安徽省宣城市2015届高考数学三模试卷（理科）
一、选择题（本大题共10道小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知i为虚数单位，a∈R，如果复数2i﹣是实数，则a的值为( )
A．﹣4 B．2 C．﹣2 D．4
2．设p：x∈{x|y=lg（x﹣1）}，q：x∈{x|2﹣x＜1}，则p是q的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3．甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩的茎叶图如图所示，，分别表示甲乙
两名运动员这项测试成绩的平均数，s1，s2分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有( )
A．＞，s 1＜s2B．=，s1＞s2
C．=，s 1=s2D．=，s1＜s2
4．函数f（x）=1﹣|2x﹣1|，则方程f（x）?2x=1的实根的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
5．将函数f（x）=3sin（2x+θ）（﹣＜θ＜）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若f（x），g（x）的图象都经过点P（0，），则φ的值不可能是( )
A．B．πC．D．
6．在等比数列{a n}中，S n是它的前n项和，若a2?a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为17，则S6=( )
A．B．16 C．15 D．
7．已知实数x，y满足，若z=y﹣ax取得最大值时的最优解（x，y）有无数
个，则a的值为( )
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A．πB．2πC．D．
9．设函数y=f（x）在R上有定义，对于任一给定的正数p，定义函数f p（x）
=，则称函数f p（x）为f（x）的“p界函数”若给定函数f（x）=x2
﹣2x﹣1，p=2，则下列结论不成立的是( )
A．f p[f（0）]=f[f p（0）]B．f p[f（1）]=f[f p（1）]C．f p[f p（2）]=f[f（2）] D．f p[f（3）]=f[f（3）]
10．如图，已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A
为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P、Q，若∠PAQ=60°且=3，则双曲线C 的离心率为( )
A．B．C．D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．运行如图所示的程序框图，输出的结果S=__________．
12．（x﹣）4的展开式中常数项为__________．（用数字表示）
13．已知向量=（﹣1，1），=（1，）（x＞0，y＞0），若⊥，则x+4y的最小值为__________．
14．在极坐标系中，曲线C1的方程为ρcos（θ+）=，曲线C2的方程为ρ=2cos（π﹣θ），
若点P在曲线C1上运动，过点P作直线l与曲线C2相切于点M，则|PM|的最小值为
__________．
15．如图正方形BCDE的边长为a，已知AB=BC，将直角△ABE沿BE边折起，A点在面BCDE上的射影为D点，则翻折后的几何体中有如下描述：
（1）AB与DE所成角的正切值是；
（2）V B﹣ACE的体积是；
（3）AB∥CD；
（4）平面EAB⊥平面ADE；
（5）直线BA与平面ADE所成角的正弦值为．
其中正确的叙述有__________（写出所有正确结论的编号）．
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=5c，cosB=．（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）设BC边的中点为D，|AD|=，求△ABC的面积．
17．某树苗培育基地为了解其基地内榕树树苗的长势情况，随机抽取了100株树苗，分别测出它们的高度（单位：cm），并将所得数据分组，画出频率分布表如下：
组距频数频率
[100，102）17 0.17
[102，104）18 0.18
[104，106）24 0.24
[106，108） a b
[108，110） 6 0.06
[110，112） 3 0.03
合计100 1
（1）求上表中a、b的值；
（2）估计该基地榕树树苗平均高度；
（3）基地从上述100株榕树苗中高度在[108，112）范围内的树苗中随机选出5株进行育种研究，其中在[110，112）内的有X株，求X的分布列和期望．
18．如图所示，PA⊥平面ABCD，△CAB为等边三角形，PA=AB，AC⊥CD，M为AC中点．
（Ⅰ）证明：BM∥平面PCD；
（Ⅱ）若PD与平面PAC所成角的正切值为，求二面角C﹣PD﹣M的正切值．
19．已知数列{a n}前n项和为S n，首项为a1，且成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）数列满足b n=（log2a2n+1）×（log2a2n+3），求证：．
20．已知函数f（x）=ax﹣﹣3lnx，其中a为常数．
（1）当函数f（x）的图象在点（，f（））处的切线的斜率为1时，求函数f（x）在[，
3]上最小值；
（2）若函数f（x）在区间（0，+∞）上既有极大值又有极小值，求a的取值范围．21．如图，已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=，F是右焦点，A是右
顶点，B是椭圆上一点，BF⊥x轴，|BF|=．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l：x=ty+λ是椭圆C的一条切线，点M（﹣，y1），点N（，y2）是切线l上两个点，证明：当t、λ变化时，以M N为直径的圆过x轴上的定点，并求出定点坐标．
安徽省宣城市2015届高考数学三模试卷（理科）
一、选择题（本大题共10道小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知i为虚数单位，a∈R，如果复数2i﹣是实数，则a的值为( )
A．﹣4 B．2 C．﹣2 D．4
考点：复数的代数表示法及其几何意义．
专题：数系的扩充和复数．
分析：把复数化为a+bi的形式，利用复数是实数，虚部为0，求解即可．
解答：解：=是实数，
则，
故a=4
故选：D．
点评：本题考查复数代数形式的混合运算，复数的基本概念的应用，考查计算能力．
2．设p：x∈{x|y=lg（x﹣1）}，q：x∈{x|2﹣x＜1}，则p是q的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：简易逻辑．
分析：分别求出关于p，q的x的范围，从而得到p，q的关系．
解答：解：∵p：x∈{x|y=lg（x﹣1）}，∴p：x＞1，
∵q：x∈{x|2﹣x＜1}，∴x＞0，
∴p是q的充分不必要条件，
故选：A．
点评：本题考查了充分必要条件，考查了对数函数，指数函数的性质，是一道基础题．3．甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩的茎叶图如图所示，，分别表示甲乙
两名运动员这项测试成绩的平均数，s1，s2分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有( )
A．＞，s 1＜s2B．=，s1＞s2
C．=，s 1=s2D．=，s1＜s2
考点：极差、方差与标准差．
专题：概率与统计．
分析：计算甲、乙运动员成绩的平均数与方差、标准差，进行比较即可．
解答：解：根据茎叶图中的数据，得；
甲运动员成绩的平均数是=（9+14+15+15+16+21）=15，
方差是=[（9﹣15）2+（14﹣15）2+2×（15﹣15）2+（16﹣15）2+（21﹣15）2]=，
标准差是s1=；
乙运动员成绩的平均数是=（8+13+15+15+17+22）=15，
方差是=[（8﹣15）2+（13﹣15）2+2×（15﹣15）2+（17﹣15）2+（22﹣15）2]=，标准差是s2=；
∴=，s 1＜s2．
故选：D．
点评：本题考查了求数据的平均数与方差、标准差的应用问题，是基础题目．
4．函数f（x）=1﹣|2x﹣1|，则方程f（x）?2x=1的实根的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
考点：根的存在性及根的个数判断．
分析：把方程f（x）?2x=1的实根的个数转化为（1﹣|2x﹣1|）2x=1的实根的个数，即：（）x=1﹣|2x﹣1|，分别画出左右两边函数的图象，如图，再利用图可知，它们有两个交点，从
而得出方程f（x）?2x=1的实根的个数．
解答：解：因为f（x）=1﹣|2x﹣1|，所以方程f（x）?2x=1的实根的个数就是（1﹣|2x﹣1|）2x=1的实根的个数，
即：（）x=1﹣|2x﹣1|，分别画出左右两边函数的图象，如图，
由图可知，它们有两个交点，
故方程f（x）?2x=1的实根的个数是2个．
故选C．
点评：本题考查根的个数的判断．根的个数的判断问题，一般解法有数形结合或利用常见的函数的单调性或最值来解．
5．将函数f（x）=3sin（2x+θ）（﹣＜θ＜）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度后
得到函数g（x）的图象，若f（x），g（x）的图象都经过点P（0，），则φ的值不可能是( )
A．B．πC．D．
考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
分析：由f（x）的图象经过点P（0，），且﹣＜θ＜，可得θ=，又由g（x）的图象也经过点P（0，），可求出满足条件的φ的值
解答：函数f（x）=sin（2x+θ）（﹣＜θ＜）向右平移φ个单位，得到g（x）=sin（2x+θ﹣2φ），
因为两个函数都经过P（0，），
所以sinθ=，
又因为﹣＜θ＜，
所以θ=，
所以g（x）=sin（2x+﹣2φ），
sin（﹣2φ）=，
所以﹣2φ=2kπ+，k∈Z，此时φ=kπ，k∈Z，
或﹣2φ=2kπ+，k∈Z，此时φ=kπ﹣，k∈Z，
故选：C．
点评：本题考查的知识点是函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，三角函数求值，难度中档
6．在等比数列{a n}中，S n是它的前n项和，若a2?a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为17，则S6=( )
A．B．16 C．15 D．
考点：等比数列的前n项和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：由题意可得等比数列的首项和公比，代入求和公式可得．
解答：解：设等比数列{a n}的公比为q，
由等比数列的性质可得a1?a4=a2?a3=2a1，
解得a4=2，
由a4与2a7的等差中项为17可得a4+2a7=2×17，
解得a7=（2×17﹣a4）=16，
∴q3===8，解得q=2，
∴a1===，
∴S6==
故选：A
点评：本题考查等比数列的性质和求和公式，属基础题．
7．已知实数x，y满足，若z=y﹣ax取得最大值时的最优解（x，y）有无数
个，则a的值为( )
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
考点：简单线性规划的应用．
专题：综合题；不等式的解法及应用．
分析：不等式组表示的平面区域如图，z=y﹣ax的几何意义是直线y=ax+z的纵截距，利用z=y﹣ax取得最大值时的最优解（x，y）有无数个，可得y=ax+z与直线y﹣x+1=0平行，故可求a的值．
解答：解：不等式组表示的平面区域如图，z=y﹣ax的几何意义是直线y=ax+z的纵截距
∵z=y﹣ax取得最大值时的最优解（x，y）有无数个，
∴y=ax+z与直线y﹣x+1=0平行
∴a=1
故选C．
点评：本题考查线性规划知识，考查最优解，考查数形结合的数学思想．
8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A．πB．2πC．D．
考点：由三视图求面积、体积．
专题：计算题；空间位置关系与距离．
分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是一半圆锥与一半球的组合体，结合图中数据求出组合体的体积即可．
解答：解：根据几何体的三视图，得；
该几何体是一半圆锥与一半球的组合体；
且半圆锥的底面圆半径为1，高为2；
半球的半径也为1；
∴该组合体的体积为
V=V半圆锥+V半球=?π12?2+??13=π+π=π．
故选：A．
点评：本题考查了通过空间几何体的三视图求几何体的体积的应用问题，解题的关键是由三视图得出几何体的结构特征，是基础题目．
9．设函数y=f（x）在R上有定义，对于任一给定的正数p，定义函数f p（x）
=，则称函数f p（x）为f（x）的“p界函数”若给定函数f（x）=x2
﹣2x﹣1，p=2，则下列结论不成立的是( )
A．f p[f（0）]=f[f p（0）]B．f p[f（1）]=f[f p（1）]C．f p[f p（2）]=f[f（2）] D．f p[f（3）]=f[f（3）]
考点：分段函数的应用．
专题：新定义；函数的性质及应用．
分析：由于函数f（x）=x2﹣2x﹣1，p=2，求出f2（x）=，再对选项一一加以判断，即可得到答案．
解答：解：∵函数f（x）=x2﹣2x﹣1，p=2，
∴f2（x）=，
∴A．f p[f（0）]=f2（﹣1）=2，f[f p（0）]=f（﹣1）=1+2﹣1=2，故A成立；
B．f p[f（1）]=f2（﹣2）=2，f[f p（1）]=f（﹣2）=4+4﹣1=7，故B不成立；
C．f[f（2）]=f（﹣1）=2，f p[f p（2）]=f2（﹣1）=2，故C成立；
D．f[f（3）]=f（2）=﹣1，f p [f p（3）]=f2（2）=﹣1，故D成立．
故选：B．
点评：本题考查新定义的理解和运用，考查分段函数的运用：求函数值，属于中档题．10．如图，已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A
为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P、Q，若∠PAQ=60°且=3，则双曲线C 的离心率为( )
A．B．C．D．
考点：双曲线的简单性质．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：确定△QAP为等边三角形，设AQ=2R，则OP=R，利用勾股定理，结合余弦定理，即可得出结论．
解答：解：因为∠PAQ=60°且=3，
所以△QAP为等边三角形，
设AQ=2R，则OP=R，
渐近线方程为y=x，A（a，0），取PQ的中点M，则AM=
由勾股定理可得（2R）2﹣R2=（）2，
所以（ab）2=3R2（a2+b2）①
在△OQA中，=，所以7R2=a2②
①②结合c2=a2+b2，可得=．
故选：B．
点评：本题考查双曲线的性质，考查余弦定理、勾股定理，考查学生的计算能力，属于中档题．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．运行如图所示的程序框图，输出的结果S=62．
考点：程序框图．
专题：图表型；算法和程序框图．
分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当k=6时，不满足条件k≤5，退出循环，输出S的值为62．
解答：解：模拟执行程序框图，可得
k=1，S=0
满足条件k≤5，S=2，k=2
满足条件k≤5，S=6，k=3
满足条件k≤5，S=14，k=4
满足条件k≤5，S=30，k=5
满足条件k≤5，S=62，k=6
不满足条件k≤5，退出循环，输出S的值为62，
故答案为：62．
点评：本题主要考查了程序框图和算法，依次写出每次循环得到的S，k的值是解题的关键，属于基本知识的考查．
12．（x﹣）4的展开式中常数项为．（用数字表示）
考点：二项式定理．
专题：计算题；二项式定理．
分析：利用二项展开式的通项公式T r+1=（﹣）r??x4﹣2r，令4﹣2r=0得r=2，即可求出（x﹣）4的展开式中常数项．
解答：解：设（x﹣）4展开式的通项为T r+1，则T r+1=（﹣）r??x4﹣2r，
令4﹣2r=0得r=2．
∴展开式中常数项为：（﹣）2?=．
故答案为：．
点评：本题考查二项式系数的性质，利用通项公式化简是关键，属于中档题．
13．已知向量=（﹣1，1），=（1，）（x＞0，y＞0），若⊥，则x+4y的最小值为9．
考点：平面向量数量积的运算．
专题：平面向量及应用．
分析：根据⊥，得到x+y=xy，由x+4y≥4结合“=”成立的条件，求出此时x，y的值，从而得到答案．
解答：解：∵⊥，（x＞0，y＞0），
∴?=﹣1+=0，
∴+=1，
∴x+4y=（x+4y）（+）=1+++4≥5+2=9，
当且仅当=即x2=4y2时“=”成立，
故答案为：9
点评：本题考查了平面向量数量积的运算，考查了基本不等式的性质，是一道基础题．14．在极坐标系中，曲线C1的方程为ρcos（θ+）=，曲线C2的方程为ρ=2cos（π﹣θ），若点P在曲线C1上运动，过点P作直线l与曲线C2相切于点M，则|PM|的最小值为．
考点：点的极坐标和直角坐标的互化．
专题：选作题；坐标系和参数方程．
分析：把极坐标方程化为直角坐标方程，P在曲线C1上运动，过点P作直线l与曲线C2相
切于点M，可得|PM|=，即可求出|PM|的最小值．
解答：解：曲线C1的方程C1的方程为ρcos（θ+）=，化为直角坐标方程为x﹣y﹣
2=0，
曲线C2的方程为ρ=2cos（π﹣θ），化为直角坐标方程为（x+1）2+y2=1，圆心为C2（﹣1，0），半径为1．
∵P在曲线C1上运动，过点P作直线l与曲线C2相切于点M，
∴|PM|=，
∵C2到x﹣y﹣2=0的距离为=，
∴|PM|的最小值为=．
故答案为：．
点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
15．如图正方形BCDE的边长为a，已知AB=BC，将直角△ABE沿BE边折起，A点在面BCDE上的射影为D点，则翻折后的几何体中有如下描述：
（1）AB与DE所成角的正切值是；
（2）V B﹣ACE的体积是；
（3）AB∥CD；
（4）平面EAB⊥平面ADE；
（5）直线BA与平面ADE所成角的正弦值为．
其中正确的叙述有（1）（2）（4）（5）（写出所有正确结论的编号）．
考点：用空间向量求直线间的夹角、距离；平面与平面垂直的判定；用空间向量求直线与平面的夹角．
专题：探究型；空间位置关系与距离．
分析：（1）由于BC∥DE，则∠ABC（或其补角）为AB与DE所成角；
（2）V B﹣ACE的体积是S△BCE×AD==；
（3）根据CD∥BE，可知AB与CD不平行；
（4）证明BE⊥平面ADE，利用面面平行的判定，可得平面EAB⊥平面ADE；
（5）确定∠BAE为直线BA与平面ADE所成角，即可求解．
解答：解：由题意，AD⊥平面BCDE，AD=a，AC= a
（1）由于BC∥DE，∴∠ABC（或其补角）为AB与DE所成角
∵AB=，BC=a，AC=a，∴BC⊥AC，∴tan∠ABC=，故（1）正确；
（2）V B﹣ACE的体积是S△BCE×AD==，故（2）正确；
（3）∵CD∥BE，∴AB与CD不平行，故（3）不正确；
（4）∵AD⊥平面BCDE，BE?平面BCDE，∴AD⊥BE，∵BE⊥ED，AD∩ED=D，∴BE⊥平面ADE
∵BE?平面EAB，∴平面EAB⊥平面ADE，故（4）正确；
（5）∵BE⊥平面ADE，∴∠BAE为直线BA与平面ADE所成角
在△BAE中，∠BEA=90°，BE=a，AB=，∴sin∠BEA=，故（5）正确
故答案为：（1）（2）（4）（5）
点评：本题考查图形的翻折，考查空间线面位置关系，搞清翻折前后的变与不变是关键．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=5c，cosB=．（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）设BC边的中点为D，|AD|=，求△ABC的面积．
考点：正弦定理；余弦定理．
专题：解三角形．
分析：（Ⅰ）利用同角三角函数关系求得sinB的值，利用2asinB=5c求得a和c的关系，进而利用正弦定理求得转化成角的正弦，利用两角和公式化简整理求得sinA和cosA的关系，求得tanA的值，进而求得A．
（Ⅱ）利用余弦定理求得c，进而求得b，最后根据三角形面积公式求得答案．
解答：解：（I）在△ABC中，∵，
∴，
∵，
∴2?a?=5c
∴3a=7c，
∵，
∴3sinA=7sinC，
∴3sinA=7sin（A+B），
∴3sinA=7sinAcosB+7cosAsinB，即3sinA=7?sinA?+7cosA
∴﹣sinA=cosA，
∴，即．
（Ⅱ）∵，
又3a=7c，∴BD==，
∴，
∴c=3，则a=7，
∴．
点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．解题的关键就是利用正弦定理和余弦定理完成边角问题的转化．
17．某树苗培育基地为了解其基地内榕树树苗的长势情况，随机抽取了100株树苗，分别测出它们的高度（单位：cm），并将所得数据分组，画出频率分布表如下：
组距频数频率
[100，102）17 0.17
[102，104）18 0.18
[104，106）24 0.24
[106，108） a b
[108，110） 6 0.06
[110，112） 3 0.03
合计100 1
（1）求上表中a、b的值；
（2）估计该基地榕树树苗平均高度；
（3）基地从上述100株榕树苗中高度在[108，112）范围内的树苗中随机选出5株进行育种研究，其中在[110，112）内的有X株，求X的分布列和期望．
考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．
专题：概率与统计．
分析：（1）由频率分布表，能求出a和b．
（2）取组距的中间值，能估计该基地榕树树苗平均高度．
（3）由频率分布表知树苗高度在[108，112）范围内的有9株，在[110，112）范围内的有3株，因此X的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和期望．
解答：解：（1）由频率分布表，知：
a=100﹣17﹣18﹣24﹣6﹣3=32，b==0.32．…
（2）估计该基地榕树树苗平均高度为：
=105.02（cm）…
（列式，求值，文字说明与单位完整．）
（3）由频率分布表知树苗高度在[108，112）范围内的有9株，
在[110，112）范围内的有3株，
因此X的所有可能取值为0，1，2，3…
P（X=0）==，P（X=1）==，
P（X=2）==，P（X=3）=，…
∴X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
…
X的期望为EX==．…（列式正确1分）
点评：本题考查频率分布表的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．
18．如图所示，PA⊥平面ABCD，△CAB为等边三角形，PA=AB，AC⊥CD，M为AC中点．
（Ⅰ）证明：BM∥平面PCD；
（Ⅱ）若PD与平面PAC所成角的正切值为，求二面角C﹣PD﹣M的正切值．
考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定．
专题：空间位置关系与距离；空间角．
分析：（Ⅰ）因为M为等边△ABC的AC边的中点，所以BM⊥AC．依题意CD⊥AC，且A、B、C、D四点共面，由此能证明BM∥平面PCD．
（Ⅱ）因为CD⊥AC，CD⊥PA，所以CD⊥平面PAC，故PD与平面PAC所成的角即为∠CPD，（方法一）在等腰Rt△PAC中，过点M作ME⊥PC于点E，再在Rt△PCD中作EF⊥PD
于点F，∠EFM即为二面角C﹣PD﹣M的平面角，由此能求出二面角C﹣PD﹣M的正切值．（方法二）以A点为坐标原点，AC为x轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出能求出二面角C﹣PD﹣M的正切值．
解答：（Ⅰ）证明：因为M为等边△ABC的AC边的中点，所以BM⊥AC．
依题意CD⊥AC，且A、B、C、D四点共面，所以BM∥CD．…3分
又因为BM?平面PCD，CD?平面PCD，所以BM∥平面PCD．…5分
（Ⅱ）解：因为CD⊥AC，CD⊥PA，
所以CD⊥平面PAC，故PD与平面
PAC所成的角即为∠CPD．…7分
不妨设PA=AB=1，则PC=．
由于tan，所以CD=．…9分
（方法一）
在等腰Rt△PAC中，过点M作ME⊥PC于点E，
再在Rt△PCD中作EF⊥PD于点F（图1所示）．
因为ME⊥PC，ME⊥CD，所以ME⊥平面PCD，可得ME⊥PD．
又EF⊥PD，
所以∠EFM即为二面角C﹣PD﹣M的平面角．…12分
由题意知PE=3EC，ME=，EF==，
所以tan∠EFM==，
即二面角C﹣PD﹣M的正切值是．…15分
（方法二）
以A点为坐标原点，AC为x轴，
建立如图2所示的空间直角坐标系A﹣xyz．
则P（0，0，1），M（，0，0），C（1，0，0），D（1，，0）．
则，，．
若设=（x1，y1，z1）和=（x2，y2，z2）分别是平面PCD和平面PMD的法向量，则，可取．
同理，得=（2，﹣，1）．…12分
所以cos＜＞==，
故二面角C﹣PD﹣M的余弦值是，其正切值是．…15分
点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
19．已知数列{a n}前n项和为S n，首项为a1，且成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）数列满足b n=（log2a2n+1）×（log2a2n+3），求证：．
考点：数列与不等式的综合；等差数列的性质．
专题：综合题；等差数列与等比数列．
分析：（Ⅰ）由题意可得，令n=1可求a1，n≥2时，，
，两式相减可得递推式，由递推式可判断该数列为等比数列，从而可得a n；
（Ⅱ）表示出b n，进而可得，并拆项，利用裂项相消法可求和，由和可得结论；
解答：解：（Ⅰ）∵成等差数列，∴，
当n=1时，，解得；
当n≥2时，，，
两式相减得：a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2a n﹣1，∴，
所以数列{a n}是首项为，公比为2的等比数列，．
（Ⅱ）b n=（log2a2n+1）×（log2a2n+3）
=×
=（2n﹣1）（2n+1），
，
则
=
=．
点评：本题考查数列与不等式的综合，考查裂项相消法对数列求和，考查等比数列的通项公式，属中档题．
20．已知函数f（x）=ax﹣﹣3lnx，其中a为常数．
（1）当函数f（x）的图象在点（，f（））处的切线的斜率为1时，求函数f（x）在[，
3]上最小值；
（2）若函数f（x）在区间（0，+∞）上既有极大值又有极小值，求a的取值范围．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．
专题：导数的综合应用．
分析：（1）求出导数f′（x），由题意和导数的几何意义列出关于a的方程，解出a代入f′（x）化简，由导数的符号可求得函数的极小值，同时也为最小值；
（2）先化简f′（x），将条件转化为：“f′（x）=0有两个不等正实根“，再根据两根之和、两根之积大于0及判别式符号可得不等式组，求出a的取值范围．
解答：解：（1）由题意得，，
因为f（x）的图象在点（，f（））处的切线的斜率为1，
所以，解得a=1，
则==，
所以当＜2时，f′（x）＜0，当2＜x≤3时，f′（x）＞0，
则x=2是f（x）的极小值点，也是最小值点，
所以f（x）min=f（2）=1﹣3ln2；
2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合A ＝{x|x 2?3x ?4＜0}，B ＝{?4，1，3，5}，则A ∩B ＝（ ） A 、{?4，1} B 、{1，5} C 、{3，5} D 、{1，3} 2．若z ＝1＋2i ＋i 3，则|z|＝（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、2 3．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ） A 、415- B 、2 15- C 、 415+ D 、215+ 4．设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为（ ） A 、51 B 、52 C 、21 D 、5 4 5．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据（x i ，y i ）（i ＝1，2，…，20）得到下面的散点图： 由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是（ ） A 、y ＝a ＋bx B 、y ＝a ＋bx 2 B 、 C 、y ＝a ＋be x D 、y ＝a ＋blnx 6．已知圆x 2＋y 2?6x ＝0，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4
2013年高考理科数学安徽卷word解析版
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (安徽卷) 第Ⅰ卷(选择题 共50分) 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013安徽，理1)设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数．若·i+2=2z z z ，则z ＝( )． A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i D ．－1－i 2．(2013安徽，理2)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( )． A ．16 B ．2524 C ．34 D ．1112 3．(2013安徽，理3)在下列命题中，不． 是． 公理的是( )． A ．平行于同一个平面的两个平面相互平行 B ．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 C ．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 D ．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 4．(2013安徽，理4)“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 5．(2013安徽，理5)某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生．随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是( )． A ．这种抽样方法是一种分层抽样 B ．这种抽样方法是一种系统抽样 C ．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 D ．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 6．(2013安徽，理6)已知一元二次不等式f (x )＜0的 解集为112x x x ?? <->??? ? 或，则f (10x )＞0的解集为( )． A ．{x|x ＜－1或x ＞－lg 2} B ．{x|－1＜x ＜－lg 2} C ．{x|x ＞－lg 2} D ．{x|x ＜－lg 2} 7．(2013安徽，理7)在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )． A ．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝2 B ．θ＝π2(ρ∈R)和ρcos θ＝2 C ．θ＝π2 (ρ∈R)和ρcos θ＝1 D ．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝1
黑池中学2018级高三数学期末模拟试题理科（四） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1.已知集合{}2,101，， -=A ，{} 2≥=x x B ，则A B =I A ．{}2,1,1- B.{ }2,1 C.{}2,1- D. {}2 2.复数1z i =-,则z 对应的点所在的象限为 A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3 .下列函数中,是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减的函数是 A ．2x y = B ．y x = C ．y x = D ．2 1y x =-+ 4.函数 y=cos 2(x + π4 )－sin 2(x + π4 )的最小正周期为 A. 2π B. π C. π2 D. π 4 5. 以下说法错误的是 （ ） A ．命题“若x 2 -3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x 2 -3x+2≠0” B ．“x=2”是“x 2 -3x+2=0”的充分不必要条件 C ．若命题p:存在x 0∈R,使得2 0x -x 0+1<0,则﹁p:对任意x∈R,都有x 2 -x+1≥0 D ．若p 且q 为假命题,则p,q 均为假命题 6.在等差数列{}n a 中, 1516a a +=,则5S = A ．80 B ．40 C ．31 D ．-31 7.如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A ．π16+ B ．π416+ C ．π8+ D ．π48+ 8.二项式6 21()x x +的展开式中，常数项为 A ．64 B ．30 C ． 15 D ．1 9.函数3 ()ln f x x x =-的零点所在的区间是 A ．(1,2) B ．(2,)e C ． (,3)e D ．(3,)+∞ 10.执行右边的程序框图，若0.9p =，则输出的n 为 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 开始 10n S ==， S p
2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷） 数学（理科） 本试卷分第Ⅰ卷和第II 卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页。全卷满分150分，考试时间为120分钟。 参考公式： 如果事件A 与B 互斥，那么 ()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A 与B 相互独立，那么 ()()()P AB P A P B = 第Ⅰ卷（选择题 共50分） 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 （1） 设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数，若1z i =+，则 z i z i +?= （A ）-2 （B ）-2i （C ）2 （D ）2i （2）“x ＜0”是ln(1)0x +<的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （3）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是 （A ）34 （B ）55 （C ）78
（D ）89 (4) 以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位。已知直线l 的参数方程是???-=+=3 , 1t y t x (t 为参数)，圆C 的极坐标方程是θρcos 4=,则 直线l 被圆C 截得的弦长为 （A ）14 （B ）214 （C ）2 （D ）22 （5）x , y 满足约束条件?? ? ??≥+-≤--≤-+.022,022,02y x y x y x 若z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一．．． ，则实数a 的值为 （A ） 21 或-1 （B ）2或2 1 （C ）2或1 （D ）2或-1 （6）设函数f(x)（x ∈R ）满足()()sin f x f x x π+=+，当0≤x ≤π时，()0f x =，则)6 23( π f = （A ） 2 1 （B ）23 （C ）0 （D ）2 1- （7）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为 （A ）321+ （B ）318+ （C ）21 （D ）18 （8）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有 （A ）24对 （B ）30对 （C ）48对 （D ）60对 （9）若函数f(x)=| x+1 |+| 2x+a |的最小值为3，则实数a 的值为 （A ）5或8 （B ）-1或5