专题七 数列与数列应用
一、考纲要求：
1、 了解数列的概念。理解等差数列和等数列的定义。
2、 掌握等差中项公式、等差数列的通项公式与前项和的公式。
3、 掌握等比中项公式、等比数列的通项公式与前项和的公式。
4、 会解简单的数列应用题。 二、复习指导：
数列这一章，主要从以下几方面进行复习：
1、 数列可看成是定义域为正整数集+N 或它的有限子集{1,2,3,…,n}上的函数当自变量从小到大
依次取值时对应的列波函数值。因此我们要用函数的观点和方法来认识和研究数列。 2、 研究数列，首先研究对应法则——通项公式：+∈=N n n f a n ),(，要能合理地由数列前项写
出通项公式，根据数列的前若干项写通项公式，关键是通过观察、分析、比较去发现项与项之间的关系；如果关系不明显，可适当变形或分解，让规律突现出来，便于找到通项公式。其次，注意前n 项和公式n S 和通项公式n a 的关系。
3、 要准确理解等差（比）数列的概念，掌握好它们的通项公式n a 、求和公式n S ，在历届高职考
试中等差（比）的定义、通项公式n a 、前n 项和公式n S 经常融进在各种类型的题目中，我们要在熟练掌握，灵活应用上下功夫。在等差（比）数列中，如果已知a ，d(q)，n ，n a ，n S 这五个量中的任意三个，就可以求出其余两个，这是本章中最基本的、经常遇到的、必须熟练解决的问题。
4、 熟悉一些在特殊条件下设未知数的技巧及等差（比）数列的常用性质，有时可大大简化解题
过程。如三数成等差数列可设为。 等差（比）数列常用的性质：（略）
5、 解数列问题过程中，要注意运用方程思想、函数思想，及消元思想和方法。方程思想的运用：
在数列的五个基本量中，可在知三个条件下，求另二个量，一般都是通过列方程及消元解得。函数思想的运用：函数思想贯穿在数列问题的整个过程，等差数列中，求其前项和的最大、最小值就是利用函数思想的典型例子。
6、 实际应用问题。由于数列与现实生活的联系密切，如常见的增长率问题、存款利率问题、分
期付款等都可归结为与数列有关的问题，从而利用数列的知识进行求解。通过大量的实际应用，使学生理解这两种数列模型的作用，培养学生从实际问题中抽象出数列模型并用于实际的能力。
三、知识要点：学生归纳小结（略）。 四、历届高考题：
(2007年) 16、在等差数列}{n a 中，已知12,352==a a ，则}{n a 的前n 项和=n S
(2007年) 24、已知数列}{n a 的前n 项为)1(+n n ，而数列}{n b 的第n 项n b 等于数列}{n a 的第n 2项，即n a b n 2=(1)求数列}{n a 的通项n a ；(2)求数列}{n b 的前n 项和n S ；(3)证明：对任意的正整数n 和k(k n n b b k b >+-+2 . （2006年）6、设{n a }为等比数列，其中首项2,121==a a ，则{n a }的前n 项和n S 为（ ） 2)1(. -n n A B 。2 ) 1(+n n C 。121--n D 。12-n （2006年）21、设{n a }是等比数列，且48,1253==a a ，则62a a = 。 （2006年）25、已知数列{n a }是等差数列，且15,33211=++=a a a a 。 1）求数列{n a }的通项。 2）求数列{1 1 +n n a a }的前n 项和n S 。 （2005年）6、在等差数列{n a }中，已知8,174=-=a a ，，则首项1a 与公差d 为（ ） A.1a =10,d=3 B. 1a =－10,d=3 C. 1a =3,d =－10 D. 1a =3,d=10 （2005年）10、已知b 是a 与c 的等比中项，且abc=8，则b=（ ） A.4 B.2 C.22 D.2 （20005年）21已知{n a }是各项为正数的等比数列，16,85134==-a a a a ，则{n a }的公比q= 。 （2005年）24、设{n a }是等差数列，它的前n 项之和m S n =，前m 项之和n S m =，求{n a }的前m+n 项之和n m S +。 （2004年）7、已知12是x 和9的等差中项，则x=（ ） A.17 B.15 C.13 D.11 （2004年）8、实数等比数列{n a }中，16 3 ,3173== a a ，则=1a （ ） A.34± B.34 C.9 4 ± D.94 （2004年）22、设数列{n a }的通项为)(,cos 3* ∈+=N n n n a n π，则这个数列的前99项的和等于 。（用具体数值作答） （2004年）26、在数列{n a }中，541= a ，且数列{n n a a a 11-+}是首项为1516，公比为5 4的等比数列。1）求32,a a 的值； 2）证明对任意* ∈N n 都有4a a n ≤ （2003年）4、等差数列,,21a a …，k a 的和为81，若1812=+-k a a ，则项数k=（ ） A.7 B.8 C.9 D.10 （2003年）15、若数列{n a }的前项和n n a n S 2 =，且01≠a ，则1 +n n a a =（ ） A.1+n 2 B.2+n 2 C.2 +n n D.n+2 （2003年）26、已知多项式n n x a x a a x f +++= 10)(的系数n a a a ,,,10 成等差数列，且f(0)=f(1)=105,f (－1)=15，求n 和a n 的值。 （2002年）8、某剧场共有18排座位，第一排有16个座位，往后第排都比前一排多2个座位，那么该剧场座位的总数为（ ） A ．594 B.549 C.528 D.495 （2002年）18、等比数列{n a }的前10项和为48，前20项和为60，则这个数列的前30项和为（ ） A ．75 B.68 C.63 D.54 14.在等差数列}{n a 中，已知1351,,a a a 成公比不为1的等比数列，求下式的值：2012111021a a a a a a ++++++ 。 （2001年）7、设{n a }是等比数列，如果6,342==a a ，则6a =（ ） A ．9 B 。12 C 。16 D 。36 （2001年）8、已知0≠c ，且a,b,c,2b 成等差数列，则 =c a （ ） A ． 31 B 。21 C 。32 D 。4 3 （2001年）17、已知正数a,b,c 成等数列，公比大于1，令P=a+2b+3c ，Q=3a+b+2c ，R=2a+3b+c ，则必有（ ） A.P>Q>R B.P>R>Q C.Q>P>R D.R>P>Q 五、训练题组： 一）基础题组： 1、数列： ,5,2,3,2的通项公式n a = 。 2、已知数列n n S n 22 +=，则n a = 。 3、数列{n a }的通项公式n a =n 23-，则=6a 。 4、数列 ,21 2)1(,,85,43,211n n n ----的第5项是（ ） A ．329 B 。329- C 。32 31 D 。3231- 5、数列{n a }的通项公式n a 是n 的一次函数是这个数列成等差数列的（ ） A ．充分不必要条件 B 。必要不充分条件 C ．充要条件 D 。既不充分也不必要条件 6、下面有四个个结论：1）由第1项起乘以相同常数得到后一项，这样所得到的数列一定为等比数列；2）常数列a ，…，a 一定为等比数列；3）等比数列{n a }中，若公比q=1，则此数列各项相等；4）等比数列中各项与公比不能为零。其中正确结论的个数是（ ） A ．0 B 。1 C 。2 D 。3 7、3和27的等差中项是 ，等比中项是 。 8、在等差数列{n a }中，已知54321a a a a a ++++=15，则3a = 。 9、在等差数列{n a }中，4,126473-=+-=-a a a a ，则10S = 。 10、在等比数列{n a }中，120,304321=+=+a a a a ，则65a a += 。 11、在等差数列40，37，34，…中第一个负数项是第（ ）项 A ．13 B 。14 C 。15 D 。16 12、在公差为d 的等差数列{n a }中，4104S S =，则1a ：d= 。 13、在等比数列{n a }中，首项为1，公比为2，则从第5项至第10项的和为 。 二）提高题组： 1、在等比数列{n a }中，,73=a 前三项之和3S =21，则公比q 的值为 。 2、在公差为2 1 - =d 等差数列{n a }中，如果5058741=++++a a a a ，则60963a a a a ++++ = 。 3、在等差数列{n a }中，6,331=-=d a ，则前n 项和取最小值时，n= 。 4、在等差数列{n a }中，前10项的和为20，前20项的和为60，则前30项的和为 。 5、在等比数列{n a }中，若91,a a 是方程02522 =+-x x 的两根，则64a a ?=（ ） A ．5 B 。2 C 。 2 5 D 。1 6、在等比数列{n a }中，29-=a ，则此数列前17项的积等于（ ） A ．16 2 B 。16 2- C 。17 2 D 。17 2- 7、在等比数列{n a }中，前5项和为48，前10项和为60，则前15项和的值为（ ） A ．75 B 。72 C 。63 D 。171 8、在等差数列{n a }中，)(,q p p a q a q p ≠==，则q p a +=（ ） A ．p+q B.0 C .－(p+q) D.2 q p + 9、在1至999之间插入100个数，使这102个数成等差，则这100个数的和是 。 10、R c b a ∈,,，那么ac b =2 是a,b,c 成等比数列的（ ） A ．充分不必要条件 B 。必要不充分条件 C 。充要条件 D 。既不充分也不必要条件 11、在等差数列{n a }中，公差0≠d 且931,,a a a 成等比数列，则10 429 31a a a a a a ++++的值是 。 12、数列 ,16 1 4,813,412,211前10项和是 。 13、数列) 1(1,,531,421,311+????n n 的前100项和是 。 14、数列{n a }的前n 项和)(1002 N n n n S n ∈-=。1）数列{n a }是什么数列？ 2）设||n n a b =，求数列{n b }的前60项和。 15、在等差数列{n a }中，1791,25S S a ==，问数列前多少项和最大，并求出最大值。 16、在等差数列{n a }中，设n a n b )2 1(=，且8 1 ,821321321== ++b b b b b b 求等差数列的通项公式n a 。 17、在等比数列{n a }中，9632S S S =+，求数列的公比。 18、设数列{n a }的前n 项和为n S ，若对于所有的自然数n ，都有2 ) (1n n a a n S += ，证明{a n }是等差数列。 19、有四个数，前三个数成等差，后三个成等比，首末两项和为37，中间两项和为36，求这四个数。 20、在等差数列{n a }中，已知331S 与441S 的等比中项为551S ，331S 与44 1 S 的等差中项为1，求等差数列的通项公式n a 。 三）以下优秀学生选做： 1、在由正数组成的等比数列{n a }中，n S 是其前n 项和，证明：15.02 5.05.0log 2 log log ++>+n n n S S S 2、在等差数列{n a }中，首项为－5，它的前11项的平均值为5，若从中抽去一项，余下的10项的平均值为4.6，问抽去的这一项是第 项。 3、两个等差数列{n a }、{n b }的前项和分别是n n T S ,且 327++=n n T S n n ，则5 5b a = 。 4、在等差数列{n a }中，第2项为8，前10项的和为185，从数列{n a }中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第n 2项，按原来顺序排成一个新数列{n b }，求这个新数列的通项公式和前n 项的和。 数列应用的训练题： 1、夏季高山上的温度从山脚起，每升高100米，降低7.0度，已知山顶处的温度是14.8度，山 脚处的温度是26度，则此山相对于山脚处的高度是 米。 2、一凸n 边形各内角的度数成等差数列，公差是10度，最小内角是100度，则边数n= 。 3、某剧院有18排座位，第一排有16个座位，往后每排都比前一排多2个座位，则该剧院共有 个. 4、有一堆成7层的货物，每一层的件数都等于上一层的2倍，共堆放381件，则最底层的货物件数是 。 5、某商品提价10%后要恢复原价，应由现价降价（ ） A ．10% B 。9% C 。11 1 9 % D 。11% 6、某种细菌培养过程中，每30分钟分裂一次，一分为二，经过4小时，这种细菌可繁殖（ ）个 A 。255 B 。256 C 。511 D 。512 7、 一张报纸，其厚度为a ，面积为b ，现将此报纸对折7次，这时报纸的厚度和面积分别是（ ） A.8 , 8b a B.64,64 b a C.128,128b a D.256256b a 8、 某单位某年十二月份产值是同年一月份产值的m 倍，那么此年的月平均增长率是（ ） A.111-m B.112-m C. 11m D.12 m 9、 两个相距153米的物体作相向运动，甲每秒走10米，而乙第1秒走3米，以后每秒比前一秒 多走5米，问经过几秒种两个物体相遇？ 10、一张纸片，第一次将其撕成4小片，以后每次将其中的一片撕成更小的4片，如此进行下去，试问：1）撕5次，共可得多少纸片？2）撕得22张纸片，共需撕几次？30能否将纸片撕成2007片？请说明你判断的理由。 11、一个球从256米高处自由落下，每次着地后又弹回到原高度的一半再落下。 1）当第9次弹起时，这个球可弹起多高？2）第9次弹起时这个球已经过了多少米的路程？ 12、有30根水泥电线杆，要运往1000米远的地方开始安装，在1000米处放一根，以后每隔50米放一根，一辆汽车一次只能运三根，如果用一辆汽车完成任务，这辆汽车的行程共有多少公里？ 13、某家庭打算用10年时间储蓄20万购置一套商品房，为此每年需存入银行数额相同的专款，年利息4%，按复利计算，求每年应存入银行多少钱？（参考数据423.104.1,480.104 .1910 ≈≈） 14、某城市2000年底人口为500人，人均居住面积为6平方米，如果该城市每年人口平均增长率为1%，每年平均新增住房面积为100万平方米，求2010年底该城市人均住房面积是多少平方米？ （精确到0.1平方米，必要时可使用1.101 .110 ≈） 数列求和的基本方法和技巧 一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式 错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和 分段求和法（合并法求和） 利用数列通项法求和 二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法， 三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。 数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(611 2 ++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3)]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式） ＝x x x n --1)1(＝ 2 11)211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2 1 ++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++= n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝ n n 64341+ +＝ 50 )8(12+- n n 50 1≤ ∴ 当 8 8- n ，即n ＝8时，501)(max =n f 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：1 32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………① 解：由题可知，{1 )12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1 -n x }的通项之积 设n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- （错位相减） 再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1 ----? +=-- ∴ 2 1)1() 1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4] 求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 2 1 }的通项之积 数列求与得基本方法与技巧 一、总论:数列求与7种方法: 利用等差、等比数列求与公式 错位相减法求与 反序相加法求与 分组相加法求与 裂项消去法求与 分段求与法(合并法求与) 利用数列通项法求与 二、等差数列求与得方法就是逆序相加法,等比数列得求与方法就是错位相减法, 三、逆序相加法、错位相减法就是数列求与得二个基本方法。 数列就是高中代数得重要内容,又就是学习高等数学得基础。在高考与各种数学竞赛中都占有重要得地位、数列求与就是数列得重要内容之一,除了等差数列与等比数列有求与公式外,大部分数列得求与都需 要一定得技巧、下面,就几个历届高考数学与数学竞赛试题来谈谈数列求与得基本方法与技巧、 一、利用常用求与公式求与 利用下列常用求与公式求与就是数列求与得最基本最重要得方法。 1、等差数列求与公式: 2、等比数列求与公式: 3、４、 5、 ［例1］已知,求得前n项与。 解:由 由等比数列求与公式得(利用常用公式) ＝==1- ［例2］设S n＝１+2＋3+…+n,n∈Ｎ*,求得最大值、 解:由等差数列求与公式得, (利用常用公式) ∴＝ =＝ ∴当,即n＝８时, 二、错位相减法求与 这种方法就是在推导等比数列得前ｎ项与公式时所用得方法,这种方法主要用于求数列｛ａn·ｂn｝ 得前n项与,其中｛a n｝、｛bｎ}分别就是等差数列与等比数列。 ［例3］求与:………………………① 解:由题可知,{}得通项就是等差数列｛2ｎ—1｝得通项与等比数列｛}得通项之积 设………………………。②(设制错位) ①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- (错位相减) 再利用等比数列得求与公式得: ∴ [例4］ 求数列前n 项得与、 解:由题可知,{｝得通项就是等差数列{2n}得通项与等比数列｛｝得通项之积 设…………………………………① ………………………………② (设制错位) ①—②得 (错位相减) ∴ 三、反序相加法求与 这就是推导等差数列得前ｎ项与公式时所用得方法,就就是将一个数列倒过来排列(反序),再把它与原数列相加,就可以得到n 个。 [例5］ 求证: 证明: 设…………………………、。 ① 把①式右边倒转过来得 (反序) 又由可得 ………….。……、. ② ①+②得 (反序相加) ∴ [例6］ 求得值 解:设…………、 ① 将①式右边反序得 ………….。② (反序) 又因为 ① ＋②得 (反序相加) )89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++???++++=S ＝89 ∴ S=44、５ 题1 已知函数 (1)证明:; (2)求得值。 解:(1)先利用指数得相关性质对函数化简,后证明左边=右边 (２)利用第(1)小题已经证明得结论可知, 两式相加得: 所以、 练习、求值: 高等数学求极限的常用 方法附例题和详解 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】 高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即 “一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ） A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (iii)A x x x x A x f x x =→=→? =→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则 （v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理） （vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限 )(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况： （i ）“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (ii)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了 无穷小的倒数形式了。通项之后，就能变成(i)中的形式了。即 )(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或；) ()(1 )(1 )(1 )()(x g x f x f x g x g x f -=- (iii)“00”“∞1”“0∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即 e x f x g x g x f ) (ln )()()(=，这样就能把幂上的函数移下来了，变成“∞?0”型未定式。 3.泰勒公式(含有x e 的时候，含有正余弦的加减的时候） 12)! 1(!!21+++++++=n x n x x n e n x x x e θ ； cos=221242)! 22(cos )1()!2()1(!4!21+++-+-+-+-m m m m x m x m x x x θ 第五章 第五节 数列的综合应用 (时间60分钟，满分80分) 一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分) 1．(2011·济南模拟)已知数列{a n }是首项为a 1＝4的等比数列，且4a 1，a 5，－2a 3成等差数列，则其公比q 等于( ) A ．1 B ．－1 C ．1或－1 D. 2 解析：依题意有2a 5＝4a 1－2a 3，即2a 1q 4 ＝4a 1－2a 1q 2 ，整理得q 4 ＋q 2 －2＝0，解得q 2 ＝1(q 2 ＝－2舍去)，所以q ＝1或－1. 答案：C 2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2＝10，S 4＝36，则过点P (n ，a n )和Q (n ＋2，a n ＋2)(n ∈N * )的直线的一个方向向量的坐标可以是( ) A ．(－1 2，－2) B ．(－1，－1) C ．(－1 2 ，－1) D ．(2，1 2 ) 解析：设数列{a n }的公差为d ，则有????? 2a 1 ＋2×12 d ＝104a 1 ＋4×3 2 d ＝36，解得d ＝4，于是直线PQ 的 斜率k ＝ a n ＋2－a n n ＋2－n ＝d ＝4，故直线的一个方向向量的坐标可以是(－1 2 ，－2)． 答案：A 3．(2011·福州模拟)等差数列中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则该数列前13项的和是( ) A ．156 B ．52 C ．26 D ．13 解析：∵a 3＋a 5＝2a 4，a 7＋a 10＋a 13＝3a 10， ∴6(a 4＋a 10)＝24，a 4＋a 10＝4， ∴S 13＝13a 1＋a 13 2＝13a 4＋a 102 ＝26. 答案：C 4．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是函数f (x )＝x 2 －b n x ＋2n 的两个零点，则 b 10等于( ) A ．24 B ．32 求数列极限的方法总结 万学教育 海文考研 教学与研究中心 贺财宝 极限是考研数学每年必考的内容,在客观题和主观题中都有可能会涉及到平均每年直接考查所占的分值在10分左右，而事实上，由于这一部分内容的基础性，每年间接考查或与其他章节结合出题的比重也很大.极限的计算是核心考点，考题所占比重最大.熟练掌握求解极限的方法是得高分的关键. 极限无外乎出这三个题型：求数列极限、求函数极限、已知极限求待定参数. 熟练掌握求解极限的方法是的高分地关键, 极限的运算法则必须遵从,两个极限都存在才可以进行极限的运算,如果有一个不存在就无法进行运算.以下我们就极限的内容简单总结下. 极限的计算常用方法：四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限、利用泰勒公式求极限、夹逼定理、利用定积分求极限、单调有界收敛定理、利用连续性求极限等方法. 四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限是常用方法，在基础阶段的学习中是重点，考生应该已经非常熟悉，进入强化复习阶段这些内容还应继续练习达到熟练的程度;在强化复习阶段考生会遇到一些较为复杂的极限计算，此时运用泰勒公式代替洛必达法则来求极限会简化计算，熟记一些常见的麦克劳林公式往往可以达到事半功倍之效; 夹逼定理、利用定积分定义常常用来计算某些和式的极限，如果最大的分母和最小的分母相除的极限等于1，则使用夹逼定理进行计算，如果最大的分母和最小的分母相除的极限不等于1，则凑成定积分的定义的形式进行计算;单调有界收敛定理可用来证明数列极限存在，并求递归数列的极限. 与极限计算相关知识点包括：1、连续、间断点以及间断点的分类：判断间断点类型的基础是求函数在间断点处的左右极限；2、可导和可微，分段函数在分段点处的导数或可导性，一律通过导数定义直接计算或检验0()f x '存在的定义是极限000(+)-()lim x f x x f x x ???→ 存在；3、渐近线，(垂直、水平或斜渐近线)；4、多元函数积分学，二重极限的讨论计算难度较大，常考查证明极限不存在. 下面我们重点讲一下数列极限的典型方法. 重要题型及点拨 1.求数列极限 求数列极限可以归纳为以下三种形式. ★抽象数列求极限 这类题一般以选择题的形式出现, 因此可以通过举反例来排除. 此外,也可以按照定义、基本性质及运算法则直接验证. ★求具体数列的极限,可以参考以下几种方法： a.利用单调有界必收敛准则求数列极限. 常见的数列求和及应用 常见的数列求和及应用 一、自主探究 1、等差数列的前n项和公式：。 2、等比数列的前n项和公式： ①当时，； ②当时， = 。 3、常见求和公式有： ①1+2+3+4+…+②1+3+5+…+（2n-1）= ※③※④ 二、典例剖析 （一）、分组求和法：某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用公式分别求和，从而得出原数列的和。 例1 已知，求数列｛｝的前n项和。 变式练习：已知，求数列｛｝的前n项和。 （二）、裂项求和法：如果数列的通项公式可转化为形式，常采用裂项求和的方法。特别地，当数列形如，其中是等差数列，可采用此法 例2 求和：（） 变式练习：已知数列的通项公式，求数列｛｝的前n 项和。 （三）、奇偶并项法：当数列通项中出现时，常常需要对n取值的奇偶性进行分类讨论。 例3 求和： （四）、倒序相加法：此法主要适用数列前后具有“对称性”，即“首末两项之和相等”的形式。 例4 求在区间内分母是3的所有不可约分数之和。 变式练习：已知且 .求 （五）错位相减法：一般地，如果数列时等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用此法，在等式的两边乘以或，再错一位相减。 例5 求和： 变式练习：求和： 三、提炼总结：数列的求和是数列的一个重要内容,它往往是数列知识的综合体现，求和题在试题中更是常见，它常用来考察我们的基础知识，分析问题和解决问题的能力。任何一个数列的前n项和都是从第1项一直加到第n项。数列的求和主要有以下几种方法。⑴公式法；⑵分组求和法；⑶裂项求和法；拆项成差求和经常用到下列拆项公式，请补充完整：① = ； 数 列 极 限 的 求 法 及 其 应 用 2012年 9 月 28 日 容提要 数列极限可用N ε-语言和A N -语言进行准确定义，本文主要讲述数列极限的不同求法，例如：极限定义求法、极限运算法则法、夹逼准则求法、单调有界定理求法、函数极限法、定积分定义法、Stoltz 公式法、几何算术平均收敛公式法、级数法、收缩法等等.我们还会发现同一数列极限可用不同方法来求. 最后我们还简要介绍了数列极限在现实生活中的应用，如几何中推算圆面积，求方程的数值解，研究市场经营的稳定性及购房按揭贷款分期偿还问题.通过这些应用使我们对数列极限有一个更系统立体的了解. 关键词 ε-定义；夹逼准则；Stoltz公式；函数极限 N On the Solutions and the Applications as to the Sequence Limit Name: Yang NO. 07 The guidance of teachers: Dong Titles: Lecturer Abstract The limit of a sequence can be accurately defined by N ε-language and A N - language. This paper mainly describes different solutions to finding sequence limit, for example, definition of sequence limit method, fundamental operations of sequence limit method, squeezing law method, the monotone convergence theorem method, function limits method, definite integrals definition method, Stoltz formula method, geomeric and arithmetic convergence formula method, series method, contraction method, etc. We'll also find that different methods can be used to solve the same limit. Finally, we also briefly introduce the applications of sequence limit in real life, such as, infering the area of a circle in geometry, finding the numerial solution of equations, studying the stability of the market operation and the amortization problems of purchase mortgage loans. 第2讲 数列求和及简单应用 高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求一般数列的和，体现转化与化归的思想. 热点一 分组转化求和 有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并． 例1 (2017届安徽省合肥市模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 4＝24，S 7＝63. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若2(1)n a n n n b a =+-?，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)∵{a n }为等差数列， ∴??? S 4 ＝4a 1 ＋4×3 2 d ＝24，S 7 ＝7a 1 ＋7×6 2 d ＝63?????? a 1＝3，d ＝2 ?a n ＝2n ＋1. (2)∵2(1)n a n n n b a =+-? ＝22n ＋1＋(－1)n ·(2n ＋1) ＝2·4n ＋(－1)n ·(2n ＋1)， ∴T n ＝2(41 ＋42 ＋ (4) )＋[－3＋5－7＋9－…＋(－1)n (2n ＋1)]＝8(4n －1) 3 ＋G n ， 当n ＝2k (k ∈N *)时，G n ＝2×n 2＝n ， ∴T n ＝8(4n －1)3＋n ， 当n ＝2k －1(k ∈N *)时， G n ＝2×n －1 2－(2n ＋1)＝－n －2， ∴T n ＝8(4n －1)3 －n －2， ∴T n ＝??? ?? 8(4n －1) 3 ＋n ，n ＝2k ，k ∈N *，8(4n －1)3－n －2，n ＝2k －1，k ∈N * . 思维升华 在处理一般数列求和时，一定要注意使用转化思想．把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和，在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列，哪些项构成等比数列，清晰正确地求解．在利用分组求和法求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数n 进行讨论，最后再验证是否可以合并为一个公式． 跟踪演练1 (2017届北京市朝阳区二模)已知数列{a n }是首项a 1＝13，公比q ＝1 3 的等比数列．设 13 2log 1()n n b a n *=-∈N ． (1)求证：数列{b n }为等差数列； (2)设c n ＝a n ＋b 2n ，求数列{c n }的前n 项和T n . (1)证明 由已知得a n ＝13·????13n －1＝????13n ， 所以13 12log ()121(N )3 n n b n n * =-=-∈， 则b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)－1－2n ＋1＝2. 所以数列{b n }是以1为首项，2为公差的等差数列． (2)解 由(1)知，b 2n ＝4n －1， 则数列{b 2n }是以3为首项，4为公差的等差数列． c n ＝a n ＋b 2n ＝????13n ＋4n －1， 则T n ＝13＋1 9＋…＋????13n ＋3＋7＋…＋(4n －1) ＝13×????1－????13n 1－13＋(3＋4n －1)·n 2. 即T n ＝2n 2＋n ＋12－12·????13n (n ∈N * )． 热点二 错位相减法求和 错位相减法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }，{b n }分别是等差数列和等比数列． 高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （1）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （2）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2. 极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。 要特别注意判定极限是否存在在： （1）数列{} 的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （2）A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (3) A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (4) 单调有界准则 （5）两边夹挤准 （夹逼定理/夹逼原理） (6) 柯西收敛准则（不需要掌握）。极限 )(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件。是： ε δεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况： （1）“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (2)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通 项之后，就能变成(i)中的形式了。即)(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或；) ()(1 )(1 )(1 )()(x g x f x f x g x g x f -=- (3)“00”“∞1”“0 ∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即 e x f x g x g x f ) (ln )()()(=， 这样就能把幂上的函数移下来了，变成“∞?0”型未定式。 第五节 数列的综合应用 时间：45分钟 分值：75分 一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．各项都是正数的等比数列{a n }中，a 2，1 2a 3，a 1成等差数列，则a 4＋a 5a 3＋a 4 的值为( ) A.5－12 B.5＋12 C.1－52 D.5－12或5＋12 解析 设{a n }的公比为q (q ＞0)，由a 3＝a 2＋a 1，得q 2－q －1＝0，解得q ＝1＋52.而a 4＋a 5a 3＋a 4 ＝q ＝1＋5 2. 答案 B 2．据科学计算，运载“神舟”的“长征”二号系列火箭在点火后第一秒钟通过的路程为2 km ，以后每秒钟通过的路程增加2 km ，在到达离地面240 km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间是( ) A ．10秒钟 B ．13秒钟 C ．15秒钟 D ．20秒钟 解析 设每一秒钟通过的路程依次为a 1，a 2，a 3，…a n 则数列{a n }是首项a 1＝2，公差d ＝2的等差数列，由求和公式有na 1＋n (n －1)d 2＝240，即2n ＋n (n －1)＝240，解得n ＝15. 答案 C 3．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则数列???? ?? 1f (n )(n ∈N *)的前n 项和是( ) A.n n ＋1 B.n ＋2n ＋1 C.n n －1 D.n ＋1n 解析 由f ′(x )＝mx m －1＋a ＝2x ＋1得m ＝2，a ＝1. ∴f (x )＝x 2 ＋x ，则1f (n )＝1n (n ＋1)＝1n －1 n ＋1 . ∴S n ＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1 n ＋1 ＝1－ 1n ＋1＝n n ＋1 . 答案 A 4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝log 2n ＋1 n ＋2(n ∈N *)，设其前n 项和为S n ，则使S n <－5成立的自然数n ( ) A ．有最小值63 B ．有最大值63 C ．有最小值31 D ．有最大值31 解析 ∵a n ＝log 2n ＋1 n ＋2 ＝log 2(n ＋1)－log 2(n ＋2)， ∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝log 22－log 23＋log 23－log 24＋…＋log 2(n ＋1)－log 2(n ＋2)＝1－log 2(n ＋2)． 由S n <－5，得log 2(n ＋2)>6， 即n ＋2>64，∴n >62，∴n 有最小值63. 答案 A 5．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是函数f (x )＝x 2 －b n x ＋2n 的两个零点，则b 10等于( ) A ．24 B ．32 1．定义： 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；5 )13(lim 2 =-→x x （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。 利用导数的定义求极限 这种方法要求熟练的掌握导数的定义。 2．极限运算法则 定理1 已知)(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有（1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3） )0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。 . 利用极限的四则运算法求极限 这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下，要使用这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。 8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限 例1 1213lim 1 --+→x x x 解：原式=4 3)213)(1(33lim )213)(1(2)13(lim 1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。 注：本题也可以用洛比达法则。 例2 ) 12(lim --+∞ →n n n n 解：原式= 2 3 11213lim 1 2)]1()2[(lim = -++ = -++--+∞ →∞ →n n n n n n n n n n 分子分母同除以 。 例3 n n n n n 323)1(lim ++-∞→ 本讲知识点属于计算板块的部分，难度较三年级学到的该内容稍大，最突出一点就是把公式用字母表示。要求学生熟记等差数列三个公式，并在公式中找出对应的各个量进行计算。 一、等差数列的定义 ⑴ 先介绍一下一些定义和表示方法 定义：从第二项起，每一项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数)，这样的数列我们称它为等差数列． 譬如：2、5、8、11、14、17、20、L 从第二项起，每一项比前一项大3 ，递增数列 100、95、90、85、80、L 从第二项起，每一项比前一项小5 ，递减数列 ⑵ 首项：一个数列的第一项，通常用1a 表示 末项：一个数列的最后一项，通常用n a 表示，它也可表示数列的第n 项。 项数：一个数列全部项的个数，通常用n 来表示； 公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用d 来表示； 和 ：一个数列的前n 项的和，常用n S 来表示 ． 二、等差数列的相关公式 (1)三个重要的公式 ① 通项公式：递增数列：末项=首项+(项数1-)?公差，11n a a n d =+-?（） 递减数列：末项=首项-(项数1-)?公差，11n a a n d =--?（） 回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让学生明白 末项其实就是首项加上(末项与首项的)间隔个公差个数，或者从找规律的情况入手．同时还可延伸出来这样一个有用的公式：n m a a n m d -=-?（），n m >（） ② 项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1 由通项公式可以得到：11n n a a d = -÷+（） (若1n a a >)；11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)． 找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的． 譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、L 、40、43、46 ， 分析：配组：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、L 、(46、47、48)，注意等差是3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有484145 -+=知识点拨 教学目标 等差数列的认识与公式运用 求数列极限的方法总结 数学科学学院数学与应用数学08级汉班 ** 指导教师 **** 摘 要 数列极限的求法一直是数列中一个比较重要的问题，本文通过归纳和总结，从不同的方面罗列了它的几种求法。 关键词 数列极限、定义、泰勒公式、无穷小量 极限一直是数学分析中的一个重点内容，而对数列极限的求法可谓是多种多样，通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。求数列极限的最基本的方法还是利用数列极限的定义，也要注意运用两个重要极限，其中，可以利用等量代换，展开、约分，三角代换等方法化成比较好求的数列，也可以利用数列极限的四则运算法则计算。夹逼性定理和单调有界原理是很重要的定理，在求的时候要重点注意运用。泰勒公式、洛必达法则、黎曼引理是针对某些特殊的数列而言的。还有一些比较常用的方法，在本文中都一一列举了。 1.定义法 利用数列极限的定义求出数列的极限.设﹛Xn ﹜是一个数列,a 是实数,如果对任意给定的ε〉0,总存在一个正整数N ，当n 〉N 时,都有a Xn -<ε,我们就称a 是数列{Xn}的极限.记为a Xn n =∞ →lim . 例1: 按定义证明0 ! 1lim =∞ →n n . 解:1/n!=1/n(n-1)(n-2)…1≤1/n 令1/n<ε,则让n>ε 1 即可, 存在N=[ε 1 ],当n>N 时,不等式:1/n!=1/n(n-1)(n-2)…1≤1/n<ε成 立, 所以0 ! 1lim =∞ →n n . 2.利用极限四则运算法则 对和、差、积、商形式的函数求极限,自然会想到极限四则运算法则. 例2: 求n n n b b b a a a ++++++++∞ → 2 211lim ,其中1,1< 专题限时集训(十) [第10讲 数列求和及数列的简单应用] (时间：45分钟) 1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2，a 4是方程x 2 －x －2＝0的两个根，则S 5的值是( ) A.52 B ．5 C ．－5 2 D ．－5 2．如果等比数列{a n }中，a 3·a 4·a 5·a 6·a 7＝42，那么a 5＝( ) A ．2 B. 2 C ．±2 D ．± 2 3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 15＝25π，则tan a 8的值是( ) A. 3 B ．－ 3 C ．± 3 D ．－ 3 3 4．已知数列{a n }满足a 1＝2 3，且对任意的正整数m ，n ，都有a m ＋n ＝a m ·a n ，若数列{a n }的 前n 项和为S n ，则S n 等于( ) A ．2－23n －1 B ．2－23n C ．2－2n 3n ＋1 D ．2－2 n ＋1 3 n 5．已知n 是正整数，数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n 是na n 与a n 的等差中项，则a n 等于( ) A ．n 2 －n B. n （n ＋1） 2 C ．n D ．n ＋1 6．设f (x )是定义在R 上的不恒为零的函数，且对任意的实数x ，y ∈R，都有f (x )·f (y )＝f (x ＋y )，若a 1＝12 ，a n ＝f (n )(n ∈N * )，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围为( ) A.??????12，2 B.???? ??12，2 C.??????12，1 D.???? ??12，1 7．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使S n 达到最大值的n 是( ) A ．18 B ．19 C ．20 D ．21 8．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若M ，N ，P 三点共线，O 为坐标原点，且ON →＝a 15OM →＋ a 6OP → (直线MP 不过点O )，则S 20等于( ) A ．10 B ．15 C ．20 D ．40 9．已知数列{a n }是等差数列，若a 9＋3a 11<0，a 10·a 11<0，且数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，那么当S n >0时，n ＝( ) A ．20 B ．17 C ．19 D ．21 10．已知等比数列{a n }中，a 1＝3，a 4＝81，若数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，则数列???? ?? 1b n b n ＋1的 前n 项和S n ＝________． 11．定义一个“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它后一项的积都是同一个常数，那么这个数列叫做“等积数列”，这个常数叫做这个数列的公积．已知数列{a n }是等积数列，且a 1＝2，公积为5，则这个数列的前n 项和S n 的计算公式为________． 12．设S n 为数列{a n }的前n 项和，把 S 1＋S 2＋…＋S n n 称为数列{a n }的“优化和”，现有一个 共有2 012项的数列：a 1，a 2，a 3，…，a 2 012，若其“优化和”为2 013，则有2 013项的数列：2，a 1，a 2，a 3，…，a 2 012的“优化和”为________． 13．将函数f (x )＝sin 14x ·sin 14(x ＋2π)·sin 1 2(x ＋3π)在区间(0，＋∞)内的全部极值 点按从小到大的顺序排成数列{a n }(n ∈N * )． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝2n a n ，数列{ b n }的前n 项和为T n ，求T n 的表达式． 一、填空题 1．设等差数列{a n }的公差d ≠0，a 1＝4d ，若a k 是a 1与a 2k 的等比中项，则k 的值为________．解析：由条件知a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4d ＋(n －1)d ＝(n ＋3)d ，即a n ＝(n ＋3)d (n ∈N *)．又a 2k ＝a 1·a 2k ，所以(k ＋3)2d 2＝4d ·(2k ＋3)d ，且d ≠0，所以(k ＋3)2＝4(2k ＋3)，即k 2－2k －3＝0，解得k ＝3或k ＝－1(舍去)． 答案：3 2．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线 连续生产n 年的累计产量为f (n )＝12 n (n ＋1)(2n ＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是________． 解析：由已知可得第n 年的产量a n ＝f (n )－f (n －1)＝3n 2；当n ＝1时也适合．据题意令a n ≥150?n ≥52，即数列从第8项开始超过150，即这条生产线最多生产7年． 答案：7 3．等差数列中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则该数列前13项的和是________． 解析：∵a 3＋a 5＝2a 4，a 7＋a 10＋a 13＝3a 10， ∴6(a 4＋a 10)＝24，a 4＋a 10＝4， ∴S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13(a 4＋a 10)2 ＝26.答案：26 4．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是函数f (x )＝x 2－b n x ＋2n 的两个零点，则b 10等于________． 解析：依题意有a n a n ＋1＝2n ，所以a n ＋1a n ＋2＝2n ＋1，两式相除得a n ＋2a n ＝2，所以a 1，a 3，a 5，…成等比数列，a 2，a 4，a 6，…也成等比数列，而a 1＝1，a 2＝2，所以a 10＝2×24＝32，a 11＝1×25＝32，又因为a n ＋a n ＋1＝b n ，所以b 10＝a 10＋a 11＝64. 答案：64 5．有限数列A ：a 1，a 2，…，a n ，S n 为其前n 项和，定义S 1＋S 2＋…＋S n n 为A 的“凯森和”，若有99项的数列a 1，a 2，…，a 99的“凯森和”为1000，则有100项的数列1，a 1，a 2，…，a 99的“凯森和”为________． 解析：设a 1，a 2，…，a 99的“凯森和”为 数列极限的求法及其应用 内容提要 数列极限可用N ε-语言和A N-语言进行准确定义，本文主要讲述数列极限的不同求法，例如：极限定义求法、极限运算法则法、夹逼准则求法、单调有界定理求法、函数极限法、定积分定义法、Stoltz 公式法、几何算术平均收敛公式法、级数法、收缩法等等.我们还会发现同一数列极限可用不同方法来求. 最后我们还简要介绍了数列极限在现实生活中的应用，如几何中推算圆面积，求方程的数值解，研究市场经营的稳定性及购房按揭贷款分期偿还问题.通过这些应用使我们对数列极限有一个更系统立体的了解. 关键词 ε-定义；夹逼准则；Stoltz公式；函数极限 N On the Solutions and the Applications as to the Sequence Limit Abstract The limit of a sequence can be accurately defined by N ε-language and A N -language. This paper mainly describes different solutions to finding sequence limit, for example, definition of sequence limit method, fundamental operations of sequence limit method, squeezing law method, the monotone convergence theorem method, function limits method, definite integrals definition method, Stoltz formula method, geomeric and arithmetic convergence formula method, series method, contraction method, etc. We'll also find that different methods can be used to solve the same limit. Finally, we also briefly introduce the applications of sequence limit in real life, such as, infering the area of a circle in geometry, finding the numerial solution of equations, studying the stability of the market operation and the amortization problems of purchase mortgage loans. Key Words ε-definition; Squeezing law; Stoltz formula; Function limits N(完整版)数列求和常见的7种方法
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