2.4.1二次函数的应用（一）
【教学内容】二次函数的应用（一）
【教学目标】
知识与技能掌握长方形和窗户透光最大面积问题，体会数学的模型思想和数学应用价值．
过程与方法学会分析和表示不同背景下实际问题中的变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识解决实际问题
情感、态度与价值观
在探究活动中，体验二次函数知识在实际生活中的应用。
【教学重难点】
重点：本节的重点是应用二次函数解决图形有关的最值问题，准确把握条件列出二次函数表达式，并根据限制条件或二次函数顶点式求出最大（或最小）值。
难点：由图中找到二次函数表达式是本节的难点，它常用的有三角形相似，对应线段成比例，面积公式等，应用这些等式往往可以找到二次函数的表达式．
【导学过程】
【知识回顾】确定下列二次函数的对称轴和顶点坐标：
⑴y＝3x2一6x +7 ⑵ y＝-2 x2一12x +8
【情景导入】
把二次函数表达式化为顶点式后，可以求出函数的最大（或最
小）值。下面我们来看它在实际生活中的应用吧！
【新知探究】
探究一、例1、如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.
(1).设矩形的一边AB=xcm,那么AD边的长度如何表示？
(2).设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少?
探究二、结合例1中应用的相似形知识列出二次函数表达式，并求出最大（最小）值。
1、如图⑴，在Rt△ABC中，AC=3cm，BC=4cm，四边形CFDE为矩形，其中CF、CE在两直角边上，设矩形的一边CF=xcm．当x取何值时，矩形ECFD的面积最大？最大是多少？
2、如图⑵，在Rt△ABC中，作一个长方形DEGF，其中FG边在斜边上，AC=3cm，BC=4cm，那么长方形DEGF的面积最大是多少？
3、如图⑶，已知△ABC，矩形GDEF的DE边在BC边上．G、F分别在AB、AC边上，BC=5cm，S△ABC为30cm2，AH为△ABC在BC边上的高，求△ABC的内接长方形的最大面积．
第一章 直角三角形的边角关系 §1.1 从梯子的倾斜程度谈起（第一课时） 学习目标: 1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系. 2.能够用tanA 表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算. 学习重点: 1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系. 2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系. 学习难点: 理解正切的意义，并用它来表示两边的比. 学习方法: 引导—探索法. 学习过程: 一、生活中的数学问题: 1、你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？ 2、生活问题数学化： ⑴如图：梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？ ⑵以下三组中，梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？ 二、直角三角形的边与角的关系（如图，回答下列问题） ⑴Rt △AB 1C 1和Rt△AB 2C 2有什么关系? ⑵ 2 2 2111B AC C B AC C 和有什么关系？ ⑶如果改变B 2在梯子上的位置(如B 3C 3)呢?
三、例题： 例1、如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡? 例2、在△ABC中，∠C=90°，BC=12cm，AB=20cm，求tanA和tanB 的值. 四、随堂练习： 1、如图，△ABC是等腰直角三角形，你能根据图中所给数据求出tanC吗? 2、如图，某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B，已知点B到山脚的垂直距离为55m，求山的坡度.(结果精确到0.001) 3、若某人沿坡度i＝3：4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置 升高________米. 4、菱形的两条对角线分别是16和12.较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为θ，则 tanθ＝______. 5、如图，Rt△ABC是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB的长为12 m，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：1.5的斜坡AD，求DB的长.(结果保留根号) 五、课后练习： 1、在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=3,BC=1,则tanA= _______. 2、在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,则tanA=_______. 3、在△ABC中,AB=AC=3,BC=4,则tanC=______. 4、在Rt△ABC中,∠C是直角,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,且a=24,c= 25,求tanA、tanB的值.
课题：5.7.1二次函数的应用（一）学历案 学习目标： 1.通过分析面积问题中的数量关系，能把实际问题中的等量关系抽象为二次函数； 2.认识二次函数模型的重要性，体会二次函数是刻画现实世界中数量关系的有效的数学模型； 3.能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，提高分析问题、解决问题的意识和能力. 学习重点：会列出二次函数解决最大（小）值实际问题 学习难点：把实际问题中的等量关系抽象为二次函数 课前、课中任务单 一、前置检测 1.二次函数y= -3(x+4)2-1的对称轴是，顶点坐标是 .当x= 时，函数有最值，是 . 2.二次函数y=2x2-8x+9的对称轴是，顶点坐标是 .当x= 时，函数有最_____ 值，是 . 二、新知探究 1.最大值问题： 【课本例1】用篱笆围成一个有一边靠墙的矩形菜园，已知 篱笆的长度为60m.应怎样设计才使菜园面积最大？最大面 积是多少？ 2.最小值问题 【课本例2】如图，ABCD是一块边长为2m的正方形铁板，在边 AB上取一点M，分别以AM，MB为边截取两块相邻的正方形板材， 当AM的长为多少时，截取的板材面积最小？ 归纳总结：解决用二次函数求最大(小)值的问题，基本思路.
三、变式练习 1.用篱笆围成一个有一边靠墙的矩形菜园，墙长25m，已 知篱笆的长度为60m.应怎样设计才使菜园面积最大？最大 面积是多少？ 2.菱形的两条对角线的和为40cm. （1）如果菱形的面积为s(cm2)，一条对角线的长为x(cm2)，写出s与x的函数表达式，并指出自变量x的取值范围； （2）当这两条对角线的长分别为多少时，菱形的面积最大？最大面积是多少？ 【挑战自我】 如图，用篱笆围成一个一面靠墙（墙的最大可用长度为10m)、中间隔着一道篱笆的矩形菜园.已知篱笆的长度为24m.设菜园的宽AB为x(m)，面积为y(m2). (1)写出y与x之间的函数表达式及自变量的取值范围； (2)围成的菜园的最大面积是多少？这时菜园的宽x等于多少？ 四、课堂小结 五、反馈评价
2016最新版初三下册数学知识点总结 第一天 第一章 直角三角形边的关系 ※一. 正切： 正切．． 即的邻边 的对边 A A A ∠∠=tan ; 正弦，即斜边 的对边A A ∠=sin ; 余弦，即斜边 的邻边 A A ∠= cos ; ①)90cos(sin A A ∠-?=； )90sin(cos A A ∠-?= sin 2 A+cos 2 A=1 (5)直角三角形的内切圆半径2c b a r -+= (6)直角三角形的外接圆半径c R 2 1 = ※ 如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角．． (或叫做坡比．．)。用字母i 表示，即A l h i tan == （第二天）第三章 圆 1. 点与圆的位置关系及其数量特征： 如果圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ，则 ①点在圆上 <===> d=r; ②点在圆内 <===> d
2.4.2二次函数的应用 预习案 一、预习目标及范围： 1.经历探索T恤衫销售过程中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型,感受数学的应用价值. 2.掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值． 预习范围：P48-49 二、预习要点 二次函数的最值问题和增减性： 增减性 三、预习检测 1.某商店经营衬衫,已知所获利润y(元)与销售的单价x(元)之间满足关系式y=–x2+24x+2 956，则获利最多为______元 2. 某旅行社要组团去外地旅游,经计算所获利润y(元)与旅行团人员x(人)满足关系式y=–2x2+80x+28 400，要使所获营业额最大,则此旅行团有_______人. 3.（兰州·中考）如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为米. 探究案 一、合作探究 活动内容1： 活动1：小组合作 二次函数y=a(x-h)2+k(a ≠0)，顶点坐标为（h,k）,则 （1）a>0时，y有最小值（）；
（2）当a<0时，y有最大值（） 【探究】某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在一段时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件. 请你帮助分析，销售单价是多少时,可以获利最多? 【解析】设销售单价为x (x≤13.5)元,那么 销售量可以表示为 : 件; 每件T恤衫的利润为: 元; 所获总利润可以表示为: 元; 即y=-200x2+3 700x-8 000=-200(x-9.25)2+9 112.5 ∴当销售单价为元时,可以获得最大利润, 最大利润是元. 活动2：探究归纳 先将实际问题转化为数学问题，再将所求的问题用二次函数关系式表达出来，然后利用顶点坐标公式或者配方法求出最值，有时必须考虑其自变量的取值范围，根据图象求出最值. 活动内容2：典例精析 例题2（武汉·中考）某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x元（x为10的整数倍）． (1)设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围. (2)设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式. (3)一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？ 【解析】 例题3（青海·中考）某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利5元，每天可售出200千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，销售量将减少10千克.
九年级数学下册教学计划 李艳娟 一、学情分析： 本学期我仍担任初三年级的数学教学工作，经过上一学期的努力，很多学生在学习风气上有了较大的改变，学习积极性有所提高，也有不少学生自知能力较差，特别是到了最后一学期，有些学生对自己要求不严，甚至自暴自弃，这些都需要针对不同情况采取相应的措施，耐心教育，此外，面临中考阶段对学生要有总体的掌握，使之考出好成绩。 二、教材分析 本学期的内容只剩两章，：圆与统计与概率。 圆这一章的主要内容是圆的定义和性质，点、直线、圆与圆的位置关系，圆的切线，弧长和扇形的面积，圆锥的侧面展开图。本章设涉及的概念、定理较多，应弄清来龙去脉，准确理解和掌握概念和定理。垂径定理及推论、圆的切线的判定定理和性质定理是本章的重点。垂径定理、圆周角定理的证明、运用与圆有关的性质解决实际问题，是本章的难点。 统计与概率这章有总体与样本、用样本估计这两节内容。统计是统计理论和应用的一项重要内容，其基本思想是通过部分估计全体。本章在介绍总体、个体、样本、样本容量的概念后，先后以百分比、平均数和方差为例，介绍了用样本估计总体的统计思想方法。 除了这两章，还要复习初中数学教材其他的内容。 三、教学目标： 1、知识与技能：理解点、直线、圆与圆的位置关系，弧长和扇形的面积，圆锥的侧面展开图，掌握圆的切线及与圆有关的角等概念和计算。教育学生掌握基础知识与基本技能，培养学生的逻辑思维能力、运算能力、空间观念和解决简单实际问题的能力，使学生逐步学会正确、合理的进行运算，逐步学会观察分析、综合、抽象、概括。会用归纳演绎、类比进行简单的推理，提高学生学习数学的兴趣，逐步培养学生具有良好的学习习惯，实事求是的态度，掌握初中数学教材、数学学科“基本要求”的知识点。 2、过程与方法：经历探索过程，让学生进一步体会数学来源与实践，又
《二次函数的应用》教学设计 一、教学背景分析： 1.教学内容分析： 二次函数的知识是七到九年级数学学习的重要内容之一，它的应用是本章的教学重点也是难点。因为它是从生活实际问题中抽象出的数学知识，又是在解决实际问题时广泛应用的数学工具，因此这部分的教学内容具有重要意义；同时学好二次函数的应用，可又为高中进一步学习各类初等函数作好准备。而经历从实际问题情景入手，抽象出解决问题的数学模型和相关知识的过程中不仅可以让学生体会数学的价值和建模的意义，更能提高学生应用数学知识解决问题的意识。 2.学生情况分析： 本节课的授课对象是九年级的学生。在此之前，学生已经掌握了求二次函数解析式的方法并理解图象上的点和图象的关系，并且学习了一元一次方程、一元一次不等式、一元二次方程、一次函数的应用，以及初步的二次函数的应用，经历了多次从实际问题抽象出数学知识再运用相关知识解决实际问题的过程；因此他们有解决简单实际问题的基础知识和基本能力。但是，由于函数知识的抽象性，多数学生在学习时应用函数的意识并不强；同时，他们从实际问题中抽象出数学问题的能力以及利用已有的数学知识去解决的能力也是比较弱的。 二、教学重点： 建立适当的坐标系解决实际问题. 三、教学难点： 正确理解实际问题中的量与坐标系中的点的对应关系. 四、教学目标： 1.能把实际问题归结为数学知识来解决，并能运用二次函数的知识解决实际问题. 2.经历在具体情境中抽象出数学知识的过程，体验解决问题方法的多样性，体会建模思想，渗透转化思想、数形结合思想，提高数学知识的应用意识. 3.在运用数学知识解决问题的过程中，体会数学的价值、感受数学的简捷美，并勇于表达自己的看法.
山东省济南市槐荫区九年级数学下册第2章二次函数2.4二次函数的应用2.4.1二次函数的应用导学案新版北师大版 2.4.1二次函数的应用 预习案 一、预习目标及范围： 1.掌握长方形和窗户透光最大面积问题，体会数学的模型思想和数学应用价值． 2.学会分析和表示不同背景下实际问题中的变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识解决实际问题． 预习范围：P46-47 二、预习要点 根据二次函数的一般形式求出最大值、最小值： 几何图形的几个面积公式是怎么样的？ 三、预习检测 1.（2015六盘水）如图，假设篱笆（虚线部分）的长度为16 m，则所围成矩形ABCD的最大面积是（） A. 60 m2 B. 63 m2 C. 64 m2 D. 66 m2
2. 用长6 m的铝合金条制成“日”字型矩形窗户，使窗户的透光面积最大（如图），那么这个窗户的最大透光面积是（） A. 2 3 m2 B. 1 m2 C. 3 2 m2 D. 3 m2 3. （2014绍兴）如图的一座拱桥，当水面宽AB为12 m时，桥洞顶部离水面4 m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物 线解析式是y=-1 9 (x-6)2+4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是 __________________________. 探究案 一、合作探究 活动内容1： 活动1：小组合作 如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上. (1)设矩形的一边AB=xm,那么AD边的长度如何表示？ (2)设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的值最大？最大值是多少?
二次函数的应用(2）(学案) 学习目标: 1、能根据具体问题中的数量关系，用相关的二次函数知识解决实际问题 2、能根据揭示实际问题中数量变化关系的图象特征，用相关的二次函数知识解决实际问题。 学习过程： 一、情景创设 如图所示的是某防空部队进行射击时导弹的轨迹的平面直角坐标系中的示意图。位于地面Ｏ处正上方35km 的Ａ处直升机向目标C 发射防空导弹,已知点C 的高度为4 9k ｍ，距离OA 的水平距离为7km. 导弹到达最高点时距地面高度为３ｋm 。相应的水平距离为４k ｍ(即图中点Ｄ),如果导弹的运行轨迹为抛物线,那么按轨迹运行的导弹能否击中目标C?你能说出理由吗？ 二、探索活动 问题1 如图所示，某喷灌设备的喷头B 高出地面1.４ｍ，如果喷出的抛物线形水流的水平距离x(m)与高度y(m ）之间的关系为二次函数y=a(ｘ-4）2+3.求水流落地点D 与喷头底部A 的距离（精确到0.1m ）. 问题2 如图所示，在一次足球训练中，球员小王从球门正前方10ｍ处起脚射门，球的运行路线恰是一条抛物线。当球飞行的水平距离是6m 时,球到达最高点,此时球高约3m 。已知球门高2.44m 。问此球能否射进球门？
B A y O 三、典型例题 例1 如图所示,桃河公园要建造圆形喷水池．在水池中央垂直于水面处安装一个柱子O Ａ,Ｏ恰在水面中心,OA=1.25m ．由柱子顶端Ａ处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下,为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离O Ａ距离为1m 处达到距水面最大高度2.25m. (1)如果不计其它因素,那么水池的半径至少要多少m,才能使喷出的水流不致落到池外？ (2）若水流喷出的抛物线形状与(1)相同,水池的半径为３．5m ，要使水流不落到池外,此时水流的最大高度应达到多少m(精确到0.1m)? 例2 一场篮球赛中，球员甲跳起投篮如图所示，已知球出手时离地面 9 20m ，与篮筐中心的水平距离是７m,当球运行的水平距离是4ｍ时，达到最大高度4ｍ。设篮球运行的路线为抛物线，篮筐距地面3m 。 ⑴问此球能否投中？ ⑵此时对方球员乙前来盖帽，已知乙跳起后摸到的最大高度为3.19m,他如何做才能盖帽成功? 四、课堂小结 五、巩固练习 1、如图是某公园一圆形喷水池,水流在各方向沿形 状相同的抛物线落下。建立如图所示的坐标系，如果喷 头所在处A(0,1.２５),水流路线最高处B （１，２.25)， 则该抛物线的表达式为 。如果不考虑 其他因素，那么水池的半径至少要__＿_米，才能使喷 出的水流不致落到池外。 A
新北师大版九年级数学下册知识点总结 第一章直角三角形边的关系 一?锐角三角函数 1. 正切： 定义：在Rt △ ABC 中，锐角/A 的对边与邻边的比叫做/A 的正切，记作 tanA , ① tanA 是一个完整的符号，它表示/A 的正切，记号里习惯省去角的符号“/”； ② tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中/A 的对边与邻边的比； ③ tanA 不表示"tan ”乘以"A ”； ④ 初中阶段，我们只学习直角三角形中，/A 是锐角的正切； ⑤ tanA 的值越大，梯子越陡，ZA 越大；ZA 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。 2. 正弦： 定义：在Rt △ ABC 中，锐角/A 的对边与斜边的比叫做/A 的正弦，记作sinA ，即sin A A 的对边 ................................... """■ 斜边 3. 余弦： 定义：在Rt △ ABC 中，锐角/A 的邻边与斜边的比叫做/A 的余弦，记作cosA ，即cosA A 的邻边 .............................. ■■■■■ 斜边 之变化 三?三角函数的计算 1. 仰角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为 仰角 2. 俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为 俯角 值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；余弦值随着角度的增大 < sin a< 1， 0< cos a< 1。 4. 坡度：如图2,坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度 i tan A l 5. 方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角...。如图3，OA OB OC 的方位角分别为 45 °、135 °、225 °。 6. 方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于 90°的水平角，叫做方向角.。如图4，OA 、 即 tanA A 的对边 A 的邻边 锐角A 的正弦、余弦和正切都是/A 的三角函数当锐角 A 变化时，相应的正弦、余弦和正切之也随 30 o 45 o 60 o sin a 1 亞 矗 2 2 2 cos a 旦 返 1 2 2 2 tan a 迴 3 1 3. 规律：禾U 用特殊角的三角函数值表，可以看岀, （1）当角度在0 °?90°间变化时，正弦值、正切 （或减小）而减小（或增大）。（2）0 （或坡比）。用字母i 表示，即 二?特殊角的三角函数值 图2
二次函数在生活中应用 浦 桂 花 学习目标: 1、会运用二次函数及其图像的知识解决现实生活中的实 际问题。 2、初步体会到数形结合、数学建模以及函数和方程互相 转化等数学思想、方法. 3、感悟“数学来源于生活，又指导生活”，激发出学习数学的浓厚兴趣. 一、引入： 在日常生活中，我们接触到许多与二次函数有关的实际问题， 例如：投篮后篮球运行的路线，推铅球时铅球运行的路线和喷池中水流的路线等等。今天就运用以前学过的二次函数的知识来解决这些实际问题。 二、典型例题： 例1: 小明参加铅球比赛,已知铅球的运行的路线是一条抛物线.铅球 出手时的高度是 米,铅球最高处离地面3米,距离出手时的水平距离是4米. 试推测小明这次铅球的比赛成绩. 35
例2：某越江隧道的横断面的轮廓线是一段抛物线． 已知隧道的地面宽度为20米，地面离隧道最高点 C 的高度为10米． (1)、请建立适当的平面直角坐标系，并求出这段抛物线所表 示的二次函数的解析式. (2)、这隧道设计为双向行驶，现有一辆宽为5米，高为6 米装满货物的卡车，问这辆卡车能否顺利通过？ C A B 三、巩固练习： 如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面AB的宽是20米，如果水位上升3米时，水面CD的宽为10米， （1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式； （2）现有一辆载有救援物质的货车从甲地出发，要经过此桥开往乙地，已知甲地到此桥280千米，（桥长忽略不计）货车以每小时 40千米的速度开往乙地，当行驶到1小时时，忽然接到紧急通知， 前方连降大雨，造成水位以每小时0.25米的速度持续上涨，（货车接 到通知时水位在CD处），当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行；
神木市第五中学导学案年级九班级学科数学课题 2.8二次函数的应 用1 第课时 总课时 编制人审核人使用时间第周 星期 使用者 教学内容 学习目标:1. 经历探究图形的最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验。 2.通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，培养分 析判断能力。 学习重难点:会根据不同的条件，利用二次函数解决生活中的实际问题 . 学导过程: 一、自主学习 1.二次函数能有几种表达式表示？各需要哪些条件确定相应的函数表达式？ 2.求下列函数的最大值或最小值. （1）y=2x2-3x-5； （2）y=-x2-3x+4 二、合作探究 3、做一做：（小组讨论，可利用相似三角形的相关知识） 如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上. (1) 设矩形的一边AB=xm,那么AD边的长度如何表示？ (2)设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的值最大?最大值是多少? 三、互动展示 4、议一议： 如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中点A和点D分别在两直角边
上,BC在斜边上. (1)设矩形的一边BC=xm,那么AB边的长度如何表示？ (2)设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的值最大?最大值是多少? 四、达标测试 5、某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少? x x y 五、课堂小结与反思 你通过本节课的探索解决了哪些问题？还有那些困惑？有哪些新的发现、想法？ 六、布置作业与预习 1、必做题：课本P47习题2.8第1、 2、3题。 2、选做题：4 教后 反思
第一章 直角三角形的边角关系 1 锐角三角函数 2 30°，45°，60°角的三角函数值 3 三角函数的计算 4 解直角三角形 5 三角函数的应用 6 利用三角函数测高 ※一. 正切： 定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．． ，记作tanA ，即的邻边 的对边 A A A ∠∠= tan ; ①tanA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”； ②tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比； ③tanA 不表示“tan ”乘以“A ”； ④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A 是锐角的正切； ⑤tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大； ∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。 ※二. 正弦．． ： 定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即 斜边 的对边 A A ∠= sin ; ※三. 余弦： 定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即 斜边 的邻边 A A ∠= cos ;
※余切： 定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即 的对边 的邻边 A A A ∠∠= cot ; ※一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。 0o 30 o 45 o 60 o 90 o sin α 0 2 1 2 2 2 3 1 cos α 1 23 2 2 2 1 0 tan α 0 3 3 1 3 — cot α — 3 1 3 3 0 （通常我们称正弦、余弦互为余函数。同样，也称正切、余切互为余函数，可以概括为：一个锐角的三角函数等于它的余角的余函数）用等式表达：若∠A 为锐角，则 ①)90cos(sin A A ∠-?=； )90sin(cos A A ∠-?= ②)90cot(tan A A ∠-?=； )90tan(cot A A ∠-?= ※当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．． ※当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．． ※利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当 角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值、余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。(2)0≤sin α≤1，0≤cos α≤1。 ※同角的三角函数间的关系： 倒数关系：tg α·ctg α=1。
第18课时 二次函数的应用学案 基训题目 1、图(1)是一个横断面为抛物线 形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶 (拱桥洞的最高点)离水面2m ，水 面宽4m ．如图(2)建立平面直角坐 标系，则抛物线的关系式是( ) A ．22y x =- B ．22y x = C ．212y x =- D ．212y x = 2、如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y (单位： m)与水平距离x (单位：m)之间的关系是 21251233 y x x =-++．则他将铅球推出的距离 是 m ． 3、某车的刹车距离y (m)与开始刹车时的速度x (m/s)之间满足二次函数2120 y x =(x ＞0)，若该车某次的刹车距离为5 m ，则开始刹车时的速度为( ) A ．40 m/s B ．20 m/s C ．10 m/s D ．5 m/s 4、出售某种文具盒，若每个获利x 元，一天可售出()6x -个，则当x = 元时，一天出售该种文具盒的总利润y 最大． 5、 将一张边长为30㎝的正方形纸片的四角分别剪去一个边长为ｘ㎝的小正方形,然后折叠成一个无盖的长方体.当ｘ取下面哪个数值时,长方体的体积最大( ) A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 6、用长为8m 的铝合金条制成如图所示的矩形窗框,使窗户的 透光面积最大,那么这个窗户的最大透光面积是 ( ) 图（1） 图（2）
A 2564m 2 B 34m 2 C 38m 2 D 4m 2 7、某商店经营一种水产品，成本为每千克40元的水产品，据市场分析， 若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售价每涨1元，月销售 量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，销售单价定为 元 时，获得的利润最多. 8、王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物线 21855 y x x =-+，其中y (m)是球的飞行高度，x (m)是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有2m ． (1)请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴． (2)请求出球飞行的最大水平距离． (3)若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线，求出其解析式． 2011.3.23
二次函数应用 【教学重难点】 1、抛物线y=a （x-h ）2+k ，当x=h 时，y 的最值为k. 抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)，当x=-时，y 的最值为 . 2、总销售利润=单件销售利润×销售总量 =（销售单价—单件成本）×销售总量 3、注意自变量的取值范围（根的合理性及取舍问题） 【教学目标】 针对具体的应用问题，能根据题目设出二次函数的表达式，或是根据题目把表达式列出来。同时，掌握最值的求法（注意自变量的取值范围）。 【随堂练习】 1、某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元．市场调查发现，在一段时间内，销售量w （千克）随销售单价x （元/千克）的变化而变化，具体关系式为：w ＝－2x ＋240．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y （元），解答下列问题： （1）求y 与x 的关系式； （2）当x 取何值时，y 的值最大？ （3）如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克，公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润，销售单价应定为多少元？ 2、某服装公司试销一种成本为每件50元的T 恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，试销中销售量（件）与销售单价（元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）． （1）求 与之间的函数关系式； （2）设公司获得的总利润（总利润总销售额总成本）为元，求 与之间的函数关系式，并写 出自变量的取值范围；根据题意判断：当取何值时， 的值最大？最大值是多少？ 3、某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养情况进行了调 查．调查发现这种水产品的每千克售价（元）与销售月份（月）满足关系式y1 ,而其 每千克成本（元）与销售月份（月）满足的函数关系如图所示． （1）试确定 的值； 400 300 y (件)
2020新版北师大版数学九年级下册教案(全) 第1课时 §1.1.1 锐角三角函数 教学目标 1、 经历探索直角三角形中边角关系的过程 2、 理解锐角三角函数（正切、正弦、余弦）的意义，并能够举例说明 3、 能够运用三角函数表示直角三角形中两边的比 4、 能够根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算 教学重点和难点 重点：理解正切函数的定义 难点：理解正切函数的定义 教学过程设计 从学生原有的认知结构提出问题 直角三角形是特殊的三角形，无论是边，还是角，它都有其它三角形所没有的性质。这一章，我们继续学习直角三角形的边角关系。 师生共同研究形成概念 1、 梯子的倾斜程度 在很多建筑物里，为了达到美观等目的，往往都有部分设计成倾斜的。这就涉及到倾斜角的问题。用倾斜角刻画倾斜程度是非常自然的。但在很多实现问题中，人们无法测得倾斜角，这时通常采用一个比值来刻画倾斜程度，这个比值就是我们这节课所要学习的——倾斜角的正切。 1） （重点讲解）如果梯子的长度不变，那么墙高与地面的比值越大，则梯子越陡； 2） 如果墙的高度不变，那么底边与梯子的长度的比值越小，则梯子越陡； 3） 如果底边的长度相同，那么墙的高与梯子的高的比值越大，则梯子越陡； 通过对以上问题的讨论，引导学生总结刻画梯子倾斜程度的几种方法，以便为后面引入正切、正弦、余弦的概念奠定基础。 2、 想一想（比值不变） ☆ 想一想 书本P 2 想一想 通过对前面的问题的讨论，学生已经知道可以用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度。当倾斜角确定时，其对边与邻边的比值随之确定。这一比值只与倾斜角的大小有关，而与直角三角形的大小无关。 3、 正切函数 （1） 明确各边的名称 （2） 的邻边 的对边 A A A ∠∠=tan （3） 明确要求：1）必须是直角三角形；2）是∠A 的对边与 ∠A 的邻边的比值。 ☆ 巩固练习 a 、 如图，在△ACB 中，∠C = 90°， 1） tanA = ；tanB = ； 2） 若AC = 4，BC = 3，则tanA = ；tanB = ； 3） 若AC = 8，AB = 10，则tanA = ；tanB = ； b 、 如图，在△ACB 中，tanA = 。（不是直角三角形） （4） tanA 的值越大，梯子越陡 A B C A B C ∠A 的对边∠A 的邻边 斜边 A B C
第16课时 二次函数应用 一、选择题 1. 已知h 关于t 的函数关系式2 1 2h gt =（ g 为正常数，t 为时间）如图，则 函数图象为 ( ) t A ． B ． C ． D ． 2.如图，用长8m 的铝合金条制成矩形窗框，使窗户的透光面积最大，那么这 个窗户的最大透光面积是（ ） A ． 2564m 2 B ．34m 2 C ．38m 2 D ．4m 2 3.小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线21 3.55y x =- +的一部分，如图所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L 是（ ） A.4.6m B. 4.5m C.4m D.3.5m 二、填空题 4．二次函数y=1 2x 2+x-1，当x=______时，y 有最_____值，这个值是____． 5．（2008年庆阳）兰州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高，房子的价格y （元/平方米）随楼层数x （楼）的变化而变化（x =1，2，3，4，5，6，7，8）；已知点（x ，y ）都在 第5题图 第2题图 第3题图 第8题第8题图
一个二次函数的图像上（如图所示），则6楼房子的价格为 元/平方米． 6.用一根120cm 长的铁丝围成一个矩形，矩形的最大面积为 ；若将其分成两部分，每一部分弯曲成一个正方形，那么两个正方形的面积和最小为 ． 7. 用长20cm 的篱笆，一面靠墙围成一个长方形的园子，当园子宽为 ，园子有最大面积是 . 8.某菜农搭建一个横截面为抛物线的大棚，有关尺寸如上图所示，若菜农身高 为1.6m ，则他在不弯腰的情况下在大棚内活动的范围是 米． 三、解答题 9.某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱． （1）求平均每天销售量y （箱）与销售价x （元/箱）之间的函数关系式． （2）求该批发商平均每天的销售利润w （元）与销售价x （元/箱）之间的函数关系式． （3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 10.（2008安徽)杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A 处弹跳到人梯顶端椅子B 处，其身体（看成点）的路线是抛物线2 3 315y x x =-++的一部分，如图． （1）求演员弹跳离地面的最大高度； （2）已知人梯高 3.4BC =米，在一次表演中，人梯到起跳点A 的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由． 第10题图 A B C
二次函数 第1课时二次函数 一、阅读教科书第2—3页 二、学习目标： 1．知道二次函数的一般表达式； 2．会利用二次函数的概念分析解题； 3．列二次函数表达式解实际问题． 三、知识点： 一般地，形如____________________________的函数，叫做二次函数。其中x是________，a是__________，b是___________，c是_____________． 四、基本知识练习 1．观察：①y＝6x2；②y＝－3 2x 2＋30x；③y＝200x2＋400x ＋200．这三个式子中，虽然函数有一项的，两项的或三项的，但自变量的最高次项的次数都是______次．一般地，如果y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0），那么y叫做x的_____________． 2．函数y＝(m－2)x2＋mx－3（m为常数）． （1）当m__________时，该函数为二次函数； （2）当m__________时，该函数为一次函数． 3．下列函数表达式中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出各项对应项的系数． （1）y＝1－3x2（2）y＝3x2＋2x （3）y＝x (x－5)＋2 （4）y＝3x3＋2x2（5）y＝x＋ 1 x 五、课堂训练 1．y＝(m＋1)x m m 2－3x＋1是二次函数，则m的值为_________________． 2．下列函数中是二次函数的是（） A．y＝x＋ 1 2B．y＝3 (x－1) 2C．y＝(x＋1)2－x2 D．y＝ 1 x2－x 3．在一定条件下，若物体运动的路段s（米）与时间t（秒）之间的关系为 s＝5t2＋2t，则当t＝4秒时，该物体所经过的路程为（） A．28米B．48米C．68米D．88米 4．n支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m与球队数n之间的关系式 _______________________． 5．已知y与x2成正比例，并且当x＝－1时，y＝－3．求：（1）函数y与x的函数关系式； （2）当x＝4时，y的值； （3）当y＝－ 1 3时，x的值．
《二次函数的应用——面积最大问题》教学设计 二次函数的应用——面积最大问题。所用教材是教育材九年级上册第三章第六节二次函 数的应用，本节共需四课时，面积最大是第一节。 下面我将从教材容的分析、教学目标、重点、难点的确定、教学方法的选择、教学过程 的设计和教学效果预测几方面对本节课进行说明。 一、教学容的分析 1、地位与作用： 二次函数的应用本身是学习二次函数的图象与性质后，检验学生应用所学知识解决实际 问题能力的一个综合考查。新课标中要求学生能通过对实际问题的情境的分析确定二次函数 的表达式，体会其意义，能根据图象的性质解决简单的实际问题，而最值问题又是生活中利 用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一，它生活背景丰富，学生比较感 兴趣，对于面积问题学生易于理解和接受，故而在这儿作专题讲座，为求解最大利润等问题 奠定基础。目的在于让学生通过掌握求面积最大这一类题，学会用建模的思想去解决其它和 函数有关的应用问题。此部分容是学习一次函数及其应用后的巩固与延伸，又为高中乃至以 后学习更多函数打下坚实的理论和思想方法基础。 2、课时安排 教材中二次函数的应用只设计了3个例题和一部分习题，无论是例题还是习题都没有 归类，不利于学生系统地掌握解决问题的方法，我设计时把它分为面积最大、利润最大、运 动中的二次函数、综合应用四课时，本节是第一课时。 3.学情及学法分析 学生由简单的二次函数y ＝x 2学习开始，然后是y ＝ax2，y ＝ax 2+c ，最后是y=a(x-h)2， y ＝a(x-h)2+k ，y ＝ax 2+bx+c ，学生已经掌握了二次函数的三种表示方式和图像的性质。 对函数的思想已有初步认识，对分析问题的方法已会初步模仿，能识别图象的增减性和最值， 但在变量超过两个的实际问题中，还不能熟练地应用知识解决问题，本节课正是为了弥补这 一不足而设计的，目的是进一步培养学生利用所学知识构建数学模型，解决实际问题的能力， 这也符合新课标中知识与技能呈螺旋式上升的规律。 二、教学目标、重点、难点的确定 教学目标： 1、知识与技能：通过本节学习，巩固二次函数y=2ax bx c ++（a ≠0）的图象与性 质，理解顶点与最值的关系，会求解最值问题。 2．过程与方法：经历“实际问题转化成数学问题——利用二次函数知识解决问题— —利用求解的结果解释问题”的过程体会数学建模的思想，体会到数学来源于生活，又服务 于 生活。 3.情感态度、价值观：培养学生的独立思考的能力和合作学习的精神，在动手、交流过 程中培养学生的交际能力和语言表达能力，促进学生综合素质的养成。 教学重点：利用二次函数y=2ax bx c ++（a ≠0）的图象与性质，求面积最值问题 教学难点：1、正确构建数学模型 2、对函数图象顶点、端点与最值关系的理解与应用 三、教学方法与手段的选择 由于本节课是应用问题，重在通过学习总结解决问题的方法，故而本节课以“启发探究 式”为主线开展教学活动，解决问题以学生动手动脑探究为主，必要时加以小组合作讨论， 充分调动学生学习积极性和主动性，突出学生的主体地位，达到“不但使学生学会，而且使
九年级上册《二次函数的应用》导学案 第 49 课时 6.4二次函数的应用（1）一、自主尝试预习课本p25—26页，尝试解决下列问题：问题1：某种粮大户去年种植优质水稻360亩，今年计划多承租100—150亩稻田．预计原360亩稻田今年每亩可收益440元，新增稻田x今年每亩的收益为元．试问：该种粮大户今年要多承租多少亩稻田，才能使总收益最大？最大收益是多少？ 二、例题讲评例1 将进货为40元的某种商品按50元一个售出时，能卖出500个．已知这时商品每涨价一元，其销售数就要减少20个．为了获得最大利益，售价应定为多少？ 例2 室内通风和采光主要取决于门窗的个数和每个门窗的透光面积．如果计划用一段长m的铝合金型材，制作一个上部是半圆、下部是矩形的窗框（如图），那么当矩形的长、宽分别为多少时，才能使该窗户的透光面积最大（精确到0.1m且不计铝合金型材的宽度）？ 例3 如图，在矩形abcd中，ab=6cm，bc=cm，点p从点a出发，沿ab 边向点b以1cm/s的速度移动，同时点q从点b出发沿bc边向点c以2cm/s 的速度移动，如果p、q两点同时出发，分别到达b、c两点后停止移动．（1）设运动开始后第t秒钟后，五边形apqcd的面积为s，写出s与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围．（2）t为何值时，s最小？最小值是多少？ 巩固练习：1．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适
当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。问：每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多？ 2．如图，已知△abc，矩形gdef的de边在bc边上．g、f分别在ab、ac边上，bc=5cm，s△ab c为30cm2，ah为△abc在bc边上的高，求△abc 的内接长方形的最大面积。 智者加速：1．有一经销商，按市场价收购了一种活蟹1000千克，放养在塘内，此时市场价为每千克30元。据测算，此后每千克活蟹的市场价，每天可上升1元，但是，放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元（放养期间蟹的重量不变）。⑴设x天后每千克活蟹市场价为p元，写出p关于x的函数关系式.⑵如果放养x天将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售总额为q元，写出q关于x的函数关系式。⑶该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润，（利润=销售总额-收购成本-费用）？最大利润是多少？ 2．某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：x(元)152030…y(件)252010…若日销售量y是销售价x的一次函数。（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？ 三、我的心得 第 49 课时 6.4二次函数的应用（1）一、自主尝试预习课本p25—26页，尝试解决下列问题：问题1：某种粮大户去年种植优质水稻360亩，