考研高数基础练习题及答案解析 一、选择题： 1、首先讨论间断点： 1°当分母2?e?0时，x? 2x 2 ，且limf??，此为无穷间断点； 2ln2x? ln2x?0? 2°当x?0时，limf?0?1?1，limf?2?1?1，此为可去间断点。 x?0? 再讨论渐近线： 1°如上面所讨论的，limf??，则x? x? 2 ln2 2 为垂直渐近线； ln2 2°limf?limf?5，则y?5为水平渐近线。 x??? x???
当正负无穷大两端的水平渐近线重合时，计一条渐近线，切勿上当。 2、f?|x4?x|sgn?|x| sgn?|x|。可见x??1为可导点，x?0和x?3为不可导点。 2011智轩高等数学基础导学讲义——第2章第4页原文： f???|??|，当xi?yj时 为可导点，否则为不可导点。注意不可导点只与绝对值内的点有关。 ?x ,x?0? 设f??ln2|x|，使得f不存在的最小正整数n是 ? ,x?0?0 x?0 1 2 3 limf?f?0，故f在x?0处连续。 f’?lim x?0
f?f ?0，故f在x?0处一阶可导。 x?0 当x?0时，f’?? ? ?x12x’ ‘????223 ?ln?lnlnxsgnx ? 12 ，则limf’?f’?0，故f’在x?0处连续。?23x?0ln|x|ln|x|f’’?lim x?0 f’?f’ ??，故f在x?0处不二阶可导。 x?0 a b x?0 对?a,b?0，limxln|x|?0。这是我们反复强调的重要结论。 3、对，该函数连续，故既存在原函数，又在[?1,1]内
江西省南昌市2015-2016学年度第一学期期末试卷 （江西师大附中使用）高三理科数学分析 一、整体解读 试卷紧扣教材和考试说明，从考生熟悉的基础知识入手，多角度、多层次地考查了学生的数学理性思维能力及对数学本质的理解能力，立足基础，先易后难，难易适中，强调应用，不偏不怪，达到了“考基础、考能力、考素质”的目标。试卷所涉及的知识内容都在考试大纲的范围内，几乎覆盖了高中所学知识的全部重要内容，体现了“重点知识重点考查”的原则。 1．回归教材，注重基础 试卷遵循了考查基础知识为主体的原则，尤其是考试说明中的大部分知识点均有涉及，其中应用题与抗战胜利70周年为背景，把爱国主义教育渗透到试题当中，使学生感受到了数学的育才价值，所有这些题目的设计都回归教材和中学教学实际，操作性强。 2．适当设置题目难度与区分度 选择题第12题和填空题第16题以及解答题的第21题，都是综合性问题，难度较大，学生不仅要有较强的分析问题和解决问题的能力，以及扎实深厚的数学基本功，而且还要掌握必须的数学思想与方法，否则在有限的时间内，很难完成。 3．布局合理，考查全面，着重数学方法和数学思想的考察 在选择题，填空题，解答题和三选一问题中，试卷均对高中数学中的重点内容进行了反复考查。包括函数，三角函数，数列、立体几何、概率统计、解析几何、导数等几大版块问题。这些问题都是以知识为载体，立意于能力，让数学思想方法和数学思维方式贯穿于整个试题的解答过程之中。 二、亮点试题分析 1．【试卷原题】11.已知,,A B C 是单位圆上互不相同的三点，且满足AB AC → → =，则A BA C →→ ?的最小值为（ ） A ．1 4- B ．12- C ．34- D ．1-
第三章 中值定理与导数的应用 ?????? ? ? ?? ?? ?? ??????????? ?????????????? ??必要条件求解函数的性态，充分渐近线凹凸性，拐点单调性，极值，最值—求极限—洛必达法则—应用数，求极限证明，确定无穷小的阶泰勒中值定理柯西中值定理拉格朗日中值定理罗尔定理中值定理 第一节 微分中值定理
极值:设) f在0x的某一邻域) (x U内有定义，若 (0x 对一切) ) ( (0x f≤,则 f≥)) x f ( U (0x x ( x∈有) f (0x ) 称) (x f的极f在0x取得极小（大）值，称0x是) (x 小（大）值点，极小值和极大值统称为极值，极小值点和极大值点统称为极值点。 费马引理：设) f在0x (x f'存在， (0x x=取极值，又)
则0)(0='x f 。 在0x x =取极值的必要条件：可导的极值点导数必为零。
驻点：若0)(='a f ，则称a x =为)(x f 的驻点。 可导的极值点一定为驻点，但是驻点不一定为极值点。 定理1（罗尔定理）： 条件： ①)(x f 在],[b a 上连续； ②在),(b a 可导； ③)()(b f a f = 结论： 一定存在),(b a ∈ξ，
使得0)(='ξf 。 几何意义：设AB 是 （1）定义在],[b a 上的光滑曲线)(x f y =； （2）若除端点外处处有不垂直于x 轴的切线； （3）两端点纵坐标相等 则在AB 上至少存在一点C ，其切线是水平的． 即两端点同高的连续曲线内至少有一点的切线是水平的．（如图所示）
《附件3》----2018届管理类考研数学基础班课程讲义 导论 一、管理类联考数学考试大纲 管理类专业学位联考(MBA,MPA,MPAc等)综合能力考试数学部分要求考生具有运用数学基础知识、基本方法分析和解决问题的能力. 综合能力考试中的数学部分(75分)主要考查考生的运算能力、逻辑推理能力、空间想象能力和数据处理能力，以及分析问题和解决问题的能力，通过问题求解(15小题，每小题3分，共45分)和条件充分性判断(10小题，每小题3分，共30分)两种形式来测试. 数学部分试题涉及的数学知识范围有： (一)算术 1．整数 (1)整数及其运算(2)整除、公倍数、公约数(3)奇数、偶数(4)质数、 合数 2. 分数、小数、百分数 3．比与比例 4．数轴与绝对值 (二)代数 1．整式 (1)整式及其运算(2)整式的因式与因式分解 2．分式及其运算 3．函数 (1)集合(2)一元二次函数及其图像(3)指数函数、对数函数 4．代数方程 (1)一元一次方程(2)一元二次方程(3)二元一次方程组 5．不等式 (1)不等式的性质(2)均值不等式(3)不等式求解：一元一次不等 式(组)，一元二次不等式，简单绝对值不等式，简单分式不等式. 6. 数列、等差数列、等比数列 (三)几何 1．平面图形 (1)三角形(2)四边形(矩形、平行四边形、梯形) (3)圆与扇形 2．空间几何体 (1)长方体(2)柱体(3)球体 3．平面解析几何 (1)平面直角坐标系(2)直线方程与圆的方程(3)两点间距离公式与点到直线的
距离公式 (四)数据分析 1. 计数原理 (1)加法原理、乘法原理 (2)排列与排列数 (3)组合与组合数 2．数据描述 (1)平均值 (2)方差与标准差 (3)数据的图表表示：直方图，饼图，数表 3．概率 (1)事件及其简单运算 (2)加法公式 (3)乘法公式 (4)古典概型 (5)伯努利概型 二、数学基础两种考查题型 数学基础共25道题，满分75分,有两种考查题型： 第一种是问题求解，1-15题,每道小题3分,共45分； 第二种是条件充分性判断，16-20题,每道小题3分,共30分. 两种考查形式说明如下： 1. 问题求解题型说明 联考中的问题求解题型是我们大家非常熟悉的一般选择题，即要求考生从5个所列选项(A)、(B)、(C)、(D)、(E)中选择一个符合题干要求的选项，该题型属于单项选择题，有且只有一个正确答案. 该题型有直接解法(根据题干条件推出结论)和间接解法(由结论判断题干是否成立)两种解题方法. 下面举例说明： 【范例1】(200901)方程214x x -+=的根是( ). (A)5x =-或1x = (B)5x =或1x =- (C)3x =或53x =- (D)3x =-或5 3x = (E) 不存在 【答案】C 2. 条件充分性判断题型说明
第六章 定积分的应用 ?? ??? ?? ??? ????????? ????????????? ???? 基本方法—微元法平面图形的面积与旋转体的体积一元几何应用—平面曲线的弧长，旋转体的侧面积函数平行截面面积已知的立体体积（数一数二）定积应用—分的变力做功、引力、侧压力、质心（形心）应用物理应用—函数平均值（数一数二） 简单的经济应用（数三）
第一节定积分的元素法 微元法:把一个所求量分解，近似，求和，取极限，最后表示成定积分的分析方法。 复习上一章第一节中的引例： 求由曲线() y f x =及直线x a =，x轴所 =，x b 围成的图形（曲边梯形）的面积A。
步骤：1、分割：1 n i i A A ==?∑ 2、取近似：1()()i i i i i i A f x x x ξξ-?≈??≤≤ 3、求和得：1()n i i i A f x ξ=≈??∑ 4、求极限：0 1 lim ()()n b i i a i A f x f x dx λξ→==??=∑?
取消这里的下标i ,同时[][,],i i i x x dx x x x +?+?； x ξ?；dA A ??。事实上，因为A A =?∑且 ()A f x dx dA ?≈=，所以()A f x dx ≈∑，即： lim ()()b b a a A f x dx f x dx dA ===∑??
一般地，若所求量A 满足： 1）A 是一个与变量x 的变化区间[],a b 有关的量； 2）A 对于区间[],a b 具有可加性； 3）A 的部分量i A ?可近似地表示为()i i f x ξ??，其差 别是i x ?的高阶无穷小，则A 可用定积分 ()b a A f x dx =?计算.
考研数学基础班概率统计讲义 第一章随机事件与概率 一、随机试验与随机事件 （一）基本概念 1、随机试验—具备如下三个条件的试验： （1）相同条件下可重复。（2）试验的可能结果是多样的且是确定的。 （3）某次试验之前不确定具体发生的结果，这样的试验称为随机试验，记为E。 2、样本空间—随机试验的所有可能的基本结果所组成的集合，称为随机试验的样本空间。 3、随机事件—样本空间的子集称为随机事件。 （二）事件的运算 1、事件的积—事件A与事件B同时发生的事件，称为事件A,B的积，记为AB。 2、事件的和—事件A或者事件B发生,称为事件A,B的和事件，记为A+ B。 3、事件的差—事件A发生而事件B不发生,称事件A,B的差事件，记为A- B。 （三）事件的关系 1、包含—若事件A发生则事件B一定发生，称A包含于B，记为A? B。若 A? B且B? A，称两事件相等，记A= B。 2、互斥（不相容）事件—若A与B不能同时发生，即AB= φ ，称事件A,B不相容或互斥。 3、对立事件—若AB = φ 且A+ B = ∧ 称事件A,B为对立事件。 【注解】（1）A= (A- B)+ AB，且A- B与AB互斥。 （2）A+ B= (A- B)+ (B- A)+ AB，且A- B,B- A,AB两两互斥。 （四）事件运算的性质 1、（1）AB? A(或B)? A+ B；（2）AB= BA,A+ B= B+ A； 2、（1）A? A= A,A? A= A； （2）A? (B? C)= (A? B)? (A? C),A? (B? C)= (A? B)? (A? C)； 3、（1）A= (A- B)? A；（2）(A- B)? A= A- B； （3）A+ B= (A- B)? AB? (B- A)。 4、（1）A+ A= ∧ ；（2）A? A= φ 。 二、概率的定义与性质 （一）概率的定义—设随机试验的样本空间为∧ ，满足如下条件的随机事件的函数P(?)称为所对应事件的概率：
一、整除理论 1． 证明：任意给定的连续39个自然数，其中至少存在一个自然数，使得这个自然数的数字和能被11整除。 2． 设p 是n 的最小素约数，n = pn 1，n 1 > 1，证明：若p >3n ，则n 1是素数。 证明：设不然，n 1 = n 2n 3，n 2 ≥ p ，n 3 ≥ p ，于是n = pn 2n 3 ≥ p 3 ， 即p ≤3n ，矛盾。 3． 设3∣a 2 + b 2，证明：3∣a 且3∣b 。 写a = 3q 1 + r 1，b = 3q 2 + r 2，r 1, r 2 = 0, 1或2， 由3∣a 2 + b 2 = 3Q + r 12 + r 22知r 1 = r 2 = 0，即 3∣a 且3∣b 4． 证明：对于任意给定的n 个整数，必可以从中找出若干个作和，使得这个和能被n 整除。 设给定的n 个整数为a 1, a 2, , a n ，作 s 1 = a 1，s 2 = a 1 + a 2， ，s n = a 1 + a 2 + + a n ， 如果s i 中有一个被n 整除，则结论已真，否则存在s i ，s j ，i < j ， 使得s i 与s j 被n 除的余数相等，于是n ∣s j - s i = a i + 1 + + a j 5． 设a ，b ，c 是正整数，证明：) ,)(,)(,(),,(],][,][,[],,[2 2a c c b b a c b a a c c b b a c b a = 因为 ，故只须证明(a , b , c )(ab , bc , ca ) = (a , b )(b , c ) (c , a )，此式 用类似于例3的方法即可得证。 6． 设k 是正奇数，证明：1 + 2 + …… + 9∣1k + 2k + …… + 9k 。 设s = 1k + 2k + + 9k ，则由2s = (1k + 9k ) + (2k + 8k ) + + (9k + 1k ) = 10q 1及2s = (0k + 9k ) + (1k + 8k ) + + (9k + 0k ) = 9q 2得10∣2s 和9∣2s ，于是有90∣2s ，从而1 + 2 + + 9 = 45∣s 7． 设a ，b 是正整数，证明：(a + b )[a , b ] = a [b , a + b ]。 只须证 ，即只须证(b , a + b ) = (a , b )，此式显然。 8． 用扩展欧几里德算法法求整数x ，y ，使得1387x - 162y = (1387, 162)。 作辗转相除：1387 = (-162)?(-8) + 91，-162 = 91?(-2) + 20，91 = 20?4 + 11，20 = 11?1 + 9，11 = 9?1 + 2，9 = 2?4 + 1，2 = 1?2 + 0，由此得n = 6，q 1 = -8，q 2 = -2，q 3 = 4，q 4 = 1，q 5 = 1，q 6 = 4，x = (-1)n -1Q n = 73，y = (-1)n P n = 625，又(1387, 162) = r n = 1，故1387?73 - 162?625 = 1 = (1387, 162) 9. 若四个整数2836，4582，5164，6522被同一个大于1的整数除所得的余数相同，且不等于零，求除数和余数各是多少。 设除数为d ，余数为r ，则由 d ∣4582 - 2836 = 1746，d ∣5164 - 4582 = 582，d ∣6522 - 5164 = 1358 知d ∣(1746, 582, 1358) = 194，由此得d = 97，r = 23或d = 194，r = 120 9． 证明：在1, 2, , 2n 中任取n + 1数，其中至少有一个能被另一个整除。 写i = ，i = 1, 2, , 2n ，则λi 为1, 2, , 2n 中的奇数，即λi 只能取n 个数值，在n + 1个这样的数 中，必存在λi = λj （i ≠ j ），于是易知i 与j 成倍数关系 10． 求最大的正整数k ，使得10k ∣199!。
考研数学复习需要了解的时间点 对于2020的考研同学们，数学也是一门不得不全力攻克的关键点吗，但对于如何着手准备，你是不是也有些无从下手呢?小编为大家精心准备了考研数学复习的时间分配，欢迎大家前来阅读。 考研数学复习的时间轴 一、3月初到4月初 这个时间点，对于准备考研的同学已经可以安心备考了。刚开始不要急着做题，首先要把本科教材看一遍。 相信绝大多数同学都在本科期间修过高等数学+线性代数+概率论这三门课，不管这些知识有没有忘，不管忘了多少，首先把本科教材拿出来温习一遍还是有必要的。 从3月初到4月初，这一个月的时间内，过一遍教材应该是绰绰有余的，建议大家根据自己的实际情况分配一下时间。 二、4月初到6月底
这段时间集中精力攻克复习全书。建议除了复习全书之外，大家尽量买本线代讲义和概率论讲义，因此复习全书里面的线代和概率论部分就不看了，全书不如讲义详细。 近三个月的时间，建议大家根据自己的实际情况分配一下时间。但是无论如何都要把全书和讲义仔仔细细过一遍，题目认认真真做一遍，不会的或者做错的要做好标记，做标记的题以后还有用。 三、暑假期间 建议暑假就不要回家了，回家不仅看不进去书，还会把之前看的忘记]老老实实在学校看书就行。 因为暑假是整个考研期间最重要的阶段，暑假期间的复习状况将直接决定你最终的数学成绩。 这段时间的主要任务就是刷题，遇到不会的题不能立即看答案，哪怕毫无头绪也要经过认真思考一下。和看全书一样，不会的题或者做错的题要做好标记。 四、暑假开学到填志愿期间 这段时间的主要任务就是做真题。建议从06年开始
做。每天按照考研数学的考试时间，抽出三小时的完整时间去做真题。 切记一定是三小时，哪怕你只用一个半小时就做完了，也不能去对答案，要严格按照考研时间来。 建议做的快的同学在做完真题之后，尽量用另一种解法再算一遍。如果两次算得不一样就要好好检查一下了。 五、填完志愿到考前一个月 这段时间主要是小修小补查漏补缺。由于要复习其他三科，留给数学的时间不很多，更应该用好时间。主要的工作还是做题，推荐400题和最后十套卷，时间没必要要求太严格，能做到查漏补缺就好。不会的和错的还是要做标记。 六、考前一个月到考前两天 再刷一遍真题，体会真题的考察点，还要把做标记的题目再做一遍，尤其要注意连续错两遍的题目。 考研数学拿高分的攻略 第一个“识”。就是我们要把考试大纲重头到尾进行梳理一下。我们要对大纲要求的知识，要进行识记，并且要熟
2013考研数学春季基础班线性代数辅导讲义- 主讲：汤家凤 第一讲 行列式 一、基本概念 定义1 逆序—设j i ,是一对不等的正整数，若j i >，则称),(j i 为一对逆序。 定义2 逆序数—设n i i i 21是n ,,2,1 的一个排列，该排列所含逆序总数称为该排列的逆序数，记为 )(21n i i i τ，逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。 定义3 行列式—称nn n n n n a a a a a a a a a D 21 22221 11211 = 称为n 阶行列式，规定 n n n nj j j j j j j j j a a a D 21212121)()1(∑ -= τ。 定义4 余子式与代数余子式—把行列式nn n n n n a a a a a a a a a D 21 22221 11211 = 中元素ij a 所在的i 行元素和j 列元 素去掉，剩下的1-n 行和1-n 列元素按照元素原来的排列次序构成的1-n 阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，称ij j i ij M A +-=)1(为元素ij a 的代数余子式。 二、几个特殊的高阶行列式 1、对角行列式—形如 n a a a 000 21 称为对角行列式，n n a a a a a a 2121 00 =。
2、上（下）三角行列式—称 nn n n a a a a a a 0 022211211 及 nn n n a a a a a a 21 2221 11 0为上（下）三角行列式， nn nn n n a a a a a a a a a 2211222112110 0=，nn nn n n a a a a a a a a a 2211212221 11 0=。 3、 ||||B A B O O A ?=， ||||B A B O C A ?=， ||||B A B C O A ?=。 4、范得蒙行列式—形如1121 121211 11 ),,,(---= n n n n n n a a a a a a a a a V 称为n 阶范得蒙行列式，且 n i j j i n n n n n n a a a a a a a a a a a V ≤<≤----== 11121 121 21)(1 11 ),,,(。 【注解】0),,,(21≠n a a a V 的充分必要条件是n a a a ,,,21 两两不等。 三、行列式的计算性质 （一）把行列式转化为特殊行列式的性质 1、行列式与其转置行列式相等，即T D D =。 2、对调两行（或列）行列式改变符号。 3、行列式某行（或列）有公因子可以提取到行列式的外面。 推论1行列式某行（或列）元素全为零，则该行列式为零。 推论2行列式某两行（或列）相同，行列式为零。 推论3行列式某两行（或列）元素对应成比例，行列式为零。 4、行列式的某行（或列）的每个元素皆为两数之和时，行列式可分解为两个行列式，即 nn n n in i i n nn n n in i i n nn n n in in i i i i n a a a b b b a a a a a a a a a a a a a a a b a b a b a a a a 2 121112112 121112 11212 21 111211 +=+++。 5、行列式的某行（或列）的倍数加到另一行（或列），行列式不变，即
精心整理 考研数学基础班概率统计讲义 第一章随机事件与概率 一、随机试验与随机事件 （一）基本概念 1、随机试验—具备如下三个条件的试验： （1）相同条件下可重复。（2）试验的可能结果是多样的且是确定的。 （3）某次试验之前不确定具体发生的结果，这样的试验称为随机试验，记为E。 2、样本空间—随机试验的所有可能的基本结果所组成的集合，称为随机试验的样本空间。 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 的概率：
1、对事件A，有P(A)??0（非负性）。 2、P(?)??1（归一性）。 ?? 3、设A1,A2,L,A n,L为不相容的随机事件，则有P(U A n)????P(A n)（可列可加性）。 n?1n?1 （二）概率的基本性 质 1、P(?)??0。 n n 2、设A1,A2,L,A n为互不相容的有限个随机事件列，则P(U A k)????P(A k)。 k?1 k?1 3、P(A)??1??P(A)。 4 Array 1 （ （ 2 3 （ （ 1 2 （ （
（3）设P(A)??0,P(B)??0，若A,B独立，则A,B不互斥；若A,B互斥，则A,B不独立。 四、全概率公式与Bayes公式 1、完备事件组—设事件组A1,A2,L,A n满足：（1）A i A j???(i,j??1,2,L,n,i? j)； n （2）U A i????，则称事件组A1,A2,L,A n为一个完备事件组。 i?1 2、全概率公式：设A1,A2,L,A n是一个完备事件组，且P(A i)??0(i??1,2,L,n)，B为事件，则 n P(B)????P(A i)P(B|A i)。 i?1 3、贝叶斯公式：设A1,A2,L,A n为一个完备事件组，且P(A i)??0(i??1,2,L,n)，B为任一随机事件，P(B) 1 （ 2概率为 3???9 ， 16 则P(A 4 5不发生B 1
2019年考研数学高等数学复习讲义 第一章 函数、极限、连续 §1.1 函数 （甲）内容要点 一、函数的概念 1.函数的定义 设D 是一个非空的实数集，如果有一个对应规划f ，对每一个x D ∈，都能对应惟一的一个实数y ，则这个对应规划f 称为定义在D 上的一个函数，记以y =f (x )，称x 为函数的自变量，y 为函数的因变量或函数值，D 称为函数的定义域，并把实数集 {}|(),Z y y f x x D ==∈ 称为函数的值域。 2.分段函数 如果自变量在定义域内不同的值，函数不能用同一个表达式表示，而要用两上或两个以上的表达式来表示。这类函数称为分段函数。 例如 21<1() -115 >1x x y f x x x x x +-?? ==≤≤??? 是一个分段函数，它有两个分段点，x ＝－1和x ＝1，它们两侧的函数表达式不同，因此讨论函数y =f (x )在分段点处的极限、连续、导数等问题时，必须分别先讨论左、右极限，左、右连续性和左、右导数。需要强调：分段函数一般不是初等函数，不能用初等函数在定义域内皆连续这个定理。 3.隐函数 形如y =f (x )有函数称为显函数，由方程F （x ，y ）=0确定的y ＝y (x )称为隐函数，有些隐函数可以化为显函数（不一定是一个单值函数），而有些隐函数则不能化为显函数。 4.反函数 如果y =f (x )可以解出()x y ?=是一个函数（单值），则称它为f (x )的反函数，记以1()x f y -=。有时也用1()y f x -=表示。 二、基本初等函数 1.常值函数 y ＝C （常数） 2.幂函数 y x α=（α常数） 3.指数函数 x y a =（a ＞0，a ≠1常数）