2014-2015学年度下学期期末模块考试
五校联考高二年级数学（理科）试题
试题说明：本试卷分选择题和非选择题两部分，满分为150分。考试时间为120分钟。 注意事项：
1、答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名和学号填写在第II 卷和答题卡上，并在答题卡上用2B 铅笔将相应的信息点涂黑。不按要求填涂的，答卷无效。
2、 单项选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3、 非单项选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应
位置上;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4、 考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将第II 卷及答题卡一并交回。
第一部分 选择题（共40分）
一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项最符
合题目要求。） 1. 集合{}0,2,A a =,{}
21,B a =,若{}0,1,2,4,16A
B =,则a 的值为( )
A.0
B.1
C.4
D.2
2、复数1z i =+（i 为虚数单位），z 为z 的共轭复数，则下列结论正确的是
A. z 的实部为1-
B. z 的虚部为1
C.2z z ?=
D.
z
i z
= 3、已知等差数列
}
{n a 中，
12
497,1,16a a a a 则==+的值是（ ）
A . 15
B . 30 C. 31 D. 64
4．如图所示，正四棱锥 (底面是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心
)
P ABCD -的底面边长为6cm ，侧棱长为5cm ，则它的正视图的面积等于 A. 5.在△ABC 中，4
cos 5
A =，8A
B A
C ?=，则△ABC 的面积为（ ）.
A.65
B.3
C.12
5
D.6 6、下列命题中正确的是（ ）
A ．若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题
B ．“0a >，0b >”是“
2b a
a b
+≥”的充分必要条件
P
A
B
C
D
11第题图C ．命题“若2320x x -+=，则1x =或2x =”的逆否命题为“若1x ≠或2x ≠，则2
320x x -+≠” D ．命题:p R x ?∈，使得2
10x x +-<，则:p ?R x ?∈，使得2
10x x +-≥
7、将编号为1、2、3、4的四个小球任意地放入A 、B 、C 、D 四个小盒中，每个盒中放球的个数不受限制，恰好有一个盒子是空的概率为（ ）
()169
A
()41
B
()43
C
()167
D
8. 在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数()f x 的图象恰好通过
()n n N +∈个整点，则称函数()f x 为n 阶整点函数.有下列函数：
①()sin 2f x x =； ②3
()g x x = ③1()();3
x h x = ④()ln x x φ=，
其中是一阶整点函数有( ) 个 A.1 B.2 C.3 D.4
第二部分 非选择题（共110分）
二、填空题（本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分） (一)必做题(9～13题) 9. 函数2
1
)(--=
x x x f 的定义域为___________. 10.关于x 的二项式4
1(2)x x
-展开式中的常数项是 11. 如右图，是一程序框图，则输出结果为 12如果关于x 的不等式a x x ≥-+-32的解集为R, 则a 的取值范围是 .
13．设平面区域D 是由双曲线14
2
2
=-x y 的两条渐近线和抛物线2
8y x =-的准线所围成的三角形（含边界与内部）．若
点D y x ∈),(，则目标函数y x z +=的最大值为 ． （二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分） 14．（坐标系与参数方程选做题）极坐标系下，直线2)4
cos(=-
π
θρ 与圆2=ρ的公共点个数
是________；
15（几何证明选讲选做题）如图，AB 是圆O 的直径，DE AD =，
6,8==BD AB ,则
DE
AC
= ; 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本题满分12分）已知函数x x a x f cos sin )(+=的图象经过点)1,2
(-π
．
（1）求函数()x f 的最小正周期与单调递增区间． （2）若0,2πθ??
∈ ??
?
，且()1
2
f θ=
，求sin 2θ的值.
17．（本题满分12分） 数列{}n b (
)*
∈N
n 是递增的等比数列，且4,53131
==+b b b b
.
(Ⅰ)若3log 2+=n n b a ,求证：数列{}n a 是等差数列; (Ⅱ)若+++322
1a a a ……46a a m ≤+,求m 的最大值.
18、（本题满分14分）某班共有学生40人，将一次数学考试成绩（单位：分）绘制成频率分布直方图，如图所示．
（1）请根据图中所给数据，求出a 的值；
（2）为了了解学生本次考试的失分情况，从成绩在[50，70）内的学生中随机选取3人的成绩进行分析，用X 表示所选学生成绩在[60，70）内的人数，求X 的分布列和数学期望．
19．（本题满分14分）如图，已知E ，F 分别是正方形ABCD 边BC 、CD 的中点，EF 与AC 交
第19题图
于点O ，PA 、NC 都垂直于平面ABCD ，且4PA AB ==，2NC =，M 是线段PA 上一动点． （Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面NEF ；
（Ⅱ）若//PC 平面MEF ，试求:PM MA 的值；
（Ⅲ）当M 是PA 中点时，求二面角M EF N --的余弦值．
20．（本题满分14分）已知椭圆C ：)0(122
22>>=+b a b
y a x ，左、右两个焦点分别为1F 、2F ，上
顶点),0(b A ，21F AF ?为正三角形且周长为6. （1）求椭圆C 的标准方程及离心率；
（2）O 为坐标原点，P 是直线A F 1上的一个动点，求||||2PO PF +的最小值，并求出此时点P 的
坐标．
21．(本题满分14分)
已知函数3
2
()()f x ax bx b a x =++-（a ，b 是不同时为零的常数），其导函数为()f x '. （1）当13a =
时，若不等式1
()3
f x '>-对任意x R ∈恒成立，求b 的取值范围； （2）若函数()f x 为奇函数，且在1x =处的切线垂直于直线230x y +-=，关于x 的方程
1
()4
f x t =-在[1,](1)t t ->-上有且只有一个实数根，求实数t 的取值范围.
2014-2015学年度下学期期末模块考试
五校联考高二年级数学（理科）试题答案
二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分．） (一)必做题(9～13题)9．),2()2,1[+∞? 10．24 11．
5
11
12．(]1,∞- 13. 3； （二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分） 14. 1； 15.
43
三、解答题（本大题共6小题，共80分，要写出详细的解答过程或证明过程） 16．（本题满分12分）已知函数x x a x f cos sin )(+=的图象经过点)1,2
(-π
．
（1）求函数()x f 的最小正周期与单调递增区间． （2）若0,
2πθ?
?
∈ ??
?
，且()1
2
f θ=
，求sin 2θ的值. 16．解：（1）因为函数x x a x f cos sin )(+=的图象经过点)1,2
(
-π
，
所以1)2
(-=π
f ……1分
即12
cos
2
sin
-=+π
π
a ，解得：1-=a ……2分
x x x f sin cos )(-=)4
cos(2π
+
=x ……4分
ππ
21
2==
T 所以函数()x f 的最小正周期为2π． ……5分 因为函数x y cos =的单调递增区间为Z k k k ∈+-],2,2[πππ 所以ππ
ππk x k 24
2≤+
≤+- 解得：4
2245π
πππ-≤≤+-
k x k ……6分 所以函数()x f 的单调递增区间为Z k k k ∈+-+-],24
,245[ππ
ππ ……7分 （2）解法1：∵()1
2
f θ=
，
1
42
π
θ??
+=
?
??
.
∴cos
44
π
θ??
+=
?
??
. ……………9分
∴ sin2cos2
2
π
θθ
??
=-+
?
??
2
12cos
4
π
θ??
=-+
?
?
?
2
12
4
??
=-? ?
?
??
3
4
=.…………12分解法2：∵()
1
2
fθ=
1
42
π
θ??
+=
?
??
1
cos cos sin sin
442
ππ
θθ?
-=
?
?
. ∴
1
cos sin
2
θθ
-=. ……………9分
两边平方得22
1
cos2cos sin sin
4
θθθθ
-+=. ……………11分∴
3
sin2
4
θ=. ……………12分17．（本题满分12分）
数列{}n b()*
∈N
n是递增的等比数列，且4
,5
3
1
3
1
=
=
+b
b
b
b.
(Ⅰ)若3
log
2
+
=
n
n
b
a,求证数列{}n a是等差数列;
(Ⅱ)若+
+
+
3
2
2
1
a
a
a……
46
a
a
m
≤
+,求m的最大值.
17. 本题满分12分
解:(Ⅰ)由
?
?
?
=
+
=
5
4
3
1
3
1
b
b
b
b
知
3
1
,b
b是方程0
4
5
2=
+
-x
x的两根,注意到
n
n
b
b>
+1
得4
,1
3
1
=
=b
b. ………………2分
∴4
3
1
2
2
=
=b
b
b得2
2
=
b.
∴4
,2
,1
3
2
1
=
=
=b
b
b
∴等比数列.{}n b的公比为2
1
2=
b
b
,1
1
1
2-
-=
=
∴n
n
n
q
b
b……4分
.2
3
1
3
2
log
3
log1
2
2
+
=
+
-
=
+
=
+
=-n
n
b
a n
n
n
……5分
()
[][]1
2
2
1
1
=
+
-
+
+
=
-
+
n
n
a
a
n
n
……6分
∴数列{}n a是首项为3,公差为1的等差数列.……7分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知数列{}n a是首项为3,公差为1的等差数列,有
+
+
+
3
2
2
1
a
a
a……
m
a
+=+
+
+
+
3
2
1
2
1
a
a
a
a……
1
a
a
m
-
+
=
()
2
3
6
3
1
2
1
3
3
2
2
m
m
m
m
m
m
-
+
+
=
-
?
-
+
?
+……9分
∵4646248a =+=
∴482
362≤-++m
m m ,整理得08452≤-+m m ,解得712≤≤-m .……11分
m ∴的最大值是7. ……12分
18（本小题满分14分）某班共有学生40人，将一次数学考试成绩（单位：分）绘制成频率分布直方图，如图所示．（1）请根据图中所给数据，求出a 的值；
（2）为了了解学生本次考试的失分情况，从成绩在[50，70）内的学生中随机选取3人的成绩进行分析，用X 表示所选学生成绩在[60，70）内的人数，求X 的分布列和数学期望．
解：（1）根据频率分布直方图中的数据，可得
1(0.0050.00750.02250.035)10
0.10.070.0310
a -+++?=
=-=，
所以 0.03a =． …………………2分 （2）学生成绩在[50,60)内的共有40×0.05=2人，在[60,70)内的共有40×0.225=9人，
成绩在[50,70)内的学生共有11人． ……………4分 依题意，X 的可能取值是1，2，3． ………………5分
21293113
(1)55C C P X C ===； ………………7分
12293
1124
(2)55
C C P X C ===； ………………9分 (3)()55P X P A ===393
1128
()55
C P A C == ………11分 所以X
312355555511
EX =?+?+?=． …………………14分
19．如图，已知E，F分别是正方形ABCD边BC、CD的中点，EF与AC交于点O，PA、NC都垂直于平面ABCD，且4
PA AB
==，
2
NC=，M是线段PA上一动点．
（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面NEF；
（Ⅱ）若//
PC平面MEF，试求:
PM MA的值；
（Ⅲ）当M是PA中点时，
求二面角M EF N
--的余弦值．
19．（本题满分14分）
解：法1：（Ⅰ）连结BD，
∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴PA BD
⊥，
又∵BD AC
⊥，AC PA A
=，
∴BD⊥平面PAC，
又∵E，F分别是BC、CD的中点，∴//
EF BD，
∴EF⊥平面PAC，又EF?平面NEF，
∴平面PAC⊥平面NEF；---------------4分
（Ⅱ）连结OM，
∵//
PC平面MEF，平面PAC平面MEF OM
=，
∴//
PC OM，
∴
1
4
PM OC
PA AC
==，故:1:3
PM MA=-----------------8分
（Ⅲ）∵EF⊥平面PAC，OM?平面PAC，∴EF⊥OM，
在等腰三角形NEF中，点O为EF的中点，∴NO EF
⊥，
∴MON
∠为所求二面角M EF N
--的平面角，---------10分∵点M是PA的中点，∴2
AM NC
==，
所以在矩形MNCA
中，可求得MN AC
==
NO=
MO=，--------12分
在MON
?
中，由余弦定理可求得
222
cos
233
MO ON MN
MON
MO ON
+-
∠==-
??
，
∴二面角M EF N
--
的余弦值为
33
-．--------------14分
第19题图
法2：（Ⅰ）同法1；
（Ⅱ）建立如图所示的直角坐标系，则(0,0,4)P ，(4,4,0)C ，(4,2,0)E ，(2,4,0)F ， ∴(4,4,4)PC =-，(2,2,0)EF =-，
设点M 的坐标为(0,0,)m ，平面MEF 的法向量为(,,)n x y z =，则(4,2,)ME m =-，
所以00
n ME n EF ??=???=??，即420220x y mz x y +-=??-+=?，令1x =，则1y =，6z m =，
故6
(1,1,
)n m
=， ∵//PC 平面MEF ，∴0PC n ?=，即24
440m
+-
=，解得3m =， 故3AM =，即点M 为线段PA 上靠近P 的四等分点；故:1:3PM MA = -------8分
（Ⅲ）(4,4,2)N ，则(0,2,2)EN =，设平面NEF 的法向量为(,,)m x y z =，
则00
m EN m EF ??=???=??，即220220y z x y +=??-+=?，令1x =，
则1y =，1z =-，即(1,1,1)m =-， 当M 是PA 中点时，2m =，则(1,1,3)n =，
∴cos ,m n <>=
=， ∴二面角M EF N --
的余弦值为33
-
-----14分
20．（14分）已知椭圆C ：)0(122
22>>=+b a b
y a x ，左、右两个焦点分别为1F 、2F ，上顶点),0(b A ，
21F AF ?为正三角形且周长为6.（1）求椭圆C 的标准方程及离心率；（2）O 为坐标原点，P 是直线A F 1上的一个动点，求||||2PO PF +的最小值，并求出此时点P 的坐标．
20.解：（1）解：由题设得??
??
?+==++=222622c b a c a a c
a … 2分 解得： 3,2==
b a ，1=
c …… 3分
故C 的方程为13
422=+y x . …… 4分 离心率e 21
= ……5分
（2）直线A F 1的方程为)1(3+=x y ，…… 6分 设点O 关于直线A F 1对称的点为),(00y x M ，则
????
??
?
=-=????????+=-=?23
23)12(32
13000000y x x y x y 所以点M 的坐标为 )23,23(- ……… 9分 ∵PM PO =，222MF PM PF PO PF ≥+=+，…… 10分
||||2PO PF +的最小值为7)02
3
()123(||222=-+--=MF …………… 11分
直线2MF 的方程为)1(12
30
23
----=x y 即)1(53--=x y …………… 12分
由???
?
???=-=??????+=--=33
32)1(3)1(5
3
y x x y x y ，所以此时点P 的坐标为 )33,32(-…… 14分 21．(本小题满分14分)
已知函数3
2
()()f x ax bx b a x =++-（a ，b 是不同时为零的常数），其导函数为()f x '. （1）当13a =
时，若不等式1
()3
f x '>-对任意x R ∈恒成立，求b 的取值范围； （2）若函数()f x 为奇函数，且在1x =处的切线垂直于直线230x y +-=，关于x 的方程
1
()4
f x t =-在[1,](1)t t ->-上有且只有一个实数根，求实数t 的取值范围.
21解：（1）当13a =时，2
1()23
f x x bx b '=++-，………１分
依题意 2
1()23f x x bx b '=++-13
>- 即220x bx b ++>恒成立
2440b b ∴?=-<，解得 01b <<所以b 的取值范围是(0,1)………3分
（2）因为3
2
()()f x ax bx b a x =++-为奇函数，所以0b =，所以3
()f x ax ax =-，2
()3f x ax a '=-.又()f x 在1x =处的切线垂直于直线230x y +-=，所以1a =，即3
()f x x x =-.……………5分
()f x ∴
在,?-∞ ?
?
，?+∞??
??
上是单调递增函数
，在???
?
上是单调递减函数，由()0f x =解得1x =±，0x =，……………………………6分
如图所示，作()y f x =与4
t
y =-
的图像，若只有一个交点，则 ①
当1t -<≤1
()04
f t t ≥-≥， 即3
4
t
t t -≥-，
解得t ≤≤；…………8分 ②
当0t <<时，1
()04f t t >-≥，
解得03
t -
<<；…………9分
③当0t =时，不成立；…………10分
④
当03t <≤时，1
()04
f t t ≤-<，
即3
4
t
t t -≤-
，
解得0t <≤…………11分
⑤
当1t ≥>1
()04
f t t <-<
解得
32
t <<；…………12分 ⑥当1t >时
，14
t f t -=???
4t y =- (13)
综上t 的取值范围是0t ≤<或0t <
相关主题
文本预览