO ＝OB ，C 、D 是
上的两点，∠AOD ＞∠AOC ，求
证：
(1)0＜sin ∠AOC ＜sin ∠AOD ＜1； (2)1＞cos ∠AOC ＞cos ∠AOD ＞0；
(3)锐角的正弦函数值随角度的增大而______； (4)锐角的余弦函数值随角度的增大而______．
12．已知：如图，CA ⊥AO ，E 、F 是AC 上的两点，∠AOF ＞∠AOE ．
劝学》导学案（第一课时） 学习目标】 1. 掌握作家作品知识及一二段文言知识，能准确翻译句子，理解比喻的内涵。 2. 反复诵读，积极讨论，踊跃展示，完成对文意的初步理解。 3. 领会学习的重要意义，树立正确的学习观。 使用说明与学法指导】 1. 借助导学案和书下注释充分预习文本，反复诵读，理解词句，把重点注释标注在相应位置， 并勾画疑难点。 2. 用时 30 分钟左右，认真书写，独立完成，规范作答，按时上交。 【导学过程】 一、课前积累： 读读记记写写，完成下面知识的积累。 1、作者及其作品： 荀子 （约公元前 313- 前 238） ，名况，人称“荀卿”，战国末期赵国人，曾游学于齐，当过楚国兰陵 令。后来失官居家著书，死后葬于兰陵。荀子是孔孟之后最著名的儒家学者，是我国古代杰出的思 想家、教育家。他具有朴素的唯物主义思想，认为“天行有常，不为尧存，不为桀亡” ，还认为 “人 定胜天 ”；在政治上，主张选贤任能，兼用 “礼 ”法“”术“”实行统治； 提出性恶论，注重后天教育的作 用。他的许多思想被法家所吸取。李斯、韩非都是他的学生。 卷， 共 32 篇。大多是他自己的著作， 一部分出自他的门人。 该书由 《论语》《孟 子》的语录体发展为有标题的论文，标志着古代说理文的进一步成熟。他的散文说理透彻、语言质 朴、多排比句，又善用比喻。《劝学》是《荀子》的第一篇。本文是原文前几段的节录。 二、【自主学习】预习课文，完成下列练习题。 对无义的虚词要说明用法） 著作 有《荀子》 劝，鼓励。 1、诵读《劝学》全文， 注音： 中 （ ） 规 輮（） 有（） 槁 （） 暴（） 磨砺 （ ） 参（）省（） 知（）明 须臾 （） 跂 （）望 舆 （）马 舟楫（） 生（） 蛟（）龙 跬（） 步 骐（）骥 （） 驽（ ）马 锲（）而不舍 镂（）刻 ）牙 蟹（）螯（） 蛇鳝（） 洞穴（ ） 靛（）青 蓼（）蓝 2、结合注释阅读第一、 二段， 疏通句意， 并掌握如下知识点。 如括号内无特别要求， 则解释词义， 君．子．（古义： ）曰：学不可以已．（ ）。 青，取之于．（ ）蓝（句式： ），而．（ ）青于．（ ）蓝；冰，水为之，而 寒于．（ ）水。木直中．（ ） 绳，輮．（ 通 , ） 省略： ）以．为．（古义：
初中数学锐角三角函数的难题汇编含答案 一、选择题 1．如图，点O 为△ABC 边 AC 的中点，连接BO 并延长到点D,连接AD 、CD ，若BD=12，AC=8，∠AOD ＝120°，则四边形ABCD 的面积为（ ） A ．23 B ．22 C ．10 D ．243 【答案】D 【解析】 【分析】 分别过点A 、C 作BD 的垂线，垂足分别为M 、N ，通过题意可求出AM 、CN 的长度，可计算三角形ABD 和三角形CBD 的面积，相加即为四边形ABCD 的面积. 【详解】 解：分别过点A 、C 作BD 的垂线，垂足分别为M 、N ， ∵点O 为△ABC 边 AC 的中点，AC=8， ∴AO=CO=4， ∵∠AOD ＝120°， ∴∠AOB=60°，∠COD=60°， ∴342 AM AM sin AOB AO ===∠， 342 CN CN sin COD CO ===∠， ∴AM=23CN=3 ∴12231232ABD BD AM S ?===g △ 12231232BD CN S ?===g △BCD ， ∴=123123243ABD BCD ABCD S S S +==△△四边形 故选：D. 【点睛】
本题考查了三角函数的内容，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键. 2．如图，为了加快开凿隧道的施工进度，要在小山的两端同时施工．在AC 上找一点B ，取145ABD ∠=o ，500BD m =，55D ∠=o ，要使A ，C ，E 成一直线，那么开挖点E 离点D 的距离是（ ） A ．500sin55m o B ．500cos55m o C ．500tan55m o D ．500cos55m o 【答案】B 【解析】 【分析】 根据已知利用∠D 的余弦函数表示即可． 【详解】 在Rt △BDE 中，cosD= DE BD ， ∴DE=BD ?cosD=500cos55°． 故选B ． 【点睛】 本题主要考查了解直角三角形的应用，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键． 3．如图，在ABC ?中，4AC =，60ABC ∠=?，45C ∠=?，AD BC ⊥，垂足为D ，ABC ∠的平分线交AD 于点E ，则AE 的长为（ ） A ．22 B ．223 C ．23 D ．322 【答案】C 【解析】 【分析】 在Rt △ADC 中，利用等腰直角三角形的性质可求出AD 的长度，在Rt △ADB 中，由AD 的长度及∠ABD 的度数可求出BD 的长度，在Rt △EBD 中，由BD 的长度及∠EBD 的度数可求出DE 的长度，再利用AE=AD?D E 即可求出AE 的长度． 【详解】 ∵AD ⊥BC ∴∠ADC=∠ADB=90?
二次根式导学案 二次根式(1) 一、学习目标 1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。 2、掌握二次根式有意义的条件。 3、掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 和)0()(2 ≥=a a a 二、学习重点、难点 重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质． 难点：综合运用性质)0(0≥≥a a 和)0()(2 ≥=a a a 。 三、学习过程 （一）复习回顾： （1）已知a x =2 ，那么a 是x 的______;x 是a 的________, 记为______,a 一定是_______数。 （2）4的算术平方根为2 ，用式子表示为 =__________；正数a 的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______；式子)0(0≥≥a a 的意义是 。 （二）自主学习 (1)16的平方根是 ； (2)一个物体从高处自由落下，落到地面的时间是t (单位：秒)与开始下落时的高度h (单位：米)满足关系式2 5t h =。如果用含h 的式子表示t ，则t = ； (3)圆的面积为S ，则圆的半径是 ； (4)正方形的面积为3-b ，则边长为 。 思考：16， 5 h ，πs ,3-b 等式子的实际意义.说一说他们的共同特征. 定义: 一般地我们把形如a （0≥a ）叫做二次根式，a 叫做_____________ 1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？ 3，16-，34)0(3 ≥a a ，12 +x 2、当a 为正数时a 指a 的 ，而0的算术平方根是 ，负数 ，只有非负数a 才有算术平方根。所以，在二次根式a 中，字母a 必须满足 , a 才有意义。 3、根据算术平方根意义计算 ： (1) 2 )4( (2) （3）2)5.0( （4）2 )3 1( 根据计算结果，你能得出结论： ，其中0≥a , 4、由公式)0()(2≥=a a a ，我们可以得到公式a =2 )(a ,利用此公式可以把任意一个非负 数写成一个数的平方的形式。 如(5)2 =5；也可以把一个非负数写成一个数的平方形式，如5=(5)2 . 练习：(1)把下列非负数写成一个数的平方的形式： 6 0.35 (2)在实数范围内因式分解 72-x 4a 2-11 （三）合作探究 例：当x 是怎样的实数时，2-x 在实数范围内有意义？ 解：由02≥-x ，得 2≥x 当2≥x 时，2-x 在实数范围内有意义。 练习：1、x 取何值时，下列各二次根式有意义？ ①43-x ③ 2、（1有意义，则a 的值为___________． （2）若 x 为（ ）。 A.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数 3、(1)在式子 x x +-121中，x 的取值范围是____________. (2)已知42 -x +y x +2＝0，则=-y x _____________. (3)已知233--+-= x x y ,则x y = _____________。 （四）达标测试 (一)填空题： 1、=??? ? ??2 53 2、若0112=-+-y x ，那么x = ，y = 。 3、当x = 时，代数式有最小值，其最小值是 。 ________ )(2=a x --2142 )3(
第28章锐角三角函数 同步学习检测（二） 一、选择题 1．（2009年广西钦州）sin30°的值为（ ） A B C ． 12 D 2．(2009年湖州)如图，在Rt ABC △中，ACB ∠=Rt ∠，1BC =，2AB =，则下列结论正确的是（ ） A ． sin 2A = B ．1 tan 2A = C ．cos 2 B = D ．tan B =3．（2009年漳州）三角形在方格纸中的位置如图所示，则tan α的值是（ ） A ． 3 4 B ． 43 C ．35 D ．4 5 4．（2009年兰州）如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m ．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m ，那么相邻两树间的坡面距离为（ ） A ．5m B ．6m C ．7m D ．8m 5．（2009年长春）．菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示， 45AOC OC ∠==°， ） A ． B ． C ．11)， D ．1) 6．(2009年宁德市)如图，直线AB 与⊙O 相切于点A ，⊙O 的半径为2，若∠OBA = 30°， 则OB 的长为（ ） A ． B ．4 C ．．2 7．(2009年河北)图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB ．CD 分别表示一楼．二楼地面的水平线，∠ABC =150°，BC 的长是8 m ，则乘电梯从点B 到点C 上升的 高度h 是（ ） A m B ．4 m C ． m D ．8 m
8．(2009年潍坊)如图，小明要测量河内小岛B 到河边公路l 的距离，在A 点测得 30BAD ∠=°，在C 点测得60BCD ∠=°，又测得50AC =米，则小岛B 到公路l 的距离 为（ ）米． A ．25 B ． C D ．25+9．（2009年齐齐哈尔市）如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的 半径为 3 2，2AC =，则sin B 的值是（ ） A ．23 B ．32 C ．34 D ． 4 3 10．（2009年吉林省）将宽为2cm 的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕PQ 的长是（ ） A ．cm D ．2cm 11．（2009年深圳市）如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，∠EDC ∶∠EDA=1∶3，且AC=10，则DE 的长度是（ ） A ．3 B ．5 C ．25 D ．2 25 12．（2009丽水市）如图，已知△ABC 中，∠ABC =90°,AB =BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1，l 2，l 3上，且l 1，l 2之间的距离为2 , l 2，l 3之间的距离为3 ,则AC 的长是（ ） A ．172 B ．52 C ．24 D ．7 13．（2009湖南怀化）如图4，在Rt ABC △中， 90=∠ACB ，86AC BC ==，，将ABC △绕AC 所在的直线旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的侧面积为（ ） A ．30π B ．40π C ．50π D ．60π
第2课时 分数乘分数 学习目标： 1、弄清分数乘分数的意义。掌握分数乘分数的计算方法，并能运用计算方法进行正确计算。 2、努力提高自己的计算能力，能够正确，熟练地进行计算。 学习重难点： 分数乘分数的意义及算理。 使用说明及学法指导： 1、自学课本第3页，用红笔勾画出疑惑点；独立思考完成复习和自主学习部分，并总结规律方法。 2、针对自主学习中找出的疑惑点，课上小组讨论交流，答疑解惑。带★的题可选做。 课前热身：。 35 × 4 = 715 ×5= 9 20 ×8= 合作探究（一）：探究分数乘分数的意义和方法。 例1、李伯伯家有一块2 1 公顷的地，种土豆的面积占这块地的15，种玉
米的面积占3 5 。 1、种土豆的面积是多少公顷？ （2）种玉米的面积是多少公顷？ 2、动手操作， ①操作画一个长方形表示1公顷，把这个长方形平均分成2份，取其中的一份表示21公顷②求21公顷的15，就是把21 公顷平均分成5份，求 其中的一份。即2 1的5 1。 由此得出21×51这个乘法算式表示“21的21 是多少？”即：把12再平均 分成（ ）份，也就是把这张纸平均分成了（ ）份。其中的一份就是这张纸的（ ） （ ） 。 3、根据涂色结果得出21×51＝101，由此推导出计算方法：21×51=5 211??＝ 10 1 4.归纳总结一个数乘分数的意义和计算方法。 （1）意义：一个数乘分数，表示求这个数的几分之几是多少。 （ 2 ） 计 算 方 法 ： 分 数 乘 分 数 ， 用 ___________________________________ 想一想：种玉米的面积是多少公顷？先在书上的方格中涂一涂，再填一填。 分析：把1 2再平均分成（ ）份，也就是把这张纸平均分成了（ ）
锐角三角函数 中考主要考查点： 1． 锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值； 2． 解直角三角形；解直角三角形的应用； 3． 直角三角形的边角关系的应用 ? 知识点1. 直角三角形中边与角的关系 中，∠C=90° （1）边的关系： （2）角的关系： （3）边与角的关系： sinA = cosA= tanA= cotA= sinA ＝cosB ＝ a c ， cosA ＝sinB ＝ b c ，tanA ＝＝a b ， tanB ＝b a , cotA=b a ? 知识点2. 特殊角的三角函数值 特殊角30°，45°，60°的三角函数值列表如下： α sinα cosα tanα 30° 1 2 33 45° 22 22 1 60° 1 2 斜边 的对边 A ∠斜边 的邻边A ∠邻边的对边A ∠ 对边的邻边A ∠2 3 233
? 知识点3. 三角函数的增减性 已知∠A 为锐角，sinA 随着角度的增大而 增大 ，tanA 随着角度的增大而 增大 ， cosA 随着角度的增大而 减小 。 例1. 已知∠A 为锐角，且cosA≤ 2 1 ，那么（ ） （A ） 0°＜A≤60°（B ）60°≤A ＜90°（C ）0°＜A≤30°（D ）30°≤A ＜90° ? 知识点4. 同角三角函数与互为余角的三角函数之间的关系。 1. 同角三角函数的关系 1cos sin 22=+A A A A A cos sin tan = 1cot tan =?A A 2. 互为余角的三角函数之间的关系90=+B A B A B A sin cos cos sin == ?=47cos 43sin ο 1tan tan =?B A ? 知识点5. 直角三角形的解法 直角三角形中各元素间的关系是解直角三角形的依据，因此，解直角三角形的关键是 正确选择直角三角形的边角关系式，使两个已知元素（其中至少有一个元素是边）. 重要类型: 1.已知一边一角求其它。 2.已知两边求其它。 例2. 在中，∠C=90°，，∠A －∠B=30°，试求的值。 A C B
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．某地是国家AAAA 级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享誉巴渠，被誉为 “小九寨”．端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”，昂首向天，望穿古今．一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离．他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD ，想法测出了尾部C 看头顶B 的仰角为40，从前脚落地点D 看上嘴尖A 的仰角刚好60，5CB m ＝, 2.7CD m ＝．景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是3m ．于是，他们很快就算出了AB 的长．你也算算？（结果精确到0.1m ．参考数据：400.64400.77400.84sin cos tan ?≈?≈?≈，，.2 1.41,3 1.73≈≈） 【答案】AB 的长约为0.6m ． 【解析】 【分析】 作BF CE ⊥于F ，根据正弦的定义求出BF ，利用余弦的定义求出CF ，利用正切的定义求出DE ，结合图形计算即可． 【详解】 解：作BF CE ⊥于F ， 在Rt BFC ?中， 3.20BF BC sin BCF ?∠≈＝， 3.85CF BC cos BCF ?∠≈＝， 在Rt ADE ?E 中，3 1.73tan 3 AB DE ADE ===≈∠， 0.200.58BH BF HF AH EF CD DE CF ∴+＝﹣＝，＝＝﹣＝ 由勾股定理得，22BH AH 0.6(m)AB =+≈， 答：AB 的长约为0.6m ．
【点睛】 考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 2．如图，某无人机于空中A 处探测到目标B D 、的俯角分别是30、60??,此时无人机的飞行高度AC 为60m ，随后无人机从A 处继续水平飞行303m 到达'A 处. （1）求之间的距离 （2）求从无人机'A 上看目标的俯角的正切值. 【答案】（1）120米；（223. 【解析】 【分析】 （1）解直角三角形即可得到结论； （2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ，于是得到'60A E AC ==， '30CE AA ==3Rt △ABC 中，求得33，然后根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】 解：（1）由题意得：∠ABD=30°，∠ADC=60°， 在Rt △ABC 中，AC=60m ， ∴AB=sin 30AC ?=6012 =120（m ） （2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ， 则'60A E AC ==， '30 CE AA ==3 在Rt △ABC 中， AC=60m ，∠ADC=60°， ∴33∴3 ∴tan ∠A 'A D= tan ∠'A DC='A E DE 503235
第6单元综合评价一．填空 1.6 ÷（）＝0.75＝( ) ( ) ＝（）% 2.12是15的（）%，15比12多（）%。 3.50米是（）米的40%。 4.某班男生是女生的40%，女生人数是全班的（）%。 5.种了200棵树苗，死了6棵，这批树苗的成活率是（）%。 6.某工厂今年实际全年产值比原计划超过18%，实际完成计划的（）%；今年原计划完成200万元，今年实际产值是（）万元。 7.一件衣服打折以后便宜了45元，这件衣服原价是（）元。 8.冰化成水后体积减少了10%，水结成冰后体积增加了（）。 9.正方形的边长增加10%，面积增加（）%。 二．判断 1.百分数化成分数后都是真分数。（） 2.分母是100的分数就是百分数。（） 3.用100千克小麦磨出90千克面粉，这批小麦的出粉率为90%千克。（） 4.甲数比乙数少20%，乙数就比甲数多25%。（） 5.一种商品，先涨价20%，再降价20%，现价与原价相等。（） 6.一个数的40%是20，这个数是120. （）
7.9 100 Kg可以写成9%千克。（）三．选择正确的答案序号填入括号里 1．把15千克食盐溶解到100千克水里，盐水的含盐率为（）Ａ.15%Ｂ.约13.3%Ｃ约16.7% 2．一种产品现价45元，比原价降低了5元，求降低了百分之几的正确列式是（） Ａ.5÷45Ｂ.5÷（45+5）Ｃ.5÷（45一5） 3．有500台电视机，卖掉了20%，再增加20%，现在电视机有（）Ａ.480台Ｂ.500台Ｃ.520台 4.足球个数是篮球个数的150%，篮球与足球比是（） Ａ.3：2Ｂ2：3Ｃ.1：3 5.一个数（0除外）与真分数相乘，积一定（） Ａ.小于这个数Ｂ.等于这个数Ｃ.小于或大于这个数 四．列式计算 1.比一个数少它的75%是60，这个数是多少？ 2.甲数是50，乙数是200，甲数占甲乙两数和的百分之几？ 3.一个数的30%是63，那么它的1 20是多少?
初中数学：锐角三角函数定义大全 锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec），余割（csc）都叫做角A的锐角三角函数。 正弦（sin）等于对边比斜边；sinA=a/c 余弦（cos）等于邻边比斜边；cosA=b/c 正切（tan）等于对边比邻边；tanA=a/b 余切（cot）等于邻边比对边；cotA=b/a 正割（sec)等于斜边比邻边；secA=c/b 余割(csc)等于斜边比对边。cscA=c/a 互余角的三角函数间的关系 sin(90°-α)=cosα,cos(90°-α)=sinα, tan(90°-α)=cotα,cot(90°-α)=tanα. 平方关系：
sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) 积的关系： sinα=tanα·cosα cosα=cotα·sinα tanα=sinα·secα cotα=cosα·cscα secα=tanα·cscα cscα=secα·cotα 倒数关系： tanα·cotα=1
sinα·cscα=1 cosα·secα=1 特殊的三角函数值 0°30°45°60°90° 01/2√2/2√3/21←sinA 1√3/2√2/21/20←cosA 0√3/31√3None←tanA None√31√3/30←cotA 诱导公式 sin（－α）=－sinαcos（－α）=cosα tan（－α）=－tanαcot（－α）=－cotα
sin（π/2－α）=cosαcos（π/2－α）=sinαtan（π/2－α）=cotαcot（π/2－α）=tanαsin（π/2+α）=cosαcos（π/2+α）=－sinαtan（π/2+α）=－cotαcot（π/2+α）=－tanαsin（π－α）=sinαcos（π－α）=－cosαtan（π－α）=－tanαcot（π－α）=－cotα
二次根式(1) 学习目标： 1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式,掌握二次根式有意义的条件。 2、掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a · ·预 习 案 （一）复习回顾： （1）已知a x =2，那么a 是x 的_ ____;x 是a 的___ _, 记为_ ___,a 一定是__ __数。 （2）4的算术平方根为2 ，用式子表示为 =______；正数a 的算术平方根为_____， 0的算术平方根为____；式子)0(0≥≥a a 的意义是 。 思考：16 ， π s ,3-b 等式子.说一说他们的共同特征. ` 定义: 一般地我们把形如a （0≥a ）叫做二次根式，a 叫做______。“ ”称为 。 1、判断下列各式，哪些是二次根式在后面“√”，哪些不是在后面“×”为什么 3（ ），16-（ ），34（ ） ），)0(3 ≥a a （ ），12+x （ ） 2、当a 为正数时a 指a 的 ，而0的算术平方根是 ，负数 ，只有非负数a 才有算术平方根。所以，在二次根式a 中，字母a 必须满足 , a 才有意义。 3、根据算术平方根意义计算 ： (1) 2)4( = (2) = （3）2)5.0( = （4）2)3 1(= 根据计算结果，你能得出结论： （0≥a ） 4、由公式)0()(2≥=a a a ，我们可以得到公式a =2)(a ,利用此公式可以把任意一个非负数 写成一个数的平方的形式。如(5)2=5或5=(5)2. 练习：(1)把下列非负数写成一个数的平方的形式：6= = 合 作 探 究 ________)(2 =a 42 )3(
2019春初三数学中考专题复习锐角三角函数 一、单选题 1.在中，，，，那么的值是（） A. B. C. D. 2.如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC=2，则tanA的值为（） A. 2 B. C. D. 3.sin30°的值等于（） A. B. C. D. 1 4.cos30°=（） A. B. C. D. 5.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=3，BC=2，则cosB的值是（） A. B. C. D. 6.在正方形网格中，∠α的位置如图所示，则tanα的值是（）
A. B. C. D. 2 7.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，sinA= ，则AB的长为（） A. B. 6 C. 12 D. 8 8.如图，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为i=3：2，顶宽是7米，路基高是6米，则路基的下底宽是（） A. 7米 B. 11 米 C. 15 米 D. 17米 9.三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sinα的值是（） A. B. C. D. 10.在三角形ABC中，∠C为直角，sinA=，则tanB的值为（） A. B. C. D. 11.游客上歌乐山山有两种方式：一种是如图，先从A沿登山步道走到B，再沿索道乘座缆车到C，另一种是沿着盘山公路开车上山到C，已知在A处观铡到C，得仰角∠CAD=3l°，且A、B的水平距离AE=430米，A、B的竖直距离BE=210米，索道BC的坡度i=1：1.5，CD⊥AD于D，BF⊥CD于F，则山篙CD为（）米；（参考数据：tan31°≈0.6．cos3l°≈0.9）
A. 680 B. 690 C. 686 D. 693 12.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果∠A=α，BC=a，那么AC等于（） A. a·tanα B. a·cotα C. D. 13.化简等于（） A. sin28°﹣cos28° B. 0 C. cos28°﹣ si n28° D. 以上都不对 14.如图，钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长3m，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC 转动到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′为3m，则鱼竿转过的角度是（） A. 60° B. 45° C. 15° D. 90° 15.如图在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，sinA=，则BC等于（） A. 45 B. 5 C. D. 二、填空题 16.如图1，是工人将货物搬运上货车常用的方法，把一块木板斜靠在货车车厢的尾部，形成一个斜坡，货物通过斜坡进行搬运．根据经验，木板与地面的夹角为20°（即图2中∠ACB=20°）时最为合适，已知货车车厢底部到地面的距离AB=1.5m，木板超出车厢部分AD=0.5m，则木板CD的长度为________．（参考数据：sin20°≈0.3420，cos20°≈0.9397，精确到0.1m）．
初三数学锐角三角函数通用版 【本讲主要内容】 锐角三角函数 包括：正弦、余弦、正切。 【知识掌握】 【知识点精析】 1. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA 。 即 c a A A sin == 斜边的对边∠；把∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即c b A A cos =∠=斜边的邻边；把∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即 b a A A A t an =∠∠=的邻边的对边。 2. 锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数。 3. 特殊角的三角函数值： 30° 45° 60° sin α 1 2 22 32 cos α 32 22 12 tan α 33 1 3 4. 记忆方法： 【解题方法指导】 例1. （2000年成都市）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝60°，D 是AC 的中点，那么tan ∠DBC 的值是________。 锐 角 α 三 角 函 数
分析：在Rt △ABC 中，由∠ABC ＝60°，可知3BC AC 60tan == ，即AC ＝3BC ，又CD ＝ 1 2 AC ，tan ∠DBC 可求。 解：在△ABC 中， ∵∠C ＝90°，∠ABC ＝60°， ∴tan ∠ABC ＝tan60°＝3BC AC =， ∴AC ＝3BC 。 又D 是AC 中点， ∴DC ＝ 12AC ＝32 BC 。 ∴2 3 BC BC 23 BC DC DBC tan = ==∠。 评析：在解题中紧紧扣住tan α的定义。 例2. （2001年四川）在Rt △ABC 中 ，CD 是斜边AB 上的高，已知3 2 ACD sin = ∠，那么=AB BC ______。 分析：由Rt △ABC 中CD ⊥AB 于D ，可得∠ACD ＝∠B ，由sin ∠ACD ＝ 2 3 ，那么sinB ＝23，设AC ＝2，AB ＝3，则BC ＝32522-=，则AB BC 可求。 解：∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ， ∴∠ACD ＝∠B 。 又sin ∠ACD ＝sinB ＝ 23 ， 可设AC ＝2，AB ＝3， ∴BC ＝32522-=。
1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。 2、掌握二次根式有意义的条件。 【学习重点】二次根式有意义的条件． 【学习过程】 【活动一】知识（5分钟） 这些知识你还记得吗？（先独立完成1分钟，后同桌互查1分钟。） 1、如果对于任意数x ,有x 2 = a ，那么x 叫a 的________, 记为______,其中 a 是x 的______;所以a 一定是_______数。 2、如果对于一个正数x ,有x 2 = a ，那么x 叫a 的________, 记为______,其中 a 仍是x 的______;所以a 一定是_______数。 3、正数a 的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______； 式子)0(0≥≥a a 的意义是 。4的算术平方根为2，用式子表 示为 =__________； 【活动二】自主交流 探究新知（ 25分钟） 1、二次根式定义的学习：（12分钟） 完成 P2—思考中的容，阅读例1以上的容，尝试完成下面的问题： 1） 思考：如何判定一个式子是否是二次根式？ 2 3，16-，34，12+x 3）已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是 。 4）下列各式一定是二次根式的是（ ） A 、12+x B 、12-x C 、1--x D 、x 总结：二次根式应满足的条件： 。 2、 二次根式有意义的条件的学习：（13分钟） 自学课本P--2页例1后，模仿例题的解答过程合作完成练习 ： 1）x 取何值时，下列各二次根式有意义？ ①43-x ③x --21 （2）若在实数围有意义，则x 为（ ）。 B.负数 C.非负数 D.非正数 总结：二次根式有意义的条件是： 【活动三】课小结 (学生归纳总结) （3分钟） 1．非负数a 的算术平方根a (a ≥0)叫做二次根式. 二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取值围有限制：被开方数a 必须是非负数。 20 a ≥??≥。 【活动四】拓展延伸（独立完成3分钟，班级展示2分钟） 1、在式子 x x +-121中，x 的取值围是____________. 2、已知42 -x +y x +2＝0，则x-y ＝ _____________. 3、已知y ＝x -3+23--x ,则x y = _____________。 【活动五】快乐达标（学生先独立完成5分钟，后组互查2分钟。） 1、下列式子中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？ 2，33， x 1 ，x （x ＞0），0，42，y x +1，y x +（x ≥0,y ≥0） 2、当x 是怎样的实数时，13-x 在实数围有意义？ 3、若20a -+=，则 2 a b -= 。 【补充练习】1、式子 1 1 2-+x x 有意义的x 的取值围是 。 2、已知：y x x x y 求,522+-+-=的值。 4 0)a ≥
第四单元 13 背影 学习目标 1.积累字词和有关文学常识。 2.整体感知课文内容,理清行文线索,分析结构,把握中心。 3.研读重点文段,领会文章所表现的父子之间的亲情,继承中华民族的传统美德。 学习过程 一、基础积累 1.作家作品填空。 朱自清,字 ,江苏扬州人,现代著名的 、 、 ,其创作的散文被誉为“美文”。 2.给下面加点的字注音。 交卸．( ) 奔丧．( ) 橘．子( ) 迂．腐( ) 琐屑．( ) 栅．栏( ) 差．使( ) 蹒．跚( ) 狼藉．( ) 簌簌．．( ) 踌躇．．( ) 颓． 唐( ) 3.根据意思写词语。 (1)( )乱七八糟的样子。 (2)( )纷纷落下的样子。 (3)( )凄凉,萧条,不景气。 (4)( )失业在家。 (5)( )言行守旧,不合时宜。 (6)( )衰颓败落。 二、整体感知 4.通读课文,你认为这篇文章的写作线索是什么?全文可分成几部分?请概括各部分的大意。
5.背影在课文中一共出现了几次?分别是在什么情境下出现的?其中哪一次最让你感动?哪一次刻画得最细致? 6.文中写了几次流泪?分别表达了怎样的思想感情?请结合情境具体分析。 三、局部探究 7.研读课文第六段。 (1)声情并茂再现“背影”,小组成员之间可开展朗读比赛,看谁读得最能打动人。 (2)概括本段大意。 (3)本段中作者刻画父亲的形象都运用了哪些描写方法?试举例说明。
(4)描写父亲买橘子时作者运用了哪些动词?请分析这些动词的表达效果。 (5)怎样理解父亲买橘子回来后“扑扑身上的泥土,心里很轻松似的”这句话? 四、阅读延伸 父亲的驼背 父亲就这样无言地用lín()xún()驼背将生活的重负扛着,就像一张弓无言地坚韧着,积攒．()着,为一支支响箭预备着生命的涌动和波澜。我们做儿女的就是这弓上的箭。有两件事是永生永世都捡拾不尽的碎金,撒落在时间的长河里。 第一件事发生在我读小学六年级那年,这一年对我来说是一个灾难之年。我的两条腿上大大小小长满了十三个毒chuāng(),淋漓的脓血像山泉一样gǔ()gǔ()地朝外涌着,上学成了一种负担。父亲向来家教甚严,生几个脓疮自然是不能辍．()学的,走不动时父亲背也得把我背到学校去。于是,父亲的驼背就成了我的一副马鞍。每天早晨,父亲总会准时地蹲在屋檐边,就像一匹温驯．()的老马迎候着它的主人;掌灯时分,父亲也一定会kāng()kǎi()地亮出他的驼背站在教室的门前。我在父亲的背上度过了一个秋天一个冬天又一个春天。秋天里我没有觉出父亲的背有什么异样。冬天里父亲的背很暖和,我的心口总像有一盆火烘烤着。到了春天,厚重的棉衣褪去了,我突然发现父亲的背驼得更加厉害了,简直就像洪水冲击过后留下的一道塄坎。我伏贴在父亲的背上,父亲只能蜗牛一般将头艰难地向前伸着。 这情形使我很自然地联想到一些生命现象。在浩瀚的沙漠里,驼峰为绿洲而高耸着;在肥沃的田野里,牛背为犁铧而(a.坚韧 b.坚强 c.刚强)着。那么父亲的背也一定是为我而驼着!我的心魄被(a.震动 b.震撼 c.感动)了,我的灵魂被震撼了,我的爱憎也
锐角三角函数 中考要求 重难点 1．掌握锐角三角函数的概念，会熟练运用特殊三角函数值； 2．知道锐角三角函数的取值范围以及变化规律； 3．同角三角函数、互余角三角函数之间的关系； 4．将实际问题转化为数学问题，建立数学模型． 课前预习 “正弦”的由来 公元五世纪到十二世纪，印度数学家对三角学作出了较大的贡献．尽管当时三角学仍然还是天文学的一个计算工具，是一个附属品，但是三角学的内容却由于印度数学家的努力而大大的丰富了．三角学中“正弦”和“余弦”的概念就是由印度数学家首先引进的，他们还造出了比托勒密更精确的正弦表． 托勒密和希帕克造出的弦表是圆的全弦表，它是把圆弧同弧所夹的弦对应起来的．印度数学家不同，他们把半弦(AC)与全弦所对弧的一半(AD)相对应，即将AC与∠AOC对应，这样，他们造出的就不再是“全弦表”，而是“正弦表”了．印度人称连结弧(AB)的两端的弦(AB)为“吉瓦”，是弓弦的意思；称AB的一半(AC) 为“阿尔哈吉瓦”．后来“吉瓦”这个词译成阿拉伯文时被误解为“弯曲”、“凹处”，阿拉伯语是“dschaib”．十二世纪，阿拉伯文被转译成拉丁文，这个字被意译成了“sinus”．三角学输入我国，开始于明崇祯4年(1631年)，这一年，邓玉函、汤若望和徐光启合编《大测》，作为历书的一部份呈献给朝廷，这是我国第一部编译的三角学．在《大测》中，首先将sinus译为“正半弦”，简称“正弦”，这就成了正弦一词的由来．
例题精讲 模块一 三角函数基础 一、锐角三角函数的定义 如图所示，在Rt ABC △中，a 、b 、c 分别为A ∠、B ∠、C ∠的对边． （1）正弦：Rt ABC ?中，锐角A 的对边与斜边的比叫做A ∠的正弦，记作sin A ，即sin a A c =． （2）余弦：Rt ABC ?中，锐角A 的邻边与斜边的比叫做A ∠的余弦，记作cos A ，即cos b A c =． （3）正切：Rt ABC ?中，锐角A 的对边与邻边的比叫做A ∠的正切，记作tan A ，即tan a A b =． 注意： ① 正弦、余弦、正切都是在直角三角形中给出的，要避免应用时对任意三角形随便套用定义． ② sin A 、cos A 、tan A 分别是正弦、余弦、正切的数学表达符号，是一个整体，不能理解为sin 与A 、 cos 与A 、tan 与A 的乘积． ③ 在直角三角形中，正弦、余弦、正切分别是某个锐角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边的比值，当这个锐角确定后，这些比值都是固定值． 二、特殊角三角函数 这些特殊角的三角函 数值一定要牢牢记住！ 三、锐角三角函数的取值范围 在Rt ABC ?中，90C ∠=?，000a b c a c b c >>><<，，，，，又sin a A c =，cos b A c =，tan a A b =，所以 0sin 10cos 1tan 0A A A <<<<>，，． 四、三角函数关系 a A
初中数学锐角三角函数的经典测试题及解析一、选择题 1．如图，在扇形OAB中，120 AOB ∠=?，点P是弧 AB上的一个动点（不与点A、B重 合），C、D分别是弦AP，BP的中点．若33 CD=，则扇形AOB的面积为（）A．12πB．2πC．4πD．24π 【答案】A 【解析】 【分析】 如图，作OH⊥AB于H．利用三角形中位线定理求出AB的长，解直角三角形求出OB即可解决问题． 【详解】 解：如图作OH⊥AB于H． ∵C、D分别是弦AP、BP的中点． ∴CD是△APB的中位线， ∴AB＝2CD＝63 ∵OH⊥AB， ∴BH＝AH＝33 ∵OA＝OB，∠AOB＝120°， ∴∠AOH＝∠BOH＝60°， 在Rt△AOH中，sin∠AOH＝ AH AO ， ∴AO＝ 33 6 sin3 AH AOH == ∠， ∴扇形AOB的面积为： 2 1206 12 360 π π = g g ，
故选：A ． 【点睛】 本题考查扇形面积公式，三角形的中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 2．如图，在ABC ?中，4AC =，60ABC ∠=?，45C ∠=?，AD BC ⊥，垂足为D ，ABC ∠的平分线交AD 于点E ，则AE 的长为（ ） A 2 B 22 C 42 D 32 【答案】C 【解析】 【分析】 在Rt △ADC 中，利用等腰直角三角形的性质可求出AD 的长度，在Rt △ADB 中，由AD 的长度及∠ABD 的度数可求出BD 的长度，在Rt △EBD 中，由BD 的长度及∠EBD 的度数可求出DE 的长度，再利用AE=AD?DE 即可求出AE 的长度． 【详解】 ∵AD ⊥BC ∴∠ADC=∠ADB=90? 在Rt △ADC 中，AC=4，∠C=45? ∴AD=CD=22在Rt △ADB 中，AD=22ABD=60? ∴BD=33AD=263 ． ∵BE 平分∠ABC ， ∴∠EBD=30°． 在Rt △EBD 中，26，∠EBD=30° ∴DE=33BD=223 ∴AE=AD ?DE=222242 故选：C 【点睛】
第三单元 10短文二篇 答谢中书书 学习目标 1.字词的梳理。 2.根据注释翻译课文,并能背诵默写课文。 3.了解文章中的优美意境、严密的结构和凝练的语言。 学习过程 【课前准备】 1.初读课文,给下列加点的字注音。 夕日欲颓．() 未复有能与．其奇者() 2.学生根据老师的范读给课文划出朗读节奏。 朗读提示:山川/之美,古来/共谈。高峰/入云,清流/见底。 山川之美,古来共谈。高峰入云,清流见底。两岸石壁,五色交辉。青林翠竹,四时俱备。晓雾将歇,猿鸟乱鸣;夕日欲颓,沉鳞竞跃。实是欲界之仙都。自康乐以来,未复有能与其奇者。 【自主学习】 1.字词含义。 (1)五色交辉．() (2)夕日欲颓．() (3)沉鳞竞．跃() (4)未复有能与．其奇者() 2.翻译句子。 (1)未复有能与其奇者。
(2)晓雾将歇,猿鸟乱鸣;夕日欲颓,沉鳞竞跃。 【合作探究】 1.有人评价《答谢中书书》“宛如一幅清丽的山水画,又像一首流动的山水诗”。那么这幅山水画中有哪些景色呢? 2.本文表达了作者怎样的思想感情? 【自我检测】 1.解释加点词。 (1)答谢中书书．() (2)四时俱．备() (3)晓雾将歇．() (4)夕日欲颓．() 2.“沉鳞竞跃”的“跃”意思是。 “未复有能与其奇者”一句中的“其”指代的内容是。 3.《答谢中书书》一文体现了作者的志趣。总领全文的句子是。 4.“猿鸟乱鸣”一句中的“乱”字用得好,它写出了“鸣”的状态,写出了晨景的热烈欢跃的气氛,“沉鳞竞跃”一句中的“竞”字用得也好,你能说一说好在哪里? 参考答案
【课前准备】 1.tuíyù 2.略 【自主学习】 1.(1)辉映(2)坠落(3)竞相(4)参与,欣赏 2.(1)就再也没有人能够欣赏这种奇丽的景色了。 (2)清晨的薄雾将要消散的时候,传来猿、鸟此起彼伏的鸣叫声;夕阳快要落山的时候,潜游在水中的鱼儿争相跳出水面。 【合作探究】 1.高峰入云、清流见底、两岸石壁,青林翠竹、晓雾猿鸟、夕日沉鳞。 2.本文以清峻的笔触,描绘了秀美的山川景色,表达了作者沉醉山水的愉悦之情和与古时知音共赏美景的得意之感。 【自我检测】 1.(1)书信(2)都(3)消散(4)坠落 2.跳出水面山川景色 3.崇尚自然,醉心于山水山川之美,古来共谈 4.“竞”运用拟人手法,传神地写出了水中游鱼竞相跃出水面的样子,描绘了一幅夕阳将沉、潜游水中的鱼儿争相跳出水面的奇丽景致,使文章鲜活动人,生动可感。 记承天寺夜游 学习目标 1.在反复朗读中把握文章内容,体味作者复杂的情感。 2.品味文中意境优美的写景句子,学习景物描写的方法。 3.学会查找并利用资料多角度解读文本,感受并学习作者豁达的人生态度。