B
B B B ?
B B
m m
? ?
第一章 气体的 pVT 关系
1. 理想气体状态方程式 pV
= (m / M )RT
= n RT
或
pV m
= p (V / n ) = R T
式中 p ，V ，T 及 n 单位分别为 Pa ，m 3，K 及 mol 。 V m = V / n 称为气体的摩尔体积，其单位为 m 3 ·
mol -1 。 R =8.314510 J · mol -1 · K -1 ，称为摩尔气体常数。 此式适用于理想气体，近似地适用于低压
的真实气体。
2. 气体混合物 （1） 组成
摩尔分数
y B (或 x B ) = n B / ∑ n A
A
体积分数
?B = y B V
m, B
/
∑
y A
V ?
m, A A
式中 ∑
n A A
为混合气体总的物质的量。V
m, A
表示在一定 T ，p 下纯气体 A 的摩尔体积。 ∑ y A V
A
?
m, A
为在一定 T ，p 下混合之前各纯组分体积的总和。 （2） 摩尔质量
M mix = ∑
y B M B = m / n = ∑ M B / ∑n B B
B
B
式中 m = ∑ m B
B
为混合气体的总质量， n = ∑ n B 为混合气体总的物质的量。
B
上述各式适用于任意的气体混合物。
（3） y = n / n = p / p = V ?
/ V
式中 pB 为气体 B ，在混合的 T ，V 条件下，单独存在时所产生的压力，称为 B 的分压力。V B 为 B
气体在混合气体的 T ，p 下，单独存在时所占的体积。 3. 道尔顿定律
p B = y B p ， p = ∑ p B
B
p B = n B RT / V
适用于任意气体。
适用于理想气体
4. 阿马加分体积定律
5. 范德华方程
V ?
= n RT / V 此式只适用于理想气体。
(p +a /V 2)(V ?b ) =RT ( p +an 2 /V 2 )(V ?nb ) = n RT
式中a 的单位为Pa · m6 · mol-2 ，b 的单位为m3 · mol-1，a 和b 皆为只与气体的种类有关的常数，称为范德华常数。
此式适用于最高压力为几个MPa 的中压范围内实际气体p，V，T，n 的相互计算。
6. 维里方程
pV = RT (1+ B/ V+ C/V2 + D/V3 +......)
m m m m
及pV
m
= R T (1+ B' p +C' p2 + D' p3 +......)
上式中的B，C，D,…..及B‘，C‘，D‘….分别称为第二、第三、第四…维里系数，它们皆是与气体种类、温度有关的物理量。
适用的最高压力为1MPa 至2MPa，高压下仍不能使用。
7. 压缩因子的定义
Z = pV /( n RT ) = pV
m
/( RT )
Z 的量纲为一。压缩因子图可用于查找在任意条件下实际气体的压缩因子。但计算结果常产生较大的误差，只适用于近似计算。
第二章热力学第一定律
主要公式及使用条件
1. 热力学第一定律的数学表示式
?U = Q+W 或'
dU = δQ+ δW= δQ?p
amb
d V + δW
规定系统吸热为正，放热为负。系统得功为正，对环境作功为负。式中pamb 为环境的压力，W‘为非体积功。上式适用于封闭体系的一切过程。
2. 焓的定义式
3. 焓变
（1）
H = U+ pV ?H = ?U + ?( p V )
式中?( p V ) 为pV 乘积的增量，只有在恒压下?( p V ) = p(V2 ?V1 ) 在数值上等于体积功。
（2）
2
?H = ∫nC p ,m d T
1
此式适用于理想气体单纯pVT 变化的一切过程，或真实气体的恒压变温过程，或纯的液体、固体物质压力变化不大的变温过程。
4. 热力学能(又称内能)变
?U = ∫2nC V ,m d T此式适用于理想气体单纯pVT 变化的一切过程。
5. 恒容热和恒压热
1
Q
V
= ?U(d V = 0, W' = 0)
Q
p
= ?H(d p = 0, W' = 0)
C 2
6. 热容的定义式
（1）定压热容和定容热容
C p = δ Q p /d T = ( ?H / ?T ) p
C V = δ Q V / d T = (?U / ?T )V
（2）摩尔定压热容和摩尔定容热容 C p ,m = C p / n = (?H m / ?T ) p
C V ,m = C V / n = (?U m / ?T )V
上式分别适用于无相变变化、无化学变化、非体积功为零的恒压和恒容过程。 （3）质量定压热容（比定压热容）
c p = C p / m = C p ,m / M
式中 m 和 M 分别为物质的质量和摩尔质量。
（4） C p ,m ? C V ,m = R
只适用于理想气体。
（5）摩尔定压热容与温度的关系
C p ,m = a +
b T +
c T 2 +dT 3
式中 a , b , c 及 d 对指定气体皆为常数。
（6）平均摩尔定压热容
C p ,m T 2
T 1 p ,m / (T 2 ? T 1 )
7. 摩尔蒸发焓与温度的关系
? va p H m (T 2 ) = ? va p H m (T 1 ) +
T
∫
T 1
? va p C
p ,m
d T
或
(?? vap H m / ?T ) p = ? vap C p ,m
式中 ? C
= C (g) — C (l)，上式适用于恒压蒸发过程。
vap
8. 体积功 p ,m
p ,m
p ,m
W = ?∑
p amb d V
（1）定义式
?W = ? p amb d V
或
（2） （3） W =
? p (V 1 ?V 2 ) = ?nR (T 2 ? T 1 ) W =
? p amb (V 1 ?V 2 ) 适用于理想气体恒压过程。 适用于恒外压过程。
（4）
V 2
W = ?∫ p d V = ?nRT ln( V 2 /V 1 ) = n RT ln( p 2 / p 1) 适用于理想气体恒温可逆过程。 （5） V 1
W = ?U = nC (T ? T ) 适用于 C 为常数的理想气体绝热过程。
V ,m
2
1
V ,m
∫ = d T
2 1 2 1
2 1 2 1
n B m m 2 r
C r
9. 理想气体可逆绝热过程方程
(T / T )C V ,m (V / V )R
=1
(T / T )C p ,m ( p / p ) ? R =1
( p 2 / p 1 )(V 2 / V 1 ) = 1
上式中，γ = C
p ,m
/ C V ,m 称为热容比（以前称为绝热指数），适用于
C V ,m 为常数，理想气体可逆绝
热过程 p ，V ，T 的计算。 10. 反应进度
ξ = ?n B /ν B
上式是用于反应开始时的反应进度为零的情况， ?n B =
n B ? n B,0 ， 为反应前 的物质的量。ν B B,0
为 B 的反应计量系数，其量纲为一。 ξ 的量纲为 mol 。 11. 标准摩尔反应焓
? r H m
= ∑ν B ? f H m (B,β ) = ?∑ν B ?c H m (B,β ) θ
θ
θ
式中 ? H θ (B,β
) 及 ? H θ (B,β ) 分别为相态为 β 的物质 B 的标准摩尔生成焓和标准摩尔燃烧焓。 f
m
c
m
上式适用于ξ =1 mol ，在标准状态下的反应。
12. ?r H ζ
与温度的关系
?r H θ
(T ) = ? H θ
T 2 m (T 1) + ∫ ? r C p ,m d T
式中 ? r C p ,m = ∑ν B
T 1
p ,m (B) ，适用于恒压反应。
13. 节流膨胀系数的定义式
μJ ?T = (?T / ?p )H
μ J ?T 又称为焦耳-汤姆逊系数。
第三章
热力学第二定律
1. 热机效率
ε = ?W / Q 1 = (Q 1 + Q 2 ) / Q 1 = (T 1 ? T 2 ) / T 1
式中 Q 1 和 Q 2 分别为工质在循环过程中从高温热源 T 1 吸收的热量和向低温热源 T 2 放出的热。W 为 在循环过程中热机中的工质对环境所作的功。此式适用于在任意两个不同温度的热源之间一切可逆 循环过程。
2. 卡诺定理的重要结论
1
1
2
2
? {
{ V ,m >
Q / T + Q / T ?= 0,
可逆循环 ?
< 0, 不可逆循环 任意可逆循环的热温商之和为零，不可逆循环的热温商之和必小于零。 3. 熵的定义
d S = δQ r / T
4. 克劳修斯不等式
5. 熵判据
d S
= δQ / T , > δQ / T ,
可逆 不
可逆
?S iso = ?S sys + ?S amb = 0 , 不 可 逆
0 , 可 逆
式中 iso, sys 和 amb 分别代表隔离系统、系统和环境。在隔离系统中，不可逆过程即自发过程。可 逆，即系统内部及系统与环境之间皆处于平衡态。在隔离系统中，一切自动进行的过程，都是向熵 增大的方向进行，这称之为熵增原理。此式只适用于隔离系统。 6. 环境的熵变
?S amb 7. 熵变计算的主要公式
= Q amb / T amb = ? Q s y s / T amb
?S = ∫ 2
δQ
r = ∫ 2
d U + p d V 2 d H ?V d p
= ∫ 1 T 1 T 1 T
对于封闭系统，一切δW = 0 的可逆过程的
?S 计算式，皆可由上式导出
（1）
?S = nC V ,m ln(T 2 / T 1 ) + nR l n( V 2 / V 1)
?S = nC p ,m ln(T 2 / T 1) + n R ln( p 1 / p 2)
?S = nC V ,m ln( p 2 / p 1 ) + n C p ,m ln(V 2 / V 1 )
上式只适用于封闭系统、理想气体、 C 为常数，只有
pVT 变化的一切过程
（2）
?S T = nR ln(V 2 / V 1 )＝ n R ln( p 1 / p 2 )
（3）
此式适用于
n 一定、理想气体、恒温过程或始末态温度相等的过程。 ?S = n C p ,m ln(T 2 / T 1)
此式适用于 n 一定、 C p ,m 为常数、任意物质的恒压过程或始末态压力相等的过程。
8. 相变过程的熵变
? β S =? β H / T
α
α
m
ζ ζ
r
?
?
此式使用于物质的量 n 一定，在α 和 β 两相平衡时衡 T ，p 下的可逆相变化。 9. 热力学第三定律
lim S ?
(完美晶体) = 0 或
T →0
m
S ?
(完美晶体,0K) = 0 上式中符号 ?代表纯物质。上述两式只适用于完美晶体。 10. 标准摩反应熵
? r S m
= ∑ν B S m (B)
B
ζ
ζ
2
?r S m (T 2 ) = ?r S m (T 1) + ∫1
( ?r C p ,m / T ) d T
上式中 ? C
p ,m
= ∑νB C p ,m (B) ，适用于在标准状态下，反应进度为 1 m ol 时，任一化学反应在
B
任一温度下，标准摩尔反应熵的计算。 11. 亥姆霍兹函数的定义
12.
d A T =
δW r ' A = U ?TS
此式只适用 n 一定的恒温恒容可逆过程。
13. 亥姆霍兹函数判据
?A T ,V
只 有 在 恒 温
? = 0, 平衡 ? < 0,自发
恒容，且不做非体积功的条件下，才可用
?A 作为过
程的判据。
14. 吉布斯函数的定义
G = H
? T S
15．
d G T , P = δW r '
此式适用恒温恒压的可逆过程。
16. 吉布斯函数判据
?G T , p ?
= 0, 平衡 ?< 0,自发
只有在恒温恒压，且不做非体积功的条件下，才可用
?G 作为过程的判据。 17. 热力学基本方程式
d U = T d S ? p d V d H = T d S + V d p d A = ?S d T ? p d V d G = ?S d T +V d p
热力学基本方程适用于封闭的热力学平衡系统所进行的一切可逆过程。说的更详细些，它们不
α m α m
m m C
?T ?p 仅适用于一定量的单相纯物质，或组成恒定的多组分系统发生单纯 p , V, T 变化的过程。也可适用 于相平衡或化学平衡的系统，由一平衡状态变为另一平衡态的过程。 18. 克拉佩龙方程
d p /d T = ? β H /(T ? β
V )
此方程适用于纯物质的α 相和 β 相的两相平衡。 19. 克劳修斯-克拉佩龙方程
d ln( p /[ p ]) = (?
vap H / RT 2 )d T ln( p 2 / p 1) = (?vap H m / R )(1/ T 1 ? 1/ T 2 )
此式适用于气-液（或气-固）两相平衡；气体可视为理想气体； T 1 ? T 2 的温度范围内摩尔蒸发焓可视为常数。
V ? (l)
与
V ? (g) 相比可忽略不计，在
对于气-固平衡，上式 ? vap H m 则应改为固体的摩尔升华焓。
20. ln( T 2 / T 1) = (Δfus V m /Δfus H m )( p 2 ? p 1 )
式中 fus 代表固态物质的熔化。
Δfus V m 和 Δfus H m 为常数的固-液两相平衡才可用此式计算外压对
熔点的 T 的影响。 21. 麦克斯韦关系式
(?T / ?p )S = (?V / ?S ) p ?(?T / ?V )S = (?p / ?S )V (?p / ?T )V = (?S / ?V )T ?(?V / ?T ) p =
(?S / ?p )T 适用条件同热力学基本方程。
第四章
多组分系统热力学
1. 偏摩尔量：
定义:
? ?X ?
X B = ?
?
(1)
? ?n B ?T, p, n 其中 X 为广延量，如 V ﹑U ﹑S ......
全微分式： d X = ? ?X ?
d T + ? ?X ? d p + X d n
(2)
? ? ? ? p ,n B ? ? ? ?T,n B
∑ B B B
C
? ? ?
?
C
B T, p, n
B 总和：
X = ∑ n B X B
B
(3)
2. 吉布斯-杜亥姆方程
在 T ﹑p 一定条件下， ∑
n B d X B = 0， 或 B
∑
x B
d X B = 0 。
B
此处，x B 指 B 的摩尔分数，X B 指 B 的偏摩尔量。
3. 偏摩尔量间的关系 广延热力学量间原有的关系，在它们取了偏摩尔量后，
依然存在。 例：H = U + PV ?
H B = U B + PV B ；
A= U - TS
? A B = U B - TS B ； G = H – TS ?
G B = H B -
TS B ；…
??G ? ??G ? =V ? B = V ; ? G ? = ?S ;
? ? G
B ?
= ?S ...
? ? ? p ? T
? p ?
B
T,n B ?? ? T p
?? ? T ? p ,n
B
? ? ?
? ? ? ?? ?
? ?
4. 化学势
? ? ? 定义
μ = G = ? G
? B B ? ?
? ?n B ?T,p, n
5. 单相多组分系统的热力学公式
d U = T d S ?
p d V + ∑
μB d n B B d A = - S d T ? p d V + ∑
μB d n B B
d H = T d S + V d p + ∑ μB d n B B
d G = - S d T + V d p + ∑ μB d n B B
? ? ?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
μ = ? U
? = ? H ? = ? A ? = ? G ? ? ? n
B ? S ,V, n
? ?
n B ? S , p, n
? ? n B ?T,V, n C
? ? n B ?T, p, n C
? ?G ? ? ? 但按定义，只有 6. 化学势判据
? ?n ? C 才是偏摩尔量，其余 3 个均不是偏摩尔量。
∑∑ ? < 0,自发 ?
在 d T = 0 , d p = 0 δW ‘
= 0 的条件下， μB (α )d n B (α)
≤ 0 ? ?
α B
?= 0,平衡?
其中， ∑ α
指有多相共存， μB (α ) 指 α 相内的 B 物质。
7. 纯理想气体 B 在温度 T ﹑压力 p 时的化学势
μ* ( p g) = μ 0 ( g ) + RT ln( p
)
p 0
pg 表示理想气体，* 表示纯态， μ0 (g)为气体的标准化学势。真实气体标准态与理想气体标准
C
B
p 0 ∫ m 0 ∫
p x *
p B B B B
p
* *
态均规定为纯理想气体状态，其压力为标准压力 p 0
= 100 kPa 。
8. 理想气体混合物中任一组分 B 的化学势
μ
(pg) = μ0
(g ) + RT ln( p B ) 其中， p B = B
B
p 0
y B p
总 为 B 的分压。
9. 纯真实气体 B 在压力为 p 时的化学势
*
p
*
RT
μ (g) = μ (g)+ RT ln( )+ 0
[V m (g)? ] d p p 其中， V *
(g) 为纯真实气体的摩尔体积。低压下，真实气体近似为理想气体，故积分项为零。
10. 真实气体混合物中任一组分 B 的化学势
p
p
RT μB (g) = μB (g) + R T ln( ) + p
[V B (g)? p ] d p
B
其中，V B (g)为真实气体混合物中组分 B 在该温度及总压 p B 下的偏摩尔体积。低压下，真实 气体混合物近似为理想气体混合物，故积分项为零。 11. 拉乌尔定律与亨利定律（对非电解质溶液）
拉乌尔定律：
p A = A
A
其中， p A 为纯溶剂 A 之饱和蒸气压， p A 为稀溶液中溶剂 A 的饱和蒸气分压，x A 为稀溶液中
A 的摩尔分数。
亨利定律： p B = k x,B x B = k b,B b B = k c,B c B
其中， p B 为稀溶液中挥发性溶质在气相中的平衡分压， k 度时，不同的亨利常数。 12. 理想液态混合物
x,B , k b, B 及
k
c ,B
为用不同单位表示浓
定义：其任一组分在全部组成范围内都符合拉乌尔定律的液态混合物。
p B = B x B
其中，0≤x B ≤1 , B 为任一组分。 13. 理想液态混合物中任一组分 B 的化学势
μ (l) = μ* (l) + RT ln( x ) 其中， μ*
(l) 为纯液体 B 在温度 T ﹑压力 p 下的化学势。
物理化学主要公式及使用条件
若纯液体B 在温度T﹑压力p0 下标准化学势为μ0 (l)，则有：
B
B B B 000
∞
p
0p
*
* 0
其中， V
*
μB (l) = μB (l) + ∫ V m ,B (l)d p ≈ μB (l)
p 0
(l)为纯液态
B 在温度 T 下的摩尔体积。 m ,B
14. 理想液态混合物的混合性质
① Δmix V = 0 ； ② Δmix H = 0 ；
Δmix G = ?T Δmix S
③
Δmix S = ?(∑ n B ) B
R ∑ x B ln( x B ) ；
④
B
15. 理想稀溶液
p
*
溶剂的化学势：
μA (l) = μA (l) + RT ln( x A ) + ∫ V m ,A (l) d p
p 0
当 p 与 p 相差不大时，最后一项可忽略。
溶质 B 的化学势：
μ B (溶质） = μ B (g) = μ 0
(g) + RT ln( p B ) p 0 k b
= μ 0
(g) + RT ln( b, B B ) p
我们定义：
= μ 0 (g) + k b 0
RT ln( k b, B b p 0
p b ) + RT ln( B ) b 0 μ0
(g)+ RT ln(
b,B
) = μ
(溶质)+ ∫V ∞
(溶质) d p
B
同理，有：
b,B
B p
k c ,B c p
μB (g)+ R T ln(
p
) = μc,B (溶质)+ ∫V B (溶质)d p
p 0
k x,B
∞
μB (g)+ RT ln( p
0 ) = μx,B (溶质)+ ∫ V B (溶质)d p p 0
b p μ (溶质)= μ0
(溶质)+ RT ln( B
) + ∫V ∞
(溶质) d p
B b,B b p
0c p
= μ0 (溶质) + RT ln( B ) + ∫V ∞ (溶质) d p
c,B
c p
0 p
x,B
p 0(溶质) + R T ln( x B ) + ∫
V ∞ (溶质) d p p 0
注：（1）当 p 与
相差不大时，最后一项积分均可忽略。
1
2
= μ 0 p B B
b , B
p x ∫ * 2 2 (2）溶质 B 的标准态为 0
下 B 的浓度分别为 b B = b ,c B
= c , x B = 1... , 时，B 仍然遵循亨
利定律时的假想状态。此时，其化学势分别为 μ0
(溶质) ﹑ μc , B
(溶质) ﹑ μx ,B (溶质)。
16. 分配定律
在一定温度与压力下，当溶质 B 在两种共存的不互溶的液体α﹑β间达到平衡时，若 B 在α﹑β 两相分子形式相同，且形成理想稀溶液，则 B 在两相中浓度之比为一常数，即分配系数。
b (α )
c (α )
K = B
,
K = B
b (β )
c (β )
B
B
17. 稀溶液的依数性
溶剂蒸气压下降：
Δp A = A B
② 凝固点降低：（条件：溶质不与溶剂形成固态溶液，仅溶剂以纯固体析出）
T = k b
R(T *
k = ) M A
Δ f f B
Δfus 0
m,A
③ 沸点升高：（条件：溶质不挥发）
T = k b
R(T *
k = ) M A Δ b b B
Δvap
m,A
④ 渗透压：
Π V 18. 逸度与逸度因子
= n B R T
~
气体 B 的逸度 p B ，是在温度 T ﹑总压力 p 总 下，满足关系式:
~
μ (g) = μ0
(g) + RT ln(
p B
)
B
B
p 0
的物理量，它具有压力单位。其计算式为：
~
p
V (g)
1 p B = p B exp{ [
B
RT ? ] d } p 总 逸度因子（即逸度系数）为气体 B 的逸度与其分压力之比：
~
? = p B
B
B
理想气体逸度因子恒等于 1 。 19. 逸度因子的计算与普遍化逸度因子图
1
f H b H p 0 0 f
b
p
B 总 B
B 总 B
B B B
B
p ? ?
k 0
B
p x p B B
ln ? p
V (g) 1 = [ B ? ] d p B
∫
RT p
用 V m = ZRT / p 代 V B ，（Z 为压缩因子）有：
p r
d p ln ?B = ∫ ( Z ? 1)
r
p r
不同气体，在相同对比温度 T r ﹑对比压力 p r 下，有大致相同的压缩因子 Z ，因而有大致相同
的逸度因子
? 。 20. 路易斯－兰德尔逸度规则
混合气体中组分 B 的逸度因子等于该组分 B 在该混合气体温度及总压下单独存在时的逸度因 子。
~
p B = ?
p = ? p
y = ? *
p y
~
= p 总 y B
适用条件：由几种纯真实气体在恒温恒压下形成混合物时，系统总体积不变。即体积有加和性。 21. 活度与活度因子 对真实液态混合物中溶剂：
μB (l) = μ*
(l) + RT ln a = μ* (l) + RT ln x f 且有： lim x B →1
f B = 1 ，其中
a B 为组分 B 的活度，f B 为组分 B 的活度因子。
若 B 挥发，而在与溶液平衡的气相中 B 的分压为 p B ，则有
a
f =
B p
=
B
，且
a = p B
B x
*
B *
B
B
B B
对温度 T 压力 p 下，真实溶液中溶质 B 的化学势，有：
= 0 + γB b B + ∫
∞ μB (溶质) μB (溶质) RT ln( b 0
) V B p 0 (溶质 ) d p
其中， γB = a B /? b B ? 为 B 的活度因子，且 b 0 ? ?
lim
∑ b
→ γ = 1
B
B
B
。
p 0
当 p 与 相差不大时， μB
(溶质)= μB (溶质) + RT ln a B ，对于挥发性溶质，其在气相中分压为：
p B = γ k b b B
，则
a = p B , γ =
p B 。
b
k b b B
B
ξ ) r m
p ∑ ∑
第五章
化学平衡
1． 化学反应亲和势的定义
A = ??r G m
A 代表在恒温、恒压和 W ' = 0 的条件下反应的推动力，A >0 反应能自动进行； A ＝0 处于平衡态； A < 0 反应不能自动进行。 2．
摩尔反应吉布斯函数与反应进度的关系
(?G
T , p = ∑νB μB
B
= ?r G m
式中的 (?G ?ξ )
T,p 表示在 T ，p 及组成一定的条件下，反应系统的吉布斯函数随反应进度的变化率，
称为摩尔反应吉布斯函数变。 3．
化学反应的等温方程
?r G m = ? G θ
+ R T ln J ν
r
G m
B B
，称为标准摩尔反应吉布斯函数变； J p = Π ( p B p )
，称为反应的压力商，
式中 ?
θ
= ν μ θ
θ B
B
其单位为 1。此式适用理想气体或低压下真实气体，，在 T ，p 及组成一定，反应进度为 1 mol 时的 吉布斯函数变的计算。 4．
标准平衡常数的表达式
K θ
= Π(p
eq
p
θ )
ν
B
B
B
eq
式中 p B 为参加化学反应任一组分 B 的平衡分压力，γB 为 B 的化学计量数。K θ量纲为一。若已知平
K θ
衡时参加反应的任一种物质的量 n B ，摩尔分数 y B ，系统的总压力 p ，也可采用下式计算 ：
K θ
= Π n
ν
B
?{
p
(
p θ
n
)}
∑
νB
=
y ν B
?(
p p
θ
)
∑ν
B
B
B
B
∏
B
B
式中
∑n B 为系统中气体的物质的量之和， ∑ν B 为参加反应的气态物质化学计量数的代数和。此式 只适用于理想气体。 5．
标准平衡常数的定义式
θ θ
或
θ θ
ln K = ? ?r G m RT
K = e xp( ??r G m
RT )
6． 化学反应的等压方程——范特霍夫方程
微分式 θ
θ
2
d ln K d T = ?r H m RT
积分式
θ
θ
θ
ln( K 2 K 1 ) = ?r H m (T 2 ?T 1) RT 2T 1
r
m
θ
不定积分式
ln K θ = ? ? H θ
RT + C
对于理想气体反应， ? H θ = ? H ，积分式或不定积分式只适用于 ? H 为常数的理想气体恒压
r
m
r
m
r
m
ln K θ
反应。若 ?r H m 是 T 的函数，应将其函数关系式代入微分式后再积分，即可得到 系式。 7．
真实气体的化学平衡
与 T 的函数关 B B B B
~
ν B
∏
B K θ
~ eq
eq
= Π(? eq )ν B
?Π( p eq eq p θ )ν B
= ( p
eq
B
p θ )
上式中 p B ， p B ，
?B
分别为气体 B 在化学反应达平衡时的分压力、逸度和逸度系数。 K θ 则为
用逸度表示的标准平衡常数，有些书上用 K f 表示。
上式中
~ e q
e q e q
p B
= p B · ? B 。
第六章 相平衡
1． 吉布斯相律
F = C ? P + 2
式中 F 为系统的自由度数（即独立变量数）；P 为系统中的相数；―2‖表示平衡系统只受温度、压力
两个因素影响。要强调的是，C 称为组分数，其定义为 C =S －R －R ′，S 为系统中含有的化学物质
数，称物种数；R 为独立的平衡化学反应数； R ' 为除任一相中 ∑ x B =1 （或ωB =1）。同一种物质 在各平衡相中的浓度受化学势相等限制以及 R 个独立化学反应的标准平衡常数
K θ 对浓度限制之 外，其他的浓度（或分压）的独立限制条件数。
相律是表示平衡系统中相数、组分数及自由度数间的关系。供助这一关系可以解决 ：（a ）计 算一个多组分多平衡系统可以同时共存的最多相数，即 F ＝0 时，P 值最大，系统的平衡相数达到 最多；（b ）计算一个多组分平衡系统自由度数最多为几，即是确定系统状态所需要的独立变量数； （c ）分析一个多相平衡系统在特定条件下可能出现的状况。 应用相律时必须注意的问题：（a ）
相律是根据热力学平衡条件推导而得的，故只能处理真实
的热力学平衡系统；（b ）相律表达式中的―2‖是代表温度、压力两个影响因素，若除上述两因素外， 还有磁场、电场或重力场对平衡系统有影响时，则增加一个影响因素，―2‖的数值上相应要加上―1‖。
若相平衡时两相压力不等，则
F = C ? P + 2式不能用，而需根据平衡系统中有多少个压力数值改写 ―2‖这一项；（c ）要正确应用相律必须正确判断平衡系统的组分数 C 和相数 P 。而 C 值正确与否又 取决与 R 与 R ?的正确判断；（d ）自由度数 F 只能取 0 以上的正值。如果出现 F <0，则说明系统处 于非平衡态。 2． 杠杆规则
杠杆规则在相平衡中是用来计算系统分成平衡两相（或两部分）时，两相（或两部分）的相对 量，如图 6－1 所示，设在温度为 T 下，系统中共存的两相分别为α相与β相。
B B
图 6－1 说明杠杆规则的示意图
M
α
β
图中 M ，α，β分别表示系统点与两相的相点； x B ， x B ， x B 分别代表整个系统，α相和β相的组
成（以 B 的摩尔分数表示）； n ， n α 与 n β 则分别为系统点，α相和β相的物质的量。由质量衡算可 得
a
M
α
β
β
M
或
α β M
n (x B ? x B ) = n (x B ? x B )
n = (x B ? x B )
n β ( x M ? x α )
上式称为杠杆规则，它表示α，β两相之物质的量的相对大小。如式中的组成由摩尔分数 x α ， x M ，
β α M
β
n α n β
B
B
m α m
β x B 换成质量分数ωB ，
ωB
，ωB 时，则两相的量相应由物质的量 与 （或 与 ）。由于杠杆
规则是根据物料守恒而导出的，所以，无论两相平衡与否，皆可用杠杆规则进行计算。注意：若系 统由两相构成，则两相组成一定分别处于系统总组成两侧。
第七章 电 化 学 主要公式及其适用条件
1．迁移数及电迁移率 电解质溶液导电是依靠电解质溶液中正、负离子的定向运动而导电，即正、
负离子分别承担
导电的任务。但是，溶液中正、负离子导电的能力是不同的。为此，采用正(负)离子所迁移的电量 占通过电解质溶液的总电量的分数来表示正(负)离子之导电能力，并称之为迁移数，用 t + ( t - ) 表示。 即
正离子迁移数
负离子迁移数
Q + t + =
Q + + Q ?
=
v + v + + v ?
=
u +
u + + u ?
t ? =
Q + Q ? + Q ?
=
v ? v + + v ? =
u ? u + + u ?
上述两式适用于温度及外电场一定而且只含有一种正离子和一种负离子的电解质溶液。式子表明，
正(负)离子迁移电量与在同一电场下正、负离子运动速率 v + 与 v ? 有关。式中的 u + 与 u - 称为电迁
移率，它表示在一定溶液中，当电势梯度为 1V·m -1 时正、负离子的运动速率。
α
x α B
β
x β B
Λ ? A ∞
若电解质溶液中含有两种以上正(负)离子时，则其中某一种离子 B 的迁移数 t B 计算式为
Q B
t z + = ∑ B B
Q
B
2．电导、电导率与摩尔电导率
衡量溶液中某一电解质的导电能力大小，可用电导 G ，电导率 κ 与摩尔电导率 Λm 来表述。电 导 G 与导体的横截面 A s 及长度 l 之间的关系为
1 κ A G = = s
R l
式中
κ 称为电导率，表示单位截面积，单位长度的导体之电导。对于电解质溶 液，电导率 κ 则表 示相距单位长度，面积为单位面积的两个平行板电极间充满 电解质溶液时之电导，其单位为 S · m -1 。若溶液中含有 B 种电解质时，则该溶液的电导率应为 B 种电解质的电导率之和，即
κ(溶液)= ∑ κ B
B
虽然定义电解质溶液电导率时规定了电极间距离、电极的面积和电解质溶液的体积，但因未 规定相同体积电解质溶液中电解质的量，于是，因单位体积中电解质的物质的量不同，而导致电导 率不同。为了反映在相同的物质的量条件下，电解质的导电能力，引进了摩尔电导率的概念。电解 质溶液的摩尔电导率 Λm 定义是该溶液的电导率 κ 与其摩尔浓度 c 之比，即
Λ = κ
m
c
Λm 表示了在相距为单位长度的两平行电极之间放有物质的量为 1 mol 电解质之溶液的电导。单位 为 S · m 2 · mol -1 。使用 Λm 时须注意：(1)物质的量之基本单元。因为某电解质 B 的物质的量 n B 正 比于 B 的基本单元的数目。例如，在 25 0C 下，于相距为 l m 的两平行电极中放人 1mol BaSO 4(基 本单元)时，溶液浓度为 c ，其 Λm (BaSO 4 ，298.15K)= 2.870×
10-2 S · m 2 · mol -1 。若基本单元取
1
1 1 (
2 BaS04)，则上述溶液的浓度变为 c '，且 c '=2c 。于是， Λ'm ( 2 BaS04，298.15K)= 2
Λm (BaS04，
298.15K)=1.435×10-2 S · m 2 · mol -1；(2)对弱电解质，是指包括解离与未解离部分在内总物质的量为 1 mol 的弱电解质而言的。 Λm 是衡量电解质导电能力应用最多的，但它数值的求取却要利用电导 率 κ ，而 κ 的获得又常需依靠电导 G 的测定。 3. 离子独立运动定律与单种离子导电行为
摩尔电导率 Λm 与电解质的浓度
c 之间有如下关系: Λm = m c
∞ ∞
m Λ Λ Λ Λ ν Λ Λ ν Λ ∞
+ ±
+ ? ∞
m
=
= + b
此式只适用于强电解质的稀溶液。式中 A 与 m 在温度、溶液一定下均为常数。 Λm 是 c →0 时的
摩尔电导率，故称为无限稀释条件下电解质的摩尔电导率。 Λm 是电解质的重要特性数据，因为无
限稀释时离子间无静电作用，离子独立运动彼此互不影响，所以，在同一温度、溶剂下，不同电解
质 的 Λ∞
数 值 不 同 是 因 组 成 电 解 质 的 正 、 负 离 子 的 本 性 不 同 。 因 此 ， 进 一 步 得 出
∞ = ν ∞ m ,+
+ ν? ∞
m ,-
∞ ∞
式中
ν + 与 ν ? 分别为电解质 C ν+ A ν? 全部解离时的正、负离子的化学计量数， Λm ,+ 与 Λm ,? 则分别为溶 液无限稀时正、负离子的摩尔电导率。此式适用溶剂、温度一定条件下，任一电解质在无限稀时的
∞ ∞
∞
∞
摩尔电导率的计算。而 Λm ,+ 和 Λm ,? 可通过实验测出一种电解质在无限稀时的 Λm 与迁移数 t B ， 再由下式算出：
∞
∞
+ m,+ + ∞
m ∞
∞
? m,? ? ∞
m
利用一弱电解质的 Λm 值及一同温同溶剂中某一浓度(稀溶液)的该弱电解质之 Λm ，则从下式
可计算该弱电解质在该浓度下的解离度:
α =
Λ m
∞ m
4．电解质离子的平均活度和平均活度系数
强电解质 C ν+ A ν? 解离为 ν C z +
离子和 ν A z ? 离子，它们的活度分别为 a ， a ，a - ，三者间关
ν+ ν?
系如下：
a = a + ? a ?
因实验只能测得正、负离子的平均活度
a ± ，而 a ± 与 a ，a +，a - 的关系为
a = a ν = a ν+ · a ν?
;
ν = ν + + ν ?
另外 a
= γ ? b ± ? ±
± ? 0
? ?
式 中 ： b ± 称 为 平 均 质 量 摩 尔 浓 度 ， 其 与 正 、 负 离 子 的 质 量 摩 尔 浓 度 b + ， b - 的 关 系 为 b = ν (b ν+
? b ν? )
。 式中 γ 称离 子平均活 度系数， 与正、 负离子的 活度系数 ， 的关 系为 ± + ? ± γ + γ ?
γ = ν (
γ ν+
? γ
ν?
)
±
+ ?
。
5. 离子强度与德拜—休克尔极限公式
离子强度的定义式为 I = 1
∑ b Z 2 。式中 b 与 Z 分别代表溶液中某离子 B 的质量摩尔浓 B B
B B
B Λ t t + ;
Λ ?
2
r ?T ? ? ?T Δ G r m 度与该离子的电荷数。单位为 mol ﹒kg -1 。I 值的大小反映了电解质溶液中离子的电荷所形成静电 场强度之强弱。I 的定义式用于强电解质溶液。若溶液中有强、弱电解质时，则计算 I 值时，需将 弱电解质解离部分离子计算在内。
德拜—休克尔公式：
lg γ ±
= ? A z + z ?
上式是德拜—休克尔从理论上导出的计算 γ ± 的式子，它只适用于强电解质极稀浓度的溶
液。A 为常数，在 25 0 C 的水溶液中 A = - 0.509(kg ﹒mol -1)1/2 。
6. 可逆电池对环境作电功过程的 Δr G m ,Δr S m ,Δr H m ， K o
及 Q 的计算
在恒 T ，p ，可逆条件下，若系统经历一过程是与环境间有非体积功交换时， 则
?G = W r
当系统(原电池)进行 1 mol 反应进度的电池反应时，与环境交换的电功 W ’= - z FE ，于是 ?r G m = -zFE 式中 z
为 1mol 反应进度的电池反应所得失的电子之物质的量，单位为 mol 电子／mol 反应，F 为 1mol 电子所带的电量，单位为 C · mol -1 电子。
如能得到恒压下原电池电动势随温度的变化率 ? ?E ?
? ? p
应进度为 1mol 的电池反应之熵差 ?r S m 可由下式求得:
(亦称为电动势的温度系数)，则恒压下反
? ? ?Δr G m ? = zF ? ?E ? ?r S m = ? ?T ? ? ?T ? ? ? p ? ? p
? ?E ?
再据恒温下，?r G m = ?r H m –T ?r S m ，得?r H m = -zFE + zFT ?
? 。 ? ?p
此式与?r G m 一样，适用于恒 T ，p 下反应进度为 1mol 的电池反应。
若电池反应是在温度为 T 的标准状态下进行时，则 o = ? zFE o
于是 ln K O = zFE O /RT
此式用于一定温度下求所指定的原电池反应的标准平衡常数 K O 。式中 E O
称为标准电动势。 7. 原电池电动势 E 的求法 计算原电池电动势的基本方程为能斯特
方程。如电池反应
aA(a A )+cC(a C ) = dD(a D )+f F(a F )
则能斯特方程为
E = E O
? RT a d a f
ln D F zF a a a c
A
C
I
上式可以写成 E = E O ?RT ν
ln∏ a B zF B
上式表明，若已知在一定温度下参加电池反应的各物质活度与电池反应的得失电子的物质的量，则E 就可求。反之，当知某一原电池的电动势，亦能求出参加电池反应某物质的活度或离子平均活度系数γ ±。应用能斯特方程首要的是要正确写出电池反应式。
在温度为T，标准状态下且氢离子活度a H+为1 时的氢电极定作原电池阳极并规定该氢电极标准电极电势为零，并将某电极作为阴极(还原电极)，与标准氢组成一原电池，此电池电动势称为还原电极的电极电势，根据能斯特方程可以写出该电极电势与电极上还原反应的还原态物质活度a(还原态)及氧化态物质活度a(氧化态)的关系
E(电极) = E O(电极) ?RT ln a(还原态)
zF a(氧化态)
利用上式亦能计算任一原电池电动势。其计算方法如下：对任意两电极所构成的原电池，首先利用上式计算出构成该原电池的两电极的还原电极电势，再按下式就能算出其电动势E： E = E(阴)—E(阳)
式中E(阴)与E(阳)分别为所求原电池的阴极和阳极之电极电势。若构成原电池的两电极反应的各物质均处在标准状态时，则上式改写为: E O = E O(阴)?E O(阳)
8．极化电极电势与超电势
E O(阴)与E O(阳)可从手册中查得。
当流过原电池回路电流不趋于零时，电极则产生极化。在某一电流密度下的实际电极电势E 与平衡电极电势E(平)之差的绝对值称为超电势ε，它们间的关系为
ε(阳) = E(阳) ?E (阳，平)
ε(阴) = E(阴，平) ?E(阴)
上述两式对原电池及电解池均适用。
第八章量子力学基础
1.量子力学假设
（1）由N 个粒子组成的微观系统，其状态可由这N 个粒子的坐标（或动量）的函数来表示，Ψ被称为波函数。为在体积元dτ中发现粒子的概率；波函数为平方可积的，归一化的，，彼此可相差因子；波函数是单值的、连续的。
高中物理必修一公式大全 掌握好物理公式是解决物理题目必不可少的，为方便学生学习，下面是整理的高中物理必修一公式大全，希望大家喜欢。 基本符号 Δ代表变化的 t代表时间等,依情况定,你应该知道 T代表时间 a代表加速度 v。代表初速度 v代表末速度 x代表位移 k代表进度系数 注意,写在字母前面的数字代表几倍的量,写在字母后面的数字代表几次方. 运动学公式 v=v。+at无需x时
v2=2ax+v。2无需t时 x=v。+0.5at2无需v时 x=((v。+v)/2)t无需a时 x=vt-0.5at2无需v。时 一段时间的中间时刻速度(匀加速)=(v。+v)/2 一段时间的中间位移速度(匀加速)=根号下((v。2+v2)/2) 重力加速度的相关公式,只要把v。当成0就可以了.g一般取10 相互作用力公式 F=kx 两个弹簧串联，进度系数为两个弹簧进度系数的倒数相加的倒数 两个弹簧并联,进度系数连个弹簧进度系数的和 运动学： 匀变速直线运动。 ①v=v(初速度)+at ②x=v(初速度)t+?at平方=v+v(初速度)/2×t
③v的平方-v(初速度)的平方=2ax ④x(末位置)-x(初位置)=a×t的平方 自由落体运动(初速度为0)套前面的公式，初速度为0 重力：G=mg(重力加速度)弹力：F=kx摩擦力：F=μF(正压力)引申：物体的滑动摩擦力小于等于物体的最大静摩擦匀变速直线运动 1.平均速度V平=s/t(定义式) 2.有用推论Vt2-Vo2=2as 3.中间时刻速度Vt/2=V平=(Vt+Vo)/2 4.末速度Vt=Vo+at 5.中间位置速度Vs/2=[(Vo2+Vt2)/2]1/2 6.位移s=V平 t=Vot+at2/2=Vt/2t 7.加速度a=(Vt-Vo)/t{以Vo为正方向，a与Vo同向(加速)a0;反向则a0｝ 8.实验用推论Δs=aT2{Δs为连续相邻相等时间(T)内位移之差｝ 9.主要物理量及单位:初速度(Vo):m/s;加速度(a):m/s2;末速度(Vt):m/s;时间(t)秒(s);位移(s):米(m);路程:米;速度单位换算： 1m/s=3.6km/h。
一级建造师《建设工程经济》计算公式汇总 1、单利计算 式中 I t ——代表第t 计息周期的利息额；P ——代表本金；i 单——计息周期单利利率。 2、一次支付的终值和现值计算 ①终值计算（已知P 求F 即本利和） ②现值计算（已知F 求P ） n n i F i F P -+=+= )1()1( 3、等额支付系列的终值、现值、资金回收和偿债基金计算 等额支付系列现金流量序列是连续的，且数额相等，即： ） ，，，，常数（n t A A t 321=== ①终值计算（即已知A 求F ） i i A F n 11-+=）（ ②现值计算（即已知A 求P ） n n n i i i A i F P ）（）（）（+-+=+=-11 11 ③资金回收计算（已知P 求A ） 111-++=n n i i i P A ）（） （ ④偿债基金计算（已知F 求A ） 1 1-+=n i i F A ）（ 4、名义利率r 是指计息周期利率：乘以一年内的计息周期数m 所得的年利率。即：m i r ?= 5、有效利率的计算 包括计息周期有效利率和年有效利率两种情况。 （1）计息周期有效利率，即计息周期利率i ，由式（1Z101021）可知： m r I = （1Z101022-1） （2）年有效利率，即年实际利率。 年初资金P ，名义利率为r ，一年内计息m 次，则计息周期利率为 m r i = 。根据一次支付终值公式可得该年的本利和F ，即： m m r P F ?? ? ?? +=1 根据利息的定义可得该年的利息I 为：??? ?????-??? ??+=-? ?? ? ? +=111m m m r P P m r P I 单 i P I t ?=m i r ?=
宏观经济学重点 1、萨伊法则：是一种产品的供给产生了对另一种产品的需求，有多大供给就有多大的需求，整个社会的总供给与总需求必相等。因此，普遍的生产过剩是不可能的。 2、 凯恩斯革命：凯恩斯经济学从许多方面突破了传统经济学的思想束缚，拓宽了经济学的视角，运用一些新的概念、理论等分析工具对资本主义经济的运行进行了重新的解释，得出了一切与传统经济学对立的政策结论，从而在很大程度上改变了现代经济学的面貌。表现：①经济学研究中心转变②资本主义经济运行的常态③政府的作用 3、宏观经济的目标：①持续的经济增长②充分就业③价格稳定④国际收支平衡 宏观经济学：是把整个经济总体作为考察对象，研究其经济活动的现象和规律，从而产生许多经济理论。联系：①相辅相成，构成整体②微观是宏观的基础。 区别：微观经济宏观经济 研究对象单个经济单位整个经济 解决问题资源配置资源利用 中心理论价格理论国民收入理论 研究方法个量分析总量分析 代表人物马歇尔1890《经济学原理》凯恩斯1936《就业、利息和货币通论》 4、公共产品：是政府向社会和私人提供的各种服务的总称。 特征：①同时具有非“排他性”和非“争夺性”②具有“排他性”，不具有“争夺性”。 5、私人产品：是指一般生产要素供给者通过市场经济所提供的产品和服务，它由私人或厂商所提供。 特征：①具有“排他性”②具有“争夺性”。 6、政府的经济作用：①政府直接控制②政府提供公共产品的社会消费③政府通过稳定财政政策和货币政策控制通货膨胀和失业率④政府从事生产⑤政府提供社会福利保障 7、市场失灵：市场经济由于其纯理论所假定的前提无法实现，使得市场经济并非万能，不可能发挥其理论上的经济效率。 8、转移支付：是指从整个国家的利益出发对某些人进行的无偿支付。 9、洛伦茨曲线：是反映收入分配平均程度的曲线。看图 OI表示国民收入百分比，OP表示人口百分比，连接两对角线OY的是绝对平均曲线。对角线上的任何一点都表示：总人口中每一定百分比的人口所拥有的收入，在总收入中也占相同的百分比。OPY是绝对不平均线，表示社会的全部收入都被一人所占有，其余的人的收入都是零。OY弧线为实际收入分配线即洛伦茨曲线，每一点都表明：占总人口的一定百分比的人口拥有的收入在总收入中所占的百分比。从曲线的形状可看出：实际收入分配线越靠近对角线，则表示社会收入分配越接近平均；反之，实际收入分配线越远离对角线，则表示社会收入分配越不平均。 10、基尼系数（洛伦茨系数）：根据洛伦茨曲线图找出了判断收入分配平均程度的指标。基尼系数=A/（A+B） A表示实际收入分配曲线与绝对平均曲线之间的面积；B表示实际收入分配曲线与绝对不平均曲线之间的面对。如果A=0，基尼系数=0，则表示收入绝对平均；如果B=0，基尼系数=1，收入绝对不平均。事实上基尼系数在0和1之间，基尼系数数值越小，越接近于收入平均；基尼系数数值越大，则收入越不平均。对于收入分配高度不均的国家基尼系数在0.5-0.7之间，对于收入分配相对平等的国家，在0.2-0.35之间。 11、税金转嫁：纳税人可以把税金转嫁给他人负担。分为两种：①向前转嫁，即在市场交换过程中，在产品或服务销售之前，卖方通过加价的方式把税收负担转嫁给买方；②向后转嫁，
一． 狭 义相对论 1． 爱因斯坦的两个基本原理 2． 时空坐标变换 3． 45（1（2）0 m m γ= v = （3）0 E E γ= v =（4） 2222 C C C C v Pv Pv Pv P E E E E ==== 二． 量子光学基础 1． 热辐射 ① 绝对黑体:在任何温度下对任何波长的辐射都能完全吸收的物体。 吸收比：(T)1B αλ、＝ 反射比：(T)0B γλ、＝ ② 基尔霍夫定律(记牢) ③ 斯特藩-玻尔兹曼定律 -vt x C v = β
B B e e ：单色辐射出射度 B E ：辐出度，单位时间单位面积辐射的能量 ④ 唯恩位移定律 m T b λ?= ⑤ 普朗克假设 h εν= 2． 光电效应 （1） 光电效应的实验定律： a 、n I ∝光 b 、 0 00a a a a e U ek eU e U ek eU e U ek eU e U ek eU νννν----＝＝＝＝ （23、 4 三． 1 ② 三条基本假设 定态，，n m n m h E E h E E νν=-=- ③ 两条基本公式 2210.529o n r n r n A == 12213.6n E E eV n n -== 2． 德布罗意波 20,0.51E mc h E MeV ν=== 22 mc mc h h νν== 电子波波长：
h mv λ= 微观粒子的波长： h h mv mv λλ= === 3． 测不准关系 x x P ???≥h 为什么有？会应用解题。 4．波函数 ① 波函数的统计意义： 例1① ② 例2．① ② 例3．π 例4 例5，，设 S 系中粒子例6 例7． 例8． 例9． 例10． 从钠中移去一个电子所需的能量是2.3eV ，①用680nm λ=的橙光照射，能否产生光电效应？②用400nm λ=的紫光照射，情况如何？若能产生光电效应，光电子的动能为多大？③对于紫光遏止电压为多大？④Na 的截止波长为多大？ 例11． 戴维森革末实验中，已知电子束的动能310k E MeV =，求①电子波的波长；②若电子束通过0.5a mm =的小孔，电子的束状特性是否会被衍射破坏？为什么？ 例12． 试计算处于第三激发态的氢原子的电离能及运动电子的德布罗意波长。 例13． 处于基态的氢原子，吸收12.5eV 的能量后，①所能达到的最高能态；②在该能态上氢原子的电离能？电子的轨道半径？③与该能态对应的极限波长以及从该能态向低能态跃迁时，可能辐射的光波波长？
物理公式及图像总结高一物理必修 1 知识点总结 章节具体内容主要相关公式 ①参考系 1、运动、空间②建立一维、二维坐标系描述空 二运动和时间间位置 ③时间和时刻 ①质点 的描述2、质点和位移 3、速度和加速 ②位移和路程 ③矢量和标量 ①平均速度和瞬时速度 ②加速度 ▲平均速度 v s t 三匀度 ③匀速直线运动的位移图象 ④匀速直线运动的速度图象 ①匀变速直线运动的特点 ②匀变速直线运动的公式、规律 ③匀变速直线运动的速度图象 ▲加速度a v t v o t ▲ v t v o at ▲匀变速直线运动平均速度 变 1、匀变速直线速运动的规律 直 线 运 动 2、匀变速直线的 运动的实验研研究 究④匀变速直线运动的位移图象 ①用打点计时器或频闪照相方法 研究匀变速直线运动。 ②利用纸带会计算某点的瞬时速 度和物体运动的加速度 ③经历匀变速直线运动的实验研 究过程 v v t v o 2 ▲匀变速直线运动的位移 s vt v o v t t v t 1 at2 o 2 2 ▲v t2 v o2 2as ▲相同时间间隔内位移差 s aT 2 ▲ v v t v0 v o a t 2 2 ▲各个点的瞬时速度 v n s n s n 1 2T
3、自由落体运 动 1、重力与重心四 相 互 2、形变与弹力作 用 3、摩擦力 1、力的合成五 力 2、力的分解与 平 3、力的平衡衡 4、平衡条件的 应用 1、牛顿第一定六 律 力 2、牛顿第二定与 律 运 3、牛顿第三定动 律①自由落体运动的特点 ②自由落体运动的性质 ③自由落体运动的公式、规律 ④自由落体运动规律探索的回眸 ①力的图示与力的示意图 ②重力及其测量，弹簧测力计 ③重心和稳定 ①形变、弹性 ②胡克定律 ③弹力的应用 ①滑动摩擦、动摩擦因数 ②静摩擦 ③摩擦力的调控 ①力的平行四边形定则 ②合力的计算①力的作 用效果及分解 ②力的正交分解 ③力的分解的应用 ①共点力作用下的平衡条件 ②平衡的种类和稳度 ①平衡条件的应用 ①伽利略的理想实验 ②牛顿第一定律 ③物体的惯性 ①牛顿第二定律及其应用 ②力学单位制 ①牛顿第三定律 ▲ v t gt ▲s 1 gt2 2 ▲ v t2 2 gs ▲ G mg ▲弹力 F kx （胡克定律） ▲滑动摩擦力f N ▲力的正交分解 F x F cos F y F sin ▲共点力下物体平衡条件： F合0 ▲牛顿第二定律 F ma ▲作用力和反作用力 F F
第一章：工程经济1Z101010 资金时间价值的计算及应用（4-6题） ⑸、一次支付的终值P6 存入银行100万元，年利率5%，时间为3年，在第3年年末连本带利一起取出，问可以取出多少钱？ n iPF)(?1?—年限）ni—利率，（式中：F—终值，P—现值，⑹、一次支付的现值P7 现在存入一笔钱，银行按照复利5%，按年付利息，在第三年年末，连本带利取出100万，问现在需存入多少钱？ n?iPF)??(1—年限）—利率，n—终值，P—现值，i（式中：F⑺、等额支付的终值P9 未来3年每年年末在账户里面存入1万元，银行按照复利5%，按年付利息，在第3年年末连本带利一起取出，问可以取出多少钱？ n i??1)(1AF?—年金）An—年限，（式中：F—终值，i—利率，i⑻、等额支付的现值P9 现在存入一笔钱，银行按照复利5%，按年付利息，在未来三年每年年末，取出1万元，在第三年取出后账面余额为0，问现在需存入多少钱？ n i??11)(PA?—年金）i—利率，n—年限，A（式中：P—现值，n ii)?(?1
P11 、名义利率与有效利率的计算3P12 ），计息周期利率i⑴、计息周期：某一笔资金计算利息时 间的间隔（计息周期数m ）⑵、计息周期利率（i ）⑶、计息周期数：某一笔资金在一年内计 算利息的次数（mm r=i×计算的年利率）（r）单利⑷、名义利率：指的是年利率（复利计算利 率⑸、实际利率：又称有效利率，①计息周期的有效利率：（等效计息周期利率）②年有效利率：r m i1)?(1??eff m，问资金的名义利率？⑹、已知某一笔资金的按季度计息，季度利率3%4=12% m=3%×r=i× ，问半年的利率是多少？⑺、已知某一笔资金半年计息一次，名义利率10%i=r/m=10%/2=5% ，1.5%，200万，按季计算并支付利息季度利率年初向银行贷款流动资金⑻、甲施工企业， 则甲施工企业一年应支付的该项流动资金贷款利息为多少万元？ 200×1.5%×4=12万元
大学物理公式 基本概念（定义和相关公式） 位置矢量：r ，其在直角坐标系中：k z j y i x r ；2 22z y x r 角位置：θ 速度： dt r d V 平均速度：t r V 速率：dt ds V （ V V ） 角速度：dt d 角速度与速度的关系：V=ｒω 加速度：dt V d a 或 2 2dt r d a 平均加速度：t V a 角加速度：dt d 在自然坐标系中n a a a n 其中dt dV a （=ｒβ），r V n a 2 （=r2 ω） 1．力：F =ｍa （或F = dt p d ） 力矩：F r M （大小：M=rFcos θ方向：右手螺旋 法则） 2．动量：V m p ，角动量：V m r L （大小：L=rmvcos θ方向：右手螺旋法则） 3．冲量： dt F I （=F Δｔ）；功： r d F A （气体对外做功：A=∫PdV ） 4．动能：mV 2/2 5．势能：A 保= – ΔE p 不同相互作用力势 能形式不同且零点选择不同其形式 不同，在默认势能零点的情况下： 机械能：E=E K +E P 6．热量：CRT M Q 其中：摩尔热容 量C 与过程有关，等容热容量C v 与等压热容量C p 之间的关系为：C p = C v +R 7．压强： n tS I S F P 3 2 8．分子平均平动能：kT 23 ；理想气体内能：RT s r t M E )2(2 9．麦克斯韦速率分布函数：NdV dN V f )(（意义：在V 附近单位速度间隔内的分子数所 占比率） 10． 平均速率： RT N dN dV V Vf V V 80 )( 方均根速率： RT V 22 ；最可几速率： RT p V 3 11． 熵：S=Kln Ω（Ω为热力学几率，即：一种宏观态包含的微观态数） 12． 电场强度：E =F /q 0 （对点电荷：r r q E ?42 ） 13． 电势： a a r d E U （对点电荷r q U 04 ）；电势能：W a =qU a (A= –Δ mg(重力) → mgh -kx （弹性力） → kx 2/2 F= r r Mm G ?2 (万有引力) →r Mm G =E p r r Qq ?420 (静电力) →r Qq 04
物理必修一二公式汇总
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高中物理必修一、二公式总结 勐腊县一中 曾大国 一、运动的描述 1、速度：位移与发生这个位移所用时间的比值 x v t ?= ? 2、平均速度：物体运动的总位移和所用总时间的比值 x v t = 总 总 3、瞬时速度：物体在某位置（某时刻）的速度 x v t ?= ?→?（t 0） 4、加速度：指速度的变化量与发生这一变化所用时间的比值 0 v v v a t t -?= = ? 二、匀变速直线运动的研究 1、探究小车速度随时间变化的规律 （1）、打点时间间隔： 0.02s （2）、电源：低压交流电 电压：6V 以下 （3）、纸袋处理：解题思想：设相邻两个计数点间的时间为T 纸带上点的求法：该点的瞬时速度等于该点前后相邻的两点间的平均速度。 加速度的求法：2x a T ?=（x ?：纸带上连续两段的差） 2、匀变速直线运动 （1）、速度：0v v at =+ （2）、位移：2 12 x v t at =+ （3）、速度与位移：2 2 02v v ax -= （4）、自由落体运动：速度：v gt = 位移：212 h gt = 三、相互作用
θ h 0v ● y ● v y v X x （1）、重力：G mg = （2）、胡克定律（弹簧的弹力）：F kx = （3）、两个物体间的静摩擦力F 在0与最大静摩擦力max F 之间：max 0F F <≤。 根据平衡力特点计算 （4）、滑动摩擦力： N f F μ= （5）、力的合成：两个力1F ，2F 的合力F 合的范围：1212F F F F F -≤≤+合 F 合的大小：221212= 2cos F F F F F θ++合 四、牛顿运动定律 （1）、牛顿第二定律：=ma F 合 （2）、超重：N F G > 失重：N F G < 五、曲线运动 （1）、平抛运动： ①、规律：水平方向：做匀速直线运动 位移：0x v t = 竖直方向：做自由落体运动 速度：y v gt = 位移：2 12 h gt = ②、合速度的大小：22 0y v v v =+ 方向：0 tan y v v θ= （2）、圆周运动： 线速度：物体运动过的弧长（s ?）与所用时间（t ?）的比值 s v t ?= ? 角速度：物体运动转过的角度（θ?）与所用时间（t ?）的比值
宏观经济学公式 1.Y=C+I+G+NX Y=C+I+G+（X-M） 2.真实GDP=P（基年价格）*Q 名义GDP=P（现期价格）*Q 3.GDP平减指数=名义GDP/真实GDP*100% 4.第二年通货膨胀率=（第二年GDP平减指数-第一年GDP平减指数）/第一年GDP平减指数*100% 5.消费物价指数=（当年一篮子物品与劳务的价格/基年一篮子的价格）*100 6.第二年通货膨胀率=（第二年CPI-第一年CPI）/第一年CPI*100% 7.今年的美元数量=T年美元的数量*（今年的物价水平/T年的物价水平） 今天的美元/今天的CPI=T年的美元/T年的CPI 8.真实利率=名义利率-通货膨胀率名义利率=通货膨胀率+真实利率 9.Y（产量）=AF（L，K，H，N）Y/L=AF(1,K/L,H/L,N/L) 10.封闭经济条件下：Y=C+I+G Y-C-G（国民储蓄，储蓄）=I S（储蓄）=I S=(Y-T-C)+(T-G),其中(Y-T-C)为私人储蓄，(T-G)为公共储蓄或政府储蓄 11.预算盈余：T-G>0 预算赤字：T-G<0 12.FV=PV*(1+r)^N PV=FV/(1+r)^N （贴现）FV=FV/(1+r)^N*(1+r)^N FV为未来值，PV为现值 13.劳动力=就业者人数+失业者人数失业率=失业者人数/劳动力
*100% 劳动力参工率=劳动力/成年人口*100% 成年人口=劳动力+非劳动力 14.M=R(1+(1-r)^2+..........+(1-r)^n)=R/r=R*1/r(0 一、质点力学基础： （一）基本概念： 1、参照系，质点 2、矢径：k z j y i x r ???++= 3、位移：()()()k z z j y y i x x k z j y i x r r r ??????12121 212-+-+-=++=-=???? 4、速度：k dt dz j dt dy i dt dx k j i dt r d t r z y x t ??????lim ++=++===→υυυ??υ? 5、加速度：k dt d j dt d i dt d k a j a i a dt r d dt d t a z y x z y x t ??????lim υυυυ?υ??++=++====→220 6、路程，速率 7、轨迹方程：0=),,(z y x f 8、运动方程：)(t r r =， 或 )(t x x =， )(t y y =， )(t z z = 9、圆周运动的加速度：t n a a a +=； 牛顿定律：a m dt p d F ==； 法向加速度：R a n 2 υ= ； 切向加速度：dt d a t υ= 10、角速度：dt d θω= 11、加速度：22dt d dt d θ ωα== 二、质点力学中的守恒定律： （一）基本概念： 1、功：?? =?= b a b a dl F l d F A θcos 2、机械能：p k E E E += 3、动能： 22 1 υm E k = 4、势能：重力势能：mgh E p =； 弹性势能：221kx E p = ； 万有引力势能：r Mm G E p -= 5、动量： υ m p =； 6、冲量 ：??=t dt F I 0 7、角动量：p r L ?=； 8、力矩：F r M ?= （二）基本定律和基本公式： 1、动能定理：2 0202 121υυm m E E A k k -= -=外力 （对质点） ∑∑-=-=+i i i k i k k k E E E E A A 00内力外力 （对质点系） 1、等值（现值与终值计算）四个公式记住，必考点 ①一次支付（只有一笔钱）的终值F=P(1+i)n 或F=P(F/P,i,n)； ②一次支付（只有一笔钱）的现值P=F(1+i)n 或P=F(P/F,i,n)； ③等额支付（有几笔钱或复利）的终值F=A (1+i)^n-1 i 或F=A(F/A,i,n)； ④等额支付（有几笔钱或复利）的现值P=A (1+i)^n-1 i(1+i)^n 或P=A(P/A,i,n)。 F —终值，P —现值，r —计息周期利率， m —一年的计息次数，i —计息周期利率，i eff —年有效利率，n —计息期数 2、.静态分析指标 投资收益率：总投资收益率=（息+税前利润）÷总投资×100% 资本金净利润率=（利润-税）÷资本金×100% 静态投资回收期：P t =（T －1）+｜T －1｜年累计净现金流量的绝对值／T 年的净现金流量，T 为首次≥0的年数。 总投资额=建设投资+建设期利息+全部流动资金 3、动态分析指标： 财务净现值=现金流入现值合计—现金流出现值合计 =∑n 年×［1／（1+基准收益率）n ］ FNPV ≥0经济上可行，FNPV ＜0经济上不可行。 财务内部收益率是指：方案在计算期内各年净现金流量的现值累计等于零时的折现率。 FIRR ≥ic 经济上可行，FIRR ＜ic 经济上不可行。 4、量本利模型公式：B ＝PQ －[(C u +T u )Q ＋C F ]， 利润＝单价×产量－[(变动成本+税收）×产量+固定成本] 当B=0时即为产销量的盈亏平衡点 5、总成本费用=外购原材料、燃料动力费+工资+修理费+折旧费+摊销费+财务支出（利息）+其他费用 6、经营成本=总成本费用—折旧费—摊销旨—利息支出 或 =外购原材料、燃料费+工资+修理费+其他费 折旧额（年）=应计折旧额÷使用年限 7、沉没成本＝设备账面价值－当前市场价值 或 沉没成本＝(设备原值－历年累计折旧)－当前市场价值 8、经济寿命N 0=√2（P-L N ）/λ P —帐面价值，L N —第N 年净残值，λ—年递增的运行成本（劣化值） 设备年平均使用成本=累计运行成本N 年 +帐面价值-残值 N 年 9、租金的计算方法有：附加率法和年金法。 附加率法：租金R=租价(1+N 年×折现率) N 年 +租价×附加率 年金法：①年末支付Ra=租价折现率（1+折现率） （1+折现率）-1 ②年初支付Rb=租价折现率（1+折现率）（1+折现率）-1 =Ra 1+折现率 10、价值工程中V i =F i ／C i =功能／成本 V i =1，最佳，V i ＜1，成本偏高，V i ＞1，成本较小 11、增量投资收益率（R 2-1），R 2-1=C1-C2 I2-I1 ×100%， C1、C2为新旧方案的经营（或生产）成本，I1、I2为新旧方案的投资额。 （1）当方案要增加投资时，通过公式计算比较，选择折算费用最小的方案。 折算费用法：Z j =生产成本＋用于第j 方案的投资额×基准投资收益率 （2）在采用方案不增加投资时，可通过比较各方案生产成本的大小选择方案。 Z j = C j =固定成本总额＋第j 方案单位产量的可变成本×产量 12、静态会计等式公式“资产＝负债+所有者权益”， 动态会计“收入一费用＝利润” 综合会计等式“资产=负债+（所有者利益+收入-费用） 13、施工企业常用的工作量法有两种 行驶里程法：单位里程折旧额=应计折旧额/总行驶里程 大学物理上公式 定律和定理 1．矢量叠加原理：任意一矢量A 可看成其独立的分量i A 的和。即：A =Σi A （把式中A 换成r 、V 、 a 、F 、E 、B 就分别成了位置、速度、加速度、力、电场强度和磁感应强度的叠加原理）。 2．牛顿定律：F =ｍa （或F = dt p d ）；牛顿第三定律：F ′=F ；万有引力定律：r r Mm G F ?2 动量定理：p I →动量守恒：0 p 条件 0外F 1．位置矢量：r ，其在直角坐标系中：k z j y i x r ；222z y x r 角位置：θ 2．速度：dt r d V 平均速度：t r V 速率：dt ds V （ V V ）角速度：dt d 角速度与速度的关系：V=ｒω 3．加速度： dt V d a 或 2 2dt r d a 平均加速度：t V a 角加速度：dt d 在自然坐标系中n a a a n 其中dt dV a （=ｒβ），r V n a 2 （=r 2 ω） 4．力：F =ｍa （或F = dt p d ） 力矩：F r M （大小：M=rFcos θ方向：右手螺旋法则） 5．动量：V m p ，角动量：V m r L （大小：L=rmvcos θ方向：右手螺旋法则） 6．冲量： dt F I （=F Δｔ）；功： r d F A （气体对外做功：A=∫PdV ） 7．动能：mV 2/2 8．势能：A 保= – ΔE p 不同相互作用力势能形 式不同且零点选择不同其形式不同，在默认 势能零点的情况下： 机械能：E=E K +E P 9．热量：CRT M Q 其中：摩尔热容量C 与过程有关，等容热容量C v 与等压热容量C p 之间的关系为：C p = C v +R 10． 压强： n tS I S F P 3 2 11． 分子平均平动能：kT 23 ；理想气体内能：RT s r t M E )2(2 12． 麦克斯韦速率分布函数：NdV dN V f )(（意义：在V 附近单位速度间隔内的分子数所占比率） mg(重力) → mgh -kx （弹性力） → kx 2/2 F= r r Mm G ?2 (万有引力) →r Mm G =E p r r Qq ?420 (静电力) →r Qq 04 公式名称 公式 系数符号 一次支付终值 n i P F )1(+= P(F/P,i,n) 一次支付现值 n i F P -+=)1( F(P/F,i,n) 等额支付终值 i i A F n 1 )1(-+= A(F/A,i,n) 等额支付现值 n n i i i A P )1(1 )1(+-+= A(P/A,I,n) 偿债年金 1)1(1 -+=n i F A F(A/F,i,n ） 资金回收 1)1()1(-++=n n i i i P A P(A/P,i,n) 年有效利率 1)1(-+ =m eff m r i 总投资收益率（ROI ） ROI=EBIT/TI (EBIT—息税前利润，TI—总投资) 总投资=建设投资（包含建设期贷款利息）+全部流动资金 资本金净利润率（ROE ） ROE=NP/EC (NP—净利润，NE—技术方案资本金) （净利润=利润总额-所得税）（所得税税后） 投资回收期（P t ） P t =（累计净现金流量开始出现正值的年分数-1）+（上一年累计现金流量的绝对值/出现正值年份的净现金流量） 财务净现值分析FNPV 财务净现值=现金流入现值之和-现金流出现值之和 盈亏平衡点 U U T C P CF Q BEP --= )(])[(F U U C Q T C Q P B +?+-?= 盈亏平衡点 用产销量和生产能力利用率表示（盈亏点产销量/设计能力） 经营成本 经营成本=总成本费用-折旧费-摊销费-利息支出（不应计入成本） 经营成本 经营成本=外购原材料、燃料及动力费+工资及福利费+修理费+其他费用（应计入成本） 沉没成本 ＝设备账面价值（设备原值-历年折旧费）－当前市场价值 设备的年平均使用成本=设备的年资产消耗成本+设备的年运行成本 设备从开始使用到其年平均使用成本最小（或年盈利最高）的使用年限N 0为设备的经济寿命 经济寿命 附加率法-租金 r P N i N P R ?+?+=) 1( 力学复习 质点力学 刚体力学 模型： 质点 刚体 运动方程 )(t r r = )(t θθ= 轨迹方程：消去运动方程中的参数t 速度：k v j v i v v dt r d v z y x ++===τ? 角速度：dt d θω= 加速度：k a j a i a n a a dt v d a z y x n ++=+==??τ τ 角加速度：22dt d dt d θωα== 匀加速直线运动 as v v at t v s at v v 2212 02200=-+ =+= 匀角加速转动 ) (221 02022000θθαωωαωθθαωω-=-+=-+=t t t 质点的惯性——质量m 刚体的惯性——转动惯量量J 平行轴定理 2md J J c += 垂直轴定理 y x z J J J += 几个常用的J 改变质点运动的原因：F 改变刚体转动的原因：F r M ?= 牛顿第二定律 a m dt p d F == 转动定理 αJ dt dL M == 质点动量 v m p = 角动量 ωJ L = 质点系统动量 c i i v m P )(∑= 动量定理 122 1 p p dt F p d dt F t t -==? 角动量定理 1221 L L Mdt t t -=? 动量守恒条件：所受合外力<<内力 角动量守恒条件：所受合外力矩<<内力矩 功：??=?=21 r d F A r d F dA 功：?==21 θθMd A Md dA 功率：v F N ?= 功率：ω ?=M N 动能定理：看课合力E E A -== 动能定理：看课合力矩E E A -== - 1 - 高中物理必修一前三章知识点公式总结 1、速度、平均速度 (平均速率)和瞬时速度 (1)表示物体运动快慢的物理量，它等于位移s 跟发生这段位移所用时间 t 的比值。即v=s/t 。速度是矢量， 既有大小也有方向，其方向就是物体运动的方向。在国际单位制中，速度的单位是（ m/s ）米/秒。 (2)平均速度是描述作变速运动物体运动快慢的物理量。一个作变速运动的物体，如果在一段时间t 内的 位移为s, 则我们定义v=s/t 为物体在这段时间（或这段位移）上的平均速度。 (3)瞬时速度是指运动物体在某一时刻（或某一位置）的速度。瞬时速度的大小叫瞬时速率，简称速率。2、匀速直线运动 定义：物体在一条直线上运动，如果在相等的时间内位移相等，这种运动叫做匀速直线运动。3、匀变速直线运动的规律：(1)加速度的定义：加速度是表示速度改变快慢的物理量,定义式：a= t v v t (2)匀变速直线运动的速度公式v t =v o +at （减速：v t =v o -at ） (3)2 v v v t ，此式只适用于匀变速直线运动 .中间时刻速度 2 t v ＝V 平＝ 2 t v v 。 中间位置速度 2 s v ＝ 2 220 t v v 。 (3)匀变速直线运动的位移公式(有t 时)：s=v o t+at 2 /2(匀减速：s=v o t-at 2 /2) (4)位移推论公式(无t 时)：匀加速as v v t 220 2(匀减速：as v v t 220 2) (5)初速无论是否为零,匀变速直线运动的质点 ,在连续相邻的相等的 时间间隔内的位移之差为一常数：△ s = aT 2 (a----匀变速直线运动的 加速度 T----每个时间间隔的时间 ) 4、用电火花计时器 (或电磁打点计时器 )研究匀变速直线运动： 实验用推论Δｓ＝aT 2 ｛Δｓ为连续相邻相等时间(T)内位移之差｝常见计算：（逐差法的含义）(1) 2B AB BC T ，2C BC CD T ， T CE AC v C 4(2)2 12aT s s ，2 C B CD BC a T T ；2 )(aT m n s s m n ；2 3 21 6549T s s s s s s a （逐差法）. 5、匀变速直线运动的s —t 图象(斜率表示速度), 两直线的交点意味着两个运动物体的位移相等。 和v-t 图象（斜率表示加速度，面积表示位移）两直线的交点意味着两个运动物体的速度相等。6、自由落体运动 (1)自由落体运动：物体只在重力作用下从静止开始下落的运动，叫做自由落体运动。(2)自由落体加速度①自由落体加速度也叫重力加速度，用g 表示. ②重力加速度是由于地球的引力产生的 ,它的方向总是竖直向下 .其大小在地球上不同地方略有不 ,在地 1 2 3 4 6 5 0 V/m · t/s 2 3 4 5 1 6 7 8 ② ①??? ?? ?O A B C D E 3.07 12.38 27.87 49.62. 77.40 图2-5 建设工程经济计算题考点 1. 资金等值的计算 （1）掌握一次性支付的终值计算（已知P 求F ） 公式： F=P(1+i)n 例题：某公司借款1000万元，年复利率为10%，试问5年末连本带利一次偿还多少？ 答：F=P(1+i)n =1000*（1+10%）5=1610.51万元 （2）掌握一次性支付的现值计算（已知F 求P ） 公式： P=F/(1+i)n = F(1+i)-n (1+i)-n 为现值系数，表示为（P/F,i,n ）, 如果题中给出系数，则计算公式为：P=F （P/F,i,n ） 例题：某公司希望所投资项目5年末有1000万元资金，年复利率为10%，试问现在需一次性投资多少？ 答：P= F(1+i)-n =1000×（1+10%）-5=620.9万元 （3）掌握等额支付系列的终值计算（已知A 求F ） 公式：F=A i i n 1)1(-+ 表示为：（F/A,i,n ），如果题中给出系数，则计算公式为： F=A （F/A,i,n ）。 例题：某投资人若10年每年末存10000元，年利率8%，问10年末本利和为多少？ 答：F=A i i n 1)1(-+=10000×%81%)81(10-+=144870元 （4）掌握等额支付系列的现值计算（已知A 求P ） 公式：P=A n n i i i )1(1)1(+-+ 符号表示为：（P/A,i,n ），则计算公式为：P=A （P/A,i,n ）。 例题：某投资项目，计算期5年，每年年末等额回收100万元，问在利率为10%时，开始须一次投资多少？ 答：P=A n n i i i )1(1)1(+-+=100×5 5%)101(*%101%)101(+-+=379.08万元 2. 名义利率与有效利率的换算 （1）掌握名义利率的计算 公式：r=i ×m （2）掌握一年计息周期利率的计算 公式：i = r/m （3）掌握一年实际利率（有效利率）的计算 公式：i eff =(1+m r )m -1 精心整理 一、名词解释 1.国内生产总值(GDP)：是一定时期内一国境内所产出的全部最终产品和服务的价值总和，而不被用作投入品以生产其他产品和服务，主要包括消费性产品和服务以及新的耐用产品。 2.国民生产总值（GNP）：一国公民在一定时期内所产出的全部最终产品和服务的价值总和。 3.奥肯定律：由于失业意味着生产要素的非充分利用，失业率的上升会伴随着实际GDP的下降，而描述失业率和GDP之间这一关系的经验规律称为奥肯定律。 4.经济周期：指的是经济运行过程中出现的阶段性的不规则的上下波动。 5.GDP消胀指数：是给定年份的名义GDP与实际GDP之间的比率。 6.CPI：以具有代表性的产品和服务为样本，比较根据当年价格计算的商品总价值和根据基年价格得到的商品总价值，得到的比值 否由本国居民创造，都被计入GDP. 3、比较实际国内生产总值与名义国内生产总值。 答：（1）名义GDP a名义GDP是指一定时期内以当前市场价格来测算的国内生产总值。 b造成名义GDP变化的原因：物质产量的变化，市场价格的变化。 （2）实际GDP a为了解决名义GDP存在的问题，最常用的方法是用不变的价格，即用过去某一年（称为基年）的价格为标准，测算GDP数值。这个用不变价格测算的GDP就称为实际GDP。 b实际GDP可以用以衡量两个不同时期经济中的物质产量的变化。 （3）实际GDP的变动剔除了名义GDP中的价格变动因素，它能准确的反映一国实际产量的变化。 4、解释GDP为什么不能成为总体福利或幸福感的良好衡量尺度？ 答：1.GDP中只包括了最终产品的价值，中间产品和最终产品有时很难区分。 2.GDP是由本期所生产和服务的价值构成的，GDP应该排除过去生产的。 3.一国经济中有些经济活动不进入公开市场交易，因而没有市场价格。 地下经济与黑市，为了逃税或逃避政府的最低工资法、劳动保障法等，这些所产生的产品和服务的交易躲过了政府的记录，没有计入GDP中。 大学物理下公式方法归纳 Modified by JEEP on December 26th, 2020. 大 学物理下归纳总结 电学 基本要求： 1．会求解描述静电场的两个重要物理量：电场强度E 和电势V 。 2．掌握描述静电场的重要定理：高斯定理和安培环路定理（公式内容及物理意义）。 3．掌握导体的静电平衡及应用；介质的极化机理及介质中的高斯定理。 主要公式： 一、 电场强度 1 计算场强的方法（3种） 1、点电荷场的场强及叠加原理 点电荷系场强：∑=i i i r r Q E 304πε 连续带电体场强：?=Q r dQ r E 3 04πε （五步走积分法）(建立坐标系、取电荷元、写E d 、分解、积分) 2、静电场高斯定理： 物理意义：表明静电场中，通过任意闭合曲面的电通量（电场强度沿任意闭合曲面的面积分），等于该曲面内包围的电荷代数和除以0ε。 3、利用电场和电势关系： 二、电势 电势及定义： 1．电场力做功：??=?=2100l l l d E q U q A 2. 静电场安培环路定理：静电场的保守性质 物理意义：表明静电场中，电场强度沿任意闭合路径的线积分为0。 3．电势：)0(00 =?=?p p a a U l d E U ；电势差：??=?B A AB l d E U 电势的计算： 1．点电荷场的电势及叠加原理 点电荷系电势：∑=i i i r Q U 04πε （四步走积分法）(建立坐标系、取电荷元、写dV 、积分) 2．已知场强分布求电势：定义法 三、静电场中的导体及电介质 1. 弄清静电平衡条件及静电平衡下导体的性质 2. 了解电介质极化机理，及描述极化的物理量—电极化强度P , 会用介质中的高斯定 理，求对称或分区均匀问题中的,,D E P 及界面处的束缚电荷面密度 σ。 3. 会按电容的定义式计算电容。 典型带电体系的电势 物理（必修一）——知识考点归纳 考点一：时刻与时间间隔的关系 时间间隔能展示运动的一个过程，时刻只能显示运动的一个瞬间。对一些关于时间间隔和时刻的表述，能够正确理解。如： 第4s末、4s时、第5s初……均为时刻；4s内、第4s、第2s至第4s内……均为时间间隔。 区别：时刻在时间轴上表示一点，时间间隔在时间轴上表示一段。 考点二：路程与位移的关系 位移表示位置变化，用由初位置到末位置的有向线段表示，是矢量。路程是运动轨迹的长度，是标量。只有当物体做单向直线运动时，位移的大小 ．．。 ．．等于路程。一般情况下，路程≥位移的大小 考点五：运动图象的理解及应用 由于图象能直观地表示出物理过程和各物理量之间的关系，所以在解题的过程中被广泛应用。在运动学中，经常用到的有x －t 图象和v —t 图象。 1. 理解图象的含义： （1）x －t 图象是描述位移随时间的变化规律 （2）v —t 图象是描述速度随时间的变化规律 2. 明确图象斜率的含义： （1） x －t 图象中，图线的斜率表示速度 （2） v —t 图象中，图线的斜率表示加速度 考点一：匀变速直线运动的基本公式和推理 1. 基本公式： (1) 速度—时间关系式：at v v +=0 (2) 位移—时间关系式：202 1at t v x + = (3) 位移—速度关系式：ax v v 22 02=- 三个公式中的物理量只要知道任意三个，就可求出其余两个。 利用公式解题时注意：x 、v 、a 为矢量及正、负号所代表的是方向的不同。 解题时要有正方向的规定。 2. 常用推论： （1） 平均速度公式：()v v v += 02 1 （2） 一段时间中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度：()v v v v t += =02 2 1 （3） 一段位移的中间位置的瞬时速度：2 2 202 v v v x += （4） 任意两个连续相等的时间间隔（T ）内位移之差为常数（逐差相等）： ()2aT n m x x x n m -=-=? 考点二：对运动图象的理解及应用 1. 研究运动图象： （1） 从图象识别物体的运动性质 （2） 能认识图象的截距（即图象与纵轴或横轴的交点坐标）的意义 （3） 能认识图象的斜率（即图象与横轴夹角的正切值）的意义 （4） 能认识图象与坐标轴所围面积的物理意义 （5） 能说明图象上任一点的物理意义大学物理公式总结
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