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Vol .3No .1March 1998电路与系统学报JOU RNAL OF CIRCU IT S A ND SY ST EMS 第3卷第1期
1998年3月 国家攀登计划认识科学(神经网络)重大关键项目及广东省自然科学基金资助项目收文日期:1997年5月30日(Ma y 30,1997)
1引言
混沌控制是指混沌的控制与诱导。控制混沌系统和混沌理象是一个新的概念和尝试,引起了广泛的兴趣。研究这一题目的科研人员来自工程、数学、物理、化学、生物、医学、经济以至社会科学的众多领域。已提出了多种控制(或诱导)混沌的方法,诸如参数扰动方法、纳入轨道和强迫迁徙方法、工程反馈控制方法以及混沌同调等等。在理论上,非线性动力学关于分支、混沌、稳定流形等也有较深入的研究。2混沌及其控制研究的历史回顾
随着近二三十年来近似方法的发展,特别是计算机的飞速发展,使得在非线性微分方程的数值积分上取得巨大进展,从而也促使人们对其解有了更全面、透彻的了解。
1963年,Lorenz 研究两无限平面间的流体的运动[1]。在用计算机求数值解时,Lor enz 发现,在参数取
适当值时,解是非周期的,而且具有随机性。这是最先明确地从决定性方程得到随机性结果。随后Henon
[2]和Rossler [3]等人也得到了类似的结果,Ruelle [4,5]、Ma y [6]、Fei g endaum [7]和Couette [8]等人也对这类随机运动的一些特性进行了研究。开创了一种新的运动形态———混沌的发现和研究。
由于非线性动力系统的混沌现象是由某些关键参数及其变化而引起的。因此,关于控制或诱导混沌的
一种十分自然的想法是直接控制或调整这些参数。基于Von Neum ann [11]的思想,Pettini [40]在1988年用计算
机模拟,通过观察极大L yapunov 指数的方式观察到:适当的参数扰动可以达到消除Duffing 系统的混沌现
象的目的。之后,Ott ,Gr ebogi 和Yorke 提出了一种比较系统和严密的参数扰动方法[39],亦称为OGY 方法。
这种方法是通过逐次局部线性化配合小参数调整的手段来实现控制混沌现象的目的。
混沌控制综述李忠毛宗源
(华南理工大学自动化系,广州,510641)
【摘要】混沌的控制与诱导是非线性动力系统与非线性控制的新理论与新方法,是智能控制的重要组成部分。本文综述了混沌及其控制的发展历史,理论研究和应用研究,并进行了分析和评论。
【关键词】混沌,分支,混沌的控制与诱导
Surve y on Chaos Control
L i Zhon g Mao Zon gy uan
(De p t .of Automation ,South China Universit y of T echnolo gy ,Guan g zhou ,510641)
A bstract :Control and order of Chaos are new theory and methodology of nonlinear dynamic system and nonlinear control ,which have becom e an important part of Intelligent Contr ol .This paper offers an overview of the history ,theory and applications for Chaos and its contr ol .Relevant analysis and evaluation ar e pr ovided .
Key words :Chaos ,Bifurcation ,Control and order of Chaos
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李忠等:混沌控制综述
在时间上比Pettini和OGY还要早一些,Hubler在他1987年的博士论文中已经描述过一种控制混沌现象的方法。这种方法后来被Hubler本人、Jackson以及他们的同事进一步推广和完善化,称为“纳入轨道”和“强迫迁徙”方法[49,50,54,55]。
传统的反馈控制方法也逐渐受到重视。随着越来越多的工程控制专家介入混沌系统的研究工作,众多的反馈控制技术就发展起来了,并且十分成功地被应用到各种混沌系统中去[12,69,70,71,77,78]。
这些方法都是试图避免或消除“有害”的混沌。然而,这只是事情的一个侧面。近代科学技术中的一些令人惊讶的发现表明:混沌在许多情况下是有益的,甚至非常有用。Freeman指出[13]:“大脑中被控制的混沌理象其实不仅仅是大脑复杂性的一种副产品”,控制混沌现象的这种能力“可能是大脑区别于任何一种人工智能机的主要特性”。随着80年代神经网络的重新崛起,以及对脑神经系统的深入研究,从90年代开始,神经网络和混沌相互融合起来,以便弄清大脑的混沌现象,建立了混沌神经网络模型,并用于信息处理中[91—95]。另外,混沌同调技术也在保密通讯中得到应用[81,83]。
3混沌控制的理论研究概况
这里主要介绍非线性动力学中的分支与混沌。研究表明,倍周期分支、Ho p f分支及间歇混沌都能通向混沌。
3.1分支
分支是有序演化理论的基本概念,但分支序列的存在又往往是出现混沌的先兆。
分支是用来描述当关键的系统参数变化时,非线性动力系统的轨道发生的显著质变[14,15,16]。几种典型的静态分支有:跨临界分支、鞍—结分支和音叉分支[20,21]。动态分支有Ho p f分支[22]。
在双曲平衡点的邻域内,根据Grobman—Hartman定理,其非线性系统的动力学行为与其线性化系统的行为是拓扑等价的。在非双曲平衡点的邻域内,有一些成功的技术用于简化非线性动力系统的解轨道的表示。微分几何中的中心流形理论就是这样的一种技术[16,17,19],其重要性在于:非线性系统的整体动力学行为的渐近状态在中心流形的局限于平衡点邻域的轨道上得到保持。中心流形理论包含三个定理:存在定理、近似定理和等价定理[17]。另外,规范型的Poincar e理论提供了另一种方法用于局部动力学分析,特别分支分析[16,18]。与中心流形方法类似,这种方法也是在保持平衡点邻域内的动力学特性的条件下,将所给的非线性系统简化为最简单的形式。规范型技术也可以与中心流形理论结合起来简化系统的局部动力学行为。
对于非双曲平衡点,德国数学家E.Ho p f[22]在1942年提出的著名的Ho p f分支理论是一个重要的成果。它出了当系统的非线性向量场为光滑时,n维(n≥2)系统的极限环存在。
通过放宽它的一些严格的限制条件,可得到Ho p f定理的推广,使得他能包含一大类非线性系统可能的情形,诸如多极限环、多分支点以及出现新的周期解的情形;这是所谓的退化或多Hopf分支[26-32]。
推广Ho p f分支理论通常要考虑原系统的多参数扰动。这种推广回答了如下两个问题:第一,如何分析非线性系统的不同的周期解族,及如何在局部和全局分支表式下对它们进行分类;第二,如何确定非线性系统大多数复杂奇异点的位置,在它们周围有大量的局部分支表式。这两个问题与分支的控制有着深刻的关系。
3.2混沌
两个稍有不同但广为接受的以数学形式给出的混沌的定义在[9,10]中给出。混沌的特性主要有:(1)系统的动力学特性对初始条件的敏感性;(2)存在不稳定周期轨迹的稠密集[33];(3)正的L y a p unov指数或有限Kolmogorow-Sinai熵(KS熵)[34];(4)连续能量谱[34,35];(5)非遍历性[34,36];(6)混合性(mixing)[36];及其它一些极限性质。
无论是寻找混沌现象,还是制造混沌系统,都必须确定是否发生了混沌现象。这不是件容易的事。在上述的混沌特性中,正的L yapunov指数可能是最容易验证的[34]。Lyapunov指数提供了一个方法来衡量
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李忠等:混沌控制综述
动力系统的邻近轨道的平均收敛(发散)速度。
要研究一些光滑非线性控制系统的L yapunov指数,可将线性化技术与遍历理论结合起来[37]。这为双线性控制系统的可稳定性与不可稳定性提供了精确的判据,也给出了线性控制系统的一些鲁棒性结论。
4混沌控制的应用研究概况
混沌及其控制的应用研究已有了较多的成果,形成了许多方法。它包括混沌的控制与诱导两个方面。
4.1参数扰动方法
这是Ott,Gr ebo g i和Yorke[33]在Pettini[40]工作的基础上提出的一种比较系统和严密的参数扰动方法,亦称为OGY方法。这种思想源于一个混沌吸引子可以嵌入到它的不稳定周期轨道的一个稠密子集里。它是通过逐次局部线性化配合小参数调整的手段来实现控制混沌现象的目的。由于在调整参数的过程中需要使用系统输出的信息,这种方法亦具有一定的传统反馈控制的特色。
Shinbro,Ott,Gr ebo g i和Yorke[41,42,43]进一步研究了参数扰动过程如何加速从一个系统状态转移到另一个状态,并给出了数值分析方法来计算机获得这种控制所需的时间。
Nitsche和Dressler[44]对这种方法作了进一步推广。在某些情形下通过一时间序列利用时滞坐标来重构吸引子,并对原始控制算法提出一些修改便于实际应用。
Hunt[45]在一个物理系统,即二极管共振器中研究了参数扰动方法。他将统的混沌动力学特性转移入具有23个驱动环的稳定轨迹。在全局耦合、多模态、自治激光系统及纤维缴光中,这种方法及相似的方法也被用来控制混沌[46,45]。
总之,这种控制方法有两个突出优点:它不要求知道严格的系统数学方程,并能通过微小的控制信号而获得明显的控制效果。缺点是人为因素起主导作用,参数的调整非常机巧,并且没有固定的模式可以遵循。
4.2纳入轨道(Entrainment)和强迫迁徙(Migration)方法
这种方法是由Hubler和Jackson及其同事提出的[48-55]。它首先假定目标轨道满足与给定动力系统相同的数学方程,然后把两个方程叠加起来,由此而迫使动力系统的混沌状态转移入目标轨道之中去。
这种方法已成功地应用于许多复杂动力系统,诸如多吸引子系统[49],一维Lo g istic映射的多周期强迫控制[48],相关高斯(Gauss-r elated)映射[49],二维Henon-I keda映射[55]。
复杂动力系统常常具有多个吸引子(它们可能具有不同的拓扑结构),及其它许多对环境的复杂动力学反应,如流体加热过程[56,57,58],光学[59],自适应过程[52,60,61,62],神经网络[63]以及生物系统[64]。纳入轨道和强迫迁徙方法允许人们将丰富的动力学行为强制加入到这些复杂系统中去。与参数扰动方法不同的是:这种方法要求系统动力学特性能用函数或常微分方程精确描述。
这种方法在工程上是一种开环控制:优点是设计和使用都十分简单,缺点是无法确保控制过程的稳定性(如数值误差容易引起控制作用的失效),而且目标轨道不允许是给定系统自身的任何一个轨道或状态。
4.3工程控制方法
前述的几种方法最初都是经实验或由理论物理学家、数学家提出的,并没有利用传统的工程控制方法。传统的控制方法已有很长的研究历史,并且已建立了很多行之有效的理论和方法。各种表式的反馈控制方法就是一种成熟且应用广泛的工程设计技术[65,66,67]。这种方法的重要性在于它不仅为混沌的控制提供了控制工程观,也为这个方向的系统、全面的研究打下了基础。从[68-76]可见,线性或非线性反馈控制能稳定这种跟踪参考输入或抑制不确定性干扰的不稳定系统。
最近提出的一些新思想和新技术,利用传统的工程反馈控制来控制(或诱导)连续或离散的混沌系统[70,71,72,73,77,78]。这方面的成果包括:(1)控制诸如Lozi、Henon系统,连续Duffing系统及蔡氏电路这样一些典型系统的混沌轨道;(2)控制具有不稳定平衡点或不稳定极限环系统的混沌轨道;(3)反馈控制可以是
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线性的或非线性的。
4.4混沌的智能控制
智能机显示出了其良好的自适应性、鲁棒性及容错性。它被当作是控制具有高度不确定性的非线性系统的一个令人满意的手段。
在已有的最重要的智能机技术中有人工智能系统、专家系统、模糊系统和神经网络系统。在一个智能控制结构中,专家系统可用作自适应元件,模糊系统可作为决策元件,而神经网络可用作补偿元件。
Fr ison[39]研究了用神经网络控制Duffing系统的可能性。他用一个反向神经网络来抑制振子中的混沌性态。
以上4.1—4.4是属于混沌的控制。此外,还有一些方法,如随机控制方法[68]、具有二自由度的鲁棒控制器[79]等。
4.5混沌信号同调及其在保密通讯中的应用
Pecora和Carr oll提出具有混沌信号的同调动力系统理论[80,81,82]。他们提出首先将n维自治系统解耦成两个子系统,即k维响应子系统依赖于(n-k)维驱动子系统的变量。进一步将驱动子系统的变量分成实际驱动响应子系统的变量和其余的变量,以及从响应子系统分出的响应变量。那么,如果响应子系统是稳定的,其轨迹将不受初始条件微小变动的影响。而对于从驱动子系统所得的驱动信号的一不变集,不论初始响应状态如何,其轨迹都将收敛于相同的轨道,并且每次都在轨道同一可预期的位置。
在保密通信应用中,使用同调技术把复杂的混沌信号混合在有用的信号中,然后发射出去,可造成破译时的极度困难[81,83]。用两个相同的蔡氏电路(Chua's circuit)互相耦合可以实现混沌同调,应用蔡氏电路的同调特性实现保密通讯是当前蔡氏电路开发应用研究的一个主要方向[84-87]。然后,目前大部分基于自同调混沌系统的加密方法在非线性动力学预测破译下是脆弱的[88],需要加以改进[89,90]。
4.6混沌神经网络
神经网络和混沌的相互融合始于九十年代,发展很快。其主要目标是弄清大脑的混沌现象,建立含有混沌动力学的神经网络模型,并用之于信息处理中,提高信息处理的效率和柔性[91,92,93]。
如果把混沌吸引子作为一个记忆单位,用来表示网络所记忆的某一特定信息,然后,通过调整网络某些参数改变网络的动力学行为,能实现动态记忆的功能[94]。另外,它还具有自适应搜索功能。
Parisi,Hopfield指出在非对称偶合神经网络中有复杂动力学解和混沌解存在[95]。Matsumoto和Tsuda[96]指出混沌神经网络有极强的能力有效地传输由外界馈入的信息,并进一步认为,可作成鲁棒性信息传输通道。
此外,关于神经网络的分形构造的理论模型以利用递归网络的混沌动力学的学习功能等方面的研究也在展开。
以上4.5和4.6属于诱导混沌的内容。另外,在医学方面,人们已经开始了控制心脏跳动韵律的尝试:从混沌状态到规则的周期脉动[98,99]。
5总结
本文回顾了混沌及其控制的发展历程,介绍了混沌控制的理论及应用研究,并作了分析和评论。
从以上的讨论可以看到:控制混沌系统和混沌现象是一个新的概念和尝试。它的发展将不仅为非线性系统动力学与控制领域的旧问题提供满意的解答,也会带来新的思想和新的技术。尽管目前已存在大量的研究,混沌系统和混沌现象的控制仍然是一个全新的科学前沿。很多系统的理论和有效的方法尚待开发。
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参考文献
[1].Lorenz E,N,Deterministic non p eriodic flow,J.Atomos,Sci.,Vol.20,1963,130-141
[2]Henon M.and Heiles C.,Asto p h y s,J.,Vol.691964,73
[3]Rossler O.E.,Phys.,Lett A,Vol.57,1976,p.397
[4]Ruelle D.and Takens F,On the nature of turbulene,Comm un.Math Ph y s,Vol.20,1971,167-192
[5]Ruelle D.and Takens F.,on the nature of turbulene,Commun Math Phys Vol.23,1971,343-344
[6]Ma y R.M.Sim p le mathematical models with ver y com p licat ed d y namics,Nature,Vol.261,No.5560,1976,459-467
[7]Fei g enbaum M.,j.,Quantitative un iversalit y for a clcss of nonlinear transformation,J,Stat Ph y s Vol.19,1978,25-52
[8]Couette P,and Tresser J.C.R,Acad Sci(Paris),Vol.287,1978,p.577;Jde phys C,vol5,1978,p.25
[9]Li T.Yand Yorke J.A,Period three implies chaos,Amer.Math Monthoy,Vol.82,No.10,1975,99,985-992
[10]Deuane y P.L,An Introduction to Chaot ic D y nam ic S y stems,Addison-Wesle y,1987[11]Shinbrot T,Grebo g i C,Ott,E,and Yorde J A
,Usin g small p erturbations to control chaos,Nature,Vol363,No.6428,1993,411-417
[12]Hartle y T.T and Mossa y ebi F,A classical a pp roach to controllin g the Lorenz e q uation,Int'1Journal of bifurcation and chaos,Vol.3,
1992,407-441
[13]Freeman W,J,The physiology of percept ion,Scientific American Feb,1991,78-85
[14]Guckenheim er J,and HOolmes P,Nonlinear Oscillations,Dynam ical Systems,and B ifurcations of Vector Fields,Springer-Verlag,New
Yord,1983
[15]Hele J,and Kocak H,D y nam ics and Bifurcations,S p rin g er-Verla g,New York1991
[16]Wiggins S,Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos,Springer-Verlag New York,1990
[17]Crss J,Applications of Center Man ifold Theory,Springer-Verlag,New York,1981
[18]Arnold V.I,Lectures on bifurcation in versal families,Russ,Math,Vol.27,1972,54-123
[19]Bruno A,D,Local Methods in Nonlimera Differential E q uations,S p rin g er-Verla g mNew York,1989
[20]A jj ara p u V,The role of b ifurcation and continuation methods in the anal y sis of voltan g colla p se,Sadhana,Proc in En g r Sci,of Indian
Acad.sci,Vol.18,1993,829-841
[21]Reyn J,W.Classification and description of the sin gular points of a system of three linear differential equations,J,of Appl,Math.Phys
,Vol.15,1964,540-555
[22]Ho p f E,B ifurcation of a p eriod ic solution from a stationar y solution of s y stem of differential e q uations,Ber Math p h y s,Klasses Sachs
Akad wiss,Vol.94,1942,3-22
[23]Allwright D.J,Harm onic balance and Hopfbifurcation feedback syst ems,Ecolon ical Modelling,Vol.51,1990,281-298
[24]Mees A.I and Chua L.O,The Hopfbifurcation theorem and its applications to nonlinear oscillations in circuits and systems,IEEE
Trans.on Circ.Sys,Vol.26,1979,235-254
[25]Moiola J.L,and Chen G,Fre q uenc y domain a pp roach to com p utation and anal y sis of bifurcations and limit c y cles:A tutorial.Int'1J.of
Bifur.Chaos.Vol.3,1993,843-867
[26]Takens F,Unfoldings of certain singularities of uector fields:generalized Hopf bifurcations,J of Diff,Eqs,Vol.14,1973,476-493
[27]Chafee N,Generalized Hopf bifurcation and perturbat ion in a full neighborhood of a given vector field,Indiana Un iv,Math J,Vol.27,
1978,173-194
[28]Hassard B,and Wan Y.H,Bifurcation formulae derived from the center manifold theor y,J.of Math Anal A pp l,Vol.63,1978,297-
312
[29]Kielhofer H,Hopfbifurcation at multiple eigenvalues,Arch Rational Mech Anl,Vol.69,1979,53-83
[30]Golubisky M,and Langford W.F.Classification and unfold ings of degenerate Hopfbifurcations,J,of Diff,Eqs,Vol.41,1981,375-415
[31]Golubisdy M,and Schaeffer D.G,Singularities and Groups in bifurcat ion Theory,Springer-Verlag,New York,1985
[32]Chow S.N,adn Hale J.K,Methods of Bifurcation Theor y,S p rin g er-Verla g,New York,1982
[33]Ott E,Grebo g i C,and Yorke J.A,Controllin g chaos,Ph y s.Rev Lett,Vol.64,No.11,1990,1196-1199
[34]Jacdson E.A,Perspectives of Nonlinear Dynamics,Vols.1and2,Cambridge Un iv.Press,New York,1990
[35]Ranada A.F.,Phenomenology of Chaotic mot ion,in Methods and Appllications of Nonlimear Dynamics,A.W.Saenz(Ed.),World Sci
64
李忠等:混沌控制综述
entific Pub,Sin g a p ore1986,1-93
[36]Tabor M,Chaos and Integrability in Nonlinear Dynamics,Wiley,New York,1989
[37]Colonius F,and Kliemann W,Lyapunov exponents of Control flows,in Lyapunov Exponents,Armold,L,Crauel,H.and Eckmann,J.P
(Eds),S p rin g er-Verla g,New York,1991,331-365
[38]Ka p lan J,and Yorke J.A,Chaotic behavior of multidimensional difference e q uations,in Functional Different ial E q uations and A pp roxi
mation of Fixed Points,Peit g en,H.O.and Walther,H.O(Eds).,S p rin g er-Verla g,New York,1979
[39]Frison T.W.,Controlling chaos with a neural network,Proc.of Int'l Conference on Neural Networks,Balt imore,
MO,June,75-80
[40]Pettin i M.,Controllin g chaos throu g h p aram etric exitations,in D y namics and Stochastic Processes,eds.Lima,R.,
Streit,L.＆Mendes,R.V.(S p rin g er-Verla g,New York),1988,242-250
[41]Shinbrot T.,Ott E,Grebo g i C.＆Yorke J.A.,Us in g Chaos to direct orbits to tar g ets in s y stems described b y a one-d imensional
map,Phys.Rev.A,Vol.45,No.6.1992,4165-4168
[42]Shinbrot T.,Ott E.,Greboni C.＆Yorke J.A.,Us ing Chaos to direct orbits to targets in systems described by a one-d imensional map,
Phys.Rev.A,Vol.45,No.6.1992,4165-4168
[43]Shinbrot T.,Ott E.,Greboni C.＆Yorke J.A.,Us in g the sensitive de p endence of chaos(the“butt erfl y effect")to d irect tra j ectories in
an ex p erimental chaotic s y stem,Ph y s.Rev.Lett,Vol.68,No.19,1992,2863-2866
[44]Nitsche G.and Dressler U.,Controlling chaotic dynam ical sysytems using time delay coordinates,Ph ysica D,Vol.58,1992,153-164
[45]Hunt E.R.,Stabilizing high_period orbits in a chaotic system-th e diode resonator,Phys.Rev.Lett,Vol.67,No.15,1991,1953-1955
[46]Roy R.,Murphy T.W.,Maier T.D.,Gills Z.＆Hunt E.R.,Dynamical control of a chaotic laser:Experimental stabilizat ion of a globally
cou p led s y stem,Ph y s.Rev.Lett,Vol.68,No.4,1992,1259-1262
[47]Glorieux P.,Bielawski S.,Derozier D.＆Szwa j C.,Control of chaos in fiber lasers,Poster p a p er in Worksho p on Measures of Com p lexit y
and Chaos2,Bryn Mawr,PA,August,1992
[48]Jackson E.A.,The entrainment and migrat ion contols of mult iple_attractor systems,Phys.Lett.A,Vol.151,1990,478-484
[49]Jackson E.A.,On the control of complex dynam ic systems,Physica D,Vol.50,1991a,341-366
[50]Hubler A.W.,PH.D Dissertation,De p artment of Ph y sics,Technical Univ.of Munich,German y,Nouember,1987
[51]Hubler A,W.,Ada p t ive control of chaotic s y stems,Helvetica Ph y sica Acta,Vol.62,1989,343-346
[52]Hubler A.W.and Luscher E.,Rexonant stimulation and control of nonlin ear oscillators,Naturwissenschaft,Vol.76,1989,p.67
[53]Plapp B.B.and Hubler A.W.,Nonlinear resonance and suppression of chaos in the rf_biased Josephson junction,Phys.Rev.Lett,
Vol.65,No.18,1990,2302-3305
[54]Jackson E.A.and Hubler A,W.,Periodic entrainm ent of chaotic lo g istic ma p d y namics,Ph y s ica D,Vol.44,No.3,1990.407-420
[55]Jackson E.A.and Kodo g eor g iou A.,Entrainment and m i g ration controls of two_dimensional ma p s,Ph y sica D,Vol.54,No.3,1991,
253-265
[56]Coles D.,Transition in circular couette flow,J.of Fluid Mech.,Vol.21,pert3,1965,385-425
[57]Fenstermacher P.R.,Swinney H.L.＆Gollub J.P.,Dynam ical instabilities and transition to chaot ic taylor vort ex flow,J.of Fluid
Mech.,Vol.94,p art1,1979,103-128
[58]Glass L.,A.,Theor y of o p tical bistabilit y,P y nam ics in ada p tive control:Chaotic and p eriodic stabilizat ion,Automatica,22,1986,641-
655
[59]Lugiato L.A.,Theory of optical bistability,Progress in Opt ics,ed.Wolden,A.V.(Princeton Univ.Press,Princeton,RI),1984.,71-
211
[60]Mareels I.M.Y.＆Bitmead R.R.,Nonlinear d y namics in ada p tive control:Chaotic and p eriod ic stabilization II.Anal y sis,Automatica,
Vol.24,1988,485-497
[62]Sinha S.Ramaswarmy R.＆Rao J.S.,Adaptive control in nonlinear dynamics,Physica D43,1990,118-128
[63]Grassberger P.＆Procaccia I.,Dim ensions and entropies of strange attractors from a fluctuating dynamics approach,Physica D13,
1984,34-54
[64]Nicolis J.S.,Chaotic d y namics in B iolo g ical informat ion p rocessin g:A heuristic outline,in Chaos in Biolo g ical S y stems,des.De g n,H.,
Holden,A,V.＆Olsen,L.F.(Plenum Press,New Yorke),1987,221-232
[65]Chen G.and Don g x.,From chaos to order:Pers p ectives and methodolo g ies in controllin g chaotic nonlinear d y namical s y stems,Int'l
65
李忠等:混沌控制综述
Journal of Bifurcation and Chaos,Vol.3,1993,1363-1409
[66]Chen G.adn Don g X.,Control of Chaos-a surve y,Proceed in g s of the32nd IEEE Control and Decision Conference,1993,469-474
[67]Chen G.,Control and S y nchron ization of chaotic d y nam ical s y stems(a biblio g ra p ht),EE De p t.Univ.of Houston,available from ft p:"
uhoo p.e g r.uh.cdu/Pub/Tex/chaos.tex"(lo g in name and p assword:both"anon y mous")
[68]Fowler T.B.,Application of stochastic control techniques to chaotic nonlinear systems,IEEE Trans.on Auto.Contr,Vol.34,1989,
201-205
[69]Vincent T.L.＆Yu J.,Control of a chaot ic s y stem,D y nam.,Contr,Vol.1,1991,35-52
[70]Chen G.＆Dong X.,On feedback control of chaot ic dynamic systems,Int J.Bifurcation and Chaos,Vol.2,1992,407-411
[71]Chen G.＆Don g X.,Controllin g Chua's circuit,J.of Circ.S y https://www.doczj.com/doc/c54888999.html, p ut,Vol.3,1993a.139-149
[72]Dong X.＆Chen G.,Control of discrete-tim e chaotic systems,IEEE Proc.of Amer.Conf.,June,Chicago,IL,1992a,2234-2235
[73]Dong X.＆Chen G.,Controlling chaotic continuous-time system via feedback,IEEE Proc.of Dec.Contr conf.,Tueson,AZ,Decem
ber,1992b g,2502-2503
[74]Chui C.K.＆Chen G.,Signal Processing and Systems Theory:Selected Topics(Springer-Verlag,New York)1992
[75]Chui C.K.＆Chen G.,Nonlinear Feedback Control S y stems:An O p erator Theorietic A pp roach(Acadenic Press,New York)1992
[76]deFigueinedo R.J.＆Chen G.,Nonlinear Feedback Control Systems:An Operator Theorictic Approach(Academ ic Press,New York)1993
[77]Chen G.＆Dong X.,On feedback control of chaotic continuous-time Systems,IEEE Trans.Circ.Syst.,Vol.40,No9,1993,591-
601
[78]Chen G.,Controlling Chua's Global Unfolding Circuit Family,IEEE Trans.Circ.Syst.Vol.40,No.11,1993,829-832
[79]Kamada T.,Aihara K.,＆Hori Y.A pp lication of a TDOF controller to chaotic d y namic s y stems,Proc,of Korean Auto,Contr.Conf.
1991,1549-1552;full ver sion in Tr ans.of the IEEE of Ja p an,113-c,1(1993),43-49(in Ja p anese)
[80]Pecora L.M.＆Carroll T.L.,Drivin g s y stems with chaotic si g nals,Ph y s Rev.A,Vol.44,No.4,1991,2374-2383
[81]Pecora L.M.＆Carroll T.L.Synchron ization in chaotic systems,Phys,Rev Lett,Vol.64,N0.81990,821-456
[82]Carroll T.L＆Pecora L.M.,S y nchronizin g chaotic circu its,IEEE Trans.Circuits and S y stems,Vol.38,1991,453-456
[83]Cuomo K.M and Oppenbeim A.V.,Circuit implementation of synchronized chaos with applications to communications,Phys ical Review
Letters,Vol.71,No.1,1993.65-68
[84]钟国群,蔡氏电路混沌同步保密通讯,电路与系统学报,Vol.1,No.1,1996
[85]Ogorzalek M.J.,Tam ing chaos:Part I-Synchronizat ion,IEEE Trans,Circuits Syst,Vol.40(I),No.10,1993,693-699
[86]O g orzalek M.J.,Tam in g chaos:Part II-control,IEEE Trans.Circuit S y st,Vol40(I),N0.10,1993,700-706
[87]Chua L.O.Itoh M.,Kocarev L.and Echerh K.,Chaos synchronization in Chua's circuit,J.of Circuits,Syst ems and Computers,
Vol.3,No.1,1993,93-108
[88]Short K.M.,Ste p s toward unmask in g secure commun icat ions,Int,J.Bifurcation and Chaos,Vol.4,1994,959-977
[89]周红,凌燮亭,混沌保密通信原理及其保性分析,电路与系统学报,Vol.1,No.3,1996,57-62
[90]周红,凌燮亭,混沌逆系统加密方法,复旦学报(将出版)
[91]Aihara K.,混沌的神经网络,方兆佳编译,《科学》中译本,1992
[92]Grabee I.,Modeling of Chaos by a Self-organiz ing Neural Network,Internet Conf.on Arrificial Neural Network,Vol.1,1991
[93]Zak M.,Terminal chaos for Information p rocessin g in Neurod y namics,Biol,C y bem.Vol.64,1991
[94]Tsuda I.,Chaotic Itinerancy as a Dynam ical Basis of Hermeneutics in Brain and Mind,World Futures,Vol.32,1991,167-184
[95]Parisi G.,As y mmetric Neural Network and the Process of Learnin g,Journal of Ph y sical A:Mathemat ical and General,Vol.19,1986,
675-680
[96]Mastumoto,Takashi,Chaos in Electron ic Circuits,Proc,IEEE,Vol.75,1987,August,1009-1021
[97]Tsuda I.,Koerner E.,Memor y D y nam ics in As y nchronous Neural Networks,Pro g ress of Theoret ical Ph y siscs,Vol.78,1987,51-71
[98]Garfindel A.,Spano M.L,Ditto W.L.and Weiss,J.N.,Controlling cardiac chaos,Science,Vol.257,1992,99,1230-1235
[99]Brabdt M.E.and Chen G.,Controllin g the D y nam ical behavior of a circle ma p model of the human heart,Biolo g ical C y bernetics,1995
李忠华南理工大学自动化系博士生。主要研究方向为模糊控制混沌神经网络。
毛宗源华南理工大学自动化系教授、博士生导师
研究生课程论文(2018-2018学年第二学期> 蔡氏混沌非线性电路的研究 研究生：***
蔡氏混沌非线性电路的研究 *** 摘要：本文介绍了非线性中的混沌现象，并从理论分析和仿真两个角度研究非线性电路中的典型混沌电路-蔡氏电路。只要改变蔡氏电路中一个元件的参数，就可产生多种类型混沌现象。利用数学软件MATLAB对蔡氏电路的非线性微分方程组进行编程仿真，就可实现双蜗卷和单蜗卷状态下的同步，并能准确地观察到混沌吸引子的行为特征。 关键词：混沌；蔡氏电路；MATLAB仿真 Abstract：This paper introduces the chaos phenomenon in nonlinear circuits. Chua’scircuit was a typical chaos circuit,and theoretical analysis and simulation was made to research it.Many kinds of chaos phenomenonenwould generate as long as one component parameter was altered in Chua’s circuit．On the platform of Matlab ,mathematical model of Chua’s circuit were programmed and simulatedto realize the synchronization of dual and single cochlear volume．At the same time, behavior characteristics of chaos attractor is able to be observed correctly． Key words：chaos phenomenon；Chua’S circuit；simulation 引言： 混沌是一种普遍存在的非线性现象，随着计算机的快速发展，混沌现象及其应用研究已成为自然科学技术和社会科学研究领域的一个热点。混沌行为是确定性因素导致的类似随机运动的行为，即一个可由确定性方程描述的非线性系统，其长期行为表现为明显的随机性和不可预测性。混沌中蕴含着有序，有序的过程中也可能出现混沌。混沌的基本特征是具有对初始条件的敏感依赖性，即初始值的微小差别经过一段时间后可以导致系统运动过程的显著差别。混沌揭示了自然界的非周期性与不可预测性问题而成为20 世纪三大重要基础
浅谈“蝴蝶效应”在网络传播中的应用及其对策 蝴蝶效应，即上世纪六十年代，“气象学家洛仑兹（E.N.Lorenz）在他的计算机上计算一个热力场中热对流问题的简化模型。”结果发现，初始条件的微小变化使“系统自任意初始状态出发的相轨线成蝴蝶形态，既不重复也无规律。”为了形象地说明这种现象，洛仑兹打了个比方：南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀,可能在两周后引起美国得克萨斯州的一场龙卷风。这就是广为人知的“蝴蝶效应”比喻。而后它作为混沌理论的一个核心概念被引入经济学，构成了行为金融学的重要分支，并广泛应用于各个领域。 本文借助混沌理论分析了网络传播中的“蝴蝶效应”，认为网络是一个混沌系统，网络传播是由有序到无序、再到新的有序的循环过程，其结局具有不可预测性，而网络环境恰恰都具备了混沌理论的性质：即有界性、非周期性、非线性、敏感初条件。 一、比比皆是的“蝴蝶效应”事件 “蝴蝶效应”反应在网络传播中通常呈现为公共性群体事件。近年来，随着互联网的发展，网络成为影响社会的一个重要力量。尤其以微博、SNS网站、BBS论坛等网络新兴媒体的崛起，为新闻媒体提供了一个丰厚的新闻来源集中地。细心观察，我们发现这两年出现的很多公共性事件、贪官落马、揭黑揭丑的新闻爆发地都来源于网络，而这些事件都以非线性地爆炸方式传播开来，有的引来民愤导致群体事件的爆发，有的引来看客们的围观和指点，有的在舆论的压迫中亟需解决。“蝴蝶效应”呈现出它的优势，同时暴露了某些弊端。 1.“虐婴门” 2012年6月，实习护士微博@小考拉avi 发布多张虐待婴儿照片，还称“2B孩纸”“小孩装死”，让脖子脆弱的新生儿处于危险姿势，极易折伤颈椎，甚至窒息。捉弄婴儿，在刚出生没多久的宝宝鼻子上贴猪鼻子。甚至还用手玩新生儿眼睛。为逃避责任已删了微博，但网友保留了截图。而后当事人在微博道歉。据了解，首先曝光它的是一位网名为“若馨守护神”的年轻母亲，自称在一名为“@小考拉avi”的微博上发现了多批含有虐待初生婴儿的自爆博文，言语轻佻，行为恶劣，使身为母亲的自己无法忍受，便“冒着被报复”的可能将之公之于众。而没想到的是，这条微博在短短时间内转发量达上万，引起网络的轩然大波。大多数网友表现得很激进和愤怒，公然指责当事人肖诗雨和浙江中医药大学的行为。而很多极端的网友开始“人肉搜索”，翻出当事人的所有资料和照片，并且放入各大论坛网站，设置头版头条来博取看客和哄客们的围观。一时事件失去控制，当事人和校方也随即发表道歉的声明。 而后，某些网友利用近几年紧张的医患关系现状做文章，通过不断地放大虐婴门事件，招来更多“同伴”，引得大家的同感。这在一定程度上激化社会矛盾，破坏社会的稳定秩序，有可能招致更大的社会动荡行为。 2.“房叔”事件、“表哥”事件 2012年10月8日，天涯社区的一个网帖曝出蔡彬及妻子、儿子名下共有21套房产，消息一出，即引起疯狂转发，网民纷纷要求纪检部门介入调查，各路媒体也跟进追问。事件发生2天后，即2012年10月10日，广州市纪委就迅速反应。当天上午9时许，市纪委即通过官方微博作出回应，“有关部门正在核查”。随后不久，番禺区政府新闻办公室官方微博发布也表示，“已关注到相关内容，目前，已成立了调查组，正在展开调查。”当天晚上，@廉洁广州发布微博称，网帖反映情况基本属实。10月11日，番禺区委已决定对其停职，并作进一步调查。2012年10月22日，蔡彬因涉嫌受贿被宣布“双规”。@廉洁广州也同时发布了这一最新消息。 又比如，因在特大交通事故中走红的的“微笑局长”杨达才，被网民人肉搜索出在五个不同的场合，杨达才佩戴了五款不同的名牌手表。随后，杨达才年公开称自己收入17、8万元，这些表都是自己合法收入买的，不过网友并不买账，又有人称杨达才有11块表，眼镜和腰带都是名牌，随后网友要求公开杨达才的工资收入。评论称，“表哥”一事经公共关
混沌理论及其应用 摘要：随着科学的发展及人们对世界认识的深入，混沌理论越来越被人们看作是复杂系统的一个重要理论，它在各个行业的广泛应用也逐渐受到人们的青睐。本文给出了混沌的定义及其相关概念，论述了混沌应用的巨大潜力，并指明混沌在电力系统中的可能应用方向。对前人将其运用到电力系统方面所得出的研究成果进行了归纳。 关键词：混沌理论；混沌应用；电力系统 Abstract: With the development of science and the people of the world know the depth, chaos theory is increasingly being seen as an important theory of complex systems, it also gradually by people of all ages in a wide range of applications in various industries. In this paper, the definition of chaos and its related concepts, discusses the enormous application potential chaos, and chaos indicate the direction of possible applications in the power system. Predecessors applying it to respect the results of power system studies summarized. Keywords：Chaos theory;Application of ChaosElectric ;power systems 1 前言 混沌理论（Chaos theory）是一种兼具质性思考与量化分析的方法，用以探讨动态系统中（如：人口移动、化学反应、气象变化、社会行为等）无法用单一的数据关系，而必须用整体、连续的数据关系才能加以解释及预测之行为。混沌理论是对确定性非线性动力系统中的不稳定非周期性行为的定性研究（Kellert，1993）。混沌是非线性系统所独有且广泛存在的一种非周期运动形式,其覆盖面涉及到自然科学和社会科学的几乎每一个分支。近二三十年来,近似方法、非线性微分方程的数值积分法,特别是计算机技术的飞速发展, 为人们对混沌的深入研究提供了可能,混沌理论研究取得的可喜成果也使人们能够更加全面透彻地认识、理解和应用混沌。 2 混沌理论概念 混沌一词原指宇宙未形成之前的混乱状态，中国及古希腊哲学家对于宇宙之源起即持混沌论，主张宇宙是由混沌之初逐渐形成现今有条不紊的世界。混沌现象起因于物体不断以某种规则复制前一阶段的运动状态，而产生无法预测的随机效果。所谓“差之毫厘，失之千里”正是此一现象的最佳批注。具体而言，混沌现象发生于易变动的物体或系统，该物体在行动之初极为单纯，但经过一定规则的连续变动之后，却产生始料所未及的后果，也就是混沌状态。但是此种混沌状态不同于一般杂乱无章的的混乱状况，此一混沌现象经过长期及完整分析之后，可以从中理出某种规则出来。混沌现象虽然最先用于解释自然界，但是在人文及社会领域中因为事物之间相互牵引，混沌现象尤为多见。如股票市场的起伏、人生的平坦曲折、教育的复杂过程。 2.1 混沌理论的发展 混沌运动的早期研究可以追溯到1963年美国气象学家Lorenz对两无限平面间的大气湍流的模拟。在用计算机求解的过程中, Lorenz发现当方程中的参数取适当值时解是非周期的且具有随机性,即由确定性方程可得出随机性的结果,这与几百年来统治人们思想的拉普拉斯确定论相违背(确定性方程得出确定性结果)。随后, Henon和Rossler等也得到类似结论Ruelle,May, Feigenbaum 等对这类随机运动的特性进行了进一步研究,从而开创了混沌这一新的研究方向。 混沌理论解释了决定系统可能产生随机结果。理论的最大的贡献是用简单的模型获得明确的非周期结果。在气象、航空及航天等领域的研究里有重大的作用。混沌理论认为在混沌系统中，初始条件十分微小的变化，经过不断放大，对其未来状态会造成极其巨大的差别。在没
非线性电路混沌及其同步控制 【摘要】 本实验通过测量非线性电阻的I-U特性曲线，了解非线性电阻特性，，从而搭建出典型的非线性电路——蔡氏振荡电路，通过改变其状态参数，观察到混沌的产生，周期运动，倍周期与分岔，点吸引子，双吸引子，环吸引子，周期窗口的物理图像，并研究其费根鲍姆常数。最后，实验将两个蔡氏电路通过一个单相耦合系统连接并最终研究其混沌同步现象。 【关键词】 混沌现象有源非线性负阻蔡氏电路混沌同步费根鲍姆常数 一．【引言】 1963年，美国气象学家洛伦茨在《确定论非周期流》一文中，给出了描述大气湍流的洛伦茨方程，并提出了著名的“蝴蝶效应”，从而揭开了对非线性科学深入研究的序幕。非线性科学被誉为继相对论和量子力学之后，20世界物理学的“第三次重大革命”。由非线性科学所引起的对确定论和随机论、有序和无序、偶然性与必然性等范畴和概念的重新认识，形成了一种新的自然观，将深刻的影响人类的思维方法，并涉及现代科学的逻辑体系的根本性问题。 迄今为止，最丰富的混沌现象是非线性震荡电路中观察到的，这是因为电路可以精密元件控制，因此可以通过精确地改变实验条件得到丰富的实验结果，蔡氏电路是华裔科学家蔡少棠设计的能产生混沌的最简单的电路，它是熟悉和理解非线性现象的经典电路。 本实验的目的是学习有源非线性负阻元件的工作原理，借助蔡氏电路掌握非线性动力学系统运动的一般规律性，了解混沌同步和控制的基本概念。通过本实
验的学习扩展视野、活跃思维，以一种崭新的科学世界观来认识事物发展的一般规律。 二．【实验原理】 1.有源非线性负阻 一般的电阻器件是有线的正阻，即当电阻两端的电压升高时，电阻内的电流也会随之增加，并且i-v呈线性变化，所谓正阻，即I-U是正相关，i-v曲线的 斜率 u i ? ? 为正。相对的有非线性的器件和负阻，有源非线性负阻表现在当电阻两 端的电压增大时，电流减小，并且不是线性变化。负阻只有在电路中有电流是才会产生，而正阻则不论有没有电流流过总是存在的，从功率意义上说，正阻在电路中消耗功率，是耗能元件；而负阻不但不消耗功率，反而向外界输出功率，是产能元件。 一般实现负阻是用正阻和运算放大器构成负阻抗变换器电路。因为放大运算器工作需要一定的工作电压，因此这种富足成为有源负阻。本实验才有如图1所示的负阻抗变换器电路，有两个运算放大器和六个配置电阻来实现。 图1 有源非线性负阻内部结构 用电路图3以测试有源非线性负阻的i-v特性曲线，如图4示为测试结果曲线，分为5段折现表明，加在非线性元件上的电压与通过它的电流就行是相反的，
混沌加密技术综述 混沌理论是近年来发展较快的非线性科学的分支，因其非周期、连续宽频带、类噪声和长期不可预测等特点，适用于保密通信等领域。本文从混沌加密技术的原理、发展阶段和特点的问题对其较为的分析和总结。关键词：混沌的原理… 摘要：混沌理论是近年来发展较快的非线性科学的分支，因其非周期、连续宽频带、类噪声和长期不可预测等特点，适用于保密通信等领域。本文从混沌加密技术的原理、发展阶段和特点的问题对其较为的分析和总结。关键词：混沌的原理加密算法性能评估一、混沌的原理混沌是的非线性、非平衡的动力学过程,其特点为: (1)混沌系统的是许多有序的集合,而每个有序分量在条件下,都不起主导作用；(2)混沌看起来似为随机,但的；(3)混沌系统对初始条件极为敏感,两个相同的混沌系统,若使其稍异的初态就会迅速变成完全不同的状态。1963年,美国气象学家洛伦兹(Lrenz)混沌理论,气候从本质上是不可预测的,最微小的条件将会巨大的天气,这著名的“蝴蝶效应”。此后混沌在各个领域都了不同程度的运用。20 世纪80 年代开始,短短的二十几年里,混沌动力学了的应用和发展。二、混沌在加密算法中的应用混沌系统对初值的敏感性,很小的初值误差就能被系统放大,,系统的长期性是不可预测的；又混沌序列的统计特性,它可以产生随机数列,特性很适合于序列加密技术。信息论的奠基人美国数学家Shannn指出:若能以某种产生一随机序列,序列由密钥所,任何输入值微小对输出都大,则的序列就可以加密。混沌系统恰恰符合要求。混沌系统的特性使得它在数值分布上不符合概率统计学原理, 得稳定的概率分布特征；, 混沌数集是实数范围, 还可以推广到复数范围。, 从理论上讲, 混沌原理对数据加密,可以防范频率分析攻击、穷举攻击等攻击方法, 使得密码难于分析、破译。从1992年至今，混沌保密通信经历了四代。混沌掩盖和混沌键控属于代混沌保密通信技术，安全性能非常低，实用性大大折扣。混沌调制属于代混沌保密通信技术，代系统的安全性能比代高，仍然达满意的程度。混沌加密技术属于代混沌保密通信，该类方法将混沌和密码学的优点起来，非常高的安全性能。基于脉冲同步的混沌通信则属于代混沌保密通信。三、混沌加密算法的性能评估参考美国标准与技术协会(NIST)的评判规则LNIST 的评判规则大体分为三个:安全性、代价和算法特性。介绍了基于Lrenz系统的混沌加密算法,以此标准分析了其性能,并将其与当前通用加密算法。1．安全性分析,混沌系统对初始值和参数非常敏感,可以的密钥集合,完全加密的需要。对混沌系统生成的二进制序列检验,0和1的分布均匀,游程符合随机数要求,可以是随机序列。,混沌加密属于流密码,对分组加密的攻击方法是无效的。,对选择明文密文攻击方法,混沌的单向性和混沌信号的迭代,异或操作后密钥流的推断几乎不。2．代价分析算法的代价包括代价和空间代价。代价又分为和加密。通常,加密前的主要是用来生成子密钥,加密主要是在子密钥的控制下对明文数据变换。混沌加密属于流密码的范畴,它的非常短;加密时只对数据的各个位异或操作,其主要花费在密钥流的生成操作上,相流行的分组加密算法,其花费很少的。空间代价分为算法的静止空间和运行态空间。静止空间指算法变成程序后本身所占用的空间,为代码的长度。运行态空间指在加密过程中算法所需要的临时空间。混沌加密算法S-bx空间,临时变量也少,而且,它循环产生密钥流,循环过程中需要寄存的变量有限,,其运行时占用的空间很少，在空间代价上是优秀的。3．特性混沌加密算法的加密和解密过程是可以重用的,其所占用的空间大大缩小。它的软件和硬件特性都比，分别用++和Java语言了该算法,基于该算法的DSP也开发设计四、混沌加密算法的问题1．短周期响应现混沌序列的所生成序列的周期性伪随机性、性、互性等的估计是在统计分析上，或是实验测试给出的，这难以其每个序列的周期足够大，性足够高，使人放心地采用它来加密。例如，在自治状态下，输入信号为零时，加密器为有限周期响应。不同初始状态对应于不同周期，其周期长度很短，缺点在某种程度上降低了混沌加密系统的保密性。2．有限精度效应混沌序列的生成总是要用有限精度器件来的，从而混沌序列生成器可归结为有限自动机来描述。，混沌生成器能否超越已用有限自动机和布尔逻辑理论所给
Multisim仿真—混沌电路 1104620125
Multisim仿真—混沌电路 一、实验目的 1、了解非线性电阻电路伏安特性，以及其非线性电阻特征的测量方法； 2、使用示波器观察混沌电路的混沌现象，通过实验感性地认识混沌现象，理解非线性科学中“混沌”一词的含义；； 3、研究混沌电路敏感参数对混沌现象的影响 二、实验原理 1、蔡氏电路 本实验采用的电路图如图9-16 所示，即蔡氏电路。蔡氏电路是由美国贝克莱大 学的蔡少棠教授设计的能产生混沌行为的最简单的一种自制电路。R 是非线性电 阻元件，这是该电路中唯一的非线性元件，是一个有源负阻元件。电容C2 与电 感L 组成一个损耗很小的振荡回路。可变电阻1/G 和电容C1 构成移相电路。最 简单的非线性元件R 可以看作由三个分段线性的元件组成。由于加在此元件上的 电压增加时，故称为非线性负阻元件。 三、实验内容 为了实现有源非线性负阻元件实，可以使以下电路，采用两个运算放大器（1 个双运放TL082）和六个配置电阻来实现，其电路如图1，这主要是一个正反馈电路，能输出电流以维持振荡器不断震荡，而非线性负阻元件能使振荡周期产生分岔和混沌等一系列非线性现象。 1、实验电路如下图，电路参数：1、电容：100nf 一个，10nf 一个； 2、线性电阻6 个：
200Ω二个，22kΩ二个，2.2kΩ一个，3.3kΩ一个；3、电感：18mH 一个；4、运算放大器：五端运放TL083 二个；5、可变电阻：可变电阻一个；6、稳压电源：9V 的VCC 二个，-9V 的VEE 二个； 图1 选好元器件进行连接，然后对每个元器件进行参数设置，完成之后就可以对 蔡氏电路进行仿真了。双击示波器，可以看到示波器的控制面板和显示界面，在 控制面板上可以通过相关按键对显示波形进行调节。 下面是搭建完电路的截图： 2、将电压表并联进电路，电流表串联进电路可以直接测出加在非线性负阻的电压、电流， U/V I/mA U/V I/mA 12 0.1579 -1 -0.76917 11 2.138 -2 -1.44352 10 4.601 -3 -1.84752
133 1 概述 混沌系统的控制与同步是非线性控制理论中一个重要的研究方向，要实现对混沌系统的控制与同步，首先的问题是必须估计出混沌系统的未知参数，因而对混沌系统参数估计问题的研究是十分有意义的。 对于混沌系统参数估计的问题研究由来已久。研究人员最初所使用的方法大多是基于线性系统理论的基本方法，随着新的技术手段和计算机技术的进步，新的研究方法不断涌现，实现了线性系统控制向非线性系统控制的转化，再到智能控制上的转化。这些方法的提出给混沌系统参数估计提出更新的思路。 2 基于线性系统理论的方法 一般情况下，混沌系统的动力学方程是确定性的非线性方程，而非线性系统理论中的某些问题的解决，很多都是借鉴了线性系统的基本理论，估算动力学方程的某些未知参数时，产生了诸如最大误差最小方法、投影算法、BAYES方法等。寻求简单、实用的方法对于工程问题来说就是值得好好研究的课题。王绍明根据连续混沌系统状态变量的极值大小和位置都是随机的特点，利用状态变量在极值处导数等于零的特点，将微分方程在状态变量的 极值点化为代数方程，结合最小二乘法提出了一种较为简单的估计方法，该方法具有较好的抗噪声干扰能力。关新平等提出了一种比较巧妙的方法，将要辨识参数问题转化为未知状态的观测辨识问题，其关键就是构造某种状态观测器。该观测器具有很强的鲁棒性，且参数辨识速度具有快速收敛性。随后，王绍明等改进了该项工作，提出了对多变量的未知参数的状态观测器，该方法避免了较复杂的理论，方法简洁明了，但是上述方法中对于如何构建观测器没有给出具体的说明。 3 基于优化理论的方法 随着现代科学技术的发展，人们在设计一个工程时，总是希望得到一个最优方案。而在操作一个工程装置时，总是希望得到一个最优的操作条件。把优化的思想引入到混沌系统的参数估计问题中，结合驱动响应同步的方法，成功地解决了参数的估计问题。任海鹏等在已知驱动系统结构，未知驱动系统参数的情况下，设计了与同步误差有关的性能指标，通过共轭梯度方法调节响应系统参数（即实现某种调节了的最优情况），使得同步误差减小，直到完全同步，即在实现同步的同时实现了对参数的估计。但是此法有一定的局限性，如果参数存在局部极小，则有可能得不到真实的参数值。另外， 混沌系统参数估计问题综述 吴 雷 李啟尚 （空军空降兵学院六系，广西 桂林 541003） 摘要： 混沌参数估计问题是混沌控制与同步中首要解决的课题，具有很重要的现实意义。文章阐述了对混沌系统参数估计的基本方法以及新的智能算法在参数估计中的应用，并指出了这些方法的优缺点。关键词： 混沌系统；参数估计；智能算法中图分类号： TP3 文献标识码：A 文章编号：1009-2374（2012）30-0133-022012年第30期（总第237期）NO.30.2012 （CumulativetyNO.237） 交流园地 E xchange Field
课程论文课程系统科学概论 学生姓名 学号 院系 专业 二Ｏ一五年月日
混沌理论与应用 摘要：本文首先介绍了混沌理论的产生与背景。接着由混沌理论的产生引出了理解混沌系统需要注意的几个基本概念，并就两个容易混淆的概念进行了区分。然后本文对混沌系统的几个基本特征进行了阐述，而且详细解释了每个具体特征含义。在结尾部分本文简要叙述了混沌理论的应用前景。 关键词：混沌理论；混沌系统；基本特征；应用 1混沌理论的产生与背景 混沌一词很早就出现在人类的历史中，在世界的几个较为发达的古代文明中基本上都用自己的方式对混沌进行过描述，混沌基本就等同于未知。同时这些文明有一个对混沌有一个共同的观点，那就是：宇宙起源于混沌[1]，这种观点可以说在某些方面与现代的理论不谋而合。虽然古人的这些观点大部分是基于自己的想象而且其含义也局限于哲学方面，但是可以说这是人类早期对混沌状态的一种探索。 在此后的上千年中，一代又一代的研究者们探索了无数未知的领域。以至于在混沌理论之前，没有人怀疑过精确预测的能力是可以实现的，一般认为只要收集够足够的信息就可以实现。十八世纪法国数学家拉普拉斯甚至宣称，如果已知宇宙中每一个粒子的位置与速度，他就能预测宇宙在整个未来的状态。然而混沌现象的发现彻底打破了这一假设。混沌系统对初始条件的敏感性使得系统在其运动轨迹上几乎处处不稳定，初始条件的极小误差都会随着系统的演化而呈现指数形式的增长，迅速达到系统所在空间的大小，使得预测能力完全消失[2]。例如，著名的蝴蝶效应：上个世纪70年代，美国一个名叫洛伦兹的气象学家在解释空气系统理论时说，亚马逊雨林一只蝴蝶翅膀偶尔振动，也许两周后就会引起美国得克萨斯州的一场龙卷风[3]，可以说对天气的精准预测一直是人类未曾解决的问题。面对这样的问题，科学家们又用到了混沌这个词，看似又回到了起点，实际上今天的混沌理论与过去的说法已经有了天壤之别。 1903年，美国数学家J.H.Poincare在《科学与方法》一书中提到Poincare猜想，他把动力系统和拓扑学两大领域结合起来指出了混沌存在的可能性[4]。1963年美国气象学家爱德华·诺顿·洛伦茨提出混沌理论（Chaos），非线性系统具有的多样性和多尺度性。混沌理论解释了决定系统可能产生随机结果[5]。混沌也被认为是继量子力学和相对论之后，20世纪物理学界第三次重大革命，混沌也一样冲破了牛顿力学的教规。从此，混沌系统理论开始飞速发展，气象学、生理学、经济学中都发现了一种关于混沌的有序性。混沌理论正式诞生。
第22卷第4期物理学进展Vol.22,No.4 2002年12月PROGRESS IN PHYSICS Dec.,2002文章编号:1000O0542(2002)04O0383O23 保守系统的混沌控制 许海波1,陈绍英2,3,王光瑞1,陈式刚1 (1.北京应用物理与计算数学研究所,北京100088; 2.中国工程物理研究院北京研究生部,北京100088; 3.呼伦贝尔学院物理系,呼伦贝尔021008) 摘要:保守系统的混沌控制是一个重要而富有挑战性的研究课题。由于L iouv ille定理 的限制和初始条件的特殊作用,使得适用于耗散系统的混沌控制方法不能直接用于保守系 统。本文通过对耗散系统和保守系统混沌运动的特征进行分析和比较,阐述了保守系统混沌 运动的规律,总结了近期研究过程中一些典型的基本理论和方法,综述了近年来保守系统混 沌控制的相关进展和我们在保守系统的混沌控制方面所做的工作,并对保守系统混沌控制的 应用和发展方向进行了展望。 关键词:混沌控制;保守系统;标准映象;KAM环 中图分类号:O415.5文献标识码:A 0引言 混沌运动的基本特征是运动轨道的不稳定性,表现为对初值的敏感依赖性,或对小扰动的极端敏感性。因此,混沌控制就成为混沌研究和应用的重要方向。混沌控制注重于分析混沌系统对外加驱动信号的响应,研究这种非线性响应规律,并考虑如何利用这种响应规律来影响和改造混沌运动将其引向人们所期望的目标。1989年,Hubler和L scher 发表了控制混沌的第一篇文章[1]。1990年,Ott,Grebogi和Yorke基于有无穷多的不稳定周期轨道嵌入在混沌吸引子中这一事实,通过对系统参数作小扰动并反馈给系统,实现了把系统的轨道稳定在无穷多不稳定周期轨道的一条特定轨道上。这就是著名的OGY 混沌控制方法(或称参数微扰法)[2]。之后,混沌控制的理论与应用研究蓬勃发展,人们提出了一系列控制混沌的方法[3~37]。混沌控制目标也由最初的不动点、低周期轨道的稳定发展到高周期轨道、准周期轨道的稳定;控制的对象也由最初的低维系统发展到高维系统,乃至于无穷维系统(时空混沌)[38~41]。混沌控制正在逐步形成系统化的理论体系。 收稿日期:2002O09O23 基金项目:国家重点基础研究专项经费资助,国家自然科学基金(Nos.19835020,19920003);国家自然科学基金理论物理专款(No.10147201);中国工程物理研究院基金资助项目(N o.20000440)
浅谈混沌理论的哲学意义 姓名：文小刀
浅谈混沌理论的哲学意义 文小刀 摘要：本文首先介绍了混沌理论的内含和产生，在此基础上介绍了它对自然科学和哲学思维的影响，最后提出了混沌理论的几种应用，以期探寻混沌理论的哲学意义。 关键字：混沌理论影响应用哲学意义 混沌理论被认为是与相对论和量子力学齐名的震惊世界的第三大理论，是系统科学的重要组成部分。混沌理论这个迷人的“奇异吸引子”，吸引着人们去探索混沌奥秘的科学前沿，而且像极具生命力的种子，撒遍自然科学和社会科学各个领域的沃土。它将简单与复杂、有序与无序、确定与随机、必然与偶然的矛盾统一在一幅美丽的自然图景之中，推动了人类自然观与科学观的发展；也通过一系列崭新的范畴、语言和思维方式，充实了科学方法内容并促进了方法论的进步，对科学的发展和人类社会的发展必将产生深远的影响。 一、混沌理论的含义及其产生 混沌学是当代系统科学的重要组成部分，与相对论和量子力学的产生一样，混沌理论的出现对现代科学产生了深远的影响。混沌运动的本质特征是系统长期行为对初值的敏感依赖性，所谓混沌的内在随机性就是系统行为敏感地依赖于初始条件所必然导致的结果。我们可把混沌理解为：在一个非线性动力学系统中，随着非线性的增强，系统所出现的不规则的有序现象。这些现象可以通过对初值的敏感依赖性、奇异吸引子、费根鲍姆常数、分数维、遍历性等来表征。 混沌有如下的本质特征： 1.混沌产生于非线性系统的时间演化，作为系统基础的动力学是决定论的，无须引进任何外加噪声。因而混沌是非线性确定系统的内禀行为。 2.混沌行为对初始条件极具敏感，导致长期行为具有不可预测性，也即我们所说的确定系统产生的不确定性或随机性。这一特征不同于概率论中的随机过程，随机过程中的随机性是指演化的下一次结果无法准确预知，短期内无法预测，但长期演化的总体行为却呈确定的统计规律，混沌行为刚好相反，短期行为可确知，长期行为不确定。
蔡氏电路的Matlab混沌 仿真研究 班级： 姓名： 学号：
摘要 本文首先介绍非线性系统中的混沌现象，并从理论分析与仿真计算两个方面细致研究了非线性电路中典型混沌电路，即蔡氏电路反映出的非线性性质。通过改变蔡氏电路中元件的参数，进而产生多种类型混沌现象。最后利用软件对蔡氏电路的非线性微分方程组进行编程仿真，实现了双涡旋和单涡旋状态下的同步，并准确地观察到混沌吸引子的行为特征。 关键词：混沌；蔡氏电路；MATLAB仿真 Abstract This paper introduce s the chaos phenomenon in nonlinear circuits. Chua’s circuit was a typical chaos circuit, thus theoretical analysis and simulation was made to research it. Many kinds of chaos phenomenon on would generate as long as one component parameter was altered in C hua’s circuit．On the platform of Matlab, mathematical model of Chua’s circuit was programmed and simulated to acquire the synchronization of dual and single cochlear volume. Meanwhile, behavioral characteristics of chaos attractor were observed. Key words：chaos phenomenon；Chua’s circuit；Simulation
非线性电路混沌实验 混沌是非线性系统中存在的一种普遍现象,它也是非线性系统所特有的一种复杂状态。 混沌研究最先起源于1963年洛伦兹(E.Lorenz)研究天气预报时用到的三个动力学方程,后来又从数学和实验上得到证实。无论是复杂系统,如气象系统、太阳系,还是简单系统,如钟摆、滴水龙头等,皆因存在着内在随机性而出现类似无轨、但实际是非周期有序运动,即混沌现象。由于电学量(如电压、电流)易于观察和显示,因此非线性电路逐渐成为混沌及混沌同步应用的重要途径,其中最典型的电路是美国加州大学伯克利分校的蔡少棠教授1985年提出的著名的蔡氏电路(Chua ’s Circuit)。就实验而言,可用示波器观察到电路混沌产生的全过程,并能得到双涡卷混沌吸引子。 本实验所建立的非线性电路包括有源非线性负阻、LC 振荡器和RC 移相器三部分；采用物理实验方法研究LC 振荡器产生的正弦波与经过RC 移相器移相的正弦波合成的相图(李萨如图)，观测振动周期发生的分岔及混沌现象。 【实验目的】 观测振动周期发生的分岔及混沌现象；测量非线性单元电路的电流—电压特性；了解非线性电路混沌现象的本质；学会自己制作和测量一个使用带铁磁材料介质的电感器以及测量非线性器件伏安特性的方法。 【实验原理】 1.非线性电路与非线性动力学 实验电路如图1所示，图1中只有一个非线性元件R ，它是一个有源非线性负阻器件。电感器L 和电容C 2组成一个损耗可以忽略的谐振回路；可变电阻R V 和电容器C 1串联将振荡器产生的正弦信号移相输出。本实验中所用的非线性元件R 是一个三段分段线性元件。图2所示的是该电阻的伏安特性曲线，从特性曲线显示中加在此非线性元件上电压与通过它的电流极性是相反的。由于加在此元件上的电压增加时，通过它的电流却减小，因而将此元件称为非线性负阻元件。 图1非线性电路原理图 图2非线性元件伏安特性 图1电路的非线性动力学方程为： 1121)(1 C C C C U g U U G dt dU C ?--?= L C C C i U U G dt dU C +-?=)(2112 2 (1) 2C L U dt di L -=
混沌科学的发展研究综述 摘要：混沌科学打破了各个学科之间的壁垒，如今已从单纯的理论转变成了一个新的文化隐喻。文章首先介绍了混沌学理论的概念、模式、发展历史，阐述了研究混沌学的重要意义，进而主要分析混沌学在计算机科学、生命科学、经济学、农学、工程学领域中的应用，及混沌科学在海洋科学应用中的展望，从而对混沌科学的研究有较全面的认知。 关键词：混沌；展望；综述 一、混沌的概念 混沌一般意指混乱、没有规律性的事物或现象，如缓缓上升的烟雾、风中飘动的旗帜、秋风中的落叶、小溪中的流水、公路上拥挤的车流、不断变化的股市行情等，都可以用混沌一词来描述。而科学家将混沌定义为貌似随机的事件背后却存在着内在的联系，如果一个系统的演变过程对初态非常敏感，人们就称其为混沌系统。混沌科学就是致力于发现这些背后隐藏的模式和细微的差别，研究混沌运动的一门新学科。系统的吸引子理论是混沌学的重要组成部分。简单的吸引子称为极限环，而具有无限层次自相似结构的吸引子则成为奇异吸引子，只要通过计算得知吸引子至少有一个正的
李雅普诺夫指数，就可以肯定该吸引子是奇异的，从而断定运动是混沌的。混沌具有内随机性、非周期性和自身普适性。1980年由数学家曼德布罗提出的分形几何学对混沌学的认知提供了工具，对混沌的发展起到了非常关键的推动作用。 二、混沌科学的发展 19世纪末，庞加莱认识到天体运动并非是一台可以透彻计算的机械钟，甚至在局限于保守性和确定论情况下亦如此。所有天体之间的因果相互作用，在其相互影响可以导致混沌轨迹的意义上，都是非线性的，由此他建立了分叉学说。20世纪60年代初由著名数学家柯尔莫哥洛夫、阿诺德和莫泽提出并证明了KAM定理。现代确定性混沌研究经历了3个主要阶段：一是从有序到混沌，研究混沌产生的机制和途径；二是混沌中的有序，研究混沌中的普适性及分形结构等；三是从混沌到有序，即混沌控制研究，是现在科学家们研究的方向。混沌学的正式提出是1975年中国学者李天岩和美国数学家约克发表了一篇题为《周期3含混沌》的著名论文；第一次国际混沌大会于1977年在意大利召开，标志着混沌科学的产生；1978年美国物理学家费根鲍姆发表的关于普适性的研究奠定了混沌学的基础；曼德布罗分形学说的提出给混沌的描述提供了工具。经过多年的发展和众多科学家的献身研究使得现代混沌学渗透到各个领域里，取得了辉煌的成
混沌系统的电路实现与仿真分析 1. 设计思路 混沌系统模块化设计方法的主要思路是，根据系统的无量纲状态方程，用模块化设计理念设计相应的混沌电路，其中主要的模块包括：反相器模块、积分器模块、反相加法比例运算模块和非线性函数产生模块。 2. 设计过程 第一步，对混沌系统采用Matlab 进行数值分析，观察状态变量的时序图、相图，观察系统状态变量的动态范围； 第二步，对变量进行比例压缩变换。我们通常取电源电压为±15V ，集成运放的动态范围为±13.5V ，如果系统状态变量的动态范围超过±13.5，则状态变量的动态范围超过了集成运放的线性范围，需要进行比例压缩变换，如没有超出，则不需要进行变换。 举例：变换的基本方法 ?????? ?=== w k z v k y u k x 32 1 代入原状态方程，然后重新定义u →x ，v →y ，w →z 得到的状态方程即为变量压缩后的状态方程。 第三步，作时间尺度变换。将状态方程中的t 变换为τ0t ，其中τ0为时间尺度变换因子，设τ0=1/R 0C 0，从而将时间变换因子与积分电路的积分时间常数联系起来。 第四步，作微分-积分变换。 第五步，考虑到模块电路中采用的是反相加法器，将积分方程作标准化处理。 第六步，根据标准积分方程，可得到相应的实现电路。 第七步，采用Pspice 仿真软件或Multisim 仿真软件对电路进行仿真分析。
3. 设计举例：Lorenz 系统的电路设计与仿真 Lorenz 系统的无量纲归一化状态方程为 bz xy z y xz cx y ay ax x --=--=+-= （1） 其中当a=10，b=8/3，c=28时，该系统可以展现出丰富的混沌行为。 MATLAB 仿真程序如下： function dx=lorenz(t,x) %?¨ò?oˉêy a=10; b=8/3;c=28; %?¨ò??μí32?êy %***************************************** dx=zeros(3,1); dx(1)=a*(x(2)-x(1)); dx(2)=c*x(1)-x(1).*x(3)-x(2); dx(3)=x(1).*x(2)-b*x(3); %*********************************?¨ò?×′ì?·?3ì clear; options=odeset('RelTol',1e-6,'AbsTol',[1e-6,1e-6,1e-6]); t0=[0 500]; x0=[1,0,0]; [t,x]=ode45('Lorenz',t0,x0,options); n=length(t); n1=round(n/2); figure(1); plot(t(n1:n),x(n1:n,1)); %×′ì?xμ?ê±Dòí? xlabel('t','fontsize',20,'fontname','times new roman','FontAngle','normal'); ylabel('x1','fontsize',20,'fontname','times new roman','FontAngle','normal'); figure(2); plot(x(n1:n,1),x(n1:n,3)); %x-z?àí? xlabel('x','fontsize',20,'fontname','times new roman','FontAngle','italic'); ylabel('Z','fontsize',20,'fontname','times new roman','FontAngle','italic'); figure(3); plot3(x(n1:n,1),x(n1:n,2),x(n1:n,3)); %x-y-z?àí? xlabel('x','fontsize',20,'fontname','times new roman','FontAngle','italic'); ylabel('y','fontsize',20,'fontname','times new roman','FontAngle','italic');
混沌理论及其在经济学中的发展 摘要:利用数学知识来解释经济现象和经济理论历来是经济研究的热点，但经济系统本身就是由多种因素相互作用的非线性系统，时间上的不可逆性、线路上的多重因果反馈环及不确定性使其具有非常复杂的非线性特征。所以，改用非线性系统来研究经济学具有非常现实的意义。而混沌理论就是数学非线性系统中的一颗奇葩。因此，先介绍了混沌理论，并指出混沌经济系统的本质特征，然后总结了混沌经济学研究的发展及其意义。 关键词:混沌理论；混沌经济；研究；发展 1 混沌理论 混沌(chaos)是法国数学家庞加莱19世纪——20世纪之交研究天体力学时发现的，不过，由于当时牛顿力学在科学中占有统治地位，因而大多数数学家和物理学家都不理解。由于长久以来世界各地的物理学家都在探求自然的秩序，而面对无秩序的现象如大气、骚动的海洋、野生动物数目的突然增减及心脏跳动和脑部的变化，却都显得相当无知。这些大自然中不规则的部分，既不连续且无规律，在科学上一直是个谜。 1972年12月29日，美国数学家——混沌学开创人之一E.N.洛伦兹在美国科学发展学会第139次会议上发表了题为《蝴蝶效应》的论文，提出一个貌似荒谬的论断:在巴西一只蝴蝶翅膀的拍打能在美国得克萨斯州产生一个龙卷风。用混沌学的术语来表述，那就是天气对初值的敏感依赖性，即天气是不可能长期预报的。1986年，英国皇家学会在一次关于混沌的国际会议上提出了混沌的定义:数学上指在确定性系统中出现的随机状态。 混沌在之后的整个20世纪才被确定下来，有人把相对论、量子力学和混沌理论称为20世纪科学中的传世之作。混沌作为一种复杂运动形式，其影响最大的时期是20世纪80年代到90年代。从数学角度看，混沌是继不动点(平衡点、均衡点)、周期循环(极限环、周期运动)、拟周期运动(准周期运动)之后，另外一种新型的运动类型。对初值的敏感性和无序中的有序是混沌的两个特性。 2 混沌经济系统 著名的美国经济学家诺贝尔经济学奖获得者保罗.A.萨缪尔森钟指出:“经济学的规律只是在平均意义上才是对的，它们并不表现为准确的关系。”按照他的这种思想，在经济学领域里对混沌的理解和把握可以不必太拘泥于数学定义的苛刻与抽象，只需从平均意义上把握混沌的主要本质特征就可以了。所以就“平均意义”而言，我们可以从混沌经济系统所具有的本质特征入手来进行综合判断。 2.1 积累效应 积累效应俗称蝴蝶效应，即系统演化对初始条件的敏感性。在混沌出现的参数范围内，初始条件的一个微小误差在迭代过程中会不断的放大，不但使迭代结果变得极为不同，而目在近似随机的历经了整个吸引子以后，使得系统的长期预测变为不可能。刚开始，许多人认为这是由于人的能力不够所造成的。从客观上讲，在初始条件变化后的迭代过程中，确实存在两种误差:一种来自于物理量本身的测量误差。任何测量都有误差，只是仪器越精密，误差会越小，但科学技术再发展也不可能造出一台绝对没有误差的仪器;另一种来自于计算机，即使计算出一个整数，它也可能在小数点若干零后加上一个尾巴。同时在迭代过程中要把