三角函数的图象（五点作图法与图象变换）
一、课前准备： 【自主梳理】
1．简谐运动的有关概念
简谐运动图像的解析式
振幅
周期
频率
相位
初相
sin()(0,0),[0,)
y A x A x ω?ω=+>>∈+∞
2．“五点法”作图
①先确定周期 ，在一个周期内作出图像；②将x ω?+分别取 ， ， ， ， 来求出对应的x 的值，列表；③描点画图，再利用函数的周期性，可把所得简图向左右分别扩展，从而得到sin()y A x ω?=+的简图．
3．三角函数图像变换（1）振幅变换1)01)
()()(0)A A A A y f x y Af x A ><<=?????????→=>纵坐标扩大为（倍
纵坐标缩短为原来的（； （2）周期变换1
1
1)
()()(0)y f x y f x ωω
ωω
ωω>=→=>横坐标扩大为（0<<1)倍
横坐标缩短为原来的（； （3）相位变换00()()y f x y f x ?????><=?????????→=+向左平移（）个单位长度
向右平移（）个单位长度； （4）平移变换00()()k k k y f x y f x k ><=?????????→=+向上平移（）个单位长度
向下平移k ）个单位长度
． 4．由sin y x =得图像得到sin()(0,0)y A x A ω?ω=+>>其中的图像的过程
途径一：先平移变换再周期变换00sin sin()y x y x ?????><=?????????→=+向左平移（）个单位长度
向右平移（）个单位长度
1
1
1)sin()(0)y x ωω
ωω
ω?ω>????????→=+>横坐标扩大为（0<<1)倍
横坐标缩短为原来的（． 途径二：先周期变换再平移变换1
1
1)
sin sin (0)y x y x ωω
ωω
ωω>=????????→=>横坐标扩大为（0<<1)倍
横坐标缩短为原来的（ 00sin()(0)y x ?
?ω?
?ω
ω?ω>
→=+>向左平移（）个单位长度
向右平移（）个单位长度
． 【自我检测】
1．若函数2sin(3)6
y x π
=+表示一个振动量，则其振幅为 ，周期为 ，初相
为 ．
2．在确定函数2sin y x =在[0,2]π上的图像形状时，起关键作用的五个点
是 、 、 、 、 ．
3．为了得到函数3s i n ()5
y x
π
=-的图像，只需把函数3sin y x =的图像上所有的
点 ． 4．把函数sin(2)6
y x π
=+
的图像上所有点的横坐标变为原来的
1
2
倍，纵坐标不变，则所得的图像的函数解析式为 ．
5．将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动
10
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是 ． 6．若函数()sin()(0,0,0)
f x A x A π
ω?ω?=+>>≤<的部分图像如下图所示，则(
)sin()
f x A x ω?=+得解析式为 ．
二、课堂活动： 【例1】填空题： （1）把函数sin(2)3y x π
=+
的图像向右平移
6
π
，再将图像上的所有点的横坐标变为1
2
倍（纵坐标不变），则所得到的图像的函数解
析式为 ．
（2）要得到函数3sin(2)4
y x π
=+
的图像，只需将函数3sin 2y x =的图像上所有的点
．
（3）若函数()sin(
)(0,0,0)2
f x A x A π
ω?ω?=+>><<的部分图像如下图所示，则ω和?的值分别
是 ．
例1（3） 例1（4）
（4）如图所示，某地夏天8~14时用电量变化曲线近似满足函数sin()y A x b ω?=++． ①这一天的最大用电量为______________，最小用电量为 ． ②这段曲线的函数解析式为 ．
【例2】已知函数sin()(0,0,02)y A x A ω?ω?π=+>><<图像的一个最高点（2，由这个最高点到相邻最低点的图像与x 轴交于点（6，0），试求函数解析式．
【例3】若函数3sin(2)3
y x π
=-
表示一个振动量：
（1）求这个振动的振幅、周期、初相； （2）用“五点法”作出它在一个周期内的图像； （3）说明3sin(2)3
y x π
=-的图像可由sin y x =的图像经过怎样的变换而得到．
课堂小结 三、课后作业
1．已知简谐运动()2sin(
)()3
2
f x x π
π
??=+<
的图像经过点（0，1），则该简谐运动的最小正周期T 和初
相?分别为 ．
2．电流强度()I A 随时间()t s 变化的函数
sin()(0,0,0)2
I A t A π
ω?ω?=+>><<
的图像
如右图所
示，则当1
100
t s =
时，电流强度是 ．
3．如右图，它表示电流sin()(0,0)I A t A ω?ω=+>>在一个周期内的图
像，则sin()I A t ω?=+的解析式为 ．
4．为了得到函数s i n (
2)3
y x π
=-的
图像，只需把函数sin(2)6
y x π
=+的图像向右至少平移 个长度单位．
5．有一种波，其波形为函数sin(
)2
y x π
=的图像，若在区间[0,](0)t t >上至少有2个波峰（图像的最高点），
则正整数t 的最小值是 ． 6．已知()cos()3
f x x π
ω=+
的图像与1y =得图像的两相邻交点间的距离为π，要得到()y f x =的图像，
只需把sin y x ω=得图像向左平移 个单位． 7．已知将函数()2sin
3
f x x π
=的图像向左平移1个单位，然后向上平移2个单位后得到的图像与函数
()y g x =的图像关于直线1x =对称，则函数()g x =_________．
8．函数sin 2y x =的图像向右平移(0)??>个单位，得到的图像恰好关于直线6
x π
=对称，则?的最小值
是______________． 9
．已知函数sin
()22
x x
y x R =+∈． （1）作出函数的简图; （2）写出函数的振幅、周期、初相、最值．
10．已知函数()sin()(0,0,,)2
f x A x A x R π
ω?ω?=+>><∈的图像的一部分如下图所示．
（1）求函数()f x 的解析式； （2）当
2
[6,]3
x ∈--时，求函数()(2)y f x f x =++的
最值及相
应的x 的值．
三角函数的图象（五点作图法与图象变换）参考答案
一、课前准备： 【自主梳理】 1．
简谐运动图像的解析式
振幅 周期 频率
相位 初相
sin()(0,0),
[0,)
y A x A x ω?ω=+>>∈+∞ A
2T π
ω
=
12f T ωπ
=
= x ω?+ ?
2． ①2T π
ω
=
；②0，
2
π，π，32π，2π．
【自我检测】
1．2，
23π，6π 2．（0，0），（2
π，2），（π，0），（32π，2-），（2π，0） 3．向右平移5
π个单位 4． sin(4)6y x π=+ 5．1sin()210y x π=- 6．3
()sin 2f x x =
二、课堂活动：
【例1】填空题：
（1）sin 2y x =，sin 4y x = （2）向左平移8
π个单位 （3）12，6π
（4）①50，30 ②10sin()4066
y x π
π
=++
【例2】由题意得：
6244
T
=-=，即16T =． 2
16T π
ω
∴==
．∴8
π
ω=
．又A ，过点（2，∴)8
π
?=+．
∴
2,82k k Z π
π
?π+=+
∈．∴2,4k k Z π
?π=+
∈．∴sin(
)84
y x ππ
=+．
【例3】（1）函数3sin(2)3y x π=-的振幅为3，初相为3π-，周期为
22
π
π=． （2）列表：
x
6
π 512π 23
π 1112π
76π 23
x π
-
0 2
π π
32π 2π
y
3
3-
描点画图：图略．
（3）法一：1
6
2
sin sin 2sin 23
y x y x y x π
π
=→=→=-向右平移个单位
横坐标变为原来的倍
纵坐标不变
（）
33sin 23
y x π
???????→=-纵坐标变为原来的倍
横坐标不变
（） 法二：1
3
2
sin sin sin 33
y x y x y x π
π
π
=→=-→=-向右平移个单位
横坐标变为原来的倍
纵坐标不变
（）（2） 33sin 23
y x π
???????→=-纵坐标变为原来的倍横坐标不变
（） 三、课后作业
1．6，6π 2．5A - 3．100sin()33I t ππ=+ 4．4
π
5．5 6．512π 7．2sin 23x π+ 8．512
π
9．（1）sin 2sin()2223
x x x y π
=+=+
列表
x
23
π-
3π 43
π 73π 103π
23x π+ 0 2
π π
32π 2π
y
2
2-
描点画图，图略． 把210[,]33
ππ-
之间的图像向左、右扩展，即可得到它的简图． （2）由（1）知函数的振幅为2，周期为4π，初相为3
π
，最大值为2，最小值为2-． 10．（1）()2sin(
)44
f x x ππ
=+，
（2）当46x ππ=-，即23x =-时，()(2)y f x f x =++4
x π
π=-，即4x =-时，
()(2)y f x f x =++取得最小值为-．
优等生培优计划 为全面提高教学质量，完成学校制定的培养目标，选拔学科基础扎实、成绩优异、思维敏捷、学习能力超群的学生进行重点培养，为他们脱颖而出创造条件，从而造就一批实践能力强的人才，为学校增光。 在智力、学习成绩、日常表现等方面相对优秀的那部分学生常常被认为是好学生,也被称为优生。由于这些学生认知结构、判断能力和行为决策水平都有待提高，他们思维活跃不稳定，容易受各种因素的干扰，紧张的学习、激烈的竞争、单调的生活、成长的烦恼，还有来自家长教师及学生自身的过高期望等，常常会诱发这些学生的消极情绪体验，产生不良的心理现象。优生在年级中人数不多，但影响却颇大，抓好对他们的教育，对形成良好的班风校风有很大作用，这些学生能否严格要求自己，大胆工作无疑会对班级工作局面的好坏产生很大影响。具体措施1．改进学习方法，培养自学能力。2．要让学生学会质疑、提问。鼓励学生求异、求变、求新，善于学习、勤于总结、勇于创新。3、为了使优等生更加先进，对其进行"创新"教育，使其具有创新意识，创新精神和创新能力，并逐步形成创新素质。4．进行意志品质教育，在学习上遇到困难时要克服各种消极情绪，具有迎难而上、永攀高峰的意志品质。5．严格要求。对优生把真挚的爱与严格的要求统一起来。当优生出现问题时，既要保护他们的自尊心，又要及时、严肃地指出影响他们进步的原因，以及这些错误的严重后果、改正的方法等。在平时的学习中工作中，要为他们创造发挥能力的机会，也让他们严格约束自己，虚心向大家学习，不搞特殊化。6．着力培养。对优生要多给予思想上的帮助，使之树立热爱集体、热心为大家服务的思想，鼓励他们大胆工作，并提供发挥他们想象力、创造性的机会，肯定他们的成绩，让他们把科学的学习方法传给大家，达到全体同学共同进步的目的。7．平等相待。对优生不能因为他们成绩好而一味地“捧” ，不能对他们的缺点冷嘲热讽，这些都会导致心理障碍。对他们要热情地支持、深情地指导，让他们成为积极向上、勤奋刻苦、乐于助人的三好学生。8、教师每天给优生布置几道思考题加强训练，要完成一本课外书习题。 本学期，在教学工作中对优等生的教育，主要计划如下： 一、做好基础知识的学习 课堂教学是向学生传授知识的主要途径。只有在课堂教学中打好坚实的基础，才能进行更深层次的学习，才能在全面发展的基础上学有特长。任何一个优等生都是在基础教育的基石上发展起来的。课堂教学要突出学生的主体地位，以学生的学会学习为标志，设计多种学习活动，调动学生的脑，手，口，让他们积极投入到学习中去，注重精讲点拨，教学过程中教师精心设计提问，在共同的基础上将有一定难度的问题留给尖子生，让他当先生说一说，讲一讲，锻炼他们的思维。通过训练，及时让学生掌握所学，设计的习题要有梯度、有层次，及时注意优等生的学习动向，适当的加大他们的训练量。课内教师积极引导他们自主探究，主动思考，加强学法指导，使他们牢固的
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG ＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米． 【答案】553 【解析】 【分析】 如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可． 【详解】 解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J． ∵AM⊥CD， ∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°， ∴四边形OQMP是矩形， ∴QM＝OP， ∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°， ∴△COD是等边三角形， ∵OP⊥CD， ∠COD＝30°， ∴∠COP＝1 2 ∴QM＝OP＝OC?cos30°＝3 ∵∠AOC＝∠QOP＝90°， ∴∠AOQ＝∠COP＝30°， ∴AQ＝1 OA＝5（分米）， 2 ∴AM＝AQ＋MQ＝5＋3 ∵OB∥CD， ∴∠BOD＝∠ODC＝60°
在Rt△OFK中，KO＝OF?cos60°＝2（分米），FK＝OF?sin60°＝23（分米）， 在Rt△PKE中，EK＝22 -＝26（分米）， EF FK ∴BE＝10?2?26＝（8?26）（分米）， 在Rt△OFJ中，OJ＝OF?cos60°＝2（分米），FJ＝23（分米）， 在Rt△FJE′中，E′J＝22 -（2）＝26， 63 ∴B′E′＝10?（26?2）＝12?26， ∴B′E′?BE＝4． 故答案为：5＋53，4． 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 2．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系； （2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由 （3）若|CF﹣AE|=2，EF=23，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长． 【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP62 23 . 【解析】 【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．（6分）某海域有A ，B 两个港口，B 港口在A 港口北偏西30°方向上，距A 港口60海里，有一艘船从A 港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B 港口南偏东75°方向的C 处，求该船与B 港口之间的距离即CB 的长（结果保留根号）． 【答案】． 【解析】 试题分析：作AD ⊥BC 于D ，于是有∠ABD=45°，得到AD=BD=，求出∠C=60°，根据 正切的定义求出CD 的长，得到答案． 试题解析：作AD ⊥BC 于D ，∵∠EAB=30°，AE ∥BF ，∴∠FBA=30°，又∠FBC=75°，∴∠ABD=45°，又AB=60，∴AD=BD= ，∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，∠ABC=45°， ∴∠C=60°，在Rt △ACD 中，∠C=60°，AD=，则tanC= ，∴CD= =， ∴BC= ．故该船与B 港口之间的距离CB 的长为 海里． 考点：解直角三角形的应用-方向角问题． 2．如图（9）所示（左图为实景侧视图，右图为安装示意图），在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器：先安装支架AB 和CD （均与水平面垂直），再将集热板安装在AD 上.为使集热板吸热率更高，公司规定：AD 与水平面夹角为1θ，且在水平线上的射影AF 为 1.4m .现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为2θ，并已知1tan 1.082θ=， 2tan 0.412θ=．如果安装工人确定支架AB 高为25cm ，求支架CD 的高（结果精确到
1cm）？ 【答案】 【解析】 于F，根据锐角三角函数的定义用θ1、θ2表示出DF、EF的值，又可证过A作AF CD 四边形ABCE为平行四边形，故有EC=AB=25cm，再再根据DC=DE+EC进行解答即可． 3．如图，将一副直角三角形拼放在一起得到四边形ABCD，其中∠BAC=45°，∠ACD=30°，点E为CD边上的中点，连接AE，将△ADE沿AE所在直线翻折得到△AD′E，D′E交AC于F 点．若AB=6cm． （1）AE的长为 cm； （2）试在线段AC上确定一点P，使得DP+EP的值最小，并求出这个最小值； （3）求点D′到BC的距离． 【答案】（1）；（2）12cm；（3）cm． 【解析】 试题分析：（1）首先利用勾股定理得出AC的长，进而求出CD的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进而得出答案： ∵∠BAC=45°，∠B=90°，∴AB=BC=6cm，∴AC=12cm．
第十讲锐角三角函数 趣题引路】 甲、乙两名运动员在陆地赛跑的速度以及在水中游泳的速度都相同，有一次他俩进行赛跑和游泳综合测试，比赛路线如图10-1所示，陆地跑道与河岸所成的角为30°,水路泳道与岸所成的角为60°,甲赛跑、游泳 的线路是折线AA扎，乙赛跑、游泳的线路是折线BB’B：,起跑点的连线与线路垂直，终点连线也与线路垂直，开始两人并肩跑，甲先到岸边跳入水中，接着乙再到岸边，在水中两人齐头并进同时到达终点：你知道 他们在陆地上的跑步速度V,与水中游泳的速度比之比是多少吗？ 解析如图，作AiBs丄BB“ AA,垂足分别为凡、B,：因两人在陆地上赛跑的速度相同，故甲跑完AA’与乙跑完BB,所用时间相同。同样，甲游完A此所花时间与乙游完B品所花时间也相同。又因为两人从出发至到达终点所花的总时间相同，所以甲游完AA的时间恰好等于乙跑完Bb的时间， 设这个时间为t,贝I］：心丛=邑色..：冬=色如.……①， 岭v i 叫A A 在冲，COS60—篇……③. 知识延伸】 “锐角三角函数”中我们学列了锐角的正弦、余弦、正切，余切以及一些特殊角的三角函数值的有关讣算.在解与锐角三角函数有关的问题时，还要充分利用其余角或同角函数关系。我们知道，在RtAABC 中，sin A=cos (90° -A), cos A=sin (90° -A), tan A=cot (90° -A), cot A=tan (90： -A) ?这是互余两角的三角函数关系. 同时，同角三角函数间也存在着一些特殊的关系。如图10-2在RtAABC中, 在中cos30。=处,二B、B\
另外，锐角三角函数还有两个非常重要的性质：1?单调性?当◎为锐角时，sina 与sna 的值随a 的 增大而增大，cos a 与cot a 的值随◎增大而减小：2 ?有界性，当OW a W90 °时，OWsinaWl, OWcosa Wl ? 例 1 在 RtAABC 中，ZC=90° ,若 sinA=tanB.求 cosA 的值 解析在RtAABC 中， ?.? ZA+ZB 二90" ? /. tanB=cotA. ?/ sinA=tanB,.?? sinA=cotA ? ?/ 0 < A < 90°,.?.0 < cos A,故 cos A = 点评：本例也可以将sinA, tanB 用线段的比表示,如结合RtAABC, WsinA = - c lanB = -,再设法求纟，即得到cosA 的值 a c 例2已知关于x 的方程4x c -2 (m+1) x+m=0的两根正好是某直角三角形两个锐角的正弦，求m 的值。 解析依题意，可设方程4宀2 (m+1) x+m=0的两根为sin A 、sinB,其中ZA+ZB 二90° ,由根与系 数关系，得：sinA+sinB 二"‘一 [,sinA ? sinB= —? 2 4 由ZA+ZB 二90° ,知 sinB=sin (90° -A) =cosA. 将①.②代入③，W(—)2-2 - = 1解得："=点阻=-点 2 4 ■ v0 锐角三角函数 欧阳光明（2021.03.07） 题型：锐角三角函数基本概念(1) 例：已知α为锐角，下列结论： （1）sin α+cos α=1;（2）若α>45°,则sin α>cos α;（3）若 cos α>21,则α<60°;(4)ααsin 1)1(sin 2-=-。正确的有（）A.(1)(2)(3)(4) B.(2)(3)(4) C.(1)(3)(4) D.(1)(2)(3) 变式： 1、下列各式中，不正确的是（） A.160cos 60sin 0202=+ B .130cos 30sin 00=+ C.0055cos 35sin = D.tan45°>sin45° 2、已知∠A 满足等式A A cos sin 12=-，那么∠A 的取值范围是（） A.0°<∠A ≤90° B.90°<∠A<180° C.0°≤∠A<90° D.0°≤∠A ≤90° 3．α是锐角，若sin α=cos150,则α＝ 4。若sin53018\=0.8018，则cos36042\= 题型：锐角三角函数基本概念(2) 例：已知 sin α·cos α=81，且45°<α<90°，则COS α-sin α的值为（） A.23B.2 3- C.43D.23± 变式： 1、已知△ABC 中，∠C=90°，下列各式中正确的是（） A.sinA+cosB=sinC B.sinA+sinB=sinC C.2cos 2sin C B A += D.2tan 2tan C B A += 2、已知sin α+cos α=m,sin α×cos α=n ，则m,n 的关系式（） A.m=n B.m=2n+1 C.122+=n m D.n m 212 -= 题型：求三角函数值 例：如图，菱形的边长为5，AC 、BD 相交于点O ， AC=6，若a ABD =∠，则下列式子正确的是（） A.sin α=54 B.cos α=53 C.tan α=34 D.cot α=34 变式：1、设0°<α<45°，sin αcos α=167 3,则sin α= 2、已知sin α-cos α=5 1，0°<α<180°，则tan α的值是（ ）43B.43- C.34D.34- 3、如图，在正方形ABCD 中，M 为AD 的中点，E 为AB 上一点，且BE=3AE ，求sin ∠ECM 。 4、如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE BC =，DF AE ⊥，垂足为F ，连接DE 。 （1）求证：ABE △DFA ≌△；（2）如果10AD AB =，=6，求sin EDF ∠的值。 题型：三角函数值的计算(1) 例：计算：000020246tan 45tan 44tan 42sin 48sin ??-+= 变式：1、计算： 2002020010)60cot 4()60tan 25.0(?= 2、计算：0 000002000027tan 63tan 60cot 360sin 60cot 45cos )45sin 30)(cos 45cos 60(sin -++- 题型：三角函数值的计算(2) 高二年级名校尖子生培优计划（讨论稿） ——冲击清华、北大 刘永军 前言：根据我校在全市高中的地位和以往各届升入清华北大等名校的状况，我校尖子生的定位理应是冲击清华、北大等名校的学生。 尖子生的培养需要一个优秀的群体，这个群体的整体质量状况影响着每一个尖子生的学习与发展。这个群体分三类学生：一是成绩在年级前20名的，是第一梯队学生；二是有很大的潜力但暂时锋芒未露的准尖子生，成绩多在年级前50名，为第二梯队，有的“黑马”或许就从这一梯队产生；三是成绩在年级前100名左右的学生，是尖子生脱颖而出的最稳定有利的环境和基础。 在高一打好基础、培养自信心的基础上，为了提升我校尖子生培育水平，更好的发现尖子生，培养尖子生，充分发掘他们的潜能，为提高2015年高考的名校人数，为培养出具有冲击清华、北大、复旦等名校实力的学生，特制订高二尖子生培优计划。这个计划主要包括“高考计划”，“自主招生计划”两部分。 关键词：多做题尖子生辅导能力 “高考计划” 从历届考上清华北大等顶尖名校的学生看，不难看出一些共性的特点： ★练题量大，种类多，题型广且包含大量中难题以及压轴题★做题快，准确率高 ★单位时间内学习效率高，课下用来学习的时间多 ★学习生活习惯规律，自觉性强 ★心理素质好，学习过程中内心平静，非常专注，有毅力，肯吃苦。 我认为从考试角度说：高考就是做题，而且是做我们平时没见过的题。对于“容易题和中等题”尖子生得分较稳定，尖子生之间的差距主要表现在“中难题和压轴题”的得分情况。因此我认为应该以“有选择的大量练题”为载体，提升学生解各种题的思维、方法和能力，从而真正提升学生的综合能力。 在做大量习题过程中，学生要先达到“会解各种题”，再逐渐达到“做题快，且准确率高”，让学生深刻体会其中的错误与喜悦，多归纳总结自己的不足，减少差距，才能在高考中一次性成功。 对于练习试题的选择辅导老师应有计划性，针对性。辅导老师要引导好，辅导好，归类讲解“拓展知识”、“类型题”以及“变 锐角三角函数 题型：锐角三角函数基本概念(1) 例：已知α为锐角，下列结论： （1）sin α+cos α=1;（2）若α>45°,则sin α>cos α;（3）若cos α> 2 1 ,则α<60°;(4)ααsin 1)1(sin 2-=-。正确的有（ ）A.(1) (2)(3)(4) B.(2)(3)(4) C.(1)(3)(4) D.(1)(2)(3) 变式： 1、下列各式中，不正确的是（ ） A.160cos 60sin 0 2 2 =+ B .130cos 30sin 0 =+ C.0 55cos 35sin = °>sin45° 2、已知∠A 满足等式A A cos sin 12=-，那么∠A 的取值范围是（ ） °<∠A ≤90° °<∠A<180° °≤∠A<90° °≤∠A ≤90° 3．α是锐角，若sin α=cos150,则α＝ 4。若sin53018\=，则cos36042\= 题型：锐角三角函数基本概念(2) 例：已知sin α·cos α= 8 1 ，且45°<α<90°，则COS α-sin α的值为（ ） A. 23 B.23- C.4 3 D.23± 变式： 1、已知△ABC 中，∠C=90°，下列各式中正确的是（ ） A.sinA+cosB=sinC +sinB=sinC C.2cos 2sin C B A += D.2 tan 2tan C B A += 2、已知sin α+cos α=m,sin α×cos α=n ，则m,n 的关系式（ ） A.m=n =2n+1 C.122 +=n m D.n m 212 -= 题型：求三角函数值 例：如图，菱形的边长为5，AC 、BD 相交于点O ，AC=6，若a ABD =∠，则 下列式子正确的是（ ） A.sin α= 54 α=53 α=34 α=3 4 变式：1、设0°<α<45°，sin αcos α= 16 7 3,则sin α= 2、已知sin α-cos α= 51，0°<α<180°，则tan α的值是（ ）43 B.43- C.34 D.3 4- 3、如图，在正方形ABCD 中，M 为AD 的中点，E 为AB 上一点，且BE=3AE ，求sin ∠ECM 。 高三七班尖子生培优措施 萝北县高级中学赵春波一、人员确定 第一次模考前10名，魏贵生、李娜等10 人 二、十人特点 1、魏贵生：这个孩子年龄比正常小2岁，比较聪明，性格比较稳，认真，上课很会听课，跟老师思路很紧，勤于动脑，效率比较高。 这次一模考试她的文综得了204分，地理只得了62分，平时都是优势学科，这次却给她拽了分，她的选择题只得了28分，综合题得了34分，分析了她的试卷，主要的原因有一下几个方面：选择题：①看题不仔细；②设问的题眼抓的不准；③有些知识运用的不灵活；④对命题人的设问的意图分析不透彻 综合题：①过于匆忙，太着急；②对试题及材料分析不到位；③遗漏答题角度 李娜：这个孩子年龄比正常小1岁，性格很稳当，做事认真，所以会的题一般都能得分，数学计算一般不错。上课听课效率比较高，各学科基础知识都比较扎实。 ①选择题只看材料，没和所学的知识相结合，丢分2个选择；②读题不认真，将重点词忽略，整道题就得不到分；③综合题时没明确问题所问，匆忙作答；④开放题没有分角度作答①②③④ 2、学习能力，分析能力很强，知道自己的弱点，却找不出办法来解决，这就需要老师点拨。 3、通过几次考试分析，在考试过程中丢分的点一般有以下情况： ①在考试过程中，碰到难题的时候心里紧张焦虑，急于求成，这种心理的变化给解题形成了障碍。②对新情景问题审题有遗漏导致失分，这在选择题多见；③在综合题中主要是考虑不全面，导致丢失部分分；④还有的是思维习惯、做题习惯的问题，比如题目文字好象很直白，感觉容易，警惕性差，比如题目文字、图表信息没读完导致答案遗漏，比如有时候思维过程太快省略几个环节出错。 三、具体解决措施 （新课标）高考数学一轮复习名校尖子生培优大专题等比数列教案新人教A 版 【考纲解读】 1．理解等比数列的概念． 2.掌握等比数列的通项公式与前项和公式． 3.了解等比数列与指数函数的关系． 【考点预测】 高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为: 1.数列是历年来高考重点内容之一, 在选择题、填空题与解答题中均有可能出现，一般考查一个大题一个小题,难度中低高都有，在解答题中，经常与不等式、函数等知识相结合，在考查数列知识的同时，又考查转化思想和分类讨论等思想，以及分析问题、解决问题的能力. 2.高考将会继续保持稳定,坚持考查数列与其他知识的结合，或在选择题、填空题中继续搞创新,命题形式会更加灵活. 【要点梳理】 1. 定义: 数列{a n}从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列称作等比数列.常数叫公比. 2.通项公式：a n=a1q n－1， 推广形式：a n=a m q n－m. 变式：q=（n、m∈N*）. 3.前n项和S n= 注：q≠1时，=. 4.等比中项：若a、b、c成等比数列，则b为a、c的等比中项，且b=±. 5.三个数或四个数成等比数列且又知积时，则三个数可设为、a、aq，四个数可设为、、aq、aq3为好. 6.证明等比数列的方法： （1）定义法：只需证=非零常数；（2）等比中项法：只需a n+12=a n·a n+2或=. 【例题精析】 考点一基本量的计算 例1.已知等比数列中，若，则= . 1.已知是递增等比数列，，则此数列的公比． 考点二等比数列的性质 例2.（2010年高考全国Ⅰ卷文科4）已知各项均为正数的等比数列{}，=5，=10，则 =（） (A) (B) 7 (C) 6 (D) 【名师点睛】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想. 【变式训练】 2. 在等比数列{a n}中，a n＞0(n∈N﹡),且,,则{a n}的前6项和是. 问题：忽略对公比和的讨论 尖子生培养工作总结 时间是箭，去来迅疾，一段时间的工作已经告一段落，回顾这段时间的工作，在取得成绩的同时，我们也找到了工作中的不足和问题，为此要做好工作总结。那么要如何写呢？下面是精心整理的尖子生培养工作总结，仅供参考，欢迎大家阅读。 尖子生培养工作总结1 尖子生是衡量教师水平的一把尺子,俗话说：孩子是家长的一面镜子。同样我们也可以说：学生是教师的一面镜子。从这个意义上说：尖子生的数量和质量是衡量教师水平的一把尺子。并且教师的教育教学水平只有通过学生以及学生的成绩才能得到更好的体现出来。培养出高水平的学生也是教师人生价值的体现方式之一。为了让优生能得到更好的培养，挖掘他们最大的潜力，在本期里我对优生作了进一步的辅导培养，现将优生培养工作总结如下： 一、了解掌握优生的特点 在和学生相处的过程中，认真发现优生存在的个性特点，既“优生”的两重性：一方面，他们的行为习惯、学习习惯、学习成绩以及各种能力比一般学生在这个年龄容易出现的毛病外，也存在着他们作为老师的“好学生”、家长的“好孩子”所特有的一些毛病。 具体说来，“优生”一般具有以下特点： 1、思想比较纯正，行为举止较文明，自我控制的能力比较强，一般没有重大的违纪现象。 2、求知欲较旺盛，知识接受能力也较强，学习态度较端正，学习方法较科学，成绩较好。 3、长期担任学生干部，表达能力、组织能力以及其它工作能力都较强，在同学中容易形成威信。 4、课外涉及比较广泛，爱好全面，知识面较广。 5、由于智力状况比较好，课内学习较为轻松，因而容易自满，不求上进。 6、长期处于学生尖子的位置，比较骄傲自负，容易产生虚心。 7、有的“优生”之间容易产生互相嫉妒、勾心斗角的狭隘情绪和学习上的不正当竞争。 8、从小就处在受表扬、获荣誉、被羡慕的顺境之中，因而他们对挫折的心理承受能力远不及一般普通学生。 针对以上特点，我作了相应的引导工作，一般说来，“优生”智商较高，即使不那么刻苦，他们的学习也会在班上名列前茅。这就往往使一些“优生”不求上进。引导学生立志，最有效的方法之一，是给他们推荐伟人、名人的传记读物，让“优生”把自己放在一个广阔的历史空间和时代背景中认识自己的使命。“优生”有较强的自信心，这是一件很好的事，我们应该予以保护和发展。我们应该帮助“优生”超越 尖子生培养的几点体会 尊敬的各位领导，老师们，大家好！ 几年来，我一直担任××一中实验班的班主任和任课教师，在各级领导的 关心帮助、关怀支持下，取得了一点成绩，现将我近几年来的工作情况向领导 老师们做一汇报。 2011年，所带班级xx被清华大学录取，现在清华建筑学专业就读；另有xx 等6人被全国十大名校录取。 2012年，所带班级xx被香港中文大学录取，并获得全额奖学金，另有xx 等7人分别被浙大等全国十大名校录取；并且全班整体成绩优异，最低分超重 本线36分。 2013年，所带班级xx以裸分695分、全县第一名的身分被清华大学土木工程专业录取；xx被美国华盛顿大学录取；另有xx等6人被浙大、南大、中科大等十大名校录取。 下面我将从教师和学生两个层面把尖子生培养的一些心得向领导老师们汇 报一下： 一、作为教师方面 1．虚心学习，提高自身水平。 我们学校的很多老师有着丰富的培养尖子生的经验，我随时向他们请教学 习，解决具体问题，不时地积累心得。2012年，在校长的亲自带领下，到衡水中学参观学习。我抓住这难得的机会虚心学习，进入课堂听课，与学生交流； 课间与讲课老师交流讲课心得，复习方法。衡水之行，让我开阔了眼界，提高 了目标，受受益匪浅。 2．做好一个班主任，首先要做好一名任课教师。 我觉得，班主任要精研业务，提高教学水平。所教的科目不但不能拖班级 的后腿，还要起到带头示范的作用，使所教科目成为班级学习的坚强后盾，关 键时期要拿得出手，顶得住。今年，我所教班级的语文科高考成绩突出，130分以上有13人，其中被清华大学录取的邱实同学语文142分。在26号召开的市骨干教师培训会上，我介绍了一些语文教学的体会。 3．了解并探讨各个科目的学习内容、学习方法和复习进程。 除教好自己的科目外，还要向任课老师学习，了解研究各个科目的特点， 内容的重难点，复习方法，使用的材料，近几年高考试题的难易，甚至高考分 数分布情况。把握好这些，才能对尖子生的学习情况、学习状态进行全面具体 的把控，在指导学生学习时才会做到有的放矢。几年下来，我学习到了不少有 关数学、理综、英语科目的学习经验，感觉价值挺大。尤其是今去两年，我在 指导一些尖子生在数学、理综的做题速度、制定合理的高考期望值方面发挥了 很大的作用。 4．协调各科老师之间的关系，搞好学情会商。 构建和谐融洽的班责任小组，是培养名生的的基石。除随时交流沟通外，每 周定期举行尖子生学情会商，共同商讨，各科老师发表自己的看法，总结一周 来出现的问题，提出良好的建议，并以书面的形式填写学情会商加以汇总。这 项活动对于随时把控、指导尖子生的发展起到了很好的作用。 5．对于出现的问题，教师要做到冷静面对，处乱不惊。 任何一个尖子生的发展都不可能是一帆风顺的，高三备考过程中会出现这样那样的问题是正常的。在这些目标生遇到问题时，无论班主任还是任课老师都 趣题引路】 某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本为25元。因为在生产过程中，平均每生产 一件产品有0.5m ）污水排出，为了净化环境，工厂设计两种方案对污水进行处理.方案1：工厂污水先净化 处理后再排出：每处理Inf 污水所有原材料费为2元，并且每月排污设备损耗费为30000元；方案2：工 厂将污水排到污水厂统一处理，每处理lnr ：污水需付14元排污费. 问题：（1）设工厂每月生产x 件产品，每月利润为y 元，分别求岀依方案1和方案2处理污水时y 与x 的函数关系式：（2）设工厂每月生产量为6000件产品时，你若作为厂长在不污染环境，又节约资金的前 提下，应选用哪种处理污水的方案？请通过计算加以说明. 解析（1）设选用方案1，每月利润为屮，元，选用方案2,每月利润为户，元，贝叽 yi=（5O-25） X -2X 0.5A -30000=24.1-30000,），2=（50~25） A -14x0.5.x-1 8A . 故 yj=24A —30000, >'2= 18x ： （2）当 *6000 时，yi=24x6000-30000= 114000 （元），力=1 8A -= 18x6000= 108000 （元） 答：我若作为厂长，应选方案1. 点评本例是生产经营决策问题，英难点在于建立相应的数学模型，构建函数关系式，然后，通过问题 中所给的条件判断，若不能判断，就要进行分类讨论. 知识延伸】 例 某工厂有14m 长的旧墙一面，现在准备利用这而旧墙，建造平面图形为矩形，而积为126m?的厂 房，工程条件为：①建lm 新墙的费用为“元：②修lm 旧墙的费用为￡元；③拆去Im 旧墙，用所得材料 4 建适lm 新墙的费用为￡元，经过讨论有两种方案：（I ）利用旧墙的一段兀m （A <14）为矩形厂房一面的边 2 长：（1【）矩形厂房利用旧墙的一面边长为x （x>14）.问：如何利用旧墙，即x 为多少米时，建墙费用最省？ （I ）（II ）两种方案哪个更好？ 解析 设利用旧墙的一面矩形边长为xm,则矩形的另一边长为竺m ? x （I ）利用旧墙的一段xm （x<14）为矩形一而边长，则修旧墙费用为元.将剩余的旧墙拆得材料建新 4 墙的费用为（14小￡号元，其余建新墙的费用为（"+艺竺"4）?“元. 2 x 故总费用为 y = 巴 + —_ + （2x + 兰？ — 14 \^a = 7a\ 丄 4- —— 1）?（0 知识要点 1、 锐角三角函数定义？ 斜边的对边αα∠= sin 斜边的邻边αα∠=cos 的邻边的对边 ααα∠∠= t a n 的对边的邻边ααα∠∠=cot 2、 特殊角的三角函数值300 、450 、600 、的记忆规律： 3、 角度变化与锐角三角函数的关系 当锐角α在00∽900 之间变化时，正弦（切）值随着角度的增大而增大；余弦（切）值随着角度的增大而减少。 4、 同角三角函数之间有哪些关系式 平方关系：sin 2A ＋cos 2 A ＝1； 商数关系：sinA/cosA ＝tanA ； 倒数关系：tanA ·tan B ＝1； 5、 互为余角的三角函数有哪些关系式？ Sin （900－A ）＝cosA ； cos （900－A ）＝sin A ； tan （900 －A ）＝ctan A ； 一、选择题 1．在Rt △ABC 中，∠C ＝900 ，∠A ＝∠B ，则sinA 的值是（ ）．A ． 2 1 B ．22 C ．23 D ．1 2．在△ABC 中，∠A ＝105°，∠B ＝45°，tanC 的值是（ ）． A ． 2 1 B ．33 C ．1 D ．3 3．在Rt △ABC 中，如果各边的长度都缩小至原来的 5 1 ，那么锐角A 的各个三角函数值（ ）． A ．都缩小 5 1 B ．都不变 C ．都扩大5倍 D ．仅tan A 不变 4．如图，菱形ABCD 对角线AC ＝6，BD ＝8，∠ABD ＝α．则下列结论正确的是（ ）． A ．sin α＝ 54 B ．cos α＝ 53 C ．tan α＝ 34 D ．tan α＝ 4 3 5．在Rt △ABC 中，斜边AB 是直角边AC 的3倍，下列式子正确的是（ ）． A ．423sin = A B ．3 1 cos =B C ．42tan =A D ．tan 4B = 6．已知ΔABC 中，∠C ＝90?，CD 是AB 边上的高，则CD ：CB 等于（ ）． A ．sinA B ．cosA C ．tanA D ． 1 tan A 7．等腰三角形底边长为10㎝，周长为36cm ，那么底角的余弦等于（ ）．A. 513 B. 1213 C.10 13 D.512 8．如图，在△EFG 中，∠EFG ＝90°，FH ⊥EG ，下面等式中，错误．．的是（ ）． A. sin EF G EG = B. sin EH G EF = C. sin GH G FG = D. sin FH G FG = 9．身高相同的三个小朋友甲、乙、丙风筝，他们放出的线长分别为300米、250米、200米，线与地面所成的角为30°、45°、60°（风筝线是拉直的），则三人所放的风筝（ ）． 高中尖子生的培养方案 为了加强奥赛班的教育教学工作，探究尖子生成长的规律和超常规教学，向奥赛班要质量；为了更好的研究如何发现尖子生，如何培养尖子生，如何最有效发挥学生潜能，如何使尖子生取得理想成绩，本年级组于2月20日在二会议室召开了奥赛班全体教师“尖子生培养专题会议”。会上各位教师均针对年级尖子生的实际情况积极发了言，老师们围绕如何发现尖子生，为什么要培养尖子生，如何培养尖子生，班主任和科任教师在其中所能起的作用，尖子生存在的各类问题以及如何解决进行了积极的讨论。通过各位教师的发言，老师们感觉收获极大。一致认为尖子生即使天生是块“美玉”，也同样需要教育者的精益求精、精雕细琢才能成器；一致认为这些意见在今后的尖子生培养工作中对我们的教育教学工作有着较大宜处和指导作用。所以年级为了更好地做好尖子生培养工作，现总结如下条目供各位教师认真学习交流，望能结合自己的实际与想法提出本备课组或本班的培养尖子生方案并认真落实，在今后的工作中能取得更好的成绩。 1.班主任老师要积极了解班级各方面情况，筛选出班级第一梯队学生（大约10—15人），按成绩结合实际情况分成若干尖子生学习互助小组，每组四到五人，组学生相互帮助，相互借脑，共同提高，发挥各自优势，提高弱势学科，消化老师额外的学习任务。班主任任大组长，协调统一。五位科任教师任小组辅导员，协助班主任搞好小组间的竞赛或比赛工作。“独学而无友，则孤陋而寡闻”，要特别强调学生学会自主学习，划分好学习小组后，由组长带领大家主动学习，积极倡导学习 是一个“其智交相明，其才交相成”的取长补短、共同受益的过程。小组间积极开展学习上的竞赛或对抗赛，充分调动学生勇于竞争的勇气与干劲。对取胜的小组可以给些物质或精神奖励，如一个苹果，一合影照等。 2.每班都要注意做好尖子生的发现、挖掘工作，把真正的有潜质的尖子生挖出来，这是一项长期的重要的工作。同时也要注意尖子生群体的“稳定”工作，尖子生的稳定是班级尖子生培养的重要工作之一。 3.班主任老师要积极协调任课教师消灭尖子生的弱势学科，积极发挥优势学科，保持学科间的平衡，并使之成为日常工作之一。科任老师要积极采取一对一的结对帮助，必须确保尖子生真正尖起来。班主任在方法、思维、心理、应试能力的辅导要重于对知识的辅导。尖子生辅导不同于课堂教学，它不能对课本知识进行简单重复和讲述，因为学生都有较扎实的知识功底，他们缺乏的是学科思维和治学能力。因此思维、方法、心理的培养、辅导成为解决问题提高成绩的关键。 4.班级科任教师要积极做好尖子生思想工作，要积极根据班主任提供的尖子生，经常进行重点谈话，仔细观察，不断给尖子生暗示，挖掘尖子生在潜力，调动尖子生的非智力因素，往往会取得意想不到的收获，同时积极采取相关措施消除学生的偏科问题。教师对总分比较好的同学的作用，主要在两个方面。一是：对总分比较好的同学我们应采取什么的措施呢？若总分比较好，而我们所任课的这一学科又是学生的强项，我们就应该进一步的发挥学生在这一学科的优势，对该同学以更大的信心，进一步鼓励他在这一学科冒尖，提高他这一门学科、对总分的贡献。 尖子生培养方案(好) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 高中尖子生的培养方案 为了加强奥赛班的教育教学工作，探究尖子生成长的规律和超常规教学，向奥赛班要质量；为了更好的研究如何发现尖子生，如何培养尖子生，如何最有效发挥学生潜能，如何使尖子生取得理想成绩，本年级组于2月20日在二会议室召开了奥赛班全体教师“尖子生培养专题会议”。会上各位教师均针对年级尖子生的实际情况积极发了言，老师们围绕如何发现尖子生，为什么要培养尖子生，如何培养尖子生，班主任和科任教师在其中所能起的作用，尖子生存在的各类问题以及如何解决进行了积极的讨论。通过各位教师的发言，老师们感觉收获极大。一致认为尖子生即使天生是块“美玉”，也同样需要教育者的精益求精、精雕细琢才能成器；一致认为这些意见在今后的尖子生培养工作中对我们的教育教学工作有着较大宜处和指导作用。所以年级为了更好地做好尖子生培养工作，现总结如下条目供各位教师认真学习交流，望能结合自己的实际与想法提出本备课组或本班的培养尖子生方案并认真落实，在今后的工作中能取得更好的成绩。 1.班主任老师要积极了解班级各方面情况，筛选出班级第一梯队学生（大约10—15人），按成绩结合实际情况分成若干尖子生学习互助小组，每组四到五人，组内学生相互帮助，相互借脑，共同提高，发挥各自优势，提高弱势学科，消化老师额外的学习任务。班主任任大组长，协调统一。五位科任教师任小组辅导员，协助班主任搞好小组间的竞赛或比赛工作。“独学而无友，则孤陋而寡闻”，要特别强调学生学会自主学习，划分好学习小组后，由组长带领大家主动学习，积 八年级科学尖子生培优特训（第1周） 班级学号姓名 1．(9月17日)为了探究浮力大小与液体密度的关系，某兴趣小组的同学用 重3N的物体进行了如图所示的操作，记下物体静止时弹簧测力计的示数， 并根据F浮=G﹣F 拉求出浮力大小。根据计算结果发现：物体在密度大的液 体中受到的浮力小。 （1）请分析出现上述实验结果的原因是：； （2）请写出正确的实验操作：。 2．(9月18日)小晨设计了一个实验，用排水法测某实心金属块的密度。实验器材有小空桶、溢水烧杯、量筒和水。实验步骤如下： ①让小空筒漂浮在盛满水的溢水杯中，如图甲； ②将金属块浸没在水中，测得溢出水的体积为20毫升，如图乙； ③将烧杯中20毫升水倒掉，从水中取出金属块，如图丙； ④将金属块放入小空筒，小空筒仍漂浮在水面，测得此时溢出水的体积为44毫升，如图丁。 请回答下列问题： （1）被测金属块的密度是克/厘米3。 （2）在实验步骤③和④中，将沾有水的金属块放入小空筒，测出的金属块密度将（选填“偏大”、“不变”或“偏小”）。 3．(9月19日)为了验证“浸在水中的物体所受浮力大小跟物体排开水的体积有关”，小明选用如图所示的圆柱体A（ρA＞ρ水）、弹簧测力计和装有适量水的烧杯进行实验。 （1）以下是他的部分实验步骤，请你帮他补充完整： ①将圆柱体A悬挂在弹簧测力计下，静止时记录弹簧测力计的示数为F1。 ②将圆柱体A下部的一格浸入水中，圆柱体不接触容器，静止时记录弹簧测力计的示数为F2。 ③，静止时记录弹簧测力计的示数为F3。（2）由F1﹣F2F1﹣F3（选填”=“或“≠”），可以验证“浸在水中的物体所受浮力大小跟物体排开水的体积有关”。 专题03 菱形 专题解读】菱形既是轴对称图形，可以把菱形看成是由等腰三角形沿底边翻折而成：菱形又是中心对称图形，可以看成是由直角三角形以直角顶点为对称中心旋转180°而成，所以在处理菱形类问题时，等腰三角形和直角三角形的图形特征往往是我们尝试的突破口。 思维索引 例1.（1）如图1，菱形ABCD和菱形BEFG的边长分别是5和2，∠A=60°，连结DF，则DF的长为______ （2）如图2是由6个形状大小完全相同菱形组成的网格，若菱形的边长为1，一个内角（∠0）为60°，△ABC的各顶点都在格点上，则BC边上的高为___________ （3）如图3，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥AD于点E，交 BC 于点F，则EF的长为_________. (4）如图4，F是萎形ABCD的边AD的中点，AC与BF相交于E，EG⊥AB于G，已知∠l=∠2，则下列结论：①AE=BE；②BF⊥AD；③AC=2BF；④CE=BF+BG.其中正确的结论是________ 例2.将矩形OABC如图所示放置在第一象限，点B的坐标为（3，4），一次函数y=-x 3 2 +b的图象与边OC、AB分别交于点D、E，并且满足OD=BE，点M是线段DE上的一个动点。 （1 ）求b的值； （2）设点N是x轴上方平面内的一点，以O、D、M、N为顶点的四边形是萎形，求点N的坐标。 素养提升 1.如图，在菱形ABCD中，∠BCD=110°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF，则∠CDF等于（）A.15° B.25° C.45° D.55° 2.如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE= 2 1 AC，连接CE、OE，连接AE， 交OD于点F.若AB=2，∠ABC=60°，则AE的长为（）A.3 B.5 C.7 D.2 2 第二十讲 点共线与线共点 趣题引路】 例1 证明梅涅劳斯定理： 如图20-1，在△ABC 中，一直线截△ABC 的三边AB 、AC 及BC 的延长线于D 、E 、F 三点。 求证： 1=??DB AD EA CE FC BF 解析:左边是比值的积，而右边是1，转化比值使其能约简，想到平行线分线段成比例作平行线即可. 证明过点C 作CG /∥EF 交AB 于G . ,,BF BD EC DG CF DG AE AD ∴== ∴ 1=??=??BD AD AD DG DG BD BD AD EA CE FC BF 例2 证明塞瓦定理： 如图20-2，在△ABC 内任取一点P ，直线AP 、BP 、CP 分别与BC 、CA 、AB 相交于D 、E 、F ，求证： 1=??FB AF EA CE DC BD 证明,,.BCP ACP ABP ACP BAP BCP S S S BD CE AF DC S EA S FB S ??????=== ∴ 1=??=????????BCP ACP ABP BCP ACP ABP S S S S S S FB AF EA CE DC BD 知识拓展】 1.证明三点共线和三线共点的问题，是几何中常遇到的困难而有趣的问题，解这类问题一定要掌握好证三点共线和三线共点的基本方法。 2.证明三点共线的方法是： （1）利用平角的概念，证明相邻两角互补、 （2）当AB ±BC =AC 时，A 、B 、C 三点共线。 （3）用同一方法证明A 、B 、C 中一点必在另两点的连线上。 （4）当AB 、BC 平行于同一直线时，A 、B 、C 三点共线。 （5）若B 在PQ 上，A 、C 在P 、Q 两侧，∠ABP =∠CBQ 时，A 、B 、C 三点共线. （6）利用梅涅劳斯定理的逆定理. 3.证明三线共点的基本方法是： （1）证明其中两条直线的交点在第三条直线上 （2）证明三条直线都经过某一个特定的点. （3）利用已知定理，例如任意三角形三边的中垂线交于一点，三条内角平分线交于一点，三条中线交于一点以及三条高所在直线交于一点等。 （4）利用塞瓦定理的逆定理。 在证题过程中要根据题意灵活选用方法。 例1 如图20-3，已知BD =CE ，求证：AC ·EF =AB ·DF . 图20-1 图20-2培优锐角三角函数之欧阳光明创编
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